автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование регуляции автоколебаний вариацией параметров системы с кубической нелинейностью

На правах рукописи

иЬлхс/

ВЕРИСОКИН Андрей Юрьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕГУЛЯЦИИ АВТОКОЛЕБАНИЙ ВАРИАЦИЕЙ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ С КУБИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005556699 Воронеж - 2014

005556699

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Курский государственный университет».

Научный руководитель: Постпиков Евгений Борисович.

доктор физико-математических наук, доцент

Официальные оппоненты: Каменский Михаил Игоревич,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет», заведующий кафедрой функционального анализа и операторных уравнении

Храмов Александр Евгеньевич, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.». ведущий научный сотрудник НОЦ «Нелинейная динамика сложных систем»

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учре-

ждение науки Институт теоретической и экспериментальной биофизики Российской академии наук

Защита состоится «27» октября 2014 г. в 11:00 па заседании диссертационного совета Д 212.037.01 при ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» по адресу: 39402G, г. Воронеж, Московский просп.,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ BIIO «Воронеж-скип государственный технический университет», полный текст размещён по адресу http://education.vorstu.ru/nauka/pus/ds21203701/dis/1729/.

Автореферат разослан «22» сентября 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Барабанов В. Ф.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Автоколебательные процессы являются одним из важнейших проявлений нелинейности, так как они лежат в основе многих процессов, таких как конвективные явления, колебания популяций видов, действие всевозможных радиофизических и оптических генераторов, периодические биохимические реакции и др., что обуславливает постоянную актуальность разработки их математических моделей.

При этом одним из наиболее важных современных направлений теории динамических систем и их математического моделирования является не просто описание на языке нелинейных дифференциальных уравнений, но п попек методов контроля их динамики с целью регулирования их частоты, интенсивности и, как следствие, повышения эффективности моделируемых процессов в их практических приложениях. Одним из наиболее перспективных методов является параметрическое управление, позволяющее добиться качественного изменения поведения автоколебаний н автоволн при малых возмущениях.

Системы с кубической нелинейностью служат базовыми моделями автоколебании и самоорганизации неравновесных систем, начиная с классических работ Рэлея. Ван дер Поля. Пригожина и др. При этом в последние годы выявлены специфические, преобразования изоморфизма, между уравнениями данного класса, позволяющие подойти к задаче их качественного и количественного анализа с единой математической точки зрения. Кроме того, подобный подход может быть применён в практических приложениях к математическому моделированию автоколебательных систем, важных для биотехполо-гических процессов, использующих, в частности, гликолитнческую реакцию.

Поэтому математическое моделирование параметрической регуляции процессов. описываемых дифференциальными уравнениями с кубической нелинейностью, как обыкновенными, так и в частных производных, в том числе имеющих практическое приложение, является актуальной проблемой, представляющей большой научный интерес.

Работа соответствует тематическому плану Курского государственного университета на 2010-2013 гг. по заданию Минобрнауки РФ (№ гос. per. 01201151424) и направлению исследований КГУ в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки РФ № 2014/349 на 2014 г. (проект № 1391).

Цели и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка комплекса математических моделей параметрической регуляции автоколебательных динамических систем с кубической нелинейностью, численных методов для их вычислительной реализации и соответствующего программного обеспечения.

В соответствии с указанной целью в работе решаются следующие задачи исследования:

1. Анализ существующих механизмов и способов регуляции автоколебательных процессов, а также подходов к их математическому моделированию.

2. Создание новых моделей параметрической регуляции динамических режимов автоколебаний и автоволн в системах с кубической нелинейностью и разработка качественных (локальная система) и приближённых аналитических (слабосвязанная распределенная система) методов их исследования на примере модификаций уравнений Селькова.

3. Разработка новых численных методов для проведения вычислительного эксперимента при исследовании проблем регуляции автоколебаний в обобщённых системах Селькова с применением современных компьютерных технологий.

4. Реализация предложенных методов в виде программного комплекса и его приложение к исследованию проблем параметрической регуляции в натурных экспериментах, описываемых математическими моделями в виде дифференциальных уравнений с кубической нелинейностью.

Методы исследования основаны на использовании математического моделирования, теории динамических систем, математической физики, а также теории численных методов.

Тематика работы соответствует и. 2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей», п. 5 «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования п вычислительного эксперимента», п. 7 «Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели» паспорта специальности 05.13.18 — «Математическое моделирование. численные методы и комплексы программ».

Научная новизна. В работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Математическая модель, модифицирующая систему уравнении Селькова в форме Меркина-Нпдхэма-Скотта путём включения мультипликативной зависимости типа Аррепиуса в нелинейные члены, что позволяет параметрически управлять режимами генерации автоколебаний (в локальной системе) и автоволн (в распределённой системе).

2. Исследование динамики классическом системы Селькова при периодическом изменении её свободного параметра, позволившее провести классификацию и локализацию режимов автоколебаний па параметрической плоскости «частота-амплитуда» аддитивного возмущения и впервые явно указать области существования хаотического решения дайной модели.

3. Развитие методов качественного анализа динамических систем с кубической нелинейностью на примере уравнений Селькова в форме Меркипа - Нидхема - Скотта, для которых доказана принадлежность к классу обобщённых уравнений Рэлея. что дало возможность в явной форме получить параметрические зависимости точек локальной бифуркации и фазовых сдвигов слабосвязанной распределённой системы.

4. Численный метод решения диффузионно-связанных прострапетвеппо-раенредедённых систем, основанный на динамическом выборе пути решения в зависимости от параметра связи и характеристического времени процесса, определяемого рэлеевской формой представления, который позволяет избежать использования плохо обусловленных матриц связи и допускает иарал-

лелизацию вычислений.

5. Структура программного комплекса, допускающая подход к численному моделированию диффузионно-связанных пространственно-распределённых систем как совокупности параллельно осциллирующих локальных систем, позволяющая тем самым сократить объём требуемой оперативной памяти ЭВМ и повысить точность расчётов в случае, слабосвязанных осцилляторов, и результаты проведенных при помощи программного комплекса вычислительных экспериментов, давшие новую интерпретацию натурных экспериментов на примере регуляции гликолитпческих автоколебаний вариацией температуры и периодическим втоком субстрата.

Практическая значимость. Предложенные математические модели регуляции автоколебательных систем с кубической нелинейностью и разработанный на их основе, метод определения коэффициента диффузии в плотных средах, а также вычислительный комплекс для реализации предложенного

алгоритма, прошедший государственную регистрацию как библиотека, программ для ЭВМ, может быть использован как в исследованиях, относящихся к теории динамических систем, так и в прикладных задачах биофизики и химической промышленности, связанных, в частности, с гликолитической реакцией.

Реализация и внедрение результатов работы Результаты диссертационной работы внедрены в ФГБОУ ВПО «Курский государственный университет» как в научной работе (методы анализа математических моделей и программное обеспечение используются в исследованиях, проводимых в НИЦ физики конденсированного состояния КГУ), так и в учебном процессе - при подготовке студентов специальности «Прикладная математика и информатика» (профиль - «Математическое моделирование»).

Апробация работы. Результаты по теме диссертации были лично доложены автором на научных конференциях: 3rd IEEE Multi-conference on Systems and Control 2009 (Saint-Petersburg, .July 8-10, 2009) (грапт IEEE); The 8th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications (Germany, Dresden, May 25-28, 2010); XVIII Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование' (Пущино, 24-29 января

2011); 2nd International Symposium on Rare Attractors and Rare Phenomena in Nonlinear Dynamics RA'll (Latvia, Riga-.Jurmala, May 1G-20, 2011) (грант РФФИ 11-02-09301-.моб_з): Turing Centenary Conference: Computability in Europe 2012 — How the World Computes (United Kingdom, Cambridge. June 18-23,

2012); XX Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 28 января - 2 февраля 2013): BIOMATH 2013 — an International Conference on Mathematical Methods and Models in Biosciences (Bulgaria, Sofia, June 16-21. 2013).

Результаты работы были представлены на семинарах кафедры статистической физики, нелинейной динамики и стохастических процессов Берлинского университета имени Гумбольдтов (Германия) и сектора информатики и биофизики сложных систем кафедры биофизики биологического факультета Московского государственного университета, а также на Всероссийском молодежном конкурсе научно-исследовательских работ по физике (III место в номинации «Разделы физики на стыке наук», 2012).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в G печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК [1-

4]; свидетельство о государственно]'! регистрации программы для ЭВМ [5|: статья в сборнике научных трудов [6]. В работах, опубликованных в соавторстве. лично соискателю принадлежит: [1| — математическая модель параметрического контроля системы Селькова с кубической нелинейностью и доказательство её принадлежности к классу обобщённых уравнений Рэлея, [2] — аналитическое и численное исследование модели, дополненной членами пространственной связи, алгоритм определения коэффициентов диффузии в плотных средах. |4] — алгоритм аналитического исследования характеристик автоколебательного режима. [6| — обобщения результатов исследований параметрического контроля системы Селькова с кубической нелинейностью, исследование влияния периодического изменения свободного параметра на динамику решения системы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения. 4 глав, заключения и приложения. Текст изложен на 119 страницах, включая 26 рисунков и 4 таблицы. Список цитируемой литературы состоит из 93 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые па защиту научные положения.

В первой главе дан обзор основных механизмов и способов регуляции автоколебательных процессов, а также подходов к их математическому моделированию па основе нелинейных дифференциальных уравнений. Обоснован выбор автоколебательной гликолитической реакции как практически важного примера природных и технологических процессов с динамикой данного типа и рассмотрены существующие математические модели гликолиза с указанием сильных и слабых сторон.

Во второй главе представлено построение математической модели контроля автоколебаний на базе расширений одной из простейших динамических систем с кубической нелинейностью — классической модели Селькова: приведены результаты аналитического и численного исследований соответствующих систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Классическая система Селькова представляет собой систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно двух пере-

менпых: , о

dix = v — ху .

di у = -гл/ - шу.

Система (1) имеет важное значение в теории динамических систем как одна из базовых моделей, воспроизводящих в зависимости от соотношения параметров и > 0 и w > 0 квазигармонические или релаксационные автоколебания. порождаемые путём бифуркации Хопфа при и = шу/ш.

При моделировании системы (1) нестационарный параметр и задаётся изменяющимся по гармоническому закону v(t) = щ + A sin(27r£/T"), где ц, — значение и вблизи точки бифуркации Хопфа. А — амплитуда колебаний, а Т" — период. В этом случаем исследуемая система дифференциальных уравнении принимает вид

d,x = Ц) + A вт(2тг£/Т') - ху2. dt:y = ху2 - игу.

Примеры различных режимов колебаний численно моделируемой системы представлены па рне. 1 а). Исследование показывает, что вблизи значений периода Т'/тп = T()/n, где n. rn G N, в системе происходит захват колебаний и наблюдаются синхронные колебания порядка п : m (н колебаний и соответствуют m колебаниям значений переменных х и у. То — период автономных колебаний), при нарушении этого условия — нерегулярные колебания, визуально близкие к квазнпернодическим или хаотическим.

В качестве количественного критерия характера колебаний использована скорость разбегания траекторий в фазовом пространстве с помощью показателей Ляпунова, для нахождения которых нрпменсн метод, основанный на ортогопализации Грама-Шмидта. В его основе лежит численное решение системы совместно с уравнениями в вариациях, которые описывают эволюцию бесконечно малого возмущения траектории: рассматриваются две траектории. удалённые друг от друга на малое расстояние /?о, которое через промежуток времени dt достигает значения Ri. Максимальный показатель Ляпунова на каждом шаге находится по формуле Xmas = log2 | Ri/R-i \ /àt.

Анализируемая система (2) фактически трехмерная, так как переменная и независимая и колеблется периодически во времени, поэтому один из трёх показателей Ляпунова всегда равен нулю. Знак максимального показателя Ляпунова определяет режим колебаний. На рис. 1 б) показано распределение

Рис. 1. а) Слева изображены кривые Лиссажу, справа — соответствующие графики колебании переменной .г: (верхние графики) и периодического втока (нижние графики) решений системы (2): 1) Т' = 1.5. иа = 2.78. А — 0.25 - хаотический режим; 2) Т' = 1.65. щ = 2.78. А = 1.2 - захват порядка 2 : 1; 3) Т' = 3.4. и0 = 5. А = 3.7 - захват порядка 1 : 1:4) Т' = 9.82. [/„ — 2.78, .4 = 0.25 - захват порядка 1 : 3. б) Распределение максимального показателя Ляпунова. А,„,„ системы (2) без учёта, нулевого коэффициента втока Л) = 0

наибольшего из показателей Ляпунова Аг. Аз (А1 = 0) для системы (2).

Таким образом, анализ распределения старшего показателя Ляпунова позволяет сделать вывод о существовании трёх различных режимов колебаний в системе Селькова с периодическим параметром и. Внутри областей захвата старший показатель Хтпт < 0 и наблюдаются периодические колебания. соответствующие предельному циклу на фазовой плоскости (показана принципиальная возможность аналитических оценок его параметров на основе метода гармонического баланса (резидуальный метод) в представлении обобщённого уравнения Рэлся); между языками Арнольда Ат„„,г > 0 и поведение системы становится хаотическим, фазовый портрет системы — странный аттрактор: на. границах областей Хтп,г = 0 и имеют место квазипериодичс-ские колебания с фазовым портретом в виде устойчивого двумерного тора.

Рассмотрим математическое моделирование регуляции автоколебаний в I моделях, основывающихся на системе Селькова с кубической нелинейностью,

в закрытой пространственной области. В связи с указанным условием закрытости систему (1) необходимо дополнить уравнением, задающим скорость убывания нестационарного коэффициента и. Также следует отметить, что нульклины динамической системы (1) имеют один экстремум на фазовой плоскости (х.у), следствием чего является неабсолютпая устойчивость автоколебаний в зависимости от начальных условий. Данная проблема может

быть скорректирована введением в уравнения (1) дополнительных линейных членов ах — подстановка Маркина-Нидхэма-Скотта. Кроме того, в систему перед кубическими членами уравнений вводится корректирующий множитель, имеющий зависимость от параметра внешней регуляции системы Т в виде закона Арреииуса: в(Т) = Д) ехр(—к/Т).

В результате система (1) преобразуется к новой расширенной модели: d/X = и — ах — /3(Т)ху2. d,у = —шу + ах + Р(Т)ху2,

d/U = — si/. (4)

Уравнение (4) не зависит от уравнений системы (3) и аналитически разрешимо. следствием чего является возможность подстановки в (3) коэффициента, явно зависящего от времени: u(t) = Ц)ехр(— et).

Неподвижные точки системы дифференциальных уравнений (3) (при фиксированных коэффициентах и и /У) имеют вид ,г\, = i//(a 4- Чу2), у= l//w. Показано, что в нестационарном случае система (3) приводится к классу дифференциальных уравнений второго порядка относительно переменной £ = х + у — zi| отклонения от стационарного значения = хл 4- ys.

С + АС + Л"i2 + А'С1 + [au; + РП2{ 1 - t>_1ç)2]ç = 0. (5)

с коэффициентами А = [¡г/2(ш + а) - 20vwz(, + 3/3i/2]/w2, А" = (j3z(, — Зуб г/)/ги2 А' = в/го2, il = v/y/w.

Таким образом, модифицированная система Селькова в форме Меркина - Нидхэма - Скотта приведена к изоморфной исходной форме обобщённого уравнения Рэлея, что даёт возможность провести параметрический анализ системы. Равенство коэффициента А нулю в уравнении (5) определяет точки бифуркации Хопфа, которые могут быть найдены путём решения уравнения

0V + fiw2(2а - w)u2 + awl(w + a) = 0 (a > 0, ¡3 > 0), (6) имеющего относительно и два положительных корня i/12. То есть решения системы на ограниченном с двух сторон точками бифуркации Хопфа интервале параметров и € (i/b и2) представляют собой автоколебания, динамика которых па фазовой плоскости (£, £) соответствует траектории «предельный цикл», являющейся абсолютно устойчивой относительно возмущений начальных условий.

Кроме того, согласно (4), коэффициент и является нестационарным и монотонно уменьшающимся с течением времени. При пересечении меньшего

а) зи , ои =>" б)

Рис. 2. Слова: результаты моделирования системы (3—1). Справа: временная динамика формирования бегущих волн решения системы (8) при £> = О (тёмные участки соответствуют большему значению переменной у). Параметры моделирования: к = 4.73 • 10'. А, - 5.53 • 10". И. = 2. щ --. 2.23. а - 0.24. е - 0.009. £(()) = -0.3. ¿(0) = 0.1

пз значений пары неподвижная точка (6) меняет свой тип с неустойчивого фокуса на устойчивый — колебательные решения затухают. Изменение значения /3. входящего в Л. также влияет на скорость достижения нижнего значения бифуркации Хонфа. Однако более существенный вклад этот параметр вносит в изменение частоты колебаний, квадрат которой входит как коэффициент при последнем члене в обобщённое уравнение Рэлея (о):

= + (7)

Поправка является малым возмущением, влиянием которого на период слабонелипейных колебаний можно пренебречь, поэтому управление частотой колебаний определяется в основном множителем /3. То есть параметр 0 имеет две основные контролирующие функции, регулируя добротность колебательной системы и её собственную частоту.

Результаты численного моделирования системы (3) при помощи комплекса программ на языке МАТЬАВ подтверждают результаты проведённого линейного и качественного анализа. На рис. 2 а.) показаны графики поведения переменной у для различных значений коэффициента в. демонстрирующие уменьшение числа полных периодов колебаний, совершающихся до момента пересечения точки нижней бифуркации Хопфа параметром 1/(4), при уменьшении значения /3, после чего затухание решения становится монотонным, определяемым величиной коэффициента е. Таким образом, на основе предложенной методики качественного анализа показано, что включение контролирующих членов в систему уравнений Селькова в форме Меркина - Нидхэма - Скотта позволяет параметрически регулировать автоколебания.

Таблица 1. Временная зависимость возникновения ».-ой бегущей волны от коэффициента диффузии. В последней колонке представлен характеристический период колебаний в левой (нагретой) части реактора. Звёздочкой помечены временные волны

D ». = 1 п = 2 )) = 3 п = 4 » =5 п = 6 Т

0-1О-8 0.7 5.2 18.4 31.7 44.0 58.2 4.39

5 ■ 1()-"-10-г> 0.7 5.2 18.5 31.8 45 58.5 4.40

5 ■ Ю-5 0.7 5.2 18.6 32 45.6 4.41

7 • 1(Гг'-9 ■ Ю-"' 0.7 5.2 18.7 32.2 50.3 4.44

1 ■ К)"1 0.7 5.3 18.7 36.7 4.47

3 • К)-1 0.8 5.3 23.5 41.9* 4.53

5 • К)-1 0.8 5.4 28.4* 4.59

7•10-1 0.8 5.4 33.2* 1.63

ю-'' 0.8 5.4 8* 4.66

3 ■ 1()-'! 0.8 10.4* 4.71

5 ■ ПГ:! 0.8 4.74

В третьей главе представлен численный анализ модифицированной модели Селькова в форме Меркина - Нидхэма - Скотта, расширенной на пространственный случай, предложен численный метод решения диффузионно-связанных пространственно-распределённых систем, описана структура программного комплекса, реализующего данный метод.

Для расширения предложенной модели на пространственный случай в систему (3) были добавлены диффузионные члены:

д,х = uq exp(-et) - ах - Р(Т)ху2 + Dd2x,

dtV =-wy +ах + /3(Т)ху2 + Dd2y. (8)

Численное решение системы дифференциальных уравнений в частных производных искалось для граничной задачи на отрезке г = [0,1], на концах которого установлены условия пулевых потоков dr|,.={01} х = <Э,-|,.={(11} у = (). Начальные условия: х = const, у = const (в силу наличия абсолютно устойчивого предельного цикла в решении динамика системы после завершения переходного процесса не зависит от конкретного выбора). Для анализа влияния на решение пространственной неоднородности параметра Т его координатная зависимость выбрана в виде линейной функции T(r) = а - br (а = 296, Ь = 0.2), включенной в параметр /3(Т{г)) = Д, exp(-fc/T(r)).

Численное моделирование проводилось в специализированной среде программирования задач математической физики FlexPDE. При D = 0 происходит процесс формирования бегущих автоволн (рис. 26), имеющих кинематический характер в связи с отсутствием пространственной связи. Численное

Рис. 3. Структурная схема метода численного решения системы дифференциальных ура нений со связью, зависящего от соотношения характерного времени процесса. Оператор условного перехода делает выбор между алгоритмом 5кее1-Вегаия для дискретизации дифференциальных уравнений в частных производных (слева) и ггараллелнзацисп. сводимой к несвязанным обыкновенным дифференциальным уравнениям, решаемым, например, методом Рунге-Кутты (справа)

решение для значений £> > О позволило выявить следующие качественные закономерности: в связи с выравниванием частот локальных колебаний пространственной связью с увеличением параметра В время между появлениями двух последовательных волн растёт и процесс увеличения количества сформировавшихся волн прекращается через некоторое время. В табл. 1 приведены времена появления новой п-ой волны.

Процесс образования новых волн при малых значениях параметра [О е [0.1(Г0]) позволяет утверждать, что влиянием пространственной связи на структурообразование можно пренебречь при временах расчёта, меньших времени установления устойчивого режима автоволновых колебаний I, которое может быть оценено формулой I « ¿0/\ЛШ. где 1{) - ширина области, а <5 -логарифмический инкремент, определяемый через параметры системы. Дап-

Подсистема визуализации и анализа решения

1

Молено емп вычислении

Модуль решателя связанных ОДУ Модуль параллельной работы решателя совокупности несвязанных ОДУ

Подсистема обработки параметров исследуемой модели

Задание входных матриц чалами (параметры, начальные условия) Модуль выбора алгоритма решения

* Задание характеристик области решении | Заданно параметра пространственной связи

Задание времени решения Определение характеристического времени

Рис. 4. Структура программного комплекса ный факт является основой предлагаемого нового численного метода.

При стандартном численном решении системы дифференциальных уравнений в частных производных (8) методом прямых параметр И играет роль коэффициента, связи сопряжённых обыкновенных дифференциальных уравнений (см. рис. 3 слева). На каждом шаге по времени необходимо использовать (и хранить в памяти) как всю координатно-зависимуто матрицу связей между узлами К для всей пространственной системы, так и «матрицу масс» М. Более того, при малых £> матрица К является плохо обусловленной, что отрицательно сказывается на эффективности программы. Выявленное отсутствие существенной зависимости решения от коэффициента связи на временах, меньших I, позволяет предложить более эффективный численный метод, основанный на независимом (параллельном) решении дифференциальных уравнений (3). локально заданных в каждой пространственной точке (схема 3 справа). Таким образом достигаются следующие вычислительные преимущества: в памяти хранится только вектор, а не матрица, текущего временного решения в заданной точке, гпаг по времени для которого определяется локально в силу существенно различной величины температурно-зависимых коэффициентов в различных точках пространства, что повышает адаптивность и, соответственно, снижает общую погрешность решения; независимость уравнений позволяет принципиальную реализацию их решений в системе многопроцессорных параллельных или распределённых вычислений. Финальным этапом является сборка выходной матрицы пространственно-временной динамики решения из индивидуальных векторов временных решений.

Таблица 2. Сравнение вычислительной эффективности решения пространственно-распределённой системы предложенным алгоритмом ч стандартным методом (Skeel-Bcrzins) решения системы дифференциальных уравнений в частных производных (вну треннее время задач" t=150) по критерию отношения объёма (в %) пиковой оперативной памяти, используемой программами, реализующими классический и предложенный алгоритмы; относительная погрешность стандартного метода по квадратичной норме в предельном случае D = 0 алгоритма (процессор Intel Core ¡3 МЗЗО. тактовая частота 2.13 ГГц. ОЗУ 3 Гб)

Количество узлов распределённой системы N 10 50 100 500 1000

Отношении объёмов оперативной памяти в % 1844 24 4853 10551 21128

Относительная погрешность метода Skeel-Berzius 0.0307 (1.031(1 0.0324 0.0328 (1.037:1

Таким образом, предложенный численный метод решения диффузионно-связанных пространственно-распределённых систем, включающий в себя обработку начальных параметров моделируемой системы п выбор между двумя описанными алгоритмами в зависимости от характеристического времени моделируемого процесса, позволяет избежать использования плохо обусловленных матриц связи и допускает параллелнзацию вычислений.

Описание реализующего данный метод программного комплекса (рис. 4), получившего свидетельство о государственной регистрации как библиотека программ на языке МАТЬАВ, дано в приложении к диссертации. Сравнение вычислительной эффективности программ, реализующих соответствующие алгоритмы, приведено в табл. 2. из которой видно, что программная реализация предложенного метода позволяет сократить объем требуемой оперативной памяти ЭВМ и повысить точность расчётов в случае слабосвязанных осцилляторов.

В четвёртой главе рассмотрено практическое применение предложенных моделей и результатов пх анализа к экспериментальным исследованиям глпколитической реакции в химическом реакторе.

Модель Селькова (1) описывает фосфофруктокипазпую фазу гликолиза (.г _ субстрат, у — продукт реакции, у — вток субстрата. «> — отток продукта). При этом член ху2 играет роль автокаталитического члена.

Результаты численного исследования влияния периодического изменения в системе (2). представленные на рис. 1а), качественно согласуются с экспериментально детектированными кривыми (рис. 5в), полученными при периодическом втоке субстрата в химический реактор в работе А. Буато и со-авт.. что подтверждает адекватность выбранной математической модели для интерпретации данного натурного эксперимента. Проведённый численный

анализ синхронизации решений модели (2) позволяет определит), (рис. 16) границы областей захвата гликолитических автоколебаний (языков Арнольда), а также доказать хаотический характер гликолитических колебаний между этими областями. Кроме того, проведенное исследование позволяет предположить существование экспериментально не обнаруженного режима колебаний в форме устойчивого двумерного тора.

Добавление члена Меркнна-Нидхэма-Скотта и уравнения (4) соответствует условиям закрытого химического реактора, анализ динамики автоколебаний и автоволн (рис. 2) в котором является актуальной научно-практической задачей, требующей математического моделирования. Выявленные при аналитическом и численном исследовании модели (3), предложенной в главе 2. закономерности могут быть использованы в практическом приложении математической модели для интерпретации и определения параметров биохимического эксперимента.

В модели (3) параметр Т представляет собой температуру среды, в которой происходит процесс, а уравнение (4) описывает расход субстрата в закрытом глпколитическом реакторе. Результаты численного исследования (рис. 2а). согласуются с экспериментальными данными, приведёнными в работе К. Варнке, и позволяют объяснить формирование автоколебательного режима и затухание колебаний (рис. 56) последовательным пересечением параметрами системы точек бифуркации.

Численное решение предложенной математической модели обнаруживает зависимость от параметра Т продолжительности фаз роста и убывания функции па единичном периоде колебаний (рис. ба), являющуюся одной из нетривиальных особенностей динамики гликолитнческой реакции в закрытом реакторе. Графики продолжительности фаз и £2 обладают качественно схожей с экспериментальныN111 результатами формой и пересекаются друг с другом на том же температурном интервале, что и в эксперименте (см. рис. ба-б).

Расширение предложенной модели на пространственный случай (8) доказывает кинематический характер бегущих гликолитических волн, наблюдаемых в натурном эксперименте (рис. 6в). В связи с отсутствием пространственных производных в системе (8) наблюдаемые бегущие волны имеют кинематический характер: возникает смещение фаз колебаний, наблюдаемое в виде бегущих автоволн (рис. 26). Непрерывное распределение частоты прп-

л 1> у ,

* & 0 к

^ |i I

Ш

2) 1 ■

\ fill! 4- ,.; \ ц

Ш

.'""Л ;

3) 4)

• л > f,

уУ/Ш

j^flHpuSlL-

160

160

80

240 % 480 ° t (мин) 3)

Т=11.3°С

120 t (МИН)

240

Рис 5 А) результаты эксперимента А. Буато и др.: свечение нпкотинамидадениндипук-леотнда (верхние графики) в экстракте дрожжей, возникающее при периодическом втоке глюкозы (нижние графики) со следующими параметрами: 1)7" = 600 с. Г„ - 420 г: 2) 7" 160 с: То = 400 г: 3) V = 280 «;. Г0 = 320 « 4) V = 1200 п. Т0 = 330 с б) динамика гликолитччсских автоколебаний при различных значениях температуры в эксперименте К. Варнке:

водит к постоянной разнице периодов колебании соседних осцилляторов, в результате число максимумов растёт, наблюдается последовательность волн. При приближении к правой стороне, области все бегущие волны исчезают из-за увеличения коэффициента, в до значения, при котором Л > 0, т.е. система находится в стационарном состоянии.

Численное имитационное моделирование системы (8) при ненулевых значениях коэффициентов диффузии позволило предложить новый метод оценки коэффициентов диффузии реагентов реакции в плотной среде. Равенство числа волн (п = 4), возникающих при численном моделировании и в эксперименте при определённых значениях безразмерных коэффициентов D (согласно табл. 1. D 6 (IIP4; 3 ■ 10~4)), позволяет определить интервалы реальных коэффициентов диффузии в плотной среде в пределах половины порядка. Для перевода безразмерных значений диффузии в размерные необходимо определить масштабирующие коэффициенты но времени и длине. Сравнение экспериментально наблюдаемых бегущих воли НАДН. описанных в работе Т. Майра и соавт., и результатов моделирования (рис. 56) позволяет утверждать, что реальные коэффициенты диффузии имеют порядок, не превышающий 10-тсм2/с. Таким образом, в работе предложен метод, который может

Температура (К)

10 15 20 30

Температура (°С) в)

Рис. С. А) результаты численного моделирования: продолжительности первой и второй 1.-2 фаз колебании как функция Т; б) результаты эксперимента Т. Майера и др.: температурная зависимость продолжительности первой и второй фазы колебаний; в) возникновение бегущих волн НАДН-концентрации в эксперименте Т. Майра и др. в закрытом реакторе при наличие температурного градиента

быть применён для определения коэффициентов диффузии в любой химической колебательной реакции с температурно зависимым периодом, протекающей в плотном геле. Помещая такой реактор в температурный градиент и изучая процесс рождения и эволюции бегущих волн, с помощью предложенного метода можно получить данные об интервале, котором)' принадлежит коэффициент диффузии исследуемой реакции.

Основные результаты работы

1. Предложены и исследованы математические модели регуляции динамики автоколебаний и автоволн в системах с кубической нелинейностью путём вариации аддитивных и мультипликативных параметров, позволившие на примере систем типа Селькова. как в стандартной форме, так и в модификации Меркина-Нидхэма-Скотта, выявить условия возбуждения и существования в них регулярных, модулированных, квазипериодических, хаотических автоколебаний, фазовых автоволн с различными характеристиками образуемой периодической структуры.

2. Доказана принадлежность системы Селькова в форме Меркина - Нид-хема - Скотта к классу обобщённых уравнений Рэлея методом нахождения рэлеевской формы дифференциального уравнения второго порядка, которая позволяет в явной форме выделять коэффициенты, ответственные за бифуркационные и фазовые характеристики локальных и слабосвязанных систем данного типа.

3. Предложен численный метод для проведения вычислительных экспериментов с пространственно-распределёнными системами со слабой диффузионной связью, основанный на динамическом выборе пути решения в зави-

еимости от соотношения характерного времени распространения возмущен по пространству и времени расчёта, который позволяет уменьшить разм> ность попользуемых массивов и проводить независимые (с прппцппиальп возможностью параллелизации) расчёты для пространственно разпесёпш

точек.

•1. Реализованная па основе введённого метода библиотека проград: имеющая государственную регистрации как библиотека программ для ЭЕ и учитывающая особенности резервирования оперативной памяти соврем, ным математическим программным обеспечением (MATLAB), позволила и; вести численные эксперименты, результатом которых стало практическое п; ложение в виде интерпретации натурных экспериментов по регуляции гли. лптпческой реакции вариацией температуры и втока, объяснившей эффек' изменения соотношения'крутизны фронтов автоколебаний и тип их моду, ций и выявившей кинематический характер температурпо-завпеимых ав' волн на основе предложенного метода определения коэффициентов дифс зип в плотных средах.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

[1] Postnikov, Е. В. Simple model for temperature control of glycoly oscillations / E. B. Postnikov, D. V. Verveyko, A. Yu. Verisokin U Plr Rev. E. - 2011. - Vol. 83. - P. 062901.

[2] Verisokin, A. Yu. Traveling glycolytic waves induced by a temperati gradient and determination of diifusivities for dense media ' A. Yu. Verisok D. V. Verveyko. E. B. Postnikov / / Phys. Rev. E. - 2012. - Vol. 86. P. 012901.

[3] Верпсокин, A. IO. Определение показателей Ляпунова на примере мо, ли Селькова в присутствии внешней периодической силы / А. Ю. Верп кип / / Ученые записки. Электронный научный журнал Курского госуд; ственного университета, - 2013,- Т. 2(26). http://scientific-note ru/pdf/030-003.pdf.

[4] Verveyko, D. V. Application of He's method to the modified Raylei equation / D. V. Verveyko, A. Yu. Verisokin // Discrete and Continue Dynamical Systems. - 2011. - Vol. S 2011,-Pp. 1423-1431.

Свидетельство па программу для электронных вычислительных машин

[5) Верпсокнн, Л. Ю. Библиотека МЛТЬАВ-ирограмм для математического моделирования температурного контроля гликолитичеекой реакции в закрытом химическом реакторе / А. Ю. Верпсокнн , / Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013611649 от 30. 01. 2013 Федеральной службы по интеллектуальной собственности.

Статьи и материалы конференций

[6] ВерисокиН; А. Ю. Теоретическая модель контроля гликолитичеекой реакции / А. Ю. Верисокин, Д. В. Вервейко // Сборник трудов Всероссийского молодёжного конкурса научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области физических паук.— МГТУ им. Н.Э. Баумана: 2012,— С. 312-318.

Подписано в печать 26.08.2014 Формат 60x84/16. Объем 1,6 пл. Печать офсетная. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Заказ 2694

Издательство Курского государственного университета 305000, г. Курск, ул. Радищева, 33

Отпечатано в лаборатории информационно-методического обеспечения КГ

¡Ь