автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Нелинейный анализ и математическое моделирование в динамике твёрдого тела с трением на плоскости и в теории фрикционных автоколебаний

На правах рукописи

РГВ од

ВЕТЮКОВ Михаил Михайлович 2 ^ 200]

НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ДИНАМИКЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА С ТРЕНИЕМ НА ПЛОСКОСТИ И В ТЕОРИИ ФРИКЦИОННЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ

Специальность 05.13.16 «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных

исследованиях»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2000

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном горном институте им. Г.В.Плеханова (техническом университете)

Научный консультант — д.ф.-м.н., профессор Р.Ф.НАГАЕВ.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Г.Т.АЛД01ЯИН, доктор физико-математических наук, профессор П.А.ЖИЛИН, доктор физико-математических наук А.И.ПОТАПОВ.

Ведущее предприятие: Институт проблем машиноведения РАН.

Защита диссертации состоится .» 2000 г. вЖ/у^к?.

_минут на заседании диссертационного совета Д.063.38.18. в аудитории

//уч. корпуса Санкт-Петербургского государственного технического университета по адресу: 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного технического университета.

Автореферат разослан 2000 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета ■ _ А.В.Зинковский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение сил трения и его возможных динамических проявлений имеет важное значение в различных областях фундаментальной науки — в физике, механике, теории колебаний, а также при разработке и создании новых типов машин и механизмов, в которых эти силы могут определять как количественные, так и качественные характеристики работы. Во многих случаях учет трения требует исследования сложных нелинейных дифферетхиальных или шггегро-дифференциальных уравнений, для этого необходимо проведение предварительной классификации движений и представление о возможных динамических эффектах в системе. Проблемы классификации движений и их последующего количественного анализа в системах с трением недостаточно разработаны для таких важных разделов механики, как движение тел конечных размеров на плоскости, фрикционные автоколебания и способы их снижения, динамические методы уменьшения трения и теория двумерного виброперемещения.

Развитие динамики тел конечных размеров с трением позволяет создать эффективные методики расчета в тех случаях, когда учет размеров имеет существенное значение — например, при движении системы, контактирующей с шероховатым основанием с помощью быстро вращающихся маховиков («опора вращения»). Фрикционные автоколебания, возникающие в .условиях нестабильного трения при относительно малых скоростях проскальзывания, характерны для многих устройств и машин с парами трения. Они имеют место при работе бурильных установок и в подшипниках скольжения судовых вало-проводов, а также в механизмах фрикционного сцепления и тормозных устройствах. Важную роль такие колебания играют в станкостроении, поскольку определяют принципиальные качества работы станков - равномерность медленных движений и точность перемещений. Все это определяет важность изу-чепия фрикционных автоколебаний и разработки методов их снижения. Также весьма широк спектр прикладных и технических задач, в которых могут применяться методы уменьшения трения с помощью механических колебаний достаточно высокой частоты или быстрого вращательного движения.

Изучение различных типов движений тел при их вибрационном перемещении и разработка методов расчета на их основе вибрационных устройств являются еще одной важной проблемой динамики систем с трением. Здесь хорошо исследованы режимы одномерного виброперемещения, однако соответ-

сгвующие задачи на плоскости изучены явно недостаточно, что объясняется сложным характером нелинейности сил сухого трения в этом случае. Исследование двумерного виброперемещения является актуальным в вибротехнике в связи с разработкой самоходных вибрационных машин с криволинейной траекторией движения.

Исследование названных задач с помощью непосредственного численного решения затрудняется либо высокой размерностью и большим числом задаваемых параметров, либо значительно различающимися типами возможных движений и скоростями динамических процессов. Для таких систем наиболее эффективным инструментом исследования являются асимптотические методы разделения движений, базирующиеся на методе осреднения. Эти методы позволяют понизить порядок исследуемой системы, и полученные более простые уравнения затем можно проанализировать качественно или численно.

Цель работы:

- проведение классификации движений твёрдого тела на плоскости с трением, асимптотическое сведение интегро-дифференциальных уравнений динамики к обыкновенным уравнениям и изучение свойств движений на их основе;

- исследование устойчивости упруго закреплённого плоского тела в случае некулонова трения с учётом формы тела и расположения упругих связей;

- анализ недостаточно изученных типов фрикционных автоколебаний в системах с одной и двумя степенями свободы, определение областей их существования и устойчивости, а также способов устранения или снижения автоколебаний;

- изучение методов уменьшения трения с помощью быстрого вращения телг при плоском движений и колебаний основания достаточно высокой интенсивности;

- разработка методики исследования двумерного виброперемещения пр! действии периодических внешних сил с медленно меняющимся направле нием.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты, яв ляющиеся предметом защиты.

- Выведены дифференциальные уравнения плоского движения тела с сухш трением для медленного и быстрого вращений. Показано, что при медлен ном вращении тормозящий момент обратно пропорционален поступатель ной скорости тела. В случае быстрого вращения найдены _в тзбщем вид

обобщённые силы, соответствующие поступательным координатам, они имеют характер малого вязкого сопротивления, обратного по величине угловой скорости.

Предложена и исследована нова;! простая модель динамики систем с третям — фрикционный маятник, в которой силы -фения одновременно могут быть восстанавливающими и диссипативиыми.

Получены в общем виде условия устойчивости равновесия тела с упругими связями на плоскости со спадающей характеристикой трения. Проанализировано влияние формы тела и характера упругого закрепления на возникновение неустойчивости.

Исследованы автоколебания квазигармонического и релаксационного типов в одномассовой системе с кубической и кусочно-линейной зависимостями силы трения от скорости.

В системе с характеристикой трения, зависящей от длительности неподвижного контакта, найдены периодические движения с зонами застоя и несколькими персменами-^1!гагк*а'*^к'орости в течение периода. Определены также хаотические, колебания со случайной сменой длительности интервалов застоя.

Предложена двухмассовая модель, в которой тела связаны силами некуло-пова трения, и в ней установлен эффект гашения автоколебаний. Для нерезонансного случая определены-области притяжения соответствующих стационарных режимов. При основном резонансе исследовано влияние малой диссипации в упругих элементах на характер стационарных колебаний. Изучены двумерные автоколебания в системе с кубической характеристикой трения и построены области существования и устойчивости различных режимов. Для колебаний в случае преобразовашюго трения показано, что стационарные режимы могут существовать при скоростях протяжки, превышающих некоторое критическое значение.

Рассмотрен ряд новых прикладных задач динамики систем с трением — о торможении вращающегося вала с учётом фрикционных колебаний тормозной колодки при кубической характеристике трения, о движении опоры вращения, значительно уменьшающей трение в поступательном движении за счёт бысфого вращения встроенных маховиков, исследовано влияние высокочастотных колебаний основания на эффективную силу трения при разных направлениях вибраций и изучено двумерное виброперемещение при медленно поворачивающейся периодической силе.

Практическая ценность работы. Результаты диссертации могут быть использованы:

- в качестве новых методик расчёта динамики и устойчивости машин и механизмов с парами сухого трения;

- для разработай способов устранения фрикционных автоколебаний в одно-и двухмассовых системах;

- при применении динамических методов уменьшения трения с помощыс быстрого вращения или быстрых колебаний основания;

- при расчёте и проектировании самоходных вибрационных машин, в tov числе самоходных виброуплотнителей с криволинейной траекторией движения.

Основные результаты, полученные в работе, проверяются с помощью численного решения соответствующих дифференциальных уравнений. При этол численный подход используется па этапе, когда задача уже достаточно исследо вана другими методами и имеется определённая информация о типах движенш и соответствующих им областях изменения параметров. Интегрируются относи тельно несложные уравнения не выше четвёртого порядка, для чего вполне дос таточно использовать стандартный алгоритм метода Рунге-Купы четвёртого по рядка точности.

Достоверность результатов работы обеспечивается применением из вестных, экспериментально апробированных законов и моделей трения, ис пользованием строгих методов математики и механики при составлении и ана лизе уравнений движения, а также проверкой основных результатов • помощью численного решения соответствующих уравнений динамики.

Апробация работы. Основные положения и научные результаты докла дывались и обсуждались:

- на Всесоюзной конференции по устойчивости движения, колебаниям меха нических систем и аэродинамике (Москва, 1978 г.);

- на XII и XV Всесоюзных школах механиков «Анализ и синтез нелинейны механических колебательных систем» (Даугавпилс, 1982,1985 г.г.);

- на научно-технической конференции Госкомитета РФ по высшему образе ваиию «Вибрационные машины и технологии» (Курск, 1993 г.);

- на XXIII и XXIV Всероссийских школах механиков «Анализ и синтез ш линейных механических колебательных систем» (С.-Петербург, 1995, 199 г.г.);

- на IV и V Международной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 1996, 1999 г.г.);

- на секции механики С.-Петербургского Дома ученых РАН ( 2000 г.);

i также на семинарах кафедры теоретической механики С.-Петербзфгского "ос. горного института (1987, 1995, 1999 г.г.) и С.-Петербургского гос. техни-(сского университета (1995 г.), кафедры «Механика и процессы управления» Г.-Петербургского гос. технического университета (1999 г.) и на семинаре Института проблем машиноведения РАН (С.-Петербург, 1995 г.).

Автор был руководителем кандидатской диссертации аспиранта VI. 10. Платовских по фрикционным автоколебаниям и виброперемещеншо защищена в 1995 г.)

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в монографии [1 ] и в печатных работах [2-21], список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 г лав, ¡аклточения и библиографического списка из 131 наименования. Содержание пложено на 233 страницах текста и включает 39 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описывается состояние вопроса, обосновывается актуаль-юсть темы, дается общая характеристика работы и кратко излагается ее со-1ержпние.

В динамику механических систем с трением значительный вклад внесли российские и иностранные ученые — Г.Т. Алдошин, В.В. Андронов, Л.И. Блехман, В.Л. Вейц, П.А. Жилин, В.Ф. Журавлев, A.IO. Ишлинский, Л.В. Крагельский, Д.М. Климов, В.А. Кудинов, Ле Cyan Ань, А.И. Лурье, Э.Ф. Нагаев, A.A. Первозванский, А.И. Потапов, II Пэнлеве, В.А. Самсонов, 1>.Л. Черноусько, Akay A., Bengisu М., Canudas de Wit С., Pfeiffer F., Wosle M. i многие другие. Их усилиями заложены основы современной динамики меха-шческих систем с трением, теории фрикционных автоколебаний и вибраци-энного перемещения.

В настоящей работе с помощью методов нелинейной механики дастся дальнейшее развитие динамики и устойчивости тела конечных размеров па 1лоскости с трением. Предложены и исследуются новые модели и задачи ) движении по шероховатой плоскости, об автоколебаниях в одно- и двухмас-

совых системах и о двумерном виброперемещении. В качестве математическс го аппарата при анализе уравнений движения широко применяются асимнтс тические методы в форме метода осреднения как для систем с одной и двум быстрыми фазами, так и в более общем случае. Эти методы, развитые в и вестных работах H.H.. Боголюбова и Ю.А. Митропольского, В.М. Вол ос о l и Б.И. Моргунова, H.H. Моисеева и др., оказываются весьма эффективным при исследовании динамики быстро вращающегося тела с трением на плосю сги, фрикционных колебаний в системах с одной и несколькими степеням свободы, для изучения влияния быстрых вибраций на системы с трснися В других случаях используются и иные подходы: метод малого параметр и метод точечных отображений, а также методы фазовой плоскости и качес венного исследования дифференциальных уравнений.

В первой главе исследуется общая задача о скольжении плоского тела г горизонтальной шероховатой поверхности. Трение при этом считается одт родным и изотропным и описывается законом Кулона с постоянным коэфф] циентом /. Такие допущения принимаются в известных общих работах (в ч стности, в монографии А.И. Лурье «Аналитическая механика» - М., Наук Í 961, в разделе о диссинатавной функции, а также в статье А.Ю. Ишлинског Б.Н. Соколова и Ф.Л. Черноусько «О движении плоских тел при наличии тр ния» - МТТ, 1981, № 4), однако даже при этих упрощающих предположени) задача сводится к системе интегро-дифференциальных уравнений, анализир вать которую в общем случае затруднительно. Здесь предлагается другой по, ход, когда выделяются классы движений тела с медленным и быстрым враш нием, при этом диссипативная функция и уравнения движения могут бы записаны с помощью асимптотических разложений по степеням отношен вращательной и поступательной скоростей. В случае движения с медленнь вращением, когда характерные вращательные скорости точек тела существе но меньше поступательных, уравнения движения записываются с точностс до квадратичных слагаемых относительно величин <р'¡Q 1, где <

и Q- ^¡q'2 + р'2 — безразмерные угловая и поступательная скорости

q'" = -^-jl - ^jj- + [y, (í/'cosí» + p' sin <pf + j2 (q'sin<p-p'cosipf ]-

~-^—^-{j\{q'cos<p+ p'sin<p)cos(p + J2(q'sm (p - p'cos^)sin<p][,

q'Q~ J

р" = - ^ -+ \>М + Р + ]2{(/ 5111 ср- р' а«^)2]-

- ^(¿/сОарЧ- //5и1<>?)5т<;.7- /.-,(;/ хт ср - Р С05<-?)С05^И, (1)

' )

Здесь (], р — поступательные координата центра масс, д2 — безразмерные моменты инерции площади относительно главных центральных осей, причем для однородного тела у, + /2 --- ], штрих означает производную по безразмерному времени г = (;£>/"//)05, гДе ' — радиус инерции тела относительно центра масс. Рассмотрены две задачи - затухание вращательного движения при прямолинейном движении центра масс с постоянной скоростью, а также замедленное движение по инерции с одновременным вращишем. В первом случае получается диссипативная система, в которой угловая скорость уменьшался обратно пропорционально скорости V центра масс. Этот парадоксальный результат можно объяснить эффектом преобразованного трения (В.В. Андропов, «Механические системы с преобразованным сухим трением» - МТТ, 1988, № 1), когда сухое трение переходит в вязкое сопротивление с коэффициентом, эбратно пропорциональным скорости шероховатой ленты. Во второй задаче исследуется случай динамически симметричного тела, когда у, = у2 =0.5 иначе движение центра масс не будет прямолинейным). Уравнения (1) тогда Зудут

= -1 + — 4

-\2

со \ .со /

- , = - — , {со=ср') (2)

V / 2у

Эта система допускает точное интегрирование в элементарных функци-IX. В результате можно найти время движения до остановки и пройденный те-юм путь

г.

,

Я. + (3)

2 4

v со()

Вторые слагаемые в (3) определяют увеличение этих значений за счет фащательного движения. Шнрешность равенств (3) оценивается с помощью шеленного решения точных уравнений движения для круглого диска; в них гравые части, в отличие от (1), содержат эллиптические интегралы от модуля

к ~ со/\. Оказывается, что погрешность (3) вполне удовлетворительная (не превышает 1.5% даже при отношении начальных значений л)/\ ~ 0.4).

Для быстрого вращения, когда вращательные скорости точек тела, не лежащих вблизи центра масс, значительно превышают поступательную скорость, диссипативная функция разлагается в ряд, содержаищй отрицательные степени угловой скорости <р' -со, причем можно считать 1, т.е. что <р в уравнениях движения — быстрая фаза. Осредняя эти уравнения по (р, в первом приближении для поступательных координат получаем простые уравнения

„ /яг , ■ а' я 1л , . р' ...

дТ^ТГ' (4)

о (о л со

где £ — площадь тела,

о

среднее значение радиуса на контуре, отсчитываемого от центра масс тела, ко торое полагается здесь выпуклым и односвязным. Уравнения (4) показывают что при быстром вращении силы сухого трения в поступательном движенш переходят в малое вязкое сопротивление с коэффициентом, обратно пропор циональным большой угловой скорости. Этот результат может иметь различ ные практические приложения, об одном из них сказано далее (в гл. 5). В слу чае круглых тел подобный вывод обоснован в работах по гироскопии и теори! волчка; в частности, в статье П. Контенсу «Связь между трением скольжения ; трением верчения и ее учет в теории волчка» (Проблемы гироскопии - М «Мир», 1967, с.60-72) он сделан с учетом локально — сферического контакт острия волчка с шероховатой плоскостью, когда закон кулонова трения пр] меняется к каждому элементу поверхности контакта. Для уравнений (4) такж несложно показать, что аналогичный вид они будут иметь и для тел прои: вольной формы, лишь геометрический коэффициент (г) тогда записываете сложнее.

Для тела в форме круга в случае быстрого вращения решена зада1: о движении по инерции с учетом квадратичных слагаемых относительно вел! чин и - \'/со в уравнениях динамики, при этом время движения и пройденны путь равны

г. = ~ (1 + Ъи1), Л'. = | У0й>0(14 2.1иа2) (5)

В линейном приближении (если положить и0 = 0 ) они пропорциональны большой начальной угловой скорости, при этом отношение размерного пути X до остановки к соответствующему пути при поступательном движении будет

\ 7 У о

Значения (5) также сравнивались с результатами решения точных уравнений движения. Погрешность оказывается небольшой (в пределах 1-2 %) при м„ <0.1. Аналогичная задача рассмотрена для прямоугольной пластины. Вид зависимостей (5) в линейном приближении тогда сохраняется, но численные коэффициенты в них будут зависеть от отношения сторон. Сохранился также и качественный вывод о существенном увеличении пройденного пути за счет начального вращения пластины.

Далее в работе предлагается и исследуется новая простая модель динамики системы с трением — фрикционный маятник'[1,18], то есть тело с неподвижной точкой, контактирующее с поступательно движущейся шероховатой плоскостью (рис. 1а). В ней сила трения при постоянной скорости V плоскости одновременно играет роль восстанавливающей и диссипативной силы. Уравнение движения маятника допускает тогда два обычных положения равновесия <р = 0 и ф = я, причем первое из них устойчивый узел, если безразмерная скорость плоскости у = у/(я//)05 <0.5(1/АО)05 (/ — радиус инерции относительно центра А, О — центр масс тела), либо, в другом случае, устойчивый фокус. Второе положение равновесия при всех значениях параметров — седло. В случае точечного маятника, когда вся масса сосредоточена

в точке О, уравнение динамики имеет вид

9» = —^—. (7)

Это уравнение имеет те же особые точки, но его несложно решить численно. Соответствующие фазовые траектории показаны на рис 1 Ь для V = 5, когда начало координат — устойчивый фокус. Далее для маятника произвольной формы таюке рассмотрены случаи медленного и быстрого вращений. В первом из них, когда <р' получается уравнение обычного физического маятника с добавлением диссипативного слагаемого, пропорционального '/у (аналогично рассмотренной в начале задаче диссипация обратна поступа-

Рис.1. Модель фрикционного маятника (а) и фазовая плоскость для точечного маятника (Ь)

тельной скорости), при этом частота малых колебаний фрикционного маятника относится к частоте такого же тела в поле тяжести, как л// . Для быстрогс вращения (<р'» у) угловая скорость из-за фения, естественно, убывает, одна ко движение плоскости, соприкасающейся с телом, несколько уменьшает момент сил трения (на величину порядка v2/<р'2 ).

Исследуется также случай одномерных гармонических колебаний плос кости, контактирующей с маятником. Для точечного маятника при быстры; вибрациях плоскости уравнение (7) приводится к системе в стандартной фор ме. Применяя к последней метод осреднения, можно проанализировать пове дение фазовых траекторий на плоскости ((р,а> — <р'). В частности, при малы:

значениях со для осредненнои системы получено уравнение

dco \ г 4v* —— = ——cos (рIn—;— dtp \'Й/Т a) cos <p

(s;

Из него следует, что все точки оси <р, за исключением значений <р. -тг/2 + птс (и = 0,1,...), являются устойчивыми, причем фазовые траектории приходят к этой оси вертикально (рис.2). Последнее означает, что при бы-

■0.2

Рис.2. Фазовые траектории фрикционного маятника на быстро колеблющейся плоскости

прых вибрациях плоскости, в сггличие от известной задачи о маятнике на вибрирующем основании, в системе возможен континуум устойчивых положений <квазиравновесия», когда, в первом приближении, угол отклонения маятника л ожег быть любым, за исключением, возможно, малой окрестности значений ■р,. В случае относительно низкой частоты колебаний плоскости, сравнимой ; собственной частотой маятника, применить аналитические методы становит-:я затруднительно, и соответствующая задача решается численно. При этом жазывается, что в системе могут возникать нерегулярные ротационные дви-ксния, похожие на хаотические.

Во второй главе диссертации изучаются условия устойчивости равнове-;ия упруго закрепленного плоского тела на шероховатой поступательно дви-кущейся ленте, когда трение зависит от относительной скорости точек тела. Тредполагается, что производная функции трения по скорости может быть от-•ицательна. Последнее является условием неустойчивости равновесия в сис-еме с одной степенью свободы, и в нем, чаще всего, видят механизм возник-говения фрикционных автоколебаний. Однако для систем с несколькими тепенями свободы это не всегда имеет место. В работе получена матрица дне-ипативных сил в возмущенном движении для тела конечных размеров и со-тавлено характеристическое уравнение для исследования устойчивости рав-ювесия. Проанализированы условия устойчивости точки с двумя степенями

свободы на плоскости с трением и получено уравнение границ областей устойчивости

1

к{\-к)/2

сое2 а и2

1

:в2 а)

=0.

(9)

1%2а-к цГ-Уир

Здесь к — -V /'// — параметр, определяющий зависимость силы трения от скорости (предполагается, что л">0, в противном случае положение равновесия устойчиво), / и /' — функция трения и ее производная при значении скорости, равном скорости ленты V, и — безразмерная величина этой скорости, V = V,!у2 — отношение частот колебаний вдоль главных осей жест кости, а — угол между скоростью ленты и одной из осей. Соответствующие области устойчивости выделены на рис.3 темным цветом, граничные значения а1 = ап^(л;)а5, аг = л - а,. В областях устойчивости должны также выполняться условия

0<аг<1, у + -ж\ — v \и

(10)

т.е. производная /' должна быть достаточно мала по модулю, соответственнс при этом а, < а2. С уменьшением параметра к интервал, в котором сущест-

К

4

2

Рис.3. Области устойчивости точки на плоскости с немлоновым трением

вуют области устойчивости, увеличивается, а границы их сближаются. Если скорость ленты по направлению близка к одной из осей жесткости, положение равновесия неустойчиво при любом выборе жесткостей. Напротив, при а) <а <а2 можно получить устойчивое равновесие их подходящим выбором. Эги выводы об устойчивости сделаны в геометрически линейной постановке. Учет геометрической нелинейности при вычислении упругих сил приводит к изменению матрицы жесткости и повороту главных осей, соответственно смещаются и области устойчивости. В работе дается оценка этого смещения.

При конечных размерах тела в геометрически линейной постановке исследуется случай, когда матрица жесткости упругого закрепления диагональ-на. Последнее выполняется, если система упругих элементов симметрична относительно центра масс. К рассмотренным выше условиям устойчивости добавляется еще одно, связанное с формой тела; оно нарушается для тел продолговатой формы, если большая сторона составляет со скоростью шероховатой ленты угол, близкий к лг/2.

Изучается также возможность стабилизации неустойчивого равновесия с помощью дополнительных упругих связей. На примере прямоугольного ползуна, находящегося в неустойчивом равновесии, показано, что подключение дополнительного упругого элемента, приводящее матрицу жесткости к недиагональному виду, может привести к переходу системы в устойчивое равновесие, и оценены параметры этого элемента. Предложенный способ не противоречит известным теоремам о неустойчивости положения равновесия, поскольку при введении добавочного упругого элемента здесь также изменяется и матрица диссипативных сил. Это позволяет устранить нежелательные фрикционные автоколебания ползуна.

Значительная часть диссертации посвящена исследованию фрикционных автоколебаний в одномассовых моделях и в более сложных системах. Такие колебания могут быть важным источником вредных вибраций в различных механизмах и машинах. Осознание природы фрикционных автоколебаний и условий их возникновения началось в 1930-е годы параллельно с развитием общей теории нелинейных колебаний в работах Л.И. Мандельштама, Н.Д. Па-палекси, A.A. Андронова, Н.М. Крылова и H.H. Боголюбова, Б. Ван-дер-Поля и др. В дальнейшем исследования автоколебаний, обусловленных трением, развивались по нескольким направлениям. Одно из них связано с различными физическими концепциями и моделями трения, применяемыми при разных ус-товнях и скоростях проскальзывания, другое охватывает многочисленные

прикладные исследования автоколебаний в различных областях техники. Третье направление объединяет теоретические исследования фрикционных колебаний методами нелинейной механики при выбранных аппроксимациях трения; к нему можно отнести и г лавы 3 и 4 данной работы. В третьей главе рассматриваются автоколебания в простейшей одномассовой системе с одной степенью свободы. Сначала изучается модель с широко распространенной в прикладных исследованиях кубической характеристикой трения, при этом в отличие от большинства известных работ ( A.A. Алифов, К.В. Фролов, М.З. Коловский, Я.Г. Пановко и др.) рассматриваются наряду с друг ими релаксационные режимы, т.е. колебания с зонами застоя, и малой принимается не сила трения, а лишь ее изменение на этапах проскальзывания груза. Уравнения движения и условия застоя здесь

где £ и у — безразмерные относительная координата груза и максимальное трение покоя, cr = V/V, — безразмерная скорость протяжки груза (V, V, — размерная скорость протяжки и ее величина в минимуме характеристики гре ния), £ — малый положительный параметр, характеризующий изменение си лы трения нри движении. Задача (11) исследовалась методом малого парамет ра, а также численно. Показано, что на большей части спадающего участга характеристики (0 < <т < -JÖ.8) могут возникать различные стационарные ре жимы - релаксационные, колебания с мгновенным изменением знака скоросп и колебания смешанного типа. Для релаксационных режимов получено про стое условие существования (рясА)

Выше «колоколообразных» областей реализуются простые релаксаци ошше режимы с одной длительной остановкой на периоде, между сплошным и пунктирными границами — области колебаний смешанного типа с одно мгновенной и одной длительной остановкой, ниже пунктирных — устойчивы колебания лишь с мгновенными остановками. Амплитуды колебаний всех та пов возрастают с увеличением скорости ст вплоть до значения <т = л/0.8, гд достигают величины, также равной А^ = л/0.8«0.894. На учаегк <т < 1 возникают квазигармонические безостановочные режимы с а\

? + 4 = -у sign(£' + ст) + Ъе{§' + а)- 4г + + сг *0; (11) ¡£| <у, £' + <7 = 0.

0.4 0.3? 0.5 0 25 0.2 0.15 0.1 005

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис.4. Области существования автоколебаний различных типов

илитудами а. = 2(1 - ст2)° 5, убывающими до нуля при сг — 1. Размерная амплитуда колебаний обратна собственной частоте системы. На возрастающем участке характеристики а > 1, стационарных автоколебаний здесь не обнаруживается.

В случае кусочно-линейной зависимости силы трения с помощью точного интегрирования исследуются квазигармонические колебания без остановок, при этом безразмерные наклоны характеристики трения кх,к2 не обязательно считаются малыми. Основное внимание уделяется количественным параметрам колебаний. Как и для кубической характеристики, стационарные режимы возникают лишь на падающем участке, но наклон возрастающего участка должен превышать наклон падающего, кх > к2. Найдены области существования и устойчивости колебаний, на рис.5 они располагаются левее границ в области 1, т.е. колебания без остановок также существуют вблизи значения сг = 1, но, в отличие от задачи с кубической характеристикой, границы областей существования не являются фиксированными и зависят от наклонов /г, ,лг2. Амплитуды безостановочных колебаний могут существенно возрастать с ростом наклона падающего участка и, как и для кубической характеристики, уменьшаются до нуля при сг —> 1 слева. При сг > 1 такие колебания невозможны, но, в отличие от кубической характеристики, могут существовать релакса-

г— ) 1

\ VI

01

у /

/ 1] \ > ъ. 1

/ > У \ Ч 1 Ч\

— - . ! .

- к, 3 1

Рис.5. Области существования и устойчивости фрикционных автоколебаний с кусочно-линейной характеристикой трения

ционные режимы — в областях ниже пунктирных кривых на рис.5. Эти результаты сравниваются с данными, полученными методом осреднения, они достаточно хорошо совпадают при малых наклонах характеристики трения.

Рассмотрены также автоколебания в системе с характеристикой трения наследственного типа, когда сила трения возрастает в зависимости от длительности застоя (гипотеза трения А.Ю. Ишлинского - И.В. Крагельского). С использованием точного решения уравнений динамики найдена нелинейная функция последования вида

И*™ )=?(**). (13)

связывающая длительность двух последующих интервалов застоя. Ее анализ позволяет найти периодические режимы с различным числом интервалов проскальзывания на периоде и построить границы их областей существования и устойчивости (так называемые С и N границы). При определенных условиях, налагаемых на функцию трения, возможно возникновение хаотических режимов, когда длительности интервалов застоя чередуются нерегулярным образом и плотно заполняют некоторый интервал (движения тана странного аттрактора). Показано, что границами областей, соответствующих хаотическим коле-

баниям, буд>т непосредственно субпериодические границы областей

устойчивости, для которых характеристическое число Л = ср где г* — неподвижная точка уравнения (13), а номер ] указывает число этапов проскальзывания между этапами застоя. Выделена также область на плоскости параметров, в которой одновременно могут существовать периодические и хаотические колебания.

В п.3.4 третьей главы изучаются движения фрикционного маятника, рассмотренного в первой главе, но при кубической зависимости трения от скорости. Поскольку в системе имеется устойчивое положение равновесия, в том числе и для скорости основания, взятой на спадающем участке характеристики, то стационарные движения здесь могут появится лишь в результате жёсткого возбуждения. Попытка применить для их определения, как в предыдущих случаях, метод осреднения, наталкивается на определённые трудности, поэтому уравнение маятника решается численно. Такие решения обнаруживают возможность в системе стационарных движений, но не колебательного, а ротационного типа.

В четвертой главе диссертации изучаются фрикционные автоколебания в системе с относительным скольжением тел и автоколебания на плоскости в двух измерениях. В обоих случаях для силы трения принимается кубический закон и предполагается, что эта сила в уравнениях динамики относительно мала (пропорциональна малому параметру). Двухмассовая модель с относительным скольжением тел при автоколебаниях (рис.6) была предложена автором в

ь

Рис.7. Области притяжения стационарных режимов

работах [9,11 ]• С применением метода осреднения в ней исследуются нерезонансные колебания, а также случай основного резонанса. В том и другом случаях наблюдается эффект гашения автоколебаний, при котором одно из тел (любое) совершает немалые стационарные колебания, а другое, в первом приближении, покоится. Других устойчивых стационарных движений при этом нет. Существенным здесь оказывается вопрос об областях притяжения таких режимов, который в работах по автоколебаниям в системах с несколькими телами ранее практически не исследовался. При некоторых предположениях в работе, в п. 4.1, строятся области притяжения названных режимов для нерезонансного случая. На рис. 7 такие области разделены сепаратрисой 1 (а и Ь — безразмерные амплитуды колебаний верхней и нижней массы), для которой получена приближенная формула

¿ = 305Í■'-Vя^ У = ^ (14)

т2

Названным стационарным режимам отвечают устойчивые особые точки (а,, 0) и (0, а,) при л/0.8 < сг < 1 или (а*, 0), (0,<я*) — при 0<о-<л/08, где

а* — амплитуда исследованных ранее в одномассовой системе квазигармонических колебаний с мгновенными остановками. Точка М0 на рис.7 соответствует движению системы из состояния покоя. Таким образом в обоих случаях

система переходит в стационарный режим колебаний верхней массы. Однако при других начальных условиях возможна обратная ситуация.

Для случая основного резонанса при малой расстройке особые точки в осредненных уравнениях, соответствующие стационарным колебаниям той или другой массы, становятся центрами. При учете малой диссипации в упругих элементах системы оказывается, что, в зависимости от величины диссипации, устойчивым будет либо один, либо другой режим. Так, если

а,>------аг, (15)

1 + к

где а,2 — приведенные коэффициенты вязкости в верхнем и нижнем упругих элементах, к = (т1 -т2)/(т1 + т2) —■ параметр, характеризующий разность масс, система переходит в режим колебаний нижнего тела, а при обратном знаке неравенства - устойчивы колебания верхнего. Соответствующий анализ показывает, что уменьшение частотной расстройки при основном резонансе может привести к смене стационарных режимов колебаний из-за влияния малой диссипации в системе.

В случае автоколебаний на плоскости в двух измерениях (п. 4.2) предполагается, как и в главе 2, что плоскость перемещается с постоянной скоростью, составляющей некоторый угол а с осями жесткости системы, и с помощью метода осреднения определяются стационарные колебания. Здесь, как и в предыдущей системе в нерезонансном случае, возможны три стационарных решения, двум из них отвечают одномерные колебания точки вдоль одной из осей жесткости, а третьей — двумерные колебания по обеим осям. Причем, в отличие от предыдущей задачи, такие совместные колебания могут быть устойчивыми. Построены области существования и устойчивости стационарных режимов, из которых следует, что одномерные колебания возникают, если вектор скорости плоскости близок по направлению к соответствующей оси жесткости, причем угол между ними может быть тем больше, чем меньше трение покоя. Такие колебания существуют в областях неустойчивости положения равновесия, то есть будут мягко возбуждающимися. Двумерные режимы могут возникать при углах а, близких к л/4. Численные решения для них в нерезонансном случае приводят к траекториям, образующим сложные притягивающие множества.

Исследуются также колебания в системе с преобразованным трением. Это — частный случай предыдущей задачи, когда одна из жесткостей стремится к бесконечности. В результате приходим к системе с одной степенью свободы, особенностью которой будет отсутствие колебаний с остановками

при аФ 0. Показано, что стационарные колебания здесь могут также возникать при достаточно больших углах отклонения скорости плоскости от оси жесткости, если мало трение покоя. При этом такие колебания появляются для величины скорости плоскости, большей некоторого граничного значения, последнее возрастает с увеличением угла а. При меньших скоростях стационарных колебаний нет. В этом случае преобразованное трение переходит в вязкое, достаточное для подавления автоколебаний.

В пятой главе работы рассматриваются некоторые прикладные задачи динамики систем с трением, при этом существенно используются предыдущие результаты. Сначала, в п.5.1, исследуется влшпше фрикционных колебаний тормозной колодки на торможение вращающегося вала. Это — задача о переходном процессе в системе с двумя степенями свободы, когда одна из переменных является быстрой (координата колодки), а вторая, угловая скорость вала, медленной. Для ее анализа также применяется метод осреднения для систем с быстрыми и медленными переменными. Показано, что в случае кубической характеристики трения колебания колодки увеличивают средний тормозящий момент. Если начальная угловая скорость значительно превышает критическое значение, соответствующее минимуму характеристики трения, то на начальном этапе торможения амплитуда колебаний колодки быстро убывает, и тогда угловая скоростг изменяется неравномерно, резко уменьшаясь в начале торможения.

В п. 5.2 исследуется возможность уменьшения трения с помощью быстрого вращения на примере «опоры вращения», т.е. тела (кожуха) с двумя быстро вращающимися маховиками, скользящими по неподвижному основании: [1,18] (рис.8). Записаны уравнения динамики такой опоры. При поступательном движении тела и спадающей характеристике двигателя, сообщающей вращение маховикам, они имеют устойчивое стационарное решение, соответствующее равномерному поступательному движению кожуха. Размерное зна чение сдвигающей силы здесь будет

/.- -2——. (16] аф

где V —- скорость кожуха, а и ф — диаметр маховиков и их угловая ско рость. Приведен пример расчета при реальных значениях параметров, которьп показывает, что применение такой опоры позволяет снизить эффективное тре ние при поступательном движении опоры или основания в несколько десятко раз.

Рис.8. Схема «опоры вращения»

Другим способом снижения трения является, как известно, использование механических колебаний достаточно высокой частоты (быстрых вибраций). Раздел 5.3 диссертации посвящен изучению динамики тела на плоскости, совершающий такие колебания под углом к направлению движения (рис.9). При одномерном движении подтверждается известный вывод, содержащийся в работах В.В. Андронова, И.И. Блехмана, A.A. Первозванского, К.В. Фролова и др., о переходе сухого трения в нелинейное вязкое сопротивление, но лишь для относительно малой скорости тела. На рис. 10« приведены зависимости безразмерной средней скорости тела от угла отклонения вибраций и величины внешней силы (у = F/fmg). Равномерное в среднем движение возможно при любых углах отклонения вибраций, если у < 1, т.е. эта сила не превышает тре-

v

////// к ^Jj^jlA с os й) t ' /// / // // У/ // // //

F X

//У/У////////////////У

Рис.9. Одномерное движение тепа на вибрирующей плоскости при отклонённом направлении вибраций

0.8 0.6 0.4 02

и»

Рис.10. Зависимость продольной (а) и поперечной (Ь) средней скорости тела от угла отклонения вибраций

ния покоя. Установлена математическая аналогия этой задачи с задачей о динамике фрикционного маятника при быстрых вибрациях, рассмотренной в главе 1. С помощью этой аналогии получена оценка внешней силы при различных углах отклонения /?. Рассматривается также задача о двумерном виброперемещении при неизменной по величине и направлению внешней силе (рис.9, без направляющих). Если линия вибрации не совпадает с направлением силы и не ортогональна к ней, то появляется составляющая средней скорости v., перпендикулярная силе, это приводит к тому, что траектория движения в среднем отклоняется от направления силы, оставаясь прямолинейной. Дается количественная оценка такого отклонения. Так, при малых углах р

К(к)-Е{к)

V,

Н{к)

(17)

где К и Е — полные эллиптические интегралы от модуля & - (] + ¡с) Средняя скорость и. (по направлению внешней силы /*') при этом незначительно отличаются от ее величины в одномерном случае (рис. 10о). При произвольных углах зависимость v, (/?) оказывается нечетной и достигает максимума вблизи р - -т/4, рис. 1ОЬ.

В заключительном разделе пятой главы (п.5.4) рассматривается также двумерное вибрационное перемещение на неподвижной плоскости в случае медленного поворота периодической внешней силы. Эта задача возникла в связи с проблемой создания самоходных вибрационных машин, способных двигаться по криволинейным траекториям. При анализе динамики здесь используется подход, сочетающий «классическую» теорию одномерного виброперемещения с асимптотическим упрощением уравнений движения. В результате показано, что, как и в предыдущей задаче, в стационарном режиме наряду со скоростью в направлении внешней силы тело будет иметь нормальную к ней составляющую средней скорости. Для последней получена оценка в случае изменения внешней силы по закону обычного и прямоугольного синуса, эти результаты сопоставляются с данными численного интегрирования исходных уравнений. Движение тела в среднем на плоскости будет происходить по разворачивающейся спирали, для параметров которой получены простые значения.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе.

Роль научного консультанта профессора Р.Ф. Нагаева при нагтисании данной работа сводилась к обсуждению основных результатов; ему, а также соавторам совместных публикаций автор выражает глубокую признательность.

Все новые модели и постановки задач, также как и основные результата работы, предложены и получены лично автором.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Нелинейные модели и задачи динамики твердого тела с трением на плоскости. // Изд-во С.-Пб ГГИ. С.-Петербург. 2000. 131 с.

2. Уравнения медленных движений систем с квазициклическими координатами и электромеханических систем. // Динамика систем. Межвузовский

сборник. Горький. Изд-во Горьковского университета. 1976. Вып.9. C.92-I06. (Соавтор — Ходжаев К.Ш.)

3. Исследование динамики медленных движений с помощью асимптотических методов разделения движений. // Тезисы докл. Всес. конф. «Проблемы нелинейных колебаний механических систем». Киев. 1978. (Соавторы

— Саблин А. Д., Ходжаев К.Ш.)

4. Разделение движений в квазилинейных системах со многими быстрыми переменными. // Тезисы докл. Всес. конф. по устойчивости движения, колебаниям М6Х<ШИЧССКИХ СИСТСМ И ЗЗрОДгШаМИКС. Москва. 1978. (Соавторы

— Реймерс H.A., Ходжаев К.Ш.

5. О фрикционных автоколебаниях бурильной колонны. // АН СССР. Машиноведение. 1982. № 2. С.15-20. (Соавторы — Белокобыльский C.B., Нагаев Р.Ф.)

6. Удар неидеалыюй дисковой пилы при учёте трения в подшипниках.// «Вибротехника». Мезквузовский сборник. 1985. №2 (52). С.61-69. (Соавтор — Сарафян Г.С.)

7. Влияние релаксационных автоколебаний тормозной колодки на процесс торможения.//Записки ЛГИ им. Г.В. Плеханова. 1988. Т.117. С.110- 114. (Соавтор — Платовских М.Ю.)

8. Автоколебания в системе с характеристикой сухого трения наследственного типа. // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1990. №1. С.23-27. (Соавторы — Доброславский C.B., Нагаев Р.Ф.)

9. Фрикционные автоколебания двухмассовых тормозных устройств. // Записки ЛГИ им. Г.В. Плеханова. 1991. Т.126. С.79-85. (Соавторы — НагаеЕ Р.Ф., Платовских М.Ю.)

10. Устойчивость ползуна на плоскости при действии сил сухого некулоновг трения. // РАН. Проблемы машиностроения и надёжности машин. 1992 №3. С.40-44.

11. Автоколебания в системе тел, связанных силами сухого трения. // РАН Проблемы машиностроения и надежность машин. 1993. №1. С.37-41. (Со авторы — Нагаев Р.Ф., Платовских М.Ю.)

12. Сравнительное исследование фрикционных автоколебаний точным мето дом и методом осреднения. // Ден. в ВИНИТИ 12.05.93 (per. № 1249-В93) (Соавторы — Нагаев Р.Ф., Платовских М.Ю.)

13. Задача о плоском виброперемещении частицы. // Вибрационные машины и технологии. Сб. научи, трудов. Курск. Изд-во Курского политехнического института. 1993. С.79-89. (Соавтор — Платовских М.Ю.)

14. Одномерные и плоские задачи теории фрикционных автоколебаний. // Тезисы докл. XXIII Всероссийской летней школы-семинара «Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем». С.-Пб.. 1995. (Соавтор — Платовских М.Ю.)

15. Динамика систем с сухим трением на плоскости и теория динамического гасителя фрикционных автоколебаний. // Тр. IV Вссрос. научн. гсонф. «Нелинейные колебания механических систем». Аннот. докл. Нижний Новгород. 1996. С.ЗЗ.

16. Фрикционные автоколебания в системе с одной степенью свободы при действии сил трения с кубической характеристикой. // Испытания материалов и конструкций. Сб. научн. трудов. Нижний Новгород. Нф ИМАШ РАН. 1996. С.151-156. (Соавтор — Платовских М.Ю.)

17. Исследование движения тела на плоскости с трением с помощью диссипа-тевной функции. // Труды СПбГТУ. Механика и процессы управления. №467. С.-Петербург. 1997. С.22-25.

18. Нелинейные задачи динамики тела на плоскости с трением при медленном и быстром вращении. Теория фрикционного маятника. // Труды XXIV школы-семинара «Анализ и синтез нелинейных мехаш1ческих колебательных систем». С.-Петербург. 1997. С.298-312.

19. Автоколебания в двухмассовой системе с относительным скольжением тел. // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. 1998. №5. С.34-40. (Соавтор — Нагаев Р.Ф.)

20. Фрикционные автоколебания на плоскости и в системах с преобразованным сухим трением. // Тр.У Международной научн. конф. «Нелинейные колебания механических систем». Аннот. докл. Нижний Новгород. 1999. С.46-47. (Соавтор —- Платовских М.Ю.)

21. Двумерные фрикционные автоколебания. // Машиностроение и автоматизация производства. Межвузовский сборник. С.-Петербург. Изд СЗГГИ. 1999. Вып. 16. С.64 - 71. (Соавтор — Платовских М.Ю.)

Введение.

1. Обзор литературы. Состояние вопроса.

2. Краткая характеристика и содержание работы.

Глава 1. ДИНАМИКА ТЕЛА НА ПЛОСКОСТИ С КУЛОНОВЫМ ТРЕНИЕМ.

1.1 Диссипативная функция системы в неподвижных осях. Уравнения движения

1.2 Плоское движение с трением при медленном вращении.

1.3 Движение с быстрым вращением.

1.4 Динамика фрикционного маятника.

1.5 Выводы.

Глава 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛЗУНА НА ПЛОСКОСТИ ПРИ ДЕЙСТВИИ НЕКУЛОНОВА СУХОГО ТРЕНИЯ.

2.1 Общие условия асимптотической устойчивости положения равновесия.

2.2 Точка на плоскости.

2.3 Устойчивость тел конечных размеров на плоскости с некулоновым трением.

2.4 Выводы.

Глава 3. АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ

АППРОКСИМАЦИЯХ СИЛЫ ТРЕНИЯ.

3.1 Исследования колебаний в системе с кубической характеристикой трения.

3.2 Фрикционные колебания в системе с кусочно-линейной аппроксимацией силы трения.

3.3 Автоколебания в системе с характеристикой трения, зависящей от времени длительного контакта тел.,

3.4 О динамике фрикционного маятника при некулоновом трении.

Глава 4. ФРИКЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ С

ОТНОСИТЕЛЬНЫМ СКОЛЬЖЕНИЕМ ТЕЛ. АВТОКОЛЕБАНИЯ

НА ПЛОСКОСТИ.

4.1 Автоколебания в системе с относительным скольжением тел при некулоновом трении.

4.2 Двумерные автоколебания на плоскости.

4.3 Фрикционные колебания в системе с преобразованным трением.

Глава 5. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ СИСТЕМ С

СУХИМ ТРЕНИЕМ.

5.1 Влияние автоколебаний тормозного механизма на процесс торможения.

5.2 Уменьшение эффективного трения при быстром вращении. Динамика «опоры вращения».

5.3 Эффективное трение при быстрых вибрациях.

5.4 Виброперемещение точки на плоскости при действии медленно вращающейся периодической силы

1. Обзор литературы. Состояние вопроса.

Изучение сил трения и его возможных динамических проявлений имеет важное значение в различных областях фундаментальной науки — в физике, механике, теории колебаний, а также при разработке и создании новых типов машин и механизмов, в которых эти силы могут определять как количественные, так и качественные характеристики работы. Динамика систем с трением — это сложный, далеко не завершенный раздел механики, граничащий с физикой процессов трения и с некоторыми разделами математики, в частности, с теорией нелинейных дифференциальных уравнений. Проблемы, которые обычно при этом возникают, можно разделить на три группы. Во-первых, это выбор механической модели, так как не всегда, например, модель твердого тела оказывается приемлемой из-за возможности возникновения так называемых парадоксов Пэнлеве [7,106], связанных с неоднозначностью решения задачи. То же можно сказать и о простейшей одномассовой схеме в теории фрикционных автоколебаний, которая имеет свою ограниченную область применения. Во-вторых, это адекватное математическое описание сил трения. Поскольку физическая природа трения весьма сложна и до конца не изучена, а число различных концепций трения составляет уже несколько десятков и продолжает возрастать, в конкретных задачах необходимо выбирать такую модель трения, которая, с одной стороны, охватывала бы соответствующие физико-механические явления, а, с другой, не приводила к чрезмерному усложнению задачи. Третья группа вопросов связана с рациональной записью уравнений движения и математическим или численным исследованием задачи, которое часто сводится 5 к решению сложных нелинейных дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений.

В настоящей работе с помощью методов общей механики и нелинейной теории колебаний рассматриваются динамика и устойчивость твердого тела на плоскости с трением, а также проблемы теории фрикционных автоколебаний. Общим свойством всех предлагаемых задач является то, что нормальная реакция плоскости фактически задана и при определении реакций связей с трением не возникает вопросов, связанных с парадоксами Пэнлеве, а также безотрывный характер движения. Для описания трения используются простые закономерности — закон сухого трения Кулона с постоянным коэффициентом и его модификации, применяемые обычно в задачах о фрикционных колебаниях — кубическая [99] или кусочно-линейная [84,97] зависимость силы трения от относительной скорости тел. В случае автоколебаний с характеристикой трения, зависящей от времени застоя, используется гипотеза трения А.Ю. Ишлинского и И.В. Крагельского [61,75].

Несмотря на кажущуюся простоту законов трения и механических моделей, рассматриваемых в работе, в них может проявляться целая гамма различных, подчас неожиданных динамических эффектов, связанных с трением. Диссертация в значительной своей части посвящена изучению таких эффектов.

В качестве математического аппарата при анализе уравнений движения в работе широко применяются асимптотические методы в форме метода осреднения как для систем с одной и двумя быстрыми фазами, так и в более общем случае. Эти методы, развитые в известных работах H.H. Боголюбова и Ю.А. Митропольского [19,91], В.М. Волосова и Б.И. Моргунова [44], H.H. Моисеева [92] и в более поздних [8,51] и др., оказываются весьма эффективными при исследовании динамики быстро 6 вращающегося тела с трением на плоскости, фрикционных автоколебаний в системах с одной и несколькими степенями свободы, для изучения влияния быстрых вибраций на системы с трением и т.д. В отдельных случаях используются также и другие подходы, разработанные в нелинейной механике: метод малого параметра и метод точечных отображений [89,98] при исследовании автоколебаний, а также методы фазовой плоскости и качественного исследования дифференциальных уравнений [4,105].

Из большого количества работ, относящихся к динамике твердого тела на плоскости с трением, можно отметить лишь довольно ограниченное число исследований, в которых изучаются свойства движений с учетом формы и размеров тел. Это связано со сложностью математического описания трения при движении тел конечных размеров. В первую очередь здесь следует назвать известную монографию А.И. Лурье [85], в части, касающейся диссипативной функции для систем с сухим трением, и статью А.Ю. Ишлинского и др. [62]. В них рассматривается динамика тел простой формы (круглого диска, кольца, прямоугольника). Существенным при этом является предположение о равномерном распределении сил давления по площади тела, а также об однородном характере трения, которое описывается простым законом Кулона. В работах [59,87,109] делается попытка учесть упругость основания, по которому скользит тело с трением, а также описать механизм трения на основе анализа процесса микросоударений, возникающих при плоском контакте тел, однако из-за математических трудностей не удается при этом получить ясных количественных оценок динамики тела. Из более поздних следует выделить работы Г.Т. Алдошина и H.H. Дмитриева [1,54], в которых применяется усложненная модель анизотропного трения и устанавливаются условия начала движения, а также численно исследуются 7 движения простых тел. В настоящей диссертации при изучении динамики тела на шероховатой плоскости будем использовать простую «классическую» постановку задачи, как и в [62,85]. Это позволяет при некоторых предположениях записывать уравнения движения для произвольных плоских тел в форме обыкновенных дифференциальных уравнений и с их помощью анализировать различные случаи движения. В частности, для случая быстрого вращения оказывается, что диссипативные силы в уравнениях поступательных координат пропорциональны поступательным же скоростям и обратны по величине большой угловой скорости тела, то есть для этих координат получаем малое вязкое сопротивление. Этот результат, как и ряд других, полученных в работе, является следствием эффекта преобразованного сухого трения. Термин «преобразованное трение» был введен В.В. Андроновым [5,6] для одномерного движения тела на шероховатой плоскости, поступательно движущейся перпендикулярно скорости тела. В случае движения плоскости с достаточно большой постоянной скоростью сила сухого трения тогда переходит в вязкое сопротивление с малым коэффициентом вязкости.

Другой важной проблемой, затрагиваемой в работе, является исследование устойчивости стационарных движений в системах с трением, поскольку потеря устойчивости может приводить к нарушению работы многих узлов и механизмов, в которых трение играет существенную роль — невозможности плавного движения ползуна при плоском контакте с основанием или при движении в направляющих, нарушению равномерного вращения вала в опорах с трением и т.д. Из причин, вызывающих неустойчивость, здесь следует назвать две. Во-первых, позиционную неустойчивость [115], проявляющуюся возникновением позиционных сил с несимметричной матрицей в уравнениях возмущенного движения. Такая ситуация может иметь место в системах с чисто куло8 новым трением, когда нормальные реакции связей в возмущенном движении оказываются переменными. Соответствующие примеры для поступательного и вращательного стационарных движений рассматривались в работах [55, 58,81,112,]. Другой причиной неустойчивости может стать падающая характеристика трения, когда производная силы трения по скорости в стационарном режиме отрицательна. В этом, чаще всего, видят механизм возникновения фрикционных автоколебаний [41,99], поскольку в таком случае положение равновесия в колебательной системе с одной степенью свободы будет неустойчивым. Однако для систем с несколькими степенями свободы это не всегда имеет место. В диссертации рассматривается задача об устойчивости равновесия для материальной точки, а также для упруго закрепленного плоского тела на шероховатой движущейся плоскости с падающей характеристикой. Ранее, насколько известно автору, соответствующие условия устойчивости в общем виде получены не были.

Значительная часть диссертации связана с исследованием фрикционных автоколебаний как в одномассовой модели, так и в более сложных системах. Такие колебания могут быть важным источником нежелательных вибраций в различных механизмах и машинах. Их причиной является, вообще говоря, нестабильность силы трения при относительно малых скоростях проскальзывания либо возрастание этой силы с увеличением времени застоя (то есть относительного покоя контактирующих тел). Осознание природы фрикционных автоколебаний и условий их возникновения началось в 1930-е годы параллельно с развитием общей теории нелинейных колебаний в работах Л.И. Мандельштама, Н.Д. Папалекси, A.A. Андронова [90], Н.М. Крылова, H.H. Боголюбова [78], Б. Ван-дер-Поля [24] и др. Так, одна из первых механических моделей автоколебаний, груз на резиновой движущейся ленте, была предаю9 жена Ван-дер-Полем в 1930 г. [24]. Возбуждение автоколебаний при этом связывалось с нелинейностью сухого трения. В работе Н.Л. Кайдановского и С.Э. Хайкина [66] впервые математически описаны релаксационные автоколебания, характеризующиеся наличием интервалов застоя груза на ленте, причиной которых было уменьшение силы трения движения по сравнению с трением покоя. Другой распространенной моделью для автоколебаний, предложенной тогда же, является маятник Фроуда с падающей характеристикой трения [111]. В дальнейшем исследование автоколебаний, обусловленных трением, развивалось по нескольким направлениям. Одно из них связано с разными физическими концепциями и моделями трения, применяемыми при различных условиях и скоростях проскальзывания. Помимо упоминавшейся теории трения А.Ю. Ишлинского и И.В. Крагельского (1944 г.) следует назвать работы Jle Суан Аня, в которых установлена зависимость силы трогания с места от скорости тангенциального нагружения [82,83], и исследования Д.М. Толстого [113] и В.А. Кудинова [79]. В них возникновение автоколебаний связывается с зависимостью силы трения от контактной деформации в направлении, нормальном к поверхности трущихся тел. Кроме названных, существует еще ряд моделей автоколебательных систем, обусловленных упруго-вязкими [125] и реологическими процессами при трении [76,77]. Другое направление объединяет прикладные исследования фрикционных автоколебаний в различных областях техники: в станкостроении [79,110], где эти колебания определяют такие важные качества работы станков, как равномерность подачи и точность установочных перемещений, в динамике машин, включающих тормозные устройства и механизмы фрикционного сцепления [121]. Такие колебания часто сопровождают работу бурильных колонн [9,11], они также являются причиной вибрации при разгоне ведомых звеньев фрикционных

10 муфт и редукторов [47], при абразивной обработке и шлифовании [86] и т. д. Характерным для таких прикладных работ является использование колебательной модели с одной степенью свободы и простой зависимостью трения от скорости - скачкообразной или кусочно-линейной, а в более сложных ситуациях непосредственное численное решение уравнений динамики [131]. Наконец, третье направление представляют теоретические исследования фрикционных автоколебаний с помощью методов нелинейной механики при разных аппроксимациях трения; к нему можно отнести и соответствующие разделы диссертации (главы 3 и 4). Основное место здесь занимают работы по колебаниям в одномассовой системе. При этом в качестве наиболее распространенной причины автоколебаний подразумевается нелинейная зависимость трения от относительной скорости тел, которая описывается различными способами: скачкообразной [65,66], кусочно-линейной [57,82,95], экспоненциальной или кубической [11,15,71,99] зависимостями. Исследованиям фрикционных колебаний в таких системах посвящено весьма большое количество работ [4,14,15,99,122,130] и др. В случае релаксационных автоколебаний (колебаний с зонами застоя) при этом используется обычно скачкообразная характеристика, а в системе с кубической или иной гладкой характеристикой трения изучаются квазигармонические колебания без остановок груза. Существует лишь небольшое число работ, в которых одновременно изучаются оба этих типа автоколебаний, причем для кусочно-линейных систем [23,97,101]. Для кубической характеристики установлено [45,71], что квазигармонические стационарные колебания без остановок возможны лишь в довольно узком диапазоне скорости протяжки 2/л/5 V* < V < V* (V* — значение скорости в минимуме характеристики), а релаксационные режимы возникают при меньших скоростях,

11

V < 2/л/5 V*. В данной диссертации исследуются различные, в том числе релаксационные и смешанные автоколебания, в системах с кубической зависимостью трения, а также достаточно подробно изучаются квазигармонические колебания без мгновенных остановок для кусочно-линейной зависимости.

Помимо систем со спадающей характеристикой рассматриваются также автоколебания другого типа для характеристики трения А.Ю. Ишлинского и И.В. Крагельского. Здесь наряду с периодическими режимами с чередованием зон застоя и проскальзывания при определенных условиях могут возникать и хаотические колебания. По-видимому, впервые на такую возможность было указано в работе Л.Я. Кащеневского [69], где подобные движения исследовались в предположении линейного закона возрастания силы трения от времени застоя. За последние годы появилось много работ математического и прикладного характера, посвященных хаотическим колебаниям в динамических системах [13,93,126,128] и др., однако в приложении к фрикционным автоколебаниям эта проблема оставалась мало изученной. Данная работа восполняет этот пробел для общего закона возрастания трения на этапе застоя.

Моделирование реальных динамических систем с трением с помощью схемы с одной степенью свободы может оказаться во многих случаях недостаточным и привести к потере важных свойств динамики объекта. Исследованию автоколебаний в многомассовых системах с трением посвящен также ряд работ [3,10,20,80,102,124]. В них рассмотрены фрикционные системы, в которых силы трения действуют на составляющие тела со стороны движущегося основания, а сами тела соединены упругими элементами. При этом используются довольно простые за

12 висимости для силы трения, кусочно-линейная или кубическая с малым параметром [3,80,102], однако и в такой постановке исследовать условия существования и устойчивости стационарных колебаний в полном объеме не удается. Кроме того, здесь могут возникать различные устойчивые стационарные режимы, и представляет интерес определение их областей притяжения. Эта проблема в применении к фрикционным автоколебаниям также до настоящего времени аналитически не изучалась. Помимо названных работ следует отметить исследования автоколебаний в системе с двумя степенями свободы с помощью аналогового моделирования А. Тондла [114], а также численный метод изучения динамики системы тел со спадающей характеристикой трения общего вида [131]. Однако и в этих работах области притяжения автоколебаний не найдены. В диссертации такая задача рассматривается для системы с двумя степенями свободы, отличной от изучавшихся ранее. Исследованы также двумерные фрикционные колебания на плоскости. Из-за сложного вида силы трения, которая здесь содержит нелинейности двух типов, автоколебания в таких системах также до сих пор оставались неизученными.

При рассмотрении фрикционных автоколебаний скорость поступательного движущегося основания считается обычно постоянной и обратное влияние колебаний на динамику привода не учитывается. Исключение здесь составляют работы [2,3,72], посвященные автоколебаниям в системах с ограниченным возбуждением. В диссертации рассматривается друг ая задача этого типа — определяется влияние автоколебаний тормозного механизма на динамику торможения. Ранее в работах [22,34] этот вопрос изучался для простейшей скачкообразной характеристикой трения. Здесь он анализируется в случае более сложной кубической зависимости.

13

Идея использования вращательного движения для преобразования сухого трения в вязкое сопротивление применяется в некоторых технических решениях — в схеме подачи станка на вращающихся направляющих, в демпфере вязкого трения В. А. Кудинова [99]. В диссертации анализируются другие практически интересные случаи перехода сухого трения в вязкое — как при вращательном движении с плоским контактом тел («опора вращения»), так и в случае действия высокочастотных вибраций. Динамика систем с сухим трением при действии колебаний достаточно высокой частоты рассматривается в многочисленных теоретических и прикладных исследованиях [16,17,41,48] и др. В теоретических работах из-за сложного описания сухого трения рассматриваются, в основном, одномерные движения. При этом выявляется одно общее свойство — среднее движение тела происходит таким образом, как если бы сухое трение было заменено на нелинейное вязкое. Это может приводить к существенному изменению эквивалентной силы трения и исчезновению фрикционных автоколебаний. Такой эффект, называемый еще вибрационным сглаживанием, может проявляться как в системах с обычным кулоновым трением, так и при более сложных описаниях силы трения [129]. Отметим, что эффект вибрационного сглаживания нели-нейностей известен и в теории автоматического управления [100,104] . Различные проявления этого и других эффектов в системах с трением под действием вибраций описаны в книгах И.И. Блехмана, Г.Ю. Джанелидзе [18], К.В. Фролова [ 117] и в других работах. В диссертации изучается случай «отклоненных вибраций», когда линия колебаний основания отклонена от направления движения и находится в плоскости движения. Ввиду трудностей аналитического исследования дифференциальных уравнений динамики соответствующие задачи исследованы недостаточно. Из близких по тематике можно назвать рабо

14 ты [5,6,68]. В статьях В.В. Андронова [5,6] рассматривается движение точки при действии вибраций, нормальных к направлению движения, а в монографии Р.-М. Канапенаса приводятся результаты численного решения соответствующих задач в приложении к виброопорам. В данной работе анализируется вибрационное сглаживание при различных углах отклонения линии вибраций для одномерных и плоских движений тела. В случае плоского движения при действии «мёртвой» внешней силы, то есть силы постоянного направления, траектория точки в среднем отклоняется от направления этой силы. По аналогии с вибрационным уводом [41,60] этот эффект в работе назван вибрационным отклонением.

Заключительной задачей, представленной в диссертации, является исследование двумерного виброперемещения точки при действии периодической внешней силы, медленно изменяющейся по направлению. Эта проблема рассматривается как возмущённая задача «классической» теории одномерного виброперемещения (без предположения о большой частоте силы). Если различные одномерные режимы вибрационного перемещения к настоящему времени подробно изучены [18,48,96], то теория плоского движения при действии периодических сил мало разработана из-за сложностей математического описания трения на плоскости. Здесь к достаточно хорошо изученным относятся задачи о движении частицы на горизонтальной плоскости с трением, совершающей круговые колебания (задача Н.Е. Жуковского [56,96]), а также о перемещении вдоль наклонной плоскости, совершающей колебания перпендикулярно направлению движения [5,42]. Задача, изучаемая в диссертации, является новой, она возникла в связи с созданием самоходных вибрационных устройств, в частности, виброуплотнителей [43,108] с криволинейной траекторией движения.

15

Заключение.

Сформулируем основные результаты, полученные в работе.

1. Проведено исследование динамики тела конечных размеров на плоскости с кулоновым трением. Получены дифференциальные уравнения для быстрого и медленного вращения. При медленном вращении момент сил трения по величине обратно пропорционален поступательной скорости, а при движении по инерции центр масс будет двигаться прямолинейно лишь для динамически симметричного тела. В случае плоского движения с быстрым вращением сухое трение в поступательном движении переходит в вязкое сопротивление, обратно пропорциональное большой угловой скорости. Найдены соответствующие коэффициенты сопротивления для выпуклых тел. При движении по инерции с быстрым вращением определены путь, пройденный до остановки, и время движения. Они оказываются пропорциональны большой начальной угловой скорости.

2. Предложена новая простая модель динамики твердого тела с трением — фрикционный маятник, т.е. тело с неподвижной точкой на шероховатой движущейся плоскости, и изучены различные режимы движения. При постоянной скорости плоскости его динамика аналогична динамике обычного маятника: частота малых колебаний равна частоте такого же маятника в поле тяжести, умноженной на д//, а диссипация обратно пропорциональна этой скорости. В случае колебаний плоскости с большой частотой в системе возможно "квазиравновесие" с произвольным , с точностью до малых слагаемых, углом

217 отклонения маятника от направления колебаний. При частоте колебаний плоскости, сравнимой с собственной частотой, могут возникать нерегулярные ротационные движения маятника.

3. Исследована устойчивость положения равновесия упруго закрепленного тела, контактирующего с подвижной плоскостью, при неку-лоновом трении. Для материальной точки устойчивость нарушается, если производная коэффициента трения по скорости отрицательна и по модулю достаточно велика, а также для направлений скорости плоскости, близких к главным осям жесткости, в случае тела конечных размеров и диагональной матрицы жесткости добавляется дополнительное условие устойчивости, связанное с формой тела. Это условие нарушается для продолговатых тел, если большая сторона составляет со скоростью плоскости угол, близкий к /г/2. Показано, что введение дополнительного упругого элемента, приводящего матрицу жесткости к недиагональному виду, может стабилизировать неустойчивое равновесие, что не противоречит известным теоремам о неустойчивости положения равновесия.

4. Для фрикционных автоколебаний систем с одной степенью свободы получены следующие результаты:

- в случае кубической характеристики трениия построены области существования стационарных колебаний различных типов - квазигармонического, релаксационного и смешанного, установлено, что они существуют лишь на спадающем участке характеристики, а амплитуда колебаний достигает максимума вблизи скорости протяжки, соответствующей границе безостановочных колебаний;

218

- для фрикционного маятника с кубической зависимостью силы трения показано, что наряду с устойчивым положением равновесия возможны стационарные движения ротационного типа;

- в случае кусочно-линейной характеристики трения определены квазигармонические колебания без остановок, которые также существуют на спадающем участке, а их амплитуда и период существенно зависят от наклонов линейных участков; в отличие от кубической характеристики на возрастающем участке при этом возможны стационарные релаксационные колебания.

5. Изучены автоколебания в системе с характеристикой трения, зависящей от длительности контакта тел. Построена функция доследования, определяющая различные типы движений с несколькими переменами знака скорости, найдены также области существования колебаний хаотического типа, когда длительности интервалов застоя меняются случайным образом. Такие колебания здесь возникают непосредственно при переходе через субпериодическую границу области устойчивости без бифуракций типа удвоения периода.

6. Развита теория фрикционных колебаний в системах с двумя степенями свободы:

- предложена новая двухмассовая модель, в которой тела непосредственно взаимодействуют силами некулонова трения, при этом возможен эффект гашения автоколебаний, когда одно из тел совершает немалые колебания, а другое, в первом приближении покоится; с использованием метода определения для нерезонансного случая построены области притяжения таких режимов; для основного резонанса показано, что из-за уменьшения частотной расстройки устой

219 чивое стационарное движение может стать неустойчивым вследствие влияния малой диссипации в упругих элементах, при этом система перейдет в стационарный режим с колебаниями другой массы;

- исследованы автоколебания тела на шероховатой плоскости в двух измерениях и выделены два случая - одномерных колебаний, возникающих вдоль одной из осей жесткости несмотря на отклонение скорости плоскости от этой оси, а также двумерных колебаний; построены оьласти существования и устойчивости этих режимов; рассмотрены, как частный случай колебаний на плоскости, автоколебания в системе с преобразованным трением и определены граничные значения скорости плоскости, начиная с которых появляются стационарные режимы колебаний, при меньших скоростях эффективное вязкое трение, как результат преобразованного, подавляет автоколебания.

7. С помощью асимптотического упрощения уравнений решены некоторые прикладные задачи динамики систем с трением:

- рассмотрена связанная задача о торможении вращательного движения с учетом возникающих колебаний тормозной колодки и показано, что для кубической характеристики трения эти колебания увеличивают средний тормозящий момент, в начале торможения это может приводить к резкому падению угловой скорости;

- исследована динамика опоры вращения, в которой быстрое вращение маховиков, скользящих по шероховатой поверхности, используется для многократного уменьшения эффективной силы трения при поступательном движении;

220

- изучено влияние быстрых вибраций на уменьшение эффективной силы трения при различных направлениях линии вибраций для одномерного движения; в случае плоского движения, при одномерной внешней силе показано, что траектория точки в среднем отклоняется от направления силы, если линия вибраций с ней не совпадает, и определена величина этого отклонения.

8. Исследовано виброперемещение тела на плоскости при медленном повороте внешней периодической силы. Эта модель может служить для описания динамики самоходных вибрационных машин. С помощью асимптотического анализа а также численного решения уравнений задачи показано, что траекторией тела в среднем будет разворачивающаяся спираль, найден ее начальный радиус и получена оценка изменения радиуса спирали.

1. Алдошин Г.Т., Дмитриев H.H. К вопросу о влиянии анизотропного трения на движение тела по плоскости. Международная научно-техническая конференция

2. Износостойкость машин». Тезисы докладов (часть 1). Брянск. 1994. С. 41-42.

3. Алифов A.A. Об автоколебаниях в системе с ограниченным возбуждением. АН СССР. Машиноведение. 1979. №1. С.8-14. Алифов A.A., Фролов К.В. Взаимодействие нелинейных колебательных систем с источниками энергии. М.: Наука. 1985. 327 с.

4. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз. 1959. 905 с.

5. Андронов В.В. Движение тела по шероховатой наклонной плоскости, совершающей поступательные поперечные колебания в своей плоскости. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1972. №3. С.7-14.

6. Андронов В.В. Механические системы с преобразованным сухим трением. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1988. №1. С.40-49.

7. Аппель П. Теоретическая механика. Т.2. М.: ГИФМЛ. 1960. 487 с. Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. М.: Наука. 1985. 320 с.

8. Белокобыльский C.B., Ветюков М.М., Нагаев Р.Ф. О фрикционных автоколебаниях бурильной колонны. АН СССР. Машиноведение. 1982. №2. С. 15-20.222

9. Белокобыльский C.B., Нагаев Р.Ф. Метод частичной гармонической линеаризации в задаче о фрикционных автоколебаниях механических систем с несколькими степенями свободы. АН СССР. Машиноведение. 1985. №5. С.27-31.

10. Белокобыльский C.B., Прокопов В.К. Анализ фрикционных автоколебаний бурильной колонны при экспоненциальном законе сопротивления. Прикладная механика. 1982. Т18. №12. С.98-101.

11. Белякова Г.В., Беляков Л.А. Область хаотических движений в модели маятника с вертикально колеблющейся осью. Тр. IV Всерос. научн. конф. «Нелинейные колебания механических систем». Аннот. докл. Нижний Новгород. 1996. С.20.

12. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминированном подходе к турбулентности. М.: Мир. 1991. 366 с.

13. Бессараб Н.Ф. Фрикционные автоколебания. Журнал теоретической физики. 1956. Т.26. Вып.1. С.102-108.

14. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М.: Высш. школа. 1980. 408 с.

15. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Наука. 1994. 394 с.

16. Блехман И.И. Что может вибрация. М.: Наука. 1988. 208 с.

17. Блехман И.И., Джанелидзе Г.Ю. Вибрационное перемещение. М.: Наука. 1964. 410 с.

18. Боголюбов Н.Н, Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974. 504 с.

19. Бутенин Н.В. Приложение метода Ван-дер-Поля к механическим автоколебательным системам с двумя степенями свободы. Изв. вузов. Машиностроение. М.: 1963. №4. С.32-46.223

20. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука. 1987. 382 с.

21. Валуев А.П. Фрикционные автоколебания релаксационного и квазигармонического типа. Автореферат канд. диссертации. С.-Пб. 1988.

22. Ван-дер-Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. М.: Связь-издат. 1935. 91 с.

23. Ветюков М.М. Динамика систем с сухим трением на плоскости и теория динамического гасителя фрикционных автоколебаний. Тр. IV Всерос. научн. конф. «Нелинейные колебания механических систем». Аннот. докл. Нижний Новгород. 1996. С.ЗЗ.

24. Ветюков М.М. Исследование движения тела на плоскости с трением с помощью диссипативной функции. Труды СПбГТУ. Механика и процессы управления. №467. С.-Петербург. 1997. С.22-25.

25. Ветюков М.М. Нелинейные задачи динамики тела на плоскости с трением при медленном и быстром вращении. Теория фрикционного маятника. Труды XXIV школы-семинара «Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем». С.-Петербург. 1997. С.298-312.

26. Ветюков М.М. Устойчивость ползуна на плоскости при действии сил сухого некулонова трения. РАН. Проблемы машиностроения и надёжности машин. 1992. №3. С.40-44.224

27. Ветюков M.M., Доброславский C.B., Нагаев Р.Ф. Автоколебания в системе с характеристикой сухого трения наследственного типа. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1990. №1. С.23-27.

28. Ветюков М.М., Нагаев Р.Ф. Автоколебания в двухмассовой системе с относительным скольжением тел. Изв. РАН. Механика твёрдого тела. 1998. №5. С.34-40.

29. Ветюков М.М., Нагаев Р.Ф., Платовских М.Ю. Автоколебания в системе тел, связанных силами сухого трения. РАН. Проблемы машиностроения и надёжность машин. 1993. №1. С.37-41.

30. Ветюков М.М., Нагаев Р.Ф., Платовских М.Ю. Сравнительное исследование фрикционных автоколебаний точным методом и методом осреднения. Деп. в ВИНИТИ 12.05.93 (per. № 1249-В93).

31. Ветюков М.М., Нагаев Р.Ф., Платовских М.Ю. Фрикционные автоколебания двухмассовых тормозных устройств. Записки ЛГИ им. Г.В. Плеханова. 1991. Т. 126. С.79-85.

32. Ветюков М.М., Платовских М.Ю. Влияние релаксационных автоколебаний тормозной колодки на процесс торможения. Записки ЛГИ им. Г.В. Плеханова. 1988. ТЛ17. С.110-114.

33. Ветюков М.М., Платовских М.Ю. Двумерные фрикционные автоколебания. Машиностроение и автоматизация производства. Межвузовский сборник. С.-Петербург. Изд СЗПИ. 1999. Вып. 16. С.64-71.225

34. Ветюков М.М., Платовских М.Ю. Задача о плоском виброперемещении частицы. Вибрационные машины и технологии. Сб. научн. трудов. Курск. Изд-во Курского политехнического института. 1993. С.79-89.

35. Ветюков М.М., Платовских М.Ю. Фрикционные автоколебания в системе с одной степенью свободы при действии сил трения с кубической характеристикой. Испытания материалов и конструкций. Сб. научн. трудов. Нижний Новгород. Нф ИМАШ РАН. 1996. С.151-156.

36. Ветюков М.М., Платовских М.Ю. Фрикционные автоколебания на плоскости и в системах с преобразованным сухим трением. Тр.У Международной научн. конф. «Нелинейные колебания механических систем». Аннот. докл. Нижний Новгород. 1999. С.46-47.

37. Ветюков М.М., Ходжаев К.Ш. Уравнения медленных движений систем с квазициклическими координатами и электромеханических систем. Динамика систем. Межвузовский сборник. Горький. Изд-во Горьковского университета. 1976. Вып.9. С.92-106.

38. Ветюков М.М. Нелинейные модели и задачи динамики твёрдого тела с трением на плоскости. С.-Петербург. Изд. СПГГИ. 2000. 131 с.

39. Вибрации в технике. Справочник. Т.2 / Под редакцией И.И.Блехмана. М.: Машиностроение. 1979. 351 с.

40. Вибрации в технике. Справочник. Т.4 / Под редакцией Э.Э. Лавендела. М.: Машиностроение. 1981. 509 с.

41. Вибрационные машины в строительстве и производстве строительных материалов. Справочник. / Под редакцией В. А. Баумана и др. М.: Машиностроение. 1970. 548 с.226

42. Волосов В.M., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ. 1971. 507 с.

43. Вульфсон И.И., Коловский М.З. Нелинейные задачи динамики машин. Л.: Машиностроение. 1968. 284 с.

44. Ганиев Р Ф., Кононенко В.О. Колебания твёрдых тел. М.: Наука. 1976. 431 с.

45. Геккер Ф.Р. Динамика машин, работающих без смазочных материалов в узлах трения. М.: Машиностроение. 1983. 247 с.

46. Гончаревич И.В. Динамика вибрационного транспортирования. М.: Наука. 1972. 244 с.

47. Горюнов В.Н., Дондошанская A.B., Метрикин B.C., Нагаев Р.Ф. Периодические движения тела над плоскостью, колеблющейся по негармоническому закону. Прикладная механика. Киев. 1974. Т.10. Вып.9. С.41-50.

48. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз. 1962. 882 с.

49. Гребенников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М.: Наука. 1986. 256 с.

50. Гурса Э. Курс математического анализа. Т.2. 4.2. М., Л.: Гостехиздат. 1933. 287 с.

51. Ден-Гартог Дж.П. Механические колебания. М.: Физматгиз. 1960. 580 с.

52. Дмитриев H.H. Влияние анизотропного трения на движение твёрдых тел. Автореферат канд. диссертации. С.-Пб. 1996.

53. Доброславский C.B. Исследование устойчивости движения ползуна на упругих опорах по направляющим с сухим трением. АН СССР. Машиноведение. 1984. № 4. С. 14-20.227

54. Жуковский Н.Е. Заметка о плоском рассеве. Собрание сочинений. М.: ГТТИ. 1949. Т.З. С.515-522.

55. Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука. 1988. 326 с.

56. Журавлёв В.Ф., Фуфаев H.A. Механика систем с неудерживающими связями. М.: Наука. 1993. 240 с.

57. Иванов А. П. Метод определения реакций при плоском контакте твёрдых тел. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1988. № 3. С, 22-26.

58. Иориш Ю.И. Односторонний увод и вращение стрелок измерительных приборов, возникающие при вибрации. М.: Приборостроение. 1956. №4. С.15-32.

59. Ишлинский А.Ю., Крагельский И.В. О скачках при трении. Ж. техн. физики. 1944. Т. 14. Вып.4/5. С.276 282.

60. Ишлинский А.Ю., Соколов Б.Н., Черноусько Ф.Л. О движении плоских тел при наличии трения. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1981. № 4. С. 17 28.

61. Кажаев В В. Сдвиговые автоколебания в круглой шайбе. Испытания материалов и конструкций. Сб. научн. трудов. Нижний Новгород. Нф ИМАШ РАН. 1996. С. 157-165.

62. Кажаев В.В., Потапов А.И. Крутильные автоколебания упругого стержня. Динамика систем. Динамика и управление. Межвузовский сборник. Горький. Изд-во Горьковского университета. 1986. С.43-54.

63. Кайдановский Н.Л. Природа механических автоколебаний, возникающих при сухом трении. Журнал теоретической физики. 1949. Т19. Вып.9. С.985-996.228

64. Кайдановский H.Л., Хайкин C.B. Механические релаксационные колебания. Журнал теоретической физики. 1933. Т.З.Вып.1. С.91-107.

65. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука. 1971. 576 с.

66. Канапенас Р.-М. Виброопоры. Вильнюс. «Мокслас». 1984. 208 с.

67. Кащеневский Л.Я. Стохастические автоколебания при сухом трении. Инж. физ. журнал. 1984. Т.47. №1. С.143-147.

68. Кивелева К.Г., Фрайман Л.А. Регулярные и хаотические движения в неавтономной среде маятникового типа. Тр. IV Всерос. научн. конф. «Нелинейные колебания механических систем». Аннот. докл. Нижний Новгород. 1996. С.73.

69. Коловский М.З. Нелинейная теория виброзащитных систем. М.: Наука. 1966. 298 с.

70. Кононенко В.О. Колебательные системы с ограниченным возбуждением. М.: Наука. 1964. 236 с.

71. Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и её учёт в теории волчка. Проблемы гироскопии. М.; Мир. 1967. С. 60-72.

72. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.; Наука. 1968. 720 с.

73. Костерин Ю.И. Механические автоколебания при сухом трении. М.: Изд-во АН СССР. 1960. 76 с.

74. Крагельский И.В. Трение и износ в вакууме. М.: Машиностроение. 1973. 216 с.

75. Крагельский И.В., Гитис Н.В. Фрикционные автоколебания. М.: Наука. 1987. 181 с.229

76. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. Киев. Изд. АН УССР. 1937. 363 с.

77. Кудинов В.А. Динамика станков. М.: Машиностроение. 1967. 359 с.

78. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.; Наука. 1980. 359 с.

79. Ле Суан Ань. Влияние механических систем штабелера на плавность его хода. Изв. вузов. Машиностроение. 1987. № 12. С.91 97.

80. Ле Суан Ань. Механичские релаксационные автоколебания. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1973. №2. С.47-50.

81. Ле Суан Ань. Экспериментальное исследование механических автоколебаний при трении. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1972. №3. С. 62-70.

82. Левин А.И. Приближённый расчёт фрикционных автоколебаний. Машиноведение. 1981. № 2. С. 37^4.

83. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Наука. 1961. 824 с.

84. Лурье Г.Б. Автоколебания при шлифовании. Сб. «Абразивы». ЦБТИ. 1960. Вып.27. С.88.

85. Мак-Миллан В. Д. Динамика твёрдого тела. М.: ИЛ. 1951. 464 с.

86. Малкин И Г. Теория устойчивости движения. М.: Гостехиздат. 1952. 452 с.

87. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат. 1956. 492 с.

88. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д., Андронов A.A. и др. Новые исследования в области нелинейных колебаний. М.: ОНТИ. 1936. 96 с.230

89. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка. 1971. 440 с.

90. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука. 1981.400 с.

91. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир. 1990. 311 с.

92. Мурашкин Л.С. К вопросу о возбуждении автоколебаний на металлорежущих станках. Труды ЛПИ. Машиностроение. 1957. №191. С. 54-62.

93. Нагаев Р.Ф. Квазиконсервативные синхронизирующиеся системы. С.-Пб.: Наука. 1996. 251 с.

94. Нагаев Р.Ф. Периодические режимы вибрационного перемещения. М.: Наука. 1978. 160 с.

95. Нагаев Р.Ф., Сарафян Г.С. Фрикционные автоколебания в системе с кусочно-линейной характеристикой трения. Прикладная механика. 1990. № 10. С. 84-90.

96. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1972. 471 с.

97. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука. 1964. 336 с.

98. Первозванский A.A. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах. М.: Физматгиз. 1962. 352 с.

99. Петров В.Ф. О механических автоколебаниях при сухом трении в системах с одной степенью свободы. Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1967. №2. С.86-92.

100. Петров В.Ф. О механических автоколебаниях, возбуждаемых силами сухого трения в системах с двумя степенями свободы. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1968. №1. С.39-45.231

101. Платовских М.Ю. Фрикционные автоколебания и вибрационное перемещение в системах с одной и двумя степенями свободы. Автореферет канд. диссертации. С.-Пб. 1995.

102. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближённые методы исследования нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз. 1960. 792 с.

103. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Классики естествознания. M.-JI. Гостехиздат. 1974.392 с.

104. Пэнлеве П. Лекции о трении. М.: ГИТТЛ. 1954. 316 с.

105. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука. 1994. 285 с.

106. Савинов O.A., Лавринович Е.В. Вибрационная техника уплотнения и формования бетонных смесей. Л.: Стройиздат. Ленингр. отделение. 1986. 182 с.

107. Самсонов В.А. О трении при скольжении и верчении тела. Вестник МГУ. Сер.1. 1981. № 2. С. 76-78.

108. Санкин Ю.Н. Устойчивость фрезерных станков при резании. М.: Вестник машиностроения. 1984. №4. С.59-62.

109. Ш.Стрелков С.П. Теория автоколебаний маятника Фроуда. Журнал теоретической физики, 1933. Т.З. Вып.4. С.563-572.

110. Сумбатов A.C. Об устойчивости стационарных вращений несимметричного вала в опорах с сухим трением. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1989. № 1. С.44-47.

111. Толстой Д.М. Колебания ползуна, зависящие от контактной жёсткости, и их влияние на трение. Докл. АН СССР. 1963. Т.153. №4. С.820-823.

112. Тондл А. Автоколебания. М.: Мир. 1979. 398 с.232

113. Тхай В.H. Об устойчивости механических систем под действием позиционных сил. Прикладная математика и механика. 1980. Т.44. Вып.1. С.40-48.

114. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука. 1994. 285 с.

115. Фролов К.В. Вибрация — друг или враг? М.: Наука. 1984. 144 с.

116. Хархута Н.Я. Машины для уплотнения грунтов, Л.: Машиностроение. 1973. 356 с.

117. Черноусько Ф.Л. Условия равновесия тела на шероховатой плоскости. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1988. №6. С.6-17.

118. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Гостехиздат. 1955. 207 с. 121.Чичинадзе A.B. Расчёт и исследование внешнего трения приторможении. М.: Наука. 1967. 216 с.

119. Яковлев В.М. Об автоколебаниях груза на движущейся транспортёрной ленте. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1966. №2. С. 175-178.

120. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука. 1968. 344 с.

121. Bengisu M.Т., Akay A. Stability of friction-inducted vibration in multi-degree-of-freedom systems. Journ. of Sound and Vibr. 1994. №4. P.557-570.

122. Canudas de Wit С., Olsson H., Astrom K.J., Lishinsky P.A. New Model For Control of Systems with Friction. IEEE Trans. AC-40. 1995. №3. P.419-425.

123. Feigenbaum M.J. Universal Behavior in Nonlinear Systems. Los Alamos Sei. (Summer). 1980. P.4-27.233

124. Glocker Ch., Pfeiffer F. Stick-slip phenomena and application. Nonlinearity and Chaos in Engineering Dynamics. IUTAM Symposium. UCL. 1993. New York. P.103-113.

125. Ott E. Strange Attractors and Chaotic Motions of Dynamical Systems. Rev. Mod. Phys. 1981. №53(4), Part 1. P.655-671.

126. Pervozvanski A, Canudas de Wit C. Vibrations smoothing in systems with Dynamic Friction. Proc. NOL COS. 1998. P. 181-190.

127. Ta Kano Eisuke, Zhang Xiang Yong. Frictional vibrations 1,2. Res. Rept. Fac. NiigataUniv. 1986. №35. P.l-9, 11-18.

128. Wosle M., Pfeiffer F. Dynamics of Multibody Systems Containing Dependent Unilateral Constraints with Friction. Journ. of Vibr. and Control. 1996. №2. P.161-192.