автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов взаимодействия электронных пучков с полярными диэлектриками

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

■ > г

I,'

МАСЛОВСКАЯ Анна Геннадьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ С ПОЛЯРНЫМИ ДИЭЛЕКТРИКАМИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 3 ЯНВ 2014

Санкт-Петербург - 2014 005544633

005544633

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Амурский государственный университет».

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Ванина Елена Александровна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент

Виноградова Екатерина Михайловна,

профессор кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Прохоров Игорь Васильевич, заведующий лабораторией вычислительных методов математической физики ФГБУН Институт прикладной математики ДВО РАН

доктор физико-математических наук, доцент Черепанов Олег Иванович, профессор кафедры электронных средств автоматизации и управления ФГБОУ ВПО «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», г. Москва

Защита состоится 26 февраля 2014 г. в 15:00 на заседании диссертационного совета Д 212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199178, Санкт-Петербург, Васильевский остров, 10 линия, д. 33-35, ауд. 74.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета, расположенной по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9. Автореферат размещен на сайте ВАК. Автореферат разослан «/5*» января 2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических ,,

наук, профессор , , - ^' ' Курбатова Галина Ибрагимовна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время методы компьютерного моделирования являются одними из важнейших составляющих в решении различных фундаментальных и прикладных научных задач, позволяющих с помощью программных средств глубоко и всесторонне изучать наблюдаемые физические процессы и явления, проектировать системы имитационного моделирования, алгоритмы проведения и интерпретации результатов вычислительных экспериментов. Интеграция научных областей математического моделирования и физики взаимодействия заряженных частиц с твердым телом позволяет исследовать процессы, которые ранее не поддавались изучению чисто теоретическими или экспериментальными методами.

Исследование явлений, возникающих при облучении диэлектриков электронными пучками средних энергий (1-40кэВ), представляет как фундаментальный научный, так и практический интерес в связи с необходимостью создания новых диэлектрических и композиционных материалов с прогнозируемыми физическими свойствами, а также применением диэлектрических материалов различного функционального назначения в приборах и устройствах, работающих в полях ионизирующих излучений. Одним из распространенных аналитических методов исследования и технологической обработки различных полярных материалов является метод растровой электронной микроскопии (РЭМ). Это обусловлено широким спектром эффектов, наблюдаемых при воздействии электронных пучков на твердые тела, а также высокой чувствительностью полярных диэлектриков к электрическим и тепловым воздействиям электронного зонда, что позволяет получать отклик и создавать способы формирования изображения и исследования электрических свойств образцов. Особую значимость данное направление исследований приобретает в связи с практическими задачами применения аналитических методик растровой электронной микроскопии для исследования и модификации свойств сегнето-электрических материалов, а также созданием сегнетоэлектриков с субмикронными и наноразмерными доменными структурами. Однако при исследовании полярных диэлектриков с помощью методик растровой электронной микроскопии требуется учитывать изменения, которые могут происходить в исследуемых образцах при электронном облучении. Взаимодействие электронного зонда с образцом подлежит тщательному анализу для правильной интерпретации изображения и развития нестандартных методик РЭМ, применяемых для исследования свойств полярных материалов.

Многие эффекты взаимодействия электронного облучения с твердыми телами не всегда удается исследовать экспериментально, ряд результатов имеет качественный характер и получаемые оценки оказываются приближенными. Поэтому на практике часто прибегают к использованию средств и методов математического и компьютерного моделирования, основанных на физических законах взаимодействия излучения с веществом, механизмах формирования изображения в зондовых приборах и верифицированных принципах построения и реализации таких моделей. Специфика взаимодействия электронных пучков с полярными материалами при диагностике и модификации их свойств методами РЭМ приводит к необходимости разработки новых и модификации известных математических методов моделирования физических процессов, протекающих в облученной мишени, а также требует проектирования программных комплексов по проведению вычислительных экспериментов для моделирования карты сопутствующих эффектов с использованием современного программного обеспечения.

Основная цель диссертационного исследования заключалась в разработке математических моделей инжекционных, тепловых и поляризационных процессов, протекающих в полярных диэлектрических материалах при облучении электронными пучками средних энергий, а также в проведении комплексных исследований рассматриваемых проблем с применением созданных моделей и алгоритмов на основе вычислительных экспериментов.

В соответствии с целью работы были поставлены и решены следующие научные задачи:

1. Разработка математических моделей инжекционных, тепловых и поляризационных процессов воздействия электронных пучков средних энергий на полярные диэлектрические материалы и вычислительных алгоритмов для их реализации.

2. Создание имитационных моделей, развитие методов и разработка алгоритмов моделирования отклика сегнетоэлектриков на воздействие электронного зонда: движение доменной границы в поле градиента температуры; формирование пироэлектрического тока и растровых изображений доменных структур в пироэлектрических режимах; переключение поляризации и образование видеосигнала в инжекционном режиме.

3. Реализация вычислительных методов и алгоритмов в виде комплексов программ динамического моделирования процессов зарядки, инжекционных и тепловых процессов воздействия электронного облучения на полярные материалы.

4. Разработка прикладных программ и систем имитационного моделирования формирования отклика сегнетоэлектриков на электронное облучение.

5. Постановка, проведение и интерпретация результатов вычислительных экспериментов. Проверка адекватности математических моделей физическим процессам на основе сравнения результатов с решениями эталонных задач и экспериментальными данными.

6. Комплексные исследования процессов взаимодействия электронного облучения с полярными диэлектриками при параметрах, отвечающих различным объектам исследования и режимам сканирования, на основе проведенных вычислительных экспериментов.

Новизна научного исследования.

1. Предложен обобщенный подход к моделированию тепловых эффектов воздействия сфокусированного электронного зонда на полярные диэлектрики, основанный на численном конечно-элементном решении нестационарного уравнения теплопроводности, с учетом определенной с помощью метода Монте-Карло аппроксимации области взаимодействия электронов с веществом. Разработана система компьютерного моделирования, позволяющая проводить динамическое моделирование тепловых процессов в образцах при различных параметрах вычислительного эксперимента, отвечающих различным объектам исследования и режимам сканирования.

2. Разработана комбинированная математическая модель процесса зарядки при диагностике сегнетоэлектриков методами РЭМ, основанная на детерминированном диффузионно-дрейфовом подходе, с учетом собственной радиационно-стимулированной проводимости облученного образца при наличии первоначального распределения объемной плотности зарядов, определенного с помощью метода Монте-Карло. Предложен оригинальный программный комплекс, предназначенный для трехмерного динамического моделирования процесса зарядки с одновременным расчетом и визуализацией основных электрических характеристик.

3. Разработана математическая модель конфигурации 180-градусной доменной границы сегнетоэлектрика с фазовым переходом П-го рода в поле градиента температуры на

4

основе вариационного подхода. Предложена методика расчета конфигурации границы и формирования поляризационного тока с использованием метода локальных вариаций. Разработан метод стохастического компьютерного моделирования движения доменной границы в неоднородном тепловом поле.

4. Предложена математическая модель формирования пироэлектрического отклика сегнетоэлектрического кристалла на локальное воздействие постоянного и пульсирующего электронного зонда. Разделение пироотклика в модельном представлении на две компоненты и анализ соответствующих вкладов позволили наглядно интерпретировать факторы, влияющие на формирование результирующего пиросигнала, а также оптимизировать расчеты модельных зависимостей.

5. Разработан метод расчета растровых изображений доменных структур сегнето-электриков, в основе которого лежат законы формирования видеосигнала для пироэлектрического режима РЭМ. Получены новые научные данные о возможностях использования пироэлектрического отклика в качестве видеосигнала. Установлена роль скорости сканирования электронного зонда в формировании контраста изображения продольных и перпендикулярных доменных границ; определены критерии, ограничивающие разрешение изображения. Методами математического моделирования впервые исследован характер изображений доменов, полученных в режиме пульсирующего теплового зонда при различных способах детектирования отклика кристаллов, являющегося видеосигналом.

6. Предложена вычислительная схема реализации модели, предназначенной для исследования особенности формирования отклика пироэлектрика в окрестности фазового перехода при наличии зависимостей пироэлектрических и теплофизических характеристик от температуры. Представлен вычислительный алгоритм решения обратной задачи восстановления профиля пирокоэффициента сегнетоэлектрика по экспериментальным данным пироэлектрического тока.

7. На основе анализа основных механизмов переключения поляризации сегнетоэлек-трических образцов, индуцированных электронным облучением, предложена оригинальная модель формирования тока переполяризации, воспроизводящая основные особенности экспериментальных импульсов в инжекционном режиме. Предложена модификация модели формирования тока переключения поляризации сегнетоэлектрика, как конечной среды с фрактальным характером, основанная на численном решении дифференциального уравнения с дробной производной по времени. Разработаны вычислительная схема и система имитационного моделирования динамики доменной структуры сегнетоэлектри-ков в режиме инжекции электронного пучка.

Методы исследования. Для решения научных задач использованы средства и методы математического и компьютерного моделирования. Технологии компьютерного моделирования сосредоточенных воздействий на полярные материалы основаны на фундаментальных законах природы, использовании принципов аналогии, иерархических и вариационных принципах моделирования. Теоретические методы применены в сочетании с алгоритмическими и графическими возможностями современных математических пакетов прикладных программ. Для расчетных оценок области электронного возбуждения в твердых телах использован метод Монте-Карло. Построение моделей тепловых и зарядовых эффектов воздействия электронного зонда основано на применении сеточных методов решения эволюционных задач математической физики. Для решения задачи о моделировании конфигурации доменной границы использованы метод Монте-Карло и метод локальных вариаций. Задача о восстановлении профиля пирокоэффициента в постановке

5

интегрального уравнения решена методом регуляризации. Для оценок фрактальных характеристик сложных систем использованы методы фрактального анализа двухмерных изображений и временных рядов; математический аппарат решения дробно-дифференциальных уравнений.

Теоретическая значимость исследования состоит в разработке научных и методологических подходов к математическому описанию динамических процессов взаимодействия электронных пучков с полярными диэлектрическими материалами; в многоаспектном анализе отклика исследуемых физических систем, находящихся в неравновесных условиях электронного облучения. Методы математической формализации исследуемых систем, разработанные с использованием детерминированных, стохастических и имитационных подходов и концепций, а также прикладные программы по математическому моделированию служат целям создания фундаментальной теории, описывающей механизмы взаимодействия электронных пучков с полярными материалами, а также эффекты последействия.

Практическая значимость исследований заключается в научном обосновании уже используемых и в возможности разработки новых методик электронного зондирования полярных диэлектриков; в выработке практических рекомендаций для подбора оптимальных режимов исследования морфологии, потенциального контраста и модификации свойств полярных диэлектриков методами растровой электронной микроскопии.

Проведенные вычислительные эксперименты показали, что в ряде случаев электронный зонд не только регистрирует существующий потенциальный рельеф, но и сам оказывает влияние на формирование наблюдаемого контраста, создавая «активные» режимы зондирования. Изучение подобных режимов и их теоретическое обоснование позволяют решать принципиально новые задачи, заключающиеся в создании и комплексном анализе доменной структуры сегнетоэлектриков с заранее заданной конфигурацией и размерностью.

Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность полученных результатов и адекватность математических моделей обеспечиваются использованием фундаментальных принципов при формализации процессов и явлений, применением современных математических методов расчета, ясной физической интерпретацией описываемых физических систем, совпадением результатов с решениями эталонных задач. Для верификации полученных результатов моделирования использованы также известные данные, основанные на экспериментальных методиках растровой электронной микроскопии с вариацией режимов аналитического исследования полярных диэлектриков.

Реализация и внедрение результатов работы. Основные результаты диссертационной работы были получены автором при проведении исследований, выполнявшихся в 2001-2013 гг. в рамках следующих НИР: «Исследование взаимодействия электронного зонда РЭМ с сегнетоэлектрическими материалами» - НИР по заданию Министерства образования и науки РФ вузу на проведение научных исследований по тематическому плану (per. №01200101676, инв. №02200501048), 2001-2004гг.; проект «Исследование процессов инжекции и релаксации электронных пучков в полярных материалах» аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (per. №01200509108, инв. №02200601858), 2005г.; проект «Воздействие тепловых полей и высококонцентрированных потоков энергии на неорганические материалы» аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (per. №01200962619, инв. №02201254310), 2009-2011гг.; «Исследование физических

6

свойств, структуры и процессов самоорганизации диэлектрических систем» - НИР по государственному заданию Министерства образования и науки РФ вузу в части проведения научно-исследовательских работ (per. №01201052379), 2012г.; а также в рамках плана научно-исследовательской работы кафедры математического анализа и моделирования ФГБОУ ВПО «АмГУ» по теме «Разработка численных алгоритмов исследования и компьютерное моделирование физических систем» (per. №01201251796), 2012-2013гг.

Математические модели и программные средства, отраженные в диссертации, используются в учебном процессе ФГБОУ ВПО «АмГУ» при выполнении научно-исследовательских работ, в курсовом проектировании, при написании выпускных квалификационных работ студентов, обучающихся по направлениям подготовки 010400.62 -«Прикладная математика и информатика», 010900.68 - «Прикладные математика и физика». Полученные в диссертации модели взаимодействия концентрированных потоков энергии с твердыми телами, описание физических систем, находящихся в неравновесных условиях электронного облучения, во многом расширяют существующие представления о динамических свойствах этих систем и являются важной составной частью учебных курсов «Моделирование физических процессов», «Компьютерное моделирование систем», «Математические методы обработки данных».

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на 30 различных конференциях, симпозиумах, на заседаниях научных школах и семинарах: Всероссийской научной Internet-конференции «Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках» (Тамбов, 2001); XV Международной научно-практической конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Ангарск, 2002); III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X региональных научных конференциях «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование» (Благовещенск, Хабаровск, Владивосток, 2002-2011); XVI Всероссийской конференции по физике сегнетоэлектриков «Процессы переключения в сегнетоэлектриках и сегнетоэла-стиках» (Тверь, 2002); региональной школе-симпозиуме «Физика и химия твердого тела» (Благовещенск, 2003); Международной научно-практической конференции «Моделирование: теория, методы и средства» (Новочеркасск, 2003); научном семинаре математико-физико-химического факультета университета прикладных наук им. Бойта (Берлин, Германия, 2004); Международных научно-практических конференциях «Fundamental Problems of Opto and Microelectronics» (Хабаровск, 2004, и Владивосток, 2005); Международной конференции «Оптика кристаллов и наноструктур» (Хабаровск, 2008); Российском симпозиуме по РЭМ и аналитическим методам исследования твердых тел (г. Черноголовка, XVI, 2003 и XXI, 2009); научном семинаре факультета материаловедения Харбинского технического университета (Харбин, КНР, 2008); Международных симпозиумах "Micro- and nano-scale domain structuring in ferroelectrics" (Екатеринбург, 2005 и 2009); Международной научной конференции «Физика диэлектриков» (Санкт-Петербург, 2008); XVIII Всероссийской конференции по физике сегнетоэлектриков «Процессы переключения в сегнетоэлектриках и сегнетоэластиках» (Санкт-Петербург, 2008); XV Международной конференции "Dynamic system modeling and stability investigation' (Киев, Украина, 2011); Международной конференции "International Conference on Applied Mathematics and Interdisciplinary Research" (Тяньцзинь, КНР, 2011); Международной научной школе-конференции "Asian School-Conference on Physics and Technology of Nanostructured Materials" (Владивосток, 2011); XVI Международном симпозиуме «Нано-физика и наноэлектроника» (Нижний Новгород, 2012); Всероссийской молодежной научной конференции «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образова-

7

ние» (Благовещенск, 2012); Международном симпозиуме "1 Ith International Symposium on Ferroic Domains and Micro- to Nanoscopic Structures and 11th Russia/CIS/Baltic/Japan Symposium on Ferroelectricity" (Екатеринбург, 2012).

Результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научно-методических семинарах кафедр «Математический анализ и моделирование» и «Теоретическая и экспериментальная физика» Амурского государственного университета.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 64 работы, в том числе одна монография, 23 статьи - в ведущих рецензируемых отечественных и зарубежных журналах, входящих в перечень ВАК РФ (статьи [4, 5, 10, 16, 21] и переводные версии статей [2, 3, 7, 8, 12, 15, 23] в журналах, цитируемых международными базами Web of Science и Scopus), 33 статьи - в региональных журналах и в сборниках материалов Всероссийских и Международных конференций, получены 7 свидетельств о государственных регистра-циях программ для ЭВМ.

Личный вклад автора состоит в определении концепции работы и направлений исследований, в создании математических моделей, выборе методов решения, проведении компьютерных экспериментов, анализе и интерпретации полученных результатов. Все исследования, результаты которых изложены в диссертации, проведены лично соискателем или под его научным руководством. Из совместных публикаций в диссертацию включен только тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Вклад соискателя в подготовку работ, опубликованных в соавторстве, состоит в следующем. В монографии оригинальные исследования соискателя представлены в третьей и пятой главах; кроме того, автором подготовлена первая обзорная глава и осуществлена общая редакторская и научная правка монографии.

Работы [9, 58] опубликованы в соавторстве с научным консультантом диссертации, при определяющем вкладе диссертанта в представленные результаты.

В совместных публикациях [2-5, 7, 12, 27-30, 32-34, 36] автором разработаны алгоритмы и программно реализованы принципиально новые математические модели: формирования изображения доменных структур сегнетоэлектриков в пироэлектрическом режиме [2-5, 27, 30, 32], движения доменной границы в поле градиента температуры [2829], формирования тока переключения поляризации в инжекционном режиме [7, 34, 36], нелинейного пироотклика и восстановления профиля пирокоэффицента [12, 33]. Соавторам данных работ принадлежат оригинальные методики экспериментального зондирования сегнетоэлектриков в РЭМ (A.A. Согр, И.Б. Копылова) и результаты экспериментального исследования пироэлектрических свойств полярных диэлектриков (A.A. Согр, П.И. Кушнарев, C.B. Барышников).

Остальные совместные работы опубликованы в соавторстве с учениками соискателя. Автору диссертации в этих работах принадлежит ведущая роль в построении математических моделей физических процессов и вычислительных алгоритмов для их реализации. Аспирант A.B. Сивунов принимал участие в разработке систем компьютерного моделирования инжекционных и тепловых процессов в облученных материалах. Аспиранту Т.К. Барабаш принадлежат результаты исследования фрактальных и мультифрактальных свойств динамических характеристик сегнетоэлектрических материалов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографического списка. Рукопись диссертации содержит 329 страниц основного текста, 108 рисунков, библиографический список из 280 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цель и задачи исследования, отражена научная новизна, теоретическая и практическая ценность полученных результатов, приведены результаты работы, выносимые на защиту.

В первой главе дается краткий аналитический обзор теоретических основ и модельных представлений процессов взаимодействия электронного облучения с полярными диэлектриками при диагностике методами растровой электронной микроскопии. Приведены базовые модели, дающие представление о взаимодействии пучка электронов с облучаемой мишенью. Обозначены современные приоритетные направления исследований в области растровой электронной микроскопии сегнетоэлектриков, основанные на использовании специфических откликов полярных образцов и направленные на изучение их свойств. Указаны некоторые нестандартные методики, применяемые для формирования растрового изображения доменной структуры. Освещены общие характеристики сегне-тоэлектрических явлений в кристаллах, приведены литературные данные о пироэлектрических измерениях, описаны основные модели и подходы к изучению динамики движения доменных границ и процессов переполяризации кристаллов.

Проведенный обзор показал, что, хотя различным аспектам взаимодействия электронных пучков с диэлектрическими материалами и посвящен широкий круг работ, целый ряд вопросов, касающихся теоретического анализа тепловых, поляризационных и зарядовых процессов, протекающих в сегнетоэлектрических материалах при облучении электронными пучками средних энергий и используемых для аналитических исследований и модификации их свойств, изучен в недостаточной мере.

Во второй главе предложены математические модели инжекционных, тепловых и поляризационных процессов воздействия электронного зонда на полярные диэлектрические материалы и вычислительные алгоритмы для их реализации на основе синтеза стохастического и детерминированного подходов.

В разделе 2.1 приведен алгоритм динамического ЗО-моделирования электронных траекторий в твердых телах при облучении электронными пучками средних энергий, представляющий первый этап моделирования зарядовых и тепловых эффектов последействия электронного облучения на исследуемые объекты.

Алгоритм расчета траекторий электронов при рассеянии в твердых телах для реализации трехмерной модели методом Монте-Карло основан на классическом подходе, предполагающем использование модельного дифференциального сечения Мотта, закона непрерывных ионизационных потерь энергии Бете, модели быстрых вторичных электронов и значения длины шага, пропорциональной средней длине свободного пробега электронов. В математической постановке задачи моделирования учтены упругие и неупругие процессы взаимодействия электронов с образцом, вызванные бомбардировкой мишени.

Математические модели процессов зарядки и теплопроводности, возникающих при электронном облучении диэлектриков, требуют задания функции внутреннего источника в объекте. Для аналитического описания области взаимодействия электронного пучка с облучаемой мишенью необходимо установить геометрию пространственного распределения инжектированных зарядов на основе имитационного моделирования электронных траекторий методом Монте-Карло, а также определить функциональную зависимость распределения выделенной энергии:

/ = /0-ехр(-(/-А-тах)2/[2-(гтах)2Л, г = 777777, (1)

где /0 — нормировочный коэффициент (имеющий соответствующую физическую размерность); гтах - абсцисса максимума энерговыделения, м.

В разделе 2.2 предложена математическая модель тепловых процессов воздействия электронного зонда на полярные диэлектрики и вычислительная схема ее реализации.

Моделирование температурных полей, возникающих в полярных диэлектрических материалах при режимах наблюдения «на открытой» поверхности, в некоторых приближениях можно провести с использованием аналитических методов теории теплопроводности (п. 2.2.1).

В методиках РЭМ пучок электронов оказывает сосредоточенное воздействие на образец, поэтому в оценках тепловых нагрузок электронный зонд можно рассматривать как сфокусированный тепловой источник. При построении аналитических решений для первой модельной задачи принят ряд ограничений, а именно - пренебрегалось наличием процессов излучения; потерей энергии, обусловленной явлением вторично-эмиссионной эмиссии; временем, требуемым для создания внутреннего источника в объекте; зависимостью теплофизических характеристик кристаллов от температуры. Предполагалось, что пучок электронов падает перпендикулярно к плоскости поверхности образца. Для режимов высоковольтных РЭМ внутренний источник аппроксимирован полусферой, центр которой находится в точке пересечения оси зонда с плоскостью поверхности объекта; для режимов низковольтных РЭМ использовано цилиндрическое приближение (глубина инжекции пучка много меньше линейного размера облучаемой зоны на поверхности). Мощность источника полагалась постоянной. Оценка геометрических характеристик внутреннего источника проводилась с использованием результатов стохастического моделирования транспорта электронов методом Монте-Карло.

Для моделирования динамики локального нагрева образцов использовано фундаментальное решение нестационарного уравнения теплопроводности в безграничном пространстве. Постановка задачи предполагает, что на достаточно большом удалении от источника его влияние на температурное распределение в образце пренебрежимо мало. Применение метода источников позволяет выразить температурные распределения для непрерывно действующих поверхностных тепловых источников различных конфигураций. Интегрирование фундаментального решения для точечного источника по пространственным координатам дает решения для мгновенных сферических и цилиндрических поверхностных источников, а интегрирование по времени - решения для непрерывных источников. Полученные аналитические выражения позволяют моделировать нестационарные тепловые поля и в предельном случае оценить максимальную величину перегрева образцов. Кроме того, указанные решения использованы как эталонные модели для верификации результатов численного моделирования.

При исследовании тепловых нагрузок следует учитывать особенности проведения экспериментов, в частности использование металлических электродов, нанесенных на грани кристалла. Расчет тепловых полей в общем случае возможен с применением методик численного анализа (п. 2.2.2). Для построения модели необходимо определить теп-лофизические параметры кристалла и электрода, а также параметры эксперимента, соответствующие характеристикам РЭМ и режимам сканирования. Инициализация функции объемной плотности мощности и геометрии теплового источника проведена на основе моделирования электронных траекторий в образце методом Монте-Карло с учетом вторично-эмиссионных эффектов.

ю

Геометрия взаимного расположения модельного образца и теплового источника показана на рис. 1. В области 0 < г<1 находится проводящий материал, а в области I < г <2 — сегнетоэлектрик. Контактное сопротивление на граничной поверхности отсутствует. В плоскости 2 = 0 в момент времени I = О действует непрерывный источник тепла.

Математическая модель представляется в виде начально-граничной эволюционной задачи:

дТ

= /{х,у,г\ Т^х,у,иа) = Та, 7]| =Т0, / = 1,2,

дг

= 0, к

= /с дТ2(х,у,г,0

дг

(2)

2и=/>

г=/

где Г/ - температура в /'-м слое, К; ^ - коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К); р, -плотность, кг/м3; с, - удельная теплоемкость для /'-го слоя, Дж/(кг-К); / - толщина электрода, м; Т0 - температура в начальный момент времени, К;/- функция объемной плотности мощности источника, Вт/м3, определяемая с использованием выражения (1) при /0 = /о = IV/V (/ - ток зонда, А; и - ускоряющее напряжение, В; К - объем внутреннего источника, м3).

Численный алгоритм для реализации математической модели (2) построен на основе комбинированного j сеточного метода. Для аппроксимации функции Т в нумерованных узлах области П с границей Г = Г, и Г2

_ м

строится приближенное решение Т а Т = Т.Тт- Nт , где

А^т, /77 = 1,М - система базисных функций. Разбиение расчетной области П на конечные элементы Ое прове-

рке. 1. Схема модели образца и аппроксимации теплового дено тетраэдрами. В соответствии с методом взвешен- источника (для режимов высоко-ных невязок потребуем ортогональности для функцио- вольтных и низковольтных РЭМ), нальной невязки Яп(х,у,г) по расчетной области О и весовых функций для внутренних узлов И^г(х,у,г), и для невязки ЯГ(х,у,г) по границе Г и весовых функций для граничных узлов 1Ух(х,у,г) :

п

рс- кТАТ - ( К 3/ т 7

' IV, (х, у, 2)сЬсйус1~ + I

дТ дп

1Гхс1Г = 0,

где Те - функции элементов; 5 = 1,Л/.

Построение глобальной неоднородной СЛАУ проводится с использованием ослабленной формулировки конечно-элементного метода Галеркина:

м дТ

I /р с-£-ИгИтМ + Тп\ т=\ |/ ОТ [/

дх

дх

' ду

ду

■ЩкТ^

дг I т &

с1У

= 1/(х,у,г)М„с1У, 5 = 1 ,А/, при (V, = = N..

Глобальная СЛАУ представляется с учетом вклада отдельных конечных элементов е: дТ

С--н КТ = /•". Конечно-разностная аппроксимация производной по времени по схеме

Кранка-Николсона дает значение температуры Т в средней точке временного интервала

А1 = 1р+1-1р: \— + К\Т'=—Тр+Р', где Г' = -{гр+1+Рр). Конечно-элементная ап-^ М ) М 2К '

проксимация решения строится на каждом временном слое. Для оптимизации вычислительных затрат зона динамического нагрева в объеме материала покрывалась сеткой элементов меньшего размера. Проверка практической сходимости расчетной схемы обеспечивала получение приближенного решения с требуемой точностью.

В разделе 2.3 представлены результаты построения и алгоритмизации математической модели процесса зарядки при воздействии электронных пучков средних энергий на полярные материалы.

В основе математической модели лежит обобщенная физическая модель, описывающая процесс зарядки диэлектриков и основанная на совместном решении уравнения неразрывности и локально-мгновенного уравнения Пуассона:

[Зр=С7-сНУА

• а (3)

спуе = р/(ее0),

где р - объемная плотность распределения зарядов, Кл/м3; ] - плотность тока, А/м2; Е -напряженность поля, В/м; е — удельная диэлектрическая проницаемость среды, 1; е0 - диэлектрическая постоянная, Кл/(Вм); С - генерационное слагаемое, Кл/(м3 с).

Предложена следующая модификация модели (3). Плотность тока проводимости представлялась суммой диффузионного и дрейфового токов:

=-/^гас1р,

где о=цп'Р ~ собственная радиационно-стимулированная проводимость образца, — коэффициент диффузии электронов, м/с; цп = у(//./Е, или =е-1 /(от-у)- дрейфовая подвижность электронов, м2/(В-с);у^ - дрейфовая скорость

электрона, м/с; / - средняя длина свободного пробега, м; V - средняя тепловая скорость, м/с; от - масса электрона, кг; к - константа Больцмана, Дж/К; Т - температура, К; в - заряд электрона, Кл.

Предположим, что сфокусированный пучок электронов начинает действовать в момент времени ?=0 перпендикулярно к плоскости поверхности образца г=0. Принимая во внимание, что сПу] = стсПуЕ + Е§гас1а-£Др, математическая модель с учетом цилиндрической симметрии задачи может быть записана в виде системы:

дР = с дi ее п

дг2 г дг дг2

д ф 1 Эф Э ф _ дг1 г дг дг2 ~

с начальным р(г,г,10)=р°

р\г=г- = 0, ф|г=2; = 0 . г=Я г=й

(4)

Е = -^гас1ф, 0<г<Я, 0<г<г, 0</<7\

и граничными условиями

дп

= 0,

'=0; дп

г=0

г=0; 2=0

Предложен следующий алгоритм для реализации математической модели (4).

Решение первого уравнения системы (4) (определение распределения плотности зарядов) строилось методом конечных разностей с применением алгоритма дробных шагов (Яненко). Расчетная схема представляется в виде:

¿+1/2 к Р'./ =Р',./

ЕЕ л

2/г,

Б

Р/+1.7 - 2Р/.У +Р/-1,./

1 р,+1.; - р,-1.,

2/?,

*+1/2 _ *+1/2 ¿+1/2 _

Р>,./-1

2 Л,

(5)

Использована

пространственно-временная

сетка:

г/ = = 0,/и;^ = кх,к = 0,1,2,..с шагами /?2, т по переменным г, г, / соответственно. Устойчивость схемы (5) обеспечивается выбором шагов И], л?2, т в соответствии с условием Куранта.

Решение второго уравнения системы (5) (уравнения Пуассона) построено методом

конечных элементов. Приближенное решение задачи находилось на каждом временном

р

шаге в виде линейной комбинации базисных функций: ср(/%г)« ф(г,г) = £ фрНр{г,г), где

р=1

Р - число нумерованных узлов. Составление уравнения согласно методу взвешенных невязок, определение весовых функций по методу Галеркина и использование ослабленной формулировки задачи предоставляют возможность сконструировать глобальную СЛАУ, численное решение которой дает значения потенциалов в узлах расчетной области.

Соотношение Е = ^гас1ф системы (4) задает связь между потенциалом и напряженностью поля, созданного инжектированными зарядами, в каждый момент времени. Кроме того, зависимость Р = (е - 1)е0Е, Кл/м2 позволяет рассчитать компоненты вектора поляризации Р, индуцированной электронным облучением в образце.

Для общей вычислительной схемы реализации модели (4) установлена ее практическая сходимость.

Таким образом, для различных по природе тепловых эффектов и процессов зарядки, возникающих при воздействии электронных пучков на полярные диэлектрические материалы, предложен единый подход к математической формализации этих явлений. Он заключается в синтезе двух методологий: детерминированного численного моделирования нестационарных процессов, описываемых многомерными уравнениями с частными производными, и стохастического моделирования транспорта электронов методом Монте-Карло для аппроксимации области взаимодействия пучка с мишенью и функции внутреннего источника в объекте.

Глава 3 диссертации посвящена созданию имитационных моделей, развитию методов и разработке алгоритмов моделирования отклика сегнетоэлектрических кристаллов на воздействие электронного зонда РЭМ. Разделы 3.1 - 3.3 представляют имитационные

модели процессов и явлений, обусловленных тепловым воздействием электронного зонда на полярные материалы, раздел 3.4 посвящен моделированию отклика физической системы на полевые эффекты инжектированных зарядов, при этом разделы 3.2 - 3.4 демонстрируют возможности математического моделирования откликов кристаллов, которые используются в качестве видеосигналов в методиках формирования РЭМ-изображений доменных структур сегнетоэлектриков.

В разделе 3.1 представлены математическая модель конфигурации доменной границы в неоднородном тепловом поле и вычислительные методики для ее реализации. Для задачи о равновесной конфигурации 180-градусной доменной границы сегнетоэлектриков с фазовыми переходами II рода предложена математическая модель, сформулированная в виде вариационной задачи о минимизации функционала:

Ф(г(*)) = jcc3/2a0 • (zc - zf/2^l + z'2dx -> min, (6)

где zc — уровень отклонения границы от равновесного положения, соответствующий

температуре Кюри Тс\ ct = dT/dz - градиент температуры; Т0 - начальная температура; ст0 = 4л/2 • d-ft!2 /{i-Jz^ ■ у); ß - положительная константа, связанная с константой Кюри-Вейсса соотношением Ср =l/(s0-ß); £0 - электрическая постоянная; у — коэффициент в разложении термодинамического потенциала; d - постоянная решетки, с граничными условиями I рода, соответствующими случаю закрепления доменной стенки: z(x0) = z(x) = 0 (рис. 2).

Минимум функционала 0(z(jt)) достигается в силу выполнения усиленного условия Лежандра. Предложен алгоритм решения задачи (6) на основе метода локальных вариаций. Решение строится последовательными приближениями. В качестве возможных значений для z*+l при Xj = Xq + ¡Ах рассматриваются три величины: zf, г,* +/г, zf + h, при априорно заданном шаге варьирования И. Выбор значения z*+1 определяется исходя из требования минимума функционала. Для оптимизации вычислений осуществлялась итерационная обработка для подбора значений Ах и И.

При увеличении значения градиента будет возрастать и максимальное отклонение от равновесного положения. Численное значение величины Аz определено параметрами модели и не зависит от величин, образующих комплекс <т0. Процедура построения решения на основе метода локальных вариаций отвечает физическим законам поведения моделируемой системы. Алгоритм метода локальных вариаций описывает не только предельное положение доменной границы, но и динамику границы, позволяющую ввести модельное представление компоненты поляризационного тока:

l(t)=2PsiASm/At), (7)

где ASsw - изменение площади грани кристалла, соответствующее изменению объема домена за счет смещения стенки (рис. 2); Ps(Т) = (ps(Т0)/V(7c ~To)\j{Tc ~т) ■

Используемый подход находит согласование с реализацией модели методом статистических испытаний. Предложен следующий алгоритм моделирования движения доменной границы. В основу поведения стохастической модели положен ряд принципов.

14

У

Рис. 2. Модельное представление конфигурации доменной границы.

Профиль доменной границы разбивался на звенья, каждому из которых при помощи генератора случайных чисел необходимо было задать дискретное перемещение -Дг0, 0 или +Лго (рис. 3), соответствующее малым тепловым флуктуациям границы.

Расчет изменения энергии границы основан на вычислении изменения площади области перемещения и температуры:

И', = а,А-%, АБ, (8)

где Ах - расстояние между звеньями; А5, - площадь левого звена /-го узла для единичной

толщины кристалла; г, - координата узла /'; а, - поверхностная энергия звена. Для определения поверхностной энергии звена а, выбирается значение температуры в средней точке: ст, = о(Г; + 7^_,)/2. Энергия новой и старой конфигураций сравнивалась. Актуализация перемещения проводилась с вероятностью, зависящей от изменения энергии в соответствии с распределением Больцмана. Такой подход давал возможность выбора и энергетически менее выгодной конфигурации, но с меньшей вероятностью. Различие вероятностей состояний с различной энергией обеспечивает стохастическое движение доменной стенки к конфигурации с минимальной энергией. Применение метода Монте-Карло также дает возможность моделирования движения незакрепленной доменной стенки.

В разделе 3.2 представлены математическая постановка и алгоритмизация модели формирования пироэлектрического отклика сегнетоэлектрического кристалла на локальное воздействие постоянного и пульсирующего электронного зонда, а также предложен метод расчета РЭМ-изображений сегнетоэлектрических доменных структур.

Электронный зонд РЭМ является не только источником электронов, но и локальным тепловым источником. Поэтому, перемещая локальную точку нагрева по поверхности кристалла, можно получить пиросигнал, характеризующий распределение поляризации по поверхности кристалла, т.е. изображение доменной структуры. Изменение теплового поля кристалла, вызванное действием на него электронного зонда, приводит к изменению поляризации Д и протеканию в цепи короткозамкнутого образца поляризационного тока. Таким образом, задача о форме пиросигнала сводится к задаче о распространении тепла в образце от локального источника.

Выражение для пиротока получено с использованием нестационарного уравнения теплопроводности и теоремы Остроградского в следующем виде:

/ = = ¡/¿У+^^Лл, (9)

р-с-а у а $

где ¿/-толщина кристалла; у - пирокоэффициент.

При движении зонда вдоль оси х тепловое поле обладает цилиндрической симметрией (рис. 4). Доменная граница представлялась полуплоскостью

конечная толщина кристалла - цилиндриче- Рис- Геометрия модельного образца, ской границей г=с1. В модели понятие конечной толщины кристалла относится только к размерам пироактивной области, т.е. к области ненулевого значения у. При расчете теплового поля кристалл предполагался безграничным.

15

Рис. 3. Схема узлов модели.

Разделение пироотклика на две компоненты и анализ их роли позволили наглядно интерпретировать факторы, влияющие на формирование результирующего пиросигнала. Для цилиндрической симметрии задачи были получены выражения кумулятивной и диффузионной компонент пиротока:

/1=ХЕ_ 7 (,) = ъа2 эт^ (ю)

р-с-а аг дх

где IV — мощность источника.

Моделирование формы пироотклика для кристаллов с различной геометрией при воздействии неподвижного и движущегося теплового зонда предполагает использование соотношения (10) с учетом подстановки решения задачи Коши для уравнения теплопроводности и применения численных процедур интегрирования. Рассмотрены следующие модели: 1) неподвижный зонд в бесконечном однородном кристалле, 2) неподвижный зонд в бесконечном двухдоменном кристалле, 3) неподвижный зонд в однородном кристалле конечной толщины с нижней границей, 4) движущийся зонд в двухдоменном кристалле. В модели переменные нормировались с использованием критериев подобия. Числа Фурье и Пекле дают возможность задать масштабы времени ххс=х21а2 и длины у = а2 / V для заданной скорости V.

Для бесконечного кристалла задача моделирования формы пироотклика была решена аналитически, с использованием выражения для стационарного поля движущегося источника, которое в системе отсчета, связанной с зондом, представляется в следующем виде:

Т(х',/, /) = —у-гехр[~ > К = л1х'2 +У'2 +г'2 , (11)

АпктЯ \ 2а )

где v - скорость движения зонда; кт - коэффициент теплопроводности.

Проведено моделирование отклика кристалла на воздействие пульсирующего теплового зонда. Дополнительным характерным параметром модели является частота пульсаций зонда со. Получено выражение для пироотклика в двухдоменном безграничном кристалле:

/(/) = ^ ехр(/ы?)--5/£и(х)ехр(-ЫА(1 + /'))ехр((со/), (12)

рс^о 2с/0рс

где к = -у/со/(2а2) - параметр, определяющий сдвиг фаз и затухание переменной тепловой волны; х - расстояние от зонда до доменной границы. Единичному значению частоты пульсаций со соответствует характерная длина распространения переменной части теплового фронта 10 = \/ к Ширина переходной области, а следовательно, и размытие доменной границы на микрофотографии определяются параметром /0 и уменьшаются с ростом частоты со. Контраст изображения границы зависит от способа детектирования пиросигнала 1(1).

С целью исследования закономерностей формирования изображений доменных структур сегнетоэлектриков предложен метод расчета теоретических микрофотографий, основанный на модельном представлении отклика кристалла, являющегося видеосигналом. Исходная доменная структура представлялась как изображение в растровом формате, состоящее из черных и белых областей, соответствующих у = ±1. Метод предполагает поэлементное «сканирование» матрицы доменной структуры, определение местоположения границ. Расчет пиротока, определяемого согласно (10)-(11) или (12), необходимо

16

проводить по каждой позиции зонда, с учетом вклада всех элементов доменной структуры. Процедура численного интегрирования по глубине кристалла учитывает конечную толщину кристалла й. Яркость соответствующего элемента теоретической микрофотографии определяется величиной пиротока, и для получения результирующей микрофотографии матрицу значений пирооткликов требуется перевести в растровое изображение. Метод позволяет моделировать процесс формирования видеосигнала и поточечное отображение на экране дисплея РЭМ микрофотографии доменной структуры, с учетом основных законов формирования видеосигнала.

При тепловых потоках большой мощности форма пиросигнала может быть искажена из-за ярко выраженных температурных аномалий пироэлектрических и теплофизических свойств образцов вблизи температуры фазового перехода. В разделе 3.3 представлен алгоритм моделирования пироотклика сегнетоэлектрика в нелинейном режиме. В нелинейной постановке модели была принята сферическая аппроксимация источника тепла, имеющего постоянную объемную плотность мощности. Мощность источника характеризовалась радиусом, на котором достигается температура Кюри. Масштабы длины и времени нормировались через коэффициент тепловой диффузии при комнатной температуре. Применение метода конечных разностей для задач со сферической симметрией, а также явной разностной схемы к уравнению теплопроводности дает возможность перейти к разностным уравнениям, аппроксимирующим температурное распределение в образце. Модельное представление пиросигнала получено на основе алгоритмизации процедур численного дифференцирования и интегрирования для (9), с учетом аппроксимации теплоемкости и пирокоэффициента модельными функциями, повторяющими основные особенности экспериментальных данных.

В разделе 3.3 также представлен алгоритм решения обратной задачи о восстановлении распределения пирокоэффициента по толщине образца. Реализация модели основана на численном решении операторного уравнения I рода с выбором квазиоптимального параметра регуляризации, с учетом экспериментальных значений пироотклика сегнето-электрического кристалла (аппроксимированных кубическим сплайном) и модельного теплового распределения в образце.

Для определения нестационарного распределения температуры Т{х,{) использовано аналитическое решение одномерной задачи теплопроводности при воздействии на образец непрерывного плоского источника тепла. Задача восстановления профиля пирокоэффициента у(Х) сформулирована в виде интегрального уравнения Фредгольма I рода:

ехр

" 0 "2"\ 71С1 [

4 Л,

сЬс, (13)

где ¿-толщина кристалла, м; д = IV /(Б -с- р); IV— мощность источника, Вт; 5- площадь грани кристалла, м2.

Предложен алгоритм восстановления координатных зависимостей пирокоэффициента, построенный на основе метода регуляризации по Тихонову. Рассмотрен сглаживающий функционал:

^а=Ку-< +а||у|^, (14)

где Ль - аппроксимирующий интегральный оператор, соответствующий ядру; И>0 - погрешность аппроксимации; Ь2 - пространство квадратично суммируемых функций; ^'[а.б] - пространство квадратично суммируемых функций, имеющих квадратично

суммируемые производные; а>0 - параметр регуляризации. Реализация экстремальной задачи о минимизации функционала (14) требует решения уравнения Эйлера. Выбор параметра регуляризации а осуществлен согласно принципу обобщенной невязки. Построение конечномерной аппроксимации функционала А/*[у] и применение квадратурных формул Ньютона-Котеса дают приближенное решение задачи (13). Схема требует контроля невязок решения и параметра эффективной погрешности, учитывающих уровни ошибок измерений и дискретизации.

Раздел 3.4 посвящен разработке и алгоритмизации математической модели процесса переключения поляризации сегнетоэлектрика и формирования поляризационного тока в режиме инжекции электронного пучка.

Экспериментальная методика токов электронно-стимулированной поляризации позволяет одновременного наблюдать доменную структуру и регистрировать процесс переполяризации в этих условиях. При повышенных ускоряющих напряжениях (15-40 кэВ) электроны способны проникать сквозь тонкий электрод в глубь образца. Инжекция электронов в кристалл сегнетоэлектрика (рис. 5) приводит к накоплению заряда в облученном слое, который индуцирует появление зарядов на верхнем и нижнем электродах. Накопление зарядов вызывает, в свою очередь, появление полей в соответствующих слоях кристалла, __.__инициирующих процесс переполяризации в необлученной части образца. Выражение для поля, возникающего в необлученной части кристалла, имеет вид:

1

£г

Рис. 5. Схема регистрации Е^ — — С •/о/(е-Ео-1). (15)

тока переполяризации в ин- где Е _ диэлектрическая проницаемость образца, 1; в0 - элек-жекциолном режиме. трическая постоянная, Ф/м; а - поверхностная плотность накопленного в облученном слое заряда с учетом знака, Кл/м2; Ь - толщина кристалла, м; /0 - эффективная глубина залегания инжектированного заряда, м.

Заметный вклад в поляризационный ток будет давать только переключение поляризации необлученной части кристалла. Начало импульса тока переполяризации соответствует моменту, когда поле Е2 достигает значения коэрцитивного. С учетом возможных особенностей поведения доменной стенки была построена серия усложняющихся моделей процесса переполяризации кристалла под действием инжектированных зарядов. Использована следующая зависимость скорости движения V от напряженности поля:

у = у„ехр(-5/£), (16)

где V, - максимальная скорость при £ —»со, м/с; 5 - поле активации, В/м.

Модель тока переключения поляризации основана на двухмерной модификации модели Колмогорова-Аврами, в которой поляризационный ток определяется изменением переполяризуемого объема при движении стенки:

1(0 = 2 (17)

где Б = 2у-с1 - площадь электрода, м2; £ - толщина кристалла, м; у = о£ж(/)/<Л - скорость движения доменной стенки (21), м/с; Р5 - спонтанная поляризация, Кл/м2.

Наибольший интерес представляет следующая обобщенная модель, основанная на предположении, что доменная граница прорастает клиньями и наблюдается движение «зубчатого» фронта (рис. 6).

Клин прорастает с неизменной величиной ширины основания 2у, при этом угол 8 доменной стенки изменяется. Заряд, существующий на стенках клина, создает также индуцированный заряд на электродах, поле которых эквивалентно заряду зеркального отражения. Для расчета полей «зубчатая граница» заменялась некоторой эквивалентно заряженной плоскостью, находящейся на середине клина.

а ________________т\

Л0

а'=-/<+2/? <У=-2 Рх

а 6

Рис. б. Схема распределения зарядов в модели - а; фрагмент прорастания домена - 6.

Выражение для поляризационного тока после ряда преобразований приобретает следующий вид:

у-с1 ск

4Л

Л

, при 0<х< ¿-10

Ь сЬс

(18)

4Р5-у-с1-——, при Ь-10 <х<2(Ь-10).

Л

В данной модели при прорастании клина изменение ориентации заряженной стенки будет приводить к ослаблению ее поля:

Е2 =(1/[ЕЕо4(у'"о -2/Уо +2/>5(*(0/2 + /0)со52е), (19)

где у - плотность тока, А/м2.

Дифференциальное уравнение, описывающее динамику движения границы в данной модели, имеет вид:

с1х

— = —ехр Л т,

i -т-, + т-> соб 0

1 +

V

21

о у

О<*(/)<2(1-/0), х(0) = 0,

(20)

где = ~ характерный параметр, имеющий смысл времени прорастания границы сквозь кристалл, с; т2 =5-е-е0 -¿/(/-/о) - характерный параметр, имеющий смысл времени накопления заряда, создающего поле £2=5 при данной плотности тока у, с; т3 =2Рц/] - характерный параметр, имеющий смысл времени, в течение которого ток создаст плотность заряда ст=2с.

Таким образом, математическая модель тока переключения поляризации выражается в виде (18), (19) и требует численного решения задачи Коши (20) для обыкновенного дифференциального уравнения при инициализированном наборе параметров моделирования: /0,у, Ь, т,, т2, т3.

Математическая модель формирования тока переключения поляризации (17) была модифицирована с учетом фрактального подхода:

= (21) где р = х/Ь - безразмерное расстояние; £ = */т, - безразмерное время; а - фрактальный параметр. Выражения (18)-(19) преобразованы соответствующим образом. Моделирова-

19

ние фрактальной динамики требует решения обыкновенного дифференциального уравнения с дробной производной с начальным условием:

:ехр —;-л 2 п - Р(5 = 0) = 0, (22)

^ т,^ - т3 + т3(1 +(р • ¿)/(2/0))соб 0

где 0<р(^)<2(1-/(>/£). Построена схема численного решения задачи (22) с использованием формулы Грюнвальда-Летникова аппроксимации дробной производной. Последовательная аппроксимация производной для ¡-го узла ) « х,, ¡=0,к дает явную конечно-разностную схему:

х/+1 = Г(1)(ЛаЯ(х„;,)- -,>,), Ху =ГО -а)/[Г(-а)-Г(у + 1)], (23)

7=1

где И - шаг по времени; Г(а) - гамма-функция Эйлера; со = {г, = ¿0 + ¡И, 1 = 0,г} - сетка; g(x,t) — правая часть дифференциального уравнения (22).

Общая схема (23) отражает идейный смысл использования дробной производной для моделирования физических систем с памятью: каждое последующее значение рассчитывается с учетом предыдущих состояний. Алгоритм моделирования тока переключения предполагает также разделение объема модельного кристалла на несколько областей, в которых процесс переполяризации начинается не одновременно, а с некоторым временным интервалом. Этот процесс эквивалентен процессу «зародышеобразования» - образованию новых областей переполяризации. Суммарный отклик определяется суперпозицией токов каждой из подобластей. Выбор области и начала момента переключения проводится в соответствии со схемой метода Монте-Карло. Критерий останова вычислительного процесса связан с условием завершения процесса переполяризации: «прорисовка» области заканчивается при достижении середины каждого клина нижней грани кристалла: лг(0=2(£-/о).

В главе 4 представлены результаты разработки комплексов проблемно-ориентированных программ, а также прикладных программ для компьютерного и имитационного моделирования эффектов взаимодействия электронных пучков с полярными диэлектрическими материалами.

Все разработанные прикладные программы и программные приложения, реализующие математические модели, состоят из основных частей: препроцессора (подготовка и проверка исходных данных модели); процессора (решение задачи на основе вычислительных алгоритмов, представленных в главах 2 и 3); постпроцессора (графическая визуализация полученных результатов); кроме того, в программных приложениях и комплексах программ препроцессорная и постпроцессорная части функционально связаны со специальными системными модулями, реализующими пользовательские интерфейсы. В качестве среды программной реализации использован пакет прикладных программ Ма11аЬ, являющийся современным международным стандартом программного обеспечения в области математического моделирования.

В разделах 4.1-4.3 реализованы программные комплексы для решения прикладных задач оценки инжекционных, тепловых эффектов и моделирования процесса зарядки. Для каждого программного приложения представлены: техническое задание на разработку программного обеспечения, оформленное в виде стандартной спецификации (название задачи, системные требования, описание, управление режимами работы, входные данные, выходные данные, способы верификации результатов); формализация алгоритма

На рис. 11 показана форма пироотклика кристалла при пересечении зондом плоской перпендикулярной границы. Для движущегося зонда существуют независимые от размеров кристалла масштабы длины и времени, именно эти параметры определяют длительность переходного сигнала и ширину изображения плоских | доменных границ. Наличие значительного времени тепловой релаксации «толстых» кристаллов не влияет на возможность получения достаточно резкого изображения доменной границы за счет пиросигнала от движущегося зонда.

Проведенные вычислительные эксперименты по конструированию теоретических микрофотографий доменных структур свидетельствуют, что диффузия тепла способствует размытию изображения на микрофотографии. На рис. 12 показана модель двухдо-менного кристалла с плоскими доменными границами и теоретические микрофотографии этого кристалла. Установлено, что в пироэлектрическом режиме постоянной интенсивности разрешение определяется как диаметром зонда, так и скоростью его сканирования и зависит от ориентации границы. Увеличивая скорость сканирования зонда постоянной интенсивности, можно добиться уменьшения ширины поперечной границы на микрофотографии, однако размытие продольных границ останется существенным.

ница х=0, скорости сканирования зонда: / - V 1 = 1, 2 -V2=3).

а б в

Рис. 12. Модель двухдоменного кристалла - а и теоретические микрофотографии -Скорости сканирования у=0.2 - б, у=0.5 - в. Длина масштабного отрезка указана в нормированных единицах.

б, в.

На рис. 13 представлены доменная структура кристалла ТГС, наблюдаемая в РЭМ, и теоретическая микрофотография этой же структуры. Характер контраста экспериментально полученной в РЭМ и теоретической микрофотографий доменной структуры ТГС, а именно - наблюдаемый эффект «теней», связанный с характером распространения тепла, совпадает.

Для наглядного представления возможностей визуализации доменной структуры с помощью пульсирующего теплового зонда проведен расчет пирооткликов при различных способах детектирования сигналов (рис. 14).

Анализ расчетных изображений модельной доменной структуры, полученной в данном режиме, показал, что при обычном амплитудном детектировании тональность изображения домена не зависит от его знака; при детектировании синфазной составляющей для достаточно узкого домена прямоугольный профиль пирокоэффициента искажается; при детектировании ортогональной составляющей доменная граница отображается в виде размытого двухстороннего всплеска (рис. 15).

а б

Рис. 13. Доменная структура ТГС, наблюдаемая в РЭМ. - а и теоретическая микрофотография - б.

Моделирование тока переключения проводилось в физических величинах, соответствующих данным физического эксперимента. Были заданы геометрические размеры кристалла и облучаемой зоны, характерные времена, определяющие процесс переключения. В режиме анимации наблюдались последовательные стадии переключения доменов. На рис. 20 представлены результаты компьютерного моделирования формы тока переключения с прорастанием доменов призматической формы, а также кривая изменения поля в необлученной части.

Рис. 20. Ток переключения кристалла ТГС в инжекционном режиме (сплошная линия -модельная кривая, пунктирная — экспериментальные данные) - а\ значение поля Е2 — 6 (параметры моделирования Т|=8с, т2=3с, т3=12с, фрактальный параметр а=0.7).

Предложенная модель позволяет учесть наличие системы обратной связи между движением границы и изменением результирующего поля (рис. 206) за счет дрейфа границы, объясняющей резкое увеличение скорости движения границы и, как следствие, рост поляризационного тока. В общем случае характер завершения поляризации и спадание тока зависят от способа движения доменной границы. При прорастании клинообразных доменов ток спадает при достижении клином нижней грани кристалла, в то время как при боковом движении границ - при слиянии доменных стенок.

Проведенный вычислительный эксперимент показал, что основные факторы, определяющие поведение предлагаемой модели, соответствуют экспериментально наблюдаемым.

В заключении сформулированы основные результаты и практическая значимость работы.

В диссертации представлены результаты разработки фундаментальных основ и применения методов математического и компьютерного моделирования для исследования инжекционных, тепловых и поляризационных эффектов взаимодействия электронных пучков средних энергий (1-40кэВ) растрового электронного микроскопа с полярными диэлектрическими материалами. Разработанные математические модели и вычислительные схемы их реализации предоставляют возможности обоснования законов функционирования и прогнозирования поведения рассматриваемых физических систем, находящихся в неравновесных условиях электронного облучения.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Класс математических моделей в задачах исследования закономерностей инжекционных, тепловых и поляризационных процессов взаимодействия электронных пучков средних энергий с полярными диэлектрическими материалами с помощью применения вычислительного эксперимента.

2. Вычислительная схема моделирования тепловых эффектов воздействия электронного зонда на полярные материалы, основанная на комбинированном подходе, сочетающем методы численного моделирования процесса теплопроводности и стохастического моделирования транспорта электронов в облученном материале.

3. Вычислительный алгоритм для реализации модели процесса зарядки полярных диэлектриков электронным зондом, построенный на основе синтеза сеточных методов решения детерминированной динамической модельной задачи и метода Монте-Карло для расчета первоначального распределения объемной плотности инжектированных зарядов.

4. Методики расчетов конфигурации и движения доменной границы сегнетоэлектри-ка в тепловом поле для детерминированной и стохастической вариационных моделей.

5. Алгоритм решения обратной задачи восстановления профиля пирокоэффициента сегнетоэлектрика в условиях нелинейного пироэлектрического режима, основанный на численном решении интегрального уравнения Фредгольма I рода.

6. Математическая модель формирования видеосигнала в пироэлектрических режимах растрового электронного микроскопа и метод расчета растровых изображений доменных структур сегнетоэлектрических кристаллов.

7. Вычислительный алгоритм имитационного моделирования формирования тока переключения поляризации сегнетоэлектриков под действием инжектированных электронов, основанный на численном решении дробно-дифференциального уравнения с организацией процедуры случайного выбора областей переключения в кристалле.

8. Установленные в результате вычислительных экспериментов закономерности процессов зарядки, инжекционных и тепловых процессов воздействия электронного облучения на полярные материалы, выраженные в аналитическом описании области потерь энергии электронов в типичных сегнетоэлектриках; оценках тепловых нагрузок электронного зонда на исследуемые объекты; определении характеристик процесса зарядки, индуцированного электронным облучением.

9. Определенные по данным модельного расчета закономерности формирования отклика сегнетоэлектриков на воздействие электронного зонда, состоящие в особенностях движения доменной стенки в тепловом поле; выводе о влиянии эволюции температурного поля на контраст изображений сегнетоэлектрических доменов и роли характерных параметров; установлении приоритетного фактора, обусловливающего поведение пироотк-лика в нелинейном режиме; принципах формирования токов переключения поляризации в инжекционном режиме, отвечающих экспериментальным данным.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Монография

1. Масловская А.Г., Копылова И.Б. Взаимодействие электронных пучков средних энергий с сегнетоэлектрическими материалами - Владивосток: Изд-во «Дальнаука», 2010.-204с.

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК

2. Согр A.A., Масловская А.Г. Влияние пироэффекта на формирование изображения доменной структуры сегнетоэлектриков в РЭМ // Известия РАН. Сер. физич. - 2003. - Т. 67. - № 8. - С. 1191-1194.

3. Согр A.A., Масловская А.Г. Оценка разрешения РЭМ-изображения доменной структуры сегнетоэлектриков в режиме теплового воздействия // Журнал технической физики. - 2004. - Т. 74.-№ 11.-С. 111-114.

28

Масловская Анна Геннадьевна

Математическое моделирование процессов взаимодействия электронных пучков с полярными диэлектриками

Типография АмГУ. Подписано к печати 11.09.2013. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 2. Тираж 150. Заказ 436.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

05201450555

МАСЛОВСКАЯ Анна Геннадьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ С ПОЛЯРНЫМИ ДИЭЛЕКТРИКАМИ

Специальность

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант - д-р физ.-мат. наук, профессор Ванина Елена Александровна

Санкт-Петербург - 2014

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 6

1 Теоретические основы и модельные представления процессов взаимодействия электронных пучков с полярными диэлектриками

при диагностике методами растровой электронной микроскопии 18

1.1 Принципы работы растрового электронного микроскопа 19

1.2 Основные подходы к оценке эффектов энергетического 24 воздействия электронного зонда на образец

1.2.1 Механизмы потерь энергии электронов в веществе 25

1.2.2 Расчет геометрических размеров области взаимодействия электронного пучка с облучаемой мишенью 31

1.2.3 Модельный расчет тепловой нагрузки электронного зонда

на исследуемые материалы 34

1.2.4 Оценка ионизационного воздействия зонда на образец 41

1.2.5 Зарядка непроводящих поверхностей при электронном облучении 45

1.3 Теоретические и экспериментальные исследования свойств полярных диэлектрических материалов 49

1.3.1 Общие характеристики сегнетоэлектрических явлений

в кристаллах 49

1.3.2 Пироэлектрические измерения 56

1.3.3 Теоретические подходы и модельные представления доменной структуры и переключения поляризации 59

1.3.4 Изучение доменной структуры сегнетоэлектриков в растровом электронном микроскопе: типы контраста

и формирование видеосигналов 65

1.4 Основные результаты и выводы 72

2 Стохастические и детерминированные математические модели процессов взаимодействия электронного зонда с полярными материалами

2.1 Моделирование транспорта электронов в твердых телах

при электронном облучении 75

2.1.1 Концептуальная постановка задачи моделирования случайных электронных блужданий в облучаемой мишени 76

2.1.2 Применение метода Монте-Карло для моделирования взаимодействия электронов с твердым телом 78

2.1.3 Аппроксимация области взаимодействия электронов

с веществом и задание функции плотности распределения 88

источника

2.2 Математическое моделирование тепловых процессов взаимодействия электронного зонда с полярными материалами 90

2.2.1 Применение аналитических методов в оценках теплового воздействия электронного зонда на исследуемые материалы 92

75

2.2.1.1 Концептуальная постановка задачи моделирования 92

2.2.1.2 Применение метода источников для моделирования температурной динамики 94

2.2.2 Численное моделирование тепловых процессов взаимодействия электронных пучков с полярными диэлектриками 98

2.2.2.1 Математическая постановка задачи моделирования 98

2.2.2.2 Конечно-элементная дискретизация задачи. Общая схема численного решения эволюционной многомерной

задачи теплопроводности 101

2.3 Математическое моделирование процессов зарядки сегнетоэлектрических образцов при электронном облучении 108

2.3.1 Концептуальная постановка задачи моделирования 108

2.3.2 Математическая постановка задачи моделирования динамических процессов зарядки диэлектрических образцов

при облучении пучком электронов 109

2.3.3 Применение сеточных методов для решения эволюционной задачи моделирования процесса зарядки 112

2.4 Основные результаты и выводы 119 3 Имитационные модели формирования отклика полярных диэлектриков на воздействие электронного зонда 124

3.1 Моделирование равновесной конфигурации и динамики доменной границы в неоднородном тепловом поле 124

3.1.1 Физико-математическая постановка задачи моделирования 124

3.1.2 Решение вариационной задачи о форме фазовой границы

в неоднородном тепловом поле методом локальных вариаций 129

3.1.3 Оценка компонеты поляризационного тока, обусловленной движением доменной границы 131

3.1.4 Динамическое моделирование конфигурации фазовой

границы методом Монте-Карло 133

3.2 Моделирование пироэлектрического отклика

сегнетоэлектрического кристалла на локальное воздействие 137

электронного зонда

3.2.1 Математическая формализация пироэлектрического сигнала. Составляющие пиросигнала 139

3.2.2 Модельное представление пироотклика в кристаллах различных конфигураций 150

3.2.3 Модель формирования видеосигнала в режиме пульсирующего электронного зонда 154

3.3 Применение методов математического моделирования для решения задач исследования пироэлектрических свойств сегнетоэлектрических кристаллов в окрестности фазового перехода 157

3.3.1 Моделирование формирования пироэлектрического отклика сегнетоэлектрического кристалла

3.3.2 Решение обратной задачи пироэффекта в постановке интегрального уравнения Фредгольма I рода 163

158

3.4 Имитационное моделирование процесса переключения поляризации сегнетоэлектриков под действием 170 инжектированных зарядов

3.4.1 Теоретическое описание полевых эффектов

инжектированных зарядов в сегнетоэлектриках 171

3.4.2 Математическая модель поляризационного тока сегнетоэлектрического кристалла в режиме инжекции

электронов под электрод 174

3.4.2.1 Математическая постановка задачи моделирования 174

3.4.2.2 Имитационная модель динамики доменной структуры сегнетоэлектрика под действием инжектированных зарядов 181

3.4.3 Модификация математической модели формирования тока переключения поляризации на основе фрактального подхода 182

3.4.3.1 Фрактальный анализ РЭМ-изображений доменных структур и токов переключения сегнетоэлектрических кристаллов 183

3.4.3.2 Фрактальная модель динамики доменной структуры сегнетоэлектрика в инжекционном режиме 188

3.5 Основные результаты и выводы 191 4 Комплексы программ для компьютерного и имитационного моделирования эффектов последействия электронного облучения на полярные диэлектрические материалы 194

4.1 Система имитационного моделирования транспорта электронов

в облучаемой мишени 194

4.1.1 Формализация алгоритма реализации программы моделирования транспорта электронов методом Монте-Карло 196

4.1.2 Структура и основные режимы работы программного комплекса 196

4.2 Программное приложение для моделирования тепловых процессов взаимодействия электронных пучков с полярными диэлектриками

4.2.1 Формализация алгоритма численного решения эволюционной задачи теплопроводности

4.2.2 Описание структуры и функциональных возможностей программного приложения

4.3 Программный комплекс моделирования эффектов зарядки

при воздействии электронных пучков на диэлектрики 205

4.3.1 Формализация алгоритма программы моделирования динамических процессов зарядки

4.3.2 Структура программного комплекса 208

4.4 Программа моделирования конфигурации и динамики доменной границы в поле градиента температуры 213

4.5 Система имитационного моделирования теоретических микрофотографий сегнетоэлектрических доменных структур

в пироэлектрическом режиме 216

199 201 201

207

4.6 Программы моделирования формы пироотклика сегнетоэлектрика

в нелинейном режиме и восстановления профиля пирокоэффициента 223

4.7 Программа моделирования тока переключения поляризации сегнетоэлектрика в режиме инжекции электронного пучка 226

4.8 Основные результаты и выводы 227 5 Комплексное исследование динамических процессов взаимодействия электронных пучков с полярными диэлектриками на основе вычислительных экспериментов 230

5.1 Инжекционные эффекты воздействия электронного облучения на полярные диэлектрические материалы и анализ результатов моделирования 230

5.1.1 Визуализация электронных траекторий в образцах типичных сегнетоэлектриков 230

5.1.2 Расчет потерь энергии электронов и аппроксимация накопленной дозы облучения 235

5.2 Вычислительные эксперименты по оценке тепловых эффектов взаимодействия электронных пучков с сегнетоэлектриками 238

5.2.1 Инициализация параметров моделирования 240

5.2.2 Расчет температурных конфигураций в модельных образцах

при вариации режимов зондирования 243

5.3 Результаты расчета характеристик процесса зарядки сегнетоэлектриков, индуцируемого электронным облучением,

с использованием вычислительного эксперимента 249

5.4 Анализ и интерпретация результатов моделирования динамики доменной границы в поле градиента температуры 256

5.5 Исследование особенностей формирования изображения доменных структур сегнетоэлектриков в режиме

пироэлектрического зонда 261

5.5.1 Интерпретация результатов модельного эксперимента по расчету видеосигналов

5.5.2 Анализ результатов моделирования теоретических микрофотографий сегнетоэлектрических доменов в режиме пирозонда постоянной интенсивности 269

5.5.3 Анализ результатов конструирования РЭМ-изображений доменных структур сегнетоэлектриков в режиме пульсирующего пирозонда

5.6 Анализ результатов моделирования нелинейных пироэлектрических свойств сегнетоэлектрических кристаллов в условиях сильного прогрева

5.7 Результаты имитационного моделирования процесса переключения поляризации сегнетоэлектриков в инжекционном

режиме и модельный расчет токов переключения 287

5.8 Основные результаты и выводы 295 Заключение 300 Библиографический список 309

261

272

274

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В настоящее время методы компьютерного моделирования являются одними из важнейших составляющих в решении различных фундаментальных и прикладных научных задач, позволяющих с помощью программных средств глубоко и всесторонне изучать наблюдаемые физические процессы и явления, проектировать системы имитационного моделирования, алгоритмы проведения и интерпретации результатов вычислительных экспериментов. Интеграция научных областей математического моделирования и физики взаимодействия заряженных частиц с твердым телом позволяет исследовать процессы, которые ранее не поддавались изучению чисто теоретическими или экспериментальными методами.

Исследование явлений, возникающих при облучении диэлектриков электронными пучками средних энергий (1-40кэВ), представляет как фундаментальный научный, так и практический интерес в связи с необходимостью создания новых диэлектрических и композиционных материалов с прогнозируемыми физическими свойствами, а также применением диэлектрических материалов различного функционального назначения в приборах и устройствах, работающих в полях ионизирующих излучений. Одним из распространенных аналитических методов исследования и технологической обработки различных полярных материалов является метод растровой электронной микроскопии (РЭМ). Это обусловлено широким спектром эффектов, наблюдаемых при воздействии электронных пучков на твердые тела, а также высокой чувствительностью полярных диэлектриков к электрическим и тепловым воздействиям электронного зонда, что позволяет получать отклик и создавать способы формирования изображения и исследования электрических свойств образцов. Особую значимость данное направление исследований приобретает в связи с практическими задачами применения аналитических методик растровой электронной микроскопии для исследования и модификации свойств сегнетоэлектрических материалов, а также созданием сегнетоэлек-триков с субмикронными и наноразмерными доменными структурами. Однако при исследовании полярных диэлектриков с помощью методик растровой электронной микроскопии требуется учитывать изменения, которые могут происходить в исследуемых образцах при электронном облучении. Взаимо-

б

действие электронного зонда с образцом подлежит тщательному анализу для правильной интерпретации изображения и развития нестандартных методик РЭМ, применяемых для исследования свойств полярных материалов.

Многие эффекты взаимодействия электронного облучения с твердыми телами не всегда удается исследовать экспериментально, ряд результатов имеет качественный характер и получаемые оценки оказываются приближенными. Поэтому на практике часто прибегают к использованию средств и методов математического и компьютерного моделирования, основанных на физических законах взаимодействия излучения с веществом, механизмах формирования изображения в зондовых приборах и верифицированных принципах построения и реализации таких моделей. Специфика взаимодействия электронных пучков с полярными материалами при диагностике и модификации их свойств методами РЭМ приводит к необходимости разработки новых и модификации известных математических методов моделирования физических процессов, протекающих в облученной мишени, а также требует проектирования программных комплексов по проведению вычислительных экспериментов для моделирования карты сопутствующих эффектов с использованием современного программного обеспечения.

Основная цель диссертационного исследования заключалась в разработке математических моделей инжекционных, тепловых и поляризационных процессов, протекающих в полярных диэлектрических материалах при облучении электронными пучками средних энергий, а также в проведении комплексных исследований рассматриваемых проблем с применением созданных моделей и алгоритмов на основе вычислительных экспериментов.

В соответствии с целью работы были поставлены и решены следующие научные задачи'.

1. Разработка математических моделей инжекционных, тепловых и поляризационных процессов воздействия электронных пучков средних энергий на полярные диэлектрические материалы и вычислительных алгоритмов для их реализации.

2. Создание имитационных моделей, развитие методов и разработка алгоритмов моделирования отклика сегнетоэлектриков на воздействие электронного зонда: движение доменной границы в поле градиента температуры;

формирование пироэлектрического тока и растровых изображений доменных структур в пироэлектрических режимах; переключение поляризации и образование видеосигнала в инжекционном режиме.

3. Реализация вычислительных методов и алгоритмов в виде комплексов программ динамического моделирования процессов зарядки, инжекцион-ных и тепловых процессов воздействия электронного облучения на полярные материалы.

4. Разработка прикладных программ и систем имитационного моделирования формирования отклика сегнетоэлектриков на электронное облучение.

5. Постановка, проведение и интерпретация результатов вычислительных экспериментов. Проверка адекватности математических моделей физическим процессам на основе сравнения результатов с решениями эталонных задач и экспериментальными данными.

6. Комплексные исследования процессов взаимодействия электронного облучения с полярными диэлектриками при параметрах, отвечающих различным объектам исследования и режимам сканирования, на основе проведенных вычислительных экспериментов.

Новизна научного исследования.

1. Предложен обобщенный подход к моделированию тепловых эффектов воздействия сфокусированного электронного зонда на полярные диэлектрики, основанный на численном конечно-элементном решении нестационарного уравнения теплопроводности, с учетом определенной с помощью метода Монте-Карло аппроксимации области взаимодействия электронов с веществом. Разработана система компьютерного моделирования, позволяющая проводить динамическое моделирование тепловых процессов в образцах при различных параметрах вычислительного эксперимента, отвечающих различным объектам исследования и режимам сканирования.

2. Разработана комбинированная математическая модель процесса зарядки при диагностике сегнетоэлектриков методами РЭМ, основанная на детерминированном диффузионно-дрейфовом подходе, с учетом собственной радиационно-стимулированной проводимости облученного образца при наличии первоначального распределения объемной плотности зарядов, определенного с помощью метода Монте-Карло. Предложен оригинальный про-

8

граммный комплекс, предназначенный для трехмерного динамического моделирования процесса зарядки с одновременным расчетом и визуализацией основных электрических характеристик.

3. Разработана математическая модель конфигурации 180-градусной доменной границы сегнетоэлектрика с фазовым переходом П-го рода в поле градиента температуры на основе вариационного подхода. Предложена методика расчета конфигурации границы и формирования поляризационного тока с использованием метода локальных вариаций. Разработан метод стохастического компьютерного моделирования движения доменной границы в неоднородном тепловом поле.

4. Предложена математическая модель формирования пироэлектрического отклика сегнетоэлектрического кристалла на локальное воздействие постоянного и пульсирующего электронного зонда.