автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование СВЧ нагрева диэлектрика с учетом фазовых переходов

ТАХАУВ Айдар Асгатович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СВЧ НАГРЕВА ДИЭЛЕКТРИКА С УЧЁТОМ ФАЗОВЫХ- ПЕРЕХОДОВ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 2 МАЙ 2011

Казань-2011

4845599

Работа выполнена в Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева

Научный Руководитель:

доктор технических наук, доцент Анфиногентов Владимир Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Карчевский Михаил Миронович

доктор технических наук, профессор Седельников Юрий Евгеньевич

Ведущая Организация:

Татарский Научно-исследовательский и проектный институт нефти «ТатНИПИнефть» (г. Бугульма)

Защита состоится •> ри-О^ 2011 г. вА^часов на заседании диссертационного совета Д 212.079.01 в Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева по адресу: 420111, г. Казань, ул. К. Маркса, 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева по адресу: 420111, г. Казань, ул. К. Маркса, 10. Автореферат диссертации размещён на сайте КГТУ им. А.Н. Туполева www.kai.ru.

Автореферат разослан « /У~» Ак/л/^Р 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета д.ф.-М:н, профессор

П.Г. Данилаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В современной промышленности и хозяйстве многие технологические процессы связаны с нагревом материалов. И применением для этого СВЧ энергии в этих процессах никого не удивишь: в пищевой промышленности для размораживания пищевого материала, в строительной промышленности для нагрева строительных материалов, сушки (древесины), в медицине для разогрева препаратов и для решения проблемы крио консервации органов и тканей. Задачи борьбы с обледенением актуальны для многих отраслей промышленности, здесь также могут быть использованы преимущества СВЧ нагрева. Уменьшение толщины образующегося льда или облегчение его разрушения имеет большое значение для объектов морской, авиационной и космической техники, приборов охлаждения, линий электропередач. Расплавление строительных битумов после их транспортировки в твердом состоянии. Кроме того, не до конца решена проблема очистки крупных городов от снега во время сильных снегопадов. Появлению новых областей применения мощной СВЧ электроники способствует ряд специфических свойств электромагнитных колебаний сверхвысокого диапазона частот, которые позволяют значительно улучшить существующие технологические процессы.

В подавляющем большинстве случаев нагрев каких-либо физических тел производится путем передачи тепла снаружи вовнутрь за счет теплопроводности. Отсюда неизбежен температурный градиент (перепад) от поверхности в глубину материала, причем тем больший, чем меньше теплопроводность. Уменьшить или почти устранить большой градиент температур можно за счет увеличения времени обработки. Во многих случаях только за счет медленного нагрева удается избежать перегрева поверхностных слоев обрабатываемого материала. Примерами таких процессов является обжиг керамики, получение полимерных соединений и т.п. На СВЧ при рациональном подборе частоты колебаний и параметров камер, где происходит преобразование СВЧ энергии в тепловую, можно получить относительно равномерное выделение тепла по объему тела. Эффективность преобразования энергии электрического поля в тепло возрастает прямо пропорционально частоте колебаний и квадрату напряженности электрического поля. При этом следует отметить простоту подачи СВЧ энергии практически к любому участку нагреваемого тела. С помощью СВЧ энергии можно не только равномерно нагревать диэлектрик по его объему, но и получать по желанию любое заданное распределение температур. Поэтому при СВЧ нагреве открываются возможности многократного ускорения ряда технологических процессов.

Многообразие форм и физических свойств веществ, требующих применения СВЧ технологий в технологических процессах приводит к изучению важного класса нелинейных проблем теплообмена, который связан с процессами фазовых превращений (процессы плавления и затвердевания материалов).

Задачи теплопереноса с подвижными границами, вызванными изменением агрегатного состояния вещества, получили название задач типа Стефана. Дан-

1

ный класс задач относится к одним из наиболее сложных задач математической физики. Классический вариант задачи Стефана, сформулированный для фазовых переходов типа плавление-кристаллизация, сводится к уравнению теплопроводности в области с заранее неизвестной границей, разделяющей твердую и жидкую фазы и имеющей температуру, равную температуре фазового превращения. Подвижная граница раздела фаз обеспечивает нелинейность задачи.

Необходимо отметить, что исследованиям моделей СВЧ нагрева занимаются многие коллективы специалистов, как в нашей стране, так и за рубежом. Весомый объём задач по данной проблеме охвачен в трудах Макарова В.Н., Самарского A.A., Мейрманова A.M., Грудинской Г.П., Афанасьева A.M. Однако анализ этих работ показывает, что отсутствует решения широкого круга теоретических и практических вопросов как для процессов нагрева диэлектриков в СВЧ камерах, так и для процесса плавления вещества при помощи СВЧ.

При исследовании данных проблем актуальным является разработка математических моделей, обеспечивающих эффективность, равномерность и экономичность нагрева вещества с помощью СВЧ энергии, а также, если это задача Стефана - равномерность движения фазовой границы.

Отмеченные выше обстоятельства определяют актуальность построения математических моделей процесса нагрева диэлектриков энергией СВЧ с учётом фазовых переходов и исследование управления процессами СВЧ нагрева. Представленная диссертационная работа посвящена решению этой задачи.

Цель работы - построение математических моделей СВЧ нагрева диэлектриков с учетом фазовых переходов, их исследование аналитическими и численными методами, разработка на их основе комплекса программ для проведения вычислительных экспериментов и их использование для выработки рекомендаций по совершенствованию устройств СВЧ нагрева.

В соответствии с поставленной целью в работе определены основные задачи исследования:

1. Построить и исследовать математическую модель СВЧ нагрева диэлектрического слоя конечной толщины с учётом фазового перехода;

2. Построить и исследовать математическую модель СВЧ нагрева диэлектрика в камере прямоугольного сечения, с неполной степенью заполнения диэлектриком;

3. Провести оптимизацию распределения напряженности электромагнитного поля (ЭМП) в СВЧ камере прямоугольного сечения по сред-неквадратическому критерию;

4. Поставить задачу управления движением границы раздела фаз при СВЧ нагреве диэлектрика конечной толщины и разработать основанный на современных компьютерных технологиях вычислительный алгоритм для ее решения;

5. Исследовать СВЧ нагрев снега в зависимости от его влагосодержания и пористости;

6. Реализовать в виде комплекса программ для проведения вычислительных экспериментов численные методы, используемые при исследовании математических моделей СВЧ нагрева и управления.

Методы исследования, достоверность и обоснованность. При исследовании полученных математических моделей использовались конечноразност-ные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, методы оптимизации и методы математического моделирования.

Обоснованность и достоверность результатов определяется корректностью использования математических методов и удовлетворительным совпадением результатов вычислительных экспериментов с данными других авторов.

При решении задач использованы современные программные средства, в том числе стандартные пакеты прикладного программного продукта MATHCAD.

Научная новизна:

1. Исследована математическая модель СВЧ нагрева диэлектрика в СВЧ камере прямоугольного сечения с неполной степенью заполнения диэлектрическим материалом.

2. Поставлена и решена задача управления электромагнитным полем при СВЧ нагреве, позволяющая придавать динамике движения фазовой границы заданный характер и свести нелинейную задачу Стефана к линейной.

3. Получены результаты исследования влияния влажности и пористости на СВЧ нагрев снега.

4. Построена и исследована математическая модель СВЧ нагрева плоскослоистого диэлектрика с учетом фазовых переходов при возбуждении ЭМП плоской электромагнитной волной нормально падающей на его границу. Установлено, что при неизменной амплитуде падающей волны скорость движения фазовой границы не постоянна и уменьшается с увеличением толщины жидкой фазы диэлектрика.

Праетическая значимость. Полученные результаты делают возможным использовать их при создании эффективных комплексов СВЧ нагрева, а также способствуют развитию теории СВЧ нагрева. Они дают возможность более обосновано подходить к выбору параметров ЭМП СВЧ для решения тех или иных задач обработки различных материалов. Работа выполнялась в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 гг.)» в проекте «Математическое моделирование и управление в задачах механики сплошных сред», регистрационный номер: 2.1.1/13290. Результаты работы "используются в учебном процессе физико-математического факультета КГТУ им. А.Н. Туполева при курсовом и дипломном проектировании.

Апробация работы. Основные материалы и результаты исследований докладывались и обсуждались на VI, VII, VIII и IX международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» в 2007 - 2010 гг., на международной научно-практической конферен-

ции «Современные технологии - ключевое звено в возрождении отечественного авиастроения» в 2008 г., на всероссийском семинаре, посвященном столетию проф. Аминова М. Ш. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» в 2008 г., на XV, XVI и XVIII Международной молодёжной научной конференции «Туполевские чтения» в 2007, 2008 и 2010 гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, в том числе 2 статьи - в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов диссертаций, 7 тезисов докладов и 4 публикации в материалах конференций. Получено свидетельство о регистрации программы для расчёта электромагнитного и температурного полей при СВЧ нагреве.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка использованных источников, включающего 146 наименование. Объем диссертации насчитывает 124 страницы машинописного текста, включая 51 рисунок и 4 таблицы.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Постановка задачи управления электромагнитным полем для обеспечения равномерного движения фазовой границы при СВЧ нагреве и результаты математического моделирования.

2. Математическая модель СВЧ нагрева плоскослоистого диэлектрика с учетом фазовых переходов при возбуждении ЭМП плоской электромагнитной волной нормально падающей на его границу и результаты численного моделирования.

3. Результаты математического моделирования СВЧ нагрева снега с различными физическими свойствами.

4. Результаты исследования модели СВЧ нагрева диэлектрика, частично заполняющего СВЧ камеру прямоугольного сечения.

5. Комплекс программ для расчёта электромагнитных и температурных полей в камере прямоугольного сечения и в плоскослоистом диэлектрике.

Личный вклад автора заключается в общей постановке целей и задач исследования, получении, обработке и анализе основных результатов, интерпретации и обобщении полученных данных и формулировке выводов и основных научных положений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика диссертационной работы: приводится обоснование актуальности темы исследования, дан обзор литературы по теме исследования, обозначена сущность теории нагрева энергией СВЧ и её применение. Сформулированы цель и задачи работы приведены структура и краткое содержание диссертации.

В первой главе рассмотрены математические модели СВЧ нагрева диэлектриков с учётом фазовых переходов.

В разделе 1.1 рассматривается вопрос о сущности СВЧ нагрева и о применении данного процесса в промышленности.

В разделе 1.2 рассматривается вопрос о сущности задач с фазовыми переходами и о задачах СВЧ нагрева с фазовыми переходами.

В разделе 1.3 рассматривается задача плавления диэлектрика, находящегося на некоторой подстилающей поверхности, при помощи плоской электромагнитной волны, при различных значениях мощности, частоты ЭМП. Исследовался диэлектрик, который при нагреве до определённой температуры (температура плавления) переходил из твердого в жидкое состояние, и оценивалось поведение температурного поля и время полного расплавления.

Данная задача разделяется на два этапа (нагрев и плавление) изображённых на рис. 1.

1 СВЧ I СВЧ

/г. А,

г г .

Первый этап Второй этап

Рис 1. Этапы задачи плавления

Здесь символом А,, ¡' = 1,2,3 обозначена толщина каждого слоя, электрофизические параметры каждого слоя различны и их будем обозначать с помощью индексов, соответствующих номерам слоев, значение / = 0 соответствует воздуху, / = 1 соответствует жидкой фазе, / = 2 соответствует твердой фазе, ; = 3 соответствует подстилающей поверхности (в данном случае грунт), е, - диэлектрическая проницаемость г - го слоя, tg5l - тангенс угла диэлектрических потерь в /-м слое.

Комплексные амплитуды электрического Е, и магнитного Я, полей в г- ом слое плоскослоистой структуры представим в виде

£,(г) = 6, -ехр{-хк,2) + г1 -ехр(й.г), Я,(г) = (й, -ехр(-;^г)-/; -ехр(й,г))/и;,

где А0 = 1, а гу = 0, к, = (У-Уед - комплексное волновое число в /- ом слое, мнимая часть которого характеризует затухание электромагнитной волны в слое диэлектрика, ^ и ^ - коэффициенты прохождения и отражения соответственно в г-ом слое, а»(- волновое сопротивление в г-ом слое.

Тепловые источники в диэлектрике распределены в соответствии с функцией плотности мощности тепловых потерь <?(г) = -|£|2, где со - круговая частота, а ея - диэлектрическая постоянная.

Для определения температурного поля на первом этапе задача ставится в виде системы уравнений теплопроводности

дТ д7Т'2'

с^р,-= Я,—-^— + 0,(2), / > 0, 0 < г < /г,,

' ' д1 - дг2 "

-= Я,--;—к<7,(г). '>0- г>й,.

' ■ о1/ дг1 •

с начальными условиями

Г(г,0) = Г„„,, 0 < г < А,, Г(г,0) = Г„„, г > й2 и граничными условиями

((1)

(2)

й7,<!) ЯТ(2> /?Г'3'

-Я2^-(О,О = ^(7"г)(0,О-Г0), Л2^г-(А:,0=Я3^-(А„г)> Г<2>(А,,0 = 7"(3)(М) (3) 02 ог сг

здесь р,

> с

Дж-

кг-Л"

Вт

Вт

—^— ■ плотность, коэффициенты тепло-лг ■

емкости, теплопроводности, теплоотдачи среды соответственно, Г„„, - начальная температура.

На втором этапе задача ставится в виде системы уравнений теплопроводности

С\Р\

8И

д.I

■ = Л

д2Т11)

+ д, (г, О, ' > 0, 0<г <#(/),

аг,2) а2г,2)

с2р2-— = Я2+ г>О, 4«)<2<К,

01 дг~

дТт Э27(3)

от &

(4)

с начальными условиями

У"(?((„ „ ).1а в.)=Г„, 0<2<|(/в ,„ ),Г'2)(2Дн>ч„,) = Г2,ЫжтШт„) <:<К (5) и граничными условиями

ЯГ'1' Л7-С) зт(3|

-Я,^-(07) = 4|(Г('>(0,О-Г0),Л3—(«,О = А,—— №,/), Гг\Н2,0 = Тт(К,I) ,(6)

5г дг &

02 ' 02 | ет

Последнее уравнение есть уравнение Стефана, характеризующее поглощение энергии на плавление при движении границы твёрдой фазы. Здесь -

удельная теплота плавления диэлектрика, - скорость движения границы

5/

фазового перехода, а ¿¡(0 = к, - функция, определяющая изменение толщины твёрдой фазы диэлектрического слоя.

Обе задачи решаются конечноразностным методом по неявной схеме на сетке, узловые точки которой, совпадают с граничными точками слоев. Для по-

6

строения консервативной разностной схемы использовался интегро-интерполяционный метод или метод баланса. Для решения задачи Стефана использовался алгоритм переменного шага по времени.

Вычислительный эксперимент проводился для двух диэлектриков льда и битума при мощности СВЧ источника 1.5 кВт и 3 кВт.

На рис. 2. приведены кривые распределения температуры при полном расплавлении льда для различных значений частоты и мощности ЭМП.

Кривые 1,2 соответствуют значению частоты 433 МГц и мощности 1.5 и 3 кВт соответственно. Период времени полного расплавления льда составило 1339 с и 685 с соответственно. Аналогично, кривым 3 и 4 соответствует частота 915 МГц и мощности 1.5 и 3 кВт. Время полного расплавления для этой частоты составило 1400 с и 818 с соответственно.

На рис. 3. приведены аналогичные кривые распределения температуры при полном расплав-

\

\ t \ ч ч ч 1 \ / / /' /3

> 1 \ ч 'ч \ ч N / ,2

<\ / 7? / ч ч. *ХЛя

ом 0.06 Глубина(м)

0.08

0.1

Рис 2. Распределение температуры при полном расплавлении льда толщиной 0.1 м. при частоте и мощности соответственно: /-433МГц, ПкВт,2-433МГи.ЗкВт, 3-915МГц, 1.5 кВт,4-915МГц,3 кВт.

лении битума для тех же значений частоты и мощности ЭМП.

Результаты расчетов показывают, что на частоте 915 МГц. значительная доля энергии ЭМП затрачивается на нагрев слоя диэлектрика в жидкой фазе, образующейся при плавлении. Это связано с тем, что глубина проникновения ЭМП на этой частоте существенно меньше, чем на частоте 433 МГц. Таким образом, затраты энергии на нагрев и плавление на частоте 433 МГц будут меньше чем на частоте 915 МГц.

В разделе 1.4 рассматривается задача СВЧ нагрева снега до температуры плавления с различными свойствами при падении

100

ч ч ч -ЧЧ /4 /з

С- V у V /2 I/1 ' Чч.

0.04

Глубин

0.06 î(m)

0 08

0.1

Рис 3. Распределение температуры в битуме толщиной 0.1 м. при полном переходе из твёрдой в жидкую фазу при частоте и мощности соответственно: 1-433МГц, !.5кВт,2-433МГц, 3кВт, 3-915МГц,1.5кВт,4-915МГц,ЗкВт.

плоской электромагнитной волны на границу снега и воздуха.

В полупространстве 2 < 0 электромагнитное поле состоит из падающей плоской волны Е™ (2) = £0-ехр(-г'&), отраженной волны Е" (г) = Л-ехр(Мг), а в полупространстве г > О состоит из прошедшей волны £"р(2) = Р ■ ехр^к^срг). Здесь Е„- амплитуда, /?-коэффициент отражения, Р - коэффициент прохождения. Температурное поле в среде (г > 0) удовлетворяет уравнению

■ср~ = Л~ + д(2), />0, г>0 (7)

б( 8г

где <з(г,2) = 2а^50ехр(-2сс), - функция плотности мощности источника тепловых потерь. Начальное и граничное условие для уравнения (7) имеют вид Т(г,0)= Т„. Здесь, Т0 - температура диэлектрика в начальный момент времени. Решение этой задачи известно и имеет вид (8):

__го

Г(Г,г) = Г0 + -^-ехр(-2аг)(ехр(4ага20 -1) 2 аЛ

(8)

здесь а-коэффициент затухания, а- коэффициент температуропроводности, 50- вектор Пойтинга в вакууме, ^ - коэффициент энергетического прохождения.

Проведены исследования изменения периода времени до начала плавления диэлектрика при различных свойствах снега (влажность, пористость). Зависимость плотности снега от его пористости и влажности имеет вид:

р(я.*)-Л(1-п) + *вЛ (9)

где к- степень наполнения пор снега водой, изменяющаяся от 0 до 1; п-пористость снега, изменяющаяся от 0 до 1; р, и р, -соответственно плотность воды и льда.

Из (8) находился период времени до начала плавления на верхней границе диэлектрика : = 0в зависимости от влажности и пористости

2а(п,к)ЛТ0'

4 а2(п,к)

На рис.4 изображена зависимость периода времени до начала плавления от влажности при фиксированной пористости и = 0.1, п = 0.3 и л = 0.5 (кривые 1, 2 и 3 соответственно).

Результаты исследований позволяют сделать следующие выводы - с увеличением влажности диэлектрика период времени до начала плавления уменьшается, а с уменьшением пористости он увеличивается. Данные результа-

ср(п,к)

У1--

(10)

24

у к

СО X I X

а т а. ч; ей С

1 1 Оч 1 2 I 1 3

"""

- ч -

| 1 1 1

0.2

0.8

0.4 0.6 Влажность

Рис. 4. Время до начала плавления в зависимости от влажности при значениях пористости: 1-0.1, 2-0.3,3-0.5

ты позволяют заключить, что при определении требований к электрофизическим свойствам диэлектрического материала при СВЧ плавлении следует особое внимание уделить его влажности и пористости. Для максимально быстрого достижения жидкой фазы при проектировании СВЧ устройств, возможно, следует предусмотреть подсистему предварительного увлажнения объекта СВЧ нагрева.

В разделе 1.5 приводится описание программ для проведения вычислительного эксперимента, приведен интерфейс и краткая инструкция пользователя.

Вторая глава посвящена исследованию математической модели СВЧ нагрева диэлектрика заполняющего волновод прямоугольного сечения с неполной степенью заполнения.

В разделе 2.1 рассматривается постановка задачи исследования температурного поля в СВЧ камере прямоугольного сечения заполненной диэлектриком прямоугольной формы с неполной степенью заполнения. Расположение координатных осей в прямоугольном волноводе показано на рис.5.

Предполагается, что в СВЧ камере осуществляется двухмодовый режим возбуждения ЭМП. Функция тепловых потерь выбиралась в виде q(x,y,z) = Р(х, у) exp(-2az), где Р(х, у) -функция, определяющая распределение мощности по поперечному сечению прямоугольной СВЧ камеры.

При математическом моделировании СВЧ нагрева диэлектрика в прямоуголь- Рис. 5. Расположение осей координат

ном волноводе предполагалось, что теплофизические свойства диэлектрика не зависят от температуры. Система уравнений теплопроводности имеет вид (11):

Э74" (Э2Г(1) д2Тт д2Тт У

Л

/у

= Л

dt

t > О, D: х е

дТт сгР\'

&2

&2

+ q{x,y,z),

\d, d + C]

31ТЧ) дгта, д2Тт\ --L- + .- I

51 \ дх1 ' ду2 '~дг2~) Г > 0, х е [с/, а - (¡\ у е , Ъ - ¡1 ], 2 е [с/, с - (х, у, х) (. О

зтт ,(д2тт д2тт 5!г(,)

Г > О, X е [о, с?] и [а - а, 4 у е [0, и [б - й, Ь], I е [о, </] о [с - й, с] Здесь, 0£х<а;0<у<Ь;0<г<с; - геометрические размеры СВЧ камеры в выбранной системе координат, с! - толщина стенки волновода, ^{а~А)<х<]^(а+А\]^{Ь~В)<у<)^{Ь + В),0<1<0, - геометрические размеры ди-

(П)

электрика, Г(1) - температура диэлектрика, Та) - температура воздуха внутри камеры, Т0) - температура стенок СВЧ камеры.

Граничные условия задаются следующим образом

ЭГ"' ЗТ(3' , с

иГЫ -{а-А)<х<-{а + А}, Г<0=Г,3,;Л,-= Л)-, при г = с1, в области

& & \{Ь-В)<у±\{Ъ,В\

+ Я3 —— = -к(Т-Тср), при х = 0,а. Аналогично для у иг.

условия сопряжения для границ между диэлектриком и стенками камеры. Аналогично для х и у. Также аналогично задаются граничные условия для границ: диэлектрик - воздух внутри камеры, воздух внутри камеры - стенка камеры.

Граничные условия третьего рода между стенкой камеры и внешней средой

ОРз, &

Начальные условия задаются в виде

Тт{х,у,2,0) = Тт{х,у,г,0) = Та)(х,у,2,0) = Т0, при / = 0.

В разделе 2.2 представлено составление разностной схемы для решения поставленной задачи. Для построения консервативной разностной схемы применяется интегро-интерполяционный метод. Получено разностное уравнение для внутренних точек:

(Т - т \

-= л

Дг

к Тйпк к 1 2

\П +

/г

+ Л

Т -Т Т —Т

и.т+1,* п.т.к л,т.к п.т-\,к

И2 +л

{Т — Т Т — Т ^

п.ю.к*-] п.т.к л,т.к п.т.к-1

. I А ,

к2 +

2 7-'

Аналогично записываются разностные уравнения для границ с учётом граничных условий. Для элементарных объемов, лежащих в углах, учитываются тепловые потоки в среду с трёх поверхностей.

Так как порядок аппроксимации дифференциального уравнения разностной задачей равен 0(Д? + И2) и неявная разностная схема абсолютно устойчива, то имеет место сходимость разностной схемы. Порядок скорости сходимости совпадает с порядком аппроксимации.

В разделе 2.3 представлено расщепление трёхмерной задачи и решение разностных уравнений. Полученная разностная задача, с целью сокращения затрат машинного времени, решается с помощью локально-одномерной схемы.

Расщепление разностного уравнения для внутренних точек диэлектрика по локально-одномерной схеме по х представляется как:

10

.. ^1+1,тЛ т }( 2 7 1п.т.к , 2 . Г Г~ Г , , _, Уп.т.к ^п.т.к ) . -.

Я,-:-А -Я,---/г + \дс!гЛус/х=с]р] -'ДV

Дх Дх Дг

ЧЧЧ

Аналогично по у, :. Аналогичным образом локально-одномерная схема применяется и к другим конечно-разностным уравнениям. Далее полученные три одномерных уравнения решаются методом прогонки.

В разделе 2.4 приводятся результаты вычислительного эксперимента нагрева влажной древесины, грунта и нефти. На рис 6 приведены результаты математического моделирования СВЧ нагрева нефти.

Температура(°С) Температурэ(°С)

Длина СВЧ камеры 1см) Длина СВЧ камеры(см)

Рис 6. Распределение температуры после 300с. СВЧ нагрева нефти. Моды Е12 и Е21

Симметричность распределения теплового поля связана с симметричностью напряженности ЭМП.

Результаты расчетов показывают, что при малом времени СВЧ нагрева пространственное распределение температурного поля в диэлектрике повторяет распределение квадрата модуля напряженности ЭМП и мало зависит от граничных условий.

В разделе 2.5 приводится описание программы для проведения вычислительного эксперимента, упрощённая схема алгоритма, интерфейса и краткая инструкция пользователя.

Третья глава посвящена задачам управления и оптимизации СВЧ нагрева.

В разделе 3.1 рассмотрена задача управления плавлением слоя льда, находящегося на некоторой подстилающей поверхности, при нормальном падении плоской электромагнитной волны из воздуха на плоскослоистую структуру. Необходимо определить зависимость амплитуды ЭМП от времени, которая обеспечивает заданную скорость движения фазовой границы.

Решение этой задачи разделяется на два этапа (нагрев ледяного слоя, твёрдая фаза), и плавление, появление жидкой фазы аналогично (1) и (2). Постанов-

11

ка задачи на втором этапе в виде системы уравнении теплопроводности аналогична (2) с граничным условием на нижней границе 3-го рода

• \-(0,0 = ¿,(Г(|)(0,0-7"0). Функция плотности тепловых потерь записывается

дг

в виде

й(«,0 «1/(0 ■?,(*) (12) где 1/(0 - функция управления равная квадрату амплитуды падающей волны, а

(13)

При

Скорость движения границы задается постоянной, тогда = данном подходе уравнение Стефана становится линейным уравнением:

г=£-0 ~Л2 , |РгЧУ

¡5

Ч ч

ч ч ч ч X. 1 2 3

• А

0.02

' &

Задача решается конечнораз-ностным методом. Для определения температуры и функции управления и на каждом временном слое решается система линейных уравнений.

На рис. 7 приведены распределения температуры в жидкой и твердой фазах на 6, 8 и последнем временном слое (кривые 1, 2 и 3 соответственно).

На рис.8 приведена функция управления 1/(1) для скорости V = 0.001м / с. Возрастание функции управления обусловлено появлением жидкой фазы на поверхности диэлектрика, с увеличением толщины которой увеличивается энергия ЭМП, затрачиваемая на нагрев жидкой фазы.

Сравнение результатов математического моделирования плавления слоя льда в задаче с управлением с результатами из раздела 1.3 показывает, что при одинаковом времени плавления затраты энергии на плавление в задаче с управлением на 5,8% меньше.

(14)

0.08

0.1

0.04 0.06 Глубина(м)

Рис. 7. Распределение температур при равномерном движении фазовой границы, кривые: I - 6 временной слой, 2-8 временной слой.З - 10 временной слой фазовой границы, кривые: 1 - 6 временной слой, 2-8 временной слой,3 - 10 временной слой

1 4 б 8 И

шаги по временной координате

Рис 8. Функции управления при скорости движения фазовой границы У=0.001м/с

- min, где N - число точек контро-

Полученные результаты могут быть использованы при определении режимов технологических процессов плавления в СВЧ устройствах.

В разделе 3.2 рассмотрена задача оптимизации амплитуд возбуждения четырех собственных мод в СВЧ камере прямоугольного сечения. Необходимо: определить амплитуды а,, i = 1..4, так, чтобы среднеквадратическое отклонение распределения ЭМП в поперечной плоскости (х,у) в диэлектрике от требуемого распределения было минимальным:

NM. ,2 / N М ,

i к / I к

ЛЯ.

Задача сводится к нахождению экстремума функции многих переменных. Для нахождения решения и проведения вычислительного эксперимента разработана программа на базе математического пакета Mathcad.

На рис. 9 приведено распределение ЭМП в фиксированном по z слое диэлектрика, соответствующее оптимальным значениям амплитуд возбуждения (5 = 0.024) при заданном равномерном распределении.

В разделе 3.3 рассмотрена ещё одна задача оптимизации амплитуд возбуждения четырех собственных мод в

СВЧ камере прямоугольного сечения. Необходимо: определить амплитуды а,, / = 1..4, так, чтобы среднеквадратическое отклонение распределения ЭМП вдоль оси z в диэлектрике от требуемого распределения было минимальным:

" I I2 / " 2

S - - Езадл / | m'n > гДе N " количество точек контроля.

Рис 9. Управление полем, оптимизированное распределение э.м. поля.

Задача сводится к нахождению экстремума функции многих переменных. Кривые 1 на рис. 10 соответствует заданному распределению ЭМП, кривая 2 соответствует неоптимизированному распределению ЭМП, кривая 3 соответствует оптимальному распределению амплитуд возбуждения (5 = 0.0006).

0 12 3 4

шаги по »ременной координате

Рис 10. Управление полем. 1 - требуемое распределение, 2 - неоптими-зированное распределение, 3 - оптимизированное распределение э.м. поля.

Результаты двух последних задач позволяют использовать построенную модель при проектировании СВЧ устройств с возможностью авто корректировки распределения ЭМП к заданному распределению.

В разделе 3.4 приводится описание программ для проведения вычислительного эксперимента, приведен интерфейс и краткая инструкция пользователя.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертационной работе решена важная научно-техническая задача -построение и исследование математических моделей СВЧ нагрева диэлектриков с учетом фазовых переходов с применением современных технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента, разработка комплекса программ для проведения вычислительных экспериментов и их использование для выработки рекомендаций по совершенствованию устройств СВЧ нагрева.

В диссертационной работе

1. построена и исследована математическая модель СВЧ нагрева диэлектрического слоя конечной толщины без учета и с учётом фазовых переходов;

2. построена и исследована математическая модель СВЧ нагрева диэлектрика в камере прямоугольного сечения и решена задача управления электромагнитным полем в СВЧ камере;

3. разработан вычислительный алгоритм решения задачи управления движением границы раздела фаз при СВЧ нагреве диэлектрика конечной толщины, позволяющий свести нелинейное уравнение Стефана к линейному уравнению;

4. исследована зависимость СВЧ нагрева снега от влагосодержания и пористости;

5. разработан комплекс программ для вычислительных экспериментов с построенными моделями;

6. сформулированы рекомендации по применению полученных результатов для совершенствования устройств СВЧ нагрева.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ, ОТРАЖАЮЩИХ ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

в изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Анфиногентов В.И., Тахаув А.А. Численное моделирование фазовых переходов в плоскослоистой структуре при СВЧ нагреве // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2010.- № 3. - С. 159-163.

14

2. Анфиногентов В.И., Тахаув A.A. Управление движением границы раздела фаз при СВЧ нагреве снега // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. -2011. Т .14. №1.

опубликованных в других изданиях:

3. Анфиногентов В.И., Тахаув A.A., Луканихин B.C., Степанов И.С. Исследование температурных полей в СВЧ камерах, заполненных диэлектрическим материалом // Доклады VI МНТК «Физика и технические приложения волновых процессов», Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, - 2007. - С. 269-271.

4. Тахаув A.A. Исследование температурного поля в СВЧ камере, частично заполненной диэлектриком // Материалы ММНК «XV Туполев-ские чтения», Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, - 2007. - С. 9495.

5. Тахаув A.A. Исследование электромагнитного поля в СВЧ камере прямоугольного сечения заполненной диэлектриком // Материалы ММНК «XVI Туполевские чтения», Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та,-2008.-С. 152-153.

6. Анфиногентов В.И., Тахаув A.A. Управление температурным полем в диэлектрике при СВЧ нагреве // Доклады МНПК «Современные технологии - ключевое звено в возрождении отечественного авиастроения», Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, - 2008. - С. 199-204.

7. Анфиногентов В.И., Тахаув A.A. Управление температурным полем в СВЧ камере, частично заполненной диэлектриком // Материалы всероссийского семинара, посвященного столетию проф. Аминова М. Ш. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, - 2008. - С. 20-21.

8. Анфиногентов В.И., Тахаув A.A. Управление электромагнитным полем функцией тока в прямоугольном волноводе // Тезисы VII МНТК «Физика и технические приложения волновых процессов», Казань: Изд-во Поволжского ун-та информатизации и телекоммуникаций, -2008.-С. 258-259.

9. Анфиногентов В.И., Тахаув A.A. Управление температурным полем в СВЧ камере частично заполненной диэлектриком // Тезисы VII МНТК «Физика и технические приложения волновых процессов», Казань; Изд-во Поволжского университета информатизации и телекоммуникаций, - 2008. - С. 257-258. •

10. Анфиногентов В.И., Тахаув A.A. Математическая модель процесса таяния снежно-ледяной массы под воздействием микроволнового нагрева // Материалы VIII МНТК «Физика и технические приложения волновых процессов», Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, - 2009. -С. 194-195.

11. Тахаув A.A. Исследование модели плавления диэлектрика разной консистенции при СВЧ нагреве // Материалы ММНК «XVIII Тупо-левские чтения», Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, - 2010. - С. 96-98.

12. Анфиногентов В.И., Тахаув A.A. Об одной задаче управления движением межфазовой границы в диэлектрике при СВЧ нагреве // Материалы IX МНТК «Физика и технические приложения волновых процессов», Челябинск: Изд-во Челябинского гос. ун-та, - 2010. - С. 157.

13. Анфиногентов В.И., Тахаув A.A. Математическое моделирование СВЧ нагрева диэлектриков с учётом фазовых переходов // Материалы IX МНТК «Физика и технические приложения волновых процессов», Челябинск: Изд-во Челябинского гос. ун-та, - 2010. - С. 158

Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ:

14. Тахаув A.A. Программа «Терморасчёт ЭМ поля в диэлектрике» для расчета электромагнитного и температурного полей при СВЧ нагреве - М.: Объединенный фонд электронных ресурсов «Наука и образование» Института научной информатизации и мониторинга Российской академии образования —№16625 от 17.01.2010.

Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Печл. 1,0, Усл.печ.л. 0,93, Уч.-изд.л. 1,0. _Тираж 115. Заказ О 43._

Типография Издательства Казанского государственного технического университета 420111, Казань, К.Маркса, 10

СПИСОК ПРИНЯТЫХ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНА ЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.:.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ПРИ СВЧНАГРЕВЕ.

1.1. Сущность нагрева диэлектриков СВЧ энергией.

1.2. Сущность задач с фазовым переходом.

1.3. Математическая модель СВЧ плавления диэлектрика энергией плоской электромагнитной волны.

1.3.1. Постановка задачи.

1.3.2. Составление разностной схемы.

1.3.3. Проведение вычислительного эксперимента.

1.4. Исследование СВЧ нагрева снега с различными свойствами.

1.4.1. Постановка задачи.

1.4.2. Проведение вычислительного эксперимента.

1.5. Описание программ для вычислительного эксперимента.

1.5.1. Описание программ.

1.5.2. Описание интерфейса.

1.6. Выводы но главе.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СВЧ НАГРЕВА

ДИЭЛЕКТРИКА В КАМЕРЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Составление разностной схемы.

2.3. Решение системы разностных уравнений.

2.4. Проведение вычислительного эксперимента.

2.4.1. Исследование СВЧ нагрева влажной древесины.

2.4.2. Исследование СВЧ нагрева нефти.

2.4.3. Исследование СВЧ нагрева влажного грунта.

2.4.4. Результаты исследований.

2.5. Описание программы для вычислительного эксперимента.

2.5.1. Алгоритм программы.

2.5.2. Интерфейс программы.

2.5.3. Анализ результатов вычисления программы.

2.6. Выводы по главе.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ.

3.1. Управление электромагнитным полем при равномерном движении фазовой границы диэлектрика при СВЧ нагреве.

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Составление разностной схемы.

3.1.3. Проведение вычислительного эксперимента.

3.2. Оптимизация электромагнитного поля в СВЧ камере частично заполненной диэлектриком.

3.2.1. Постановка задачи.

3.2.2. Решение задачи и результаты расчётов.

3.3. Оптимизация электромагнитного поля вдоль продольной оси СВЧ камеры

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2. Решение задачи и результаты расчёта.

3.4. Описание программы для вычислительного эксперимента.

3.4.1. Описание программ.

3.4.2. Описание интерфейса.

3.5. Выводы по главе.

Актуальность. В современной промышленности и хозяйстве многие технологические процессы связаны с нагревом материалов. И применением для этого СВЧ энергии в этих процессах никого не удивишь: в пищевой промышленности для размораживания пищевого материала, в строительной промышленности для нагрева строительных материалов, сушки (древесины), в медицине для разогрева препаратов и для решения проблемы криоконсервации органов и тканей. Задачи борьбы с обледенением актуальны для многих отраслей промышленности, здесь также могут быть использованы преимущества СВЧ нагрева. Уменьшение толщины образующегося льда или облегчение его разрушения имеет большое значение для объектов морской, авиационной и космической техники, приборов охлаждения, линий электропередач. Расплавление строительных битумов после их транспортировки в твердом состоянии. Кроме того, не до конца решена проблема очистки крупных городов от снега во время сильных снегопадов. Появлению новых областей применения мощной СВЧ электроники способствует ряд специфических свойств электромагнитных колебаний сверхвысокого диапазона частот, которые позволяют значительно улучшить существующие технологические процессы.

В подавляющем большинстве случаев нагрев каких-либо физических тел производится путем передачи тепла снаружи вовнутрь за счет теплопроводности. Отсюда неизбежен температурный градиент (перепад) от поверхности в глубину материала, причем тем больший, чем меньше теплопроводность. Уменьшить или почти устранить большой градиент температур можно за счет увеличения времени обработки. Во многих случаях только за счет медленного нагрева удается избежать перегрева поверхностных слоев обрабатываемого материала. Примерами таких процессов является обжиг керамики, получение полимерных соединений и т.п. На СВЧ при рациональном подборе частоты колебаний и параметров камер, где происходит преобразование СВЧ энергии в тепловую, можно получить относительно равномерное выделение тепла по объему тела. Эффективность преобразования энергии электрического поля в тепло возрастает прямо пропорционально частоте колебаний и квадрату напряженности электрического поля. При этом следует отметить простоту подачи СВЧ энергии практически к любому участку нагреваемого тела. С помощью СВЧ энергии можно не только равномерно нагревать диэлектрик по его объему, но и получать по желанию любое заданное распределение температур. Поэтому при СВЧ нагреве открываются возможности многократного ускорения ряда технологических процессов.

Многообразие форм и физических свойств веществ, требующих применения СВЧ технологий в технологических процессах приводит к изучению важного класса нелинейных проблем теплообмена, который связан с процессами фазовых превращений (процессы плавления и затвердевания материалов).

Задачи теплопереноса с подвижными границами, вызванными изменением агрегатного состояния вещества, получили название задач типа Стефана. Данный класс задач относится к одним из наиболее сложных задач математической физики. Классический вариант задачи Стефана, сформулированный для фазовых переходов типа плавление—кристаллизация, сводится к уравнению теплопроводности в области с заранее неизвестной границей, разделяющей твердую и жидкую фазы и имеющей температуру, равную температуре фазового превращения. Подвижная граница раздела фаз обеспечивает нелинейность задачи.

Необходимо отметить, что исследованиям моделей СВЧ нагрева занимаются многие коллективы специалистов, как в нашей стране, так и за рубежом. Весомый объём задач по данной проблеме охвачен в трудах Макарова В.Н., Самарского A.A., Мейрманова A.M., Грудинской Г.П.,

Афанасьева A.M. Однако анализ этих работ показывает, что отсутствует решения широкого круга теоретических и практических вопросов как для процессов нагрева диэлектриков в СВЧ камерах, так и для процесса плавления вещества при помощи СВЧ.

При исследовании данных проблем актуальным является разработка математических моделей, обеспечивающих эффективность, равномерность и экономичность нагрева вещества с помощью СВЧ энергии, а также, если это задача Стефана - равномерность движения фазовой границы.

Отмеченные выше обстоятельства определяют актуальность построения математических моделей процесса нагрева диэлектриков энергией СВЧ с учётом фазовых переходов и исследование управления процессами СВЧ нагрева. Представленная диссертационная работа посвящена решению этой задачи.

Цель работы — построение математических моделей СВЧ нагрева диэлектриков с учетом фазовых переходов, их исследование аналитическими и численными методами, разработка на их основе комплекса программ для проведения вычислительных экспериментов и их использование для выработки рекомендаций по совершенствованию устройств СВЧ нагрева.

В соответствии с поставленной целью в работе определены основные задачи исследования:

1. Построить и исследовать математическую модель СВЧ нагрева диэлектрического слоя конечной толщины с учётом фазового перехода;

2. Построить и исследовать математическую модель СВЧ нагрева диэлектрика в камере прямоугольного сечения, с неполной степенью заполнения диэлектриком;

3. Провести оптимизацию распределения напряженности электромагнитного поля (ЭМП) в СВЧ камере прямоугольного сечения по среднеквадратическому критерию;

4. Поставить задачу управления движением границы раздела фаз при СВЧ нагреве диэлектрика конечной толщины и разработать основанный на современных компьютерных технологиях вычислительный алгоритм для ее решения;

5. Исследовать СВЧ нагрев снега в зависимости от его влагосодержания и пористости;

6. Реализовать в виде комплекса программ для проведения вычислительных экспериментов численные методы, используемые при исследовании математических моделей СВЧ нагрева и управления.

Методы исследования, достоверность и обоснованность. При выполнении данной работы использовались конечноразностный метод по неявной схеме на сетке, узловые точки которой, совпадают с граничными точками слоев, консервативная разностная схема. Для построения консервативной разностной схемы использовался интегро-интерполяционный метод или метод баланса. Для решения задачи Стефана использовался алгоритм переменного шага по времени.

Обоснованность и достоверность результатов определяется корректностью использования математических моделей и их адекватностью реальным физическим процессам; совпадением результатов вычислительных экспериментов с данными других авторов.

При решении задач использованы современные программные средства, в том числе стандартные пакеты прикладного программного продукта MATHCAD. Разработана программа, предназначенная для расчёта поля температур внутри СВЧ камеры прямоугольного сечения, частично заполненного диэлектриком. Она написана на языке программирования высокого уровня Java в виде клиентского приложения.

Научная новизна:

1. Исследована математическая модель СВЧ нагрева диэлектрика в СВЧ камере прямоугольного сечения с неполной степенью заполнения диэлектрическим материалом.

2. Поставлена и решена задача управления электромагнитным полем при СВЧ нагреве, позволяющая придавать динамике движения фазовой границы заданный характер и свести нелинейную задачу Стефана к линейной.

3. Получены результаты исследования влияния влажности и пористости на СВЧ нагрев снега.

4. Построена и исследована математическая модель СВЧ нагрева плоскослоистого диэлектрика с учетом фазовых переходов при возбуждении ЭМП плоской электромагнитной волной нормально падающей на его границу. Установлено, что при неизменной амплитуде падающей волны скорость движения фазовой границы не постоянна и уменьшается с увеличением толщины жидкой фазы диэлектрика.

Практическая значимость. Полученные результаты делают возможным использовать их при создании эффективных комплексов СВЧ нагрева, а также способствуют развитию теории СВЧ нагрева. Они дают возможность более обосновано подходить к выбору параметров ЭМП СВЧ для решения тех или иных задач обработки различных материалов. Работа выполнялась в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 гг.)» в проекте «Математическое моделирование и управление в задачах механики сплошных сред», регистрационный номер: 2.1.1/13290. Результаты работы используются в учебном процессе физико-математического факультета КГТУ им. А.Н. Туполева при курсовом и дипломном проектировании.

Апробация работы. Основные материалы и результаты исследований докладывались и обсуждались на VI, VII, VIII и IX международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» в 2007 — 2010 гг., на международной научно-практической конференции «Современные технологии — ключевое звено в возрождении отечественного авиастроения» в 2008 г., на всероссийском семинаре, посвященном столетию проф. Аминова М. Ш. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» в 2008 г., на XV, XVI и XVIII Международной молодёжной научной конференции «Туполевские чтения» в 2007, 2008 и 2010 гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, в том числе 2 статьи — в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов диссертаций, 7 тезисов докладов и 4 публикации в материалах конференций. Получено свидетельство о регистрации программы для расчёта электромагнитного и температурного полей при СВЧ нагреве.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Постановка задачи управления электромагнитным полем для обеспечения равномерного движения фазовой границы при СВЧ нагреве и результаты математического моделирования.

2. Математическая модель СВЧ нагрева плоскослоистого диэлектрика с учетом фазовых переходов при возбуждении ЭМП плоской электромагнитной волной нормально падающей на его границу и результаты численного моделирования.

3. Результаты математического моделирования СВЧ нагрева снега с различными физическими свойствами.

4. Результаты исследования модели СВЧ нагрева диэлектрика, частично заполняющего СВЧ камеру прямоугольного сечения.

5. Комплекс программ для расчёта электромагнитных и температурных полей в камере прямоугольного сечения и в плоскослоистом диэлектрике.

Личный вклад автора заключается в общей постановке целей и задач исследования, получении, обработке и анализе основных результатов, интерпретации и обобщении полученных данных и формулировке выводов и основных научных положений.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка использованных источников, включающего 150 наименований. Объем диссертации насчитывает 127 страниц машинописного текста, включая 51 рисунок и 4 таблицы.

3.5. Выводы по главе

Предложена постановка задачи управления СВЧ плавлением диэлектрика при заданном законе движения межфазной границы. Нахождение функции управления осуществляется методом конечных разностей. Сравнение результатов математического моделирования плавления слоя льда в задаче с управлением с результатами из раздела 1.3 показывает, что при одинаковом времени плавления затраты энергии на плавление в задаче с управлением на 5,8% - 7% меньше. Рассмотренные в главе задачи оптимизации распределения электромагнитного поля позволяют повысить равномерность распределения ЭМП как в поперечном сечении диэлектрика, так и в его продольном направлении.

Предложенные математические модели могут быть использованы при проектировании и разработке энергосберегающих устройств СВЧ плавления в соответствующих технологических процессах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе решена важная научно-техническая задача -построение и исследование математических моделей СВЧ нагрева диэлектриков с учетом фазовых переходов с применением современных технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента, разработка комплекса программ для проведения вычислительных экспериментов , и их использование для выработки рекомендаций по совершенствованию устройств СВЧ нагрева.

В диссертационной работе

1. построена и исследована математическая модель СВЧ нагрева диэлектрического слоя конечной толщины без учета и с учётом фазовых переходов;

2. построена и исследована математическая модель СВЧ нагрева диэлектрика в камере прямоугольного сечения и решена задача оптимизации электромагнитного поля в СВЧ камере;

3. разработан вычислительный алгоритм решения задачи управления движением границы раздела фаз при СВЧ нагреве диэлектрика конечной толщины, позволяющий свести нелинейное уравнение Стефана к линейному уравнению;

4. построена зависимость СВЧ нагрева снега от влагосодержания и пористости;

5. разработан комплекс программ для вычислительных экспериментов с построенными моделями;

6. сформулированы рекомендации по применению полученных результатов для совершенствования устройств СВЧ нагрева.

1. Рогов И. А. Электрофизические методы обработки пищевых продуктов. -М.: Агропромиздат, 1988. 272с.

2. Долгопол ов H.H. Электрофизические методы в технологии строительных материалов.- М.: Изд-во литературы по строительству, 1971.240с.

3. Лыков A.B. Тепло и массообмен в процессе сушки.- M.: JL: Госэнергоиздат, 1956.

4. Кришне О. Научные основы теории сушки.- М.: Иностранная литература, 1961.

5. Лыков A.B. Теория сушки.- М.: Энергия, 1968.

6. Нетушил A.B. и др. Высокочастотный нагрев диэлектриков и полупроводников. М.;-Л.: Госэнергоиздат, 1959. 480с.

7. Нетушил A.B. и др. Высокочастотный нагрев в электрическом поле. -М.: Высшая школа, 1961.

8. Глуханов Н.П. Физические основы высокочастотного нагрева. Л.: Машиностроение, 1989. — 56 с.

9. Дебай П., Закк Г. Теория электрических свойств молекул.- М.:- Л.: ОНТИ, 1935.

10. Дебай П. Полярные молекулы.- М.;-Л.: ОНТИ, 1931. 147с.

11. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны.- М.: Советское радио, 1957. 440с.

12. Новожилов Ю.В., Яппа Ю.А. Электродинамика.- М.: Наука, 1978.

13. Хардман Л. Распределение частот электромагнитного спектра в условиях напряженного графика. Электроника, 1972, №20. с.30-52.

14. John M. Osepchuk. A History of Microwave Heating Applications // IEEE Transcription On Microwave Theory and Techniques. Vol. MTT-32. September 1984. № 9, P. 1200-1223.

15. Архангельский Ю. С., Девяткин И. И. Сверхвысокочастотные нагревательные установки для интенсификации технологических процессов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1983. 140 с.

16. Бородин И. Ф., Шарков Г. А., Гарин А. Д. Применение СВЧ-энергии в сельском хозяйстве. М.: ВНИИТЭИагропром, 1987. 56 с.

17. Каданер Я. Д. Применение микроволнового нагрева в кулинарии (обзор). Вып.2. М.: НИИОП, 1969. 54 с.

18. Девятков Н. Д. Нетепловые эффекты миллиметрового излучения. М.: Ротапринт ИРЭ, 1981.

19. Некрутман С. В. Аппараты СВЧ в общественном питании. М.: Экономика, 1973. 118с.

20. Deviatkov N. D. Edited biological aspects of low intensity millimeter wave. M., 1994. P. 336.

21. Звержховский И. В., Лошицкий П. П., Пойгина М. И., Чичинадзе Ж. А. Микроволновые технологии в агробиологии и медицине//Материалы 7-й Междунар. Крымской конференции «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии», Т. 1, Севастополь, 1997. -С. 102-105.

22. Радиоэлектроника за рубежом, вып. 2(66), М.: НИИЭР, 1993. 48 с.

23. Jangue's Thuery. Microwave Industrial. Scientific and Medical Applications Edited by Edward M.Grant. Larstin Arteda House. Boston. London. 1992.

24. Матисон В. А. Сер. * 22. Пивоваренная и безалкогольная промышленность. Обзорная информация. Вып. 2-3. Повышение стабильности пива и безалкогольных напитков путем применения микроволновой пастеризации. М.: АгроНИИТЭИПП, 1993. С. 1-47.

25. Устройство для анализа состава сырой нефти. СПМ № 48415. Заявл. 11.04.2005 // Бюллетень ИПМ. 2005. № 28.

26. Установка разогрева тяжелых нефтепродуктов в железнодорожных цистернах. Информационный листок №876. Дорожный центр информации и рекламы, Нижний Новгород. 1996.

27. Морозов Г. А., Седельников Ю. Е., Филиппов О. В. Микроволновые технологии в народном хозяйстве Республики Татарстан // Материалы докладов ВНТК «ФАР-94». Казань, 1994. С. 15-20.

28. Морозов Г. А. Развитие экологически чистых СВЧ-технологий в производстве продукции сельского хозяйства // Межвузовский сборник «Радиоэлектронные устройства и системы». Казань, 1996. С.106-111.

29. Разработка СВЧ технологий по обеззараживанию почв, семенных материалов и других продуктов сельского хозяйства. Итоговый отчет по НИР. Казань, 1995.

30. Явчуновский В. Я. Микроволновая и комбинированная сушка. Физические основы технологии и оборудования//Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 1992. 233 с.

31. Колпаков Н. Д., Глянько В. Т., Лузганова С. В. Практика использования СВЧ энергии для переработки промышленных и сельскохозяйственных продуктов // Труды «МКТТА-95». Украина, 1995. с. 103.

32. Cutrona L. J., Vivian V. Е., Hall G. О. A High Resolution Radar Combat-Surveillance System // IRE Trans. 1961. - Vol. MIL-5. - P. 127-131.

33. Кириллов П. К., Морозов Г. А., Седельников Ю. Е. СВЧ установка для сушки пищевых продуктов с высокой влажностью // Труды МНПК «Пищевая промышленность 2000». Казань, 1996. с. 116.

34. Ведерников Н.М., Морозов Г.А., Седельников Ю.Е., Стахова Н.Е. Улучшение посевных свойств семян хвойных пород облучением ЭМП СВЧ- и КВЧ- диапазонов// Материалы докладов Всероссийской НТК «МВТ-95».Казань,1995. с.22-23.

35. Бородин И.Ф., Кузнецов С.Г. Электродинамическое воздействие мощных СВЧ импульсов на грибы рода Fusarium// Материалы докладов Всероссийской НТК «МВТ-95». Казань, 1995.С.9-10.

36. Рудаков В. И. Применение СВЧ технологий в энергоемких производственных процессах // Тезисы докладов Международной конференции «Теория и техника антенн. МКТТА-95», Харьков, 1995. С.102.

37. Морозов Г. А. Перспективы использования микроволновых технологий при разработке высоковязких нефтей // Труды НПК 6-ой Международной специализированной выставки «Нефть газ - 99» . Т.1. Казань: Экоцентр , 1999. С.242-248.

38. Мингазов Ф. Ф., Морозов Г. А., Сабирзянов Д. С. Воздействие микроволновых полей на зерновые культуры // Материалы докладов Всероссийской НТК «МВТ-95». Казань, 1995. с.11-13.

39. Шарков Г. А., Шахматов В. ПЕ., Андреев С. А. Эффективность облучения дражжированных семян СВЧ полем // Сборник научных трудов «Повышение экономичности и надежности электрификации сельского хозяйства». М.: МИИСП, 1985. С. 17-21.

40. Морозов Г. А. Микроволновые технологии в промышленности и сельском хозяйстве: современные достижения и новые подходы // «Антенны» Выпуск 1(40). 1998. С.88-97.

41. Ведерников Н. М., Морозов Г. А., Стахова Н. Е. Микроволновая обработка семян хвойных деревьев // Материалы 9-ой Международной Крымской конференции «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии», Севастополь, 1999. с.420-421.

42. Морозов Г. А., Шакуров Ф. М. и др. Воздействие микроволновых полей на возбудителей паразитов сельскохозяйственных животных // Материалы докладов Всероссийской НТК «МВТ-95». Казань, 1995. С.13-15.

43. Рогов И. А. , Некрутман С. В. Сверхвысокочастотный нагрев пищевых продуктов. М.: Агропромиздат, 1986. 351с.

44. Архангельский Ю.С., Тригорлый C.B. СВЧ электротермические установки лучевого типа. — Саратов: Изд-во. Сарат. гос. техй. ун-та, 2000, 122с.

45. Применение энергии высоких и сверхвысоких частот в технологических процессах сельскохозяйственного производства // Сборник научных трудов. Челябинск, ЧИМЭСХ, 1983. 142с.

46. Девятков Н. Д., Голант М. Б., Бецкой О. В. Миллиметровые волны и их роль в процессах жизнедеятельности//М.: Радио и связь, 1991. 168с.

47. Бецкой О.В. Применение низкоинтенсивных электромагнитных волн миллиметрового диапазона в медицине//Медицинская радиология .Т.37. №3-4, 1992.

48. Емельянов С. И., Струсов В.В., Селезнев Г.Ф., Уткин Д. В. Миллиметровые волны в хирургической практике//Российстсий симпозиум «Миллиметровые волны в медицине и биологии», Сб. докладов, Москва, 1995.

49. Макаров А. Г., Морозов Г., А., Шакуров M. Ш. Перспективы КВЧ терапии в медицине // Материалы 9-ой Международной Крымской конференции «СВЧ техника и телекоммуникационные технологии»: Севастополь, 1999. С.401-402.

50. Шарков Г. А., Платунов С. В. Перспективы использования СВЧ поля в шелководстве//Тезисы докладов НТК «Применение СВЧ энергии в энергосберегающих технологических процессах», Саратов, 1986. -С.44.

51. Гусев В. Ф., Морозов Г. А. Исследование микроволновых СВЧ-технологий очистки от АСПО труб нефтяных скважин. Итоговый НТО, НИЦ ПРЭ КГТУ им. А. Н. Туполева, 1998.

52. Бородин И.Ф., Горин А.Д., Малютин А.Ф., Андержанов А.Л., Новикова В.Б. СВЧ нагрев пантовой продукции при консервировании // Материалы докладов Всероссийской НТК «МВТ-95». Казань, 1995. С. 18-19 .

53. Колпаков Н. Д., Лукьяненко Н. Е. Промышленные технологические СВЧ установки непрерывного действия // Материалы докладов Всероссийской НТК «МВТ-95». Казань, 1995. С.61-62.

54. Кузнецов С. Г., Литун И. Б., Королев К. В. Модульная СВЧ установка для обеззараживания покровного грунта и субстрата при выращивании грибов // Материалы докладов Всероссийской НТК «МВТ-95». Казань, 1995. С.43-44.

55. Василенко В. Н., Минухин В. В., Подорожняк А. А., Трубаев С. И. Способ и аппаратура для СВЧ стерилизации // Материалы докладов Всероссийской НТК «МВТ-95». Казань, 1995.

56. Морозов Г. А., Стахова Н. Е., Воробьев Н. Г. Разработка опытного образца установки стимуляции роста хвойных семян. Итоговый отчет о НИР, 1997.120 с.

57. Брандт Э.А., Лебедь Б.М. СВЧ сушильная установка с бегущей волной // Материалы докладов Всероссийской НТК «МВТ-95». Казань, 1995.С.42-43.

58. Морозов Г.А. Проектирование микроволновых технологических комплексов с учетом фактора энергозатрат. Материалы 10-й Международной Крымской конференции «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» Севастополь, Украина 2000.

59. Бацев П. В. Системы автоматического управления современных промышленных установок СВЧ-нагрева // Основные технические требования. 4.1. Вы. 10 (358), 1983. С.42-51.

60. Шваб А.Й. Электромагнитная совместимость. Перевод с нем. под ред. И.П. Кужекина. М.: Энергоатомиздат, 1998 468 с.

61. Акишин Б.А., Морозов Г.А., Седельников Ю.Е. Применение коллиматоров СВЧ и КВЧ диапазонов для повышения равномерности нагрева почвы // Материалы докладов Всероссийской НТК «МВТ-95», Казань, КГТУ, 1995. С. 51-52.

62. Vorobjova E.G., Dautov O.S., Sedelnikov Y.E., Potapova O.V. Focused array utilization for microwave agricultural application // Antenna Theory and Techniques. Kiev, Ukraine, 1997.

63. Морозов Г.А., Потапова O.B., Седельников Ю.Е. Оптимизация возбуждения электромагнитных полей в СВЧ технологических установках. Москва. Депонировано в ВИНИТИ №2767-В-96 от 4.09.1996.

64. Торговников Г.И. О перспективах использования СВЧ энергии для обработки древесины и древесных материалов/УДеревообрабатывающая промышленность, №5, 1989. С.13-16.

65. Веткин А.Н., Бойцов П.Н., Савельев С. А. Избирательная многоканальная КВЧ пунктура. /10 Российский симпозиум с международным участием «Миллиметровые волны в медицине и биологии». Сб. докладов. М., 1995.

66. Иноземцев В.П., Балковой И.И., Лукьяновский В.А., Ханжина Н.Н, и др. Применение электромагнитных излучений крайне высоких частот в ветеринарной практике. / Ветеринария, №10,1993.

67. Параскова П., Чекаров Т. Возможности современных микроволновых технологий для переработки пищевых продуктов и консервирования//Микроволновые технологии в нар. хоз-ве.— Одесса, 1996. С. 31-34.

68. Богословский В.Н. Строительная теплофизика. — М.: Высшая школа, 1982. 416с.

69. Чони Ю.И, Анфиногентов В.И. Статистический подход в задачах синтеза многоточечных систем измерения полей. Кибернетика и вычислительная техника, в.79, Наукова думка, Киев,1988 г. с. 82-87.

70. Анфиногентов В.И., Баширов З.А., Морозов Г.А. и др. Имитация и компенсация эксплуатационной вибрации// Изд. Машиностроение, М., 1996. 368 с.

71. Анфиногентов В.И. Математическое моделирование СВЧ нагрева диэлектриков. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2006. 140 с.

72. Анфиногентов В.И., Гараев Т. К., Морозов Г.А. Моделирование СВЧ нагрева диэлектрика движущимся излучателем.//Электронное приборостроение. Научно-практический сборник. Выпуск 1(29). Казань: КГТУ (КАИ), НИО «САН». 2003.

73. Анфиногентов В.И., Гараев Т.К. Математическое моделирование трёхмерных тепловых полей при СВЧ нагреве диэлектриков. Материалы конференции// Современные методы теории функций. -Воронеж: Воронежский гос. ун-т, 2003.

74. Анфиногентов В.И., Гараев Т. К., Морозов Г.А. Микроволновый нагрев диэлектриков в рабочей камере с ограниченным объёмом.//Электронное приборостроение. Научно-практический сборник. Выпуск 1(22). Казань: КГТУ (КАИ), НИО «САН». 2002. -С. 62-65.

75. Анфиногентов В.И. К математическому моделированию процесса микроволнового нагрева диэлектриков//Материалы 12-й Международной Крымской конф. «СВЧ техника и телекоммуникационные технологии», Севастополь, 2002.

76. Анфиногентов В.И., Гараев Т. К., Морозов Г.А. Об одной задаче теории СВЧ нагрева диэлектриков. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. №3, 2002.

77. Анфиногентов В.И., Морозов Г.А. Микроволновой технологический комплекс — как система автоматического у правления//« Авиакосмические технологии и оборудование»: Материалы Межд. науч.-практ. конф.- Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2006. С.349-352.

78. Анфиногентов В.И. Об одной задаче управления СВЧ нагревом диэлектриков//. Физика волновых процессов и радиотехнические системы. Т.9, № 2. 2006. С.47-51.

79. Анфиногентов В.И. Об оптимальном управлении СВЧ нагревом диэлектриков//« Авиакосмические технологии и оборудование»: Материалы Межд. науч.-практ. конф. — Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2006. С.346-349.

80. Анфиногентов В.И. Статистическая оптимизация многоэлементных излучающих систем при СВЧ нагреве диэлектриков//Физика волновых процессов и радиотехнические системы. Т.7, №1. 2004.

81. Анфиногентов В.И., Морозов Г.А., Гараев Т.К. Повышение равномерности тепловых полей при СВЧ нагреве диэлектриков.//Материалы 13-ой Международной Крымской конференции «СВЧ техника и телекоммуникационные технологии». Украина, Крым, Севастополь, 2003.

82. Анфиногентов В.И., Морозов Г.А. Обзор методов физического и математического моделирования СВЧ нагрева//Материалы 13-й Межд. Крымск. конф. «СВЧ техника и телекоммуникационныетехнологии», Севастополь, 2003. -С.710-711.

83. Морозов Г.А., Морозов О.Г., Анфиногентов В.И. Развитие микроволновых технологий в авиационной промышленности//Сборник докладов науч.-практ. конф. «Авиакосмические технологии и оборудование», Казань, Изд-во КГТУ им.А.Н.Туполева, 2003. -С.80-86.

84. Анфиногентов В.И., Гараев Т.К., Морозов Г.А. Математическое моделирование микроволнового нагрева трехмерной диэлектрической среды. Электронное приборостроение. Вып 6(34)., Казань, КГТУ (КАИ), 2003. -С.61-66.

85. Анфиногентов В.И. Моделирование СВЧ нагрева с учетом зависимости коэффициента затухания от температуры. Информационно-телекоммуникационные технологии/ЛЗсерос. науч.-техн. конф.: Тез. докл.- М.: Издательство МЭИ, 2004.- С.97-99

86. Анфиногентов В.И., Гараев К.Г. О группе Ли, допускаемой одним нелинейным уравнением в теории СВЧ нагрева//Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева, № 4, 2005.- С. 27-29.

87. Анфиногентов В.И. Математические модели СВЧ нагрева диэлектриков конечной толщины//Физика волновых процессов и радиотехнические системы, Т.9, № 1, 2006. С.78-83.

88. Анфиногентов В.И. Численное моделирование сверхвысокочастотного электромагнитного нагрева несжимаемойвязкой жидкости, движущейся в цилиндрической трубе//Электромагнитные-волны и электронные системы. Т. 11, №23, 2006.- С.3-9.

89. Чистяков С.И., Денисов, Саяхов Ф.Л. Экспериментальное исследование зависимости диэлектрических свойств нефти и ее фракции от частоты // Изв. вузов Нефть и газ. 1972. № 5. С. 53-56.

90. СВЧ энергетика / Под ред. Э. Окресса / т.2. Применение энергии СВЧ в промышленности /-М.: Мир, 1971. С.272.

91. Низкоинтенсивные СВЧ-технологии (проблемы и реализации)./ Под ред. Г.А.Морозова и Ю.Е.Седельникова. — М.: «Радиотехника», 2003. -112 с.

92. Применение миллиметрового излучения низкой интенсивности в биологии и медицине. Сб. статей Под ред. Н.Д. Девяткова.- М. : ИРЭ АН СССР. 1985.

93. Устройство для анализа состава сырой нефти. СПМ РФ №23333.

94. Миллиметровые волны в медицине и биологии /11-й Российский симпозиум с международным участием. Сб. докладов. - М. 1997.

95. Катин А.Я. Миллиметровые волны, биологически активные точки и метод электропунктурной диагностики по Р.Фоллю//Миллиметровые волны в биологии и медицине, №4, М., 1994. С.55-56.

96. Гараев Т.К. Моделирование процессов СВЧ нагрева различных диэлектриков. IV Республиканская научно-практическая конференция молодых учёных и специалистов. Техническое направление. Казань: «Мастер Лайн», 2002. С. 30.

97. Калинин JI.Г. и др. Дезинсекция и биостимуляция семян в СВЧ электромагнитном поле//Вопросы радиоэлектроники, №3, 1993. -С.4-9.

98. Изаков Ф.Я. Направления и результаты исследований по использованию энергии СВЧ в сельском хозяйстве./ В сб. "Использование СВЧ энергии в сельскохозяйственном производстве", Зерноград.: ВНИТИ-МЭСХ. 1989. 172с.

99. Блонская А.П., Дятченко Т.И. Влияние ЭМП СВЧ на посевные качества семян овощных культур./ В сб. "Использование СВЧ энергии в сельскохозяйственном производстве." Зерноград: ВНИТИМЭСХ. 1989.172с.

100. Буторина А. В., Шафранов В. В. Современное лечение гемангиом у детей. Лечащий врач. № 5, 1999 г.

101. Чекаров Т.П. Возможности современных микроволновых технологий для переработки пищевых продуктов и консервирования. В кн. Микроволновые технологии в народном хозяйстве , Одесса, 1996. С. 18-26.

102. Матисон В.А. Особенности моделирования электродинамических процессов при тепловой обработке пищевых продуктов в СВЧ -камерах // Международная научно-техническая конференция

103. Научное и инженерное обеспечение пищевых и перерабатывающих отраслей АПК». 4.2. Москва, 1996. С.15.

104. Даутов О.Ш. и др. Отчет по НИР «Возбуждение плоскослоистой структуры локальным источником дипольного типа». Казань, 1994.

105. Макаров В.Н., Неделько В.А., Нутович JI.M. Моделирование СВЧ-нагрева неоднородных сред с фазовым переходом. Радиотехника и электроника, 1991, т.36, № 5. С. 960-964.

106. Мейрманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986. 240с.

107. Хабибуллин И.Л. Нелинейные эффекты при нагреве сред электромагнитным излучением ИФЖ. 2000. Т.73, № 4. С. 832-838.

108. Козлов Д.В. Основы гидрофизики. М.: Изд-во МГУП, 2000. - 263 с.

109. Дручинин C.B. Исследование применимости формул смеси для описания диэлектрической проницаемости сред с большим содержанием включений // Радиотехника и электроника. — 2000. Т. 45.-№2.-С. 230-235.

110. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. -М.: Едиториал УРСС ,2003. 784 с.

111. Гольдштейн Л.Д. Электромагнитные поля и волны. — М.: Советское радио, 1971. 664с.

112. А.А.Самарский Теория разностных схем. М.: Наука, 1978. 656с.

113. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ. Томск.: Радио и связь, 1991.272с.

114. И.С.Березин, Н.П.Жидков Численные методы том 1. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. 464с.

115. Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов A.B. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена. — М.: Высшая Школа, 1990. 207с.

116. Марков Г.Т., Петров Б.М., Грудинская Г.П. Электродинамика и распространение радиоволн. -М.: Советское радио, 1979. 376 с.

117. Борисов Ю. M. Электротехника — M.: Высшая школа, 1974. 351с.

118. Бергер M. Н., Капилевич Б.Ю. Прямоугольные волноводы с диэлектриками — М.: Советское радио, 1973. 251с.

119. Каценеленбаум Б. 3. Высокочастотная электродинамика — М.: Наука, 1966. 240с.

120. Дж. Джексон Классическая электродинамика М.; Мир, 1965г., 703с.

121. Р. Митра, С. Ли, Аналитические методы теории волноводов — М.: Мир, 1974. 323с.

122. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977. 736с.

123. Самарский А. А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики: учебное пособие — М.; Наука, 1992. 424с.

124. Годунов С. К., Рябенький В. С. Введение в теорию разностных схем -М.; Наука 1973.443с.

125. Калиткин H. Н. Численные методы — М.; Наука, 1978. 512с.

126. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем М.: Наука, 1971. 552с.

127. Афанасьев А.М., Подгорный В.В., Сипливый КН., Яцышен В. В. Математическое моделирование взаимодействия СВЧ излучения с влагосодержащими плоскими слоистыми средами. Ч. 1 ИВУЗ «Электромеханика» 2001. №2. С. 14-21.

128. Степанов В.В. Оптимизация равномерного распределения СВЧ энергии в частично заполненном резонаторе. Материалы 10-й Международной Крымской конференции «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии». Севастополь, 2000. С. 519-593.

129. Morozov G. А. , Sedelnikov Yu. Е. Use of microwave methods in agriculture: problems and practical results // Intern. symp. APMC-96. 1996. P.6.

130. Morozov G. A., Sedelnikov Yu. E. Development and practical use of microwave technologies in agriculture // Intern. symp. JINA-96. 1996. P.290-292.

131. Рожсковская T.H Вариационные принципы и задачи со свободными границами. — М.; Наука; 1990г., 536 стр.

132. Амирханов И.В., Земляная Е.В., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Сархадов И. Численное моделирование фазовых переходов в металлах, облучаемых импульсными пучками ионов, Дубна, Моск.обл. Из.отд. ОИЯИ. 2001. 16с.

133. Фомин В.А. Об одном методе решения задачи Стефана // Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ». 2006. С. 488-493.