автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов теплопереноса в системах с шероховатыми поверхностями

На правах рукописи

Дмитриенко Григорий Сергеевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В СИСТЕМАХ С ШЕРОХОВАТЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

3 МАЙ 2012

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2012 г.

005016248

Работа выполнена в ФБГОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Уварова Людмила Александровна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор,

ведущий научный сотрудник Объединенного института высоких температур РАН Щукин Евгений Романович

доктор физико-математических наук, профессор кафедры Общей Физики ФГБОУ ВПО «Московский физико-технический институт (государственный университет)» Васильева Людмила Юрьевна

Ведущее предприятие: ФГБОУ ВПО «Московский авиационный

институт (национальный исследовательский университет)»

Защита состоится ААссу 2012 г. в 1 6 часов на

заседании диссертационного совета Д 212.142.03 при ФБГОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН» по адресу: 127055, Москва, Вадковский переулок, д. За.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФБГОУ ВПО Московского государственного технологического университета «СТАНКИН».

Автореферат разослан « » ¿ХЯ1 /Оу 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н., доц. у Семячкова Е.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Реальные физические тела имеют сложные поверхности, что особенно актуально в связи с развитием техники, в которой используются нанообъекты. В связи с этим представляется актуальным решение краевой задачи с реальными поверхностями, которые могут быть моделированы в виде фрактальных или еще более сложных объектов. Учет таких границ является важным при рассмотрении реальных процессов переноса. Кроме задач, относящихся к твердым телам, такая задача представляется актуальной для задач переноса с жидким наполнителем.

Так же в этом случае необходимо решать задачу с подвижной границей в виду существования фазовых переходов, таких как испарение, конденсация, кристаллизация, сублимация, напыление.

Рост статей и публикаций на тему фракталов, как инструменту способному с самых общих позиций охарактеризовать наблюдаемые структуры и процессы в материалах, свидетельствует об актуальности данной проблемы и о широкой возможности такого подхода. Наряду с этим, во многих областях физики в последнее время стало вызывать большой интерес исследование фрактальных множеств [1].

На эксплуатационные свойства деталей машин существенно влияет шероховатость обработанной поверхности. От шероховатости поверхности зависит также устойчивость поверхности против коррозии. На износоустойчивость поверхности влияют сопротивляемость поверхностного слоя разрушению и микрогеометрические отклонения, т. е. отклонения от геометрической формы, которые приводят к неравномерному износу отдельных участков. Не все свойства двух поверхностей, относящихся к одному классу чистоты, могут быть одинаковыми при совпадающих параметрах классов, поэтому принадлежность поверхностей к одному классу чистоты не является достаточным условием для заключения об идентичности поведения деталей при эксплуатации.

В этой связи представляет интерес использование более точной фрактальной модели шероховатости для определения распределений неровностей по высоте и размерам с их дальнейшим применением для определения контактных характеристик при взаимном влиянии неровностей [25].

Особый интерес представляют механизмы влияния шероховатости поверхности в задачах связанных с магнитными наноструктурами, а так же влияние шероховатости на скорость осаждения аэрозоля на поверхность.

Моделирование поверхности с фрактальными свойствами актуально при решении задач с подвижными границами. Вид поверхности с течением времени определяется механизмами роста, и сохраняет свои свойства на каждом шаге процесса. Например, при осаждении аэрозоля на поверхность или напылении частиц, возникают сложные структуры на поверхности, которые могут быть моделированы в виде фрактального объекта.

Процессы с подвижными границами, например, осаждение наночастиц на поверхность, могут быть описаны на основе моделей фрактального роста, где вид поверхности непрерывно изменяется [6]. В таких моделях поверхность (или профиль поверхности), как правило, определяется решением стохастического дифференциального уравнения. Основным механизмом роста в таких моделях является случайное осаждение частиц, при этом в моделях не учитываются термодинамические характеристики системы.

Во многих реальных физических процессах, например образование кристаллов льда (снежинок, сосулек и т.д.), форма поверхности изменяется не только за счет осаждения частиц малого размера, но и за счет процессов фазового превращения. Фазовая граница может быть представлена в виде фрактального объекта (снежинка и др.). Моделирование процессов изменения межфазных границ приводит к задаче Стефана. При этом под задачей Стефан понимается широкий класс математических моделей, описывающих тепловые, диффузионные процессы, сопровождающиеся фазовыми превращениями среды и поглощением или выделением скрытой теплоты. Такие процессы встречаются

в металлургии, при выращивании кристаллов, а также в ряде других областей науки и техники. Наиболее характерной особенностью этих процессов, из-за которых их математические модели являются нелинейными и трудны для анализа, являются неизвестные заранее («свободные») границы между различными фазами.

Одной из альтернативных моделей процесса кристаллизации, появившейся и интенсивно развивающейся в последнее время, является модель фазового поля [7-10]. Как показано в ряде работ, модель фазового поля при предельных значениях параметров близка к классической постановке задачи Стефана (с явно выделенной границей) [9].

Отметим, что такая модель может использоваться для представления реальной поверхности тела при решении задач с неподвижной границей.

Целью настоящей работы является разработка методов построения математических моделей шероховатой поверхности в задачах теплопереноса с подвижными и неподвижными границами, а так же анализ фрактальных и более общих моделей шероховатой поверхности, исследование температурного поля вблизи такой поверхности.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Анализ, построение моделей описывающих поверхность, в том числе фрактальных моделей, моделей случайного осаждения, стохастических дифференциальных уравнений, задающих поверхность.

2. Численное решение задачи теплопереноса с граничными условиями в виде фрактальной поверхности.

3. Моделирование процесса кристаллизации расплава на основе теории фазовых переходов, исследование температурного поля вблизи поверхности. Решение задач с подвижными границами.

4. Моделирование и численный анализ процессов осаждения частиц аэрозоля на поверхность.

5. Исследование данных полученных на туннельном сканирующем микроскопе, оценки фрактальной размерности поверхности образцов, а так же исследование моделей описывающих такого рода поверхности.

Научная новизна:

1. Разработана математическая модель процесса кристаллизации и осаждения частиц на поверхность, отличительной особенностью которой является введение переменного параметра производной порядка вблизи фронта кристаллизации, на основе модели фазового поля.

2. Разработаны алгоритмы решения задачи теплопереноса с фрактальной границей. На основе вычислительного эксперимента по расчету температурного поля вблизи шероховатой поверхности даны оценки влияния шероховатости на решение задачи теплопереноса вблизи шероховатой поверхности.

3. Проведены эксперименты по исследованию геометрии поверхности наноматериалов с использованием сканирующего туннельного микроскопа, отличительной особенностью которых является получение данных шероховатости поверхности. Даны оценки фрактальной размерности поверхности образцов.

4. Разработан программный комплекс для проведения вычислительных экспериментов и расчетов с использованием существующих методов математического моделирования.

Практическая ценность

Разработанная модель для описания процесса кристаллизации и осаждения частиц аэрозоля на основе модели фазового поля может применяться для учета и коррекции свойств поверхностей при создании наноустройств.

Разработанные в диссертационной работе модели могут быть использованы для анализа технологий обработки и получения шероховатых поверхностей, а так же для анализа размеров систем, в которых необходимо учитывать влияние шероховатости на температурное поле в зависимости от класса обработки.

Теоретическая ценность

Теоретическая ценность работы заключается в развитии подходов, ориентированных на создание математических моделей шероховатой поверхности в задачах с подвижными и неподвижными границами, учитывающих фрактальные свойства поверхности. Развитый метод может быть применен при развитии теории тепломассопереноса в системах с реальными границами.

Методы исследования

В работе применяются численные методы решения систем дифференциальных уравнений, методы теории вероятностей и математической статистики, теории фракталов, методы теории переноса, функционального анализа.

Разработка и реализация моделей проводилась с использованием объектно-ориентированного программирования на языке С#. Графическое представление решения задач производилась в среде МАТЬАВ.

На защиту выносятся:

Разработанные методы математического моделирования процесса осаждения и кристаллизации для решения задач теплопереноса с подвижной границей.

Реализованные эффективные численные методы для решения задачи теплопереноса в области с фрактальной границей, а так же реализованные методы решения системы нелинейных дифференциальных уравнений для задачи о кристаллизации в терминах модели фазового поля.

Реализованные эффективные численные методы для решения стохастических дифференциальных уравнений, описывающих изменение профиля шероховатой поверхности.

Выявленные условия стабилизации температурного поля вблизи шероховатой поверхности для различных классов шероховатости.

Апробация работы

Представленные в работе результаты докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики (ФГ БОУ ВПО МГТУ «Станкин»

2009-2012г.), на XVIII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино 2010г.), на XIII научной конференции МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» по математическому моделированию и информатике (МГТУ «Станкин», 2010г.), на II Международной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем» (ФГ БОУ ВПО МГТУ «Станкин» - Московская Государственная Академия Водного Транспорта с 6 по 11 мая 2011г.).

Публикации

Основные результаты работы опубликованы в 6 печатных работах, в числе которых 2 публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ (входящих в базу Scopus), 3 - в сборниках трудов научных конференций и 1 - в монографии.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, 2 приложений и списка литературы из 110 наименований, изложена на 120 страницах машинописного текста, содержит 77 рисунков и 4 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна, практическая значимость и область применения результатов работы. Приведено описание структуры диссертационной работы и дано краткое содержание работы.

В первой главе приведены сведения, относящиеся к общим вопросам определения, построения и анализа фрактальных моделей поверхности. Проведен анализ современного состояния проблемы. В главе описываются методы построения таких моделей поверхностей, а также методы оценки параметров поверхностей. Так же приводится описание задачи теплопроводности и задачи Стефана в классической постановке и в терминах модели фазового поля, где в качестве граничного условия может выступать фрактальный объект. Производиться описание и обоснование выбора моделей и

методов, используемых в настоящей работе. Представлены некоторые аспекты теории фракталов. Основной целью в главе поставлено выделение и классификация главных понятий, определений и методов, используемых в настоящей работе. Также представлен литературный обзор исследований фрактальных свойств поверхности деталей.

Во второй главе рассматривается задача с неподвижными границами. Граница в трехмерной области описывается функционалом вида

г(Х) = «^¿/^Х/Г А(Х)Х + Г„) (1)

гдеX = (х,у), график такой функции, при условиях, накладываемых на параметры, имеет фрактальную размерность я [4]. На рис. 1 графически представлен вид поверхности, задаваемой функцией типа (1).

Рис. 1 Графическое представление функции вида (1), і = 2.3 .

В трехмерной области численно решается задача теплопереноса с граничным условием задаваемым функцией вида (1) методом независимых потоков [11]. На основе численного решения, делаются выводы о влиянии шероховатости на вид температурного поля вблизи поверхности. В частности, численные оценки показали, что неоднородности решения существуют на расстоянии до 10 характерных размеров неровности. Это необходимо учитывать при рассмотрении различных процессов переноса вблизи поверхности. По результатам проведенного численного эксперимента, на

основе данных о классах чистоты, сделаны выводы о соотношении характерного размера системы, в которой необходимо учитывать однородность распределения температуры, и параметров шероховатости поверхности материала, которые надо учитывать при конструировании таких систем (Рис. 2).

На основе анализа данных, полученных экспериментально, делаются оценки фрактальной размерности поверхности образцов. Поверхность такого класса образцов может быть моделирована в виде функционала типа (1).

На туннельном сканирующем микроскопе были исследованы поверхности образцов хрома на стекле (а) и золота на кремнии (б). Для изучения фрактальных свойств поверхностей образцов, а так же что бы оценить характер рельефа поверхностей, были рассчитаны значения показателя Херста.

Рис. 2 Зависимость максимального значения класса чистоты от характерного размера системы (мкм).

Пусть имеется последовательность А = (А,),г| значений высоты профиля поверхности, полученная экспериментально. Для каждого натурального п, меньшего размера исследуемой выборки, вычислим следующие числовые характеристики: размах накопленных сумм:

Д, = max (£ (А, - \)) - min (£ (А, - h„))

....." ;=i ....." ы

среднеквадратичное отклонение Sn:

R — 1 "

нормированный размах накопленных сумм —, где hn = -Y А, - среднее

S» ntt

арифметическое элементов подпоследовательности h = (ft,)".,. Херст показал, что для многих естественных процессов справедлива зависимость:

^ = C„N» (2)

По значению показателя H (коэффициента Херста) можно сделать вывод о характере данных в исследуемой выборки. Таким образом, вводя

последовательность (*„,;с„) = (1п'г'1п^г")Г.1 применяя метод наименьших

квадратов, находим угловой коэффициент прямой проходящей максимально близко к полученным точкам.

На основе расчета R/S статистики для набора серий значений высот профилей, полученных на сканирующем микроскопе, были определены значения показателя Херста для профилей поверхностей образцов. Среднее значение для образца (а) 0.43, для (б) 0.46.

Для оценки фрактальной размерности профилей образцов использовалось соотношение H + D = 2 [12].

В третьей главе рассматривается задача с подвижными границами в двумерной области. При этом подвижная граница может задаваться как решение стохастического дифференциального уравнения или определяться из решения задачи в терминах модели фазового поля.

В первом случае граница определяется решением уравнения Кардара-Паризи-Жанга [6], в общем виде (3).

Êh^.tl = vV1h + ^(Vh)1+T1(x,t) (3)

где 4(x,t)- случайный процесс, имеющий заданное распределение. Уравнение такого вида задает форму профиля поверхности, механизмом роста является случайное отложение, в этом случае не учитываются

термодинамические параметры системы, такие как температура. Разностная схема для решения такого уравнения, может быть записана в общем виде И(х,1 + А1) = к(х,1) +

~ £ (уЩх + е,., I) - Щх, /) + Их - е,., 0] (4)

(Л*) ¿и

+(1 / 8)Л[/1(х + е1,0-/1(х-е„0]2) + а(12 А/)'" г/(1)

где г/(/) - равномерно распределено в интервале между -1/2 и 1/2, А/ - шаг по времени, е,,е2.....еа - шаги по соответствующим измерениям сетки области.

В результате численного решения такого уравнения, на основе статистических методов даются выводы о фрактальных свойствах такого процесса роста. Модели такого класса могут использоваться для описания геометрии поверхности, получаемой в результате процессов случайного осаждения частиц.

Во втором случае рассматривается класс моделей фазового поля, описывающих такие явления как кристаллизация, затвердевание чистого материала из его переохлажденного расплава [7-10]. Такие модели основаны на введении пространственной переменной фазового поля р(х,у,1) в зависимости от горизонтальной и вертикальной координат х и у (в двумерном случае) с течением времени /, характеризующей состояние вещества, и принимающий различные значения для твердой и жидкой фаз (1 и 0). Обозначим и{в) = \ + 3 са5,{](в - ва)), тогда

?2.Р = ~(пШт ?) + |-О7(0)17'(е) ?) + т^р) дх ду ду дх

Уравнения, используемые для описания системы, имеют вид

*^- = £гЧ1р + р(\-р)(р-Х-+т(Т)) (5)

д1 2

К^гт + кдр_ (6)

81 81

Функциональные зависимости для значений переменных в уравнении описывают анизотропию материала и влияние температуры на рост

т(Т) = -агс18[Г(Т,-Т)] (7)

тс

где е - параметр соответствующий величине переходного слоя, величины 8 и у характеризуют среднюю интенсивность и главное число анизотропии, в - угол между градиентом р и одной из осей выбранной системы координат, Тг-значение равновесной температуры (приведенное к безразмерному виду), а,у -положительные константы (а < 1).

На Рис. 3-4 изображены значения фазовой переменной и температуры для круглой частицы.

!! 11

(а) (б) (в)

Рис. 3 Графическое представление фазовой переменной, (а) - начальные условия, (б) - с параметром 8 = 0 , (в) с параметрами 8 = 0.040 , у = 4.0.

(а) (б) (в)

Рис. 4 Графическое представление безразмерной температуры, (а) - начальные условия, (б) - с параметром 8 = 0, (в) с параметрами 8 = 0.040, / = 4.0.

Аналогичным образом протекает процесс при начальных условиях в виде шероховатой поверхности, при этом форма поверхности с течением времени представляет собой множество идентичных «отростков». При этом в случае анизотропии тела г/(в) = \, совпадают = Ч1 р. Вид решения задачи существенным образом определяется значением параметра К.

На основе модификации такой модели, с учетом введения зависимости параметра К от пространственной и временной составляющих, дается описание

построения новой модели. Для обобщения функции К, в области О ={(*,/) <х<К, 0</<//}, будем обозначать Ка(х,0, выделим подмножества в виде прямоугольников Я,. =\{(х,1)\х01 <х<х0, + а„ у01 <у<уа,+Ь!}, таким образом, что (1)V/,О => Д., (2)V/,,/2 пД,ч -0. Распределение прямоугольников в области по размеру и координатам, зададим на основе набора случайных величин. При этом а, = , ^-горизонтальные и вертикальные

значения расстояния между соседними прямоугольниками, в зависимости от условий задачи, в том числе и при учете осаждения аэрозоля на поверхность.

а) б) в)

Рис. 5 (а-в) в плоскости (х,[) изображены серым прямоугольные подмножества, описанные выше, распределение во всех примерах равномерное.

Для начала определим К(х,0 на Л,, для всех ¡, обозначим К^(х,1).

Г А,, / <Л(а, )(1 - 2 \х - (*„, + а, / 2)| / а,) + 6, А,, иначе

K^(x,t) =

далее

KQ{x,t) =

KAx,l), (x.OeR,

[А2, иначе

Будем считать, что h{x) имеет следующий вид h{x) = x(/g(p, sin" (х / 2) +р2)).

(8)

L

Рис. 6 На графиках показаны значение фазовой переменной р в области решения,

в начальный момент времени (а), и через равные интервалы времени (б), (в).

Таким образом, уравнение (6) переписывается в виде

8Л^т + Ка?Р. (9)

Ы а 5/ У

Параметры функций распределения, а так же значения неизвестных величин могут быть выбраны в зависимости от контекста задачи.

Модели такого класса могут использоваться не только для описания геометрии поверхности, но и для описания температурного поля в описываемой области.

В работе анализируются и сравниваются модели фазового поля со стохастическими моделями, если в качестве высоты профиля взять среднее интегральное значение функции фазового поля, с учетом того что р от 0 до 1,

н

И(х)~ | р(х,у)с/у, становиться видно различие постановок задачи в терминах

о

модели фазового поля в отличие от стохастических моделей.

Такая модель обобщается для случая осаждения частиц аэрозоля на поверхность, на основе введении функций распределения расстояний между соседними /г,.

Численные эксперименты показали, что значение коэффициента Херста для уровня высот решения с течением времени изменяется незначительно. Таким образом, такая модель может быть использована для исследования поверхности образцов, полученных на основе случайного осаждения частиц на поверхность.

Профили поверхностей образцов, исследуемые в работе, могут быть смоделированы на основе такого подхода, при условии выбора решения задачи в фиксированный момент времени.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Решена важная задача математического моделирования процессов теплопереноса в системах с шероховатыми поверхностями, отличительной особенностью которой является использование фрактальных и других свойств

15

шероховатой поверхности с целью получения физических данных для решения прикладных задач проектирования наноустройств.

2. Разработаны новые методы математического моделирования процесса кристаллизации и осаждения наночастиц, отличительной особенностью которых является введение переменного параметра производной порядка вблизи фронта кристаллизации, на основе модели фазового поля,

3. Проведено моделирование шероховатости поверхности, а так же задачи теплопереноса в области с подвижными границами, на основе вычислительного эксперимента. Выявлены условия стабилизации температурного поля вблизи шероховатой поверхности для различных классов шероховатости.

4. Разработан программный комплекс для проведения вычислительных экспериментов по расчету температурного поля в системах с шероховатыми поверхностями. Реализованы численные методы для решения стохастических дифференциальных уравнений, описывающих изменение профиля шероховатой поверхности.

5. Проведены эксперименты по исследованию геометрии поверхности образцов с использованием сканирующего туннельного микроскопа, отличительной особенностью которых является получение данных шероховатости поверхности для дальнейшего использования в математической модели.

6. Полученные результаты могут быть рекомендованы в отраслях промышленности связанных с нанотехнологиями, а так же внедрены в учебный процесс для подготовки бакалавров и магистров по направлению 231300 «Прикладная математика».

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Majumdar А., Bhushan В., Role of Fractal Geometry in Roughness Characterization and Contact Mechanics of Surfaces, Department of Mechanical Engineering, University of California at Berkeley, Berkeley, CA 94720, Journal of Tribology APRIL 1990, Vol. 112/205.

2. Потапов А.А., Булавкин В.В., Герман В.А., Вячеславова О.Ф., Исследование микрорельефа обработанных поверхностей с помощью методов фрактальных сигнатур. Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 5.

3. Аксенова О.А., Фрактальная модель шероховатой поверхности, взаимодействующей с разреженным газом, СПбГУ, Матем. моделирование, 13:7(2001), С. 99-103.

4. Blackmore D., Zhou J. A general fractal distribution function for rough surface profiles. SI AM J. Appl. Math. 1996, v.56, №6, p.1694-1719.

5. Greenwood, J.A. Contact of nominally flat surfaces/J.A. Greenwood, J.B.P. Williamson// Proc. R. Soc. Series A. - 1966.-V.295. - №1422.-P.300-319.

6. Family F., Vicsek Т., Dynamics of Fractal Surfaces, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1991, ISBN 981-02-0720-4.

7. Kobayashi R., Modeling and numerical simulations of dendritic crystal growth, Physica D: Nonlinear Phenomena 1993, Volume: 63, Issue: 3-4, Publisher: Elsevier, Pages: 410-423, ISSN: 01672789.

8. Benes M., Computation studies of anisotropic diffuse interface model of microstructure faormation in solidification, Acta Math. Univ. Comenianae Vol. LXXVI, 1(2007), pp. 39-50 Proceedings of Equadiff 11.

9. Caginalp G., Chen X. Phase field equations in the sinulgar limit of sharp interface problems. In Gurtin, M. and McFadden, G., editors, On the Evolution of Phase Boundaries, 1992, volume 43, pages 1-27. Springer Verlag.

10. Лашин A.M., Моделирование кристаллизации метастабильного расплава, ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, Препринт ИПМ № 79, Москва, 2001. С 1-31.

11. Гейн С.В., Зайцев Н.А., Посвянский B.C., Радвогин Ю.Б., Метод независимых потоков для численного решения многомерного уравнения теплопроводности, ИПМ им. В.М.Келдыша РАН, Препринт ИПМ № 53, Москва, 2003. С 1-28.

12. Федер Е. Фракталы. Пер. с англ.-М.: Мир, 1991.-254С.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты диссертации, опубликованные в научных изданиях, входящих в перечень периодических изданий ВАК РФ:

1. Дмитриенко Г.С., Уварова Л.А., Моделирование теплопереноса в области с фрактальной границей, Вестник МГТУ «Станкин», №2 т.2, 2012. С.50-54.

2. G.S. Dmitrienko, L.A. Uvarova, Phase field modeling of moving surface roughness profile, "International Journal of Pure and Applied Mathematics", vol. 75, No. 1 (2012), pp. 93-102.

Монография:

1. Дмитриенко Г.С. Моделирование процессов теплопереноса в системах с подвижными шероховатыми границами на основе теории фазового поля. -М.:Янус-К, 2012.-68С.

Другие публикации:

1. Дмитриенко Г.С., Уварова Л.А., Математическое моделирование поверхности на основе фрактального анализа, Материалы XIII научной конференции по математическому моделированию и информатике, МГТУ «Станкин» - ИММ РАН, 12-14 мая 2010г. С. 30-32.

2. Дмитриенко Г.С., Уварова Л.А., Математическое моделирование поверхности на основе фрактального анализа, Конференция "МКО-2010", г. Пущино.

3. Дмитриенко Г.С., Уварова Л.А., Моделирование профиля подвижной шероховатой поверхности с фрактальными свойствами// Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технических систем, вып. 14, 2011, М.: Янус-К. С. 116-125.

Подписано в печать: 17.04.2012 Объем 1 усл. п. л. Тираж: 100 экз. Заказ № 115 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, Страстной бульвар, д. 6, стр. 1 (495) 978-43-34; www.reglet.ru

61 12-1/831

ФГБОУ ВПО Московский государственный технологический университет «СТАНКИН»

На правах рукописи

Дмитриенко Григорий Сергеевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В СИСТЕМАХ С ШЕРОХОВАТЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Уварова Людмила Александровна

Москва - 2012 г.

Содержание

Введедние..................................................................................................................................................3

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ...............10

Фрактальный подход при моделировании поверхности для решения различных задач..............10

Основы теории фракталов....................................................................................................................16

О моделировании профиля и шероховатой поверхности..................................................................26

Приложение теории фракталов для решения практических задач.................................................35

О решении задачи теплопроводности и задачи Стефана..................................................................41

Стохастические дифференциальные уравнения, описывающие фрактальный рост....................60

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ОБЛАСТИ С ФРАКТАЛЬНОЙ ГРАНИЦЕЙ.............................................................................65

Модель профиля и поверхности...........................................................................................................65

Задача переноса с краевым условием в виде реальной границы.....................................................66

Результаты моделирования..................................................................................................................68

Экспериментальны« часть...................................................................................................................69

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОФИЛЯ ПОВЕРХНОСТИ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ...........................................................................................74

Численное решение стохастических дифференциальных уравнений..............................................74

Моделирование задачи стефана на основе теории фазового поля...................................................76

Численное моделирование на основе теории фазового поля............................................................79

Численные результаты и их сравнение с исходной моделью...........................................................83

Адаптированная модель для случая осаждения частиц....................................................................85

ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................................................................................90

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.................................................................................................92

ПРИЛОЖЕНИЕ 2.................................................................................................99

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...................................................................................108

Введедние Актуальность темы

Реальные физические тела имеют сложные поверхности, что особенно актуально в связи с развитием техники, в которой используются нанообъекты. В связи с этим представляется актуальным решение краевой задачи с реальными поверхностями, которые могут быть моделированы в виде фрактальных или еще более сложных объектов. Учет таких границ является важным при рассмотрении реальных процессов переноса. Кроме задач, относящихся к твердым телам, такая задача представляется актуальной для задач переноса с жидким наполнителем.

Так же в этом случае необходимо решать задачу с подвижной границей в виду существования фазовых переходов, таких как испарение, конденсация, кристаллизация, сублимация, напыление.

Рост статей и публикаций на тему фракталов, как инструменту способному с самых общих позиций охарактеризовать наблюдаемые структуры и процессы в материалах, свидетельствует об актуальности данной проблемы и о широкой возможности такого подхода. Наряду с этим, во многих областях физики в последнее время стало вызывать большой интерес исследование фрактальных множеств [1].

На эксплуатационные свойства деталей машин существенно влияет шероховатость обработанной поверхности. От шероховатости поверхности зависит также устойчивость поверхности против коррозии. На износоустойчивость поверхности влияют сопротивляемость поверхностного слоя разрушению и микрогеометрические отклонения, т. е. отклонения от геометрической формы, которые приводят к неравномерному износу отдельных участков. Не все свойства двух поверхностей, относящихся к

одному классу чистоты, могут быть одинаковыми при совпадающих параметрах классов, поэтому принадлежность поверхностей к одному классу чистоты не является достаточным условием для заключения об идентичности поведения деталей при эксплуатации.

В этой связи представляет интерес использование более точной фрактальной модели шероховатости для определения распределений неровностей по высоте и размерам с их дальнейшим применением для определения контактных характеристик при взаимном влиянии неровностей [2-5].

Особый интерес представляют механизмы влияния шероховатости поверхности в задачах связанных с магнитными наноструктурами, а так же влияние шероховатости на скорость осаждения аэрозоля на поверхность.

Моделирование поверхности с фрактальными свойствами актуально при решении задач с подвижными границами. Вид поверхности с течением времени определяется механизмами роста, и сохраняет свои свойства на каждом шаге процесса. Например, при осаждении аэрозоля на поверхность или напылении частиц, возникают сложные структуры на поверхности, которые могут быть моделированы в виде фрактального объекта.

Процессы с подвижными границами, например, осаждение наночастиц на поверхность, могут быть описаны на основе моделей фрактального роста, где вид поверхности непрерывно изменяется [6]. В таких моделях поверхность (или профиль поверхности), как правило, определяется решением стохастического дифференциального уравнения. Основным механизмом роста в таких моделях является случайное осаждение частиц, при этом в моделях не учитываются термодинамические характеристики системы.

Во многих реальных физических процессах, например образование кристаллов льда (снежинок, сосулек и т.д.), форма поверхности изменяется не только за счет осаждения частиц малого размера, но и за счет процессов фазового превращения. Фазовая граница может быть представлена в виде фрактального объекта (снежинка и др.). Моделирование процессов изменения межфазных границ приводит к задаче Стефана. При этом под задачей Стефан понимается широкий класс математических моделей, описывающих тепловые, диффузионные процессы, сопровождающиеся фазовыми превращениями среды и поглощением или выделением скрытой теплоты. Такие процессы встречаются в металлургии, при выращивании кристаллов, а также в ряде других областей науки и техники. Наиболее характерной особенностью этих процессов, из-за которых их математические модели являются нелинейными и трудны для анализа, являются неизвестные заранее («свободные») границы между различными фазами.

Одной из альтернативных моделей процесса кристаллизации, появившейся и интенсивно развивающейся в последнее время, является модель фазового поля [7-10]. Как показано в ряде работ, модель фазового поля при предельных значениях параметров близка к классической постановке задачи Стефана (с явно выделенной границей)[9].

Отметим, что такая модель может использоваться для представления реальной поверхности тела при решении задач с неподвижной границей.

Целью настоящей работы является разработка методов построения математических моделей шероховатой поверхности в задачах теплопереноса с подвижными и неподвижными границами, а так же анализ фрактальных и более общих моделей шероховатой поверхности, исследование температурного поля вблизи такой поверхности.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Анализ, построение моделей описывающих поверхность, в том числе фрактальных моделей, моделей случайного осаждения, стохастических дифференциальных уравнений, задающих поверхность.

2. Численное решение задачи теплопереноса с граничными условиями в виде фрактальной поверхности.

3. Моделирование процесса кристаллизации расплава на основе теории фазовых переходов, исследование температурного поля вблизи поверхности. Решение задач с подвижными границами.

4. Моделирование и численный анализ процессов осаждения частиц аэрозоля на поверхность.

5. Исследование данных полученных на туннельном сканирующем микроскопе, оценки фрактальной размерности поверхности образцов, а так же исследование моделей описывающих такого рода поверхности.

Научная новизна:

1. Разработана математическая модель процесса кристаллизации и осаждения частиц на поверхность, отличительной особенностью которой является введение переменного параметра производной порядка вблизи фронта кристаллизации, на основе модели фазового поля.

2. Разработаны алгоритмы решения задачи теплопереноса с фрактальной границей. На основе вычислительного эксперимента по расчету температурного поля вблизи шероховатой поверхности даны оценки влияния шероховатости на решение задачи теплопереноса вблизи шероховатой поверхности.

3. Проведены эксперименты по исследованию геометрии поверхности наноматериалов с использованием сканирующего туннельного микроскопа, отличительной особенностью которых является получение данных

шероховатости поверхности. Даны оценки фрактальной размерности поверхности образцов.

4. Разработан программный комплекс для проведения вычислительных экспериментов и расчетов с использованием существующих методов математического моделирования.

Практическая ценность

Разработанная модель для описания процесса кристаллизации и осаждения частиц аэрозоля на основе модели фазового поля может применяться для учета и коррекции свойств поверхностей при создании наноустройств.

Разработанные в диссертационной работе модели могут быть использованы для анализа технологий обработки и получения шероховатых поверхностей, а так же для анализа размеров систем, в которых необходимо учитывать влияние шероховатости на температурное поле в зависимости от класса обработки.

Теоретическая ценность

Теоретическая ценность работы заключается в развитии подходов, ориентированных на создание математических моделей шероховатой поверхности в задачах с подвижными и неподвижными границами, учитывающих фрактальные свойства поверхности. Развитый метод может быть применен при развитии теории тепломассопереноса в системах с реальными границами.

Методы исследования

В работе применяются численные методы решения систем дифференциальных уравнений, методы теории вероятностей и

математической статистики, теории фракталов, методы теории переноса, функционального анализа.

Разработка и реализация моделей проводилась с использованием объектно-ориентированного программирования на языке С#. Графическое представление решения задач производилась в среде МАТЪАВ.

На защиту выносятся:

Разработанные методы математического моделирования процесса осаждения и кристаллизации для решения задач теплопереноса с подвижной границей.

Реализованные эффективные численные методы для решения задачи теплопереноса в области с фрактальной границей, а так же реализованные методы решения системы нелинейных дифференциальных уравнений для задачи о кристаллизации в терминах модели фазового поля.

Реализованные эффективные численные методы для решения стохастических дифференциальных уравнений, описывающих изменение профиля шероховатой поверхности.

Выявленные условия стабилизации температурного поля вблизи шероховатой поверхности для различных классов шероховатости.

Апробация работы

Представленные в работе результаты докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики (ФГ БОУ ВПО МГТУ «Станкин» 2009-2012г.), на XVIII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино 2010г.), на XIII научной конференции МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» по математическому моделированию и информатике (МГТУ «Станкин», 2010г.), на II

Международной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем» (ФГ БОУ ВПО МГТУ «Станкин» - Московская Государственная Академия Водного Транспорта с 6 по 11 мая 2011г.).

Публикации

Основные результаты работы опубликованы в 6 печатных работах, в числе которых 2 публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ (входящих в базу Scopus), 3 - в сборниках трудов научных конференций и 1 -в монографии.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, 2 приложений и списка литературы из 110 наименований, изложена на 120 страницах машинописного текста, содержит 77 рисунков и 4 таблицы.

Глава 1. Анализ современного состояния проблемы

Фрактальный подход при моделировании поверхности для решения различных задач

На эксплуатационные свойства деталей машин существенно влияет шероховатость обработанной поверхности. От шероховатости поверхности зависит также устойчивость поверхности против коррозии.

По ГОСТ 2789—59 шероховатость поверхности — это совокупность неровностей с относительно малыми шагами (расстоянием между вершинами характерных неровностей измеренного профиля), образующих рельеф поверхности и рассматриваемых в пределах участка, длина которого выбирается в зависимости от характера поверхности и равна базовой длине.

Шероховатость поверхности появляется в результате обработки независимо от метода и представляет собой сочетание наложенных друг на друга неровностей с различными шагами.

Рис.1. Параметры профиля шероховатой поверхности Выделяются 14 классов чистоты (шероховатости) поверхности. Для определения классов вводяться параметры:

Яа — ср. арифметическое отклонение профиля от ср. линий х и Яг — высота неровностей в десяти точках определяются по формулам:

I

(1)

R =

(.Rl+R3+... + R9)-(R2+R4+... + Rl0) 5

(2)

где 1 — базовая длина; h — отклонение точек профиля от ср. линии; R1, R2.... R9, RIO — расстояния 5 наивысших и 5 наинизших точек профиля на базовой длине до линии, параллельной средней линии. Параметры шероховатости на практике измеряют при постоянных условиях для каждого класса чистоты: измеряемый профиль должен соответствовать нормальному сечению, измерения производят в направлении наибольшей шероховатости и на стандартизированной для данного класса чистоты базовой длине. При выполнении всех трёх условий и совпадении числовых значений параметров Ra или Rz с числовыми значениями в диапазоне данного класса чистоты поверхность может быть отнесена к этому классу. Установлено 14 классов чистоты (табл.). Классы с 6-го по 14-й дополнительно разбиты на 3 разряда каждый (а, б, в). Классы и разряды чистоты поверхности: Таблица 1. Значения параметров классов чистоты.

Класс |готы ipXHOCTH

Среднее Высота

Разряд фметическое овностей, Базовая

лонение профиля, мкм i на, мм

1 — 80 320

2 — 40 160 8

3 — 20 80

4 — 10 40 2,5

5 — 5 20

6 а 2,5 10

б 2 8

в 1,6 -

7 а 1,25 6,3

б 1 5

в 0,8 4

8 а 0,63 3,2

б 0,5 2,5

в 0,4 2

9 а 0,32 1,6

б 0,25 1,25

в 0,2 1

10 а 0,16 0,8

б 0,125 0,63

в 0,1 0,5

11 а 0,08 0,4

б 0,063 0,32

в 0,05 0,25

12 а 0,04 0,2

б 0,032 0,16

в 0,025 0,125

13 а 0,02 0,1

б 0,016 0,08

в 0,012 0,063

14 а 0,01 0,05

б 0,008 0,04

в 0,006 0,032

0,8

0,25

0,08

На износоустойчивость поверхности влияют сопротивляемость поверхностного слоя разрушению и макрогеометрические отклонения, т. е.

отклонения от геометрической формы, которые приводят к неравномерному износу отдельных участков [29-30].

Не все свойства двух поверхностей, относящихся к одному классу чистоты, могут быть одинаковыми при совпадающих Яа и Яг, поэтому принадлежность поверхностей к одному классу чистоты не является достаточным условием для заключения об идентичности поведения деталей при эксплуатации.

В этой связи представляет интерес использование более точной фрактальной модели шероховатости для определения распределений неровностей по высоте и размерам с их дальнейшим применением для определения контактных характеристик при взаимном влиянии неровностей [31].

В работах [35-36] приведены результаты исследования микрогеометрии поверхностного слоя стали в зависимости от способа обработки, изучены фрактальные характеристики микрогеометрии поверхностного слоя. На графиках показаны типичные зависимости показателя Херста микропрофиля поверхности от подачи и скорости резания при точении.

04

й ! , им

fluí

и i •

v 't

Рис.2. На графиках показаны зависимости показателя Херста обрабатываемой поверхности от подачи и скорости резания при точении.

Значение фрактальной размерности микропрофиля поверхности образцов стали, полученных на различных режимах обработки при точении,

находиться в диапазоне от 1 до 1.5 (получено на основе значения коэффициента Херста). Установлено что фрактальная размерность микропрофиля обработанных поверхностей может являться одной из важных его характеристик, которая зависит от условий обработки. А так же что функциональная зависимо