автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.02, диссертация на тему:Контактное взаимодействие фрактальных шероховатых поверхностей деталей машин

На правах рукописи

ГОРОХОВ Денис Борисович

КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФРАКТАЛЬНЫХ ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДЕТАЛЕЙ МАШИН

Специальность 05.02.02 - Машиноведение, системы приводов и детали машин

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Братск - 2005

Работа выполнена на кафедре "Машиноведение и детали машин" в ГОУВПО «Братский государственный университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Огар Петр Михайлович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Ереско Сергей Павлович

кандидат технических наук, доцент Беломестных Александр Сергеевич

Ведущая организация: ОАО"Иркутский научно-исследовательский

институт химического машиностроения", г. Иркутск

Защита состоится "02" июня 2005 г. в 10°° часов на заседании диссертационного совета К212.018.01 в ГОУВПО «Братский государственный университет» по адресу: 665709, Братск, ул. Макаренко, 40

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке в ГОУВПО «Братский государственный университет»

Ваш отзыв в 2-х экз. заверенный гербовой печатью предприятия просим направлять по адресу: 665709, Братск, ул. Макаренко, 40, ученому секретарю В.А. Коронатову

Автореферат разослан "29" апреля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

В.А. Коронатов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие эксплуатационные свойства соединений деталей машин и аппаратов: износостойкость, контактная жесткость, коррозионная стойкость, усталостная прочность, герметичность, электро- и термоконтактное сопротивление и другие - зависят от топографических параметров микрогеометрии, свойств материалов и приложенной нагрузки.

Обеспечение надежности соединений деталей машин и аппаратов закладывается еще на стадии проектирования. Исследования показывают, что более 80% случаев выхода из строя машин и механизмов обусловлено процессами, происходящими в зоне контакта деталей. Из общего числа отказов, связанных с нарушением функционирования соединений деталей, 2/3 обусловлено конст-рукторско-технологическими дефектами, остальные - производственными дефектами и нарушением режимов Эксплуатации.

Основными контактными характеристиками, обеспечивающими эксплуатационные свойства соединений деталей машин, являются сближение шероховатых поверхностей, относительная площадь контакта и объем зазоров в стыке, которые находятся в определенной взаимозависимости и определяются параметрами микрогеометрии и величиной сжимающих напряжений.

Стык соединений деталей машин является сложной технической системой как с точки зрения описания шероховатых поверхностей, так с точки зрения механики контактного взаимодействия. Поэтому для определения эксплуатационных показателей используется основной метод исследования сложных систем - метод математического моделирования.

Для решения контактных задач в трибологии широко используется дискретная модель шероховатости, в которой для описания шероховатости используется начальная часть кривой опорной поверхности. Однако ее применение при высокой плотности пятен контакта, где необходимо учитывать взаимное влияние неровностей, приводит к значительным погрешностям. Кроме того, при применении дискретной модели используются параметры шероховатости, значения которых зависят от разрешающей способности измерительного прибора и длины выборки, хотя в последнее время для описания микрогеометрии поверхностей часто используют фрактальную модель, параметры которой постоянны для всех масштабов микронеровностей. Но при этом при определении контактных характеристик получены результаты, противоречащие дискретной модели шероховатости и положениям механики контактного взаимодействия, на которых она основывается: малые пятна контакта деформируются пластически, большие - упруго.

В этой связи представляет интерес использование более точной фрактальной модели шероховатости для определения распределений неровностей по высоте и размерам с их дальнейшим применением для определения контактных характеристик при взаимном влиянии неровностей.

Цель и задачи работы. Совершенствование методов расчета контактных характеристик стыка шероховатых поверхностей соединений деталей машин при высокой плотности пятен контакта путем применения фрактальной модели

шероховатой поверхности для определения размеров неровностей и функций их распределения по высоте шероховатого слоя.

Для достижения цели в работе поставлены и решены следующие задачи:

• анализа основных моделей фрактальных процессов и методов определения фрактальных характеристик;

• моделирования фрактальных профилей и шероховатых поверхностей по заданным параметрам шероховатости;

• моделирования взаимодействия шероховатых поверхностей при высокой плотности пятен контакта.

Объектом исследований является стык шероховатых поверхностей соединений деталей машин и аппаратов.

Научная новизна заключается в разработке:

• методики эффективного моделирования профиля и шероховатой поверхности на основе функции Вейерштрасса-Мандельброта путем варьирования фрактальных параметров с использованием ЛПт-последовательностей;

• математической модели фрактальной шероховатой поверхности и исследования ее основных характеристик в зависимости от числа гармоник;

• методики определения закона распределения вершин и впадин неровностей, их высот и формы, распределения сечений неровностей на разных уровнях;

• математической модели контакта жесткой шероховатой поверхности с упругим полупространством.

Достоверность научных положений, выводов и результатов, сформулированных в диссертации, базируется на четком представлении задач и методов моделирования шероховатых поверхностей деталей машин и их контактного взаимодействия, полностью обоснована имитационным моделированием на ЭВМ, вычислительными экспериментами и подтверждается экспериментальными данными.

Практическая ценность работы заключается в том, что на базе проведенных теоретических и экспериментальных исследований созданы современные методы моделирования фрактальных шероховатых профилей и поверхностей по заданным параметрам шероховатости и расчета относительной площади контакта шероховатых поверхностей, используемых при проектировании соединений деталей машин, в частности:

- «Методика синтеза фрактальных шероховатых профилей и поверхностей»;

- программный комплекс «FD contact».

Реализация результатов работы. Разработанные методы используются в ОАО "ИркутскНИИхиммаш" при проектировании уплотнительных соединений промышленного оборудования. Результаты научно-исследовательской работы используются в учебном процессе БрГУ по магистерской программе 551801- Машиноведение и детали машин.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Научно-технических конференциях «Естественные и инженерные науки - развитию регионов», г. Братск, 2003-2004 г.г.; Научно-методической конференции «Ма-

тематика в вузе» - г. Санкт-Петербург, 2004 г.; 10-й Международной научно-практической конференции «Природные и интеллектуальные ресурсы Сибири» (СИБРЕСУРС-10-2004) - г. Новосибирск, 2004 г.; Всероссийской научно-технической .конференции «Новые материалы и технологии - НМТ-2004» - г. Москва, 2004"г."

Публикации. По результатам работы опубликовано 13 печатных работ, из которых статей - 5, докладов - 1, тезисов докладов - 7.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения; списка литературы (102 наименования). Общий объем работы 110 страниц, включая 62 рисунка, список литературы на 9 стр.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована цель исследований, актуальность рассматриваемых вопросов, дана краткая характеристика работы, ее научная новизна и практическая значимость.

Первая глава содержит общую характеристику состояния вопроса по теме диссертации.

Для формулирования задач диссертации, выбора методов и направлений исследований выполнен анализ работ в области моделирования шероховатости и контактного взаимодействия шероховатых поверхностей деталей машин.

Шероховатость поверхности является одной из определяющих характеристик поверхностного слоя и оказывает большое влияние на эксплуатационные свойства деталей машин: контактная жесткость, износостойкость, герметичность соединений, сопротивление усталости, коррозионная стойкость и др.

Выделены пять основных моделей шероховатой поверхности, нашедших применение в механике контакта, в которых шероховатость представлена: 1)как случайное поле; 2) совокупностью неровностей одинаковой формы, закон распределения выступов выбирается любым из известных; 3) совокупностью неровностей одинаковой формы, закон распределения выступов выбирается на основе опорной кривой профиля (поверхности), представленной параболой; 4) совокупностью структурно неорганизованных поверхностей неровностей самоподобной формы и случайных размеров, закон распределения выступов выбирается на основе опорной кривой профиля (поверхности), представленной отношением неполной бета-функции; 5) суперпозицией самоподобных косинусоид, с геометрическим увеличением частот (фрактальная модель шероховатости).

Наличие множества моделей шероховатой поверхности привело к созданию множества методов определения контактных характеристик. Наиболее распространены: модель, разработанная J. Greenwood и J. P. Williamson (GW), модель в виде нормального поля (P. R. Nayak, СБ. Айнбиндер, ЯМ. Рудзит, Н.Ф. Семенюк), дискретная (D) модель шероховатости И.В. Крагельского и Н.Б. Демкина, Рыжова Э.В. Недостатком этих моделей является то, что в них не учитывается взаимное влияние неровностей, что характерно при высокой плотности контакта. На практике для этих случаев используется выражение - Бар-

тенева-Лаврентьева, полученное в результате обработки экспериментальных данных. Оценка взаимного влияния неровностей для одноуровневой модели шероховатости проведена в работах И.Г. Горячевой, М.Н. Добычина, В.М. Алексеева, О.В. Сутягина. Взаимное влияние неровностей, распределенных по высоте и радиусам, рассмотрено в работах П.М. Огара и И.И. Корсака.

В последнее время появился ряд работ зарубежных и отечественных исследователей A. Majumdar, В. Bhushan, К. Komvopoulos, W. Yan, L. Kogut, В. Persson, M. Ciavarella, G. Demelio, J. Barber, Yong Hoon Jang, Ф.М. Бородича, А.Б. Мосолова, Д.А. Онищенко, В.П. Тихомирова и О.А. Горленко, в которых использована фрактальная модель шероховатости. Фрактальный подход подразумевает степенную зависимость функции спектра мощности от частоты, что в свою очередь обеспечивает наличие шероховатости на многих разных масштабах длин. При этом получены результаты, противоречащие моделям GW и D и положениям механики контактного взаимодействия, согласно которым напряжено-деформированное состояние контактирующих тел зависит от исходного просвета между ними. Для сферических тел по мере роста приложенной нагрузки напряжения возрастают. Вначале имеют место упругие деформации. Пластическая деформация наступает при выполнении критериев, полученных по энергетической теории сдвиговой деформации или по теории максимальных касательных напряжений. Поэтому критерием перехода от одного вида контакта к другому не может быть перемещение или площадь контакта, как это представлено при использовании фрактальной модели шероховатости, где для вычисления силы микроконтакта (радиуса неровности) используется наибольшее ее исходное сечение, а все меньшие неровности, находящиеся на большей неровности игнорируются.

Как показали наши исследования (см. главу 4), для фрактальных поверхностей характерно значение средней высоты неровностей в пределах и их значительно большее количество в сравнении с дискретной моделью. Поэтому игнорирование таких неровностей, находящихся на большей неровности, приводит к значительным погрешностям при определении контактных характеристик.

Из вышесказанного следует цель работы: совершенствование методов расчета контактных характеристик стыка шероховатых поверхностей соединений деталей машин при высокой плотности пятен контакта путем применения фрактальной модели шероховатой поверхности для определения размеров неровностей и функций их распределения по высоте шероховатого слоя.

Для достижения цели в работе поставлены и решены задачи:

• анализа основных моделей фрактальных процессов и методов определения фрактальных характеристик;

• моделирования фрактальных шероховатых профилей и поверхностей по заданным параметрам шероховатости;

• моделирования взаимодействия шероховатых поверхностей при высокой плотности пятен контакта.

Решению первой задачи посвящена вторая глава, решению второй - третья, третьей - четвертая.

Вторая глава содержит общие сведения о фрактальной геометрии, обзор основных моделей фрактальных статистически самоаффинных процессов, анализ способов определения фрактальной размерности, классификацию профилей, а также анализ методов моделирования изотропных самоаффинных шероховатых поверхностей.

Фрактальным шероховатым поверхностям присущи: статистическая самоаффинность, недифференцируемость и обратная степенная зависимость спектра мощности от частоты. Статистическая самоаффинность заключается в том, что подобие представлено статистическими характеристиками и для его достижения требуется неравномерное увеличение в разных направлениях. Недифференцируемость следует из того, что при каждом повторном масштабном увеличении будут возникать все новые и новые неровности, что в свою очередь говорит о невозможности проведения касательной в любой точке кривой.

Фрактальные статистические самоаффинные процессы делят на фрактальное броунское движение и фрактальный гауссовый шум. Для фиксированных значений 0<Н<1, где Н - показатель Хурста, фрактальным броунским движением (ФБД) является случайный процесс Х({), у которого приращение ЛГ(/+Драспределено по гауссовому закону с нулевым средним и дисперсией Фрактальный гауссовый шум (ФГШ) - это последовательность приращений фрактального броунского движения. При этом для ФБД и ФГШ

выполняется закон дисперсии

Тип профиля шероховатости определяется из наклона средней линии функции спектра мощности, отложенной в логарифмических координатах:

1) фрактальный гауссовый шум (ФГШ) - для 1>з>(-0,4);

2) фрактальное броунское движение (ФБД) - для (-1 )>8>(-3);

3) промежуточный случай (может быть классифицирован и как ФГШ, и как ФБД)-для(-0,4)>8>(-1);

4) нефрактальное поведение, когда степенная модель функции спектра мощности неприменима.

Фрактальную размерность Б профилей шероховатых поверхностей определяют измерением длины профиля одинаковыми мерками (ячейками), из наклона средней линии функции спектра мощности, из наклона функции структуры, отложенных в логарифмических координатах. Определение фрактальной размерности покрытием профиля мерками (ячейками) сложны в своей реализации и требуют большего машинного времени, чем остальные методы, тем более что, методы наложения на профиль мерок (ячеек) справедливы только для случая самоподобных кривых. Проведенные эксперименты показали, что для реальных профилей шероховатости определение фрактальной размерности спектральным методом является более точным. Если смоделировать две фрактальные кривые с размерностями, найденными из функции спектра мощности и функции структуры, то средняя линия первой кривой всегда будет ближе к средней линии функции спектра мощности реального профиля. Еще одной причиной, по которой следует использовать спектральную размерность, заключается в том, что основные методы моделирования фрактальных шероховатых

поверхностей основываются на функции спектра мощности реальных профилей.

Методы моделирования фрактальных шероховатых профилей и поверхностей основаны на использовании функции Вейерштрасса-Мандельброта, фильтрации Фурье и срединного смещения. Наиболее простым из них является использование функции Вейерштрасса-Мандельброта

где комплексная функция вещественной переменной - индекс

частоты; ф„ - случайная фаза, ф„е[0;2тг]; у - параметр, контролирующий плотность частотных составляющих, Фрактальный профиль получают из реальной части функции м/{х)'.

*(х) = Сй-1'£г(0'2)"[со5ф„ -008(24"* + Ф,)],

4(2-£))Л 21пу

1

1

1

2(£>-1)

2(2-0, 2(2-0) ЧШтах тт У

где О - коэффициент амплитуды изменения высоты профиля; (Отал, а>ь„„ - самая высокая и самая низкая частоты;

разрешение измерительного прибора.

Фрактальная поверхность моделируется с помощью двухпараметрической функции Вейерштрасса-Мандельброта:

2{Х^\т) Ы I?/ -фи.„-со8-:-X

ХСОБ

агс^)-

п т ~М

где М - количество Гребней, - фрактальная размерность поверхности.

Метод фильтрации Фурье заключается в фильтрации коэффициентов преобразования Фурье некоррелированной последовательности случайных чисел степенным фильтром. При этом функция спектра мощности

ск

-,к =

Г(5-2Я)8т[п(2-1>)]

271

где со0 = М Ь\ коэффициент амплитуды С связан с функцией структуры соотношением К(т) = Ст4"20, где г- приращение длины.

При моделировании методом срединного смещения в заданной последовательности вычисляются ординаты шероховатой поверхности

где М - среднее арифметическое ординат точек, используемых в предыдущей итерации, g - случайная гауссова величина, а, - параметр, равный в первой итерации а в каждой последующей итерации его значение уменьшается в

Как показали проведенные эксперименты, при аппроксимации профилей поверхности с помощью функции Вейерштрасса-Мандельброта имеет место достаточно хорошое совпадение между амплитудными параметрами модели и исходного профиля (в пределах 5%), однако шаговые параметры значительно отличаются (30-60%). Генерирование фрактальных кривых с помощью метода фильтрации Фурье имеет случайный характер, при этом не выявлено каких-либо возможностей изменять точность параметров шероховатости моделируемой поверхности. Процедура генерирования фракталов методом срединного смещения сложна в своей реализации. Кроме того, профили и поверхности, образованные методом срединного смещения, не являются стационарными и закон дисперсии для них не выполняется. Поэтому рекомендуется метод с использованием функции Вейерштрасса-Мандельброта, имеющий резервы для повышения точности параметров моделируемой шероховатой поверхности.

Третья глава посвящена разработке эффективного моделирования фрактальных шероховатых профилей и поверхностей по заданным параметрам шероховатости.

Для количественного оценивания шероховатости были выбраны шесть стандартных параметров: Ятах, Яч, Эффективность моделирования

оценивалась суммарным критерием О

оценивалась средним квадратическим отклонением от исходной опорной кривой.

Точность шаговых параметров можно повысить с помощью изменения частотного параметра контролирующего плотность частотных составляющих, и фрактальной размерности, определяющей изрезанность профиля, и коэффициента амплитуды О. Однако процедура выбора оптимальных значений варьируемых параметров является трудной задачей, т.к. уменьшение величины отклонения между моделью и профилем по одним параметрам может привести к увеличению отклонения по другим.

При уменьшении (увеличении) значения у от 1,5 до единицы (двух) фрактальный профиль визуально перестает быть случайным. Нами был выбран следующий диапазон варьирования 3). На рис. 1 а показано как меняются относительные отклонения шаговых параметров фрактального профиля от исходного с ростом у.

Рис 1 Зависимость отклонений параметров шероховатости от фрактальных параметров

Экспериментально установлено, что при изменении фрактальной размерности и коэффициента амплитуды в пределах ±4% при неизменном у шаговые параметры фрактального профиля остаются постоянными, при этом высотные параметры изменяются плавно (рис 1б,в), поэтому процедура поиска оптимальных значений фрактальных параметров была разбита нами на два этапа

1) поиск при котором отклонения по шаговым параметрам мини-матьны, критерий оптимальности

2) поиск ¿)опт и Сопт, при которых минимальны отклонения по высотным параметрам, критерий оптимальности

В общем случае задача оптимальности формулировалась следующим образом

Сг = Crs + CrR min.

Поиск оптимальных значений y,DvíG осуществлялся с помощью ЛПт-последовательностей, равномерно зондирующих область варьирования указанных параметров.

Если зависимость у(п) задавать полиномом р-ой степени, то можно более гибко регулировать распределение частотных составляющих: т е, изменять плотность косинусоид с ростом п, где п - индекс частоты. В проведенных экспериментах были исследованы линейная и квадратичная зависимости для

описания которых достаточно соответственно двух и трех точек у, (рис. 2). Значения у, варьировались пределах (л/2;л/3).

«О л™ " П° (Итах-Я0)/2

Рис 2 Линейная и квадратичная зависимости у (и).

В результате относительные отклонения по всем используемым параметрам шероховатости уменьшаются до 5%. Значение суммарного критерия уменьшается в 10... 12 раз.

Процедура поиска оптимальных значений фрактальных параметров при моделировании шероховатой поверхности аналогична вышеописанной. Разница заключается лишь в том, что вместо одного фрактального профиля исследуется влияние варьирования фрактальных параметров сразу на несколько профилей одной фрактальной поверхности.

Критерий оптимальности равен здесь сумме критериев, соответствующих каждому исследуемому фрактальному профилю

где т - количество исследуемых фрактальных профилей одной моделируемой поверхности.

Подобно предыдущему алгоритму процедура поиска делилась на два этапа:

1) поиск оптимального значения частотного параметра при котором минимален шаговый критерий

2) поиск оптимального значения фрактальной размерности при которой минимален амплитудный критерий

При моделировании фрактальной шероховатой поверхности значение суммарного критерия уменьшается в 5.. .7 раз.

Четвертая глава посвящена определению контактных характеристик в стыке фрактальных шероховатых поверхностей при упругом контакте, когда возможны наибольшие различия при сравнении разных методик ввиду разных используемых распределений неровностей по высоте и размерам.

Контакт между двумя шероховатыми поверхностями рассматривался как контакт эквивалентной шероховатой поверхности и гладкой поверхности. В виду отсутствия данных о фрактальной размерности эквивалентной поверхности с помощью имитационного моделирования были проведены исследования, в ре-

зультате которых установлено, что с относительной погрешностью, не превышающей 3%, значение фрактальной размерности эквивалентной шероховатой поверхности определяется выражением

d = -

max 1

^maxl + ^max2

А+-

R,

шах 2

D I D

Лтах 1 max 2

d2,

где D\ И Dj - фрактальные размерности контактактирующих поверхностей. Значения G и у эквивалентной шероховатой поверхности с помощью вышеописанного алгоритма.

Для исследования влияния фрактальных параметров на контактные характеристики моделировались фрактальные шероховатые поверхности с разными фрактальными размерностями D и числом гармоник. С этой целью в среде MATLAB был реализован программный комплекс «FD contact», позволяющий смоделировать фрактальные шероховатые поверхности с заданными параметрами шероховатости, рассчитать размерное распределение сечений неровностей для разных уровней, распределение вершин, впадин и высот неровностей, а также определить контактные характеристики поверхности.

На рис. 3 показаны типичные плотности распределения вершин и впадин неровностей для фрактальной (а) и дискретной (б) моделей шероховатых поверхностей. Плавными линиями обозначены плотности распределения вершин и впадин неровностей вида

/ ^ (»ЧГ'МЧГ / ( Л (v/vja--'(l-v/vj'-' «W= - п/ п ^ 4>«.(v) = i— п/ 0 \ —'

В(а„Р,)

В(а2,р2)

где к,, 1'3 — соответственно, уровни насыщения вершин и в п а дВ(н„рб ета-функция, а„ р, — константы, определяемые экспериментально.

Рис. 3 Типичные плотности распределения вершин и впадин неровностей шероховатой поверхности

На рис. 4а,б показаны плотности распределения высот неровностей, соответствующих распределениям вершин и впадин на рис. За,б. Как следует из представленных зависимостей диапазон распределения относительных высот практически охватывает весь диапазон от 0 до 1, однако имеет явно выраженный максимум.

Рис 4 Плотности распределения высот неровностей, соответствующих распределениям вершин и впадин на рис 4

На рис. 5 представлены зависимости числа вершин неровностей пс в зависимости от числа гармоник ягаах, из которых следует, что с ростом птах происходит насыщение числа вершин неровностей, Ьп=Ь/у"™\

Рис 5 Зависимости числа вершин неровностей Т^х в зависимости от числа гармоник п для разных фрактальных размерностей

Проведены исследования по определению влияния распределения радиусов микронеровностей на относительную площадь при упругом контакте При этом использовались следующие дискретные модели шероховатости, с переменным радиусом неровностей, и с постоянным радиусом неровностей Г=СОП31, Ш=С0П81, где (0 - относительная высота неровностей. Функции распределения неровностей определялись таким образом, чтобы распределение материала в шероховатом слое соответствовало опорной поверхности.

В первом случае плотность распределения максимумов неровностей описывалось выражениями

гЛ ъЧь „Л

(1)

где координаты вершин и впадин неровностей,

В^(а,(3) = с;?гВ1(а,Р)/(;?Х2, ВХа„Р,) - неполная бета-функция. При этом со=1-М-У.

Во втором случае плотность распределения неровностей является одномерной

Ф»

(2)

еГ'О-в.Г

Как показали расчеты относительной площади контакта для поверхностей с одинаковыми опорными поверхностями при одинаковой приложенной нагрузке с использованием выражений (1) и (2) расхождения между ними не превышали 5%, а средняя погрешность составила 2% для диапазона 0дс=О...О,О7, где © - упругая постоянная. Таким образом, с достаточной для инженерных расчетов точностью, расчет относительной площади контакта можно производить, используя дискретную модель шероховатости с постоянным радиусом неровностей, равным их среднему значению.

Для смоделированных фрактальных поверхностей характерным является сравнительно небольшая средняя относительная высота неровностей ш=0,15...0,25. В этом случае следует использовать функцию распределения вершин неровностей в виде

В>,Р)

Ф„(«) = ш^г]'(и-Асо), п = т1(ы/а>), Ы-1)^

В(а,р)'

(3)

Изначально контакт отдельной неровности рассмотрен с учетом взаимного влияния остальных контактирующих неровностей, действие которых рассматривалось как действие равномерно распределенной нагрузки действующей в кольцевой области на определенном расстоянии от неровности. Для определения относительной площади контакта единичной неровности получены выражения

где Е,,Еь уи К? - модули упругости, коэффициенты Пуассона первой и второй контактирующих поверхностей, соответственно; контурная площадь, параметр микрогеометрии.

которые совместно с выражениями (3), (4) и (5) cоставляют замкнутую систему трансцендентных уравнений. Результаты вычислений для фрактальных шероховатых поверхностей с разным количеством используемых гармоник (рис. 6 и 7) и фрактальной размерности (рис. 8) представлены на рис. 9.

Рис 6 Фрактальные шероховатые поверхности (£>=1,6) для пт„=2; птх=6, 8, 10 и 12

Рис 9 Зависимости г|(©^с) и г](Г</), соответствующие фрактальным поверхностям рис б 7 и 8

В качестве примера рассмотрено влияние контактных характеристик и приложенной нагрузки на герметичность стыка уплотнительных шероховатых поверхностей.

В работе проведено сравнение полученных результатов (рис. 10) с результатами других исследователей.

©*qc

Рис. 10 Сравнение моделей шероховатости: F - фрактальная, D - Крагельского Й.В., Демкина Н.Б. и Рыжова Э.В., GW -Greenwood J. и Williamson J., Р -Persson В., ОК -Огара П.М. и Корсак И.И., FD - фрактально-дискретная модель,... - экспериментальная зависимость Бартенева-Лаврентьева.

Имеют место значительные расхождения (сотни процентов) с моделями (GW, D, F, Р), не учитывающими взаимное влияние неровностей. Применение модели Огара-Корсака дают расхождения в пределах 60%. Получено хорошее совпадение с экспериментальной зависимостью Бартенева-Лаврентьева, для

расхождения не превышают 10%.

Заключение

1. Произведен анализ работ в области моделирования шероховатости и контактного взаимодействия шероховатых поверхностей деталей машин. Указано, что основным их недостатком, за небольшим исключением, является не-учитывание взаимного влияния неровностей, распределенных по высоте шероховатого слоя.

2. Установлено, что результаты, полученные при использовании фрактальной модели шероховатости, противоречат моделям GW и D из-за принятых допущений: для вычисления силы микроконтакта используется наибольшее ее исходное сечение, а все меньшие неровности, находящиеся на большей неровности игнорируются, при этом площадь контакта равна половине исходного сечения. Показано, что при взаимном влиянии неровностей площадь контакта со-

стоит из нескольких отдельных площадок, образованных меньшими неровностями, находящимися на большой неровности.

3. Рассмотрены методы определения фрактальной размерности. По точности определения рекомендуется использовать размерность, найденную из функции спектра мощности. Приведена классификация типа профиля шероховатости в зависимости от наклона средней линии функции спектра мощности.

4. Моделирование шероховатого профиля с помощью метода фильтрации Фурье имеет случайный характер, не позволяющий изменять точность моделируемой поверхности. Процедура генерирования фрактальных кривых методом срединного смещения сложна в реализации, такие профили не являются стационарными и закон дисперсии для них не выполняется. Традиционный подход с использованием функции Вейерштрасса-Мандельброта позволяет моделировать высотные параметры с точностью до 5% и шаговые - с точностью до 3060%.

5. Разработана методика повышения точности моделирования шаговых параметров шероховатости до 5% путем введения линейной или квадратичной зависимости с использованием последовательностей для равномерного зондирования области допустимых значений варьируемых фрактальных параметров. При этом значение суммарного критерия для профиля уменьшается в 10...12 раз, а для поверхности - в 5...7 раз.

6. С помощью имитационного моделирования впервые получено выражение для определения фрактальной размерности эквивалентной шероховатой поверхности в зависимости от фрактальных размерностей контактирующих поверхностей и максимальных высот неровностей.

7. В результате проведенных исследований по определению влияния распределения радиусов микронеровностей на относительную площадь при упругом контакте, установлено, что с точностью до 5% расчет можно производить по среднему их значению.

8. Установлено, что для фрактальных поверхностей средняя высота неровностей составляет (0,15...0,25)R„m. Исходя из описания опорной поверхности отношением неполной бета-функции получено выражение для распределения таких неровностей по всей высоте шероховатого слоя.

9. Контакт отдельной неровности рассмотрен с учетом взаимного влияния остальных контактирующих неровностей. Получена система трансцендентных уравнений, позволяющая определить относительную площадь контакта в зависимости от приложенной нагрузки, числа гармоник моделируемой поверхности и фрактальной размерности.

10. Показано, что при одинаковой нагрузке с ростом числа гармоник и с уменьшением фрактальной размерности, относительная площадь контакта уменьшается. Более универсальным параметром, в меньшей мере зависящим от числа гармоник и фрактальной размерности D, является силовой упругогеомет-рический параметр Fq.

11. Разработан алгоритм и реализован программный комплекс «FD contact», позволяющий смоделировать фрактальные шероховатые поверхности с заданными параметрами шероховатости, рассчитать размерное распределение

сечений неровностей для разных уровней, распределение вершин, впадин и высот неровностей, а также определить контактные характеристики поверхностей.

12. Проведено сравнение полученных результатов с результатами других исследователей. Получено хорошее совпадение с экспериментальной зависимостью Бартенева-Лаврентьева, для т]>0,3 среднее отклонение при определении относительной нагрузки Qqc для заданного ц не превышает 10%. Показаны значительные расхождения (сотни процентов) с моделями, не учитывающими взаимное влияние неровностей. Применение модели Огара-Корсака дает расхождения от 60% для г|=0Л ДО 23% длят|=0,8.

Список публикаций по теме диссертации:

1. Горохов Д.Б., Байтов А.В. Автоматизация обработки профилограмм шероховатых поверхностей // Естественные и инженерные науки - развитию регионов: Материалы межрегиональной научно-технической конференции. -Братск: БрГТУ, 2003. - С. 138.

2. Огар П.М., Горохов Д.Б. Фрактальная модель анизотропной поверхности // Труды Братского государственного технического университета. - Том 2. -Братск: ГОУ ВПО «БрГТУ», 2004. - (Естественные и инженерные науки - развитию регионов). - С. 170-176.

3. Огар П.М., Горохов Д.Б. Моделирование шероховатой поверхности с помощью функции Вейерштрасса-Мандельброта // Труды Братского государственного технического университета. - Том 2. - Братск: ГОУ ВПО «БрГТУ», 2004.- (Естественные и инженерные науки - развитию регионов) - С. 176-183.

4. Огар П.М., Горохов Д.Б. Определение фрактальных параметров и выбор моделей профилей шероховатости // Математика в вузе. Труды XVII научно-методической конференции. - СПб, - 2004. - С. 178-179.

5. Огар П.М., Горохов Д.Б. Математическое моделирование фрактального профиля шероховатой поверхности // Математика в вузе. Труды XVII научно-методической конференции. - СПб, - 2004. - С. 179-180.

6. Огар П.М., Горохов Д.Б. Моделирование профиля поверхности с помощью функции Вейерштрасса-Мандельброта // Природные и интеллектуальные ресурсы Сибири (СИБРЕСУРС-10-2004): Доклады 10-й Международной науч-но-практич. конференции. Новосибирск, 5,6 окт. 2004г./ Отв. ред. В.Н.Масленников. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. - С. 34-37.

7. Огар П.М., Горохов Д.Б. Исследование топографических характеристик шероховатых поверхностей // Новые материалы и технологии - НМТ-2004. Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции. Москва, 17-19 ноября 2004г. В 3 томах. Т 2 - С. 156-157.

8. Огар П.М., Горохов Д.Б. Повышение эффективности моделирования фрактальной шероховатой поверхности // Новые материалы и технологии -НМТ-2004. Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции. Москва, 17-19 ноября 2004г. В 3 томах. Т 2 - С. 157-158.

9. Горохов Д.Б., Огар П.М. Определение фрактальной размерности профилей шероховатых поверхностей // Математическое моделирование, числен-

20 о£о<-об:об

ные методы и комплексы программ: СПбГАСУ. - СПб, - 2004. - Вып. 10 - С. 228-235.

10. Горохов Д.Б., Огар П.М. Моделирование фрактальных шероховатых поверхностей // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: СПбГАСУ. - СПб, - 2004. - Вып. 10 - С. 235-240.

П.Горохов Д.Б. Моделирование анизотропных шероховатых поверхностей с помощью двумерной функции Вейерштрасса-Мандельброта // Естественные и инженерные науки - развитию регионов: Материалы межрегиональной научно-технической конференции. - Братск: БрГТУ, 2004. - С. 136-137.

12. Горохов Д.Б. Моделирование анизотропных шероховатых поверхностей методом срединного смещения // Естественные и инженерные науки -развитию регионов: Материалы межрегиональной научно-технической конференции. - Братск: БрГТУ, 2004. - С. 137-138.

13. Огар П.М., Горохов Д.Б., Глинов С.Н. Контакт фрактальных шероховатых поверхностей // Транспортные средства Сибири: Межвуз. сб. научн. тр. Вып. 10, Красноярск: ИГЩ КГТУ, 2004. - С. 293-304.

Подписано в печать 26.04.05 Формат 60x84 у^. Бумага офсетная.

Печать трафаретная. Уч.-изд. л. 1,3 Усл. п. л. 1,3 4

Тираж 100 экз. Заказ № 389 ' «

Отпечатано в типографии БрГУ 665709, Братск, ул. Макаренко, 40 ГОУ ВПУ «Братский государственный университет»

7 9 М-Ли?|)|)5

Введение.

ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ЭКСПЛУАТАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ДЕТАЛЕЙ МАШИН.

1.1. Геометрические характеристики качества поверхностей.

1.2. Методы описания шероховатости деталей машин.

1.3. Основные модели контактного взаимодействия шероховатых поверхностей.

1.4. Эксплуатационные свойства соединений деталей машин.

1.5. Постановка задач исследований.

ГЛАВА 2. ФРАКТАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ШЕРОХОВАТОСТИ.

2.1. Общие сведения о фрактальной геометрии.

2.2. Модели фрактальных статистических самоаффинных процессов.

2.2.1. Фрактальное броунское движение.

2.2.2. Фрактальный гауссовый шум.

2.3. Методы определения фрактальной размерности профиля шероховатой поверхности.

2.4. Классификация профилей шероховатых поверхностей.

2.5. Моделирование изотропных самоаффинных шероховатых профилей и поверхностей.

2.5.1. Моделирование фрактальных шероховатых поверхностей с помощью функции Вейерштрасса-Мандельброта.

2.5.2. Моделирование фрактальных шероховатых поверхностей методом фильтрации Фурье.

2.5.3. Моделирование фрактальных шероховатых поверхностей методом срединного смещения.

2.5.4. Анализ методов моделирования фрактальных шероховатых поверхностей.

ГЛАВА З.КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНЫХ ШЕРОХОВАТЫХ ПРОФИЛЕЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ПО ЗАДАННЫМ ПАРАМЕТРАМ ШЕРОХОВАТОСТИ.

3.1. Математическая постановка задачи.

3.2. Определение оптимальных значений фрактальных параметров.

ГЛАВА 4. КОНТАКТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФРАКТАЛЬНЫХ ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

4.1. Параметры эквивалентной шероховатой поверхности.

4.2. Влияние фрактальных параметров на топографические характеристики фрактальных шероховатых поверхностей.

4.2.1. Разработка программного комплекса «FD contact».

4.2.2. Размерное распределение пятен контакта.

4.2.3. Определение формы и числа неровностей.

4.2.4. Распределение вершин, впадин и высот неровностей.

4.3. Контакт отдельной неровности шероховатой поверхности с упругим полупространством.

4.4. Контакт жесткой фрактальной шероховатой поверхности с упругим полупространством.

4.4.1. Влияние распределения радиусов неровностей.

4.4.2. Контактирование фрактальных1 шероховатых поверхностей.

4.4.3. Влияние числа гармоник и фрактальной размерности.

4.5. Сравнение полученных результатов с результатами других исследователей.

Многие эксплуатационные свойства соединений деталей машин и аппаратов: износостойкость, контактная жесткость, коррозионная стойкость, усталостная прочность, герметичность, электро- и термоконтактное сопротивление и другие - зависят от топографических параметров микрогеометрии, свойств материалов и приложенной нагрузки.

Обеспечение надежности соединений деталей машин и аппаратов закладывается еще на стадии проектирования. Исследования показывают, что более 80% случаев выхода из строя машин и механизмов обусловлено процессами, происходящими в зоне контакта деталей. Из общего числа отказов, связанных с нарушением функционирования соединений деталей, 2/3 обусловлено конст-рукторско-технологическими дефектами, остальные - производственными дефектами и нарушением режимов эксплуатации.

Основными контактными характеристиками, обеспечивающими эксплуатационные свойства соединений деталей машин, являются сближение шероховатых поверхностей, относительная площадь контакта и объем зазоров в стыке, которые находятся в определенной взаимозависимости и определяются параметрами микрогеометрии и величиной сжимающих напряжений.

Стык соединений деталей машин является сложной технической системой как с точки зрения описания шероховатых поверхностей, так с точки зрения механики контактного взаимодействия. Поэтому для определения эксплуатационных показателей используется основной метод исследования сложных систем - метод математического моделирования.

Для решения контактных задач в трибологии широко используется дискретная модель шероховатости, в которой для описания шероховатости используется начальная часть кривой опорной поверхности. Однако ее применение при высокой плотности пятен контакта, где необходимо учитывать взаимное влияние неровностей, приводит к значительным погрешностям. Кроме того, при применении дискретной модели используются параметры шероховатости, значения которых зависят от разрешающей способности измерительного прибора и длины выборки, хотя в последнее время для описания микрогеометрии поверхностей часто используют фрактальную модель, параметры которой постоянны для всех масштабов микронеровностей. Но при этом при определении контактных характеристик получены результаты, противоречащие дискретной модели шероховатости и положениям механики контактного взаимодействия, на которых она основывается: малые пятна контакта деформируются пластически, большие — упруго.

В этой связи представляет интерес использование более точной фрактальной модели шероховатости для определения распределений неровностей по высоте и размерам с их дальнейшим применением для определения контактных характеристик при взаимном влиянии неровностей.

Таким образом, цель работы - совершенствование методов расчета характеристик стыка шероховатых поверхностей соединений деталей машин при высокой плотности пятен контакта путем применения фрактальной модели шероховатой поверхности для определения размеров неровностей и функций их распределения по высоте шероховатого слоя.

Для достижения цели в работе поставлены и решены следующие задачи:

• анализа основных моделей фрактальных процессов и методов определения фрактальных характеристик;

• моделирования фрактальных шероховатых профилей и поверхностей по заданным параметрам шероховатости;

• моделирования взаимодействия шероховатых поверхностей при высокой плотности пятен контакта.

Научная новизна заключается в разработке:

• методики эффективного моделирования шероховатых профиля и поверхности на основе функции Вейерштрасса-Мандельброта путем варьирования фрактальных параметров с использованием ЛПт-последовательностей;

• математической модели фрактальной шероховатой поверхности и исследования ее основных характеристик в зависимости от числа гармоник;

• методики определения закона распределения вершин и впадин неровностей, их высот и формы, распределения сечений неровностей на разных уровнях;

• математической модели контакта жесткой шероховатой поверхности с упругим полупространством.

Работа предназначена для создания на базе проведенных теоретических исследований современных инженерных методов моделирования фрактальных шероховатых профилей и поверхностей по заданным параметрам шероховатости и расчета относительной площади контакта шероховатых поверхностей, используемых при проектировании соединений деталей машин.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Произведен анализ работ в области моделирования шероховатости и контактного взаимодействия шероховатых поверхностей деталей машин. Указано, что основным их недостатком, за небольшим исключением, является неучитывание взаимного влияния неровностей, распределенных по высоте шероховатого слоя.

2. Установлено, что результаты, : полученные при использовании фрактальной модели шероховатости, противоречат моделям GW и Э из-за принятых допущений: для вычисления силы микроконтакта используется наибольшее ее исходное сечение, а все меньшие неровности, находящиеся на большей неровности игнорируются, при этом площадь контакта равна половине исходного сечения. Показано, что при взаимном влиянии неровностей площадь контакта состоит из нескольких отдельных площадок, образованных меньшими неровностями, находящимися на большой неровности.

3. Рассмотрены методы определения фрактальной размерности. По точности определения рекомендуется использовать размерность, найденную из функции спектра мощности. Приведена классификация типа профиля шероховатости в зависимости от наклона средней линии функции спектра мощности.

4. Моделирование шероховатого профиля с помощью метода фильтрации Фурье имеет случайный характер, .не позволяющий изменять точность моделируемой поверхности. Процедура генерирования фрактальных кривых методом срединного смещения сложна в реализации, такие профили не являются стационарными и закон дисперсии для них не выполняется. Традиционный подход с использованием функции Вейерштрасса-Мандельброта позволяет моделировать высотные параметры с точностью до 5% и шаговые - с точностью до 30-60%.

5. Разработана методика повышения точности моделирования шаговых параметров шероховатости до 5% путем введения линейной или квадратичной зависимости у (и) с использованием ЛПт-последовательностей для равномерного зондирования области допустимых значений варьируемых фрактальных параметров. При этом значение суммарного критерия для профиля уменьшается в 10. .12 раз, а для поверхности - в 5. .7 раз.

6. С помощью имитационного моделирования впервые получено выражение для определения фрактальной размерности эквивалентной шероховатой поверхности в зависимости от фрактальных размерностей контактирующих поверхностей и максимальных высот неровностей.

7. В результате проведенных исследований по определению влияния распределения радиусов микронеровностей на относительную площадь при упругом контакте, установлено, что с : точностью до 5% расчет можно производить по среднему их значению.

8. Установлено, что для фрактальных поверхностей средняя высота неровностей составляет (0,15.0,25)7?тах. Исходя из описания опорной поверхности отношением неполной бета-функции получено выражение для распределения таких неровностей по всей высоте шероховатого слоя.

9. Контакт отдельной неровности рассмотрен с учетом взаимного влияния остальных контактирующих неровностей. Получена система трансцендентных уравнений, позволяющая определить относительную площадь контакта в зависимости от приложенной нагрузки, числа гармоник моделируемой поверхности и фрактальной размерности.

10. Показано, что при одинаковой нагрузке с ростом числа гармоник и с уменьшением фрактальной размерности, относительная площадь контакта уменьшается. Более универсальным параметром, в меньшей мере зависящим от числа гармоник и фрактальной размерности D, является силовой упругогеометрический параметр Fq.

11. Разработан алгоритм и реализован программный комплекс «FD contact», позволяющий смоделировать фрактальные шероховатые поверхности с заданными параметрами шероховатости, рассчитать размерное распределение сечений неровностей для разных уровней, распределение вершин, впадин и высот неровностей, а также определить контактные характеристики поверхностей.

12. Проведено сравнение полученных результатов с результатами других исследователей. Получено хорошее совпадение с экспериментальной зависимостью Бартенева-Лаврентьева, для г|>0,3 среднее отклонение при определении относительной нагрузки для заданного г| не превышает 10%. Показаны значительные расхождения (сотни процентов) с моделями, не учитывающими взаимное влияние неровностей. Применение модели Огара-Корсака дает расхождения от 60% для г|=0,1 до 23% для г|=0,8.

1. Айнбиндер C.B., Тюнина Э.Л. Введение в теорию трения полимеров. Рига.: Зинатне, 1978. - 224 с.

2. Алексеев В.М., Сутягин О.В. Влияние плотности пятен касания на характеристики упругого контакта шероховатых тел // Теоретические и прикладные вопросы контактного взаимодействия. Калинин: КГУ, с. 16-28

3. Аргатов И.И., Дмитриев H.H. Основы дискретного контакта: Учебное пособие СПб.: Политехника, 2003. - 233 е.: ил.

4. Аронович В.Б. Арматура регулирующая и запорная. М.: Машгиз, 1953. -284с.

5. Божокин C.B., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 128с.

6. Бартенев Г.М., Лаврентьев В.В. Трение и износ полимеров. М.: Химия, 1972.-240 с.

7. Беляев Н.М. Применение теории Герца к подсчетам местных напряжений в точке соприкасания колеса и рельса. // Вестник инженеров. 1917. - т. III. -№12.-С. 281-282.

8. Бородич Ф.М., А.Б. Мосолов Фрактальный контакт твердых тел // Журн. технич. физ., 1991. Т. 61, №9. С. 50-54.

9. Бородич Ф.М., Онищенко Д.А. Фрактальная шероховатость в задачах контакта и трения (простейшие модели) // Трение и износ. 1993. - Т. 14, № 3. -С. 452-459.

10. Ю.Галахов М.А., Усов П.П. Дифференциальные и интегральные уравнения математической теории трения. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1990. — 280с. ISBN 5-02-014292-1.

11. П.Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. -М.: Гостехиздат, 1953.

12. Горохов Д.Б. Моделирование анизотропных шероховатых поверхностей методом срединного смещения // Естественные и инженерные науки развитию регионов: Материалы межрегиональной научно-технической конференции. Братск: БрГТУ, 2004. - 230с.

13. Горохов Д.Б., Байтов A.B. Автоматизация обработки профилограмм шероховатых поверхностей // Естественные и инженерные науки развитию регионов: Материалы межрегиональной научно-технической конференции. — Братск: БрГТУ, 2003. - С. 138.

14. Горохов Д.Б., Огар П.М. Моделирование фрактальных шероховатых поверхностей // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: СПбГАСУ. СПб, - 2004. - Вып. 10 - С. 235-240.

15. Горохов Д.Б., Огар П.М. Определение фрактальной размерности профилей шероховатых поверхностей // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: СПбГАСУ. — СПб, 2004. - Вып. 10 — С. 228-235.

16. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Теоретические основы метода расчета местности стыка шероховатых тел с учетом взаимного влияния микроконтактов // Машиноведение 1979. - С. 66-71.

17. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение 1988. - 256 с.

18. Демкин Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей. М.: Наука, 1970. - 226 с.

19. Демкин Н.Б., Короткое М.А., Алексеев В.М. Методика расчета характеристик фрикционного контакта // Расчет и моделирование режима работы тормозных и фрикционных устройств. М.: Наука, 1974. - С. 6-15.

20. Демкин Н.Б., Лемберский В.Б., Соколов В.И. Влияние микрогеометрии на герметичность разъемных соединений с прокладками из низкомодульных материалов // Изв. вузов: Машиностроение, 1976. - № 7. - С. 26-30.

21. Демкин Н.Б., Измайлов В.В. Фактическая площадь контакта и жесткость тя-желонагруженных стыков // Проблемы трения и изнашивания. К.: Техника 1976.-Вып. 9.-С. 13-18.

22. Демкин Н.Б. Выражение опорной кривой с помощью бэта функции // Контактное взаимодействие твердых тел. - Калинин: КГУ, 1982. - С. 3-9.

23. Демкин Н.Б., Рыжов Э.В. Качество поверхности и контакт деталей машин. -М.: Машиностроение, 1981. С. 244.

24. Демкин Н.Б. Свойства фрикционного контакта и обработка металлов // Трение и износ. 1995. - Т.16, №5, - С. 228-835.

25. Демкин Н.Б. Теория контакта реальных поверхностей и трибология // Трение и износ. 1995. - Т.16, №6, - С. 1003-1025.

26. Демкин Н.Б. Многоуровневые модели фрикционного контакта // Трение и износ. 2000. - Т.21, №2, - С. 115-120.

27. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 510с.

28. Добычин. М.И. Взаимное влияние пятен касания при контактировании шероховатых тел // Трение и износ. 1980. - Т. 1, № 2, - С. 342-348.

29. Долотов A.M., Огар П.М, Чегодаев Д.Е. Основы теории и проектирование уплотнений пневмогидроарматуры летательных аппаратов. М.: Изд-во МАИ, 2000. - 296 с.

30. Дунин-Барковский И.В., Карташова А.Н. Измерения и анализ шероховатости, волнистости и некруглости поверхности. М.: Машиностроение, 1978. - 232с.

31. Дъяченко П.Е., Якобсон М.О. Качество поверхности при обработке металлов резанием, Машгиз, 1951.

32. Журавлев В.А. //ЖТФ. 1940. Т. 10, вып. 17.

33. Когаев В.П., Махутов H.A., Гусенков А.П. Расчеты деталей машин и конструкций на прочность и долговечность. М.: Машиностроение, 1983. 224с.

34. Крагельский И.В. // Изв. АН СССР. Отд. техн. Наук. 1948. №10. С.1621-1625.

35. Крагельский И.В. Трение и износ. «Машиностроение», М.: 1968, 480 с.

36. Крагельский И.В., Добычин Н.М., Комбалов B.C. Основы расчета на трение и износ. М.: Машиностроение, 1974. - 526 с.

37. Левина З.М., Регетов Д.Н. Контактная жесткость машин. М.: Машиностроение, 1971. 264с.

38. Михин Н.М., Крагельский И.В. Изменение площади касания твердых тел при значительном сближении // Доклады АН СССР. 1967. №6. с. 1285-1287.

39. Площадь фактического контакта сопряженных поверхностей. М., Изд-во АН СССР, 1963. 95с.

40. Расчет и конструирование. Справочник / Под ред. Н.С. Ачеркана. T.l М.: Машиностроение, 1968.-440с.

41. Рудзит Я.А. Микрогеометрия и контактное взаимодействие поверхностей. -Рига: Зинатне, 1975. 216 с.

42. Рыжов Э.В. Контактная жесткость деталей машин. М.: Машиностроение, 1966. - 193с.

43. Рыжов Э.В., А.Г. Суслов, В.П. Федоров Технологическое обеспечение эксплуатационных свойств деталей машин // М.: Машиностроение, 1979, -176с., ил. — (Библиотека технолога)

44. Свириденок А.И., Чижик С.А., Петраковец М.И. Механика дискретного фрикционного контакта. Минск: Наука и техника. 1990. - 272 с.

45. Семенюк Н.Ф. Исследование топографии поверхности методом случайного поля и разработка расчетных методов оценки фактической площади при трении твердых тел. Автореф. дисс. .канд. техн. наук. Якутск:, 1983. 22 с.

46. Смелянский В.М. Нормирование и оптимизация качества поверхностного слоя деталей машин при обработке / Тез. докл. семинара «Качество поверхности», Брянск: БИТМ, 1995. С. 34-40

47. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Наука, 1981. 109 с.

48. Справочник по трибомеханике / Под ред. М. Хебды, А.В. Чичинадзе. Т.1 Теоретические основы. М.: Машиностроение, 1989. — 400с.

49. Суслов А.Г. Качество поверхностного слоя деталей машин. — М.: Машиностроение, 2000. 320с., ил.

50. Суслов А.Г. Технологическое обеспечение контактной жесткости соединений. М.: Наука, 1977. 100с.

51. Суслов А.Г., Дальский A.M. Научные основы технологии машиностроения. М.: Машиностроение, 2002. - 684с. с илл.

52. Тимошенко С.П., Гудьер Д. Теория упругости М.: «Наука», 1975, 575 с.

53. Тихомиров В.П. Контактное взаимодействие фрактальных поверхностей // Трение и износ, 18 (1997), №3, 369 374.

54. Федер Е. Фракталы / Пер. с англ. Москва: Мир (1991), 254 с.

55. Хусу А.П., Виттенберг Ю.Р., Пальмов В.А. Шероховатость поверхностей (теоретико вероятностный подход). — Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975, 344с.

56. Цукидзо Т., Хисакадо Т. О механизме контакта металлических поверхностей. II. Фактическая площадь и число пятен контакта. — «Проблемы трения и смазки», 1968, №1, с. 123-124. (Труды Американского общества инжене-ровмехаников).

57. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. Гостехтеоретиздат, 1949, с. 258.

58. Archard J.F. Elastic deformation and the laws of friction. Proceedings of the Royal Society of London, A243: 190-205, 1957.

59. Archard J.F., Whitehouse D.J. The properties of random surfaces of significance in their contact. Proceedings of the Royal Society of London, A316:97nl21, 1970.Computer Landscape Generation and Smoothing // www.gantless.com / pro-grams/macklem.pdf.

60. Ausloos M. and Berman D. H., Proc. R. Soc. London, Ser. A 400, 331 (1985).

61. Barber J.R., Ciavarella M. Contact mechanics // International journal of solids and structures, 2000, vol. 37, pp. 29-43.

62. Ciavarella M., Demelio G., Barber J. R. and Yong Hoon Jang Linear elastic contact of the Weierstrass profile // Proc. R. Soc. Lond. A (2000) 456, 387-405.

63. Costa M. A. Fractal description of rough surfaces for haptic display (диссертационная работа на степень доктора философии) // www-cdr.stanford.edu /Touch/publications/costathesis.pdf.

64. Delsanto P.P., D. Iordache, S. Pusca Study of the correlations between different effective fractal dimensions used for fracture parameters descriptions // isis.pub.ro/iafa2003/files/2-4.pdf.

65. Ebert D.S., Musgrave F.K., Peachey D., Peril K., Worley S. Texturing and Modeling: A Procedural Approach. Second Edition. Academic Press, San Diego. 1998.

66. Eke A. at all Physiological time series: distinguishing fractal noises from motion // Eur. J. Physiol., vol. 439, pp. 403-15.

67. Eke A., Herman P., Kocsis L. and Kozak L.R. // Physiological Measurement, 23 (2002), R1-R38.

68. Ganti S., Bhushan B. Generalized fractal analysis and its applications to engineering surfaces // Wear, Vol. 180. 1990, pp. 17-34.

69. Greenwood J.A. The area of contact between rough surfaces and plats. -ASME, 1967,Ser. E, N 1.

70. Greenwood J.A., Tripp J.H. The elastic contact of rough spheres // Journal of applied mechanics. March 1967, p.p. 153-159.

71. Greenwood I.A., Williamson J.B.P. Contact of nominally flat surfaces. «Proc. Roy. Soc. London Ser. А», 1966, vol. 293, N 1442, pp. 300-319.

72. Hertz H. Gesammelte Werke. Bd.l, 1985, Leipzig, ss. 155-196.

73. Hwang Jin-Tsong and Shih Tian-Yuan On the characteristics of simulated terrain using the successive random addition midpoint displacement method // http://nhmrc.cv.nctu.edu.tw/People/tyshih/Publications/Emid-sub2.pdf

74. Jablonski J., Pawlowski S., Liubimov V. 3D-numerical Model of Surface after Laser Machining // Measurement Science Review, Volume 3, Section 3, 2003.

75. Kogut L., Komvopoulos K. Electrical contact resistance theory for conductive rough surfaces // Journal of applied physics, 2003, 94(5),3153-3162.

76. Lincoln B. Elastic deformation and the laws of friction. "Nature", 1953, vol. 172, N4369, pp. 169-170.

77. Majumdar A., Bhushan B. Role of Fractal Geometry in Roughness Characterization and Contact Mechanics of Surfaces // ASME J. of Tribology, Vol. 112 (1990), pp. 205-216.

78. Majumdar A. and Bhushan B. Fractal model of elastic-plastic contact between rough surfaces. J. Tribology, 113:1-11, 1991.

79. Mandelbrot B.B., Frame M. Fractals // Encyclopedia of Physical Science and Technology, June 28,2001, 185-207.

80. Markse H.A., Halvin S., Schwartz M., Stanley E. Method for generating longrange correla-tions for large systems // Phys. Rev. E, Vol. 53, No. 5, pp. 54455449.

81. Nayak P.R. // Wear. 1973. Vol. 26. P. 305 333.

82. Persson B.N.J. Elastic contact between randomly rough surfaces. Physical Review Letters, 87(11), 2001.

83. Sayles R.S., Thomas T.R. "The Spatial Representation of Surface Roughness by means of the Structure Function: A Practical Alternative to Correlation". Wear Vol. 42, 1977. pp. 263-276.

84. Warren T.L. and Krajcinovic D., Int. J. Solids Struct. 32, 2907 (1995).

85. Warren T.L., Majumdar A., and Krajcinovic D., J. Appl. Mech. 63, 47 (1996).

86. Whitehouse D.J. and Phillips M.J. Discrete properties of random surfaces. Philosophical Transactions, The Royal Society of London, A290:267n298, 1982.

87. Williamson J.P.B., Pullen J. and Hunt R.T., 1969, "The shape of Solid Surfaces", Surface Mechanics, ASME, New York, pp. 24-35.

88. Yan W., Komvopoulos K. Contact analysis of elastic-plastic surfaces // J. Appl. Phys., Vol. 84, No. 7 October 1998, pp. 3617-3624.