автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка и исследование вероятностных моделей взаимодействия шероховатых поверхностей в процессе трения

£104603525

Тигетов Давид Георгиевич

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ПРОЦЕССЕ ТРЕНИЯ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 О ИЮН 2010

Москва 2010

004603525

Работа выполнена в Московском энергетическом институте (техническом университете) на кафедре математического моделирования.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор Горицкий Юрий Александрович

доктор технических наук, профессор, Орлов Александр Иванович доктор технических наук, доцент, Толчеев Владимир Олегович

Институт Проблем Управления Российской Академии Наук им. В.А. Трапезникова (ИПУ РАН)

Защита состоится 18 июня 2010 г. в 16-00 на заседании диссертационного совета Д 212.157.0S при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу:

Москва, ул. Красноказарменная, д. 13 в ауд. М-307.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета).

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 14, Ученый совет МЭИ (ТУ).

Автореферат разослан "17" мая 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.157.0 кандидат технических наук, доцент

Анисимов Д.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Вопросы взаимодействия движущихся поверхностей встречаются в различных областях техники при проектировании и создании устройств и механизмов. В частности в электротехнике при расчете скользящих (движущихся) контактов, в триботехнике и машиностроении при расчете характеристик контакта и трения в самых различных узлах машин и механизмов.

Расчет характеристик контакта и трения является сложной инженерно-технической задачей, для решения которой в рамках различных подходов были разработаны специатьные методы. Невозможно с полной уверенностью утверждать, что существующие методы являются совершенными, а работа исследователей в этом направлении завершенной. Весьма актуальной является разработка альтернативных моделей, подходов и методов, позволяющих получить новые результаты.

Отдельного исследования заслуживает явление приработки (в частности, преобразование шероховатости поверхностей в процессе трения) и формирование равновесной шероховатости (шероховатости поверхностей r установившихся режимах трения). Многочисленные вопросы, связанные с моделированием приработки и описанием равновесной шероховатости, редко затрагивались исследователями в рамках сравнительно небольшого числа публикаций. Основной причиной, по-видимому, является невозможность решения этих вопросов в рамках существующих моделей трения. Очевидна необходимость привлечения специальных моделей, включающих в себя фактор времени. Разработка таких моделей, вне всякого сомнения, является актуальной проблемой современной науки.

Современное состояние проблемы

На современном этапе развития трибологии процесс трения представляется сложным процессом физико-химической механики. Описать процесс трения, не прибегая к разумным упрощениям, не представляется возможным, поэтому широкое распространение получили различные модели процесса трения. В каждой модели можно выделить две составляющие: модельное описание микрорельефа шероховатых поверхностей и модельное представление контактного взаимодействия поверхностей.

Модели шероховатых поверхностей. Вследствие особенностей формирования и эксплуатации шероховатые поверхности имеют микрорельеф, образованный многочисленными выступами и впадинами разных форм и размеров. Каждая поверхность фактически обладает уникальным микрорельефом, который на практике не всегда удается определить (измерить), так что математическое описание шероховатой поверхности детерминированной функцией оказывается затруднительным.

В наиболее ранних моделях поверхности представлялись совокупностью выступов правильной геометрической формы, рассредоточенных на плоскости так, что между ними имелись промежутки (впадины). В результате проведенных исследований оказалось, что наиболее подходящей формой выступов является полусфера, кроме того, достаточно просто описывается упругая и пластичная деформация выступов, ограниченных полусферами. Совокупность полусфер приводится в соответствии с реальной поверхностью с помощью опорной кривой - характеристикой распределения материала по высоте. В рамках модели были разработаны расчетные методики оценки характеристик контакта и трения поверхностей, значительный вклад в формирование и развитие которых внесли советские ученые - Демкин Н.Б., Крагельский И.В., Михин Н.М., Чичинадзе A.B., а также Громаковский Д.Г., Добычин М.Н., Дьяченко П.Е., Комбалов B.C., Свириденок А.И., Петроковец М.И., Чижик С.А. и многие другие. Модель шероховатых поверхностей в виде совокупности полусфер находит применение и в настоящее время.

Аналогичный подход использовался зарубежными исследователями с той разницей, что совокупность выступов модельной поверхности приводилась в соответствие с реальной

поверхностью подбором вероятностного распределения параметров выступов (например, подбором распределения высоты выступов и радиуса кривизны в вершине выступов). Одними из первых такую модель предложили Greenwood J.A. и Williamson J.B.P., позднее данная модель развивалась и модифицировалась в работах многочисленных зарубежных авторов, среди которых можно особо отметить работы Bogy D.B., Chang W.R., Etsion I., Jeng Y.R., Peng S.R., Polycarpou A.A..

От предыдущих подходов существенно отличается подход, в котором шероховатые поверхности представляются двумерными случайными функциями (случайными нолями). Такой подход является достаточно общим, поэтому добиться определенных результатов в настоящее время удалось только для гауссовых случайных функций. Класс гауссовых случайных функций допускает строгай вывод основополагающих соотношений, описывающих геометрические характеристики выступов: распределение высот выступов и кривизны в вершинах выступов. С помощью данных характеристик определяют характеристики контакта и трения поверхностей. Вопросы использования случайных функций для описания шероховатых поверхностей рассматриваются в работах Линника Ю.В. и Хусу A.II, а также Руздита Я.А., Виттенберга Ю.Р., Семенюка Н.Ф. и Сиренко Г.А.. Распределение высот и кривизны ¡зыступсс рассматривал« б своих работах Longucî-Klagim M.S., Nayak P.R., Семенюк Н.Ф. и Сиренко Г.А., в последующих работах этих авторов представлены и методы оценки характеристик контакта и треяия.

В последнее время развивается гипотеза о возможности представления поверхностей фракталами. Данная гипотеза возникла в результате опытных наблюдений, в результате которых было установлено, что выступы поверхности в свою очередь покрыты выступами меньших размеров. Использование фракталов для описания поверхностей тел встречается в работах Bhushan В., Majumdar A., Tien C.L., и кроме того в работах Warren T.L., Krajcinovie D. и Бородича Ф.М., Мосолова А.Б., Онищепко Д.А..

Автор выражает благодарность Сергею Борисовичу Главатских, сотруднику шведского Технического Университета Лулео, за полезные обсуждения современных моделей шероховатых поверхностей и ознакомление с современной иностранной литературой.

Модели контактного взаимодействия. Под контактным взаимодействием понимается совокупность процессов возникающих при относительном движении контактирующих поверхностей. В общем случае область контакта поверхностей состоит из большого числа отдельных областей контакта, вблизи которых в материале протекают механические, химические, тепловые и многие другие процессы. Дать строгое математическое описание всех процессов оказывается невозможно, поэтому нередко прибегают к разумным упрощениям, в результате которых воссоздается некоторая модель процессов, происходящих в отдельных областях контакта. В частности, при контакте имеет место деформация, для определения которой используются приближенные решения контактных задач теории упругости, а для описания пластических деформаций используется теория пластичности и применяемые в ней критерии перехода к пластичной деформации. Помимо деформационных сил в области контакта присутствуют силы межатомного и межмолекулярного взаимодействия, для оценки которых используются известные факты физики твердого тела и зависимости, полученные эмпирическим путем. Экспериментальные исследования помогают выяснить механизмы изнашивания материалов, в частности, определить количественные характеристики разрушения. Кроме того, широко используются полуэмпирические зависимости, приближенно описывающие поведение материалов с учетом свойств упрочнения и ползучести.

Современные модели шероховатых поверхностей являются адекватными, а результаты, полученные с помощью моделей взаимодействия, согласуются с действительностью. Однако существующие модели взаимодействия не отражают изменение поверхностей, вызываемые взаимодействием, поэтому существующие модели оказываются непригодными для моделирования процесса трения во времени и анализа установившихся режимов трения.

Приработка. Экспериментально установлено, что поверхности в процессе трения изменяются, что влечет за собой изменение значений характеристик контакта и трения, это явление в литературе получило название приработки. Известно также, что с течением времени изменения поверхностей принимают регулярный характер, приводящий процесс трения к некоторому установившемуся режиму трения (состоянию равновесия), при этом образовавшиеся микрорельефы поверхностей обладают шероховатостью, которую принято называть равновесной.

Явление приработки известно на протяжении более 50 лет, однако в литературе крайне редко можно встретить исследования, посвященные анализу этого явления и определению параметров равновесной шероховатости.

Предлагаемая в работе модель взаимодействия шероховатых поверхностей позволяет моделировать преобразование шероховатости поверхностей в процессе трения и вычислять оценки параметров равновесной шероховатости.

Объект исследования

Объектом исследования является процесс изменения двух номинально плоских

учетом граничного внешнего трения при постоянной внешней нагрузке. Цель работы

Цель работы состоит в разработке и исследовании вероятностных моделей взаимодействия шероховатых поверхностей в процессе трения для оценки основных характеристик контакта и трения, описания процесса трения во времени и изучения установившихся режимов трения.

В рамках диссертационной работы ставились следующие задачи:

1. Разработка модели взаимодействия шероховатых поверхностей в рамках существующего вероятностного подхода, использующего аппарат гауссовых случайных функций, построение оценок характеристик контакта и трения в рамках модели и исследование качества получаемых оценок.

2. Разработка вероятностной модели взаимодействия шероховатых поверхностей в процессе трения, описывающей изменение поверхностей ео времени.

3. Разработка статистических методов оценки характеристик контакта и трения шероховатых поверхностей в рамках разработанной модели п.2.

4. Анализ установившихся модельных процессов трения и разработка метода оценки характеристик установившихся модельных процессов трения.

5. Разработка и реализация пакета прикладных программ и расчетных методик для оценки характеристик контакта и трения шероховатых поверхностей.

Методы исследования

Для решения поставленных задач применялись: математический аппарат теории случайных процессов, теории вероятностей и математической статистики, а также методы математического моделирования, вычислительной математики, математического анализа и линейной алгебры.

Научная новизна

Научную новизну работы составляют:

1. Вероятностная модель взаимодействия шероховатых поверхностей, описывающая процесс трения во времени. Модель позволяет по физическим свойствам материалов поверхностей, исходным шероховатостям поверхностей и величине внешней нагрузки вычислять оценки характеристик контакта и трения в процессе приработки и в установившемся режиме, производить оценку времени приработки.

2. Метод определения распределений высот выступов поверхностей в установившихся процессах трения в рамках модели п.1.

3. Статистические оценки характеристик установившихся процессов трения, полученные с использованием указанных в п.2 распределений.

Достоверность результатов

Достоверность результатов подтверждается строгим математическим и логическим выводом основных используемых соотношений. Результаты проведенного моделирования отражают известные явления, наблюдаемые в процессе трения шероховатых поверхностей, вычисленные оценки характеристик контакта и трения удовлетворительно соответствуют величинам, наблюдаемым на практике.

Практическая ценность

Практическая ценность работы заключается, прежде всего, в разработанных программах, с помощью которых инженер-исследователь может проводить расчеты характеристик процесса трения. Кроме того, для практического использования предлагаются

СТаТйСТйЧССКИС ОЦСНКй ХараКТСрИСТйК КОпТаКТа й ТрбКнл ШсрСХОВаТЫХ ПОВСрлКОСТСЙ Ъ

переходных и стационарных процессах трения. Апробация работы

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на научном семинаре по трению и износу в Институте машиноведения имени A.A. Благонравова РАН. Разработанные модели обсуждались на международной научно-технической конференции «Информационные средства и технологии» и на научно-технических конференциях студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», проводимых ежегодно в Московском энергетическом институте (техническом университете).

Результаты диссертационной работы были изложены в 9 публикациях, из которых 3 статьи в профильных журналах, рекомендованных ВАК РФ к защите кандидатских диссертаций, и 6 тезисов докладов, опубликованных в сборниках трудов различных конференций, проводимых в Московском инженерно-физическом институте и в Московском энергетическом институте.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка и приложений. Текст диссертации занимает 228 машинописных страниц, содержит 63 рисунка и 6 приложений, библиография включает 105 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В работе изучаются различные модели шероховатых поверхностей, разрабатываются модели взаимодействия шероховатых поверхностей в процессе трения и методы оценки характеристик процесса трения.

Во введепни обосновывается актуальность темы, кратко описано современное состояние проблемы, сформулированы цели и основные задачи, показана научная новизна работы и практическая значимость её результатов, приведены сведения об апробации работы,

Глава 1 содержит обзор публикаций, посвященных вопросам модельного представления реальных шероховатых поверхностей и расчету основных характеристик контакта и трения.

В разделе 1.1 дается определение понятия «шероховатость», описывается государственный стандарт системы параметров, описывающих шероховатость,

определяемых на основе профилограмм поверхностей. Рассматривается модель шероховатой поверхности в виде совокупности выступов сферической формы, и способ подбора параметров модели на основе опорной кривой поверхности. Описаны зависимости площади контакта и нормальной силы в области контакта от деформации для одного сферического выступа, и представлены выражения для расчета фактической площади контакта и нормальной силы для совокупности выступов, образующих модельную поверхность. Описана модель Гринвуда-Вильямсона, в которой все сферические выступы имеют одинаковый радиус кривизны в вершине и высоты, подчиняющиеся гауссову распределению. Выписаны оценки фактической площади контакта и нормальной силы при контакте модельной поверхности с абсолютно жесткой и гладкой поверхностью.

В разделе 1.2 рассматривается вопрос представления реальных шероховатых поверхностей случайными функциями. Указывается на возможность использования гауссовых случайных функций, кратко приводятся основные результаты, полученные в рамках этого подхода.

В разделе 1.3 представлен подход к представлению реальных шероховатых поверхностей фракталами и префрактальными модельными поверхностями. Рассматриваются различные ц-'роктальные модели п спосооы определения фршиальний размерности реальных поверхностей. Представлена модельная поверхность, полученная с помощью множества Кантора, выписаны выражения для фактической площади контакта и нормальной силы для контакта сформированной модельной поверхности и жесткой плоскости. Кратко упоминаются многоуровневые модели Арчарда и модель шероховатых сфер.

При анализе моделей выделяются два существенных недостатка: во-первых, построение моделей производится с помощью методов, качество результатов которых не исследовано, во-вторых, современные модели не учитывают изменений поверхностей, происходящих в процессе трения, и поэтому не могут быть использованы для моделирования процессов трения во времени.

Глава 2 посвящена представлению реальных шероховатых поверхностей гауссовыми случайными функциями и вероятностному методу оценки характеристик контакта и трения шероховатых поверхностей. Поскольку контакт шероховатых поверхностей в основном проходит по выступам, которые соответствуют локальным максимумам функций модельных поверхностей, то характеристики контакта, очевидно, определяются свойствами случайных функций в малых окрестностях локальных максимумов.

Основными характеристиками локальных максимумов являются: количество локальных максимумов в единице площади, вероятностное распределение высот локальных максимумов и форма поверхности в окрестностях точек локальных максимумов. Форма поверхности описывается значениями главных кривизн, взятых в точке локального максимума.

С целью определения указанных выше характеристик локальных максимумов в разделе 2.1 представлена совместная плотность вероятности значений однородной гауссовой случайной функции и её производных в некоторой фиксированной точке. Выводится условная плотность вероятности ¡¿) значения однородной гауссовой

случайной функции <Ц(х,у) и её вторых частных производных £"х(х,у), и 4^(х,у)

в точке локального максимума, расположенного выше заданного уровня ё. Рассматривается условная плотность вероятности р„вх{еА,е},еь\е1,с1) значений вторых производных случайной функции в точке локального максимума и условная плотность вероятности Ртах (г! I ¿0 высот локальных максимумов, расположенных выше уровня <1.

В разделе 2.2 рассматривается случайная поверхность г = £(х,у), приводятся выражения для средней Н и полной К кривизны и отношения главных кривизн 1 поверхности в точках локальных максимумов. Выписываются выражения условных

математических ожиданий средней М[Я|ер^] и полной |£",,й?] кривизны и отношения главных кривизн М[/1 в точке локального максимума высотой г, > с1.

В разделе 2.3 рассматривается частный случай однородной гауссовой случайной функции, обладающей свойством изотропности. С учетом свойства изотропности, выражение для условной плотности вероятности высот локальных максимумов />та> (у\ | ¡1) представлено с помощью элементарных функций и функции Лапласа:

jRbR4 [ 1 2ог - 3 ,

3l3

-Ci-iW^

V 2« - 3 /

■К

(i)

;

тУЧь-з)"1 r-Jf

2{3J [3(a~\)j Ц(2в-3)(а-1)

>

d А

где Rix, у) - корреляционная функция ((x,v), R = R(0.0), R2 =—rÄ(0,0), Д, =—гЛ(0,0),

Л ¿t

у, = -jL, с?, = 2RRt - 3R2, а = , Ф(лг) = Jе"I> dt - функция Лапласа.

В разделе 2.4 сделан вывод выражений условных математических ожиданий средней м[//' eud\ и полной М[А' j £,:d] кривизны и отношения главных кривизн M[/|C|,d] для локальных максимумов высотой sx>d изотропной однородной гауссовой случайной функции. Выражения для \d), м[Я !*,,«?], M[tf|f„</] и U[l\Ei,d] содержат

неизвестные значения корреляционной функции R и её производных R2 к Rt в нуле.

В разделе 2.5 построены оценки неизвестных параметров R, R2 я Rt. В разделе 2.5.1 рассматривается случай, когда корреляционная функция /¡(.т,>'| г) известна с точностью до вектора неизвестных параметров г, применяется метод максимального правдоподобия, получены: несмещенная и эффективная оценка т математического ожидания, несмещенная оценка дисперсии R, оценки производных R2 и R4:

й = fc=b>->«)TN(.r)(y~m)

lTN(r)\ ' Ä'-l ' (2)

R2=~R(0,0\r),Rt=~ Д(0,0|г)

ох ох

где N(r) - матрица обратная к матрице корреляций вектора высот поверхности f =(£],...,дк), у - реализация вектора высот К - размер вектора 1 -вектор-столбец из К единиц, г - оценки вектора параметров корреляционной функции, полученные численным методом оптимизации, оценки R2 и RA получены дифференцированием корреляционной функции. В разделе 2.5.2 рассматривается случай, когда корреляционная функция неизвестна, применяется метод моментов, получены: несмещенная оценка in математического ожидания, оценки дисперсии R и производных R2 и R4:

iy-t-Tiby.-w,

где у - реализация вектора высот £ = п - оценка количества пересечений с

уровнем математического оясидания и р - оценка количества экстремумов профиля поверхности длиной L (для оценок R2 и применялся общеизвестный метод). В разделе 2.5.3 приводится сравнительный расчет оценок (2), (3) для различных объемов массива высот поверхности К. Сравнение показывает, что в случае небольшого объема массива данных К наиболее пригодны оценки (2), в случае большого объема массива данных К оценки (2) незначительно отличаются от оценок (3), которые требует меньшего объема вычислений, чем оценки (2).

В разделе 2.6 рассматривается задача контакта полупространства и тела, ограниченного поверхностью второго порядка, касающегося полупространства, в условиях упругой и пластичной деформаций. Выводятся основные соотношения нормальной силы F(S), площади контакта A(â) и силы трения FTP{S) в зависимости от величины деформации S , Задача контакта двух модельных поверхностей приводится к задаче контакта «эквивалентной» поверхности и полупространства. Пусть £(х,у) - изотропная однородная гауссова случайная функция, соответствующая «эквивалентной» поверхности. В рассматриваемой области Ci находится случайное число Ç{Ci.d) локальных максимумов (выступов) 4{х,у) высотой выше d. Имеем множественный контакт выступов поверхности с полупространством, причем для каждого ¡-го выступа (j = \,Ç(iï,d)) характеристики контакта: нормальная сила Flt площадь контакта Д и сила трения F№( известны.

Суммарные значения характеристик по всем выступам представляют характеристики контакта для всей области fi :

«ад «ад an.j)

F(fi, d) = £ F, (d), A(Û, d) = £.A, (d), F„ (fi, rf) = X (rf) (4)

i=i /. i I.I

Характеристики (4) являются суммами случайного числа случайных величин, для которых при некоторых широких условиях получены оценки в среднем, например, для нормальной силы:

мИ«,<о]=м[аад]-мИйО] (5)

где M[,F(rf)] - среднее значение нормальной силы одного выступа высотой выше уровня d. Рассматриваются два способа вычисления M[F(c/)]: а) с помощью плотности вероятности Pm*{evei'E>>eb\d) и б) с ПОМОЩЬЮ условной ПЛОТНОСТИ ВерОЯТНОСТИ /7та (>'i i (1) и условных математических ожиданий M[H\e,,d], M[/|ff,,i/]. Приводятся

оценки снизу для дисперсий характеристик контакта и трения (4), например, для нормальной силы:

D[F(n,d)]>M[£(n,d)]-D[F(rf)] (6)

где D[F(î/)] - дисперсия нормальной силы одного выступа высотой выше уровня d.

В разделе 2.7 в целях иллюстрации метода выполнен расчет характеристик контакта и трения для двух шероховатых стальных пластинок.

В разделе 2.8 представлено краткое описание программ для системы математических вычислений MatLab R2006, реализующих расчет оценок характеристик контакта и трения в соответствии с разработанным методом.

Глава 3 посвящена вероятностной модели механического взаимодействия шероховатых поверхностей в процессе трения, разработанной с целью изучения изменения микрорельефа поверхностей и характеристик трения во времени.

В разделе 3.1 описана используемая физическая модель трения, построенная на основе опубликованных в специализированной литературе сведений о реальных поверхностях, форме и высоте выступов на поверхностях, трении и износе поверхностей. Особо выделены и включены в модель основные механизмы изменения поверхностей в процессе трения: деформация и разрушение.

В разделе 3.2 на основе физической модели трения сформирована модель механического взаимодействия шероховатых поверхностей в процессе трения. В рамках модели поверхности разделяются на полосы шириной Ау в направлении движения (величина Ду выбирается равной шагу местных выступов поперечной шероховатости). Каждая полоса разделяется на участки размера Ах (величина Дх должна быть равна среднему шагу местных выступов продольной шероховатости). В пределах каждого участка размещается выступ со сферической формой вершины. Радиус кривизны в вершине выступа является случайной величиной. Относительное движение поверхностей в модели представляется дискретным циклическим сдвигом выступов одной из поверхностей (последний выступ движущейся поверхности при сдвиге оказывается первым) (рисунок 1).

Если скорость относительного движения поверхностей V, тогда время, за которое

Л* /

происходит сдвиг на один выступ, определяется выражением А/ = — (где Дх - размер

выступов в направлении движения). Время в модели является дискретной величиной / = А г • и, которая для простоты измеряется числом сдвигов п.

Модельные поверхности обозначаются символами £ и г]. Вводится обозначение М для числа выступов на каждой поверхности, векторы (/?),...,и {%{п),...,г/м(п)) обозначают высоты выступов в момент времени п: (и) - высота выступа поверхности £ на участке с номером к, г]к{п) - уровень высоты выступа поверхности г] на участке с номером к,

Под действием внешней нормальной нагрузки поверхности сближаются, и выступы поверхностей вступают в контакт: при контакте выступы деформируются и разрушаются, изменяя свою высоту. Изменения высот выступов в результате сдвига и контактного взаимодействия описываются случайными функциями преобразования Ч* и Ф:

+ = («),%., (И)), (7а)

74(И + 1) = Ф(&(П).»7ы('0). (76)

к = 1,М, =

Выражение (7а) означает, что высота 4к (" + О выступа поверхности £ на участке к в следующий момент времени п +1 определяется высотой ¿¡к {») выступа в текущий момент п и уровнем высоты т]1А (я) выступа поверхности г; на участке к -1 в момент времени п. Аналогично, выражение (76) задает значения высот выступов поверхности г/ в следующий

момент времени. Формулы (7) описывают преобразование высот контактирующих выступов в общем виде, детализация функций 'РиФ может производиться различным образом.

В работе рассматриваются функции преобразования Ч' и Ф, которые учитывают остаточные деформации и разрушение. Рассмотрим представление деформации и разрушения на примере взаимодействия выступов на участке к (рисунок 2). Пусть до контакта (рисунок 2а) высота выступа поверхности £ на участке к есть = %к(и), уровень высоты выступа поверхности т/ на участке к-1 есть г/к_, = 74_,(л) (рисунок 1). Введем величину контактного пересечения 8 - £к - г]кА .

Рисунок 2. Деформация выступов при взаимодействии: а) до контакта; б) при контакте; в) после контакта.

При контакте (рисунок 26) выступы деформируются на величины 8( и 5п, причем величина 8 определяет сумму деформаций, <5 = 8( + 8п. Величины деформаций 8( и <5,

считаются случайными, поскольку радиусы кривизны вершин выступов случайны. После контакта (рисунок 2в) выступы восстанавливаются, однако, поскольку материалы выступов не обладают идеальными свойствами, то имеют место остаточные деформации Д и Д. Предлагается считать, что остаточные деформации й, и Д зависят от величин деформации 8{ и 8Ч соответственно, так что Д = Д (<5?) и Д = Д (8п). Характерный вид функций Д и Д представлен на рисунке 3: при малых деформациях свойства материалов близки к идеально упругим (имеет место практически полное восстановление, поэтому величина остаточной деформации близка к нулю), при больших деформациях свойства материалов близки к идеально пластичным (величина остаточной деформации прямопропорциональна деформации).

деформации. вероятности разрушения.

Считается, что многократная деформация выступа может стать причиной его усталостного разрушения. Поскольку усталостное разрушение происходит не при каждой деформации выступа, а в результате многократной деформации, то разрушение представляется случайным событием, имеющим некоторую ненулевую вероятность. При возникновении события разрушения высота выступа изменяется на случайную величину размера частицы разрушения Размер частиц и'Ди^) и вероятность события

разрушения Р„{ \Р„Л) тем больше, чем больше величина деформации выступа 8{{8Ч). Для функции вероятности разрушения Р„£ -Р„<4(8() принимается вид, представленный на рисунке 4 (аналогичный вид имеет функция Рил = [8Ц)).

Таким образом, при взаимодействии выступов с контактным пересечением 8 - -выступы испытывают случайные деформации 6({3) и 8п(8), зависящие от 8 (8{(8) + 8п(8) = 8). Деформации определяют величины остаточных деформаций 0^(8^8)) и 0^(8^(8)), и величины возможного разрушения 1У((8((8)) и №п(8^(8)), которые

ХЯПЯКТРПИ'ПДПТГЯ ПРПП 1МП(У"Т'Ш'П .М1 чп }> (Я

1 ---Г---^--------1----------------- Г-Ч

Г> (X < „ -----.....

величинами размера частиц разрушения и/, (<^(5)) и <?))■ Величины остаточных

деформаций и разрушения определяют изменение высот выступов в результате взаимодействия, так что функциям преобразования Ч' и Ф можно придать следующий вид: ЧЧ£, т?) = 4 + V, М - й( (8, (£ - 77)) - IV, (6^- 77)) (8а)

Ф(#, 77) = 77 - + (8, (# - 77)) + 1Гп {8Ч -п)) (86)

где У(, Уп - скорости сближения поверхностей под действием внешней нагрузки, 8(, <57 -случайные величины деформации выступов, й - функции остаточной деформации, случайные величины разрушения.

В разделе 3.3 вводятся расчетные формулы оценок основных характеристик контакта двух выступов, на основе которых приводятся оценки характеристик контакта и трения двух модельных поверхностей. В завершении раздела представлены оценки параметров шероховатости модельных поверхностей.

В разделе 3.4 приводятся результаты и обсуждение проведенного модельного эксперимента по трению двух плоских шероховатых стальных пластинок. Некоторые из рассчитанных характеристик трения и параметров шероховатости приведены на рисунках 5.

. А/А.г.

, рГГ. *>л • ■ Н

СИ

1ОС0 2300 ЗОСЗ 4-033 5200 6СС0

б)

Рисунок 5. Характеристики контакта и трения в зависимости от пути трения: а) относительная площадь контакта; б) силы трения: 1 - суммарная сила трения, 2 - молекулярная составляющая, 3 - деформационная составляющая; е) число контактов выступов: 1 - суммарное число контактов, 2 — число упругих контактов, 3 — число контактен, 1 число

пластичных контактов; г) средний линейный износ: 1 - поверхности £, 2 - поверхности Г).

На рисунке 6а представлено изменение среднеарифметического отклонения выступов поверхностей, на рисунке 66 гистограммы высот выступов поверхностей в установившемся модельном режиме трения.

U ; ! ; !

Villi

i\J 1 и

V\ \ : i !

1Ш0 Ж) 30DG 40СО

а)

шли

9G0

■O.t -O OS -0.36 -0 04 -0 С2 О 2 02 0.04 C OS 0 06 0.1 б)

Рисунок б. а) Зависимости среднеарифметических отклонений выступов поверхностей от пути трения; б) гистограммы высот выступов поверхностей в установившемся режиме трения (1 -поверхность 2 - поверхность т]).

Проведенный модельный эксперимент наглядно отражает характерные черты приработки поверхностей: уменьшение силы трения и износа поверхностей, переход от преобладания пластичных деформаций выступов к преобладанию упругих и упруго-пластичных деформаций. Кроме того, в модельном эксперименте наблюдается выход пары трения па установившийся (равновесный) режим трения. Результаты проведенного модельного эксперимента удовлетворительно согласуются с наблюдаемыми опытным путем величинами.

В разделе 3.5 приводится краткое описание программного средства, реализующего вычисления по модели (язык реализации Си, среда Visual Studio 2003).

В главе 4 предлагается анализировать изменение модельных поверхностей в процессе трения с помощью случайных процессов Маркова.

В разделе 4.1 проведен анализ изменения модельных поверхностей с помощью последовательностей Маркова. В разделе 4.1.1 указывается на свойства процесса трения, допускающие применение марковских моделей, и способ оценки характеристик процесса трения в марковских моделях.

В разделе 4.1.2 преобразование высот выступов поверхностей описывается случайной последовательностью Маркова. В каждый момент времени высоты выступов двух поверхностей подчиняются паре распределений. В результате взаимодействия поверхностей пара распределений высот выступов преобразуется, в результате последовательности взаимодействий получается последовательность пар распределений. Поскольку каждому распределению можно сопоставить случайную величину, то последовательности пар распределений ставится в соответствие последовательность двумерных случайных величин. Если £<0) и г;т - случайные величины, характеризующие распределение высот выступов поверхностей в начальный момент времени и = 0, то в следующий момент времени, при п = 1, высоты выступов поверхностей подчиняются распределениям случайных величин и т?'1', таких что:

Г гГП гпи

где Ч* и Ф - функции преобразования (7). Таким образом, для любого и:

[#<"»= ЧЧ£(">,!7<">)

Рассматривается предел последовательности определенной соотношением

(9), - двумерная случайная величина (£', ?/'), которая является фиксированной точкой оператора (Ч\ Ф):

о«)

Из соотношения (10) следует уравнение для плотности вероятности р'(х,у) случайной величины {д , г/'):

г

где Г - область значений случайной величины (£",7]') и р(л{х,у\и,ч) - условная

плотность вероятности случайной величины (¥(£",7*), при условии (£* ,77*).

В разделе 4.1.3 определены функции Ч' и Ф, в соответствии с (8):

ЧЧ#,7) = # + !Д,т,) - П( (ё( - г,)) - {6( <£ - п)) (12а)

«•(£ Ч) = П ~ (#, >1) + А, (<?, (£ " V)) + ^ (6Ч а - //)) (126)

где 5,(^,7) - случайные величины, определяющие сближение поверхностей,

8 (¿-г/) ~ случайные величины деформаций, -ф), -77)) -

случайные величины остаточных деформаций, ^ *7)), 1^,(5, (£-7)) - случайные

величины разрушений. При определении (12), последовательность {(¿гМ,7<"))}> определяемая (9) является последовательностью Маркова.

В разделе 4.1.4 рассматривается задача нахождения приближения к функции р'(х,у) (11). При решении задачи строятся две последовательности Маркова и {7'"'}, которые имеют своими пределами величины и т] , и удовлетворяют системе равенств, полученной из (9):

Из системы (13) следует система для функций плотности вероятности р({"*'Чх) и случайных величин и /7("+1):

С1 оо= ^»Ы^-р^мл

(14)

г„г»

где и Г'"*11 - области значений величин £("+1)и 7("+1), р¥,,{х\и) - условная плотность вероятности Ф«(|>+1>) = при I4"", - условная плотность

вероятности Ф"к1>(^1"+|)) = Ф^"1»,?/^) при В качестве приближения к р'{х,у)

принимается произведение р^*х)(х)- р^'Чу).

В разделе 4.2 рассматривается применение метода квадратур к решению уравнений (14), которое приводит к аналогичным уравнениям для стационарных распределений и простых конечных цепей Маркова:

{Р^^и^Р^-Р^

где матрицы условных вероятностей перехода Пу(-) и Пф(-) определяются функциями *Р и Ф (12) (1 < А,у' < N, N - количество состояний цепей):

(15)

= = к | = = у}р{7'"> = ]},

1П.(01, = к | = о=

= ,т}<"п) = к \ = = = л.

Рассматривается частный случай определения (12), в котором случайные величины и являются бинарными:

[0 1-Р,; ГО 1-Рм

М1 ^

Вероятности Р1( и Р,л выбираются так, чтобы сумма математических ожиданий м[^<"+1)]+м[^("'"')] уклонялась от нуля на малую величину и среднее значение нормальной силы было равно заданному значению ^. Система (15) с двумя указанными

условиями принимает вид:

Р=ПФ (?<"",?<",+,))-?„("+"

|р(л+1) | имеют пределы Р' и Р*, которые

(17)

Последовательности распределений {Р, удовлетворяют системе:

р; =пч,(р;,р,>р; р; =п Ф(р;.р-ур; м¡F(p(',p:)¡=:F ¡М£*]+ М[?;'] < е

В разделе 4.3 рассматривается определение приближений к предельным распределениям Р," и Р', удовлетворяющим системе (17). В разделе 4.3.1 предложен

численный метод, позволяющий последовательно находить пары распределений (Р^"+|),

Р,'"4'1)) удовлетворяющих системе (16). В разделе 4.3.2 представлены результаты

вычислений, некоторые из которых представлены на рисунках 7 (величина удельной силы /г

= —, где Р - внешняя сила, Ал -М-АхАу - номинальная площадь модельных

Л

поверхностей). „.•Г.?

003 0.07 0.С6 005 0.04 0.03 0.02 0.01

! ■

I ..... /А .

...........1...........1.....к\\......

............I............... ¡...: д'у...

.........1...........: I.....: \\

1 у1 / ! \

■ ■ ' ____ .

с

а)

0.06 007 0.® 0.05 0.04 003 0.02 0.01

-

(- * /'Л\

\ \ч~/ \ \ У

• • // \\

; / : \Д

: / ; \

0.05 ОС® 0.07 0.06 0.05 0 04 0 03 0.02 0.01

г^-»-1-,-,-.-

/ / \ \ 1

! / 7 \ \ :

/ / ; \Т;

: // : \\

; у ; Ч

!—1 ; 1 х4*^.. -

В) г)

Рисунок 7. Приближенные решения системы (17) при различней внешней удельной силе , 1 - Р^ ,

2 -Р,*: а) = 3 (М7я); б) = 6(М7д); в) дп = 9(М7о); г) 9„ = 12 (М7я).

В разделе 4.4 рассматриваются оценки характеристик установившегося режима трения модельных поверхностей. В разделе 4.4.1 представлен метод оценки, основанный на вычислении соответствующих математических ожиданий с помощью предельных

распределений Р« и Р*. В разделе 4.4.2 представлены вычисленные значения оценок характеристик установившегося режима трения для различных значений внешней удельной силы q„ (рисунки 8).

Рисунок 8. Зависимости характеристик установившегося режима трения от внешней удельной силы

<7„: а) относительная площадь контакта; б) среднее нормальное напряжение в контакте; в) силы трения: 1 - суммарная сила трения, 2 - молекулярная составляющая, 3 - деформационная составляющая; в) интенсивность среднего линейного износа поверхности: 1 - суммарная интенсивность, 2 - интенсивность остаточных деформаций, 3 - интенсивность разрушений; д) вероятность контакта выступов; е) среднеарифметические отклонения выступов: 1 - поверхности

£, 2 - поверхности Г).

В разделе 4.5 представлено краткое описание программного средства, которое позволяет вычислять предельные распределения и оценки характеристик установившегося режима трения в соответствии с разработанным методом (язык реализации Си, среда Visual Studio 2003).

В Заключении подведены итоги проведенной работы.

В Приложение вынесены: выписка из протокола заседания семинара по трению и износу машин Института машиноведения им. A.A. Благонравова РАН, акт о передаче и акт об использовании компьютерных программ моделирования и расчета процесса трения шероховатых поверхностей на кафедре технологии машиностроения Московского государственного горного университета, листинги программ для системы математических вычисления MatLab R2006 и листинги программ на языке Си.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Приведен краткий обзор используемых в настоящее время моделей шероховатых поверхностей, моделей контактного взаимодействия и методов оценки основных характеристик кошама поверхностей. Выявлены основные недостатки моделей.

2. Описана модель шероховатой поверхности в виде однородной гауссовой случайной функции. Выведены формулы характеристик локальных максимумов однородной изотропной гауссовой случайной функции: распределение высот локальных максимумов, условные математические ожидания средней и полной кривизны и отношения главных кривизн в точках локальных максимумов.

3. Построены оценки параметров модели: математического ожидания, дисперсии и значений второй и четвертой производных корреляционной функции в нуле.

4. В рамках гауссовой модели поверхностей построены оценки характеристик контакта и трения: фактической площади контакта и силы трения (коэффициента трения). Разработан пакет программ расчета оценок для системы математических вычислений MatLab R2006.

5. Построена вероятностная модель механического взаимодействия шероховатых поверхностей в процессе трения. В модели преобразование поверхностей в процессе трения описывается случайным процессом во времени. Модель позволяет наблюдать преобразование шероховатости поверхностей в процессе трения и вычислять оценки основных характеристик трения в процессе приработки и в установившемся режиме.

6. Реализовано программное средство, которое реализует вычисления по модели п.5 (язык реализации Си, среда Visual Studio 2003). Программное средство позволяет по заданным физическим свойствам материалов, исходным шероховатостям поверхностей и величине внешней нормальной нагрузки оценивать во времени характеристики процесса трения. С помощью программного средства проведен вычислительный эксперимент по моделированию процесса трения двух стальных пластинок.

7. Проведен анализ модели с помощью теории случайных процессов Маркова: преобразование модельных поверхностей представлено случайной последовательностью Маркова. Выведены уравнения для предельного (стационарного) распределения высот выступов поверхностей в установившемся режиме трения.

8. Разработан метод вычисления последовательности приближений к предельным распределениям. Предложены оценки основных характеристик установившегося режима трения (фактической площади контакта, силы и коэффициент трения, интенсивности износа, параметров шероховатости) с помощью предельных распределений.

9. Метод п. 8 реализован в виде программного средства (язык реализации Си, среда Visual Studio 2003). Программное средство позволяет вычислять предельные распределения и оценки характеристик установившегося режима трения в широком диапазоне значений внешней нагрузки.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

1. Тигетов Д.Г., Горицкий Ю.А. Марковская модель механического взаимодействия шероховатых поверхностей в процессе трения // Трение и смазка в машинах и механизмах, 2010, №3.- М.: Изд-во Машиностроение, 2010.- с. 4-13.

2. Тигетов Д.Г. О влиянии механизма разрушения на равновесную шероховатость при моделировании трения с помощью марковских случайпых процессов // Вестник МЭИ, 2008, №6.- М.: Изд-во МЭИ, 2008.- с. 119-128.

3. Тигетов Д.Г. Влияние корреляционной функции изотропной шероховатой поверхности в статистической модели трения на характеристики трения // Вестник МЭИ, 2007, №6.- М.: Изд-во МЭИ, 2007.- с.116-124.

4. Тигетов Д.Г., Горицкий Ю.А. Вероятностная модель механического взаимодействия шероховатых поверхностей // «Информационные средства и технологии», междунар. науч.-тех. конф., доклады том 2 - М.: Изд-во МЭИ, 2008 - с. 222-230.

5. Тигетов Д.Г. Дискретная модель трения плоских шероховатых поверхностей // «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», XIV междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспипантов. тез. докл. том 1.-М.: Изд-во МЭИ, 2008,— с. 284-285.

6. Тигетов Д.Г. Случайные функции равновесной шероховатости // «Математика. Компьютер. Образование», пятнадцатая конференция, тез. докл. секция 2.- М.: "PXD", 2008.-C.54-55.

7. Тигетов Д.Г. Метод расчета среднего значения силы упругости при деформации случайного профиля жесткой поверхностью // «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», XIII междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов, тез. докл. том 1.-М.: Изд-во МЭИ, 2007,- с. 357-359.

8. Тигетов Д.Г. Принцип вероятностных методов расчета физических величин процесса трения двух плоских поверхностей // «Научная сессия МИФИ-2006», сборник научных трудов, том. 3,- М.: Изд-во МИФИ, 2006. - с.77-78.

9. Тигетов Д.Г. Вероятностный метод расчета фактической площади контакта плоских поверхностей // «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», XII междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов, тез. докл. том 1- М.: Изд-во МЭИ, 2006 - с. 384-385.

Подписано в печать 5,0& ^Зак. 9% Тир. ЮО П.л. Полиграфический центр МЗИ(ТУ) Красноказарменная ул.,д.13

Введение.

Глава 1. Известные модели шероховатых поверхностей и методы оценки характеристик контакта.

1.1. Представление шероховатых поверхностей набором выступов правильной геометрической формы.

1.2. Представление шероховатых поверхностей случайными функциями.

1.3. Представление шероховатых поверхностей фракталами и префракталами.

1.4. Выводы.

Глава 2. Модель взаимодействия шероховатых поверхностей, представляемых случайными гауссовыми функциями.

2.1. Совместная плотность вероятности анизотропной однородной гауссовой функции и её производных в точке локального максимума.

2.2. Условные математические ожидания кривизны в точке локального максимума анизотропной однородной гауссовой функции.

2.3. Совместная плотность вероятности изотропной однородной гауссовой функции и её производных в точке локального максимума.

2.4. Условные математические ожидания кривизны в точке локального максимума изотропной однородной гауссовой функции.

2.5. Оценка значений корреляционной функции и производных в нуле.

2.5.1. Оценки в случае заданного вида корреляционной функции.

2.5.2. Оценки в случае неизвестной корреляционной функции.

2.5.3. Расчет оценок.

2.6. Расчетные формулы основных характеристик контакта и трения.

2.6.1. Контакт выступа в форме эллиптического параболоида и полупространства.

2.6.2. Контакт шероховатой поверхности и полупространства.

2.6.3. Контакт двух шероховатых поверхностей.

2.7. Оценка характеристик трения стальных пластинок.

2.8. Описание пакета программ расчета оценок характеристик трения.

2.9. Выводы.

Глава 3. Вероятностная модель механического взаимодействия шероховатых поверхностей в процессе трения.

3.1. Используемая физическая модель трения.

3.2. Модель механического взаимодействия поверхностей в процессе трения.

3.3. Расчетные формулы и параметры модели.

3.4. Результаты модельного эксперимента.

3.5. Описание программного средства «Friction Model».

3.6. Выводы.

Глава 4. Марковская модель преобразования шероховатых поверхностей в процессе трения.

4.1. Модель преобразования поверхностей в виде последовательности Маркова.

4.1.1. Марковское свойство процесса трения и расчет характеристик трения.

4.1.2. Представление преобразования поверхностей последовательностью Маркова.

4.1.3. Частный случай функций преобразования.

4.1.4. Определение предельных распределений методом последовательных приближений.

4.2. Модель преобразования поверхностей в виде цепей Маркова.

4.3. Определение предельных распределений в модели.

4.3.1. Вычислительный метод определения предельных распределений.

4.3.2. Результаты вычислений.

4.4. Оценка характеристик установившегося режима трения с помощью предельных распределений.

4.4.1. Оценка характеристик методом моментов.

4.4.2. Результаты расчета оценок.

4.5. Описание программного средства «Markov Chain».

4.6. Выводы. 214 Заключение. 216 Библиографический список. 218 Приложение А. Листинг программы вычисления оценок характеристик трения для системы математических вычислений MatLab R2006. 229 Приложение Б. Листинг программы, моделирующей взаимодействие поверхностей в процессе трения. 241 Приложение В. Листинг программы вычисления предельных распределений и вычисления оценок характеристик установившегося режима трения. 251 Приложение Г. Выписка из протокола заседания научного семинара по трению и износу машин Института машиноведения РАН им. А.А. Благонравова. 266 Приложение Д. Акт о передаче компьютерных программ моделирования и расчета процесса трения шероховатых поверхностей. 267 Приложение Е. Акт об использовании компьютерных программ моделирования и расчета процесса трения шероховатых поверхностей.

В данной работе рассматриваются вероятностные модели шероховатых поверхностей и их взаимодействия с учетом трения, позволяющие получить оценки характеристик контакта и трения.

Актуальность. Вопросы взаимодействия движущихся поверхностей встречаются в различных областях техники при проектировании и создании устройств и механизмов. В частности в электротехнике при расчете скользящих (движущихся) контактов, в триботехнике и машиностроении при расчете характеристик контакта и трения в самых различных узлах машин и механизмов.

Расчет характеристик контакта и трения является сложной инженерно-технической задачей, для решения которой в рамках различных подходов были разработаны специальные методы [7, 29, 49, 53, 79]. Невозможно с полной уверенностью утверждать, что существующие методы являются совершенными, а работа исследователей в этом направлении завершенной. Весьма актуальной является разработка альтернативных моделей, подходов и методов, позволяющих получить новые результаты.

Отдельного исследования заслуживает явление приработки (в частности, преобразование шероховатости поверхностей в процессе трения) и формирование равновесной шероховатости (шероховатости поверхностей в установившихся режимах трения). Многочисленные вопросы, связанные с моделированием приработки и описанием равновесной шероховатости, редко затрагивались исследователями в рамках сравнительно небольшого числа публикаций [88]. Основной причиной, по-видимому, является невозможность решения этих вопросов в рамках существующих моделей трения. Очевидна необходимость привлечения специальных моделей, включающих в себя фактор времени. Разработка таких моделей, вне всякого сомнения, является актуальной проблемой современной науки.

Современное состояние проблемы. На современном этапе развития трибологии процесс трения представляется сложным процессом физикохимической механики [8, 29, 71]. Описать процесс трения, не прибегая к разумным упрощениям, не представляется возможным, поэтому широкое распространение получили различные модели процесса трения [7, 8, 13, 29, 41, 49, 52, 53, 71, 79]. В каждой модели можно выделить две составляющие: модельное описание микрорельефа шероховатых поверхностей и модельное представление контактного взаимодействия поверхностей.

Модели шероховатых поверхностей. Вследствие особенностей формирования и эксплуатации многие реальные поверхности имеют микрорельеф, образованный многочисленными выступами и впадинами разных форм и размеров [52, 73]. Каждая поверхность обладает уникальным микрорельефом, который на практике не всегда удается определить (измерить), так что математическое описание реальной поверхности детерминированной функцией оказывается затруднительным.

В наиболее ранних моделях поверхности представлялись совокупностью выступов правильной геометрической формы, рассредоточенных на плоскости так, что между ними имелись промежутки (впадины) [15, 87]. В результате проведенных исследований оказалось, что наиболее подходящей формой выступов является полусфера, кроме того, достаточно просто описывается упругая и пластичная деформация выступов, ограниченных полусферами. Совокупность полусфер приводится в соответствии с реальной поверхностью с помощью опорной кривой - характеристикой распределения материала по высоте. В рамках модели были разработаны расчетные методики оценки характеристик контакта и трения поверхностей, значительный вклад в формирование и развитие которых внесли советские ученые — Демкин Н.Б., Крагельский И.В., Михин Н.М., Чичинадзе А.В., а также Громаковский Д.Г., Добычин М.Н., Дьяченко П.Е., Комбалов B.C., Свириденок А.И., Петроковец М.И., Чижик С.А. и многие другие. Модель шероховатых поверхностей в виде совокупности полусфер находит применение и в настоящее время.

Аналогичный подход использовался зарубежными исследователями с той разницей, что совокупность выступов модельной поверхности приводилась в соответствие с реальной поверхностью подбором вероятностного распределения параметров выступов [87, 100] (например, подбором распределения высоты выступов и радиуса кривизны в вершине выступов). Одними из первых такую модель предложили авторы Greenwood J.А. и Williamson J.B.P. [87], позднее данная модель развивалась и модифицировалась в работах многочисленных зарубежных авторов, среди которых можно особо отметить работы Bogy D.B., Chang W.R., Etsion I., Jeng Y.R., Peng S.R., Polycarpou A.A.

Существенно отличается от предыдущих подход, в котором шероховатые поверхности представляются двумерными случайными функциями (случайными полями) [36, 54, 73]. Такой подход является достаточно общим, поэтому добиться определенных результатов в настоящее время удалось только для гауссовых случайных функций. Класс гауссовых случайных функций допускает строгий вывод основополагающих соотношений, описывающих геометрические характеристики выступов: распределение высот выступов и кривизны в вершинах выступов. С помощью данных характеристик определяют характеристики контакта и трения поверхностей. Вопросы использования случайных функций для описания шероховатых поверхностей рассматриваются в работах Линника Ю.В. и Хусу А.П., а также Рудзита Я.А., Виттенберга Ю.Р., Семенюка Н.Ф. и Сиренко Г.А. Распределение высот и кривизны выступов рассматривали в своих работах Longuet-Higgins M.S., Nayak P.R., Семенюк Н.Ф. и Сиренко Г.А., в последующих работах этих авторов представлены и методы оценки характеристик контакта и трения.

В последнее время развивается гипотеза о возможности представления поверхностей фракталами [7, 80, 102]. Данная гипотеза возникла в результате опытных наблюдений, в результате которых было установлено, что выступы поверхности в свою очередь покрыты выступами меньших размеров. Использование фракталов для описания поверхностей тел встречается в работах Bhushan В., Majumdar A., Tien C.L., и кроме того в работах Warren T.L., Krajcinovic D. и Бородича Ф.М., Мосолова А.Б., Онищенко Д.А.

Автор выражает благодарность Сергею Борисовичу Главатских, сотруднику шведского Технического Университета Лулео, за полезные обсуждения современных моделей шероховатых поверхностей и ознакомление с современной иностранной литературой.

Модели контактного взаимодействия. Под контактным взаимодействием понимается совокупность процессов возникающих при относительном движении контактирующих поверхностей. В общем случае область контакта поверхностей состоит из большого числа отдельных областей контакта, вблизи которых в материале протекают механические, химические, тепловые и многие другие процессы [29, 41]. Дать строгое математическое описание всех процессов оказывается невозможно, поэтому нередко прибегают к разумным упрощениям, в результате которых воссоздается некоторая модель процессов, происходящих в отдельных областях контакта. В частности при контакте имеет место деформация, для определения которой используются приближенные решения контактных задач теорий упругости и пластичности [34, 35, 42, 76], а так же некоторые эмпирические формулы [18, 29, 74]. Помимо деформационных сил в области контакта присутствуют силы межатомного и межмолекулярного взаимодействия, для оценки которых используются известные факты физики твердого тела и зависимости, полученные эмпирическим путем [42]. Экспериментальные исследования помогают выяснить механизмы изнашивания материалов, в частности, определить количественные характеристики разрушения. Кроме того, широко используются полуэмпирические зависимости, приближенно описывающие поведение материалов с учетом свойств упрочнения и ползучести.

Современные модели шероховатых поверхностей являются адекватными, а результаты, полученные с помощью моделей взаимодействия, согласуются с действительностью. Однако существующие модели взаимодействия не отражают изменение поверхностей, вызываемые взаимодействием, поэтому существующие модели оказываются непригодными для моделирования процесса трения во времени и анализа установившихся режимов трения.

Приработка. Экспериментально установлено, что поверхности в процессе трения изменяются, что влечет за собой изменение значений характеристик контакта и трения, это явление в литературе получило название приработки. Известно также, что с течением времени изменения поверхностей принимают регулярный характер, приводящий процесс трения к некоторому установившемуся режиму трения (состоянию равновесия), при этом образовавшиеся микрорельефы поверхностей обладают шероховатостью, которую принято называть равновесной.

Явление приработки известно на протяжении более 50 лет, однако, в литературе крайне редко можно встретить исследования, посвященные анализу этого явления и определению параметров равновесной шероховатости.

Предлагаемая в работе модель взаимодействия шероховатых поверхностей позволяет моделировать преобразование шероховатости поверхностей в процессе трения и вычислять оценки параметров равновесной шероховатости.

Цель работы - разработка и исследование вероятностной модели взаимодействия шероховатых поверхностей в процессе трения, для описания процесса трения во времени, изучения установившихся режимов трения и оценки основных характеристик контакта и трения.

В рамках диссертационной работы ставились следующие задачи:

1. Разработка расчетной методики оценки характеристик контакта и трения шероховатых поверхностей в рамках существующего вероятностного подхода, использующего аппарат гауссовых случайных функций, и исследование качества получаемых оценок.

2. Разработка вероятностной модели взаимодействия шероховатых поверхностей в процессе трения, описывающей изменение поверхностей во времени.

3. Разработка статистических методов оценки характеристик контакта и трения шероховатых поверхностей в рамках разработанной модели.

4. Анализ установившихся модельных процессов трения и разработка метода оценки характеристик установившихся модельных процессов трения.

5. Разработка и реализация пакета прикладных программ и расчетных методик для оценки характеристик контакта и трения шероховатых поверхностей.

Методы исследования. Для решения поставленных задач применялся математический аппарат теории случайных процессов, теории вероятностей и математической статистики, а также методы математического моделирования, вычислительной математики, математического анализа и линейной алгебры.

Научную новизну работы составляют:

1. Вероятностная модель взаимодействия шероховатых поверхностей, описывающая процесс трения во времени. Модель позволяет по физическим свойствам материалов поверхностей, исходным шероховатостям поверхностей и величине внешней нагрузки вычислять оценки характеристик контакта и трения в процессе приработки и в установившемся режиме, производить оценку времени приработки.

2. Метод определения распределений высот выступов поверхностей в установившихся процессах трения в рамках модели п. 1.

3. Статистические оценки характеристик установившихся процессов трения, полученные с использованием указанных в п.2 распределений.

Достоверность результатов.

Достоверность результатов подтверждается строгим математическим и логическим выводом основных используемых соотношений. Результаты проведенного моделирования отражают известные явления, наблюдаемые в процессе трения шероховатых поверхностей, вычисленные оценки характеристик контакта и трения удовлетворительно соответствуют величинам, наблюдаемым на практике.

Практическая ценность работы заключается в разработанных программах, с помощью которых инженер-исследователь может проводить расчеты характеристик процесса трения, и в предложенных статистических методах оценки характеристик контакта и трения шероховатых поверхностей в переходных и стационарных процессах трения.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на научном семинаре по трению и износу в Институте Машиноведения имени А.А. Благонравова РАН. Разработанные модели обсуждались на международной научно-технической конференции «Информационные средства и технологии» и на научно-технических конференциях студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», проводимых ежегодно в Московском Энергетическом Институте (Техническом Университете).

Результаты диссертационной работы были изложены в 9 публикациях, из которых 3 статьи в профильных журналах, рекомендованных ВАК РФ к защите кандидатских диссертаций, и 6 тезисов докладов, опубликованных в сборниках трудов различных конференций, проводимых в Московском Инженерно-физическом Институте и в Московском Энергетическом Институте.

Краткая аннотация работы.

4.6. Выводы.

Преобразование высот выступов модельных поверхностей в процессе трения описывается изменением распределений для последовательности двумерных случайных величин, которая является последовательностью

Маркова. Рассматривается предел последовательности — двумерная случайная величина, для которой выписано уравнение для плотности вероятности.

Предложен метод нахождения приближения к плотности вероятности предельной случайной величины: метод состоит в последовательном вычислении стационарных распределений конечных цепей Маркова при некоторых дополнительных условиях.

Приведены результаты расчетов по предложенному методу: получены предельные распределения высот элементов модельных поверхностей в установившемся процессе трения.

Построены оценки характеристик установившегося процесса трения: фактической площади контакта, силы и коэффициента трения, интенсивности линейного износа и параметров шероховатости поверхностей: средней высоты, среднеарифметического и среднеквадратичного отклонений. Оценки имеют вид соответствующих математических ожиданий, которые вычисляются с помощью полученных предельных распределений.

Приведены результаты расчета оценок характеристик установившегося процесса трения в широком диапазоне внешней нагрузки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертационной работе предложены и апробированы вероятностные методы оценки характеристик процесса трения. Описан новый подход к анализу изменения поверхностей во времени и оценке характеристик трения в установившихся режимах. Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Приведен краткий обзор используемых в настоящее время моделей шероховатых поверхностей, моделей контактного взаимодействия и методов оценки основных характеристик контакта поверхностей. Выявлены основные недостатки моделей.

2. Описана модель шероховатой поверхности в виде однородной гауссовой случайной функции. Выведены формулы характеристик локальных максимумов однородной изотропной гауссовой случайной функции: распределение высот локальных максимумов, условные математические ожидания средней и полной кривизны и отношения главных кривизн в точках локальных максимумов.

3. Построены оценки параметров модели: математического ожидания, дисперсии и значений второй и четвертой производных корреляционной функции в нуле.

4. В рамках гауссовой модели поверхностей построены оценки характеристик контакта и трения: фактической площади контакта и силы трения (коэффициента трения). Разработан пакет программ расчета оценок для системы математических вычислений MatLab R2006.

5. Построена вероятностная модель механического взаимодействия шероховатых поверхностей в процессе трения. В модели преобразование поверхностей в процессе трения описывается случайным процессом во времени. Модель позволяет наблюдать преобразование шероховатости поверхностей в процессе трения и вычислять оценки основных характеристик трения в процессе приработки и в установившемся режиме.

6. Реализовано программное средство, которое реализует вычисления по модели п.5 (язык реализации Си, среда Visual Studio 2003). Программное средство позволяет по заданным физическим свойствам материалов, исходным шероховатостям поверхностей и величине внешней нормальной нагрузки оценивать во времени характеристики процесса трения. С помощью программного средства проведен вычислительный эксперимент по моделированию процесса трения двух стальных пластинок.

7. Проведен анализ модели с помощью теории случайных процессов Маркова: преобразование модельных поверхностей представлено случайной последовательностью Маркова. Выведены уравнения для предельного (стационарного) распределения высот выступов поверхностей в установившемся режиме трения.

8. Разработан метод вычисления последовательности приближений к предельным распределениям. Предложены оценки основных характеристик установившегося режима трения (фактической площади контакта, силы и коэффициент трения, интенсивности износа, параметров шероховатости) с помощью предельных распределений.

9. Метод п.8 реализован в виде программного средства (язык реализации Си, среда Visual Studio 2003). Программное средство позволяет вычислять предельные распределения и оценки характеристик установившегося режима трения в широком диапазоне значений внешней нагрузки.

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы 3-е изд., перераб. и доп.— М.: Издательской дом МЭИ, 2008. -672 с.

2. Беркович И.И., Громаковский Д.Г. Трибология. Физические основы, механика и технические приложения Самара: Изд-во СГТУ, 2000 - 268 с.

3. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов / пер. с англ.- М.: Мир, 1989.- 448 с.

4. Бородич Ф.М., Мосолов А.Б. Фрактальная шероховатость в контактных задачах // Прикладная Математика и Механика, том 56, №5.— М.: Наука,1992.- с.786-795.

5. Бородич Ф.М., Мосолов А.Б. Фрактальный контакт твердых тел // Журнал технической физики, том 61, вып. 9 — Л.: Наука, 1991- с. 50-54.

6. Бородич Ф.М., Онищенко Д.А. Фрактальная шероховатость в задачах контакта и трения (простейшие модели) // Трение и износ, том 14, №3-Гомель: Институт механики металлополимерных систем им В.А. Белого,1993.- с. 452-459.

7. Боуден Ф.П., Тэйбор Д. Трение и смазка твердых тел.— пер. с англ.— М.: «Машиностроение», 1968.-543 с.

8. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами М.: «Наука», 1987 - 320 с.

9. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей 6-е изд., перераб. и доп.— М.: «Наука», глав. ред. физ.-мат. лит., 1988.-447 с.

10. Головин Н.И., Иволгин В.И., Рябко Р.И. Вязкоупругоё восстановление различных материалов в области динамического наноконтакта // Письма в журнал технической физики, том 30, вып. 5.- С.-П.: Наука, 2004— с. 64-69.

11. Демкин Н.Б. Многоуровневые модели фрикционного контакта // Трение и износ, том 21, №2— Гомель: Институт механики металлополимерных систем им В.А. Белого, 2000 — с. 115-120.

12. Демкин Н.Б. Теория контакта реальных поверхностей и трибология // Трение и износ, том 16, №6- Гомель: Институт механики металлополимерных систем им В.А. Белого, 1995 — 1003-1025

13. Демкин Н.Б. Исследование контакта двух шероховатых поверхностей // Трение и износ, том 11, № 6— Гомель: Институт механики металлополимерных систем им. В.А. Белого, 1990.-е. 1002-1006.

14. Демкин Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей— М.: «Наука», 1970.-227 с.

15. Демкин Н.Б. Фактическая площадь касания твердых поверхностей М.: Изд-во АН СССР, 1962.

16. Дерягин Б.В., Абрикосова И.И. Прямые измерения молекулярного притяжения между твердыми телами в вакууме // Доклады АН СССР, том 108, №2.- М.: Изд-во АН ССРР, 1954.

17. Дрозд М.С., Матлин М.М., Сидякин Ю.И. Инженерные расчеты у пру го пластической контактной деформации М.: «Машиностроение», 1986.-224 с.

18. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика- 2-е изд., доп.- М.: «Высшая школа», 1992 — 304 с.

19. Качество поверхности деталей машин / Дьяченко П.Е., Вайнштейн В.Э., Карпова Т.М. О разработке проекта международного стандарта на шероховатость поверхности, сборник № 4 — М.: Изд-во АН СССР, 1959-с. 3-12.

20. Качество поверхности деталей машин / Пузанков В.В. Исследование оптимальной чистоты поверхности трущихся пар, сборник № 4— М.: Изд-во АН СССР, 1959.-с. 32-40.

21. Качество поверхностей деталей машин / Честнов A.JI. Влияние скорости скольжения и шероховатости цапфы на износ подшипников скольжения, сборник № 4.- М.: Изд-во АН СССР, 1959.- с. 13-31.

22. Качество поверхностей деталей машин / отв.ред. Дьяченко П.Е., сборник №3.- М.: Изд-во АН СССР, 1958.- с. 23-27.

23. Качество поверхностей деталей машин / отв.ред. Дьяченко П.Е., сборник №1.- М.: Изд-во АН СССР, 1956.- с. 5.

24. Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова / Пер. с англ.- М.: «Наука», глав. ред. физ.-мат. лит., 1970.

25. Кордонский Х.Б., Харач Г.М., Артамоновский В.П., Непомнящий Е.Ф. Вероятностный анализ процесса изнашивания — М.: «Наука», 1968 56 с.

26. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров М.: «Наука», 1977 - 832 с.

27. Крагельский И.В. О расчете коэффициента сухого трения по профилограмме поверхностей // Трение и износ в машинах, вып. 3 М.: Изд-во АН СССР, 1948.- с.24-36

28. Крагельский И.В., Добычин М.Н., Комбалов B.C. Основы расчетов на трение и износ,— М.: «Машиностроение», 1977 — 526 с.

29. Крамер Г. Математические методы статистики / пер. с англ.- М.: «Мир», 1975.-648 с.

30. Кульков С.Н. Применение фрактального подхода для триботехнического анализа // Трение и износ, том. 18, № 6.- Гомель: Институт механики металлополимерных систем им В.А. Белого, 1997.- с. 761-765.

31. Кэндал М., Стюарт А. Теория распределений / пер. с англ.- М.: «Наука», 1966.

32. Левин Б.М. Контактный метод измерения микрогеометрии поверхностей.-М.: «Машиностроение», 1950.

33. Лейбензон Л.С. Теория упругости.- М.: «Наука», 1947.

34. Лейбензон Л.С. Элементы математической теории пластичности М.-Л.: «Гостехиздат», 1943.

35. Линник Ю.В., Хусу А.П. Математико-статистическое описание неровностей профиля поверхности при шлифовании // Инженерный сборник АН СССР, № 20.- М.: Изд-во АН СССР, 1954.

36. Лукьянов B.C., Егоров И.В. Выбор режимов дискретного измерения параметров Ra и tp с заданной допустимой погрешностью //

37. Микрогеометрия и эксплуатационные свойства машин, вып. 3.— Рига: «Зинатне», 1974.-е. 82-89.

38. Методика расчетной оценки износостойкости поверхностей трения деталей машин / отв. испол. Блюмен А.В., испол. Семенова М.В., Шейвехман А.О., Эфрос Д.Г.- М.: Издательство стандартов, 1979.— 100 с.

39. Метрологические и технологические исследования качества поверхности / Кризберг Ю.Я., Рудзит Я.А. Аналитические исследования вероятностных характеристик выступов нерегулярной шероховатости поверхностей-Рига: «Зинатне», 1976.-е. 5-14.

40. Метрологические и технологические исследования качества поверхности / Рудзит Я.А. Исследование влияния вида корреляционной функции на точность определения параметров шероховатости поверхности Ra и tp.- Рига: «Зинатне», 1976, стр. 15-25.

41. Механика контактных взаимодействий, под. ред. Воровича И.И., Александрова В.М / Горячева И.Г., Чекина О.Г. Механика дискретного контакта.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001- с.419-437.

42. Михин Н.М. Внешнее трение твердых тел — М.: «Наука», 1977 — 222 с.

43. Найяк П.Р. Применение модели случайного поля для исследования шероховатых поверхностей // Проблемы трения и смазки, том 93, №3 — М.: Мир, 1971.-с. 85-95.

44. Петроковец М.И., Мышкин Н.К., Чижик С.А. Некоторые статистические модели фрикционного контакта // Трение и износ, том. 18, №2 — Гомель: Институт механики металлополимерных систем им В.А. Белого, 1997 — с. 147-154.

45. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы 2-е изд., доп.— М.: Наука, 1990.- 630 с.

46. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика.- 2-е изд., доп.- М.: «Наука», глав. ред. физ.-мат. лит., 1989.-320 с.

47. Рудзит Я.А. Микрогеометрия и контактное взаимодействие поверхностей-Рига: «Зинатне», 1975.-216 с.

48. Рыжов Э.В. Контактная жесткость деталей машин- М.: «Машностроение», 1966.

49. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций — 2-е изд, перераб. и доп.- М.:«Наука», глав. ред. физ.-мат. лит., 1968.- 464 с.

50. Свириденок А.И., Чижик С.А., Петроковец М.И. Механика дискретного фрикционного контакта —Минск: «Наука и техника», 1990 — 272 с.

51. Странные аттракторы (серия Математика) / Мандельброт Б. Фракталы и турбулентность: аттракторы и разброс, № 22 — М.: «Мир», 1981 — с. 4757.

52. Тененбаум М.М. Анализ изменений шероховатости обработанных поверхностей // Заводская лаборатория, №2 М.: «Тест-ЗЛ», 1950 - с. 204-207.

53. Тигетов Д.Г., Горицкий Ю.А. Марковская модель механического взаимодействия шероховатых поверхностей в процессе трения // Трение и смазка в машинах и механизмах, 2010, №3- М.: Изд-во Машиностроение, 2010.-е. 4-13.

54. Тигетов Д.Г. О влиянии механизма разрушения на равновесную шероховатость при моделировании трения с помощью марковских случайных процессов // Вестник МЭИ, 2008, №6— М.: Изд-во МЭИ, 2008.-е. 119-128.

55. Тигетов Д.Г., Горицкий Ю.А. Вероятностная модель механического взаимодействия шероховатых поверхностей // «Информационные средства и технологии», междунар. науч.-тех. конф., доклады том 2 — М.: Изд-во МЭИ, 2008.- с. 222-230.

56. Тигетов Д.Г. Дискретная модель трения плоских шероховатых поверхностей // «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», XIV междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов, тез. докл. том 1 — М.: Изд-во МЭИ, 2008.- с. 284-285.

57. Тигетов Д.Г. Случайные функции равновесной шероховатости // «Математика. Компьютер. Образование», пятнадцатая конференция, тез. докл. секция 2.- М.: "PXD", 2008.- с.54-55.

58. Тигетов Д.Г. Влияние корреляционной функции изотропной шероховатой поверхности в статистической модели трения на характеристики трения // Вестник МЭИ, 2007, №6 М.: Изд-во МЭИ, 2007.- с.116-124.

59. Тигетов Д.Г. Принцип вероятностных методов расчета физических величин процесса трения двух плоских поверхностей // «Научная сессия МИФИ-2006», сборник научных трудов, том. 3.- М.: Изд-во МИФИ, 2006. с.77-78.

60. Тигетов Д.Г. Вероятностный метод расчета фактической площади контакта плоских поверхностей // «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», XII междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов, тез. докл. том 1-М.: Изд-во МЭИ, 2006.- с. 384-385.

61. Тихомиров В.П. Контактное взаимодействие фрактальных поверхностей // Трение и износ, том 18, № 3— Гомель: Институт механики металлополимерных систем им В.А. Белого, 1997.-е. 369-374.

62. Тихонов В.И., Хименко В.И. Выбросы траекторий случайных процессов М.:Наука, 1987 - 304 с.

63. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы.— М.: «Советское радио», 1977.-488 с.

64. Трение, износ и смазка / под. ред. Чичинадзе А.В.- М.: «Машиностроение», 2003.— 576 с.

65. Федер Е. Фракталы / пер. с англ.- М.: «Мир», 1991- 260с.

66. Хусу А.П., Витенберг Ю.Р., Пальмов В.А. Шероховатость поверхностей, теоретико-вероятностный подход.- М.: «Наука», глав. ред. физ.-мат. лит., 1975-344 с.

67. Шапошников Н.А. Механические испытания металлов- М.: «Машиностроение», 1954.

68. Ширяев А.Н. Вероятность.-М.: «Наука», 1980.-е. 581.

69. Штаерман И .Я. Контактная задача теории упругости- M.-JL: Гостехиздат, 1949.-271 с.

70. Archard J.F. Elastic deformation and the laws of friction // Proceedings of Royal Society, Series A, vol. 243, № 1233.- 1957 p.190-205.

71. Borodich F.M., Onishenko D.A. Similarity and Fractality in the Modelling of Roughness by a Multilevel profile with Hierarchical Structure // International Journal of Solids and Structures, №36.- "Pergamon", 1999.- p. 2585-2612.

72. Bhushan B. Contact mechanics of rough surfaces in tribology: multiple asperity contact // Tribology Letters, vol. 4 1998 — p. 1-35.

73. Bhushan В., Majumdar A. Elastic-Plastic Contact Model For Bifractal Surfaces// Wear, vol. 153.-"Elsevier", 1992.-p. 53-64.

74. Bhushan В., Majumdar A. Fractal Model of Elastic-plastic Contact Between Rough Surfaces // Journal of Tribology, vol. 113 "Elsevier", 1991- p. 1-11.

75. Bush A.W., Gibson R.D., Thomas T.R. The Elastic contact of a rough surfaces // Wear, vol. 35.- "Elsevier", 1975.- p. 87-111.

76. Chang W.R., Etsion I., Bogy D.B. Adhesion Model for Metallic Rough Surfaces // Journal of Tribology, vol. 110.-"Elsevier", 1988.-p. 50-55.

77. Chang W.R., Etsion I., Bogy D.B. Static Friction Coefficient Model for Metallic Rough Surfaces // Journal of Tribology, vol. 110.- "Elsevier" 1988-p. 57-63.

78. Chang W.R., Etsion I., Bogy D.B. An Elastic-Plastic Model for the Contact of Rough Surfaces // Journal of Tribology, vol. 109.- "Elsevier" 1987.- p. 257263.

79. Francis H.A. Application of Spherical Indentation Mechanics to Reversible and Irreversible Contact Between Rough Surfaces // Wear, vol. 45 — "Elsevier", 1977.-p. 221-269.

80. Greenwood J.A., Williamson J.B.P. Contact of Nominally Flat Surfaces // Proceedings of Royal Society, Series A, vol. 295.- "Elsevier" 1966.- p. 300319.

81. Jeng Y.-R., Lin Z.-W., Shyu S.-H. Changes of Surface Topography During Running-In Process // Journal of Tribology, vol. 126 "Elsevier", 2004 - p. 620-625.

82. Jeng Y.-R., Peng S.R. Elastic-Plastic Contact Behaviour Considering Asperity Interactions for Surface With Various Height Distributions // Journal of Tribology, vol. 128.- "Elsevier", 2006.- p. 245-251.

83. Longuet-Higgins M.S. Statistical Properties of an Isotropic Random Surface // Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, Mathematical and Physical Sciences, Vol. 250, № 915- JSTOR, 1957.- p. 157-174.

84. Longuet-Higgins M.S. The Statistical Analysis of a Random Moving Surface // Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, Mathematical and Physical Sciences, vol. 249, № 966.- JSTOR, 1957 p. 321-387.

85. Majumdar A., Tien C.L. Fractal Characterization and Simulation of Rough Surfaces // Wear, vol. 136.- "Elsevier", 1990.- p. 313-327.

86. McCool J.I. Non-Gaussian effects in micro-contact // International Journal of Machine Tools of Manufacturer, vol. 32 1992 - p. 115-123.

87. McCool J. I. Comparison of Models for the Contact of Rough Surfaces // Wear, vol. 107.-"Elsevier", 1986.-p. 37-60.

88. Nayak P.R. Random Process Model of Rough Surfaces in Plastic Contact // Wear, vol. 26.-"Elsevier", 1973.-p. 305-333.

89. Nayak P.R. Random Process Model of Rough Surfaces // Journal of Lubrication Technology, July "Elsevier", 1971.- p. 398-407.

90. O'Callaghan M., Cameron M.A. Static Contact under load between nominally flat surfaces in which deformation is purely elastic // Wear, vol. 36.-"Elsevier", 1976.-p. 79-97.

91. Ogilvy J.A. Numerical Simulation of Friction Between Contacting Rough Surfaces // Journal of Applied Physics, vol. 24 IOP Publishing Ltd., 1991-p. 2098-2109.

92. Onions R.A., Archard J.F. The Contact of Surfaces Having a Random Structure // Applied Physics, vol. 6.- 1973.- p. 289-304.

93. Tayebi N., Polycarpou A.A. Modeling the Effect of Skewness and Kurtosis on the Static Friction Coefficient of Rough Surfaces // Tribology International, vol. 37.-"Elsevier", 2004.-p. 491-505.

94. Tworzydlo W.W., Cecot W., Oden J.Y., Yew C.H. Computational Micro- and Macroscopic Models of Contact and Friction: Formulation, Approach and Applications // Wear, vol. 220.- "Elsevier", 1998 p. 113-140.

95. Warren T.L., Krajcinovic D. Random Cantor Set Models for the Elastic-Perfectly Plastic Contact of Rough Surfaces // Wear, vol. 196.- "Elsevier", 1996.-p. 1-15.

96. Whitehouse D.J., Archard J.F. The Properties of Random Surfaces of Significance in their Contact // Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Mathematical and Physical Sciences, Vol. 316, № 1524 1970 - p. 97-121.

97. Yu N., Pergade S.R., Polycarpou A.A. Static Friction Model for Rough Surfaces with Asymmetric Distribution of Asperity Heights // Journal of Tribology, vol. 126.- "Elsevier", 2004.- p.626-629.

98. Yu N., Polycarpou A.A. Combining and Contacting of Two Rough Surfaces with Asymmetric Distribution of Asperity Heights // Journal of Tribology, vol. 126.- "Elsevier", 2004.- p. 225-232.