автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов сверхизлучения многоуровневых сред

р V В ОА

I 7. & Московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М.В.ЛОМОНОСОВА

Факультет Вычислительной математики и кибернетики Кафедра математической физики

На правах рукописи

ШИТЛИН СЕРГЕЙ ЛЕОНИДОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ СВЕРХИЗЛУЧЕНИЯ МНОГОУРОВНЕВЫХ СРЕД

Специальность 05.13.18- теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1997

Работа выполнена на кафедре математической физики факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор A.B. Андреев кандидат физико-математических наук, ст. преп. М.В. Федотов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наукЯрунин B.C. кандидат физико-математических наук Потапов М.М.

Ведущая организация: Вычислительный центр РАИ.

Защита диссертации состоится "

час. мин. на заседании Диссертационного

совета К.053.05.87 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, факультет Вычислительной математики и кибернетики, ауд..

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан " эсЗ "__199_^г.

Ученый секретарь Диссертационного совету F/053.j35.87 Говоров В.М. -W7

/

1 .ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

В нелинейной оптике нестационарные когерентные процессы относятся к числу наиболее сложных, и в то же время наиболее интересных явлений. Появление сверхкоротких импульсов, длительность которых меньше времен затухания поляризации не только газообразных, но и твердотельных сред, стимулировало изучение когерентного взаимодействия излучения с веществом. Нелинейность этих процессов часто не позволяет до конца провести их аналитическое исследование. В этом случае численное моделирование является чуть ли не единственным методом дальнейшего изучения явлений. Поэтому в диссертационной работе большое внимание уделено разработке высокоэффективных численных методов решения задач, возникающих при моделировании нестационарных когерентных процессов.

Сверхизлучение (СИ) занимает среди когерентных явлений особое место. Первые теоретические работы Дике появились задолго до экспериментального наблюдения этого явления в оптических системах, когда стала понятна его практическая ценность. Как показали сравнения экспериментальных и расчетных профилей интенсивности СИ, детальные модели динамики процесса должны выходить за рамки двухуровневого приближения. В связи с этим, в данной работе рассмотрены дополнительные возможности улучшения параметров импульсов, генерируемых многоуровневыми и многокомпонентными средами. С другой стороны, иногда одномерные модели недостаточно полно отражают динамику процесса, поэтому в настоящей работе исследованы также многомерные задачи, для которых разработаны методы численного решения.

Цели диссертационной работы.

Построение математических моделей динамики СИ многоуровневых и многокомпонентных сред. Исследование корректности постановки возникающих при этом задач. Разработка численных алгоритмов решения одномерных и многомерных задач динамики СИ. Постановка задач оптимизации и оптимального управления, разработка методов их решения. Проведение численного эксперимента с целью исследования возможности управления параметрами (пиковой интенсивностью, длительностью, временем задержки) и формой импульсов СИ, а также соотношением интенсивностей различных линий при многоцветном СИ. Моделирование на ЭВМ динамики процессов СИ, кооперативного и

вынужденного комбинационного рассеяния, возникающих в трехуровневых молекулярных средах при оптической накачке. Анализ влияния поперечной неоднородности на динамику процессов СИ двухкомпонентных сред. Интерпретация результатов численного счета.

Научная новизна.

Доказана глобальная разрешимость начально-краевых задач, описывающих динамику СИ многоуровневых и многокомпонентных сред. Разработаны методы повышенного порядка точности решения задач пространственно-временной динамики СИ. Исследована задача отражения когерентного импульса от резонансной среды, разработан численный метод решения, доказаны теоремы его сходимости. Рассмотрены вопросы оптимизации и оптимального управления для одномерных задач динамики СИ, исследованы конечно-разностные методы решения оптимизационных задач. На основе полученных численных методов разработан комплекс программ, с помощью которого выполнены численные исследования предложенных моделей. Впервые было показано, что учет отражения на концах активной области может существенно изменить динамику СИ трехуровневой среды. Показано, что в молекулярных средах использование резонансной инфракрасной (ИК) подсветки позволяет трансформировать импульсы двухцветного СИ в последовательность импульсов, число и длительность которых определяется амплитудой импульса подсветки. Впервые предложен метод идентификации процессов кооперативного и вынужденного комбинационного рассеяния, основанный на измерении частотных спектров импульсов. Дано объяснение различий во временах задержки СИ, генерируемых попутно с импульсом накачки и навстречу ему.

Научная и практическая ценность работы.

Предложена математическая модель трехуровневого СИ в резонаторе, которая позволила исследовать возможности управления параметрами импульсов двухцветного СИ. Разработаны численные методы решения одномерных и многомерных задач динамики СИ, написаны соответствующие программы. Предложена математическая модель СИ, кооперативного и вынужденного комбинационного рассеяния молекулярных сред с оптической накачкой, которая дала хорошее соответствие с результатами экспериментов для молекулярного газа СНзБ [25,26]. Результаты,

полученные в диссертации, могут быть использованы при постановке экспериментов по наблюдению СИ.

Основные результаты работы.

1)Разработаны и исследованы математические модели динамики СИ многоуровневых, многокомпонентных и поперечно-неоднородных сред.

2)Получены численные методы повышенного порядка точности решения одномерных задач динамики СИ. Разработан и обоснован сеточный метод решения многомерной задачи динамики СИ поперечно-неоднородных сред.

3)На основе созданного комплекса программ проведены численные исследования и получены следующие результаты:

а)предложен новый критерий идентификации процессов СИ, вынужденного и кооперативного комбинационного рассеяния по спектру импульса;

б)получен метод управления спектром двухцветного СИ путем изменения амплитудных коэффициентов отражения на границах среды;

в)решена задача оптимизации пространственного распределения плотности компонент двухкомпонентной сверхизлучающей среды с точки зрения получения импульса максимальной интенсивности.

Апробация работы. Публикации.

По теме диссертации опубликовано 2 статьи [1,2]. Результаты диссертации докладывались на конференции, проводимой в рамках юбилейных мероприятий, посвященных памяти Р.В.Хохлова [3] и на научно-исследовательском семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа содержит 145 страниц текста, включая список литературы из 107 наименований, и 21 рисунок. Диссертация состоит из 5 глав и списка литературы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ В главе 1 дается краткий обзор работ, посвященных когерентным взаимодействиям излучения с многоуровневыми средами и математическим методам их исследования.

Глава 2 посвящена разработке математических моделей динамики СИ, а также исследованию корректности постановки соответствующих задач.

В §1 введены основные математические модели, исследуемые далее в работе: одномерные по пространственной переменной уравнения динамики СИ многоуровневых сред, система уравнений, описывающая процесс отражения когерентного импульса от плоского слоя резонансных атомов, а также система уравнений, для моделирования процессов СИ двухкомпонентных сред с поперечной неоднородностью.

В §2 рассмотрена одномерная система уравнений, описывающая динамику СИ трехуровневых сред. Были получены законы сохранения, интегралы движения. Найдены априорные оценки достаточно гладкого решения задачи для случая, когда поставлены условия отражения на границах среды.

В §3 рассмотрены условия корректности математической постановки одномерных задач динамики СИ многоуровневых сред. Изучаемый класс задач описывается полулинейными системами гиперболических уравнений, которые могут быть записаны следующим образом:

дй .дй г, ...

— +А — = /(х,1,и) (1)

81 дх

Здесь й= {м,,...,ггп}-вектор неизвестных функций. Для системы (1) поставлены начальные и граничные условия, в результате чего была получена начально-краевая задача. Исходя из конкретного вида правых частей была построена мажорантная система.

В §4 рассмотрены условия существования классического решения начально-краевой задачи, а также найдены условия, при которых решение обладает заданной гладкостью.

В §5 показано, что для задач динамики СИ теорема существования решения произвольной гладкости имеет место на любом временном интервале.

В главе 3 рассматриваются вопросы оптимизации и оптимального управления для задач СИ многоуровневых сред. При этом была исследована система уравнений, являющаяся частным случаем начально-краевых задач главы 2, которая имеет характеристики трех типов: х=сопз1, х±1=соп51:.

Итак, в §1 поставлена следующая задача:

Здесь Л-диагональная матрица с числами Л* на диагонали, причем

Хк=0, к=Ы2,...,М. Обозначим

й+ = = {%,+!,...,«^-1}

Поставим начальные и граничные условия следующего вида: й(х,0) = 7;(у1°(х);72о,х)де[0>Х],

й+(0,0 = Я+(^(0>У2+>фе[0,Г], (3)

Здесь V, (х, {)у2 (х),у3 (/), у4 (х),у2° (/),у2+ - векторные

управления. На множестве допустимых управлений ставится задача минимизации функционала

X т

1(й) = \<р(й(х$),х)с1х + Д^0(гГ(о,г)д) + +

о о (4)

+ \\ф(и{х,{),х,1^с1(

г

Поскольку оптимальным управлением часто оказывается негладкая функция, для более точной постановки задачи вводится понятие обобщенного решения задачи.

В §2 развит конечно-разностный метод решения сформулированной задачи оптимального управления. Идея конечно-разностных методов заключается в замене исходной дифференциальной задачи каким-нибудь дискретным аналогом и рассмотрении серии дискретных задач оптимизации, каждая из которых характеризуется некоторым параметром дискретизации И . В §2 для задач оптимального управления, поставленных в §1, было показано, что при ||/г|—»0 последовательность оптимальных

управлений дискретных задач в некотором смысле сходится к оптимальному управлению непрерывной задачи.

В качестве дискретного аналога дифференциальной задачи была выбрана симметричная разностная схема, записанная на равномерной сетке:

а>„ = {(х^у. х} = А = /А,Л = (5)

X

Поставлена задача минимизации функционала следующего вида:

4(»/,)=2>Ыл О),;Й)А +

+ И(<Ро(ч(ол)л) + <р£(и;(хл)д))и + £Ф(щОълЬюиу (6) 1 а

Для случая, когда известно, что оптимальное управление непрерывной задачи кусочно гладкое, показано, что оптимальное управление дискретной задачи сходится при Ь->0 к оптимальному управлению непрерывной задачи по функционалу и имеет место оценка:

О </(*„)-/(Г) <СА (7)

где г, ¿¿-решения дифференциальной и разностной задач соответственно, отвечающие оптимальным управлениям.

Глава 4 посвящена разработке численных методов решения задач динамики СИ. Благодаря специфической структуре уравнений удается построить консервативные методы высокого порядка точности. Однако, поскольку исходные задачи являются нелинейными, для решения разностных уравнений применяются итерационные методы.

В §1 развиты многосеточные численные методы решения одномерных задач динамики СИ повышенного порядка точности, рассматриваеися следующая начально-краевая задача: дик дик _ . . ..

1, (8)

~Г= К (а),к = ,...,N,0= {м,,...,^}, (х,0 6 Р = (0,Х) X (О,Г]. ох

Введем обозначения:

и* ГГ = {Мдг1+,.....= {и„1,...,и„}.

Для системы (8) поставлены начальные и граничные условия следующего вида:

Г<{х,о) = р(х), >Г( 0,/) = ?♦('), й-(Х,1) = д-0). (9)

Опишем численный метод решения (8), (9). Введем равномерную сетку:

= {(.х„0:х, = /й, 1„=пИ,И=~,Т= М,И} (10)

На ней определим следующую аппроксимацию начально-краевой задачи (8), (9):

к \ 2

Л

Пусть начальные и граничные условия аппроксимируются точно:

(у+Уо=?т,1=о,...л, 02)

оп*. =гт,1=о,-л-

На основе численного метода (11), (12) при достаточной гладкости начальных и граничных функций разработаны многосеточные методы повышенного порядка точности, для которых доказаны теоремы сходимости, найдены оценки погрешности.

В §2 разработан численный метод решения многомерной задачи, описывающей процессы отражения когерентного импульса от двухуровневой резонансной среды.

Рассмотрен случай, когда угол падения вй является малым. Введем область

Р = РххР,хР:,Рх = {х:х 6(О,X]}, Р, = [и 6(0,Г]}, РТ = е(0,г)}

Соответствующая система уравнений, определенная в Р, может быть приведена к безразмерному виду: да да (с? а

— + — + IV

д1 дх '

дг1

+ Т2а =/> + ф,/,г),

^■ + (а + 1А)р = А(а + В)Я, (13)

ох

= -4Яе|

(р{а + В)'\

2/ГА0(х,{),

дЯ д( где

«>(4#+Г'В = (14)

4 ' д1 дх \д22 ) 22 + И22К '

Здесь

N 2ла>т:г\т1\ с2г г \ , \

Р= -г = —, Г = *81п(б0, А = (<а - а>0)т (15)

Д-отстройка, орелаксация поляризации, со- частота падающего импульса, а>о- резонансная частота, а- поле внутри среды, р-поляризация, Я- разность паселённостей, А0 (*,/) -амплитуда падающей волны. Неизвестные функции а, р, Я зависят отх, г. Для системы (13) в главе 2 §1 получены следующие краевые условия:

—-»Га|(*,Г,г = О) = 0,

дг )

^ + гТа)(хЛг = г) = О,

Для корректности задачи поставлены начальные и граничные условия:

а(х,1 = 0,г) = ав(х,г), р(х,1 = 0,г) = р0(х,г),

= 0 ,г)= ^(х,г), а{х = О,Г,г) = Введена сетка со' = ах х со, х &>2', где

®х = {х = хп»*« = "г," = О Л ■■■ •, , * = X/.

ю, = {* = 1,, = /г, / = 0,1,...,N., тЫ, = Т}, (18)

= = 2. = (у - 1/2)л, у = од, = гДл^ -1)}

На сетке ¿о' определена разностная аппроксимация системы (13):

^ + (<х + /Д)<р) = /?{а+ £)</?), (19)

= Ке((р'){а + В)), п = / = \,...,Ы„ у = -1.

Здесь обозначено произвольная сеточная функция,

определенная на сетке со'):

V = у;+1(гу), V = ^(гД V* = = 03(У + V*), (у) = 0.5(£ + У) ,

Ага -оператор второй разностной производной.

Краевые условия (16) будем аппроксимировать со вторым порядком:

^ 2 ' (20) \ +'Г 2 -0,¡ = 0,...,N„11 = 0,.,.,ЫХ.

Поскольку узлы сетки г0 и лежат вне области определения дифференциальной задачи, начальные и граничные условия аппроксимируются со вторым порядком разложением по формуле Тейлора. Доказана следующая Теорема.

Если решение разностной задачи существует до слоя включительно, а решение дифференциальной задачи еС33-'(Рх хР1 хрД />4 (гладкость точного решения

определяет гладкость начальных, граничных функций, а также функции Л0(х,/)), то в случае, когда Ь'~г/т<С, т/Ь2 ¿К равномерно по х и И, где С>0, К>0- заданные константы, погрешность решения разностной задачи 8й удовлетворяет неравенству:

К^оИ1 (21)

Здесь С0- константа, не зависящая от Ь и т, у/=0(т2+/з2)- погрешность аппроксимации, а сеточная норма ||»||, определяется следующим образом:

)и = тах\\ди ¡¡¿им,"

О йп<Мл

■ч л":-.:1.: г

Методом сжимающих отображений установлено, что решение разностной задачи продолжимо до любого момента времени при достаточно малых Л и -с, а разностную задачу можно решать, применяя итерационный процесс в сочетании с методом прогонки: [¿Г+1 - а+

г

+ + = Д<а + В)ДО]*, (23) ^^^ = -4)]*[<« + « = I.....= I.....У = I.....- 1,

[(г;)"]* = 0.5^ и + ,[(«)]' = 0.5 (м + а).

Глава 5 посвящена описанию результатов численного моделирования процессов СИ, при котором использовались методы, разработанные в теоретической части работы.

В §1 исследована возможность управления параметрами СИ трехуровневых сред. В численном эксперименте использовалось одномерное по пространственной координате приближение. Соответствующая система уравнений имеет вид: дпг

= + + р\аа2а)~ (ЛЛ* + Р1Ла)) (24)

~ = -ГЛ + £((/>,иа,„ + А>1а) + (Рэа<4 + р1а1а))

"'(А, "А2))/з3а = р1аа2а +р'2ааы + (п2 -п)а3а + -'Аг)Рг* =("з -"2К» ~Р1,аы-РхАа "^- + («1 = ("з -"1)«!» -ЙА. + />2и«3«

Здесь апа -амплитуды электромагнитных волн на переходах 3<-»1 («=1), 3<н>2 (и=2), 2<-И (л=3); рпа- поляризации волн, соответствующие л,,л2,я3- населенности первого, второго и третьего уровней соответственно. Индекс а нумерует волны, распространяющиеся вдоль {а -1) и против (а = 2) оси х.

Уравнения (24) записаны в безразмерных величинах; ап = т/Т^"} и Л„ = г А(оп есть обезразмеренные релаксации поляризации и отстройки,

__2лсоъ\(13,|2 N 7г _ 2ята32|ау2 N _2па1Х\й^ N

1 Й V 1 Й V 3 Й К Члены /70п моделируют спонтанные источники и отвечают за процессы инициирования излучения.

В данном параграфе показана возможность управления параметрами (пиковой интенсивностью, длительностью, временем задержки) и формой импульсов СИ, а также соотношением интенсивностей различных линий при многоцветном СИ.

§2 посвящен исследованию динамики процессов СИ, кооперативного и вынужденного квазирезонансного комбинационного рассеяния в молекулярных газах при оптической накачке импульсом СС^-лазера. Результаты численного моделирования показали, что путем изменения площади импульса накачки, длины активной среды и давления мы можем контролировать параметры генерируемых импульсов.

В §3 проведено исследование динамики СИ двухкомпонентных составных сред. Двухкомпонентная среда состоит из смеси атомов двух типов: поглощающих, которые в начальный момент времени находятся в основном состоянии, и усиливающих, которые первоначально возбуждены. Ранее было показано [а], что при оптимальной концентрации поглощающей компоненты удается значительно увеличить интенсивность и сократить длительность генерируемых импульсов. В §3 показано,

что введением в двухкомпонентную среду небольшого отрезка однокомпонентной усиливающей среды возможно еще на порядок увеличить интенсивность.

Рассмотрена среда, состоящая из двух частей: в области 0 < х < х, находится однокомпонентная

усиливающая среда, а в области х, <х<\- двухкомпонентная. На рис. 1 показана пиковая интенсивность импульса СИ на правом конце среды. Из рисунка видно, что существует некоторое оптимальное значение параметра х,, при котором интенсивность выходного импульса максимальна.

Кроме того, применением конечно-разностного метода решения задачи оптимизации, разработанного в теоретической части работы, найдено оптимальное пространственное

распределение концентрации

поглощающих атомов с точки зрения получения импульса максимальной интенсивности на правом конце среды. Это распределение, нормированное на концентрацию усиливающих атомов, показано на рис. 2.

В §4 рассмотрена динамика СИ двухкомпонентных поперечно-неоднородных сред. Соответствующая система уравнений имеет вид:

да. да. д'а. ,— 1 + Я

+ ^ + + =Л — +

да2 да2 д2а2 _ 1 + Д _

1?Г~ 2 =Рг +Чг + 2

2

г + г„

д!

д1

дЯ дг

дг *

ЗД, 2 =РЛлк<

(«2 +'Д)?1,2 =Ргау7г, 2

Безразмерные параметры On, ßn, у, 5 выражаются следующим образом:

число Френеля. Безразмерные плотности инверсии населенностей первой, изначально возбужденной, (Л) и второй, изначально поглощающей, (г) компонент нормированы следующим образом:

где N/V- плотность числа атомов первой компоненты. Следовательно, -1<R<1, a -r0<r<r0, где Го-концентрация поглощающей компоненты.

При численном моделировании использовалась разностная схема, разработанная в теоретической части работы для задачи отражения когерентного импульса от резонансной среды при Г=0 (глава 5, §2). В одномерном случае, т.е. при у= 0, было показано [Ь], что существует оптимальная величина расстройки До резонансных частот компонент. Как показали теоретические исследования и численные эксперименты, До ~ а.г/2. При у =0 зависимость /о(Д) является симметричной. При у> 0 указанная симметрия пропадает. Такое поведение /о(Д) объясняется различиями в поперечной структуре поля при Д = ± До.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.

a.Andreev A.V., Polevoy P.V. Superradiance of two-component media. Quantum Optics, v.6, p.57-72,1994.

b.Андреев A.B., Полевой П.В. Сверхизлучение двухкомпонентных квазирезонансных сред. Квантовая электроника, т. 23, стр. 647-652,

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ. 1. Андреев A.B., Шитлин С. Л. "Управление параметрами сверхизлучения трехуровневых сред", Квантовая электроника, том 22, № 12, стр. 1203-1206,1995.

(26)

где Т2ал -время поперечной релаксации, с/;^ -дипольные моменты резонансных переходов для первой и второй компонент, Г = (I2/ХЬ-

(27)

1996.

2.Andreev A.V., Sheetlin S.L. "Superradiance and Raman scattering in three-level molecular system". Infrared Physics Technology, vol. 37, №7, p.733-739, 1996.

3.Шнтлпп С.Jl. "Задача отражения когерентного импульса от резонансной среды", Математическое моделирование, том 9, №5, стр. 17-27, 1997.

4.Результаты диссертации докладывались на конференции, проводимой в рамках юбилейных мероприятий, посвященных памяти Р.В.Хохлова. Хохловские чтения, научно-мемориальная конференция, доклад № 2, стр. 18, 1996.