автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование сверхизлучения и процессов коллективной спиновой динамики

804608039

Харебов Петр Владимирович

МОДЕЛИРОВАНИЕ СВЕРХИЗЛУЧЕНИЯ И ПРОЦЕССОВ КОЛЛЕКТИВНОЙ

СПИНОВОЙ ДИНАМИКИ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 СЕН 2010

Пермь-2010

004608089

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Пермского Государственного Университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Хеннер Виктор Карлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Эдуард Беньяминович Фельдман

доктор физико-математических наук, профессор

Абдуллаев Абдулла Рамазанович

Ведущая организация: Институт механики сплошных сред УрО РАН

Защита состоится «21 » сентября 2010г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д212.188.08 в ГОУ ВПО «Пермский государственный технический университет» по адресу: 614990, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29, ауд. 423-6 главного корпуса.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан « » августа 2010г.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Диссертация посвящена моделированию процессов сверхизлучения и коллективной релаксации в спиновых системах. Актуальность исследований обуславливается необходимостью создания реалистической модели коллективной динамики спиновых систем, возможными практическими применениями процессов коллективной релаксации, а так же необходимостью теоретического описания результатов экспериментов.

Сверхизлучением называют когерентное спонтанное излучение квантов энергии с интенсивностью, пропорциональной квадрату числа излучателей. Для наблюдения этого явления и связанной с ним сверхбыстрой релаксации к равновесному состоянию в спиновых системах, образец помещают в резонатор -пассивный высокодобротный контур. Предварительно, образец, содержащий магнитные спиновые моменты, поляризуют в сильном постоянном магнитном поле. Затем магнитное поле инвертируют, и спиновая система оказывается в неравновесном состоянии. Система релаксирует к основному состоянию без воздействия внешних переменных полей, в отличие от ситуации обычного магнитного резонанса. Идея, что резонатор может, в некоторых случаях, существенно уменьшить время релаксации, впервые была обсуждена в работе Блом-бергена и Паунда [ 1 ].

Существующие теоретические анализы сверхизлучения были выполнены с использованием феноменологических уравнений, область применимости которых весьма ограничена. Кроме того, магнитное поле, наведенное в резонаторе при релаксации магнитных моментов к равновесному состоянию, до этого вычислялось только при определенных допущениях. Эти факторы приводят к тому, что существующие работы не могут полно описать соответствующие явления. Поэтому основная часть диссертации посвящена моделированию спиновой динамики с помощью реалистичных гамильтонианов с последовательным учетом диполь-дипольных взаимодействий. Уравнения движения для магнитных моментов, в сочетании с уравнением Кирхгоффа для наведенного в резонаторе тока, позволяет описать динамику коллективного поведения спиновых систем и объяснить ряд экспериментально наблюдаемых явлений.

Сверхизлучение в высоко поляризованных ядерных системах было обнаружено несколькими экспериментальными группами, и в диссертации проводится, там, где это возможно, качественное сравнение численного моделирования релаксации в спиновых системах с результатами этих экспериментов.

Исследование коллективной магнитной релаксации в нано- и ферромагнетиках, понимание деталей механизмов релаксации в таких системах, актуально для возможных практических применений, в частности, для создания новых устройств быстрой магнитной записи, сверхбыстрых детекторов. Если сверхизлучение в наномолекулярных кристаллах в последние годы активно изучается хотя бы в феноменологических подходах [2,3,4], то теория сверхизлучения в ферромагнитных системах практически отсутствует.

Цель и задачи диссертационной работы

Основная цель диссертационной работы заключалась в разработке реалистической математической модели процессов сверхизлучения и коллективной

релаксации в спиновых системах. Работа включает решение следующих основных задач:

• Моделирование коллективной динамики спиновых систем на основе феноменологических уравнений, основанных на модифицированных уравнениях Блоха. Изучение сверхизлучательного поведения системы ядерных или электронных спинов при различных параметрах модели. Соискатель самостоятельно вывел уравнения движения, провел моделирование спиновой динамики, интерпретировал результаты.

• Построение микроскопической модели сверхизлучения без введения феноменологических времен релаксации, но с учетом дипольных спин-спиновых взаимодействий. Численное моделирование релаксации в высоко поляризованных спиновых системах. Исследование роли дипольных взаимодействий для различных пространственных конфигураций спиновых систем. Исследование способов управления коллективной динамикой с помощью дополнительных внешних полей. Соискатель участвовал в постановке задачи моделирования микроскопической модели, задачи исследования роли геометрии расположения спинов для одномерных, двумерных и трехмерных образцов, интерпретации результатов, проводил основные вычисления, самостоятельно поставил и проанализировал задачу об управлении коллективной динамикой с помощью дополнительных внешних полей.

• Моделирование когерентной динамики в наномагнетиках. Моделирование коллективных процессов при различных геометриях спиновых систем, в том числе гексагональных молекулах, слоях. Соискатель участвовал в постановке задачи и обсуждении результатов, проводил основные вычисления.

• Моделирование сверхизлучения в ферромагнетиках на основе уравнения Ландау-Лившица с учетом дипольных взаимодействий. Соискатель проводил основные вычисления, участвовал в интерпретации результатов,

Научная новизна

• Впервые численно моделируется задача коллективной релаксации и сверхизлучения для спиновых систем с помощью полного уравнения Кирхгоффа, описывающего наведенный в пассивном резонаторе ток.

• Впервые для задач релаксации в резонаторе изучается роль пространственного расположения спинов относительно магнитных полей.

• Впервые исследована релаксация в ферромагнитных спиновых системах при учете коллективизирующей роли резонатора и микроскопическом описании дипольных взаимодействий.

Практическая ценность диссертации

• Описание коллективных процессов и знание о механизмах релаксации в нано-и ферромагнетиках могут быть использованы при конструировании устройств

сверхплотной и/или сверхбыстрой магнитной записи, сверхбыстрых детекторов магнитных полей.

• Предложенная модель коллективной релаксации описывает существующие эксперименты и позволяет определить условия наблюдения сверхизлучения в планируемых экспериментах. В частности, в диссертации делаются предложения по условиям наблюдения явления магнитных биений в разбавленных системах [5] и условиям для обнаружения сверхизлучения в графене [А8].

• Созданная компьютерная программа используется как для изучения спиновой динамики для обширного класса явлений, так и применяется в учебном процессе.

Достоверность. Достоверность результатов обеспечивается согласованностью результатов математического моделирования с аналитическими решениями для предельных случаев, качественным совпадением многочисленных численных расчетов с результатами экспериментов.

Апробация работы. Полученные в работе научные и практические результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

• Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», ПГУ, Пермь, 2006.

• Конференция «Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая)», Институт механики сплошных сред Уро РАН, Пермь, 2007.

• Международная конференция «Moscow International Symposium on Magnetism», МГУ, Москва, 2008.

• Международная конференция «International Conference on Theoretical Physics-Nanophysics», Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 2008.

в Международная конференция «International Workshop on Laser Physics», Тронхейм, Норвегия, 2008.

• Международная конференция «IV Euro-Asian Symposium "Trends in MAGnetism" EASTMAG-2010», институт физики металлов УрО РАН, Екатеринбург, 2010.

Полностью диссертация обсуждалась:

• На городском семинаре по физике конденсированного состояния вещества, ПГУ, Пермь, 2010. Председатель семинара - д. ф.-м. н., проф., декан физ. факультета А.Н. Захлевных.

• На семинаре кафедры «Математическое моделирование систем и процессов» ПГТУ, Пермь, 2010. Председатель семинара - д. ф.-м. н., профессор П.В. Трусов.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ, в том числе 4 в журналах, входящем в список изданий, рекомендованных ВАК РФ, Список опубликованных работ приведён в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и библиографического списка использованных источников из 84 наименований. Общий объём работы составляет 118 страниц, в том числе 30 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, аргументирована научная новизна исследований, обсуждаются решаемые в диссертации задачи, показана практическая значимость полученных результатов. Дана краткая характеристика основных разделов диссертационной работы.

В первой главе рассмотрение сверхизлучения проводится с помощью феноменологических уравнений, основанных на уравнениях Блоха, с добавлением членов, описывающих взаимодействие магнитного момента с магнитным полем, генерируемым в пассивном резонаторе.

Большинство ранее проведенных теоретических исследований радиочастотного сверхизлучения были выполнены с использованием феноменологических уравнений Блоха, описывающих временную эволюцию полного магнитного момента спиновой системы. В этих уравнениях релаксация описывается феноменологическими временами: временем спин-решеточной релаксации Т1 и временем спин-спиновой релаксации Т2.

В нашей модели эволюция индивидуального микроскопического магнитного момента описывается уравнением блоховского типа совместно с уравнением Кирхгоффа для индуцированного в резонаторе тока, что позволяет объяснять на феноменологическом уровне когерентные эффекты в спиновых системах.

Задача ставится следующим образом. Рассматривается система из N магнитных моментов, расположенных в постоянном внешнем магнитное поле Н0, направленном вдоль оси Ог. Магнитные моменты имеют спиновую природу. Особенностью задачи, отличающей её от стандартной задачи спиновой динамики, является наличие резонатора, создающего магнитное поле обратной связи Н, индуцируемое движением магнитных моментов спиновой системы. Ось резонатора расположена перпендикулярно полю Я0 и принята за ось Ох системы координат.

Первоначально система находится в неравновесном состоянии, её полный магнитный момент отклонен от равновесного направления, определяемого постоянным магнитным полем. В процессе возвращения к равновесию прецесси-рующая намагниченность наводит электрический ток в резонансной катушке, магнитное поле которой оказывает обратное воздействие на спиновую систему. Общее магнитное поле, действующее на спиновую систему

9/=Ще,+Нех, (1)

включает постоянное внешнее магнитное поле #0 и поле Н, образуемое резонатором.

Динамика спиновых моментов может быть описана системой уравнений:

сИ

ей

(2)

где индекс к принимает значения от 1 до N (число спинов при моделировании), параметры:

(3)

% - величина характеризует стационарную намагниченность вдоль оси Ог. Параметр рн определяет относительную величину наведенного в резонаторе поля. Параметры Р\, Рг, определяют относительный масштаб времени продольной и поперечной релаксации. Время в этих уравнениях обезразмерено частотой ларморовой прецессии а0:

где а0^\у5\Н0) (4)

где у5 - ё—---гиромагнитное отношение, # - множитель Ланде, е - заряд,

2тс0

т - масса частицы, с0 - скорость света в вакууме.

Величина рн описывается уравнением Кирхгоффа:

¿2Рн , Фн

<Й2 ей

Г N2

Аяр

(5)

Верхний знак в уравнениях (2) и (5) соответствует частицам с положительным зарядом {у$ > 0), нижний - с отрицательным < 0).

Коэффициенты в (5) выражаются через параметры контура:

«%£, щ

с0

(О =—*

___В-Ш.

41с' н0 '

где (2 - добротность контура, ц - фактор заполнения резонатора образцом, р = N/7 ~1/д3- плотность спинов, а - характерное расстояние между спинами, V - объем образца, /л - у^Б - величина индивидуального магнитного момента, 5 - безразмерное спиновое число, Я,С,Ь - сопротивление, емкость и индуктивность резонатора соответственно.

Система ЗЫ дифференциальных уравнений (2) совместно с дифференциальным уравнением второго порядка (5) решается численно с помощью метода Рунге-Кутта-Фельберга 4-5 порядков с автоматическим выбором шага.

На рис. 2 показана типичная инверсия суммарной намагниченности 1 ы

=—к равновесному состоянию для // = 800 частиц со спином

5 = 1/2 при следующих значениях параметров: параметры резонатора -ю0, /? = 8-10~4, параметры спин-спиновой и спин-решеточной

у = 5-Ю-2, со,

релаксации - рх =10~5, £ = 1/2, р2 = 5 -10~3, начальная поляризация £г(0) = -0.95. Эти значения соответствуют обычному для экспериментов внешнему полю #0~3'Ю3Гс и следующим частотам и временам релаксации: для электронов «-1.7-107Гц/Гс) - 0о~5-Ю1ОГц, 7| ~10~бс, Т2 ~10~8с; для протонов (у, ® 4.6-103Гц/Гс) - су0 ~107Гц, ~10"2с, Т2 ~10"4с.

0.15 0.1 0.05

Рн°

500

100

200

300

400

500

а)

б)

Рис. 2. Зависимость (а) ¿-компоненты намагниченности (б) наведенного в катушке поля рн от безразмерного времени 1.

На рис. 2 показан переворот ¿-проекции макроскопического магнитного момента 5. и соответствующее наведенное в катушке поле. Формирование сфазированного состояния спиновой системы происходит в течение времени задержки Г0, в данном случае приблизительно равном 10 ~ 120 . Подобное время задержки четко наблюдается в экспериментах [6]. После чего начинается быстрый сверхизлучательный переворот, при котором наблюдается резкий рост наведенного поля и острый пик сверхизлучения. Такой отдельный пик сверхизлучения предшествует остаточным спиновым осцилляциям. Результаты нашего моделирования выглядят очень близкими к результатам Бозингера и др [7,8]. Такие осцилляции, как было показано в диссертации, для разведенных систем с

небольшой спиновой плотностью, в соответствии с экспериментом [5], могут быть достаточно продолжительными.

В диссертации было исследовано влияние всех параметров модели на коллективную релаксацию. Были найдены условия, при которых сверхизлучение возможно. Если критерии сверхизлучения выполняются, длительность процесса затухания может быть значительно меньше, чем спин-спиновые и спин решеточные времена релаксации.

Показано, что параметр у определяет диссипацию в системе. При малых значениях параметра у происходят множественные перевороты намагниченности; при больших значениях - время релаксации увеличивается, множественные осцилляции отсутствуют. На рис. 2 значение параметра диссипации у достаточно велико, чтобы минимизировать остаточные колебания. Параметр /? определяет величину наведенного в резонаторе поля обратной связи. Значение постоянного поля Я0 определяет характерные времена происходящих процессов. При достаточно большом его значении времена релаксации меньше чем времена спин-спиновых взаимодействий Т2, что является одним из условий для наблюдения сверхизлучения. Другими условиями являются: близость частоты резонансного колебательного контура сог и ларморовой частоты со0 {а0-аг), достаточно большая связь спинов с резонатором (большое значение параметра J3) и достаточно большая начальная поляризация 5г(0). В обычных экспериментах по магнитному резонансу поляризации недостаточны для наблюдения сверхизлучения.

Во второй главе проводится численное моделирование когерентных эффектов в- поляризованных спиновых системах на основе микроскопической модели без введения феноменологических времен релаксации, но с учетом ди-польных спин-спиновых взаимодействий.

Рассматривается система из N спинов, соответствующие операторы (безразмерные) удовлетворяют коммутационным соотношениям

На временах t, существенно меньших времени спин-решеточной релаксации 7J, динамика системы поляризованных спинов описывается микроскопическим гамильтонианом, состоящим из зеемановской и диполь-дипольной частей:

к к

1 ■+ + (7)

1 а **вД L

+ 2 4«m) + e^S™ + 4 SW0}.

Здесь ¡jb - магнетон Бора, ys - гиромагнитное отношение, а- характерное межспиновое расстояние, = S^ ± iSyk\ Первые два слагаемых в (7) отвечает взаимодействиям спиновых моментов с полями Н0 и H соответственно.

Третье слагаемое отвечает за межспиновые дипольные взаимодействия. Коэффициенты акт, скт, е1т - стандартные коэффициенты дипольного гамильтониана, которые зависят только от взаимного расположения спинов в пространстве [9].

Стандартный подход в теории ядерного магнитного резонанса заключается в использовании теории возмущений при условии малости величины |#гос/#0|, где Н}х - локальное дипольное поле. Однако, при изучении коллективных эффектов, таких, как сверхизлучение, когда кратковременно возникает сильное поле обратной связи, использование теории возмущений становится неадекватным поставленной задаче. В нашем подходе динамика спиновой системы моделируется с помощью уравнений Гейзенберга:

¡Ь^=\&к\й]. (8)

dt L J

Решая микроскопические уравнения движения, полученные в результате коммутации гамильтониана (7) с оператором мы можем описать спиновую динамику системы.

Уравнения движения слишком сложны, и их невозможно решить аналитически. Для решения этих уравнений мы используем метод численного моделирования, к которому часто прибегают при моделировании спиновых систем и в котором спины рассматриваются как классические векторы S = (Sx,Sy,S2) в

приближении среднего поля. Дифференциальные уравнения движения решаются численно с помощью метода Рунге-Кутта-Фельберга 4-5 порядков. Поскольку уравнения движения имеют первый порядок по времени, начальные проекции спинов S определяют направления спинов во все последующие моменты времени. Начальная поляризация системы задается с помощью процедуры, основанной на методе Монте-Карло, когда для заданной начальной поляризации случайным образом задаются начальные пространственные ориентации спинов. Чем больше начальная поляризация, тем меньше различия в результатах для различных начальных конфигураций. В ходе численных экспериментов изучалось влияние параметров системы и внешних воздействий на эволюцию системы, в том числе на время задержки и на длительность импульса излучения.

Существуют несколько величин, описывающих излучение спиновой системы, которые могут быть экспериментально измерены: наведенное движущимися спинами магнитное поле в катушке H(t) и, в принципе, интенсивность излучения I(t). Интенсивность может быть представлена в виде суммы I ~ 1'тс ^cah •

^Zit^)2). (9)

->с0 к \ / ЗСо к*т

Первый член определяет интенсивность некогерентного излучения, второй -когерентного. Последняя величина пренебрежимо мала, когда фазы всех S^

случайны, и существенна для когерентных состояний. Относительный вклад когерентного излучения в полную интенсивность можно охарактеризовать с помощью коэффициента когерентности [10]:

С«* = /«*//. (10)

Возможность разделения некогерентных и когерентных членов, допустимо только в микроскопической модели.

Отметим также, что в микроскопической модели существенна роль пространственного расположения спинов относительно друг друга и внешних полей. Расположение спинов влияет на диполь-дипольные взаимодействия.

В нашей модели интенсивность дипольных взаимодействий характеризуется параметром ра, зависящим от характерного расстояния между спинами а\

п

Рй- з ' с>п а

(П)

а)

в)

30000

I 20000

10000

!» М

____

б)

100

200

Г)

Рис. 3. Зависимость г-компоненты намагниченности & и интенсивности I от безразмерного времени ? при значениях параметра спин-спинового взаимодействия: р0 = 0.01 (пунктир), ра = 0.5 (сплошная линия), рп = 0.1 (штрих-пунктир).

Один из результатов моделирования показан на рис.3. Структура вычислительной решетки - куб, на каждой стороне по 5 спинов, всего спинов в системе

N = 125. Параметры резонатора (/ = 5-10" , <аг= а0, /7 = 0.0125) подобраны так, чтобы обеспечить несколько уменьшающихся со временем пиков сверхизлучения. На рис. 3, б-г приведены графики интенсивности излучения, соответствующие инверсии намагниченности на рис 3, а. Интенсивность измеряется в единицах 2^/д/Зсц и вычисляется по формуле / = . Видно, что при

т,к

увеличении относительной роли диполь-дипольных взаимодействий (увеличении значения параметра ра), количество пиков излучения уменьшается, и излучение становится все менее интенсивным. При этом диполь-дипольные взаимодействия начинают играть роль на меньших временах и мешают быстрой сверхизлучательной инверсии, разрушая когерентизацию системы.

На диполь-дипольные взаимодействия влияет и структура образца. В диссертации рассмотрены одномерные («нити»), двумерные и трехмерные образцы. Показано, что спин-спиновые взаимодействия наиболее разрушительны для когерентного движения в случае расположения магнитных моментов вдоль внешнего поля. Максимальная скорость переворота достигается, когда все спины расположены вдоль оси У - перпендикулярно и катушке, и внешнему полю.

Результаты моделирования позволили установить область значений параметров, в которой в спиновой системе происходит когерентная релаксация.

Для того чтобы учесть малые неоднородные уширения поля Нй и диполь-дипольных взаимодействий, присутствующие в реальных экспериментах [5], в модели был осуществлен переход во вращающуюся систему координат (вращающуюся вокруг поля /То с ларморовой частотой Щ =\/5\Н0), что позволяет в процессе счета исключать из уравнений движения доминирующее слагаемое, связанное с®0,и понизить погрешность вычислений.

В диссертации промоделированы биения магнитного поля в катушке, недавно открытые в эксперименте [5]. Указаны условия, при которых биения возникают.

В третьей главе исследуется возможность сверхизлучательной инверсии намагниченности в магнитных наномолекулах. Данные материалы отличают довольно большие значения полного спина 5 молекулы, порядка 10. Такие значения полного спина приводят к сильным межчастичным взаимодействиям, ухудшающим когерентность спиновой динамики.

Анизотропия в наномагнетиках является важным фактором, влияющим на коллективную спиновую релаксацию. Величина одноосной анизотропии в нашей модели определяется параметром анизотропии I), а соответствующий гамильтониан имеет вид [3]:

= (12)

к

Слагаемое (12) для наномагнетиков добавляется к основному гамильтониану (7). В диссертации проанализировано влияние поля анизотропии и влияние структуры вычислительной решетки (геометрии образца) на коллективную инверсию намагниченности. Показано, что для коллективной релаксации необходимо преобладание внешнего постоянного магнитного поля над полем анизотропии.

Далее в работе рассмотрено коллективное поведение спинов при различных геометриях образцов. Рассмотрены молекулярные слои, рассмотрено сверхизлучательное поведение при различном количестве слоев и их ориентации относительно магнитных полей. Рассмотрены гексагональные молекулы.

Интерес к гексагональным молекулам связан с тем, что планируется [А8] провести эксперимент по обнаружению сверхизлучения, используя в качестве образца графен.

Проанализировано поведение системы под действием дополнительных внешних полей. Показано, как внешние поля влияют на эволюцию системы и как ей можно управлять. Рассмотрено включение, выключение внешних постоянных полей, накачка переменными полями.

В четвертой главе моделирование коллективных эффектов в ферромагнетиках производится с помощью уравнений Ландау-Лившица с учетом диполь-ных полей. Изучается ферромагнитный резонанс в присутствии резонатора.

Рассматривается система однодоменных частиц ферромагнетика в условиях, когда суперпарамагнетизм отсутствует. Этого можно добиться либо, понизив температуру системы, либо используя частицы достаточно большого объема. В качестве базовой модельной системы рассматривается немагнитная матрица (носитель), по объему которой равномерно распределено большое число N одинаковых ферромагнитных наночастиц. При такой степени дисперсности любой обычный ферромагнетик или феррит находится в однодоменном состоянии.

На каждую частицу действует поле > которое в рассматриваемом случае включает в себя:

1) внешнее постоянное поле Н01| Ог;

2) поле одноосной анизотропии

На = (НА 1 м) (Н"> на = / М, (13)

где п — единичный вектор оси легкого намагничивания, Ел — энергия одноосной магнитной анизотропии частицы;

3) поле обратной связи Н=(//,0,0), генерируемое током в катушке (резонаторе).

4) дипольное магнитное поле Н^ - частицы взаимодействуют друг с другом через парный диполь-дипольный потенциал.

Направляя ось анизотропии частицы вдоль поля Н0, имеем и = (0,0,1), так что компоненты эффективного поля принимают вид

Я^Н+Н^Н^Щ+м^/м+Н*). (14)

Магнитодинамика частиц, входящих в рассматриваемую систему, описывается уравнением Ландау-Лифшица, которое для к -й частицы с магнитным

моментом имеет вид

^ = (15)

где а — безразмерный параметр релаксации. Поле Я« в уравнении — это полное магнитное поле, действующее на к -ю частицу, которое определяется формулой (14).

Поскольку для уравнения (15) выполняется принцип сохранения модуля магнитного момента, можно перейти к компонентам единичных векторов, согласно . Тогда, подставляя (14) в уравнение(15), получаем

(16)

+а

Локальное дипольное магнитное поле Н^ в точке расположения к -й частицы определяется через энергию парного диполь-диполъного взаимодействия

N

к,т

к>т

. кт 'кт

посредством

ди.

ой

дм{

(к)

-I

4Уи)-3

т*к

~Т~Гкт гкт

(»<■т)гы)

(17)

(18)

где — радиус-вектор, соединяющий частицы кит.

В диссертации промоделирована релаксация при параметрах системы, отвечающих различных физическим ситуациям. Показано, что релаксация типа Ландау-Лившица не является когерентной. Рассмотрены два режима коллективной релаксации. Первый режим, сверхбыстрая релаксация, на временах порядка 10'" сек, может быть актуальным для сверхбыстрой магнитной записи. Второй, медленный режим, может использоваться для исследования спин-спиновых взаимодействий в ферромагнетиках.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В приложении описывается программа, написанная в ходе подготовки диссертационной работы, позволяющая моделировать спиновую динамику изученных в диссертации процессов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Построены и исследованы феноменологическая и микроскопическая, основанная на реалистичных гамильтонианах, модели динамики спиновых систем в резонаторе. Показано, что существуют условия, при которых релаксация за счет резонансного контура будет доминировать.

2. Проведено численное моделирование коллективной спиновой динамики образца, помещенного в резонатор. Исследовано влияние всех параметров системы на коллективную релаксацию. Найдены условия, при которых релаксация к основному состоянию будет когерентной.

3. Рассмотрено влияние геометрии образца на коллективную релаксацию. Рассмотрены одномерные, двумерные, трехмерные образцы различных конфигураций с различным расположением относительно внешних полей.

4. Показано, что сверхизлучение наномолекулярных систем в резонаторе имеет особенности, связанные с сильными межспиновыми взаимодействиями и анизотропией. Были найдены оптимальные параметры системы для максимально быстрой релаксации к основному состоянию.

5. Исследован вклад разных механизмов релаксации к основному состоянию ферромагнитных материалов, помещенных в резонатор. Установлено, что релаксация за счет механизма Ландау-Лившица не является когерентной.

6. Создана программа, которая может быть использована для изучения когерентного спинового движения в исследовательских задачах, а также в учебном процессе при изучении динамики спиновых процессов в магнитных полях.

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1) Bloembergen N., Pound R.V. Radiation Damping in Magnetic Resonance Experiments // Phys. Rev. - 1954 - Vol. 95 - P. 8-12.

2) Davis C.L., Kaganov I.V., Henner V.K. Superradiation in magnetic resonance // Phys. Rev. В-2000-Vol. 62-P. 12328-12337.

3) Yukalov V.l., Yukalova E.P. Coherent Nuclear Radiation // Физика элементарных частиц и атомного ядра - 2004 - Vol.35, No.3. - P. 640-708.

4) Chudnovsky E.M., Garanin D.A. Superradiance from Crystals of Molecular Nanomagnets // Phys. Rev. Lett. - 2002 - Vol. 89 - P. 157201.

5) Marion D. J.-Y., Huber G., Berthault P., Desvaux H. Observation of noise-triggered chaotic emissions in an NMR-maser // ChemPhysChem. - 2008 - Vol. 10 -P. 1395-1401.

6) Киселев Ю.Ф., Прудкогляд А.Ф., Шумовский A.C., Юкалов В.И. Обнаружение явления сверхизлучения системой ядерных магнитных моментов // ЖЭТФ - 1988 - № 94 - вып.2 - С. 344.

7) Bosiger P., Brun E., Meier D. Solid-State Nuclear Spin-Flip Maser Pumped by Dynamic Nuclear Polarization // Phys. Rev. Lett. - 1977 - Vol. 38 - P. 602-605.

8) Bosiger P., Brun E., Meier D. Ruby NMR laser: A phenomenon of spontaneous self-organization of a nuclear spin system // Phys. Rev. A. - 1978 - Vol. 18 — P. 671— 684.

9) Абрагам А., Гольдман M. Ядерный магнетизм: порядок и беспорядок. М.: Мир, 1984. Т. 1-2.

10) Belozerova T.S., Henner V.K., Yukalov V.I. Coherent effects in dipole spin systems // Phys. Rev. В - 1992 - Vol. 46 - P. 682-686.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ А1) Харебов П.В., Хеннер В.К. Моделирование сверхизлучения в молекулярных наномагнетиках // Тезисы докладов конференции молодых ученых «неравновесные процессы в сплошных средах» - Пермь 2006 - С. 8485.

А2) Харебов П.В., Хеннер В.К. Моделирование сверхизлучения в молекулярных наномагнетиках // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая): сборник статей. - Екатеринбург, 2007. - Ч. 3. - С. 254-257.

A3) Yukalov V.I., Henner V.K., Kharebov P.V., Yukalova E.P. Coherent spin radiation by magnetic nanomolecules and nanoclusters // Laser Phys. Lett. -2008 - Vol. 5 - P. 887-893.

A4) Yukalov V.I., Henner V.K., Kharebov P.V. Coherent spin relaxation in molecular magnets // Phys. Rev. В - 2008 - Vol. 77 - P. 134427-8.

A5) Henner V.K., Yukalov V.I., Kharebov P.V., Yukalova E.P. Collective spin dynamics in magnetic nanomaterials // Journal of Physics: Conference Series -2008 - Vol. 129 - P. 012015-5.

A6) Henner V.K., Kharebov P.V., Yukalov V.I. Superradiation from molecular nanomagnets // Solid State Phen. - 2009 - Vol. 152 - P. 249-252.

A7) Henner V.K., Kharebov P.V., Raikher Yu.L. Collective magnetic moment relaxation in an assembly of ferromagnet nanopaticles // IV Euro-Asian Symposium "Trends in MAGnetism": Nanospintronics. Program and abstract. - 2010 - P. 299.

A8) Henner V.K., Kharebov P.V., Sumanasekera G. Enhanced spin relaxation in nanociystals of different geometries // IV Euro-Asian Symposium "Trends in MAGnetism": Nanospintronics. Program and abstract. - 2010 - P. 304.

Подписано в печать 12.08.2010г. Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ № 1240/2010.

Издательство

Пермского государственного технического университета 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к.113 тел. (342) 219-80-33

Оглавление.

Введение.

Глава 1. Феноменологическое описание коллективных процессов.

1.1 Процессы сверхизлучения.

1.2 Модифицированное уравнение Блоха в присутствии обратной связи.

1.3 Уравнение для поля обратной связи.

1.4 Приближенное решение феноменологических уравнений.

1.5 Обсуждение результатов численного моделирования.

1.6 Выводы.

Глава 2. Микроскопическое описание.

2.1 Микроскопическая модель системы.

2.2 Уравнения движения.

2.3 Дипольное излучение спиновых систем.

2.4 Численный метод.

2.5 Обсуждение результатов моделирования микроскопических эффектов.

2.6 Роль диполь-дипольных взаимодействий на больших временах. Вращающаяся система координат.

2.7 Выводы.

Глава 3. Коллективная динамика в наномагнетиках.

3.1 Наномагнетики.

3.2 Микроскопическое описание.

3.3 Обсуждение результатов.

3.4 Наложение внешних полей, детекторы.

3.5 Выводы.

Глава 4. Описание коллективного движения спинов с помощью уравнений Ландау-Лившица.

4.1 Ферромагнитные наноточки.

4.2 Общее описание задачи.

4.3 Высокочастотная магнитодинамика однодоменных частиц в присутствие резонатора. Базовая система уравнений.

4.4 Выбор безразмерных параметров.

4.5 Числовые оценки материальных параметров.

4.6 Обсуждение результатов.

Настоящая работа посвящена исследованию и численному моделированию коллективного поведения спиновых систем.

Один из самых интересных когерентных эффектов - сверхизлучение (СИ), которое может наблюдаться и в атомных и в спиновых системах. Возможность сверхизлучения в атомных системах (оптические частоты) была впервые предсказана Р. Дике [21]. Возможность организации когерентного движения спинов была обсуждена Бломбергеном и Паундом [11]. Современный статус спинового СИ представлен в обзоре [56].

Сверхизлучением называют когерентное спонтанное излучение с интенсивностью, пропорциональной квадрату числа излучателей.

Суть явления оптического СИ состоит в том, что в определенных условиях спонтанное излучение неравновесной системы с заселенностью уровней с более высокой энергией выше, чем заселенность нижних уровней, происходит не независимо, причем сами атомы в явлении оптического сверхизлучения "коллективизуются" полем излучения. Это явление обусловлено наведением корреляций между электрическими дипольными моментами энергетических переходов различных пространственно разделенных излучателей, связанных между собой полем излучения. Если в инвертированной оптической системе с линейными размерами, равными L, в одном или нескольких атомах начали осуществляться случайные спонтанные переходы, то информация о них будет передаваться другим атомам через поле излучения за время т = Ыс, где с - скорость света. Это вызывает синхронные спонтанные срывы уже сравнительно большой группы атомов.

Число атомов, вновь участвующих в спонтанном излучении, будет нарастать, а сам процесс спонтанного излучения будет все более приближаться к сфазированному до тех пор, пока не сформируется лавина коллективизированных спонтанных переходов, получившая название сверхизлучения.

Рис. 1. Маятниковая модель сверхизлучения.

Поясним сказанное на примере маятниковой модели сверхизлучения (рис. 1), справедливой для малых, по сравнению с длиной волны, образцов [79]. Предположим, что имеется набор почти одинаковых маятников, прикрепленных к натянутой нити и находящихся в перевернутом состоянии. Имеется в виду, что каждый из маятников соответствует определенной частице, находящейся в возбужденном состоянии, а натянутая нить олицетворяет обще для всех частиц ансамбля поле излучения. Приблизительное равенство длин маятников отражает близость частот спонтанных переходов между «рабочей» парой уровней. Допустим, что один из маятников вышел из верхнего неустойчивого равновесия и начал падение. Это падение быстро почувствуют другие маятники через общую для всех нить за счет дрожания нити с частотой колебания сорвавшегося маятника. Это дрожание вызовет раскачку остальных маятников и срыв нескольких из них из верхнего неустойчивого положения, что приведет к еще большей раскачке нити. Число падений маятников из верхнего положения будет все более нарастать. И, наконец, наступит временной интервал, когда произойдет лавинообразный срыв подавляющего числа маятников. Эта лавина срывов маятников олицетворяет коллективизированную фотонную лавину, получившую название СИ. Можно ввести следующие параметры, характеризующие этот процесс: r-Ljc (здесь L - длина нити, с - скорость распространения колебаний по нити) -время передачи информации всем маятникам о первом падении одного или нескольких из них; t0 - время установления у всей системы маятников «коллективизированного дрожания», предшествующего массовому падению маятников; тс - время, за которое происходит это массовое падение маятников.

В своей основополагающей работе [21] Дике показал, что система из N инвертированных двухуровневых атомов может спонтанно перейти в основное состояние за время, обратно пропорциональное числу атомов тс -1/N. Этот эффект обусловлен наведение корреляций между моментами перехода пространственно разделенных излучателей, взаимодействующих друг с другом через поле излучения [63]. В результате атомы, находящиеся в макроскопически большом объеме, излучают когерентно. Поскольку полная энергия, излучаемая коллективом атомов, равна Nhco0, где со0 - частота перехода, то интенсивность излучения I ~ Nho)0/rc ~ N2. Такое излучение получило название коллективного спонтанного или сверхизлучения излучения Дике. В случае обычного спонтанного излучения, когда атомы излучают независимо друг от друга со временем спонтанных переходов 7], не зависящим от числа излучателей, интенсивность пропорциональна числу излучателей: I-NhcoJ^-N.

Когерентные эффекты в оптике хорошо изучены как экспериментально, так и теоретически [63]. Гораздо менее изучено сверхизлучение в радиочастотной области. Существует всего несколько экспериментов, где оно наблюдалось [13, 34].

В отличие от оптического и инфракрасного диапазонов вероятность спонтанного излучения на радиочастотах пренебрежимо мала, вследствие чего спонтанное излучение не может быть причиной возникновения сверхизлучения. По этой причине в отличие от оптики невозможно реализовать когерентное излучение на радиочастотах без наличия резонатора (пассивного высокодобротного контура), окружающего образец, в котором происходят сверхизлучательные переходы, как мы отметили, эта идея впервые обсуждена в работе [11].

В последние годы активно обсуждается СИ в наномолекулах [2, 18, 27, 38, 60], в ферромагнитных системах теория СИ практически не изучена.

Таким образом, исходя из актуальности вышеуказанных проблем, целью данной работы являлось изучение свойств коллективного поведения спиновых систем, а именно:

1) Моделирование коллективной динамики спиновых систем на основе феноменологических уравнений, основанных на модифицированных уравнениях Блоха. Изучение сверхизлучательного поведения системы ядерных или электронных спинов при различных параметрах модели. Исследование режимов спиновой динамики и условия, при которых они возникают.

2) Построение микроскопической модели сверхизлучения без введения феноменологических времен релаксации, но с учетом дипольных спин-спиновых взаимодействий. Численное моделирование релаксации в высоко поляризованных спиновых системах. Исследование роли дипольных взаимодействий для различных пространственных конфигураций спиновых систем. Исследование способов управления коллективной динамикой с помощью дополнительных внешних полей. Исследование влияния неоднородного уши-рения на коллективное поведение поляризованной системы.

3) Моделирование когерентной динамики в наномагнетиках. Моделирование коллективных процессов при различных геометриях спиновых систем, в том числе гексагональных молекулах, слоях.

4) Моделирование сверхизлучения в ферромагнетиках на основе уравнения Ландау-Лившица с учетом дипольных взаимодействий.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и одного приложения.

Заключение

Путем численного моделирования в диссертации исследована коллективная динамика систем взаимодействующих друг с другом и с внешним резонатором спинов. Модель системы последовательно усложнялась, и увеличивалось количество явлений, которые могут быть описаны с ее помощью: начиная от одночастичного приближения и феноменологической модели, до все более сложных. Исследование на простой модели помогло изучению более сложных, что позволило более глубоко понять происходящие процессы.

Варьирование значений параметров моделей позволило выяснить влияние этих параметров на спиновую динамику. Было показано, что учет дипольных взаимодействий на микроскопическом уровне позволяет согласовать результаты моделирования с экспериментальными.

Была написана программа, позволяющая моделировать все описанные в диссертации процессы. Программа используется для научных и образовательных целей.

В первой главе моделирование было основано на феноменологических уравнениях Блоха. С помощью одночастичного приближения и приближенного решения уравнения для магнитного поля обратной связи было показано, что существует механизм релаксации, связанный с резонатором. Далее, в многоспиновой модели, с помощью решения полного уравнения Кирхгоффа последовательно изучено влияние всех параметров модели. Кроме прочего, было показано, что интенсивность излучения при инверсии намагниченности, связанной с резонатором, пропорциональна квадрату числа частиц, что является аналогом сверхизлучения в оптике. Данная модель позволяет описывать сверхбыстрые процессы, когда спин-спиновая релаксация играет второстепенную роль.

Во второй главе модель была усложнена путем отказа от феноменологических времен релаксации и учетом диполь-дипольных взаимодействий на микроскопическом уровне. Это позволило детально исследовать роль дипольных взаимодействий и найти возможные режимы когерентного поведения спиновой системы. Была исследована роль пространственного расположения спинов относительно друг друга и внешних полей. Исследовано влияния неоднородного уширения на коллективное поведение поляризованной системы. Было теоретически описано явление магнитных биений в разбавленных системах, открытых в недавних экспериментах.

В третьей главе была изучена спиновая динамика в наномагнетиках. Модель была еще более усложнена: в гамильтониан был добавлен член, описывающий поле анизотропии. Исследована роль анизотропии в коллективной спиновой динамике. Были промоделированы процессы релаксации для различных вычислительных решеток. Кроме того, был исследован способ управления коллективной динамикой с помощью дополнительных внешних полей для чего модель была соответствующим образом изменена.

В четвертой главе изучалась спиновая динамика в ферромагнитных на-ноточках. Был использован подход, основанный на использовании уравнения Ландау-Лифшица. Для этого модель подверглась дальнейшему усложнению - добавился механизм спин-решеточной релаксации, связанный с параметром затухания Ландау-Лившица, при этом дипольные взаимодействия между магнитными моментами учитывались явным образом. Было показано, что релаксация, связанная с спин решеточными взаимодействиями не является когерентной, в отличие от релаксации, связанной с резонатором.

1. Abragam A., Combrisson J., Solomon I. Nuclear Polarization by the Overhaus-er Effect in Solutions of Paramagnetic Ions (Maser) // Compt. Rend. 1957. Vol. 245. P. 157.

2. Amigo R., Teada J., Chudnovsky E. M., Hernandez J. M., Garcia-Santiago A. Quantum dynamics of crystals of molecular magnets insidemicrowave resonators // J. Man. Man. Mat. 2004. Vol. 272-276. P. 1106.

3. Antoniak C., Lindner J., Farle M. Enhanced Orbital Magnetism in Fe5oPt5o Nanoparticles // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 97. P. 117-201.

4. Antoniak C., Lindner J., Farle M. Magnetic anisotropy and its temperature dependence in iron-rich FexPtix nanoparticles // Europhys. Lett. 2005. Vol. 70. P. 250.

5. Ardavan A., Rival O., Morton J. J. L., Blundell S. J., Tyryshkin A. M., Timco G. A., Winpenny R. E. P. Will Spin-Relaxation Times in Molecular Magnets Permit Quantum Information Processing? // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 98. P. 057201.

6. Barbara В., Thomas L., Lionti F., Chiorescu I., Sulpice A. Macroscopic quantum tunneling in molecular magnets // J. Magn. Magn. Mater. 1999. Vol. 200. P. 167-181.

7. Belozerova T.S., Henner V.K., Yukalov V.I. Microscoping Modeling of Coherent Spin Radiation at Magnetic Resonance Frequencies // Laser Physics. 1992. Vol. 2, No 4. P. 544-558.

8. Belozerova T.S., Henner V.K., Yukalov V.I. Coherent effects in dipole spin systems // Phys. Rev. B. 1992. Vol. 46. P 682-687.

9. Bloch F, Hansen W.W., Packard M. Nuclear Induction // Phys. Rev. 1946. Vol.69. P. 127.

10. Bloch F. Nuclear Induction // Phys. Rev. 1946. Vol. 70. P. 460-474.

11. Bloembergen N., Pound R. V. Radiation Damping in Magnetic Resonance Experiments//Phys. Rev. 1954. Vol. 95. P. 8-12.

12. Bloembergen N., Wang S. Relaxation Effects in Para- and Ferromagnetic Resonance //Phys. Rev. 1954. Vol. 93. P. 72-85.

13. Bosiger P., Brun E., Meier D. Solid-State Nuclear Spin-Flip Maser Pumped by Dynamic Nuclear Polarization // Phys. Rev. Lett. 1977. Vol. 38. P. 602-605.

14. Bosiger P., Brun E., Meier D. Ruby NMR laser: A phenomenon of spontaneous self-organization of a nuclear spin system // Phys. Rev. A. 1978. Vol. 18. P. 671-684.

15. Caneschi A., Gatteschi D., Sangregorio C., Sessoli R., Sorace L., Cornia A., Novak M.A., Paulsen C., Wernsdorfer W. The molecular approach to nanoscale magnetism // J. Magn. Magn. Mater. 1999. Vol. 200. P. 182-201.

16. Chen Zhihong, Lin Yu-Ming, Rooks Michael J., Phaedon A., Graphene nano-ribbon electronics // Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures. 2007. Vol. 40, No 2. P. 228-232.

17. Chudnovsky E. M., Garanin D. A. Superradiance from Crystals of Molecular Nanomagnets //Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 89. P. 157201.

18. Davis C. L., Henner V. K., Tchernatinsky A. V., Kaganov I. V. Spin-system radio-frequency superradiation: A phenomenological study and comparison with numeric simulations //Phys. Rev. B. 2005. Vol. 72. P. 054406 (1-10).

19. Davis C. L., Kaganov I. V., Henner, V. K. Superradiation in magnetic resonance // Phys. Rev. B. 2000. Vol. 62, No. 18. P. 12328-12337.

20. Dicke R.H. Coherence in spontaneous radiation process // Phys. Rev. 1954. Vol. 93. P. 99-110.

21. Feher G., Gordon J., Buehler E., Gere E., Thurmond C. Spontaneous Emission of Radiation from an Electron Spin System // Phys. Rev. 1958. Vol. 109. P. 221-222.

22. Gatteschi D., Sessoli R., Villain J. Molecular Nanomagnets. Oxford University Press, Oxford, 2006. 395 pp.

23. Hadjipanays G.C. Nanophase hard magnets // J. Magn. Magn. Mater. 1999. Vol. 200. P. 373-391.

24. Hahn E.L. Nuclear Induction Due to Free Larmor Precession // Phys. Rev. 1950. Vol. 77. P. 297-298.

25. Hahn E.L. Spin Echoes // Phys. Rev. 1950. Vol 80. P. 580-594.

26. Henner V.K., Kaganov V.I. Superradiation from crystals of high-spin molecular nanomagnets // Phys. Rev. B. 2003. Vol. 68. P. 144420 (1-5).

27. Henner V.K., Kharebov P.V., Raikher Yu.L. Collective magnetic moment relaxation in an assembly of ferromagnet nanopaticles // IV Euro-Asian Symposium "Trends in MAGnetism": Nanospintronics. Program and abstract. 2010. P. 299.

28. Henner V.K., Kharebov P.V., Sumanasekera G. Enhanced spin relaxation in nanocrystals of different geometries // IV Euro-Asian Symposium "Trends in MAGnetism": Nanospintronics. Program and abstract. 2010. P. 304.

29. Henner V.K., Kharebov P.V., Yukalov, V.I. Superradiation from molecular nanomagnets // Solid State Phen. 2009. Vol. 152. P. 249-252.

30. Henner V.K., Yukalov V.I., Kharebov P.V., Yukalova E.P. Collective spin dynamics in magnetic nanomaterials // J. Phys. Conf. Ser. 2008. Vol. 129, P. 012015-5.

31. Hernandez-Minguez A., Hernandez J. M., Mada F., Garcia-Santiago A.,Tejada J., Santos P.V. Quantum Magnetic Deflagration in Mnl2 Acetate // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95. P. 217205.

32. J. van Slageren, Vongtragool S., Mukhin A., Gorshunov В., Dressel M. Terahertz Faraday effect in single molecule magnets // Phys. Rev. B. 2005. Vol. 72. P. 020401.

33. Kiselev J.F., Prudkoglyad A.F., Shumovsky A.S., Yukalov V.I. Discovery of dicke superradiation by system of nuclear magnetic moments // Mod. Phys. Lett. B. 1988. Vol. 1, No 11-12. P. 409-416.

34. Kiselev J.F., Shumovsky A.S., Yukalov V.I. Thermal-Noise Induced Radiofrequency Superradiance in Resonator // Mod. Phys. Lett. B. 1989. Vol. 3.P. 1149.

35. Kodama R.H. Magnetic nanoparticles // J. Magn. Magn. Mater. 1999. Vol. 200. P. 359-372.

36. Leuenberger M. N., Loss D. Quantum computing in molecular magnets.// Letters to Nature. 2001. Vol. 410. P. 789.

37. Marion D.J.-Y., Huber G., Berthault P., Desvaux H. Observation of noise-triggered chaotic emissions in an NMR-maser // ChemPhysChem. 2008.- Vol. 10. P. 1395-1401.

38. Marion D.J.-Y., Berthault P., Desvaux H. Spectral and temporal features of multiple spontaneous NMR-maser emissions // The European Physical Journal D Atomic, Molecular, Optical and Plasma Physics. 2009. Vol 51, No 3.

39. Ostanin S., Razee S.S., Staunton J.B., Ginatempo В., Bruno E. Magnetocrystalline anisotropy and compositional order in Feo.sPto.s: Calculations from an ab initio electronic model // J. Appl. Phys. 2003. Vol. 93. P. 453.

40. Park K., Novotny M.A., Dalai N.S., Hill S., Rikvold P.A. Effects of D-strain, g-strain, and dipolar interactions on EPR linewidths of the molecular magnets Fe8 and Mnl2 // Phys. Rev. B. 2002 Vol. 65. P. 014426.

41. Purcell E.M., Pound R.V. A Nuclear Spin System at Negative Temperature // Phys. Rev. Letters. 1951. Vol. 81, P. 279.

42. Sessoli R., Gatteschi D., Caneschi A., Novak M.A. Magnetic bistability in a metal-ion cluster//Nature. 1993. Vol. 365. P. 141.

43. Siegman A. Microwave Solid State Masers. McGraw-Hill, New York: 1964. 583 P.

44. Sukhov A., Berakdar J. Temperature dependent magnetization dynamics of agnetic nanoparticles // arXiv:0802.1740vl. 2008.

45. Tejada J., Chudnovsky E.M., Hernandez J.M., Amigo R. Electromagnetic radiation produced by avalanches in the magnetization reversal of Mnl2-acetate // Appl. Phys. Lett. 2004. Vol. 84. P. 2373.

46. Tejada J., Chudnovsky E.M., Barco E., Hernandez J.M., Spiller T.P. Magnetic qubits as hardware for quantum computers // Nanotechnology. 2001. Vol. 12. P. 181.

47. Tejada J., Amigo R., Hernandez J.M., Garcia-Santiago A. Resonantexperiments in magnetism: superradiance and magnetic spectroscopy // J. Magn. Mat. 2004. Vol. 272-276. P. 2131.

48. Tejada J., Aniigy R., Hernandez J.M., Chudnovsky E.M. Quantumdynamics of crystals of molecular nanomagnets inside a resonant cavity // Phys. Rev. B. 2003. Vol. 68. P. 014431.

49. Tokman I.D., Pozdnjakova V.I., Vugalter G.A., Shvetsov A.V. Electromagnetic superradiance from single-molecule magnets in the presence of a classical driving magnetic field // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77. P. 094414.

50. Watson R.E., Blume M., Vineyard G.H. Spin Motions in a Classical Ferromagnet//Phys. Rev. B. 1969. Vol. 181. P. 811-823.

51. Yukalov V.I., Henner V.K., Kharebov P.V., Yukalova E.P. Coherent spin radiation by magnetic nanomolecules and nanoclusters // Laser Phys. Lett. 2008. Vol. 5. P. 887-893.

52. Yukalov V.I., Henner V.K., Kharebov P.V. Coherent spin relaxation in molecular magnets // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77. P. 134427 (1-8)

53. Yukalov V. I. Nuclear Spin Radiance // Encyclopedia of Nuclear Magnetic Resonance. Edited by. D. M. Grant, R. K.Harris. Chichester, 2002. Vol. 9. P. 697-711.

54. Yukalov V. I. Superradiant Operation of Spin Masers // Laser Phys. 2002. Vol. 12. P. 1089-1103.

55. Yukalov V.I. Coherent Radiation from Polarized Matter // Las. Phys. 1993. Vol. 4, No 3. P. 870-894.

56. Yukalov V.I., Yukalova E.P. Enhancement of Nuclear Spin Superradiance by Electron Resonator // Laser Phys. 1992. Vol. 2, No. 4. P. 559-566.

57. Yukalov V.I., Yukalova E.P. Coherent Nuclear Radiation // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2004. Vol. 35, No 3. Р 640-708.

58. Абрагам А., Гольдман М. Ядерный магнетизм: порядок и беспорядок. М.: Мир, 1984. Т. 2 . 360 стр.

59. Аллен Д., Эберли Д. Оптический резонанс и двухуровневые атомы. М.:Мир, 1978. 224 с.

60. Андреев В.А., Емельянов В.И., Ильинский Ю.А. Кооперативные явления в оптике: Сверхизлучение. Бистабильность. Фазовые переходы. М.: Наука, 1988. 288 с.

61. Бажанов Н.А., Буляница Д.С., Ковалев А.И., Поляков В.В., Траутман В.Я., Трифонов Е.Д., Шведчиков А.В. // ФТТ. 1989. №. 31, с. 206.

62. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 2000. 622 с.

63. Башкиров Е.К. и Гаранова Е.В. Квантовая теория сверхизлучения // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. Физика. 2007 г. №. 56, т. 6. С. 333-353.

64. Белозерова Т.С., Хеннер В.К., Юкалов В.И. Возможность когерентного излучения в безрезонаторной спиновой системе. // Письма в ЖЭТФ. 1992. № 18, т. 13. С. 5-9.

65. Белозерова Т.С., Хеннер Е.К. Дипольные спиновые стекла: моделирование методом Монте-Карло. // ФТТ. 1984. № 26, т. 1. С. 83-88.

66. Березин И.С, Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1,2. М.: Физматгиз, 1962. 464 с.

67. Бетеров И.М., Лернер П.Б. Спонтанное и вынужденное излучение ридберговского атома в резонаторе // УФН. 1989. №159. С. 665-711.

68. Биндер К. Методы Монте-Карло в статистическо физике. М.: Мир, 1982. 400 с.

69. Боголюбов Н.Н., Тураев М.Т., Шумовский А.С., Юкалов В.И. Коллективное спонтанное излучение в двухкомпонентной двухуровневой системе // Крат, сообщ. ОИЯИ, Дубна. 1986. С. 14-86, 33-40.

70. Вейсфельд М.П. // ФТТ. 1978 г. № 20. С. 124.

71. Вейсфельд М.П., Имамутдинов Ф.С., Хазанов А.К. Инверсная населенность в парамагнитном кристалле при тепловом возбуждении спин-системы с помощью импульсного магнитного поля // Письма ЖЭТФ. 1981. №34. С. 252.

72. Киселев Ю.Ф., Прудкогляд А.Ф., Шумовский А.С., Юкалов В.И. // Проблемы квантовой оптики, Сообщения ОИЯИ, Дубна. 1988. Р17-88-689.

73. Киселев Ю.Ф., Прудкогляд А.Ф., Шумовский А.С., Юкалов В.И. Обнаружение явления сверхизлучения системой ядерных магнитных моментов //ЖЭТФ. 1988. №. 94, т. 2. С. 344.

74. Копченова Н.В., Марон. И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Наука, 1972. 368 с.

75. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. М., 1976.

76. Зиновьев П.В., Самарцев В.В., Силаева Н.Б. Оптическое сверхизлучение в приместных кристаллах. Препринт Физико-технического института низких температур АН УССР. Харьков. 1989. Ч. 1.

77. Сликтер Ч. Основы теории магнитного резонанса. М.: Мир, 1981. 448 с.

78. Файн В.М. Квантовые явления в радио диапазоне // Успехи физ.наук. 1958. №50. С. 273-313.

79. Файн В.М., Ханин Я.И. Квантовая радиофизика. М.: Сов.Радио, 1965. 608 с.

80. Харебов П.В., Хеннер В.К. Моделирование сверхизлучения в молекулярных наномагнетиках // Тезисы докладов конференции молодых ученых «неравновесные процессы в сплошных средах». Пермь, 2006. С. 84-85.

81. Харебов П.В., Хеннер В.К. Моделирование сверхизлучения в молекулярных наномагнетиках // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая): сборник статей. Екатеринбург, 2007. Т. 3. С. 254-257.