автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов аэрогидродинамики с большими градиентами

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ПРОЗОРОВА ЭВЕЛИНА ВЛАДИМИРОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ С БОЛЬШИМИ ГРАДИЕНТАМИ

Специальность

05.13.18.-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2003

Работа выполнена на кафедре параллельных алгоритмов в Санкт-Петербургском государственном университете

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ЖИЛИН Павел Андреевич

доктор физико-математических наук, профессор ПАВЛОВ Валерий Андреевич

доктор физико-математических наук, профессор ШАХОВ Евгений Михайлович

Ведущая организация - Московский авиационный институт ( технический университет )

Защита диссертации состоимся " /$ " в ...Ш... час. на

заседании диссертационного совета Д 212:232.51 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28, математико-механи' гсский ф-т СПбГУ, (¡^ • ЗГЗ(,

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского Государственного Университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9

Автореферат разослан " " ............... 2003г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232.51, профессор

Мартыненко Б.К.

3-А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Путь от очень сложных физических явлений, наблюдаемых в эксперименте и в практической деятельности человека, до математической модели состоит из нескольких этапов. Сложнейший этап - выбор и расстановка акцентов исследования и построение адекватной физической модели, выделяющей главную особенность, отличающую данное исследование от других. Данная работа посвящена моделированию процессов с большими градиентами. Интерес к разделу аэродинамики, связанному с исследованием процессов с большими градиентами, обусловлен необходимостью построения адекватных математических и физических моделей ряда природных явлений и техногенных катастроф. Движение произвольного тела в ионосфере сопровождается сложными процессами взаимодействия атомов, молекул и заряженных частиц, содержащихся в воздухе, с газом струи, с поверхностью аппарата, с полем Земли. Полное описание процессов представляет чрезвычайно сложную проблему. Техногенные катастрофы часто приводят к формированию и взаимодействию ударных волн. В результате появления компьютеров появилась возможность проводить многопараметрические исследования и существенно усложнить математические модели, чему и посвящена данная диссертация. Основными объектами исследования в данной работе являются собственная атмосфера летательного аппарата с работающим на твердом топливе двигателем на большой высоте (плотная истекающая струя в разреженном газе); новая математическая модель описания разреженного газа; вопросы взаимодействия нелинейности, нестационарности, диссипации и дисперсии в задачах пограничного слоя; условия усиления сильных взрывов. Рассматриваемые процессы описываются системами нелинейных уравнений в частных производных или интегро-дифференциальными уравнениями. Для получения результатов используются разнообразные методы: аналитические и численные. В силу различия характеристических свойств уравнений, описывающих процессы, используются различные конечно-разностные схемы. Их апробация реализуется на модельных задачах, содержащих основные особенности задач, выбранных для решения. В качестве модельных выбраны автомодельные задачи с особенностями нужного типа.

Для задачи обтекания потоком разреженного газа тела с плотной струей анализируются особенности смешанного характера течения, когда часть области занята разреженным газом, часть области занята плотным газом. Математическое решение задачи сводится к решению системы

уравнений Навье-Стокса для области, .занятой плотным газом, уравнения Больцмана или его аналога для разреженного газа и сшивки этих решений в переходной области. В работе используется модель Батнагара-Гросса-Крука ( БГК ). Исследуется перестройка газодинамических полей при внезапном изменении отношения давления на срезе сопла к давлению в окружающей среде (нерасчетности струи); определяются размеры области затекания и расстояние, на которое газ струи распространяется вверх по потоку; определяется влияние стратификации воздуха на процесс расширения струи; анализируется роль граничных условии на результаты расчетов по модели Навье-Стокса и по кинетической модели. Комплексная численно - аналитическая методика позволяет предсказать и выделить физические особенности задачи и исключить влияние вычислительных погрешностей в качестве первопричины их появления.

Для режимов, где годится концепция нестационарного "пограничного'' слоя, изучается действие различных факторов (состава газа, нелинейного коэффициента вязкости, градиента давления) на динамический и тепловой профили. Численно решаются задачи нестационарного пограничного слоя. Установлена автомодельность некоторых нестационарных задач.

С ростом скоростей движения различных тел ламинарное течение переходит в турбулентное. Описание такого типа течения до сих пор представляет проблему. В работе предлагается новая модель, включающая псе законы сохранения (массы, количества движения, момента количества движения и энергии) и позволяющая хотя бы в простейшем случае получить некоторые турбулентные профили с использованием одной молекулярной вязкости.

Усиление ударных волн рассматривается в условиях, когда вначале происходит сильный взрыв, формирующий ударную волну, после чего реализуется второй сильный взрыв в той или иной области первичного возмущения. В силу многочисленности возможных вариантов взаимодействия сильных взрывов предварительно аналитическими методами проводится исследование по поиску оптимальных условий реализации взрывов с точки •зрения получения максимальной интенсивности ударных волн.

В связи с недостаточной изученностью и практической значимостью перечисленных проблем тема работы является актуальной. Используемая методика исследования базируется на предварительном анализе задачи аналитическими методами с целью выделения главных особенностей задачи и получения предварительных данных с последующей численной проверкой полученных результатов. Используются речультатьт теории раз-

постных схем, дифференциальных уравнении и теории уравнений в частных производных.

Цель настоящей работы состоит в построении математической модели формирования собственной атмосферы летательного аппарата с истекающей струей при его движении в разреженном газе с учетом стратификации воздуха; в определении времени релаксации при изменении параметров струи; в выяснении характера взаимодействия нелинейности, дис-г сипации и дисперсии в уравнениях Навье-Стокса, в пограничном слое и в

кинетических уравнениях; в решении проблемы усиления ударных волн в случае, когда среда возмущена предварительным взрывом. В силу малой ^ изученности процессов и обилия возможных вариантов параметров чи-

сленное решение задач сопровождается аналитическим исследованием для обеспечения адекватности описания.

Научная новизна. В диссертации впервые проводится исследование газодинамического поля течения летательного аппарата на большой высоте, включающего возмущенную область вблизи аппарата и струю. Изучается влияние модели описания ( Навье-Стокса или БГК ), граничных условий, нестационарности струи и стратификации воздуха на результаты расчета собственной атмосферы аппарата и на расширение струи. Установлено, что эффект затекания газа струи вверх по потоку при сверхзвуковом движении аппарата не является эффектом численного происхождения, а отвечает физике явления. Дано объяснение наблюдающихся эффектов при расчетах сверхзвуковых струй по моделям Эйлера и Навье-Стокса.

Впервые рассмотрен комплекс процессов, возникающих в результате выделения значительного количества энергии в областях, возмущенных предварительным сильным взрывом на временах, когда значительны градиенты плотности, температуры и скорости. Предложена методика выбора оптимальных условий реализации сильных взрывов.

Впервые решается задача определения влияния различных физических факторов на динамический и тепловой профили в рамках концепции нестационарного пограничного слоя.

Впервые предложено включить изменение момента количества движения в законы сохранения и в кинетические уравнения. Обычно в случае бесструктурных частиц закон сохранения момента количества движения получается как следствие изотропности пространства. Модифицированная система уравнений включает в уравнение движение третью производную. Эффективность предложенной модели проверена сравнением результатов расчетов с экспериментом: Для полубесконечной пластины решение построено в виде сходящегося ряда. Доказана сходимость ряда.

Практическая значимость работы определяется тем, что полученные результаты позволяют а) выявить степень влияния истекающий струп на динамический и тепловой профили, а также поля концентраций частиц на различных высотах; объяснить наблюдаемые в эксперименте процессы; использовать их для оценок динамических характеристик турбулентного и нестационарного,ламинарного пограничных слоев; б) направленно воздействовать на интенсивность ударных волн, выбирая оптимальные расстояния, времена и соотношение мощностей взрывов. Прикладное значение работы заключается в успешном применении предложенных моделей к постановке и решению задач механики жидкости и газа с большими градиентами плотности, скорости или температуры. Количественные результаты, полученные численно, позволяют правильно предсказывать развитие изучаемых процессов.

Положения, выносимые на защиту.

]. Новая математическая модель описания течения вязкой жидкости и сжимаемого газа вблизи возмущающих поверхностей, заключающаяся в учете изменения момента количества движения внутри пограничного слоя через третью производную в уравнении движения с коэффициентом дисперсии, пропорциональным расстоянию от поверхности, и второй производной в уравнении неразрывности.

2. Новая кинетическая модель описания разреженного газа вблизи возмущающих поверхностей, заключающаяся в модификации конвективного оператора и следующая из необходимости учета кроме законов сохранения массы, количества движения и энергии также и закона сохранения момента количества движения.

3. Обоснование эффекта затекания газа струи вверх по потоку при движении аппарата с работающим на твердом топливе двигателем на высоте Н >110 км. Вычислительная модель решения указанной задачи, заключающаяся в применении модели сплошной среды в области, занятой плотным газом струи, кинетическим уравнением в области, занятой разреженным газом, и сшивки решений в переходной области. Выяснение соответствия решений задачи по различным моделям при идентичных граничных условиях, определение времени релаксации течения при смене режима работы двигателя и определение условий фокусировки образую-ашхся ударных волн, формирующихся около передних кромок с малыми радиусами кривизны.

4. Определение влияния градиента давления, ускорения и порядка нелинейности вязкости на динамический и тепловой профили нестационарного ламинарного пограничного слоя.

5. Численное и аналитическое исследование влияния стратификации воздуха на процесс расширения газодинамической струи, истекающей из сопла двигателя на высоте Н > 110 км..

6. Численно-аналитическая методика определения условий реализации ударных волн максимальной интенсивности при различных условиях проведения двух сильных взрывов.

Апробация результатов работы . Результаты работы регулярно докладывались на Всесоюзных школах по численным методам механики вязкой жидкости, на Всесоюзных и международных конференциях до динамике разреженного газа, на семинарах МГУ, на международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях, OFEA-95, OFEA-02, BEM-FEM, 4-th St. Petersburg Workshop on Simulation, на семинарах физического и математического факультетов С. Петербургского университета, на семинарах Балтийского технического университета.

Публикации

Основное содержание диссертации отражено в научных работах, опубликованных в центральных журналах и трудах международных конференций (см. список работ ).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, семи глав, трех приложений и -заключения; содержит 251 страниц машинописного текста, 101 рисунок и список литературы из 202 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава выполняет вспомогательную рои . В ней приводится анализ выбора разностных схем, пригодных для решения указанных выше задач и их апробация. Анализируется согласование порядков аппроксимации входящих в уравнение операторов, вклад дисперсионных эффектов в используемых разностных схемах, решаются модельные задачи. В качестве рассматриваемых здесь задач выбраны автомодельные задачи, отражающие в математической форме особенности решаемых в диссертации проблем. Используются разностные схемы, предложенные в работах А. А. Самарского, Ii- Н. Яненко, Ю. П. Попова, Б. Н Четверушкина, Ю. И. Шокпна, В. М. Ковени, Е. М. Шахова, П. Роуча и других известных вычислителей н их опыт работы. Ряд схем существенно модифицированы и приспособлены для решения задач выбранного типа.

Вторая глава посвящена исследованию влияния нелинейных диссипации и дисперсии на структуру ударных волн и волн сжатия. Рассматриваются уравнения Бюргерса и Кортевега-де Вриза-Бюргерса с нелинейными коэффициентами вязкости и дисперсии

ди ди д г. , . , /ди\ дил 3 [,. /ди\ д2ил

Исследуются стационарные волновые движения вида и = ы(£), £ = х — ct (с = const).

Получены частные аналитические решения ( несмотря на значительное количество исследований в мире к настоящему моменту известно лишь небольшое число решений нелинейных уравнений данного типа), которые можно использовать в качестве модельных задач для тестирования разностных схем. Показано, что с ростом нелинейности фронт становится более крутым. Исследовано влияние степени нелинейности коэффициентов вязкости и теплопроводности на структуру фронта волны. Построены аналитические решения, определяющие структуру упомянутого фронта.

В третьей главе диссертации выстраиваются физическая и математическая модели взаимодействующих сильных взрывов для случая "взрыв во взрыве" и приводятся результаты их численного исследования. Изучается распространение тепловых и ударных волн в газе со значительными перепадами плотности и температуры. Хорошим приближением для большинства задач радиационной газодинамики является допущение, что газ находится в локальном термодинамическом равновесии, при котором спонтанное испускание излучения зависит только от локальной температуры Т (локальное термодинамическое равновесие). Когда величина средней длины свободного пробега излучения мала, газ называется оптически толстым. Для случая оптически толстой среды теплообмен излучением может быть выражен через градиент температуры и эффективный коэффициент теплопроводности (коэффициент диффузии излучения по Россе-ланду). При внезапном и значительном выделении энергии возможно лишь очень малое движение среды в течение времени выделения энергии, но за' этот малый отрезок времени Возникает значительный поток излучения (тепловая волна). Проанализировано распространение тепловой волны в

/

однородной среде с учетом равновесных реальных свойств воздуха и влияние росселапдовой длины пробега излучения на распространение тепловых волн. Постепенно скорости движения тепловой волны и газа сравниваются. Исследован вопрос о распространении ударных волн по сильно нагретому газу; предложена методика для определения влияния градиентов плотности на распределение температуры. Методика базируется на использовании известных автомодельных решениях. Качественная картина у взаимодействия взрывов построена с помощью аналитических решений и

функций, аппроксимирующих результаты каждого предыдущего шага исследований. Сравниваются значения давления в зависимости от того, где, когда и какой величины происходит вторичное выделение энергии внутри области возмущения, сформированной первичным сильным взрывом. Решение отдельных взаимосвязанных задач позволило построить картину в целом. Установлен факт оттока газа от первой ударной волны в цилиндрическом и сферическом случаях и отсутствие оттока в плоском случае. Аналитические решения подкреплены результатами численных расчетов. На рис. 1 приведен профиль скорости на оси симметрии для четырех моментов времени. К важнейшим результатам, следующим из полученных данных, относятся : 1) вывод о невозможности перенесения заключений, полученных для плоского случая, на двумерные и трехмерные возмущения; 2) заключение о том, что ударные волны максимальной интенсивности получаются в случае вторичного выделения большой энергии вблизи центра возмущения малой интенсивности.

В четвертой главе диссертации для детонационных волн исследуются вопросы усиления ударных волн при догорании в воде и в воздухе мелкодисперсных частиц, входящих в состав топлива. Выяснена роль их догорания на интенсивность образующихся ударных волн для различных р моделей догорания: "испарения", "обдирки", "аппроксимационной" мо-

дели горения. Для всех моделей выяснено, что при разлете в воде роль догорания сводится к поддержанию волнового процесса внутри газового пузыря. Усиление ударных волн в воздухе достигается за счет перехода твердых частиц в газовую фазу, увеличения давления, связанного с таким переходом и с более медленным его падением за фронтом волны. С ростом молекулярного веса наблюдается интенсивное энерговыделение вблизи контактной поверхности. В результате идет волна сжатия к центру и происходит разрушение частиц, так что процесс приближается к точечному взрыву. При исследовании волп в воде роль модели уменьшается. Полученные здесь результаты показывают, что для металлов с большой теплопроводностью обеспечивается постоянство температуры по радиусу

частицы, хотя температура поверхности может отличаться от температуры потока. Это упрощает модель горения и делает ее конкурентоспособной по затратам машинного времени с моделями "испарения" и "обдирки" .

В пятой главе диссертации приводятся результаты численного решения нестационарных уравнений пограничного слоя и анализируется влияние различных свойств газа и жидкостей, магнитного поля, температуры поверхности на динамический и тепловой профили. Предлагается новая модель описапия течения газа в условиях больших .скоростей движения, учитывающая изменение момента количества движения в элементарном объеме. Для нестационарного пограничного слоя несжимаемой жидкости решены слндующие задачи: а) пластина, импульсивно приведенная в движение; б) равноускоренное движение пластины с ускорением по степенному закону; внезапное движение конуса (нестационарная задача Фокнера-Скен); в) ускорение конуса по степенному закону; медленное ускорение конуса; г) ступенчатый нагрев плоской пластины и конуса, импульсивно приведенных в движение; ж) ускорение конуса по степенному закону в неньютоновской жидкости. Рассмотрена модель локальной авто-модельности для нестационарного пограничного слоя.

Для нестационарного сжимаемого пограничного слоя изучены следующие задачи: а) импульсивно приведенная в движение полубесконечная пластина; б) импульсивно приведенная в движение палубесконечная пластина в проводящем газе при больших магнитных числах; в) импульсивно приведенная в движение полубесконечная пластина в проводящем газе при малых магнитных числах; г) импульсивно приведенная в движение полубесконечная пластина при наличии вдува; д) приведенный в движение полубесконечный конус в неньютоновской жидкости; ж) высокоэнтальпий-ный пограничный слой на конусе в бинарной смеси; з) неавтомодельные уравнения для степенного распределения скорости на внешней границе пограничного слоя.

Наиболее интересным результатом является вывод о необходимости больших расходов газа (жидкости) для уменьшения ьотоков на стенку.

В основе современноного представления теории жидкости неявным образом присутствует гипотеза достаточности уравнений Навье-Стокса для описания всего спектра явлений, наблюдающихся как для ламинарного, так и для турбулентного режимов течений. Существует очень много моделей течения жидкости при больших числах Рейнольдса. В диссертации предложена новая модель' учета больших градиентов скорости в окрестности возмущающих поверхностей. Для некоторых частных за-

дач представлены результаты решения системы уравнений Навье-Стокса и уравнений погргшичного слоя несжимаемой жидкости, дополненных слагаемым, отвечающим за дисперсионные эффекты.

Приведены следующие конкретные задачи: обтекание бесконечной и полуб'есконечной пластин; течение в плоской и цилиндрических трубах; обтекание клина (задача Фокнера-Скэн); задачи о течении в Струях, бьющих из бесконечно - тонких щелей; задачи обтекания пластины на малых временах и о течении между двумя соосными цилиндрами. В задаче о бесконечной пластине и о бесконечной трубе найдены аналитические решения. В случае задачи для полубесконечной пластины построено решение в виде ряда, доказана его сходимость, а для сравнения представлено также численное решение. Аналитическое решение имеет такую же структуру как известное решение задачи Блазиуса, однако коэффициенты ряда другие.

В данной работе установлено, что предлагаемая система уравнений может быть получена из кинетических уравнений, и при этом, по крайней мере часть известных свойств, наблюдаемых в экспериментах для турбулентных течений, может быть объяснена без привлечения дополнительных предположений о виде турбулентной вязкости; оказывается можно ограничиться одной молекулярной вязкостью.

Физический смысл слагаемого, вводимого здесь в уравнение Навье-Стокса, состоит в учете влияния изменения момента количества движения. В результате повышается порядок системы уравнений и поэтому приходится вводить дополнительное граничное условие. 'Здесь в качестве такого граничного условия задавалось трение на поверхности тела. Поскольку в формулы, описывающие распределение скорости внутри турбулентного пограничного слоя входит постоянная, имеющая смысл динамической скорости и равная корню квадратному из отношения трения на стенке к значению плотности на стенке, то указанный подход не усложняет постановку граничных условий. Задача об обтекании полубесконечной пластины решалась численно и аналитически с использованием модифицированных уравнений пограничного слоя:

ди ди д . ди. д д2и. дх ду ду оу ду ду2-

ди дь

7Г + 7Г = 0

дх оу

с граничными условиями

и = О, v — О, fj.— = TWJ ,у = 0; ду

и = {/„J, у -4- оо, г > 0; и — £/оо, х ~ 0.

Здесь использованы стандартные обозначения, причем а безразмерное значение трения.

Некоторые из результатов численного решения для различных значений трения на стенке представлены на рис. 2. На этом рисунке приводятся профиль скорости, отношение скорости к профилю скорости Блазиуса и вертикальная компонента скорости. Результаты расчета указывают на формирование волновых движений внутри пограничного слоя. Течение по-прежнему остается автомодельным: на это указывает аналитическое решение и профиль скорости численного решения, построенный в автомодельных переменных. Решение для импульсивного движения бесконечной пластины для малых времен построено аналитически. В перечисленных простейших случаях для описания течения оказалось достаточно использовать лишь молекулярную вязкость.

Шестая глава диссертации посвящена построению стационарных и нестационарных моделей обтекания разреженным газом тела с плотной истекающей струей. Обсуждается и предлагается новая кинетическая модель описания разреженного газа в условиях больших градиентов.

Особенностью рассматриваемого режима обтекания является смешанный характер течения: часть возмущенной области занята разреженным газом, часть области - плотным газом. В имеющейся литературе преимущественно отражены результаты исследования полей течения тела без струи или струи без тела. Ввиду сложности каждого из явлений и той и другой задаче посвящено много теоретических и экспериментальных работ. В частности получены результаты для течений струйного типа из узких каналов

Определяющими параметрами при истечении струи совершенного газа в спутный поток являются: коэффициент нерасчетности струи п = Лэ/Роо, число Маха струи Mq = Uo/ao, число Рейнольдса струи Re о = p0UoL/fio> температурный фактор То/Т1», число Маха набегающего потока Мао = l/oo/а«,, число Рейнотт дса набегающего потока Re оо = PooUooD/fioo, параметры 70 = Cp0/GV0, Pr0 = CPa-yo//io - число Прандтля, 7оо = СЯю/Си^! угол раскрытия сопла в0 . Здесь Ро и Рто - давление на срезе сопла и в окружающем пространстве; i/o, То - скорость, плотность и температура газа в выходном сечении сопла; fio, Aq -

коэффициенты вязкости и теплопроводности при температуре То, а - скорость звука, Ср0, С„0 - удельные теплоемкости. Кроме того, считается, что истекающий из сопла газ и газ набегающего потока идентичны, а в качестве характерного размера L используется радиус выходного сечения сопла. Параметром, который является определяющим при выборе модели сплошной среды или модели разреженного газа, является число Кпоо = где la, - длина свободного пробега частиц газа набегающего потока. При Moa = 8 , высоте полета Н > 120 км. считается, что число Кпж >10. Следовательно, если не учитывать влияние струи, то расчет нужно вести на основе дискретной модели. Однако истечение плотной струи соответствует большим степеням нерасчетности п\ это приводит к увеличению размеров области, занятой плотным газом струи. В результате набегающий поток фактически обтекает некое "виртуальное" тело, состоящее из собственно тела и струи; при этом в качестве характерного размера для оценки режима течения следует брать размер "виртуального" тела.

Заметим, что характерный размер струи определяется как максимальный радиус первой "бочки", а характерный продольный размер - как расстояние от среза сопла до сечения, в котором достигается этот максимальный радиус. Хотя оценки сделаны с использованием данных для невязких сжимаемых сверхзвуковых струй, но как показали расчеты, оценки указывают правильные размеры.

В качестве обтекаемого тела используется комбинация цилиндра и конуса с углом полураствора 45°. Математически задача сводится к решению уравнения Больцмана для разреженного газа, системы уравнении Навье-Стокса для плотного газа струи и сшивки этих решений в переходной области течения. Ввиду сложности совокупной задачи уравнение Больцмана заменено на модельное уравнение БГК.

(fo n

где

П\2жкТ) Р1 2 кТ J

- локально-максвелловское распределение, и- частота столкновении. Функция распределения для осесимметричных установившихся течений зависит от пяти аргументов. Стационарное уравнение БГК записывается в цилиндрической системе координат x,r,tp и в пространстве скоростей Здесь компонента вектора скорости лежащая в плоскости, перпендикулярной оси симметрии; ш - угол, составляемый компонентой

С с меридиональной плоскостью. Переменные С,^ связаны с ортогональными составляющими 6 следующими соотношениями

С = ш =

¿ir = l^COSU/, = £ sirio*.

Система уравнений Навье - Стокса с условиями скольжения и скачка температуры решается на сгущающейся в координатном направлении г адаптирующейся к течению сетке ql = ql{x),q2 = q2(x,r). Нестационарная задача решается на постоянной сетке, так как проверка на примере стационарной задачи показала идентичность результатов.

Уравнение БГК решается в тех же координатах 91,921 что и уравнение Навье-Стокса, при этом используется конечно-разностный метод, предложенный Е. М. Шаховым; однако схема модифицирована, что связано с использованием сетки, неравномерной в физическом пространстве.

При небольших степенях нерасчетаисти (n ~ 103) наблюдается известная картина обтекания, однако при (n ~ 105) часть массы газа струи разворачивается в обратном направлении и начинает затекать в сторону внешнего потока. При дальнейшем росте нерасчетности затекающая в обратную сторону часть газа струи создает в окрестности тела область высокой плотности. При этом тело обтекается в основном не внешним потоком, а газом , истекающим из сопла. Результаты расчета по модели БГК и по модели сплошной среды (уравнения Навье-Стокса) с показателем адиабаты 7 = 5/3 при условии скольжения на теле качественно согласуются между гобой.

Эффект затекания газа струи связан с диффузионными процессами, а именно, с диффузией продольной компоненты импульса газа струи навстречу набегающему потоку. Этому процессу способствует большая величина кинематической вязкости разрежепного газа. Грубые качественные опенки можно получить путем сравнения величин количества движения набегающего и диффундирующего потоков.

Ъ = Рооа^М^, F2 = Ро-(- - а0М0).

Г .7

• Здесь F-¡, плотности потоков импульса набегающего и диффузионного потоков соответсвеппо, р- плотность газа, и его вязкость, о - скорость звука; штоке ос rv-v ,ает принадлежность величины набегающему потоку, а индекс 0 означает принадлежность струе. Диффузия продольной

компоненты импульса газа струи вверх по потоку вдоль боковой поверхности тела за счет вязкости происходит аналогично процессу диффузии тепла из более нагретой в менее нагретую область. Скорость движения теплового фронта определяется законом сохранения энергии, а скорость распространения диффузионного фронта - законом сохранения импульса. Здесь мы пренебрегаем влиянием градиента давления, который может только увеличить скорость диффузии - ¿'/г, где х - расстояние от среза сопла, отсчитываемое вверх по потоку. Как следует из формул, величина диффузионного потока уменьшается при продвижении навстречу набегающему потоку, так что при некотором значении числовые значения потоков становятся близкими. Обозначим это общее эначкение хо- Тогда значение хо может быть использовано для величины затекания.

Из условия равенства потоков = Р? получаем выражение для хо:

у/п а0М0 . а^ J- аоМо + 2atx,Ai0,

'V a IMV v 2 a^Ml '

из которого видно, что увеличение скорости набегающего потока должно приводить к уменьшению величины затекания, а увеличение нерасчет-ности- к его увеличению. Пример исследования структуры течения в зависимости от числа Маха набегающего потока проиллюстрирован на рис. 3 для числа Res = 2(Кп = 0.6). Здесь изображены изотермы газа для различных скоростей движения тела. Представленная серия расчетов наглядно демонстрирует уменьшение величины затекания газа струи при увеличении скорости движения, что дает качественное подтверждение сделанных выводов. Кроме того, из расчетов следует, что хотя Re = const во всех приведенных расчетах, картина течения существенно зависит от конкретной величины параметра М^, в то время как для изолированных тел параметр Res однозначно определяет режим течения. Поэтому режим течения газа при обтекании тела со струей не может быть однозначно определен одним параметром, как это можно сделать для изолированных тел; здесь необходимо задание конкретной величины Мм. Иллюстрацией влияния числа Маха набегающего потока на эффект затекания газа струи ( см. рис. 4 ) служат изолинии угла наклона линий тока для двух вариантов, характеризующихся числами М^ = 6.13, йе,*, = 12.40 и Мао = 23.0, = 46.71. Изолинии проведены через 45° ( от 0° до 180° ).

Кроме того, в работе было проведено исследование влияния согласованных граничных условий для различных моделей описания, которое

□оказало хорошее совпадение результатов расчетов при числе Прандтля, равном единице. При резких изменениях нерасчетности струи время релаксации было определено с помощью численного счета. Главное отличие от стационарного режима течения состоит в формировании вихря вблизи фронта сжатия (при больших числах Рейнольдса была бы ударная волна) и в сносе этого вихря при уменьшении нерасчетности. Образование вихря связано с "выпрямлением" изохор, поскольку снижение плотности истекающего из сопла газа приводит к более традиционной картине обтекания тела со струей, при которой эффекты разреженности среды выражены слабее; ударная волна приближается к телу, а "избыток" затекшего в результате разворота струи газа "выдавливается" вниз по потоку.

Как известно, уравнения вязкого газа можно вывести из кинетического уравнения Больцмана, вывод которого в свою очередь базируется на использовании уравнения Лиувилля и теории Гамильтона. Потенциальная энергия системы определяется суммой энергий парных взаимодействий между частицами и энергий взаимодействий частиц с границей. Однако считается, что если потенциал взаимодействия быстро спадает с расстоянием, то влиянием границ можно пренебречь и рассматривать асим-тотический случай с бесконечным числом частиц, но с конечной средней плотностью. Таким образом, вывод уравнения Больцмана приводится без учета влияния границ.

Влияние границы учитывается через граничное условие, налагаемое на функцию распределения после построения балансовых соотношений для количества частиц в элементарном объеме в безграничном пространстве. Тем самым в указанном подходе выполняются законы сохранения массы и количества частиц, но не учитывается закон сохранения момента количества движения; последний выполняется в силу изотропности физического пространсва. В данной работе предлагается учесть изменение момента количества движения в элементарном объеме; в результате построено модифицированное уравнение Больцмана и Лиувилля.

В частности для уравнения Лиувилля конвективная производная принимает вид

— + ( с д \ д/У-I X, д/ы

М ~ д1 ^ ' 1дх, ] 41 ' дх, Г-7 дх} \ т '

Главный вклад вблизи поверхности дают одинаковые индексы, что связано с присутствием стенки и максимальным значением градиента функции по нормали к стенке. Итак, здесь присутствует одно традиционное слагаемое • и второе нетрадиционное £ • ¿^-(^

Таким образом, мы получили уравнение, в котором учтены все законы сохранения, фигурирующие в механике. Следовательно, уравнения механики сплошной среды и в случае идеального газа должны включать в себя закон сохранения момента количества движения. Метод молекулярной динамики, применяемый при численном решении задач, является вполне обоснованным при соблюдении усовий применимости кинетической теории, поскольку все балансовые соотношения выполняются. Переход от И- частичной функции распределения к одночастичной по-прежнему возможен двумя путями: а) построение балансовых соотношений для' одночастичной функции и б) интегрированием уравнения для Л^-частичной функции по фазовому пространству.

Для уравнения Больцмана конвективная производная имеет вид

Iи 1 \-дхх\ 1 дх, 1- 3 дх} 1 7п '

где I - интеграл столкновений.

Умножим правую и левую часть последнего уравнения на функцию ¥> = ¥>(01

дт / +£ / +к - - / к™=^

здесь интеграл столкновений, который получается после умножения исходного интеграла столкновений на функцию <р =

Теперь запишем традиционные определения газодинамических величин через функцию распределения:

п((,х) = I /(¿,х,0 «(¿,х) = 11 Р,] =т ! с, с,

Яг,= У ¡С2 С, ¿1

Здесь с = £ — и - тепловая или собственная скорость молекул. При изменении функции распределения мы должны изменить определение плотности или закон сохранения массы. Наименьшие изменения претерпевают

законы сохранения, если изменить определение плотности в случае движения газа, но вклад новой величины в плотность будет чрезмерным и не понятна трактовка добавленного слагаемого. Следовательно, все определения плотности, скорости и температуры необходимо оставить прежними. Как и раньше, в качестве функции возьмем сумматорные инварианты т,т 4ч 1/2т ц,2. При у = т получаем уравнение неразрывности с новым слагаемым

др дрщ д , дри, _ о дt дх, дх, 3 дх}

Полученное новое уравнение имеет вид, отличный от рассмотренного выше. Заметим, что отсутствие слагаемого со второй производной в законе сохранения плотности в классических уравнениях связано с неучтенно стью вращения, создающего эффект диффузии в элементарных объемах.

При ц> — т£, выводим уравнение движения

дри, д , _ дРг1. X,

В седьмой главе приводится решение задачи о влиянии стратификации воздуха на процесс расширения трехмерной вязкой сжимаемой струи, истекающей из сопла аппарата, летящего на большой высоте. Решается параболизованная система трехмерных уравнений Навье-Стокса. На основании анализа полученных численных результатов предлагается приближенная методика определения влияния стратификации на высотах 110 < Н < 150 км. Дано объяснение причины близости результатов, полученных с применением разных моделей (идеальный или вязкий) газ.

Дело в том, что для больших высот дополнительным фактором, усложняющим картину течения, является неоднородность плотности по высоте. Следует заметить, что природа влияния стратификации различна на малых и больших высотах; на малых высотах основные эффекты связаны с влиянием силы тяжести; набольших высотах существенна неоднородность атмосферы и ее неравновесность.

Данная часть работы посвящена :

1) численному и аналитическому исследованию процесса расширения сверхзвуковой струи работающего двигателя (число Маха набегающего потока Мое >10, число Маха истекающей струи М0 > 2) в страцифици-["•'1.Л.ШЮМ воздухе при расширении струи на больших высотах Н > ПО км;

2) методике оценок влияния магнитного поля на поле течения проводящего газа в воздухозаборнике простейшей формы и анализу физико - химических процессов в окрестности носика летательного аппарата с малым радиусом затупления для меньших высот;

3) построению картины распределения концентраций отдельных компонент газа струи в окрестности летательного аппарата приближенным методом. Л::робация алгоритма расчета выполнена сравнением результатов расчета, полученных Г. Вер дом с сотрудниками и нами. Полученные результаты позволяют изучать процессы диффузии газа вверх по потоку.

Вся область струйного течения ввиду ее большого размера может быть описана в рамках модели механики сплошной среды. По мере расширения струи вниз по потоку ширина ст^уи становится соразмерной с "высотой" однородной атмосферы Нд = где д - ускорение силы тяжести, - универсальная газовая постоянная, Тд = Тд(х) - температура воздуха на высоте. В результате моделирование течения в струе даже для горизонтально летящих аппаратов становится трехмерным. Однако, пока центральная часть струи остается изэнтропической, можно пользоваться приближенной методикой, использующей преобладание кинетической энергии направленного вниз по потоку движения. В результате значение тепловой энергии оказывается на порядок меньше значения кинетической. Возмущение температуры за счет стратификации является величиной второго порядка малости, так что в сечении струи происходит перераспределение кинетической энергии и плотности. Решение системы уравнений получено маршевым методом, расчет проведен с использованием фиксированного количества узлов на постоянной сетке, причем расчетная область вниз по потоку расширяется. При переходе от слоя к слою для расчета по пространству производится интерполяция функций с помощью кубического сплайна, ибо использование более грубой интерполяции ведет к развитию неустойчивости. Для аппроксимации оператора переноса применяется схема "направленные" разности второго порядка.

В качестве начальных условий используются результаты расчетов осе-симметричной струи, экстраполированные на стратифицированную атмосферу при предположении, что для течения в сильно недорасширенной струе выполняется принцип подобия I ~ у^Уп, где Ко и Коо-скорость истечения струи и скорость набегающего потока, ¿-любой характерный размер струи. Так как коэффициент нерасчетности пропорционален давлению равновесной атмосферы на данной высоте, то приведенное соотношение позволяет экстраполировать результаты расчета для осесимме-тричной струи на любую высоту.

Уравнение состояния в стратифицированной струе имеет вид , = (&+*-.),.

Ра }

где Р и р -давление и плотность на данной высоте; Рд и рд - равновесная плотность газа в стратифицированной атмосфере.

Вообще говоря, чем больше высота, тем ближе к соплу необходимо выбирать начальные данные.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы:

1) Представлена методика исследования совокупности процессов, возникающих в результате выделения значительного количества энергии в различных частях области, возмущенной первым взрывом.

2) Установлена природа усиления ударных волн за счет догорания мелкодисперсных частиц продуктов детонации.

3) Установлено, что влияние формы тела на безразмерный профиль скорости пограничного слоя является доминирующим по сравнению с ускорением> что уменьшение потоков на стенку требует больших расходов газа (жидкости); кроме того, найдено, что ускорение потока способствует безотрывному обтеканию, а замедление отрицательно сказывается на характере динамического профиля.

4) Предложена модификация уравнений Навье-Стокса (уравнений пограничного слоя), позволяющая получить экспериментально наблюдаемые простейшие турбулентные течения с использованием одной молекулярной вязкости, а также получены аналитические решения простейших задач, проверенные численным расчетом.

5) Исследован режим обтекания тела со струей на большой высоте при сверхзвуковом течении, определено расстояние, на которое газ струи разворачивается вверх по потоку, установлена роль граничных условий па согласование результатов расчета по моделям Навье-Стокса и БГК, изучена перестройка течения ври внезапном изменении нсрасчетности струи. Таким образом, построена общая картина течения газа в окрестности аппарата, двигающегося на большой высоте со сверхзвуковой скоростью и предложена методика для приближенного расчета распределения отдельных компонент газа в окрестности аппарата.

Кроме того, дана модификация кинетических уравнений, позволяющая учесть изменение момента количества движения при значительных градиентах функций внутри элементарного объема.

0) Определено влияние стратификации воздуха на процесс расширения струи на большой высоте, с помощью численного решения усеченных трехмерных уравнений Навье-Стокса. Предложена простая методика учета стратификации воздуха на расширение струи. Рассмотрено влияние степени нелинейности коэффициентов переноса на ширину волн сжатия.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Прозорова Э.В. К вопросу об автомодельных движениях излучающего газа. Вестник ЛГУ. 1974. N 7. с.133-135.

2. Прозорова Э.В. Некоторые автомодельные задачи в газовой динамике. Вестник ЛГУ. 1975. N19. с.108-113.

3. Прозорова Э.В. Об автомодельности движений нестационарного пограничного слоя. ПМТФ. 1975. N4. с. 122-125

4. Прозорова Э.В. Некоторые нестационарные задачи пограничного слоя. Вестник ЛГУ. 1976. N 7. с.114-118.

5. Прозорова Э.В. Несколько нестационарных задач нестационарного пограничного слоя. ПМТФ. 1976. N 6. с. 56-60.

С. Прозорова Э.В. К вопросу о решении нелинейного уравнения теплопроводности. Вестник ЛГУ. 1977. N 19. с.110- 113.

7.Антонова Л. А., Прозорова Э.В. К вопросу о решении нелинейного двумерного уравнения теплопроводности. Вестник ЛГУ. 1978. N 19. с.89-92.

8. Прозорова Э.В. К вопросу о решении некоторых нестационарных задач газовой динамики. Численные методы механики -сплошной среды. Новосибирск: Изд. ин-татеорет. и прикладн. механ. СО АН СССР. 1978. т.9, N 7. с. 93-96

9. Прозорова Э.В. К вопросу о расчете движение теплового фронта сильно нагретой области. ЖТФ. 1980. т. 50, N1, с. 166-168.

10. Мареев В.В., Прозорова Э.В. Влияние неоднородности плотности на распределение температуры и параметры ударных волн. ЖТФ. 1981. N1. с 669-678.

11. Прозорова Э.В. Структура нелинейных волн в некоторых вяз-копластических средах. ЖТФ. 1982. N2 с. 141-143.

12. Прозорова Э.В. Применение обшего решения линейного уравнения для численного интегрирования. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Изд. ин-та теорет. и прикладн. механ. СО АН СССР.1981. т.12, N 6. с. 80 - 83.

13. Прозорова Э.В. Влияние нелинейных коэффициентов переноса на структуру плоских ударных волн. ЖТФ. 1983. N3, с. 141-144.

14. Прозорова Э.В. Модель локальной автомодельности для нестационарного пограничного слоя.Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Изд. ин-татеорет. и прикладн. механ. СО АН СССР. 1983. t т.14, N1." с. 113-116.

15. Прозорова Э.В.Решение уравнений нестационарного пограничного слоя. ПМТФ. 1983. N2. с. 47-49.

16. Герм В. Э., Прозорова Э.В. Обтекание тела с истекающей нз него сверхзвуковой струей при больших нерасчетностях. Численные методы i вязкой жидкости. Изд. ВЦ и Ин-та теорет. и прикл. механ. СО АН СССР. 1986. Т. 17 N. 1 с. 47- 56.

17. Герм В. Э., Прозорова Э.В. Обтекание тела со струей сверхзвуковым потоком газа. Проблемы вязкой жидкости. Изд. ВЦ и Ин-та теорет. и прикл. механ. СО АН СССР. 1985. с. 47-56.

18. Герм В. Э., Прозорова Э.В. Обтекание тела со струей сверхзвуковым спутным потоком.Тр 8-й Всесоюз. конф. по динамике разрежен, газов. М.,1987. С. 30-36.

19. Мареев В. В., Прозорова Э.В. Численное исследование влияния догорания твердых частиц и кумуляции на интенсивность ударных волн. Фундаментальные проблемы физики ударных волн. Черноголовка. 1987. Т.2. с. 134-135.

20. Герм В. Э., Прозорова Э.В. Влияние нестационарной истекающей струи и стратификации воздуха на обтекание тела при больших степенях нерасчетности Сб.научн.трудов " Моделирование в механике", 1990,т.4, N.1.

21. Герм В. Э., Прозорова Э.В. Влияние разреженной среды на обтекание тела со струей. Изв.АН СССР. МЖГ, 1991. N1

22. Герм В. Э., Прозорова Э.В., Сеткеев Е. П. Влияние нестационарной исте- кающей струи и стратификации воздуха на обтекание тела t при больших степенях нерасчетности. Сб..научн.трудов: Моделирование

в механике, 1990, Т.4, N1, с. 98-102.

23.Prozorova E.V. The influence of Nonlinear Numerical viscosity on the solution of the Transport equation. Collected int.conf. OFEA-95. St.Peters.

24. Герм В. Э., Прозорова Э.В. Течение у поверхности высотного гиперзвукового реактивного аппарата. Математич. моделиров. 1996. N7. с.9-14.

25. Прозорова Э.В. Уравнение Корчевега-де Вриза-Бюргерса с граничными условиями на поверхности. Сборник докл.: BEM-FEM-УУ, С.Петербург. 1999. с.240-243.

26. Прозорова Э.В. Влияние стратификации на расширение струи в

pa^i« жяиюм и разреженном газе. Математнч модслиров. 1999. Т.П. N'J, 11)99. с. 115-1 '20.

27 Прозорова Э.В. Влияние дисперсии ь модели Реннольдса. С'борн. доки.конф. BBM-FEM-2000. С.Петербург. 2000. c.J 12-115.

28.1'rozorova ЕЛ'. The iniluence of tho dispert.ion in the Boltzrrian eqiui-tion. Proseedings of the 4- th St.Petersburg Workshop on Simulation. S. St.Petersburg. 2001. 405-409.

29. Воропкова А.И., Прозорова Э.В. Численное исследование влияния дисперсионных эффектов в задачах пограничного слоя. Сборн.докл. конф.: т. 2, BEM-FEM-2001, т. 2. С.Петербург. 2001. с. 110-115.

30. Прозорова Э.В. Влияние дисперсионных эффектов вблизи возмущенных поверхностей в газе, жидкости и твердом теле. Сборн.докл. конф.: т. 3, BEM-FEM-2001,т. 3, С.Петербург. 2001. с.49-52.

31. Прозорова Э.В. Влияние дисперсионных эффектов вблизи возмущенных поверхностей. Proceeding of the 2-nd International Conference. St. Petersburg. OFEA- 2001. St. Petersburg, pp. 92-102.

U-10" см/с 2.01.00.0 Л...... II f> / I II

f / i.o r

pik 1

4 6""3"lO I2"l<"l£"is"20 G~2~4 E 8~ Ю-'з" IS 20 0 г ¡ 6 8—1С i: U'lí'lt"»

a=0 2

~7 i~fi""e"':"t2"i¿"!6" e'20 с г""гбти"1:'н'15'и"г» о г < 6 i ib i: u il ib i

a=0.332

' J 6 3 1С ; II 16 18 2D

с ~б"в" i o" i г i i ' i в i b"xi

a=l

08 a 61 0 t 02

r

О 2 4 Б 3 10 12 14 16 10 2C

C>—2 4 6 3 !0"l2'll"l6"lB"2a 01 0

a=2

г-!-в в i cri 2*14 16"18 20

C2|

C~Г ~6_3"l(ñ2"u"16"ie"20

0 2 4 5 В-Ш 12 14 16 18 20 ^ -0 lb

a=3

! 4 6 8 n 12 16 13 X

оiiTii is'ii'io'ie"»

•D 1 ■02 •03 ■0 4

■OS

7 « 6 В ID 12 14 16 IB 20

a=S

Рис.3. Карты изолиний для различных скоростей движения тела при постоянных значениях параметров Кп = 0.6 (Re, = 2),п = 4.13-Ю5: а. М? = 7.66, Ле, = 15.57 б. Л7« = 9.19, Лек = 18.68

в. А/, =6.13, Ле, = 12.46 г. Мг = 15.32, Да, = 31.14

д. М, = 22.99, Ле. =46.71

и

Рис.4. Карты изолиний угла наклона вектора скорости, а. = 6.13, Яе, = 12.46 б М, = 22.99, Яе, =46.71

Подписано в печагь27.06.03. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. псч. л. 1,63. Тираж 100 экч. Заказ №

ЦОП типографии Издательства СПбГУ. 199061, С-Петербург, Средний пр.,41.

- f\

" lojo <f

»2070^ '

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Разностные схемы и их апробация

Согласование порядков аппроксимации 24 Вклад дисперсионных эффектов в некоторых разностных схемах 27 Применение общего решения линейного дифференциального уравнения для численного интегрирования

Автомодельные задачи

Формирование ударной волны в быстро нагретом газе

Взаимодействие ударных волн

Глава 2. Структура волн с градиентами в нелинейных средах

1. Структура слабых нелинейных волн в некоторых вязкопластических средах

2. Влияние нелинейных коэффициентов переноса на структуру плоских ударных волн

3. Влияние нелинейности коэффициентов вязкости и дисперсии на структуру волн

Глава 3. Исследование процессов взаимодействия сильных ударных в возмущенной среде

1. Приближенный расчет движения теплового фронта оптически толстой среды

2. Приближенный расчет движения теплового фронта по нелокальным формулам

3. Распространение ударных волн по сильно нагретому газу

4. Влияние неоднородности плотности на распределение температуры

5. Распространение тепловой волны второго возмущения

6. Ударные волны, возникающие при вторичном возмущении

Глава 4. Формирование ударных волн при быстром выделении энергии с учетом догорания твердых частиц в процессе расширения

1. Постановка задачи

2. Метод решения

3. Результаты расчета в воздухе

4. Результаты расчета в воде

5. Выводы

Глава 5. Влияние ускорения на формирование пограничного слоя в вязкой среде при больших числах Рейнольдса

1. Решение нестационарных задач пограничного слоя несжимаемой жидкости в автомодельных переменных

2. Модель локальной автомодельности для нестационарного пограничного слоя

3. Решение нестационарных задач сжимаемого пограничного слоя в автомодельных переменных

3. Решение неавтомодельных уравнений нестационарного сжимаемого пограничного слоя

4. О роли дисперсионных эффектов вблизи поверхностей

Глава 6. Влияние плотной струи на сверхзвуковое обтекание тела со струей потоком разреженного газа

1. Физическая картина обтекания тела со струей при больших нерасчетностях

2. Решение стационарной задачи. Решение нестационарной задачи

3. Результаты расчетов и выводы

4. Качественное исследование эффекта затекания

5. Условия возникновения передних вихревых зон

6. О роли дисперсионных эффектов вблизи поверхностей в кинетических уравнениях

Глава 7. Расчет струйных течений

1. Разностная схема для укороченных уравнений Навье-Стокса и баланса энергии. Матричная запись уравнений

2. Экономичная разностная схема второго порядка аппроксимации

3. Влияние магнитного поля на течение в воздухозаборнике

4. Оценки релаксационных и электрофизических параметров

5. Приближенный метод расчета концентраций компонент газа струи вблизи летательного аппарата

Ийтерес к разделу аэродинамики, связанному с исследованием процессов с большими градиентами, обусловлен изучением космоса и широким внедрением в практику новых технологии, необходимостью построения адекватных математических и физических моделей ряда природных явлений и техногенных катастроф.

Основными объектами исследования в данной работе является собственная атмосфера летательного аппарата с работающим на твердом топливе двигателем на большой высоте (плотная истекающая струя в разреженном газе); новая математическая модель описания разреженного газа; вопросы взаимодействия нелинейности, нестационарности, диссипации и дисперсии в задачах пограничного слоя; условия усиления сильных взрывов. Рассматриваемые процессы описыпа-ются системами нелинейных уравнений в частных производных или интегро-дифференциальными уравнениями. Для получения результатов используются разнообразные методы: аналитические и численные. В силу различия характеристических свойств уравнений, описывающих процессы, используются различные конечно - разностные схемы. Их апробация реализуется на модельных задачах, содержащих основные особенности задач, выбранных для решения. Модельными выбраны автомодельные задачи с особенностями нужного типа.

Для задачи обтекания тела с плотной струей потоком разреженного газа анализируются особенности смешанного характера течения, когда часть области занята разреженным газом, часть области занята плотным газом. Математическое решение задачи сводится к решению системы уравненний Навье-Стокса для области, занятой плотным газом; уравнения Больцмана или его аналога для разреженного газа и сшивки этих решений в переходной области. В работе используется модель БГК (Батнагара-Гросса-Крука). Исследуется перестройка газодинамических полей при внезапном изменении нерасчетности струи; определяются размеры области затекания и расстояние, на которое газ струи распространяется вверх по потоку; определяется влияние стратификации воздуха на процесс расширения струи; анализируется роль граничных условий в модели описания. Комплексная численно-аналитическая методика позволяет предсказать и выделить физические особенности задачи и исключить влияние вычислительных погрешностей в качестве первопричины их появления.

Для режимов, где годится концепция нестационарного " пограничного" слоя, изучается действие различных факторов (состава газа, реалогии, градиента давления) на динамический и тепловой профили. Численно решаются задачи нестационарного пограничного слоя. Доказана автомодельность некоторых нестационарных задач.

С ростом скоростей движения различных тел ламинарное течение переходит в турбулентное. Описание такого типа течения до сих пор представляет проблему. В работе предлагается новая модель, включающая все законы сохранения: массы, количества движения, момента количества движения и энергии, позволяющая хотя бы в простейшем случае получить некоторые турбулентные профили с использованием одной молекулярной вязкости.

Усиление ударных волн рассматривается в условиях, когда вначале происходит сильный взрыв, формирущий сильную ударную волну, после чего реализуется второй сильный взрыв в той или иной области первичного возмущения. В силу многочисленности возможных вариантов взаимодействия сильных взрывов предварительно аналитическими методами проводится исследование по поиску оптимальных условий реализации взрывов с точки зрения получения максимальной интенсиве ности ударных волн.

В первой главе проводится анализ выбора разностных схем, пригодных для решения указанных выше задач и их апробация.

Вторая глава посвящена исследованию влияния нелинейных диссипации и дисперсии на структуру ударных волн и волн сжатия.

В третьей главе выстраиваются физическая и математическая модели взаимодействующих взрывов и приводятся результаты их численного исследования.

В четвертой главе для детонационных волн исследуются вопросы усиления ударных волн при догорании мелкодисперсных частиц, входящих в состав топлива, в воде и в воздухе.

В пятой главе приводятся результаты численного решения нестационарных уравнений пограничного слоя и анализируется влияние различных свойств газа и жидкостей, магнитного поля, температуры поверхности на динамический и тепловой профили. Предлагается новая модель описания течения газа в условиях больших скоростей движения и связанного с этим изменения момента количества движения.

Шестая глава посвящена построению стационарной и нестационарной картин обтекания тела с плотной истекающей струей разреженным газом. Обсуждается и предлагается новая кинетическая модель описания разреженного газа в условиях больших градиентов.

В седьмой главе приводится решение задачи о влиянии стратификации воздуха на процесс расширения трехмерной вязкой сжимаемой струи, истекающей из сопла двигателя аппарата, летящего на большой высоте. Таким образом, выстраивается общая картина течения газа в окрестности аппарата на большой высоте. Предлагается методика для приближенного расчета распределения отдельных компонент газа в окрестности аппарата.

В заключении сформулированы выводы, следующие из результатов работы. е

Приложения содержат громоздкие формулы, которые могут затруднить чтение работы.

В связи с недостаточной изученностью перечисленных проблем и

-sих важностью тема работы является актуальной. Используемая методика исследования базируется на предварительном анализе задачи аналитическими методами с целью выделения главных особенностей задачи и последующей численной проверкой полученных результатов. Используются результаты теории разностных схем, дифференциальных уравнений и теории уравнений в частных производных.

Актуальность выбранной темы диссертации следует из факта распространенности исследуемых явлений в практике при недостаточной их изученности.

Положения, выносимые на защиту:

1. Определение роли градиента давления, ускорения, степени нелинейности вязкости на динамический и тепловой профили нестационарного ламинарного пограничного слоя.

2. Математическая модель описания течения вязкой жидкости и сжимаемого газа вблизи возмущающих поверхностей, заключающаяся в учете изменения момента количества движения внутри пограничного слоя через третью производную в уравнении движения с коэффициентом дисперсии, пропорциональным расстоянию от поверхности, и второй производной в уравнении неразрывности.

3. Обоснование эффекта затекания газа струи вверх по потоку при движении аппарата с работающим на твердом топливе двигателем на высоте Н > 110 км. Вычислительная модель решения указанной задачи, заключающаяся в применении модели сплошной среды в области, занятой плотным газом струи, кинетическим уравнением в области, занятой разреженным газом, и сшивки решений в переходной области. Выяснение соответствия решений задачи по различным моделям при идентичных граничных условиях, определение времени релаксации О течения при смене режима работы двигателя и определение условий фокусировки образующихся ударных волн, формирующихся около передних кромок с малыми радиусами кривизны.

4. Полученная новая кинетическая модель описания разреженного газа вблизи возмущающих поверхностей, заключающаяся в модификации 'конвективного оператора, следующая из необходимости учета кроме законов сохранения массы, количества движения и энергии закона сохранения момента количества движения.

5. Численное и аналитическое исследование влияния стратификации воздуха на процесс расширения газодинамической струи, истекающей из сопла двигателя на высоте Н > 110 км.

6. Численно-аналитическая методика определения условий реализации ударных волн максимальной интенсивности при различных условиях проведения двух сильных взрывов.

Апробация результатов работы. Результаты работы регулярно докладывались на Всесоюзных школах по численным методам механики вязкой жидкости, на Всесоюзных и международных конференциях по динамике разреженного газа, на семинарах МГУ, на международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях, OFEA-95, OFEA-Ol, BEM-FEM, 4-th St. Petersburg workshop on Simulation, на семинарах физического и математического факультетов С. Петербургского университета.

Основные выводы состоят в следующем:

1. Ударные волны с максимальной интенсивностью получаются в случае вторичного выделения большой энергии вблизи центра возмущения малой интенсивности. Первая ударная волна выполняет роль поршня, расталкивающего среду. В результате тепловая волна второго возмущения расширяется гораздо быстрее и легче формируется ударная волна, причем изотермических ударных волн в реальном равновесном газе, если учитывать плотность энергии излучения и его давление, при температурах выше 1.2-106 К, не существует.

2. Усиление ударных волн за счет догорания продуктов детонации при их расширении происходит за счет перехода твердых частиц в газовую фазу, связанного с этим повышения давления и более медленным его падением за фронтом волны. Описанный эффект существен как при разлете продуктов мгновенной детонации в воздухе, так и в воде. При разлете в воде твердые частицы сгорают столь быстро, что контактная поверхность практически не сдвигается. Поэтому роль повышения давления из-за перехода твердых частиц в газовую фазу сводится к поддержанию волнового процесса - формированию волн сжатия, движущихся к центру и обратно, внутри газового пузыря.

3. Для ламинарного нестационарного пограничного слоя влияние градиента давления и, следовательно, формы тела является превалирующим на безразмерные динамический и тепловой профили по сравнению с влиянием ускорения. Влияние на эти профили членов, ответственных за диссипацию энергии и работу сил давления для газа всегда мало. Уменьшению потоков на стенку за счет вдува газа через границу требует больших расходов газа. Поэтому изменение трения и теплового потока в основном должно происходить за счет фазовых переходов и за счет изменения состава газа внутри пограничного слоя. Трение и тепловой поток на стенку с включением магнитного поля снижаются так же, как в стационарном случае. Доминирующим фактором, формирующим тепловой профиль в неньютоновской жидкости при внезапных движениях, является вязкость; при постепенном ускорении влияние вязкости и теплопроводности на формирование теплового профиля соизмеримо. При отрицательных градиентах давления замедление или ускорение течения не приводит к отрыву потока, при положительных градиентах давления в случае ускорения потока отрыва также не возникает.

4. Результатом уменьшения нерасчетности струи при обтекании тела с плотной струей при больших нерасчетностях является образование вихря вблизи волны сжатия( ударной волны ) и снос этого вихря потоком. Для идентичных чисел Прантля, показателя адиабаты у и одинаковых граничных условиях модель Крука и модель Навье - Стокса дают приблизительно одинаковые результаты при числах Re*, « 15 1.5 и п « 104 -5- 5-105. На основании численного решения задачи обтекания по модели сплошной среды и по модели разреженного газа получается, что при небольших значениях п = л

10 струя расширяется незначительно и наблюдается известная картина обтекания, характерная для малых п. С ростом нерасчетности область, занятая расширяющейся струей, увеличивается, и при п « 105 часть массы газа струи разворачивается в обратном направлении и начинает затекать в сторону внешнего потока. При дальнейшем росте п наблюдается качественное изменение картины течения, а именно: затекающая в обратную сторону часть газа струи создает в окрестности обтекаемого тела область большой плотности и тело обтекается в основном не внешним потоком, а газом, истекающим из сопла. При больших нерасчетностях тело с примыкающей к нему зоной высокой плотности имеет значительно большие размеры, чем размеры самого тела.

5. Классическая теория разреженного газа и механика сплошной среды, развитая для безграничной среды, должна быть модифицирована вблизи возмущающих поверхностей. Изменение момента количества движения приводит к изменению конвективного оператора как в кинетических уравнениях, так и в механике сплошной среды.

-212-Заключение

Диссертационная работа посвящена исследованию быстропротекающих процессов аэрогидромеханики с градиентами параметров, построению их ® адекватных физико-математических моделей и получению численно-аналитических решений сформулированных задач. Математически такого рода явления описываются нелинейными уравнениями в частных производных. Формирование собственной атмосферы летательного аппарата с работающим двигателем на большой высоте относится именно к таким проблемам. Традиционная картина сверхзвукового обтекания аппарата без учета влияния истекающей струи не дает адекватного представления о характере течения и размере возмущенной области. На меньших высотах ^ начинает сказываться турбулентность атмосферы. Известные варианты описания турбулентного движения жидкости и газа носят полуэмпирический характер. Один из возможных вариантов замкнутой теории приводится в работе. Предлагается модификация уравнений Лиувилля и кинетического уравнения Больцмана, позволяющая учесть не только законы сохранения массы, количества движения, энергии, но и момента количества движения. Предложена физико-математическая модель описания такого сложного течения, когда часть области занята плотным газом, часть - разреженным. Численно реализовано решение уравнения Навье - Стокса с условиями скольжения и скачка температуры в области, занятой плотным газом, и Ф уравнения Крука в области, где газ разрежен. Частично исследована роль граничных условий на результаты расчетов по разным моделям. Исследовано время релаксации течения при внезапном изменении нерасчетности струи работающего двигателя. Решен вопрос о возможности затекания газа струи вверх по потоку, определено расстояние, на которое газ струи разворачивается. По мере расширения струи вниз по потоку на структуру струи начинает сказываться стратификация воздуха. Дано численное решение трехмерных • усеченных уравнений Навье-Стокса маршевым методом. Предложена приближенная методика по определению влияния стратификации воздуха на процесс расширения струи. Полная картина течения получена впервые.

В работе для широкого диапазона параметров течения получено решение новых нестационарных задач пограничного слоя и выявлено влияние различных факторов ( вдува, состава газа, реологии) на динамический и тепловой профили. Предложена новая система уравнений пограничного слоя, включающая изменение момента количества движения вблизи возмущающих поверхностей. Система уравнений выводится из кинетического уравнения Больцмана. Модель апробирована численным и аналитическим решением простейших модельных задач. Результаты позволяют надеяться на возможность описания турбулентного течения с помощью одной молекулярной вязкости. Предложенная модель является новой и ранее не обсуждалась.

Исследовано влияние нелинейных коэффициентов вязкости и дисперсии для уравнений Бюргерса, Кортевега-де Вриза- Бюргерса на простые волны и структуру слабых ударных волн, а также в некоторых разностных схемах.

В диссертации впервые проводится численно-аналитическое исследование совокупности процессов, возникающих в результате выделения значительного количества энергии в областях с изменениями плотности, температуры, давления. Для этого предварительно рассматриваются тепловые волны, распространяющиеся в однородной среде за счет лучистой теплопроводности, анализируется влияние росселандовой длины пробега излучения на скорость распространения энергии в условиях градиентов плотности, изучается характер перераспределения кинетической энергии ударных волн в тепловые виды энергии и наоборот. Предложена простая методика простых оценок эффектов взаимодействия тепловых и ударных волн. Эффективность и непротиворечивость методики проверяется сравнением результатов численного счета с получаемыми приближенными значениями. В результате установлен факт оттока газа от первой волны в цилиндрическом и сферическом случаях и отсутствие оттока в плоском случае. Ударные волны максимальной интенсивности получаются в случае вторичного выделения энергии вблизи центра возмущения малой интенсивности. Выявлены условия и причины усиления ударных волн за счет догорания твердых частиц, содержащихся в продуктах детонации.

1. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошныхсред. М. : Наука, 1984.- 520с.

2. Численное моделирование в аэрогидродинамике./ Под ред. Г.Г. Черного.1. М.: Наука, 1986.- 546с.

3. Численное решение задач гидромеханики./Под ред. Р. Рихтмайера. М.:1. Мир, 1.977.- 204с.

4. Вычислительные методы в гидромеханике./ Под. ред. Б. Олдера, С.

5. Фенбаха, M. Ротенберга. M.: Мир, 1967.-е.

6. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамикиизлучающего газа. М.: Наука, 1985. - 309с.

7. Численные методы исследования течений вязкой жидкости./ Под. ред.

8. Госмен А. Д. и др. М.: Мир, 1972. 324с.

9. Роуч П. Вычислительная гидромеханика. М.: Мир, 1980. - 615с.

10. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовойдинамики. М.: Наука, 1980.- 352с.

11. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.:1. Наука, 1975.-350с.

12. Анучина А. А., Бабенко К.И., Годунов С.К. и др. Теоретические основыи конструирование численных алгоритмов задач математической физики.- М.: Наука, 1979.- 295с.

13. Ковеня В.М., Яненко Н.Н.- Метод расщепления в задачах газовой динамики. М.: Наука, 1981.-303с.

14. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. /Под ред. Тихонова А. Н. М.: Наука, 1982. - 534с.

15. Аэродинамика и газовая динамика./ Под. ред. Струминского В.В. -М.: Наука, 1976.-335с.

16. Аэромеханика. / Под. ред. B.C. Авдуевского и др. М: Наука, 1976. -332с. ,- 2 1815. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики.- М. : Наука, 1976.- 400с.

17. Соловьев А.В. и др. Метод ячеек Дирихле для решения газодинамических уравнений в цилиндрических координатах.- ИПМ им. М.В. Келдыша, препринт N 80. 1986.-24с.

18. Соловьева Е.В., Шашков М. 10.- Применение метода опорных операторовдля построения разностных схем на несогласованных сетках. М.: ИПМ им. Келдыша, препринт N6, 1984. - 13с.

19. Ворожцов Е.В., Яненко Н.Н. Методы локализации особенностей при численном решении задач газодинамики.- М.: Наука, 1985.- 223с.

20. Маккормак Дж. Численный метод решения уравнений сжимаемых течений. Аэрокосмическая техника.-N 4, т. 1, 1983.-е. 114-123.

21. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно характеристичкпе методы дляисследования многомерных задач,- Численное моделирование . в аэрогидродинамике. М.: Наука, 1986. - с. 143 - 151.

22. Карамышев В. Б., Ковеня В. Н. Метод предиктор-корректор решения задач газодинамики. ЖВММФ, N12, т.28, 1988.

23. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений.- М. : Наука, 1978.-399с.

24. Коробейников В.П. Задачи теории точечного взрыва в газах.- Тр. Матем.ин-та им. В.А.Стеклова. Т.119, 1973.- 353с.

25. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.- М.: Наука, -1966.- 440с.- г 13

26. Зельдович Я.Б.,Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений.- М.: Наука, 1966.-688с.

27. Прозорова Э.В. К вопросу об автомодельных движениях излучающего газа. Вест. ЛГУ, сер. матем., мех.Ы7, 1974. - с. 133-135.

28. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. -Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука , 1987.- 480с.

29. Бахвалов Н.С. Численные методы.-М.: Наука, 1975.-632с.

30. Самарский А.А, Введение в теорию разностных схем. М.:Наука, 1971.552с.

31. Рождественский Б.Л. Метод Пикара как метод численного решения задач математической физики,- Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. N2, т.5, 1974.-е. 96-107.

32. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.-М.: Наука, 1976.-588с.

33. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений.- М.: Наука, 1976.- 342с. 1 .

34. Вычислительные методы в физике плазмы;/ Под ред. Олдера Б., Фернбаха С., Ротенберга М.- М.: Мир, 1974. -514с.

35. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.-744с. .

36. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.

37. Пирумов У. Г., Росляков Г.С. Течение газа в соплах. М.: Изд-во МГУ,1978.-351с.

38. ШокинТО.И. Метод дифференциального приближения.- Новосибирск: Наука. 1979-216с.

39. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. В 2- ух т.: Пер. с англ. М. Мир, 1991.- 552с.

40. Рынков А.Д. Математическое моделирование газодинамических процессов в каналах и соплах.- Новосибирск: Наука. 1988.- 192с.

41. Самарский А. А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи.

42. Методы. Примеры. М. : Физматлит, 2001. - 320с.

43. Годунов С.К., Рябенький В. С.- Разностные схемы.- М.: Наука, 1977.-440с.

44. Ильин В. П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М: Наука. Физматлит. 1995.-389с.

45. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982

46. Михлин С.Г. Некоторые вопросы теории погрешностей.- Л.: ЛГУ, 1988. 334с.

47. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. 264с.

48. Андерсон Д., Таннехилл Дж.,.Плетчер Р. Вычислительная гидромеханикаи теплообмен: в 2-х т. М.: Мир, 1990.- 728-392с.

49. Вычислительные методы в физике. Управляемый термоядерный синтез. /Ред.Киллина Дж.-М.:Мир, 1980,-478с.

50. Демьянович Ю.К. Вычислительные методы для решения задач математической физики.- Л.: ЛГУ, 1986.- 71с.

51. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1988.- 334с.

52. Самарский А. А., Гущин А. В. Численные методы// М.: Наука, 1989

53. Прозорова Э.В. К вопросу о решении некоторых нестационарных задач газовой динамики. Численные методы механики сплошной среды.-Новосибирск: Изд. ин-та теорет. и прикладн. механ. СО АН СССР. 1978. т.9, N 7. с.93-96

54. Прозорова Э.В. К вопросу о расчете движения теплового фронта сильнонагретой области.- ЖТФ. 1980. т. 50, N1.

55. Мареев В.В., Прозорова Э.В. Влияние неоднородности плотности на распределение температуры и параметры ударных волн.- ЖТФ, 1981. N1.-с 669-678.

56. Григорьев Ю.Н., Вшивков В.А. Численные методы " Частицы в ячейках".

57. Новосибирск, Наука, 2000.- 184с.

58. Копченов В. И. Крайко А.Н. Монотонная разностная схема второго порядка для гиперболических систем с двумя независимыми переменными.- Газовая динамика. Избранное : в 2 -ух т. М. Физматлит, 2001.-768с. '

59. Самарский • А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. М.: Наука, 2001. - 256с.

60. Прозорова Э.В. К вопросу о решении нелинейного уравнения теплопроводности. Вест. ЛГУ, сер. матем., Mex.N19, 1977. - с. 110-113.

61. Антонова Л.А., Прозорова Э.В. К вопросу о решении нелинейного двумерного уравнения теплопроводности. Вест. ЛГУ, сер. матем., Mex.N19, 1978. -с. 89-92.

62. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.-М.: Наука, 1971.- 576с.

63. Самарский А.А., Соболь И.Н. Примеры численного расчета . температурных волн. ЖВММФ, N4, т.З, 1963 - с. 9-89.

64. Броуд Г. Действие ядерного' взрыва./Ред. пер. А. С. Попов. М.: Мир,1971. с 9 89.

65. Броуд Г. Расчеты взрывов на ЭВМ. /Ред. пер. В.Н. Николаевский. М.: Мир, 1976.-271с.

66. Прозорова Э.В. Автомодельные задачи в газовой динамике и в пограничном слое./ Сб ст. Физическая механика. Л.: Изд-во ЛГУ, Вып. 3. 1978. с. 46-53.

67. Кузнецов Н.М. Термодинамические функции и ударные адиабаты воздухапри высоких температурах.- М:: Машиностроение, 1965.-464с.

68. Кестенбойм X.C., Росляков Г.С., Чудов JI.A. Точечный взрыв: Методы расчета. Таблицы.- М.: Наука, 1974. 256с.

69. Росляков Г.С., Сухоруков В.П. Разностный метод для расчета течений газ$ с разрывами./Вычислительные методы и программирование,- М.: Изд-во МГУ, вып. 19, 1972. с. 42-58.

70. Росляков Г.С., Сухоруков В.П. Применение сглаживания к расчету разрывных течений./ Вычислительные методы и программирование. -М.: Изд-во МГУ, вып. 15. 1970. с. 121-129.

71. Кузнецов Н.Н. О применении метода сглаживания к некоторым системамгиперболических квазилинейных уравнений. ЖВММФ, N1, т. 13, 1973. с. 92-102.

72. Кузнецов Н.Н., Старова Е.Н., Туманов В.Г. О методе сглаживания. / Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, вып. 19. 1972. -с. 71-82.

73. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука,. 1984.-270с.

74. Деннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений.-М.: Мир, 1988.- 440с.

75. Прозорова Э.В. Применение общего решения линейного уравнения для численного интегрирования. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Изд. ин-та теорет. и прикладн. механ. СО АН CCCP.1981.t.12,N 6. с. 80 83.

76. Прозорова Э.В. Некоторые автомодельные задачи в газовой динамике. Вестник ЛГУ. 1975. N19. с. 108 113.

77. Омельченко А.В., Усков В.Н. Оптимальные ударно- волновые системы.-Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N6, 1995. с. 118 - 126.

78. Хокни Р. Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. -М.:Мир, 1987.-640с. •

79. Современные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. /Под ред. Холл Дж. и Уатт Дж. М.: Мир, 1979.- 312с.

80. Ляхов В.Н., Рыжов О.С. О законе подобия при нелинейном отражении # ударной волны от жесткой стенки. Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа.1. N3, 1977.-с. 116-123.

81. Ляхов В.Н. К вопросу об оценке давления при нестационарном отражении ударной волны.- Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N2, 1977. с.100 -106.

82. Липницкий Ю.М., Панасенко А.В. Расчет одномерных нестационарных течений вязкого газа с помощью неявной дивергентной разностной схемы. Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N1, 1977. - с.97 - 103.

83. Степанова Г.В. Нестационарное отражение плоской ударной волны от ® жесткой стенки.- Физика горения и взрыва. N3, 1976. ^ с.469-471.

84. Глатман Р. А.'Догонное взаимодействие ударных волн.- ЖТФ, N10, т. 47,1977. с. 2144-2150.

85. Знаменская И.А., Шугаев Ф.В. Начальная стадия взаимодействия ударных волн. Уч. зап. ЦАГИ. N1, т.8, 1977. - с.127-129.

86. Тугазаков Р.Я., Фонарев А. С. Начальная стадия столкновения ударныхволн.- Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N5, 1971.- е. 41-48.

87. Бай-Ши И. Динамика излучющего газа. М.: Мир, 1968.-324с.

88. Брушлинский Д.Н., Коробейников В.П. Автомодельная задача о сильномвзрыве с учетом переноса тепла излучением.- Докл. АН СССР, N5 , т. 259-с. 1060-1063.

89. Станюкович К.П. Неустановившееся движение сплошной среды. М.: Мир, 1971 --856с.

90. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика./ Ленинград: Гидрометеоиздат; 1978.- 208с.

91. Samsonow A.M. Exustence and Amplification of Solitary Strain Waves in Non-Lineary Wave-Cuides.// Preprint. 1959. ЛФТИ. Л.,1988, 18p.

92. Prozorova E.V. The influence of Nonlinear Numerical viscosity on the solution of the Transport equation. Collected int.conf. OFEA-95. St.Peters.

93. Prozorova E.B. The influence of Nonliner Numerical Viscosity on the Transport equation. // OFEA 95, St.Petersburg, 25-30 June 1995. "Oral report, p. 45 -50.

94. Быков В. Г. Нелинейные волновые процессы в геологических средах.-Владивосток:. Дальнауки , 2000. 250 с.

95. Алешков Ю.З. Теория волн с преградами.- Л.: Изд. ЛГУ. 1990.- 372 с.

96. Прозорова Э.В. Решение уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса с нелинейными коэффициентами.- Депонировано ВИНИТИ. N 2113-В-94 от 25.08.94. 11с.

97. Прозорова Э.В. Структура нелинейных волн в некоторых вязкопластических средах.- ЖТФ. 1982. N2 с. 141-143.

98. Прозорова Э.В. Влияние нелинейных коэффициентов переноса на структуру плоских ударных волн.- ЖТФ. 1983. N3.

99. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.- М.: Мир, 1977.- 624с.

100. Нелинейные волны. / Под ред. Лейбовича С., Сибасса А.-М.: Мир, 1977,-320с.

101. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.- М.: ГИФМЛ, 1971.- 1100с.

102. Shu Jian- Jun. The proper analytical solutio of the Korteweg de Vries -Burgers equation.-J. Phys.A: Math.Gen.- v.2, 1987.- pp. 149-156.

103. Глатман P.А., Румянцев A.A; Столкновение ударных волн.- ЖТФ, N2. т.46, 1976. с. 373-379.

104. Гвоздева JT. П., Предводителева О.А. Двойное маховское отражение сильных ударных волн. Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N1, 1968. -с.23-31.

105. Васильев М.М. Об отражении сферической волны от плоскости.-Вычислительная математика. М.: Изд-во ВЦ АН СССР. N6, 1960. с. 8799.

106. Юб.Кестенбойм Х.С., Шуриков А.И. О некоторых особенностях отражения ударной волны от плоскости.- Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N3, 1978.-с. 111 -116.

107. Подлубный-В.В. К задаче взаимодействия трех ударных волн.- Уч. зап. ЦАГИ. N4, т.9, 1978. с.102 - 106.

108. Chang T.S.6 Zaporte О. Reflection of strong blast waves.- N8, v.7, 1964.-pp.1225-1232.'

109. Scala S.M., Gordon P. Reflection of a shock wave at a surfase.- Phys.Fluids, v. ?, 1966. -pp. 1158-1166.

110. Красовская И.В., Сыщикова М.П. Некоторые свойства течения, возникающие при встречном столкновении двух взрывных волн.- ФГВ, N55, т. 21, 1985. с. 113-116.

111. Кутлер Р., Сэкел Л. Трехмерная проблема взаимодействия ударных волн. AIAA, N10, т. 13, 1975.- с.1360-1367.

112. Jones Е.М., Smith P.W., Straka W.C. et al. Interating Supernova remants: tunnels in the sky.- Astrophys. J., N1, v. 232, 1979.- pp. 129-138.

113. Satorn. Ikencki. Evolution of Supernova remnants.- Publ.Ast.Soc.Jap., N4, v.30, 1978.-pp. 563-579.

114. Андрианкин Э.И., Мягков Н.Н. -Двойной взрыв в совершенном газе. -ЖВММФ, Ж, 1984. с. 119-125.

115. Шугаев Ф.В. Взаимодействие ударных волн с возмущениями. М.: Изд-во МГУ, 1983 .-96с.

116. Нигматулин Р.И., Вайнштейн П.Б., Ахатов И.Ш. ( и др. Структура стационарных- детонационных волн в смесях газа с частицами- ZZbунитарного топлива. Химическая физика процессов горения и взрыва. Детонация. Черноголовка, 1980 с.96-98.

117. Антонов Э.А., Гладилин A.M. Распространение плоских детонационных волн при на личии зоны вторичных химических реакций. Сб. статей: Свойства взрывчатых материалов и их совершенствование.- М.: Наука, 1975.- с.48-58.

118. Мареев В. В., Прозорова Э.В. Численное исследование влияния догорания твердых частиц и кумуляции на интенсивность ударных волн. Фундаментальные проблемы физики ударных волн.- Черноголовка. 1987. Т.2. с-."134-135.

119. Кочин Н. Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть 2./ М.: физ-мат. 1963.- 728 с.

120. Прозорова Э.В. Об автомодельности движений нестационарного пограничного слоя.- ПМТФ. 1975. N4. с. 122-125

121. Пр.озорова Э.В. Некоторые нестационарные задачи пограничного слоя. -Вестник ЛГУ. 1976. N 7. с.114 118.

122. Прозорова Э.В. Несколько нестационарных задач нестационарного пограничного слоя. ПМТФ. 1976. N 6. с. 56-60.

123. Герм В.Э., Прозорова Э.В., Чистякова М.В. Решение уравнений нестационарного пограничного слоя. Л.: ЛФТИ им. А.Ф. Иоффе: Препринт N923, 1985.- 33с.-'

124. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. -М.: ГИФМЛ, 1962.-456с. .

125. Самохин В.Н. Образование пограничного слоя при постоянном разгоне. -Прикл. матем. и мех. N3, т.ЗЗ, 1969. с. 441-455.

126. Бай-Ши И. Магнитная газодинамика и динамика плазмы.- М.: Мир, 1964.- 112с.

127. Чепмен С., Каулинг Т.Математическая теория неоднородных газов. -М.: ИЛ, I960.-510с.•I 'i 7 Л/ А/ -f —

128. Прозорова Э.В. Модель локальной автомодельности для нестационарного пограничного слоя. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Изд. ин-та теорет. и прикладн. механ. СО АН СССР. 1983. т.14, N 1 .с. 113-116.

129. Прозорова Э.В. Влияние дисперсии в модели Рейнольдса. Сборн.докл.конф. BEM-FEM-2000. С.Петербург. 2000.

130. Воронкова А.И., Прозорова Э.В. Численное исследование влияния дисперсионных эффектов в задачах пограничного слоя. Сборн. докл. конф.: т. 2, BEM-FEM-2001, т. 2. С.Петербург. 2001. с. 110 115.

131. Новожилов В.В. Теория плоского турбулентного течения в несжимаемой жидкости./ Ленинград: Судостроение. 1977.- 164с.

132. Кокошинская Н.С. О системе уравнений для описания течений вязкой жидкости и газа в широком диапазоне чисел Рейнольдса./ Математические модели естесвознания. М: Изд-во МГУ. 1994.С.60-65.

133. Методы расчета турбулентных течений. Пер. с анг. / Под. ред. Кольмана. М.: Мир. 1984. 464 с.

134. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа./ М.: Наука.1970. 904с.

135. Кутателадзе С.С., Накоряков В.Е. Тепломассообмен и волны в газожидкостных системах,- Новосибирск: Наука, 1984.-302.

136. Абрамович Г.Н. Теория турбулентных струй.-М.: Физматлит, 1960.-460с.

137. Миллионщиков М.Д. Турбулентные течения в пограничном слое и трубах. М.: Наука, 1969.-350х.

138. Храмов Г.А., Чекмарев С.Ф. Автомодельное представление структуры газодинамической области при истечении сильно недорасширеннойструи газа в спутный гиперзвуковой поток.- Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N6, 1976. с.94 - 99.

139. Альбини Д. Приближенный расчет структуры недорасширенной струи.-Ракетная техника и космонавтика. N8, 1965. с.219-220.

140. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. -М.:.Наука, 1967. -440с.

141. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. -М.: Наука, 1976.

142. Берд Г. Молекулярная газовая динамика.- М.: Наука, 1981.- 320с.

143. Пярнпуу А.А. Взаимодействие молекул газа с поверхностью. М.: Наука, 1974.- 192с.

144. Шахов Е.М. Численные методы решения аппроксимирующих кинетических уравнений. Сб. ст. Численные методы в динамике разреженных газов. М.: ВЦ АН СССР, вып.2, 1975.

145. Шахов Е.М. Метод аппроксимации кинетического уравнения Больцмана. Сб. ст. Численные методы в динамике разреженных газов. М.: ВЦ АН СССР, вып. 1, 1969.

146. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Решение одномерных и двумерных задач для уравнения Больцмана.- М.: Выч. центр АН СССР, 1987.- 47.

147. Герм В.Э. Обтекание тела с истекающей плотной струей сверхзвуковым потоком разреженного газа. Дис. канд. физ.-мат. наук. JL: ЛГУ, 1986. -149с.

148. Герм В. Э., Прозорова Э.В. Течение у поверхности высотного гиперзвукового реактивного аппарата,- Математич. моделиров. 1996. N 7. с.

149. Герм Б.Э., Мишин Г.И., Прозорова Э.В. Обтекание тела со струей сверхзвуковым потоком газа. Л.:ЛФТИ им. А.Ф. Иоффе: препринт N892, 1984.-14с.

150. Герм В.Э., Прозорова Э.В. Обтекание тела с истекающей из него сверхзвуковой струей при больших степенях нерасчетности.

151. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ АН СССР, N1, т. 17, 1986.-е. 47-56.

152. Герм В .Э., Прозорова Э.В. Обтекание тела со струей сверхзвуковым потоком газа. Сб. ст. Проблемы динамики вязкой жидкости. Новосибирск: ИТПМ, 1986.-с.86-91.I

153. Герм В .Э., Прозорова Э.В. Обтекание тела со струей при больших нерасчетностях струи сверхзвуковым спутным потоком. Труды 8-ой Всесоюз. конф. по динамике разреженных газов. М.: 1987. с. 39-36.

154. Герм В. Э., Прозорова Э.В. Влияние разреженной среды на обтекание тела со струей. Изв.АН СССР. МЖГ, 1991 ,N 1

155. Авдуевский B.C., Иванов А.В., Карпман И.М. и др. Течение в сверхзвуковой вязкой недорасширенной струе. Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N3, 1970. - с. 63-70.

156. Авдуевский B.C., Иванов А.В. Течение разреженного газа вблизи передней критической точки затупленного тела при гиперзвуковых скоростях.- Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N3, 1968. с. 73-80.

157. Бондарев Е.Н., Гущин Г.А. Некоторые особенности распространения пространственных вязких струй.-Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N5, 1974.-с. 122-128.

158. Мышенков В.И. Расчет течения вязкой ламинарной сверхзвуковой струи в спутном потоке.- ЖВММФ, N2, Т. 19, 1979. с. 474-485.

159. Бондарев Е.Н., Лисичко И.Д. Распространение недорасширенной турбулентной струи в спутном сверхзуковом потоке.- Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N4, 1974. с. 34-41.

160. Бондарев Е.Н., Лисичко И.Д. О влиянии вязкости на течение недорасширенной струи, распространяющейся в спутном сверхзвуковом потоке. Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N2, 1973.- с. 157 161.

161. Ковалев Б.Д., Мышенков В.И. Расчет вязкой сверхзвуковой струи, истекающей в затопленное пространство.- Уч. зап. ЦАГИ.- N2, т. 9, 1978.- с. 9-18.-Z3 0

162. Ковалев Б.Д., Мышенков В.И. Расчет вязкой сверхзвуковой струи, истекающей в спутный поток.- Уч. зап. ЦАГИ.- N3, т. 9, 1978.- с. 128-132.

163. Тагиров Р.К. Транзвуковое обтекание тела вращения при истечении реактивной струи из его кормовой части. Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N2, 1974.-с.97-104.

164. Mikkoiz А.С., Hankey W.L., Shang J.S. Computation of a supersonic flow post an aximmetric nozzle boattoil with jet exaust .- AHA J.- N8, V. 18, 1980.- pp. 869-876.

165. Ребров A.K., Чекмарев С.Ф., Шарафутдинов Р.Г. Влияние разреженности на структуру свободной струи азота. ПМТФ - N1, 1973,- с. 136-141.

166. Кисляков Н.И., Ребров А.К., Шарафутдинов Р.Г. Диффузионные процессы в зоне смешения сверхзвуковой струи низкой плотности.-ПМТФ,Ы1, 1973. с.121-127.

167. Волчков В.В., Иванов А.В., Кисляков Н.И. и др. Струй низкой плотности за звуковым соплом при больших перепадах давления.- ПМТФ, N2, 1973 с. 64-73.

168. Хаббард Р. Приближенный расчет сильно недорасширенных струй.-Ракетная техника и космонавтика. N10, 1966.- с.241-242.

169. Жохов B.JL, Хомутский А.Я. Атлас сверхзвуковых течений свободно расширяющегося газа, истекающего из осесимметричного сопла.- Тр. ЦАГИ, вып. 1224, 1970. 324с.

170. Аверенкова Г.И. и др. Сверхзвуковые струи, идеального газа.- М.: Изд-во МГУ, 1970. 246с.

171. Бойнтон Ф. Структура сильно недорасширенной струи: точные и приближенные расчеты.- Ракетн. техника и космон., N9, 1967.- с.206-208.'и

172. Прозорова Э.В. Влияние стратификации на расширение струи вразреженном газе. Математич. моделиров., N2, Т.11, 1999.175. Таблицы стандартной атмосферы. ГОСТ 4401- 64.

173. Кокошинская Н.С., Павлов Б.М., Пасконов В.М. Численное моделирование сверхзвукового обтекания тел вязким газом. -М.: Изд-во МГУ, 1980.-234с.

174. Ландау Л. Д.,Лифшиц Е. М. Теория поля./ М.: Наука, 1965.- 460с.

175. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. М: Гостехиздат. 1946,- 149с.

176. Гуров К. П.Основания кинетической теории. М.: Наука. 1966.- 350с.

177. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука. 1967.- 440с.

178. Зубарев Д. Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука. 1971.-414 с.

179. Климонтович Ю. Л. Кинетическая теория неидеального газа и идеальной плазмы. М.: Наука. 1975.-353 с.

180. Климонтович Л.В. Статистическая механика. М.: Наука. 1080.- 550с.

181. Черчиньяни. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973.- 246с.

182. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976,- 554 с.

183. Prozorova E.V. The influence of the dispersion in the Boltzmann equation.// Proceedings of the 4th St.Petersburg Workshop on Simulation. 2001. St. Petersburg. 2001, pp.405-409.

184. Дынникова Г.Я., Стасенко А.Л. Физическая механика и оптика летательных аппаратов и струй //.Труды ЦАГИ. Вып. 2470. М., 1993.

185. Герм В.Э., Прозорова Э.В., Сеткеев Е.П. Влияние нестационарности истекающей струи и стратификации воздуха на обтекание тела при больших степенях нерасчетности // Моделирование в механике. Т. 4(21). N1. Новосибирск, 1990. С. 98 102.

186. Jacchia L.G//Spec. Report N 375, Smithsonian Inst. Astrofisical Observatory. Cambridge, 1977.

187. Пирумов У. Г., Ковалев К. JI. Магнитогидродинамические течения и электродинамические поля в конических многополюсных МГД генераторах// Матем. моделиров., 1996. N 7. С. 13- 19.

188. Головачев Ю. П., Ильин С. А., Сущих С.Ю. Об управлении течением газа в сверхзвуковом входном устройстве с помощью магнитного поля// Письма в ЖТФ. 1997. Т. 23. N16. С. 1 5.

189. Фрайштадт В. Л., Куранов А.Л., Шейкин Е.Г. Применение МГД систем на гиперзвуковых летательных аппаратах// Там же. 1998. Т. 68. N.11. С. 43 47.

190. Macheret S. О., Shneder M.N., Miles R.B. MHD Acceleration of supersonic air flows using, electron Beam-Enhanced conductivity// AIAA 98 - 2922 pp. 17.

191. Cambier J. L. A Thermodynamics Study of MHD Ejectors// AIAA 98. -2827.

192. Фаткуллин M. H., Зеленова Т.И., Козлов B.K. и др. Эмпирическиеи*модели среднеширотной ионосферы. М.: Наука, 1981

193. Ступоченко Е.В., Лосев С.А., Осипов А.И. Релаксационные процессы в ударных волнах. М.: Наука, 1965.

194. Неравновесная колебательная кинетика. Пер. с англ./ Под ред. М. Капителли. М.: Мир, 1989.

195. Прозорова Э.В. Расчет струйных течений летательных аппаратов на больших высотах. Депонировано ВИНИТИ. N1181-B-99 от 14.04.9

196. Прозорова Э.В. Влияние дисперсии в задачах аэрогидродинамики. Депонировано ВИНИТИ. N 1729 В 2001 от 20.07.01. 35с.

197. Прозорова Э. В. Влияние дисперсионных эффектов при течении газа и жидкости. 4-ая международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях.- М.: МАИ, 2002. с.368-370.- гзз

198. Воронкова А. И., Прозорова Э. В. 4-ая международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях.- М.: МАИ, 2002. с. 147.