автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численно-аналитические методы оптимизации формы крыловых профилей

На правах рукописи

ИЛЮХИН АЛЕКСЕЙ ЭРИКОВИЧ

Численно-аналитические методы оптимизации формы крыловых профилей

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ-2 0 0 6

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте математики и механики им. II. Г. Чеботарева Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина

Научный руководитель: заслуженный деятель науки РТ,

доктор физико-математических наук, профессор

Елизаров Александр Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Бадриев Ильдар Бурхапович

доктор физико-математических наук, профессор,

Кусюмов Александр Николаевич

Ведущая организация: Институт прикладной механики

УрО РАН, г. Ижевск

Защита состоится «57декабря 2006 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.079.01 в Казанском государственном техническом университете им. А. Н. Туполева по адресу: 420111, Казань, ул. К. Маркса, д. 10

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного технического университета им. А. Н. Туполева

Автореферат разослан '3' ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физ.-мат. паук, П. Г. Данилаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В настоящее время активно развиваются теория и методы решения задач оптимизации формы инженерных объектов. К этому научному направлению относятся и задачи аэродинамической оптимизации, решаемые в рамках различных моделей механики жидкости и газа. Один из известных подходов к решению задач аэродинамической оптимизации базируется на теории обратных краевых задач аэрогидродинамики (ОКЗА). Эта теория составляет новый раздел динамики течений жидкости и газа с неизвестными границами и имеет практическое применение при проектировании элементов летательных аппаратов и судов на подводных крыльях. Настоящая диссертация посвящена численно-аналитическому исследованию новых классов вариационных ОКЗА.

Целями диссертации являются: исследование непустоты допустимого множества управляющих функций в задаче о квазирешениях основной ОКЗА и в основной вариационной ОКЗА; развитие и численная реализация методов построения квазирешений основной ОКЗА для крыловых профилей, обтекаемых безграничным потоком идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ) или дозвуковым потоком газа, при ограничении па. максимум скорости на их контуре; развитие численно-аналитических методов решения вариационных ОКЗА, связанных с максимизацией коэффициента подъемной силы или аэродинамического качества.

Научная новизна. В диссертационной работе развиты и практически реализованы численно-аналитические методы решения трех классов вариационных ОКЗА.

Первый класс составляют задачи построения квазирешений ОКЗА, учитывающих физические ограничения. Последние не только связаны с обеспечением соответствия решения обратной задачи выбранной математической модели течения жидкости или газа (двух условий замкнутости искомого контура и одного условия задания величины скорости потока на бесконечности), но и учитывают такие свойства течения, как ограниченность максимальной величины скорости и отсутствие отрыва потока.

Второй класс задач — это основная вариационная ОКЗА, решаемая в рамках модели ИНЖ или модели Чаплыгина дозвукового адиабатического течения газа. В этих задачах речь идет о нахождении формы крыловых профилей, обеспечивающей максимальное значение коэффициента. подъемной силы при дополнительном ограничениии максимального значения скорости.

Третий класс задач это вариационные ОКЗА, связанные с максимизацией аэродинамического качества и решаемые в приближении теории

пограничного слоя и в предположении безотрывности обтекания.

В диссертации разработаны численно-аналитические методы решения этих задач, протестированные на известных точных решениях; описаны геометрические и аэродинамические характеристики полученных оптимизированных крыловых профилей; на основе анализа вычислительных экспериментов сделаны выводы о влиянии исходных физических параметров на аэродинамические и геометрические характеристики оптимальных форм.

Достоверность полученных результатов обеспечивается обоснованностью применяемых математических моделей механики жидкости и газа и строгим доказательством формулируемых теоретических результатов, а также хорошим совпадением полученных численных результатов с известными точными и численными решениями.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации численно-аналитические методы решения вариационных ОКЗА, алгоритмы их численной реализации и построенные оптимизированные профили могут быть использованы для проектирования крыльев самолетов дозвуковой авиации и оценки результатов инженерного аэродинамического проектирования. Результаты диссертации используются в учебном процессе Казанского государственного университета (КГУ) при чтении спецкурсов студентам-механикам мехап и ко-математического факультета.

Наиболее существенные научные и практические результаты, полученные лично соискателем:

• численное исследование непустоты допустимого множества управляющих функций в задаче о квазирешениях основной ОКЗА и в основной вариационной ОКЗА;

• численные алгоритмы и результаты вычислительных экспериментов по построению квазирешений ОКЗА, учитывающих ограничение на максимум скорости;

• численные алгоритмы и результаты вычислительных экспериментов по построению профилей максимальной подъемной силы или максимального аэродинамического качества;

• выводы о влиянии исходных физических параметров на аэродинамические и геометрические характеристики оптимальных форм, сделанные на основе анализа вычислительных экспериментов.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения были доложены в НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева КГУ на семинаре Отдела краевых задач (руководитель — профессор Н. Б. Ильинский) и семинаре Отдела вычислительной математики (руководитель — профессор А. В. Лапин); на Итоговых научных конференци-

ях КГУ (2004 - 2005 гг.); на 6-й Казанской международной летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (2003 г.); на Всероссийской молодежной научной школе-конференции с участием молодых ученых стран СНГ "Численные методы решения задач математической физики" (Казань, 2004 г.); на VI Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань,

2005 г.) и на Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения задач математической физики" (Казань,

2006 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 1 статье в журнале из списка, рекомендованного ВАК РФ, и в 4 статьях в материалах международных и всероссийских конференций. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Содержание, структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, содержащих 10 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 153 страницы, 10 таблиц, 27 рисунков. Библиографический список состоит из 129 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко описана история развития методов аэродинамического проектирования крыловых профилей, базирующихся на теории обратных краевых задач (ОКЗ), и сформулированы цели исследования.

Как известно, прямыми называют краевые задачи, в которых требуется найти функцию или систему функций, удовлетворяющих в заданной области дифференциальному уравнению в частных производных или системе таких уравнений, а на границе области — заданным условиям. В отличие от прямых задач в ОКЗ граница области (или отдельные ее участки) и функция (решение дифференциального уравнения) отыскиваются по двум краевым условиям на искомой границе. Поэтому ОКЗ входят в обширный класс краевых задач с неизвестными границами.

Следуя под "вариационными ОКЗ" понимаем такой класс плоских краевых задач с неизвестными границами, в которых искомыми являются как решение дифференциального уравнения в частных производных, так и сама область его определения, причем последняя обладает экстремальным свойством, а на ее границе задается одно краевое условие (как в прямых задачах). Экстремальное свойство (как искомой области, так и

1 Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В., Степанов Г. Ю. Основные методы, результаты, приложения и нерешенные проблемы теории обратных краевых задач аэрогидродинамики. -Казань: Изд-во "ДАС", 2001. 225 с. (Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. 'Г. 10).

искомой функции) выражается в виде требования максимизации (минимизации) заданного функционала (обычно при дополнительных ограничениях). Так как при этом сама граница (или некоторая ее часть) остается искомым элементом решения, то такие задачи примыкают, с одной стороны, к краевым задачам с неизвестными границами, а с другой стороны - как к задачам оптимального проектирования (например, 2), так и к задачам оптимизации систем с распределенными параметрами 3.

Исследования вариационных ОКЗ (в том числе и ОКЗА), проведенные к настоящему времени, показали, что применение методов теории ОКЗ 4 позволяет свести их к задачам классического вариационного исчисления. При этом наличие дополнительных ограничений существенно влияет на картину разрешимости задач. Естественным источником вариационных ОКЗ является классическая аэрогидродинамика, а получающиеся при этом вариационные ОКЗА имеют прямое отношение к проблемам оптимального проектирования инженерных объектов.

Основные заслуги в создании теории ОКЗ как раздела математического анализа и математической физики принадлежат известным казанским математикам и механикам Г. Г. Тумашеву, М. Т. Нужину, Ф. Д. Гахову, С. Н. Андрианову, а также JI. А. Аксентьеву, В. Н. Монахову, Р. Б. Са-лимову и М. И. Хайкипу. Основные направления приложений методов этой теории в механике сплошных сред разработаны Г. Г. Тумашевым, М. Т. Нужиным, Н. Б. Ильинским, О. М. Киселевым, В. В. Клоковым, Р. Б. Салимовым и другими. ОКЗА послужили отправной точкой в создании общей теории ОКЗ (раздел которой они и составляют) и образуют сегодня широкий класс задач, для решения которых созданы специальные подходы и изучению которых посвящены сотни работ.

Первые постановки ОКЗА дали Вейниг, Бетц и Манглер, а затем Г. Г. Тумашел. Одновременно Глауэртом, Эпплером, Лайтхиллом, Г. Ю. Степановым, а несколько позднее Вортмаином, Либеком и другими (см. библиографию в 5) были начаты работы по практическому проектированию профилей и их решеток на основе решения ОКЗА. В этом направлении были достигнуты существенные результаты, на базе которых впоследствии развились методы проектирования ламинарных

2 Pironnenn О. Optimal shape design for elliptic systems. - New York: Springer, Springer Lecture Notes in Computational Physics, 1984. 168 p.

Ощтзетдииов Т. К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1977. - 480 с.

А Аксснтъев Л. А., Ильинский Н. Б., Ihpicuu М. Т., Салимое Р. Б., Тулшгиев Г. Г. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения//Итоги науки и техники. Матем. анализ. - М.: ВИНИТИ, 1980. - Т. 18. - С. 67-124.

5Елизаров А. М., Ильинский II. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродина-мики//Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. - М.: ВИНИТИ, 1989. - Т. 23. - С. 3-115.

профилей (работы Эпплера и Вортманна), гидроирофилей (статьи Эп-нлера и Шена), лопаток турбомашин (исследования Г. Ю. Степанова), высоконесущих профилей (работы Смита и Либека). Среди отечественных исследователей значительное количество работ выполнено учеными ЦАГИ им. Н. Е. Жуковского и Казанского университета. Эти достижения продемонстрировали преимущества подхода при проектировании, базирующегося на решении обратной задачи, и поставили его в один ряд с классическими методами, основанными на решении прямой задачи.

Вариационные ОКЗА реализуют один из подходов к оптимизации аэродинамических форм и в двумерном случае заключаются в построении профилей, обладающих оптимизированными аэродинамическими характеристиками. В случае течения ИНЖ или дозвукового течения газа они сводятся к вариационным ОКЗ для аналитических функций.

Известно 4, что некоторые из ОКЗ некорректны по Адам ару. Сказанное относится, прежде всего, к внешним ОКЗ в постановке М. Т. Ну-жина (искомая область содержит бесконечно-удаленную точку, причем значение искомой функции в сю задано заранее) и, соответственно, к ОКЗА, которые сводятся к внешним ОКЗ. Некорректность этих задач проявляется в том, что имеются условия разрешимости, записанные в явном виде (но не через исходные данные задачи), которые могут не выполняться. Значит, получаемое в аналитической форме единственное решение ОКЗ не попадает в множество допустимых решений. Поэтому для регуляризации задачи необходимо применить какой-либо метод регуляризации. Соответствующие подходы разработаны в хорошо развитой теории некорректных задач, в частности, в теории квазирешений 6.

Под квазирешениями некорректной задачи понимаются всякие элементы множества допустимых решений (множества корректности), реализующие расстояние от элемента, характеризующего решение и определенного но начальным данным задачи, до этого множества. Впервые определение квазирешения внешней ОКЗ, реализующее этот подход, дано в 7. Теория квазирешений ОКЗА подробно изложена в 8, 9. Квазирешения, учитывающие ограничение на максимум скорости, исследованы в недавних работах с участием автора диссертации.

6Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задачи и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

7Елизаров А. М. О квазирешениях внешней обратной краевой задачи//Изв. вузов. Матем. - 1984. - № 10. - С. 42-50.

8Елизаров А. М., Ильинский И. Б., Погпашев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики: теория и методы проектирования и оптимизации формы крыловых профилей. — М.: Физматлит, 1994. - 436 с.

9Elizarov А. М., Il'inskiy N. В., Potashev А. V. Mathematical methods of airfoils design. Inverse boundary-value problems of aeroliydrodynamics. - Berlin: Wiley-VCH, 1997. 292 p.

Далее, численно-аналитические методы построения квазирешений ОКЗА обобщены в диссертации на случай решения основной вариационной ОКЗА. Эта задача содержит изопериметрическое условие (задание периметра контура профиля) и единственное дополнительное ограничение на максимальное значение скорости на контуре (maxw(s) < г>тах). Известен ряд точных решений этой задачи (например, 10). Наряду с точными решениями, особенно в тех случаях, когда последние еще не найдены, важным является развитие численных методов решения. В этом направлении А. М. Елизаровым, Д. А. Фокиным и Е. В. Федоровым ранее выполнен ряд исследований, которые продолжены в настоящей диссертации. Полученные в ней численные результаты по построению решений различных вариационных ОКЗА сравнивались с упомянутыми выше точными и численными решениями и, в частности, с данными и.

Глава 1 содержит описание математических моделей течений жидкости или газа вокруг изолированного крылового профиля, базирующихся на классических гидродинамических моделях: идеальной несжимаемой жидкости, идеального газа и вязкой несжимаемой жидкости с большими числами Рейнольдса. Здесь же приведены постановка и методы решения основной ОКЗА для изолированного крылового профиля в потоке ИНЖ или газа Чаплыгина при дозвуковых скоростях, указаны условия разрешимости ОКЗА; описан метод квазирешений ОКЗА; построены функционалы для оптимизации аэродинамических характеристик. Эти сведения и результаты используются в последующих главах.

В §1.1 описаны физическая и математическая модели течений жидкости или пгза вокруг крылового профиля, в рамках которых ставятся основная ОКЗА и основная вариационная ОКЗА.

Крыловой профиль, ограниченный замкнутым контуром, в плоскости z — х + гу (рис. 1, а) плавно (безотрывно) обтекается установившимся однородным потоком жидкости или газа. Здесь Gz — область течения, содержащая сю, Lz — контур профиля, Vqq — 1 — величина скорости потока на бесконечности. Ь хорда профиля, ос -••• угол атаки. Контур Ьг является спрямляемым (имеет периметр L — 2), замкнутым и гладким за исключением, быть может, единственной точки В (задней кромки), в которой задан внутренний к области течения угол en, е £ [1,2].

В силу спрямляемости контура определим его дуговую координату s, которая отсчитывается от s = 0 в точке В до s = L после полного обхода контура в этой же точке так, что область течения остается слева.

10Елизаров А. М., Фокин Д. А. Точные решения некоторых задач аэродинамической оптимизации// Прикл. мат. и мех. - 2005. - Т. 69. - Был. 5. - С. 742-758.

11 Ихсапооа А. II. Численно-аналитические методы решения вариационных обратных краевых задач аэрогидродинамики. Дис. ... канд. физ.-мат. н. • Казань, 2004, 111 с.

-V. ^

Рис. 1: Физическая модель обтекания крылового профиля: а) крыловой профиль в физической плоскости; Ь) типичный вид распределения скорости

В качестве масштаба длин выберем полупериметр контура Ь/2 = 1, который для физически реальных профилей незначительно отличается от длины Ь их хорды. Характерный вид распределения г; (я) скорости потока на контуре Ьг представлен на рис. 1, Ь.

Если профиль плавно обтекается установившимся безвихревым потоком ИНЖ, то для комплексного потенциала течения (функции, аналитической в (7г и непрерывной в С?2) т(г) = <р{х,у) + {ф(х,у), где <р(х>у) потенциал скорости, а ф{х, у) — функция тока, комплексно сопряженная к нему, получим в окрестности бесконечности представление

р оо

= Уоог - — 1п г + скгГк, к=о

(Г — циркуляция скорости), а на Ья — краевые условия

Ш;и/Сг)|£г = ф), 1ти)(г)\Ьг =0, 5 6 [0,Ь]. (1)

Здесь 11е и 1т — обозначение действительной и мнимой частей ком-плекснозначной функции.

Если контур Ьг задан, имеем прямую краевую задачу — об определении аналитической функции гп(г) по второму краевому условию в (1). Первое условие служит для нахождения распределения скорости г>(я) == уф).

Если Ь2 --■ искомый контур фиксированного периметра Ь, и на нем задана функция

ь = «€[0,£], (2)

удовлетворяющая определенным условиям гладкости, имеем краевую задачу с неизвестной границей. В силу (1) она эквивалентна внешней ОКЗ для аналитической функции и}(г) с простым полюсом и лога-

рифмичеекой особенностью на оо, имеющей известное значение на искомой границе Ь2. Эта задача носит название основной ОКЗА. Если же теперь мы заменим (2) требованием, чтобы на искомом решении (паре {ги{г)> £>}) достигал экстремального значения заданный функционал J (возможно, при некоторых дополнительных ограничениях), то получим формулировку задачи, которая и называется вариационной ОКЗА.

Крыловые профили, форма которых определяется из решения основной ОКЗА или вариационной ОКЗА в рамках модели ИНЖ, не всегда соответствуют требованиям аэродинамического проектирования, хотя бы потому, что при реальном движении с достаточно большими скоростями существенную роль играет сжимаемость среды, а с поверхности профилей будет происходить отрыв потока. Вместе с тем требование плавного обтекания было одним из существенных предположений, заложенных в постановку задач. Следовательно, нужно при постановке и решении ОКЗА и вариационных ОКЗА учитывать сжимаемость и вязкость потока. Для этого нужно выбрать соответствующую математическую модель течения. В §1.1 подробно описаны модель Чаплыгина обтекания крылового профиля дозвуковым адиабатическим потоком газа и модель безотрывного обтекания профиля вязким потоком.

Модель газа Чаплыгина широко известна (см., например, 12) и дает удовлетворительные результаты в определении поля скоростей во всей дозвуковой области. Наиболее простая, но, тем не менее, достаточно эффективная математическая модель, обеспечивающая безотрывность обтекания и позволяющая в явном виде записать выражение коэффициента профильного сопротивления (и, как следствие, аэродинамическое качество крылового профиля), базируется на учете вязкости потока в приближении теории пограничного слоя (ПС). Поэтому, во-первых, следуя классическим моделям аэрогидродинамики, считаем, что влияние вязкости сказывается лишь в тонком ПС около профиля и в расширяющемся следе за ним. Тогда согласно модели ПС распределение давления по контуру профиля при обтекании его вязкой жидкостью совпадает с распределением давления при обтекании внешним невязким потоком полутела вытеснения, получаемого наращиванием на профиль и по обе стороны от нулевой линии тока, сходящей с задней кромки, толщины вытеснения <5*. Во-вторых, следуя 12, считаем, что при дозвуковых скоростях сжимаемостью и теплообменом в ПС можно пренебречь. В силу предположения об отсутствии отрыва потока и с учетом малости толщины вытеснения ПС на профиле и в следе в качестве внешнего потока приближенно рассматриваем сплошное адиабатическое потенциальное обтекание полуте-

12 Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. - М.: Физматгиз, 1962. - 512 с.

ла вытеснения газом. Наконец, в силу дозвукового характера обтекания учет сжимаемости внешнего потока проведем, использовав модель газа Чаплыгина. В итоге приходим к следующей математической модели течения: профили заданного класса обтекаются потоком газа Чаплыгина, распределение давления на контуре Ьг совпадает с распределением давления на контуре полутела вытеснения и удовлетворяет условию без-отрывности обтекания.

Далее, как известно, условие безотрывности полностью турбулентного ПС гарантирует отсутствие отрыва турбулентного потока и при наличии ламинарных участков. Исходя из этого, а также учитывая, что расчеты всего ПС как турбулентного всегда дают завышенные и, следовательно, более надежные значения коэффициентов профильных потерь, всюду в диссертации рассмотрено обтекание профиля полностью турбулентным потоком. Такое предположение не противоречит известным фактам, что в действительных условиях обтекания с числами Рейнольдса на бесконечности порядка 106 и выше ПС на профиле следует считать полностью турбулентным. Названное предположение использовано в вычислительных экспериментах, результаты которых обсуждены в последующих главах.

В диссертации использованы известные условие безотрывности турбулентного ПС

формула Сквайра - Юнга для коэффициента профильного сопротивле-

где 11е** = |г>(.5)1<5**(з)/^, V — кинематический коэффициент вязкости, я* дуговая абсцисса точки разветвления потока, г>* величина скорости в задней кромке В, — суммарная толщина потери импульса ПС в этой точке, а — (т + 1)/т, 6 = 2(4т 4- 1)/(2т — 1), А = А{т) и т — взаимосвязанные эмпирические постоянные: А = 0.01256 при т — 4, А = 0.00653 при т = 6, А = 0.00598 при т = оо. Значения эмпирических постоянных а, 6 и /о приведены в табл. 1 (здесь приняты следующие

з

т > л, т = I

ния

и выражение для толщины потери импульса ПС

6»{з) = А\уШ(з)(Пе*Т1/т/у'(8)у

обозначения методов: КЬ — Кочина - Лойцянского; РВ — Прандтля -Бури; Ь — Лойцянского; BZ -- Бам-Зеликовича).

Таблица 1: Эмпирические постоянные в критерии безотрывности полностью турбулентного ПС

Тип ПС Турбулентный IIC

Метод РВ L BZ KL

а 1.25 1.17 1.00 1.17

Ъ 4.86 4.75 4.00 4.75

So -5.18 -2.53 -0.69 -2.00

В §1.2 описаны постановки основных ОКЗА и вариационной ОКЗА: даны интегральные представления их решений как в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости, так и модели газа Чаплыгина; записаны условия разрешимости; описана идеология метода квазирешений ОКЗА; построены функционалы для оптимизации аэродинамических характеристик. Интегральное представление решения основной ОКЗА для случая модели газа Чаплыгина имеет вид

t.

zF(C)=u I expf-xCOKl-e-^/Cr1

dC-

-03

„2:

- с exp[x(C)](l - e-*/C)s-e(l + eW/OЧС, X(0 = (SP)(C),

где и = L/IC(P), а строго выпуклый по P функционал

~ I т + ве~1

12 sin-4^- exp[-P(r)]T(P,^;r)dr, (3)

h{P) = [

Jo

, о 2—2e

T(P, /3; 7) = 1 - c2 exp[2P(7)]M2(7,0) ¡2 sin 7 P

2

2л-

M(7,/S) = |2(sin7 + sin/?)|, (SP)(C) =-(^r1 Jo

Здесь P{7) — управляющая гёльдеровская функция, /? — управляющий параметр (теоретический угол атаки), (SP)(£) — оператор Шварца, с2 = 0.296 — постоянная модели Чаплыгина. Условия разрешимости задачи (интегральные равенства) и ограничение на максимум скорости (неравенство) таковы:

Л0(Р) = / P{r)dr = Во, Аг(Р) = / Р(т) cos rdr = Bly J о Jo

р2ж

Л2(Р) = / Р(т) sin rdr = B2j Р(7) < Н(ъ /?), Jo

Я(7,/3) = (с-1)1п|28т1^

М(ъР) (VI + 4с2 + 1)

2?»

где Во, В\, В2 — известные постоянные, зависящие от с и /0,-причем ^шах = Атах = 1 при с 0. При с = 0 получаются представление для модели ИНЖ и соответствующие ограничения на Р(у) и /?.

Следствием этих представлений являются следующие выражения для оптимизируемых характеристик (коэффициента подъемной силы, коэффициента профильного сопротивления и аэродинамического качества):

Су = 16тг 8т/?//с(Р), Сх = 4АЛ^0-2 И е-^+^Р; ^)[/,(Р)]"1, ЕС(Р\ Р) =

= Г 2соз^ ехр[(6-2)Р(7)][Т(Р^;7)]2-^7. (4)

У о

2 2

Во второй главе исследованы две базовых проблемы. Первая состоит в определении условий, гарантирующих непустоту допустимого множества управляющих функций как в задаче о квазирешениях, так и в основной вариационной ОКЗА. Для нахождения таких условий сформулирована эквивалентная оптимизационная задача, а для ее решения предложен ряд итерационных алгоритмов, реализованных численно.

Вторая проблема заключается в построении итерационных алгоритмов для нахождения квазирешений основной ОКЗА, учитывающих ограничения на максимальное значение скорости. Описаны такие алгоритмы, основанные как на прямой, так и на двойственной вариационных задачах. Приведены примеры квазирешений, построенных для гидродинамически целесообразных распределений скорости, в частности, для распределений, использованных ранее Либеком 13. Проведено сравнение полученных результатов как с профилями Либека, так и с квазирешениями ОКЗА, найденными без учета ограничения на максимум скорости.

В §2.1 исследована однозначная разрешимость оптимизационных задач. Определим в пространстве Ь2[0,27т] аффинное множество

Ко = (Р(7) 6 Ь2[0,2тг] : Л0(Р) = В0) Л^Р) + гА2(Р) = + *В2}

13Liebeck R. Я. Design of subsonic airfoil for high lift//J. Aircraft. - 1978. - V. 15. - No 9. - P. 547-561 (рус. перевод: Ракетная техника и космонавтика. - 1978. - Т. 16. - JV* 12. - С. 122-143)

и выпуклое замкнутое множество

Кх = {Pin) G L2[0, 2тг] : P(j) < #(7, ¡3) для почти всех 7G[0,2tt]}.

Построение квазирешения в этом случае сводится к задаче: найти функцию Р* е К = ЯоП^ъ доставляющую минимум функционалу

где Pd - функция, определяемая по начальным данным, задачи.

Ясно, что К - выпуклое замкнутое множество, однако оно не пусто не при всех значениях входных параметров г>гпах, В2 и (3. Ответ на вопрос о непустоте множества допустимых функций и однозначной разрешимости задачи в этом случае дает

Теорема 1. Существует такая величина v* > 1, что при vmax > г?* задача (5) имеет единственное решение, а при umax < v* она неразрешима.

Далее осуществлена конечномерная аппроксимация пространства L2[0, 2тг] пространством Vh кусочно-постоянных функций на равномерной сетке шага h = 2tv/N на отрезке [0,2ir] и определены соответствующие множества Kojt = Ко П Vh и В этом случае непустота К\ь определяется величиной аналогичной v*.

В §2.2 исследована непустота множества Kft допустимых функций. Эта задача сведена к эквивалентной задаче минимизации: mmpheKoh G(Ph), где

на промежутке (74-1,7»), Р{ — значение Р/4 на этом промежутке, а + обозначает положительную часть. Сформулировано утверждение о разрешимости этой задачи, и при численном ее решении реализованы метод проекции градиента и метод расщепления. Помимо метода Дугласа - Рэкфорда с постоянным итерационным параметром был использован и метод с возрастающей последовательностью параметров. В результате вычислительных экспериментов построены зависимости V* = у*((3), изображенные на рис. 2 (линии 1 и 2 для е = 2 и е = 2 соответственно). Здесь же проведено сопоставление кривых с уравнениями ^шах — ехр эт ¡3 и г;тах = и*(/3). Необходимость такого сопоставления связана с тем, что известным необходимым условием разрешимости основной ОКЗА являются неравенства14, полученные без учета условия

ы Елизаров А. М., Фокин Д. А. Точные решения основной вариационной обратной краевой задачи аэрогидродинамики// Докл. АН России. - 2004. - Т. 399. - Л* 2. - С. 192-198

J0(P) = (l/2) \\Р-Р*\\1

(5)

71— 1

непустоты допустимого множества:

ехр sin/3 < vmax < 2(1 -f sin 0).

4

3.5

3

2.5

2

1.5

О 0.2 0.4 0.6 0.8

1.2 1.4

э

Рис. 2: Зависимости V* от параметра (3 при е — 2 (линия 1) и е = 1 (линия 2) и сопоставление кривых итах = ехр ьт ¡3 и ?;тах = при е = 2

На рис. 2 при е — 2 изображена заштрихованная область допустимых значений параметров ушах и (3, нижняя граница которой определена из условия и,пах = шах{г»*, ехрэт/3*}. В результате вычислительных экспериментов установлен удивительный факт: при всех /3 е [0,7г/2] имеет место оценка ехрвт/З > г;*, причем величина (ехрвт¡3 — у*)/ь* не превосходит 0.1. Тем самым экспериментально установлено, что зависимость V* = у*((3) с высокой точностью аппроксимируется функцией V* = ехрэт (3.

В §2.3 развиты вариационные методы для построения квазирешений, учитывающих ограничение на максимум скорости: представлена функция Лагранжа

и поставлена двойственная задача Л = а^тах ч/>(А), где ф(Х) = £(Р(А), А) и Р(Л) — решение задачи Р(Х) = а1^ттре/<-0 Ь(Р,Х).

L(P, А) = МР) + Л(7)[Р(7) - Н{7,0)]d7

В §2.4 для решения задачи (5) и ее конечномерной аппроксимации предложены различные итерационные методы, основанные как на прямых, так и на двойственных постановках: метод Удзавы, метод "прямого" решения двойственной задачи, метод расщепления для прямой задачи. Эти методы использованы в §2.5 для построения квазирешений.

Два характерных примера квазирешений представлены на рис. 3 и 4 (на них для наглядности увеличен масштаб по оси ординат). Естественно, при переходе к квазирешению в силу наложенного ограничения получили краевой экстремум "полку" (участок постоянной скорости, равной ^шах)- Отметим, что во втором примере модифицированное распределение скорости имеет "полки" на обеих поверхностях контура.

V у

Рис. 3: Пример построения квазирешения с учетом ограничения на максимум скорости: а) исходное распределение скорости (сплошная линия) и квазирешение (штриховая линия) для е — 2, Р = 0.1 и г>шах = "2; Ь) исходный разомкнутый контур (сплошная линия) и контур, соответствующий квазирешению (штриховая линия)

В заключительной части главы 2 на основе проведенных вычислитель-пых экспериментов проанализированы тенденции изменения геометрических и аэродинамических характеристик квазирешений при изменении параметров оптимизации.

Глава 3 является обобщением методов нахождения квазирешений ОКЗА, разработанных в главе 2, и посвящена решению задачи проектирования профилей, обладающих максимальным коэффициентом подъемной силы или максимальным аэродинамическим качеством при обтекании дозвуковым потоком вязкого газа. Вязкость потока учитывается в приближении пограничного слоя при задании условия безотрывного обтекании, а сжимаемость — в рамках модели газа Чаплыгина.

В §3.1 исследована основная вариационная ОКЗА, эквивалентная минимизации функционала (3) на допустимом множестве К. Эта задача

Рис. 4: Пример построения квазирешения с учетом ограничения на максимум скорости: а) исходное распределение скорости (сплошная линия) и квазирешение (штриховая линия) для е — 2, Р = 0.3 и итах = 1.4; Ь) исходный разомкнутый самопересекающийся контур (сплошная линия) и контур, соответствующий квазирешсшпо (штриховая линия)

сведена к минимизации функционала

( 2тг

Г

С?1(Р) = |у в(у)ерЫ(1у, если 9(у)ер™ е ¿1[0,2тг]; +оо иначе } ,

7-Р . 1 + Р

СОв---БШ---

0(7)

Далее построены конечномерная аппроксимация этой задачи и соответствующая функция Лагранжа.

В §3.2 предложены различные итерационные методы решения рассматриваемой задачи и ее конечномерной аппроксимации, основанные как на прямых, так и на двойственных постановках. Эти методы сходны описанным в главе 2. В проведенных вычислительных экспериментах использовался метод расщепления с постоянным итерационным параметром. В качестве входных параметров задачи выбирались разные два значения параметра е = 1 и £ = 2 и разные значения итах. Критерием

п-1

остановки итераций было условие ^Г^ |— < 10~с. Оптималь-

»=1

ное значение итерационного параметра метода определялось экспериментально. При е — 1 численные решения были сравнены с известными точными решениями.

На рис. 5 представлены профили (контуры 1), построенные численно для случая е = 1 при разных значениях г>тах. Линиями 2 изображены хордовые диаграммы скорости. Отметим, что на верхней поверхности профилей достигается краевой экстремум и получается "полка". Построенные численные решения практически совпали с точными. Результаты расчетов для е = 1 при vmax > 4 (распределение скорости автоматически удовлетворяет ограничению на максимум скорости) показали, что профиль получается в виде круга. Это полностью соответствует теории.

Результаты расчетов для е = 2 (в этом случае точные решения не известны) подтвердили тенденции, установленные для е — 1. Так, например, в случае итах = 2 график распределения скорости имеет горизонтальную "полку" (снова достигается краевой экстремум). В случае Vmax — 1-5 и Vmax = 1-4 "полка" опускается еще ниже в соответствии с заданным ограничением на максимум скорости, а профили становятся еще тоньше. Последние два профиля (контуры 1) представлены на рис. 6 (линии 2 - соответствующие им "полочные" распределения скорости).

Рис. 5: Численная оптимизация профиля с гладкой задней кромкой, е = 1, v, 1.4; 1.5

В §3.3 исследована задача максимизации аэродинамического качества, при фиксированном значении /3 равносильная минимизации функционала (4). В случае, когда не учитывается ограничение па максимум скорости, задача сведена к минимизации функционала

/•2л

Е(Т) = / ехр [Т(7)]с*у. Jo

Рис. 6: Численная оптимизация профиля с острой задней кромкой, £ = 2, 1.4; 1.5

при ограничениях

л 2л" /»2тг

/ T(-y)dy = 0, / T^e^dj = 2т(Ь — 1) sin(G) 7о ./о

Доказана

Теорема 2. При ограничениях (6) функционал Е(Т) достигает глобального минимума в Ь2[0, 2ж] на функции

Т*(у) = 1п[1 + (Ъ - I)2 sin2 & + 2(6 - 1) sin/3sin7]

дополнительном ограничении (6— 1) sin/? < 1.

Интегральное представление функции zp(Q, дающей решение задачи, построено в виде

= 2-6/(Ь-2)« Г

Je-W

где w*(C) экстремальная функция, для которой получено аналитическое представление. Показано, что экстремальной функции соответствуют неоднолистные области течения. Для получения физически реальных профилей, близких к оптимальным, экстремальная функция и>*(С) ап прокси м и ро вана фу н кци ей

w(ri, г2; С) = In (1 - Со/С) +In (1 + т-и7с) +

+ ^2ln(l-rie-^/C), (7)

содержащей свободные параметры гх, Г2, 0 < п, 7*2 < 1, которые позволяют регулировать толщину профиля в окрестностях соответственно задней и передней кромок. Эти параметры подбираются так, чтобы обеспечить простоту контура профиля и отсутствие отрыва потока с его поверхности. Проведены соответствующие вычислительные эксперименты.

На рис. 7 представлена шкала крыловых профилей с повышенным аэродинамическим качеством. Все они построены с использованием управляющей функции (7) при разных значениях параметров г\ и г2- Каждой строке и каждому столбцу на этом рисунке соответствуют значения г\ и Г2, отмеченные на горизонтальной и вертикальной осях. При увеличении г\ и Г2 аэродинамическое качество возрастает, вплоть до ситуации, когда течение становится неоднолистным (такие решения не приведены на рисунке, например, в верхних частях 3-5 столбцов).

Результаты проведенных вычислительных экспериментов представлены в диссертации в виде рисунков, графиков и таблиц.

В заключении кратко подведены итоги выполненной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Условия непустоты допустимого множества управляющих функций в задаче о квазирешениях основной ОКЗА и в основной вариационной ОКЗА.

2. Численная реализация методов построения квазирешений основной ОКЗА для крыловых профилей, обтекаемых безграничным потоком ИНЖ или дозвуковым потоком газа, при ограничении на максимум скорости на. их контуре.

3. Алгоритмы численной оптимизации и результаты вычислительных экспериментов при нахождении в безграничном потоке формы крыловых профилей, имеющих максимальное значение коэффициента подъемной силы или аэродинамического качества.

4. Выводы о влиянии исходных физических параметров на аэродинамические и геометрические характеристики оптимальных форм, сделанные на основе анализа вычислительных экспериментов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 03-01-00015).

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность научному руководителю профессору А. М. Елизарову за предложенную тему диссертации, советы и консультации, а также научному консультанту профессору А. В. Лапину за ценные идеи по разработке и практической реализации итерационных алгоритмов.

Рис. 7: Шкалы крыловых профилей с повышенным аэродинамическим качеством

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Илюхин А. Э. Построение квазирешений обратных краевых задач аэрогидродинамики с учетом ограничения на максимум скорости / Елизаров А. М., Илюхин А. Э. [/ Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 19. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы шестой Казанской международной летней школы-конференции. Казань, 27 июня - 4 июля 2003. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2003. С. 100 - 101.

2. Илюхин А. Э. Численное решение некоторых вариационных обратных краевых задач аэрогидродинамики / Елизаров А. М., Илюхин А. Э., Лапин А. В. // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 26. Численные методы решения задач математической физики. Материалы всерос. Молодежной научной школы-конф. с участием молодых ученых стран СНГ. Казань, 27 июня 2 июля 2004. Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2004. С. 134 - 151.

3. Илюхин А. Э. Численное решение некоторых вариационных обратных краевых задач аэрогидродинамики / Елизаров А. М., Илюхин А. Э., Лапин А. В. // Изв. вузов. Авиационная техника. - 2005. - № 1. - С. 2833.

4. Илюхин А. Э. Численные и точные решения некоторых задач аэродинамической оптимизации// Материалы VI Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения" Казань: Казан, ун-т, 2005. - С. 106-109.

5. Илюхин А. Э. Задача максимизации аэродинамического качества: точные оценки и аппроксимация ¡Елизаров А. М., Илюхин А. Э., Их-санова А. И. // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 33. Численные методы решения задач математической физики. Материалы всерос. Молодежной научной школы-конф. Казань, 27 июня - 2 июля 2006. Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2006. С. 107 - 126.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им.В.И.Ульянова-Ленина Тираж 100 экз. Заказ 10/104

420008, ул. Университетская, 17 тел.: 231-53-59,292-65-60

Аббревиатуры, основные обозначения t Введение

1 Математические модели течений, постановки краевых задач и вспомогательные результаты

1.1 Крыловой профиль в стационарном потоке жидкости или газа

1.1.1 Модель идеальной несжимаемой жидкости. Постановки краевых задач.

1.1.2 Дозвуковое течение газа. Модель Чаплыгина . 35 к 1.1.3 Безотрывное обтекание профиля вязким потоком

1.2 Основные обратная и вариационная обратная краевые задачи аэрогидродинамики

1.2.1 Основная ОКЗА: условия разрешимости и квазирешения

1.2.2 Основная вариационная ОКЗА: оптимизируемые функционалы и множество допустимых решений

2 Непустота множества корректности и квазирешения с ограничением максимума скорости

2.1 Об однозначной разрешимости оптимизационных задач

2.1.1 Постановка оптимизационных задач.

2.1.2 Конечномерная аппроксимация.

2.2 Непустота множества допустимых функций.

2.2.1 Решение эквивалентной задачи.

2.2.2 Итерационные алгоритмы.

2.2.3 Анализ результатов вычислительных экспериментов

2.3 Вариационные методы в задаче о квазирешениях

2.3.1 Функции Лагранжа и двойственные задачи.

2.4 Итерационные алгоритмы.

2.5 Примеры построения квазирешений.

Численно-аналитические методы решения вариационных ОКЗА

3.1 Основная вариационная ОКЗА.

3.1.1 Эквивалентная задача.

3.1.2 Конечномерная аппроксимация и функция Лагранжа

3.2 Численная оптимизация.

3.2.1 Итерационные алгоритмы.

3.2.2 Анализ результатов вычислительных экспериментов

3.3 Максимизация аэродинамического качества.

3.3.1 Свойства оптимизируемого функционала. Точные оценки.

3.3.2 Крыловые профили с повышенным аэродинамическим качеством.

Основным объектом исследований в настоящей диссертации являются вариационные обратные краевые задачи аэрогидродинамики (ОКЗА) — в работе развиты и практически реализованы численно-аналитические методы решения трех классов названных задач.

Первый класс составляют задачи построения квазирешений ОКЗА, учитывающих ряд физических ограничений. Последние не только связаны с обеспечением соответствия решения обратной задачи выбранной математической модели течения жидкости и газа (замкнутость контура искомого крылового профиля, совпадение получаемой величины скорости потока на бесконечности с заданным значением), но и учитывают такие свойства течения, как ограниченность максимальной величины скорости на контуре заданным значением и отсутствие отрыва потока.

Второй класс задач — это основная вариационная ОКЗА, решаемая в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ) или модели Чаплыгина дозвукового адиабатического течения газа. В этих задачах речь идет о нахождении формы крыловых профилей, обеспечивающей максимальное значение коэффициента подъемной силы при дополнительных ограничениях (в частности, при ограничении максимального значения скорости заданной величиной).

Третий класс задач — это вариационные ОКЗА, связанные с максимизацией аэродинамического качества и решаемые в приближении теории пограничного слоя и в предположении безотрывности обтекания.

Все три названных класса задач являются подмножествами класса вариационных обратных краевых задач (ОКЗ).

Как известно (например, [17]), прямыми называют краевые задачи, в которых требуется найти функцию или систему функций, удовлетворяющих в заданной области некоторому дифференциальному уравнению в частных производных или системе таких уравнений, а на границе области — заданным условиям. В отличие от прямых задач в обратных краевых задачах (ОКЗ) граница области (или отдельные ее участки) и функция (решение дифференциального уравнения) отыскиваются по двум краевым условиям на искомой границе. Поэтому ОКЗ составляют часть обширного класса краевых задач с неизвестными границами.

Следуя [28], [29] (см. также [33]), используем термин "вариационные обратные краевые задачи" для обозначения такого класса двумерных (плоских) краевых задач с неизвестными границами, в которых искомыми являются как решение дифференциального уравнения в частных производных, так и сама область его определения, причем последняя обладает некоторым экстремальным свойством, а на ее границе задается одно краевое условие (как в прямых задачах). Экстремальное свойство искомой области выражается в виде требования максимизации (минимизации) заданного функционала (обычно при дополнительных ограничениях), причем этот функционал выражает некое экстремальное свойство как искомой области, так и искомой функции. При этом сама граница (или только некоторая ее часть) остается искомым элементом решения. Поэтому такие задачи примыкают, с одной стороны, к краевым задачам с неизвестными границами. С другой стороны, по самой своей постановке названные задачи относятся как к задачам оптимального проектирования (например, [108], [116]), так и к задачам оптимизации систем с распределенными параметрами (см. [74]). Исследования вариационных ОКЗ (в том числе и вариационных ОКЗА), проведенные в [1], [2], [7] -[10], [28], [29], [39], [40], [42] - [47], [91] - [93] (см. также [33], [95], [34]), показали, что применение методов теории ОКЗ [12], [82] позволяет свести их к задачам классического вариационного исчисления. При этом наличие или отсутствие дополнительных ограничений существенно влияет на картину разрешимости задач. Естественным источником вариационных

ОКЗ являются теории, связанные с моделированием природных явлений (например, течений жидкости или газа). Одной из них является классическая аэрогидродинамика, а получающиеся при этом вариационные ОКЗА в смысле практических приложений имеют прямое отношение к проблемам оптимального проектирования инженерных объектов.

Основные заслуги в создании теории ОКЗ как раздела математического анализа и математической физики принадлежат известным казанским математикам и механикам Г. Г. Тумашеву, М. Т. Нужину, Ф. Д. Гахову, С. Н. Андрианову, а также JI. А. Аксентьеву, В. Н. Монахову, Р. Б. Са-лимову и М. И. Хайкину. Основные направления приложений методов этой теории в механике сплошных сред разработаны Г. Г. Тумашевым, М. Т. Нужиным, Н. Б. Ильинским, О. М. Киселевым, В. В. Клоковым, Р. Б. Салимовым и другими.

Исследования теоретического и прикладного характера по ОКЗ и история развития этой теории, охватывающая более семидесяти лет, отражены в ряде монографий и обзорных статей (см. [5], [6], [12], [17], [32], [33], [34], [50], [62], [65], [67], [71], [75], [82], [94], [95], [104], [111], [ИЗ], [115], [118], [119], [120]).

Обратные краевые задачи аэрогидродинамики, с одной стороны, послужили отправной точкой в создании общей теории обратных краевых задач (раздел которой они и составляют), и, с другой стороны, изучались самостоятельно в силу их специфичности и широких практических приложений. Отличительной особенностью ОКЗА, как и ОКЗ, является их конструктивный характер, так как речь идет не об изучении свойств известного объекта, а о создании инженерных аэродинамических объектов с заранее заданными свойствами. ОКЗА образуют широкий класс задач, для решения которых необходимы специальные подходы и изучению которых посвящены к настоящему времени сотни работ.

Первые постановки ОКЗА дали Вейниг [125], [126], Бетц [89] и Манглер [115], а затем Г. Г. Тумашев (см. [80], [81]). Вскоре описания этих постановок вошли в монографии по аэродинамике Бетца [90] и Прандт-ля [117], ставшие сегодня классическими и широко известными. Одновременно Глауэртом, Эпплером, Лайтхиллом, Г. Ю. Степановым, а несколько позднее Вортманном, Либеком и другими (см.- [96] - [103], [128], [129] и библиографию в [33], [75], [95], [104]) были начаты работы по практическому проектированию профилей и их решеток на основе решения ОКЗА. В этом направлении были достигнуты существенные результаты, на * базе которых впоследствии развились методы проектирования ламинарных профилей (работы Эпплера и Вортманна), гидропрофилей (статьи Эпплера и Шена), лопаток турбомашин (исследования Г. Ю. Степанова), высоконесущих профилей (работы Смита и Либека). Эти достижения продемонстрировали целый ряд преимуществ подхода при проектировании, базирующегося на решении обратной задачи, и поставили его в один ряд с классическими методами, основанными на решении прямой задачи.

Основополагающие теоретические результаты по ОКЗА получили Вейниг, Бетц, Манглер, Л. А. Симонов, Г. Г. Тумашев, Лайтхилл, В. М. Шурыгин, Вудс, Г. Ю. Степанов, М. Т. Нужин, Эпплер, Ворт-манн, Либек и многие другие ученые. Среди отечественных исследователей значительное количество работ выполнено учеными ЦАГИ им. Н. Е. Жуковского и Казанского университета. Такие важные теоретические вопросы, как корректность постановок задач, описание возможных решений и другие, были исследованы с 1980-х годов, их результаты отражены в монографиях [33], [34], [95]. Анализ выполненных работ позволил выявить общие тенденции развития теории и приложений ОКЗА, 1 подробно изложенные в [32], [33], [95], [34].

Вариационные ОКЗА реализуют один из подходов к оптимизации аэродинамических форм и в двумерном случае заключаются в построении профилей, обладающих оптимизированными характеристиками (максимальным коэффициентом подъемной силой или аэродинамическим качеством, минимальным коэффициентом сопротивлением и др.). В случае течения ИНЖ или дозвукового течения газа они сводятся к вариационным ОКЗ для аналитических функций.

Названные выше исследования по ОКЗ и ОКЗА внесли существенный вклад в развитие теории плоско-параллельных течений жидкости (прежде всего, идеальной и несжимаемой) или газа (как правило, при дозвуковых скоростях). \ Теория плоско-параллельных течений идеальной несжимаемой жидкости — наиболее развитый раздел современной гидромеханики. Основополагающие результаты современной теории плоских задач гидромеханики идеальной жидкости изложены во многих учебниках и монографиях (см., например, [24], [25], [64], [72], [73], [106]). Большинство задач гидродинамики существенно нелинейно, и точное аналитическое решение является здесь скорее исключением, чем правилом. Поэтому важное значение имеют вопросы существования и единственности решения соответствующих краевых задач. При исследовании ОКЗ и ОКЗА в этом направлении достигнуты впечатляющие результаты благодаря применению методов теории функций и функционального анализа.

Многочисленные исследования по ОКЗ, выполненные за прошедшие годы (см. обзоры [6], [12] и монографию [82]), показали, что некоторые из ОКЗ некорректны по Адамару. Однако иногда условия разрешимости этих задач удается выразить в явном виде и при их выполнении обосновать существование единственного и устойчивого решения. Сказанное относится, прежде всего, к внешним ОКЗ в постановке М. Т. Нужина (ис-* комая область содержит бесконечно-удаленную точку, причем значение искомой функции в бесконечности задано заранее) и, соответственно, к ОКЗА, которые сводятся к названным выше внешним ОКЗ. Некорректность этих задач проявляется в том, что имеются условия разрешимости, записываемые в явном виде (но не через исходные данные задачи), которые могут не выполняться. Следовательно, получаемое в аналитической форме единственное решение ОКЗ не попадает в множество допустимых решений. Поэтому для "спасения" задачи необходимо применить какой-либо метод регуляризации. Соответствующие подходы разработаны в хорошо развитой теории некорректных задач (см., например, [78]). Один из них связан с введением понятия квазирешения задачи и развитием методов построения квазирешений с обоснованием выполнения требований корректности.

Под квазирешениями некорректной задачи В. К. Иванов [48] предложил понимать всякие элементы множества U допустимых решений (множества корректности), реализующие расстояние от элемента, характеризующего решение и определенного по начальным данным задачи, до множества U. Вопрос о нахождении квазирешений ОКЗ поставили JI. А. Аксентьев и JI. Н. Журбенко [11]. Впервые определение квазирешения внешней ОКЗ, реализующее подход В. К. Иванова, дано в работе [27]. Там же доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости квазирешений. Названный подход был перенесен на ОКЗА в [30], [31], [94] и ряде последующих работ. Теория квазирешений ОКЗА подробно изложена в монографиях [33], [95]. Там же описаны случаи, когда квазирешения могут быть построены в аналитическом виде. Квазирешения, учитывающие ограничение на максимум скорости, исследованы в недавних работах [37], [38], [41]. Ряд новых результатов в этом направлении получен в настоящей диссертации. Для них характерно, что построить квазирешения в явном виде не удается, и поэтому необходимо было разработать ряд численно-аналитических методов построения квазирешений, реализовать их численно, провести вычислительные эксперименты и проанализировать полученные в них результаты.

Далее, в диссертации численно-аналитические методы построения квазирешений ОКЗА обобщены на случай решения основной вариационной ОКЗА.

Среди множества возможных постановок вариационных ОКЗА в [29] выделена постановка (названная основной), которая содержит изопе-риметрическое условие (задание периметра контура профиля) и единственное дополнительное ограничение на значение скорости на контуре (maxi;(s) < vmax)- В рамках модели ИНЖ точное решение этой задачи при достаточно больших значениях vmax получено в [29], [45], [46]. Это решение дает экстремальное значение подъемной силы как максимизируемой характеристики и, следовательно, точную оценку подъемной силы при учете дополнительных ограничений.

Наряду с точными решениями вариационных ОКЗА, особенно в тех случаях, когда точное решение еще не найдено, важным является развитие численных методов решения названных задач. Отметим, что в этом направлении ранее был выполнен целый ряд исследований (см., например, [42], [43], [44], [47]), в том числе работы последнего времени (см. [39], [40], [53], [93]). Численные результаты по построению решений различных вариационных ОКЗА, полученные в настоящей диссертации, сравнивались с упомянутыми выше точными и численными решениями и, в частности, с данными диссертационной работы [53].

Кратко охарактеризуем содержание настоящей диссертации. Она состоит из введения, трех глав, содержащих 10 параграфов, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации развит метод квазирешений обратных краевых задач аэрогидродинамики и реализован один из подходов к аэродинамической оптимизации формы крыловых профилей, основанный на решении вариационных ОКЗА.

Исследован вопрос о непустоте допустимого множества управляющих функций (множества корректности) в задаче о квазирешениях основной ОКЗА и в основной вариационной ОКЗА.

Развиты и численно реализованы методы построения квазирешений основной ОКЗА для крыловых профилей, обтекаемых безграничным потоком ИНЖ или дозвуковым потоком газа, при ограничении на максимум скорости на их контуре.

Разработаны алгоритмы численной оптимизации и представлены результаты вычислительных экспериментов при нахождении в безграничном потоке формы крыловых профилей, имеющих максимальное значение коэффициента подъемной силы или аэродинамического качества.

Сделаны выводы о влиянии исходных физических параметров на аэродинамические и геометрические характеристики оптимальных форм, сформированные на основе анализа вычислительных экспериментов.

Все рассмотренные задачи и использованные при этом методы снабжены числовыми расчетами, представленными в виде графиков, таблиц и рисунков.

1. Абзалилов Д. Ф., Ильинский Н. Б. Об одной экстремальной задаче обтекания потоком идеальной несжимаемой жидкости гладкого контура со стоком//Докл. АН России. - 1997. - Т. 354. 1. -С. 43-46.

2. Абзалилов Д. Ф., Ильинский Н. Б., Марданов Р. Ф. Задача максимизации циркуляции скорости при обтекании гладкого контура с источниками и стоками//Журнал вычисл. матем. и матем. физ. -2000. Т. 40. - № 1. - С. 82-98.

3. Авхадиев Ф. Г. Оценки в классе Зигмунда й их применение к краевым задачам//Докл. АН СССР. 1989. - Т. 307. - № 6. - С. 12891292.

4. Авхадиев Ф. Г. Однолистные решения обратных краевых задач гидроаэромеханики//Тр. семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1990. - Вып. 24. - С. 3-14.

5. Авхадиев Ф. Г., Аксентьев Л. А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций//Успехи мат. наук. 1975. - Т. 30. - № 4. - С. 3-60.

6. Авхадиев Ф. Г., Аксентьев Л. А., Елизаров А. М. Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения//Итоги науки и техники. Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1987.- Т. 25. С. 3-121.

7. Авхадиев Ф. Г., Елизаров А. М. Оценки критического числа Маха для некоторых классов несущих крыловых профи-лей//Моделирование в механике. 1992. - Т. 6. - № 3. - С. 5-13.

8. Авхадиев Ф. Г., Елизаров А. М. Точные оценки решения одной вариационной обратной краевой задачи в счетносвязных обла-стях//Изв. вузов. Матем. 1996. - № 3. - С. 3-13.

9. Авхадиев Ф. Г., Елизаров А. М., Фокин Д. А. Максимизация критического числа Маха для несущих крыловых профилей//Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1992. - № 3. - С. 155-162.

10. Аксентъев Л. А. Об однолистной разрешимости обратных краевых задач//Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1973. - Вып. 10. - С. 11-24; 1974. - Вып. 11. - С. 9-18.

11. Аксентъев Л. А., Журбенко Л. Н. Вопросы корректности в обратных краевых задачах. Тр. семинара по краевым задачам. -Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1979. - Вып. 16. - С. 15-28.

12. Аксентъев Л. А., Ильинский Н. Б., Нуэюин М. Т., Салимое Р. Б., Тумашев Г. Г. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения//Итоги науки и техники. Матем. анализ.- М.: ВИНИТИ, 1980. Т. 18. - С. 67-124.

13. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977. - 344 с.к 14. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, 1987. - 400 с.

14. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИИЛ, 1961. - 208 с.

15. Биркгоф Г., Сараптонелло Э. Струи, следы и каверны. М.: Мир, 1964. - 466 с.

16. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. - 640 с.

17. Гловииский Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. - 576 с.

18. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. - 628 с.

19. Гонор А. Л., Черный Г. Г. Поперечный контур тела минимального волнового сопротивления//В кн. Теория оптимальных аэродинамических форм (под ред. А. Миеле). М.: Мир, 1969. - С. 292-305.

20. Гонор А. Л., Крайко А. Н. Некоторые результаты исследования оптимальных форм при сверх- и гиперзвуковых скоростях//В кн. Теория оптимальных аэродинамических форм (Под ред. А. Миеле). М.: Мир, 1969. - С. 456-492.

21. Гонор А. Л., Черный Г. Г. Форма нетонких тел минимального волнового сопротивления//В кн. Теория оптимальных аэродинамических форм (под ред. А. Миеле). М.: Мир, 1969. - С. 379-395.

22. Градштейн И. С., Рыоюик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Изд. 4-е, перераб. М.: Физматгиз, 1962. - 1100 с.

23. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М.: ГИФМЛ, 1961. - 495 с.

24. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости, 2-е изд. М.: Наука, 1979. - 536 с.

25. Домбровекий Г. А. Метод аппроксимации адиабаты в теории плоских течений газа. М.: Наука, 1964. - 158 с.

26. Елизаров А. М. О квазирешениях внешней обратной краевой зада-чи//Изв. вузов. Матем. 1984. - № 10. - С. 42-50.

27. Елизаров А. М. Некоторые экстремальные задачи теории кры-ла//Изв. вузов. Матем. 1988. - № 10. - С. 71-74.

28. Елизаров А. М., Ильинский Н. В. Метод квазирешений в обратной краевой задаче гидроаэродинамики//Изв. вузов. Матем. 1984. -№ 10. - С. 50-59.

29. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Квазирешения обратной краевой задачи гидроаэродинамики //Докл. АН СССР. -1985. Т. 284. - № 2. - С. 319-322.

30. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики//Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1989. - Т. 23. - С. 3-115.

31. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики: теория и методы проектирования и оптимизации формы крыловых профилей. М.: Физматлит, 1994. - 436 с.

32. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В., Степанов Г. Ю. Основные методы, результаты, приложения и нерешенные проблемы теории обратных краевых задач аэрогидродинамики. Казань:

33. Изд-во "ДАС", 2001. 225 с. (Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 10).

34. Казан, матем. об-ва, 2003. С. 100 - 101.

35. Елизаров А. М., Илюхин А. Э., Лапин А. В. Численное решение * некоторых вариационных обратных краевых задач аэрогидродинамики // Изв. вузов. Авиационная техника. 2005. - № 1. - С. 28-33.

36. Елизаров А. М., Ихсанова А. И., Фокин Д. А. Численная оптимизация формы крыла экраноплана методами теории вариационныхобратных краевых задач // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. - Т. 8. - № 1. - С. 165-167.

37. Елизаров А. М., Ихсанова А. Н., Фокин Д. А. Оптимальное аэродинамическое проектирование крыловых профилей при ограничении на максимум скорости// Изв. вузов. Авиац. техника. 2004. - № 3.- С. 32-36.

38. Елизаров А. М., Лапин А. В. Применение вариационных методов в обратных краевых задачах для аналитических функций// Изв. вузов. Математика. 2004. - № 7. - С. 30-46.I

39. Елизаров А. М., Федоров Е. В. Оптимизация аэродинамических форм методом обратных краевых задач//Прикл. мат. и мех. 1990.- Т. 54. № 4. - С. 571-580.

40. Елизаров А. М., Федоров Е. В. Решение вариационных обратных краевых задач аэрогидродинамики методами численной оптимизации/ /Журнал прикладной мех. и техн. физ. 1993. - № 2. - С. 7380.

41. Елизаров А. М., Федоров Е. В., Фокин Д. А. Вариационные обратные краевые задачи аэрогидродинамики для дозвукового течения газа//Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1993. - Т. 33. - № 6.- С. 958-968.

42. Елизаров А. М., Фокин Д. А. Точные решения основной вариационной обратной краевой задачи аэрогидродинамики// Докл. АН России. 2004. - Т. 399. - № 2. - С. 192-198.

43. Елизаров А. М., Фокин Д. А. Точные решения некоторых задач аэродинамической оптимизации// Прикл. мат. и мех. 2005. - Т. 69.- Вып. 5. С. 742-758.

44. Зубов В. И. К вопросу об оптимальном профиле крыла в потоке идеальной несжимаемой жидкости//Журнал вычисл. матем. и ма-тем. физ. 1980. - Т. 20. - № 1. - С. 241-245.

45. Иванов В. КВасин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задачи и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

46. Ильинский А. И., Ильинский Н. ВПоляков Д. В., Поташев А. В., Степанов Г. Ю. Уточнение критерия отрыва турбулентного пограничного слоя с использованием эмпирических данных// Препринт № 98-2. Казань, 1998. - 62 с.

47. Ильинский Н. В., Поташев А. В. Краевые задачи теории взрыва. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986. - 180 с.

48. Илюхин А. Э. Численные и точные решения некоторых задач аэродинамической оптимизации// Материалы VI Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения" Казань: Изд-во Казан, ун-та, 2005. - С. 106-109.

49. Иоффе Ф. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. - 480 с.

50. Ихсанова А. И. Численно-аналитические методы решения вариационных обратных краевых задач аэрогидродинамики. Дис. . канд. физ.-мат. н. Казань, 2004, 111 с.

51. Канторович JI. В., Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа. M.-JL: Физматгиз, 1962 - 708 с.

52. Каханер Д., Моулер К., Иэш С. Численные методы и математическое обеспечение. М.: Мир, 1998. - 575 с.

53. Колмогоров А. И., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. - 496 с.

54. Крайко А. Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979. - 447 с.

55. Крайко А. Н., Пудовиков Д. Е., Якунина Г. Е. Теория аэродинамических форм, близких к оптимальным. М.: Янус-К, 2001. - 132 с.

56. Лаврентьев М. А. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана//Тр. ЦАГИ. 1934. - Вып. 155. - 41 с.

57. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

58. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. -840 с.

59. Маклаков Д. В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений со свободными границами. М:: Янус-К, 1997. - 281 с.

60. Маклаков Д. В., Елизаров А. М., Шарипов Р. Р. Препятствия наибольшего сопротивления в дозвуковом потоке газа. — Препринт-06/1. Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2006. - 48 с.

61. Милн-Томпсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964. - 655 с.

62. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977. - 421 с.

63. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. - 511 с.

64. Нужи?1 М. Т., Ильинский Н. Б. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений. Обратные краевые задачи теории фильтрации. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1963. - 139 с.

65. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. М.: ГИТТЛ, 1950. - 336 с.

66. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. - 800 с.

67. Прудников А. П., Брычков Ю. АМаричев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. Т. 3. М: Наука, 1986. - 800 с.

68. Салимое Р. Б. Некоторые основные задачи об изменении контуров теории аналитических функций и их приложения к механике жидкости. Казань: Изд-во Казан, высш. командно-инж. училища, 1970. - 364 с.

69. Седов JI. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966. - 448 с.

70. Седов JI. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1980. - 448 с.

71. Сиразетдинов Т. К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. - 480 с.

72. Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М.: Физ-матгиз, 1962. - 512 с.

73. Степанов Г. Ю. Об основных модельных представлениях механики жидкости и газа в теории крыла//Некоторые вопросы механ. сплош. среды. М.: Изд-во Московск. ун-та, 1978. - С. 5-28.

74. Теория оптимальных аэродинамических форм. Под ред. А. Миеле. М.: Мир, 1969. - 508 с.

75. Тихонов А. Н., Арсении В. Я. Методы решения некорректных задач, 2-е издание. М.: Наука, 1979. - 288 с.

76. Тумашев Г. Г. Нахождение формы профиля по заданному распределению скорости с учетом сжимаемости жидкости//Изв. Казан, физ.- мат. об-ва. 1945. - Т. 13. - Сер. 2. - С. 127-132.80