автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование преобразования лазерного излучения, сформированного плоским резонатором, оптическими системами

На правах рукописи

Борычев Алексей Леонтьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ, СФОРМИРОВАННОГО ПЛОСКИМ РЕЗОНАТОРОМ, ОПТИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2007

0030Б43ББ

003064366

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «МАТИ» - Российском государственном технологическом университете имени К Э Циолковского

Научный руководитель Заслуженный деятель науки и

техники России, доктор физико-математических наук, профессор Беклемишев Нил Нилович

Официальные оппоненты Заслуженный деятель науки и

техники России, доктор технических наук, профессор Пахомов Иван Иванович,

Кандидат технических наук, доцент Могильная Татьяна Юрьевна

Ведущая организация Всероссийский научно-исследовательский институт оптико-физических измерений (ФГУП «ВНИИОФИ»), г Москва

Защита состоится « ¿6 У, 2007 г в/у- часов на заседании

диссертационного совета Д212 110 06 при ГОУ ВПО «МАТИ» - Российском государственном технологическом университете имени К Э Циолковского по адресу 121552, г Москва, ул Оршанская, д 3, зал Ученого Совета

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «МАТИ» - Российского государственного технологического университета имени К Э Циолковского

Ваш отзыв на автореферат в 2-х экз просим направлять по указанному адресу

Автореферат разослан «_ 2 У » са-С'ЛЗ. 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

Е В Марсова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. На сегодняшний день востребованной является передача сигнала на большие расстояния В связи с этим существует необходимость формирования пучка с малой расходимостью излучения Для этого используются чаще всего афокальные оптические системы Необходимо отметить, что для решения задачи о формировании лазерного излучения с малым углом расходимости применяют плоские устойчивые оптические резонаторы (о р) Опыт показывает, что они создают наименьшую расходимость излучения Указанные о р редко используются на практике, поскольку обладают относительно высокими дифракционными потерями Однако для нулевой поперечной моды эти потери малы по сравнению с модами высших порядков Именно эта мода рассматривается в настоящей работе в связи с тем, что в ней сосредоточена наибольшая энергия, а расходимость минимальна При очень малых углах расходимости существенное влияние оказывают волновые аберрации, вносимые линзами оптической системы (о с), которые увеличивают расходимость Аберрации рассчитываются по моделям геометрической оптики

Однако геометрическая оптика не может учесть дифракционные и интерференционные явления, которые совершенно по особому проявляются в процессах формирования и распространения лазерного излучения через слои свободного пространства и оптические системы

В настоящей работе рассматривается другой, волновой, метод расчета аберраций линз Необходимо получить возможность управляемого синтеза оптической системы с целью достижения заданной по техническим условиям (ту) малой величины расходимости Такую задачу удобнее решать методом скалярной теории дифракции Трудности решения задачи этим методом заключаются в сложности формирования гибкой системы

приближений, которыми заменяется реальная система, те в построении математических моделей, исследование которых позволило бы получить приближенные аналитические зависимости

Вообще, лазерные пучки, формируемые плоскими оптическими резонаторами и преобразованные оптическими системами, мало исследованы аналитическими методами даже в параксиальном приближении Существует потребность, помимо указанных выше задач, подробно проанализировать геометрические характеристики этих пучков в пространстве за преобразующей излучение линзою (или оптической системой, ей эквивалентной) Необходимо получить адекватную математическую модель преобразования излучения, которая позволила бы описать геометрию поля В результате исследования модели можно было бы установить влияние чисел Френеля на функцию расходимости излучения на выходе о с Последнее также мало изучено в работах, выполненных ранее

В настоящее время не существует адекватных аналитических методов, позволяющих рассчитать расходимость излучения лазера на выходе оптических систем с учетом аберраций и, следовательно, провести синтез о с, исходя из минимизации аберраций Существуют лишь пакеты прикладных программ, позволяющие находить численные значения выходных параметров по заданным входным Однако они не позволяют проводить управляемый синтез, поскольку не вполне соответствуют реальной волновой природе света, т к построены по принципам геометрической оптики

Ранее, с применением скалярной теории дифракции, ввиду отсутствия гибких систем приближений, были получены аналитические выражения лишь для простейших, в том числе безаберрационных, схем

Таким образом, получение гибких систем приближений, те построение математических моделей, описывающих преобразование

излучения при прохождении через линзы и слои свободного пространства, является актуальной научно-технической задачей

В литературе не встречается описание гибких методик расчета расходимости на выходе оси алгоритмов синтеза о с Это связано, как было отмечено выше, с отсутствием аналитических зависимостей, определяющих геометрию пучка лазерного излучения на выходе оптической системы с учетом аберраций линз

Методики желательно представить текстуально, а алгоритмы представить графически

Получение таких алгоритмов и методик является также актуальной задачей

Цель работы, основные задачи. Целью настоящей диссертационной работы является построение и исследование математических моделей преобразования лазерного излучения прозрачными средами (слои свободного пространства, линзы, ос) для получения приближенных оценок влияний параметров лазера и аберраций линз на геометрию лазерного пучка и разработки на основе этого методик синтеза оптических систем При этом решаются следующие задачи

1 В результате построения и исследования параксиальной модели выводятся геометрические характеристики пучка, преобразованного линзой и системой линз (на примере двухлинзовой), подробно анализируется пространственная структура поля, сформированного плоским оптическим резонатором, на выходе оптической системы

2 На основе построенной математической модели исследуются зависимости геометрических характеристик лазерных пучков, сформированных плоскими оптическими резонаторами и преобразованных линзами и оптическими системами, от чисел Френеля, т е фактически от параметров лазера

3 В результате исследования построенной аберрационной модели выводится формула для расходимости на выходе двухлинзовой афокальной оптической системы с учетом аберраций

4 Разрабатываются методики расчета расходимости с учетом аберраций линз и методики синтеза оптической системы, формирующей заданную геометрию пучка (расходимость), исходя из минимизации аберраций и обеспечения необходимой расходимости

Теоретическая база исследования. Для решения поставленных в работе задач использовался аппарат скалярной теории дифракции в приближении Кирхгофа

Научная новизна. Научная новизна работы заключается в следующем

1 Впервые разработана параксиальная модель, позволяющая исследовать характеристики поля, сформированного плоским оптическим резонатором и преобразованного оптической системой, а также установить критичность этих характеристик к числам Френеля

2 На основе этой модели проведен приближенный расчет геометрических параметров лазерного излучения плоского резонатора на выходе оптической системы

3 Разработана аберрационная математическая модель, позволяющая получить приближенную аналитическую зависимость для расходимости на выходе двухлинзовой оптической системы с учетом аберраций каждой из линз Выведена указанная аналитическая зависимость Получены также приближенные формулы, характеризующие аберрации каждой из линз

4 Исследование аберрационной модели позволило установить влияние аберраций линз двухлинзовой оптической системы на расходимость Выведены приближенные аналитические зависимости для аберрационной и когерентной погрешностей интенсивности Расчет их проведен в фокальной плоскости линзы (плоскость формирования пространственно-частотного спектра) Указанный расчет носит модельный характер

5 Впервые предложены методики расчета расходимости излучения на выходе оптической системы с учетом аберраций линз и методики и алгоритмы синтеза формирующей оптической системы, исходя из минимизации аберраций, на базе полученных аналитических зависимостей

Практическая значимость результатов работы состоит прежде всего в том, что построение и исследование адекватных математических моделей позволяет получить приближенные аналитические зависимости, посредством которых возможно быстро синтезировать оптические системы, формирующие заданную по техническим условиям расходимость излучения лазера на выходе о с , исходя из условия минимизации аберраций Кроме этого, аналитичность полученных зависимостей позволяет провести более гибкую оценку влияния того или иного параметра ос и о р на расходимость математическими методами Результаты исследования моделей нашли практическое применение в расчетах оптических систем, уменьшающих угловую расходимость лазерного излучения, о чем имеются соответствующие акты внедрения Получение приближенных аналитических решений позволяет в дальнейшем найти пути к численному моделированию преобразования излучения с использованием интеграла Кирхгофа

Достоверность полученных результатов работы определяется использованием корректных теоретических методов, строгостью применяемого математического аппарата, внутренней согласованностью результатов, а также хорошим соответствием с экспериментом Основные положения, выносимые на защиту:

1 Математические модели, описывающие преобразование излучения, сформированного плоским резонатором, двухлинзовыми системами, без учета волновых аберраций линз (параксиальная модель) и с учетом аберраций (аберрационная модель)

2 В результате исследования параксиальной модели установлено, что расходимость излучения, сформированного плоским оптическим

резонатором и преобразованного двухлинзовой оптической системой, особо критична к числам Френеля в области малых чисел Френеля (N<=5) и слабо критична при N>=5 При этом, с уменьшением числа Френеля расходимость уменьшается

3 Получена приближенная зависимость для расходимости излучения на выходе оптической системы с учетом волновых аберраций линз о с , а также формулы, характеризующие эти аберрации

4 В результате исследования аберрационной модели установлено, что выражения, описывающие аберрации, входят в полученную аналитическую зависимость расходимости на выходе оптической системы автономно Это позволяет компенсировать аберрации для каждой линзы независимо от другой

5 Количество параметров линз превышает количество уравнений системы для синтеза афокальной насадки на четыре в случае частичного устранения аберраций и на два - в случае полного устранения, что обеспечивает возможность синтеза оптической системы

Апробация работы. Основные материалы и положения работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах

Научный семинар во Всероссийском научно-исследовательском институте оптико-физических измерений (ФГУП «ВНИИОФИ») - Москва, 2005г

«Гагаринские чтения XXXI, XXXII, XXXIII», международные научные молодежные конференции - Москва, 2005г , 2006г , 2007г соответственно

Всероссийская научно-техническая конференция «Новые материалы и технологии» (НМТ-2006) - Москва, 2006г

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты диссертации внедрены в НИИ РЛ МГТУ им Н Э Баумана, а также в учебном процессе кафедры «Физика» «МАТИ» - РГТУ им К Э

Циолковского, о чем имеются соответствующие акты внедрения, приведенные в приложениях к диссертации

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 печатных работах 5 статьях в научных журналах, 5 научных трудах и тезисах конференций

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений Общий объем составляет 168 страниц печатного текста, включая 27 рисунков Список литературы включает 83 наименования

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность проблемы, изложены цели, задачи и методы исследования, описана степень новизны и практической значимости результатов, сформулированы положения, выносимые на защиту В первой главе проведен подробный анализ литературы по обозначенной тематике Анализ позволил сделать вывод о том, что целый ряд теоретических работ был проведен для некогерентного излучения Для когерентного же, то есть лазерного излучения, работы не имели высокой степени общности и результаты не были представлены в аналитическом виде для многолинзовых систем В большинстве рассмотренных в первой главе работ использовалась геометрическая оптика, которая далеко не всегда адекватно описывает лазерное излучение Здесь было бы уместным использование скалярной теории дифракции Однако адекватные математические модели не были построены Поэтому указанный метод был использован лишь для простейших, в том числе безаберрационых, схем Все это послужите основанием постановки задач для настоящей работы

Вторая глава посвящена преобразованию излучения, сформированного плоским резонатором, одиночной линзой и двухлинзовой оптической системой вблизи оптической оси (параксиальное приближение)

Для этого выстраивается математическая модель преобразования излучения линзами В основе лежит следующая система основных приближений

1 Рассматривается полосовый резонатор, т е проводится одномерный расчет (в меридиональной плоскости)

2 Рассеянием, поглощением в слоях пространства и линзах пренебрегаем

3 Линза рассматривается как тонкий элемент, изменяющий фазу по закону

ср{х',у) = ехр

_1к 2/

4")

(1)

где ? - фокусное расстояние линзы, г-мнимая единица, к- волновое число,

/2= хп + у'2, х', у'— координаты в плоскости линзы

4 Слои свободного пространства представляются квадратичными фазовыми корректорами

5 Преобразование поля слоями свободного пространства моделируется дифракционным интегральным преобразованием Кирхгофа с учетом приближений 1,2,4

С учетом этих приближений показано, что математическая модель, описывающая преобразование поля у/, сформированного плоским резонатором (нулевая мода), линзами вблизи оптической оси (параксиальная модель), имеет вид

. I . В„ I -Ч 1

У,V, Л = ^^ ехр|-+ /")[ ДО 5(\е'4* \ + [)

)а>

2л г,

х ехр (хх" + уу") ¡-¿5,

(2)

1 Фрп,

. I е~'1' к

2 ж г

сЫ'Иу",

¥0{ х0'Уо)~

I е',кг к

2тт г'

-А- Я ехр|

Ч

ехр

|7 к-^+и-/)1}

с1х'с1у',

где Ао, В0- коэффициенты, введенные Вайнштейном для описания поля на выходном зеркале о р, Ь- поперечный линейный размер выходного зеркала оптического резонатора, х0, уо, х', у', х", у", х, у- переменные интегрирования в соответствующих координатных плоскостях, г (с индексами) - расстояния между этими плоскостями вдоль оптической оси

Исследование (2) позволяет получить довольно простую зависимость, связывающую поля на входе и выходе линзы

где /? - увеличение, А - масштабирующий амплитудный коэффициент, , 2о-расстояния между выходным зеркалом и оптически — сопряженными плоскостями, в которых расположены указанные поля (на входе и выходе линзы) На основании (3) поля в данных плоскостях (назовем их опорными) подобны Таким образом, довольно сложная модель (2), построенная в рамках приближений 1 - 5 , позволяет прийти к простой формуле (3), которая и являет собой по сути упрощенную модель преобразования поля линзой от одной опорной плоскости к другой с учетом слоев пространства вблизи оптической оси (параксиальную модель)

Отметим, что данная модель получена для нулевой поперечной моды излучения, сформированного плоским оптическим резонатором, впервые

С использованием теории оптических систем показано, что модель имеет похожий вид и для многокомпонентной (не афокальной) оптической системы Действительно, произвольную, например, двухлинзовую систему можно заменить в параксиальном приближении одиночной эквивалентной линзой, оптическая сила которой равна оптической силе системы линз

Исследование модели позволило провести приближенный расчет геометрических характеристик поля на выходе двухлинзовой системы

Особо тщательно исследовано влияние чисел Френеля на геометрию пучка за оптической системой В качестве исходных геометрических

(3)

параметров выбраны радиусы световых пятен по уровням произвольных нулей (или максимумов) интенсивности, причем центральный максимум является по определению нулевым

Следует отметить тот факт, что термин «параксиальное приближение» может рассматриваться как безаберрационное приближение В результате исследования математической модели впервые удалось получить геометрические характеристики пучка за «безаберрационной» линзой и системой двух линз Как указывалось выше, такими характеристиками являются радиусы световых пучков

Исследования указанной модели позволили установить, что радиус пучка, а, следовательно, и расходимость излучения на выходе линзы или системы по уровню первого нуля интенсивности определяются коэффициентом а =а(И), а по уровню первого максимума - коэффициентом Р = Р{А0) Они определяют углы между оптической осью и направлениями на первый нуль и на первый максимум интенсивности соответственно Коэффициент а увеличивается (с увеличением числа Френеля) и асимптотически стремится к некоторой постоянной величине Физически эти коэффициенты характеризуют отличие расходимости на выходе о р от дифракционного предела В работе проведено их исследование (см рис 1 , рис 2)

А «ело

1 09 1 08 1 071 06 1 05 1 04 1 03 1 02 1 01 -

=?

О

2

4

Рис.1. Зависимость а=а(Ы)

Рис. 2 Зависимость коэффициента РШ для всего спектра

Полученные зависимости для радиусов предельным переходом позволяют перейти к формуле расходимости лазерного пучка на выходе линзы или системы Используя несложные преобразования, формулу расходимости можно выразить через расстояние от резонатора до первой линзы системы (7^)

2в - + (* - ОМ/'. У ~ -Л)+ ¿1 (/'. + А-<*))}

» 0 вы г А/*'

V г , (4)

п = 1,2,3,

'"Уй

где »- расходимость на выходе двухлинзовой системы по уровню п -ого нуля функции интенсивности, /\ и Г г- фокусные расстояния первой и второй линз системы соответственно, Ь - поперечный размер выходного зеркала, с1 - расстояние между линзами, Л - длина волны излучения

Переход к случаю, когда /\+/'2, тек афокальной оптической системе, приводит к уже известной из многих литературных источников формуле, что говорит о правильности вывода (4)

На правильность указывает также корректность используемого математического аппарата скалярной теории дифракции, строгость и обоснованность системы приближений

Исследование модели показало, что радиус светового пятна прямо пропорционален удалению плоскости анализа вдоль оптической оси Геометрические параметры пучка на входе и выходе системы связаны линейно

Известно, что функция интенсивности в произвольной плоскости за выходным зеркалом имеет ряд нулей и максимумов Приближенные расчеты, проведенные в настоящей главе указанными выше методами, показывают, что аналогичная картина наблюдается и за произвольной оптической системой, с учетом масштабирования

Показано, что на удаление нулей и максимумов от оптической оси существенное влияние оказывает число Френеля Установлено, что в пространстве за оптической системой с увеличением чисел Френеля (N> = 5) удаления нулей и максимумов происходить не будет Однако при малых числах Френеля (с их уменьшением) удаление максимумов и нулей будет сокращаться до некоторого предела Этот предел определяется, очевидно, только дифракционными явлениями (дифракционный предел) Отсюда следует, что расходимость излучения также уменьшается с понижением числа Френеля и особо критична к его величине в области малых чисел

Глава третья настоящей работы посвящена анализу влияния волновых аберраций линз на геометрию лазерного пучка, формируемого плоским оптическим резонатором, прежде всего на расходимость излучения, преобразованного афокальной оптической системой (а о с )

Для решения поставленной задачи выстраивается более сложная эквивалентная математическая модель преобразования лазерного излучения двухлинзовой а о с Формируются системы допущений как физических, так и математических, выстраиваются приближения, в рамках которых данная

модель может быть исследована Исследование ведется с применением дифракционного интеграла Кирхгофа

Слои свободного пространства представляются квадратичными фазовыми корректорами (приближение Френеля), поскольку погрешности, вносимые более высокими порядками для свободного пространства вблизи оптической оси, как показывают проведенные оценки, пренебрежимо малы Влияние же волновых аберраций линз на расходимость излучения в области малых расходимостей, как показывает опыт, весьма существенно Учет аберрационных искажений, вносимых линзами а о с, проводится через фазовые экспоненты Показатель каждой экспоненты раскладывается в ряд по степеням до четвертого члена

(З(х',/) = ехр

г'<+/Зъ г")

2/

(5)

где коэффициенты определяющие волновые аберрации линзы,

являются функциями радиусов кривизны линзы

Математическая модель построена на следующих основных приближениях

1 Рассматривается модель полосового резонатора (один линейный размер выходного зеркала много больше другого)

2 Рассматривается нулевая поперечная мода (см ранее)

3 Поглощением и рассеянием в линзах и слоях пространства пренебрегаем

4 Афокальная о с размещается непосредственно на выходе резонатора

5 Апертуры линз принимаются бесконечными

6 Линзы рассматриваются как тонкие фазо-преобразующие элементы, изменяющие фазу поля по закону (5)

7 Многочлены, являющиеся показателями экспонент в подынтегральных выражениях, с целью понижения степени и упрощения

вычислений дифракционых интегралов аппроксимируются полиномами Чебышева, наименее уклоняющимися от нуля

Математическая модель, описывающая преобразования поля первой линзой, первым слоем пространства (плоскость Х^УО и второй линзой, вторым слоем пространства (плоскость ХгОУ2) (см рис 3) с учетом означенных приближений представляет собой два интегральных преобразования

у/{х1,у,) = £>, Цехр[- (ах'1 + Ьхх' + с,)] ехр[- (ауп + 6,у + с, )]х

хехр

(¡х'йу

(6)

У{хг,уг) = Ог ДехрЦадЧ^л.+с,,)] ехрКад'+б^.+с^х

хехр

Л 2//

7 Р2

-(-"■ЧЗ

Л, с/у.

где

£,,£>2,а, с*, ^у, с', а(, Ьг1, сх1, с;| - некоторые коэффициенты,

причем в а и а\ заключена информация об остаточных аберрациях первой и второй линз соответственно В работе показано, что остаточные аберрации каждой из линз входят в эти коэффициенты через параметры

(7)

для первой и второй линз соответственно

Система интегральных преобразований (6) являет собой, таким образом, математическую модель преобразования излучения, сформированного плоским резонатором, двухлинзовой а о с с учетом аберраций линз (аберрационная модель) Аберрационная модель, описывающая преобразование поля, сформированного плоским о р, двухлинзовой а о с , на основе скалярной теории дифракции в приближении

Кирхгофа, разработана впервые Исследование данной модели представляет собой вычисление интегралов (6) для определения функций полей в характерных плоскостях Х^У] и Х2ОУг, которое возможно аналитически в рамках разработанной системы приближений, а также в анализе и упрощении полученных выражений Результатом исследования являются приближенные аналитические зависимости, определяющие волновые аберрации линз оси расходимость излучения на выходе системы с учетом этих аберраций

Вычисление первого интеграла в (6) дает функцию поля на входе второй линзы (Х|ОУ,) Функция поля в плоскости Х^У! имеет громоздкий вид Однако внимательный анализ этой формулы позволяет прийти к заключению о том, что в случае устремления к нулю аберрационного параметра, определяющего большую долю аберраций, вносимых первой

линзой, Р\ +1,75й\/-1тч 1 где а^/З^ зависят от радиусов

кривизны рабочих поверхностей первой линзы, г)тах-световой радиус первой линзы, зависимость комплексных амплитуд поля на входе второй линзы заметно упрощается

Применяя второй интеграл, фигурирующий в (6), получаем формулу для поля в некоторой удаленной от а о с плоскости Х2ОУ2 (см рис 3 ) Зависимость также чрезвычайно громоздкая Однако, устремляя аналогичный аберрационный параметр для второй линзы

(/>2 = ог1+ \,ьрг +1,75№.г24тл) к нулю, снова приходим к довольно простой формуле

Описанные выше вычисления позволяют сделать важный вывод Аберрации (У^Уг) входят в функцию поля на выходе системы автономно Очевидно, что и в формулу расходимости они входят также независимо К последнему утверждению можно прийти, записав на основе полученного распределения поля за а о с уравнение постоянных действительных амплитуд В третьей главе выведено это уравнение Оно решается

аналитически относительно расходимости излучения на выходе оптической системы Полученная в результате решения аналитическая зависимость проста по форме и удобна для практических расчетов

^ V (Г/ (8)

В этой формуле 0,8647 > . коэффициенты, являющиеся функциями

параметров лазера и оптической системы

Рис.3. Схема расположения линз и плоскостей анализа

Аналитический характер полученной зависимости позволяет исследовать ее методами математического анализа Возможен управляемый синтез оптической системы для достижения заданной расходимости, исходя из условия минимизации аберраций Полученные приближенные аналитические решения позволяют, очевидно, в дальнейшем разработать более точные численные методы

Приведенная выше зависимость (8) позволяет рассчитать расходимость на выходе а о с с учетом как частичной минимизации

влияния аберраций (А >0), так и полного исключения их влияния

Для выполнения последнего необходимо на параметры каждой из линз

наложить определенные условия Для первой линзы, например, требуется, чтобы значения ее параметров удовлетворяли системе уравнений

Р1=0, У,=0

Для второй линзы все аналогично Удовлетворить сформулированным выше условиям оказывается возможным Подробнее об этом — в описании четвертой главы

В четвертой главе на основе полученной формулы расходимости на выходе оптической системы, учитывающей влияние аберраций линз, разработана гибкая методика расчета расходимости

Также разработаны методики и алгоритмы синтеза оптических систем для достижения заданной величины расходимости, исходя из условий минимизации аберраций Методики представлены текстуально, а алгоритмы - графически(см рис 4 )

Методики основаны на обнулении аберрационных параметров линз совместно с решением двух формул линз Эти формулы, как известно из теории оптических систем, связывают оптические силы линз с их конструктивными параметрами

Таким образом, для частичной коррекции аберраций решается система из четырех уравнений, два из которых - условия р|=0, рг=0 , а два другие -отмеченные выше формулы линз Отметим, что решение указанной системы возможно, поскольку число свободных параметров - четыре В работе обосновывается, что в качестве решения системы удобно получать радиусы кривизны рабочих поверхностей линз Действительно, это удобно, поскольку указанные параметры могут изменяться в довольно широких пределах, в то время как, например, границы изменения показателей преломления невелики

Подробно описано, каким образом целесообразно варьировать свободными параметрами для достижения тех или иных, например, габаритных условий

Далее в четвертой главе подробно разобрана методика синтеза оптических систем для малых углов расходимости, близких к дифракционному пределу Указано, что для достижения столь малых величин необходимо добиться минимизации остаточных аберраций наряду

с обнулением большей части аберраций, описываемой рьр2

Рис.4. Алгоритм корригирования аберраций, исходя из величины расходимости на входе

(9)

В описанном выше случае на систему из четырех уравнений (см ранее) необходимо наложить еще два независимых условия, обеспечивающих обнуление остаточных аберраций, описываемых V,, V2(cm (7)) В результате получается система из шести уравнений, которую необходимо решить относительно радиусов кривизны линз и двух других параметров, например,

Inns , ''2пп\

1) az + l,5/?zrlnl42 + 1,75£Ы2/-1[Щ1Ч4 = О

2) az + 1,5/3zr2nJ + 1,75wzr2mJ = О

3) «i+jfMnJ+^i'VL =о

4) «z +PzhmJ = 0

5) (я, -1)(1//-M -l/r12) + (и, -l)2 VVn^ =i//;

6) (и2-1)0/r2l-\/r22) + (n2-i)2e2/n2r2[r22=\/f;

В этой системе пь п2- показатели преломления первой и второй линз,

r,j - радиусы кривизны рабочих поверхностей линз (по два - у каждой),

- толщины линз вдоль оптической оси Величины, отмеченные точкой вверху, означают соответствие второй линзе Об остальных сказано ранее

В системе (9) первые два уравнения выражают обнуление значительной части аберраций, описываемых pi,p2, вторые два уравнения выражают коррекцию остаточных аберраций Последние два уравнения являются формулами линз, о которых говорилось выше Решение системы возможно, поскольку количество свободных параметров - два

В четвертой главе указывается на то, что необходимость минимизации аберраций существует, когда расходимость порядка нескольких угловых минут (или менее этого) При больших расходимостях коррекция аберраций необязательна, поскольку в этом случае линзовые искажения не оказывают

существенного влияния на расходимость излучения При очень малых расходимостях, близких к дифракционному пределу, желательно полное устранение аберраций, поскольку в области малых расходимостей влияние аберраций наиболее существенно В остальных случаях, очевидно, достаточно минимизации основной части аберраций, описываемой рьр2

Необходимо отметить, что приведенные соображения являются оценочными Поэтому в каждом конкретном случае следует решать вопрос устранения аберраций индивидуально, руководствуясь целым рядом факторов и используя приведенные рекомендации лишь ориентировочно

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные результаты диссертационной работы могут быть представлены в виде следующих выводов

1 Построены математические модели, описывающие преобразования поля оптическими системами, без учета аберраций линз (параксиальная модель) и - с учетом (аберрационная модель)

2 Получены приближенные зависимости для расходимости излучения, сформированного плоским резонатором, на выходе оптической системы и формулы, характеризующие аберрации о с

3 Исследование параксиальной математической модели преобразования поля линзой (и двухлинзовой системой, ей эквивалентной) позволило установить, что геометрические параметры лазерного пучка на входе и выходе линзы (и системы) связаны линейно Установлено также, что в областях малых чисел Френеля (N<=5) исследуемая в работе функция расходимости на выходе системы особо критична к этим числам

4 Исследование аберрационной модели показало, что аберрации входят в функцию расходимости автономно Это приводит к возможности независимого устранения аберраций каждой из линз Показано, что

при очень малых расходимостях, соответствующих плоским резонаторам, вклад остаточных аберраций в увеличение расходимости пучка достаточно велик ( = 40%)

5 Количество параметров линз превышает количество уравнений системы для синтеза афокальной насадки на четыре в случае частичного устранения аберраций и на два - в случае полного устранения, что обеспечивает возможность синтеза оптической системы Получены системы уравнений синтеза

Публикации

1 Борычев А Л Прохождение пучков лазерного излучения через различные оптические системы // Тезисы докладов международной молодежной научной конференции «XXXI Гагаринские чтения», Москва, 2005 г С 69-70

2 Борычев А Л Преобразование пучка лазерного излучения, сформированного плоским оптическим резонатором, оптическими системами // Научные труды международной молодежной научной конференции «XXXII Гагаринские чтения», Москва, 2006 г - т 1 -С 116

3 Беклемишев Н Н , Борычев А Л Методика расчета расходимости на выходе афокальных оптических систем с учетом аберраций // Измерительная техника - 2006г - №10 - С 45-48 ( из перечня журналов, рекомендуемых ВАК)

4 Беклемишев Н Н, Борычев А Л Применение дифракционного интеграла Кирхгофа к расчету полей, преобразованных линзами // Сборник трудов «МАТИ»-РГТУ им КЭ Циолковского -2006г т 10 -С 139-142

5 Беклемишев Н Н , Борычев А Л Погрешности оптического фурье-преобразования, геометрия лазерного пучка на выходе оптической

системы // Материалы всероссийской научно-технической конференции «Новые материалы и технологии» (НМТ-2006), Москва, ноябрь 2006г -т 2 -С 97-98

6 Беклемишев Н Н, Борычев А Л Исследование погрешностей оптических преобразователей изображения профиля поверхности // Измерительная техника - 2006г - № 12 -С 24-26 (из перечня журналов, рекомендуемых ВАК)

7 Борычев А Л Влияние волновых аберраций на геометрию лазерного пучка, преобразованного оптической системой // Сборник трудов «МАТИ»-РГТУ им К Э Циолковского -2006 г -т 11 -С 143-148

8 Борычев А Л Аберрационный расчет афокальных оптических систем, уменьшающих расходимость гауссовых пучков // Сборник трудов «МАТИ»-РГТУ им К Э Циолковского -2006 г -т 11 -С 148-152

9 Борычев А Л Синтез оптических систем, уменьшающих расходимость излучения, сформированного плоским оптическим резонатором // Тезисы докладов международной молодежной научной конференции «XXXIII Гагаринские чтения», Москва, 2007г С 7-9

10 Борычев А Л Влияние параметров лазера на расходимость излучения, сформированного плоским оптическим резонатором и преобразованного оптической системой // Тезисы докладов международной молодежной научной конференции «XXXIII Гагаринские чтения», Москва, 2007г С 9-10

Заказ № 33/07/07 Подписано в печать 5 07 2007 Тираж 100 экз Уел пл 1

^ - ч ООО "Цифровичок", тел (495) 797-75-76, (495) 778-22-20 |/1 ^ \vw\v с/г ги , е-тай т/о@с/г т

Введение.

Глава 1. Описание проблем, связанных с расходимостью излучения, анализ литературы

1.1. Преобразование излучения лазера оптическими системами без учета аберраций.

1.1.1. Общие сведения. Поле внутри резонатора.

1.1.2. Эрмито-гауссовы пучки.

1.1.3. Поле, формируемое плоским оптическим резонатором непосредственно на его выходе.

1.1.4. Преобразование поля, сформированного плоским резонатором, оптическими системами.

1.1.5. Геометрия пучка, преобразованного слоем свободного пространства за плоским оптическим резонатором.

1.2. Преобразование излучения лазера оптическими системами с учетом аберраций линз.

1.2.1. Общие сведения.

1.2.2. Преобразование изучения афокальной оптической системой.

1.2.3. Проблема синтеза оптических систем, исходя из минимизации аберраций.

1.3. Погрешности функции интенсивности.

1.3.1. Описание проблемы.

1.3.2. Теоретические основы.

1.4. Выводы.

Глава 2. Построение параксиальной модели и ее исследование

2.1. Преобразование поля слоем свободного пространства.

2.2. Геометрия пучка за плоским оптическим резонатором.

2.2.1. Модель преобразования лазерного излучения свободным пространством за выходным зеркалом резонатора.

2.2.2. Исследование модели. Пространственно-геометрические характеристики пучка за резонатором.

2.3. Математическая модель преобразования поля одиночной линзой.

2.3.1. Описание метода оптически сопряженных плоскостей.

2.3.2. Исследование модели. Геометрические характеристики пучка, преобразованного линзой.

2.4. Преобразование поля произвольной оптической системой на примере двухлинзовой.

2.5. Исследование критичности геометрии пучка к числам Френеля.

2.6. Выводы.

Глава 3. Построение аберрационной модели и ее исследование

3.1. Построение математической модели преобразования излучения афокальной оптической системой.

3.2. Исследование модели с целью установления характера влияний аберраций линз на расходимость.

3.2.1. Расчет поля, преобразованного первой линзой и пространством за ней, в плоскости XlOYl.Ill

3.2.2. Расчет поля, преобразованного оптической системой в плоскости ХгОУ2. Формула для расходимости на выходе с учетом аберраций обеих линз. Анализ полученной зависимости.

3.3. Анализ погрешностей функции интенсивности на примере модельной схемы оптического фурье-преобразования.

3.3.1. Теоретические основы. Описание модельной схемы.

3.3.2. Аберрационная погрешность.

3.3.3. Когерентная погрешность.

3.4. Выводы.

Глава 4. Методики и алгоритмы расчета расходимости на выходе оптических систем, синтез оптических систем, исходя из минимизации аберраций 4.1. Алгоритм выбора оптических систем для уменьшения расходимости излучения.

4.2. Алгоритм расчета расходимости с учетом аберраций.

4.3. Методика расчета конструктивных параметров, исходя из минимизации аберраций (синтез афокальной оптической системы).

4.3.1. Расчет конструктивных параметров, исходя из условия частичной минимизации аберраций.

4.3.2. Методика расчета конструктивных параметров, исходя из условия полной минимизации аберраций.

4.4. Выводы.

Актуальность работы

На сегодняшний день востребованной является передача сигнала (например, локация) на большие расстояния. В связи с этим существует необходимость формирования пучка с малой расходимостью излучения. Кроме локации существует ряд аналогичных задач при передаче информации по световодам, а также в множестве других случаев, где в качестве носителя сигнала фигурирует лазерное излучение с вполне определенными геометрическими, а, следовательно, и энергетическими характеристиками.

Как было указанно выше, одним из наиболее критичных (по отношению к ряду практических задач) параметров является расходимость лазерного излучения.

Требования, предъявляемые к этому параметру, состоят прежде всего в его уменьшении.

Для этого используются формирующие оптические системы. Чаще всего это - афокальные оптические системы (см. главу 1). Подробнее они будут рассмотрены ниже. Необходимо отметить, что для решения задачи о формировании излучения с малым углом расходимости используют плоские устойчивые оптические резонаторы (о.р.). Опыт показывает, что они создают наименьшую расходимость излучения. Указанные о.р. редко используются на практике, поскольку обладают относительно высокими дифракционными потерями. Однако для нулевой поперечной моды эти потери малы по сравнению с модами высших порядков. Именно эта мода рассматривается в настоящей работе в связи с тем, что в ней сосредоточена наибольшая энергия, а расходимость минимальна. При очень малых углах расходимости существенное влияние оказывают волновые аберрации, вносимые линзами оптической системы (о.с.), которые увеличивают расходимость.

Они рассчитываются для обычного света, исходя из геометро-оптических соображений (см. главу 1).

Однако геометрическая оптика не может учесть дифракционные и интерференционные явления, которые совершенно по-особому проявляются в процессах формирования и распространения лазерного излучения через слои свободного пространства и оптические системы.

В настоящей работе рассматривается другой, волновой, метод расчета аберраций линз. Необходимо получить возможность сознательного синтеза элементов оптической системы с целью достижения заданной по техническим условиям (т.у.) или техническому заданию (т.з.) малой величины расходимости. Такую задачу удобнее решать методом скалярной теории дифракции. Трудность решения задачи этим методом заключается в сложности формирования гибкой системы приближений, которыми заменяется реальная система, т.е. в построении аберрационной математической модели, исследование которой позволило бы получить приближенные аналитические зависимости.

Вообще, лазерные пучки, формируемые плоскими оптическими резонаторами и преобразованные оптическими системами, мало исследованы аналитическими методами даже в параксиальном приближении. Существует потребность, помимо указанных выше задач, подробно проанализировать геометрические характеристики этих пучков в пространстве за преобразующей излучение линзою (или оптической системой, ей эквивалентной). Необходимо получить адекватную математическую модель преобразования излучения, которая позволила бы исследовать геометрию поля. При этом целесообразно использовать интеграл Кирхгофа (см. главы 1,3) и метод оптически сопряженных плоскостей. Подробно указанный метод описан во второй главе. В результате исследования модели становится возможным установить критичность функции расходимости на выходе оптической системы к числам Френеля. Последнее также мало исследовано в работах, выполненных ранее.

Желательно получить приближенные аналитические выражения для погрешностей функции интенсивности, возникающие вследствие искажений, вносимых слоем свободного пространства в волновой фронт, и вследствие частичной когерентности лазерного излучения (конечной ширины спектральной линии) с целью установления их влияния на расходимость излучения. Не теряя полноты общности, погрешности могут быть исследованы в плоскости заднего фокуса линзы. Таким образом, они сводятся к погрешностям оптического фурье - преобразования (ОФП). Желательно получить аналитические модели, поскольку расчет полей через интеграл Кирхгофа дает лучшее соответствие с опытом при его вычислении аналитическими методами.

В настоящее время не существует аналитических методов, позволяющих рассчитать расходимость излучения лазера на выходе оптических систем с учетом аберраций и, следовательно, провести сознательный синтез элементов о.с., исходя из минимизации аберраций. Существуют лишь пакеты прикладных программ, позволяющие находить численные значения выходных параметров по заданным входным. Однако они не позволяют проводить сознательный синтез, т.к. не всегда соответствуют реальной волновой природе света, поскольку построены по принципам геометрической оптики.

Ранее, с применением скалярной теории дифракции, ввиду отсутствия гибких систем приближений (т.е. математических моделей), были получены аналитические выражения лишь для простейших, в том числе безаберрационных схем (см. главу 1).

Таким образом, построение математических моделей, описывающих преобразование излучения при прохождении через линзы и слои свободного пространства, является актуальной научно-технической задачей. При этом необходимо рассмотреть физические и математические допущения, обосновывать необходимость или возможность их.

Получение приближенных аналитических решений посредством исследования моделей может позволить найти пути к численному моделированию с использованием интеграла Кирхгофа.

В литературе не встречается описание гибких методик расчета расходимости на выходе о.с. и алгоритмов синтеза о.с. Это связано, как было отмечено выше, с отсутствием аналитических зависимостей, определяющих геометрию пучка лазерного излучения на выходе оптической системы с учетом аберраций линз.

Методики желательно представить текстуально, а алгоритмы представить графически.

Получение таких алгоритмов и методик является также актуальной задачей.

Отметим, что формула для расходимости лазерного излучения на выходе о.с., с учетом аберраций линз, выведенная с применением интеграла Кирхгофа, позволяла бы рассчитывать расходимость излучения не только на выходе афокальных оптических систем (а.о.с.), но и на выходе произвольных двухлинзовых систем. Достаточно лишь учесть, что расстояние между линзами о.с. не будет равно в случае произвольной (не афокальной) о.с. сумме фокусных расстояний первой и второй линзы.

Тема исследований

Темой настоящей диссертационной работы является прохождение лазерного излучения через различные оптические системы.

Известно, что в последние десятилетия использование лазерного излучения получило большое распространение. Следовательно, необходимым является и решение проблем преобразования характеристик лазерного излучения. Излучение лазера преобразуется различными оптическими системами, в результате чего сильно изменяются его как геометрические, так и энергетические характеристики. Различные о.с. совершенно по-разному изменяют эти характеристики, в частности, распределение комплексных амплитуд, интенсивностей, расходимость индуцированного излучения. Следует отметить, что геометрические характеристики лазерного излучения тесно связаны с энергетическими. Поэтому, например, вопрос о концентрации излучения в узком телесном угле требует для своего решения изменения геометрических характеристик. Тогда становится возможным варьировать величину этого угла и, следовательно, концентрацию энергии в нем. Решение такого рода задач особо необходимо, например, для сварочных установок.

Вопросы контроля качества некоторых объектов (например, профиль резьбы) также требуют использования монохроматических лучей и, следовательно, прежде всего лазерного излучения. Здесь необходимо исследовать когерентные характеристики лазеров, аберрационные свойства оптических систем. Известно, что линзы вносят искажения в проходящий через них световой пучок, даже если он монохроматичен. Это связано с формой линз. Они создают изменения в волновом фронте, следовательно, влияют как на геометрию, так и на энергетику пучка. К тому же различные лазерные резонаторы дают различные типы пучков и таким образом влияют на решение описанных выше задач.

В настоящей работе исследуются, как было отмечено выше, плоские о.р., дающие наименьшую расходимость. При этом рассматриваются одиночные линзы с учетом аберраций, афокальные и произвольные о.с. Рассматривается их влияние на характеристики лазерного излучения.

Цель работы, основные задачи

Целью настоящей диссертационной работы является разработка и исследование математических моделей преобразования оптического лазерного излучения при прохождении прозрачных сред (слои свободного пространства, линзы, о.с.) для получения оценок влияния аберраций линз о.с. и параметров лазера на геометрию лазерного пучка и разработки на основе этого методик синтеза о.с. О прозрачности говорится в том смысле, что амплитудным поглощением во всех средах, через которые проходит лазерное излучение, мы пренебрегаем. Таким образом, линзы и слои свободного пространства рассматриваются только как фазовые корректоры. В начале выстраивается модель, описывающая преобразования поля линзами и слоями пространства, вблизи оптической оси (параксиальная модель). А затем - учитывающая волновые аберрации линз (аберрационная модель). Результатом является получение приближенных аналитических зависимостей, которые позволяют установить критичность указанных функций к тем или иным параметрам функциональных зависимостей, а также (что особенно важно) позволяют проводить сознательный синтез о.с.

При этом решаются следующие задачи:

1) В результате построения и исследования параксиальной модели выводятся геометрические характеристики пучка, преобразованного линзой и системой линз (на примере двухлинзовой), подробно анализируется пространственная структура поля, сформированного плоским оптическим резонатором, на выходе оптической системы.

2) На основе построенной математической модели исследуется критичность геометрических характеристик лазерных пучков, сформированных плоскими оптическими резонаторами и преобразованных линзами или оптическими системами, к числам Френеля, т.е. фактически к параметрам лазера.

3) В результате исследования построенной аберрационной модели, с использованием скалярной теории дифракции, выводится формула для расходимости на выходе двух линзовой афокальной оптической системы с учетом аберраций.

4) Разрабатываются методики расчета расходимости с учетом аберраций линз и методики синтеза оптической системы, формирующей заданную геометрию пучка (расходимость), исходя из минимизации аберраций и обеспечения необходимой расходимости.

Научная новизна работы

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) Впервые разработана адекватная параксиальная модель преобразования излучения оптическими системами, позволяющая проводить подробное исследование характеристик поля, сформированного плоским оптическим резонатором и преобразованного оптической системой, установить критичность этих характеристик к числам Френеля для пучков, преобразованных линзой или системой линз.

2) На основе означенной модели проведен приближенный расчет геометрических параметров лазерного излучения плоского резонатора на выходе оптической системы.

3) Впервые разработана математическая модель, позволяющая получить приближенную аналитическую зависимость для расходимости на выходе двух линзовой оптической системы с учетом аберраций каждой из линз (аберрационная модель). Выведены приближенные аналитические зависимости для расходимости и волновых аберраций каждой из линз.

4) Исследование аберрационной модели позволило установить влияние аберраций линз двух линзовой оптической системы на расходимость. Выведены аналитические зависимости для аберрационной и когерентной погрешностей интенсивности. Расчет их проведен в фокальной плоскости линзы (плоскость формирования пространственно-частотного спектра). Указанный расчет носит модельный характер.

5) Впервые предложены методики расчета расходимости излучения на выходе оптической системы с учетом аберраций линз и методики и алгоритмы синтеза формирующей оптической системы, исходя из минимизации аберраций на базе полученных приближенных аналитических зависимостей.

Практическая ценность

Практическая ценность работы состоит прежде всего в том, что построение и исследование адекватной математической модели позволяет быстро синтезировать оптические системы, формирующие заданную по техническим условиям расходимость излучения лазера на выходе о.с., исходя из условия минимизации аберраций. Кроме этого, аналитичность полученных зависимостей позволяет провести более гибкую оценку влияния того или иного параметра о.с. и о.р. на расходимость математическими методами. Получение приближенных аналитических зависимостей позволяет в дальнейшем осуществить численное моделирование преобразования излучения, сформированного плоским резонатором, системой линз с использованием скалярной теории дифракции.

Апробация работы

Основные материалы и положения работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Научный семинар во Всероссийском научно-исследовательском институте оптико-физических измерений (ФГУП «ВНИИОФИ»). - Москва, 2005г.

2. «Гагаринские чтения XXXI, XXXII, XXXIII», международные научные молодежные конференции. - Москва, 2005г., 2006г., 2007г. соответственно.

3. Всероссийская научно-техническая конференция «Новые материалы и технологии» (НМТ-2006) -Москва, 2006г.

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 10 печатных работах: 5 статьях в научных журналах и сборниках трудов «МАТИ» - РГТУ им. К.Э. Циолковского, 5 научных трудах и тезисах докладов на конференциях.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий объем составляет 168 страниц печатного текста, включая рисунки.

4.4. Выводы

Предложен гибкий алгоритм выбора оптической системы для уменьшения расходимости лазерного пучка на ее выходе. В случае если расходимость достаточно велика (в том числе это относится и к неустойчивым резонаторам, более десяти угловых минут), можно ограничиться одиночной коллимационной линзой. Причем, в этом случае аберрации можно не учитывать, поскольку здесь они не сильно влияют на расходимость.

Влияние аберраций на расходимость зависит от величины расходимости. Предложена довольно простая методика вычисления расходимости на выходе с учетом аберраций, которая оформлена графически в виде алгоритма. Расчет предложено производить не по параксиальной формуле, но по формуле, которая выведена в третьей главе (3.19).

Разработан (раздел 4.3.1) алгоритм расчета конструктивных параметров линз, исходя из условия частичной минимизации аберраций. Расчет предложено проводить на основе решения системы четырех уравнений. Первые два из которых являют собой условия рх 0,р2 -» 0; вторые два - представляют собой уравнения линз. Предложены рекомендации по выбору свободных конструктивных параметров. Таких параметров оказывается четыре: ivt2, rimax»r2max- Решение системы уравнений позволяет получить связанные параметры линз, представляющие собой радиусы кривизны их оптических поверхностей. Таким образом, установлена возможность синтеза оптической системы и предложена методика синтеза в виде текстовых пунктов и в виде графического алгоритма (см. рис. 4.4 ).

Разработан алгоритм расчета конструктивных параметров линз, исходя из условия полной минимизации аберраций (расходимость на выходе всего несколько десятков угловых секунд). В этом случае к системе уравнений, описываемой выше, добавляются два уравнения V,-»0,V2-»0, которые определяют минимизацию так называемых остаточных аберраций. Методика синтеза предложена текстуально и графически (см. рис. 4.5). Количество свободных параметров уменьшается до двух, что также обеспечивает возможность синтеза оптической системы.

Таким образом, обосновано пятое положение, выносимое на защиту.

Заключение

В процессе выполнения работы были получены следующие результаты:

1. Построены математические модели, описывающие преобразование излучения, сформированного плоским резонатором, двухлинзовыми системами, без учета волновых аберраций линз (параксиальная модель) и с учетом аберраций (аберрационная модель).

2. Исследование математической модели преобразования поля линзой (или двухлинзовой системой, ей эквивалентной) позволило установить, что радиусы световых пятен прямо пропорциональны удалению пятна по оптической оси. Геометрические параметры пучка до и после системы связаны линейно.

3. Получены приближенные зависимости для расходимости излучения, сформированного плоским резонатором, на выходе оптической системы и для волновых аберраций линз.

4. Установлено, что в области малых чисел Френеля (N^«5) исследуемая в работе функция расходимости на выходе оптической системы особо критична к этим числам. В области больших чисел Френеля (N>«5) расходимость практически не зависит от них. С понижением чисел Френеля расходимость уменьшается.

5. Установлено, что основная часть аберраций, создаваемых линзами афокальной оптической системы, описываемая величинами р{ и р2, входит в полученную формулу распределения поля на выходе оптической системы автономно. Это приводит к тому, что для каждой из линз существует возможность независимого устранения аберраций.

6. Выведенная в результате исследования модели аналитическая зависимость расходимости на выходе с учетом аберраций позволила получить оценки влияния их на расходимость. Устранение части аберраций, описываемых /?, и /?2, не ведет к их полному устранению. Показано, что при небольших расходимостях, которые соответствуют плоским резонаторам, вклад остаточных аберраций, описываемых выражениями V, и V2, в уширение пучка достаточно велик («40%). Установлено, что остаточные аберрации входят в формулу расходимости автономно.

7. Проведенные на основе модельной схемы оптического фурье -преобразования оценки аберрационной и когерентной погрешностей функции интенсивности в плоскости ПЧС показали, что слой свободного пространства вносит пренебрежимо малые погрешности в функцию интенсивности вблизи оптической оси (относительная погрешность для типового случая «5%, расстояние от оси не более 10 мкм). Фактор частичной когерентности лазерного излучения вносит еще меньшую погрешность. С увеличением расстояния от оптической оси в плоскости ПЧС влияние аберрационной погрешности на функцию интенсивности резко возрастает.

8. Предложен алгоритм расчета конструктивных параметров линз, исходя из условия частичной минимизации аберраций. Решение системы уравнений позволяет получить связанные параметры линз, представляющие собой радиусы кривизны их оптических поверхностей. Методика синтеза оптической системы представлена в виде текстовых пунктов и в виде графического алгоритма. Показано, что свободных параметров - четыре. Этого достаточно для синтеза системы.

9. Предложен алгоритм расчета конструктивных параметров линз, исходя из условия полной минимизации аберраций (расходимость не превышает двух - трех десятков угловых секунд). Методика синтеза изложена также текстуально и графически. Показано, что в этом случае имеются два свободных параметра, что также достаточно для обеспечения синтеза.

Таким образом, решена актуальная научно-техническая задача построения и исследования математических моделей, описывающих преобразование поля, сформированного плоским резонатором, оптическими системами. Получены приближенные формулы для аберраций, расходимости и уравнения синтеза оптических систем, исходя из минимизации аберраций линз.

1. Русинов М.М. Техническая оптика. Л.: Машиностроение, 1979. - 488 с.

2. Дубовик А.С. Прикладная оптика. М.: Машиностроение, 1992. - 480 с.

3. Андреев JI.H., Грамматин А.П., Кирюшин С.П. Сборник задач по теории оптических систем. М.: Машиностроение, 1987. - 190 с.

4. Вайнштейн JI.A. Дифракция и метод факторизации. М.: Советское радио, 1964.-375 с.

5. Зоммерфельд А. Оптика. М.: ИИЛ, 1953.-537 с.

6. Матвеев А.Н. Оптика. М.: Высшая школа, 1985. - 351 с.

7. Мейтлэнд А., Дани М. Введение в физику лазеров / под ред. Анисисмова А.-М.: Наука, 1972.-235 с.

8. Карлов Н.В. Лекции по квантовой электронике. М.: Наука, 1987. -336 с.

9. Чинков В.Ф. Физика лазеров и их применение. М.: Наука, 1977. - 250 с.

10. Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. М.: Советское радио, 1966. - 370 с.

11. Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Математический словарь высшей школы. М.: МПИ, 1988. - 528 с.

12. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. -М.: Наука, 1988.-376 с.

13. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. М.: Наука, 1977, т. 2.-399 с.

14. Пахомов И.И., Рожков О.В. Физические основы ОЭКП. М.: МВТУ, 1975.-84 с.

15. Пахомов И.И, Рожков О.В., Рождествин В.Н. Оптико-электронные квантовые приборы. М.: Радио и связь, 1982. - 456 с.

16. Schawlow A.L., Townes С.Н. Infrared and optical masers // Phys. Rev. -1968.- 112.-P.1940.

17. Ищенко Е.Ф. Открытые оптические резонаторы. Некоторые вопросы расчета. М.: Советское радио, 1980. - 207 с.

18. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1989.-736 с.

19. Никольский С.М. Курс математического анализа. М: Наука, т. 1, 1989. -543 с.

20. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и проблемы расходимости лазерного излучения. М.: Наука, 1979. - 328 с.

21. Манков О.В. Угловое расхождение твердотельных лазеров //Успехи физических наук. 1975. - №4. - С.705.

22. Hilges J. Optical problems of the optical mas // Optica acta. 1961. - 6. - №4. -P.63-67.

23. Ананьев Ю.А. Расходимость твердотельных лазеров // Журнал технической физики. 1967. -37. - №6. - С. 1165.

24. Ораевский А.Н. Гауссовы пучки и оптические резонаторы. М.: Наука, 1987.-80 с.

25. Карамзин Ю.Н., Конев Ю.Б. Численное исследование телескопических резонаторов с учетом дифракции и эффекта насыщения в активной среде // Квантовая электроника. 1975. - т.2. - С. 256.

26. Мак А.А., Ананьев Ю.А., Ермаков Б.А. Твердотельные оптические квантовые генераторы // УФИ. 1967. - т.92. -№7. - С.373.

27. Collins S.A. Analysis of optical resonators involving focusing elements // Appl. Optics. 1964. - №3. - P. 1263.

28. Collins S.A. The problems of laser resonators // Optical Soc. America. 1966. -№1.-P.14- 15.

29. Collins S.A. Laser resonators // Electron News. 1968. - 237. -№7. - P.38.

30. Gummins N. Scalyar theorie of resonators // Optica acta. 1965. - №2. -P.113-136.

31. Rhea J. Laser beams // Electron News. 1962. -346. - №7. - P. 29.

32. Андреев JI.H. и др. Сборник научных трудов политехнического института. Хабаровск. - 1977. - 122 с.

33. Kogelnik Н., Li Т. Laser beams and resonators // Appl. Optics. 1966. - №5. -P. 1550- 1567.

34. Kogelnik H. On the model of the equivalent confocal resonator system // Optica acta. 1966. - №3. - P. 222 - 236.

35. Toraldo di Francia G. Optical resonators // Optica acta. 1966. -№4. - P. 323-342.

36. Маркузе Д. Оптические волноводы./ пер. с англ. М.: Мир, 1974. -574 с.

37. Гончаренко A.M. Гауссовы пучки. Минск: Наука и техника, 1977. - 144 с.

38. Елкин Н.Н., Наперстовский А.Н. Прикладная оптика лазеров. М.: Наука, 1988.- 183 с.

39. Лебедев Ф.В. Основы физики лазеров. М.: МВТУ им. Баумана, 1985. -132 с.

40. Ораевский А.Н. Исследование по теории лазеров. М.: Наука, 1986. -214 с.

41. Заказнов Н.П. Прикладная оптика. -М.: Машиностроение, 1988. 312 с.

42. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и лазерные пучки. М.: Наука, 1990.-263 с.

43. Алексеев А.А., Зинченко В.М. Резонаторы мощных технологических лазеров. JL: Наука, 1979. - 328 с.

44. Ищенко Е.Ф. Анализ разъюстированных оптических резонаторов. М.: МИИГАИК, 1992.-81 с.

45. Одинцов СЛ., Пахомов И.И., Рожков О.В. Физика лазеров. М.: МГТУ, 1990.-84 с.

46. Крылов К.И. и др. Основы лазерной техники. М.: Машиностроение, 1990.- 178 с.

47. Рожков О.В., Щетинкин B.C. Измерение параметров лазеров. М.: МВТУ, 1988.-70 с.

48. Русинов М.М. Вычислительная оптика: справочник. JL: Машиностроение, 1989.-221 с.

49. Сокольский М.М. Допуски и качество оптического изображения. Л.: Машиностроение, 1988.- 121 с.

50. Слюсарев Г.Г. Расчет оптических систем. Л.: Машиностроениею, 1975. -640 с.

51. Мельников О.А., Слюсарев Г.Г., Марков А.В. Современный телескоп. -М.: Наука, 1968.-305 с.

52. Койпер Дж., Мидцлхерст Б. Телескопы / пер.с англ. М.: ИИЛ, 1963. -329 с.

53. Сулим А.В. Производство оптических деталей / 2-е издание переработанное. М.: Высшая школа, 1969. - 303 с .

54. Семибратов А.Л. Технология оптических деталей. М.: Машиностроение, 1978. - 237 с.

55. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том 2. Теория поля. -М.: Наука, 1989.-512 с.

56. Савельев И.В. Основы теоретической физики. М.: Наука, 1991. - 496 с.

57. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: МГУ, 1984.-72 с.

58. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Советское радио, 1972. -371 с.

59. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 1997. - 136 с.

60. Gummins Н. Laser beam spreadergude // Microwaves, 1970. 64. -№6. - P. 73-75.

61. Андреев Л.Н., Андреев B.H., Никифорова Г.Л. Оптические системы для фокусировки монохроматического излучения // Известия ВУЗов. Приборостроение. 1986. -26. - №3. - С. 71 - 74.

62. Андреев Л.Н., Никифорова Г.Л., Окишев С.Г. Афокальная насадка для коллимации лазерного излучения // Известия ВУЗов. Приборостроение. -1984. -27.-№5,-С. 93-96.

63. Цибуля А.Б. Применение системы Кассегрена для уменьшения расходимости пучка, излучаемого ОКГ // Оптико-механическая промышленность. 1975. - №12. - С. 36 - 39.

64. Цибуля А.Б., Чертов В.Г. Расчет линз, формирующих лазерное излучение // Оптико-механическая промышленность. 1977. - №3. - С. 17-19.

65. Горяинова И.В. Моделирование процесса распространения лазерного пучка с использованием метода Кирхгофа // Измерительная техника. -2006. №6. - С.36 - 39.

66. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1968. - 720 с.

67. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 138 с.

68. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука, 1976. - 740 с.

69. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1975. - 855 с.

70. Звелто О. Принципы лазеров. М.: Мир, 1990. - 345 с.

71. Старк Г. Применение методов фурье-оптики / Пер. с англ. под ред. Компанца И.Н. М.: Радио и связь, 1988. - 536 с.

72. Мосягин Г.М., Немтинов В.Б. Теория оптико-электронных систем. М.: Машиностроение, 1990. - 358 с.

73. Гудман Дж. Введение в фурье-оптику. М.: Мир, 1970. - 256 с.

74. Вереникина Н.М., Рожков О.В. Оптика когерентных процессоров. М.: МГТУ, 1991.- 148 с.

75. Gummins Н. On the spectral line-shape of a laser beam // Phys. Letters. -1963.-5.-№1.- P. 36-39.

76. Коробкин B.B., Леонтович A.M. Когерентность и временная развертка спектров излучения оптического генератора на рубине // ЖЭТФ. 1963. -44. -№7. - С. 1847.

77. Галанин М.Д., Леонтович A.M., Чижикова З.Д. Направленность излучения оптического генератора на рубине // ЖЭТФ. 1962.-43. -№2. - С. 347.

78. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1990.-370 с.

79. Toraldo di Francia G. Optical resonators // Optica acta. 1968. -13. -№3. -P. 273 - 286.

80. Беклемишев H.H., Борычев A.JI. Методика расчета расходимости излучения на выходе афокальных оптических систем // Измерительная техника. 2006. -№10- С.45-48.

81. Ананьев Ю.А., Ковальчук Л.В., Шерстобитов В.Е. Расчет энергетических характеристик многопроходных телескопических усилителей // Квантовая электроника. 1977. - №4. - С. 217.

82. Прохоров A.M. О молекулярном усилителе и генераторе на субмиллиметровых волнах // ЖЭТФ. 1968. -№2. - С. 1658.

83. Любимов В.В., Орлова И.Б. Оценка влияния разъюстированных зеркал на потери и угловое распределение // ЖЭТФ. 1969. -№4. - С. 218.