автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное моделирование оптических резонаторов в дифракционном приближении с учетом нелинейности среды

О И<Г

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА Факультет вычислительной математики и кибернетики

ОД

На правах рукописи

а

ЕЛКИН Николай Николаевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ РЕЗОНАТОРОВ В ДИФРАКЦИОННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ СРЕДЫ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных

исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1997

Работа выполнена в Троицком институте инновационных и термоядерных исследований.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.С. Ильинский,

доктор физико-математических наук, профессор П.Н. Вабищевич,

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Б. Конев.

Ведущая организация: Научно-исследовательский центр по

технологическим лазерам РАН, г. Шатура Моск. обл

Защита состоится

1ф

при МГУ им. М. В Ломоносова по адресу:

119899 Москва, Воробьевы горы, МГУ, ф-т вычислительной математики и кибернетики, ауд.685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ф-та вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан "_"_199 г.

Ученый секретарь совета

по защите диссертаций профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию процессов генерации и усиления света в различных схемах газовых лазеров непрерывного режима работы с использованием как известных, так и оригинальных численных методов.

Актуальность проблемы. Развитие лазерной технологии происходит как по пути повышения энергетической эффективности лазеров, так и по пути улучшения качества выходного излучения в смысле пространственной и временной когерентности. Ввиду сложности протекагоших в лазерах процессов генерации и формирования выходного излучения недостаточно знания одних лишь физических принципов для предсказания работы лазерных устройств. Это обстоятельство делает актуальной задачу математического моделирования оптических схем лазеров с привлечением современных методов вычислительной математики, а также разработкой новых численных алгоритмов для возникающих в процессе исследования задач.

Решение задач оптики лазеров численными методами проводится более тридцати лет. На первых этапах исследовались, главным образом, вопросы энергетической эффективности лазерных генераторов и усилителей. Для этих целей зачастую можно ограничиться приближением геометрической оптики, хотя для газовых лазеров, характеризующихся умеренными числами Френеля, все же предпочтительнее дифракционное (параболическое) приближение оптики. На следующих этапах на повестку дня встал вопрос о расчете угловой расходимости излучения, генерируемого в лазерных устройствах. Здесь дифракционное приближение оптики уже является основой для решения задач.

Наиболее простой по постановке является задача распространения световой волны в активной среде лазера, иными словами, задача расчета лазерного усилителя. Эта задача формально относится к классу задач, связанных с нелинейным уравнением Шредингера. Данное уравнение исследовалось во многих работах как численными, так и аналитическими методами. Для численного решения уравнения Шредингера применялись различные подходы: метод конечных разностей, метод расшепления, спектральный метод, метод конечных элементов, метод квадратур для

з

дифракционного интеграла. Развитием численных методов решения уравнения Шредингера занимались А.А.Самарский, А.В.Гулин, В.П.Кандидов, Ю.Н.Карамзин, В.А.Трофимов, Я.М.Жилейкин, В.Н.Абрашин, В.В.Дриц, Ф.Ф.Иванаускас, Д.Флек, М.Фейт, Ф.Тапперт, М.Абловиц, МЛакс, Г.Агравал, А.Сигмен и ряд других ученых. В диссертации задача решения уравнения Шредингера носит, в основном, вспомогательный характер и применяется для расчета распространения излучения между зеркалами резонатора; хотя ставилась и задача расчета лазерного усилителя как самостоятельного устройства. В целом, накопленный в литературе научный и методический материал достаточен для решения стационарных задач распространения света в лазерах, остается выбрать оптимальные методики, учитывающие особенности генерируемых в лазерных резонаторах полей, или, при необходимости, модифицировать какой-либо из существующих методов.

Задача о генерации поля в резонаторах исследовалась для простейших конструкций во многих работах, наиболее полно результаты исследований представлены в монографиях Ю.А.Ананьева и А.Сигмена . Для расчета собственных мод пустых резонаторов применялся итерационный метод Фокса-Ли, фактически являющийся степенным методом нахождения первой собственной моды, метод Л.А.Вайнштейна, основанный на его же теории отражения волны от открытого края волновода, метод Прони, рассчитывающий одновременно несколько низших мод и асимптотический метод Горвица, иначе называемый методом виртуальных источников. В работах В. В Любимова, Сантаны и Фелсена метод Вайнштейна был распространен на случай неустойчивых резонаторов. Метод Фокса-Ли был обобщен на случай задачи нахождения поля генерирующей моды в резонаторе с активной средой в работах Фокса и Ли, Сигмена и Сиклаша, а также Ренча. В этом методе на каждой итерации вначале рассчитывается полный обход полем резонатора, а затем пересчитываются характеристики активной среды. В дальнейшем метод Фокса-Ли применялся для решения многих задач, перечислим лишь некоторые: расчет генерации поля в газодинамическом лазере (Сигмен и Сиклаш), учет мелкомасштабных_ неоднородностей показателя преломления (Бункин, Конев, Шерстобитов), влияние термодеформаций зеркал на структуру выходного поля резонатора (Бункин, Конев, Бородина, Зарипов), расчет резонаторов с

вращением поля (Купренюк, Данилейко, Пакстон, Лэтэм) и т.д. Были созданы алгоритмы, близкие к методу Фокса-Ли (работы Карамзина и Конева, Лакса и Агравала), а также алгоритмы, реализующие другие подходы (работы Балашова и Беренберга, Флека и Фейта, Веденова и Губарева). Метод Фокса-Лн позволяет находить генерирующую нелинейную моду только в том случае, если она устойчива по отношению к возбуждению других поперечных мод, т.е. мод с другим распределением поля в плоскости перпендикулярной к направлению распространения. Если мы, меняя параметры задачи, будем приближаться к границе устойчивости одномодовой генерации, то итерации перестанут сходиться, и мы не сможем достичь этой границы и, следовательно, найти ее. Не да юг решение этой проблемы и другие известные алгоритмы. Таким образом, возникает проблема создания вычислительного алгоритма, который позволял бы с высокой точностью находить границу устойчивости одномодовой генерации в пространстве параметров задачи, а в случае многомодовой генерации - рассчитывать неустойчивые моды, участвующие в конкуренции.

С развитием лазерной техники были предложены более сложные конструкции резонаторов, в том числе трехзеркальные резонаторы (Ананьев. 1973) и системы оптически связанных резонаторов (Басов, Беленов и Летохов, 1965). Теория таких систем строилась в последующих работах на основе ряда упрощений, таких как, приближение геометрической оптики, приближение плоских волн, приближение связанных локальных мод для системы резонаторов, в котором коэффициенты связи не зависят от структуры мод в резонаторах. Для численного моделирования работы этих схем необходимы существенно новые алгоритмы, учитывающие дифракцию на краях зеркал и отверстиях связи. Особенно актуальна данная задача для систем, использующих неустойчивые резонаторы.

На определенном этапе приобрела популярность идея управляемой генерации (Ананьев, 1972), когда высококачественное излучение маломощного лазера вводится (инжектируется) в резонатор лазера большой мощности. Если параметры инжектируемого излучения подобрать так, чтобы подавить генерацию на собственных частотах, то можно получить выходное излучение большой мощности с сохранением высокой степени когерентности, свойственной маломощному лазеру. Такие режимы анализировались в ряде

последующих работ в рамках упрощенных моделей без учета дифракии Следует заметить, что в стандартной схеме с инжекцией через отверстие центре зеркала дифракция безусловно важна. Таким образом, предстоя, разработать на основе дифракционного приближения методику расчета работ лазера в режиме управляемой генерации и исследовать условия устойчивое такого режима.

Цели работы. Можно выделить 2 группы целей настояше исследования. К первой группе относятся физические проблемы, подлежат исследованию. Перечислим их:

1) усиление света в поперечном потоке среды СОг лазера, нахожден принципиальных ограничений на предельную яркость усиленного излучения;

2) устойчивость одномодового стационарного режима генерации д разных типов активной среды и резонаторов. Рассматриваемый механи: неустойчивости: возбуждение других поперечных мод, инициируемое различи! в пространственных распределениях полей мод с учетом их деформаш взаимодействием со средой;

3) роль дифракции на неоднородных апертурах в трехзеркальн] резонаторах, используемых для контроля параметров излучения, формировании спектра мод и углового распределения выходного излучения;

4) структура и спектр коллективных мод оптически связаны: резонаторов с учетом влияния активных сред. Вопрос об устойчивое одномодового режима, соответствующего для системы связанных лазер наличию фазовой синхронизации;

5) роль дифракционных эффектов и нелинейного усиления формировании поля в резонаторе с инжекцией внешнего сигнала. Пробле нахождения области параметров резонатора и среды, где осуществляется реж] устойчивой генерации, управляемой внешним сигналом.

В тех ситуациях, когда для решения сформулированных физических заг отсутствовали готовые численные методики и программы, была поставле цель разработки алгоритмов и программ, а в ряде случаев и математическ постановки этих задач. Во всех задачах мы использовали дифракционь приближение оптики, как правило, важное для газовых лазер!

характеризующихся умеренными числами Френеля. Перечислим задачи из этой группы:

1) численный алгоритм расчета нескольких низших линейных мод резонатора с "замороженной" активной средой;

2) создание численного алгоритма для решения нелинейной самосогласованной задачи о стационарной генерации в оптическом резонаторе с учетом эффекта насыщения усиления и теплового самовоздействия активной среды. Предполагаемый алгоритм, в отличие от уже существующих, должен с высокой точностью находить границу устойчивости одномодовой генерации в пространстве параметров задачи;

3) математическая постановка и численный алгоритм для моделирования генерации в трехзеркальном резонаторе;

4) математические постановки и численные алгоритмы для системы двух оптически связанных резонаторов для исследования линейных и нелинейных режимов стационарной генерации;

5) математические постановки и численные алгоритмы для моделирования работы лазера в режиме усиления внешнего инжектируемого сигнала, включая регенеративный режим усиления и режим управляемой генерации.

Основные результаты диссертации и защищаемые положения.

1. Для расчета линейных и нелинейных режимов генерации в оптических резонаторах разработаны вычислительные алгоритмы и создано прикладное программное обеспечение. Развит численный алгоритм расчета линейных мод в случае "замороженной" среды. Разработан селективный итерационный метод для нахождения устойчивых и неустойчивых нелинейных мод и определения границы устойчивости одномодовой генерации. Вычислительные алгоритмы базируются на использовании установленного свойства ортогональности собственных мод резонатора с "замороженной" средой.

2. Проведено численное и аналитическое исследование устойчивости одномодовой генерации в плоскопараллельных резонаторах. В случае локально насыщающейся неподвижной среды верхний по коэффициенту усиления предел устойчивости с хорошей точностью находится аналитически в

пренебрежении нелинейной деформацией мод. В резонаторах с проточной средой численно исследованы основные механизмы возникновения неустойчивостей и найдены критические параметры.

3. Численно исследовано влияние активной среды на устойчивосп одномодовой генерации для телескопических резонаторов при вырождении пс потерям мод в отсутствие среды. Установлено, что в случае цилиндрическо! геометрии зеркал локально насыщающаяся среда стабилизирует одномодовук генерацию при достаточно больших коэффициентах усиления слабого сигнала в то время как, в осесимметричном резонаторе устойчивая генерация н< реализуется.

4. Разработаны математические модели и вычислительные алгоритмы дл5 исследования составных схем оптических резонаторов в дифракционно?^ приближении. Для системы двух лазеров с неустойчивыми резонаторами изучеь модовый состав в зависимости от расстроек длин резонаторов и фазовогс набега в канале связи. Исследована устойчивость нелинейных режимо] генерации в такой системе в зависимости от коэффициента усиления слабой сигнала. Результаты расчетов согласуются с данными физическог« эксперимента.

5. Создана математическая модель работы лазерного резонатора I активной средой под воздействием внешнего поля, использующа: дифракционное приближение оптики. Проведено численное моделировани' усиления внешнего сигнала, инжектируемого в неустойчивый резонатор. Дл; осевой и внеосевой схем инжекшш исследована устойчивость генерации управляемой внешним сигналом. Построены кривые захвата, определяюши минимальную для управления мощность сигнала инжекции в зависимости о его частоты.

Научная новизна. Сформулированные выше Основные результат яшшются новыми. Развитый в диссертации селективный итерационный мето существенно расширяет возможности традиционных методик, позволяет полной мере исследовать проблему устойчивости одномодовой генерации, диссертации впервые выполнено численное моделирование систем оптически

резонаторов в приближении дифракционной оптики, а также моделирование заботы лазера в режиме управляемой генерации.

Практическая ценность. В диссертации создан инструмент, позволяющий решать широкий круг проблем лазерной физики для непрерывных газовых лазеров. Рассмотрены фундаментальные проблемы устойчивости одномодового режима как для простых, так и для составных лазерных систем; проанализированы наиболее распространенные лазерные системы: усилительные устройства, генераторы, оптически связанные генераторы, генераторы с управлением внешним полем. Как устойчивость одномодового режима, так и характеристики составных лазерных систем рассматривались до сих пор в пренебрежении дифракцией. Ее учет позволяет количественно правильно решать указанные задачи для реальных лазерных устройств. Реализованные подходы позволяют также поставить на количественную основу расчет избыточных шумов (excessive noise) в лазерных системах. Разработки автора были использованы при его участии в создании компьютерных программ, моделируюших мощные непрерывные СО2 и СО лазеры с детальным учетом кинетических процессов. Найденные в работе диапазоны устойчивости одномодовой генерации для простейших типов оптических резонаторов и составных оптических схем, а также области устойчивой управляемой генерации с помошью внешнего инжектируемого излучения могут служить ориентирами при проведении экспериментов по созданию лазеров с малой угловой расходимостью.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по физике низкотемпературной плазмы и газовым лазерам и на семинаре по вычислительной математике в ТРИНИТИ, на семинаре Международного лазерного центра при МГУ, на семинаре по граничным задачам теории дифракции физического факультета МГУ, на семинаре кафедры вычислительных методов факультета ВМК МГУ, на 2-ой Всесоюзной конференции "Вычислительная физика и математическое моделирование" (Волгоград, 1989), на 7-ом Международном симпозиуме по химическим и газовым лазерам (Вена, 1988), на международных симпозиумах OELASE'90 (JIoc Анжелес, 1990) и

ОЕ1А5Е'92 (Лос Анжелес, 1992), на международных конференциях "Оптика лазеров-93" (Санкт-Петербург, 1993), "Прикладная оптика-94" (Санкт-Петербург, 1994) и "Оптика лазеров-95" (Санкт-Петербург, 1995).

Структура диссертации. Работа состоит из Введения, пяти глав, Заключения и списка литературы из 254 наименований. Работа содержит 271 страницу машинописного текста и 42 страницы иллюстративного материала. В начале каждой главы дается краткое введение в предмет исследований. Затем в отдельных параграфах излагаются оригинальные результаты работы, устанавливается их связь с известными из литературы результатами и делаются выводы относительно применения полученных результатов в дальнейших исследованиях.

Во Введении приведены общепринятые уравнения электромагнитного поля и среды элекгроразрядного С02 лазера, лежащие в основе математического моделирования. Электрическое поле в лазере является суперпозицией двух встречных пучков, амплитуды которых Е± удовлетворяют параболическим (квазиоптическим) уравнениям:

где с - скорость света, Ь^сР/^+сг/оу2 , к - волновое число, соответствующее центру спектральной линии лазерного перехода, g - коэффициент усиления, у=п-1, п - коэффициент преломления. Отражение поля от зеркал резонатора моделируется граничными условиями.

Нелинейная активная среда в диссертации задавалась тремя моделями, приводимыми ниже. 1. Модель Ригрода:

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

21к(с-,дЕ±/а ± сЕ+/дг) + Д±Е± - '¡к(^Ику)Е± = О,

(1)

8=8</(1+0, / = ¡Е+р + ¡Е_р, 2. Среда с потоком по оси х:

дв/сХ = -1ё, £(Х=-со) 0.

(2)

3. Упрошенная модель среды проточного С02 лазера:

Уде/дх = -№,)1с/(1+е? - ]Уе + 0р, е(х=Хо) = вл 3 = 52£/(1+е)2, уду/ох = -аеу - рГуе/О+в)2, у(х=Х0) = Уд . (4)

Первое уравнение для населенности объединенного колебательного уровня е определяет, в конечном счете, коэффициент усиления в зависимости от пространственного распределения интенсивности /, второе уравнение определяет коэффициент рефракции в зависимости от / и е. Внешними параметрами модели являются: у - скорость потока газа, р - давление, Т -температура, 0р - мощность накачки колебательной энергии, Хс, х^ -молярные концентрации СОз и N2 в газовой смеси. Коэффициенты а,

XV и р являются функциями внешних параметров, конкретные выражения для функций мы не приводим ввиду их громоздкости. Данная модель выведена А. П. Напартовичем из широко известной модели гармонических осцилляторов на основе ряда допущений: 1) населенности симметричной и деформационной мод СО2 считаются пренебрежимо малыми, 2) асимметричная мода СОг объединена с колебательной модой азота, 3) пренебрегается изменением скорости потока, 4) изменение плотности газа рассчитывается в изобарическом приближении.

Далее, даны словесные формулировки трех основных задач, являющихся предметом численного моделирования. Ниже эти формулировки приводятся в сокращенном виде.

Задача 1. Распространение монохроматической световой волны в лазерной активной среде. Требуется найти в полупространстве г > 0 решение системы уравнений, состоящей из параболического уравнения (1) для Е+ при д/ЗСгО с граничным условием в плоскости г = 0 н материальных уравнений среды, включающих эффекты насыщения коэффициента усиления, теплового самовоздействия и , возможно, потока газовой смеси.

Задача 2. Генерация излучения в оптическом резонаторе, заполненном активной средой. Стационарный режим генерации ищется в виде стоячей электромагнитной волны, интенсивность и пространственное распределение которой таковы, что потери энергии излучения точно компенсируются усилением среды, ослабленным вследствие эффекта насыщения. Поле в

и

фиксированной поперечной плоскости удовлетворяет нелинейному операторному уравнению с собственным параметром, определяемым точным значением генерируемой частоты. Если пренебречь влиянием излучения на среду, то мы получим линейную проблему собственных значений, которая играет важную вспомогательную роль в исследовании основной (нелинейной) проблемы. В случае линейной проблемы собственные решения являются затухающими либо нарастающими во времени типами колебаний. Аналогичные задачи формулируются и для резонаторов более сложных конструкций, состоящих из трех, четырех и т.д. зеркал.

Задача 3. Усиление в резонаторе со средой внешнего инжектируемого пучка. Предположим, что в оптический резонатор, заполненный усиливающей средой, инжектируется излучение внешнего монохроматического источника. Обычно таким источником является маломощный лазер с высоким качеством выходного излучения. Усиление инжектируемого луча в резонаторе с активной средой может сформировать более мощное излучение с сохранением высокой степени когерентности, если при этом в резонаторе не будут генерироваться поля на собственных частотах. Именно этот случай представляет практически? интерес, и условия реализации такого режима работы требуется определить Если в отсутствие сигнала инжекции резонатор находится в подпорогово\ режиме, то говорят о регенеративном режиме усиления внешнего сигнала, I противном случае - о генерации, управляемой внешним излучением. В отличие от предыдущей задачи здесь нет собственных параметров. Если можнс пренебречь влиянием поля на среду, то задача будет линейной, в общем случа< эта задача нелинейна.

Наконец, во Введении формулируются цели работы, излагается кратко! содержание диссертации и формулируются основные результаты и защищаемы! положения.

Глава 1 посвяшена численному решению задачи о распространенш излучения в среде газового лазера. Эта задача сформулирована во Введении ка! задача 1. В начале главы формулируются требования к численным алгоритма? и обосновывается выбор известных алгоритмов, сделанный в настоящей работе Сложность задачи для типичных условий газовых лазеров определяет сильн<

изрезанный вследствие дифракции на краях зеркал поперечный профиль поля, а также нелинейность среды.

В §1 излагается метод расщепления по процессам дифракции и усиления-рефракции для локально насыщающейся среды, а в §2 - вариант этого метода для проточной среды с перпендикулярным к направлению распространения излучения потоком.

В §3 описаны численные алгоритмы распространения излучения в вакууме (дифракции), являющиеся составной частью метода расщепления. Рассмотрен случай использования декартовых координат. Излагаются 3 варианта численных алгоритмов распространения в вакууме и, соответственно, дифракционного шага схемы расшепления:

1) спектральный метод, основанный на аппроксимации лапласиана по поперечным координатам с помощью конечного ряда Фурье,

2) метод конечных разностей,

3) вычисление дифракционного интеграла Френеля-Кирхгофа, являющегося сверткой функции Грина с полем во входной плоскости, с помощью квадратурных формул.

Все перечисленные алгоритмы используют быстрое преобразования Фурье (БПФ). Заметим, что шаг разностной схемы во втором методе не обязан совпадать с шагом схемы расщепления, последний лишь должен содержать целое число шагов разностной схемы. Дифракционный шаг схемы расщепления во всех вариантах выполняется с одинаковым по порядку быстродействием, свойственным алгоритму БПФ. Это обстоятельство для типичных условий газовых лазеров оказалось решающим при выборе алгоритмов, поскольку процессы дифракции при распространении поля в неустойчивых резонаторах имеют ярко выраженное преобладание над процессами усиления и рефракции. В этих условиях выгодно использовать метод расщепления при условии, что объем вычислений для дифракционного шага не зависит от его длины, которая определяется медленными процессами усиления и рефракции. Заканчивается параграф рассмотрением смежной задачи о расчете угловой интенсивности поля в дальней зоне.

В §4 приведены численные алгоритмы распространения излучения в вакууме в случае использования цилиндрической системы координат.

Алгоритмы являются вариантом спектрального метода и основаны на разложении в конечный ряд Фурье по угловой координате и интегральном преобразовании Ханкеля (Фурье-Бесселя) угловых гармоник по радиусу Разложение в ряд Фурье по углу осуществляется алгоритмом БПФ. Изложены I быстрых алгоритма вычисления преобразования Ханкеля (БПХ):

1) метод Сигмена, использующий экспоненциально растягивающиеся сетки по радиусу,

2) модифицированный нами метод Хансена, основным преимущество\ которого является использование равномерной сетки по радиусу. Обсуждается связь рассмотренного спектрального метода в цилиндрически: координатах с другими известными из литературы методами и определен; возможная область применений, где этот метод наиболее эффективен.

В §5 приведены результаты расчетов ряда задач, относящихся к проблем распространения. Проведено сравнение эффективности алгоритмов Сигмена ] модифицированного метода Хансена при расчете распространен!! осесимметричных пучков в вакууме. Показано, что для модельной задачи дифракции плоской волны на круглой диафрагме погрешность второго метод существенно меньше. Далее приведены результаты расчета СО2 усилител большой длины с поперечным потоком активной среды. Для пучка, имеющег форму полосы (2-мерная геометрия), исследован эффект совместного действи дифракции и нелинейного усиления, приводящий к смешению луча навстреч потоку и увеличению угловой расходимости. Показано, что при длине усилени > 5 (во - коэффициент усиления слабого сигнала) работа усилител неэффективна с точки зрения увеличения яркости выходного луча. Наконе1 приведен пример расчета проточного усилителя в 3-мерной геометрии, которы подтверждает ту же закономерность. В заключении к главе 1 да} характеристика работ, где решаются близкие по постановке и методам задачи, целью дать более полную картину исследований и наметить возможные пуп решения более сложных задач.

В Главе 2 приведены математические постановки и численные алгоритм для расчета 2-зеркального оптического резонатора в режиме собственж генерации. Содержание этой и двух следующих глав относится

сформулированной во Введении задаче 2. В начале главы дан обзор численных методов расчета полей в оптических резонаторах, сформулированы основные цели нашего исследования и обоснована необходимость существенно новых численных алгоритмов для их достижения.

В §6 сформулирована математическая постановка линейной задачи о собственных модах оптического резонатора в предположении, что характеристики неоднородной лазерной среды, заполняющей резонатор, не зависят от поля излучения (случай так называемой "замороженной" среды). Предполагая, что установившиеся колебания затухают, либо нарастают по закону ~ехр(-<Я), получаем линейную проблему собственных значений стандартного вида

Р у = гУ (5)

для оператора Р, который обычно называют оператором кругового обхода резонатора. Оператор Р является композицией 4-х операторов: 1) отражения поля от 2-го зеркала, 2) распространения от 2-го зеркала к 1-ому (задача Коши для уравнения (1) с исключенным временем), 3) отражения от 1-го зеркала, 4) распространения от 1-го зеркала ко 2-му (задача Коши); причем из уравнений и граничных условий удаляются неизвестные собственные параметры (затухание 8 и параметр, характеризующий точное значение частоты колебаний, который обычно выражают через набег фазы плоской волны данной частоты на двойной длине резонатора). Собственной функцией ч(х,у) задачи является комплексное поле в какой либо плоскости, например, в плоскости одного из зеркал. Таким образом, размерность задачи понижается на единицу. Собственное число у этой задачи комплексное и характеризует частоту и коэффициент затухания излучения данной моды. Различные решения данной проблемы в теории лазерных резонаторов называются различными поперечными модами. Для сформулированной линейной проблемы собственных значений выведено свойство биортогональности собственных мод исходной и сопряженной задач, аналогичное известному ранее свойству мод пустого резонатора. Как и в случае пустого резонатора, свойству биортогональности можно придать форму ортогональности мод исходной задачи в неэрмитовом (симметричном) скалярном произведении.

В §7 дана математическая постановка нелинейной задачи о собственной генерации, в которой коэффициенты усиления и преломления активной среды

находятся самосогласованно с генерируемым в резонаторе полем. Данную задачу удобно формулировать, аналогично линейному случаю, в виде (5), однако, необходимо учесть, что здесь оператор Р кругового обхода резонатора нелинеен, так как коэффициенты усиления и преломления среды зависят от поля, т.е. Р = Кроме того, условие стационарности генерации (отсутствие затухания) накладывает ограничение |/ | = 1 на собственное число задачи. Далее, в работе сформулирован критерий устойчивости решений этой задачи по отношению к возбуждению других (поперечных) мод. Поскольку задача о собственной генерации является спектральной, ставится задача нахождения различных генерируемых мод и соответствующих собственных частот.

В §8 излагаются численные алгоритмы для решения сформулированной е §6 линейной проблемы собственных значений. В результате дискретизации оператора кругового обхода резонатора задача сводится к конечномерно!' (алгебраической) проблеме собственных значений для комплексно? неэрмитовой магрицы большой размерности. Практический интер& представляют только несколько первых собственных векторов максимальными значениями |у \ . Для решения конечномерной задач] реализован класс алгоримов, являющихся модификациями метода Крылов применительно к частичной проблеме собственных значений. Эти алгоритм] обобщают ранее известные методы расчета мод пустых резонаторов на случа резонаторов с "замороженной" средой.

В §9 изложен селективный итерационный метод решения нелинейно задачи, сформулированной в §7. Суть данного метода, развитого благодаря иж В.А.Короткова, состоит в чередовании нескольких обычных итераций нелине! ного варианта метода Фокса-Ли со специальной процедурой селекции, во вр мя которой мы рассчитываем спектр линейных мод на фоне замороженной текущий момент времени среды и делаем коррекцию поля, искусственно увел чивая вклад в поле контролируемой нами моды и уменьшая вклады других мс Для контроля над выбранной модой можно предложить несколько способ« но наиболее эффективен критерий, основанный на приведенном выше свой( ве ортогональности. Данный метод, в отличие от традиционного метода Фою Ли позволяет находить как устойчивые, так и неустойчивые решения по от! шению к возбуждению других поперечных мод и с высокой точностью опре,

лять границу области устойчивости генерации в пространстве параметров задачи. В заключении к главе 2 изложены нерешенные проблемы, связанные с обоснованием селективного итерационного метода, качественно охарактеризованы ситуации, когда метод может давать сбои и описаны практические приемы устранения таких сбоев.

Глава 3 посвящена применению изложенных в предыдущей главе методов к исследованию процессов генерации излучения в простейших типах оптических резонаторов. Основное внимание уделяется проблеме устойчивости одномодовой генерации, поскольку наша численная методика, в отличие от существующих, позволяет в полном объеме исследовать данную проблему.

В §10 исследован 2-мерный (полосковый) резонатор Фабри-Перо с локально насыщающейся по формуле Ригрода (2) средой, одно из зеркал которого полупрозрачно. Построена приближенная аналитическая теория устойчивости для случая, когда можно пренебречь нелинейной деформацией мод под влиянием неоднородного усиления. Оценена точность численного моделирования путем сравнения результатов расчета мод с теорией Вайнштейна и путем тестов на сгущение сетки. Общий итог параграфа состоит в том, что в случае локально насыщающегося усиления аналитическая теория хорошо находит критический для устойчивости коэффициент усиления слабого сигнала, отличие от результатов численного моделирования, как правило, не превышает 10%.

В §11 такой же резонатор исследован в случае быстропроточной активной среды. Для простейшей модели (3), пренебрегающей всеми релаксационными процессами и тепловым самовоздействием, построена, аналогично предыдущему параграфу, аналитическая теория устойчивости. Согласно этой теории, в широком диапазоне коэффициентов прозрачности зеркала существует критическое значение коэффициента превышения порога генерации (отношения коэффициента усиления слабого сигнала к пороговому коэффициенту усиления), выше которого одномодовая генерация неустойчива. Численные расчеты выявили существенно более сложную картину. Одномодовая генерация, как правило, устойчива в широком диапазоне превышений порога генерации, хотя возможны относительно небольшие интервалы неустойчивости, где происходят качественные изменения

генерирующей моды. Учет эффектов релаксации и теплового самовоздействия согласно модели (4) несколько снижает эффект стабилизации генерирующей моды потоком среды. Генерация устойчива либо при очень малых превышениях порога, либо при весьма значительных, интервал неустойчивой генерации расширяется с ростом давления. Появление области неустойчивости при больших давлениях вызвано так называемым тепловым клином показателя преломления, типичным для сред с потоком. В результате происходит эффективная разъюстировка резонатора и сравнивание потерь основной и следующей мод. В заключение параграфа проведено сравнение эффективности обычного и селективного итерационных методов.

В §12 исследован резонатор Фабри-Перо с круглыми зеркалами. Для локально насыщающейся среды (2), аналогично полосовому резонатору, построена теория устойчивости в пренебрежении деформацией мод. Найденное по этой теории предельное для устойчивой генерации превышение порога, как и в 2-мерном резонаторе (§10), с хорошей точностью подтвердилось последующим численным моделированием. Для среды с потоком (3) в случае круглых з.еркал ситуация качественно иная по сравнению с 2-мерным моделированием. Порог неустойчивости здесь даже ниже, чем для случая локально насыщающейся среды. На фоне генерирующей моды типа ТЕМоо легко возбуждается мода, близкая к моде ТЕМщ с угловой зависимостью ~5т(ф), ориентированная так, что максимумы поля располагаются на периферии потока, где коэффициент усиления практически не насыщен, т.е. незначительно отличается от . Наконец, в этом параграфе

продемонстрирована вычислительная эффективность методики, использующей цилиндрические координаты (§4), по сравнению с традиционной методикой 2-мерного БПФ в декартовых координатах.

В §13 исследовался резонатор Фабри-Перо с прямоугольными зеркалами Для локально насыщающейся среды (2) построена теория устойчивости I приближении недеформируемых мод, которая, как и в предыдущих случаях хорошо согласуется с результатами численного моделирования. С цельк выявления ситуаций, когда 2-мерное моделирование в случае проточной средь корректно, были проведены расчеты для прямоугольных зеркал с различным: отношениями сторон. Был выбран вариант с простейшей моделью проточно!

среды (3), когда в соответствующей 2-мерной задаче генерация была устойчива при любых превышениях порога генерации. Механизм неустойчивости здесь аналогичен механизму в случае круглых зеркал и связан с благоприятными условиями возбуждения моды, имеющей индекс 2 по направлению, перпендикулярному потоку и оси резонатора. Расчеты показали, что диапазон стабильной генерации существенно зависит от отношения стороны зеркала, перпендикулярной потоку, к стороне, ориентированной вдоль потока. Чем меньше это отношение, тем больше диапазон стабильной генерации. В пределах этого диапазона 2-мерное моделирование дает качественно верные результаты.

Моделированию генерации в 2-мерном телескопическом резонаторе посвящен §14. Для расчета собственных мод резонатора с "замороженной" активной средой проведено сравнение нескольких алгоритмов, являющихся модификациями метода Крылова (часть из них имеет другое название - метод Прони). Далее было проведено исследование устойчивости одномодовой генерации при близких к целым значениях эквивалентного числа Френеля /Veq= 0.5{M- l)a2/l Z, где M - увеличение резонатора, а - радиус малого зеркала, Л - длина волны, L - расстояние между зеркалами. Известно, что в пустом резонаторе при близких к целым значениях Neq наблюдается вырождение низших мод по потерям. В случае локально насыщающейся среды (2) обнаружен довольно необычный эффект стабилизации одномодовой генерации. При достаточно большом усилении среды генерация устойчива всюду, даже в точке вырождения. Проточная среда, как правило, стабилизирует генерацию, поскольку неоднородность среды вдоль потока (например, тепловой клин показателя преломления) приводит в эффективной разъюстировке резонатора и уходу от точки вырождения мод. В конце параграфа сделаны некоторые замечания о связи селективного итерационного метода с обычным, упомянуты работы, где идеи селективного метода развиваются для задачи стационарной многомодовой генерации.

Следующий параграф (§15) посвящен телескопическому осесимметрич-ному резонатору с круглыми зеркалами. В расчетах использовался алгоритм распространения в цилиндрических координатах (§4). В случае локально насыщающейся среды (2) исследована проблема устойчивости одномодовой генерации в диапазоне Neq , покрывающем один квазипериод (от полуцелого

значения до следующего полуцелого). Как и следовало ожидать, диапазон устойчивой генерации минимален вблизи целого , и имеет тенденцию к расширению при удалении от него. Однако, максимален диапазон устойчивой генерации не при полуцелых Ыед , а при несколько смещенных вправо значениях. Обнаружено также, что моды с ненулевым азимутальным индексом в конкуренции практически не участвуют.

Последний параграф этой главы (§16) посвящен более традиционным проблемам, здесь главное внимание уделено энергетическим и угловым характеристикам генерируемого в проточном лазере излучения в зависимости от формы и юстировки зеркал, а также варианта схемы накачки. Рассмотрены 2 варианта формы зеркал (круглая и квадратная) и 2 варианта накачки, когда зона газового разряда находится выше по потоку зоны генерации либо когда совмещена с ней. В расчете использовалась модель (4) среды СО2 лазера. В результате численных расчетов показано, что из трех факторов (форма зеркала, угол наклона, способ накачки) наибольшее влияние на яркостные характеристики лазера оказывает последний, т.е. способ возбуждения активной среды. В первом варианте, когда накачка среды производится вне зоны генерации, выше КПД лазера, но и выше угловая расходимость выходного излучения, чем во втором варианте, когда зона газового разряда совмещена с зоной генерации.

В заключении к главе 3 дан обзор близких по тематике работ, отмечены перспективы использования разработанных методов для ряда задач, связанных с лазерной генерацией.

В Главе 4 излагаются результаты математического моделировани) составных схем оптических резонаторов, иными словами, резонаторов состоящих более чем из двух зеркал и не сводящихся к эквивалентному 2 зеркальному резонатору. Всюду в этой главе мы ограничились моделью Ригрод (2) активной среды.

В §17 дана математическая постановка и краткое описание численног алгоритма для решения в дифракционном приближении задачи о генераци излучения в 3-зеркальном резонаторе, состоящем из обычно! телескопического резонатора с отверстием связи в вогнутом зеркале, :

которым ставится третье зеркало с целью управления параметрами генерируемого излучения. Активная среда располагается между 1-ым и 2-ым зеркалами, т.е. внутри телескопического резонатора.

В §18 приведены результаты расчета собственных мод 3-зеркального резонатора в предположении пространственной однородности коэффициента усиления активной среды, т.е. в линейном приближении, справедливом при малых превышениях порога генерации. Численные расчеты демонстрируют существенное влияние микроскопических (порядка длины волны) смещений опорного зеркала и размера отверстия связи на собственные моды такого резонатора.

В §19 дается математическая постановка задачи для расчета в дифракционном приближении генерации поля в системе двух резонаторов с оптической связью. Рассмотрены как линейная по полю задача, так и нелинейная, учитывающая эффект насыщения активной среды. Выведены свойства симметрии для собственных значений и собственных функций системы двух одинаковых в макроскопическом смысле резонаторов, но имеющих различия в положениях зеркал порядка длины волны излучения.

В §20 приведены результаты численного моделирования когерентной генерации в системе 2-х связанных неустойчивых резонаторов. Вначале решена линейная задача, исследована зависимость собственных мод системы от расстроек длин резонаторов и фазового набега в канале связи. Затем задача решается в нелинейной постановке; с помощью селективного итерационного метода исследована устойчивость сфазированной генерации в системе резонаторов при различных расстройках длин резонаторов и фазовых набегах в канале связи. Устойчивость одномодовой генерации характеризуется зависимостью диапазона допустимых отстроек длин резонаторов от фазового набега в канале связи. Проведено сравнение численных результатов с экспериментом, получено качественное согласие расчетных и экспериментальных кривых, характеризующих устойчивость.

Глава 5 посвящена численному моделированию работы лазера в режиме усиления внешнего инжектируемого сигнала, включая регенеративный режим усиления и режим управляемой генерации. Данная задача определена во Введении как задача 3.

В §21 дана математическая постановка для решения этой задачи в дифракционном приближении. Задача формулируется как неоднородное операторное уравнение, не содержащее собственных параметров. Сформулирована итерационная процедура для численного решения этой задачи, аналогичная методу Фокса-Ли. Кроме того, здесь изложена принадлежащая А.П.Напартовичу экстраполяционная процедура для нахождения критических режимов усиления внешнего сигнала, когда в резонаторе начинает развиваться собственная генерация.

В §22 приведены результаты для схемы с внеосевой инжекцией сигнал; через выходную апертуру неустойчивого резонатора. В линейном режим( исследовано влияние мощности накачки активной среды и частоты внешней сигнала на формирование углового распределения выходного излучения проведено сравнение расчетов с экспериментом, получено качественно! согласие. В нелинейном режиме в рамках модели среды Ригрода (2) решен; задача об устойчивости усиления внешнего сигнала, иными словами о1 устойчивости генерации, управляемой внешним лучом. Найдены критически параметры, при которых режим усиления внешнего сигнала нарушаете вследствие развития генерации на собственной частоте резонатора.

В §23 решена численно задача о работе лазера, управляемого инжекцие внешнего сигнала через центральное отверстие в вогнутом зеркал телескопического резонатора. Исследовалась ключевая проблема устойчивост управляемой генерации при различных отверстиях связи и различных моделя активной среды: локально насыщающейся (2) и проточной (3). Построены та называемые кривые захвата, характеризующие стабильность режима усилеш внешнего сигнала. Эти кривые являются частотными зависимостям отношения мощности критического для устойчивости сигнала инжекции выходной мощности лазера. Кроме того исследована частотная зависимое выходной мощности и потерь через отверстие.

В Заключении подведен итог работы, рассмотрены возможные примен ния созданных методик к другим задачам лазерной физики, отмечены перспе тивы в разработке методик и решении физических задач оптики лазеров.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Елкин Н.Н., Лиханский В.В., Напартович А.П. Влияние дифракции излучения на усиление поперечным потоком активной среды,- Квантовая электроника, 1986, т.13, N 10, с.2109-2114.

2. Витюков В.В., Добров Б.В., Елкин Н.Н. Применение быстрого преобразования Ханкеля для расчета осесимметричных пучков излучения. Препринт ИАЭ-5279/16, М., 1990, 18с.

3. Елкин Н.Н., Напартович А. П. Прикладная оптика лазеров. М., ЦНИИатоминформ, 1989, 183с.

4. Елкин Н.Н., Напартович А. П. Влияние формы и юстировки зеркал на генерацию излучения в неустойчивом резонаторе. Препринт ИАЭ-4604/16, Москва - ЦНИИатоминформ - 1988, 16с.

5. Елкин Н.Н., Напартович А. П. Влияние формы и юстировки зеркал неустойчивого резонатора на генерацию в проточном лазере. - Оптика и спектроскопия, 1989, т.66, Вып.З, с.680-683.

6. Елкин Н.Н. Дифракционный расчет собственных мод неустойчивого оптического резонатора, заполненного усиливающей средой. -Математическое моделирование, 1990, г.2, N5, с. 104-119.

7. Елкин Н.Н. Эффект снятия вырождения мод по потерям в неустойчивом оптическом резонаторе под влиянием активной среды. - Математическое моделирование, 1990, т.2, N9, с. 133-144.

8. Elkin N.N. and Napartovich A.P. Numerical study of the stability of single-mode lasing in a Fabry-Perot resonator with an active medium. - Applied Mathematical Modelling, vol.18, no.9, pp.513-521 (1994).

9. Елкин H.H., Напартович А.П. Об устойчивости одномодовой генерации в резонаторе Фабри-Перо с активной средой. - Квантовая электроника, т.21, N 1, с.32-36, 1994.

10. Елкин Н.Н., Короткое В.А., Напартович А.П., Трощиев В.Е. Дифракционный расчет поля в составном трехзеркальном неустойчивом резонаторе. - Квантовая электроника, 1988, т. 15, N 8, с.1644-1650.

11. Elkin N.N., Korotkov V.A.,Likhanskii V.V., Napartovich A.P., and Troshchiev V.E. Stability of phase-locked lasing in a two coupled unstable

resonator system. - Proc. SPIE 1031, p.229-234 (1989).

12. Elkin N.N., Korotkov V.A., Napartovich A.P., and Troshchiev V.E. Influence of active medium on the mode structure of optical resonator near the loss degeneracy point. - Proc. SPIE 1224, p.172-181 (1990).

13. Елкин H.H., Коротков B.A., Лиханский В.В. и др. Коллективные моды связанных неустойчивых резонаторов. - Квантовая электроника, 1989, т.1б, N 1, с.100-107.

14. Антюхов В.В., Даныциков Е.В., Елкин Н.Н., Коротков В.А. и др. Условия устойчивой когерентной генерации двух СОг лазеров с неустойчивыми резонаторами. - Квантовая электроника, 1989, т.16, N12, с.2462-2468.

15. Apollonova O.V., Elkin N.N., Korzhov M.Yu. et. al. Mathematical simulation of composit optical systems loaded with active medium. - Laser Physics, vol.2, no.3, 1992, pp.227-232.

16. Apollonova O.V., Elkin N.N., Korzhov M.Yu. et. al. Mathematical simulation of composit optical systems loaded with active medium. - Proc. SPIE, vol.1501, pp.108-119, 1991.

17. Apollonova O.V., Elkin N.N., Korotkov V.A. et. al. Diffractive optics of composit laser systems. - Proc. SPIE, vol.1625, pp.233-243, 1992.

18. Елкин H.H., Ильиных О.И., Лиханский B.B. и др. Усиление света при инжекции в неустойчивый резонатор с активной средой. Препринт ИАЭ-4527/16. Москва-ЦНИИатоминформ-1987, 16с.

19. Бондаренко А.В., Даныдиков Е.В., Елкин Н.Н. и др. Угловая селекция излучения при регенеративном усилении в лазере с неустойчивым резонатором. - Квантовая электроника, 1988, т. 15, N 1, с.30-36.

20. Елкин Н.Н., Напартович А.П., Трошиева В.Н. Дифракционная модель лазера, управляемая инжекцией внешнего сигнала. - Квантовая электроника, т.21, N 1, с.43-50, 1994.

21. Елкин Н.Н., Трошиева В.Н. Моделирование свободной генерации в осесимметричных оптических резонаторах. - Математическое моделирование, т.8, N 12, с.47-61, 1996.