автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное моделирование работы лазерных систем в режиме стационарной генерации

•ч *

МОСКОВСКИМ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНЖЕНЕРНО - ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

КОРОТКОВ Виктор Анатольевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ ЛАЗЕРНЫХ СИСТЕМ В РЕЖИМЕ СТАЦИОНАРНОЙ ГЕНЕРАЦИИ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов ь научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Москва, 1992г.

Работа выполнена в ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции Институте Атомной Энергии им. М.В.Курчатова

Научные руководители: доктор физико-математических

наук, профессор Напартович А.П., доктор физико-математических наук, профессор Трощиев В.Е.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Конев Ю.Б. кандидат физико-математических наук Любимов В.В.

Ведущая организация - Московский Государственный

Университет им. М.В.Ломиюсова

Защита состоится " 18 " марта 1992 г., в 15 часов

на заседании специализированного совета Д 053.03.08 в Московском инженерно-физическом институте по адресу:115409, г.Москва, Каширское шоссе, д.31,т.324-84-98 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

11 февраля

Автореферат разослан " ' "_1992 г.

Просим принять участие работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации.

Ученый секретарь специализированного совета Леонов A.C.

Общая характеристика работы. Данная работа посвящена численному исследованию лазерных систем и развитию методов самосогласованного расчета стационарной генерации в таких системах, а именно, в лазерах с неустойчивыми (устойчивыми) резонаторами с трехзеркальными и связанными резонаторами.

Актуальность работы. Создание численных моделей, адекватно описывающих работу лазерных систем, позволяет определять те параметры установок, которые оказывают наибольшее влияние на качество выходного излучения. Например, для мониторинга окружающей среды необходимы лазеры, удовлетворяющие жестким требованиям на спектральные характеристики и на расходимость излучения. При использовании таких лазеров в полевых условиях необходимо обеспечить запас устойчивости работы в заданном режиме. Поэтому выбор оптимальных параметров резонатора является важной составной частью создания лидарного комплекса. Причем, выбрать оптимальные параметры по характеристикам пустых резонаторов можно не всегда, требуется проведение численного моделирования с учетом влияния активной среды.

Использование составных трехзеркальных резонаторов подразумевает знание их свойств в рамках не только хорошо известной одномерной модели, но и модели, учитывающей дифракцию. Для выделения в спектре генерации одной линии можно использовать дифракционную решетку вместо третьего зеркала. Эффективность данной схемы зависит от параметров неустойчивого резонатора и отверстия связи, которые должны быть заданы в определенном интервале значений.

Большой интерес к связанным лазерам обусловлен тем, что

увеличение яркости выходного излучения одного лазера становится затруднительным, начиная с некоторого предела . Увеличение энергии, вкладываемой в активную среду газовых лазеров, приводит к возникновению оптических неоднородностей и, соответственно, к росту расходимости. Возможна ситуация, при которой с увеличением выходной мощности происходит снижение яркости. Оптическая стойкость активной среды также накладывает ограничения на мощность излучения одного модуля. В случае использования "и лазеров в режиме сфазированой генерации, яркость излучения может быть увеличена в и.2 раз по отношению к одному лазеру. Исследование модели связанных лазеров позволит определить наиболее приемлемые параметры используемых лазеров и расчитать функции управления, обеспечивающие сфазированную генерацию.

Целью работы являются: создание численного метода решения задачи о генерации в лазере с насыщающейся активной средой, позволяющего точно находить границу одномодового и многомодового режимов;

определение диапазона параметров резонаторов, обеспечивающих необходимый запас устойчивости одномодового режима;

численное исследование многомодовой генерации в лазерах, заполненных инерционной насыщающейся активной средой с неустойчивыми (устойчивыми) резонаторами;

исследование моделей лазера с трехзеркальным резонатором и лазера со связанными резонаторами.

Научная новизна.

1 Разработан новый метод расчета самосогласованого режима генерации в лазере с насыщающейся активной средой, названный селективным итерационным методом. Метод позволяет находить устойчивые и неустойчивые решения. Он основан на поочередном

использовании традиционного метода установления Фокса-Ли и решении линейной задачи методом Прони. В случае нахождения устойчивого решения определяется мера устойчивости одномодового режима.

2. Исследован селективный метод установления для многомодовой генерации лазера, заполненного инерционной насыщающейся активной средой. Предложен метод нахождения устойчивого решения.

3. Исследован критерий получения одночастотного излучения в лазере с трехзеркальным резонатором с дифракционной решеткой.

4. Исследованы дифракционные модели лазера с трехзеркальным резонатором и связанных лазеров.

Основные защищаемые положения.

1. Селективный метод установления позволяет находить точную границу между одномодовым и многомодовым режимами.

2. РТаибольший запас устойчивости одномодового режима в неустойчивых телескопических резонаторах со сферическими зеркалами достигается при эквивалентных числах Френеля (К ). равных к+о.7, где к-целое.

3. Активная насыщающаяся среда приводит к дестабилизации одномодового режима генерации в лазерах с неустойчивыми резонаторами со сферическими зеркалами, в отличие от резонаторов с цилиндрическими зеркалами, в которых среда может стабилизировать одномодовый режим.

4. Смещение опорнох'о зеркала вдоль оптической оси на расстояние порядка длины волны в лазере с трехзеркальным резонатором позволяет изменять модовый состав излучения.

5. Использование селективного метода установления для численного моделирования работы связанных лазеров позволяет определять диапазон расстроек длин резонаторов, в котором осуществляется сфазированная генерация, влиянии коэффициента

усиления и разъюстировки резонаторов на величину этого диапазона.

6. При оптической связи лазеров возможно возникновение близлежащих диапазонов расстройки длин резонаторов, в которы; осуществляется сфазированная генерация на модах разной четности.

Апробация работы. Основные результаты исследований, вошедши' в диссертацию, докладывались на II Всесоюзной конферент "Вычислительная физика и математическое моделирование" (Волгогра,

1989), на VI Всесоюзной конференции "Оптика лазеров" (Ленингра,

1990), на VII Международном симпозиуме но газовым и химически лазерам (Австрия, Вена 1988), на Международной конференции OE'LAR 90 (CHIA, Лос Лнджелее 1990), на семинарах ФИАЭ им. И.В. Курчатова МГУ им. М.В. Ломоносова (ВМиК).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, тре глав, заключения, приложения и списка литературы. Объе диссертации 156 страниц машинописного текста, из которых 5 страниц с рисунками, 8 страниц список литературы из 7 наименований.

Содержание работы.

Во введении изложена общая характеристика работы обоснована ее актуальность, состояние проблемы до начала настоящи исследований, сформулированна постановка задачи и цель диссертаци ее новизна, кратко изложено содержание диссертации но главак В первой главе "Методы расчета стационарной генерации в лазерах.

кратко излагаются основные идеи описания свойств пустых оптически резонаторов, состоящих из двух идеально отражающих зерка.т разработан метод расчета стационарной генерации в там

резонаторах, заполненных насыщающейся активной средой, исследована многомодовая генерация в лазерах с насыщающейся активой средой.

Рассматриваются резонаторы, образованные двумя зеркалами с 'Л ~ радиусами кривизны И1 и И2. Первое зеркало

-'4-----Нга— считается вогнутым, второе выпуклым (Рис.1).

^ Поперечные размеры резонатора много меньше

Рис.1 расстояния мевду зеркалами. В этом случае

распространение электромагнитных волн можно описать в рамках параболического приближения.

Назовем модой оптического резонатора такое распределение поля и=и(х,у,г=Ь) в плоскости выходного второго зеркала, которое воспроизводится с точностью до комплексного числа (собственного значения) после отражения от второго зеркала, прохода к первому зеркалу, отражения от него и распространения в исходную плоскость. Распространение волны вдоль и против оптической оси описывается параболическими уравнениями. Решение двух задач Коши можно представить оператором обхода резонатора Р, при этом нахождение моды резонатора сведется к решению линейной задачи на собственные значения Ри=7и. Интерес представляют несколько мод, имеющих по модулю максимальные собственные значения 7. Вследствие дифракционных потерь для телескопического неустойчивого резонатора всегда для всех мод |7|<1. При введении усиливавшей насыщающейся среды (в простейшем случае ее можно описать формулой Ригрода во

^—-—, где I- интенсивность полей в среде, нормированная на 1 +1

интенсивность насыщения, ¿0-коэффициент усиления слабого сигнала) для моды, участвующей в генерации, |т|=1, а оператор Р становится нелинейным и зависит от и. Задача о стационарной генерации в лазере с насыщающейся активной средой сводится к нахождению и,7 удовлетворяющих Р(и)и=7и, причем, |7|=1, т.е. потери, имеющиеся в пустом резонаторе, компенсируются усиливающей средой. Традиционно,

начиная с 60-х годов, решение находилось по методу Фокса-Ли. В плоскости выходного зеркала задавалось произвольное распределение

л

поля, на которое воздействовали оператором обхода Р. Затем пересчитывался коэффициент усиления с учетом полученного распределения поля в среде, тем самым определялся новый оператор обхода Р, которым воздействовали на полученное поле, таким образом вся процедура повторялась.

Такой итерационный процесс прекращался после того, как поле воспроизводилось с необходимой точностью с учетом 7=е1с'). Этот метод приемлем только при нахождении устойчивого решения. В случае, когда процесс не сходился, иногда, вводилось не оправданное, с точки зрения соответствия эксперименту, сглахивание острых краев выходного зеркала, либо задавалась определенная пространственная форма коэффициента усиления g0, либо исключались высокочастотные компоненты пространственного распределения поля некоторой искусственной модификацией процесса распространения. Это часто позволяло добиться определенной сходимости, но существа дела не проясняло. .В главе I изложен разработанный селективный метод установления наховдения (и,7), основанный на поочередном использовании метода Фокса-Ли и решении линейной задачи на собственные значения Р(Ц°)и=7и , где и0- распределения поля в среде, полученное на последней итерации метода установления, т.е. с "замороженной" средой. Численное решение проблемы собственных значений для такого оператора может быть найдено, например, несимметричным методом Прони. Из множества решений линейной задачи выбирается интересующая нас мода и совершается несколько итераций методом установления. Затем снова решается линейная проблема собственных значений и для последующих итераций выбирается мода, на которой расчитывается генерация. Процесс продолжается до получения решения с заданной точностью.

Данная методика, названная селективным методом установления, позволяет численно находить не только устойчивое решение, для которого |7|=1, а для всех остальных решений линейной задачи |7|<1 (с учетом максимальной величины 171,,^ этих решений, мохно определить степень устойчивости одномодового режима равную (1-|7|тах)), так и неустойчивые решения нелинейной задачи, т.е. такие решения, для которых |7|=1, при этом существуют другие решения линейной задачи с |7|>1.

В результате проведенных расчетов выявилось резкое качественное различие между резонаторами с цилиндрическими и сферическими зеркалами. Оказалось, что в трехмерном случае для телескопических неустойчивых резонаторов со сферическими зеркалами среда дестабилизирует одномодовый режим, в отличие от резонатора с цилиндрическими зеркалами, в котором активная среда стабилизирует одномодовый режим.

В трехмерном случае детально изучались резонаторы с осевой симметрией. Рассмотрена только локально насыщающаяся среда в=в0(г)/(1+1), где g0(r) - коэффициент усиления слабого сигнала -

зависящий от радиуса. Проведенные расчеты показали, что в отличие от вогнутой, выпуклая форма в0(г) стабилизирует одномодовый режим.

При й0(г)=согши методом селективного установления определены области устойчивой одномодовой генерации при разных N , ^^ и М, где —пороговый коэффициент усиления,

М-коэффициент увеличения телескопического неустойчивого резонатора. Обнаружено, что максимальная дискриминация мод пустого резонатора и максимальная степень устойчивости одномодового режима достигается при различных эквивалентных числах Френеля.

Если при расчете генерации на любой из мод решение получается

неустойчивым, то такая ситуация соответствует многомодовому режиму и коэффициент усиления будет определяться суммарной интенсивностью нескольких мод. При разности частот между модами много больше обратной величины времени релаксации верхнего лазерного уровня (приближение инерционной среды), коэффициент усиления среды можно определить, усредняя по временным биениям суммарную интенсивность мод, участвующих в генерации:

8о Л г + г - 21

* = —= 1 = ЕД'ип1 + 'V }• ")

где II* - стационарное распределение полей (распространяющихся по направлению оптической оси и против неб) мод в среде, N -количество мод, участвующих в генерации. В терминах оператора полного обхода резонатора Р для N - модового стационарного

о

режима решалась задача на собственные значения:

^иГТ1и,- *8иг= ^г......

1711 = |7г1 = "- = 17м1=1-

Оператор полного обхода Р определялся путем решения волновых

о

параболических уравнений методом расщепления по процессам дифракции (использовалось преобразование Ханкеля) и усиления с коэффициентом (1). Селективный метод установления для расчета многомодовой генерации отличается от одномодового тем, что при решении нелинейной задачи одновременно решается задача о стационарной генерации для N мод.

Определены условия возникновения и получены энергетические характеристики многомодового режима генерации в зависимости от коэффициента усиления слабого сигнала среды, эквивалентного числа Френеля и коэффициента увеличения резонатора. Показано, что смена режима одномодовой генерации на двухмодовый происходит квазипериодически при изменении эквивалентного числа Френеля на единицу при небольших превышениях коэффициента усиления порогового

значения. Определены оптимальные условия получения высокой яркости излучения в многомодовом режиме.

Исследована многомодовая генерация в лазерах с неустойчивыми и устойчивыми резонаторами со сферическими зеркалами. Проведено сравнение полученных результатов с экспериментом.

Во второй главе "Задача о генерации в лазере с трехзеркальныы

резонатором'' представлены результаты исследования модели лазера с

трехзеркальным резонатором, изложена задача о генерации, критерий получения одночастотного излучения в лазере с дифракционной решеткой. Изменение положения одного из зеркал существенно сказывается на интерференции волн, возвращаемых в отверстие в зеркале и отражаемых от него. Нахождение распределения поля в плоскости выходного зеркала сводится к задаче на собственные значения 7и=6(ф,и)и, где 6(ср)-оператор обхода излучением резонатора с учетом третьего зеркала, -%<$<% - параметр, определяющий смещение этого зеркала вдоль оптической оси на Я/2. В диссертации исследовано влияние (р на модовуго структуру и расходимость излучения.

С целью выделения одной частоты излучения в лазере можно использовать трехзеркальный резонатор, у которого вместо третьего зеркала используется дифракционная решетка (Рис.2). Излучение на

выше двухзеркального резонатора с отверстием связи. При генерации лазера на одной длине волны А., (например, вращательная линия Р20), коэффициент усиления на других линиях \г будет почти таким же за

заданной частоте она возвращает в лазер через отверстие связи, на другой частоте отводит в сторону. Т.е. добротность резонатора с решеткой для определенной поляризации излучения

Рис.2

счет вращательной релаксации. С учетом того, что коэффициент отражения решетки на этих частотах равен нулю, излучение может оказаться под порогом. Для конкретной экспериментальной установки рассчитаны параметры обеспечивающие селекцию излучения.

Критерий устойчивости одномодовой генерации для лазера с двухзеркальным резонатором может быть применен без изменений к трехзеркальной системе только при d<<L. Если сГЬ, то становится существенной разность фазовых набегов на расстоянии d для поперечных мод, имепдих (в общем случае) различающиеся частоты. Поэтому, после того как решена задача об одномодовой генерации для заданного <р, т. е. найдены 7*, U*: 7*U*=D(<p,U*)U*, необходимо установить, будет ли какая-нибудь мода (сначала можно выбрать следующую по потерям) иметь |7|>1. Для этой моды находится такое Ф', чтобы при этом частота моды соответствовала набегу фазы Н£ расстоянии d равном ср*. Т. е. в линейной задаче на собственные значения 7U=D(<p' ,U*)U, ср' таково, что для выбранной моды, найденное значение arg(7) должно удовлетворять: <р* = <p+ (d/L; (arg(7) - arg(7*)). При |т|<1, эта мода не достигает порога. Есл! при соответствующей проверке все остальные моды также не буду! достигать порога, то одномодовый режим устойчив. В противно! случае, необходимо найти U1# U2, фх, ф2 такие, чт<

71U1=fi4'Ui'1,2)ü1' iTiH-72и2=В(ф2,и1>и2)и2, |72|=1,

ф2-ф1=(а/Ь)(arg(72)-arg(71)).

При этом коэффициент усиления определяется стандартным образом (1 для N=2. Если такой режим устойчив, то задача решена.

В главе III "Связанные лазеры" приведены результаты численного исследования структуры мод связанных резонаторов Рассмотрен режим сфазированной генерации двух оптически связанны

1АЛ

Рис.3

лазеров с неустойчивыми резонаторами (Рис.3). Нахождение распределений полей V и и в плоскостях выгодных зеркал сведется к решению задачи на собственные значения вида:

ехр(-21кЬ1)*

V

и

р-гзр+г1

Р_ехр{ 1 (<]Н-<р)} (1 -г^ )Р_г2

44 Л

^ ехр(1<р) Р+г4Р_г2

(2)

где операторы Р± описывают эволюцию волны при прохождении ею

расстояния между зеркалами резонатора ь1 по оси т. и против нее с

учетом наличия усиливающей среды, ф=М. - фазовый набег в канале

связи, <р=2&1Дс параметр характеризупций расстройку длин резонаторов,

г - функции отражения зеркал. Предполагается, что и

дифракционными эффектами в канале связи пренебрегается. Если

и фиксировано, то при изменяющейся расстройке длин резонаторов, в

расчетах при моделировании такого режима, необходимо производить

подстройку ф при изменении ср согласно ф=а^(7)——, т.е. учитывать

2Ь1

изменения частоты излучения. При этом, изменится (2), с учетом прохождения волной расстояния (1.

Показано, что диапазон расстройки длин резонаторов Аср, определяющий когерентную одномодовую генерацию лазеров, зависит от величины связи и фазового набега в канале связи. С увеличением расстройки длин резонаторов величина центрального пика, характеризующего максимальную яркость излучения в дальней зоне, падает. Этот факт связан с увеличением различия полей в резонаторах для данной мода с ростом ср. Применен селективный метод установления для нахождения области устойчивости сфазщюванной генерации лазеров, которая сужается при смещении отверстия связи

относительно оптической оси, при уменьшении отверстия связи и npi увеличении gQ. Сделана оценка оптимального радиуса отверстия связ]

rcjr

xo=xonmv — (М - коэффициент увеличения телескопическое Ы

неустойчивого резонатора), при превышении которой диапазон захват; Дф также уменьшается. Проведены расчеты для различных параметро резонаторов и проверке данной оценки. Получены зависимост расходимости суммарного излучения двух лазеров. Проведен сравнение с расходимостью излучения одного из них.

В главе III рассмотрены два варианта связи неустойчивы резонаторов. В первом - связь осуществляется через отверстия вогнутых зеркалах (Рис.3). Во втором - часть выходного излучени напрявляется через полупрозрачную пластину, наклоненную под угле 45° к оптической оси, навстречу выходного излучения второг лазера. В первом случае достигаются заметные диапазоны расстрой*

г

длин резонаторов (AL м g), в которых осуществляется сфазироввнш генерация. Во втором случае при сколько-нибудь заметне коэффициенте усиления получить одномодовую генерацию не удается.

Полезным оказалось представление характеристик связанш резонаторов при <(>=0 в виде одного резонатора, у которого вмес отверстия связи находится фазовая пластинка с коэффициент! отражения равным единице и фазовым набегом ф. Выясы характеристики лазера с таким резонатором, можно перенести их i связанные лазеры с небольшими <р. В первой главе - определе. диапазоны Neq, Ы, tj, для которых реализуется одномодовый режим, третьей главе проведены численные исследования трех тип связанных неустойчивых резонаторов с коэффициентом увеличения м и Neq=3.66, 4.66, 5.66. В лазере с резонатором Neq=4.66 при т)>2 реализуется многомодовая генерация в отличие от двух други

сохраняющих одномодовую генерацию при значительно больших

коэффициентах усиления. Соответственно, в связанных лазерах с

такими резонаторами при оптимальном отверстии связи диапазоны

сфазированной генерации больше при N =3.66, 5.66, чем при

N =4.66. еа

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в настоящей работе.

В Приложинии описывается использование трехслойных разностных схем с применением алгоритма быстрого преобразования Фурье для решения параболического уравнения. Приводятся формулы, по которым сравнивались методы решения параболического уравнения. Изложено определение устойчивости (неустойчивости) численного рещения, соответствующего задаче о генерации в лазере с насыщающейся средой.

Практическая ценность работа.

1) Разработанный метод селективного установления позволяет находить решения для параметров лазеров, при которых найти решение другими известными методами невозможно. В случае плохой сходимости итераций в методе Фокса-Ли, данный метод позволяет находить решение за значительно меньшее число итераций. При хорошей сходимости применение этого метода является излишним.

2) Исследованный селективный метод установления для расчета многомодовой генерации позволяет однозначно определять режим работы лазера с насыщающейся инерционной средой, т.е. для любых параметров лазера находить единственное устойчивое решение.

3) Исследованные модели лазеров с трехзеркальным резонатором со связанными резонаторами показали хорошее соответствие с результатами проведенных экспериментов, что позволяет уменьшить число варьируемых параметров в эксперименте и с достаточно хорошей точность» предсказывать режим работы лазерной системы.

Основные результаты диссертации.

1. Предложен и численно исследован новый метод расчет самосогласованного режима генерации в лазере с насыщапцейс активной средой, названный селективным итерационным методом. Мете позволяет находить как устойчивые так и неустойчивые решения. ( основан на поочередном использовании традиционного мето; установления Фокса-Ли и решении линейной задачи методом Прони. случае нахождения устойчивого решения определяется степень ei устойчивости.

2. Определены параметры неустойчивых телескопических резонаторов со сферическими зеркалами, при которых достигаете наибольший запас устойчивости одномодового режима.

3. Численно исследована многомодовая генерация в лазере заполненном инерционной насыщающейся активной средой, с помощ] селективного метода установления для многомодовой генерации. Предложен метод нахождения устойчивого решения.

4. Исследованы дифракционные модели лазера с трехзеркальным резонатором и связанных лазеров, проведено сравнение экспериментом.

5. Исследован критерий получения одночастотного излучения лазере с трехзеркальным резонатором с дифракционной решеткой.

Основные результаты диссертации опубликованы в следужщих работах:

1. Елкин H.H., Норотков В.А., Напартович А.П., Трощиев В.Е Дифракционный расчет поля в составном трехзеркальном неустойчив« резонаторе.- Квантовая электроника, 1988, 15, с. 1644-1650.

2. Elton N.N., Korotkov V.A., Llkhanskll V.V., Napartovlch A.P Troshchlev V.E., Stability of phase-locked lasing in a two coupli unstable resonator system. GCL-Seventh International Symposium <

Gas Flow & Chemical Lasers, Dieter Schuocker, Editor, Proc. SPIE, Vol. 1031, pp. 229-234(1989).

3. H.H. Елкин, B.A. Короткое, B.B. Лиханский, А.П. Напартович, B.E. Трощиев. "Коллективные моды связанных неустойчивых резонаторов."- Квантовая электроника, 198Э, 16, с. 100-1 ОТ.

4. В.В.Антюхов, Е.В.Даньщиков, Н.Н.Елкин, В.А.Короткое, Ф.В.Лебедев, В.В.Лиханский, А.П.Напартович, В.Д.Письменный, В.Е.Трощиев. "Условия устойчивой когерентной генерации двух С02-лазеров с неустойчивыми резонаторами." Квантовая электроника 1989, 16, 2462-2468.

5. В.А. Короткое, В.В. Лиханский, А.П. Напартович "Исследование многомодовой генерации излучения лазера с неустойчивым резонатором." - VI Всесоюзная конференция "Оптика лязеров" Ленинград, 1990, с. 20.

6. Elkln N.N., Korotkov V.A., Napartovlch А.Р., Troshchlev V.E. "Influence of active medium on the mode structure of optical resonator near the loss degeneracy point." Optical Resonators, Dale A. Holmes, Editor, Proc. SPIE 1224, 172-180,(1990).

7. B.A. Короткое, B.B. Лиханский, А.П. Напартович "Моделирование многомодовой генерации в лазере с неустойчивым резонатором." -Квантовая электроника, 1990, 17, с. 897-901.

8. Н.Н.Елкин, В.А.Коротков, В.Е.Трощиев. "Численное решение задачи о модах оптических резонаторов со средой." - II Всесоюзная конференция "Вычислительная физика и математическое моделирование", Волгоград, 1989.