автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование переноса примесей электрическим полем в плоских микроканалах

004602561

На правах рукописи

оА

ШИРЯЕВА Елена Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕНОСА ПРИМЕСЕЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОЛЕМ В ПЛОСКИХ МИКРОКАНАЛАХ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2010

004602561

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, г. Ростов-на-Дону

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент М. Ю. Жуков

доктор физико-математических наук, профессор A.B. Наседкин

доктор физико-математических наук, профессор Е. А. Демёхин

Ведущая организация:

Институт механики МГУ, г. Москва

. 2010 г. в 14.00 на заседании

Защита состоится « Л/О. » диссертационного совета Д212.203.22 при Южном федеральном университете по адресу: 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский 44, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344006, Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан

2010 г.

Ученый секретарь

щ

диссертационного совета! доктор технических науй!^

Целых А. Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Математическое моделирование процессов разделения многокомпонентных смесей на отдельные компоненты при помощи электрического поля важно для развития биотехнологий, химических и медицинских методов исследования. В последние годы исследования процессов разделения получили новый толчок в развитии, благодаря использованию микроустройств, известных как ЬаЬ-Оп-СЫр. В этой, сравнительно новой технологии, одно из важных мест занимает электрофорез — совокупность методов для разделения химически п биологически активных смесей электрическим полем. Фракционирование смеси проводится в мпкроканалах, размеры которых весьма малы. В настоящее время известны такие устройства для проведения изотахо-фореза, зонального электрофореза и др.

Математически процессы разделения смесей описываются достаточно сложной системой уравнений, в которой приходится учитывать многие факторы, такие как процессы диффузии, перенос электрическим полем, электроосмос, джоулево тепловыделение, течение жидкости, влияние гравитационного поля и др. Аналитическое и численное исследование полной системы уравнений затруднено, однако, можно указать несколько основных направлений, позволяющих получать сравнительно простые модели.

Первое направление связано с рассмотрением пространственно-одномерных бездиффузионных моделей, которыми, как правило, описывается капиллярный зональный электрофорез. В качестве устройств, в которых проводится разделение, используются длинные и тонкие капилляры. Обычно характерное время процессов переноса электрическим полем много меньше характерного времени процессов диффузии, что дает возможность использовать бездиффузионное приближение. Математические модели в этом случае представляют собой системы квазилинейных гиперболических уравнений, решение которых в простейших случаях удается получить аналитически.

Второе направление связано с применением численных методов для исследования процессов разделения с учетом осложняющих факторов, таких как течение жидкости и электроосмос, и уже для реальных устройств, которые, как правило, представляют собой плоские двумерные микроканалы. Аналитические методы для пространственно-двумерного случая в настоящее время слабо развиты, и численное моделирование является фактически единственным инструментом исследования.

Следует заметить, что микроканалы могут иметь как твердые, так и жидкие плоские границы. В последнем случае это фактически тонкие пленки жидкости, к которым приложено электрическое поле. Исследование задач гидродинамики для таких пленок зачастую приводит к описанию новых эффектов, таких, как, например, пленочный жидкостный мотор [1, 21].

Вышесказанное свидетельствует о том, что численное исследование уравнений переноса вещества электрическим полем является актуальным, и именно этому посвящена представленная диссертация.

Цели и задачи исследования. Целью диссертации является построение и детальное исследование аналитическими и численными методами математических моделей разделения многокомпонентных смесей. Основные усилия при исследовании сосредоточены на наиболее типичных и важных задачах, к которым относятся следующие:

1) аналитическое исследование пространственно-одномерной нестационарной модели капиллярного зонального электрофореза в условиях, когда концентрация компонент смеси влияет на ее проводимость;

2) численное исследование пространственно-двумерной нестационарной модели зонального электрофореза в плоских микроканалах сложной геометрической формы;

3) построение осредненных уравнений для описания вращательного течения в плоской жидкой пленке и его численное исследование.

Научная новизна. Рассматриваемые в диссертации задачи впервые решаются в приведенной постановке без существенных упрощений исходных уравнений. Результаты расчетов позволяют анализировать особенности течения многокомпонентной жидкости в плоских двумерных каналах вблизи угловых точек и вращательное течение жидкости под действием электрического поля в тонкой жидкой пленке.

Методы исследования. Для построения точных решений, используемых как эталонные при вычислениях, применялась теория квазилинейных гиперболических уравнений. Для расчетов использовались различные варианты метода конечных элементов для двумерных задач. При построении модели вращательного течения в тонкой жидкой пленке использовался метод осреднения по толщине, и для замыкания уравнений — метод малого параметра.

Научная достоверность. Достоверность результатов работы подтверждается

1) корректной математической постановкой задачи;

2) сравнением результатов расчетов с точными аналитическими решениями для модельных задач;

3) соответствием результатов расчетов с известными экспериментами.

Научная и практическая значимость. Полученные результаты способствуют развитию представлений о процессах переноса в многокомпонентных смесях под действием электрического поля, позволяют прогнозировать результаты экспериментов и разрабатывать методики их проведения. Во многих случаях результаты численных экспериментов позволяют указать правильные подходы для построения аналитических решений в упрощенных математических моделях.

Представленные в диссертации исследования являлись составной частью работ по грантам: «Конвективная неустойчивость жидких кристаллов и иных анизотропных жидких сплошных сред» (РФФИ, 03-0100802, 2003-2005 гг.); «Математическое моделирование нестационарных процессов разделения многокомпонентных анизотропных сред при помощи акустических и электромагнитных полей» (РФФИ, 04-01-96814-р2004юг, 2004-2005 гг.); «Нелинейные волны и электрофорез» (РФФИ, 07-01-00389, 2007-2009 гг.); «Математическое моделирование и исследование динамики жидкости со сложными физико-химическими свойствами при электромагнитных и вибрационных воздействиях» (РФФИ, 07-01-92-213-НЦНИЛ, 2007-2009 гг.); «Поддержка ведущих научных школ РФ» (грант Президента РФ. НШ.5747.2006.1); «Развитие научного потенциала высшей школы» (Аналитическая ведомственная целевая программа поддержки высшей школы, 2.1.1/6095, 2009-2010); «Проблема N-вихреп в приложениях к атмосферным явлениям» (CRDF-РФФИ, № 09-01-92504-ИК, 2009-2010).

Результаты диссертации использованы при написании монографии [18], внедрены в учебный процесс по программам подготовки бакалавров, магистров кафедры вычислительной математики и математической физики ЮФУ.

Апробация. Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики и кафедры математического моделирования ЮФУ, докладывались на следующих конференциях, школах:

— Международная школа-семинар «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность», (Москва, 2000, 2008);

— I Международная школа-семинар «Симметрия и косимметрия в динамических системах физики и механики» (Ростов-на-Дону, 2000);

— 1-st Conf. of the Int. Marangoni Association on Interfacial Fluid Dynamics and Processes in Physic Chemical Systems (Giessen, Germany, 2001);

— II Международная школа-семннар «Применение симметрии и косим-метрии в теории бифуркаций и фазовых переходов» (Сочи, 2001);

— VI, IX—XIII Международные конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2000, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009).

— Экология. Экономика. Информатика. XXXVII конференция «Ма-тем. моделирование в проблемах рационального природопользования» (Абрау-Дюрсо, 2009).

Публикации. По результатам диссертации автором опубликовано 26 работ, из них 3 работы ([1-3]) в изданиях, входящих в перечень ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, утвержденный ВАК, одна монография [18] и одна работа в зарубежном издании из списка ВАК [4]. Получено свидетельство о регистрации программы [23].

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем диссертации — 170 страниц, включая иллюстрации, таблицы, список литературы из 161 наименования и одно приложение объемом 3 страницы.

Содержание работы

Во введении дан краткий обзор работ по теме диссертации и обзор современного состояния проблемы, изложена структура и основные результаты диссертации.

Глава 1 «Движение жидкости с примесями в плоских микроканалах. Уравнения модели и их аппроксимация» посвящена исследованию модели зонального электрофореза в плоских каналах со сложной геометрией. Основное внимание уделяется рассмотрению случаев, когда перенос примесей в многокомпонентной смеси происходит как под действием электрического поля, так и за счет движения жидкости в канале, вызванного электроосмосом.

В § 1 построена математическая модель зонального электрофореза в плоском микроканале, приведены базовые уравнения, описывающие многокомпонентную смесь, и уравнения, осредненные по толщине канала, которые в безразмерных переменных имеют вид:

dv

— = -Vp + IlAv - Hos(v - Vos), div и = o, vos = -ÇNp, (1) dcfc

— + div ik = 0, ik = -DkVck + ЪСкЕ, к = 1,..., n, (2) div j = 0, j = aE, E = cr-cr0(l + Ёвд). (3)

\ U— 1 '

Здесь V — скорость, р — давление, /л — кинематическая вязкость жидкости, Си, 1к, 7к, Дь ~~ концентрация, плотность потока, электрофоретпче-ская подвижность, коэффициент диффузии для к-ой компоненты смеси, 25, ¡¿> — напряженность и потенциал электрического поля, ] — плотность электрического тока, о — проводимость смеси в целом, сто — проводимость среды в отсутствии примесей, ак — коэффициент влияния концентрации Ск на проводимость смеси, — скорость течения, возникающего в результате электроосмоса на трансверсальпых границах канала, — коэффициент трансверсалыюго электроосмоса, = Зц/52 — коэффициент электроосмотического «трения», 6 — относительная полутолщина области, ¿/¿Ь = д/дЬ + V • V, V = (дх, ду), Д = дхх + дуу.

Все величины, входящие в (1)-(3), получены при помощи операции осреднения, которая для произвольной функции /(х,у,г,Ь) имеет вид

Знак осреднения в уравнениях (1)-(3) опущен.

Форма типичных микроканалов, для которых, в частности, справедливы (1)-(3), показана на рис. 1.

Краевые условия на торцевых границах микроканала выбирались так, чтобы они соответствовали условиям непроницаемости границ для жидкости (у ■ п = 0) и для примесей (гк • п = 0), условиям задания потенциала <р на части границ и условиям электроизолированности границ ■ п = 0). При наличии электроосмоса на торцевых границах условия прилипания вязкой жидкости (ьт = 0) заменялись условиями

где г>г — компонента скорости, касательная к границе, т — касательный вектор, С — безразмерный ^-потенциал, который может отличаться от ^-потенциала на трансверсальных границах.

-1

ит = т • V — -((т ■ У(р),

(4)

Рис. 1. Форма типичных микроканалов

Модель (1)-(4) описывает три различных процесса: перенос примесей электрическим полем, распределение электрического потенциала в проводящей жидкости и движение жидкости (всей многокомпонентной смеси в целом). Связи между процессами, учитываемыми в модели, схематично показаны на рис. 2.

Рис. 2. Взаимосвязи уравнений модели

В §1, помимо постановки начально-краевой задачи для уравнений (1)-(3), приведен переход к безразмерным переменным и дан анализ поведения концентраций в окрестности угловых точек микроканала. Для этих целей аналитически исследована упрощенная модель, в которой не учитывается зависимость проводимости а от ск (сг = сто), диффузию (.Дь = 0), вязкость жидкости {ц = 0), конвективный член v • Vv и предполагается, что С — Сt-

0 С}— + div(—(0 + 7k)ckV<p) = 0, к = 1,..., п.

А<р = 0, 0 = -Vp - ßos(v - uos), vœ =-QVip, divu = 0. (5)

Показано, что даже для упрощенной модели форма пятна примеси при движении в окрестности угловых точек каналов сильно искажается (см. рис.3 для углов ßo = 37г/2 и ßo — 7г/2, соответствующий условиям тг ■ V<p = 0, v = vns на сторонах угла). Скорость движения 14 примеси Cfc в окрестности угла имеет такую же особенность, как Vip и скорость течения жидкости v: 14 ~ (7^ + Çt)mrm""1, где m = 7г/Д>, /30 — величина раствора угла, г — радиус-вектор.

Точные аналитические решения уравнений (5) использованы в главе 3 при проведении тестовых расчетов, а также для анализа и интерпретации результатов.

В § 2 указаны различные варианты временной аппроксимации уравнений (1)-(3) — полунеявный метод Эйлера, неявный метод Рунге-Кутта Е8ВШК32. Начально-краевая задача приводится к слабой (вариационной) формулировке, пригодной для применения метода конечных элементов. Для решения «гидродинамической части» задачи, т. е. уравнений (1), использован известный метод проекций. При этом для конвективных членов V ■ V« (и аналогичных V ■ Vск) употреблялась как стандартная аппроксимация, так и аппроксимация при помощи метода характеристик. Основное внимание уделялось выполнению законов сохранения, в частности, сохранения массы движущихся примесей. Один из вариантов аппроксимации системы (1)-(3) имеет вид

4<Э V, у,р, ч>) = - сИу(и ® V) + цАу ~Чр- ^(и +

= т(Г(ьт ® 1;т, «т,рт, <рт) + Р(«т ® V*, у*,р*, ут)),

_ „* = ® ¡р*) + ® ут+\ ьт+\рт+1, у*)),

4в (у - 7ск) = - сНу((и - 7кУ<р)ск) + ОкАск, 4 - # = т(С(ьт - с?) + С(ьт - 4)),

сГ1 - 4 = г{С(у* - 1кЧ<р\ 4) + - сГ1)).

Функции р*, рт+1, </5*, срт+1 на каждом временном шаге определялись как решение эллиптических конечно-разностных задач

Ад*=0, р*=рт + д*, сНу(ст(с*)У</?*) = О,

Лдт+1 = 0, рт+1 = р* + дт+1, ¿ы(а(ст+1)Ч<рт+1) = О, с соответствующими краевыми условиями.

Глава 2 «Одномерная задача о переносе примеси электрическим полем» посвящена решению одномерной задачи о переносе примеси электрическим полем в бесконечном капилляре и капилляре конечной длины. Исследованы два случая: 1) плотность электрического тока постоянна (бесконечный капилляр); 2) разность потенциалов на концах конечного капилляра постоянна. Показано, что основной вклад в искажение профиля движущейся концентрации вносят нелинейные электромиграционные эффекты, а процессы диффузии для решений, близких к разрывным, приводят лишь к сглаживанию разрывов. Для гладкого начального распределения, близкого к кусочно-постоянному, найден момент времени «опрокидывания» профиля концентрации.

Результаты гл. 2 в основном носят вспомогательный характер и используются в гл. 3 при прогнозировании результатов численного эксперимента для двумерной задачи, а также как эталонные точные решения, помогающие оценить погрешность расчетов.

В § 3 для случая проводимости а = сгд(1 + ас), зависящей от концентрации, в бездиффузионном приближении решена задача Коши, описывающая поведение примеси с(х, £) на оси —оо < х < +оо

с(х,0) = {с0, х 6 {Х1,х2); 0, х (хих2)}, у(с+) < V < ь(с ). (6)

Здесь а — коэффициент влияния примеси на проводимость, сто ~ проводимость жидкости в отсутствии примеси, со, XI, Х2 — заданы, цо — скорость переноса примеси при а = 0; х = х{£), V = <£с(£)/еЙ — уравнение и скорость движения линии разрыва, = F(x(í) + 0,í) —F(ж(t)—0^) — величина разрыва соответствующей функции.

На рис. 4 показана схема распада начального разрыва.

<к + гх(с) = 0, г (с) =

с к а > 0

с! а < 0

Со "I

со —I

Х\ Х2

х

XI Х2

X

С

с

Со

Со

X

Х(1 XI хт

XI Хт Х(1

Рис. 4. Схема распада начального разрыва

Аналитическое решение задачи о распаде разрыва имеет вид: при а > О

с(х,Ь) --

при а < О

с(х,Ь) =

О, -оо < х < ха(1) = х\ + г(со)£/со,

со, < х < х^) = х2 + г|(со)£,

са(х, х2), Х1(£) < х < хг{Ь) - х2 + цо^

О, хг(^) < х < +оо.

О, —00 < X < = Х\ +

Са(х,ь,х1), < X < = XI + г;(с0)£,

Со, хг(Ь) < X < хл{ь) = х2 + г(со)£/со,

О, х^) < х < +оо,

(8)

где £/(£), хг{£) — левый и правый фронт волны разрежения, —

ударная волна, са(х, Хк) = а~1Ц^)1^2(х—з^.)-1/2 — 1) — автомодельное решение с центром в точке (хц,0).

После взаимодействия сильных и слабых разрывов (xd.it) и х^Ь) при а > 0 или хг(£) и Ха{Ь) при а < 0) профиль концентрации показан на рис. 5 и, в частности, при а > 0 будет

с(х, {) —

О, -оо<х<ха(£) — х2 + (л/До?-\/ас0(х2 - 2:1))" са(х, х2), х^Ь) < х < жг(г), (9)

О, хт(Ь) < х < +оо.

а > О

С-И

а < О

с- (()

О-3"" х

Х(1 Хг

XI хл

Рис. 5. Финальная стадия процесса

Для ширины области 5(Ь), занимаемой концентрацией, и максимального значения концентрации с*(Ь), помимо точных получены и асимптотические формулы: с*(Ь) ~ и 5(Ь) ~

¿1/2

при £ —» +оо.

Обнаружено, что «размазывание» концентрации примеси (электромиграционное размытие) происходит в отсутствии процессов диффузии

и обусловлено зависимостью скорости переноса примеси от концентрации. Кроме этого, проанализирована возможность применения результатов решения одномерной задачи к решению двумерного уравнения

Ct + j-V (^j = 0, di v(ffVp) = 0, j = -aVp, a = <т0(1 + ас).

В § 4 рассмотрена задача о конечном капилляре длины L (условия на разрыве и начальные условия аналогичны задаче (6))

ct + (цсЕ)х = 0, jx = 0, j = arE, Е = -<рх, (10)

cix

V[c] = [»cE], V = —, [j ] = 0, </э(0) = <ро, v{L) = yL.

Найдена замена переменных, позволяющая свести задачу (10) к задаче (6). Распределение концентрации описывается формулами (7)-(9), в которых следует заменить t на кусочно-гладкую функцию г = r(t). Функция r(t) для формул (7), (8) задается решением задачи Коши

-(VL-<Po) = T'(t)A + T'(t)T{t)B, г(0) = 0, t<U, (И)

а для формулы (9) — решением задачи

-(4>L-<Po) = At)Ao + At)T-1/2(t)Bo, r(ti) = п, tZU, (12)

где А, В, Aq, Bo, U, Tj — некоторые константы, определяемые при помощи краевых условий для tp и условий взаимодействия разрывов. В § 5 на основе задачи (ср. с (б))

Q - есхх + гх(с) = 0, с(-оо, t) = 0, с(+оо, t) = с0. (13)

исследовано влияние коэффициента диффузии е на профиль ударной волны, для ширины 5 которого получено соотношение

5 = с0т(1 + ас0)^1 ((l + ac0)1/2 - l) .

Кроме этого, в §5 рассмотрена задача о движении профиля концентрации в случае, когда начальный профиль не является кусочно-постоянным, хотя и близок к нему (/3 — сглаживающий параметр):

Q + I ) =0, -оо < х <+оо, c(x,0) = F(x),

VI+ ас/х

F(x) = ~{ thp{x-xx)-th(3{x-x2)}, /3»1. (14)

Решение задачи (14) найдено в неявном виде

х = х±(с,0= + ^^ + (701~02Н (т01-02)2- 1

во = /3(х2 - X!), 01 = вЬбо, 02 = сЬ«(с) = Мо/(1 + ас)2.

Показано, что несмотря на то, что начальные данные являются гладкими, в результате движения бегущей волны происходит «опрокидывание» ее профиля и возникновение сильного разрыва.

Глава 3 «Движение жидкости с примесями в плоских микроканалах. Вычислительный эксперимент» посвящена описанию результатов вычислительных экспериментов для задачи (1)-(4), целью которых является выбор наилучшей численной схемы решения задачи и анализ наиболее типичных случаев поведения примесей в микроканалах. Кроме этого, исследовано влияние на поведение примеси различных эффектов, учтенных при построении модели — эффект электроосмоса на границе (£), эффект «поверхностного» (трансверсального) электроосмоса ¿¿03), эффект электромиграционного размытия (аг).

В § 6 исследовано влияние электроосмоса и зависимости проводимости от концентрации на поведение примесей в крестообразном канале. Детально описана область (микроканал) и схемы переключения потенциала, необходимые для управления поведением примеси. Расчет проведен для широкого интервала значений параметров, но в § 6 даны лишь наиболее значимые результаты. При вычислениях изменялись параметры ¡л03, ец, (, С«, а параметры Дь Ц выбирались фиксированными.

В §§ 6.3-6.8 детально описано, как варьирование параметров влияет на поведение концентраций примесей. Деформация пятен характеризуется изменением их внешних границ, а в качестве границы пятен выбирались изолинии ск = 0.02 (при í = 0 пятно имеет форму круга и Си яз 1). Результаты, обобщающие расчеты, представленные в §§ 6.3-6.8, даны в § 6.9 (см. рис. 6 и табл. 1).

Таблица 1. Наборы значений параметры для различных вариантов расчета

№ варианта аг «2 С 6

1 (§ 6.3) 1500// 0.49 -0.49 0.6 0.6

2 (§ 6.4) 0 0.49 -0.49 0.6 0

3 (§ 6.5) 1500(1 0.49 -0.49 0 0.6

4 (§ 6.6) 1500/1 0 0 0.6 0.6

5 (§ 6.7) 0 0 0 0 0

6 6.8) 0 0.49 -0.49 0 0

Иг = 0.51, цг = 1.31, Ок = Ецк, £ = 0.0012£ , (1 = 1.25, Яе = 0.8

Расчеты показали, что наибольшее искажение границ пятен примесей происходит при отсутствии, трансверсального электроосмоса (вариант 2): рис. 7 демонстрирует искажение формы границ пятен с течением

С2 = 0.02) в окрестности угла. Варианты 1-6 для t = 0.402

Рис. 7. Границы пятен концентраций с\ и = = 0.02). Вариант 2: = 0,

£ = 0.6, Сг = 0, «1 = 0.49, а2 = -0.49

Для сравнения, результаты расчетов варианта 1 показаны на рис. 8.

Рис. 8. Границы пятен концентраций сх и сг [сх = с2 = 0.02). Вариант 1: = 1500/^, £ = 0.6, С< = 0.6, «1 = 0.49, а2 = -0.49

Характер изменения поля скоростей и потенциала виден на на рис. 9.

Рис. 9. Линии уровня функции тока (слева) и потенциала (справа) при í = 0.162 и г = 0.362. Вариант 1: = 1500/л, С = 0.6, С = 0.6, = 0.49, а2 = -0.49

В § С.9 исследовано влияние коэффициентов а^, а2 на поведение пятен примеси при фиксированных /л05 = 1500, ( = 0.6, = 0.6. Показано, что наиболее сильные искажения будут для а\а2 < 0 (см. рис. 10).

' С1 щ

с-1

Рис. 10. Изолинии концентраций С1 и с2 для ¡±оя = 1500/1, С = 0.6, = 0.6, «1 = —0.4, а2 = 0.4, с° 2 = 1.02 при 4 = 0.162; 0.402

§ 7 посвящен анализу погрешности применяемых схем расчета. Контроль погрешности осуществлялся либо путем сравнения результатов расчета на различных сетках (фиксированных или адаптивных), либо сравнением результатов различных методов аппроксимации (1Е — полунеявный метод Эйлера, 80Ш.К32 — неявный метод Рунге-Кутта, РМ — метод штрафов). Квадраты максимальных относительных погрешностей е^ вычисления величин а, (р, ф, и, и> приведены в табл. 2.

Таблица 2.

о <Р ■ф и "Ш

SDIRK32 (адапт.) + РМ (фикс.)

0.05 0,014 0.12 0.15 0.19

SDIRK32 (адапт.) + IE (фикс.)

vK 0.05 0.014 0.07 0.22 0.25

SDIRK32 (фикс. = 0.03) + IE (фикс. 0.03)

0.05 0.014 0.05 0.16 0.11

ММ

ММ

«фикс.= 0.03» — сетка с характерным размером 0.03. Рис. 11 показывает, как сохраняются массы примесей при использовании консервативных схем.

В § 8 указаны каналы, для которых проведены расчеты, и представлен пример разделения примеси в У-образном канале (см. рис. 12).

Рис. 11. Изменение массы примесей со временем (относительная погрешность я; 0.005)

|Г

Рис. 12. Положение примесей в моменты времени t = 0.55, 2.05, 2.55, 4.05

В § 9 результаты расчетов для двумерных каналов прямоугольной формы сравниваются с аналитическими результатами главы 2 для одномерной модели. Исследовано поведение пятна примеси (см. рис. 13, где также показан «дополнительный» потенциал ф(х, у, = <р(х, у, ¿) — <Ръ{х), Ро(х) — потенциал в области при с* = 0).

Я 1 т

/ ? 1 € / •• СО

Рис. 13. Изолинии потенциала ф (слева) и концентрации (границе пятна соответствует с\ = 0.02) в моменты времени I = 1.0, 3.0

Показано, что одномерную теорию можно успешно применять для прогноза движения примеси в прямоугольном канале в случае, когда для сторон а, Ъ выполняется неравенство Ь/а > 3. Оказалось, что отрицательным значениям ф(х, у, соответствуют ударные волны на профиле концентрации, в положительным — волны разрежения, которые предсказаны одномерной моделью.

Рис. 14. с(х,у,£) в моменты I = 0.5, 1.0, 1.5, 3.0 и ф{х,у,Ь) в моменты 4 = 0.5, 2.5

Глава 4 «Модель вращательного электрогидродинамического течения» посвящена построению и исследованию математической модели, описывающей вращательное течение в тонкой подвешенной жидкой пленке — слое многокомпонентной жидкости, содержащей заряженные ионы (вода и ионы Н+, ОН-). Такое течение возникает под действием поля плоского конденсатора, приложенного к боковым границам пленки у = 0, У, и разности потенциалов на границах х = 0, X (см. рис. 15).

Рис. 15. Схемы тонкой пленки (слева) и вращательного течения

В § 10 приведены основные уравнения, сформулированы краевые условия и дан переход к безразмерным переменным. В § 11 изложена процедура осреднения по толщине плёнки, позволяющая в совокупности с разложением по малому параметру S получить систему 20-уравнений для описания ЭГД-течения в многокомпонентной смеси:

62^ + ßV0(U®U) = -62V0p + ö2ßA0u- /J.U, div0 й = 0, (15) + divoгк = 0, гк = -Dk{yock + zk'ус^оТр),

^ = dt + и ■ V0, [¿U = q V0<Ä eÄ0тр =-q, g = £ Wh, at k

с условиями на границах у — 0,Y:

е(п ■ V0тр) = £outin ■ Eout), гк п = 0, й т = -1ZV0Tp • т, й п = 0,

и на границах х = 0, X:

TL = 0; 0, х = 0; Тр = <¿>0, х = Х.

Здесь Tt = (гЕ, ü) — скорость течения в плоскости пленки, р — давление, q — плотность заряда, Тр — электрический потенциал, ск — концентрации, гк — поток концентрации в плоскости пленки, ¡л — кинематическая вязкость жидкости, Dk — коэффициенты диффузии, zk — заряд-ности, е, eout — диэлектрические проницаемости пленки и внешней среды, 7 — интенсивность переноса электрическим полем, 5 — относительная полутолщина пленки, 1Z - интенсивность торцевого электроосмоса, п • Eout — Eq — заданная нормальная компонента внешнего электрического поля. Коэффициент ß — 82/45 приведен для случая пленки со свободными трансверсальными границами.

В § 12 построено асимптотическое решение задачи о течении в окрестности границ у = 0, У в предположении й = (й(у), 0), ск = ск(у),

Тр = Ф(у) + Ex, где Е — постоянная касательная компонента электрического поля в окрестности границы у = 0 (или у = Y). Показано, что в окрестности границ формируется двойной электрический слой с распределением концентрации Ск(у) = cge_2i:7$^ и найдена асимптотическая формула для 71, которая замыкает систему уравнений (15):

7г«Т-^л/2Е3, Е 2 = ^е1 Е<0.5. (16)

áo-fi0 7 4 сд

В § 13 для описания течения использован упрощенный вариант уравнений (15). Жидкость считается электронейтральной (q = 0) всюду, за исключением окрестности границ, что позволяет отбросить из уравнений члены, пропорциональные U, сохранив их лишь в краевых условиях:

dtu + u- V0®= -\70р + цА0и, div0« = 0, 0, y= 0,

A0ip = 0, (и+7Прх) |y=0jY= 0, <?|ж=0= 0, Цх=х= <Ль ?V|y=o,y= E0. (17)

В § 14 приведены результаты вычислительного эксперимента для задачи (17), решаемой МКЭ при помощи пакета FreeFem++. В основном, расчеты проводились для значений параметров, указанных в [A. Amjadi, R. Shirsavar, etc. Microfluidics and Nanofluidics, 2009], в которой экспериментально обнаружен «жидкостный пленочный двигатель».

Численные результаты хорошо совпадают с известными экспериментальными данными (см. рис.16, Е0 = 0.19, <¿?o = —1-0, 6 = 0.29, /i = 7.8 ■ Ю-4, 72. = 0.235). На рис. 17 приведен вариант более сложного течения (ср. с рис. 15), возникающего при ipо = —0.1.

Рис. 16. Изолинии функции тока ф{х, у, Рис. 17. Изолинии функции ф{х,у,{) при I = 30 (2.34 с) и графики Г2 = уд/г при Ь = 200 (15.6 с)

Важным результатом гл.4 является формула (16), связывающая средние напряжения Рейнольдса /ЗУо(£/ <8> II) с касательной скоростью на боковых границах пленки.

В приложении приводится описание программы [23] для компьютерного моделирования процесса переноса примеси под действием элек-

трического поля в плоском микроканале, заполненном жидкостью. Система уравнений электрогидродинамики с соответствующими краевыми и начальными условиями решается методом конечных элементов. Программа имеет развитый интерфейс, позволяющий пользователю работать в интерактивном режиме, задавать геометрическую форму области, краевые условия для потенциала электрического поля, начальное условие для распределения примесей и т.п.

Рис. 18. Окно «Перенос примесей», страница «Параметры задачи-1». Изолинии функции тока и концентраций

Результаты расчетов представляются в графическом виде и сохраняются в текстовых файлах. Программа позволяет генерировать рабочие коды вычислительных схем на языке РгееРет++.

Созданный программный комплекс использовался в учебном процессе и в научно-исследовательской работе на кафедре ВМ и МФ факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ.

Основные результаты

При решении поставленных в диссертационной работе задач получены следующие новые теоретические и прикладные результаты.

1. Построена и исследована математическая модель переноса многокомпонентной смеси электрическим полем в плоских микроканалах. В модели учтены эффекты торцевого электроосмоса, электродшграци-онного размытия и впервые эффекты трансверсального электроосмоса.

2. Для решения двумерной задачи о переносе примеси в тонких плоских микроканалах для аппроксимации по времени применены полунеявные методы Рунге-Кутта и Эйлера и использован метод конечных элементов. Проведен анализ поведения концентрации в окрестности угловых точек микроканалов. Даны оценки погрешностей проведенных

расчетов. Вычислительный эксперимент свидетельствует, что наибольшее искажение формы границ пятен компонент смеси вызывают эффекты электроосмоса на стенках, ограничивающих канал по толщине.

3. Построено аналитическое решение одномерной задачи о переносе примеси электрическим полем для случаев, когда постоянна либо плотность тока, либо разность потенциалов. Взаимодействия сильных и слабых разрывов распределения концентраций и влияние диффузии на профиль бегущей волны описываются явными формулами.

4. Проведено сравнение численных решений двумерных задач с аналитическим решением соответствующих одномерных задач. Показано, что использованные численные схемы позволяют достаточно точно рассчитывать аналоги сильных и слабых разрывов решений.

5. Методом пространственного осреднения по толщине в сочетании с методом асимптотических разложений построена математическая модель, описывающая вращательное электрогидродинамическое течение в тонкой жидкой пленке с плоскими свободными границами. Показано, что основной причиной такого течения являются средние напряжения Рейнольдса в окрестности торцевых границ пленки. Результаты вычислительного эксперимента хорошо согласуются с известными экспериментальными данными.

Список публикаций автора по теме диссертации

I. Издания, рекомендованные ВАК РФ для публикации материалов кандидатских диссертаций:

1. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Вращательное ЭГД течение в подвешенной жидкой пленке // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2009. № 5. С. 44-47.

2. Ширяева Е. В. Моделирование электромиграции и электроосмоса в плоских микроканалах // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. Спецвыпуск, посвященный 75-летию В. И. Юдови-ча. 2009. С. 220-225.

3. Владимиров В.А., Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Численное исследование ЭГД течения в пленке // Изв. Вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. Спецвыпуск, посвященный 75-летию В. И. Юдовича. 2009. С. 46-50.

4. Shiryaeva Е. V., Zhukov М. Yu., Vladimirov V.A. Theory of rotating eleetrohydrodynamie flows in a liquid film // Phys. Rev. E. 80, 041603 (2009), 15 p.

II. Остальные публикации:

5. Жуков М. Ю., Ширяева Е. В. Численное моделирование движения жидких контуров в конвективном течении // Деп. в ВИНИТИ 24.04.2000, № 1166-В00. 41 с.

6. Жуков М. Ю., Ширяева Е. В. Эволюция жидких контуров в конвективном течении. Вычислительный эксперимент // Материалы межд. школы-семинара «Симметрия и косимметрия в динамических системах физики и механики». Ростов н/Д, 2000. С. 42-43.

7. Жуков М. Ю., Ширяева Е. В. Компьютерный эксперимент по изучению движения жидкого контура в двумерном конвективном течении при отсутствующей диссипации // Труды VI Межд. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов н/Д, 2000. Т. 1. Ростов н/Д: Изд. СКНЦ ВШ. 2001. С. 109-113.

8. Ширяева Е. В. Численное исследование вращателыго-несиммет-рнчных структур в плоской кольцевой области. VIII Всероссийский съезд по теор. и прикл. механике. Пермь, 2001. Аннот. докл. Екатеринбург: УРО РАН, 2001. С. 611.

9. Shiryaeva Е. V., Zhukov М. Yu. Computer experiment on evolution of fluid contours in a convcctive flow // Thesis of the First Conf. of the Int. Marangoni Association on interfacial fluid dynamics and processes in physico chemical systems. Giessen (Germany), 2001. P. 24.

10. УКуков M. Ю., Ширяева E. В. Численное интегрирование уравнений пограничного слоя для жидкости, вращающейся в плоском кольцевом зазоре // Тезисы межд. школы-семинара «Применение симметрии и косимметрии в теории бифуркаций и фазовых переходов». Сочи, 2001. С. 61.

11. Shiryaeva Е. V., Zhukov М. Yu. Numerical Modelling of the Fluid Contour Evolution in the Convectivo Flow. Hull: HIMSA, University of Hull. Preprint No. 4. 2001. 30 p.

12. Жуков M. Ю., Ширяева E. В. Компьютерный эксперимент по эволюции жидких контуров // Материалы межд. школы-семинара «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность». Москва, 2000. М.: Изд-во МГУ, 2002. С. 104-119.

13. Жуков М. Ю., Петровская Н. В., Ширяева Е. В. Компьютерный эксперимент по свободной конвекции в сильно вязкой, слабо теплопроводной жидкости // Деп. в ВИНИТИ 11.03.2004, № 422-В2004. 54 с.

14. Жуков М. Ю., Ширяева Е. В. Перенос примесей электрическим полем в двумерных каналах сложной формы // Труды IX Межд.

конф. «Современные проблемы МСС», Ростов-на-Дону, 2005. Т. 2. Ростов н/Д: Изд. ООО «ЦВВР», 2005. С. 87-91.

15. Жуков М. Ю., Петровская Н. В., Ширяева Е. В. Численное исследование термогравитационной конвекции в плоском горизонтальном слое и круге в случае сильно вязкой, слабо теплопроводной жидкости // Труды X Межд. конф. «Современные проблемы МСС»,

2006. Т.П. Ростов н/Д: Изд. ООО «ЦВВР», 2006. С. 147-151.

16. Жуков М.Ю., Самадова ЮЖ., Ширяева Е.В. Влияние поля тяжести на перенос примеси электрическим полем в прямоугольном канале // Труды XI Межд. конф. «Современные проблемы МСС»,

2007. Ростов н/Д: Изд. ООО «ЦВВР». 2007. Т. 1. С. 118-122.

17. Глушко Н. В., Ширяева Е. В. Численное моделирование процесса переноса примесей электрическим полем в канале при наличии вибрации // Труды XI Межд. конф. «Современные проблемы МСС», 2007. Ростов н/Д: Изд. ООО «ЦВВР». 2007. Т. 2. С. 52-56.

18. Жуков М. Ю., Ширяева Е. В. Использование пакета конечных элементов FreeFem++ для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. Ростов н/Д: Изд. ЮФУ, 2008. 256 с.

19. Жуков М. Ю., Ширяева Е. В. Пленочный двигатель — электрогидродинамическое течение в тонкой жидкой пленке // Труды XII Межд. конф. «Современные проблемы МСС», 2008. Ростов н/Д: Изд. ЮФУ. 2008. С. 76-80.

20. Самадова Ю. К., Ширяева Е. В. Моделирование процесса переноса примесей электрическим полем и жидкостью в плоском крестообразном канале // Труды XII Межд. конф. «Современные проблемы МСС», 2008. Ростов н/Д: Изд. ЮФУ. 2008. С. 157-161.

21. Shiryaeva E.V., Zhukov M.Yu., Viac/imirov V.A. Rotating electro-hydrodynamic flow in a suspended liquid film // arXiv:0902.3733vl. 12 p.

22. Shiryaeva E.V., Zhukov M.Yu., Vladimirov V.A. Modeling of zonal electrophoresis in plane channel of complex shape // arXiv:0902.3753vl. 13 p.

23. Ширяева E. В. Комплекс компьютерного моделирования движения примеси в плоском канале под действием электрического поля // Отраслевой фонд электронных ресурсов науки и образования. Свидетельство об отраслевой регистрации электронного ресурса № 00107. 21.07.2009.

24. Ширяева Е. В. Перенос примеси в пористой среде // Экология. Эко-

номика. Информатика. XXXVII конференция «Матсм. моделирование в проблемах рационального природопользования» (2009) Материалы конференции. Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ, 2009. 265 с. С. 70--74.

25. Ширяева Е. В. Электромиграционный перенос примеси в 2В микроканалах // Тезисы докладов XIII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», 2009. Ростов н/Д: Изд-во «ЦВВР». 2009. С. 57-58.

26. Ширяева Е. В. Электромиграционный перенос примеси в 20 микроканалах // Труды XIII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», 2009. Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2009. Т. II. С. 191-195.

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве: [5] — разработка численного алгоритма решения задачи о движении жидкого контура в идеальной жидкости, модификация метода быстрого преобразования Фурье; [6, 9-12] — проведение вычислительного эксперимента, сравнение различных алгоритмов решения задачи, расчет движения жидкого контура в идеальной жидкости для различных двумерных областей; [7] — численное подтверждение гипотезы о линейном росте со временем циркуляции скорости для жидкого контура в идеальной жидкости; [13, 15] — численное обнаружение режимов переворота слоя в случае сильно вязкой, слабо теплопроводной жидкости; [14, 16] — проведение расчетов на основе дивергентных конечно-разностных схем, детальный анализ процесса движения примеси в канале под действием электрического поля; [17, 20] — постановка задачи о влиянии вибрации на процесс переноса примеси в прямоугольном и крестообразном каналах; [18] — монография: глава 5 «Уравнения переноса», глава 10 «Перенос пассивной примеси», глава 11 «Перенос примеси электрическим полем», глава 12 «Задача о движении двух примесей», глава 13 «Перенос примеси электрическим полем и жидкостью», глава 16 «Синтаксис», глава 21 «Визуализация результатов расчетов»; [1, 19, 21] — выполнение процедуры замыкания метода осреднения для получения полной модели ЭГД течения в жидкой пленке, численное обнаружение вращательных режимов, индуцированных электроосмосом на торцах пленки: [3, 4] — моделирование вращательного течения в жидкой пленке, расчет осред-ненных полей вихря скорости и расчет движения пассивной примеси, сравнение с известными экспериментами; [22] — аналитическое и численное исследование поведения пятна примеси в окрестности угловых точек канала, выбор меры деформации границ пятна. (¡/и^-

Сдано в набор 16.02.2010 г. Подписано в печать 16.02.2010 г. Формат 60x84 'Лв. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Оперативная печать. Усл. печ. л 1.0. Уч-изд 1,0.

Тираж 100 экз. Заказ № 942. Типография Южного федерального университета 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, тел (863) 247-80-51.

Введение

1 Движение жидкости с примесями в плоских микроканалах. Уравнения модели и их аппроксимация

§ 1 Математическая модель зонального электрофореза в плоском канале

§1.1 Основные уравнения.

§1.2 Краевые условия.

§1.3 Взаимосвязи уравнений и краевых условий.

§ 1.4 Связь с размерными переменными.

§ 1.5 Анализ поведения концентраций в окрестности угловых точек.

§ 2 Аппроксимация исходной задачи.

§2.1 Аппроксимация уравнения переноса.

§ 2.2 Полунеявная схема Эйлера в сочетании с методом характеристик для дискретизации модели (1.7)—(1.14)

§ 2.3 Метод проекций

§ 2.4 Слабая формулировка задач для определения скорости, потенциала и концентраций (консервативные схемы)

§ 2.5 Неявный метод Рунге-Кутта для аппроксимации по времени.

2 Одномерная задача о переносе примеси электрическим полем

§3 Влияние зависимости проводимости смеси от концентрации на распределение концентраций внутри пятен

§3.1 Одномерная задача при постоянной плотности тока

§4 Одномерная задача в случае, когда плотность тока зависит от времени

§4.1 Движение разрывов до момента взаимодействия

§4.2 Движение разрывов после взаимодействия.

§4.3 Поведение разрывов на (х, ^-плоскости.

§ 5 Влияние диффузии (гладкое начальное распределение концентрации)

§5.1 Профиль ударной волны.

§ 5.2 Движение вещества с гладким начальным распределением

§ 5.3 Момент опрокидывания профиля бегущей волны

3 Движение жидкости с примесями в плоских микроканалах.

Вычислительный эксперимент

§ 6 Влияние электроосмоса и зависимости проводимости от концентрации на поведение примеси в крестообразном канале

§6.1 Геометрия канала, краевые и начальные условия

§ 6.2 Значения параметров

§ 6.3 Вариант 1: (ios ф 0, а{ ф 0, С ф 0, Ct ф 0.'

§ 6.4 Вариант 2: ц05 = 0, а{ Ф 0, С ф 0, Ct = 0.

§ 6.5 Вариант 3: /zos ф 0, а; ф 0, С = 0, Ct Ф 0.

§ 6.6 Вариант 4: fj,os ф 0, щ = 0, С Ф 0, Ct Ф 0.

§ 6.7 Вариант 5: = 0, а.{ — 0, С — 0, Ct — 0.

§ 6.8 Вариант 6: //os = 0, а{ ф 0, С = 0, Ct = 0.

§6.9 Форма границ пятен.

§ 7 Контроль погрешности.

§7.1 Адаптация сеток.

§ 7.2 Абсолютные и относительные погрешности.'

§ 7.3 Контроль полной массы примесей.

§ 8 Примеры областей, для которых производились расчеты

§9 Сравнение с одномерным случаем.

4 Модель вращательного электрогидродинамического течения

§10 Основные уравнения.

§ 10.1 Краевые условия.

§ 10.2 Безразмерные переменные.

§ 11 Осреднение по толщине пленки.

§11.1 Краевые условия для осредненных уравнений

§11.2 Процедура осреднения.

§ 12 Моделирование течения в окрестности границ.

§ 12.1 Точное интегрирование уравнений (11.3)

§ 13 Течение в тонкой пленке.

§ 13.1 Постановка задачи.

§ 13.2 Аналитическое решение для задачи об определении потенциала.

§ 14 Вычислительный эксперимент

§ 14.1 Связь параметров с размерными переменными

§ 14.2 Результаты расчетов.

§ 14.3 Анализ полученных результатов.

Актуальность темы. Математическое моделирование процессов разделения многокомпонентных смесей на отдельные компоненты при помощи электрического поля важно для развития биотехнологий, химических и медицинских методов исследования. В последние годы исследования процессов разделения получили новый толчок в развитии, благодаря использованию микроустройств, известных как Lab-On-Chip [85, 118, 119]. В этой, сравнительно новой технологии одно из важных мест занимает электрофорез — совокупность методов для разделения химически и биологически активных смесей электрическим полем. Разделение смеси проводится в устройствах, размеры которых имеют порядок нескольких миллиметров. В настоящее время известны такие устройства для проведения изотахофо-реза, капиллярного зонального электрофореза и др. [46].

Математически процессы разделения описываются достаточно сложной системой уравнений, в которой приходится учитывать многие факторы, такие как процессы диффузии, перенос электрическим полем, электроосмос, джоулево тепловыделение, влияние гравитационного поля и др. Аналитическое и численное исследование полной системы уравнений оказывается весьма трудной задачей. Однако, можно указать несколько основных направлений, позволяющих получать сравнительно простые модели.

Первое направление связано с рассмотрением пространственно-одномерных бездиффузионных моделей, которыми, как правило, описываются капиллярные методы изотахофореза и зонального электрофореза. В этих методах в качестве устройства, в котором проводится разделение, используются длинные и тонкие капилляры, и применение пространственно-одномерных моделей достаточно оправдано. В указанных моделях внешние факторы такие, как гравитационное поле, джоулево тепловыделение не учитываются. Более того, в реальных устройствах характерное время процессов переноса электрическим полем много меньше характерного времени процессов диффузии, что и дает возможность использовать бездиффузионное приближение. Математические модели в этом случае представляют собой систему квазилинейных гиперболических уравнений, решение которых в простейших случаях удается получить аналитически [9]. Второе направление связано с применением численных методов для исследования процессов разделения с учетом осложняющих факторов, например, химических реакций, и уже для реальных устройств, которые, как правило, представляют собой плоские двумерные микроканалы. Аналитические методы в пространственно-двумерном случае в настоящее время слабо развиты и численное моделирование является фактически единственным инструментом исследования.

Следует заметить, что исследование поведения даже не многокомпонентной (чистой) жидкости в микромасштабах под действием электрического поля в плоских микроканалах является весьма актуальной и трудной задачей. Такие микроканалы могут иметь как твердые, так и жидкие плоские границы. В последнем случае это фактически тонкие пленки жидкости, к которым приложено электрическое поле. Исследование задач гидродинамики для таких пленок зачастую приводит к описанию новых эффектов, таких, как, например, пленочный жидкостный мотор [36, 116, 152, 154].

Все вышесказанное свидетельствует о том, что численное исследование уравнений переноса вещества электрическим полем является актуальным, и именно этому посвящена представленная диссертация.

Цель и задачи исследования. Целью диссертации является построение и детальное исследование численными методами математических моделей разделения многокомпонентных смесей. Основные усилия при исследовании сосредоточены на наиболее типичных и важных проблемах, к которым относятся следующие:

1. Аналитическое исследование пространственно-одномерной эволюционной модели капиллярного зонального электрофореза в условиях, когда концентрация компонент смеси влияет на ее проводимость.

2. Численное исследование пространственно-двумерной эволюционной модели зонального электрофореза в плоских микроканалах сложной геометрической формы.

3. Построение осредненных уравнений для описания вращательного течения в плоской жидкой пленке и его численное исследование.

Научная новизна. Рассматриваемые в диссертации задачи впервые решаются в приведенной постановке без ввода существенных упрощений в исходные уравнения. Представленные результаты расчетов впервые описывают особенности течения многокомпонентной жидкости вблизи угловых точек в плоских двумерных каналах и вращательное течение чистой жидкости под действием электрического поля в тонкой жидкой пленке.

Используемый математический аппарат. Для построения точных решений, используемых как эталонные при применении вычислительных методов, применялась теория решений квазилинейных гиперболических уравнений (в одномерном случае). Для расчетов использовались различные варианты метода конечных элементов для двумерных задач. При построении модели вращательного течения в тонкой жидкой пленке использовался метод осреднения по толщине, и для замыкания уравнений — метод малого параметра.

Научная достоверность. Достоверность результатов работы подтверждается

1) корректной математической постановкой задачи;

2) соответствием результатов численных расчетов с результатами экспериментов, полученными в работах других авторов;

3) сравнением результатов расчетов с точными аналитическими решениями для модельных задач.

Научная и практическая значимость. Полученные результаты способствуют развитию представлений о процессах переноса в многокомпонентных смесях под действием электрического поля, позволяют прогнозировать эксперименты и разрабатывать их методики.

Во многих случаях результаты численных экспериментов позволяют указать правильные подходы для построения аналитических решений в упрощенных математических моделях.

Представленные в диссертации исследования неоднократно поддерживались грантами РФФИ 03-01-00802 в 2003-2005 гг. (тема «Конвективная неустойчивость жидких кристаллов и иных анизотропных жидких сплошных сред»), 04-01-96814-р2004юг в 2004-2005 гг. (тема «Математическое моделирование нестационарных процессов разделения многокомпонентных анизотропных сред при помощи акустических и электромагнитных полей»), 07-01-00389 в 2007-2009 гг. (тема «Нелинейные волны и электрофорез»), 07-01-92-213-НЦНИЛ в 2007-2009 гг. (тема «Математическое моделирование и исследование динамики жидкости со сложными физико-химическими свойствами при электромагнитных и вибрационных воздействиях»), а также грантом Президента поддержки ведущих научных школ РФ (НШ.5747.2006.1), Аналитической ведомственной целевой программой поддержки высшей школы «Развитие научного потенциала высшей школы», 2.1.1/6095 (2009-2010), CRDF-РФФИ № 09-01-92504-ИК, RUM1-2943-RO-09 (тема «Проблема А^-вихрей в приложениях к атмосферным явлениям»). Результаты исследований были использованы при написании монографии [149], внедрены в учебный процесс кафедры вычислительной математики ЮФУ, использованы для подготовки курсовых и дипломных проектов и в учебном процессе по программам подготовки бакалавров, магистров и др.

Апробация. Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедр вычислительной математики и математической физики и математического моделирования ЮФУ, докладывались на следующих конференциях, школах:

Международная школа-семинар «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность», (Москва, 2000, 2008);

I Международная школа-семинар «Симметрия и косимметрия в динамических системах физики и механики» (Ростов-на-Дону, 18-23 августа, 2000);

The First conference of the International Marangoni Association on interfacial fluid dynamics and processes in physic chemical systems (Giessen,

Germany, 12-16, September, 2001);

II Международная школа-семинар «Применение симметрии и косиммет-рии в теории бифуркаций и фазовых переходов» (Сочи, 18-23 сентября, 2001);

VI, IX—XIII Международные конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2000, 2005-2009).

Экология. Экономика. Информатика. XXXVII конференция «Матем. моделирование в проблемах рационального природопользования» (Абрау-Дюрсо, 7-12 сентября 2009 г.).

Публикации и личный вклад автора. По результатам диссертации автором опубликовано 26 работ, из них 3 работы ([154-156]) в изданиях, входящих в перечень ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, утвержденный ВАК, одна монография [149] и одна работа в зарубежном издании из списка ВАК [161]. Получено свидетельство о регистрации программы [157].

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве: [136] — разработка численного алгоритма решения задачи о движении жидкого контура в идеальной жидкости, модификация метода быстрого преобразования Фурье; [137, 140-142] — проведение вычислительного эксперимента, сравнение различных алгоритмов решения задачи, расчет движения жидкого контура в идеальной жидкости для различных двумерных областей; [143] — численное подтверждение гипотезы о линейном росте со временем циркуляции скорости для жидкого контура в идеальной жидкости; [139] — построение уравнений пограничного слоя и их численное интегрирование для жидкости, заполняющей плоский кольцевой зазор; [144, 146] — численное обнаружение режимов переворота слоя в случае сильно вязкой, слабо теплопроводной жидкости; [145, 148] — проведение расчетов на основе дивергентных конечно-разностных схем, детальный анализ процесса движения примеси в канале под действием электрического поля; [147, 151] — постановка задачи о влиянии вибрации на процесс переноса примеси в прямоугольном и крестообразном каналх; [149] — монография: глава 5 «Уравнения переноса», глава 10 «Перенос пассивной примеси», глава 11 «Перенос примеси электрическим полем», глава 12 «Задача о движении двух примесей», глава 13 «Перенос примеси электрическим полем и жидкостью», глава 16 «Синтаксис», глава 21 «Визуализация результатов расчетов»; [150, 152, 154] — выполнение процедуры замыкания метода осреднения для получения полной модели ЭГД течения в жидкой пленке, численное обнаружение вращательных режимов, индуцированных электроосмосом на торцах пленки: [155, 161] — моделирование вращательного течения в жидкой пленке, расчет осредненных полей вихря скорости и расчет движения пассивной примеси, сравнение с известными экспериментами; [153] — аналитическое и численное исследование поведения пятна примеси в окрестности угловых точек канала, выбор меры деформации границ пятна.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем диссертации — 170 страниц, включая иллюстрации, таблицы, список литературы из 161 наименований и приложение объемом 3 страницы.

Заключение

Подробные заключения к каждой главе приведены на стр. 49, 72, 113, 150. Наиболее важными результатами являются следующие:

1. Построена и исследована математическая модель переноса примесей электрическим полем в плоских квазидвумерных микроканалах с учетом влияния различных эффектов (трансверсального и торцевого электроосмоса, электромиграционного искажения) на форму границы пятен примеси и распределение концентраций внутри пятен. Проведен анализ движения концентрации в окрестности угловых точек плоских микроканалов.

2. Для двумерной задачи о переносе примеси в тонких плоских микроканалах проведен вычислительный эксперимент с целью оценки эффективности применения метода конечных элементов в сочетании с неявным методом Рунге-Кутта, полунеявного метода Эйлера и метода штрафов. Продемонстрировано, что такие методы эффективны для решения задач переноса примесей в микроканалах. Даны оценки погрешностей.

3. Решена одномерная задача о движении примеси в тонком капилляре под действием электрического поля для случаев, когда либо постоянна плотность тока, либо постоянна разность потенциалов. Детально изучено взаимодействие сильных и слабых разрывов распределения концентраций (ударных воли и волн разрежения), а также влияние диффузии на профиль бегущей волны.

4. Проведено сравнение численного решения двумерной тестовой задачи с аналитическим решением соответствующей одномерной задачи и показано, что численная схема решения двумерной задачи позволяет хорошо рассчитывать ударные волны и волны разрежения.

5. Методом пространственного осреднения по толщине в сочетании с методом асимптотических разложений построена основная математическая модель, описывающая процессы в тонкой жидкой пленке с плоскими свободными границами при наличии электрического поля. Показано, что основной вклад в образование вращательного течения в постоянных электрических полях вносят средние напряжения Рейнольдса в окрестности торцевых границ пленки. Вычислительный эксперимент показал, что имеется достаточно хорошее совпадение с экспериментальными данными, взятыми из литературных источников.

Представленные математические модели являются новыми, позволяют описывать большое количество разнообразных эффектов, таких как торцевой и трансверсальный электроосмос, электромиграцию и гидродинамику тонких пленок. Полученные результаты имеют широкую область применения в медицине и биотехнологии для анализа и изготовления биологических препаратов.

IS 2?

1. Бабский В. Г., Жуков М.Ю., Юдович В. И. Математическая теория электрофореза: Применение к методам фракционирования биополимеров. Киев: Наукова думка, 1983. 202 с.

2. Бабский В. Г., Жуков М. Ю. Биофизические методы: Теоретические основы электрофореза. М.: Изд-во МГУ, 1990. Учебно-метод. пособие для студентов биол. ф-тов университетов. 87 с.

3. Бабский В. Г., Жуков М. Ю., Мышкис А. Д., Копачевский Н. Д., Слобожанин Л. А., Тюпцов А. Д. Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости. Киев: Наукова думка, 1992. 590 с.

4. Белло М. С., Полежаев В. И. Изотермическое течение вязкой несжимаемой жидкости в гидродинамической модели электрофоретической камеры // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1990. Вып.2. С. 14-20.

5. Болога М.К., Гросу Ф.П., Кожухарь И. А. Электроконвекция и теплообмен. Кишинев: Штиинца, 1977. 320 с.

6. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

7. Духин С. С., Дерягин Б. В. Электрофорез. М.: Наука, 1976. 328 с.

8. Жуков Ы.Ю. Массоперенос электрическим полем. Ростов н/Д: Изд.1. РГУ, 2005. 216 с.

9. Жуков М. Ю. Методика расчета движения зон и времени полного разделения смеси при изотахофорезе // Молекулярная биология. Вып. 36. Киев: Наукова думка, 1984. С. 28-34.

10. Жуков М. Ю. Нестационарная модель изотахофореза // ЖВМ и МФ, 1984. Т. 24, № 4. С. 549-565.

11. Жуков М. Ю. Разделение бесконечнокомпонентных смесей электрическим полем // ЖВМ и МФ. 1994. Т. 34, № 4. С. 576-583.

12. Жуков М. Ю. Ширина зоны при изотахофорезе (две модели) // Деп. в ВИНИТИ 1994. № 330-В94. 22 с.

13. Жуков М. Ю. Уравнения переноса масс для сильно концентрированных многокомпонентных смесей при наличии электрического поля. Модель изотахофореза // Математическое моделирование, 1995. Т. 7, №4. С. 19-28.

14. Жуков М. Ю., Король Л. Е. Использование изотахофореза при постоянном напряжении для определения подвижности // Биополимеры и клетка. 1986. Т. 2, № 5. С. 256-260.

15. Жуков М. Ю., Петровская Н. В. Колебательная неустойчивость жидкости в почти нестрафицированной бесконечнокомпонентной смеси // Известия РАН, МЖГ. 1997. №5. С. 24-37.

16. Корыта И., Дворжак И., Богачкова В. Электрохимия. М.: Мир, 1975. 472 с.

17. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 624 с.

19. Левич В. Физико-химическая гидродинамика. М.: Наука, 1959. 700 с.

20. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 338 с.

21. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Т. 1 М.: Наука, 1987. 464 с.

22. Полежаев В. И., Бунэ А. В., Версзуб Н. А. и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1987. 271 с.

23. Полежаев В. И., Белло М. С., Верезуб П. А. Конвективные процессы в невесомости. М.: Наука, 1991. 240 с.

24. Рождественский Б. JI., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978. 668 с.

25. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992. 424 с.

26. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. 2-е изд. М.: Мир, 1981. 408 с.

27. Ajdari A. Transverse electrokinetic and microfluidic effects in micropatterned channels: Lubrication analysis for slab geometries // Physical Review E. 2002. Vol.65, 016301.

28. Alexander R. Design and implementation of DIRK integrators for stiff systems // Applied Numerical Mathematics. 2003. 46. P. 1-17. Amjadi AShirsavar R., N. Hamedani Radja, Ejtehadi M. R. A Liquid Film Motor j I arXiv:cond-mat/0805.0490v2.

29. Amjadi A., Shirsavar R., Radja N. Hamedani, Ejtehadi M.R. A Liquid Film Motor // Microfluidics and Nanofluidics. 2009. 6. P. 711-717.10.1007/sl0404-008-0349-6.

30. Bazant M.Z., Chu K.T., Bayly B.J. Current-voltage relations for electrochemical thin films // arXiv:physics/0406075vl physics.chem-ph., 16 Jun 2004.

31. Bharadwaj R. Santiago J.G., Mohammadi B. Design and optimization of on-chip capillary electrophoresis // Electrophoresis. 2002. Vol. 23, P. 2729-2744.

32. Biddiss E., Erickson D. Li D. Heterogeneous surface charge enhanced micromixing for electrokinetic flows // Anal. Chem. 2004. Vol. 76. P. 32083213.

33. Chen C.-H., Lin H., Lele S. K.; Santiago J. G. Convective and absolute electrokinetic instability with conductivity gradients //J. Fluid Mech. 2005. Vol. 524, P. 263-303.

34. Chen C.-H., Santiago J. G. Electrokinetic instability in high concentrationgradient microflows // In Proc. IMECE. 2002. Vol. 1. №33563.

35. Chen C.-H., Santiago J. G. A planar electroosmotic micropump //

36. Microelectromech. Systems. 2002. Vol. 11, P. 672-683.

37. Chorin A. A numerical method for solving incompressible viscous flowproblems // J. Comput. Phys. 2 (1967). P. 12-26.

38. Chiragwandi Z. G., Nur O., Willander M., Panas I. Vortex rings in purewater under static external electric field // Appl. Phys. Lett. 2005. 87. 153109.

39. Chu К. Т., Bazant M. Z. Electrochemical thin films at and above the classical limiting current j j arXiv:physics/0406076vl physics.chem-ph., 16 Jun 2004.

40. Dukhin S.S., Zimmermann R., Werner C. A Concept for fhe Generalization of the Standard Electrokinetic Model // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects; 2001, 195, Issues 1-3. P. 103-112.

41. Ermakov S. V., Jacobson S. C., Ramsey J.M. Computer simulations of electrokinetic transport in microfabricated channel structures // Anal. Chem. 1998. Vol. 70(21). P. 4494-4504.

42. Ermakov S. V., Jacobson S. C., Ramsey J. M. Computer simulations of electrokinetic injection techniques in microfluidic devices // Anal. Chem. 2000. Vol. 72(15). P. 3512-3517.

43. Ermakov S. V., Zhukov M. Yu., Capelli L., Righetti P. G. On the Measurement of Electrophoretic Mobilities by Means of Capillary Isotachophoresis at a Constant Voltage // Electrophoresis. 1985. N216. P. 2149-2158.

44. Ermakov S. V., Zhukov M. Yu., Righetti P. G. On the solvent motion in electrophoresis systems // Electrophoresis. 1996. Vol.17. P. 1134-1142.

45. Fang N., Ting E., Chen D. D. Y. Determination of shapes and maximums of analyte peaks based on solute mobilities in capillary electrophoresis // Anal. Chem. 2004. Vol.76. №6. P. 1708-1714.

46. Ga В., Kenndler E. System zones in capillary zone electrophoresis // Electrophoresis. 2004. Vol.25. №23-24. P. 3901-3912.

47. Ghosal S. Fluid mechanics of electroosmotic flow and its effect on band broadening in capillary electrophoresis IJ Electrophoresis. 2004. Vol. 25. № 2. P. 214-228.

48. Hecht F., Pironneau O., he Hyaric A., Ohtsuka K. FreeFem++. Version 2.17-1. http: //www. f reef em. org/f f++.

49. Herr A.E., Molho J.I., Drouvalakis K.A., Mikkelsen J.C., Utz P.J., Santiago J. G., Kenny Th. W. On-chip coupling of isoelectric focusing and free solution electrophoresis for multidimensional separations // Anal. Chem. 2003. Vol. 75, P. 1180-1187.

50. Hsu J.-P., Kao C.-Y., Tseng S., Chen C.-J. Electrokinetic Flow through an Elliptical MicroChannel: Effects of Aspect Ratio and Electrical Boundary Conditions // J. Colloid Interface Sci. 2002. 248. P. 176-184.

51. Ни Y., Werner C., Li D. Electrokinetic transport through rough microchannels // Anal. Chem. 2003. Vol. 75. P. 5747-5758.

52. Kilic M.S., Bazant M.Z., Ajdari A. Steric effects in the dynamics of electrolytes at large applied voltages. II. Modified Poisson-Nernst-Planck equations // Physical Review. 2007. E 75, 021503.

53. Kilic M. S., Bazant M. Z. Induced-charge electrophoresis near an insulating wall // arXiv:0712.0453vl cond-mat.mtrl-sci] 4 Dec 2007.

54. Knight J. В., Vishwanath A., Brody J. P., Austin R.H. Hydrodynamic focusing on a silicon chip: mixing nanoliters in microseconds // Phys. Rev. Let. 1998. Vol. 80, P. 3863-3866.

55. Mortensen N.A., Olesen L.H., Belmon L., Bruus H. Electrohydrodynamics of binary electrolytes driven by modulatedsurface potentials // Physical Review E. 2005. 71, 056306.

56. Mosher R. A., Saville D. A., Thorman W. The dynamics of electrophoresis.

57. VCH Publishers, New York, 1992. 236 p.

58. Park S. Y., Russo C.J., Branton D., Stone H.A. Eddies in a bottleneck: An arbitrary Debye length theory for capillary electroosmosis // J. Colloid Interface Sci. 2006. 297. P. 832-839.

59. Patankar N. А., Ни H. H. Numerical Simulation of Electroosmotic Flow // Anal. Chem. 1998. Vol.70. P. 1870-1881.

60. Pennathur S., Santiago J. G. Electrokinetic Transport in Nanochannels. 1. Theory // Anal. Chem. 2005. 77. P. 6772-6781.

61. Rannacher R. On Chorin's projection method for the incompressible Navier-Stokes equations, in 'Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Methods' (R. Rautmann, et al., eds.). Proc. Oberwolfach Conf., August 19-23, 1991. Springer, 1992.

62. Ren L., Escobedo C., Li D. Electroosmotic Flow in a Microcapillary with One Solution Displacing Another Solution // J. Colloid Interface Sci. 2001. 242. P. 264-271.

63. Ren L., Li D. Theoretical Studies of Microfluidic Dispensing Processes // J. Colloid Interface Sci. 2002. 254. P. 384-395.

64. Ren L., Masliyah J., Li D. Experimental and theoretical study of the displacement process between two electrolyte solutions in a microchannel .// J. Colloid Interface Sci. 2003. 257. P. 85-92.

65. Santiago J. G. Electroosmotic flows in micro-channels with finite inertial and pressure forces // Anal. Chem. 2001. Vol.73. P. 2353-2365.

66. Saville D.A. Electrohydrodynamics: the Taylor-Melcher leaky dielectric model // Annu. Rev. Fluid Mech. 1997. 29. P. 27-64.

67. Shen J. On error estimates of some higher order projection and penalty-projection methods for Navier-Stokes equations // Numer. Math., 62:49-73, 1992.

68. Shen J. On error estimates of the projection methods for the Navier-Stokes equations: first-order schemes // SIAM J. Numer. Anal., 29:57-77, 1992.

69. Shen J. Projection schemes for the Navier-Stokes equations // Appl. Math. Let., 5:35-37, 1992.

70. Shirsavar R., Amjadi A., N. Hamedani Radja, Niry M. D., M. Reza Rahimi Tabar, Ejtehadi M. R. A water film motor // arXiv:cond-mat/0605029vl.

71. Sinton D., Ren L., Li D. Visualization and numerical modelling of microfluidic on-chip injection processes //J. Colloid Interface Sci. 2003. 260. P. 431-439.

72. Squires T.M., Quake S.R. Microfluidics: Fluid physics at the nanoliter scale 11 Rev. Mod. Phys. 2005. Vol.77, No. 3. July 2005. P. 977-1026.

73. Stone H. A., Stroock A. D., Ajdari A. Engineering flows in small devices: microfluidics toward a lab-on-a-chip // Annu. Rev. Fluid Mech. 2004. 36. P. 381-411.

74. Storey B.D., Edwards L.R., Kilic M.S., Bazant M.Z. Steric effects on ac electro-osmosis in dilute electrolytes // Physical Review E. 2008. 77,036317.

75. Storey В. D., TilleyB. S., Lin H., Santiago J. G. Electrokinetic instabilities in thin microchannels // Phys. Fluids. 2005. 17, 018103.

76. Tilley B.S., Petropoulos P.G., Papageorgioua D.T. Dynamics and rupture of planar electrified liquid sheets // Phys. Fluids. December 2001. Vol. 13, No 12. P. 3547-3563.

77. Tseluiko D., Blyth M. G., Papageorgiou D. Т., Vanden-BroeckJ.-M. Effect of an electric field on film flow down a corrugated wall at zero Reynolds number // Phys. Fluids. 2008. 20, 042103.

78. Wei H.-H. Shear-modulated electroosmotic flow on a patterned charged surface // J. Colloid Interface Sci. 2005. 284. P. 742-752.

79. Xuan X., Li D. Electroosmotic flow in microchannels with arbitrary geometry and arbitrary distribution of wall charge // J. Colloid Interface Sci. 2005. 289. P. 291-303.

80. Yang R.-J., Fu L.-M., Lin Y.-C. Electroosmotic Flow in Microchannels // J. Colloid Interface Sci. 2001. 239. P. 98-105.

81. Yang J., Kwok D. Y. Effect of liquid slip in electrokinetic parallel-plate micro channel flow // J. Colloid Interface Sci. 2003. 260. P. 225-233.

82. Yao S., Hertzog D.E., Zeng S., Mikkelsen Jr. .J. C., Santiago J. G. Porous glass electroosmotic pumps: design and experiments // J. Colloid Interface Sci. 2003. Vol. 268. P. 143-153.

83. Yao S., Santiago J.G. Porous glass electroosmotic pumps: theory // J. Colloid Interface Sci. 2003. Vol. 268. P. 133-142.

84. Ye Ch., Sinton D., Erickson D., Li D. Electrophoretic motion of a circular cylindrical particle in a circular cylindrical microchannel j I Langmuir. 2002. Vol. 18. P. 9095-9101.

85. Yeoh H. K., Xu Q., Basarana O. A. Equilibrium shapes and stability of a liquid film subjected to a nonuniform electric field // Phys. Fluids. 2007. 19, 114111.

86. Zaltzman В., Rubinstein I. Electro-osmotic slip and electroconvective instability // J. Fluid Mech. 2007. Vol.579. P. 173-226.

87. Zhukov M. Yu., Ermakov S. V., Majorova O. A. Computer simulation of transient states in capillary zone electrophoresis and isotachophoresis // Electrophoresis. 1992. № 13. P. 838-848.

88. Zhukov M. Yu., Ermakov S. V., Righetti P. G. Modelling of transport processes in the presence of substance- locking effects // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1999. Vol.59, №2. P. 743-776.

89. Zhang Y., Gu X.-J., Barber R. W., Emerson D. R. An analysis of induced pressure fields in electroosmotic flows through microchannels // J. Colloid Interface Sci. 2004. 275. P. 670-678.

90. Жуков М.Ю., Ширяева E.B. Численное моделирование движения жидких контуров в конвективном течении // Деп. ВИНИТИ 24.04.2000, № 1166-В00. 41 с.

91. Ширяева Е. В. Численное исследование вращательно-несимметрич-ных структур в плоской кольцевой области. VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь. 23-29 августа 2001. Аннотации докладов. Екатеринбург: УРО РАН, 2001. С. 611.

92. Shiryaeva E. V., Zhukov M. Yu. Numerical Modelling of the Fluid Contour Evolution in the Convective Flow. Hull: HIMSA, University of Hull. Preprint No. 4, 8 Dec. 2001. 30 p.

93. Жуков М. Ю., Петровская Н. В., Ширяева Е. В. Компьютерный эксперимент по свободной конвекции в сильно вязкой, слабо теплопроводной жидкости. Часть 1 // Деп. в ВИНИТИ 11.03.2004, № 422-В2004. 54 с.

94. Жуков М. Ю., Ширяева Е. В. Использование пакета конечных элементов FreeFem-H- для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. Ростов н/Д: Изд. ЮФУ, 2008. 256 с.

95. Shiryaeva E.V., Zhukov M.Yu., Vladimirov У. A. Rotating electro-hydrodynamic flow in a suspended liquid film // arXiv:0902.3733vl. 12 p.

96. Shiryaeva E.V., Zhukov M.Yu., Vladimirov V.A. Modeling of zonal electrophoresis in plane channel of complex shape // arXiv:0902.3753vl. 13 p.

97. Жуков M. Ю., Ширяева E. В. Вращательное ЭГД течение в подвешенной жидкой пленке // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2009. № 5. С. 44-47.

98. Владимиров В. А., Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Численное исследование ЭГД течения в пленке // Изв. Вузов. Сев.-Кавк регион. Естественные науки. Спецвыпуск, посвященный 75-летию В. И. Юдовича. 2009. С. 49-53.

99. Ширяева Е. В. Моделирование электромиграции и электроосмоса в плоских микроканалах // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. Спецвыпуск, посвященный 75-летию В. И. Юдовича. 2009. С.227-232.

100. Ширяева Е. В. Электромиграционный перенос примеси в 2D микроканалах // Тезисы докладов XIII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», 12-15 октября 2009. Ростов-на-Дону: изд-во «ЦВВР». 2009. С. 57-58.

101. Ширяева Е. В. Электромиграционный перенос примеси в 2D микроканалах // Труды XIII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», 12-15 октября 2009. Ростов н/Дону: Изд-во ЮФУ, 2009. Т.Н. С. 191-195.

102. Shiryaeva E.V., Zhukov M.Yu., Vladimirov V.A. Theory of rotating electrohydrodynamic flows in a liquid film // Phys. Rev. E. 80, 041603 (2009), 15 p.