автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование капиллярного зонального электрофореза

004618894

На правах рукописи

ЕЛА ЕВА Мария Сергеевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАПИЛЛЯРНОГО ЗОНАЛЬНОГО ЭЛЕКТРОФОРЕЗА

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 3 ЯНБ 2011

Ростов-на-Дону 2010

004618894

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, г. Ростов-на-Дону

Научный руководитель:

Официальныс оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент М.Ю. Жуков

доктор физико-математических наук, профессор А. В. Наседкин

кандидат физико-математических наук, с. н. с. М. В. Павлов

Ведущая организация:

Астраханский государственный университет, г. Астрахань

Защита состоится 10 февраля 2011 г. в 14.20 на заседании диссертационного совета Д212.208.22 при Южном федеральном университете по адресу: 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский 44, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344006, Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан ^ декабря 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.208.22 доктор технических наук

Целых А. Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Метод электрофореза — способ разделения многокомпонентной смеси веществ на отдельные компоненты под действием внешнего электрического поля — имеет важное прикладное значение и, наряду с хроматографией, широко используется в медицине, биологии, химии как для идентификации компонент смеси, так и для выделения из нее необходимых компонент. Важной особенностью этого метода является его применимость для анализа микроконцентраций различных веществ. Электрофорез применяется в космических биотехнологиях с целью получения новых биологических препаратов, используется в аналитических целях, в частности, при расшифровке генетических последовательностей, применяется для решения ряда проблем в космохимии, геохимии, аналитической химии, радиохимии.

В настоящее время известно большое количество методов электрофореза: зональный электрофорез, капиллярный электрофорез, изоэлек-трическое фокусирование, изотахофорез и др. Наиболее популярными и востребованными в последнее время являются методы капиллярного зонального электрофореза в связи с их высокой разрешающей способностью, позволяющей идентифицировать вещества, содержащиеся в смеси, в количествах сотых долей процента. Не последнюю роль играет и тот факт, что процесс, протекающий в капилляре, возможно моделировать при помощи пространственно одномерной модели, а также то, что процессы диффузии при высоких напряженностях электрического поля малы, и основное влияние на искажение профиля концентраций оказывают электромиграционные эффекты, в основном определяемые нелинейной зависимостью электрофоретической подвижности от концентраций.

С математической точки зрения интерес к задаче электрофореза и, в частности, капиллярного зонального электрофореза обусловлен тем, что в случае бездиффузионного приближения математическая модель представляет собой систему квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка, как правило, гиперболического типа. Более того, во-первых, оказалось, что система уравнений принадлежит к классу систем вполне интегрируемых при помощи обобщенного метода годографа — одного из интенсивно развивающихся направлений нелинейной математической физики, а во-вторых, именно системы уравнений электрофореза и хроматографии наиболее отчетливо демонстрируют типичный характер поведения решений уравнений переноса: нелинейные волны, их взаимодействие, возникновение сильных и слабых разрывов, изменение типа уравнений в зависимости от решения.

Все вышесказанное говорит о том, что аналитическое, асимптотическое и численное исследование уравнений переноса вещества электрическим полем в бездиффузионном приближении, в частности, капиллярного электрофореза, и исследование взаимодействий нелинейных волн, является актуальным, и именно этому посвящена данная диссертация.

Цели и задачи исследования. Целью диссертации является построение и аналитическое исследование математической модели капиллярного зонального электрофореза. В работе делается упор на наиболее важные и практически не изученные проблемы, а именно:

1) исследование математической модели капиллярного электрофореза, описывающей процесс разделения смеси электрическим полем в случае зависимости проводимости смеси от концентрации компонент;

2) детальное описание процесса разделения двухкомпонентной смеси и решение задач о взаимодействиях разрывов — ударных волн (сильный разрыв) и фронтов волн разрежения (слабый разрыв);

3) решение задачи о переносе вещества электрическим полем в бездиффузионном приближении в случае, когда уравнения имеют гиперболический тип, и в случае смены типа уравнений на эллиптический;

4) численный анализ методом конечных разностей и методом конечных элементов поведения решений квазилинейных уравнений с начальными данными, близкими к кусочно-постоянным.

Научная новизна. Рассматриваемая в диссертации задача впервые решена аналитически для случаев взаимодействий: ударная волна — ударная волна, ударная волна — фронт волны разрежения, и численно для взаимодействия фронт волны разрежения — фронт волны разрежения. Обобщенный метод годографа впервые использован для решения системы квазилинейных уравнений эллиптического типа.

Методы исследования. Для построения аналитических решений уравнений переноса вещества электрическим полем в бездиффузионном приближении использовалась теория квазилинейных гиперболических уравнений и обобщенный метод годографа. Для численных расчетов использован метод конечных элементов и конечно-разностные методы.

Научная достоверность. Научная достоверность результатов работы подтверждается 1) корректностью математической постановки задачи; 2) совпадением полученных аналитических результатов с известными численными расчетами и экспериментами; 3) сравнением результатов вычислительных экспериментов с точными решениями.

Научная и практическая значимость. Полученные результаты являются частью общей математической теории разделения многокомпонентных смесей электрическим полем. Результаты о взаимодействии

волн являются общими и могут быть использованы для решения аналогичных задач. Практическая значимость работы заключается в развитии аппарата описания и прогнозирования процессов разделения многокомпонентных смесей. Результаты работы могут быть использованы для разработки методик экспериментов и их интерпретации.

Представленные в диссертации исследования поддерживались грантами: РФФИ 07-01-00389, 2007-2009 гг. («Нелинейные волны п электрофорез»), 07-01-92-213-НЦНИЛ, 2007-2009 гг. («Математическое моделирование и исследование динамики жидкости со сложными физико-химическими свойствами при электромагнитных и вибрационных воздействиях»), грантами АВДП «Развитие научного потенциала высшей школы» 2.1.1/6095 и 2.1.1/554, 2009-2010 гг., грантом Федерального аген-ства по науке и инновациям (гос. контракт 02.740.11.5189), 2009-2010 гг.

Апробация. Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики ЮФУ, кафедры математического моделирования ЮФУ, докладывались на следующих конференциях, школах:

— Х1-Х1У Международные конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2007-2010 гг.)

— XIII Всероссийская конференция-школа «Современные проблемы математического моделирования» (п. Абрау-Дюрсо, 2009 г.)

— Первая международная конференция «Процессы самоорганизации в высыхающих каплях многокомпонентных жидкостей: эксперименты, теория, приложения» (Астрахань, 2010 г.)

Публикации. По результатам диссертации автором опубликовано 10 работ, из них 2 работы [1, 2] в изданиях, входящих в перечень ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, утвержденный ВАК.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем диссертации — 161 страница, включая иллюстрации, таблицы, список литературы из 148 наименований и приложение объемом 3 страницы.

Содержание работы

Во введении дан краткий обзор работ по теме диссертации и обзор современного состояния проблемы, изложена структура и основные результаты диссертации.

В первой главе построен основной объект исследования — математическая модель зонального электрофореза. В § 1 модель конструируется на основе общих уравнений массопереноса веществ электрическим полем в химически активной среде. Сделано предположение, позволяющее существенно упростить общие уравнения — многокомпонентная смесь состоит из двух групп веществ, буферной смеси и веществ, подлежащих фракционированию. Кроме того, считается, что концентрации разделяемых веществ ак малы по сравнению с постоянными концентрациями веществ буферной смеси, но концентрации ак влияют на проводимость ст всей смеси в целом. Упрощенная модель зонального электрофореза, в безразмерных переменных, имеет вид

~ + = гк = -£%Чак + ъек{Ф)акЕ, к = 1,..., п, (1)

п

3 = аЕ, сПу у = 0, сг/сто = 1 + ^ акак.

к=1

Здесь ак, гк — молярная концентрация и плотность молярного потока; Е — напряженность внешнего электрического поля; ек(-ф) — молярный заряд компоненты при заданной кислотности смеси гр] ] — плотность электрического тока; е — характерный коэффициент диффузии; — подвижность компоненты в электрическом поле; а — проводимость смеси; а к — коэффициент влияния концентрации ак на проводимость смеси.

На основе модели (1) в § 2 построена модель капиллярного зонального электрофореза — пространственно одномерная модель при постоянной плотности электрического тока которая считается достаточно большой, что дает возможность пренебречь эффектами диффузии и рассматривать бездиффузионную модель (е = 0). Окончательно, задача о фракционировании смесн представляет собой систему квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка, дополненную условиями Рэнкина-Гюгонио на разрывах, условиями устойчивости Лакса (для волн индекса тп) и начальными условиями (к = 1,..., п)

дщ д (цкик\ „А , Го, х$(хъх2)

+ 5 = |?г' и*и=Н хе{хиъУ (2)

х>Ы =

Здесь ик = акак — «эффективные» концентрации (могут быть как положительными, так и отрицательными, но 1 +в > 0), цк — электрофорети-ческие подвижности, I) = ¿х(Ь)/(И — скорость движения линии разрыва

ЦкЩ. 1 + 8

^т ^ -Ол

(3)

х = х{Ь), [/] = /+-/", где /+ = /(^(0+0, ¿), Г = /(^-О.О, Ал-(и) -собственные числа матрицы А\(и) = + где <9,- = д/ди^,

и\ — заданные на интервале (£1,22) концентрации компонент.

Для уравнении (2) в § 2 найдены инварианты Римана Щ = Лк(и), позволяющие записать (2) в виде

+ А*(Я)^ = 0, = & = 1,-.-,п. (4)

х ¿=1 Связь ик = ик{В) дается соотношениями

П п /71 М \ —1

= П • (5)

Для определения обратной зависимости Л/. = Як {и) следует найти корни характеристического полинома Ь{В)

п п п

= П (Цк-Я). (6)

к=1 ¿=1 А.-1.М;

При помощи (5), (6) задача (2), (3) полностью переформулируется для инвариантов Римана. В § 3 для концентраций и инвариантов Римана дана постановка задачи Коши с кусочно-постоянными начальными данными, имеющими разрывы в различных пространственных точках.

Система (2) при щ ^ 0 имеет гиперболический тип. Однако, концентрации ик могут быть как положительными, так и отрицательными, что может повлечь изменение типа квазилинейных уравнений (2). В § 3 показано, что, в частности, для двухкомпонентной смеси при «2) >0, 1 + в > 0, где Г(щ,и2) = (цг + + ЩЦ2 + ЩЦ1)2 ~ 4(1 + ¿О/^г, тип системы — гиперболический, а в области Р(и1,щ) < 0 тип системы — эллиптический (собственные значения А к комплексные).

Во второй главе для двухкомпонентной смеси (п = 2) сформулирована (в § 4) и аналитическими методами решена (в §§ 5-8) задача Коши (2), (3) — задача Римана о распаде разрывов. При распаде разрывов возникают нелинейные волны — ударные волны (сильные разрывы) и волны разрежения (слабые разрывы на фронтах волн). При движении нелинейных волн, рождающихся в различных пространственных точках, происходят их взаимодействия — разрывы решений догоняют друг друга. Оказалось, что в зависимости от того, в каком квадранте на (г^,^-плоскости находятся значения начальных данных (м®,и!>), возможны различные типы взаимодействия разрывов, которые подробно исследованы в §§ 5-8.

Наиболее типичными являются следующие взаимодействия: ударной волны с фронтом волны разрежения ^ 0, ^ 0, § 5 и г^ < 0, и" ^ О, § 6), ударной волны с ударной волной (А ^ 0, ^ 0> Р(А>А) > О, § 7), фронтов двух различных волн разрежения (А ^ 0, и\ < 0, § 8).

Результаты решения задач о взаимодействии разрывов представлены на рис. 1. На (х, ¿)-плоскости изображены области (2-зоны), которые соответствуют различным решениям задачи (пример «состава» зон для рис. 1а дан в табл.1).

щ 2* Ъ2 ж4 Ъъ х8

щ 0 А 0 п щи)г2(р 1-№) 0 0 Д2-Й1 я, 0

иг 0 А 0 0 2-щ) Г2 1*1-Щ щ 0 0

Таблица 1. Концентрации в 2-зонах для случая ^ 0, и® ^ 0.

Ограничимся подробным описанием случая и\ ^ 0, и® ^ 0, § 5 (см. рис. 1а). Границам зон, возникающих в момент распада разрыва Ь = +0, соответствуют волны индекса к, либо ударные волны х = либо левый х = или правый х = фронт волны разреже-

ния. В результате взаимодействий разрывов при £ = Т, -+- 0 изменяются границы и составы й-зон. В момент Ь = Т\ происходит взаимодействие ударной волны х = с фронтом х = х^) волны разрежения. В результате взаимодействия образуется нецентрированная волна разрежения ^8-зона) с границей х = х(Ь) — слабым разрывом инварианта

и границей х = — слабым разрывом для Я1, но сильным для Й2-

Типичная схема решения задачи о взаимодействии разрывов заключается в следующем. Решение исходной задачи в момент взаимодействия (например, при Ь = Т\) рассматривается как начальные данные

М=Г1 = , (7)

и строится решение задачи о распаде начального разрыва. Такой начальный разрыв, как правило, не является кусочно-постоянным (обобщенная задача Римана) и стандартный способ построения решения отсутствует.

Для указанного случая (7) развит метод построения решения и показано, что при £ = Т\ + 0 распад разрыва происходит по схеме

гь х< х{Ь) д1|<=г1+о=<{ х{Ь)<х < 0(4), Д2|^г1+о=

Щ{г), 6>(£) < а;

/л2, Х< х{Ь)

х(ь)<х < в {г), г2, 0(£)< х

где Дх — нецентрироваиная волна разрежения, определяемая неявно

Х-Х2 = — я]{х, г) \ll2t + [г2 - (12} ■ №№ I {(12 ~ ДЦЖ,^)2 )

0)

В формулах (7)-(9) Гь гг — инварианты Римана в начальный момент времени при х 6 (ж^хг); — (/АМггЛ'г)1^2 — центрированная волна разрежения, г = {х—х^/Ь] величины ж(£), 9{Ь) задаются соотношениями

Дальнейшие взаимодействия, показанные на рис. 1а, достаточно просты. Укажем лишь, что х = /?(<) является сильным разрывом инварианта Дх, х = — слабый разрыв инварианта Лг, х = х2в{{), х = — сильные разрывы инварианта

Показано, что случай ^ 0, ^ рассмотренный в § 6 и проиллюстрированный рис. 1Ь, отличается от случая и® > 0, и® ^ 0 лишь формальной заменой индексов 1 о 2.

Наиболее сложным является взаимодействие фронтов двух различных волн разрежения (двух слабых разрывов), происходящее в точке х = Х\ в момент I = Тх (см. рисЛё). В этом случае начальные данные в момент взаимодействия оказываются заданными на характеристиках

х = ff(t) и x = <p(t), и аналитическими методами в § 8 удается показать сглаженность разрыва одного из инвариантов и разработать рекуррентный способ решения задачи в области Zs-зоны. Окончательное исследование такого типа взаимодействия проведено в § 14 численно.

Решение задач о взаимодействиях разрывов проводилось на основе уравнений (4) для инвариантов Римана. Для системы уравнений (п > 2), за исключением патологических случаев взаимодействия трех разрывов, это означает, что в окрестности точек взаимодействий распады произвольных разрывов будут протекать по той же схеме, что и для случая п = 2 — можно рассматривать (4) для Rk, Rj, при Rj = const, j ф i, к.

Третья глава посвящена применению обобщенного метода годографа к решению задачи с монотонными гладкими начальными данными близкими к кусочно-постоянным. В § 9 приведены сведения о методе, а в § 10.1 поставлена задача о «распаде» сглаженного разрыва — аналог задачи Римана. В §§ 10.2, 10.3 построено аналитическое решение задачи

OR dR

-Щ- + RiRiRi-g^- = о, Ri\t=0 = Ui{x), г = 1,2, (i ->• nmt), (Ю) где 7Zi(x), П2{х) — гладкие функции, определяемые корнями уравнения

(1 + 80П(х))112 - (гйЩх) + + ц2))П + = 0, (11) s0 = ii? + «2> г0 = и\ц2 + и2ци П(х) = (l + th/?x)/2.

Здесь Н(х) — аналог функции Хевисайда с параметром сглаживания /?.

Фактически, задача (2) заменена задачей, в которой разрывные начальные данные сглажены бесконечно дифференцируемой монотонной функцией: Uk(x, 0) -4- 0 при х -оо, щ(х, 0) ->■ и°к при х -> +оо.

Обобщенный метод годографа позволяет представить решение задачи (10), (11) в виде нелинейной системы алгебраических уравнений

x-\it = \~, Xi = RiR\R2, Я(ДьД2) = А(Д^~д|Д2), (12)

A(R) = " Г° {H{R) InH(R) + (1 - ВД) ln(l - n(R))} .

■ФМ1М2

В § 10.4 построена асимптотика решения (12) при х ±оо, а в § 10.5 дано сравнение аналитического решения из § 7 для и® ^ 0, и2 ^ 0 с решением (12). На рис. 2 приведены результаты расчетов, демонстрирующие хорошее соответствие решений задачи (2), (3) (сплошные линии) с решением (12) (пунктирные линии); символами «s», «г» на рисунке обозначены ударные волны и волны разрежения, а стрелками указано направление движения профилей функций Rk(x,t), Uk(x,t).

14.8 14.4

' ' = и 1>2 ----0,02

0.015

г 0.01

0,005 0

-------- »1

О

1 1.5 2 2.5 3 35

0.00 0.04 0.02

- о

.г »1

- о

'2 -0.2 "1

-0.0(35 — -

-0.4 -0.0045 5 -

V -0.GG.55

-0.0 -ПШЛ''

3.8 4 4.2 4.4 4 6 4 К 5 ..г

( = 12-

= 0.002,

Рис. 2. Поведение сглаженных разрывов и и,(х,€) при = 0.0037, ¿2 :

= 1, /,2 = 15, к° = -0.6633, = 0.0204, х! = 1, аг2 = 4, Щ = 10.

В § 11 обобщенный метод годографа впервые использован для исследования поведения решения при смене типа уравнений (2) (или (4), или (10)) с гиперболического на эллиптический. Значения величин (и?, и") = ((^1 — {цг - выбраны таким образом, что

начальные данные (и^х, 0), «2(ж, 0)) при х < хо = — 1п 3/(2/5) лежат в области гиперболичности, а при х > хо — в области эллиптичности. При этом в формулах (12) ¿о = (¿¿2 — Ц1)2/{Ц1№), го = 0В § 11.2 предложена замена Я^г = с(х, ^ \/в{х,Ь), позволяющая отслеживать тип уравнений (10): 9 > 0 соответствует гиперболическому типу и вещественным Л);, в < 0 — эллиптическому типу и комплексно сопряженным инвариантам Соотношения (12) преобразуются к виду

Нс + 2с Не = —-х = (с^ - в)2Нв, Н = Мс - ^в) ^ ^

Уравнение 0(Ф(£),£) = 0 определяет границу х — Ф(£) смены типа уравнений (10). В § 11.3 показано, что х — Ф^) и с = с(Ф(£),£) неявно определяются выражениями: £ = ¿(с) = Л"(с)/2 + сЛ'"(с)/6, х = х(с) = с4Л'"(с)/6. Рис. 3, 4 демонстрируют результаты численного исследования (§ 11.4) поведения границ и функций Кк{х, £).

_£№£(), 0

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 »

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 / 0

Рис. 3. Поведение с(Фк(Ь),г) и для = 1, ц2 = 3, |/3| = 10.

Рис. 4. Поведение Rk{x,t) для = 1, = 3, \ß\ = 10.

В § 11.5 реализован эффективный способ решения уравнений (13) при х = const или t = const. Например, дифференцирование по t выражений (13) при х = const приводит к задаче Коши

аис+а12в' = 0, a2ic' + й22@' = —2, c|t=0 = с(х, 0), d\t=Q = в(х,0),

аи = (с2 - в)а22 - 2са12, а12 = (с2 - в)Нвв - 2Н„, (14) a2i = Нсс + 2сНвс + 2Нв, а22 = Нвс + 2сНвв, ( )' = d/dt.

На рис. 5 (слева) приведены результаты интегрирования задачи (14) для х = Х\ = 0.024 и для х = X2 = 0.025. Начиная с момента t « 0.0161, поведение функций c(xi,t), 6(xi,t) и c(x2,t), 9(x2,t), существенно отличается друг от друга — в точке х « 0.024595 в момент t ~ 0.0161 происходит «опрокидывание» профиля движущейся волны и ветви функций c(x,t), 6{x,t) при t < 0.0161 и t > 0.0161 соответствуют различным решениям. На рис. 5 (справа) показано движение волн при t = 0, 0.008, 0.016, то есть до момента опрокидывания, которое происходит в области эллиптичности уравнений (при в < 0).

Рис. 5. с(х, Ь) и в(х, ¿), 0 Для /¿1 = 1, = 3, /3 = 10.

В четвертой главе задача (1) для пространственно одномерного случая решается численно методом конечных разностей и (для контроля вычислений) методом конечных элементов. При расчетах использована модель, учитывающая диффузионные эффекты (е ф 0).

В § 12 реализована конечно-разностная схема для (1) и указаны условия аппроксимации и устойчивости. В § 13 описана временная аппроксимация метода конечных элементов, используемого для контроля вычислении. Результаты расчетов и их анализ приведены в § 14.

На рис. 6 представлены результаты вычислительного эксперимента, когда в качестве начальных данных выбиралось распределение концентраций в момент взаимодействия фронтов двух различных волн разрежения £ = Т\, полученное аналитическими методами в § 7.

4 8 12 16 (о = Г, = 0.301 <1 = 71+0.1 «2 = Ti + 0.5 t3=T,+ 1.0

Рис. 6. Поведение концентраций щ (слева) и инвариантов Римана Я; (справа) при ¡it = 6.0, (i2 = 8.5, и? = 0.5, иа2 = -0.5, xi = 1, х2 = 3.

Показано, что непосредственно после взаимодействия происходит образование границ х = <p(t), х = 9(t) (характеристик) (ср. с рис. Id). В момент t = Хз < Тг граница х = 9(t) исчезает, и затем в момент t = Т2 исчезает граница х = ip(t), взаимодействуя с границей х — xf(t) при t = ¿2 ~ Ti- Полученные численные результаты полностью завершают исследование всех типов взаимодействий волн для задачи капиллярного зонального электрофореза.

В приложении дано краткое описание комплекса программ (см. вид страниц одного из модулей на рис. 7) для компьютерного моделирования

Рис. 7. Страницы модуля «Решение системы при смене типа уравнений».

процесса разделения смеси. Комплекс реализует возможности, указанные в п.6. (Основные результаты), имеет несколько модулей и выполнен в виде веб-приложения, что позволяет работать с ним удаленно через стандартный веб-браузер.

Основные результаты

При решении поставленных в диссертационной работе задач получены следующие новые теоретические и прикладные результаты.

1. Построена и исследована математическая модель капиллярного зонального электрофореза — транспорта вещества электрическим полем. Модель учитывает влияние концентраций компонент разделяемой смеси на проводимость среды. В бездиффузионном приближении для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка получены инварианты Римана. Найдены условия изменения типа уравнений с гиперболического на эллиптический.

2. Для пространственно одномерной системы двух квазилинейных уравнений гиперболического типа детально описаны все взаимодействия сильных и слабых разрывов решений. Показано, что такие же взаимодействия разрывов происходят и для систем с произвольным числом переменных. Разработан метод построения нецентрированных волн разрежения, возникающих в случае взаимодействия сильного и слабого разрывов решения.

3. Для задачи о фракционировании двухкомпонентной смеси электрическим полем в широком интервале параметров исследован процесс разделения смеси на отдельные компоненты.

4. При помощи обощенного метода годографа для системы двух квазилинейных уравнений решена задача Коши со сглаженными начальными данными — приведены неявные алгебраические соотношения и разработаны методы их исследования.

5. Впервые обобщенный метод годографа использован для решения эллиптических квазилинейных уравнений. Решена задача с начальными данными, которые частично соответствуют гиперболичности системы, а частично — эллиптичности.

6. Разработан комплекс программ, позволяющий строить решение задачи о распаде начального разрыва; исследовать поведение границы смены типа уравнений с эллиптического на гиперболический; проводить расчеты процесса взаимодействия разрывов.

Список публикаций автора по теме диссертации

I. Издания, рекомендованные ВАК РФ для публикации материалов кандида гадах диссертаций:

1. Елаева М. С. Взаимодействие сильных и слабых разрывов в задаче Римана для гиперболических уравнений. // Известия Высших учебных заведений. Северо-кавказский регион. Естественные науки. 2010. №6. С. 14-19.

2. Елаева М. С. Исследование зонального электрофореза двухкомпо-нентной смеси веществ. // Математическое моделирование. 2010. Т. 22, №9. С. 146 160.

II. Остальные публикации:

3. Дрыжакои В. Е., Елаева М. С. О применении метода коиечных-разпостей в математических моделях русловых потоков. // Труды XI Всерос. школы-семпиара «Современные проблемы матем. моделирования». '2005. С. 32-35.

4. Елаева М.С., Надшит К. А. Численное исследование модели стационарного ламинарного течения в мелком протяженном русловом потоке. // Тезисы докладов XVI Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам». Дюрсо. 2006.

5. Елаева М. С. Разделение двухкомпонентпой смеси при помощи электрического поля. //' Труды XI Межд. коиф. «Современные проблемы МСС». Ростов и /Долу: Изд. ООО «ЦВВР», 2007. Т.П. С. 07-71.

6. Елаева М. С. Эволюция компонент смеси под действием электрического ноля. // Труды XII Межд. коиф. «Современные проблемы МСС». Ростов н/Допу: Изд-во ООО «ЦВВР*, 2008. T.I. С. 61-65.

7. Елаева, М. С. Применение обобщенного метода годографа к решению задачи о разделении двухкомпонептной смеси. // Труды XIII Межд. конф. «Современные проблемы МСС». Ростов и/Дону: Изд-во ЮФУ, 2009. T.I. С. 76-80.

8. Елаева М. С. Использование обобщенного метода годографа в исследовании математической модели электрофореза. // Труды XIV Межд. коиф. «Современные проблемы МСС». Ростов н/Дону: Изд-во ЮФУ, 2010. Т.Н. С.83-87.

9. Елаева М. С. Фракционирование двухкомпонептной смеси под воздействием электрического ноля. // Труды XIII Всероссийской молодежной конференции-школы «Современные проблемы матем. моделирования». Ростов п/Дону: Изд-во ЮФУ, 2009. С!. 233-239.

10. Elaeva М. S. Using the generalized hodograph method for investigating the mathemat ical model of zone electrophoresis. // Материалы I Межд. конф. «Процессы самоорганизации в высыхающих каплях многокомпонентных жидкостей: эксперименты, теория, приложения». Астрахань: Изд. дом «Астраханский университет», 2010. С. 11G-121.

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве: [3] — проведение вычислительного эксперимента, сравнение различных алгоритмов решения задачи; [4| — разработка численного алгоритма решения задачи.

Подписано в печать 06.12.2010 г. Формат 60x84 'Лб. Усл. печ. л. 1,00. Уч. -гад. л. 1,0. Тираж 120 экз. Заказ № 1424.

Типография Южного федерального университета 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, тел (863) 247-80-51.

Введение

1 Математическая модель зонального электрофореза

§ 1 Уравнения для описания процессов переноса под действием электрического поля.

§1.1 Модель: буферная смесь — разделяемые вещества

§1.2 Базовая модель для описания зонального электрофореза

§1.3 Оценка коэффициентов дек

§1.4 Упрощенная модель зонального электрофореза

§ 2 Модель капиллярного зонального электрофореза.

§2.1 Математическая модель.

§ 2.2 Бездиффузионное приближение

§2.3 Эффективные концентрации.

§ 2.4 Условия устойчивости сильных разрывов.

§2.5 Инварианты Римана.

§ 2.6 Соотношения на разрыве для инвариантов Римана

§ 3 Постановка задачи о разделении смеси

§3.1 Задача Коши для бездиффузионной модели

§3.2 Области гиперболичности и эллиптичности при п =

2 Взаимодействия сильных и слабых разрывов

§ 4 Разделение двухкомпонентной смеси веществ.

§4.1 Задача Римана о распаде начального разрыва

§4.2 Задача о распаде разрыва для инвариантов Римана

§ 5 Поведение разрывов в случае и\ ^ 0, и^ ^

§ 5.1 Распад разрывов в момент £ = +0.

§5.2 Взаимодействие сильного х = х^Ь) и слабого х = х}(Ь) разрывов — ударной волны с фронтом волны разрежения.

§ 5.3 Нецентрированная волна разрежения.

§5.4 Взаимодействие разрыва х — х(£) с разрывом х = ударной волны с фронтом волны разрежения

§ 5.5 Взаимодействие сильного разрыва х — 6{Ь) инварианта Д2 со слабым разрывом х = х} (£) инварианта — ударной волны с фронтом волны разрежения.

§5.6 Взаимодействие сильного разрыва х — х23(Ь) инварианта В,2 со слабым разрывом х = инварианта ударной волны с фронтом волны разрежения

§ 6 Поведение разрывов в случае и\ < 0, ^

§ 7 Поведение разрывов в случае и® ^ 0, и^ ^

§ 7.1 Распад начального разрыва в момент £ = +0.

§7.2 Взаимодействие сильных разрывов х = и х = х2в(Ь) — двух ударных волн.

§7.3 Взаимодействие слабого разрыва х = инварианта с сильным разрывом х — х\ (£) инварианта — правого фронта волны разрежения с ударной волной

§7.4 Взаимодействие сильного разрыва х = х23[£) инварианта #2 со слабым разрывом х = ж/2(£) инварианта ^ ударной волны с левым фронтом волны разрежения

§8 Поведение разрывов в случае и\ ^ 0, и® <

§8.1 Распад начального разрыва в момент £ = 4-0.

§8.2 Взаимодействие фронтов волн разрежения.

3 Обобщенный метод годографа для решения аналога задачи Римана

§ 9 Обобщенный метод годографа для систем гидродинамического типа.

§ 10 Метод годографа для задачи Коши с начальными данными, близкими к кусочно-постоянным.

§10.1 Постановка задачи Коши.

§10.2 Построение решения задачи Коши (10.4)-(10.5)

§ 10.3 Решение задачи Коши (10.4)-(10.6).

§10.4 Построение асимптотик.

§ 10.5 Численное исследование поведения решения задачи о распаде сглаженного разрыва для и® ^ 0, и^ >

§11 Метод годографа при изменении типа уравнений с гиперболического на эллиптический

§11.1 Постановка задачи.

§ 11.2 Решение задачи обобщенным методом годографа

§ 11.3 Поведение линии, на которой изменяется тип уравнений

§ 11.4 Численный анализ решения.

§ 11.5 Поведение решения при х = const или I = const

4 Численный анализ взаимодействия слабых разрывов

§ 12 Конечно-разностная схема.

§ 13 Метод конечных элементов.

§ 14 Вычислительный эксперимент

§ 14.1 Распад разрыва при и^ ^ 0, ^ 0.

§ 14.2 Взаимодействие фронтов волн разрежения.

Актуальность темы. Метод электрофореза — способ разделения многокомпонентной смеси веществ на отдельные компоненты под действием внешнего электрического поля — имеет важное прикладное значение и наряду с хроматографией широко используется в медицине, биологии, химии, как для идентификации компонент смеси, так и для выделения из нее необходимых компонент. Электрофорез применяется в космических биотехнологиях с целью получения новых биологических препаратов. Его активно используют в аналитических целях, в частности, при расшифровке генетических последовательностей животных п человека

Важной особенностью этого метода является его применимость для анализа малых образцов и определения микроконцентраций различных элементов. Электрофорез применяют для решения ряда проблем в космохи-мии, геохимии, аналитической химии, радиохимии. При этом достаточно часто в лабораториях электрофорез используется в сочетании с методами спектрофотометрии, полярографии, хроматографии и др.

В настоящее время известно большое количество методов электрофореза: зональный электрофорез, капиллярный электрофорез, фронтальный электрофорез, изоэлектрическое фокусирование, изотахофорез, пульс-форез, электрофорез в микроканалах и др. Основные математические модели различных методов электрофореза построены в [1, 2, 10, 47, 103, 104]. В частности, в [2, 47] указывается, что классификация электрофореза на типы во многом условна, и почти все типы электрофореза можно описывать одними и теми же уравнениями. Естественно, при моделировании элек-трофоретических процессов приходится учитывать большое количество физико-химических эффектов, таких как электроосмос, диффузия, джоу-лево тепловыделение и т. д. Модели, полученные с учетом таких эффектов, достаточно сложны для исследования, и поэтому приходится делать различные упрощающие предположения, например, о скорости химических реакций, об условиях электронейтральности и пр.

Наиболее популярными и востребованными в последнее время являются методы капиллярного зонального электрофореза [48, 56, 58, 62, 69, 71, 73, 76, 77, 84, 91] и электрофореза в микроканалах [53, 63, 64, 82, 83, 88, 97, 107, 111, 112, 130, 133, 134]. Одной из причиной этого является высокая разрешающая способность указанных методов, позволяющая идентифицировать вещества, которые содержатся в смеси, в количествах порядка сотых и тысячных долен процента. Не последнюю роль играет и тот факт, что процесс, протекающий в капилляре, зачастую, достаточно моделировать при помощи пространственно одномерной модели, а также то, что процессы диффузии при высоких напряженностях электрического поля пренебрежимо малы и основное влияние на искажение профиля концентраций оказывают электромиграционные эффекты, в основном определяемые нелинейной зависимостью электрофоретической подвижности от концентраций.

Отметим, что такой подход — использование одномерных без диффузионных моделей — полностью оправдал себя при моделировании изота-хофореза, для которого возможность использования бездиффузионного приближения обоснована в [2, 10, 103, 104] и хорошо подтверждена экспериментами [10, 22]. В случае зонального электрофореза также возможно использовать бездиффузионную модель, по крайней мере, на интервалах времени много меньших, чем характерное время диффузии [10, 51, 137]. Именно на этих интервалах и происходит наиболее существенная эволюция компонент смеси, в частности, ее фракционирование.

С математической точки зрения интерес к задаче электрофореза и, в частности, капиллярного зонального электрофореза обусловлен тем, что в случае бездиффузионного приближения математическая модель представляет собой систему квазилинейных уравнений, как правило, гиперболического типа. Более того, во-первых, оказалось, что система уравнений принадлежит к классу систем вполне интегрируемых при помощи обобщенного метода годографа — одного из интенсивно развивающихся направлений нелинейной математической физики [41, 43], а во-вторых, именно системы уравнений электрофореза и хроматографии наиболее отчетливо демонстриругот типичный характер поведения решений уравнений переноса: нелинейные волны, их взаимодействие, возникновение сильных и слабых разрывов, смена типа уравнений в зависимости от решения.

Все вышесказанное говорит о том, что аналитическое, асимптотическое и численное исследование уравнений переноса вещества электрическим полем в бездиффузионном приближении является актуальным, и именно этому посвящена данная диссертация.

Цели и задачи исследования. Целью диссертации является построение и аналитическое исследование математической модели капиллярного зонального электрофореза. В работе делается упор на наиболее важные и практически не изученные проблемы, а именно

1. Исследование математической модели капиллярного зонального электрофореза, описывающей процесс разделения смеси электрическим полем в случае, когда проводимость смеси зависит от концентрации компонент. 2 Детальное описание всех этапов процесса разделения двухкомпонент-ной смеси веществ и взаимодействия границ зон — ударных волн (сильных разрывов) и фронтов волн разрежения (слабых разрывов)

3. Аналитическое решение уравнений переноса вещества электрическим полем в бездиффузионном приближении в случае, когда уравнения имеют гиперболический тип, и в случае смены типа уравнений на эллиптический.

4. Численный анализ методом конечных разностей и методом конечных элементов поведения решений квазилинейных уравнений с начальными данными, близкими к кусочно-постоянным.

Научная новизна. Рассматриваемая в диссертации задача впервые решена аналитически для случаев взаимодействий- ударная волна — ударная волна, ударная волна — фронт волны разрежения, и численно для взаимодействия фронт волны разрежения — фронт волны разрежения. Обобщенный метод годографа впервые использован для решения системы квазилинейных уравнений эллиптического типа.

Используемый математический аппарат. Для построения аналитических решений системы уравнений переноса вещества электрическим полем в бездиффузионном приближении использовалась теория квазилинейных гиперболических уравнений и обобщенный метод годографа Царева. Для численных расчетов использован метод конечных элементов и конечно-разностные методы.

Научная достоверность. Научная достоверность результатов работы подтверждается

1) корректностью математической постановки задачи;

2) совпадением полученных аналитических результатов с численными расчетами других авторов и экспериментами;

3) сравнением результатов численных исследований с точными решениями для модельных задач.

Научная и практическая значимость. Полученные результаты являются частью общей математической теории разделения многокомпонентных смесей веществ электрическим полем. Результагы о взаимодействии волн являются общими и могут быть использованы для решения аналогичных задач. Практическая значимость работы заключается в развитии аппарата описания и прогнозирования процессов разделения многокомпонентных смесей электрическим полем. Результаты работы могут быть использованы для разработки методик экспериментов и их интерпретации.

Представленные в диссертации исследования поддерживались грантами: РФФИ 07-01-00389 в 2007-2009 гг. (тема «Нелинейные волны и электрофорез»), 07-01-92-213-НЦНИЛ в 2007-2009 гг. (тема «Математическое моделирование и исследование динамики жидкости со сложными физико-химическими свойствами при электромагнитных и вибрационных воздействиях»), грантами АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» 2.1.1/6095 и 2.1.1/554, 2009-2010, грантом Федерального агенства по науке и инновациям (гос. контракт 02.740.11.5189), 2009-2010 гг.

Апробация. Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики ЮФУ, кафедры математического моделирования ЮФУ, докладывались на следующих конференциях, школах:

XI-XIV Международные конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2007-2010).

XIII Всероссийская конференция-школа «Современные проблемы математического моделирования» (п. Абрау-Дюрсо, 2009).

Первая международная конференция «Процессы самоорганизации в высыхающих каплях многокомпонентных жидкостей, эксперименты, теория, приложения» (Астрахань, 2010).

Публикации и личный вклад автора. По результатам диссертации автором опубликовано 10 работ [141-148], из них 2 работы [147, 148] в изданиях, входящих в перечень ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, утвержденный ВАК.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем диссертации — 161 страница, включая иллюстрации, таблицы, список литературы из 148 наименований и приложение объемом 3 страницы.

Заключение

Подробные заключения к каждой главе приведены на стр. 38, 98, 132, 144. Наиболее важными результатами являются следующие:

1. Построена и исследована математическая модель капиллярного зонального электрофореза — транспорта вещества электрическим полем. Модель учитывает влияние концентраций компонент разделяемой смеси на проводимость среды. В бездиффузионном приближении для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка получены инварианты Римана. Найдены условия изменения типа уравнений с гиперболического на эллиптический.

2. Для пространственно одномерной системы двух квазилинейных уравнений гиперболического типа детально описаны все взаимодействия сильных и слабых разрывов решений. Показано, что такие же взаимодействия разрывов происходят и для систем с произвольным числом переменных. Разработан метод построения нецентрированных волн разрежения, возникающих в случае взаимодействия сильного и слабого разрывов решения.

3. Для задачи о фракционировании двухкомпонентной смеси электрическим полем в широком интервале параметров исследован процесс разделения смеси на отдельные компоненты.

4. При помощи обощенного метода годографа для системы двух квазилинейных уравнений решена задача Коши со сглаженными начальными данными — приведены неявные алгебраические соотношения и разработаны методы их исследования.

5. Впервые обобщенный метод годографа использован для решения эллиптических квазилинейных уравнений. Решена задача с начальными данными, которые частично соответствуют гиперболичности системы, а частично — эллиптичности.

6. Разработан комплекс программ, позволяющий строить решение задачи о распаде начального разрыва; исследовать поведение границы смены типа уравнений с эллиптического на гиперболический; проводить расчеты процесса взаимодействия разрывов.

1. Алексеевская Т. В. Исследование квазилинейных уравнений, возникающих в задачах электрофореза. // Функциональный анализ. 1983. Т. 17, №3. С. 63-65.

2. Бабский В.Г., Жуков МАО., Юдович В.И. Математическая теория электрофореза: Применение к методам фракционирования биополимеров. Киев: Наукова думка, 1983. 202 с.

3. Бабский В. Г., Жуков М.Ю. Биофизические методы: Теоретические основы электрофореза. // М.: Изд-во МГУ, 1990. Учебно-метод. пособие для студентов биол. ф-тов университетов. 88 с.

4. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. 208 с.

5. Воющий С. С. Курс коллоидной химии. М.: Химия, 1976. 512 с.

6. Герасимов Я. И. и др. Курс физической химии. М.: Химия, 1964. 614 с.

7. Годунов С. К., Рябенький В. С., Разностные схемы (введение в теорию). М.: Наука, !1973. 400 с.

8. Духин С. С., Дерягин Б. В. Электрофорез. М.: Наука. 1976. 328 с.

9. Жданов С. К. Трубников Б. А. / Квазигазовые неустойчивые среды. М.: Наука, 1991. 176 с.

10. Жуков М.Ю. Массоперенос электрическим полем. Ростов-на-Дону: Издательство Ростовского Университета, 2005. 215 с.

11. Жуков М. Ю. Методика расчета движения зон и времени полного разделения смеси при изотахофорезе. // Молекулярная биология. 1984. Вып. 36. С. 28-34.

12. Жуков М.Ю. Нестационарная модель изотахофореза. //ЖВМ и МФ.1984. Т. 24, №4. С. 549-565.

13. Жуков М. Ю. Разделение бесконечнокомпонентных смесей электрическим полем. // ЖВМ и МФ. 1994. Т. 34, №4. С. 576-583.

14. Жуков М. Ю. Ширина зоны при изотахофорезе (две модели). // Деп. в ВИНИТИ 1994. №330-В94. 22 с.

15. Жуков М. Ю., Король Л. Е. Использование изотахофореза при постоянном напряжении для определения подвижности. // Биополимеры и клетка. 1986. Т2, №5. С. 256-260.

16. Жуков М. Ю., Петровская Н. В. Колебательная неустойчивость в почти нестационарной бесконечнокомпонентной смеси. // Известия РАН, МЖГ. 1997. №5. С. 24-37.

17. Жуков М. Ю., Ширяева Е. В. Использование пакета конечных элементов FreeFem-H- для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2008. 256 с.

18. Жуков М. Ю., Юдович В. И. Математическая модель изотахофореза. // Доклады АН СССР. 1982. Т. 267. №2. С. 334-338.

19. Кйреев В. А. Курс физической химии. М.: Химия, 1975. 776 с.

20. Константинов Б. ПОшуркова О. В. Микроанализ аминокислот по подвижностям ионов. //Докл. АН СССР. 1967. Т. 175, № 1. С. 113-116.

21. Константинов Б. П., Ошуркова О. В. Экспрессный микроанализ химических элементов методом движущейся границы. // Доклады АН СССР. 1963. Т. 148, №5. С. 1110-1113.

22. Корыта И., Дворэюак И., Вогачкова В. Электрохимия. // М.: Мир, 1975. 472 с.

23. Кузнецов Н. Н. Некоторые математические вопросы хроматографии. // Вычисл. методы и программирование. 1967. №6. С. 242-258.

24. Куликовский Л. Г., Погорелое И. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001. 608 с.

25. Мышкис А. Д., Бабский В. Г., Жуков М. 10., Копачевский Н. Д., Слобожанин Л. А., Тюпцов А. Д. Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости. Киев: Наукова Думка, 1992. 590 с.

26. Новиков С. П., Дубровин Б. А. Гамильтонов формализм одномерных систем гидродинамического типа и метод усреднения Боголюбова-Уизема. // Докл. АН СССР. 1983. Т. 27. С. 781-785.

27. Новиков С. П., Дубровин Б. А. Гидродинамика слабо деформированных солитонных решеток. Дифференциальная геометрия и гамиль-тонова теория. // Успехи мат. наук. 1989. Т. 44. Вып. 6. С. 29-98.

28. Ошуркова О. В. О подстройке электролитов в изотахофорезе. // Журнал физической химии. 1987. Т. 61, №2. С. 539-541.

29. Ошуркова О. В., Чеботарева Н.И., Лядов Н. С. Разделение аминокислот по подвижностям ионов в водных уксуснокислых растврах. // Электрохимия. 1975. Т. 2. №9. С. 1707-1711.

30. Павлов М. В. Гамильтонов формализм уравнений электрофореза. Интегрируемые уравнений гидродинамики: Препринт института теоретической физики (ИТФ) им. Л. Д. Ландау. М., 1987. № 17.

31. Павлов М. В. Интегрируемые системы уравнений гидродинамического типа. Дис. канд. физ. мат. наук: 01.04.02 / РАН Иист. им. П. Н. Лебедева. М., 1992. 100 с.

32. Рождественский Б. Л. Разрывные решения систем квазилинейных уравнений гиперболического типа.//УМН 1960. Т. 15, №6. С. 95-117.

33. Рождественский Б. Л., Япенко НгН. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978. 668 с.

34. Сакодынский К. И., Бражников В. В., Волков С. А., Зельвен-ский Б.Ю., Ганкина Э.С., Шац В. Д. Аналитическая хроматография. М.: Химия, 1993. 464 с.

35. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука,1971. 553 с.

36. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992. 424 с.

37. Сенченкова Е. Н. Михаил Семенович Цвет. М.: Наука, 1973. 306 с.

38. Столяров В. В., Савинов И.М., Витенберг А, Г., Карцоеа А. А. Практическая газовая и жидкостная хроматография. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 1998. 610 с.

39. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 624 с.

40. Ферапонтов Е.В., Царев С. П. Системы гидродинамического типа, возникающие в газовой хроматографии. Инварианты Римана и точные решения. // Математ. моделирование. 1991. Т. 3, №2. С. 82-91.

41. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т. 1, Т. 2. М.:Мпр, 1991. 504 с.

42. Царев С. П. Геометрия гамильтоновых систем гидродинамического типа. Обобщенный метод годографа // Изв. АН СССР, серия Математическая. 1990. Т. 54, №5. С. 1048-1067.

43. Цвет М. С. Хроматографический адсорбционный анализ (избранные работы). Под ред. Рихтера М. С. и Красносельской Т. А. М.: Изд. АН СССР, 1946. 274 с.

44. Ширяева Е. В. Математическое моделирование переноса примесей электрическим полем в плоских микроканалах. Дис. канд. физ. мат. наук: 05.13.18 / ЮФУ. Ростов-на-Дону, 2010. 170 с.

45. Ambrosio L., Crippa G., Figalli A., Spmolo L. V. Some new well-posedness results for continuity and transport equations, and applications to the chromatography system, http://arxiv.org/abs/0904.0359v2.

46. Beckers J. L., В осек P. Multivalent weak electrolytes — risky backgroundelectrolytes for capillary zone electrophoresis. // Electrophoresis. 2002. Vol. 23. P. 1942-1946.

47. Beckers J. L., Bocek P. The preparation of background electrolytes in capillary zone electrophoresis: Golden rules and pitfalls. // Electrophoresis. 2003. Vol. 24. P. 518-535.

48. Bello M.S., Zhukov M. Yu., Righetti P.G. Combined effects on nonlinear electrophoresis and non-liner chromatography on non-concentration profiles in capillary electrophoresis. // J. Chromatography A. 1995. Vol.693. P. 113-130.

49. Ben-Artzi M., Falcovitz J., LeFloch P. G. Hyperbolic conservation laws on the sphere . A geometry-compatible finite volume scheme. http://arxiv.org/abs/0808.2062vl.

50. Bharadwaj R., Santiago J. G., Mohammadi B. Design and optimization of on-chip capillary electrophoresis. // Electrophoresis. 2002. Vol. 23. P. 2729-2744.

51. Bianchini S. Stability of L°° solutions for hyperbolic systems with coinciding shocks and rarefactions. // SIAM Journal on Mathematical Analysis. 2001. Vol.33, №4. P.959-981.

52. Bianchini S., Spinolo L. V. The boundary Riemann solver coming from the real vanishing viscosity approximation: Preprint SISSA-ISAS, 2006.

53. Breadmore M. C. Unlimited-volume stacking of ions in capillary electrophoresis. Part 1: Stationary isotachophoretic stacking of anions. 11 Electrophoresis. 2008. Vol.29. P. 1082-1091.

54. Bressan A. Hyperbolic systems of conservation laws in one space dimension. // Proceedings of the ICM. Beijing, 2002. Vol. 1. P. 159-178.

55. Busnel J.-M., Descroix S., Godfrin D., Hennion M.-C., Peltre G. Loading capacity of carrier ampholytes-based buffers in capillary electrophoresis Narrow. // Electrophoresis. 2006. Vol.27. P. 563-571.

56. Castagnola M., Zuppi C., Rossetti D. V., Vincenzoni F., Lupi A., Vitali A., Meucci E., Messana I. Characterization of dendrimer properties by capillary electrophoresis and their use as pseudostationary phases.

57. Electrophoresis. 2002. Vol.23. P. 1769-1778.

58. Castro M. J., LeFloch P. G., Munoz-Ruiz M. L., Pares C. Why many theories of shock waves are necessary. Convergence error in formally path-consistent schemes. // J. Comput. Phys. 2008. Vol.227. P.8107-8129.

59. Cetin B., Li D. Effect of Joule heating on electrokinetic transport. // Electrophoresis. 2008. Vol. 29. P. 994-1005.

60. Chen X., Fan L., Hu Z. The combination of flow injection with electrophoresis using capillaries and chips. // Electrophoresis. 2004. Vol.25. P.3962-3969.

61. Das S., Chakraborty S. Electrokinetic separation of charged macro-molecules in nanochannels within the continuum regime: Effects of wall interactions and hydrodynamic confinements. // Electrophoresis. 2008. Vol.29. P. 1115-1124.

62. Datta S., Ghosal S. Characterizing dispersion in microfluidic channels. // Lab Chip. 2009. Vol.9. P. 2537-2550.

63. Datta S., Ghosal S. Dispersion due to wall interactions in microfluidic separation systems. // Physics of Fluids. 2008. Vol.20. P. 12103.

64. Ermakov S. V., Jacobson S.C., Ramsey J.M. Computer simulations of electrokinetic mass transport in microfabricated fluidic devices. http://nsti.org/procs/MSM99/16/W31.01.

65. Ermakov S. V., Zhukov M. Yu., Righetti P. G. On the solvent motion in electrophoresis systems. // Electrophoresis. 1996. Vol. 17. P. 1134-1142.

66. Ferapontov E. V., Marshall D. G. Differential-geometric approach to the integrability of hydrodynamic chains: the Haantjes tensor. // Mathematische Annalen. 2007. Vol. 339. P. 61-99.

67. Felhofer J.L., Blanes L., Garcia C.D. Recent developments in instrumentation for capillary electrophoresis and microchipcapillary electrophoresis. // Electrophoresis. 2010. Vol.31. P.2469-2486.

68. Gas B. Theory of electrophoresis: Fate of one equation. // Electrophoresis. 2009. Vol. 30. P. 7-15.

69. Gas B., Kenndler E. System zones in capillary zone electrophoresis.

70. Electrophoresis. 2004. Vol. 25. P. 3901-3912.

71. Gavrilyuk S., Gouin H. Symmetric form of governing equations for capillary fluids. // International Journal of Engineering Science. 2008. Vol.46. P. 1195-1202.

72. Gebauer P., Mala Z., Bocek P. A new type of migrating zone boundary in electrophoresis: 2. Transient sample zone shapes. // Electrophoresis. 2006. Vol. 27. P. 519-525.

73. Ghosal S. Electrokinetic flow and dispersion in capillary electrophoresis.

74. Annual Review of Fluid Mechanics. 2006. Vol. 38. P. 309-338.

75. Ghosal S. Electrokinetic flow and ion transport in nanochannels.http://www.mendeley.com/profiles/sandip-ghosal/.

76. Ghosal S. Microfluidics. http://www.mendeley.com/profiles/sandipghosal/.

77. Ghosal S., Chen Z. A nonlinear equation for ionic diffusion in a strongbinary electrolyte. // Proc. R. Soc. A. 2010. Vol.466. P.2145-2154.

78. Ghosal S., Chen Z. Nonlinear waves in capillary electrophoresis. // Bulletin of Mathematical Biology. 2010. Vol. 72. pp. 20.

79. Ghosal S., Keller J. B. A hyperbolic equation for turbulent diffusion. // Nonlinearity. 2000. Vol. 13. P. 1855-1866.

80. Griess G. A., Choi H., Basu A., Valvano J. W., Serwer P. Cyclic capillary electrophoresis. // Electrophoresis. 2002. Vol.23. P.2610-2617.

81. Griffiths S. K., Nilson R. H. Optimization of charged species separation by autogenous electric field-flow fractionation in nano-scale channels. // Electrophoresis. 2010. Vol.31. P.832-842.

82. Hecht F., Pironneau O., Le Hyaric A., Ohtsuka K. FreeFem-j—h Version 2.24. http://www.freefem.org/ff4—h/.

83. Haantjes J. On XOT-forming sets of eigenvectors. // Indagationes Math. 1955. Vol. 17. P. 158-162.

84. Hjelmeland, L. M., Chrambach A. The impact of L.G. Longsworth (19051981) on the theory of electrophoresis.//Electrophoresis. 1982. №3. P. 9-17.

85. Hruska V., Gas B. Kohlrausch regulating function and other conservation laws in electrophoresis. // Electrophoresis. 2007. Vol. 28. P. 3-14.

86. Hruska V., Jaros M., Gas B. Oscillating electrolytes. // Electrophoresis. 2006. Vol.27. P.513-518.

87. Jaros M., Vcelakova K., Zuskova I., Gas B. Optimization of background electrolytes for capillary electrophoresis;]!.Computer simulation and comparison with experiments. // Electrophoresis. 2002. Vol. 23. P. 2667-2677.

88. Jenssen H. K., Kogan I. A. Systems of hyperbolic conservation laws with prescribed. // Journal of Hyperbolic Differential Equations. 2010. Vol. 7. P. 211-254.

89. Karger B.L., Guttman A. DNA sequencing by CE. // Electrophoresis. 2009. Vol. 30. P. 196-202.

90. Kasicka V. From micro to macro: Conversion of capillary electrophoretic separations of biomolecules and bioparticles to preparative free-flow electrophoresis scale. // Electrophoresis. 2009. Vol.30. P. 40-52.

91. Lax P. D. Hyperbolic systems of conservation law II. // Comm. Pure Appl. Math. 1957. № 10. P. 537-566.

92. Lax P. D. Hyperbolic systems of conservation laws mathematical theory of shok waves. // CMBS-NSF Regional Conf. Ser. in Appl. Math. 1973. 11, SIAM, Philadelphia, PA.

93. Lin C.-H., Kaneta T. On-line sample concentration techniques in capillary electrophoresis: Velocity gradient techniques and sample concentration techniques for biomolecules. // Electrophoresis. 2004. Vol.25. P. 4058-4073.

94. Lokajovd J., Hruska V., Tesafova E., Gas B. System peaks in micellar electrophoresis: I. Utilization of system peaks for determination of critical micelle concentration. // Electrophoresis. 2008. Vol.29. P. 1189-1195.

95. Mishchuk N. A., Dukhin S. S. Electrophoresis of solid particles at large Peclet numbers. // Electrophoresis. 2002. Vol.23. P.2012-2022.

96. Moore G. T. Theory of isotachophoresis. Development of concentration boundaries. // Journal of Chromatography. 1975. V. 106, №1. P. 1-16.

97. Mosher R.A., Saville D.A., Thorman IF. The Dynamics of Electrophoresis. New York: VCH Publishers, 1992. 236 p.

98. Mosher R. A., Thormann W. High-resolution computer simulation of the dynamics of isoelectric focusing using carrier ampholytes: The postseparation stabilizing phase revisited. // Electrophoresis. 2002. Vol. 23. P. 1803-1814.

99. Nijenhuis A. Xni-forming sets of eigenvectors. // Indagations Mathematicae. 1951. Vol.13, №2. P. 200-212.

100. Pavlov M. V., Svmolupov S. I., Sharipov R. A. An invariant criterion for hydrodynamic integrability. // Funktsional Anal. Prilozhen. 1996. Vol. 30. P. 18-29.

101. Pastushenko V. Ph. Uppsalator's acceleration. // Electrophoresis. 2007. Vol. 28. P. 683-690.

102. Paces M., Kosek J., Marek M., Tallarek U., Seidel-Morgenstern A. Mathematical modelling of adsorption and transport processes in capillaryelectrochromatography: Open-tubular geometry. // Electrophoresis. 2003. Vol. 24. P. 380-389.

103. Riaz A., Chung D. S. Calibration of migration times of variable salinity samples with internal standards in capillary electrophoresis. // Electrophoresis. 2006. Vol. 27. P. 553-562.

104. Roddy E. S., Xu H., Ewing A. G. Sample introduction techniques for microfabricated separation devices. // Electrophoresis. 2004. Vol. 25. P. 229-242.

105. Ryan R., Donegan S., Power J., Altria K. Advances in the theory and application of MEEKC. // Electrophoresis. 2010. Vol. 31. P. 755-767.

106. Serre D. Systems of conservation laws: a challenge for the XXIst centire. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.35.4548.

107. Shim J., Dutta P., Ivory C.F. Modeling and simulation of IEF in 2-D microgeometries. // Electrophoresis. 2007. Vol. 28. P. 572-586.

108. Slampovâ A., Bocek P. Statistical evaluation of mobility curves of univalent weak acids. // Electrophoresis. 2008. Vol.29. P. 1196-1199.

109. Snita D., Sevcikovd E., Lindner J., Marek M., Merkin J. H. Capillary electrophoresis with chemical reaction. Effect of ionic strength. // Journal of the Chemical Society, Faraday Transactions. 1998. Vol. 94. P. 213-222.

110. Stëdry M., Jaros M., Vcelâkovâ K., Gas B. Eigenmobilities in background electrolytes for capillary zone electrophoresis: II. Eigenpeaks in univalent weak electrolytes. // Electrophoresis. 2003. Vol. 24. P. 536-547.

111. Thormann W., Breadmore M. C., Caslavska J.; Mosher R.A. Dynamic computer simulations of electrophoresis: A versatile research and teaching tool. // Electrophoresis. 2010. Vol.31. P. 726-754.

112. Thormann W., Caslavska J., Breadmore M.C., Mosher R.A.Dynamic computer simulations of electrophoresis: Three decades of active research. // Electrophoresis. 2009. Vol.30. P. 16-26.

113. Thormann W., Huang T., Pawliszyn J., Mosher R.A. High-resolution computer simulation of the dynamics of isoelectric focusing of proteins. // Electrophoresis. 2004. 25. P. 324-337.

114. Tiselius A. Electrophoresis of serum globulin: Electrophoretic analysis of normal and immune sera Biochem. J. 10/1937; 31(9):1464-77.

115. Tiselius A. Electrophoresis of Serum Globulin.// Biochem. J. 03/1937; 31: 1464.

116. Trapp 0. The unified equation for the evaluation of first order reactions in dynamic electrophoresis. 11 Electrophoresis. 2006. Vol.27. P. 534-541.

117. Ueda M., Hayama T., Takamura Y., Honike Y., Baba Y. Investigation of the possibility of geometrical electrophoresis. // Electrophoresis. 2002. Vol.23. P.2635-2641.

118. Urbanek M., Kfivankova L., Bocek P. Stacking phenomena in electromig-ration: From basic principles to practical procedures. // Electrophoresis.2003. Vol.24. P. 466-485.

119. Vcelakova K., Zuskova I., Kenndler E.,Gas B. Determination of cati-onic mobilities and pKa values of 22 amino acids by capillary zone electrophoresis. // Electrophoresis. 2004. Vol. 25. P. 309-317.

120. Velegol D. Electrophoresis of randomly charged particles. // Electrophoresis. 2002. Vol.23. P.2023-2028.

121. Vegvari A., Guttman A. Theoretical and nomenclatural considerations of capillary electrochromatography with monolithic stationary phases. // Electrophoresis. 2006. Vol. 27. P. 716-725.

122. Wang Z., Taylor J., Jernere A. B., Harrison D. J. Microfluidic devices for electrokinetic sample fractionation. // Electrophoresis. 2010. Vol.31. P. 2575-2583.

123. Warnick K. F., Francom S. J., Humble P. HKelly R. T., Woolley A. T., Lee M. L., Tolley H. D. Field gradient electrophoresis. // Electrophoresis. 2005. Vol.26. P.405-414.

124. Weekley B. S., Foley J. P. Dual-opposite-injection CZE: Theoreticalaspects and application to organic and pharmaceutical compounds. // Electrophoresis. 2007. Vol.28. P.697-711.

125. Xuan X., Li D. Solute separation in nanofluidic channels: Pressure-driven or electric field-driven? // Electrophoresis. 2007. Vol.28. P.627-634.

126. Yuan Z., Garcia A. L., Lopez G. P., Petsev D. N. Electrokinetic transport and separations in fluidic nanochannels. // Electrophoresis. 2007. Vol. 28.1. P. 595-610.

127. Yu J.W., Chou Y., Yang R.-J. High-resolution modeling of isotachopho-resis and zone electrophoresis. // Electrophoresis. 2008. Vol.29. P. 10481057.

128. Zhukov M. Yu., Ermakov S. V., Majorova O. A. Computer simulation of transient states in capillary zone electrophoresis and isotachophoresis. // Electrophoresis. 1992. №13. P. 838-848.

129. Zhukov M. Yu., Ermakov S. V., Righetti P. G. Modelling of transport processes in the presence of substance-locking effects // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1999. Vol.59, №2. P. 743-776.

130. Zhukov M. Yu., Ermakov S. V., Righetti P. G., Capelli L. Isotachophoresis at pH extrems: Theory and experimental validation. // Electrophoresis. 1998. Vol. 19. P. 192-205.

131. Дрыжакое В. E., Елаева M. С. О применении метода конечных-разностей в математических моделях русловых потоков. // Труды XI Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». 2005. С. 32-35.

132. Елаева М. С. Разделение двухкомпонентной смеси при помощи электрического поля. // Труды XI Межд. конф. «Современные проблемы

133. МСС». Ростов н/Дону: Изд-во «ЦВВР», 2007. Т.Н. С. 67-71.

134. Елаева М. С. Эволюция компонент смеси под действием электрического поля. // Труды XII Межд. конф. «Современные проблемы МСС». Ростов н/Дону: Изд-во «ЦВВР», 2008. T.I. С. 61-65.

135. Елаева М. С. Применение обобщенного метода годографа к решению задачи о разделении двухкомпонентной смеси. // Труды XIII Межд. конф. «Современные проблемы МСС». Ростов н/Дону: Изд-во ЮФУ, 2009. Т. I. С. 76-80.

136. Елаева М. С. Использование обобщенного метода годографа в исследовании математической модели электрофореза. // Труды XIV Межд. конф. «Современные проблемы МСС». Ростов н/Дону: Изд-во ЮФУ, 2010. Т. II. С. 83-87.

137. Елаева М. С. Фракционирование двухкомпонентной смеси под воздействием электрического поля. // Труды XIII Всерос. молодежной конференции-школы «Современные проблемы математического моделирования». Ростов н/Дону: Изд-во ЮФУ, 2009. С. 233-239.

138. Елаева М. С. Взаимодействие сильных и слабых разрывов в задаче Римана для гиперболических уравнений. // Известия Высших учебных заведений. Северо-кавказский регион. Естественные науки. 2010. №6. С. 14-19.

139. Елаева М. С. Исследование зонального электрофореза двухкомпонентной смеси веществ. // Математическое моделирование. 2010. Т. 22, №9. С. 146-160.