автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование массопереноса электрическим полем в многокомпонентных химически активных средах

На правах рукописи

ЖУКОВ Михаил Юрьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАССОПЕРЕНОСА ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОЛЕМ В МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ХИМИЧЕСКИ АКТИВНЫХ СРЕДАХ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2006

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и математической физики механико-математического факультета Ростовского государственного университета

Научный консультант: заслуженный деятель пауки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор В. И. Юдович

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор В. В. Пухначев

доктор физико-математических наук, профессор В. И. Полежаев

доктор физико-математических наук, профессор А. В. Наседкин

Ведущая организация: Пермский государственный университет

Защита состоится

июня

2006 г. в 14.00 на засе-

дании диссертационного совета Д212.25Э.03 по физико-математическим наукам при Таганрогском государственном радиотехническом университете но адресу: 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский 44, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

2006 г.

Целых А. Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Процессы тепломассопереноса в химически и биологически активных многокомпонентных средах являются важной составной частью различных научных, промышленных и экспериментально-конструкторских технологий. Исследование таких процессов — одна из главных задач механики сплошных сред. Особый интерес представляют случаи, когда тепломассоперенос осуществляется в результате действия внешних силовых полей различной природы — электромагнитного, гравитационного, вибрационного и т. п. Детальное изучение таких воздействий открывает широкие возможности для управления процессами переноса, например, с целью их оптимизации.

Яркий пример, демонстрирующий для многокомпонентных химически активных сред большинство наиболее типичных явлений, представляет собой электрофорез — движение компонент смеси под действием электрического поля. С точки зрения исследований сплошной среды именно электрофорез является весьма привлекательным объектом для изучения процессов тепломассопереноса в химически активных средах.

Особенностью электрофореза является одновременное наличие, по крайней мере, трех типов процессов — химических реакций, переноса электрическим полем и диффузии. Эти процессы имеют существенно различные масштабы характерного времени. Наиболее быстрыми обычно являются химические реакции, и именно они формируют физико-химические свойства среды. В результате таких реакций исходная смесь быстро превращается в некоторую смесь, состоящую из «квазикомпонент». В этом случае имеет смысл говорить о совершенно новой сплошной среде, физические свойства которой определяются функциями концентраций квазикомпонент, задаваемыми химизмом процесса.

Более медленный, чем химические реакции, перенос вещества электрическим полем происходит в новой квазикомпонентной сплошной среде с сильными физическими нелинейностями. Движение квазикомпонент, в свою очередь, приводит к перераспределению концентраций и, как следствие, к изменению свойств среды.

Диффузионные процессы, самые медленные из перечисленных, скорее всего, будут играть незначительную роль и оказывать существенное влияние лишь на заключительных этапах эволюции.

Вышесказанное, в частности, означает, что при изучении электрофореза приходится исследовать сильно физически нелинейную сплошную среду, свойства которой могут изменяться в результате эволюции. Более того, имеется возможность формировать нужные свойства такой среды

за счет химических реакций, что делает исследования привлекательными с точки зрения экспериментов и технических приложений.

Заметим, что под электрофорезом обычно, более узко, понимают, так называемые, методы электрофореза — способы разделения смесей на отдельные компоненты при помощи электрического поля. Имеются различные модификации методов — изоэлектрофокусирование, изота-хофорез, зональный электрофорез, капиллярный электрофорез, пульс-электрофорез и т. п. Все эти методы широко применяются в медицине и биотехнологиях как для выделения отдельных веществ из смеси (препаративный электрофорез), так и для определения состава смесей (аналитический электрофорез). Методы электрофореза являются составной частью ряда космических биотехнологий, предназначенных для получения новых биологических препаратов, и активно используется в аналитических целях, в частности, при расшифровке генома человека.

Цель и задачи исследования. Целью диссертации является построение и детальное изучение новых математических моделей мас-сопереноса вещества в многокомпонентных средах для случаев, когда физико-химические свойства смеси в основном определяются быстрыми химическими реакциями. Уточним, что речь идет о гомогенных (однофазных) смесях, а не о гетерогенных (многофазных) сплошных средах. Последние характеризуются наличием макроскопических частиц и для их описания используются уравнения многоскоростного континуума.

Основные усилия при исследовании сосредоточены на наиболее типичных и важных задачах эволюции многокомпонентной сплошной среды, К таким задачам относятся следующие.

1. Построение непротиворечивой модели поведения одпоскоростной многокомпонентной смеси в электрическом поле с учетом термодинамики смеси, химических реакций и без ограничений на малость концентрации компонент.

2. Конструирование асимптотических моделей, непосредственно описывающих всевозможные методы электрофореза.

3. Исследование процесса разделения смеси электрическим полем на компоненты в случае, когда среда формируется в процессе эволюции смеси и сильно стратифицирована по концентрациям (изотахофорез).

4. Демонстрация того факта, что именно сильные нелинейности, возникающие в результате химических процессов, играют наиболее существенную роль в нестационарных процессах переноса, а роль диффузии второстепенна, по крайней мере, для сильных электрических полей (бездиффузионное приближение и электромиграционные эффекты).

5. Исследование процессов формирования физических свойств для

сплошных сред в стационарном состоянии (электрофокусирование).

6. Изучение сплошных сред нового типа — смесей с бесконечным количеством компонент, характеризуемых функциями распределения по параметру сорта.

7. Исследование концентрационной гравитационной конвекции с целью изучения факторов, препятствующих фракционированию смесей.

Методология исследования. Основное внимание уделяется получению строгих математических результатов, развитию и совершенствованию методов решения задач массопереноса для многокомпонентных сплошных сред. При конструировании моделей используется формализм феноменологической неравновесной термодинамики, позволяющий получать корректные модели сплошных сред, описывающие практически все мыслимые эффекты, без дополнительных эвристических предположений. На основе общих моделей с учетом масштабов параметров строятся асимптотические модели. В частности, большинство моделей переноса, в случае большой интенсивности электрического поля, исследуются в бездиффузионном приближении, когда эволюция смеси хорошо описывается системами квазилинейных гиперболических уравнений. В некоторых случаях для решения гиперболических уравнений разработаны специальные методы решения, т. к. при постановках задач возникают плохо исследованные ситуации — начальные данные на контактных характеристиках, алгебраические ограничения, бесконечные семейства уравнений, зависящие от континуального параметра. В случаях, когда не удается построить аналитическое решение, широко используются и развиваются асимптотические методы (в частности, для уравнений с сообразными коэффициентами), а также численные методы решения.

Практическая значимость. Полученные результаты имеют широкую область применения в медицине и биотехнологии при создании новых методов фракционирования смесей, анализа и получения биологических препаратов. Разработанные методы конструирования и исследования математических моделей позволили получить большой объем информации, необходимой для понимания процессов, протекающих в стратифицированных многокомпонентных сплошных средах с сильными физическими нелинейностями. Развитые подходы к решению задач, в частности, асимптотические методы, могут использоваться в близких задачах механики сплошной среды, например, при изучении процессов детонации, горения, движения снежных лавин, ледников и т. п.

Научная новизна положений, выносимых на защиту. В диссертации развито новое научное направление, которое можно охарактеризовать как исследование процессов переноса в химически активных

средах, физические свойства которых сильно нелинейны и существенно изменяются в процессе эволюции. Получены новые корректные математические модели многокомпонентных сред без предположения малости концентраций компонент, а также модели для бесконечнокомпонентных смесей. Развиты и усовершенствованы методы решения систем гиперболических уравнений с алгебраическими ограничениями и начальными данными на контактных характеристиках. Развиты асимптотические методы решения задач с ¿-образными коэффициентами и задач для бесконечнокомпонентных смесей. Обнаружен и объяснен ряд новых специфических эффектов — электролитическая память (сохранение информации о начальных данных в жидкой среде), ложные границы Коль-рауша, возникновение химических ловушек (блокирование переноса с последующим отрывом вещества от зоны блокирования), колебательная конвективная неустойчивость в почти нестратифицированной жидкости с бесконечным количеством компонент. Большинство полученных результатов хорошо подтверждено и обосновано натурными экспериментами, в которых автор диссертации принимал непосредственное участие [16, 17, 42-44, 47, 49, 50, 58, 59].

Апробация результатов. Результаты работ, включенных в диссертацию, докладывались на всесоюзных и международных конференциях, съездах, школах, симпозиумах: I, И, III, IV Всесоюзные семинары ио гидродинамике и тепломассообмену в невесомости (Москва, 1979, Пермь, 1981, Черноголовка, 1984, Новосибирск, 1987); IV Всесоюзная конференция «Методы получения и анализа биохимических препаратов» (Рига, 1982); I Всесоюзный биофизический съезд (Москва, 1982); И, III, IV Всесоюзные рабочие совещания по теории и практике ультрацентрифугирования и электрофореза (Киев, 1982, Канев, 1985, Коктебейль, 1987); Семинар по теории гиперболических уравнений под. руководством В.Л.Рождественского (МГУ, Москва, 1982); 4-th International Symposium on Isotachophoresis (Hradec Kralove, Czechoslovakia,1984); 5, 7-th Danube Symposium on Chromatography (Yalta, 1985, Leipzig, DDR, 1989); VI Всесоюзный съезд по прикладной и теоретической механике (Ташкент, 1986); заседание научной сессии секции тонкослойной хроматографии и электрофореза Научного совета по хроматографии АН СССР (Оболенск, 1987); Всесоюзный семинар «Проблемы нелинейной механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 1987); 2 International Conference Biochemical Separation (Hungary, 1988); III Всесоюзное совещание «Теоретические исследования и банки данных по молекулярной биологии и генетике» (Институт цитологии и генетики СО АН, Новосибирск, 1988); Всесоюзная конференции «Измерительная и вычислительная техника в управлении производственными процессами в АПК» (Ленинград, 1988); Семинар кафедры теории упругости СПбГУ под рук. проф. Н. Ф. Морозова (Санкт-Петербург, 1996); Семинар математическо-

го факультета Hong Kong University of Science and Technology (Hong Kong, 1996); VI, VII школа-семинар «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости» (Москва, 1989, 1992); III школа-семинар по генетике и селекции животных (Алтай, 1989); Всесоюзный семинар по гидродинамической устойчивости и турбулентности (Институт теплофизики СО АН, Новосибирск, 1989); Всесоюзная конференция по электрофорезу «Электрофорез-90» (Рига, 1990); International Conference on Modeling and Computer Methods in Molecular Biology and Genetics (Новосибирск, 1990); 7-th International Symposium on Capillary Electrophoresis and Isotacho-phoresis (Tatranska Lomnice, Czechoslovakia, 1990); International Aerospace Congress (Moscow, 1994); 9-th International Symposium on Capillary Electrophoresis (Budapest, 1994); 7-th International Symposium on High Performance Capillary Electrophoresis (Germany, 1995); 1-st International Conference Environmental Mathematical Modeling and Numerical Analysis (Rostov-on-Don, 1999); VI, IX Международные конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2000, 2005); I, II Международные школы-семинары «Применение симметрии и косимметрии в теории бифуркаций и фазовых переходов» (Ростов-на-Дону, 2000, Сочи, 2001); 1-st Conference of the International Marangoni Association on Interfacial Fluid Dynamics and Processes in Physic Chemical Systems (Giessen, Germany, 2001); Объединенный семинар «Механика невесомости и гравитационно-чувствительные системы» под рук. В. И. Полежаева и В. В. Сазонова и семинар «Численное моделирование процессов тепло- и массообмена» под рук. В. И. Полежаева, Л. А. Чудова, Г. С. Глушко (Москва, 2002, 2005); The British Applied Mathematics Colloquium (Norwich, UK, 2004). Семинар Ростовского математического общества, пред. В. И. Юдович (2005), Семинар Института прикладной математики и автоматизации, КБНЦ, рук. акад. АМАН A.M. Нахушев (Нальчик, 2005).

Связанная с диссертацией тематика была поддержана грантами СПб-ГУ в 1992-1994 гг. и 1994-1995 гг., грантами РФФИ 95-01-01454-а в 1995-1997 гг. (тема «Конвективная неустойчивость в бссконечнокомпо-нентных химически активных смесях») и 04-01-96814-р2004юг-а в 20042005 гг. (тема «Математическое моделирование нестационарных процессов разделения многокомпонентных анизотропных сред при помощи акустических и электромагнитных полей»).

Объем диссертации — 287 страниц, включая фигуры, таблицы и список литературы из 332 наименований. По результатам диссертации автором опубликовано 48 работ, в том числе 5 монографий [3, 5, 38, 40, 51].

Содержание диссертации

Глава 1 «Основные уравнения и общие модели» посвящена конструированию общих уравнений для описания поведения гомогенных многокомпонентных химически активных сплошных сред при наличии электрического поля. На основе этих моделей в последующих главах

рассматриваются всевозможные частные модели транспорта вещества в электрическом поле и задачи, непосредственно связанные с различными приложениями метода электрофореза.

В § 1 детально рассмотрены парциальные уравнения баланса массы, импульса, момента импульса, энергии, а также второй закон термодинамики для многокомпонентных сплошных сред — неравенство Клаузиуса-Дюгема. Несмотря на то, что подобные уравнения широко известиы (С. де Гроот, И. Дъярмати, П. Мазур, Р. И. Нигматулин, В. Нолл, Л. И. Седов, К. Трусделл, Р. Эйткин и др.), до настоящего времени имелись неясности, связанные с переходом от парциальных законов к закону сохранения энергии для смеси в целом. В частности, возникали проблемы сохранения в «источнике» энтропии членов, соответствующих «диффузионной» кинетической энергии относительного движения компонент \ Е , и проблемы связи потока энтропии с температурой и потоком тепла. Ранее, как правило, «лишние» члены в источнике энтропии опускались, ввиду предположения о малой интенсивности относительного движения компонент смеси, что приемлемо лишь в случае чистой диффузии примесей с малыми концентрациями. Серьезное внимание на трудности, связанные с определением потока и «источника» энтропии, было обращено лишь в работах И. Дъярмати и Й. Мюллера.

В §1 источник энтропии корректно определен путем включения в химический потенциал кинетической энергии относительного движения с одновременным удалением из потока тепла <7 «обратимой» части, связанной с переносом парциальных тензоров вязких напряжения :

= Твк + ^ + <7 = Е {Чк ~ • Т»к), гДе "ь Рь Р*> Як ~ парциальные удельная внутренняя энергия, энтропия, давление, плотность, плотность потока тепла, — скорость компонент относительно смеси. Поток энтропии За в этом случае определяется соотношением:

ТЛ3 = д + Т Е гк$к, где = ОкЮк — плотность потока массы. *=о

Указанные действия позволили получить корректные уравнения баланса для односкоростного континуума в случае, когда все концентраций смсси сравнимы по величине.

В § 2 подробно рассмотрена классическая термодинамика смеси и показано, что для полного термодинамического описания, т. е. определения всех термодинамических потенциалов, достаточно предварительно, например, на основе экспериментальных данных задавать: для смеси — уравнение состояния и калорическое соотношение; для компонент смеси — химические потенциалы и удельные энтропии.

В отличие от большинства работ, ограничивающихся классическими

законами Фика для слабых растворов, в § 3 построены определяющие соотношения между термодинамическими потоками и силами для смесей со сравнимыми по величине концентрациями. При этом, сумма локальных потоков гк автоматически равна нулю (закон сохранения импульса) без дополнительных предположений о кинетических коэффициентах, что стало возможным, благодаря введению вместо Х'к новых термодинамических потоков и сил 1к, Хк, сохраняющих выражение для

диффузионной части источника энтропии, т.е. £гк • Х'к = Т. 1к • Хк

к к

Х'к = Ч11к+ЗкЧТ-Рк-екЕ, гк=1к-СкЕ1я, 1к = ~Е Ьк^-ЬкТ^Т,

«=о

Хк = + Ур ~ гек - Е сае3) Е - Р* + £ саРа,

V 3=0 / \ з=0 / «=0

где р — давление, Т — температура, Е — напряженность электрического поля, Ск — массовая концентрация, Рк, ек, Ук — парциальные внешняя удельная сила, заряд и объем.

В частности, на основе именно этих соотношений в § 10 обнаружены и объяснены некоторые тонкие эффекты, возникающие при движении растворителя. Еще один важный результат § 3 — это вывод о том, что бародиффузия не является независимым эффектом, т. к. термодинамическая сила Хк включает в себя (^7¡1к)т,р и Ур, но не содержит УТ. Это означает, что коэффициенты бародиффузии, в отличие от коэффициентов диффузии и термодиффузии (Ькт), нельзя задавать произвольно.

Итогом § 4 является полная замкнутая модель электрофореза, построенная на основе результатов §§ 1-3. Варианты базовой модели с различными упрощениями используются на протяжении Гл. 2, 3.

Уравнения, описывающие непосредственно перенос массы в (п + 1)-компонентной смеси, с протекающими в ней г обратимыми химическими реакциями, имеют вид (приведены без учета эффектов перекрестной диффузии и баро- и термодиффузии)

(¿А. £ £ п п п

— + сНу г| = Ц = Е = 1, £ гпка% = 0, (1)

т «=0 к=0 к=0

4 = -Аь

_ п \

V £ 6

У

з=0 /

+ гк7к£кЕ, £ гк£к = 0, Ё *к<А = 0, к=0 к=0

<=1 ¿=0 А=0

Здесь ¡/гк = (^ — ы~к) —матрица стехиометрических коэффициентов (определяется химическими реакциями), пгк ~ молекулярные массы,

гк = вк/тпк — зарядности, к*, к,г — константы скорости реакций, И к — коэффициенты диффузии, — подвижности.

При записи уравнений (1), (2) использован переход от массовых характеристик Ск, гк, стк к молярным & = Ск/тк, г£ = ¿¿/ть = ак/тпк. Такой набор переменных диктуется уравнениями химической кинетики, которые для химически активных смесей фактически определяют нелинейные физико-химические свойства сплошной среды.

В § 5 математически корректно, т. е. при помощи предельных переходов по соответствующим малым параметрам, получена модель Обербека-Буссинеска, описывающая конвективные явления, сопутствующие процессу электрофореза. Сделаны основные предположения об уравнении состояния смеси, осуществлен переход к безразмерным переменным, выделен набор малых параметров, характеризующих различные эффекты в смесях. Варианты этой модели используются в Гл. 4 для описания концентрационной гравитационной конвекции в смесях.

В § 6 сформулирована гипотеза о локальном химическом равновесии, существенно упрощающая описание процессов переноса в смесях с быстрыми химическими реакциями и определяющая новый тип сплошной среды — сгыьно нелинейную среду, состоящую из квазикомпонент.

Эта гипотеза является ключевой для эффективного исследования химически активных смесей, в которых характерное время протекания химических процессов много меньше характерных времен переноса под действием электрического поля, конвективных движений, диффузии и т. д. Естественный путь упрощения уравнений, описывающих такие «разноскоростные» процессы, — выделение медленных переменных, слабо изменяющихся при протекании химических реакций. Асимптотические соотношения, связывающие медленные и быстрые переменные, для задач электрофореза оказываются алгебраическими и получаются из стационарных уравнений химической кинетики.

Гипотеза о химическом равновесии позволила заменить описание многокомпонентной смеси с источниками массы описанием некоторой квазикомпонептпой смеси, в которой источники массы отсутствуют. Помимо сокращения числа компонент и упрощения уравнений, преимущество такого подхода заключается в том, что при заданных химических реакциях определяется зависимость кинетических коэффициентов (диффузии, электрофоретической подвижности и т. п.) от концентраций квазикомпонент. Этот результат является центральным в диссертации и позволил эффективно исследовать массоперенос в химически активных средах, по крайней мерс, в случае обратимых реакций.

Процедура выделения медленных переменных, т. е. переход от ис-

ходной смеси к смеси квазикомпонент, подробно описанная в § б, заключается в следующем: для среды, в которой протекают г 4-1 обратимая

n , kf п _

химическая реакция £ vTk4,k ^ £ uiks,k, г ~ 0,..., г, рассматривают-к=0 к( к=о

ся уравнения химической кинетики т. е. уравнения (1) при г| = 0 и уравнения (2). При помощи матрицы стехиометрических коэффициентов о/.'.У,г\ ранг которой равен го = п — г, разыскивается фундаментальная система решений А^ однородного уравнения £ ^¿fcA^ = О,

s — 1, ...,го, г = 1,...,г. Это позволяет определить г о независимых линейных интегралов уравнений химической кинетики

аа = £ s = 1,..., г0, = 0, при 4 = • (3)

Введено понятие о s-химической подсистеме As — наборе концентраций для которых а£° ф 0, т. е. Аа = а^ ф 0, к = 0,..., п.}, $ — 0,..., Го. Множество As называем также квазикомпонентой, величину а3 — концентрацией квазикомпоненты.

Соотношения (3) позволяют преобразовать (1) и получить уравнения, описывающие диффузию и перенос в электрическом поле для квазикомпоненты As (при этом вовсе не обязательно выполнение условий равновесия химических реакций!)

^ + = ¿*=X;A<8)4 S = I...........(4)

at k=О

Здесь г" — плотность молярного потока Л5-ой квазикомпоненты.

Из вида уравнений ясно, что концентрации квазикомпонент as являются медленными переменными. Фактически в результате химических реакций взамен (п + 1)-компопентной смеси образуется новая го-компонентная смесь, состоящая из квазикомпонент As с концентрациями as и молярными потоками г". Подчеркнем, что квазикомпоненты участвуют в процессах переноса, но не участвуют в химических превращениях.

Для электронейтрального раствора одной из химических подсистем, для определенности АГа = {£к:А£° = zjt, fc = 0, ...,п}, является множество заряженных компонент. Концентрация аГа квазикомпоненты АТо представляет собой молярный заряд раствора. Потоку ¿"0 соответствует плотность электрического тока j, а уравнение для го-квазикомпоненты — уравнение неразрывности электрического тока: div j = 0, а также уравнение электронейтральности: аГо = 0. Одна из исходных концентраций, для определенности £„, также является медленной переменной и определяется из уравнения аГо = 0. В водных

растворах, традиционно, в качестве £„ выбирается концентрация ионов водорода = Н или кислотность раствора рН = — 1ц Н.

В общем случае го < п и уравнения (4) являются незамкнутыми относительно переменных а3. Исключение представляет случай химически инертной смеси, например, раствор сильных электролитов.

В предположении мгновенности химических реакций (к+, к~ —> оо) получаем систему п уравнений, состоящую из условий равновесия химических реакций ..., £„) = 0, г = 0,..., г (см. (2)) и системы (3):

а8 ~ Е = 0, 5 = 1,..., г0(= п - г).

к=О

Для обратимых реакций всегда удается выразить быстрые переменные через медленные в виде & = 0|(£„, аь • • • > аГо-1)ая, к = 0,..., п — 1, где в% — степени диссоциации к-ой компоненты. В простейших случаях

~ ^¡¡{Щ) а химические подсистемы представляют собой непересекающиеся множества концентраций.

Для А3-ой квазикомпоненты заряд е°(ах,... ,аГо_1, Н), подвижность у"(а1,..., аГо-1, Н) и проводимость а3 (а^ ..., аГо_ х, Н) имеют вид

7? = £ **Чк^въ е* = Е = Е 4^01 (5)

кет. ке1. к€1,

где 13 = {к : £ А3} — состав квазикомпоненты.

Уравнения для описания процессов переноса массы и заряда в квазикомпонентной смеси, в простейшем случае, когда концентрации примесей много меньше концентрации растворителя, будут следующими

^ + 1а3 = -Оа3^а3+^а3Е, « = 1 ,...,г0, (6)

3 = -А^п+Е <а8Е + 7?„£пЕ, Е^«^& = 0.

8=1 ' 8=1 8=1

Именно эти уравнения и их различные модификации используются в качестве базовой модели в Гл. 2, 3 для описания процессов электрофореза. Учет движения растворителя, когда его концентрация сравнима с концентрацией компонент, рассмотрен в § 10. Для изучения конвекции в Гл. 4 использована аналогичная модель в приближении Обербека-Буссинеска, полученная в § 5.

Глава 2 «Изотахофорез» посвящена детальному исследованию задач изотахофореза — метода разделения смесей на отдельные компоненты при помощи электрического поля, открытого Б. П. Константиновым и О. В. Ошурковой в 1963 г. Разделение смеси происходит в результате движения ионов в электрическом поле с различными скоростями.

Выяснилось, что математические модели изотахофореза, во многом сходны с моделями жидкостной хроматографии и представляют собой

системы квазилинейных гиперболических уравнений, теория которых детально развита Б.Л.Рождественским и П. Лаксом и др., а также принадлежат к классу так называемых моделей гидродинамического типа, теория которых развивается Е. В. Ферапонтовым, С. П. Царевым, М.В. Павловым. Для задачи Коши с гладкими данными обобщенным методом годографа М. В. Павловым была получена неявная форма точного решения. К сожалению, в методе годографа гладкость начальных данных играет решающее значение. Метод фактически нельзя применять даже для кусочно-постоянных начальных данных, как раз, наиболее типичных для изотахофореза.

В § 7 подробно рассмотрена общая модель переноса вещества и ее предельные варианты: 1. слабо концентрированные сильные электролиты (полностью диссоциированные на ионы), 2. слабые электролиты (почти не диссоциированные), 3. сильно концентрированные сильные электролиты, 4. слабые электролиты с малой концентрацией ионов водорода.

Чаще всего, изотахофорез проводят в смесях п слабых кислот и т слабых оснований, реакции диссоциации которых описываются схемой

АЧ^±Н + Аг% г = 1,..., п, В£^Н + В°к, к = 1,...,т, (7)

где — нейтральная молекула кислоты; А~ — кислотный остаток; В£ — основание; — основной остаток; Н — ион водорода.

Исходная (2п + 2т + 1)-компонентная смесь (без учета растворителя) нейтральных веществ Л? и ионов В£, А^, Н при мгновенных химических реакциях превращается в смесь из (тг + ш + 1) квазикомпонент Вк = В1 + В£, А = А? + АГ, Н.

С учетом результатов § 6 из условий равновесия реакций (7) определены степени диссоциации вв

Г А, 5 = -г<0, (а{(Н) = К?/(К? + Н),з = -1<0,

а*-\Вк,з = +к>0,Л11)~\/Зк(Н)=Н/(К? + Н)> з = +к> 0 ^

и с помощью (Б) найдены кинетические коэффициенты уравнений (6): Щ = еЪ, 7« = г8Ъва{Н), = (Я), а« = г,7А(Я), г, = в, где е — параметр, характеризующий малость коэффициентов диффузии, К-1, Кк — константы диссоциации кислот и оснований (в соответствие

г-о-1 т

с принятой нумерацией, в (6) следует заменить 2 на £ ).

3=1 я=—п

Таким образом, в квазикомпонентной смеси, образовавшейся в результате почти мгновенных химических реакций, транспорт в электрическом поле существенно определяется химизмом процесса и характеризуется не собственной подвижностью и зарядом гк, а электрофорети-ческой подвижностью гкуквк(Н), и зарядом гквк{Н) квазикомпоненты.

В свою очередь концентрация Н определяется из уравнения электронейтральности, которое является мгновенным регулятором процессов переноса в электрическом поле.

В § 8 рассмотрено бездиффузионное приближение (е = 0), хорошо работающее при начальных кусочно-постоянных распределениях концентраций и в тех случаях, когда эффекты диффузии достаточно малы (эксперименты показывают, что при изотахофорезе диффузия почти не влияет на процесс разделения и существенна лишь вблизи границ раздела зон электролитов, см. § 11). Дана постановка задачи, типичной для изотахофореза, получены инварианты Римана, приведена подробная схема построения решения задачи о распаде начального разрыва и задач о взаимодействиях разрывов. Рассмотрены примеры конкретных случаев, встречающихся в практике изотахофореза.

Модели для сильных и слабых электролитов, путем введения некоторых эффективных «концентраций» щ и «скоростей» переноса/^, приводятся к одному и тому же виду. В одномерном случае для задачи Коши с кусочно-постоянными начальными данными имеем систему гиперболических уравнений, дополненную условиями Рэнкина-Гюгонио на линии разрыва х = x{t), движущейся со скоростью V — dx(t)/dt, и соответствующими условиями устойчивости разрывов

, в = £ щ > О, £ и\ ф О, (9) fc=l k=1

Ui < 0, i = 1, ...,р—1, щ ^ 0, i — р,...,п, ßi<...<ßp-i<0<ßp...<ßn, р — количество отрицательно заряженных компонент (одна из компонент в (9) исключена при помощи уравнения электронейтральности).

Собственные значения Ajt(u) матрицы Aij(и) = dUj(ßiUi/s) опреде-

п п

ляются уравнением ¿и, Ц (R — Цк) = 0, где R = As. Корни этого

уравнения, т. е. Як(щ, • ■ •, ип), к = 1,..., п — 1, являются инвариантами Римана исходных гиперболических уравнений. Для уравнений хроматографии, которые отличаются от приведенных заменой s на 1 +ана-

к

логичный результат был получен H.H. Кузнецовым в 1967 г. В случае уравнений изотахофореза это сделано М. Ю. Жуковым, В. И. Юдовичем в 1982 г. [12] и позднее в 1983 г. Т. В. Алексеевской.

Еще одним инвариантом Римана, который соответствует собственному значению Ар = 0, будет Rp:

Яр = £-, — °> m>] = 0, Rp = Rp(x)> 0. (10)

i=i ßi ot

ощ ^ а dt dx

fliUi

Система (9) приводится к инвариантам: dtRk + Xk9xRk — 0, к = 1,..., п,

где Ak(R) = к ф р, s(R) = ЯрД № П ЯД Ар = 0.

SW <=1 i=l ,гфр

Обратная зависимость u,* — ...} .Йп) имббт вид

Ui{R) = Rp П Vk п (w - мГ1 П р г = 1, • • ■,П.

¿=1 fc=l fc=l "-к кф{ к^р

Впервые эти результаты были получены М.Ю. Жуковым в 1984 г. [13, 14] и позднее, в том числе и для более общих систем, Е. В. Ферапонтовым и С. П. Царевым в 1991 г.

Система (9), наряду с ударными волнами, допускает волны разрежения Rk(z) = sgn(/?*) {f3k\z\yl2, Ri = const, г ф к, к ф р, которые зависят от автомодельной переменной z = (х — x*)/(t — £«), где а:», i* — координа-

тг п .

ты «центра» автомодельного решения, /Зк — Rp П fa П /ц = const.

Инвариант Rp является нетривиальным интегралом системы (9). В силу (10), происходит <?запоминание» функции Rp(x) и, в частности, ее неподвижных разрывов. Такое свойство модели изотахофореза названо в [3, 12, 40] «электролитической памятью».

Для системы (9) с кусочно-постоянными начальными данными на всей вещественной прямой построено решение задачи о распаде начального разрыва. Результаты сформулированы в виде теоремы о распаде начальных разрывов и теоремы о разделении смеси электролитов. Для слабо концентрированных сильных электролитов и слабых электролитов эти теоремы полностью решают задачу об эволюции смеси в без диффузионном приближении. Показано, что решение состоит из последовательности связанных между собой ударных волн и волн разрежения. Описаны все взаимодействия слабых и сильных разрывов. Найдены необходимые и достаточные условия разделения смеси на компоненты.

Все полученные результаты проиллюстрированы конкретными примерами. Один из них, демонстрирующий «синтез» солей в процессе разделения изображен на рис. 1.

(1) LiCl II (2) NaCI, KCl II (3) KNOi a

(1) LiCl 1 <4> II LiCl («) NaCI (2) NaCI KCl (8) II NaJVOs KN03 || C) NaNOa KNO s (3) Ь KNO,

(1) I (ю) LiCl | JAN О?, -+ + II <9> II LiNO% II (U) | (12) tiiVOa 1 NotNO, (13) с К NO*

«— xa ■+

Рис. 1. Схема эволюции зон в электрофоретической камере

Для смеси солей LiCl, NaCl, KCl, KNO3 начальное распределение концентраций в электрофорети ческой камере приведено на рис. 1 а. При движении смесь разделяется на зоны (отмечены номерами). Один из промежуточных этапов эволюции показан на рис. 1 Ь, финальная стадия — на рис. 1 с. Стрелки указывают направления движения границ зон (ударных волн). Границы х — Х\, х — х-i являются неподвижными ударными волнами — эффект электролитической памяти.

Пример интересен тем, что иллюстрирует процесс «синтеза» новых солей. На рис. 1 Ь, с видно, что при эволюции исчезают соли NaCl, KCl и образуются в соли ЫГЮз в зонах 9, 10, 11 и NaN03 в зоне 12, которых ранее в растворе не было. Впервые эти результаты получены в [14].

В § 9 в бездиффузионном приближении решена задача о разделении смеси сильных электролитов в случае больших концентраций кислот и оснований. Модель имеет вид (функции б,- = б,(/г) определены (5), г = -ш,...,-1,1,...,п, ср. с (9))

+ i^i} = 0, ^вкик = 0, s = > 0, Bi = 0,-(Ь). (П)

dt dx l s J k k

В общем случае для системы (11) не удается найти полную систему инвариантов Римана и даже доказать их существование. Однако, два таких инварианта, отвечающих двухкрактному собственному значению А = О матрицы dUj{ßidiUi/s) существуют. Это интегралы, известные в теории изотахофореза как функции Кольрауша: Г2 = £щ, (Qt = 0),

R = ЕшмГ1. № = 0). i

Несмотря на то, что для (11), в отличие от (9), инварианты Римана отсутствуют, в некоторых случаях для специальных начальных данных построено решение задачи об эволюции смеси. Сформулируем некоторые результаты, полученные в § 9, определив понятие зоны веществ, как пары U = {(о, 6); U}, где (а, Ъ) — интервал вещественной оси, U = (ui,..., ип) — постоянный вектор, называемый составом зоны. Зададим кусочно-постоянные начальные данные для системы уравнений (11) в виде Т -, S TL -зон: Т = (-оо, zj; Т), Т = (и[, 0,..., 0), S= (si.sa'.S), S = «...,«»), L = (s2,00; L), L= (0,..., 0,u£).

т u\ rrn-3 U1 Uf~2 S fr—' 3 ГГП-1 L

Ul щ u2 "2 "3 «2 «3 «n-a «2 «3 tin-a «0-1 u2 «3 «n-l "3 «n-2 «n-1 «n-2 »n-1 un

Xl

Рис. 2. Распад начального разрыва.

Распад начальных разрывов х = х\ и х = хг для одного из вариантов начальных данных (и® = 0, = 0) показан па рис. 2 и состоит из набора зон с составом: Т, и}, .., Щ~2, <?, ЦТ1,- ■ •, ^"Гь

£, где и? = (0,..., 0, и*, ик+и ..., ит-Ь ит, 0,..., 0) (на рис. 2 указан качественный состав, т.е. величины щ различны для зон). При дальнейшей эволюции в области х > х^ происходит взаимодействие между границами зон, состав которых отличается лишь на одну компоненту.

Показано, что возможно два типа взаимодействий: преобразование (С//1-1, (У/", —(С/*-1, и^х, при котором происходит «очист-

ка» зоны и^ от компонент щ и щ, и преобразование {Щ, Щ+1, Щ+1) —» (и¡у и¡+1), при котором исчезает зона

Физическое несовершенство моделей §§ 8, 9 заключается в том, что растворитель считается неподвижным, а его концентрация — постоянной. Модели справедливы лишь в случае, когда концентрации примесей малы по сравнению с концентрацией растворителя и их суммарный поток массы пренебрежимо мал. Учет движения растворителя позволяет скомпенсировать поток примесей, сохраняя смесь в целом неподвижной.

В § 10 изучена модель, свободная от упомянутых недостатков. Уравнения (1), (2), справедливые при любых концентрациях растворителя и примесей, после преобразований будут

дщ д ((щ - а)щ \ т-^п

где <5,- связаны с подвижностями и молекулярными массами компонент.

Из сравнения с (9) видно, что учет движения растворителя приводит к зависимости скорости переноса Д,- = щ — а от концентрации компонент смеси. Закон сохранения (10) в данном случае отсутствует и, имевшиеся ранее, неподвижные разрывы исчезают. Вместо них возникают разрывы, движущиеся со скоростью Уо = — ¿1-

На рис. 3 показано разделения смсси для одного из частных случаев. Линиям соответствуют границы между зонами (ударные волны), номерам отвечают зоны с различном составом компонент.

Ранее неподвижные границы х = хь х = Х2, в результате движения растворителя, в финальной стадии процесса перемещаться со скоростью Уо.

Рис. 3. Эволюция зон на (х, <) плоскости.

Вместо неподвижной границы х = Х\ возникает граница между зонами 1-4, а вместо границы х = х^. появляются границы между зонами 2-6, 5-8 и 4-9. В практике изотахофореза образование таких новых границ известно как появление «ложных» границ Кольрауша. Учет движения растворителя позволил описать эффект, который долгое время был необъясним и создавал серьезные трудности при экспериментах.

В § 11 исследована задача о ширине области границы между зонами. Влияние диффузионных эффектов на процесс разделения смеси описывается уравнениями

дщ д Г дщ щщ (. " <9кЛ\ Mi— I Mo I

г*« &+—{3+eLl/k~dï))== ¿гнет( }

где /¿о — подвижность противоиона, £ £ — диффузионный ток.

к=1 ах

В практике изотахофореза о качестве разделения смеси судят по поведению величины s, которая по физическому смыслу является проводимостью смеси электролитов и хорошо регистрируется приборами. В системе координат, движущейся со скоростью V вместе с областью границы между двумя соседними зонами, уравнение (12) записывается для функции S = s(z), где ez = j(x — jVt) — автомодельная переменная, т. е. рассмотрена задача о бегущей волне.

1S0 "! i-v vu,-0.95 Численный и асимптотический

анализ показали, что размер области границы между зонами L - (s(+oo) - s(-oo))/s'2(z0), где zq определено условием s"(zq) = О, будет большим в случае ць « Цк+1-Асимптотическая формула имеет вид: LV| ц0 |-1 ~ 2/(^+1 - vk), а результаты расчета приведены на рис. 4. Резкое увеличение L наблюдается также в случаях, когда Mк >| Mo |, М*+1 >| Mo I- Во всех остальных ситуациях L = О(е) при е 0.

Это указывает на возможность использования бездиффузионного приближения для исследования процесса изотахофореза.

Рис. 4. Ширина границы между зонами.

В § 12 большое внимание уделяется корректной постановке и решению задачи с кусочно-постоянными начальными данными для системы гиперболических уравнений с ограничениями алгебраического типа

сг + гх{с\ц-,а) = 0, г*(с;ц; а)|а=0= 0, щ — О, Н{с;^;а)= 0, (13)

где с = (сх,..., Сп) — концентрации компонент смеси, которые могут перемещаться внешним полем; г(с; ¡г; а) = (¿1, ¿2,..., гп) — плотность потока концентрации с; ц = ,..., цр) — концентрации неподвижных компонент; а = а(ах,..., а3) — концентрации компонент, которые не участвуют непосредственно в процессах переноса (это быстрые или «скрытые переменные»); К = Л(с; а) = (Лх,..., — алгебраические ограничения, например, источники массы за счет химических реакций.

Природа ограничений /г(с; ц; а) = 0 не обязательно химическая, но может иметь и чисто механический характер. В частности, подобными моделями описывают, движеиие снежной лавины (роль ограничений играют ямы на склоне, задерживающие часть снега) и движение вещества через область, к стенкам которой происходит частичное прилипание [41].

Далее речь идет о случае, когда с, /х, а скалярные величины. Начальные данные ц{х, 0) = ¡¿о(х) в силу /¿г = 0 формируют пространственно-неоднородную среду ц{х,1) = Цо{х)> в которой осуществляется перенос компоненты с(х,<). В случае, когда (¿о(х) = /¿х, х 6 [0,гсо] и ^о(х) = ¡12, х ^ [0, хо], неподвижные разрывы [1о(х) влекут дополнительные неподвижные контактные разрывы для с{х,{), возникают начальные данные на характеристиках, что, как известно, может служить причиной некорректности задачи.

Наиболее сложная ситуация будет, когда уравнения /г(с; ц\ а) = 0 разрешимы относительно величины а не при всех значениях ц и с, например, уравнение Н(с,/хх,а) = 0 имеет решение а = а{ц,\,с) лишь при выполнении неравенства с ^ с^ > 0, где Ст — некоторая константа, а уравнение Л(с, /¿2, а) = 0 разрешимо при всех с ^ 0. Оказалось, что для области х е [0, хо] и с > Ст поток г следует определять не при помощи естественного сужения г(с;^х;а(^х,с)), а используя замену г(с; дх;а(/хх,с)) г(с;^1;а(/х1,с))-г'(ст;^1;а(^1,ст)) = гпеш(с). Условие гпел1){ст) = 0, как раз, запрещает в области [0,хо] уменьшение концентрации с(х,Ь) ниже уровня Сщ.

Таким образом, алгебраическое условие неразрешимости (например, невозможность протекания химической реакции) оказывается более «сильным», чем перенос вещества электрическим полем. Эксперименты, проведенные при участии автора диссертации, подтвердили полученные теоретические результаты [43, 49, 59].

Рис. 5. Эволюция зоны при наличии «ловушки».

На рис. 5 показаны все типичные этапы эволюции для модели (13): распад начального разрыва (рис. 5, 0 < £ < т*); взаимодействие переднего фронта волны разрежения, т. е. слабого разрыва х = с неподвижным сильным разрывом х = хо (рис. 5, £ = тх, т\ < £ < £„, £ = £,,£«<£< 72); отрыв концентрации от области [0,хо] (рис. 5, £ = 72); взаимодействие слабого разрыва х = х&(1) с сильным разрывом х = х-у{£) (рис. 5 72 < £ < 7з, £ ^ гз). Особенное внимание уделено построению решения в окрестности неподвижного контактного разрыва, когда сильный разрыв х — Хо в момент £ = £» исчезает (слабый разрыв сохраняется) и затем вновь возникает. Предлагаемый способ построения решения для контактных разрывах, насколько это известно, ранее не был использован. Построена также асимптотика решения при £ —»■ оо.

Глава 3 «Бесконечнокомпонентные смеси» посвящена рассмотрению, так называемых, бесконечнокомпонентных смесей. На перспективность таких моделей указано впервые в [3]. Дело в том, что математическое описание смеси усложняется с ростом числа компонент и с увеличением числа химических реакций. Для смесей, количество компонент в которых крайне велико, компоненты следует характеризовать не дискретными номерами, а континуальным параметром сорта, возможно многомерным. Все математические модели Гл. 1, 2 естественным образом обобщаются на случай бесконечнокомпонентных смесей. Введено понятие 5-пространства параметров сорта э с положительной счетно-аддитивной мерой т, т. е. (£,£,т), где Е — сг-алгебра. В частности, для (тбЕ имеем т(сг) = J p{s)m(ds), где р(в) — плотность меры. Каж-

<7

дой точке я £ 5 соответствует компонента смеси. Суммы по индексам к заменяем интегралами по я относительно меры т. К случаю конеч-

покомпонентной смеси возвращаемся, когда 5" — конечное множество и плотность меры р(з) = 1 для каждого одноточечного множества.

Физико-химические свойства бесконечнокомпонентных смесей естественно следует описывать при помощи функции распределения кинетических коэффициентов по параметру сорта. Правильный выбор параметров сорта з требует определенной информации о смеси и допускает некоторый произвол. Возможно постулировать непосредственный переход от дискретной нумерации концентрации компоненты ск, к — 0,1,... к непрерывному параметру к с заменой концентрации на функцию распределения по параметру сорта с(к). Именно такой способ предлагается в [3, 40]. Для полимеров естественным континуальным параметром является длина молекулы. Однако, в качестве я можно выбрать, вообще говоря, любой параметр, характеризующий эту компоненту, например, его подвижность в электрическом поле или значение рН, при котором подвижность равна нулю. В случае задач конвекции при электрофорезе в качестве параметра сорта удобно выбирать пространственные координаты максимумов концентраций, отождествляя тем самым сорт вещества и его местоположение в некоторой области. Последний способ выбора параметра сорта позволил эффективно исследовать ряд задач о возникновении конвекции (см. [6, 27, 28, 32, 34-36] и § 19).

В § 13 подробно рассмотрена диссоциация полиамфолитов, типичными представителями которых являются аминокислоты и белки, имеющие т, кислотных и п основных групп. При диссоциации возникают положительные Н*Я и отрицательные Я~г ионы, а также нейтральная молекула Н°Я = Я0. Схема реакций имеет вид (ср. с (7))

Я'Д^Я^Д + Я+, i = l,..., + Я+, 1=1.....т.

Степень диссоциации вк(ф) для ¿-зарядного иона будет (ср. с (8)) вк(Ф) = 6кекф/ Е йе''*, * = —ш,..., —1,0,1,... ,п, £ вк = 1, где

г=—пг к=—пг

ф — функция кислотности: рН = — ^[Л] = — ^{Ке^), К — константа автопротолиза воды, 5к — определяются константами диссоциации.

Электрофоретическая подвижность 7, заряд е и проводимость а по-лиамфолита (квазикомпоненты) определяется аналогично (5) и имеют вид: 7 = £ к-уквк, е = £ квк, о = Е к2>уквк.

к=—гп к=—тп к=—т

В § 13 впервые получена связь между 7, е, а: <Шк1(кф = квк — евк и £¿7/йф = а — е7, существенно используемая в теории электрофореза.

В § 14 приведены: 1. модель процессов переноса в полиэлектролитах при создании среды для изоэлектрофокусирования, 2. модель изотахо-фореза в бесконечнокомпонснтной смеси, содержащей дополнительные

компоненты, характеризуемые дискретным параметром.

В § 14.1 бесконечнокомпонентная смесь описывается функциями распределения электрофоретической подвижности у(к,ф), заряда е(к,ф), проводимости сг(к, ф) и распределением концентрации с(к, х, t)

ct(k, х, t) + div i(k, x, t) — 0, к £ G, J e(k, ф(х, t))c(k, x, t)dk — 0, (14)

G

i(k, x, t) = —sy(k, ф{х, t))Vc(k, x, t) + 7(к, ф(х, t))c{k, x, t)E(x, t),

j = J{-eV[7(&, ф(х, t))c(k, x, i)] + a(k, ф{x, t))c(k, x, t)E{x, i)} dk.

G

В § 15 дана постановка задачи о создании стационарного р//-градиента, которая решена в § 16 асимптотическими методами. На основе одномерных стационарных уравнений (14), для заданного монотонного профиля функции кислотности ф = ф(х) определены состав смеси, т. е.

функция распределения J с(к, х) dx = М(к) — количества вещества к-го

сорта в смеси, функция распределения концентрации компонент смеси с(к,х) и напряженность электрического поля Е(х).

При построение главного члена асимптотики в § 16 рассмотрен наиболее сложный случай 7(к,ф) = 70е(к,ф), 70 = const. Показано, что для заданной монотонной функция кислотности ф(х) существует монотонная функция х = а(к) — распределение изоэлектрических точек, определяемая соотношением е(к,ф(а(к))) = 0, и существует обратная функция к — /3(х), определяемая соотношением е(/3(х),ф(х)) = 0 и указывающая параметр сорта к, для которого подвижность (и заряд) в точке х обращается в нуль. При е —0, для а(к), /?(ж) имеем уравнения

0хх(х) Mk{fi{x)) _ акк{к) Мк{к)

&(х) + МЦЗ{х)) ИЛИ ак(к) М(к) '

которые являются основными в теории изоэлектрофокусирования.

Решение М(к) — —Мйак(к) или M{(3(x))f3x(x) = — М0, где Мо > 0 — произвольный множитель, совместно с алгебраическим соотношением е(Р(х),ф(х)) = 0, определяет состав смеси М(к), необходимый для создания требуемого рЯ-градиента, т. е. ф{х).

В § 14.2 на основе (9) построена модель изотахофореза в бесконечно-компонентной смеси, характеризуемой функцией распределения скоростей переноса /i{k) по параметру сорта к € G. Осуществлен специальный выбор параметра сорта в случае ц'(к) > 0, что является необходимым условием для разделения смеси. В качестве параметра сорта к выбрана скорость переноса ц, (д = fi(k), Г = /^(G)). Это позволяет записать

бесконечнокомпонентную модель изотахофореза в форме

Для этих уравнений в § 17 получены инварианты Римана семейства гиперболических уравнений, характеризуемых непрерывным параметром.

Показано, что непосредственный перенос результатов для конечномерной системы на случай семейства уравнений невозможен. Требуется использование аппарата вариационной производной и обобщенных функций. Эти результаты впервые получены в [28].

Показано также, что имеется закон сохранения г(х) = ^ и{ц, х, ,

т. е. ъ = 0 (ср. с. (10)) и установлено, что инварианты Римана имеют вид К = Х(^.,и)з(х,{) и И(ц,и) € Г.

Рассмотрен ряд примеров, в частности, задача о финальной стадии процесса изотахофореза. Исследовано семейство гиперболических уравнений, зависящее от непрерывного параметра, дополненное конечномерной системой гиперболических уравнений. Для пространства сорта Г = Гои{м} 1Да«г} = Го = (щ,цт) и начального распределения:

г /°> хф(х1,х2),цеГо, , . (и>1,Х<Хи . . /о, х<х2,

6 Го, 10, х > ггь 1ц;,., х > х2

исследована финальная стадия процесса изотахофореза. Показано, что решение имеет вид бегущей волны и(/л, г) = Ф(ц)8(г — а(^)), г = х — УЬ, где 2 — автомодельная переменная, V — скорость движения финального распределения. Функция а(/х) указывает, в какой точке 2 находится вещество сорта ц. Величина Ф(/<) определяется законом сохранения массы: Ф(/л) = гу(д)(хг — хх), а для а(/х) имеем дифференциальное уравнение а'(¡г) = Ф(/1)/(/хг), где г = -шт/цг. Скорость движения финального распределения будет У = г-1. Решение иллюстрирует рис. 6.

и(щ) -1щ г = а(р) "(Мг) = »г

и(ц) = 0, м ^ № и(^) = 0, ц # рг

V = Щ щ < ц. < ц = рГ

V -+ V -л

Рис. б. Финальное распределение

Результат обобщен на случай многосвязной области, содержащей изолированные точки: Г={//1}иГхи{/4г}I) Гг и • • • иГп

< < {¿1 < Ц2 < 1Н < Иг < •••< Ип-1 < < < (М-

Глава 4 «Конвекция при электрофорезе» посвящена исследованию различных задач о гравитационной конвекции при электрофорезе. Конвективные процессы являются основным фактором, препятствующим получению высокой разрешающей способности электрофоретиче-ского разделения смеси на компоненты. Джоулево тепловыделение в среде с неоднородной проводимостью приводит к возникновению градиентов температуры и, как следствие, к конвективному перемешиванию жидкости, что естественно может повлечь существенное перераспределение концентраций компонент. Однако, тепловая конвекция, на наш взгляд, все-таки не является решающим препятствующим фактором высококачественного разделения смеси, т. к. применение в практике электрофореза охлаждающих устройств позволяет отвести от электрофоре-тической камеры основную часть тепла, существенно снизить градиенты температуры и предотвратить возникновение тепловой конвекции.

Гораздо более опасными являются эффекты, связанные с концентрационной гравитационной конвекцией. Естественно, что при разделении смеси возникает сильная стратификация плотности жидкости. Градиенты концентрации в окрестности областей, где сосредоточены отдельные компоненты, могут быть столь велики, что приведут к возникновению конвективного премешивания. Иными словами, с одной стороны для эффективного выделения компонент необходимо их концентрирование в малых областях, а с другой стороны именно это концентрирование и будет приводить к возникновению конвективных процессов.

В § 18 изучена задача о тепловой и концентрационной гравитационной конвекции в растворе сильного одно-одно валентного электролита. Основная цель — демонстрация необходимости учета диффузионных вкладов в джоулево тепловыделение. В частности, показано, что пренебрежение диффузионными добавками в закон Ома приводит к нефизическим эффектам — отбору тепла от раствора.

В § 19 решена задача о возникновении концентрационной гравитационной конвекции в бесконечпокомпонентной смеси. Показано, что в такой смеси в механическом равновесии имеется как мелкомасштабная стратификация плотности в окрестности изоэлектрических точек, где, как правило, распределение концентрации близко к ¿-образным функциям, так и крупномасштабная стратификация — непрерывная огибающая максимумов концентраций. Оказалось, что монотонная потеря устойчивости механического равновесия не происходит, зато возможно возникновение колебательной конвективной неустойчивости.

Уравнения Обербека-Буссинеска, описывающие конвекцию в беско-нечнокомпонентной смеси, взяты в форме

= -Vp + Av- к ÍG(s)a(s,x, t)ds, div и = O, (15)

az p

da(s x, t) + ж ¿4 0| i = -Va + UaVH(s,x), sé Г,

dt

где v(x,t) — скорость смеси; p(x,t) — давление; a(s, ж, i), i(s,x,t) — распределение по параметру сорта s концентрации и плотности потока; H(s, х) — распределение потенциала внешних сил, возникающих в результате действия электрического поля на компоненты смеси; Г — пространство параметров сорта; U — параметр интенсивности внешнего поля; G(s), P(s) — распределение числа Грасгофа и Прандтля; к — орт оси z, направленной против действия силы тяжести.

Для плоского горизонтального слоя потенциал выбирается в виде H(s, х) = H{s, z) = —1/2 (z — 2o(s))2, где 2q(s) — монотонная функция распределения изоэлектрических точек по параметру сорта, характеризующая местоположение точек в слое, к которым в результате эволюции стремится компонента сорта s. В стационарном состоянии в каждой точке zq($) содержится вещество только лишь сорта s и, следовательно, Zq можно выбрать в качестве параметра сорта: zq(s) = s.

Имеется механическое равновесие ao(s, z) = A(s) exp(UH(s, z)), которое при U —> +оо является ¿-образной функцией, как по параметру сорта s, так и по координате z. Величина yl(s) характеризует распределение максимумов равновесных концентраций и определяется условием J ao(s, z) dz = M(s), где M(s) — распределение массы. Плотность жидкости в используемом приближении определяется уравнением состояния р = р(а) и в равновесии p(ao(s, z)) имеет как мелкомасштабную стратификацию в виде распределения ¿-образных функций, так и крупномасштабную — огибающую максимумов.

При U —> Ч-оо главные члены асимптотики определяются нулями функции H(s, z) — максимумы концентраций компонент сорта s находятся в плоскостях z — s. Именно поэтому в асимптотических уравнениях параметр s всюду заменяется координатой z. Фактически, сорт компоненты определяется ее местоположением в слое жидкости. При U +оо, после замен v = и + kw, P(z)G(z)M(z) — RF(z), a(s, x, t) = a0(s, z) + 6(s, x, t) {G(s)M(s)}_1 A(s)eUH^\ имеем

vt + v ■ Vv = — Vp + Av — k9(z, z), div v — 0,

P(z) {et(z, z) + div (e(z, z) -u)} + RF(z) div и = Дцф, z),

где 9{z, z) = 0(s, z, xi, X2, t) и Дц — плоский оператор Лапласа, R — концентрационный аналог числа Рэлся, F(z) — функция, характеризующая

распределение параметров смеси поперек слоя.

Доказано, что в случае твердых и свободных плоских границ слоя монотонная неустойчивость при R > О, F'(z) ^ 0 невозможна и численно показана возможность возникновения колебательной неустойчивости. Для наиболее интересного, с нашей точки зрения, случая, когда крупномасштабное распределение плотности жидкости в равновесии постоянно поперек слоя и распределение коэффициентов диффузии не зависит от параметра сорта s, т.е. F(z) = 1 и P(z) — const, построены асимптотические формулы, хорошо совпадающие с результатами численных расчетов при Р > 100 (см. табл. 1).

Твердые границы Свободные границы

R. а. тп. Д. а. тП. Р

3646 3.350 9.44 1396 2.000 3.56 7

6026 3.420 5.66 2307 2.000 2.10 20

10349 3.440 3.31 3964 2.000 1.21 60

13338 3.450 2.57 5109 2.000 0.94 100

1330Я1/2 3.450 25.72Р"1/2 510Р1/» 2.020 9.49Р-1/2 Р

Таблица 1. Критические значения параметров для различных чисел Прандтля

В § 20 исследовано влияние одиночной примеси на возникновение конвекции в смеси. Основное внимание уделяется построению асимптотики нейтральных кривых монотонной потери устойчивости при И—^оо. Ситуация, описанная в § 20, наиболее типична для изоэлектрофокусиро-вания и позволяет детально изучить влияние сильных концентрационных неоднородностей на конвекцию смеси в целом. Построение асимптотики нейтральных кривых весьма актуально, т. к. как численные расчеты крайне затруднены — локальные неоднородности представляют собой ¿-образные функции, сосредоточенные в областях с размерами на два-четыре порядка меньшими размера электрофоретической камеры.

Изложенные в § 20 результаты следуют сразу нескольким работам [20, 22, 27, 29, 36]. Дана полная постановка задачи, приведено решение, отвечающее механическому равновесию, и рассмотрена линеаризованная задача. Для спектральной задачи развивается метод построения асимптотики нейтральных кривых при больших значениях разности потенциалов. Отметим, что построенная асимптотика строго обоснована Л. И. Сазоновым в [27, 36]. Эффективность асимптотического метода подтверждается результатами численных расчетов (см. [20, 22, 29]).

Уравнения модели формально получаются из (15), если положить — — ¿о), где го соответствует положению примеси в слое

~ = -Ур + Ди - Сак, Р^ + сИу г = 0, г = -Х7а - II'УЯ(г, г0)а.

Для определения критических параметров монотонной потери устойчивости исследованы уравнения

(£>2 - к2)2т = -к2веин, ЯыВ{еив) = 0{еин0в) - к2веи1{.

При 1/ —)• оо, в случае краевых условий и> = Оги = Ив = 0, построены асимптотические формулы для нейтральных кривых Яа = 11а(&, 17), Г*.а = СР - (и/2ж)112К. В частности, при г0 = О

п „ „, 1 ( и 11/2 Л г-к^Ъ2к-к2

^ к\тгхМтм) =2у/П ■

2 4

Если же го достаточно удалено от нуля, то формула имеет вид

Т(г, х) — функция Грина задачи: (02—к2)21л = 0, ^(т^) = = 0.

Этот же результат может быть получен решением модельной задачи, в которой ¿-образная функция еин^ заменена ¿-функцией Дирака.

В § 21 для задачи, подробно изученной в линейном приближении в § 20, при помощи метода Ляпунова-Шмидта определяется количество вторичных стационарных режимов, ответвляющихся от механического равновесия. Выяснилось, что при некоторых значениях диффузионного числа Прандтля может возникать четыре новых вторичных стационарных режима, при этом лишь два из них устойчивые. В § 21 получены уравнение разветвления и нестационарное амплитудное уравнение. Численный анализ зависимости коэффициентов уравнения разветвления от числа Прандтля показал, что имеются такие значения Р = Р,, при котором некоторые главные коэффициенты уравнения разветвления обращаются в нуль. Именно с этим связано возникновение четырех вторичных режимов, амплитуда которых пропорциональна корню четвертой степени от надкритичности, а не квадратному корню, как обычно бывает в аналогичных задачах конвекции.

Заключение. Перечислим наиболее важные результаты диссертации.

1. Построены непротиворечивые математические модели, описывающие поведение односкоростной многокомпонентной смеси в электрическом поле, без ограничений на малость концентрации компонент, с учетом термодинамики смеси и химических реакций.

2. На основе гипотезы о локальном химическом равновесии, для многокомпонентных сплошных сред с быстрыми химическими реакциями сконструированы и изучены модели новых типов сред — сильно физически нелинейных сред, состоящих их квазикомпонент.

3. Исследованы модели сплошных сред нового типа — смесей с бесконечным количеством компонент.

4. Дано полное исследование процессов разделения смесей электрическим полем на отдельные компоненты для сред, свойства которых формируются в процессе эволюции смеси (изотахофорез).

5. Разработаны новые подходы к решению систем квазилинейных гиперболических уравнений с алгебраическими ограничениями и развиты асимптотические методы решения задач для бесконечнокомпонентных смесей.

6. Многочисленными примерами подтверждено, что именно физические нелинейности, возникающие в результате химических процессов, играют наиболее существенную роль в нестационарных процессах переноса, а роль диффузии второстепенна, по крайней мере, для сильных электрических полей.

7. Обнаружен и объяснен ряд новых эффектов, подтвержденных экспериментами — эффект электролитической памяти, движение ложных границ и возникновение химических ловушек.

8. Исследовано возникновение конвекции в почти нестратифицирован-ной бесконечнокомпонентной смеси.

Список основных публикаций автора по теме диссертации

1. Аверков А.Н., Жуков М.Ю., Сахарова Л. В. Расчет стационарного рН-градиента в растворе аминокислот при больших плотностях тока // Труды IX Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов н/Д, 2005. Т. 1. Ростов н/Д: Изд. ООО «ЦВВР», 2005. С. 8-13.

2. Бабский В. Г. Жуков М. Ю., Юдовяч В. И. Электрофорез биополимеров в условиях невесомости. В сб.: Гидромеханика и тепломассообмен в невесомости. М.: Наука, 1982. С. 248-260.

3. Бабский В. Г., Жуков М. Ю., Юдович В. И. Математическая теория электрофореза: Применение к методам фракционирования биополимеров. Киев: Наукова

• думка, 1983. 202 с.

4. Бабский В. Г., Жуков М.Ю. Биофизические методы: Теоретические основы электрофореза. М.: Изд-во МГУ, 1990. Учебно-метод. пособие для студентов биол. ф-тов университетов. 87 с.

5. Бабский В. Г., Жуков М.Ю., Мыткис А. Д., Копачевский Н.Д., Слобожанин Л. А., Ткшцов А. Д. Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости. Киев: Наукова думка, 1992. 590 с.

6. Баркопский Ю.С., Жуков М.Ю., Цывенкова O.A. Свойства спектра задачи гидродинамической устойчивости при конвекции в бесконечнокомпонентной смеси // Деп. в ВИНИТИ 1994. № 594-В94. 24 с.

7. Жуков М. Ю., Юдович В. И. Многокомпонентные смеси в локальном химическом равновесии // Молекулярная биология. Вып. 28. Киев: Наукова думка, 1981. С. 54-57.

8. Жуков М. Ю., Юдович В. И. Основные уравнения гидроэлектротермодинами-ки многокомпонентных жидкостей // Молекулярная биология. Вып. 28. Киев: Наукова думка, 1981. С. 43-53.

9. Жуков М. Ю., Юдович В. И. Создание рН-градиента в растворе с помощью амфолитов-носителей // Молекулярная биология. Вып. 28. Киев: Наукова думка, 1981. С. 71-74.

10. Жуков М. Ю. Зависимость подвижности и электропроводности аминокислот в водном растворе от pH сред // Деп. в ВИНИТИ 1981. № 5825-81. 13 с.

11. Жуков М.Ю. Зависимость подвижности и электропроводности аминокислот в водном растворе от pH среды // Молекулярная биология. Вып. 31. Киев: Наукова думка, 1982. С. 85-91.

12. Жуков М.Ю., Юдович В. И. Математическая модель изотахофореза // Доклады АН СССР. 1982. Т. 267, № 2. С. 334-338.

13. Жуков М.Ю. Нестационарная модель изотахофореза // ЖВМ и МФ, 1984. Т. 24, № 4. С. 549-565.

14. Жуков М. Ю. Методика расчета движения зон и времени полного разделения смеси при изотахофорезе // Молекулярная биология. Вып. 36. Киев: Наукова думка, 1984. С. 28-34.

15. Жуков М.Ю., Король JI.E. Теоретическое и экспериментальное исследование возникновения конвекции при свободном зональном колоночном электрофорезе // III Всесоюз. семинар по гидродинамике и тепломассообмену в невесомости. Черноголовка, 1984. Тезисы докладов. С. 237-238.

16. Жуков М.Ю., Король Л.Е. Использование изотахофореза при постоянном напряжении для определения подвижности // Биополимеры и клетка. 1986. Т. 2, №5. С. 256-260.

17. Жуков М. Ю., Король Л. Е. Конвективное диффузионное и электромиграционное расширение зоны при свободном жидкостном электрофорезе // Космическая биология и биотехнология. Киев: Наукова думка, 1986. С. 54-66.

18. Жуков М. Ю., Король Л. Е. Модели конвекции для различных типов электрофореза в невесомости //IV Всесоюз. семинар по гидродинамике и тепломассообмену в невесомости. Новосибирск, 1987. Тезисы докладов. С. 106-107.

19. Жуков М.Ю., Степанов О. Б. Численное исследование монотонной потери устойчивости раствора сильного одновалентного электролита // Известия СКНЦ ВШ. 1987. > 14. С. 25-29.

20. Жуков М.Ю., Цывенкова O.A. Численное исследование влияния зоны вещества на концентрационную конвекцию при изоэлектрофокусировании // Космическая наука и техника. 1989. Т. 4. С. 30-35.

21. Жуков М.Ю., Бабский В. Г., Сазонов Л. И., Стоянов A.B. Теоретический анализ процесса изоэлсктрофокусирования белков на установке «Каштан» // Космическая наука и техника. 1989. Т. 4. С. 15-19.

22. Жуков М.Ю. Конвекция при разделении бескопечпокомпопептпой смеси // Всесоюзный семинар по гидродинамической устойчивости и турбулентности. Новосибирск. Институт теплофизики. 1989. Тезисы докладов. С. 142.

23. Жуков М.Ю., Бабский В. Г., Бударипа Л. В. Нелинейные концентрационные эффекты при переносе растворенного вещества в электрическом поле (зональный электрофорез) // Гидродинамика и процессы тепломассообмена. Свердловск: Изд-во Урал. отд. АН СССР, 1989. С. 37-41.

24. Жуков М. Ю., Бабский В. Г., Король Л. Е., Сазонов Л. И. Слабая естественная конвекция при изоэлектрофокусировании в жидкости в горизонтальном слое // Сб. «Задачи гидродинамики со свободными границами (динамика сплошной среды 89)». Новосибирск, 1989. С. 43-54.

25. Жуков М.Ю. Теоретический анализ причин асимметрии зон при зональном электрофорезе // Всесоюзная конференция электрофорезе. «Электрофорез-90». 1990. Тезисы докладов.

26. Жуков М. Ю., Бабский В. Г., Король JI. Е. Теоретическое и экспериментальное конструирование трис-борат-полиольных рН-градиентов // Всесоюзная конференция электрофорезе. «Электрофорез-90». 1990. Тезисы докладов.

27. Жуков М. Ю., Сазонов JI. И. Асимптотика собственных чисел для краевой задачи с ¿-образными коэффициентами//Деп. в ВИНИТИ 1993. № 1231-В93. 29 с.

28. Жуков М.Ю. Разделение бесконечнокомпонентных смесей электрическим полем // ЖВМ и МФ. 1994. Т. 34, X» 4. С. 576-583.

29. Жуков М.Ю., Цывенкова О. А. Численное исследование вторичных режимов концентрационной конвекции в задаче об электрофорезе при высоких напряжениях // Деп. в ВИНИТИ 1994. № 333-В94. 77 с.

30. Жуков М.Ю. Ширина зоны при изотахофорезе (две модели) // Деп. в ВИНИТИ 1994. № 330-В94. 22 с.

31. Жуков М.Ю., Цывенкова О. А. Ветвление решений, расчет и асимптотика нейтральных кривых монотонной потери устойчивости в задаче о концентрационной конвекции в электрическом поле // Известия РАН, МЖГ. 1994. № 5. С. 150-157.

32. Жуков М.Ю., Цывенкова О. А. Расчет нейтральных кривых монотонной потери устойчивости для задачи конвекции в бесконечно компонентной смеси // Известия РАН, МЖГ. 1995. № 5. С. 11-20.

33. Жуков М. Ю. Уравнения переноса масс для сильно концентрированных многокомпонентных смесей при наличии электрического поля. Модель изотахофореза // Математическое моделирование, 1995. Т. 7, №4. С. 19-28.

34. Жуков М. Ю., Петровская Н. В. О колебательной неустойчивости в почти нестрафицированной бесконечнокомпонентной смеси // Деп. в ВИНИТИ 1996. № 1147-В96. 46 с.

35. Жуков М. Ю., Петровская Н. В. Колебательная неустойчивость жидкости в почти нестрафицированной бесконечнокомпонентной смеси // Известия РАН, МЖГ. 1997. №5. С. 24-37.

36. Жуков М. Ю., Сазонов JI. И. Асимптотика собственных значений для краевой задачи с дельта-образными коэффициентами // Дифференциальные уравнения, 1997. Т.З, №4. С. 470-477.

37. Жуков М. Ю., Ширяева Е. В. Перенос примесей электрическим полем в двумерных каналах сложной формы // Труды IX Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов н/Д, 2005. Т. 2. Ростов н/Д: Изд. ООО «ЦВВР», 2005. С. 82-86. ■

38. Жуков М. Ю. Массоперенос электрическим полем. Ростов н/Д: Изд. РГУ, 2005. 216 с.

39. Babskii V. G., Zhukov М. Yu., Yudovich V. I. Advances in mathematical theory of isotachophoresis // 4-th Internat. Sympos. Isotachiphoresis. Hradec Kralove-Czechoslovakia, 1984. Book of Abstract. P. 4.

40. Babskii V. G., Zhukov M. Yu., Yudovich V. I. Mathematical Theory of Electrophoresis. Plenum Publishing Corporation, New York, 1989. 241 p.

41. Bello M.S., Zhukov M.Yu., lUghctti P.G. Combined effects on non-linear electrophoresis and non-linear chromatography on concentration profiles in capillary electrophoresis // Journal of Chromatography A. 1995. Vol.693. P. 113-130.

42. Ermakov S. V., Zhukov M. Yu., Capelli L., Righetti P. G. On the Measurement of Electrophoretic Mobilities by Means of Capillary Isotachophoresis at a Constant Voltage 11 Electrophoresis. 1985. №16. P. 2149-2158.

43. Ermakov S. V., Zhukov M. Yu., Capelli L., Righetti P. G. Artifactual Peak Splitting in Capillary Electrophoresis. Experimental and Theoretical Study // Anal. Chem. 1994. Vol. 66. P. 4034-4042.

44. Ermakov S. V., Zhukov M. Yu., CapelliL., Righetti P. G. Quantitative studies of different injection systems in capillary electrophoresis // Electrophoresis. 1994. № 15. P. 1158-1166.

45. Ermakov S. V., Zhukov M. Yu., Righetti P. G. High performance capillary electrophoresis: Experiment and simulation // Abstr. International Aerospace Congress. 1994, August. Moscow, 1994. P. 501.

46. Ermakov S. V., Zhnkov M. Yu., Righetti P. G. New Results in Computer ModcMf for HPCE: Direct Simulation of Electrophoretic Runs, Artifactual Peak Splitting // Abstr. Seventh International Symposium on High Performance Capillary Electrophoresis. Germany. January 29-February 2, 1995. P. 145-146.

47. Ermakov S. V., Zhukov M. Yu., Capelli L„ Righetti P. G. Quantitative Studies of Different Injection Systems in CE // Abstr. Seventh International Symposium on High Performance Capillary Electrophoresis. 1995. P. 175-176.

48. Ermakov S. V., Zhukov M. Yu., Capelli L., Righetti P. G. Wall Adsorption in Capillary Electrophoresis: Experimental Study and Computer Simulation // Journal of Chromatography (A). 1995. Vol. 17. P. 297-313.

49. Ermakov S. V., Zhukov M. Yu., Capelli L., Righetti P. G. Artifactual Peak Splitting in Capillarv Electrophoresis. II. Defocusing Phenomena for Ampholytes. Anal. Chem. 1995". Vol. 67. P. 2957-2965.

50. Ermakov S. V., Zhukov M. Yu., Righetti P. G. On the Solvent motion in electrophoresis systems // Electrophoresis. 1996. Vol. 17. P. 1134-1142.

51. Stoyanov A., Zhukov M.Yu., Righetti P.G. The Proteome Revisited: Theory and practice of all relevant electrophoretic steps //J. Chromatography. 2001. Vol.63 Elsevier, 2001. Chem. 572.6 R571 P967 2001. P. 1-462.

52. Zhukov M. Yu., Dabskii V. G. New result in the theory of isoelectric focusing // Proc. 2nd Internat. Confer. Biochem. Separat.-Dudapest. Hungary. 1988. P. 13-22.

53. Zhukov M. Yu., Dabskii V. G. Computerization of isot.achophoretic experiment // Abstr. 7th Danube Sympos. on Chromatography. Leipzig. 1989. Vol.11. P. 100.

54. Zhukov M.Yu., Dabskii V.G., Korol L.E. Construction of artificial pH-gradif^^^.. for isoelectric focusing (theory and experiment) // Abstr. 7th Danube Sympos.^^P ' Chromatography. Leipzig, 19S9. Vol. II. P. 102.

55. Zhukov M.Yu., Babslcii V.G., Korol L.E. Stability of artificial pH-gradients // Abstr. 7 Internat. Sympos. capillary electrophoresis and isotachoforesis. Tatranska Lomnice, Czechoslovakia, 1990. P. 13.

56. Zhukov M. Yu., Ermakov S. V'., Majorova O.A. Computer simulation of transient states in capillary zone electrophoresis and isotachophoresis // Electrophoresis. 1992. №13. P. 838-848.

57. Zhukov M.Yu., Ermakov S.V., Righetti P.G. Simplified mathematical model of irreversible sample adsorption in capillary zone electrophoresis // J. Chromatography (A). 1997. Vol.766, №15. P. 171-185.

58. Zhukov M. Yu., Ermakov S. V., Righetti P. G-, Capelli L. Theory and experimental validation // Electrophoresis. 1998. № 19. P. 192-205.

59. Zhukov M. Yu., Ermakov S. V., Righetti P. G. Modelling of transport processes in the presence of substance- locking effects // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1999. Vol.59, №2. P.743-776.

60. Zhukov M. Yu. Oscillatory instability in an infinite-component mixture // The British Applied Mathematics Colloquium. UEA. Norwich. UK. 19-22 April, 2004. Abstract of talks. P. 743-776.

Издательство ООО «ЦВВР». Лицензия ЛР № 65-36 от 05.08.99 г. Сдано в набор 28.03.06 г. Подписано в печать 28.03.06 г. Формат 60*84 1/16 Заказ № 709. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Оперативная печать. Тираж 100 экз. Печ. Лист 1,94. Усл.печ.л. 1,80. Типография: Издательско-полиграфический комплекс «Биос» РГУ 344091, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 28.2, корп. 5 «В», тел. (863) 247-80-51. Лицензия на полиграфическую деятельность № 65-125 от 09.02.98 г.

Введение

1 Основные уравнения и общие модели

§ 1 Основные уравнения баланса.

§ 1.1 Уравнения баланса массы, импульса, энергии.

§1.2 Неравенство Клаузиуса-Дюгема (баланс энтропии)

§1.3 «Источник» энтропии.

§ 1.4 Основные уравнения для описания поведения смеси

§ 2 Термодинамическое описание смеси.

§ 3 Определяющие соотношения.

§ 4 Модель электрофореза.

§ 5 Приближение Обербека-Буссинеска.

§ б Локальное химическое равновесие.

2 Изотахофорез

§ 7 Математические модели изотахофореза.

§7.1 Сильные электролиты.

§7.2 Слабые электролиты

§ 7.3 Большие концентрации кислот и оснований.

§ 8 Бездиффузионное приближение

§8.1 Уравнения и условия на разрыве.

§8.2 Инварианты Римана.

§8.3 Построение решения.

§ 8.4 Задача о распаде начального разрыва.

§8.5 Взаимодействие разрывов.

§ 8.6 Разделение смеси электролитов.

§8.7 Оценка времени разделения смеси.

§8.8 Пример 2.1 (смесь, лидер, терминатор)

§8.9 Пример 2.2. (разделение смеси сильных электролитов)

§8.10 Пример 2.3. (кулонофоретическое титрование)

§9 Бездиффузионное приближение для смеси кислот и оснований с большими концентрациями.

§9.1 О гиперболичности системы (9.2)-(9.4)

§9.2 Условия на разрыве в случае одного противоиона

§ 9.3 Постановка задачи.

§ 9.4 Построение решения (распад начального разрыва)

§9.5 Построение решения (взаимодействие разрывов)

§ 10 Бездиффузионное приближение для электролитов в случае, когда концентрации растворителя и растворенных веществ сравнимы по величине.

§11 Профиль ударной волны при малой диффузии.

§11.1 Постановка задачи.

§11.2 Построение решения.

§11.3 Проводимость смеси s(z)

§ 12 Эволюция зон при наличии химической ловушки.

§12.1 Дифференциальные уравнения с алгебраическими ограничениями.

§ 12.2 Перенос одного вещества

§12.3 Эволюция кусочно-постоянного профиля (12.19)

§ 12.4 Асимптотика решения при t —> оо.

§ 12.5 Вспомогательные соотношения.

§ 12.6 Модель реальной химической ловушки

3 Бесконечнокомпонентные смеси

§ 13 Диссоциация полиамфолитов.

§13.1 Соотношения между 7, е, <то

§ 14 Модели бесконечнокомпонентных смесей

§14.1 Описание эволюции смеси полиэлектролитов.

§ 14.2 Модель изотахофореза в бесконечнокомпонентной смеси

§ 15 Постановка задачи о создании одномерного стационарного р#-градиента.

§ 16 Построение главного члена асимптотического разложения решения при £ -> О.

§ 16.1 Пример (специальный выбор параметра сорта)

§ 16.2 Пример (линейный р#-градиент).

§ 17 Изотахофорез в бесконечнокомпонентной смеси

§ 17.1 Инварианты Римана.

§ 17.2 Финальная стадия процесса изотахофореза.

§17.3 Пример (использование «спейсеров»)

4 Конвекция при электрофорезе

§ 18 Монотонная потеря устойчивости в растворе сильного одноодновалентного электролита

§ 18.1 Постановка задачи.

§ 18.2 Механическое равновесие.

§ 18.3 Линеаризованная задача устойчивости.

§ 18.4 Численные результаты.

§ 19 Асимптотическая модель конвекции в бесконечнокомпонентной смеси.

§ 19.1 Постановка задачи.

§ 19.2 Механическое равновесие.

§ 19.3 Главный член асимптотики для задачи (19.1)—(19.7) в случае U —> +оо.

§19.4 Линеаризованная задача (19.13)—(19.17).

§ 20 Асимптотика нейтральных кривых линеаризованной задачи монотонной потери устойчивости для процесса изоэлектрофокусирования при высоких напряжениях.

§ 20.1 Постановка задачи.

§ 20.2 Механическое равновесие.

§ 20.3 Линеаризованная задача.

§ 20.4 Спектральная задача для определения критических параметров конвективной неустойчивости.

§ 20.5 Построение асимптотики Ra = Ra(fc, U) при U oo

§ 20.6 Предельный случай. Замена 5-образных коэффициентов ^-функциями.

§ 20.7 Некоторые численные результаты исследования монотонной потери устойчивости.

§ 21 Ветвление решений в случае монотонной потери устойчивости

§21.1 Уравнения и краевые условия.

§21.2 Операторная форма задачи.

§21.3 Стационарное решение.

§ 21.4 Зависимость коэффициентов уравнения разветвления от числа Прандтля.

§ 21.5 Уравнение разветвления в окрестности Р = P*(zq, U)

§21.6 Нестационарное амплитудное уравнение.

§21.7 Результаты расчетов.

Актуальность темы. Процессы тепломассопереноса в химически и биологически активных многокомпонентных средах являются важной составной частью различных научных, промышленных и экспериментально-конструкторских технологий. Исследование таких процессов — одна из главных задач механики сплошных сред. Особый интерес представляют случаи, когда тепломассоперенос осуществляется в результате действия внешних силовых полей различной природы — электромагнитного, акустического, гравитационного, вибрационного и т. п. Детальное изучение таких воздействий открывает широкие возможности для управления процессами переноса, например, с целю их оптимизации.

Яркий пример, демонстрирующий для многокомпонентных химически активных сред большинство наиболее типичных явлений, представляет собой электрофорез — движение (перенос) отдельных компонент смеси при помощи электрического поля. С точки зрения исследований сплошной среды, именно электрофорез является наиболее привлекательным объектом для изучения процессов тепломассопереноса в химически активных средах. Особенностью электрофореза является одновременное наличие, по крайней мере, трех типов процессов — химических реакций, переноса под действием электрического поля и диффузии. Эти процессы, как правило, имеют существенно различные масштабы характерного времени.

Наиболее быстрыми являются химические реакции и именно они формируют основные физико-химические свойства сплошной среды. В результате таких реакций исходная многокомпонентная смесь достаточно быстро образует некоторую смесь, состоящую из квазикомпонент. В этом случае имеет смысл говорить о некоторой совершенно новой сплошной среде с иными уравнениями состояния. Практически все физические свойства такой «квазисреды», по крайней мере, кинетические коэффициенты переноса, будут являться функциями концентраций квазикомпонент, задаваемыми химизмом процесса.

Более медленный, чем химические реакции, перенос вещества электрическим полем будет осуществляться фактически в новой квазикомпонентной сплошной среде с сильными физическими нелинейностями. Движение квазикомпонент под действием электрического поля в свою очередь приведет к перераспределению концентраций и, как следствие, к изменению свойств среды.

Самые медленные из перечисленных — диффузионные процессы, скорее всего, будут играть незначительную роль, сглаживать неоднородности среды и оказывать существенное влияние лишь на заключительных этапах эволюции смеси.

Вышесказанное, в частности, означает, что изучение электрофореза дает возможность исследовать сильно физически нелинейную сплошную среду, свойства которой могут изменяться в результате эволюции под действием электрического поля. Более того, имеется возможность формировать нужные свойства такой среды за счет химических реакций, что делает исследования привлекательными с точки зрения экспериментов и различных технических приложений.

Заметим, что на практике под электрофорезом обычно, более узко, понимают, так называемый метод электрофреза — способ разделения многокомпонентных смесей на отдельные компоненты при помощи электрического поля. Имеются различные модификации этого метода — изоэлектри-ческое фокусирование, изотахофорез, зональный электрофорез, капиллярный электрофорез, пульс-электрофорез, электрофорез в литографических массивах и т. п. Все эти методы широко применяются в медицине и биотехнологии как для получения и выделения отдельных веществ из смеси (препаративный электрофорез), так и для определения состава смесей (аналитический электрофорез). Метод электрофореза является составной частью некоторых космических биотехнологий, предназначенных для получения новых биологических препаратов и активно используется в аналитических целях, в частности, при расшифровке генома человека.

Цель и задачи исследования. Целью диссертации является построение и детальное изучение новых математических моделей массопереноса вещества в многокомпонентных средах для случаев, когда физико-химические свойства смеси в основном определяются быстрыми химическими реакциями. Уточним, что речь идет о моделях многокомпонентных гомогенных (однофазных) смесей, а не о моделях переноса в гетерогенных (многофазных) сплошных средах. Последние характеризуются, как правило, наличием макроскопических частиц и для их описания используются уравнения многоскоростного континуума.

Основные усилия при исследовании сосредоточены на наиболее типичных и важных задачах эволюции многокомпонентной сплошной среды. К таким задачам относятся следующие:

1. Построение непротиворечивой модели, описывающей поведение одно-скоросгпной многокомпонентной смеси в электрическом поле, без ограничений на малость концентрации компонент, с учетом термодинамики смеси и химических реакций.

2. Построение конкретных асимптотических моделей, непосредственно описывающих всевозможные типы метода электрофореза.

3. Полное исследование процесса разделения смеси электрическим полем на отдельные компоненты в случае, когда среда разделения формируется в процессе эволюции смеси и сильно стратифицирована по концентрациям (изотахофорез).

4. Демонстрация того факта, что именно физические нелинейности, возникающие в результате химических процессов, играют наиболее существенную роль в нестационарных процессах переноса, а роль диффузии второстепенна, по крайней мере, для сильных электрических полей (бездиффузионное приближение и электромиграционные эффекты).

5. Исследование процессов формирования заранее заданных физических свойств для сплошных сред в стационарном состоянии (изоэлектри-ческое фокусирование).

6. Рассмотрение сплошных сред нового типа — смесей с бесконечным количеством компонент.

7. Исследование концентрационной гравитационной конвекции, в частности, с целью изучения факторов, препятствующих фракционированию смесей.

Методология исследования. Основное внимание в диссертации уделяется получению строгих математических результатов, развитию и совершенствованию методов решения задач для многокомпонентных сплошных сред. С этой целью при конструировании моделей используется формализм феноменологической неравновесной термодинамики, позволяющий получать корректные модели сплошных сред, описывающие практически все мыслимые эффекты без дополнительных эвристических предположений. На основе общих моделей с учетом масштабов параметров строятся асимптотические модели. В частности, большинство моделей переноса в случае большой интенсивности напряженности электрического поля исследуются в бездиффузионном приближении, когда эволюция смеси хорошо описывается системами квазилинейных гиперболических уравнений. В некоторых случаях для решения гиперболических уравнений разработаны специальные методы решения, т. к. при постановках задач возникают плохо исследованные ситуации — начальные данные на контактных характеристиках, алгебраические ограничения, бесконечные системы уравнений (семейства уравнений, зависящие от континуального параметра). В случаях, когда не удается построить аналитическое решение, широко используются и развиваются асимптотические методы (в частности, для уравнений с 5-образыми коэффициентами), а также численные методы решения.

Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты имеют широкую область применения в медицине и биотехнологии при разработке новых методов фракционирования смесей, анализа и получения биологических препаратов. Развитые в диссертации методы конструирования и исследования математических моделей позволяют получить большой объем информации, необходимой для понимания процессов, протекающих в стратифицированных многокомпонентных сплошных средах с сильными физическими нелинейностями. Развитые подходы к решению конкретных задач, в частности, асимптотические методы, могут использоваться в близких задачах механики сплошной среды, например, при изучении процессов детонации, горения, движения снежных лавин, ледников и т. п.

Научная новизна положений, выносимых на защиту. В диссертации развито новое научное направление, которое можно охарактеризовать как исследование процессов переноса в химически активных средах, физические свойства которых сильно нелинейны и существенно изменяются в процессе эволюции.

1. Получены новые корректные математические модели для описания многокомпонентных сред без предположения малости концентраций компонент, а также модели для описания бесконечнокомпонентных смесей.

2. Развиты и усовершенствованы методы решения систем гиперболических уравнений с алгебраическими ограничениями и начальными данными на контактных характеристиках.

3. Развиты асимптотические методы решения задач с ^-образными коэффициентами и задач для бесконечнокомпонентных смесей.

4. Обнаружен и объяснен ряд новых специфических эффектов — электролитическая память и ложные границы Кольрауша (сохранение информации о начальных данных в жидкой среде), возникновение химических ловушек (блокирование переноса с последующим отрывом вещества от зоны блокирования).

5. Исследованы наиболее важные случаи возникновения конвекции в смесях и, в частности, обнаружена колебательная конвективная неустойчивость в почти нестратифицированной жидкости с бесконечным количеством компонент.

Большинство полученных результатов хорошо подтверждено и обосновано натурными экспериментами, в которых автор диссертации принимал непосредственное участие.

Краткий историко-литературный обзор.

Электрофорез и электроосмос были открыты в 1809 г. московским химиком Ф. Ф. Рейссом, который наблюдал движение коллоидных частиц в растворе под действием электрического поля. Позже были открыты и другие электрокинетические эффекты — потенциал седиментации в 1878 г. Е. Дорном (эффект Дорна), потенциал течения в 1859 г. Г. Квинке. Первое физическое объяснение процесса электрофореза (в общем случае всех электрокинетических явлений) было дано М. Смолуховским в 1905 г. на основе представлений о двойном электрическом слое на границе раздела и фаз твердая частица — жидкость. Достаточно полная теория электрофореза в гетерогенных средах (твердые примеси, коллоидные частицы) была построена С. С. Духиным и Б. В. Дерягиным (см. [37] и имеющийся там обзор литературы). Упомянем также монографию [34], в которой на основе неравновесной термодинамики дискретных систем, описаны все электрокинетические явления.

Прибор для проведения электрофореза в гомогенных средах, в частности, в растворах электролитов впервые был создан А. Тизелиусом в 30-е годы, хотя, скорее всего, метод движущихся границ Тизелиуса был известен уже Ф. Кольраушу (см. [228]). Метод зонального электрофореза для выделения примесей из раствора и другие электромиграционные методы, основанные на различиях в электрофоретической подвижности примесей, широко применялся в медицинских и биологических исследованиях в 4050-ые годы (см. [117, 129].

В 1963 г. Б. П. Константиновым и О. В. Ошурковой был открыт метод капиллярного изотахофореза [80], который затем активно развивался в работах P. Восек и др. (см., например, [146, 153, 200]; чаще всего именно на авторов работы [153] ссылаются незаслуженно, как на первооткрывателей изотахофореза).

Математическая модель изотахофореза в простейшем случае для сильных электролитов впервые получена в 1975 г. G. Т. Moore [246] и исследована численно для случая трехкомпонентной смеси. Для произвольного случая п компонент аналитическое решение задачи — задачи о распаде начального разрыва для систем квазилинейных гиперболических уравнений, было построено в 1982 г. М.Ю. Жуковым и В. И. Юдовичем [44]. Аналогичные результаты почти одновременно были получены Т. В. Алексеевской (см. [3], а также [5] и имеющуюся там библиографию). Отметим также весьма схожие результаты для метода хроматографии, полученные в работе Н. Н. Кузнецова [86] еще в 1967 г. В 90-ые годы выяснилось, что уравнения, описывающие бездиффузионный изотахофорез, и аналогичные уравнения для хроматографии, принадлежат к классу интегрируемых систем гидродинамического типа, и их решение для задачи Коши с гладкими начальными данными было построено Е. В. Ферапонтовым и С. П. Царевым в 1991 г. [123] и детально исследовано М. В. Павловым в 1992 г. [102] обобщенным методом годографа (см., в частности, [126, 127]). К сожалению, непосредственное использование этих, несомненно, важных результатов, именно в теории изотахофореза затруднено, так как методы работ [102, 123, 126,127] существенно используют гладкость начальных данных, а в реальных условиях изотахофореза начальные данные кусочно-постоянны и процесс, как правило, описывается ударными волнами и волнами разрежения.

Большой вклад в теорию электромиграции ионов и метод движущейся границы, который предшествовал изотахофорезу в 40-60 годы внес L. G. Longs worth (см., в частности, [238-240]). Исследованию финальных стадий изотахофореза с точки зрения применимости его для разделения смесей в медицинских, биологических и химических целях посвящены монографии [115, 153, 192] (см. также [205] и [251], в которых нестационарный процесс изотахофореза исследован численными методами).

Другой метод электрофореза — изоэлектрическое фокусирование, был предсказан Т. Suzuki в 1912 г. и получил широкое развитие после открытия О. Vesterberg и Н. Rilbe (Svensson) [274, 275, 304, 305] способа создания естественных р#-градиентов (среды для проведения процесса) при помощи открытых ими, так называемых, амфолитов-носителей. В [274, 275] дано химическое обоснование возможности формирования заранее заданных свойств смеси и проведение в такой среде процесса выделения компонент, как правило, аминокислот, белков, пептидов и других биологических объектов. В дальнейшем этот метод получил очень широкое развитие, как один из наиболее эффективных и высокоточных методов анализа смесей (см., [1, 2, 78, 79, 96, 109, 118, 121, 151, 154, 158, 159, 204, 207, 208, 222, 250253, 257, 272, 273, 279, 282, 283, 294, 300, 307, 332]). Особенно следует отметить вклад P. G. Righetti, предложившего новый эффективный способ создания рЯ-градиентов при помощи иммобилизации веществ в электро-форетической камере [273].

В начале 80-ых годов была опубликована серия работ М. Ю. Жукова, В. И. Юдовича [39-41], в которых впервые были построены общие математические модели электрофореза на основе теории односкоростного многокомпонентного континуума. Уравнения для описания многокомпонентных сред на основе феноменологической неравновесной термодинамики к этому времени уже были хорошо известны и приведены, например, в [138, 221] и классических монографиях [31, 34, 38, 87, 90, 94, 95, 107, 112, 114, 125, 299]. Однако, при конструировании определяющих соотношений между термодинамическими потоками и силами в упомянутых работах ограничивались общими, только лишь линейными, соотношениями Онзагера. В частности, при описании химических реакций рассматривалась линейная связь между источниками массы и комбинациями химических потенциалов (химическим сродством), тогда как для нелинейных уравнений химической кинетики необходимо использовать нелинейные соотношения Онзагера (впервые это сделано И. Ф. Бахаревой [20]). Иными словами, уравнения, имеющиеся в [31, 34, 38, 87, 89-91, 94, 95, 107, 112, 114, 125, 138, 221, 299], фактически не описывали сплошные среды, в которых протекали активные быстрые химические процессы. Более того, используемые в упомянутых работах упрощения приводили к уравнениям для слабых растворов, то есть не позволяли описывать среды, концентрации компонент в которых сравнимы по величине.

Решающей для создания математической теории массопереноса в химически активных средах, в том числе и для электрофореза, стала работа М.Ю. Жукова и В. И. Юдовича [39] о локальном химическом равновесии, в которой было показано, что в средах с быстрыми химическими реакциями процессы переноса должны описываться «медленными переменными» — интегралами уравнений химической кинетики. Стало ясным, что в результате химических процессов формируются фактически новые сплошные среды с нелинейными свойствами и, более того, свойства этих сред меняются в процессе эволюции. Гипотеза о локальном химическом равновесии позволила определить функциональную зависимость кинетических коэффициентов переноса от медленных переменных и объяснить многие специфические особенности процесса электрофореза. Например, выяснилось, что электрически нейтральный комплекс, образованный в результате химических реакций, тем не менее может перемещаться электрическим полем, т. к. образующие его ионы имеют различные подвижности.

Дальнейшее развитие математическая теория электрофореза получила в работах В. Г. Бабского, М. Ю. Жукова, В. И. Юдовича [8, 11, 15, 142], R.A. Mosher, D.A. Savilie, W. Thorman [251], M. Bier [150, 151] и др. В монографии [11, 142] и в [76] была окончательно построена базовая модель электрофореза, дана классификация всех важнейших методов электрофореза и для случая смесей с большим количеством компонент введено важное понятие бесконечнокомпонентной смеси — сплошной среды нового типа, в которой дискретные номера компонент заменяются континуальным параметром сорта и свойства среды характеризуются функциями распределения по параметру сорта. Выяснилось, что хорошо развитая в работах P. Lax и Б. JI Рождественского [110, 111, 230, 231] теория квазилинейных гиперболических уравнений является наиболее удобным математическим аппаратом для решения конкретных задач массо-переноса в химически активных многокомпонентных средах, т. к. процессы переноса в таких средах определяются в основном нелинейностя-ми, а эффекты диффузии важны лишь либо для заключительных этапов эволюции, либо при рассмотрении стационарных режимов (см. работы М. Ю. Жукова, Т. В. Алексеевской, С. В. Ермакова, P. G. Righetti и др. [35, 44, 46, 47, 58, 66, 67, 70, 86, 101, 123, 147, 188, 246, 327, 330]).

Дальнейшему развитию математической теории электрофореза способствовал бурный прогресс в 70-80 годы молекулярной биологии, в которой электрофорез занял важное место как метод анализа и получения новых биологических препаратов, развитие новых биотехнологий, в том числе и космических биотехнологий. В 1979 г. был основан журнал Electrophoresis, отдельные выпуски которого (например, в 1988, 1996, 2000, 2002 и 2004 годах) полностью посвящены математическим моделям. В работах [2, 15, 16, 32, 42, 43, 49, 50, 98-100, 104-106, 115, 118, 150, 153, 159, 177, 178, 180, 186, 187, 192, 250, 253, 272, 273, 300, 328] решены многие важные прикладные задачи, позволившие существенно улучшить разрешающую способность методов фракционирования смесей. Большое количество работ посвящено развитию методов космической биотехнологии, в частности, исследованию конвективной устойчивости электрофореза в условиях близких к невесомости (см. гл.9 в [17] и [7, 8, 18, 22, 45, 48, 52, 53, 55, 56, 59, 60, 68, 104106, 128]). Исследованию бесконечнокомпонентных смесей, применению и развитию асимптотических методов для решения, возникающих при этом задач, посвящены работы [11, 64, 71-73, 132, 134, 142]. Моделированию процесса изоэлектрофокусирования особенно в борат-полиолных системах (метод предложен Г. В. Троицким и Г. Ю. Ажицким [118]; см. также [27]) посвящена диссертация В. Г. Бабского [16] (см. также [2]).

Следует отметить ту особую роль, которую сыграл В. Г. Бабский в развитии практики и теории электрофореза в СССР с 1978 г. по 1991 г. Именно благодаря В. Г. Бабскому теория электрофореза выделился в самостоятельное научное направление, ему удалось объединить разрозненные научные группы, занимающиеся этой проблемой, провести ряд всесоюзных семинаров и конференций (Киев - 1982, Канев - 1985, Оболенск, Пущино - 1987, Рига - 1990). В результате его усилий был реализован ряд экспериментов по электрофорезу в невесомости, способствующих развитию космических биотехнологий.

В последнее время интенсивно развиваются новые направления электрофореза. Здесь следует отметить капиллярный электрофорез (СЕ) и капиллярный зональный электрофорез (CZE) [145, 163, 199, 206, 212, 220, 248, 256, 268, 270, 286-289, 295, 302, 303, 317]; двух- и трехмерные реализации метода электрофореза, к которым тесно примыкает электрофорез в микроскопических капиллярах, так называемых литографических массивах и микрочипах (одно из направлений нанотехнологии) [74, 152, 164166,174,189-191, 211, 215, 219, 223, 224, 226, 233, 237, 245, 255, 266, 271, 276, 280, 309, 318]; электрофорез биополимерных молекул ДНК и пептидов — теория, объединяющая микроскопические и макроскопические подходы к конструированию моделей электрофореза (см., например, обзор J.-L. Viovy [306] и [136, 144, 148, 155, 213, 225, 249, 258, 262, 264, 278, 281, 291, 292, 310, 312, 313, 316]); теорию химических реакций, типичных для макромолекул ДНК и пептидов [285].

Следует также сказать, что большое внимание привлекают сопутствующие электрофорезу эффекты, например, электроосмос, теория которого, по существу, строится на основе теории электрофореза (см. серию работ [160-162, 173, 201, 232, 243, 247, 259-261, 269, 277, 296-298, 314, 315]). В связи с последними исследованиями [83, 143, 214, 241] возрос интерес к свободному жидкостному электрофорезу и к использованию электрофореза для управления химическими реакциями [171, 172, 175, 176, 176, 211, 216, 217, 227, 242, 263].

Методы теории квазилинейных гиперболических уравнений [110, 111, 120, 230, 231], используемые для решения большинства задач теории мас-сопереноса при электрофорезе, и упоминаемый ранее обобщенный метод годографа [36, 126, 127] неуклонно развиваются и в последнее время достигнут существенный прогресс в решении достаточно широкого класса пространственно одномерных и многомерных задач аналитическими (см., например, [92, 124, 137, 149, 156, 157, 167, 168, 170, 210, 218, 236]) и численными методами (см., например, [137, 170, 229, 236, 244]).

Содержание диссертации и апробация результатов.

Первая глава диссертации посвящена конструированию уравнений для описания поведения химически активной многокомпонентной сплошной среды при наличии электрического поля. На основе этих общих уравнений в последующих главах последовательно рассматриваются всевозможные частные модели транспорта вещества в электрическом поле и задачи, непосредственно связанные с различными видами электрофореза. При выводе уравнений удалось ликвидировать некоторые, имеющиеся ранее в подобных уравнениях, неточности — в химический потенциал включена кинетическая энергия относительного движения компонент, из теплового потока исключен макроскопический перенос тензоров напряжений отдельных компонент. В конечном итоге это позволило убрать все прежние несогласованности в основных уравнениях и, в частности, корректно определить поток энтропии и «источник» энтропии.

При построении общей односокоростной модели не делается никаких предположений о слабости раствора и концентрации всех компонент смести считаются сравнимыми по величине. Это, в частности, позволяет в дальнейшем учесть эффекты, вызванные движением растворителя. Подробно рассмотрена классическая термодинамика смеси и указано какие предварительные данные должны быть заданы (например, на основе экспериментальных данных) для полного определения всех термодинамических потенциалов. Построены определяющие соотношения для плотности потоков массы, обладающие тем свойством, что сумма локальных потоков массы автоматически равна нулю без дополнительных предположений о кинетических коэффициентах переноса. Попутно показано, что коэффициенты бародиффузии не являются произвольными кинетическими коэффициентами, а связаны с другими коэффициентами уравнения состояния смеси, в то время как параметры диффузии, термодиффузии и электро-форетические подвижности являются независимыми кинетическими коэффициентами.

В данной главе сформулировано, ключевое для дальнейшего, понятие локального химического равновесия. Именно гипотеза о локальном химическом равновесии не только существенно упрощает описание процессов переноса в смесях с быстрыми химическими реакциями, но и фактически определяет новый тип сплошной среды — среды, состоящей из квазикомпонент (интегралов уравнений химической кинетики) с сильно нелинейными свойствами.

В § 1 приведены парциальные уравнения баланса для массы, импульса, энергии и на их основе построены уравнения для смеси. Сформулирован второй закон термодинамики для смеси (неравенство Клаузиуса-Дюгема) и получено выражение для «источника» энтропии.

В § 2 дано полное термодинамическое описание смеси. Указаны соотношения, которые следует задавать для того, чтобы полностью определить все термодинамические величины, содержащиеся в уравнениях баланса.

В § 3 построены определяющих соотношения для смеси со сравнимыми по величине концентрациями. На матрицу кинетических коэффициентов при этом не накладывается никаких ограничений, кроме неотрицательной определенности матрицы.

В § 4 получена полная замкнутая модель электрофореза. Варианты этой базовой модели с различными упрощениями используются на протяжении последующих глав диссертационной работы.

В §5 для описания конвективных явлений, сопутствующих процессу электрофореза, математически корректно, то есть при помощи предельных переходов по соответствующим малым параметрам, получена модель Обербека-Буссинеска. Варианты этой модели используются для описания концентрационной гравитационной конвекции в смесях в главе 4.

В §6 сформулирована гипотеза о локальном химическом равновесии. Этот результат является одним из центральных в диссертации и позволяет получить описание практически всех процессов, протекающих при электрофорезе.

Во второй главе диссертации сформулирован и детально исследован ряд задач изотахофореза — метода разделения смесей на отдельные компоненты при помощи электрического поля.

В § 7 рассмотрены модели переноса вещества в общем случае и сделаны возможные упрощения для смесей сильных и слабых электролитов, в том числе и для случая больших концентраций слабых электролитов. Эти модели в различных модификациях далее используются для решения конкретных наиболее интересных и важных задач изотахофореза и зонального электрофреза. При построении моделей активно использована гипотеза о локальном химическом равновесии.

В §8 подробно исследовано бездиффузионное приближение в случае сильных и слабых электролитов. Получены строгие результаты о распаде начального разрыва для систем квазилинейных гиперболических уравнений, о взаимодействиях разрывов, об образовании ударных волн и волн разряжения. Даны конкретные примеры, встречающиеся в практике изотахофореза.

В §9 в бездиффузионном приближении решена задача о разделении смеси сильных электролитов в случае больших концентраций. Несмотря на то, что в этом случае не удается построить инварианты Римана, как это сделано в § 8, для специальных начальных данных построено решение об эволюции смеси.

В § 10 решена задача о влиянии движения растворителя на процессы переноса. Показано, что неподвижные границы (электролитическая память) имеются лишь в случаях, когда движением растворителя можно пренебрегать. Учет движения растворителя позволил объяснить эффект, так называемых, ложных движущихся границ Кольрауша. Долгое время такой эффект был необъясним и создавал серьезные трудности при проведении экспериментов.

В §11 исследована задача о ширине границы между зонами. Фактически, здесь дан ответ на вопрос о влиянии диффузионных эффектов на процесс разделения компонент смеси.

В § 12 на основе модели изотахофореза рассмотрена задача о химической ловушке — блокирование переноса вещества, возникающее в результате сильных нелинейностей среды. Разработан метод решения гиперболического уравнения с алгебраическими ограничениями и начальными данными на контактной характеристике.

В третьей главе диссертации рассмотрены смеси, количество компонент в которых столь велико, что компоненты предпочтительнее характеризовать не дискретными номерами, а некоторым континуальным параметром сорта, так называемые, бесконечнокомпонентные смеси.

В § 13 подробно рассмотрена диссоциация в растворе полиамфолитов, типичным представителем которых являются аминокислоты и белки. На основе представлений о локальном химическом равновесии впервые получены соотношения, связывающие между собой электрофоретическую подвижность, проводимость и молярный заряд полиамфолита. Именно растворы полиамфолитов являются наиболее удачным объектом для использования идей о бесконечнокомпонентных смесях.

В § 14 приведены конкретные модели для бесконечнокомпонентных смесей: модель, описывающая процессы переноса в полиэлектролитах в случае создания среды для изоэлектрического фокусирования; модель для описания процесса изотахофореза в бесконечнокомпонентной смеси, содержащей некоторое количество дополнительных компонент, характеризуемых дискретным параметром.

В § 15 приведена постановка задачи о создании рН-градиента для проведения процесса изоэлектрофокусирования. Эта задача подробно исследована в § 16 асимптотическими методами. Полученные здесь результаты позволяют осуществлять выбор параметров смеси для создания требуемого пространственного распределения рН.

В § 17 исследован процесс изотахофореза в бесконечнокомпонентной смеси. Для семейств гиперболических уравнений, характеризуемых непрерывным параметром, получены инварианты Римана. Показано, что непосредственный перенос результатов для конечномерной системы на случай семейства уравнений невозможен и требуется использование аппарата вариационной производной и обобщенных функций. Здесь же построено решение задачи о финальной стадии процесса изотахофореза для семейства гиперболических уравнений, зависящее от непрерывного параметра, дополненного конечномерной системой гиперболических уравнений.

В четвертой главе рассматриваются различные задачи о гравитационной конвекции при электрофорезе. Из всего многообразия задач о возникновении конвекции в данной главе выбраны лишь четыре наиболее важные для понимания механизма процессов возникновения конвекции.

В § 18 рассматривается тепловая и концентрационная гравитационная конвекция в растворе сильного одно-одно валентного электролита. Основной целью является демонстрация необходимости учета диффузионных вкладов в джоулево тепловыделение. Показано, что пренебрежение диффузионными добавками может привести к нефизическим эффектам — отбору тепла от раствора в результате протекания электрического тока.

В § 19 исследована задача о возникновении концентрационной гравитационной конвекции в бесконечнокомпонентной смеси. Оказывается, что в такой смеси, например, при создании среды разделения при изоэлек-трофокусировании, в механическом равновесии концентрация описывается непрерывным пространственным распределением 5-образных функций. Огибающая максимумов, т. е. средний профиль плотности жидкости, может оказаться постоянной и, казалось бы, что возникновение конвекции невозможно. Однако, показано, что имеющаяся мелкомасштабная стратификация плотности все же приводит к возникновению колебательной неустойчивости механического равновесия.

В § 20 исследовано влияние одиночной примеси на возникновение конвекции при изоэлектрическом фокусировании. Основное внимание уделяется построению асимптотики нейтральных кривых монотонной потери устойчивости при сверхвысоких разностях электрического потенциала. Разработан метод построения асимптотики для задачи с 5-образными коэффициентами.

В §21 содержится исследование возникновения вторичных режимов в случае задачи §20. Наиболее интересным результатом является возможность существования при некоторых значениях параметров четырех вторичных режимов. Построены амплитудные уравнения и показано, что лишь два из этих режимов устойчивы.

Результаты работ, включенных в диссертацию, докладывались на следующих всесоюзных и международных конференциях, школах, симпозиумах:

I Всесоюзный семинар по гидродинамике и тепломассообмену в невесомости, (Москва, 10-11 декабря, 1979);

II Всесоюзный семинар по гидродинамике и тепломассообмену в невесомости, (Пермь, 23-25 июня, 1981);

IV Всесоюзная конференция «Методы получения и анализа биохимических препаратов», (Рига, февраль, 1982);

I Всесоюзный биофизический съезд, (Москва, 1982);

II Всесоюзное рабочее совещание по теории и практике ультрацентрифугирования и электрофореза, (Киев, 5-7 апреля, 1982);

Семинар по теории гиперболических уравнений (под. рук. Б. JI. Рождественского), МГУ, Москва, 1982;

III Всесоюзный семинар по гидродинамике и тепломассообмену в невесомости, (Черноголовка, 1984);

4-th International Symposium on Isotachophoresis, (Hradec Kralove, Czechoslovakia, 1984);

Ill Всесоюзный рабочее совещание по теории и практике электрофореза,

Канев, 20-25 мая, 1985);

5-th Danube Symposium on Chromatography, (Yalta, 1985);

VI Всесоюзный съезд по прикладной и теоретической механике, (Ташкент, 1986); заседание научной сессии секции тонкослойной хроматографии и электрофореза Научного совета по хроматографии АН СССР, (г. Оболенск, Моск. обл., 27-28 апреля, 1987);

Всесоюзный семинар «Проблемы нелинейной механики сплошной среды», (Ростов на Дону, 12-15 октября, 1987);

IV Всесоюзное рабочее совещание по теории и практике электрофореза, (Коктебейль, 15-24 октября, 1987);

IV Всесоюзный семинар по гидродинамике и тепломассообмену в невесомости, (Новосибирск, 1987);

2-nd International Conference Biochemical Separation, (Budapest, Hungary, Keszthely, 1988);

Ill Всесоюзное совещание «Теоретические исследования и банки данных по молекулярной биологии и генетике». Институт цитологии и генетики СО АН, (Новосибирск, 18-22 июля, 1988);

Всесоюзная конференции «Измерительная и вычислительная техника в управлении производственными процессами в агропромышленном комплексе», (Ленинград, 14-18 ноября, 1988);

7-th Danube Symposium on Chromatography. (Leipzig - DDR, 1989);

VI школа-семинар «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости», (Москва, 1989);

III школа-семинар по генетике и селекции животных, (12-19 сентября, Алтай, 1989);

Всесоюзный семинар по гидродинамической устойчивости и турбулентности. Институт теплофизики СО АН СССР, (Новосибирск, 1989);

Всесоюзная конференция по электрофорезу. «Электрофорез-90», (Рига, 1990);

International Conference on Modelling and Computer Methods in Molecular Biology and Genetics, (Новосибирск, 1990);

7-th Internatational Symposium on Capillary Electrophoresis and Isotacho-phoresis, (Tatranska Lomnice, Czechoslovakia, 1990);

VII школа-семинар «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости», (Москва, 1992);

International Aerospace Congress, (Moscow, Russia, 1994);

9-th International Symposium on Capillary Electrophoresis, (Budapest, October 3-7, 1994);

7-th International Symposium on High Performance Capillary Electrophoresis, (Germany, January 29-February 2, 1995);

Семинар кафедры теории упругости СПбГУ под рук. проф. Н. Ф. Морозова (Санкт-Петербург, 1996);

Семинар Математического факультета Hong Kong University of Science and Technology (Hong Kong, UK, 30.04.1997);

The First International Conference Environmental Mathematical Modeling and Numerical Analisis, (Rostov-on-Don, 24-31 May, 1999);

VI Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 19-23 июня 2000);

I Международная школа-семинар «Применение симметрии и косиммет-рии в теории бифуркаций и фазовых переходов» (Ростов-на-Дону, 18-23 августа, 2001);

II Международная школа-семинар «Применение симметрии и косиммет-рии в теории бифуркаций и фазовых переходов» (Сочи, 18-23 сентября, 2001);

The First conference of the International Marangoni Association on interfacial fluid dynamics and processes in physic chemical systems (Giessen, Germany, 12-16, September , 2001); объединенный семинар «Механика невесомости и гравитационно-чувствительные системы» под рук. В. И. Полежаева и В. В. Сазонова и семинар «Численное моделирование процессов тепло- и массообмена» под рук. В. И. Полежаева, JI. А. Чудова, Г. С. Глушко, (Москва, 2002, 2005);

The British Applied Mathematics Colloquium. UEA (Norwich. UK. 19-22 April, 2004). семинар Кабардино-Балкарского научного центра РАН, Институт прикладной математики и автоматизации, рук. акад. АМАН А. М. Нахушев (Нальчик, 2005); семинар Ростовского Математического общества (Ростов-на-Дону, 29 сентября 2005).

IX Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 11-15 октября 2005).

Связанная с диссертацией тематика была поддержана грантами СПб-ГУ в 1992-1994 гг. и 1994-1995 гг., грантами РФФИ 95-01-01454-а в 19951997 гг. (тема «Конвективная неустойчивость в бесконечнокомпонентных химически активных смесях») и 04-01-96814-р2004юг-а в 2004-2005 гг. (тема «Математическое моделирование нестационарных процессов разделения многокомпонентных анизотропных сред при помощи акустических и электромагнитных полей»).

Объем диссертации — 287 страниц, включая иллюстрации, таблицы и список литературы из 332 наименований. По результатам диссертации автором опубликовано 48 работ (из них 3 монографии на русском языке [11, 17, 76] и 2 монографии на английском языке [142, 285]).

Заключение

В диссертации развито новое научное направление, которое можно охарактеризовать как исследование процессов переноса в химически активных многокомпонентных средах, физические свойства которых сильно нелинейны и существенно изменяются в процессе эволюции.

Подробные заключения к каждой главе приведены на стр. 70, 188, 213, 265. Здесь же перечислим наиболее важные результаты, полученные в диссертации.

1. Построены непротиворечивые математические модели, описывающие поведение односкоростной многокомпонентной смеси в электрическом поле, без ограничений на малость концентрации компонент, с учетом термодинамики смеси и химических реакций.

2. На основе гипотезы о локальном химическом равновесии для многокомпонентных сплошных сред с быстрыми химическими реакциями сконструированы и изучены модели для новых типов сред — сильно физически нелинейных сред, состоящих их квазикомпонент.

3. Исследованы модели сплошных сред нового типа — смесей с бесконечным количеством компонент.

4. Дано полное исследование процессов разделения смесей электрическим полем на отдельные компоненты для сред, свойства которых формируется в процессе эволюции смеси.

5. Разработаны новые подходы к решению систем квазилинейных гиперболических уравнений с алгебраическими ограничениями и развиты асимптотические методы решения задач для бесконечнокомпонентных смесей.

6. Многочисленными примерами подтверждено, что именно физические нелинейности, возникающие в результате химических процессов, играют наиболее существенную роль в нестационарных процессах переноса, а роль диффузии второстепенна, по крайней мере, для сильных электрических полей.

7. Обнаружен и объяснен ряд новых эффектов, подтвержденных экспериментами — эффект электролитической памяти и движения ложных границ, возникновение химических ловушек.

8. Исследовано возникновение конвекции в почти нестратифицированной бесконечнокомпонентной смеси.

Многие из представленных математических моделей являются новыми, отличаются от классических, и позволяют описывать большое количество тонких эффектов, таких как электролитическая память, химические ловушки, движение ложных границ между зонами электролитов, конвекцию в почти нестратифицированной смеси.

Полученные в диссертации результаты имеют широкую область применения в медицине и биотехнологии при разработке новых методов фракционирования смесей, анализа и получения биологических препаратов. Большинство результатов работы нашли непосредственное применение в практике использования процесса электрофореза и хорошо подтверждены экспериментами [46, 50, 177, 178, 180, 186-188, 285, 328-330].

Большое внимание в диссертации уделяется получению строгих математических результатов, развитию и совершенствованию методов решения задач для многокомпонентных сплошных сред. С этой целью при конструировании моделей используется формализм феноменологической неравновесной термодинамики, позволяющий получать корректные модели сплошных сред, описывающие практически все мыслимые эффекты без дополнительных эвристических предположений. На основе общих моделей с учетом масштабов параметров построены эффективные асимптотические модели, представляющие собой (в бездиффузионном приближении) системы квазилинейных гиперболических уравнений. Для исследования математических моделей разработаны специальные методы решения, в частности, для случаев, когда начальные условия заданы на контактных характеристиках, системы имеют алгебраические ограничения, бесконечные системы уравнений (семейства уравнений, зависящие от континуального параметра). Исследование всех моделей проводятся аналитическими методами, асимптотическими методами, а также широко использованы численные методы решения.

Скажем несколько слов о перспективах дальнейшего развития, представленной в диссертации тематики. В первую очередь следовало бы обобщить математические модели на случай анизотропных смесей с существенным учетом химических реакций. Это позволит исследовать поведение биологически активных жидкостей, которые, как правило, являются лиотроп-ными жидкокристаллическими средами. Описание переноса ориентированных примесей, таких как ДНК, пептиды, мицеллы, биополимеры и т. п., даст возможность существенно улучшить понимание различных биологических процессов, протекающих в живых организмах (см. [75], в которой предприняты попытки построения таких моделей).

Другим важным направлением развития теории электрофореза является изучение взаимодействий ударных волн и волн разрежения в двухмерном и трехмерном случаях. Здесь важную роль может играть тот факт, что уравнения изотахофореза принадлежат к классу вполне интегрируемых систем гидродинамического типа. Не исключено, что исследование именно уравнений электрофореза позволит решить проблему взаимодействия волн, хотя бы в частном случае, и затем развить общий многомерный вариант метода годогрофа.

Наконец, заметим, что все еще недостаточно развита теория электрофореза на литографических массивах, одного из перспективных направлений современных нанотехнологий. Некоторые попытки учесть специфику процесса электрофореза на литографических массивах (электроосмос, сильные сингулярные особенности электрического поля в окрестностях угловых точек пересечения микроканалов) предприняты, в частности, в [74].

1. Бабский В. Г. Жуков М. Ю., Юдович В. И. Оценка перспективности различных методов электрофореза для космической биотехнологии //II Всесоюз. семинар по гидродинамике и тепломассообмену в невесомости. Пермь, 1981. Тезисы докладов. С.140-141.

2. Бабский В. Г. Жуков М. Ю., Юдович В. И. Электрофорез биополимеров в условиях невесомости. В сб.: Гидромеханика и тепломассообмен в невесомости. М.: Наука, 1982. С. 248-260.

3. Бабский В. Г. Жуков М. Ю., Юдович В. И. Новые результаты теории электрофореза биополимеров // I Всесоюз. биофизический съезд. Москва, 1982. Тезисы докладов. Т. IV. С. 107.

4. Бабский В. Г., Жуков М. Ю. Электрофорез биополимеров: стационарные и нестационарные явления, устойчивость, конвекция // Материалы VI школы-семинара «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости». М.: Изд-во МГУ, 1989. С. 6.

5. Бабский В. Г., Жуков М. Ю. Биофизические методы: Теоретические основы электрофореза. М.: Изд-во МГУ, 1990. Учебно-метод. пособие для студентов биол. ф-тов университетов. 87 с.

6. Барковский Ю. С., Жуков М. Ю., Цывенкова О. А. Свойства спектра задачи гидродинамической устойчивости при конвекции в бесконечнокомпонентной смеси // Деп. в ВИНИТИ 1994. № 594-В94. 24 с.

7. Бартенев Г.М., Зеленев Ю.В. Курс физики полимеров. JL: Химия, 1976. 299 с. Бахарева И. Ф. Нелинейная неравновесная термодинамика. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 1976. 268 с.

8. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1974. 296 с.

9. Белло М. С., Полежаев В. И. Изотермическое течение вязкой несжимаемой жидкости в гидродинамической модели электрофоретической камеры // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1990. Вып.2. С. 14-20.

10. Белолипецкий А. А., Стронгина Н. Р., Тер-Киркоров А. М. Некоторые вопросы эволюции диссипативных структур с точки зрения теории бифуркации // Математическое моделирование: Методы описания и исследования сложных систем. М.: Наука, 1989. С. 7-36.

11. Болога М.К., Гросу Ф.П., Кожухарь И. А. Электроконвекция и теплообмен. Кишинев: Штиинца, 1977. 320 с.

12. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

13. Вальдман Л. Явления переноса в газах при среднем давлении // Термодинамика газов, Гл. 6.М. : Машиностроение, 1970.

14. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективныхтечений. М.: Наука, 1989. 320 с.

15. Гершунии Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

16. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости, флуктуаций. М.: Мир, 1973. 280 с.

17. Горшков А. И. О регулирующем соотношении в изотахофорезе // Ж. физ. хим. 1985. Т.59. № 3. С. 626-629.

18. Гринфельд М. А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М.: Наука, 1990. 312 с.

19. Гроот С. де., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. 456 с. Донде Т. де.} Риссельберг П ван. Термодинамическая теория сродства. М.: Металлургия, 1984. 134 с.

20. Жуков М.Ю., Юдович В. И. Основные уравнения гидроэлектротермодинамики многокомпонентных жидкостей // Молекулярная биология. Вып. 28. Киев: Наукова думка, 1981. С. 43-53.

21. Жуков М.Ю., Юдович В. И. Создание рН-градиента в растворе с помощью амфолитов-носителей // Молекулярная биология. Вып. 28. Киев: Наукова думка, 1981. С. 71-74.

22. Жуков М. Ю., Юдович В. И. Математическая модель изотахофореза // Доклады АН СССР. 1982. Т. 267, № 2. С. 334-338.

23. Жуков М.Ю., Юдович В. И. Конвективная устойчивость при электрофорезе // III Всесоюз. семинар по гидродинамике и тепломассообмену в невесомости. Черноголовка, 1984. Тезисы докладов. С. 229-230.

24. Жуков М. Ю. Методика расчета движения зон и времени полного разделения смеси при изотахофорезе // Молекулярная биология. Вып. 36. Киев: Наукова думка, 1984. С. 28-34.

25. Жуков М. Ю. Нестационарная модель изотахофореза // ЖВМ и МФ, 1984. Т. 24, № 4. С. 549-565.

26. Жуков М. Ю., Король Л. Е. Использование изотахофореза при постоянном напряжении для определения подвижности // Биополимеры и клетка. 1986. Т. 2, № 5. С. 256-260.

27. Жуков М.Ю., Король JI.E. Конвективное диффузионное и электромиграционное расширение зоны при свободном жидкостном электрофорезе // Космическая биология и биотехнология. Киев: Наукова думка, 1986. С. 54-66.

28. Жуков М. Ю., Король Л. Е. Модели конвекции для различных типов электрофореза в невесомости и их исследование //IV Всесоюз. семинар по гидродинамике и тепломассообмену в невесомости. Новосибирск, 1987. Тезисы докладов. С. 106-107.

29. Жуков М. Ю., Сазонов Л. И., Цывенкова О. А. Влияние гравитации на форму зон при электрофорезе //IV Всесоюз. семинар по гидродинамике и тепломассообмену в невесомости. Новосибирск, 1987. Тезисы докладов. С. 107-108.

30. Жуков М. Ю., Степанов О. Б. Численное исследование монотонной потери устойчивости раствора сильного одновалентного электролита // Известия СКНЦ ВШ. 1987. № 14. С. 25-29.

31. Жуков М.Ю., Цывенкова О. А. Численное исследование влияния зоны вещества на концентрационную конвекцию при изоэлектрофокусировании // Космическая наука и техника. 1989. Т. 4. С. 30-35.

32. Жуков М. Ю., Бабский В. Г., Сазонов Л. И., Стоянов А. В. Теоретический анализ процесса изоэлектрофокусирования белков на установке «Каштан» // Космическая наука и техника. 1989. Т. 4. С. 15-19.

33. Жуков М. Ю. Конвекция при разделении бесконечнокомпонентной смеси // Всесоюзный семинар по гидродинамической устойчивости и турбулентности. 28.022.09.1989. СО АН СССР. Новосибирск. Институт теплофизики. 1989. Тезисы докладов. С. 142.

34. Жуков М. Ю., Цывенкова О. А. Влияние локальной неоднородности концентрации на конвекцию в слое // Материалы VI школы-семинара «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости». М.: Изд-во МГУ, 1989. С. 26.

35. Жуков М. Ю. Теоретический анализ причин асимметрии зон при зональном электрофорезе // Всесоюзная конференция электрофорезе. «Электрофорез-90». 1990.1. Тезисы докладов.

36. Жуков М. Ю. Разделение бесконечнокомпонентных смесей электрическим полем // ЖВМ и МФ. 1994. Т. 34, № 4. С. 576-583.

37. Жуков М. Ю. Ширина зоны при изотахофорезе (две модели) // Деп. в ВИНИТИ 1994. № 330-В94. 22 с.

38. Жуков М. Ю., Петровская Н. В. Колебательная неустойчивость жидкости в почти нестрафицированной бесконечнокомпонентной смеси // Известия РАН, МЖГ. 1997. №5. С. 24-37.

39. Жуков М.Ю., Сазонов Л.И. Асимптотика собственных значений для краевой задачи с дельта-образными коэффициентами // Дифференциальные уравнения, 1997. Т.З, №4. С. 470-477.

40. Жуков М. Ю., Ширяева Е. В. Перенос примесей электрическим полем в двумерных каналах сложной формы // Труды IX Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов н/Д, 2005. Т. 2. Ростов н/Д: Изд. ООО «ЦВВР», 2005. С. 82-86.

41. Жуков М. Ю. Феноменологическая модель для описания поведения са- моплаваю-щих микроорганизмов. // Труды IX Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов н/Д, 2005. Т. 2. Ростов н/Д: Изд. ООО «ЦВВР», 2005. С. 77-81.

42. Жуков М.Ю. Массоперенос электрическим полем. Ростов н/Д: Изд. РГУ, 2005.216 с.

43. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений краевых задач. М: Наука, 1989. 336 с.

44. Каймаков Е. А., Варшавская Н. Л. Измерение чисел переноса в водных растворах электролитов // Успехи химии. 1966. Т. 35, № 2. С. 201-228. Кей P. Л. Измерение чисел переноса. Методы измерений в электрохимии. Т. 2, М.: Мир, 1977, С. 70-127.

45. Корыта И., Дворжак И., Богачкова В. Электрохимия. М.: Мир, 1975. 472 с. Krivankova L., Вобек P. Continuous free-flow electrophoresis // Electrophoresis. 1998. Vol.19. №7. P. 1064-1074.

46. Ошуркова О. В., Чеботарева Н.В., Лядов Н. С., Разделение аминокислот по подвижности ионов в водных уксуснокислых растворах // Электрохимия. 1975. Т.2. № 9. С. 1365-1367.

47. Ошуркова О. В. Кулонофоретический метод анализа растворов электролитов // Ж. аналитической химии 1977. Т.32. № 9. С. 1707-1711.

48. Ошуркова О. В. О подстройке электролитов в изотахофорезе // Ж. физ. хим. 1987. Т.61. № 2. С. 539-541.101.102.103.104.105.106.107.108.109.110.111.112.113.114.115.116.117.118.119.120.121.122.123.

49. Петров Н., Бранков Й. Современные проблемы термодинамики. М.: Мир, 1986. 288 с.

50. Полежаев В. И., Белло М. С., Верезуб Н.А. Конвективные процессы в невесомости. М.: Наука, 1991. 240 с.

51. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960. 128 с.

52. Пригожин И., Дефэй Р. Химическая термодинамика. Новосибирск: Изд-во Наука, Новосибирское отделение, 1966. 502 с.

53. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1, М.: Наука, 1973. 536 с. Сидоренко А. Д., Рождественский Б. Л. Задача о контактном разрыве // ЖВМ и МФ, 1968. Т. 8, С. 1217-1220.

54. Слеттери Дж. Теория переноса импульса, энергии и массы в сплошных средах. М.: Энергия, 1978. 470 с.

55. Степанов А. В., Корчемная Е. К. Электромиграционный метод в неорганическом анализе. М.: Химия, 1979. 328 с.

56. Сычев В. В. Дифференциальные уравнения термодинамики. М.: Наука, 1981. 196 с.

57. Троицкий Г. В. Электрофорез белков. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1962. 346 с. Троицкий Г. В., Ажицкий Г.Ю. Изоэлектрическое фокусирование белков в самоорганизующихся и искусственных рЯ-градиентах. Киев: Наукова думка, 1984. 219 с.

58. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.

59. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 624 с.

60. Уильяис В., Уилсон К. (ред.) Методы практической биохимии. М.: Мир, 1978.270 с.

61. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 268 с.

62. Ферапонтов Е.В., Царев С. П. Системы гидродинамического типа, возникающиев газовой хроматографии. Инварианты Римана и точные решения. // Математическое моделирование, 1991. Т. 3, №2. С. 82-91.

63. Ferapontov Е. V. Lie sphere geometry and integrable systems // Tohoku Math. J. 2000. Vol. 52. P. 199-233.

64. Хаазе P. Термодинамика необратимых процессов. M.: Мир, 1967. 648 с.

65. Царев С. П. Геометрия гамильтоновых систем гидродинамического типа. Обобщенный метод годографа // Изв. АН СССР. Матем. 1990. Т. 54, № 17. С.1048-1068.

66. Царев С.П Геометрия Гамильтоновых систем гидродинамического типа. Обобщенный метод годографа // Изв. АН СССР, Матем. 1991. Т. 37. С. 397-419.

67. Цывенкова О. А. Исследование возникновения конвекции многокомпонентной жидкости в электрическом поле. Дис, канд. физ.-мат. наук: 01.02.05 / РГУ. — Ростов н/Д, 2000 116 с.

68. Электромиграционный метод в физико-химических, радиохимических исследованиях / Под. ред. Шведова В. П. М.: Атомиздат, 1971. 288 с.

69. Юдович В. И. Возникновение автоколебаний в жидкости // ПММ. 1971. Т. 35. №4. С. 638-655.

70. Юдович В. И. Об уравнениях свободной конвекции в приближении Обербека-Буссинеска // Деп. в ВИНИТИ 1990. № 6225-В90. 30 с.

71. Юдович В. И. Косимметрия и конвекция многокомпонентной жидкости в пористой среде // Деп. в ВИНИТИ 1993. № 1523-В93.

72. Юдович В. И. Конвекция изотермически несжимаемой жидкости // Деп. в ВИНИТИ 1999. № 1699-В99.

73. Юдович В. И. Косимметрия и конвекция многокомпонентной жидкости в пористой среде // Известия вузов, Сев.-Кав. Регион, естественные науки. 2001. Спецвыпуск, С. 174-178

74. Adams R. Linear q-difference equation // Bull. Amer. Math. Soc. 1931. Vol. 37, P. 361— 400.

75. Alon U., MukameJ D. Gel-electrophoresis and diffusion of ring-shaped DNA. // arXiv:cond-mat/9702154. 1997. P. 1-18.

76. Arvanitis C., Makridakis C., Tzavaras A. E. Stability and convergence of a class of finite element schemes for hyperbolic systems of conservation laws // SIAM J. Numer. Anal. 2004. Vol.42. №4. P. 1357-1393.

77. Atkin R. J., Craine R. F. Continuum theories of mixtures: basic theory and historical development // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1976. Vol.29, №2. P.209-244.

78. Babskii V. G., Zhukov M. Yu. Convection as the main artifact of electrophoresis (mathematical models) // Abstr. 7th Danube Sympos. on Chromatography. Leipzig-DDR. 1989. Vol. И. P, 100.

79. Babskii V.G., Zhukov M.Yu., Yudovich V.I. Advances in mathematical theory of isotachophoresis // 4-th Internat. Sympos. Isotachiphoresis. Hradec Kralove-Czechoslovakia, 1984. Book of Abstract. P. 4.

80. Babskii V. G., ZhukovM. Yu., Yudovich V.I. Mathematical methods in the description of processes and artifacts of electrophoresis // 5-th Danube Sympos. Chromatography. Yalta, 1985. Book of Abstract. P. 197-198.

81. Babskii V. G., Zhukov M. Yu., Yudovich V. I. Mathematical theory of electrophoresis. Plenum Publishing Corporation, New York, 1989. 241 p.

82. Bardy N., Carrasco A., Galaud J.-Ph., Pont-Lezica R., Canut H. Free-flow electrophoresis for fractionation of arabidopsis thaliana membranes // Electrophoresis. 1998. Vol. 19. №7. P. 1145-1153.

83. Bazant M.Z., Thornton K., Ajdari A. Diffuse-charge dynamics in electrochemical systems // Phys. Rev. E. 2004. Vol.70, P.021506-021510.

84. Beckers J.L., Ackermans M. Т., Воёек P. Capillary zone electrophoresis in methanol: Migration behavior and background electrolytes // Electrophoresis. 2003. Vol. 24. № 10. P. 1544-1552.

85. Beckers J.L., Gebauer P., Вобек P. New configuration in capillary isotachophore-sis-capillary zone electrophoresis coupling // J. Chromatography A. 2001. Vol.916. №1-2. P. 41-49.

86. ВеЛо M.S., Zhukov M.Yu., Righetti P.G. Combined effects on non-linear electrophoresis and non-linear chromatography on concentration profiles in capillary electrophoresis // Journal of Chromatography A. 1995. Vol.693. P. 113-130.

87. Berli C.L.A., Piaggio M.V., Deiber J.A. Modeling the zeta potential of silica capillaries in relation to the background electrolyte composition // Electrophoresis. 2003. Vol. 24. № 10. P, 1587-1595.

88. Bianchini S. On the Riemann problem for non-conservative hyperbolic systems // Arch. Rat. Mech. Anal. 2003. Vol. 166. P. 1-26.

89. Bier M. Electrophoresis. V. 2. Acad. Press, New York, 1967. 553 p.

90. Bier M. Recycling isoelectric focusing and isotachophoresis // Electrophoresis. 1998. Vol.19. №7. P. 1057-1063.

91. Bharadwaj R. Santiago J. G., Mohammadi B. Design and optimization of on-chip capillary electrophoresis // Electrophoresis. 2002. Vol. 23, P. 2729-2744.

92. Bocek P., Demi M., Gebauer P., Dolnik V. Analytical isotachophoresis: Theory, instrumentation and application // 1988. VCH, Weinheim.

93. Braun D., Libchaber A. Trapping of DNA by thermophoretic depletion and convection // Phys. Rev. Let. 2002. Vol. 89. № 18. P. 1-4.

94. Bressan A. One Dimensional Hyperbolic Systems of Conservation Laws // Current Developments in Mathematics. 2002. №1. P. 1-37.

95. Bressan A. Hyperbolic Systems of Conservation Laws The One-Dimensional Cuachy Problem // Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications. Vol. 20. Oxford University Press. 2000. 264 p.

96. Busas Zs., Hjelmeland L.M., Chrambach A. Formation of natural pH gradients in sequential moving boundary systems with solvent counterions. ii. predicted and experimental properties // Electrophoresis. 1983. №4. P. 27-35.

97. Cann J. R. Electrophoresis and isoelectric focusing of interacting system. Electrokineticseparation methods. (Righetti P. G., van Oss C. J., Vanderhoff J. W., ed.) Biomedical Press, Elsevier /North-Holland, 1979. P. 369-387.

98. Chen C.-H., Lin H., Lele S.K., Santiago J.G. Convective and absolute electrokinetic instability with conductivity gradients // J. Fluid Mech. 2005. Vol.524, P.263-303.

99. Chen C.-H., Santiago J. G. Electrokinetic instability in high concentration gradient microflows // In Proc. IMECE. 2002. Vol. 1. №33563.

100. Chen C.-H., Santiago J. G. A planar electroosmotic micropump // Microelectromech. Systems. 2002. Vol.11, P. 672-683.

101. Cooper J. W., Wang Y., Lee C. S. Recent advances in capillary separations for proteomics 11 Electrophoresis. 2004. Vol.25. №23-24. P. 3913-3926.

102. Dang F.Q., Zhang L.H., Jabasini M., Kaji N., Baba Y. Characterization of electrophoretic behaviour of sugar isomers by microchip electrophoresis coupled with videomicroscopy // Anal. Chem. 2003. Vol.75, P.2443-2439.

103. Devasenathipathy S., Santiago J.S., Takehara K. Particle tracking techniques for electrokinetic microchannel Flows // Anal. Chem. 2002. Vol.74. P.3704-3713.

104. Devasenathipathy S., Santiago J.G., Wereley S.T., Meinhart C.D., Takehara K. Particle imaging techniques for microfabricated fluidic systems // Experiments in Fluids. 2003. Vol.34, P.504-514.

105. Dubrovin В., Liu S-Q., Zhang Y. On Hamiltonian perturbations of hyperbolic systems of conservation laws // arXiv:math.DG/0410027. 2004. P. 1-53.

106. Dubrovin B. On Hamiltonian perturbations of hyperbolic systems of conservation laws, II: universality of critical behaviour // arXiv:math-ph/0510032. 2005. P. 1-24.

107. Edsall J. T. Proteins as acids and bases, proteins, amino acids and peptides as ions and dipolar ions. (Conh E. J. and Edsall J. Т., ed.), Reinohld Publishing Corporation, New York, 1943. P. 444-505.

108. El G. A. Resolution of a shock in hyperbolic systems modified by weak dispersion // arXivrnlin.PS/0503010. 2005. P. 1-39.

109. Erickson D., Li D. Influence of surface heterogeneity on electrokinetically driven microfluidic mixing // Langmuir. 2002. Vol. 18. P. 1883-1892.

110. Erickson D., Li D. MicroChannel flow with patchwise and periodic surface heterogeneity 11 Langmuir. 2002. Vol. 18. P. 8949-8959.

111. Erickson D., Li D. Analysis of alternating current electroosmotic flows in a rectangular microchannel // Langmuir. 2003. Vol. 19. P. 5421-5430.

112. Erickson D., Li D., Krull U. J. Modeling of DNA hybridization kinetics for spatially resolved biochips // Anal. Biochemistry. 2003. Vol.317. P. 186-200.

113. Erickson D., Li D. Heterogeneous surface charge enhanced micromixing for electrokinetic flows elaine biddiss // Anal. Chem. 2004. Vol.76. P.3208-3213.

114. Erickson D., Liu X., Krull U. J., Li D. Electrokinetically controlled DNA hybridization microfluidic chip enabling rapid target analysis // Anal. Chem. 2004. Vol. 76. P. 72697277.

115. Ermakov S. V., Zhukov M. Yu., Capelli L., Righetti P. G. On the measurement of electrophoretic mobilities by means of capillary isotachophoresis at a constant voltage j I Electrophoresis. 1985. №16. P. 2149-2158.

116. Eimakov S. V., Zhukov M. Yu., Capelli L., Righetti P. G. Artifactual Peak splitting in capillary electrophoresis, experimental and theoretical study // Anal. Chem. 1994. Vol. 66. P. 4034-4042.

117. Ermakov S. V., Zhukov M. Yu., CapelliL., Righetti P. G. Quantitative studies of different injection systems in capillary electrophoresis // Electrophoresis. 1994. №15. P. 1158-1166.

118. Ermakov S. V., Zhukov M. Yu., Righetti P. G. High performance capillary electrophoresis: Experiment and simulation // Abstr. International Aerospace Congress. 1994, August. Moscow, 1994. P. 501.

119. Ermakov S. V., Zhukov M. Yu., Righetti P. G. High performance capillary electrophoresis: Experiment and simulation // Abstr. Ninth International Symposium on Capillary Electrophoresis. Budapest. October 3-7, 1994. P. 29-30.

120. Ermakov S. V., Zhukov M. Yu., Capelli L., Righetti P. G. Wall adsorption in capillary electrophoresis: Experimental study and computer simulation // J. Chromatography (A). 1995. Vol.17. P. 297-313.

121. Ermakov S. V., Zhukov M. Yu., Capelli L., Righetti P. G. Artifactual peak splitting in capillary electrophoresis. II. Defocusing phenomena for ampholytes. Anal. Chem. 1995. Vol.67. P.2957-2965.

122. Ermakov S. V., Zhukov M. Yu., Righetti P. G. On the solvent motion in electrophoresis systems 11 Electrophoresis. 1996. Vol. 17. P. 1134-1142.

123. Ermakov S. V., Jacobson S. C., Ramsey J.M. Computer simulations of electrokinetic transport in microfabricated channel structures // Anal. Chem. 1998. Vol. 70(21). P. 4494-4504.

124. Ermakov S. V., Jacobson S. C., Ramsey J. M. Computer simulations of electrokinetic injection techniques in microfluidic devices //Anal. Chem. 2000. Vol. 72(15). P. 3512— 3517.

125. Everaerts F.M., Beckers J.L., Verheggen T.P.E.M. Isotachophoresis: Teory, instrumentation and application // 1976. Elsivier, Amsterdam.

126. Ferapontov E. V"., Khusnutdinova K. R. The characterization of two-component (2+1)-dimensional integrable systems of hydro dynamic type // arXiv:nlin.SI/0310021. 2003, P. 1-15.

127. Ferapontov E. V., Khusnutdinova K. R. Hydrodynamic reductions of multi-dimensional dispersionless PDEs: the test for integrability // arXiv:nlin.SI/0312015. 2003, P. 1-7.

128. Ferapontov E.V., Khusnutdinova K.R. On integrability of (2+l)-dimensional quasilinear systems 11 arXiv:nlin.SI/0305044. 2003, P. 1-22.

129. Ferapontov E. V., Khusnutdinova K.R. Double waves in multi-dimensional systems of hydrodynamic type: the necessary condition for integrability // arXiv:nlin.SI/0412064. 2004, P. 1-24.

130. Ga B.,Kenndler E. System zones in capillary zone electrophoresis // Electrophoresis. 2004. Vol.25. №23-24. P.3901-3912.

131. Gebauer P., Вобек P. Theory of zone separation in isotachophoresis: a diffusional approach.// Electrophoresis. 1995. Vol.16. №11. P. 1999-2007.

132. Ghosal S. Fluid mechanics of electroosmotic flow and its effect on band broadening in capillary electrophoresis // Electrophoresis. 2004. Vol.25. №2. P.214-228.

133. Grava T. Asymptotic solutions of the Whitham equations // J. Nonlinear Math. Phys.2003. Vol. .8, P. 128-1327.

134. Guijt R.M., Evenhuis C.J., Маска M., Haddad P.R. Conductivity detection for conventional and miniaturised capillary electrophoresis systems // Electrophoresis.2004. Vol.25. №23-24. P.4032-4057.

135. Haglund H. Isoelectric focusing in pH gradients — a technique for fractionation and characterization of ampholytes // Meth. Biochem. anal. 1971. №19. P. 1-104.

136. Haglund H. Isotachophoresis 11 Sci.Tools. 1970. Vol. 17, № 1. P. 2-13.

137. Heegaard N. H. H. Applications of affinity interactions in capillary electrophoresis // Electrophoresis. 2003. Vol.24. №22-23. P.3879-3891.

138. Herr A.E., Molho J.I., Drouvalakis K.A., Mikkelsen J.C., Utz P.J., Santiago J.G. Kenny ,Th. W. On-chip coupling of isoelectric focusing and free solution electrophoresis for multidimensional separations // Anal. Chem. 2003. Vol.75, P. 1180-1187.

139. Hjelmeland L.M., Chrambach A. Formation of natural pH gradients in sequential moving boundary systems with solvent counterions. I. Theory // Electrophoresis, 1983. №4. P. 20-26.

140. Hjelmeland L.M., Chrambach A. The impact of L .G. Longsworth (1905-1981) on thetheory of electrophoresis // Electrophoresis. 1982. №3. P. 9-17.

141. Holden H.,Risebro N.H. Front Tracking for Hyperbolic Conservation Laws // Series: Applied Mathematical Sciences. Vol. 152. Spinger. 2002. 363 p.

142. Ни У., Werner С., Li D. Electrokinetic transport through rough microchannels // Anal. Chem. 2003. Vol. 75. P. 5747-5758.

143. Hutterer K., Dolaik V. Capillary electrophoresis of proteins // Electrophoresis. 2003. Vol. 24. № 22-23. P. 3998-4012.

144. Isambert H., Ajdari A., Viovy J.-L., Prost J. Electrohydrodynamic patterns in charged colloidal solutions // 1997. Phys. Rev. Let. V. 78, №5. P. 971-974.

145. Ivory F.C. Preparative free-flow electrofocusing in a vortex-stabilized annulus // Electrophoresis. 2004. Vol.25. №2. P.360-374.

146. Jemere А. В., Oleschuk R.D., Ouchen F., Fajuyigbe F., Harrison D.J. An integrated solid-phase extraction system for sub-picomolar detection // Electrophoresis. 2002. Vol.23, P.3537-3544.

147. Jen C., Wu C., Lin Y., Wu C. Design and simulation of the micromixer with chaotic advection in twisted microchannels // Lab Chip. 2003. Vol.3. P.77-81.

148. Johnson T. J., Ross D., Locascio L. E. Rapid microfluidic mixing // Anal. Chem. 2002. Vol.74, P.45-51.

149. Juanes R., Patzek T. W. Multiscale-stabilized solutions to one-dimensional systems of conservation laws // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2005. Vol.194. P. 27812805.

150. Kaniansky D., Masar M., Bodor R., Zuborova M., Olvecka E., Johnck M., Stanislawski B. Electrophoretic separations on chips with hydrodynamically closed separation systems. // Electrophoresis. 2003. Vol.24. №12-13. P.2208-2227.

151. Kapnissi-Christodoulou C. P., Zhu X., Warner I. M. Analytical separations in open-tubular capillary electrochromatography // Electrophoresis. 2003. Vol.24. №22-23. P. 3917-3934.

152. Kelly P. D. Reacting continuum 11 Int. J. Eng. Sci. 1964. Vol. 2, № 1. P. 129-153.

153. Kilar F. Recent applications of capillary isoelectric focusing // Electrophoresis. 2003. Vol.24. №22-23. P.3908-3916.

154. Kim H.-J., Kwak J. Electrochemical determination of total alkaline phosphatase in human blood with a micropatterned ITO film // J. Electroanalytical Chem. 2005. Vol. 577. P. 243-248.

155. Kim H.-J., Yun K.-S., Yoon E., Kwak J. A direct analysis of nanomolar metal ions in environmental water samples with Nafion-coated microelectrodes // Electrochimica Acta. 2004. Vol.50. P.205-210.

156. Kirby B.J., Hasselbrink Jr. E.F. Zeta potential of microfluidic substrates: 1. Theory, experimental techniques, and effects on separations // Electrophoresis. 2004. Vol. 25. №2. P. 187-202.

157. Kist T.B.L., Mandaji M. Separation of biomolecules using electrophoresis and nanostructures // Electrophoresis. 2004. Vol.25. №21-22. P.3492-3497.

158. Knight J.B., Vishwanath A., Brody J.P., Austin R.H. Hydrodynamic focusing on a silicon chip: mixing nanoliters in microseconds // Phys. Rev. Let. 1998. Vol.80,1. P. 3863-3866.

159. Matta A., Knio O.M., Ghanem R.G., Chen C.-H, Santiago J.G., Debusschere В., Najm H. N. Computational study of band-crossing reactions // J. Micromechanical Systems. 2004. Vol. 13. №2. P. 310-322.

160. McKnight Т.Е., Culbertson C.T., Jacobson S.C., Ramsey J.M. Electroosmotically induced hydraulic pumping with integrated electrodes on microfluidic devices // Anal. Chem. 2001. Vol.73, P.4045-4049.

161. Miller G. H. An iterative Riemann solver for systems of hyperbolic conservation laws, with application to hyperelastic solid mechanics // J. Comput. Phys. 2003. Vol. 193. P. 198-225.

162. Molho J. I., Herr A. E., Mosier B. P., Santiago J. G., Kenny Th. W. Optimization of turn geometries for microchip electrophoresis // Anal. Chem. 2001. Vol.73. P. 1350-1360.

163. Moore G. Т. Theory of isotachophoresis. Development of concentration boundaries // J. Chromatogr. 1975. Vol. 106, № 1. P. 1-16.

164. Morf W.E., Guenat О. Т., de Rooij N.F. Partial electroosmotic pumping in complex capillary systems. Part 1. Principles and general theoretical approach // Sens. Actuators B: Chem. 2001. Vol.72, P.266-272.

165. Moritani Т., Yoon K., Rafailovich M., Chu B. DNA capillary electrophoresis usingpoly(vinylalcohol). I. Inner capillary coating // Electrophoresis. 2003. Vol.24. №16. P. 2764-2771.

166. Mortensen N.A., Olesen L.H., Belmon L., Bruus H. Electro-hydrodynamics of binary electrolytes driven by modulated surface potentials. // arXiv:cond-mat/0407160. 2004. P. 1-8.

167. Mosher R. A., Bier M., Righetti P. G. Computer simulation of immobilized pH gradients at acid and alkaline extremes: A quest for extended pH intervals // Electrophoresis, 1985. №7. P. 59-66.

168. Mosher R.A., Saville D.A., Thorman W. The dynamics of electrophoresis. VCH Publishers, New York, 1992. 236 p.

169. Oddy M. H., Santiago J. G. A method for determining electrophoretic and electroosmotic mobilities using AC and DC electric field particle displacements // J. Colloid Interface Sci. 2004. Vol. 269. P. 192-204.

170. Oddy M.H., Santiago J.G. Multiple-species model for electrokinetic instability // Phys. Fluids. 2005. Vol. 17. P. 1-17.

171. Odijk T. Convective depletion during the fast propagation of a nanosphere through a polymer solution // arXiv:cond-mat/0312192. 2003. P. 1-12.

172. Pernodet N., Samuilov V., Shin K., Sokolov J., Rafailovich M. , Gersappe D.,Chu B. DNA Electrophoresis on a flat surface. Part 1 11 Phys Rev Lett. 2000, Vol. 85(26). P. 5651-5654.

173. Righetti P. G. Immobilized pH gradient: theory and methodology. Laboratory techniques in biochemistry and molecular biology. Elsevier Biomedical Press, Amsterdam-New York-Oxford: Elsevier, 1990. 397 p.

174. Rilbe H. Isoelectric focusing — development from motion to particularly working tool // Sci. Tools. 1976. Vol.23, №1. P. 18-21.

175. Rilbe H. Theoretical aspects of steady — state isoelectric focusing // Isoelectric focusing. Acad, pres, New York-London. 1976. P. 14-52.

176. Sakaue T. DNA electrophoresis in designed channels // arXiv:cond-mat/0509403. 2005. P. 1-9.

177. Santiago J. G. Electroosmotic flows in micro-channels with finite inertial and pressure forces // Anal. Chem. 2001. Vol. 73, P. 2353-2365.

178. Sestier C.,Da-Si.va M.F., Sabolovic D., Roger J., Pons J.N. Surface modification of superparamagnetic nanoparticles (Ferrofluid) studied with particle electrophoresis:

179. Application to the specific targeting of cells // Electrophoresis. 1998. Vol.19. №7. P. 1220-1226.

180. Shkadinsky K.G., Shkadinsky G.V., Matkowsky B.J., Volpert V.A. Two-front traveling waves in filtration combustion // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1993. Vol.53, P. 128-140.

181. Stoyanov A., Zhukov M. Yu., Righetti P. G. The Proteome Revisited: Theory and practice of all relevant electrophoretic steps // J. Chromatography. 2001. Vol.63 Elsevier, 2001. Chem. 572.6 R571 P967 2001. P. 1-462.

182. Stuart J.N., Sweedler J.V. Ultrafast capillary electrophoresis and bioanalyticalapplications.// Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 2003. Vol.100. P. 3545-3546.

183. Svec F. Capillary column technology: continuous polymer monoliths // In: Z. Deyl,

184. F. Svec, Capillary Chromatography, Elsevier, Amsterdam, 2001. P. 183-240.

185. Svec F. Capillary electrochromatography: a rapidly emerging separation method //

186. Adv. Biochem. Eng. Biotechnol. 2002. Vol. 76. P. 1-47.

187. Svec F., Frechet J.M.J., Allington R.W., Xie S. Porous polymer monoliths: an alternative to classical beads // Adv. Biochem. Eng. Biotechnol. 2002. Vol. 76, P. 88123.

188. Swinney K., Bornhop D. J. Quantification and evaluation of joule heating in on-chipcapillary electrophoresis // Electrophoresis. 2002. Vol.23, P.613-620.

189. Tanaka M. Electrophoresis of a rod macroion under polyelectrolyte salt: Is mobilityreversed for DNA? // arXiv:cond-mat/0311009. 2003. P. 1-8.

190. Tanaka M. The effects of asymmetric salt and a cylindrical macroion oncharge inversion: electrophoresis by molecular dynamics simulations // arXiv:condmat/0303515. 2003. P. 1-10.

191. Tanyanyiwa J., Schweizer K., Hauser P. C. High-voltage contactless conductivity detection of underivatized amino acids in capillary electrophoresis // Electrophoresis. 2003. Vol.24. №12-13. P.2119-2124.

192. Thormann W., Huang Т., Pawliszyn J., Mosher R.A. High-resolution computer simulation of the dynamics of isoelectric focusing of proteins // Electrophoresis. 2004. Vol.25. №2. P.324-337.

193. Timerbaev A.R. Capillary electrophoresis of inorganic ions: An update // Electrophoresis. 2004. Vol.25. №23-24. P.4008-4031.

194. Tripp J.A., Stein J.A., Svec F., Frechet J.M.J. Reactive filtration: use of functionalized porous polymer monoliths as scavengers in solution-phase synthesis //

195. Org. Lett. 2002. Vol. 2. P. 195-198.

196. Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of mechanics. Springer-Verlag. 1992.

197. Tsai A., Mosher R.A., Bier M. Computer simulation of two electrophoretic focusing in simple buffers // Electrophoresis. 1986. №7. P. 487-491.

198. Vanderhoff J. W., van Oss C. J. Electrophoretic separation of biological cells in microgravity, Electrokinetic Separation Methods (Righetti P. G., van Oss C. J., Vanderhoff J.W., ed.), Biomedical Press, Elsevier/North-Holland, 1979. P. 257-273.

199. Van Dyck S., Kaale E., Novakova S., Glatz Z., Hoogmartens J., Van Schepdael A. Advances in capillary electrophoretically mediated microanalysis // Electrophoresis. 2003. Vol.24. №22-23. P.3868-3878.

200. Velikovi K., Zuskovi I, Kenndler E., Ga B. Determination of cationic mobilities and pKa values of 22 amino acids by capillary zone electrophoresis // Electrophoresis. 2004. Vol.25. №2. P.309-317.

201. Vesterberg O. Syntesis and isoelectric fractionation of carrier ampholytes // Acta. Chem. Scand. 1969. V.23, №11. P. 2653-2666.

202. Vesterberg O. The carrier ampholytes // Isoelectric focusing. Acad, pres, New York-London. 1976. P. 53-76.

203. Viovy J.-L. Electrophoresis of DNA and other polyelectrolytes: Physical mechanisms 11 Rev. Modern Phys. 2000. V. 72. №3. C. 813-872.

204. Wang Y., Ни S., Li H., Allbritton N.L.,Sims C.E. Separation of mixtures of acidic and basic peptides at neutral pH // J. Chromatography A. 2003. Vol.1004. №1-2. P. 3531-3538.

205. Wang H., Zhang Z., Jiang Y., Wu H. Experimental study on temperature distribution within a wide-gap continuous free-flow electrophoresis chamber // Electrophoresis. 1998. Vol.19. №7. P. 1231-1233.

206. Ward Т., Faivre M., Abkarian M., Stone H. A. Microfluidic flow focusing: Drop size and scaling in pressure versus flow-rate-driven pumping // Electrophoresis. 2005. Vol.26, №19. P. 3716-3724.

207. Weber F. C., Stasiak A., Fleurant M., De Los Rios P., Dietler G. Gel electrophoresis of DNA knots in weak and strong electric fields // arXiv:physics/0503097. 2005. P. 1-16.

208. Wendroff B. The Riemann problem for materials with nonconvex equations of state. I. Isoentropic flow // J. Math. Anal. Appl. 1972. Vol.38, P.454-466.

209. Willmann R.D., Gunter M. Diffusion in a generalized Rubinstein-Duke model of electrophoresis with kinematic disorder // arXiv:cond-mat/0301348. 2003. P. 1-20.

210. Willmann R.D., Schutz G.M. Diffusion in a generalized Rubinstein-Duke model of electrophoresis with kinematic disorder // arXiv:cond-mat/0301348. 2003. P. 1-29.

211. Yao S., Hertzog D.E., Zeng S., Mikkelsen Jr. J. C., Santiago J. G. Porous glass electroosmotic pumps: design and experiments // J. Colloid Interface Sci. 2003. Vol.268. P. 143-153.

212. Yao S., Santiago J. G. Porous glass electroosmotic pumps: theory // J. Colloid Interface Sci. 2003. Vol. 268. P. 133-142.

213. Yariv E. Symmetry breaking in induced-charge electrophoresis // arXiv:physics/0410163. 2004. P. 1-4.

214. Zhukov M.Yu., Babskii V.G., Korol L.E. Construction of artificial pH-gradients for isoelectric focusing (theory and experiment) // Abstr. 7th Danube Sympos. on Chromatography. Leipzig-DDR, 1989. Vol.11. P. 102.

215. Zhukov M. Yu., Babskii V. G., Korol L. E. Stability of artificial pH-gradients // Abstr. 7 Internat. Sympos. capillary electrophoresis and isotachoforesis. Tatranska Lomnice, Czechoslovakia, 1990. P. 13.

216. Zhukov M. Yu., Ermakov S. V., Righetti P. G. Simplified mathematical model of irreversible sample adsorption in capillary zone electrophoresis // J. Chromatography (A). 1997. Vol. 766, № 15. P. 171-185.

217. Zhukov M. Yu., Ermakov S. V., Righetti P. G., Capelli L. Theory and experimental validation // Electrophoresis. 1998. №19. P. 192-205.

218. Zhukov M. Yu., Ermakov S. V"., Righetti P. G. Modelling of transport processes in the presence of substance- locking effects // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1999. Vol.59, №2. P.743-776.

219. Zhukov M. Yu. Oscillatory instability in an infinite-component mixture // The British Applied Mathematics Colloquium. UEA. Norwich. UK. 19-22 April, 2004. Abstract of talks. P. 743-776.

220. Zilberstein G. V., Baskin E.M., Bukshpan S., Korol L.E. Parallel isoelectric focusing II11 Electrophoresis. 2004. Vol.25. №21-22. P. 3643-3651.