автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка проблемно-моделирующих сред для анализа неравновесных газокинетических процессов в микроустройствах на основе решения уравнения Больцмана

На правах рукописи

Клосс Юрий Юрьевич^^^^^^

РАЗРАБОТКА ПРОБЛЕМНО-МОДЕЛИРУЮЩИХ СРЕД ДЛЯ АНАЛИЗА НЕРАВНОВЕСНЫХ ГАЗОКИНЕТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В МИКРОУСТРОЙСТВАХ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА.

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

005538568

2013

Москва-2013

005538568

Работа выполнена на кафедре моделирования ядерных процессов и технологий Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный консультант: доктор физико-математических наук

Черемисин Феликс Григорьевич

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН, доктор физико-

математических наук, профессор Никитов Сергей Аполлонович, Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, заместитель директора

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Петров Игорь Борисович Московский физико-технический институт (государственный университет), заведующий кафедрой информатики

доктор физико-математических наук Кулешов Андрей Александрович Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, отдел 15, главный научный сотрудник

Ведущая организация: Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики

Защита состоится I? Збб^Яц/к^ 20\3 в $ часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 при Московском физики-техническом института (государственном университете) по адресу: 141700, МО, г. Долгопрудный, Институтский пер., д.9, ауд. 903 КПМ.

Автореферат разослан » 2013

года

Ученый секретарь

диссертационного совета Федько О.С.

Общая характеристика диссертации Актуальность темы

Настоящая диссертация посвящена созданию математических методов компьютерного моделирования, эффективных алгоритмов численного решения кинетического уравнения Больцмана на многопроцессорных вычислительных системах с кластерной архитектурой и графических процессорах общего назначения (GP-GPU), разработке проблемно-моделирующих сред (ПМС) для анализа неравновесных газокинетических процессов тепломассопереноса в микро- и наноструктурах.

Одной из главных причин проведения подобных исследований является необходимость разработки методов компьютерного моделирования, лежащих в основе вычислительного эксперимента для широкого круга фундаментальных и прикладных задач газовой кинетики. Перечислим основные прикладные области: микроэлектроника (GAS in MEMS), каскадные вакуумные микронасосы, микро- и наномембраны, аэрогели, молекулярные сита, трековые мембраны (ядерные фильтры), способные разделять смеси разных молекул и изотопов, турбомолекулярные механические насосы, микродвигатели и микроманипуляторы.

Для численного моделирования течений разреженного газа во второй половине XX века были разработаны два основных подхода: метод прямого статистического моделирования и конечно-разностное решение кинетического уравнения Больцмана. В первом подходе моделируется процесс случайных столкновений и перемещения большого числа шестимерных векторов в фазовом пространстве, обозначающих молекулы газа. На их основе вычисляются среднестатистические значения физических величин, отождествляемые с макроскопическими параметрами газа. Данный метод успешно применялся при расчете сверхзвуковых течений разреженного газа, но для медленных течений этот подход может давать

недостоверные результаты из-за присущего методам Монте-Карло статистического шума. В настоящих работах последовательно развивается второй из названных подходов, который не содержит статистических флуктуаций в решении и позволяет исследовать ничтожно малые изменения параметров течения газа. Последнее обстоятельство важно для разработки компьютерных моделей с высокой точностью, описывающих медленные течения разреженного газа, характерные для условий в микро- и наноустройствах.

Главной проблемой применения кинетического уравнения Больцмана является вычисление интеграла столкновений, ответственного за столкновение молекул. Значительное улучшение метода прямого решения уравнения Больцмана было достигнуто в работах Ф.Г. Черемисина, в которых был разработан проекционный метод вычисления интеграла столкновений Больцмана, строго сохраняющий массу, импульс и энергию в процессе молекулярных столкновений. Этот метод позволяет экономично рассчитывать сверх- и гиперзвуковые течения, но особенно эффективен при расчете медленных и слабо возмущенных течений, к которым относятся типичные течения в микроструктурах. Следует отметить, что большая размерность задачи, для которой необходимы значительные объемы оперативной памяти и вычислительной мощности, необходимость варьирования геометрических параметров микроустройств, физических характеристик газа требует использования современных суперкомпьютерных систем с различной архитектурой, в первую очередь вычислительных систем с кластерной организацией.

Решение подобного класса проблем возможно лишь при разработке надежных и эффективных проблемно-моделирующих сред для проведения полномасштабных вычислительных экспериментов для широкого крута задач в области фундаментальной физики, инженерных наук и прикладных технологий. Разработка проблемно-моделирующих сред (Problem Solving Environments) в различных прикладных областях знаний широко проводится

в ведущих лабораториях США (LANL, LLNL, LBNL, BNL и др.) и университетах США (UC Berkeley, MIT, CALTECH и др.). В настоящей работе используются подходы и методы математических основ кинетической теории, вычислительной математики, информационных технологий и прикладной физики неравновесных газокинетических процессов тепломассопереноса. В основе математических методов решения кинетического уравнения лежит метод расщепления по физическим процессам и проекционный консервативный метод вычисления интеграла столкновений. Для эффективной реализации указанных методов необходимо применения суперкомпьютерных систем и технологий таких, как MPI (Message Passing Interface) для организации параллельных вычислений на кластерных вычислительных системах, CUDA (Compute Unified Device Architecture) для графических процессоров общего назначения (GPU-GP), объектных технологий для создания эффективных программных кодов. В ряде прикладных областей газовой кинетики экспериментальные результаты либо отсутствуют, либо являются неполными, что не позволяет сделать выводы о тех или физических характеристиках исследуемых явлений. В таких областях проблемно-моделирующие среды являются единственным инструментом, позволяющим проводить исследования широкого круга устройств и физических процессов методами вычислительного эксперимента с необходимой точностью.

Цели и задачи диссертации

Главной целью диссертации является разработка проблемно-моделирующих сред для анализа неравновесных газокинетических процессов тепломассопереноса в сложных структурах на макро-, микро- и наноуровне, методов проведения вычислительных экспериментов на суперкомпьютерах с кластерной организацией, адекватно описывающих физические процессы в таких структурах.

молекулярных столкновений, является ключевым в плане математического аппарата для достижения поставленных в работе целей. В дальнейшем консервативный проекционный метод был обобщен на смеси газов с произвольным отношением молекулярных масс. Для вычисления интеграла столкновений в пространстве скоростей были впервые разработаны эффективные вычислительные алгоритмы, использован метод кубатурных сеток Коробова, который наиболее эффективен с вычислительной точки зрения. Для численного решения кинетического уравнения используются численные схемы первого и TVD-схемы второго порядка точности. Реализация численных схем проводиться на прямоугольных и на неструктурированных тетраэдрических сетках.

Для программной реализации проблемно-моделирующей среды и программных солверов используются объектно-ориентированные технологии и соответствующие средства разработки программного кода в среде LINUX. Для реализации параллельных вычислений на кластерных вычислительных системах используется технология MPI и технология Nvidia CUDA — для расчетов на графических процессорах. Для эффективной программной реализации вычислений интеграла столкновений используются технологии потоковой обработки в режиме SIMD (SSE, SSE2) для процессоров Intel. Следует особо отметить программные системы, интегрированные в проблемно-моделирующую среду. Программный пакет GMSH, с открытым кодом, позволяет эффективно генерировать неструктурированные тетраэдрические сетки, которые лежат в основе моделирования физических процессов в устройствах с произвольной трехмерной геометрией. Для визуализации и анализа результатов компьютерного моделирования применяются различные программные продукты. Для наглядной визуализации потоков используется система NCL (NCAR Command Language), с трёхмерным распределением макропараметров удобно оперировать в среде Paraview, которая обладает возможностью обработки больших объёмов данных на кластерных системах. Для работы с

• феноменологической проверкой (соответствием полученных результатов современным представлениям о предмете исследований).

Апробация работы.

Результаты исследований, проведенных в диссертации, были представлены на следующих российских и международных конференциях:

• 20-th International Conference on Transport Theory, Obninsk, 2007;

• International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Kyoto, Japan, 2008;

• XVI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, (ВМСППС"2009), Алушта, Украина, 2009;

• International Symposium on Shock Waves (ISSW27), St. Petersburg, Russia, 2009;

• International Conference on Computational Science 2010 (ICCS), Amsterdam, Holland, 2010;

• Восьмая Международная конференция по Неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2010) Алушта, Украина, 2010;

• 19th International Shock Interaction Symposium (ISIS), Moscow, Russia, 2010;

• Семнадцатая Международная конференция по Вычислительной механике и прикладным современным программным системам (ВМСППС'2011) Алушта, Украина,2011;

• The 8th Pacific Symposium on Flow visualization and image processing (PSFVIP-8), Moscow, Russia, 2011;

• 28TH INTERNATIONAL SYMPOSIUM ON RAREFIED GAS DYNAMICS, Zaragoza, Spain, 2012;

• Nanotech Conference & Expo 2012, Santa-Clara, CA, USA,2012;

• 13th International Conference on Mathematical Methods in Science and Engineering (CMMSE 2013), Almería, Spain, 2013.

li

Московский физико-технический институт (государственный университет) Кафедра моделирования ядерных процессов и технологий

На правах рукописи

05201^50059 УДК 519.6 : 533.5

Клосс Юрий Юрьевич

Разработка проблемно-моделирующих сред для анализа неравновесных газокинетических процессов в микроустройствах на основе решения

уравнения Больцмана.

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

Ф.Г. Черемисин

МОСКВА-2013

Введение....................................................................................................4

Глава 1. Математический аппарат и численные методы................................12

1.1. Описание процессов в разреженном газе на основе кинетического уравнения.... 12

1.2. Взаимодействие молекул со стенками......................................................14

1.3. Переход к безразмерным переменным......................................................15

1.4. Консервативный метод вычисления интеграла столкновений........................17

1.5. Уравнение Больцмана для смеси газов и его дискретная аппроксимация...........27

1.6. Смеси газов с большим отношением масс. Многоточечный

проекционный метод.................................................................................31

1.7. Конечно-разностные схемы первого и второго порядков точности.................42

Глава 2. Алгоритмы, программные системы и их реализация........................49

2.1. Проблемно-моделирующая среда. Структура. Модули.................................49

2.2. Солвер вычисления интеграла столкновений.............................................61

2.3. Солвер на прямоугольных сетках............................................................71

2.4. Солвер на тетраэдрических сетках...........................................................84

2.5. Методы построения и оптимизации тетраэдрических сеток..........................110

2.6. Технологии и методы организации параллельных вычислений на кластерах.....119

2.7. Методика и особенности построения солвера на вР-ОРи............................137

2.8. Графическая оболочка ВКУ1елу.............................................................157

2.9. Применение и особенности системы Paraview и МХ.................................167

Глава 3. Моделирование и анализ прикладных физических систем и

явлений................................................................................................178

3.1. Проверка сходимости решения по параметрам дискретизации......................178

3.2. Физические основы распространения ударных волн...................................200

3.3. Ударные волны в микроканалах............................................................213

3.4. Течение разреженного газа через периодические системы микроканалов.........229

3.5. Многоступенчатый микронасос Кнудсена в 2Б-геометрии...........................244

3.6. ЗО-модели микронасоса Кнудсена.........................................................260

3.7. Классический эксперимент Кнудсена 1910г.............................................275

3.8. Термомолекулярные микронасосы различного типа..................................298

3.9. Анализ насоса Холвека в переходном режиме..........................................313

Заключение..........................................................................................322

Список использованных источников.........................................................325

Введение

Исследования, связанные с изучением физических основ неравновесных газокинетических процессов течений разреженного газа в макро-, микро- и наносистемах, крайне актуальны с точки зрения как развития фундаментальных основ кинетической теории газов, так и практического применения в высокотехнологических промышленных областях. Перечислим некоторые прикладные области, где находят применение результаты исследований, связанных с физикой течений разреженного газа.

Микроэлектроника. GAS in MEMS (NEMS)

С развитием микротехнологий появилась возможность создания технических систем нового поколения, основанных на эффекте термотранспирации, или эффекте теплового скольжения газа вдоль неравномерно нагретых поверхностей, открытом Кнудсеном в 1910г. Развитие микроэлектромеханических систем (MEMS) требует правильного прогнозирования течений разреженного газа во многих видах миниатюрных устройств, таких, как микронасосы и микродатчики.

Разделение газов. Трековые мембраны. Вакуумные микронасосы

Каскадные вакуумные микронасосы, микро- и наномембраны, аэрогели, молекулярные сита, ядерные фильтры на основе трековых мембран, способные разделять смеси разных молекул и изотопов, и др. — устройства, которые находят широкое применение в таких областях, как водородная энергетика, разделение газов, газоанализаторы для экспресс-анализа состава газовых смесей. Важным является создание портативных газоанализаторов для обнаружения ничтожно малых вредных или неизвестных примесей (медицина, экология, безопасность).

Турбомолекулярные насосы

Турбомолекулярные механические насосы для получения сверхвысокого вакуума имеют широкое практическое применение как в промышленности, так и в фундаментальных исследованиях CERN, DESY. Получение высокого вакуума имеет

прямое отношение к экспериментальным исследованиям процессов в ближнем космосе.

Микродвигатели и микроманипуляторы

Эти устройства основаны на использовании радиометрических сил, действующих в разреженном газе на нагретые поверхности тела. Поверхности могут нагреваться бесконтактно, например, лазером, что позволяет создавать двигатели-роторы микромасштаба.

Туннельный микроскоп

Другим важным примером является туннельный микроскоп, чувствительный элемент которого работает в режиме разреженного газа. Он применяется для исследования поля поверхностей и манипуляции отдельными атомами.

Для численного моделирования течений разреженного газа во второй половине XX века были разработаны два основных подхода: прямое статистическое моделирование и конечно-разностное решение кинетического уравнения Больцмана. В первом подходе моделируются процессы случайных столкновений и перемещений большого числа шестимерных векторов в фазовом пространстве, обозначающих молекулы газа [1]. На их основе вычисляются среднестатистические значения физических величин, отождествляемых с макроскопическими параметрами газа. Этот метод успешно применяется при расчете сверхзвуковых течений разреженного газа, но для медленных течений он может давать недостоверные результаты из-за присущего методам Монте-Карло статистического шума. В настоящих исследованиях развивается второй подход, который не содержит статистических флуктуаций в решении и позволяет разрешать ничтожно малые изменения параметров течения газа. Последнее важно для разработки компьютерных моделей, которые с высокой точностью описывают медленные течения разреженного газа, характерные для микро- и наноустройств.

Следует отметить, что большая размерность задачи, для которой требуется значительный объем оперативной памяти и вычислительной мощности, варьирование геометрических параметров микроустройств, физических характеристик газа требуют современных суперкомпьютерных систем с различной архитектурой. В связи с этим крайне важно иметь надежные прикладные проблемно-моделирующие среды. Проблемно-моделирующая среда позволяют проводить полномасштабные вычислительные эксперименты указанных явлений и устройств в реальном масштабе времени, которые ранее было невозможно изучать и теоретически, и экспериментально. В основе проблемно-моделирующих сред лежат те или иные математические методы решения уравнений математической физики, описывающих определенную область явлений, методы вычислительной математики, необходимые для получения надежных численных решений уравнений, так как аналитические решения невозможны для актуальных приложений. В свою очередь для компьютерной реализации таких систем необходима разработка алгоритмических подходов, связанных с архитектурой вычислительных систем, поскольку компьютерное моделирование физических явлений требует значительных вычислительных ресурсов, а также применения современных методов построения проблемно-моделирующих систем, которые дают компьютерные науки и информационные технологии. В основе этих методов лежат такие хорошо известные подходы, как объектно-ориентированные технологии и стандарты: MPI, CUDA, OpenGL. Они позволяют создавать эффективные прикладные проблемно-моделирующие системы, реализующие различные математические подходы в плане численных схем, типов сеток, методов организации параллельных вычислений, интерактивной визуализации моделирования и анализа изучаемых физических процессов и технических систем.

Развитие кинетической теории Людвига Больцмана

Основателями кинетической теории газов следует считать Джеймса Клерка Максвелла и Людвига Больцмана. Максвеллу принадлежит рассмотрение состояния газа на основе функции распределения молекулярных скоростей. В 1859

г. он открыл закон распределения молекулярных скоростей в однородном газе, находящемся в равновесном состоянии, а также установил принцип равнораспределения средней молекулярной энергии для молекул с разной массой. Строгий математический подход к описанию течений неравновесных газов был сформулирован в 1866 г. в статье, где было выведено уравнение для изменения любого среднего значения молекулярной величины, обусловленного движением молекул, их взаимными столкновениями и действием внешних сил. В работе Максвелла впервые было дано строгое теоретическое определение коэффициентов вязкости, теплопроводности и диффузии.

Больцман в 1872 г. установил Н-теорему и показал, что молекулярные столкновения приводят газ к равновесному максвелловскому распределению независимо от начального состояния. В этой же работе было выведено известное интегродифференциальное уравнение для функции распределения (уравнение Больцмана) и получено его решение для частного случая «максвелловских» молекул, сила взаимодействия которых обратно пропорциональна 5-й степени расстояния. Он показал, что для таких молекул формулы Максвелла для вязкости, теплопроводности и диффузии могут быть выведены непосредственно из полученного им решения. Дальнейшие исследования и сравнение с экспериментом показали, что модель «максвелловских» молекул является нереалистичной, но для других молекулярных моделей получить приближенное решение своего уравнения не удалось.

В дальнейшем предпринимались многочисленные попытки улучшить метод решения кинетического уравнения путем разложения в степенной ряд. Важные математические результаты были получены Давидом Гильбертом, но и они не дали решения из-за расходимости последовательности приближений. Метод Гильберта был усовершенствован в 1916-1917 гг. Энскогом и Чепменом, что в итоге позволило получить коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии для произвольного молекулярного потенциала. В докомпьютерную эпоху ввиду сложности уравнения Больцмана вопрос о нахождении функции распределения

молекулярных скоростей при произвольном отклонении состояния газа от термодинамического равновесия не возникал. Искались и уточнялись приближенные решения в предположении слабой неравновесности газа.

Развитие аэрокосмической техники поставило задачу изучения течений газов в далеком от термодинамического равновесия режиме. Такие течения возникают при значительном разрежении газа, когда недостаточно столкновений, чтобы перейти к равновесному состоянию. Предпринимались поиски приближенных методов решения уравнения Больцмана, не основанных на разложении в ряды. Наиболее известным является метод Тамма-Мотт-Смита, в котором функция распределения находится как композиция двух максвелловских функций с разными параметрами. Этим методом была рассчитана структуры ударной волны (работа И.Е. Тамма была связана с атомной проблемой и засекречена). Аналогичные приближения использовались и в аэрокосмических исследованиях, но оказались грубыми.

Развивались также методы построения модельных кинетических уравнений, в которых сложный для вычислений нелинейный по функции распределения интеграл столкновений Больцмана заменяется более простым выражением, например, релаксационной формой, имеющей разумный физический смысл. Другим направлением создания кинетических моделей являлась разработка оказываемых моделей дискретных скоростей, в которых молекулы газа могли иметь только небольшое число таких скоростей, чтобы интеграл столкновений сводился к сумме небольшого числа слагаемых.

С появлением компьютеров были разработаны методы имитационного

моделирования течений разреженного газа. В начале 1960-х годов В. Перепуховым

(ЦАГИ им. Жуковского) [2; 3] и Хевилендом [4] был разработан метод пробных

частиц, аналогичный статистическому методу расчета переноса нейтронов.

Немного позже Г. Бердом [1] был предложен более эффективный метод прямого

статистического моделирования. В нем огромное число молекул газа заменяется

сравнительно небольшим числом модельных молекул большего диаметра так,

чтобы длина свободного пробега сохранялась. Затем прослеживается перемещение

8

и столкновение модельных молекул, причем столкновения рассчитываются статистически с учетом близости положения этих молекул.

Первое численное решение уравнения Больцмана для простейших течений газа было получено в штате Иллинойс (США), на параллельном компьютере Иллиак (США) и опубликовано в 1967 г. Нордсиком, Хиксом и Йеном [4]. В 1969 г. были опубликованы первые результаты решения уравнения Больцмана, выполненные Ф.Г. Черемисиным другим методом в Вычислительном центре АН СССР [5; 6].

Значительным недостатком методов решения уравнения Больцмана было отсутствие строгого сохранения законов массы, импульса и энергии при вычислении интеграла столкновений. Авторы понимали этот недостаток, но не могли найти решения проблемы. В качестве вспомогательных мер применялись специальные коррекции решения, которые немного повышали эффективность метода, но не являлись кардинальным решением проблемы. В отличие от названных, метод Берда обладал свойством консервативности, и это позволяло при малых вычислительных затратах и даже на не совсем физически корректных моделях столкновения молекул получать разумные результаты расчета течений газа. С течением времени метод Берда совершенствовался, были созданы пакеты прикладных программ для расчета достаточно сложных задач аэродинамики, и он стал рассматриваться как универсальное и единственное средство расчета течений разреженных газов. Однако выявились и существенные недостатки такого подхода, в первую очередь, связанные со статистическими флуктуациями решения, обусловленными небольшим числом модельных молекул. Эти флуктуации не столь существенны при сверх- и гиперзвуковых течениях газа, когда происходит сильное возмущение потока, но и здесь они проявляются в областях плавного течения, например, в застойных зонах за обтекаемыми телами. Трудности обозначились и в режиме слаборазреженного течения при малых числах Кнудсена (число Кнудсена есть отношение длины свободного пробега молекул к некоторому характерному размеру течения, например, обтекаемого тела). Особенно явно недостатки метода проявились при расчете медленных дозвуковых течений, например, течений в

микроканалах. Здесь во многих случаях не удается выделить действительное решение из статистического шума. Эта проблема хорошо известна и признана сторонниками метода статистического моделирования.

Значительное улучшение метода прямого решения уравнения Больцмана было достигнуто Ф.Г. Черемисиным в 1996 г., когда был разработан проекционный метод вычисления интеграла столкновений Больцмана, строго сохраняющий массу, импульс и энергию в процессе молекулярных столкновений [7]. Тем самым был устранен основной недостаток метода прямого решения уравнения Больцмана по сравнению с методом Берда. В дальнейшем консервативный проекционный метод был обобщен на смеси газов и газы с внутренними степенями свободы молекул. Этот метод позволяет экономично рассчитывать сверх- и гиперзвуковые течения, но особенно эффективен при расчете медленных и слабовозмущенных течений, к которым относятся типичные течения в микроканалах.

Фундаментальные и прикладные проблемы микро- и нанотехнологий являются одним из новых и актуальных направлений исследований, где требуется развитие и применение описанных методик. Распространение суперкомпьютерных систем и технологий их программирования дает возможность проводить полномасштабный вычислительный эксперимент в области фундаментальной физики, инженерных науках и прикладных технологиях. Органическое объединение математических методов, физических моделей и современных достижений компьютерных наук позволяет создавать надежные проблемно-моделирующие среды (Problem-Solving Environments). Проблемно-моделирующие среды включают численные «солверы» для суперкомпьютерных систем с кластерной организацией, сред