автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка многоточечных проекционных методов вычисления интеграла столкновений Больцмана и их алгоритмической и программной реализации

9 15-1/131

На правах рукописи

Додулад Олег Игоревич

РАЗРАБОТКА МНОГОТОЧЕЧНЫХ ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА СТОЛКНОВЕНИЙ БОЛЬЦМАНА И ИХ АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ И ПРОГРАММНОЙ

РЕАЛИЗАЦИИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2015

Работа выполнена на кафедре моделирования ядерных процессов и технологий Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель: Черемисин Феликс Григорьевич,

доктор физико-математических наук.

Официальные оппоненты: Кузнецов Михаил Михайлович,

Ведущая организация: Институт прикладной математики

им. М. В. Келдыша Российской академи наук

заседании диссертационного совета Д 212.156.05 на базе Московского физш технического института (государственного университета) по адресу: 14171 Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд. 903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физж технического института (государственного университета) и на сайте университ( http://www.mipt.ru.

доктор физико-математических наук, доцент, Московский государственный областной университет, профессор кафедры теоретической физики;

Потапов Антон Павлович,

кандидат физико-математических наук,

ООО "Параллелз Рисерч",

отдел разработки программного

обеспечения, старший инженер-

программист.

Защита состоится _22 октября

2015 г. в 12 часов 40 минут

Автореферат разослан

2015 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Федько Ольга Сергеев!

Российская

з : " ;

I МО ;';.;'<а Общая характеристика работы --------------------- -

Актуальность темы исследования. Разработка микроэлектромеханических систем, микронасосов, газовых разделителей на основе пористых мембран, а также задачи аэрокосмической области: обтекания газа в верхних слоях атмосферы и исследование физико-химических процессов во фронте ударной волны, - требуют кинетического подхода для описания газа. Основой такого описания является кинетическое уравнение Больцмана. Экспериментальное исследование упомянутых задач является сложной задачей, в связи с чем актуально построение прямых методов решения уравнения Больцмана и проведение численного моделирования течений разреженного газа.

Цели диссертации. Целями диссертации являлись развитие проекционного метода вычисления интеграла столкновений Больцмана, алгоритмической и программной реализации предложенных новых методов и их использование для анализа неравновесных течений однокомпонентного газа и смесей газов, в том числе, применительно к проблеме разделения газов.

Научная новизна. Разработаны многоточечные консервативные проекционные методы вычисления интеграла столкновений Больцмана для смесей газов, обобщенные на случай произвольного потенциала взаимодействия молекул. Построен метод вычисления интеграла столкновений Больцмана на неравномерной сетке в пространстве скоростей.

Проведены прецизионные расчеты структуры фронта ударной волны в однокомпонептном газе и в смеси газов. Осуществлен анализ неравновесных течений смеси газов с большим отношением молекулярных масс. Выполнены моделирования смеси газов в устройствах, основанных на эффекте теплового скольжения. Показана возможность разделения смеси газов в устройствах такого типа. Проведено моделирование сильнонеравновесных течений и течений при числе Кнудсена > 1.

Теоретическая и практическая значимость работы. На основе построенных методов вычисления интеграла столкновений Больцмана разработан программный

модуль для проблемно-моделирующей среды, предназначенной для анализа явлений в разреженном газе. Численные методы, техника моделирования и программная среда могут применяться при разработке микроэлектромеханических систем, газовых фильтров и разделителей смесей, проектировании вакуумных систем, в аэрокосмической области и в задачах теплопереноса.

Методология и методы исследования. При работе над диссертацией использовалась методология математического моделирования, методы вычислительной математики, решения дифференциальных и интегральных уравнений, методы проектирования программных систем и методы кинетической теории газов.

Положения, выносимые на защиту, отражены в основных результатах и выводах диссертации, приведенных в конце автореферата.

Степень достоверности и апробация работы. Материалы диссертации опубликованы в 18 работах, из них 7 - статьи в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ [1-7]. Личный вклад соискателя в работы с соавторами соответствует результатам диссертации, вынесенным на защиту.

Научные результаты были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на научных конференциях: Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях, Алушта, 2010, 2012, 2014; Международная конференция по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Алушта, 2011, 2013; Nano-Tech Conference & Expo, Santa-Clara, 2012; 28th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Zaragoza, 2012; 13th International Conference on Mathematical Methods in Science and Engineering, Almeria, Spain, 2013; XXXVII Академические чтения по космонавтике, Москва, 2013.

В рамках работы были получены свидетельства на программы для ЭВМ [16-18].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 126 страниц. Список литературы содержит 109 наименований.

Основное содержание работы

Во введении приводится общая характеристика работы (актуальность, новизна, теоретическая и практическая значимость, степень достоверности и апробация работы).

В главе 1 дано описание физических и математических понятий и методов, лежащих в основе динамики разреженного газа. Базисом описания является функция распределения молекул по скоростям, эволюционирующая согласно кинетическому уравнению Больцмана. Свойства каждого отдельного газа определяются взаимодействием молекул газа между собой и их взаимодействием со стенками. Рассматриваются уравнения Больцмана для смеси газов и обобщённое уравнение Больцмана для газа с внутренними степенями свободы.

Существуют различные подходы для описания состояния газа. Газ можно рассматривать как совокупность отдельных молекул и исследовать их движение, используя классическую или квантовую механику - метод молекулярной динамики. С другой стороны, можно использовать самый грубый метод описания газа - уравнения гидродинамики. У каждого метода есть свои границы применимости.

В случае, когда характерные размеры течения газа, соизмеримы со средней длиной свободного пробега молекул, поведение газа необходимо описывать на кинетическом уровне. Основой кинетического описания является уравнение Больцмана. Это уравнение относительно функции распределения молекул газа по скоростям f{t, х, которая характеризует среднее число молекул, находящихся в данный момент времени t в данной точке физического пространства х и обладающих данной скоростью

Кинетическое уравнение Больцмана имеет в следующий вид:

а/ э/ г

^+ *>-£ = ] (/'Л - /Юдь ль йей?'.

Левая часть кинетического уравнения описывает движение молекул в пространстве без столкновений между собой. Правая часть называется интегралом столкновений Больцмана.

Имея функцию распределения молекул газа по скоростям можно определить макропараметры газа (плотность, среднюю скорость газа, температуру) путем интегрирования функции распределения с весовой функцией от скорости.

Уравнение Больцмана обладает важными свойствами - одним из которых является свойство консервативности, соответствующее физическим законам сохранения массы, импульса и энергии:

(I С й Г с1 Г ,

Другим свойством уравнения является свойство не возрастания Н-функции Больцмана Н = $ /(1п/ — 1) с1х. Данное свойство является проявлением закона не убывания энтропии (Н-функция Больцмана есть энтропия газа со знаком минус). Именно это свойство обеспечивает существование равновесного распределения молекул газа по скоростям, называемое максвелловским распределением.

Для построения решения уравнения Больцмана необходимо наличие граничных условий. Наиболее часто используемым граничным условием является условие взаимодействия газа с твердой стенкой. В главе приводится несколько моделей взаимодействия, из которых наиболее распространенной является модель диффузного отражения молекул.

В случае, когда газ представляет собой смесь двух или более видов молекул газа, его поведение на кинетическом уровне описывается уравнением Больцмана для смеси газов:

j=0

где /¡(t, x, pj) - функция распределения молекул i-го сорта по импульсам.

Всё выше приведенные уравнения справедливы для газов без внутренних степеней свободы. Поведение двухатомного газа, молекулы которого обладают вращательными степенями свободы, на кинетическом уровне описывается обобщенным уравнением Больцмана

Щ + t ■ Vfi = X / - №ШО) 9 ajfie, g) d2n d3fi ■

j.k.l

Уравнение записано относительно функции распределения по скоростям /¡(О молекул газа, находящихся на /-ом квантовом вращательном уровне. Уравнение является расширением уравнения Wang Chang - Uhlenbeck'a на случай вырождения уровней, что имеет место для вращательных степеней свободы при отсутствии магнитного поля. Наличие величины wff = q^i/q^j связанно именно с вырождением уровней, qi -число вырождения.

Глава 2 посвящена консервативному проекционному методу вычисления интеграла столкновений Больцмана. Изложение начинается с общих проблем численного решения уравнения Больцмана. Приводятся известные подходы решения уравнения. Рассматриваются ключевые моменты оригинального консервативного проекционного метода. Далее излагается разработанный проекционный метод для смеси газов при двухточечном проецировании. Основное внимание уделяется многоточечным проекционным методам. Проводится анализ различных шаблонов проецирования, строятся схемы с большим числом точек проецирования, дополнительно сохраняющие при аппроксимации отдельного столкновения более высокие моменты функции распределения. Представлены особенности и возможная оптимизация вычисления интеграла столкновений в случае наличия цилиндрической симметрии в пространстве скоростей (импульсов). Завершается глава построением

консервативного проекционного метода в случае неравномерного шага в скоростном (импульсном) пространстве.

Рассмотрим основные проблемы связанные с решением уравнения Больцмана. Во-первых, это высокая размерность уравнения. Уравнение является интегро-дифференциальным уравнением относительно 7-ми мерной функции распределения

х, £). Во-вторых, необходимость расщепления уравнения. Операторы адвекции (переноса) и однородной релаксации (интеграл столкновений) имеют различную природу, следовательно, должны быть рассмотрены отдельно, и затем их решения объединены. Важным свойством численной схемы на этом этапе является сохранение положительности функции распределения. В-третьих, проблема вычисления интеграла столкновений. Помимо высокой размерности интеграла, численный метод должен сохранять массу, импульс, энергии и обеспечивать выполнение Н-теоремы Больцмана.

Именно проблеме вычисления интеграла столкновений адресована данная работа. Другие упомянутые проблемы также решаются, это позволило проводить комплексные моделирования течений газа на основе уравнения Больцмана.

При вычислении интеграла столкновений важными характеристиками используемого подхода являются: 1) прямое вычисление интеграла без замены на упрощенные модельные уравнения; 2) построение консервативной численной схемы, что позволяет сохранять ценность результатов при многоитерационных расчетах; 3) отсутствие статистического шума, что позволяет не терять медленные слабые процессы на фоне шума.

Упомянутым характеристикам удовлетворяет консервативный проекционный метод вычисления интеграла столкновений, разработанный профессором Черемисиным Феликсом Григорьевичем. Метод является одним из первых эффективных прямых методов решения уравнения. Консервативность вычисления интеграла столкновений достигается специальным проецированием скоростей молекул после столкновения на ближайшие узлы скоростной сетки. В силу этого метод получил название - консервативный проекционный метод. Метод также минимизирует

наличие статистического шума, благодаря способу интерполирования функции распределения в точках не лежащих на расчетной сетке так, что достигается выполнение Н-теоремы Больцмана в численном виде.

Оригинальный проекционный метод справедлив и для решения уравнения Больцмана для смеси газа. Единственным требованием в случае двухточечного проецирования для обеспечения консервативности является необходимость того, чтобы сеточные шаги в импульсном пространстве для каждой из компонент смеси газов были равны Л; = к, I = 1... N.

Такой метод хорошо работает при умеренном отношении молекулярных масс компонент смеси и хорошо себя проявил в следующих работах [2, 3, 4].

Проекционный подход позволяет проводить моделирования для сложных моделей взаимодействия молекул, таких, например, как реалистичный потенциал Леннарда-Джонса или потенциал полученный из первых принципов аЬ ¡пИю. Для этого метод был доработан, путем разработки техники предварительного расчета сечений взаимодействия молекул и последующее их использование при счете интеграла.

В методе для смеси газов, о котором шла речь выше, равенство импульсных шагов было обязательным условием за счет чего выполнялось автоматическое сохранение импульса. Требование равенства шагов в импульсных сетках приводит к вынужденному увеличению числа узлов в сетках тяжелых компонент смеси.

В связи с этим, был разработан метод получивший название многоточечный консервативный проекционный метод. Данный метод не требует равенства сеточных шагов для всех компонент смеси, благодаря искусственному сохранению импульса. Число точек проецирования в таком случае возрастает до минимум 5.

Помимо компактной 5-ти точечной схемы проецирования рассматриваются схемы с большим числом точек проецирования дополнительно сохраняющие при аппроксимации столкновения более высокие моменты функции распределения. Доказывается, что все построенные методы обладают теми же положительными

свойствами, что и оригинальный проекционный метод, а также применимы для произвольных потенциалов взаимодействия молекул.

В общем случае функция распределения молекул по скоростям является трехмерной. Однако, в некоторых случаях, а именно в случае цилиндрически симметричной постановки задачи в физическом пространстве, функция распределения по скоростям является двухмерной и зависит только от радиальной и аксиальной составляющих вектора скорости.

Проекционный метод для такого класса задач может быть оптимизирован. Техника проецирования и интерполирования при этом несколько изменяется, добавляются дополнительные весовые множители. Такая работа была проведена для многоточечного проецирования. Её описание приводится в тексте главы. Более простой случай модификации оригинального проекционного метода для однокомпонентного газа так же был проделан. Соответствующие вычислительные формулы могут быть получены по аналогии.

Логическим продолжением работы расширения оригинального проекционного метода является построение метода в случае неравномерной сетки в пространстве скоростей.

Необходимость такого метода связана со следующим. При моделировании течений разреженного газа при больших числах Кнудсена или Маха для функции распределения частиц газа по скоростям свойственно наличие больших градиентов. В таком случае для хорошего сеточного разрешения особенностей функции распределения необходимо использование сеток с малым шагом дискретизации.

Равномерность скоростной сетки в оригинальном проекционном методе является необходимым требованием в силу особой техники консервативного проектирования скоростей. В ней сохранение импульса обеспечивается «автоматически».

В общем случае данная задача решается применением многоточечных схем проецирования. При этом необходимо учитывать весовые множители каждого

сеточного узла. При интерполяции функции распределения они также учитываются, что позволяет получить схему для которой выполняется Н-теорема в численном виде. Это, в свою очередь, минимизирует наличие статистического шума в численных результатах.

В главе 3 приводится общее описание структуры проблемно-моделирующей среды, основанной на консервативном проекционном методе вычисления интеграла столкновений Больцмана. Приводится описание всех этапов численного решения уравнения Больцмана от задания граничных и начальных условий до обработки результатов. Рассматриваются особенности, связанные с аппроксимацией на неструктурированных сетках, и инструмент построения неструктурированных сеток ОМБН. Особое внимание уделяется ядру проблемно-моделирующей среды - главной части, ответственной за вычисление интеграла столкновений. Приводятся блок схемы ключевых алгоритмов солвера, связанных с вычислением интеграла столкновений.

На основе консервативного проекционного метода была создана и продолжает разрабатываться проблемно-моделирующая среда (ПМС), предназначенная для проведения расчетов течений разреженного газа. Изначально ПМС позволяла проводить расчеты однокомпонентного газа в областях, заполнить которые можно структурированными сетками. Затем ПМС была улучшена, стало возможным проводить расчеты устройств со сложной геометрией, благодаря применению неструктурированных сеток [7]. Далее получила развитие часть ПМС, ответственная за вычисление интеграла столкновений, появилась возможность моделировать течения смеси газов [4] и газы с внутренними степенями свободы на основе упрощенной двухуровневой модели [3]. Затем метод вычисления интеграла столкновений для смеси газов был обобщен [10], это позволило эффективно проводить расчеты смесей газов с сильно различающимися массами молекул. В настоящий момент ведется интеграция метода решения обобщенного уравнения Больцмана.

Проблемно-моделирующая среда разработана с использованием открытых технологий. Для расчетных солверов ПМС в качестве языка программирования был выбран язык С++, благодаря этому совмещается высокое быстродействие с объектно-

ориентированным программированием, это немаловажно для дальнейшего перспективного развития ПМС. Части ПМС, ответственные за пре- и постобработку данных, написаны на высокоуровневом языке программирования Python.

ПМС позволяет проводить расчеты на персональном компьютере так и на многопроцессорных кластерах.

На рис. 1 схема программно-моделирующей среды. Показан поток данных от входных параметров и генерации расчётной сетки до визуализации результатов с использованием сторонних вспомогательных пакетов. Центральное место занимает солвер — это программа, выполняющая все необходимые для решения уравнения Больцмана вычисления. Расчёт представляет собой итерационный процесс эволюции функции распределения /(t, х, (). Макропараметры газа получаются интегрированием функции распределения с соответствующими функциями от скорости

Входные данные Сапвф Внэуалюацня

Поотюювка

Конфктурисгоюшп JSON фит

Оболочка

Интеграл столкновений

Простой ГАЗ Смесь Двухегамаш

| 2-ponii | I'J-ll-VC'l ПЮ<М|

] Multipoint | | GBE |

i *

Уроженке пер «оса UitstriK'I.Solv|

[liTlSiilv |

^ J (ilUiplol |

i |M«M>lo>lih|

Ip^H

J | PtLmvk'w"! Bkvirwrr |

Рис. 1. Схема проблемно-моделирующей среды

Глава 4 посвящена описанию моделирования и анализу различных задач кинетической теории газов на основе консервативного проекционного метода на разработанной проблемно-моделирующей среде. Рассматривается широкий класс задач от относительно простых с вычислительной точки зрения одномерных в физическом пространстве до вычислительно затратных сложных трехмерных задач. Представлены различные течения газа: как сильнонеравповесные, например, в задаче нахождения структуры ударной волны, так и медленные слабо отличающиеся от равновесных, индуцированные эффектом теплового скольжения.

Изложение начинается с рассмотрения результатов моделирования классических задач кинетической теории газов: течение Куэтта, задача теплопроводности. Приводится сравнение результатов численного моделирования с экспериментальными данными. Применяется реалистичный потенциал взаимодействия молекул. Рассматривается широкий диапазон чисел Кнудсена, для больших чисел Кнудсена в силу большого отличия функции распределения от равновесного применяется метод на неравномерной сетке скоростей.

Далее представляются расчеты структуры ударной волны с контролируемой точностью в широком диапазоне чисел Маха. Нахождение структуры плоской ударной волны в одноатомном газе составляет классическую задачу кинетической теории. Кроме физического интереса, она является примером сильнонеравновесного течения и важным тестом для проверки различных приближенных теорий и методов расчета кинетических процессов в газе. Ее удобство как тестовой задачи состоит в одномерности в физическом пространстве, простых граничных условиях и наличии инвариантов - законов сохранения потоков массы, импульса и энергии - которые могут использоваться для контроля правильности решения. Важно также наличие достаточно надежных экспериментальных данных по измерению плотности во фронте волны, сравнение с которыми приводятся в тексте Главы. Наблюдается хорошее согласие результатов.

Помимо структуры плоской ударной волны рассматривается её взаимодействие с преградой. Пример распределения продольной составляющей скорости газа показан на рис. 2.

Отдельное внимание уделяется рассмотрению ударной волны в смеси газов. Исследуются особенности процессов протекающих во фронте ударной волны в случае смеси газов с сильно различающимися массами молекул. В ряде экспериментальных работ указана возможность протекания в области фронта УВ неупругих процессов со значениями пороговой энергии, превышающими характерную тепловую энергию равновесного состояния за фронтом. Моделирование подтверждает превышение частоты высокоэнергетических столкновений во фронте УВ относительно ее значения

в равновесной области за фронтом. Было рассмотрено влияние на величину этого превышения отношения концентраций компонент газа. Рассчитаны функции распределения молекул по скоростям для компонент смеси. Эффект превышения частоты столкновений во фронте УВ может приводить к инициализации высокопороговых химических реакций, возбуждению электронных уровней и к ионизации компонент смеси.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Рис. 2. Распределение продольной составляющей скорости газа в задаче взаимодействия плоской УВ с преградой, имеющей щели (Ял = 0.1).

Другой большой составляющей главы является рассмотрение медленных слабо отличающихся от равновесия течений, вызванных эффектом теплового скольжения. Эффект теплового скольжения заключается в течении газа вдоль градиента температуры неравномерно нагретой твердой стенки. Данное течение проявляется в областях от стенки порядка нескольких длин свободного пробега молекул. В связи с чем такие течение играют существенную роль в микроканалах и микроустройствах. В настоящее время интерес к изучению таких течений возрастает в связи с появлением технологий, позволяющих производить микро-устройства, и стремлением к миниатюризации технологий. Известно большое количество экспериментальных образцов устройств, которые работают как насосы без каких-либо движущихся частей. Рассматриваемый газ часто представляет собой смесь газов. Так как величина эффекта теплового скольжения зависит от свойств молекул газа, то отдельные компоненты газа

в подобных устройствах ведут себя по-разному. Это позволяет использовать насосы как газовые разделители.

В данной работе течения газа в микроустройствах изучаются на основе решения уравнения Больцмана. Моделируются следующие микроустройства: одноступенчатый насос Кнудсена, его многоступенчатая модификация, pump driven by thermal edge flow и U-curved pump. Получены величины откачки и разделения смеси в устройствах. Представлены поля макропараметром газа (см. рис 3, 4, 5, 6). Моделирование проведено для различных потенциалов взаимодействия.

0.0000 0 0000 0.0018 0.0027 0.0036 0.0045

sJ*

jb ;;

I»

|O0

Рис. 3: Распределение потоков газа, процесс откачки газа и левого резервуара.

0.54 0.51 0.46 0.45

10 20 30 40

г/А

Рис. 5: Распределение давления р и долей легкого ха и тяжелого х^ газа вдоль линии симметрии в многоступенчатом насосе

Рис. 4: Геометрия многоступенчатого насоса Кнудсена и распределение давления в нём

1 пг

I»I •

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0 7,5 9.0 10.5 12.0

0.480 0.488 0.496 0.504 0.312 0.520

Рис. 6: Стационарное распределение долей легкого х" и тяжелого д^ газа в плоскости симметрии змейчатого насоса

В заключении приведены основные результаты диссертации.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

1. Разработаны многоточечные консервативные проекционные методы вычисления интеграла столкновений Больцмана для многокомпонентного газа. Показана их эффективность при проведении расчетов газовых смесей с сильно различающимися молекулярными массами. Разработанные методы обобщены на произвольные потенциалы взаимодействия молекул.

2. Построен многоточечный консервативный проекционный метод вычисления интеграла столкновений на неравномерной сетке скоростей, позволяющий эффективно проводить расчеты сильнонеравновесных процессов с большими градиентами функции распределения молекул по скоростям.

3. Разработан программный код модуля вычисления интеграла столкновений в проблемно-моделирующей среде, предназначенной для проведения расчетов задач динамики разреженного газа в широком диапазоне чисел Кнудсена и Маха.

4. Впервые проведено моделирование структуры ударной волны в смеси газов с сильно различающимися массами молекул на основе детерминистического метода решения уравнения Больцмана. Численно получен новый физический эффект превышения частоты столкновений молекул во фронте ударной волны.

5. Выполнены моделирование и анализ двух- и трехмерных течений бинарной газовой смеси в микроустройствах, работающих на основе явления теплового скольжения. Показана возможность применимости таких микроустройств в качестве разделителей компонент газовой смеси.

Слисок работ, опубликованных автором по теме диссертации

1. Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Шувалов П.В. Моделирование распространения ударной волны в микроканале на основе решения уравнения Больцмана // Математическое моделирование. - 2010. - Т. 22, № 6. -С. 99-110.

2. Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Мартынов Д.В., Рогозин О.А., Рябченков В В., Шувалов П.В., Черемисин Ф.Г. Проблемно-моделирующая среда для расчетов и анализа газокинетических процессов // Нано- и микросистемная техника. -2011,- №2. -С. 12-17.

3. Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Рябченков ВВ. Система программных модулей для вычисления интеграла столкновений Больцмана // Вычислительные методы и программирование. - 2011. - Т. 12. - С. 40-47.

4. Anikin Yu„ Dodulad О. /., Kloss Yu„ Martynov D. V., Shuvalov P. V., Tcheremissine F. G. Development of applied software for analysis of gas flows in vacuum devices//Vacuum. - 2012. - V. 86,N. 11.-P. 1770-1777.

5. Додулад О.И., Черемисин Ф.Г. Расчеты структуры ударной волны в одноатомном газе с контролем точности // ЖВМ и МФ. - 2013. - Т. 53. - № 6.-С. 169-187.

6. Аникин Ю. А., Додулад О. И. Решение кинетического уравнения для двухатомного газа с использованием дифференциальных сечений рассеяния, рассчитанных методом классических траекторий // ЖВМ и МФ. - 2013. - Т. 53. - № 7. - С. 1193-1211.

7. Dodulad О. /., Kloss Yu. Ум., Savich/cin D. О., Tcheremissine F. G. Knudsen Pumps Modeling with Lennard-Jones and ab initio intermolecular potentials // Vacuum. -2014,-V. 109.-P. 360-367.

8. Anikin Yu.A., Derbakova E.P., Dodulad O.I., Kloss Yu.Yu., Martynov D.V., Rogozin O.A., Shuvalov P.V., Tcheremissine F.G. Computing of gas flows in micro- and nanoscale channels on the base of the Boltzmann Kinetic equation // Procedía Computer Science. - 2010. - V. 1, N. 1. - P. 735-744.

9. Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г. Падение ударной волны на плоскую преграду, содержащую микрощели. // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. - 2010. - Т. 10. - С. 1-18.

10.Anikin Yu. A., Dodulad О. У., Kloss Yu. Yu., Martynov D. V., Shuvalov P. V., Tcheremissine F. G. Numerical modeling of Knudsen's thermal creep experiment Hi. Phys.: Conf. Ser.-2012. -V. 362.-P. 012037.

11 .Dodulad O. /., Tcheremissine F. G. Multipoint conservative projection method for computing the Boltzmann collision integral for gas mixtures // 28th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. - Zaragoza, 2013. - P. 302-309.

12.Dodulad O. /., Ivanovo I. D„ Kloss Yu. Yu., Shuvalov P. V., Tchremissine F. G. Study of gas separation in micro devices by solving the Boltzmann equation // 28th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. - Zaragoza, 2013. - P. 816823.

13.Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г. Расчеты структуры ударной волны с смеси газов на основе решения уравнения Больцмапа // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. - 2013. - Т. 14.-№ 1. — С. 1-18.

14.Bazhenov I. /., Dodulad О. /., Ivanovo I. D., Kloss Yu. Yu., Rjabchenkov V.V., Shuvalov P. V., Tcheremissine F.G. Problem Solving Environment for Gas Flow Simulation in Micro Structures on the Base of the Boltzmann Equation. CMMSE

'2013 // Proceedings of the 13th International Conference on Mathematical Methods in Science and Engineering. - Almería, Spain, 2013. - P. 246-257.

\5.Anikin Yu.A., Dodulad O.I., Kloss Yu.Yu., Tcheremissine F.G. Method of calculating the collision integral and solution of the Boltzmann kinetic equation for

simple gases, gas mixtures and gases with rotational degrees of freedom // International Journal of Computer Mathematics. - 2014. - P. 1-15.

16.Свидетельство 2011614291. Программа для вычисления интеграла столкновений Больцмана : программа для ЭВМ / Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Додулад О.И., Рябченков B.B. (RU); правообладатели ФГАОУ ВПО Московский физико-технический институт (государственный университет), ФГБУ НИЦ Курчатовский институт, № 2011614291; заявл. 07.04.11; опубл. 31.05.11.

17.Свидетельство 2012616560. Проблемно-моделирующая среда MHSF для моделирования и анализа газокинетических процессов в микро- и наноструктурах : программа для ЭВМ / Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Додулад О.И., Мартынов Д.В., Иванова И.Д. (RU); правообладатели ФГАОУ ВПО Московский физико-технический институт (государственный университет), ФГБУ НИЦ Курчатовский институт, № 2012616560; заявл. 22.05.12; опубл. 20.07.12.

18.Свидетельство 2012616146. Программный солвер вычисления интеграла столкновений для смеси газов на основе проекционного метода : программа для ЭВМ / Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Додулад О.И. (RU); правообладатели ФГАОУ ВПО Московский физико-технический институт (государственный университет), ФГБУ НИЦ Курчатовский институт, №2012616146; заявл. 15.05.12; опубл. 05.07.12.

Додулад Олег Игоревич

РАЗРАБОТКА МНОГОТОЧЕЧНЫХ ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА СТОЛКНОВЕНИЙ БОЛЬЦМАНА И ИХ АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ И ПРОГРАММНОЙ

РЕАЛИЗАЦИИ

Автореферат

Подписано в печать 20.08.2015. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж

100 экз. Заказ № 356.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский физико-технический институт (государственный университет)"

Отдел оперативной полиграфии "Физтех-полиграф" 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

2015675483

2015675483