автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное решение некоторых задач для модельного кинетического уравнения Больцмана

На правах рукописи

Титарев Владимир Александрович

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ МОДЕЛЬНОГО КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2003

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Е.М. Шахов Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Ф.Г. Черемисин доктор технических наук А.И. Ерофеев

Ведущая организация:

Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН

Зашита состоится "2.1 " ОкТ-З'ЬрЯ 2003 года в н часов оО мин. на заседапии диссертационного совета Д 212.141.15 при Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана по адресу: 107005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим высылать по адресу: 107005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, МГТУ им. Н.Э. Баумана , ученому секретарю совета Д 212.141.15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Автореферат разослан " Ю » СЛНТЦ £¡¡>/7 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.м.н., профессор

Волков И.К.

\УГ?О

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Основным уравнением кинетической теории газов является уравнение Больцмана, которое представляет собой исключительно сложное нелинейное интегро - дифференциальное уравнение. Несмотря на значительный прогресс в разработке методов прямого численного решения кинетического уравнения, достигнутый в последнее время, высокая размерность уравнения ограничивает возможности его решения на вычислительных

Вероятно, наиболее популярной альтернативой прямому численному решению уравнения Больцмана является метод Монте-Карло, который направлен на то, чтобы обойти прямое численное решение уравнения Больцмана и моделировать непосредственно движение фиксированного числа частиц в ячейках численной сетки. Получили распространение модификации метода, предложенные Бердом и Белоцерковским и Яниц-ким.

Другой альтернативой является построение и численное решение модельных кинетических уравнений, которые аппроксимируют уравнение Больцмана. В настоящее время широкое распространение получила модельное уравнение неполного третьего приближения, получившие название модели Шахова, или Б-модели. Несмотря на то, что данное модельное кинетическое уравнение значительно проще для численного решения на вычислительных машинах, чем точное уравнение Больцмана, оно также является сложным интегро-дифференциальным уравнением высокой размерности.

Можно отметить следующие типичные трудности численного решения как модельного, так и точного кинетического уравнений. При расчетах течений с большими числами Кнудсена для достижения удовлетворительной точности часто необходимо учитывать разрывы функции распределения, что существенно усложняет численный алгоритм и его программную реализацию. С другой стороны, численное решение кинетического уравнения при малых числах Кнудсена требует построения полностью консервативных методов высокого (минимум второго) порядка аппроксимации. При этом как для больших, так и для малых чисел Кнудсена используемые конечно-разностные схемы должны обладать возможностью рассчитывать разрывные решения.

Таким образом, представляется актуальной разработка новых и улучшение существующих эффективных численных алгоритмов повышенного (минимум второго) порядка аппроксимации для модельного кинетического уравнения, с выделением разрывов при расчетах с большими числами Кнудсена и обеспечивающих возможность сквозного расчета течений с

разрывами и консервативность расчета для малых чисел Кнудсена, а также применение данных алгоритмов к задачам механики разреженных газов с целью получения более точных решений ряда известных и новых задач. При этом часть разработанных численных алгоритмов может быть в дальнейшем использована для решения уравнения Больцмана с точным интегралом столкновений.

Целью работы является улучшение существующих и разработка новых численных алгоритмов решения многомерного модельного кинетического уравнения, а также практическое применение данных методов для решения ряда задач механики разреженных газов.

Метод исследования. Применяются методы механики разреженных газов и вычислительной математики.

Научная новизна.

Решена задача о нестационарном испарении с плоской поверхности конденсированной фазы в полупространство в широком диапазоне значений числа Кнудсена и коэффициента испарения.

Предложена процедура учета разрывов функции распределения при вычислении интегралов по молекулярной скорости для двухмерного стационарного кинетического уравнения.

Решена задача о слое смешения двух сверхзвуковых потоков разреженного газа за задней кромкой гладкой пластины.

Рассчитано поперечное обтекание пластины с различными граничными условиями гиперзвуковым потоком разреженного газа для чисел Маха 2 < М < 30 и числа Кнудсена Кп > 1.

Предложен новый метод построения полностью консервативных численных методов для нестационарного кинетического уравнения с модельным оператором столкновений, который обеспечивает выполнение законов сохранения массы, момента и энергии газа для любых чисел Кнудсена и граничных условий диффузного отражения, а также правильную аппроксимацию вектора потока тепла.

Построен полностью консервативный численный метод третьего и выше порядка аппроксимации для двухмерного нестационарного кинетического уравнения с модельным оператором столкновений в виде Б-модели.

Рассчитано поперечное обтекание пластины сверхзвуковым потоком разреженного газа при числе Кнудсена Кп = 5 х 10~3 и чисел Маха набегающего потока М = 5, 10 для теплоизолированной пластины и М = 5 для холодной пластины.

Практическая и теоретическая ценность. Численные методы, разработанные в данной работе, применимы для расчета течений разре-

женного газа в широком диапазоне чисел Маха и Кнудсена. Разработанные программы позволяют получить решения известных задач с более высокой точностью, а также строить решения новых задач, получение решений которых обычными методами было бы затрудпено. Часть разработанных численных алгоритмов может в дальнейшем быть использована для численного решения уравнения Больцмана с точным интегралом столкновений.

Основные результаты, которые выносятся на защиту:

1. Расчет нестационарного испарения с плоской поверхности конденсированной фазы для всех режимов испарения произвольной интенсивности.

2. Численный алгоритм решения двухмерного стационарного уравнения с учетом разрывов функции распределения не только в конечно-разностной схеме второго порядка аппроксимации, но и в процедуре вычисления интегралов от функции распределения по молекулярной скорости

3. Расчет течения разреженного газа за задней кромкой гладкой пластины.

4. Расчет поперечного обтекания пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа при граничных условиях теплоизолированной и холодных пластин.

5. Метод построения консервативных численных методов для трехмерного кинетического уравнения с оператором столкновений в виде Э-модели без коррекций функции распределения.

6. Консервативная схема повышенного (от третьего и выше) порядка аппроксимации для двухмерного кинетического уравнения с оператором столкновений н виде 8-модели.

7. Расчет поперечного обтекания пластины сверхзвуковым потоком разреженного газа для числа Кнудсена Кп = 5 х Ю-3 при граничных условиях теплоизолированной (числа Маха 5 и 10) и холодной (число Маха 5) пластины.

Аппробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались на:

• Российской национальной конференции по теплообмену, Москва, МЭИ, 1998 г.

• Пятом Международном совещании-семинаре 'Инженерные проблемы новой техники', Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998 г.

• Второй международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях, Санкт-Петербург, 1998 г.

• II Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых 'Современные проблемы аэрокосмической техники', Жуковский, ЦА-ГИ им. Н.Е. Жуковского, 1999 г.

• Международной научно-технической конференции молодых ученых 'Современные проблемы аэрокосмической науки и техники', Жуковский, ЦАГИ им. Н.Е. Жуковского. 2000 г.

• Семинаре Сектора кинетической теории ВЦ им. A.A. Дороднивдгаа РАН, Москва, 2003 г.

• Семинаре по математической физике ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Москва, 2003 г.

• Семинаре ФАЛТ МФТИ, Жуковский, 2003 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждаются общие подходы к моделированию течений разреженного газа. Кратко описаны принципы построения модельных уравнений Болыдаана, в частности моделей Шахова и Крука (БГК модели). Приведен обзор существующих численных методов решения точного и модельного кинетических уравнений Больцмана и кратко изложены основные результаты работы.

В безразмерных переменных кинетическое уравнение для функции распределения молекул по скоростям f(t,t,£) с модельным оператором столкновений Шахова имеет следующий вид:

/ — fm

l + ^l-Pr)^^-^)

= JLl£±. rn

" 5VtF fi Kn U

f - П rxni f^ Г - 6 ~Щ 4--2qi j™ ~ t Т\Ч/2 eXP \ > — üt ~~

(тгТ)з/2сл^ " Vr ' пТЗ/2

Здесь Ь - время, г = (х^, жг, хъ) = (х,у,г) - координата физического пространства, | = - вектор молекулярной скорости, /т -локально-максвелловская функция распределения, Рг - число Прандтля, Кп - число Кнудсена, 5; - приведенный вектор теплового потока. При известной функции распределения макропараметры газа выражаются в виде интегралов по молекулярной скорости:

п

= //С ПЩ = J (Ц;,

Л3 №

е=I е/ %=~ I& - «,-ж - «I2/ ^

я3 л3

(2)

Первый раздел диссертации посвящен кинетическому анализу нестационарного процесса испарения с плоской поверхности тела в полупространство, занятое газовой фазой (паром) конденсированного тела, при внезапном повышении температуры тела до некоторой постоянной. Поверхность раздела фаз представляет собой плоскость х = 0. В начальный момент времени t = 0 температура конденсированной фазы мгновенно поднимается до температуры Тш > 1 и затем остается постоянной для всех £ > 0. При этом на испарающей поверхности принималось, что часть а от общего потока падающих молекул конденсируется на поверхности равна, а (1 — а) рассеивается поверхностью по диффузному закону с полной тепловой аккомодацией, т. е. при температуре Тю, где а -коэффициент конденсации и одновременно коэффициент испарения.

Исследование течения ведется на основе численного решения нестационарного кинетического уравнения для редуцированной функции распределения (<7, Л)

9=1 л=/ кеУ+еж^

Яг л3

(3)

которое в безразмерных переменных записывается в виде

9д , дд . „ . дк „ дН , тт ,.

я = я°

1 + |(1-Рг)Зхсх(с?-1) 1 +

' С°=(^ехр(_с2) (4) , я° = то0,

Начальные условия и граничные условия на границе раздела фаз в терминах функций g, h имеют вид

9(0, х, Q = Л( О, х, = дк = ~ ехр (-£*)

х = +0, Çx > 0 : g = gw = (апя + (1 - а)п0)Ом

h = К = G м = тг~1/2 ехр (-g/T„) (5)

о

= ^г ехр - 1)), По = J

—со

Здесь индекс s относится к макропараметрам насыщенного пара, определяемых обычной кривой насыщения, Q - безразмерная удельная теплота парообразования, которую для простоты считаем постоянной.

Сформулированная задача решалась численно методом конечных разностей на неравномерной сетке с помощью TVD схемы второго порядка точности. Было выполнено исследование режимов испарения произвольной интенсивности, начиная от слабого испарения, соответствующего малому скачку температуры в начальный момент времени (линеаризованный вариант), до очень сильного испарения в вакуум. При этом основная цель состояла в изучении влияния коэффициента испарения как на скорость испарения, так и на картину возникающего течения.

Было получено, что скорость уноса массы с испаряемой поверхности со течением времени быстро выходит на константу и слабо отклоняется от прямой пропорциональности коэффициенту испарения для всех режимов испарения. При этом характер течения существенно зависит от коэффициента испарения. При малых значениях этого коэффициента движение газа может оказаться всюду нестационарным, несмотря на постоянное значение расхода массы с испаряемой поверхности. Так, на рисунке 1 изображены распределения плотности в момент времени t = 5 для Кп = 0.01 при Гц, = 2 и Q — 5, что соответствует плотности 5п3 = 6,09 (умеренное испарение). Кривые 1-4 соответствуют значениям а = 0, 0.25, 0.5 и 1. Видно, что течения при а = 1 и 0 различаются качественно.

На рис. 2 представлена бегущая волна плотности в моменты времени t = 1, 2, 3, 4 и 5 для случая сильного испарения (ns 1) при Q — 10, Tw = 2, Т1,ч = 74, а = 1, Kn = 0.01. Увеличение Q существенно повышает давление насыщенного пара и ведет к более интенсивному испарению. Однако это количественная сторона вопроса. Качественное же отличие от умеренного испарения, иллюстрируемого рис. 1, состоит в появлении расширяющейся пристеночной зоны, отнюдь не совпадающей со слоем

Кнудсена, но имеющей масштаб течения. В этой зоне происходит расширение выделившегося пара подобно тому, как это имеет место при расширении в вакуум.

Л

1 5

Рис. 1

п

-40 -15

-30 -2.5

-го

-1.5

--1.0

-+05 10

щв.

; ю

Рис. 2

Также получено, что скорость испарения слабо отклоняется от прямой пропорциональности коэффициенту испарения для всех режимов испарения.

Второй и третий разделы диссертационной работы посвящены моделированию двухмерных течений разреженного газа. Как обычно в этих случаях, взамен полной функции распределения /(ж, у, £) вводятся две редуцированные функции распределения ф и ф по формулам:

/+00 /•+» 00 ./—ОО

(6)

Уравнения для безразмерных функций фиф имеют следующий вид : дф „дф ^дф _ ,, дф г дф Л дф

Ф = Фт[1 + 7(1-Рг)5аса(с^-2)], Фт = п(7гТ)-1ехр(-саса), (7) о

Ф = Фш[1 + |(1 - Рт)ЗаСа(С0Ср - 1)], Фт = \тфт

Все необходимые макропараметры выражаются через функции ф и ф:

I ф(%х(%у, пщ = I ЬФ<%Х<%У, Е = I ((£ + фф + ф)<1Ь<%у, № № ъ = 51(6 - «О [((€. - «I)2 + & - "2?)ф + Ф]

в?

я3

Во втором разделе диссертационной работы исследуются двухмерные стационарные течения разреженного газа для чисел Кнудсена Kn > 1 Для интегрирования кинетического уравнения применяется усовершенствованный вычислительный алгоритм с учетом разрывов функции распределения, состоящий из разностной схемы второго порядка точности с учетом разрывов функции распределения и нового метода вычисления интегралов по молекулярной скорости.

Общая схема вычислений метода стационарных итераций, применяемого для стационарных задач, описана в первом подразделе второго раздела. Неявная разностная схема для кинетического уравнения записываются в следующем виде

£xV^<"> + $,V¡4>ln) = ^Г'^Г1* - Ф^) (8)

Учет разрывов в разностной схеме производится выбором формул численного дифференцирования назад в операторах vjf, vj/ таким образом, чтобы не дифференцировать через характеристики, несущие разрыв.

Новизна метода численного интегрирования по скорости состоит в учете разрывов функции распределения при использовании полярной системы координат

£r = ir cos е, £„ = £r sin е (9)

Полярные координаты являются наиболее подходящими для учета разрывов в квадратурных формулах, поскольку в них разрывы распространяются вдоль лучей е =const, а по fr функция распределения непрерывна. Макропараметры, представляющие собой двойные интегралы, сводятся к повторным, причем внутренним является интеграл по £Г) а внешним -по е. Например, для числовой плотности имеем:

JT / оо \

п = J <pd£xd4v = J í J £тФ<%т I de

В силу непрерывности подынтегральной функции по £г веса квадратурной формулы являются одинаковыми для всех точек (x,,yj), стандартными весами формулы Гаусса. Веса квадратурной формулы по углу е зависят от точки ()• Как правило они совпадают со стандартными весами формулы Симпсона. Однако есть исключения, связанные с наличием разрывов у функции распределения. Если в заданную точку (x¡, г/j) рассчитываемого поля течения приходит один или два разрыва, то квадратурные формулу изменяются таким образом, чтобы явным образом

учесть наличие разрывов в весах квадратуры, а не проводить интегрирование сквозным способом. Применение такой учета разрывов в квадратурных формулах позволяет при одном и том же разбиении по е получать значительно более точные результаты.

С помощью вышеупомянутого алгоритма построены численные решения двух задач: задачи о течении разреженного газа за задней кромкой полубесконечной гладкой пластины нулевой толщины и задачи обтекания тонкой пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа под прямым утлом атаки.

В первой задаче, рассмотренной во втором подразделе, изучается влияние разреженности на взаимодействие двух однородных сверхзвуковых потоков сщноатомного газа, сходящих с задней кромки пластины . При анализе результатов рассматривалось два основных варианта течения : слой смешения (течение без разворота потока за пластиной) и общий случай течения с разворотом потока.

Первое течение возникает при сходе с пластины потоков при рг = Р2, т.е. при условиях, соответствующих контактному тангенциальному разрыву. Рассчитывались течения, соответствующие чисто тангенциальному разрыву (п1 = п2 = 1, Тх = Тг — 1, 11\ =4, С^ = 3) и чисто контактному разрыву [/1 = 1/2 = 3, Щ = 0.5п2, Тх = При этом с расстояния 50 длин пробега от кромки пластины строилось решение усеченных уравнений Навье-Стокса с начальными условиями из кинетического расчета. На рис. 3 приведены профили поперечной- составляющей > скорости течения, соответствующие решениям кинетического уравнения

и усеченных гидродинамических уравнений в поперечном сечении потока х = 100 для чисто тангенциального разрыва. Видно хорошее согласие расчетов.

В общем случае течения за кромкой пластины происходит поворот потока. По сравнению со случаем контактного разрыва уже в рамках

уравнений Эйлера появляются два новых элемента течения: волна разрежения в верхнем потоке газа и косой скачок уплотнения в нижнем потоке. Был проведен расчет течения для случая щ = 1, щ — 0.5, Т\ = Тг = 1, ui = 2, щ. = 1.5 в рамках модели Крука при ц = Т. Заметим сразу же, что вверх по потоку распространяется возмущение, которое быстро затухает на расстоянии 2-3 длины пробега.

Наиболее ярко молекулярный перенос проявляется в формировании скачка уплотнения. Обозначим через z координату вдоль луча t92, соответствующему косому скачку из уравнений Эйлера, а через s — координату нормально косому скачку. Рис. 4 дает представление о формировании скачка уплотнения. Профили плотности на нем изображены в сечениях z = 50; 100; 150; 200. Видно, что о сформировавшемся скачке уплотнения речь может идти только начиная с z = 100.

Во второй задаче второго раздела рассчитывалось поперечное обтекание пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа. Проведены расчеты до чисел Маха М = 30 включительно, рассматривались случаи теплоизолированной и холодной пластины при диффузном отражении молекул от поверхности. Основное внимание уделялось области донного вакуума за пластиной и ее зависимости от граничного условия на пластине. Эти случаи являются в некотором смысле противоположными и предельными по тепловому режиму поверхности и по характеру течения.

На рисунке 5 приведена зависимость плотности п(—0,0) в передней точке торможения от скорости набегающего потока для горячей (кривая 1) и холодной (кривая 2) пластины для Kn = 1. Видим, что для горячей пластины плотность выходит на предельное значение равное 3.73 для Ux > 15. Для холодной пластины наблюдается быстрый, почти линейный рост плотности в передней критической точке с ростом ¡7«,.

п(0-,0)

п(0+,0)

100-3

10-

горячая пластина

холодная пластина

2

0.00010-!

т—1—1—1—I и"

0.00001

т-1-1-1-.-1 и.

о

10 20 30

о

10 20 30

Рис. 5

Рис. 6

На рисунке 6 приведена зависимость плотности п(+0,0) в задней точке торможения от скорости набегающего потока для горячей (кривая 1) и холодной (кривая 2) пластины для Кп - 1. Видно, что для теплоизолированной пластины плотность в задней критической точке быстро падает с ростом V,в то время как для холодной пластины что при и ж > 20 имеет тенденцию к стабилизации. Можно ожидать, что дальнейшее углубление вакуума за пластиной невозможно.

Таким образом, течение около пластины существенным образом зависит от граничного условия на поверхности пластины. При этом формирование разрежения за пластиной определяется течением перед ней. В случае теплоизолированной поверхности пластина создает высокоскоростной поток отраженных частиц, зона возмущения перед телом имеет значительную протяженность, а плотность газа перед телом невелика. В противоположность этому холодная поверхность отражает падающие на нее частицы с малой скоростью, зона возмущения локализуется около тела. Непосредственно у поверхности образуется тонкий слой газа относительно высокой плотности, который через кромки пластины перетекает в зону разрежения. Понятно, что в случае холодной пластины следует ожидать более высокой плотности за пластиной по сравнению с тем, что может быть для теплоизолированной пластины. Так, на рисунках 7 и 8 изображены линии равной плотности в теневой области за пластиной соответственно для теплоизолированной и холодной пластины при Поа = 10, Кп = 1. Видно, что структура течения как в том, так и в другом случае качественно близки, однако в случае холодной пластины плотность в области задней критической точки на порядок больше, чем для теплоизолированной пластины.

1 / , '

л Л ! / /

Я/ __ _. - -чям----

——

- , \ \ \

ь § \ * \ \

1 \ 1 |

Рис. 7

! и X

Рис. 8

В свободномолекулярном пределе плотность газа в области непосредственно за пластиной равна нулю. Однако эффект затекания в зону дон-

ного вакуума имеет место даже при очень больших числах Кнудсена. Расчеты показывают, что для холодной пластины и при числе Кп=100, но даже при Кп=1000 течение заметно отличается от свободномолеку-лярного.

Третий раздел диссертационной работы посвящен течениям с малыми числами Кнудсена. В первом подразделе предложен способ построения консервативных численных методов типа метода дискретных ординат для трехмерного нестационарного кинетического уравнения Больц-мана с Б-модельным интегралом столкновений. Численный метод дискретных ординат называется консервативным, если из него следуют разностные аналоги законов сохранения внутри расчетной области и гранич- ' ных условий на границе тела. В диссертационной работе показано, что общепринятый метод дискретных ординат не является консервативным. Соответствующие сеточные уравнения сохранения будут содержать чи- » сленный источник вида

(10)

где Д£ - максимальный из шагов интегрирования по молекулярной скорости, Аыт и г _ веса и порядок квадратурной формулы. Из (10) видно, что при уменьшении числа Кнудсена |<5"| быстро растет как Кп-1. Поэтому расчет течений при малых значениях числа Кнудсена затруднен.

Для построения консервативного метода в диссертационной работе предложено находить макропараметры газа из сеточных аналогов условий аппроксимации точного уравнения Больцмана модельным уравнением :

' (/+-/)ыт

Ыт

УМыт £к1т(/+ ~ Лк1т

Ыт

£Лыт (ШЧ/+ ~ /)ыт Ыт

т (Ы

Ыт

Для заданного узла пространственной сетки условия (11) представляют собой систему из восьми нелинейных уравнений, из которой определяются восемь макроскопических величин п, щ, Т и & . Для решения системы (11) используется метод Ньютона решения систем нелинейных

0, 0, 0,

-3«,

(И)

уравнений, При этом сеточные законы сохранения выполняются автоматически. Кроме того, последнее уравнение обеспечивает правильный переход к уравнениям Навье - Стокса при уменьшении числа Кнудсена.

Аналогичная процедура применяется для расчета граничных значений функции распределения. Соответствующие формулы могут быть найдены в тексте диссертационной работы.

Во втором подразделе второго раздела для двухмерного нестационарного кинетического уравнения предложен полностью консервативный численный метод повышенного (до пятого) порядка аппроксимации по пространству. Метод состоит из консервативной процедуры расчета макропараметров газа, предложенной в этом разделе, и дивергентной квазимонотонной схемы \VENO повышенного порядка аппроксимации, адаптированной к кинетическому уравнению.

В третьем подразделе с применением данного метода рассчитано поперечное обтекание пластины для числа Кнудсена Кп = О,005 и чисел Маха набегающего потока М — 5,10. Для сравнения был также выполнен расчет обтекания по уравнениям Навье - Стокса для тех же параметров течения. Результаты расчетов показывают, что оба решения хорошо согласуются везде кроме зоны донного вакуума за пластиной. Так, на рисунках 9-10 представлены изотермы газа при обтекании холодной пластины для Uoo = 5 по кинетическому расчету (левый рис.) и уравнениям Навье - Стокса (правый рис.) соответственно. На рисунках 11 - 12 представлены линии равной плотности газа при обтекании теплоизолированной пластины для f/«, ~ Ю по кинетическому расчету (левый рис.) 1 и уравнениям Навье - Стокса (правый рис.) соответственно. Хорошее согласие результатов расчетов по разным уравнениям свидетельствует о высокой общей точности счета.

ВЫВОДЫ

В диссертации для кинетического уравнения Больцмана с модельным оператором столкновений разработаны новые методы повышенной точности. С применением данных методов решен ряд одномерных и двухмерных задач.

1. Для задачи о нестационарном испарении с плоской поверхности конденсированной фазы в полупространство показано, что скорость уноса массы с испаряемой поверхности со течением времени быстро выходит на константу и слабо отклоняется от прямой пропорциональности коэффициенту испарения для всех режимов испарения. Однако при малых значениях коэффициента испарения либо сильном испарении течение газа всюду нестационарно.

2. Для двухмерного стационарного кинетического уравнения реализован численный алгоритм решения с полным учетом разрывов функции распределения. Процедура учета разрывов функции распределения при интегрировании по молекулярной скорости является новой. .

3. В задаче о слое смешения двух сверхзвуковых потоков разреженного газа за задней кромкой гладкой пластины показано, что учет разреженности приводит к размыванию скачка уплотнения; при этом • структура косого скачка формируется на некотором расстоянии от кромки пластины. Для контактного тангенциального разрыва учет молекулярного переноса приводит к существенным изменениям по сравнению с газодинамическим решением.

4. В задаче о поперечном обтекании пластины показано, что течение в зоне донного вакуума определяется граничным условием на пластине. В частности, плотность газа за холодной пластиной по крайней мере на порядок выше, чем за теплоизолированной пластиной. Для холодной пластины затекание газа в область за пластину имеет место даже для очень больших скоростей потока и чисел Кнудсена.

• ч

5. Для нестационарного трехмерного кинетического уравнения предложен новый метод построения полностью консервативных численных методов, который обеспечивает консервативность расчета для любых чисел Кнудсена и граничных условий диффузного отражения, а также правильную аппроксимацию вектора потока тепла.

6. Для двухмерного нестационарного модельного уравнения предложен численный алгоритм повышенного (от третьего и выше) порядка аппроксимации как про пространству, так и по времени.

7. Рассчитано поперечное обтекание пластины штоком разреженного газа для граничного условия теплоизолированной (числа Маха 5 и 10) и холодной (число Маха 5) пластины для числа Кнудсена Кл = 5 х Ю-3. Исследовано влияние граничных условий на картину течения. Показано, что в целом кинетическое решение хорошо согласуется с решением уравнений Навье-Стокса везде кроме области донного вакуума за пластиной.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Титарев В.А., Шахов Е.М. Движение газа, возбуждаемое теплообменом с сильно нагретой стенкой. // Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену. В 8-ми т. - М., 1998.

- Т. 2. - С. 248 - 251.

2. Титарев В.А. Движение газа, возбуждаемое теплообменом с сильно нагретой стенкой // Инженерные проблемы новой техники : Тезисы докладов Пятого Международного совещания-семинара. - М., 1998. - С. 144.

3. Титарев В.А., Шахов Е.М. Взаимодействие сверхзвуковых потоков разреженного газа за задней кромкой гладкой пластины // Современные проблемы аэрокосмической техники: Тезисы докладов II Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых.

- Жуковский, 1999. - С. 100 - 101.

4. Титарев В.А., Шахов Е.М. Слой смешения сверхзвуковых потоков разреженного газа за задней кромкой гладкой пластины // Математическое моделирование. - 1999. - Т 11, № 4. - С. 37-48.

5. Титарев В.А., Шахов Е.М. Гиперзвуковое поперечное обтекание пластины потоком разреженного газа // Вычислительная динамика разреженного rf за. ВЦ РАН. М., - 2000. - С. 104-119.

6. Титарев В.А., Шахов Е.М. Сверхзвуковое течение разреженного газа за задней кромкой гладкой пластины // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2000. - Т. 40, № 3. -С. 483-494.

7. Титарев В.А. Поперечное обтекание пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа// Современные проблемы аэрокосмической науки и техники: Тезисы докладов Международной научно-технической конференции молодых ученых. - Жуковский, 2000. -С. 87 - 89.

8. Титарев В. А., Шахов Е.М. Расчет донного вакуума за пластиной, обтекаемой гиперзвуковым штоком разреженного газа // Журнал вычислительной математики и математической физики - 2001. -Т. 41, № 9. - С. 1444-1456.

9. Титарев В.А., Шахов Е.М. Теплоотдача и испарение с плоской поверхности в полупространство при внезапном повышении температуры тела // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2002. - № 1. - С. 141-153.

10. Titarev V. A. Towards fully conservative numerical methods for the nonlinear model Boltzmann equation // Preprint NI03031-NPA. Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, University of Cambridge, Cambridge, UK. - 2003. - 13 P.

Подписано к печати 25. а £.2ооЗ Заказ 105 Объем Л- . Тираж *°0 экз.

Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 107005, 2-я Бауманская ул., 5.

»

I

I

I

I

i

I i

»

i

I

I

I

к lj) / о и

ВВЕДЕНИЕ

1. РАСЧЕТ ТЕПЛООТДАЧИ И ИСПАРЕНИЯ С ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ В ПОЛУПРОСТРАНСТВО ПРИ ВНЕЗАПНОМ ПОВЫШЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ ТЕЛА.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Упрощение задачи.

1.3. Линеаризованный вариант задачи.

1.4. О численном алгоритме.

1.5. Обсуждение результатов.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ПРИ УМЕРЕННЫХ И БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУД-СЕНА.

2.1. Вычислительный алгоритм

2.2. Сверхзвуковое течение разреженного газа за задней кромкой гладкой пластины

2.3. Расчет донного вакуума за пластиной в гиперзвуковом потоке разреженного газа.

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА.

3.1. Построение консервативных методов для нестационарного кинетического уравнения с модельным оператором столкновений.'

3.2. Численный метод расчета двухмерных нестационарных течений.

3.3. Расчет поперечного обтекания пластины сверхзвуковым потоком разреженного газа при малых числах Кнудсена

Как известно, методы расчета течения, основанные на представлении о газе как о сплошной среде (континууме), не подходят для описания движений разреженного газа, в котором средняя длина свободного пробега молекул между двумя соударениями становится сравнимой с характерным размером рассматриваемой области течения. Для анализа таких течений необходимо использовать уравнения кинетической теории газов. В круг задач кинетической теории газов входят, например, задачи об обтекании летательных аппаратов, движущихся на больших высотах, о движении газов в вакуумных аппаратах, ультразвуковых колебаниях в газах, неравновесных течениях и т.д. Как правило, аналитические методы решения применимы только в специальных (упрощенных или предельных) ситуациях. В общем случае необходимо обращаться к численным методам решения.

В последние десятилетия выделились два подхода к численному моделированию течений разреженного газа: статистический метод Монте-Карло и численное решение основного уравнения механики разреженного газа - уравнения Больцмана, и его различных аппроксимаций.

Вероятно, наиболее популярным способом моделирования течений разреженного газа является метод Монте-Карло, который направлен на то, чтобы обойти прямое численное решения уравнения Больцмана и моделировать непосредственно движение фиксированного числа частиц в ячейках численной сетки. Популярность метода Монте-Карло также в значительной степени связана с его физической наглядностью и ростом быстродействия современных вычислительных машин. Получили распространение модификации метода предложенные Бердом [10] и Белоцерковским и Яницким [8, 9]. В нашей стране расчетами по методу Монте-Карло занималась группа Когана М.Н. в ЦАГИ им. Н.Е. Жуковского , в которую также входили Ерофеев Л.И., Перепухов В.А., Горелов С.Л. и другие.

Второй подход к моделированию течений разреженного газа основан на численном решении уравнения Больцмана с точным или приближенным интегралом столкновений. В нашей стране этим занимается группа Вычислительного Центра Академии Наук РФ, в которую входят (или входили) Аристов В.В., Жук В.И., Ларина И.Н., Лимар Е.Ф., Попов С.П., Рыков В.А., Шахов Е.М, Черемисин Ф.Г. и другие. Основные результаты опубликованы в сборниках [55, 56, 57, 58, 59] и множестве статей.

Для одноатомного газа уравнение Больцмана для функции распределения молекул по скоростям f{t,r,£) в отсутствие внешних сил в общепринятых обозначениях имеет следующий вид [14, 25, 67] : + = J(ffi - ffi)9d*d& = J(/,fl, (B.l)

Здесь t - время, r = (a?i, = y, z) - координата физического пространства, (£x, ~ вектор молекулярной скорости, J(f,£) больцмановский интеграл столкновений, da = bdbde, д = — При известной функции распределения макропараметры газа выражаются в виде интегралов по молекулярной скорости. Для числовой и массовой плотности п,р, вектора средней скорости u = (ui, и2,щ), составляющих тензора напряжений Р^, давления р, температуры Т, потока энергии Е{ и потока тепла имеем п = j nui = J Mij = m J €i£jfd4,

1 p

Pij = Mij - рщщ, p = -Paa, P = mn, RT = -,

3 P (B.2)

Ei = \m jqi = ~m J- «,-)«- и)2 / d£, ф d£ = d€xd£yd€z, г = 1,2,3 где га - масса молекулы.

Кинетическое уравнение Больцмана представляет собой сложное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, аналитическое решение которого возможно лишь в специальных случаях. Трудность численного решения состоит в высокой размерности уравнения и запутанной структуре интеграла столкновений. Заметим, что в общем случае размерность интеграла столкновений равна пяти даже для пространственно - одномерных задач.

Получили развитие два основных подхода к решению кинетического уравнения Больцмана: 1) прямое численное решение непосредственно уравнения Больцмана с точным интегралом столкновений; 2) построение и численное решение аппроксимирующих модельных уравнений. Следует также упомянуть метод моментов [25, 67], который практически не используется в настоящее время.

Один из первых методов прямого численного решения точного уравнения Больцмана был развит в работах [47, 48, 49]. Решения одномерных и двухмерных стационарных задач строились методом итераций по неявной разностной схеме; для вычисления интеграла столкновений применялся метод Монте-Карло.

В [6, 7] введено понятие консервативных численных методов для решения кинетического уравнения. Консервативные методы определяются как такие методы, из которых при численном интегрировании (суммировании на дискретной скоростной сетке) конечно-разностной схемы по молекулярной скорости с весами 1, £2 следуют разностные законы сохранения, т.е. отсутствуют нефизические источники массы, импульса и энергии, вызванные ошибками численного решения. Там же разработан метод расщепления кинетического уравнения по физическим процессам на оператор свободного разлета и оператор релаксации, и на этой основе построен консервативный на каждом шаге алгоритм решения нестационарных задач.

В работе [50] предложен консервативный способ вычисления интеграла столкновений, который обеспечивает выполнение законов сохранения без использования искусственной процедуры коррекции функции распределения. В дальнейшем данный способ вычисления интеграла столкновений был включен в алгоритм расщепления по физическим процессам, причем для оператора свободного разлета применялась монотонная схема второго порядка точности. Полученный численный метод показал свою эффективность [38, 39, 40, 51].

Метод решения уравнения Больцмана, основанный на расщеплении со вторым порядком точности на этап свободно-молекулярного движения газа и этап релаксации газа, предложен в [31, 32]. Новизна метода состоит в линеаризации интеграла столкновений около локально-максвелловской функции распределения на этапе релаксации. На этапе свободно-молекулярного движения используется монотонная схема второго порядка аппроксимации. Для обеспечения консервативности применяется процедура коррекции функции распределения.

Дискретные модели для уравнения Больцмана были предложены в работах [13, 14, 15], для которых доказаны ряд свойств, таких как консервативность и отсутствие нефизических инвариантов.

Альтернативой прямому численному решению уравнения Больцмана является метод построения последовательности модельных кинетических уравнений, которые аппроксимируют уравнение Больцмана [60, 67, 71]. Заметим, что при расчетах течений разреженного газа основной интерес представляет не функция распределения, а макроскопические параметры газа, такие как плотность, скорость, давление, то есть представляет интерес некоторое число первых моментов функции распределения. Поэтому для практических расчетов можно заменить точное уравнение Больцмана некоторым приближенным уравнением, таким чтобы макропараметры газа, вычисленные с помощью этого приближенного уравнения, совпадали или были бы близки с макропараметрами, вычисленными с использованием точного уравнения.

Изложим коротко основную идею построения аппроксимирующей последовательности модельных уравнений, предложенную в [60, 67].

Рассмотрим наряду с точным уравнением Больцмана (В.1) некоторое другое кинетическое уравнение где Q(f, a(r,t)) - приближенный (модельный) оператор столкновений, вид которого будет выбран ниже, а(г, t) - некоторая совокупность макропараметров. Говорят, что уравнение (В.З) аппроксимирует уравнение Больцмана в смысле моментов, если некоторое число первых мо-ментных уравнений от аппроксимирующего и точного кинетических уравнений совпадают. Так как дифференциальные части уравнений (В.1) и (В.З) одинаковы, необходимое условие для совпадения момент-ных уравнений состоит в равенстве соответствующих моментов от приближенного и точного интегралов столкновений:

J 0(Sq(/, I «с®, *М= J ^(Й Af, 0<£

Уравнение (В.З) называется аппроксимирующим уравнением п-го приближения, если условия (В.4) выполнены для всех многочленов п-го порядка от компонент молекулярной скорости. Если в аппроксимации используется только часть многочленов п-го порядка, то такая аппроксимация называется аппроксимацией неполного п-го приближения.

При заданном виде приближенного оператора столкновений из равенств (В.4) определяется совокупность параметров a(r, t). Однако вид самого приближенного оператора столкновений остается в значительной степени произвольным. Для выбора конкретного вида Q(/, а(г, £)) перепишем уравнение Больцмана в следующем виде : at + идха nJ л = J figdadtu /+ = A J+ = J f'f[gdcTd4i

B.5)

Здесь и - частота столкновений, J+ - интеграл обратных столкновений. По аналогии с (В.5) запишем приближенный оператор столкновений в релаксационной форме

Q = *,(/+ /) (В.6) где теперь v - приближенная частота столкновений и /+ - приближенный интеграл обратных столкновений, деленный на частоту столкновений.

В дальнейшем широкое распространение получила модель неполного третьего приближения, получившая название модели Шахова, или S-модели [60, 67] :

0/ , Л 0/

1 + ^(1 — Pr)5acQ(c2 — 5/2) 5 = I

Здесь R - газовая постоянная, Si - приведенный вектор теплового потока, fm - локально-максвелловская функция распределения, Рг число Прандтля. Коэффициент вязкости /л связан со средней длиной свободного пробега Л зависимостью вида

5 ц = —тп V2tТКГ А (В.8)

При Pr = 1 модель Шахова переходит в модель второго приближения, известную как БГК модель, или модель Крука [71]. Заметим, что при переходе к режиму сплошной среды Кп —> 0 б'-модель дает правильные значения коэффициента теплопроводности для одноатомного газа (число Прандтля Рг = 2/3). В этом состоит ее преимущество перед моделью Крука.

Сравнения с расчетами по точному уравнению Больцмана, методу Монте-Карло и с экспериментальными данными показали хорошую точность 5-модели и ее преимущества перед другими моделями [16, 41, 46, 60, 61, 62, 67]. Успешное применение 5-модели стимулировало ее обобщение на течения двухатомного газа с учетом вращательных степеней свободы, и развитие соответствующего численного метода [33, 34, 41, 42].

В целом, модельное кинетическое уравнение значительно проще для численного решения на вычислительных машинах, чем точное уравнение Больцмана. Во-первых, модельное уравнение не содержит пятимерный интеграл столкновений. Во-вторых, для пространственно-од-но- и двухмерных задач специальная структура модельного интеграла столкновений позволяет понизить размерность задачи, проводя интегрирование по одной или нескольким компонентам вектора молекулярной скорости £ и вводя взамен полной функции распределения / пару редуцированных функций распределения фиф [74].

Тем не менее, несмотря на относительную простоту, ^-модель является сложным интегро-дифференциальным уравнением высокой размерности. Заметим, что модельный интеграл столкновений является функцией от макропараметров газа, которые определяются интегрированием функции распределения в пространстве скоростей.

Остановимся коротко на численных методах решения модельных уравнений.

В вычислениях несобственные интегралы по молекулярной скорости (В.2) заменяются собственными интегралами по конечной области 4 9 интегрирования таким образом, чтобы функция распределения была пренебрежимо мала за пределами этой области. Далее, в полученной конечной области изменения вектора молекулярной скорости £ вводится фиксированный набор узлов (сетка по молекулярной скорости), соответствующий некоторой квадратурной формуле вычисления интегралов, часто формуле Симпсона или формуле Гаусса. Кинетическое уравнение решается для каждого значения вектора молекулярной скорости £ из узла квадратурной сетки. В результате получается неоднородная система линейных дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из которых связано с другими уравнениями макропараметрами газа, входящими в модельный интеграл столкновений, и граничными условиями.

Для решения стационарных задач часто применяется метод стационарных итераций, который основан на неявной схеме следующего вида [67]:

Йг = ^-D^t-I) - /«) (R9) где к - номер итерации. При использовании данной схемы не требуется запоминание значений функции распределения, что ведет к существенной экономии машинной памяти. После задания граничных условий на границах области и поверхности тела для каждого значения молекулярной скорости из квадратурной сетки осуществляется маршевый расчет значений функции распределения в соответствие с направлени-—♦ ем вектора £ и вычисляется вклад в интегральные суммы. Примеры решения плоских и осесимметричных задач по методу стационарных итераций при больших и умеренных числах Кнудсена могут быть найдены, например, в работах [20, 37, 41, 42, 63, 64, 65, 66, 43, 91, 92,93, 95]. Метод стационарных итераций также применим к уравнению Больцмана с точным оператором столкновений [47].

Заметим, что при расчетах течений с большими числами Кнудсена для достижения удовлетворительной точности часто необходимо учитывать разрывы функции распределения [67], что существенно усложняет численный алгоритм и его программную реализацию. Особенно чувствительны к учету разрывов области пониженной плотности газа. Подавляющее большинство расчетов проводилось по схемам первого порядка аппроксимации [55, 56, 67]. Учет разрывов в конечно-разностной схеме производился, например, в работах [37, 63, 69]; при этом вычисление интегралов по молекулярной скорости производилось без учета разрывов.

Численное решение кинетического уравнения (как точного, так и модельного) при малых числах Кнудсена сопряжено с дополнительными вычислительными трудностями, которые отсутствуют для больших чисел Кнудсена. Первая трудность возникает при расчете стационарных задач методом итераций. С уменьшением числа Кнудсена кинетическое уравнение становиться жестким; при этом число Кнудсена играет роль малого параметра, стоящего перед дифференциальной частью уравнения (В.7). Как показывает практика, метод неявных итераций эффективен при больших и умеренных числах Кнудсена; однако при уменьшении числа Кнудсена, например до Кп = 1/10, сходимость метода существенно ухудшается. В итоге расчет стационарных течений при малых числах Кнудсена затруднен.

Вторая трудность численного решения кинетического уравнения связана с необходимостью использовать конечно-разностные схемы высокого порядка аппроксимации, по крайней мере по пространству. В противном случае эффекты схемной вязкости будут забивать физические неравновесные эффекты [19]. Заметим, что применение схем второго порядка точности без учета разрывов может приводить к появлению нефизических осцилляций в областях больших градиентов. Следовательно, необходимо использовать монотонные или квазимонотонные схемы высоких порядков.

Третья трудность численного решения кинетического уравнения связана с необходимостью использования полностью консервативных методов решения. Если при больших числах Кнудсена для уменьшения ошибки в выполнении законов сохранения достаточно сгустить сетку по молекулярной скорости, то при малых числах Кнудсена такой подход требует неоправданно подробных сеток.

Один из методов расчета стационарных течений при малых числах Кнудсена был развит в работах [11, 12, 17, 21]. Основная идея предложенного метода состоит в том, чтобы при малых числах Кнудсена основные макропараметры находить из системы законов сохранения, с поправками на добавочные напряжения и потоки, определяемые из кинетического уравнения. Другой способ обойти проблему плохой сходимости метода итераций при малых чисел Кнудсена состоит в использовании нестационарного уравнения; стационарные решения при этом получаются методом установления по времени.

Методы второго порядка аппроксимации предложены в работах [19, 28]. Особое внимание уделялось расчету граничных условий со вторым порядком точности. Заметим, что в цитированных работах численный алгоритм включает в себя линейную конечно-разностную схему. Конечно-разностная схема называется линейной, если она имеет постоянные коэффициенты для линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Как следует из знаменитой теоремы Годунова [18], не существует монотонных линейных схем второго и выше порядка аппроксимации. Следовательно, расчет течений с большими градиентами по данным схемам может приводить к появлению нефизических осцилляций.

Для получения решений свободных от осцилляций необходимо использовать нелинейные методы. Такие методы для уравнений газодинамики построены во множестве работ, например [26, 72, 77, 81, 87]. В основном они представляют собой обобщение известной схемы Годунова [18]. Применение нелинейных методов в расчетах по кинетическому уравнению пока не получило широкого распространения. Заметим, что прямое применение данных методов к решению кинетического уравнения затруднено из-за наличия сложного нелинейного источника в правой части и другого способа постановки граничных условий. Первые примеры таких расчетов приведены в работах [32, 39, 44, 45, 51, 86]. Использовавшиеся схемы обеспечивали второй порядок аппроксимации внутри расчетной области и по-видимому только первый порядок на границе.

Построение консервативных численных алгоритмов представляет из себя сложную задачу вычислительной математики из-за высокой размерности кинетического уравнения и наличия сложного нелинейного источника в правой части. Для точного уравнения Больцмана задача построения консервативных алгоритмов была недавно решена в работе [13, 14, 15, 50]. При решении модельных уравнений в настоящее время используются различные процедуры коррекции граничных условий, функции распределения и модельного оператора столкновений [6, 19, 35, 36]. Также упомянем работу [31, 32], где процедура коррекции применялась при решении линеаризованного уравнения Больцмана. Несмотря на хорошие результаты, полученные при использовании данных коррекций, они все же представляют собой в значительной степени искусственный прием обеспечения консервативности метода.

Таким образом, представляется актуальной разработка эффективных численных алгоритмов повышенного (минимум второго) порядка аппроксимации для модельного кинетического уравнения, с выделением разрывов при расчетах с большими числами Кнудсена и обеспечивающих возможность сквозного расчета течений с разрывами и консервативность расчета для малых чисел Кнудсена, а также применение данных алгоритмов к задачам механики разреженных газов с целью получения более точных решений ряда известных и новых задач. При этом часть разработанных численных алгоритмов может быть в дальнейшем использована для решения уравнения Больцмана с точным ин-тегрлом столкновений.

Целью работы является улучшение существующих и разработка новых численных алгоритмов решения многомерного модельного кинетического уравнения, а также практическое применение данных методов для решения ряда задач механики разреженных газов.

Метод исследования. Применяются методы механики разреженных газов и вычислительной математики.

Научная новизна.

Решена задача о нестационарном испарении с плоской поверхности конденсированной фазы в полупространство в широком диапазоне значений числа Кнудсена и коэффициента испарения. Рассмотрены режимы испарения произвольной интенсивности, начиная от слабого испарения, соответствующего малому скачку температуры н начальный момент времени (линеаризованный вариант), до очень сильного испарения в вакуум.

Предложена процедура учета разрывов функции распределения при вычислении интегралов по молекулярной скорости для двухмерного стационарного кинетического уравнения.

Решена задача о слое смешения сверхзвукового потока разреженного газа за задней кромкой гладкой пластины.

Рассчитано поперечное обтекание пластины с различными граничными условиями гиперзвуковым потоком разреженного газа для чисел Маха 2 < М < 30 и числа Кнудсена Kn > 1.

Предложен новый метод построения полностью консервативных численных методов для нестационарного кинетического уравнения с модельным оператором столкновений, который обеспечивает выполнение законов сохранения массы, момента и энергии газа для любых чисел Кнудсена и граничных условий (зеркального либо диффузного отражения).

Построен полностью консервативный численный метод третьего и выше порядка аппроксимации для двухмерного нестационарного кинетического уравнения с модельным оператором столкновений в виде S-модели.

Рассчитано поперечное обтекание пластины сверхзвуковым потоком разреженного газа при числе Кнудсена Кп = 5 х Ю-3 и чисел Маха набегающего потока М = 5, 10 для теплоизолированной пластины и М = 5 для холодной пластины.

Практическая и теоретическая ценность. Численные методы, разработанные в данной работе, применимы для расчета течений разреженного газа в широком диапазоне чисел Маха и Кнудсена. Разработанные программы позволяют получить решения известных задач с более высокой точностью, а также строить решения новых задач, получение решений которых обычными методами было бы затруднено. Часть разработанных численных алгоритмов может в дальнейшем быть использована для численного решения уравнения Больцмана с точным интегралом столкновений.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Расчет нестационарного испарения с плоской поверхности конденсированной фазы для всех режимов испарения произвольной интенсивности.

2. Численный алгоритм решения двухмерного стационарного уравнения с учетом разрывов функции распределения не только в конечно-разностной схеме второго порядка аппроксимации, но и в процедуре вычисления интегралов от функции распределения по молекулярной скорости

3. Расчет течения разреженного газа за задней кромкой гладкой пластины.

4. Расчет поперечного обтекания пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа при граничных условиях теплоизолированной и холодных пластин.

5. Метод построения консервативных численных методов для трехмерного кинетического уравнения с оператором столкновений в виде S-модели без коррекции функции распределения.

6. Консервативная схема повышенного (от третьего и выше) порядка аппроксимации для двухмерного кинетического уравнения с оператором столкновений в виде S-модели.

7. Расчет поперечного обтекания пластины сверхзвуковым потоком разреженного газа для числа Кнудсена Кп = 5 х Ю-3 при граничных условиях теплоизолированной (числа Маха 5 и 10) и холодной (число Маха 5) пластины.

Аппробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались на:

• Российской национальной конференции по теплообмену, Москва, МЭИ, 1998 г.

• Пятом Международном совещании-семинаре 'Инженерные проблемы новой техники', Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998 г.

• Второй международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях, Санкт-Петербург,1998 г.

• II Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых 'Современные проблемы аэрокосмической техники', Жуковский, ЦАГИ им. Н.Е. Жуковского, 1999 г.

• Международной научно-технической конференции молодых ученых 'Современные проблемы аэрокосмической науки и техники', Жуковский, ЦАГИ им. Н.Е. Жуковского. 2000 г.

• Семинаре Сектора кинетической теории ВЦ им. А.А. Дородни-цина РАН, Москва, 2003 г.

• Семинаре по математической физике ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Москва, 2003 г.

• Семинаре ФАЛТ МФТИ, Жуковский, 2003 г.

Публикации. Численный метод решения во всех разделах разработан автором. Постановка задач во всех разделах принадлежит Е.М. Шахову. По теме диссертации опубликовано 10 работ [88-97].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 171 странице, содержит 47 рисунков. Библиография содержит 97 наименований.

Заключение

В диссертации для кинетического уравнения Больцмана с модельным оператором столкновений разработаны новые методы повышенной точности. С применением данных методов решен ряд одномерных и двухмерных задач.

1. Для задачи о нестационарном испарении с плоской поверхности конденсированной фазы в полупространство показано, что скорость уноса массы с испаряемой поверхности со течением времени быстро выходит на константу и слабо отклоняется от прямой пропорциональности коэффициенту испарения для всех режимов испарения. Однако при малых значениях коэффициента испарения либо сильном испарении течение газа всюду нестационарно.

2. Для двухмерного стационарного кинетического уравнения реа-^ лизован численный алгоритм решения с полным учетом разрывов функции распределения. Процедура учета разрывов функции распределения при интегрировании по молекулярной скорости является новой.

3. В задаче о слое смешения двух сверхзвуковых потоков разреженного газа за задней кромкой гладкой пластины показано, что учет разреженности приводит к размыванию скачка уплотнения; при этом структура косого скачка формируется на некотором расстоянии от кромки пластины. Для контактного тангенциального разрыва учет молекулярного переноса приводит к существенным изменениям по сравнению с газодинамическим решением.

4. В задаче о поперечном обтекании пластины показано, что течение в зоне донного вакуума определяется граничным условием на пластине. В частности, плотность газа за холодной пластиной по крайней мере на порядок выше, чем за теплоизолированной пластиной. Для холодной пластины затекание газа в область за пластину имеет место даже для очень больших скоростей потока и чисел Кнудсена. Т

5. В третьей главе диссертации для нестационарного трехмерного кинетического уравнения предложен новый метод построения полностью консервативных численных методов, который обеспечивает консервативность расчета для любых чисел Кнудсена и граничных условий диффузного отражения, а также правильную аппроксимацию вектора потока тепла.

6. Для двухмерного нестационарного модельного уравнения предложен численный алгоритм повышенного (от третьего и выше) порядка аппроксимации как про пространству, так и по времени.

7. Построенным консервативным методом рассчитано поперечное обтекание пластины потоком разреженного газа для граничного условия теплоизолированной (числа Маха 5 и 10) и холодной (число Маха 5) пластины для числа Кнудсена Кп = 5 х Ю-3. Исследовано влияние граничных условий на картину течения. Показано, что в целом кинетическое решение хорошо согласуется с решением уравнений Навье-Стокса везде кроме области донного вакуума за пластиной.

1. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. - М.: Мир, 1990. - Т.1. - С. 317-319.

2. Абрамов А.А. Решение задачи о сильном испарении одноатомного газа методом Монте-Карло // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1984. - №1. - С. 185-188.

3. Абрамов А.А., Коган М. Н. Возможные режимы сильного испарения и конденсации газа // Доклады АН СССР. 1990. - Т. 310, №1. - С. 43-46.

4. Абрамов А.А. Сверхзвуковая конденсация одноатомного газа // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1990. - №3. -С. 171 - 175.

5. Анисимов С. И., Рахматулина А.Х. Динамика расширения пара при испарении в вакуум // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1973. - Т. 64, вып. 3. - С. 869-876.

6. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Расщепление неоднородного кинетического оператора уравнения Больцмана // Доклады АН СССР. 1973. - Т. 209, № 4. - С. 811-814.

7. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Консервативный метод расщепления для решения уравнения Больцмана // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980. - Т. 20, № 1. — С. 191 - 207.

8. Белоцерковский О. М., Яницкий В.Е. Статистический метод чаг-стиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1975. - Т.15, № 5. - С. 1195 - 1208.

9. Белоцерковский О. М., Яницкий В.Е. Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1975. - Т.15, № 6. - С. 1553 - 1567.

10. Дж. Бёрд. Молекулярная газовая динамика. — М.: Мир, 1981. -319 С.

11. Бишаев A.M., Рыков В.А. Решение стационарных задач кинетической теории газов при умеренных и малых числах: Кнудсена // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1975. - Т. 15, № 1. - С. 172-182.

12. Бишаев A.M., Рыков В.А. Переконденсация одноатомного газа при малых числах Кнудсена // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1978. - Т. 18, № 3. - С. 709-717.

13. Веденяпин В.В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 112 С.

14. Веденяпин В.В. Амосов С.А., Тоскано Л. Дискретные модели уравнения Больцмана для смесей // Математическое моделирование. 2000.- Т. 12, № 7. - С. 18-22.

15. Веденяпин В.В., Амосов С.А. О дискретных моделях уравнения Больцмана для смесей // Дифференциальные уравнения. 2000, Т. 36, № 7. - С. 925 - 930.

16. Жук В.И, Рыков В.А., Шахов Е.М. Кинетические модели и задача о структуре ударной волны // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1973. - вып. 1. - С. 135-141.

17. Жук В.И, Рыков В. А. Течение разреженного газа от сферического источника при малых числах Кнудсена // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1976. - Т. 16, № 3. — С. 738-749.

18. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический сборник. 1959. - Т. 47, Вып. 3. - С. 271-306.

19. Градобоев М.И., Рыков В. А. Консервативный метод численного решения кинетического уравнения при малых числах Кнудсена // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1994. - Т. 34, № 2. - С. 246-266.

20. Градобоев М.И., Рыков В. А. Обтекание кругового вращающегося цилиндра потоком одноатомного разреженного газа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1987. -Т. 27, № 6. - С. 898-904.

21. Демина Е.Н., Рыков В.А. Метод расчета течений разреженного газа при малых числах Кнудсена // Сообщения по прикладной математике. М.: ВЦ АН СССР, 1988. - С. 1-39.

22. Долгошеина Е.Б., Латышев А.В., Юшкапов А. А. Точные решения модельного БГК-уравнения Больцмана в задачах о скачке температуры и слабом испарении // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1992. - №. 1. - С. 163-171.

23. Егоров И.В., Иванов Д.В. Применение полностью неявных монотонных схем для моделирования плоских внутренних течения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. - Т. 36, № 12. - С. 91-106.

24. Ерофеев А. И., Перепухов В.А. Расчет обтекания пластины потоком разреженного газа // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1976. - № 4. - С. 106-112.

25. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967. — 440 с.

26. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечноразностных схем для расчета разрывных течений газовой динамики // Ученые записки ЦАГИ. — 1972. Т. 3, № 6. - С. 68-77.

27. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. М.: Наука, 1966. - 119 с.

28. Кудиш И.И., Рыков В.А. Отражение ударной волны от твердой стенки // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1973. - Т. 13, № 5. - С. 1288-1297.

29. Куликовский А.Г, Погорелов Н.В. и Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физмат лит, 2001. - 608 с.

30. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 5. Статистическая физика. М.: Наука, 1964. - 567 с.

31. Ларина И.Н. , Рыков В.А. Метод численного решения уравнения Больцмана с линеаризованным интегралом столкновений // Вычислительная динамика разреженного газа. ВЦ РАН. (М.). 2000. -С. 3-26.

32. Ларина И.Н., Рыков В.А. Метод расщепления второго порядка точности для решения уравнения Больцмана // Математическое моделирование. 2002. Т. 14, № 8. - С. 96-101

33. Ларина И.Н., Рыков В.А. Обтекание сферы двухатомным газом на основе кинетических уравнений // Доклады АН СССР. 1976.- Т. 227, № 1. С. 60-62.

34. Ларина И.Н., Рыков В.А. Влияние вращательных степеней свободы молекул на потоки энергии в разреженном газе // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1977. - № 5. - С. 119-124.

35. Ларина И.Н., Рыков В.А. Расчет плоских течений разреженного газа при малых числах Кнудсена // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1996. - Т. 36, № 12. - С. 135-150.

36. Ларина И.Н., Рыков В.А., Е.М. Шахов. Нестационарные течения разреженного газа между параллельными пластинами // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1997. - № 2. - С. 165-173.

37. Лимар Е.Ф., Светцов В.В., Шидловский В.П. Плоская задача об истечении в вакуум при произвольных числах Кнудсена // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974.- Т. 14, № 1 С. 188-197.

38. Попов С.П., Черемисин Ф.Г. Консервативный метод решения уравнения Больцмана для центрально-симметричных потенциалов взаимодействия // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. - Т. 39, № 1 - С. 163-176.

39. Попов С.П., Черемисин Ф.Г. Совместное численное решение уравнений Больцмана и Навье-Стокса // Вычислительная динамика разреженного газа. ВЦ РАН. (М.). 2000. - С. 75-103.

40. Попов С.П., Черемисин Ф.Г. Обтекание сверхзвуковым потоком разреженного газа решетки плоских поперечных пластин // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2002. - № 3. - С. 159 -168.

41. Рыков В.А., Черемисин Ф.Г., Шахов Е.М. Численные исследования по динамике разреженных газов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980. - Т. 20, № 5. -С. 1267-1283.

42. Рыков В.А. Модельное кинетическое уравнение для газа с вращательными степенями свободы // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1975. - Вып. 6. - С. 107-115.

43. Титарев В.А., Шахов Е.М. Течение разреженного газа в полупространстве, вызванное поглощением на части плоской поверхности // Математическое моделирование. 1999. - Т. 11, № 6. - С. 3-16.

44. Фролова А.А., Черемисин Ф.Г. Обтекание цилиндрических тел потоком разреженного газа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. - Т. 38, № 12. - С. 2096 -2102.

45. Фролова А.А. Расчет обтекания цилиндрических тел при малых числах Кнудсена // Вычислительная динамика разреженного газа. ВЦ РАН. (М.). 2000. С. 27-36.

46. Хлопков Ю.И., Шахов Е.М. Кинетические модели и их роль в исследовании течений разреженного газа // Численные методы в теории разреженных газов. ВЦ АН СССР. (М.). 1972. Вып. 3. -С. 37-80.

47. Черемисин Ф.Г. Численное решение кинетического уравнения Больцмана для одномерных стационарных течений газа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1970.- Т. 10, № 3. С. 654 - 665.

48. Черемисин Ф.Г. Движение разреженного газа между бесконечными плоскопараллельными эмитирующей и поглощающей поверхностями // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1972.- № 2. С. 176 - 178.

49. Черемисин Ф.Г. Решение плоской задачи аэродинамики разреженного газа на основе кинетического уравнения Больцмана // Доклады АН СССР. 1973. - Т. 200, № 2. - С. 811 - 814.

50. Черемисин Ф.Г. Консервативный метод вычисления интеграла столкновений Больцмана // Доклады Академии Наук. 1997. -Т. 357, № 1. - С. 53-56.

51. Черемисин Ф.Г. Решение уравнения Больцмана при переходе к гидродинамическому режиму течения // Доклады Академии Наук.- 2000. Т. 373, № 4. - С. 483-486.

52. Черемисин Ф.Г. Дискретная аппроксимация и примеры решения уравнения Больцмана // Вычислительная динамика разреженного газа. ВЦ РАН.(М.). 2000. - С. 37-74.

53. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988, - 424 С.

54. Численные методы в теории разреженных газов. ВЦ АН СССР. М., 1969. 187 С.

55. Численные методы в динамике разреженных газов. ВЦ АН СССР. М., Вып. 1. 1970. 201 С.

56. Динамика разреженных газов. ВЦ АН СССР. М., Вып. 2. 1971. 170 С.

57. Численные методы в динамике разреженных газов. ВЦ АН СССР. М., Вып. 3. 1972. 130 С.

58. Численные методы в динамике разреженных газов. ВЦ АН СССР. М., Вып. 4. 1974. 130 С.

59. Численные методы в теории разреженных газов. ВЦ АН СССР. М., 2000. 187 С.

60. Шахов Е.М. О приближенных кинетических уравнениях в теории разреженных газов // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1968. - №1. - С. 156-161.

61. Шахов Е.М. Об обобщении релаксационного кинетического уравнения Крука // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. -1968. № 5. С. 142-145.

62. Шахов Е.М. О неизотропной релаксации больцмановского газа в однородном пространстве // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1968. - № 6. - С. 143-148.

63. Шахов Е.М. Поперечное обтекание пластины разреженным газом // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1972. - № 6.- С. 107-113.

64. Шахов Е.М. Решение осесимметричных задач теории разреженных газов методом конечных разностей // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. - Т. 14, № 4. — С. 970-981.

65. Шахов Е.М. Сдвиговое течение разреженного газа между двумя подвижными участками параллельных плоскостей // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1995. - № 3. - С. 150-155.

66. Шахов Е.М. Двухмерная нелинейная задача о движении разреженного газа между двумя параллельными плоскостями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1995.- Т.35, № 1. С.83-94.

67. Шахов Е.М. Метод исследования движений разреженного газа. — М.: Наука, 1974. 205 с.

68. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. -М.: ИЛ, 1956. 528 с.

69. Aoki К., Kanba К., Takata S. Numerical analysis of a supersonic rarefied gas flow past a flat plate // Phys. Fluids. 1997. - V. 9, № 4. -P. 1144-1161.

70. Balsara D. S. and Shu C.W. Monotonicity preserving weighted essentially non-oscillatory schemes with increasingly high order of accuracy //J. Сотр. Phys. 2000. - V. 160. - P. 405-452.

71. Bhathnagar P. L., Gross E. P., Krook M. A model for collision processes in gases // Phys. Rev. 1954. - V. 94, - P. 511. (Русский перевод: в сб. Проблемы современной физики. - 1956. - Т. 2. ).

72. Chu С. K. Kinetic-theoretic description of the formation of a shock wave // Phys. Fluids. 1965. - V. 8, № 1. - P. 12-22.

73. Frezotti A. Numerical investigation of the strong evaporation of a polyatomic gas // Proc. 19th Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics / Ed. J. Harvey, G. Lord. Oxford: Univ. Press, 1995. - V. I. - P. 1243.

74. Jiang G.S. and Shu C.W. Efficient implementation of weighted ENO schemes //J. Comput. Phys. 1996. - V. 126. - P. 202-212.

75. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // J. Сотр. Phys. 1983. - V. 49. - P. 357-393.

76. Kogan M.N. Evaporation / condensation kinetics // Proc. 19th Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics / Ed. J. Harvey, G. Lord. -Oxford: Univ. Press, 1995. V.I. - P. 253-262.

77. Onishi Y., Tsuji II. Transient behavior of a vapor due to evaporation and condensation between the plane condensed phases // Proc. 1 9th Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics / Ed. J. Harvey, G, Lord. — Oxford: Univ. Press. 1995. - V.I. - P. 284-290.

78. Roe P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes // J. Сотр. Phys. 1981. - V. 43. - P. 357-372.

79. Sweby P.K. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws // SIAM J. Numer. Anal. 1984. - V. 21. - P. 9951011.

80. C.-W. Shu. Total Variation - Diminishing time discretizations // SIAM J. Scientific and Statistical Computing. - 1988. - V9. -P. 1073-1084.

81. Soga T. Quasi-steady one dimensional evaporation problem using entropy balance relation // Rarefied Gas Dynamics. Proc. 10th Intern. Symp. N.Y. 1977. - V. 2. - P. 1185 -1196.

82. Sone Y. Kinetic theoretical studies of the half-space problem of evaporation and condensation // Transport Theory and Statistical Physics. 2000. - V. 29, № 3-5. - P. 227-260.

83. Того E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Berlin. 1999. Second Edition, Springer-Verlag. 592 p.

84. Титарев B.A., Шахов E.M. Движение газа, возбуждаемое теплообменом с сильно нагретой стенкой. // Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену. 1998. - Т. 2, С. 248 -251.

85. Титарев В.А. Движение газа, возбуждаемое теплообменом с сильно нагретой стенкой // Инженерные проблемы новой техники : Тезисы докладов Пятого Международного совещания-семинара. М.;- 1998. С. 144.

86. Титарев В.А., Шахов Е.М. Слой смешения сверхзвуковых потоков разреженного газа за задней кромкой гладкой пластины // Математическое моделирование. 1999. - Т 11, № 4. - С. 37-48.

87. Титарев В.А., Шахов Е.М. Гиперзвуковое поперечное обтекание пластины потоком разреженного газа // Вычислительная динамика разреженного газа. ВЦ РАН. (М.). 2000. - С. 104-119.

88. Титарев В.А., Шахов Е.М. Сверхзвуковое течение разреженного газа за задней кромкой гладкой пластины // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. - Т. 40, № 3. - С. 483-494.

89. Титарев В.А. Поперечное обтекание пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа// Современные проблемы аэрокосмической науки и техники: Тезисы докладов Международной научно-технической конференции молодых ученых. Жуковский; 2000. -С. 87 - 89.

90. Титарев В. А., Шахов Е.М. Расчет донного вакуума за пластиной, обтекаемой гиперзвуковым потоком разреженного газа // Журнал вычислительной математики и математической физики.- 2001. -Т. 41, № 9. С. 1444-1456.

91. Титарев В.А., Шахов Е.М. Теплоотдача и испарение с плоской поверхности в полупространство при внезапном повышении температуры тела // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2002.- № 1. С. 141-153.

92. Titarev V. A. Towards fully conservative numerical methods for the nonlinear model Boltzmann equation // Preprint NI03031-NPA. Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, University of Cambridge, UK. 2003. - 13 P.