автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование оболочек вращения сложных форм

На правах рукописи

ПУЛЫШНСКИЙ ЯКОВ СЕМЕНОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ СЛОЖНЫХ ФОРМ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Пенза 2006

Работа выполнена на кафедре теоретической и строительной механики Пензенского государственного университета архитектуры

и строительства

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор технических наук, профессор

A.M. Данилов

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук,

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Российский университет дружбы

народов (Москва)

Защита состоится « 6 » июля 2006г. в «14 » часов на заседании диссертационного совета Д 212.186.04 при Пензенском государственном университете по адресу: 440026, г.Пенза, ул. Красная, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Пензенского государственного университета.

Автореферат разослан «_5_» и^окд 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук,

профессор Голованов О.А.; доктор технических наук, профессор Якимов А.Н.

профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Экстремальные условия работы элементов современных конструкций, сложность их формы и значительные габариты делают исключительно трудным и дорогам осуществление натурного эксперимента. Именно поэтому все большее распространение получают вычислительные комплексы, пакеты прикладных программ ANS YS, NASTRAN, Cosmos и др., основанные на применении метода конечных элементов. Эти пакеты программ математического моделирования позволяют решать задачи прочности, теплопроводности, гидромеханики и т.п.

При выполнении прочностных расчетов неизбежен выбор математической модели всей конструкции или отдельных ее частей. Этот выбор включает в себя несколько этапов:

> построение физической модели материала, учет внешних нагрузок, различных подкреплений и т. д.;

> выбор геометрии изделия — либо в виде чертежа, либо математического описания всего изделия, либо его части;

Выбор геометрической формы изделия - один из основных этапов проектирования строительных или машиностроительных конструкций.

Тело, обладающее минимальным значением площади поверхности при заданном объёме (минимальное тело), даже не являясь ёмкостью, имеет на практике ряд преимуществ. Так, например, при изготовлении оптимального тела требуется меньше материала. При нанесении защитного покрытия на тела с минимальной площадью поверхности сокращается расход материала, который во многих случаях оказывается намного дороже основного материала. Тела с минимальной площадью поверхности имеют и наименьшие тепловые потери.

Переходные оболочки вращения, соединяющие два трубопровода различных диаметров и имеющие минимальную поверхность, отличаются меньшим гидравлическим сопротивлением.

Очевидно, что масса полых тонкостенных геометрических тел будет пропорциональна площади их поверхности. Таким образом, задача минимизации и оптимизации массы оболочек сводится к задаче по минимизации площади поверхности этих оболочек при заданном их объёме и обеспечению необходимой прочности и жесткости.

Таким образом, актуальность работы не вызывает сомнений. Решаемые в диссертационной работе проблемы обусловлены первостепенным значением геометрических параметров для конструирования строительных и машиностроительных объектов. Вопросы прочности часто являются следствием оптимальной геометрии.

Цель и задачи исследований.

Цель диссертации — получение математических моделей оболочек, образованных вращением, вокруг оси симметрии кривой заданной длины и ограничивающих наибольший объем при наименьшей площади поверхности.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

> Решить вариационную задачу на условный экстремум по условиям длины кривой, площади и объёма поверхности вращения.

> Провести классификацию этих поверхностей по условиям экстремума и выбрать наиболее простые аналитические зависимости для представления образующих.

> Выбрать методы математического описания исследуемых оболочек.

5* Удовлетворить условия гладкого сопряжения для переходных оболочек, соединяющих два конуса.

Научная новизна работы.

> При решении неклассической вариационной задачи со свободными концами получено интегральное выражение для кривой, при вращении которой вокруг оси ОХ получаем спектр экстремальных поверхностей. При различных сочетаниях неопределенных множителей Лагранжа получаем такие известные поверхности как тор, сфера, цилиндр, весь класс поверхностей Делоне и новый вид поверхностей, ограничивающих максимальный объем при заданной длине образующей.

> В результате исследований поверхностей для образующих получены зависимости, выраженные через эллиптические интегралы, а также различные варианты плавного сопряжения поверхностей с двумя конусами.

> Получено уравнение нодоидно-ундулоидных поверхностей из условий равнопрочности безмоментных оболочек вращения.

> Показано, что купола храма Василия Блаженного являются оболочками наименьшей площади поверхности при заданном объёме.

Методы исследования.

> Классический аппарат вариационного исчисления, теория решения дифференциальных уравнений, аппарат специальные функций, стандартные математические программы МАТНСАХ) и МАРЬЕ.

Достоверность результатов

> обусловлена применением классических методов вариационного исчисления, сравнением результатов, полученных разными методами и совпадением их с результатами других авторов;

> физическим моделированием нодоидно-ундулоидных поверхностей мыльными пленками.

> Основные положения, выносимые на защиту:

. > Математическая модель семейства оболочек вращения, удовлетворяющая экстремальным значениям длины образующей, объема и площади поверхности вращения.

> Математическая модель образующих нодоидно-ундулоидного типа полученная из условий равенства окружных и меридианных напряжений, что позволяет исключить дополнительные подкрепления.

> Математическая модель, описываемая уравнениями образующих но-доидно-ундулоидных поверхностей в соединении с двумя конусами.

> Математическая модель образующих оболочек, ограничивающих максимальный объем при заданной длине образующей, и результаты исследования ее основных свойств.

> Доказательство универсальности нодоидно—ундулоидных поверхностей в природе и строительстве.

Практическое значение диссертации

> Переходники в виде прямых ундулоидов и оболочек, ограничивающих максимальный объем при заданной длине образующей, внедряются при строительстве газопроводов в ОАО «Уренгойтрубопроводстрой».

> Полученные результаты используются в учебном процессе на архитектурном факультете и институте ПГС Пензенского государственного университета архитектуры и строительства.

Апробация работы. Материалы диссертации доложены и обсуждены на следующих конференциях:

> III Всероссийской конференции с международным участием по теории упругости (Ростов - на - Дону, 2003 г.);

> Международной конференции «Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы». (Москва, 2001г.);

> Международных форумах по проблемам науки, техники, образования. (Москва, 2001 и 2002 гг.). В 2001 г. работа «Купол русской церкви как оболочка оптимальной формы» удостоена Золотого диплома форума;

> Международной конференции «Моделирование как инструмент решения технических и гуманитарных проблем» (Таганрог, 2002 г.);

> XXI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 2005 г.);

> IV и V Всероссийских семинарах «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 2002 и 2005 гг.).

Кроме того, материалы диссертации доложены и обсуждены на семинарах кафедр «Теоретическая механика» Казанского государственного университета, «Теоретическая механика и технология» Пензенского государственного университета, «Теория упругости и биомеханика» Саратовского государственного университета, научно-технических конференциях Пензенского государственного университета архитектуры и строительства.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 16 печатных работ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, указателя использованной литературы и приложения на 3 страницах. Текст изложен на 137 страницах, проиллюстрирован 45 ри-

сунками и 8 таблицами. В указателе литературы содержится 70 российских и 28 иностранных источников.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, дается краткая характеристика работы, указаны основные положения, определяющие научную новизну и практическую ценность работы.

В первой главе раскрывается содержание предмета исследования. Сделан обзор методов оптимизации и параметров, по которым осуществляется оптимизация. Показано, что оптимизация тел вращения по геометрическим характеристикам способствует обеспечению наилучших прочностных и гидравлических качеств изделия или сооружения.

В работах В.В. Черевацкого рассматривалась геометрия и прочность но-доидно — ундулоидных оболочек; показано, что эти оболочки по целому ряду прочностных характеристик работают лучше, чем аналогичные конические оболочки. Нодоидные и ундулоидные поверхности - поверхности постоянной средней кривизны, ограничивающие наибольший объем при заданной площади поверхности, т.е. поверхности К. Делоне (С. Delaunau). Эти поверхности встречаются и в задачах биологии, в частности при решении вариационной проблемы В. Хельфриха (W. Helfrich). _

Вариационная проблема Хельфриха заключается в определении формы жидкой двухслойной (bilayer) или однослойной (layer, monolayer) мембраны, имеющей заданную площадь с минимальной изгибной энергей. Поверхность либо замкнута, либо ограничена заданным контуром. Это одна из моделей для теории образования формы красной ячейки крови и липидных мембран и ячеек. Одним из решений данной проблемы являются структуры, основанные на ундулоидных поверхностях: триноид и копланар.

Минимальные поверхности и поверхности постоянной средней кривизны проявляются во множестве решений, предлагаемых нам природой. Поэтому в основу диссертационной работы положена идея математического моделирования именно по геометрическим характеристикам.

Вторая глава посвящена постановке и решению вариационной задачи отыскания такой кривой г =r(z) заданной длины, при вращении которой вокруг оси Ог мы получаем поверхность наименьшей площади, ограничивающую наименьший объбм. Было получено четырехпараметрическое семейство кривых, зависящих от множителей Лагранжа и постоянной Эйлера:

' z

-±J-

ОС-Хр-г2)

•dr + y.

(1)

■(X,+X2-r)2-(C-X0-r2y

,2

Параметр Лагранжа Хо «отвечает» за объем тела вращения, — за длину образующей, Х2 — за площадь поверхности.

В таблице 1 представлена классификация экстремальных поверхностей в зависимости от параметров Лагранжа, то есть в зависимости от заданных множителей Лагранжа получаем разные виды поверхностей, обладающие экстремальными свойствами. В таблицу также внесены радиусы кривизны, гауссова и средняя кривизны. В зависимости от сочетания множителей Лагранжа видно, что кроме уже известных классических поверхностей — всех поверхностей К. Делоне - получается новый вид поверхностей, ограничивающих максимальный объем при заданной длине образующей.

Для полученных поверхностей определены коэффициенты квадратичных форм, гауссова и средняя кривизны:

к_ (С-Х0-г2)-(Х2 -С + Х0-Х2-Г2 + 2-Х0-Х,-Г) 4-г-(Х,+Х2-г)3

2Н _ у(с-3-угг)-2.уугэ 2 ■г-(Х1 + Х2-г)2

а также длина образующей, площадь и объем поверхности вращения:

г-Л (Х1+Х2-г)-с1г

1^4-(Хх + Х2-г)2-(С-г2)2'

3 = ) г.(\+Хг-г)-с1г

1 л/4-(Х, + Х2 •/')2 -(С-г2)2 '

Так как интегралы вида (1) имеют несколько сингулярных точек, то решать их проще приведением к эллиптическим интегралам. Для вычисления интегралов используется метод арифметико-геометрического среднего. Они показали большую точность и устойчивость решения в районах особых точек, но занимают несколько больше машинного времени. Поэтому интеграл (1) для различных случаев приведен к сочетаниям эллиптических интегралов I и II рода.

Таблица 1

Постановка задачи Пост. Ла-гранжа Уравнение образующей Гауссова и средняя кривизны. Радиусы кривизны

Найти такую плоскую кривую г = г{х) заданной длины Ъ, , которая при вращении вокруг оси Ог образовала бы поверхность заданной величины 5, ограничивающую вместе с двумя плоскостями, перпендикулярными к оси вращения, наибольший объем V № 2=±\ , 0 4г+у Интегрируемые частные случая: сфера и тор х]-х\ -с=о=> (7-у)2 =4-4 (с-х/х^с+^г'+гхлг) Х,(С-ЗХ0гг)-2Х0ХгР 2 г(Х]+Хгг)2 •_ +Хгг)2 ^ (Х2С+Х0Х2г2 + 2Х0Х,г) 2г(\ + Х2г) С-Х0г

Найти такую плоскую кривую г = г{£), при вращении которой вокруг оси Ог образуется тело наибольшего объема V, ограниченное поверхностью минимальной площади 5 ЬН) г (с-ху) - 2= ... - -—--+ у Поверхности Делоне-нодоид и ундулоид- поверхности постоянной средней кривизны. В предельных случаях - сфера и цилиндр С1-г* 1 К=-41>г*' 2Н=~Т2' . 2Х2г2 2 Х2г2 С+у2' С-у2'

Окончание таблицы 1

Найти кривую г = г(£) заданной длины Ь, при вращении которой вокруг оси Ог образуется поверхность, ограничивающая максимальный объем ш, 3^=0 Инте Ф Л.,2-(С-грируемый случай ^2С +^2С-а2 г %/2С+л/2С-г2 о 4ж-+у V2)2 : при у н 0=0 + ^2С-г2-^2С-а2 „,2Г г -а -2Х атсэт--агсвт— . 2Х 2Х_ 2Я=С">2 2V 4 г С-г2

Найти линию наименьшей длины, соединяющую две данные точки (0, а) и (1, Ь) ЬгО, ЪтЗД, Хг=0 Прямая Г Сс1г _ с г+р -С2 ^41] -С2 -

Найти такую плоскую кривую уу(х), которая проходит через две данные точки, и при вращении которой вокруг оси абсцисс образуется поверхность наименьшей площади 1<г0, >4=0, М) Семейство цепных линий, при вращении которых получаем катеноиды г = С- сЬ2_У С С2 ^ = 2Я=0. г г1 г2

Наши плоскую кривую у=Жх) заданной длины при вращении которой образуется поверхность наименьшей площади ЪгО, »¿о, ш Поверхности катеноидного типа г = С- сЪ^—Х, С 1 г2 г К= ,'2 Я- С 2 . _'-(*!+'■) 1 С "2 С

В третьей главе рассматриваются поверхности нодоидно-ундулоидного вида, получающиеся при Х0 *0,Х1 = О, Х2 * 0. Из общего уравнения (1) получено интегральное выражение

;-±/ (С~/-2)

(2)

, --==.</г + у.

Это же уравнение получаем и из условий равно- г прочности элемента оболочки.

Рассмотрим элемент оболочки вращения (рисунок 1), нагруженной постоянным внутренним давлением интенсивностью д. Используя уравнения статики и уравнение Лапласа, получаем следующие уравнения для меридианных сил, действующих на единицу длины параллельного круга срединной поверхности $ и кольцевой мембранной силы, действующей на единицу длины меридиана Т.

г

5 ■ 2пг ■ вш ф = ^ • 2пг0 ■ эш ф0 + ^-2кгс1г\

ч>

8 Т —+— = а. Л, Л2

Зададим условие равнопрочное™ в виде: Б = Т=Ло. После выполнения некоторых преобразований получим уравнение образующей равнопрочной оболочки:

(С-г2)с1г

« г

ч ^ Л в

г.

- г=у

Рисунок 1

,= Г <Л- -Г )ОГ

у]4Х2 -г2 -(С-г2)2 '

то есть получим образующие поверхностей нодоидно-ундулоидного вида.

Таким образом, оптимальным геометрическим формам отвечают оптимальные прочностные показатели.

Для однозначного задания образующей свяжем параметры С иХ граничными условиями в виде:

1) при г = а r' = tgao 1 (З)

2) при - г = Ь а] ) Учитывая эти граничные условия, все варианты преобразования уравнения (2) сводим к двум основным:

С

р ■ [Е(Ф, к) - Е(Фо, А)]- - • Иф,*) - Р(ф0 Р

Д)|>

д ■ [Е(ф,*) - Е(Фо ,*)] - Ь. [р(ср,А) - Р(Фо, *)]

" = \ч •ф — ^-зт2^

(4)

где р = Х2+^Х\ + С; д = Х2-+ С; Х.22+С>0.

Рисунок 2

М. Штурмом (М. Sturm) было показано, что образующими поверхностей Делоне являются рулетты кривых II порядка.

Раздел в третьей главе посвящен исследованию формы куполов храма Василия Блаженного. Чертежи, взятые в масштабе, сканировали, помещали в среду AUTOCAD, в которой и считывали размеры. Затем все величины делили на радиус большего основания и получали относительные радиус и высоту.

На рисунке 2 введены следующие обозначения: г0=1 -радиус основания купола; г\ -верхний радиус; Я - высота; а0 и Oi — углы наклона образующей в нижнем и верхнем сечениях; Гщах — наибольший радиус; h - высота, в которой радиус образующей достигает наибольшего значения.

На рисунке 3 показаны образующие куполов; цифрами обозначены: 1. Центральный столп - церковь Покрова; 2. Западный столп — придел Входа в Иерусалим; 3. Северный столп - придел Киприана и Устиньи; 4. Восточный столп — придел Троицы; 5. Южный столп - придел Николы Великорецкого; 6. Северо-западный малый придел Григория-просветителя Армении; 7. Северо-восточный малый придел Трёх патриархов; 8. Юго-восточный малый придел Александра Свирского; 9. Юго-западный малый придел Варлаамия Хутынского.

Как видно из рисунка 3, углы в верхнем сечении у всех образующих практически одинаковы, различны углы в нижнем сечении и верхние радиусы. Можно отметить три группы образующих:

1. Церковь Покрова (г, =0,13 и а1=16°) и придел Николы Великорецкого (ri=0,ll и ai=17°). Результат расчета образующей по формуле (2) (rt=0,11, ai=17°) показан на рисунке 4.

2. Придел Входа в Иерусалим (Г)=0,083, а0=43°), придел Григория Армянского (ri=0,07 и ао=43°), придел Трех патриархов (r^O.083, а0=44°) и придел Киприана и Устиньи (го=0,08 и at=49°). Расчетная образующая при г0=0,07 и а0=43° показана на рисунке 5.

3. Придел Александра Свирского (го=0,08 и ai=26°) и придел Варлаамия Хутынского (г0=0,07 и ai=24°).

Расчетная образующая (го=0,07 и а]=24°) и образующие куполов, как это видно из рисунков 4 и 5, достаточно хорошо согласуются.

Расчетная образующая для придела Троицы значительно отличается от реальной образующей (рисунок б).

з

|\ 3 1 ,4

'•ЧК" sj

// \ \ . \

6 з *г- w

о

Рисунок 3

О 0.5 1 1.5 2 2.5 Рисунок 4

3.5 3 2.5 2 1.5 I

0.5 0

8 -расчвт .8 - факт

у

\

)

)

0 0,5. 1 1.5 2

Рисунок 5

0 0,5 1 1.5 2

Рисунок 6

Таким образом, русские зодчие при строительстве Покровского собора интуитивно спроектировали купола максимального объёма с наименьшей площадью поверхности, а, следовательно, и с наименьшим весом.

Материалы третьей главы были опубликованы в [3, 8,12].

В четвертой главе рассматриваются катеноид и поверхности катеноид-ного типа. Если катеноид - достаточно хорошо исследованная поверхность, то поверхности катеноидного типа изучены меньше. Уравнение образующей имеет вид:

г = С-сЪ———-Л,,. . С 1

(6)

Уравнение (6) — это уравнение цепной линии, над которой осуществлен параллельный перенос на величину X] по оси Ог. Отсюда ясен и геометрический смысл уравнения (6). Как известно, цепная линия получается в результате качения параболы по оси Ох — эту линию описывает фокус параболы. Параметр параболы - величина С. Величина у определяется начальным положением фокуса параболы.

Получены условия плавного соединения с конусами, выяснены пределы применимости полученной математической модели.

В пятой главе приведены результаты исследований полученной автором поверхности, образованной вращением кривой заданной длины и ограничивающей наибольший объем. Задача ставится таким образом: найти кривую г = г{г) заданной длины Ь, при вращении которой вокруг оси Ог, образуется поверхность,- ограничивающая вместе с двумя плоскостями, перпендикулярными к оси Ог наибольший объём.

По принципу взаимности эта задача эквивалентна задаче отыскания кривой г = г(г) минимальной длины, при вращении которой вокруг оси Ог обра-

зуется поверхность, ограничивающая, вместе с двумя плоскостями, перпендикулярными к оси Ог, заданный объём V.

В этом случае интегральное выражение для образующей принимает вид: г {с-г^г

- (с-г2)2

Выражения для длины кривой и площади поверхности

(7)

V 2-Х-ёг ¡^-(С-Г^'

£= / , „ . (Ю

радиусы кривизны, гауссова и средняя кривизны имеют вид:

(С-г>) (С-Зг2)

Для определения С и X воспользуемся краевыми условиями в виде (3). В зависимости от соотношения параметров С и X уравнение (7) выражается как совокупность эллиптических интегралов.

В зависимости от соотношений СнХ получим следующие варианты:

Чг-х-с^о! 12-х+сМ2-х-с1' с<0-

В этом случае уравнение образующей имеет вид

Гг = • ИА.ср)- Р(*,Фо)]" 2 • лРХ • [Е(Л,ф)-Е(*,Фо)],

(г = — С| • собф.

Модуль эллиптических интегралов и амплитуда соответственно равны:

¡¡2-Х- С\ г

к = 1!-ф = агссов—г====.

V -4-Х * ^\2-Х-С\

'2 - X + С < 0; , , . .

{2• х—с<о. 12-х+с1<12-х-с1. с>0-

\ и-г (,3)

[г = ■ X + С\ • совф.

В этом случае модуль и амплитуда эллиптических интегралов соответственно равны:

, ¡2-Х + С г

к = л-т-г-; Ф = атасов -=====■.

V -4-Х ,]\2-Х + С\

Как видно, варианты I и II - подобны.

III.

2 • X, + С > 0; 2-Х-С <0. С

|2-Х + С|>|2-Х-С|, Х>0; С> 0.

г——г ■ [F(*,cp)-F(fc,<p0)]+V|2.X + C| • [Е(А,ф)-Е(А,ф0)} л/Р'^ + Я __(14)

г = ^¡2 • X + С| • — Л2 sin2 ф.

Модуль эллиптических интегралов и амплитуда соответственно равны:

■ г. I ■ f1 L г2 к = /•;-г; ф = arcsin —-1-:-г •

_/у|2Х + С| т ^ \2Х + С\)

IV.

2 • X. + С > 0; 2 • X - С < 0. С

|2 • X, + С| < [2 ■ X. - С|, Х<0; С> 0.

[F(cp;k)-F(y0;k)]+V|2-X-C|-[E(9;lc)-E(90;k)t ■Vpa-Cl (15)

r = • X - С| • - А2 • sin2 ф.

плитуда эллг

I -4-Х = ^(|2Х-С|;

Модуль и амплитуда эллиптических интегралов соответственно равны:

i

1 I. г2

AT |2X-Cj

к =. ——; ф = arcsin

Варианты III и IV - подобны.

С > 0, X > 0,5С.

/2-Х + СХ,; 2.х + с>2.,_с, 12 • X - С > 0.

(16)

[г = V2-X + C • созф. Модуль и амплитуда эллиптических интегралов соответственно равны: , /2-Х + С г

кЧ~тг; Ф=

= arccos-

л/2-X + C' 0, X > 0,5С

2 = л/х • [F(A;<p0)-F(A:;V)]-2 -л/Х • [е(А;ф0)- Е(*;ф)1 г = V2-X-C • совф.

[2-Х + С > 0;

VI. 2 - X + С < 2 • X - С, С < 0, X > 0,5С > 0.

12»Л. ~ С> ^ и*

Модуль и амплитуда эллиптических интегралов соответственно равны:

¡2-X-C г

к = .\-; ф = arceos—р

V 4-Х V л/2-Х-С

Варианты V и VI - подобны.

Наиболее интересен вариант соединения переходными оболочками двух трубопроводов. На рисунке 7 показаны образующие для прямого ундулоида и результаты расчета варианта IV для краевых условиях: д= 1, ¿=0,5, ао=0°, а,=180°.

BJ

1 1 IV вариант

Ундулоид

i

Zl(»),z(|S)

2 25

Ось вращения

3J 3J

Рисунок 7

Эти поверхности могут служить переходниками для стыковки трубопроводов разных диаметров. По данным Центральной лаборатории ОАО «Урен-гойтрубопроводстрой», эти переходники по сравнению с коническими обладают значительно меньшим сопротивлением, что позволяет поддерживать большее давление в сети при тех же энергозатратах.

В двух частных случаях интеграл (7) удается проинтегрировать в элементарных функциях.

При 0=0 решение принимает вид

агсБш--агсвш

2-Х

Гауссова и средняя кривизны в этом случае имеют вид:

Ъ-г

—1 2-X.J

(18)

2-Хг

2-Н =-

2-Х'

(19)

Как видно из (19), гауссова кривизна в этом случае всегда положительна. На рисунке 8 показана форма поверхности вращения при о= 1, ¿=2,381, ао=80" и а1=10". В этом случае Х=2,879. При С = ±2 • X решение принимает вид:

-ё

1п

У2-С + У2-С-Д2 л/2-С+л/2-С-г2

+ л/2-С-г2 -V2-С-а2. (20)

Гауссова и средняя кривизны, а также радиусы кривизны для этого случая имеют вид:

2Х 2 Хг

п _ X _ 2Х-г к\т—• к2 -т-:-г-

Г 2-Х —г

На рисунке 9 приведена форма поверхности вращения для этого случая.

Рисунок 8 Рисунок 9

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Выполнен обзор различных методов математического моделирования и оптимизации формы строительных и машиностроительных конструкций. Показано, что одним из основных параметров, по которым должна проводиться оптимизация, является геометрия изделия.

2. Поставлена и в общем виде решена задача математического моделирования образующих оболочек, получающихся при вращении вокруг оси кривой заданной длины и ограничивающих наибольший объём при наименьшей площади поверхности вращения. Определены коэффициенты I и II квадратичных форм, средняя и гауссова кривизны поверхностей.

3. Полученное четырехпараметрическое семейство сведено к безразмерной форме, зависящей от трех параметров. Установлены соотношения, связывающие краевые условия и множители Лагранжа, что позволяет привести уравнения к одному управляющему параметру. Найдены аналитические решения задачи. Поверхностями, удовлетворяющими всем условиям экстремума, являются шар и тор.

4. Проведена классификация математических моделей экстремальных поверхностей вращения в зависимости от параметров Лагранжа, «отвечающих» за длину кривой вращения, площадь поверхности и объём поверхности вращения. Полученный класс поверхностей включает в себя все семейство поверхностей Делоне. Получены поверхности, образованные вращением кри-

вой заданной длины, ограничивающие наибольший объем, и имеющие ряд интересных свойств.

5. Уравнения нодоидных и ундулоидных поверхностей получены из условий равнопрочности, то есть равенства окружных и меридианных усилий, приходящихся на единицу длины. Таким образом обеспечивается оптимальное напряженно-деформированное состояние.

6. Для всех полученных образующих найдены зависимости для плавного соединения на краях и определены условия, когда такое соединение возможно.

7. Показано, что купола храма Василия Блаженного являются поверхностями наименьшей площади, ограничивающими наибольший объем.

8. Переходники ундулоидного типа, по сравнению с коническими, обладают значительно меньшим сопротивлением, что, по данным Центральной лаборатории ОАО «Уренгойтрубопроводстрой», позволяет поддерживать большее давление в сети при тех же энергозатратах.

Результаты исследований отражены в следующих публикациях:

1 Пульпинский Я.С. Проблема Плато и проектирование элементов газоотводной системы двигателя / Я.С. Пульпинский, В.Б. Черевацкий // Комплексное обеспечение показателей качества транспортных и технологических машин: Сб. ст. VI Междунар. науч.-техн. конф: -Пенза, 2000. — С. 34 - 36.

2 Пульпинский Я.С. Оптимальное проектирование элементов выхлопной системы двигателя внутреннего сгорания: Материалы I Междунар. науч. -техн. конф: - Пенза, 2000. - С. 33 - 36.

3 Пульпинский Я.С. Интегральные уравнения образующих оболочек вращения оптимальных форм // Архитектура оболочек и прочностной расчёт тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы: Труды Междунар. науч. конф: Сб. ст. — М.: Изд-во Российского ун-та дружбы народов, 2001. - С. 342 - 347.

4. Пульпинский Я.С. Уравнения образующих оболочек вращения оптимальных форм // Архитектура оболочек и прочностной расчёт тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы: Труды Междунар. науч. конф: Сб. ст. - М.: Изд-во Российского ун-та дружбы народов. 2001.-С.183-184

5. Пульпинский Я.С. Об одном новом виде оболочек катеноидного типа // Итоги строительной науки: Материалы Междунар. науч. - техн. конф. - Владимир, 2001.- С. 20 -21.

6 Пульпинский Я.С. Получение уравнения образующей безмоментной равнопрочной оболочки вращения // Актуальные проблемы проектирования и возведения зданий и сооружений с учётом энергосберегающих технологий и методов строительства: Материалы Межрегиональной науч.-практ. конф. -Пенза, 2002.-С. 121-124.

7 Пульпинский Я.С. Построение оболочек, образованных минимальными поверхностями // Актуальные проблемы проектирования и возведения зданий и

сооружений с учётом энергосберегающих технологий и методов строительства: Материалы Межрегион, науч.-практ. конф. - Пенза, 2002.-C.il 4-121.

8 Пульпинский Я.С. Купол русской церкви как оболочка оптимальной формы Н Труды Международного форума по проблемам науки, техники, образования / Под ред. В.П.Савиных, В.В.Вишневского-М.: Академия наук о Земле, 2001. - Т. I. - С.95-97.

9 Пульпинский Я.С. Классификация поверхностей, обладающих экстремальными свойствами //Проблемы оптимального проектирования сооружений: Сб. докл / IV Всероссийский семинар. - Новосибирск: НГАСУ, 2002. -С. 302 311.

10 Пульпинский Я.С. Новые формы оболочек вращения // Труды Международного Форума по проблемам науки, техники, образования // Под ред.

B.П.Савиных, В.В.Вишневского."— М.: Академия наук о Земле, 2002. - Т. 2. -

C. 146-149.

11 Пульпинский Я.С. Приближенный метод нахождения оптимального днища прямоугольного резервуара // Современные технологии в машиностроении: Сб. докл. V Всероссийской науч.-практ. конф. Пенза, 2002. 4.1. -С.54-58.

12 Пульпинский Я.С. Моделирование экстремальных поверхностей мыльными пленками / Я.С Пульпинский, В.Б. Черевацкий // Моделирование как инструмент решения технических и гуманитарных проблем: Материалы междунар. науч. конф. - Таганрог. ТРТУ, 2002. - Ч. 1, - С. 62-65.

13 Пульпинский Я.С. Некоторые задачи оптимизации формы оболочек вращения // Актуальные проблемы современного строительства: Строительные конструкции: Сб. тр. - Пенза: ПГАСА, 2003. 4.2. - С. 99-108.

14 Пульпинский Я.С. Новые формы оболочек вращения, обладающие экстремальными свойствами И Труды III Всероссийской конференции по теории,упругости с международным участием. — Ростов-н/Д: Новая книга,

2004.-С.305-309. -

15 Пульпинский Я.С. Оболочки вращения в виде расширенного семейства поверхностей Делоне // Труды XXI международной конференции по теории оболочек и пластин, / Саратовский гос. тех. ун-т. — Саратов,: 2005. — С. 186-191.

16 Пульпинский Я.С. Оболочки вращения, ограничивающие наибольший объем при заданной длине образующей (ПенКа) // Проблемы оптимального проектирования сооружений: Сб. докл. V Всероссийского семинара / Новосибирский. гос. архит. - строит, ун-т. - Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин),

2005.-С. 292-300.

Пульпинский Яков Семенович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ СЛОЖНЫХ ФОРМ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать 1.07.06 . Формат 60x84.16 Бумага офсетная. Печать на ризографе. Печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №109.

Издательство ПГУАС Отпечатано в полиграфическом центре ПГУАС. 440028, г. Пенза, ул. Титова, 28. E-mail: postmaster@peasa. penza.com.ru

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 ОБЗОР И АНАЛИЗ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБОЛОЧЕК.

1.1 Задачи моделирования формы оболочек вращения.

1.1.1. Математическое моделирование и оптимизация.

1.1.2. Выбор математических критериев оптимизации.

1.2. Минимальные поверхности и поверхности постоянной средней кривизны

1.2.1. Минимальные поверхности.

1.2.2. Поверхности постоянной средней кривизны.

1.2.3. Поверхности Делоне.

1.2.4. Минимальные поверхности в природе.

1.2.5. Жидкие мембраны и проблема Хельфриха (W. Helfrich).

1.2.5.1. Особенности строения жидких мембран.

1.2.5.2. Вариационная проблема Хельфриха (W. Helfrich).

1.3 Поверхности наименьшей площади в строительстве и машиностроении.

Выводы.

ГЛАВА 2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБРАЗУЮЩИХ

ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФОРМ.

2.1 Поверхности вращения.

2.2. Постановка задачи и вывод уравнений образующих.

2.2.1. Постановка задачи.

2.2.2. Кривизна и радиусы кривизны поверхности.

2.2.3. Краевые условия.

2.2.4. Приведение основных соотношений к безразмерному виду.

2.2.5. Интегрируемые случаи.

2.3. Классификация экстремальных поверхностей.

2.4 Приведение уравнения образующей общего вида к эллиптическим интегралам.

2.5. Использование краевых условий для определения множителей Лагранжа.

Выводы.

ГЛАВА 3 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ

РАЗЛИЧНЫХ МНОЖИТЕЛЯХ ЛАГРАНЖА.

3.1. Нодоидные и ундулоидные поверхности.

3.1.1. Уравнение образующей безмоментной равнопрочной. оболочки вращения.

3.1.2. Определение постоянных интегрирования.

3.2.3. Приведение уравнений образующих к эллиптическим интегралам.

3.2. Форма куполов храма Василия Блаженого.

Выводы.

ГЛАВА 4 КАТЕНОИД И ПОВЕРХНОСТЬ КАТЕНОИДНОГО ТИПА.

4.1. Катеноид.

4.2. Математическая модель поверхности катеноидного типа.

4.2.1. Поверхность катеноидного типа, соединяющая два конуса.

Выводы.

ГЛАВА 5 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ «ПенКа».

5.1. Уравнение образующей и параметры поверхности.

5.2. Определение постоянных С и X.

5.3. Приведение к эллиптическим интегралам.

5.4. Интегрируемые случаи.

5.5. Прямая.

Выводы.

Актуальность темы.

Экстремальные условия работы элементов современных конструкций, сложность их формы и значительные габариты делают исключительно трудным и дорогим осуществление натурного эксперимента. Именно поэтому все большее распространение получают вычислительные комплексы, пакеты прикладных программ ANSYS, NASTRAN, Cosmos и др., основанные на применении метода конечных элементов. Эти пакеты программ математического моделирования позволяют решать задачи прочности, теплопроводности, гидромеханики и т.п.

При выполнении прочностных расчетов неизбежен выбор математической модели всей конструкции или отдельных ее частей. Этот выбор включает в себя несколько этапов: построение физической модели материала, учет внешних нагрузок, различных подкреплений и т. д.; выбор геометрии изделия - либо в виде чертежа, либо математического описания всего изделия, либо его части;

Выбор геометрической формы изделия - один из основных этапов проектирования строительных или машиностроительных конструкций.

Тело, обладающее минимальным значением площади поверхности при заданном объёме (минимальное тело), даже не являясь ёмкостью, имеет на практике ряд преимуществ. Так, например, при изготовлении оптимального тела требуется меньше материала. При нанесении защитного покрытия на тела с минимальной площадью поверхности сокращается расход материала, который во многих случаях оказывается намного дороже основного материала. Тела с минимальной площадью поверхности имеют и наименьшие тепловые потери.

Переходные оболочки вращения, соединяющие два трубопровода различных диаметров и имеющие минимальную поверхность, отличаются меньшим гидравлическим сопротивлением.

Очевидно, что масса полых тонкостенных геометрических тел будет пропорциональна площади их поверхности. Таким образом, задача минимизации и оптимизации массы оболочек сводится к задаче по минимизации площади поверхности этих оболочек при заданном их объёме и обеспечению необходимой прочности и жесткости.

Таким образом, актуальность работы не вызывает сомнений. Решаемые в диссертационной работе проблемы обусловлены первостепенным значением геометрических параметров для конструирования строительных и машиностроительных объектов. Вопросы прочности часто являются следствием оптимальной геометрии.

Цель и задачи исследований.

Цель диссертации - получение математических моделей оболочек, образованных вращением вокруг оси симметрии кривой заданной длины и ограничивающих наибольший объем при наименьшей площади поверхности.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

Решить вариационную задачу на условный экстремум по условиям длины кривой, площади и объёма поверхности вращения.

Провести классификацию этих поверхностей по условиям экстремума и выбрать наиболее простые аналитические зависимости для представления образующих.

Выбрать методы математического описания исследуемых оболочек.

Удовлетворить условия гладкого сопряжения для переходных оболочек, соединяющих два конуса.

Научная новизна работы.

При решении неклассической вариационной задачи со свободными концами получено интегральное выражение для кривой, при вращении которой вокруг оси OZ получаем спектр поверхностей, названных экстремальными. При различных сочетаниях неопределенных множителей Лагранжа получаем такие известные поверхности как тор, сфера, цилиндр, весь класс поверхностей Делоне и новый вид поверхностей, ограничивающих максимальный объем при заданной длине образующей. Получены уравнения кривых, выраженные посредством эллиптических интегралов.

В результате исследований поверхностей для образующих получены зависимости, выраженные через эллиптические интегралы, а также различные варианты плавного сопряжения поверхностей с двумя конусами.

Получено уравнение нодоидно-ундулоидных поверхностей из условий равнопрочности безмоментных оболочек вращения.

Показано, что купола храма Василия Блаженного являются оболочками наименьшей площади поверхности при заданном объёме.

Методы исследования.

Классический аппарат вариационного исчисления, теория решения дифференциальных уравнений, аппарат специальные функций, стандартные математические программы MATHCAD и MAPLE.

Достоверность результатов обусловлена применением классических методов вариационного исчисления, сравнением результатов, полученных разными методами и совпадением их с результатами других авторов; физическим моделированием нодоидно-ундулоидных поверхностей мыльными пленками.

Основные положения, выносимые на защиту:

Математическая модель семейства оболочек вращения, удовлетворяющая экстремальным значениям длины образующей, объема и площади поверхности вращения.

Математическая модель образующих нодоидно-ундулоидного типа полученная из условий равенства окружных и меридианных напряжений, что позволяет исключить дополнительные подкрепления.

Математическая модель, описываемая уравнениями образующих нодоидно-ундулоидных поверхностей в соединении с двумя конусами.

Математическая модель образующих оболочек, ограничивающих максимальный объем при заданной длине образующей, и результаты исследования ее основных свойств.

Доказательство универсальности нодоидно-ундулоидных поверхностей в природе и строительстве.

Практическое значение диссертации

Переходники в виде прямых ундулоидов и оболочек, ограничивающих максимальный объем при заданной длине образующей, внедряются при строительстве газопроводов в ОАО «Уренгойтрубопроводстрой».

Полученные результаты используются в учебном процессе на архитектурном факультете и институте ПГС Пензенского государственного университета архитектуры и строительства.

Апробация работы. Материалы диссертации доложены и обсуждены на следующих конференциях:

III Всероссийской конференции с международным участием по теории упругости (Ростов - на - Дону, 2003г)

Международной конференции «Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы» (Москва, 2001г.);

Международных форумах по проблемам науки, техники, образования. (Москва, 2001 и 2002 г). В 2001 работа «Купол русской церкви как оболочка оптимальной формы» удостоена «Золотого диплома» форума;

Международная конференция «Моделирование как инструмент решения технических и гуманитарных проблем» (Таганрог, 2002 г.);

XXI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 2005г.);

IV и V Всероссийских семинарах «Проблемы оптимального проектирования сооружений (Новосибирск, 2002 и 2005 г.).

Кроме того, материалы диссертации доложены и обсуждены на семинарах кафедр «Теоретическая механика» Казанского государственного университета, «Теоретическая механика и технология» Пензенского государственного университета, «Теория упругости и биомеханика» Саратовского государственного университета, научно - технических конференциях Пензенского государственного университета архитектуры и строительства.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 16 печатных работ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, указателя использованной литературы и приложения на 2 страницах. Текст изложен на 137 страницах, проиллюстрирован 45 рисунками и 8 таблицами. В указателе литературы содержится 70 российских и 28 иностранных источников.

1. Алексеев В.М. Оптимальное управление / В.М, Алексеев, В.М. Ти-хомиров, СВ. Фомин- М,: Наука, 1979.- 430 с.

2. А.с. 219964 МПК F 06j. Элемент оболочки баллона, бака или резер- вуара./ В.Б Черевацкий (СССР). Опубл. в Б.И., 1968г., №19.

3. А.с. 464907 МПК G 7f Способ моделирования оболочек./ Черевац- кий В.Б. (СССР), Опубл. в Б.И. 1975г.№11.

4. Аминов Ю.А. Минимальные поверхности. - Харьков: Изд-во Харь- ковского ун-та, 1978.

5. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управле- ния. - М.: Наука, 1969.^ 6. Брунов Н.И. Храм Василия Блаженного в Москве. Покровский со-бор. - М.: Искусство, 1988. - 546 с.

6. Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов -М.: Высшая школа, 1990.

7. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гайдайчук В.В. Расчёт оболочек сложной формы. - Киев: Буд1вэльнык, 1990.192 с.

8. Гуревич В.И. Формы оболочек вращения, деформирующихся без ^ изгиба при равномерном давлении / В.И. Гуревич, B.C. Калинин //ДАН СССР.-1981.- Т. 256, №5. - С 1085-1088.

9. Дао Чонг Тхи. Минимальные поверхности и проблема Плато / Дао Ь Чонг Тхи, А.Т. Фоменко -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.-312 с.129

10. Елисеев В.В. Теория упругости, построенная на модели оснащен- ной кривой // Механика твердого тела. Известия вузов.-1976. -№3.

11. Иоффе А.Д Расширение вариационных задач / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. // Тр. Моск. мат. о-ва. - 1968. - Т. 18.-С. 187- 246.

12. Лаврентьев М.А. Курс вариационного исчисления / М.А. Лавренть- ев, Л.А. Люстерник - М. - Л: Гостехиздат, 1953.

13. Корпейкин В.В. Оболочки минимальной массы // Справочное науч- но-методическое пособие / В.В. Корпейкин, Е.Н. Петров - Снежинск: Изда-воРФЯц-ВНИИТФ, 1999. -104 с.

14. Кривошапко Н. Торсовые поверхности и оболочки // Справочник. -М.: Изд-воУДН, 1991.-287 с.

15. Кривошапко Н. Геометрия и прочность торсовых оболочек // Ре- феративная информация. - М.; Изд - во АСВ, 1995. - 273 с.

16. Крейчман М.М. Исследование напряжённо - деформированного со- стояния ундулоидных оболочек // Точные науки. Математика, механика: Сб.асп. работ: /КГУ, 1975.

17. Крейчман М.М. Исследование напряжённо деформированного со- стояния оболочек нодоидного типа, нагруженных быстроменяющейся нагруз-кой. Казань, 1982. Рукопись представлена КГУ. Деп в ВРШИТИ 16 мая 1982,№1532-82.

18. Крейчман М.М. Напряжённо - деформированное состояние нодо- идной оболочки // Точные науки. Математика, механика: Сб. асп. работКГУ/1976.

19. Крейчман М.М. Точные аналитические решения осесимметричной деформации нодоидных и ундулоидных оболочек. Казань, 1977г. Рукописьпредставлена КГУ. Деп в ВИНИТИ 28 марта 1977. Я21197-77.

20. Крейчман М.М. К исследованию новых оптимальных форм оболо- чек вращения / М.М. Крейчман, В.Б. Черевацкий //Исследования по теории пла-стин и оболочек. - Казань: КГУ, 1978. №13.130

21. Крейчман М.М. Об оптимальных формах оболочек вращения / М.М. Крейчман, В.Б. Черевацкий Казань, 1977. Рукопись представлена КГУ.Деп в ВИНИТИ 28 марта 1977, №1197-77.

22. Крейчман М.М. Исследование прочности оболочек сложного очер- тания / М.М. Крейчман, В.Н. Мишин // Точные науки. Математика, механика:Сб. асп. работ /КГУ 1974.

23. Михайленко В.Е. Геометрия. Архитектура / В.Е. Михайленко, А.В. Кащенко - Киев. Буд1вэльнык, 1988г. 174 с.

24. Михайленко В.Е. Конструирование форм современных архитектур- ных сооружений / В.Е. Михайленко, Н. Ковалев- Киев: Буд1вэльнык, 1978. -112 с.

25. Монж Г. Приложение анализа к геометрии. - М.-Л.: ОНТИ, 1936. - 699 с.

26. Немировский Ю.В. Об оценках веса пластических оптимальных конструкщ1Й // Механика твердого тела. Известия вузов.-1988. -№4.

27. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. - Л.: Судпромгиз, 1958.

28. Отго Ф. Висячие покрытия. -М.: ГСИ, 1960. -179 с.

29. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов.- М.г Наука, 1983.- 392 с.

30. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования: Пер. с англ. -М.: Мир, 1987. -368 с.

31. Пульпинский Я.С. Оптимальное проектирование элементов вы- хлопной системы двигателя внутреннего сгорания // Материалы I Междунар.науч. - техн. конф. - Пенза, 2000. 33-36.

32. Пульпинский Я.С. Об одном новом виде оболочек катеноидного типа // Итоги строительной науки: Материалы Междунар. науч. - техн. конф. -Владимир, 2001. 20-21.

33. Пульпинский Я.С. Купол русской церкви как оболочка оптималь- ной формы // Труды Международного форума по проблемам науки, техники,образования. / Под редакцией В.П.Савиных, В.В.Вищневского-М.: Академиянаук о Земле, 2001. Том I. 95-97.

34. Пульпинский Я.С. Классификация поверхностей, обладающих экс- тремальными свойствами //Проблемы оптимального проектирования сооруже-НИИ: Сб. докл. rV-ro Всероссийский семинар. - Повосибирск: ПГАСУ.-2002. 302-311.

35. Пульпинский Я.С. Пекоторые задачи оптимизации формы оболочек вращения // Актуальные проблемы современного строительства: Сб. тр. 4.2.Строительные конструкции. - Пенза: ПГАСА, 2003. -С. 99-108132

36. Пульпинский Я.С. Новые формы оболочек вращения, обладающие экстремальными свойствами // Труды III Всероссийской конференции по тео-рии упругости с международным участием. Ростов-н/Д.: Новая книга, 2004. -С.С * 305-309.

37. Пульпинский Я.С. Оболочки вращения в виде расширенного семей- ства поверхностей Делоне // Труды XXI международной конференции по тео-рии оболочек и пластин. / Саратовский гос. тех. ун-т. -Саратов,: 2005. 186-191.

38. Рекач В.Г. Расчёт оболочек сложной геометрии / Рекач В.Г., Кри- вошапко Н. - М.; Изд-во УДН, 1988. -185 с.

39. Розен Р. Принцип оптимальности в биологии. - М.: Мир, 1969.215 с.

40. Сикорский Ю.С. Элементы теории эллиптических функций с при- "^ ложениями к механике.- М.-Л. ОНТИ, 1936.

41. Тарасевич H.R Математическое и компьютерное моделирование. А Вводный курс. - М.: Эдиториал УРСС, 2001.

42. Троицкий В.А, Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел.-М: Наука, Главная редакция физико - математической литературы, 1982.432с.

43. Фоменко А.Т. Топологические вариационные задачи. - М.: Изд - во МГУ, 1985.

44. Фурсова П.В. Экстремальные принципы в математической биоло- гии / П.В. Фурсова, А.П. Левич, В.Л. Алексеев // Успехи современной биоло-гии, 2003, том 123, № 2, с. 115-137133

45. Хадвигер Г. Легации об объёме, площади поверхности и изопери- метрии. Пер. с нем. -М.: 1966.

46. Черевацкий В.Б. Геометрические характеристики нодоидных и ун- дулоидньк оболочек //Прочность конструкций - Уфа, 1972, №32, 77-87.

47. Черевацкий В.Б. К вопросу изготовления некоторых новых форм оболочек // Динамика, прочность и долговечность деталей машин - Ижевск,1973,вып.2,С.86-91.

48. Черевацкий В.Б. Некоторые изоэпифанные задачи применительно к авиационным двигателям. Дис... канд. техн. наук: 05.07.02. - Рига. РИИГА.1967г., 257стр.

49. Черевацкий В.Б. Некоторые соображения об оболочках максималь- ной вместимости в стыке с конусом // Вопросы динамики и прочности: Труды/РКИИГА. - Рига: 1970. В. 158, 94-101

50. Черевацкий В.Б. Об оболочках максимальной вместимости // Во- просы динамики и прочности: Труды / РКИИГА. - Рига: 1970. В. 158, 102-107.

51. Черевацкий В.Б. Об одной изоэпифанной задаче //Вестник СНО. Естественные науки - Казань: КГУ, 1966. №3. 123 - 130.

52. Черевацкий В.Б. Теоретический и экспериментальный методы оты- екания оболочечных форм // Автомобильный и бездорожный транспорт - Ир-кутск, 1973. 169-178.

53. Черевацкий В.Б. К исследованию нодоидных и ундулоидных обо- лочек / В.Б. Черевацкий, A.M. Григорьев // Исследования по теории пластин иоболочек - Казань: КГУ, 1970. - Вып. VI-VII. - с.251-274.

54. Черевацкий В.Б. О расчёте днищ резервуаров / В.Б. Черевацкий, A.M. Григорьев //Прикладная механика - Киев, 1969, т.5, №10. 65-71.

55. Чернина B.C. Статика тонкостенных оболочек вращения. - М.: «Наука», Гл. ред. физ.-мат. лит.-ры, 1968. - 455 с.

56. Чирас А.А. Теория и методы оптимизации упруго - пластических систем / А.А. Чирас, А.Э. Бораускас, Р.П. Каркаускас - Л.: Стройиздат, 1974.134

57. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптималь- ного управления: Пер. с англ. - М.: «Мир»,1974.-488 с.

58. Bensimon D., Mutz М. Observation of toroidal vesicles. Phys. Rev. A, 43(8):4525-4527,1991

59. Desemo Markus. Elastic deformation of a fluid membrane upon colloid binding Phys. Rev. E 69,031903 (2004);

60. Delaunay C, Sur la surface de rerolution dont la lourbure moyenne est )j comtante. J. Math, Pures et appl. Ser. 1 (6) (1841), 309-320. With a note appendedby M. Sturm.

61. Dorfineister J. and Паак G., Construction of non-simply connected CMC ^ surfaces via dressing, J. Math. Soc. Japan, 55 (2003), no. 2,335-364.135

62. Dorfineister J., Pedit F., and Wu H., Weierstrass type representation of harmonic maps into symmetric spaces, Comm. Anal. Geom. 6 (1998), no. 4,633-668.

63. Eells J., The surfaces of Delaunay, Math. Intelligencer 9 (1987), 53-57.

64. Fourcade В., Mutz M., and D. Bensimon. Experimental and theoretical study of toroidal vesicles. Phys. Rev. Lett., 68(16):2551-2554,1992.

65. Helfidch. W. Elastic properties of lipid bilayers: theory and possible ex- periments. Z. Naturforsck, 28c (1973) 693-703.

66. Helfrich W, Deuling H.J. The curvature elasticity of fluid membranes: a catalog of vesicle shapes. J. Phys. France, 37:1335-1345,1976.

67. Helfrich W, Deformation of Lipid Bilayer Spheres by Electric Field, Z.Naturforsch. 29c (1974) 182-183.

68. Kilian M., Constant mean curvature cylinders, Ph.D. thesis, Univ. of Massachusetts, Amherst, 2000.

69. Kilian M., Mclntosh L, and Schmitt N., New constant mean curvature surfaces. Experiment. Math. 9 (2000), no. 4,595-611.

70. Kilian M., Schmitt N., and Sterling L, Dressing CMC n-Noids, Math. Z. 246 (2004), no. 3,501-519.

71. Koiso Miyuki. On the surfaces of Delaunay// Kioto kyoiku daigaku kiyo=Bull. KyokoUniv. Educ.-Ser.B, No 97. - P.13-33 (яп) (библ.: 4 назв)

72. Korevar N., Kusner R., and Solomon В., The structure of complete em- bedded surfaces with constant mean curvature, J. Diff. Geom. 30 (1989), no. 2,465-503.

73. Mclntosh L, Global solutions of the elliptic 2d periodic Toda lattice, Nonlinearity 7 (1994), no. 1,85-108. MR 95g:58108

74. H. Naito, M. Okuda, Z. Ou-Yang. New Solutions to the Helfrich Varia- tion Problem for the Shapes of Lipid Bilayer Vesicles:Beyond Delaunay's Surfaces//Physical Review Letters. Vol 74, No 21 (May 1995), P. 4345-4348.

75. Peterson M. The Red Blood Cell Shape. // J. Diff. Geom. 30 (1989), no. 3,565-573.

76. Smyth В., A generalization of a theorem of Delaunay on constant mean curvature surfaces, IMA Vol. Math. Appl. 51 (1993), 123-130.136

77. Tompson D'Arcy. On Growth and form. - London, 1917.

78. Wilhelm Т., Bruggemann R. Goal functions for the development of natu- ral systems // Ecological Modelling. 2000. V. 132. P. 231.

79. Yates R.C. The Description of a surface of constant curvature. - Amer. Math. Mothly, 1931.