автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование нелинейных деформаций гибких элементов конструкций с учетом контакта

На правах рукописи

КУЧЕРЯВЕНКО Дмитрий Григорьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ГИБКИХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ КОНТАКТА

Специальность 05.13 18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 2005

Работа выполнена в Тюменском государственном нефтегазовом университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

ЯКУШЕВ Владимир Лаврентьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Ширко Игорь Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент

Баженов Александр Михайлович

Ведущая организация:

ОАО ГипроТюменьнефтегаз

Защита состоится «29» июня 2005 года в 15 часов 00 мин. на заседании Диссертационного совета Д.212.156.02 при Московском физико-техническом институте (Государственном университете) по адресу: 141700, г. Долгопрудный, Московская область, Институтский пер., д. 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (Государственного университета).

Автореферат разослан «2?_» _2 Р5 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д.212.156.02,

доктор физико-математических наук Лобанов А. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Использование гибких элементов (типа сильфонов, оболочек при больших перемещениях) в различных узлах современной техники, включая конструкции и агрегаты нефтяной и газовой отрасли, позволяет наиболее эффективно решать ряд проблем, таких как, например, сопряжение жестких конструкций, измерение давления, возможность работы при большом количестве циклов нагружения. Это обуславливает необходимость разработки уточненных методов их расчета. Наилучшие результаты получаются при использовании геометрически нелинейной теории, однако, при решении таких задач возникают значительные трудности, связанные с неоднозначностью решений, наличием особых точек, плохой обусловленностью систем линейных алгебраических уравнений. Поэтому разработка эффективных численных методов для решения указанных выше задач весьма актуальна.

При решении задач устойчивости может возникнуть потребность учета взаимодействия оболочки либо с препятствием (жестким или имеющим свой закон деформирования), либо с другой деформируемой оболочкой или с другой частью этой же оболочки. В таком случае необходимо определять ее форму с учетом контактного взаимодействия и вычислять дополнительное давление в зоне контакта. Это требует усложнение алгоритма расчета нелинейных деформаций и устойчивости оболочек.

При квазистатическом нагружении для устойчивых ветвей можно пренебречь компонентами, зависящими от вязких и динамических сил. Часто и переходной процесс рассматривается как статический, при котором этими компонентами так же пренебрегают, а внешняя нагрузка становится неизвестной величиной, в этом случае приходится следовать вдоль статической кривой деформирования, выбирать независимые параметры решения и искать способы обхода особых точек.

При построении алгоритмов решения нелинейных задач деформирования и устойчивости оболочек можно пойти и по другому пути - пренебречь кинетической составляющей, оставив при этом вязкую как для устойчивых ветвей, так и для переходного процесса. Этот метод носит название метода дополнительной вязкости (В. Л. Якушев. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек). Вязкость в этом случае может рассматриваться не как реальное свойство материала, а как средство для получения непрерывного решения во времени при переходном процессе. Такой подход дает ряд вычислительных преимуществ, поскольку решение зависит только от одного параметра - времени, нет необходимости искать способы обхода особых точек, а на каждом временном слое рассматривается линейная эллиптическая задача, методы решения которой достаточно хорошо разработаны. Можно построить единый итерационный процесс для расчета нелинейных деформаций и устойчивости тонкостенных элементов, хорошо сходящийся около особых точек и позволяющий по единому алгоритму провести расчет нелинейных деформаций оболочки, устойчивых до- и закритических состояний, верхних и нижних критических нагрузок.

Цели и задачи диссертационной работы. Разработка комплекса алгоритмов и программ для численного моделирования нелинейных деформаций гибких конструкций. Вычислительный комплекс проектировался для расчета сварных сильфонов различной сложности и устойчивости полусферических оболочек с учетом контакта.

Научная новизна работы.

1. Предложены математические модели для расчета сварных сильфонов с учетом контактного взаимодействия;

2. Создан вычислительный комплекс для решения нелинейных задач деформаций гибких конструкций с учетом контактного взаимодействия. В нём реализованы технологии распараллеливания составляющих его

вычислительных алгоритмов.

Научная и практическая ценность работы. Разработанный вычислительный комплекс может использоваться для решения широкого круга научно-практических задач. В частности, для расчета сильфонов различных типов с учетом контактного взаимодействия, разработки алгоритмов решения контактных задач.

Апробация результатов работы. Материалы, отражающие содержание диссертационной работы опубликованы в работах [1 - 4], а так же докладывались на следующих научных конференциях:

1. На ХЬ\Т научной конференции МФТИ (Москва, 2003);

2. На региональной научно-практической конференции ТГНГУ "Информационные технологии в образовании", (Тюмень, 2004).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы. Диссертация изложена на 90 страницах, включает 5 таблиц и 25 рисунков. Список литературы содержит 80 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, кратко излагается содержание диссертации, указывается ее научная новизна, сформулированы цели и задачи, предлагается классификация сильфонов, формулируются основные результаты работы.

В первой главе подробно изложены математические модели для расчета гибких конструкций. Выполнен обзор работ по теме исследований.

Далее в системе координат рассмотрена осесимметрично

нагруженная оболочка вращения толщины //, срединная поверхность которой

получена в результате вращения плоской кривой х = *($), ,у = .у(л) относительно оси у (рис. 1).

Координаты срединной поверхности х,у, угол наклона <р между касательной к срединной поверхности и осью х, радиусы кривизны в меридиональном г, и в окружном гг направлениях являются известными функциями длины дуги срединной линии 5. Соответствующие величины в недеформированном состоянии отмечаются индексом "ноль". Нормаль к срединной поверхности направим так, чтобы касательная и нормаль составляли правую систему координат.

Деформации на расстоянии г по нормали от срединной поверхности вдоль меридиана с,, и в окружном направлении ее на основании гипотез Кирхгофа-Лява равны

$0

$

Рис. 1. Начальное и конечное состояние оболочки вращения

— €1 £д — ¿2 ~

■1>

в

•2>

(1)

п Г„

10

X

втр-вт^,,

(2)

Координаты срединной поверхности в деформированном состоянии определяются уравнениями

Кроме того, должны выполняться условия совместимости деформаций:

(4)

В слагаемых типа не всегда можно приближенно принимать Это следует делать, каждый раз производя соответствующие оценки. Рассмотрим, например, некоторые варианты деформирования оболочки. Предварительно введем величины

Найдем производные по от этих величин:

(6)

Далее рассмотрим деформацию цилиндрической оболочки, с параллельной оси у образующей, под действием равномерно распределенных по торцу растягивающих продольных сил, для участка оболочки которой выполняются условия Тогда из второго уравнения (6) следует

Рассмотрим другой вариант - продольную деформацию круглой пластинки, в ее центре И на основании первого соотношения (6)

будет ¿Дх/Л0 = е,.

Оба вывода справедливы, но если бы в (2) с самого начала было бы принято, что то в обоих рассмотренных случаях получилось бы

что неверно.

Вообще, пренебрежение какими-либо членами в уравнениях при современном развитии численных методов и вычислительной техники, как правило, выигрыша не дает, но может привести к серьезным ошибкам или сужению области применения уравнений.

Уравнения равновесия в случае немалых смещений и углов поворота записываются для деформированного состояния следующим образом:

(7)

где - поперечная сила, - нормальные силы, - изгибающие

моменты, - соответственно касательная и нормальная к срединной

поверхности составляющие внешней распределенной нагрузки.

В случае упругих деформаций связь между силовыми факторами, деформациями и кривизнами срединной поверхности определяется соотношениями

(8)

где Е - модуль упругости, V - коэффициент Пуассона.

Разрешающая система уравнений для нелинейных деформаций оболочки может быть построена следующим образом. Силовые факторы Л^, Мр, Ме в уравнениях равновесия (7) выражались через деформации и кривизны из (8), а производные <1ег1сЬ и <Л2Д& - из условий (8). К преобразованным таким образом уравнениям добавлены выражения (3). В результате получена система из шести нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка вида

¿Ф

-+в=о,

(9)

(11)

Эти уравнения должны быть дополнены граничными условиями. Причем на каждом из краев оболочки должны быть заданы по три граничных условия. В ряде случаев уравнение для у может решаться отдельно от остальных. Тогда для оставшихся пяти уравнений на одном из краев задаются три условия, а на другом - два.

Выражение для е2 и кг из (2) условия совместимости деформаций (4) и уравнения равновесия (7) имеют особенность типа 0/0 при *о-»0. Найдем пределы этих выражений. Предположим,

Для разрешения особенностей воспользуемся правилом Лопиталя:

(13)

Отсюда, из выражения для к2 (2) и второго выражения для совместности деформаций (4), следует

(14)

Аналогичным образом могут быть найдены и пределы для уравнений равновесия

В случае, если в центре при лг0=0, р, = 0 отсутствует сосредоточенная сила, т.е., (2, = 0, тогда из двух последних уравнений (15) с учетом (8) следует

(2 + »)4а.+(2» -1)^5. = О, (2 + + (2у-1)^- = 0.

(16)

Наряду с этими выражениями должны выполняться два последних условия из (14). Это возможно только (при у#-3/4), если

(17)

Во второй главе приведен алгоритм расчета нелинейных деформаций гибких конструкций с учетом контакта. Сейчас известен ряд алгоритмов для решения контактного взаимодействия деформируемых тел. Метод расчета существенно упрощается, если в зоне контакта используются совпадающие (согласованные) сетки. Но в общем случае рассчитывать на совпадение сеток не приходится.

Чтобы упростить вычисления и реализовать схему "сквозного счета" без явного определения зоны контакта, был использован метод, основанный на введении силы дальнодействия ( с: модулем /, действующей на элемент оболочки аЬ (со стороны участка препятствия ей, находящегося на расстоянии г от аЬ) и направленную вдоль вектора г (рис. 2):

(18)

Здесь и Дт^, - длины участков аЪ и ей соответственно, -постоянные, т и / - целые числа, т>1, г0 - расстояние между участками до нагружения. В дальнейшем будем считать, что - шаг вдоль

срединной поверхности при конечно-разностной аппроксимации около узла с номером /. На рис. 2 п- вектор единичной нормали, - вектор единичной касательной к срединной поверхности оболочки и - угол между осью и касательной г.

Рис. 2. Взаимодействие двух участков оболочки

Оси х, и у, являются локальными для данной точки А на оболочке и параллельны глобальным декартовым осям х и у.

Обозначим через Ь характерный размер оболочки, а через Р^ - верхнее критическое давление, - средний шаг для конечно-разностной

аппроксимации. Выберем постоянные так, чтобы при давление

Это условие должно выполняться при

(19)

К ••< Гст

Когда г 0, то со. При этом

Д*

(20)

Я/ОУ^)

Таким образом, на расстояниях, сравнимых с Ь, дополнительная сила f будет мала и на деформацию оболочки не повлияет. Наоборот, при малых расстояниях участка оболочки от препятствия резко возрастает, обеспечивая непроникновение оболочки в препятствие.

При вычислениях дополнительного (контактного) давления на оболочку, учитываем только проекцию силы f на вектор нормали к срединной

поверхности п и предположим, что давление равномерно распределено по участку Д$,. Тогда

(21)

На практике алгоритм вычисления Ре выглядел следующим образом. Пусть / - номер рассматриваемого узла на срединной поверхности оболочки, а j - номер узла на препятствии, г - расстояние между ними. Путем перебора узлов на препятствии определялось минимальное отношение гч/гач . Затем по узлам на препятствии с номерами расстояния от которых до узла /

на оболочке равны, соответственно, строилась аппроксимирующая

парабола и исчислялось уточненное значение г для которого г/г0 минимально. Далее из соотношений (18) и (21) окончательно находилось контактное давление.- Эта процедура выполнялась для всех узлов / на поверхности оболочки.

Принцип использования алгоритма проиллюстрирован на примере исследования осесимметричной устойчивости упругой сферы под действием равномерного внешнего давления в работе Феодосьева (В. И. Феодосьев. Осесимметричная эластика сферической оболочки). Все расчеты были проведены при R/h = 100, где R - радиус сферы, Л - ее толщина. В указанной работе предполагалось, что верхняя и нижняя половина сферы деформируются симметрично относительно экватора. При этом в упомянутой работе считалось, что обе половины между собой не контактируют и свободно, без всякого взаимодействия, проникают друг в друга. Фактически, для решения подобной проблемы достаточно рассмотреть устойчивость полусферы, жестко закрепленной на основании, совпадающем с экваториальной плоскостью.

При исследовании потери устойчивости с учетом контакта между половинами сферы наблюдается иная картина деформирования. В силу симметрии относительно плоскости экватора достаточно рассмотреть устойчивость верхней полусферы при запрещении перемещений ниже

плоскости основания в условиях жесткого закрепления по контуру. Ввиду того, что основание не меняет своего положения и расположено горизонтально (рис. 3), соотношение (18) и (21) могут быть упрощены:

=л

со $<р, г=у, г0=у0.

(22)

Рис. 3

У

X

По-прежнему 5 - координата, отсчитываемая вдоль срединной поверхности, ] = 0 - соответствует полюсу оболочки ^ = = - ее экватору,

расположенному на основании при

Было рассмотрено два варианта задания постоянных в уравнении (18), в обоих из них предполагалось / = /;/, т.е. в полиноме бралось только по одному члену. В первом было принято / = 1 при g,= 1 и £ = 0,05, во втором - 1 = 2 при g2=1 и к = 0,0007.

На рис. 4 показана зависимость между давлением Р и относительным вытесненным объемом V.

Рис. 4. Зависимость между давлением Р и относительным вытесненным объемом V при деформации полусферы с учетом контакта с основанием

Штриховая линия соответствует свободному перемещению полусферы без взаимодействия с основанием, сплошная линия — при контакте с основанием. Давление Р изменялось пошагово с неравномерным шагом, значения V, полученные после окончания итераций, показаны кружками. В обоих случаях значения Р были одинаковыми. Давление вначале увеличивалось, а затем уменьшалось. Были найдены устойчивые докритические и закритические формы, верхняя и нижняя критические нагрузки. На правой вертикальной оси отложено давление при обезразмеривании Найденное в ней

верхнее критическое давление равно 0,61.

Изменение формы полусферы при увеличении давления представлено на рис. 5, а, при уменьшении давления - на рис. 5, б. Штриховыми и штрих-пунктирными линиями даны промежуточные формы при потере устойчивости, первые соответствуют свободному перемещению полусферы, вторые -наличию контакта с основанием.

б)

Рис. 5. Формы полусферы при деформации с учетом контакта с основанием, а - активное

нагружение, б - разгрузка

Сплошной линией показана устойчивая закритическая форма. Распределению контактного давления Рс для этого момента соответствует сплошная линия на рис. 6, здесь же штриховой линией в координатах х-у дана закритическая устойчивая форма.

Рис 6 Распределение контактного давления и форма оболочки для устойчивого состояния

после потери устойчивости

При разгрузке оболочка вначале монотонно меняет свою форму без потери устойчивости, но затем "скачком" переходит в устойчивое докритическое состояние.

В главе 3 приведен расчет сварных сильфонов. Сильфоны являются распространенными элементами различных конструкций, позволяющими получать значительные перемещения в пределах упругости, обеспечивают герметичность и могут работать при большом количестве циклов нагружения. В последние годы все большее применение находят сильфоны, изготовленные из штампованных кольцевых мембран В этом случае удается достигнуть большой глубины гофрирования при сравнительно простой технологии изготовления. В используемых уравнениях не накладываются ограничения на перемещения и углы поворота срединной поверхности

Алгоритм, приведенный в предыдущей главе, был реализован программно. На его основе была решена задача о расчете сварного сильфона с косинусоидальной гофрировкой. Схема такого сильфона показана на рис. 7.

Рис.7. Схема сварного сильфона с косинусоидальной гофрировкой

Каждая мембрана представляет собой кольцевую гофрированную пластину. Все пластины соединены между собой сваркой по внешнему и внутреннему радиусам. Сильфон прикреплен к недеформируемому основанию и имеет жесткое днище. Длина сильфона в ненагруженном состоянии равна I.

Внутрь сильфона подается газ под давлением Р. В результате деформации пластин его длина начинает увеличиваться. При некотором давлении Рх днище сильфона достигает преграды. После этого при увеличении давления его длина остается неизменной. Таким образом, для каждой мембраны будут существовать 2 типа граничных условий (рис. 8).

Первый тип, когда Р < Рх:

В этом случае считается, что внешний край мембраны не имеет смещения в направлении оси у. Сила ^ на внутреннем краю появляется за счет действия остальных мембран.

Второй тип, когда Р^Р^.

Рис.8. Граничные условия для мембраны

Число пластин было равно N-30. Внутренний радиус Л, =7,1 мм, внешний д2=15 мм. Толщина каждой пластины Л = 0,1 мм. Амплитуда отклонений по оси у, Н = 0,5 мм. Сильфон нагружался внутренним давлением Р до 1,3 атм. Изменение длины сильфона по оси было ограничено величиной 8 = 5 мм.

Координата у срединной поверхности задавалась как функция:

у = Нсо%{ах+Ь), (25)

где а и Ь определялись из условий:

(26)

(27)

Окончательный вид формулы (25) записывается следующим образом:

Угол наклона <р срединной поверхности к оси х равен:

¿у

(р - аг— = -агс^ (к

5 яН

5л

К,-Я,

(х-Л,)

(28)

Длина вдоль срединной поверхности 5 определяется путем численного интегрирования:

При этом считалось, что при х = Я1, 5 = О. Производная по 5 находилась аналитически:

(30)

Расчетные точки располагались через равные расстояния по оси х. В этом случае шаг по 5 при интегрировании оказывался неравномерным.

Распределение функций /р,у и — в зависимости от координаты И-- х

Я,-Я,

дается на рис. 9.

Рис. 9. Распределение функций

ск„

Причем у и 5 обезразмерены следующим образом:

Используя метод, описанный выше, был проведен полный расчет напряженно-деформированного состояния одной пластины сильфона (рис. 8). Результаты расчетов приведены в диссертационной работе.

В главе 4 приведен расчет вытеснительной емкости для жидкости (рис. 10). Она представляет собой цилиндрический бак, внутри которого находится стальной сильфон со сферическим резиновым днищем МЫ. На первом этапе жидкость закачивается через трубу А внутрь сильфона, который расширяется и

В !

А !

Рис. 10. Вытеснительная емкость для жидкости

заполняет практически весь объем бака. На втором этапе, являющемся основным, через трубу В в бак подается газ под давлением. В результате сильфон сжимается и жидкость вытекает из трубы А в расходную магистраль. Второй этап заканчивается, когда пластины сильфона практически полностью сжимаются, а резиновое днище Л/Л прогибается до соприкосновения со стальным сферическим сегментом LK. Жидкость при этом практически полностью вытесняется из сильфона.

Подобная конструкция емкости для жидкости обеспечивает герметичность, предотвращает образование газообразной фазы в жидкости и имеет хорошее отношение веса конструкции к объему вытесненной жидкости.

С точки зрения расчета на прочность наиболее сложными элементами конструкции являются сильфон и резиновое днище. Одновременно определяется необходимый перепад давления для выталкивания жидкости без учета гидродинамического сопротивления. Результаты расчетов сильфона и резинового днища приведены в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Предложены математические модели, описывающие нелинейные деформации гибких конструкций с учетом контактаЕ

2. Разработан комплекс программ для расчета сильфонов различной сложности;

3. Произведен расчет сварного сильфона, а так же вытесняющей емкости для жидкости.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кучерявеико Д. Г., Якушев В. Л. Решение нелинейной задачи устойчивости тонких оболочек методом конечных 'элементов. / Вестник

кибернетики. — М.: 2004. — № 3 — С. 37-42.

2. КучерявепкоД. Г., Якушев В. Л. Расчет сильфонов с учетом геометрической нелинейности. / Вестник кибернетики. — М: 2005. — № 4. — С. 23-34.

3. Кучерявепко Д. Г., Якушев В. Л. Решение нелинейной задачи устойчивости тонких оболочек методом конечных элементов. // Труды ХЬУГ научной конференции Московского физико-технического института (государственного университета). Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть X. — М: МФТИ, 2003. — С. 30-31.

4. Кучерявепко Д. Г., Якушев В. Л. Решение нелинейной задачи устойчивости тонких оболочек методом конечных элементов. / Информационные технологии в образовании. Региональная научно-практическая конференция. Тюмень, 12-15 мая 2004 г. — Тюмень, ТюмГНГУ, 2004. — С. 33-35.

КУЧЕРЯВЕНКО Дмитрий Григорьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ГИБКИХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ КОНТАКТА

Формат 60x84 1 /1 <3 Бумага офсет» I ля Печать офсетная Уел иеч д 1,5 Тираж 70 эм Заказ Кг

Московский фкзико технический инстит\т Отдел автоматизированных шла сельских систем 14)700 Мосьонская обт , г Долгопр\дный Инстнт\тскин и«.р 9

^ r *

7

11 июл 2005

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОД ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ВЯЗКОСТИ

ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ГИБКИХ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ КОНТАКТА

2.1 Сравнительный анализ различных методов

2.2 Уравнения нелинейного деформирования оболочек вращения

2.3 Метод реологической вязкости для исследования потери устойчивости оболочек вращения

2.4 Устойчивость оболочек с учетом пластических деформаций

2.5 Устойчивость полусферических оболочек----------------------------------------------------49 •

2.6 Устойчивость с учетом контактного взаимодействия

ГЛАВА 3. РАСЧЕТ СВАРНЫХ СИЛЬФОНОВ

3.1. Расчет сильфона с косинусоидальной гофрировкой мембран

ГЛАВА 4. РАСЧЕТ МЕМБРАН СИЛЬФОНОВ РАЗЛИЧНОГО ПРОФИЛЯ

4.1 Расчет сильфонов с учетом контакта между мембранами и жесткими вставками —

4.2 Расчет вытеснительной емкости

Актуальность работы. В настоящее время методы исследования в естественных науках существенно обогатились. Там где сложно, дорого или вообще невозможно производить физический эксперимент, прибегают к математическому моделированию. И, если раньше моделирование ограничивалось только аналитическими методами, то с появлением вычислительной техники появился новый способ исследования -вычислительный эксперимент. То, что невозможно получить аналитически, зачастую легко моделируется на ЭВМ. Кроме того, вычислительный эксперимент гораздо дешевле физического, а если требуется серия исследований, то применение ЭВМ становится еще более привлекательным. Особенно вычислительный эксперимент необходим там, где есть угроза жизни человека. С помощью вычислительного эксперимента можно смоделировать поведение опасного объекта в различных условиях, дать практические рекомендации обеспечения для условий безопасной работы и т.д.

Большинство задач механики невозможно решить явно в аналитическом виде. Связано это с нелинейностью рассматриваемых уравнений. Сложности также встречаются на пути формализации задачи и построения математической модели, поскольку физическая постановка задачи не всегда формализована и может включать множество дополнительных факторов. Адекватность построенной модели и использованных методов моделирования должны проверяться путем сравнения с результатами экспериментов, других расчетов, аналитических выкладок.

Модели в основном строятся как численное решение дифференциальных уравнений в частных производных. Для решения таких задач используется численное моделирование. При численном моделировании осуществляется переход от непрерывной модели, выражающейся в записи исходной системы дифференциальных уравнений и граничных условий, к дискретной модели, представляющей собой систему алгебраических уравнений большой размерности, получаемую на основе различных разностных схем исследуемых уравнений. В дискретных моделях дифференцирование заменяется разностными операторами, интегрирование -суммированием и т.д.

В данной работе приводятся методы и алгоритмы для расчета гибких . элементов. Использование гибких элементов (типа сильфонов, оболочек при больших перемещениях) в различных узлах современной техники, включая конструкции и агрегаты нефтяной и газовой отрасли, позволяет наиболее эффективно решать ряд проблем, таких как, например, сопряжение жестких конструкций, измерение давления, возможность работы при большом количестве циклов нагружения. Это обуславливает необходимость разработки уточненных методов их расчета. Наилучшие результаты получаются при использовании геометрически нелинейной теории, однако, при решении таких задач возникают значительные трудности, связанные с . неоднозначностью решений, наличием особых точек, плохой обусловленностью систем линейных алгебраических уравнений. Поэтому разработка эффективных численных методов для решения указанных выше задач весьма актуальна.

При решении задач устойчивости может возникнуть потребность учета взаимодействия оболочки либо с препятствием (жестким или имеющим свой закон деформирования), либо с другой деформируемой оболочкой или с другой частью этой же оболочки. В таком случае необходимо определять ее форму с учетом контактного взаимодействия и вычислять дополнительное давление в зоне контакта. Это требует усложнение алгоритма расчета нелинейных деформаций и устойчивости оболочек.

При квазистатическом нагружении для устойчивых ветвей можно пренебречь компонентами, зависящими от вязких и динамических сил. Часто и переходной процесс рассматривается как статический, при котором этими компонентами так же пренебрегают, а внешняя нагрузка становится неизвестной величиной, в этом случае приходится следовать вдоль статической кривой деформирования, выбирать независимые параметры решения и искать способы обхода особых точек.

При построении алгоритмов решения нелинейных задач деформирования и устойчивости оболочек можно пойти и по другому пути -пренебречь кинетической составляющей, оставив при этом вязкую как для устойчивых ветвей, так и для переходного процесса. Этот метод носит название метода дополнительной вязкости (Якушев B.JI. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек). Вязкость в этом случае может рассматриваться не как реальное свойство материала, а как средство для получения непрерывного решения во времени при переходном процессе. Такой подход дает ряд вычислительных преимуществ, поскольку решение зависит только от одного параметра - времени, нет необходимости искать способы обхода особых точек, а на каждом временном слое рассматривается линейная эллиптическая задача, методы решения которой достаточно хорошо разработаны. Можно построить единый итерационный процесс для расчета нелинейных деформаций и устойчивости тонкостенных элементов, хорошо сходящийся около особых точек и позволяющий по единому алгоритму провести расчет нелинейных деформаций оболочки, устойчивых до- и закритических состояний, верхних и нижних критических нагрузок.

Цели и задачи диссертационной работы. Разработка комплекса алгоритмов и программ для численного моделирования нелинейных деформаций гибких конструкций. Вычислительный комплекс проектировался для расчета сварных сильфонов различной сложности и устойчивости полусферических оболочек с учетом контакта.

Научная новизна работы.

1. Предложены математические модели для расчета сварных сильфонов с учетом контактного взаимодействия; 2. Создан вычислительный комплекс для решения нелинейных задач деформаций гибких конструкций с учетом контактного взаимодействия.

В нём реализованы технологии распараллеливания составляющих его . вычислительных алгоритмов.

Научная и практическая ценность работы. Разработанный вычислительный комплекс может использоваться для решения широкого круга научно-практических задач. В частности, для расчета сильфонов различных типов с учетом контактного взаимодействия, разработки алгоритмов решения контактных задач.

Апробация результатов работы. Материалы, отражающие содержание диссертационной работы опубликованы в работах [30 - 33], а так же докладывались на следующих научных конференциях:

1. На XLVI научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Москва, 2003);

2. На региональной научно-практической конференции ТюмГНГУ "Информационные технологии в образовании", (Тюмень, 2004).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы. Диссертация изложена на 90 страницах, включает 5 таблиц и 25 рисунков. Список литературы содержит 80 наименований.

Заключение

Среди новых результатов, полученных автором диссертации, можно отметить следующие результаты:

1. Разработаны математические модели для расчета сварных сильфонов с учетом контактного взаимодействия.

2. Созданы численные алгоритмы и их программная реализация для решения нелинейных задач деформаций гибких элементов конструкций с учетом контактного взаимодействия.

3. Проведено численное моделирование нелинейных деформаций сварного сильфона с косинусоидальной гофрировкой мембран.

4. Проведено численное моделирование нелинейных деформаций сильфона и резинового днища вытеснительной емкости.

5. Проведено численное моделирование нелинейных деформаций сильфона с жесткими вставками.

1. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Численный метод решения геометрически нелинейных задач для упругопластических оболочек вращения // Строит, механика и расчет сооружений. 1976. — № 5. — С. 44-49.

2. Валишвши Н.В. Неосесимметричное деформирование и устойчивость пологих оболочек вращения // Теория пластин и оболочек. — М.: Наука,1971. — С.22-28.

3. Валишвши Н.В., Стегний В.Н. О формах равновесия пологих сферических оболочек. / Изв. АН СССР, МТТ. 1968. — № 6. — С. 131— 137.

4. Власов В.З. Избр. труды. Т. I, ч. III. — М.: АН СССР, 1962.

5. Власов В.З. Общая теория оболочек. — М.: Гостехиздат, 1949.

6. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. СПб: БХВ-Петербург, 2002.

7. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. — М.: Наука,1972.

8. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. — М.: Наука, 1967.

9. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. — М.: Наука, 1989.

10. Ворович И.И., Александрова В.М. Механика контактных взаимодействий. Сборник статей. — М.: ФИЗМИТЛИТ, 2001. 672 с.

11. Ворович И.И., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задачтеории упругости методом перехода к задаче Коши // ПММ. Т. 29. 1965.1. С. 694-901.

12. Ворович И.И., Минакова Н.И. Проблема устойчивости и численные методы в теории оболочек // Итоги науки. Механика. — М.: ВИНИТИ, 1973. Т.7.— С. 5-86.

13. Ворович ИИ, Минакова Н.И. Устойчивость непологого сферического купола // ПММ. 1968. Т.32, вып. 2.

14. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). — М.: Наука, 1977.

15. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. — М.: Наука, 1978.

16. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Механика деформирования сферических оболочек. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.

17. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Механика деформирования сферических оболочек. —М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.

18. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. — М.: Наука. Физматлит, 1997.

19. Григолюк Э.И., Мамай В.И. О методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши // Прикл. пробл. прочн. и пластичн. 1979. — № 11.1. С. 3-19.

20. Григолюк Э.И., Мамай В.И., Фролов А.Н. Исследование устойчивости непологих сферических оболочек при конечных перемещениях на основе различных уравнений теории оболочек // Изв. АН СССР, МТТ. 1972. —№5. —С. 154-165.

21. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. Киев: Вища шк., 1983.

22. Зайцев Б.Н., Ширко И.В., Якушев В.Л. Исследование устойчивости цилиндрической панели методом дополнительной вязкости // Вопросы гидродинамики, аэрофизики и прикладной механики / МФТИ. — М., 1985. —С. 88-92.

23. Зайцев Б.Н., Якушев B.JI. Решение двумерных задач о потереустойчивости оболочек методом реологической вязкости // Современные вопросы гидродинамики, аэрофизики и прикладной механики / МФТИ. — М., 1986. —С. 67-74.

24. Зубчанинов В.Г. Актуальные проблемы теории пластичности и устойчивости // Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела. Материалы III симпозиума. Тверь: ТвеПИ, 1992. —С. 10-94.

25. Ильюшин А.А., Толоконников JI.A. Развитие теории устойчивости и пластичности в трудах Тверской школы // Актуальные проблемы теории пластичности и устойчивости. Межвуз. науч. сб. Тверь: ТвеПИ, 1991. — С. 3-28.

26. Корнейчук Л.Г. Устойчивость неупругих сферических оболочек нагруженных равномерным распределенным внешним давлением. Деп. рук. / ДЕП ВИНИТИ, — № 243-76.

27. Королев В.И. Упруго-пластические деформации оболочек. — М.: Маш-ние, 1970.

28. Кузнецов В.В., Левяков С.В. Исследование нелинейных деформаций и устойчивости форм равновесия для оболочек вращения при больших перемещениях//ДАН. 1997. Т. 357, —№3. —С. 187-190.

29. Кучерявенко Д. Г., Якушев В. Л. Расчет сильфонов с учетом геометрической нелинейности. / Вестник кибернетики. — М.: 2005. — №4. —С. 23-34.

30. Кучерявенко Д. Г., Якушев В. Л. Решение нелинейной задачи устойчивости тонких оболочек методом конечных элементов. / Вестник кибернетики. — М.: 2004. — № 3 — С. Ъ1-А2.

31. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Начала теории вычислительных методов. Дифференциальные уравнения — Минск.: Наука и техника, 1982.

32. Лохов Г.М., Подзоров С.И., Щенников В.В. Методы численного исследования жестких систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва, 1997.

33. Срубщик Л.С. Нелинейный анализ устойчивости непологих оболочек вращения методом матричной прогонки // Гидромеханика и теория упругости. 1980. —Вып. 26. —С. 155-159.

34. Угодников А.Г., Коротких Ю.Г., Капустин С.А., Сайков Е.И., Паутов А.Н. Численный анализ квазистатических упругопластических задач оболочек и пластин // Тр. IX Всес. конф. по теории оболочек и пластин, 1973. — Л.: Судостроение, 1975. — С. 334-340.

35. Феодосъев В.И. Об одном способе решения нелинейных задач устойчивости деформируемых систем // ПММ. 1963. Т. 27, вып. 2. — С. 265-274.

36. Феодосъев В.И,. Осесимметричная эластика сферической оболочки // ПММ. 1969. Т. 33, вып. 2. — С. 280-286.

37. Шевелев Л.П. Основы теории устойчивости оболочек за пределом упругости. — JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982.

38. Шилькрут Д.И. Некоторые задачи нелинейной теории оболочек и пластин. Кишинев, РИО АН Молд. ССР. 1967.

39. Шилькрут Д.И, Вырлан П.М. Устойчивость нелинейных оболочек. Кишинев: Штиница, 1977.

40. Ширко И.В., Якушев B.JT. Физически и геометрически нелинейные деформации оболочек вращения // Изв. АН СССР, МТТ. 1975. — № 6. — С. 103-109.

41. Якушев B.JI. Вопросы оптимизации и системный подход к задачам проектирования и технологии. Решение задач о потере устойчивости оболочек вращения. Госбюджетный отчет. № гос. регистрации 79039155. Инв. № В767963. МФТИ, 1978.

42. Якушев В.Л. Вопросы оптимизации и системный подход к задачам проектирования и технологии. Решение задач о потере устойчивости оболочек вращения. Госбюджетный отчет. № гос. регистрации 79039155. Инв. № Б820424. МФТИ, 1979.

43. Якушев В.ЛИзменение частот линейных свободных колебаний при нелинейном деформировании и потере устойчивости сферического купола // Прикладные задачи механики сплошной среды и геокосмической физики / МФТИ. — М., 1988. — С. 76-81.

44. Якушев В.Л. Исследование симметричных и несимметричных форм потери устойчивости фермы Мизеса методом дополнительной вязкости // Прикладные задачи аэромеханики и геокосмической физики / МФТИ. — М., 1991. —С. 80-88.

45. Якушев В.Л. Математическое моделирование нелинейной устойчивостипологих сферических куполов: сравнение теории и эксперимента. Математическое моделирование: Проблемы и результаты. — М.: Наука, 2003. —С. 358-383.

46. Якушев В.Л. Математическое моделирование нелинейных деформаций и устойчивости тонких оболочек // ДАН. 1997. Т. 357, — № 3. — С. 346349.

47. Якушев B.JI. Метод реологической вязкости для исследования потери устойчивости оболочек при пластическом деформировании // Вопросы механики сплошной среды в геокосмических исследованиях. — М.: МФТИ, 1989. —С. 114-122.

48. Якушев В.Л. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек. — М.: Наука, 2004. — 275 с.

49. Якушев В.Л. Нелиненый анализ устойчивости оболочек // Проблемы прочности и пластичности. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2000. Вып. 61. —С. 166-169.

50. Якушев В.Л. Определение экстремальных критических нагрузок при заданных ограничениях на начальные неправильности // Вопросы гидродинамики, аэрофизики и прикладной механики / МФТИ. — М., 1985. —С. 117-123.

51. Якушев В.Л. Потеря устойчивости полусферических оболочек при пластических деформациях // Труды XVIII международной конференции по теории оболочек и пластин. 29 сент. 4 окт. 1997 г. Саратов. 1997. Т. 2. —С. 136-141.

52. Якушев В.Л. Применение метода дополнительной вязкости для решения нелинейных задач устойчивости оболочек // Изв. РАН, МТТ. 1992. — № 1. —С. 153-163.

53. Якушев В.Л. Решение задач устойчивости оболочек методом реологической вязкости при конечно-элементной дискретизации по сдвиговой модели Тимошенко // Прикладные задачи аэромеханики и геокосмической физики / МФТИ. — М., 1990. — С. 127-133.

54. Якушев В.JI. Решение задач устойчивости полусферических оболочек методом реологической вязкости // Современные вопросы механики сплошной среды в геокосмических исследованиях / МФТИ. — М., 1987. — С. 105-112.

55. Якушев В.Л. Решение задачи об устойчивости стержневой системы методом реологической вязкости // Аэрофизика и геокосмические исследования / МФТИ. — М., 1984. —С. 134-143.

56. Якушев ВЛ. Устойчивость и закритические формы цилиндрической панели. Новое в численном моделировании: алгоритмы, вычислительные эксперименты, результаты. — М.: Наука, 2000. — С. 210-227.

57. Якушев В.Л. Устойчивость пологих сферических куполов // Современные вопросы гидродинамики, аэрофизики и прикладной механики / МФТИ. — М., 1986. — С. 89-96.

58. Якушев В.Л., Маматов И.И. Решение задачи устойчивости бесконечно длинной цилиндрической оболочки методом реологической вязкости. Доклады АН РУз (Ташкент). 1993. — № 1. — С. 16-19.

59. Arbocz J. Present and Future of Shell Stability Analysis. Zeitschrift fur Flugwissenschaften und Weltraumforschung. 1981. — B. 5, Heft 6, — S. 335348.

60. Bauer L., Reiss E.L., Keller H.B. Axisymmetric buckling of rigidly clamped . hemispherical shells // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1973. — Vol. 8., — pp. 31-39.

61. Bornscheuer F.W. Beulsicherheitsnachweise fur Schalen (DASt- Richtlinie). Bautechnik. 1981. — B. 58, N 9. — P. 313-317.

62. Bushnell D. Buckling of Shells-Pitfall for Designtrs // AAIA Journal. 1981. — Vol. 19, N 9. — P. 1183-1226.

63. Family J., Archer R.R. Finite Asymmetric Deformation of Shallow Spherical Shells I IAIAA Journal. 1965. — Vol. 3, N 3.

64. Keller H.B. Numerical methods for two-point boundary-value problems. .

65. Waltham (Mass.); Toronto; Londo: Blaisdell Publ. Сотр., 1968.

66. Keller H.B., Wolfe A. W. On the nonunique equilibrium states and buckling mechanism of spherical shells // J. Soc. Ind. and Appl. Math. 1965. — Vol. 13, N 3. — P. 674-705.

67. Marguerre K. Zur Theorie der gekrummten Platte grosser Formanderung / Iahrbuch 1939 deutscher Luftfahrtforschung. Bd. 1. Berlin: Adlershof Bucherei, 1939. Proc. 5th Intern. Congr. Appl. Mech. Cambridge (Mass.), 1938; —N.Y.: J. Willey and Son, 1939.

68. Mescall J. Numerical solutions of non-linear equations for shells of revolution // AIAA Journal. 1966. — Vol. 4, N 11. — P. 2041-2043. (Русск. пер.: Ракетная техника и космонавтика. 1966. № 11).

69. Reissner Е. On axisymmetrical deformations of thin shells of revolution. Proc. Third Symp. Appl. Math. 1950. — Vol. 3. — P. 27-72.

70. Rules for construction of pressure vessels. // The American society of mechanical engineers, 2001. — P. 469-480.

71. Reissner E. On the theory of thin elastic shells // Reissner Anniversary Volume. Contributions Appl. Mech. Ann Arbor (Michigan): J.W. Edwards, 1949. —P. 231-247.

72. Seishi Y., Kazuo V. Motohiko Y. Experimental investigation of the buckling of shallow spherical shells // Intern. J. Non-Linear Mech. 1983. — Vol. 18, N 1. — P. 37-54.

73. Stricklin J.A., Haisler W.E., Von Rieseman W.A. Evaluation of solution procedures for material and/or geometrically nonlinear structural analysis // AIAA J. 1973. — Vol. 41, N 3. — P. 292-299.

74. Thurston G.A. A numerical solution of nonlinear equations for axisymmetric bending of shallow spherical shells. Trans. ASME. 1961. — Vol. E28, N 4. — P. 557-562.

75. Weinitschke H.J. On the nonlinear theory of shallow spherical shells // J. Soc. Ind. and Appl. Math. 1958. — Vol. 6, N 3. — P. 209-232.

76. Wriggers P., Wagner W. Solution methods for general postcritical analysis //

77. Comput. Mech. '88: Theory and Appl.: Proc. of Int. Conf. on Comput. Eng. Sci., April 10 -14, 1988. Atlanta (GA), USA. Vol. 2. Berlin, 1988. 38.VII.1-38.VII.3.