автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование некоторых стационарных задач теории мягких оболочек

*) I. Т'^ На правах рукописи

ЗАДВОРНОВ Олег Анатольевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ МЯГКИХ ОБОЛОЧЕК

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1997

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики 1 занского государственного университета.

Научные руководители: доктор физико-математических

наук, профессор

ЛЯШКО Анатолий Дмитриевич, кандидат физико-математических наук, доцент

БАДРИЕВ Ильдар Бурханович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор

ЛАПИН Александр Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент

СТРЕБКОВ Евгений Владимиров

Ведущая организация: Ростовский государственный

университет

Защита состоится " г. в Ж час. 50 миь

заседании диссертационного Совета К053.29.20 з Казанском госу, ственном университете по адресу: 420008, г.Казднь, ул. Универси екая, 17, ком. 324, конференц-зал НИИММ им. Н.Г. Чеботарева С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке; ] ■ им. Н.И. Лобачевского (420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18) Автореферат разослан

" Л- " ШАРЛЯХ997 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент " Е.М. ФЕДО'

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА PABOTtl

Актуальность темы исследований. Интенсивное развитие вы-шслительной техники открывает широкие возможности применения шсленного моделирования для исследования физических, техноло-нческпх и производственных процессов. Большинство из этих процессов описывается, как правило, при помощи нелинейных уравне-шй и неравенств в математической физике. К числу таких задач относятся и задачи теории мягких оболочек. Эти задачи имеют многочисленные практические приложения, возникают при проектиро-!ашш всевозможных конструкций и сооружений, однако с математи-iccKoit точки зрения задачи теории м.ягких оболочек сравнительно 1ало изучены. Применяемые на практике модели, как правило, не шеют соответствующего теоретического обоснования. Это лее огно-ится и к методам решения этих задач. Постановки задач теории шгких оболочек содержатся в работах Алексеева С.А., Гулина Б.В.. 5иделя В.В., Усюкина В.И. и др. В работах этих авторов содержат-я и инженерные методы решения задач. Некоторые математические спекты теории мягких оболочек рассматривались в работах Шаталина P.P., Бадриева И.Б. и др.

Дальнейшее из}'чение математических моделей указанных задач, остроение и исследование методов их численной реализации являйся актуальной как с теоретической,так и практической точек зре-ия задачей.

Цель работы заключается в теоретическом исследовании мате-[атических моделей стационарных задач для мягких сетчатых обо-

лочек, в построении и исследовании методов их решения.

Методы исследования. В работе использованы методы теории монотонных операторов. При построении конечномерных аппроксимаций применяется метод конечных элементов и для решения возникающих нелинейных уравнений - теория итерационных методов.

Научная новизна. Проведено исследование корректности математических моделей стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек, построены и исследованы соответствующие конечномерные аппроксимации, разработаны и исследованы методы численного решения моделируемых задач.

Практическая значимость. Проведенные теоретические исследования и разработанные численные методы могут быть использованы при решении ряда конкретных задач теории сетчатых и мягких оболочек.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 4-й Всероссийской Школе молодых ученых "Численные методы механики сплошной среды" (Абрау-Дюрсо, 1992 г.), на 5-й Всероссийской Школе молодых ученых "Численные методы механики сплошной среды" (Абрау-Дюрсо, 1993 г.), на Международной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию Н.Г. Чеботарева (Казань, 1994 г.), на Международной конференции "Optimization of Finite Element Approximations" (Санкт-Петербург, 1995 г.), на Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 1996 г.), на научных семинарах кафедры вычислительной математики Казанского госуниверситета, на итоговых научных конференциях Казанского госуниверситета 1990-1996 гг.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликонаны ! 7 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, рсх глав н списка литературы, содержащего 60 наименований. Об-1X1111 объем работы страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается обзор штературы и кратко описывается содержание работы.

Глава 1. содержащая 5 параграфов, посвящена исследованию мо-елей стационарных задач для мягких сетчатых оболочек.

В §1.1 приводится постановка задачи об определении положения авновеспя сетчатой оболочки, закрепленной по краям и находящей-я под воздействием массовых сил и следящей поверхностной иа-[>,\ зкн. Под сетчатой понимается оболочка, силовой основой которой нляегся конструкция, образованная двумя семействами взаимно пе-екрещштющпхся, абсолютно гибких упругих нитей. Предполагаег-ч. что узлы сети фиксированы, ячейки сети считаются малыми и не шротивляются сдвиговым деформациям. Перемещения и деформа-ип допускаются конечными.

Пусть в недеформированном состоянии оболочка в дека]» юной си-смо координат описывается поверхностью:

//'' = //''(гИ.п2) . г = 1.2.3. а = (а1,«2) € П .

!.с лафанжевы координаты (о1, а2) выбраны так. что координатные шип (-»направлены с нитями, образующими оболочку. И - ограни-

i— О

= VT,'Q

ченная область из Л'2 с границей Г. Рассматриваемая задача, согласно теории мягких оболочек, приводит к следующей системе уравнений:

_д_ (dw \ _ Г dir du-*fd<\t\ А (. дак) [öoi'Oa,;

«•(n) = £(п) . u € Г .

1де [■••] векторное произведение, w = (Ii'1, и>'2. и>'л) - координаты ободочки в деформированном состоянии, a, akm ~ дискриминант и компоненты метрического тензора поверхности нсдеформиронапноп оболочки. Л*. = \dtw\/\d,n\ - относительные степени удлинения. Л"/, функции, характеризующие физические свойства штей. ¡ц ко. т-чепно нитей, сонанравленных с. а1' - й координатной осью. нрихо-дящихся на единицу длины - й координатной оси в недефор-

мированном состоянии, г = const - плотность нормальной < ледящей

О

нагрузки. Q вектор ri точности массовой нагрузки. ~ птогшкть ма и рпала недеформпровнннон оболочки, £ - координаты закрепленного к]>ая деформн])овашюй оболочки, A*i(i) = 0 при 0 < / < 1 (т.е. нити не воспринимают сжимающих усилий), строго возрастают при t > 1 п существуют c(l.ci. С > 0 , р > 1 такие, что при / > О

с-u/''- n < Nk(t)t < Ctp.

Вводи тся обобщенное решение поставленной задачи:

найти такую функцию ;<• £ И' = [W^fi)]3, что (w - £) 6 V = •ч

И (<>) и для любого г 6 Г справедливо интегральное тождествО:

Д. г (die Or \

Ы" \да-/дсЧ\ Ua,'c)aJ

' дш да

,и)с1а Я.У)(1О , (1)

где (•.•) - векторное произведение.

Далее определяются операторы .-!(. : 1' —» 1 при р > 1 и В : V Г* при р > 2 формами:

/1 \ / + ■ Г-

{Лки-и) = ¡о—^г^тшы—

д{и + £) ди

дак ' дак ¿>(« + 0. +

, I' (1а,

да1 ' да2

vi е 1 '* пространство сопряженное к I". (•. •) - отношение 'шопе | нщ кч'Ш между V* и Г. ( 6 П' - продолжение функции пч красных /словиН с границы в область П.

При р > 2 обобщенная задача формулируется в виде опера! орпш о .■равнения

Ли — гВи — / . (2)

■л- .4 — Л\ + Л-2- /е Г*.

При р > 1 чачача (1) рассматривается без следящей нагрузки г = 0):

Ли=/. П)

1 '••шения и- обобщенной задачи и решения и уравнений (2). (о1 пут 4;шы соотношением: (г = и + £.

С'|а:ипся чадача к ш-роисчцоимях. приводящая I иоке к оператор -о\| . \ равнению (2), В ■; 1.'2 с |<11!1! Iся чадача об определении стационарного положения ш обо ючки иод почдейстпием внешней натру -.ки и о|раннчен-

ной абсолютно твердым препятствием, занимающим нижнее полупространство. Понерхность препятствия считается абсолютно г.чалкой. т.е. препятс твие не создает касательных усилий при контакте ( ним.

Рассматриваемые задачи формулируются в виде вариационных неравенств.

При р > 2: найти такую функцию и € М. что

(Ли. V - и) - г(Ви. г - и) > (/, и -и) Уи 6 Л/ , (4)

М = {с 6 V : г>3(а) + £3(о) > 0 при почти всех п 6 П} .

При р > 1: найти такую функцию и Е М, что

(Ли, V - и) > {/, г- - и) V« € М . (о]

Исследование задач (4), (5) проводится для более общего случая когда М произвольное выпуклое, замкнутое множество. В"случас М — задачи (4), (5) эквивалентны соответственно задачам (2) г (3).

В §1.3 исследуется разрешимость задачи (5) и свойства ее решений. Доказывается неравенство:

, {Аь\ и) > /»(ИЫМГ1 где Нт^ > с* > 0 (0;

п устанавливается ограниченность, хеминепрерывность, монотонность оператора А. На основе этих свойств и известных результате>т теории монотонных операторов доказывается теорема разрешимое I г задачи (о).

Определяются для с € V множества, к = 1.2: $М<-) = {а 6 П : |А*(г)| > 1} ,Л,(с) = + . г _ £ .

.5 > 1) п доказывается, что для всех решений и задачи

•5) множества определяются однозначно, т.е. для различных

эешений щ и щ с точностью до множества, меры нуль выполнены равенства 1) = С1ь(и2) > & = 152.

Устанавливается единственность тензора напряжений на множестве П+((«) = 1 (гл) П П-2(и) (точек двухосного состояния оболочки, т.е. точек;в которых главные значения.тензора напряжений положительны) и единственность поля усилий в нитях и)), где

Параграф 1.4 посвящен изучению оператора В. Устанавливаемся глабая непрерывность и псевдомонотонность этого оператора. Дока-т I ельство опирается на тождество

выполненное при р > 2 и любых ш ЕIV, V £ V), которое иозволя->г "перебросить производную в форме, определяющей оператор, на гробную функцию".

В §1.5 исследуется существование решения задачи (4). И с пользу-■тся псевдомонотонность оператора .4 — гВ.

При р > 3, пользуясь условием (б),устанавливаемся кочрцитив-юсть оператора Л — гВ и тем самым разрешимость задачи (4)'для фонзвольных г £ Я1 и / £ V'*.

При 2 < р < 3 существование устанавливается при достаточно млой следящей нагрузке, доказательство опирается на априорную щенку: дтя тюбого с > 0 существуют Я > 0 и г, > 0. тэкие^что при

г;) с/а = м],д2У)<1а + {^^-¿м^д^-Ыа)

любых / € V* Ii г, удовлетворяющих условиям ||/||г. < с . И < /',.. выношено неравенство:

(Ли. и) + (гВи. и) - (f. и) > 0 Vi te Вц .

где Д„={не Г:||и||г = Д}.

Глава 2. состоящая из 2 параграфов, посвящена исследовании: и iepamioiiHoro метода решения задачи (5). В этой н следующей главах на функции Nk накладывается дополнительное условие

~ Nk[s) < С(1 + / + ,при t > ,s > 0 . С > 0 , 1 - s

В §2.1 устанавливаются следующие результаты, псиользуемые j 1я исследования предлагаемого в §2.2 итерационною процесса.

1. Свойство типа (5)+ операюра Л: для upon ¡вольной носледова-нмыикчи G V". слабо сходящейся к и в V, i: s неравенства

lim sup (Лиi. и, — и) < О

i—

с Н'.туе г ( ходимост ь последовательности {du¡/d<\¿ к dujdai- в про-с i ])апстне [L;,(.Q¿.(u))]3 (к = 1.2).

2. Неравенс ¡ во подчинения:

¿ ||Г;(А<(г)) - 2"i(A/.(»))||'¿ < С(Лг - Ли. г - и) : (7<

к—\

i к- С потожп ¡е. тьная конетан ra. = min(2. г/) . q = ¡ >/(j>—l).

3. Условие íiiiKi ограниченной липшиц-неп])ерывносni:

||.4ÍÍ - -4г||(, <//(Л)Ф(||н-г||, ).

где R = niax(||(/|¡r. |¡r||r). ft не убывает на [0.-fx). Ф непрерывна ( П)ок; во-.растает па [0.-foe). Ф(0) — О н коэрцнттшиа.

В §'2.2 рассматривас1ся двухслойный итерационный процесс для >ешення неравенства ("5):

(./(м,-+1 - (/, ). г - и/+1) > г,-(/ - Аи1, V - и,-+]) . Уг е М . (8)

дс ну - произвольный элемент из Г, т,- - итерационный параметр. Т : Т" —► V* - оператор двойственности, удовлетворяющий условию:

•ПК - =

Доказывается георема: пусть итерационный параметр задан формулой

юе действительное число, тогда итерационная последовательность ограничена в Т\ всякая ее слабо сходящаяся поднос, юдоиа-елыюсть имеет пределом решение задачи (5),II,если и какое-, шбо >ешепие (5),то выполнены равенства

te J = min(2. q) , q = р/{р - 1).

Отдельно рассматривается итерационный процесс (8) при р = 2, огда Г слановитч я гильбертовым npoci ране гном. Устанавливается, ю при г, = г . О < т < 2/С [С коне raina из неравенства (7)) вся терацпонная пос. юдовате. тыюсть с.табо сходится к решению задачи )) и выполнены условия (9). (10)

Глава 3 посвящена изучению конечноэ.пементных аппроксимаций ыач (2), (3) и (4). (Ô).

де /г, = ц(\\щ\\у + Ф '(Щ"; — /||у-))- А > 0 - произвольно задан-

(lOi

В параграфе 3.1 рассматриваются уравнения (2) и (3). Вводится в рассмотрение регулярная триангуляция области, которая счшается многоугольной, треугольниками и ассоциируемое с ней пространи во непрерывных кусочно-линейных функций V/,. Определяется аппроксимирующая уравнение (3) задача: найти такую функцию и/, £ V/,. что

{Ащ,ун) = (/, гЛ) УгЛеГ,,. (11)

Устанавливаются следующие свойства решений задач (11): 1) при к = 1,2

диъ да дак д(\к

lim /

Л—0 Л14(и

2) при /3 = inin(2, q) . q = p/{p - 1)

da = 0. (12)

2

h~ti

lim £ HTMAiM) - Tk(Ak(u))\\L) = 0 . (13)

Jt=i

где и - решение уравнения (3).

При р > 2 и предположении гладкости и 6 [И'^(П)]3 доказываемся оценка точности

¿ ||rt(At(u/,)) - Tt(Ait(u))||¿ < Ch . (14)

í-i

Параг])аф3.2 посвящен конечномерным приближениям неравенстн (4). (о). Используется введеное в §3.1 пространство V/,. Неравенепю (о) аппроксимируется задачей:

iiaiiin такую функцию «/, G М/,. что

(Ato,, с,, - и,,) > (/. rh - a/,) VrA G Л//, . (ló)

.U/, = {г,, G V/, : v'l(a) + £,l(o) > 0 при почти всех n G Q} .

ie - интерполянт функции £ (кусочно-линейная функция, со-iадающая 13 вершинах треугольников триангуляции с функцией £). оказываются равенства (12), (13).для решений задачи (15) (и - со-гветственно решение неравенства (5)).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построены математические модели стационарных задач теории ягких сетчатых оболочек. Исследована корректность этих моделей.

2. Исследована сходимость итерационных методов решения рас-(атриваемых задач.

3. Построены и исследованы конечномерные аппроксимации рас-ттриваемых задач.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бадрпев И.В., Задворнов O.A. Исследование разрешимости ста-юнарных задач для сетчатых оболочек // Изв. вузов. Математика. 92. N.11 с.3-7.

2. Бадриев И.В., Задворнов O.A. Постановка и исследование ра з-шпмости осесимметрнчной задачи о равновесии мягкой обо.точ-

вращения// Численные методы механики сплошной среды. Тезп-докл. 4-й Всерос. школы молодых ученых (Абрау-Дюрсо. 1992). >асноярск.-1992. - с.111-112.

3. Задворнов O.A. Исследование задачи о равновесии сеiчаюй злочки // Численные методы механики сплошной среды. Тсзн-

докл. 5-й Всерос. школы молодых ученых (Абрау-Дюрсо. 19931. пов-на-Дону. - 1993. - с. 11.

4. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. О стационарной задаче взаимо действия нити с препятствием в случае конечных деформаций// Ал гебра н анализ. Часть II: Тезисы докл. Между нар. научной конф. посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (Казань 1994) - Казань: Изд-во Казанск. ун-та,- 1994.- с.23.

5. Badriev I.B., Zadvornov О.А. On the Strong Convergence of Iterath Method for Equations with Operators with the Property of S+ type/ Abstracts of International Conference "Optimization of Finite Eleinen Approximations'', June 25-29. 1995, St.-Petersburg. - c.34.

G. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Существование обобщенного ре шения задачи о равновесии сетчатой оболочки // Теория сегочны методов для нелинейных краевых задач. Материалы Всероссййског семинара. Казань-96. Казанский фонд «СМатематика». 1996. с. 17

7. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. Исследование сходимости нтеря цпонного процесса для уравнений с вырождающимися операторам // Дифференциальные уравнения. 1996. Т.32 N.7 с.898-901.

20