автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Итерационные методы решения некоторых вариационных неравенств с псевдомонотонными операторами

0.1 Введение.

1 ПОСТАНОВКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ

1.1 Постановка общей задачи.

1.2 Постановка стационарной задачи фильтрации с предельным градиентом в области с полупроницаемой границей.

1.3 Постановка задачи об определении положения мягкой оболочки при наличии препятствия.

2 ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПСЕВДОМОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

2.1 Построение метода.

2.2 Исследование сходимости итерационного метода в случае банахова пространства.

2.3 Исследование сходимости итерационного метода в случае гильбертова пространства.

2.4 Применение к стационарным задачам теории фильтрации и теории мягких оболочек.

3 ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ С СИЛЬНО МОНОТОННЫМИ ОПЕРА

ТОРАМИ

3.1 Постановка задачи.

3.2 Задача о поиске седловой точки.

3.3 Построение итерационного процесса и исследование его сходимости.

3.4 Регуляризация задачи.

3.5 Применение к задачам фильтрации с предельным градиентом.

4 КОНЕЧНОМЕРНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ВАРИА

ЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОГО РОДА С ПСЕ

ВДОМОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

4.1 Построение и исследование внутренних аппроксимаций для вариационных неравенств с пседомонотонными операторами.

4.2 Построение и исследование схем МКЭ для задач теории фильтрации и теории мягких оболочек.

Математическое моделирование является одним из наиболее эффективных способов решения многочисленных задач, возникающих в различных практических областях - механике, физике, экономике, биологии, медицине и т.д. Многие такие задачи описываются уравнениями и неравенствами с частными производными. В связи с этим особое внимание уделяется методам их решения. Поскольку возникающие здесь задачи сложны и, как правило, нелинейны, то для их решения необходимо использовать численные методы. Эти методы развиты к настоящему времени достаточно полно для линейных уравнений и вариационных неравенств, различные аспекты их освещены, например, в [45], [53], [64], [69], [71], [93], [96], [98], [109] - [115], [117] - [119].

Нелинейные уравнения и вариационные неравенства также давно являются объектами изучения. Эти уравнения и неравенства возникают во многих прикладных областях, к котороым относятся, в частности, нелинейная теория фильтрации несжимаемой жидкости с предельным градиентом (см., например, [44], [56], [74], [104]). Другой такой областью является теория мягких оболочек. Возникающие здесь задачи находят широкое применение при проектировании различного рода конструкций, изготовленных из мягких тканевых или пленочных материалов (см., например, [42], [63], [66], [91], [92], [99], [132]).

Диссертация посвящена исследованию нелинейных стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей разрывному за

- 5кону фильтрации с предельным градиентом (см. [7], [8], [56] - [62], [95], [101], [104]), а также стационарных задач теории мягких оболочек и численных методов их решения. Оба этих класса задач описываются математически с помощью уравнений и вариационных неравенств с вырождающимися монотонными и псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах, и при исследовании этих задач, построении и исследовании приближенных методов их решения были использованы сходные методы.

Математически рассматриваемые в диссертации задачи формулируются в виде уравнений и неравенств с псевдомонотонными операторами. Методы теории монотонных операторов (см., например, [29], [39] - [41], [43], [46], [47], [50], [73], [78], [81], [139] - [141]), а также выпуклого анализа (см., например, [48], [49], [51], [65], [90], [102], [103], [108], [129], [130]) оказываются весьма плодотворными при исследовании указанного круга задач, построении и исследовании методов их решения.

Остановимся вкратце на работах, близких к тематике диссертации.

Вопросам исследования разностных методов решения нелинейных стационарных задач теории фильтрации несжимаемой жидкости, следующей непрерывному закону фильтрации с предельным градиентом посвящены работы [54], [55], [68], [70], [71], [84], [85], где математически задача сформулирована в виде квазилинейного вырождающегося эллиптического уравнения. В [70], [71], [84] доказаны теоремы существования решения и единственности скорости фильтрации, проведена и исследована аппроксимация закона фильтрации с предельным гра

- 6диентом близким законом без предельного градиента. В [55], [71], [84], [68] строятся и исследуются разностные схемы для указанных задач, изучаются вопросы существования и сходимости решений разностных схем и сходимости разностных скоростей фильтрации. В [54], [71], [84] предложены и исследованы итерационные методы численного решения разностных схем.

Математическая модель задачи стационарной фильтрации с разрывным законом рассмотрена в работе [76], где, в частности, исследованы вопросы аппроксимации разрывного закона фильтрации с предельным градиентом близким непрерывным законом без предельного градиента. В [80] рассматривался вариант метода расширенного лагранжиана численной реализации конечномерной аппроксимации стационарной задачи фильтрации с разрывным законом.

Некоторые вопросы теории разностных методов для нестационарных задач теории фильтрации в случае разрывного закона фильтрации с предельным градиентом рассмотрены в работах [77], [86] - [89], [100], где математическая модель процесса нестационарной фильтрации формулируется в виде параболического вариационного неравенства, исследуются вопросы существования и единственности решения, регуляризации разрывного закона близким непрерывным , строятся и исследуются разностные схемы.

Вопросам исследования вариационных неравенств с разрывными монотонными операторами в гильбертовых и евклидовых пространствах пространствах, методам их решения посвящены работы [1], [2],

9], [41].

- 7

Описанию задач теории мягких оболочек, построению приближенных методов их решения, анализу результатов численного моделирования посвящена многочисленная литература (см., например, [4] - [6], [59], [60], [105] - [107], [120] - [128], [133]), [134]) . Одномерные задачи теории мягких оболочек рассматривались в [52], [57], [94]. В работе [58] предлагается математическая модель и доказывается теорема существования для одной одномерной нелинейной нестационарной задачи теории мягких оболочек. В [125] для одномерной задачи теории мягких оболочек без препятсвия и при других условиях на функцию, определяющую физические соотношения, получены теоремы существования.

Построению и исследованию математических моделей стационарных задач теории фильтрации несжимаемой жидкости, следующей разрывному закону фильтрации с предельным градиентом, соответствующих конечномерных аппроксимаций и итерационных методов их решения посвящены работы [10] - [12], [17], [18], [27] - [34], [38], [67], [72], [83], [85].

Построению и исследованию математических моделей стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек соответствующих конечномерных аппроксимаций и итерационных методов их решения посвящены работы [3], [13] - [16], [19] - [21].

Являясь продолжением исследований, проведенных в этих работах, настоящая диссертация посвящена построению и исследованию итерационных методов решения вариационных неравенств с псевдомонотонными операторами и недифференцируемыми выпуклыми функци

- 8оналами на выпуклых замкнутых множествах в банаховых пространствах, возникающими при описании стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости и стационарных задач теории мягких оболочек, а также построению и исследованию сходимости конечномерных аппроксимаций указанных вариационных неравенств.

В отличие от более ранних работ Бадриева И.Б., Задворнова O.A., где рассматривались вариационные неравенства второго рода с оператором, представимым в виде суммы монотонного и вполне непрерывного оператора (являющегося, конечно же, псевдомонотонным), в настоящей диссертации рассмотрены вариационные неравенства второго рода с произвольным псевдомонотонным оператором.

Кроме того, при построении итерационного процесса удалось избавиться от необходимости пересчитывать итерационные параметры на каждом шаге итерационного процесса, что, естественно, сокращает объем вычислительной работы.

Диссертация состоит из введения и четырех глав.

1.A., Гаипова А.Н. О решении некоторых уравнений, содержащих разрывные монотонные преобразования//Ж. вычисл. математики и матем. физики. - 1972. - Т. 12. - N 1. - С. 204-207.

2. Абрамов A.A., Гаипова А.Н. О некоторых уравнениях, содержащих монотонные разрывные операторы//ДАН СССР. 1973. -Т. 212. - N 3. - С. 529-532.

3. Авхадиева К.Ф., Бадриев И.Б., Задворнов O.A. Сеточные методы решения стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек//Иссл-я по прикл. математике, Вып. 21, Казань: Изд-во Каз. мат. об-ва, 1999. - С. 50-67.

4. Алексеев С.А. Основы теории мягких осесимметричных оболочек/ /Расчет пространственных конструкций. М.: Госстройиздат. 1965. - Вып.10. - С. 5-38.

5. Алексеев С.А. Основы общей теории мягких оболочек//Расчет простр. конст-ций. М.: Стройиздат. 1966. - Вып.11. - С. 31-52.

6. Алексеев С.А. Задачи статики и динамики мягких оболочек//Тр. 6 Всес.конф.по теории об-чек и пластинок. М.:Наука-1966-С.28-37- 1077 Алишаев М.Г. О стационарной фильтрации с начальным градиен-том//Теория и практика добычи нефти- М:Недра-1968-С.202-211

7. Алишаев М.Г., Вахитов Г.Г., Гехтман М.М., Глумов И.В. О некоторых особенностях фильтрации пластовой девонской нефти при пониженных температурах//Изв.АН СССР, сер. Механика жидкости и газа. 1966. - N 3. - С. 166-169.

8. Алъбер Я.И., Рязанцева И.П. Принцип невязки при решении нелинейных задач с монотонными операторами регуляризующий алгоритм//ДАН СССР. - 1978 - Т. 239. - N 5. - С. 1017-1020.

9. Бадриев И.Б. Разностные схемы для нелинейных задач теории фильтрации с разрывным законом//Изв. ВУЗов. Математика. -1983. N 5. - С. 3-12

10. Бадриев И.Б. О регуляризации нелинейной задачи теории фильтрации с разрывным законом//Иссл-я по прикл. матем., Вып.10. -Казань: Изд-во КГУ, 1984. - С. 162-176

11. Бадриев И.Б. Применение методов двойственности к исследованию стационарных задач фильтрации с разрывным законом// Иссл-я по прикл. матем., Вып. 13. Казань: Изд-во КГУ, - 1985. -С. 67-75

12. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. Исследование сходимости итерационного процесса для уравнений с вырождающимися оператора-ми//Дифф. ур-ния. 1996 - Т. 32. - N 7. - С. 898-901

13. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. Существование обобщенного решения задачи о равновесии сетчатой оболочки// Теория се-точн.методов для нелин.краевых задач. Матер.Всерос.семинара. Казань: Изд- во Каз. фонда "Математика", - 1996. - С. 17 - 20.

14. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. О сходимости итерационного процесса для решения вариационного неравенства второго рода// Иссл-я по прикл. матем., Вып. 22. Казань: Изд-во Каз. матем. об-ва, - 1997. - С. 5-17.

15. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. О сильной сходимости итерационного метода для операторов с вырождением//Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1997. - Т.37, - N 12. - С. 1424-1426.

16. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. Исследование задачи о равновесии сетчатой оболочки при наличии односторонних ограничений/ /Теория сеточн.методов для нелин. краев, задач. Матер. Все-рос. семинара. Казань: Изд-во Каз. мат. об-ва, - 1998. - С.11-12.

17. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. О решении стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек с препятствием //Докл. VIII Все-росс. шк.-сем. "Совр. проблемы матем. моделирования". Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, - 1999. - С. 22-26

18. Бадриев И.Б., Задворнов O.A., Саддек A.M. Исследование сходимости итерационных методов решения некоторых вариационных неравенств с псевдомонотнными операторами// Дифф. уравн. -2001, Т. 37. - N 7, - С. 1009-1016.

19. Бадриев И.Б., Задворнов O.A., Саддек A.M. О сходимости итерационных методов решения вариационных неравенств второго рода//Тез. междун. конф. OFEA-2001, (С.-Петербург, 25-29 июня 2001 г.), С.-Петербург: Изд-во С.-ПбГУ. 2001. - С. 8-9.

20. Бадриев И.Б., Задворнов O.A., Саддек A.M. О конечномерных аппроксимациях некоторых вариационных неравенств второго родаИссл-я по прикл. матем. и информатике, Казань: Изд-во Каз. матем. об-ва, 2001. - Вып. 23. - С. 3-12.

21. Бадриев И.Б., Задворнов O.A., Саддек A.M. О решении некоторых вариационных неравенств второго рода //Иссл-я по прикл. матем. и информатике, Казань: Изд-во Каз. матем. об-ва, 2001. - Вып. 23. - С. 13-26.

22. Бадриев И.Б., Карчевский М.М. Применение метода двойственности к решению нелинейных задач фильтрации с предельным градиентом//Дифф. уравн. 1982, - т.18. - N 7, - С. 1133-1144.

23. Бадриев И.Б., Карчевский М.М. О сходимости итерационного метода типа Удзавы для решения стационарной задачи теории фильтрации с предельным градиентом//Иссл-я по прикл. матем., Вып. 13. Казань: Изд-во КГУ, - 1985. - С. 56-67.

24. Бадриев И.Б.,Карчевский М.М. Методы двойственности в прикладных задачах(общая теория). Казань:Изд-во КГУ, 1987-147 с

25. Бадриев И.Б., Карчевский М.М. О сходимости итерационного процесса в банаховом пространстве//Исследов, по прикл. матем., Казань: Изд-во КГУ, Вып. 17. 1990, - С. 3-15.

26. Бадриев И.Б., Ляшко А.Д., Панкратова О.В. Исследование сходимости итерационных методов решения нелинейных задач теории фильтрации//Изв. ВУЗов.Математика. 1998. N 11. - С. 8-13.

27. Бадриев И.Б., Панкратова О.В. Смешанный метод конечных элементов для нелинейных стационарных задач теории фильтрации// Иссл-я по прикл. математике. Вып. 16. Казань: Изд-во КГУ, - 1989. - С. 17-34.

28. Бадриев И.Б., Панкратова О.В., Шагидуллин P.P. Итерационные методы решения задач фильтрации с разрывным законом с предельным градиентом//Дифф. ур-ния- 1997- Т.ЗЗ- N3- С.396-399.

29. Бадриев И.Б., Шагидуллин P.P. Классические и обобщенные решения уравнений одноосного статического состояния мягкой оболочки//Сеточные методы решения дифф. ур-ний. Казань: Изд-во КГУ, - 1986. - С. 14-28.

30. Бадриев И.Б., Шагидуллин P.P. Исследование одномерных уравнений статического состояния мягкой оболочки и алгоритма их решения // Изв. вузов. Математика. 1992. - N 1 - С.8-16.

31. Бадриев И.Б., Шагидуллин P.P. Исследование сходимости итерационного процесса для решения одной стационарной задачи теории мягких оболочек //Иссл-я по прикл. математике. Вып.18. -Казань: Изд-во КГУ, 1992. - С. 3-12.

32. Бадриев И.Б., Шагидуллин P.P. О сходимости итерационного процесса с монотонным оператором в гильбертовом пространствеИссл-я по прикл. математике. Вып.22. Казань: Изд-во Каз. матем. об-ва, - 1997. - С. 17-21.

33. Байокки К., Капелло А. Вариационные и квазивариационные неравенства Приложения к задачам со свободной границей. М.: Наука, 1988. - 448 с.

34. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989. - 199 с.

35. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989. - 128 с.

36. Белоцерковский С.М., Ништ М.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Исследование парашютов и дельтапланов на ЭВМ, М.: Машиностроение, 1987. 260 с.

37. Бенсусан А., Лионе Ж.-Д., Темам Р. Методы декомпозиции, децентрализации, координации и их приложения//Методы вычисл. математики. Новосибирск: Наука, Сиб.отд-е, 1975. - С. 144-274.

38. Бернандинер М.Г., Ентов В.М. Гидродинамическая теория аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975. - 199 с.

39. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 164 с.

40. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. - 344 с.

41. Вайнберг M. M. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972. - 416 с.

42. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. - 518 с.

43. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. - 400 с.

44. Гаевский X., Грегер КЗахариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 1978. 336 с.

45. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1989. - 204 с.

46. Гимадиев Р.Ш. Расчет статических натяжений в одноосных мягких оболочках//Нестацион. задачи механики. Тр. семинара. Вып. 22. Казань: Изд-во Каз. физико-технического ин-та. Каз. филиала АН СССР, 1989. - С. 69-72.

47. Гловински Р.Г., Лионе Ж.-Л., Тремолъер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. - 576 с.

48. Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Качественные методы в механике сплошных сред. М.: Наука, 1989. - 224 с.

49. Гулин Б. В., Рид ель В. В. Статика одноосных сосотояний мягкой оболочки//Нелин.задачи строит.механики. Оптимизация конструкций. Киев: Изд-во Киевск. инж.-стр. ин-та - 1978 - С.119-122.

50. Даутов Р.З., Павлова М.Ф., Шагидуллин P.P. Теорема существования для нелинейной нестационарной задачи теории мягких оболочек //Сеточн. методы решения дифф. ур-ний. Казань: Изд-во КГУ, - 1986. - С. 50-57.

51. Днепров И.В., Пономарев А.Т., Радченко A.B., Рысев О.В. К определению напряженно-деформированного состояния мягкой несущей системы//Изв.АН СССР. Сер.МТТ 1991 - N 2. - С140-148

52. Днепров И.В., Пономарев А. Т., Рысев О.В., Семушин С.А. Исследование процессов нагружения и деформирования парашютов// Матем. моделирование. 1993. - Т. 5. - N 3. - С .97-109.

53. Ентов В.М., Панков В.Н., Панъко C.B. К расчету целиков остаточной вязко-пластической нефти// Прикл. математика и механика. 1980. - Т. 44, N 5. - С. 847-856.

54. Ентов В.M., Панков В.П., Панъко C.B. К вариационной формулировке задачи о целиках остаточной нефти// Прикл. математика и механика. 1984. - Т. 48, N 6. - С. 966-972.

55. Ермолов В.В. Воздухоопорные здания и сооружения. М.: Строй-издат, 1980. - 304 с.

56. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. -М.: Мир, 1986. 318 с.

57. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. - 480 с.

58. Исследование парашютов и дельтапланов на ЭВМ/ Белоцерков-ский С.М., Ништ М.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В./ Под ред. Белоцерковского С.М. М.: Машиностроение, 1987. - 260 с.

59. Карчевский М.М., Бадриев И.Б. Нелинейные задачи теории фильтрации с разрывными монотонными операторами //Числ. методы механики сплошной среды. Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО АН СССР. - Т. 10. - N 5. - 1979. - С. 63-78.

60. Карчевский М.М., Лапин A.B. Исследование разностной схемы для нелинейной стационарной задачи теории фильтрации//Иссл. по прикл. матем. Казань: Изд-во КГУ. - 1979. - Вып.6. - С.23-31.

61. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики. Казань: Изд-во КГУ, 1976. -156 с.

62. Киндерлерер Д., Стампаккъя Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. - 256 с.

63. Котляр Л.М., Скворцов Э.В. Плоские стационарные задачи фильтрации жидкости с предельным градиентом. Казань: Изд-во КГУ. - 1978. - 144 с.

64. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1973. 407 с.

65. Лапин A.B. Введение в теорию вариационных неравенств. Казань: Изд-во КГУ, 1981. - 122 с.

66. Лапин A.B. Сеточные аппроксимации вариационных неравенств.- Казань: Изд-во КГУ, 1984. 96 с.

67. Лапин A.B. Метод расширенного лагранжиана для задач фильтрации с предельным градиентом//Вычисл. процессы и системы.- М.: Наука, 1987. Вып. 6. - С. 192-198.

68. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 588 с.

69. Ляшко А.Д., Бадриев И.Б., Карчевский М.М. О вариационном методе для уравнений с монотонными разрывными операторами //Изв.ВУЗов. Матем. 1978. - N 11. - С. 63-69.

70. Ляшко А.Д., Карчевский М.М., Павлова М.Ф. О нестационарных неравенствах с разрывными монотонными операторами и их сеточных аппроксимациях//Числ. методы и их приложения. София. - 1984. - С. 70-74.

71. Ляшко А.Д., Карчевский М.М., Павлова М.Ф. Разностные схемы для задач фильтрации с предельным градиентом. Казань: Изд-во КГУ, 1985. - 122 с.

72. Ляшко А.Д., Павлова М.Ф. Исследование неявной разностной схемы для одного вариационного неравенства нелинейной терии фильтрации//Дифф. ур-ния. 1980. - Т. 16. - N 7. - С. 1255-1264.

73. Ляшко А.Д., Павлова М.Ф. О разностной аппроксимации нелинейного нестационарного вариационного неравенства //Дифф. ур-ния. 1984. - Т. 20. - N 7. - С. 1237-1247.

74. Магарил-Илъяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 176 с.

75. Магула В.Э. Обзор работ, выполненных в лаборатории мягких оболочек в 1959-1967 г .г.// Сообщ. Лаборатории мягких оболочек. Владивосток: ДВВИМУ, 1967. - Вып. 1. - С. 5-53.

76. Магула В.Э. Судовые эластичные конструкции. Л.: Судостроение, 1978. - 263 с.- 11993 Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. - 456 с.

77. Мифтахов Р.Н. Исследование ткани желудка человека при одноосном растяжении//Гидроупругость оболочек. Тр. семинара. Вып. 16. Казань: Изд-во Каз. физико-технического ин-та. Каз. Филиала АН СССР, 1983. - С. 163-171.

78. Мифтахутдинов Б.А., Молокович Ю.М., Скворцов Э.В. Некоторые вопросы плоской стационарной фильтрации// Проблемы гидродинамики и рациональной разработки нефтяных месторождений. Казань: Изд-во КГУ, 1971. - С. 51-70.

79. Обэн Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1980. - 384 с.

80. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. - 516 с.

81. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. - 464 с.

82. Отто Ф., Тростелъ Р. Пневматические строительные конструкции. М.: Стройиздат, 1967. - 320 с.

83. Павлова М. Ф. Исследование уравнений нестационарной нелинейной фильтрации//Дифф. ур-ния. 1987. - Т.23. - N 8. - С.1436-1446.

84. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. -М.: Наука, 1980. 320 с.

85. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. - 320 с.

86. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. М.: Наука, 1969. - 546 с.

87. Ридель В.В. К расчету каркасированных мягких оболочек// Гидроупругость оболочек. Тр. семинара. Вып. 16. Казань: Изд-во Каз. физико-технического ин-та. Каз. филиала АН СССР, 1983. - С. 133-145.

88. Ридель В.В. Математическое моделирование и расчет мягких каркасированных оболочек//Нестацион. задачи механики. Тр. семинара. Вып. 22. Казань: Изд-во Каз. физико-технического инта. Каз. филиала АН СССР, 1989. - С. 48-68.

89. Ридель В.В., Гулин Б.В. Динамика мягких оболочек. М.: Наука, 1990. - 206 с.

90. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. - 466 с.

91. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, - 1971. - 552 с.- 121110 Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. -656 с.

92. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

93. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. -М.: Наука, 1973. 315 с.

94. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 432 с.

95. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2000. - 316 с.

96. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 590 с.

97. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990. - 448 с.

98. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. - 512 с.

99. Съярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир. - 1980. - 512 с.

100. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

101. Шагидуллин P.P. Тензорные аргументы для функционала полной энергии мягкой оболочки//Теория сеточн. методов для нелин. краевых задач. Мат. Всерос. семинара. Казань: Изд-во Каз. мат. об-ва, 1998.- С. 79-81.

102. Шагидуллин P.P. Минимизация функционала полной энергии для мягкой оболочки//Изв. ВУЗов. Математика. 1998. - N 3.- С. 65-73.

103. Шагидуллин P.P. Исследование одномерных уравнений статического состояния мягкой оболочки//Изв. ВУЗов. Матем. 1999.- N 5. С.73-80.

104. Шагидуллин P.P. Проблемы математического моделирования мягких оболочек, Казань: Изд-во Каз. матем. об ва, 2001. - 234 с.

105. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. - 400 с.

106. Auchmuty G. Variational principles for variational inequalities// Numerical Funct. Anal, and Optimiz. 1989. - V. 10. - N 9-10. -P. 863-874.

107. Gabay D., Merscier B. A dual algorithm for the solution of nonlinear variational problems via finite element approximations// Computer Math. Appl. 1976. - V 2. - P. 17-40.

108. Edward W. A general theory of parachute opening// J. Aircraft. -1972. V. 9. - N 4. - P. 257-258

109. Kydoniefs A.D. Finite Axisymmetric Deformations of an Initially Cylindrical Elastic Membrane Enclosing a Rigid Body//Quart. Journ. Mech. and Applied Math. 1969. - V. XXII. - Pt. 3. - P 319-331.

110. Kydoniefs A.D., Spenger A.J.M. Finite Axisymmetric Deformations of an Initially Cylindrical Elastic Membrane//Int. Journ. Engng. Sci. 1967. - V. 367. - N 5. - P 87-95.

111. Lions P.L., Merscier B. Splitting algorithms for the sum of two nonlinear operators//SIAM J. Numer. Anal. 1979. - V. 16. - N 6. -P. 964-979.

112. Maruster S. The solution by iteration of nonlinear equations in Hilbert spaces// Proc. Amer. Math. Soc. 1977. - V. 63(1). - P. 69-73

113. Opial Z. Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. - V. 73. - P. 591-597

114. Resolution numeriques de problemes aux limites par des methodes de Lagrangien augmente /Eds M.Fortin, R.Glowinski. Paris: Dunod, 1983. - 576 p.

115. Rockafellar R.T. Convex functions, monotone operators and variational inequalities//Theory and Applications of Monotone Operators, Tipografía Oderisi Editrice, Gubbio, Italy, 1969. P65.

116. Rockafellar R. T. Augmented Lagrangian multiplier rule and duality in nonconvex programming//SIAM J. Control and Optimization. -1974. V. 12 - N 2, - P. 268-285.

117. Rockafellar R.T. Monotone Operators and Augmented LagrangianMethods in Nonlinear Programming//Nonlinear Programming, Acad. Press. 1978. - N 3, - P. 1-25.