автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Итерационные методы решения вариационных неравенств нелинейной стационарной фильтрации

На правах рукописи

ИСМАГИЛОВ ЛИНАР НАИЛЕВИЧ

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ НЕЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Казанском государственном университете

Научные руководители. доктор физико-математических наук,

профессор Ляшко Анатолий Дмитриевич,

кандидат физико-математических наук, доцент Задворнов Олег Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Желтухин Виктор Семенович,

доктор физико-математических наук, профессор Якимов Николай Дмитриевич

Ведущая организация: Московский государственный университет

имени М.В. «Ломоносова

Защита состоится " 23 " июня 2005 г. в 15 час. 30 мин на заседании диссертационного совета Д 212.081.21 в Казанском государственном университете по адресу 420008, г. Казань, ул. Кремлевская 18, корп. 2, ауд. 217 С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан " 21 " мая 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совет?)

< ' л

кандидат физ - мат наук, доцент '/10ж/У1г~{ ® Задворнов

ет€) / ,

¿осхМ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование является широко используемой методологией научных исследований многочисленных задач в различных практических областях — в механики, физике, экономики, медицине и др. При математическом описании многих процессов и явлений используются нелинейные уравнения и вариационные неравенства. Поэтому разработка методов решения нелинейных уравнений и вариационных нера-венс гв представляет несомненный интерес До недавнего времени изучались, в основном, вариационные неравенства с сильно монотонными и максимально монотонными операторами в конечномерных и гильбертовых пространствах, однако описание ряда важных задач требует использования псевдомонотонных операторов. Методы решения вариационных неравенств с такими операторами разработаны сравнительно мало

Одной из областей, где возникают вариационные неравенства, является теория фильтрации аномальной жидкости В частности, это - задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей разрывному закону фильтрации, задачи об определении предельно равновесных целиков остаточной вязкопла-стичной нефти и т.д., играющие важную роль в вопросах увеличения нефтеотдачи, оптимизации разработки нефтяных месторождений. Эти задачи привлекают внимание многих специалистов. Для этих задач для ряда областей и законов фильтрации известны точные решения Однако случаи произвольных областей и законов фильтрации, требующие, в силу сложности возникающих здесь задач, применения приближенных методов, изучены недостаточно.

Таким образом, рассматриваемые в диссертации вопросы являются актуальными, как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Цель исследований. Цель работы - построение и исследование приближенных методов решения вариационных неравенств второго рода с псевдомонотонными операторами и недифференцируемыми выпуклыми функционалами на выпуклых замкнутых множествах в банаховых и гильбертовых пространствах, возникающих при описании нелинейных стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости.

Методы исследований. При изучении рассматриваемых в работе задач используются методы выпуклого анализа, теория монотонных операторов, метод конечных элементов.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в построении и исследовании приближенных методов для решения вариационных неравенств второго рода в банаховых и гильбертовых пространствах, которые возникают при математическом описании нелинейных стационарных задач фильтрации

Практическая ценность. Разработанные численные методы могут быть использованы при решении конкретных стационарных задач фильтрации -задач фильтрации несжимаемых жидкостей, следующих разрывному закону фильтрации, и задач об определении предельно равновесных целиков оста точной вязко апастической нефти.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научной конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и информатики" (г. Казань, 2002 г.), 4-м и 5 м Всероссийских семинарах "Се точные методы для краевых задач и приложения"^. Казань, 2002, 2004 г.г), весенних математических школах "Понтрягинские чтения - XIV, XV - Современные методы теории краевых задач"(г. Воронеж, 2003, 2004 г.г.), 12-й Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам (1. Владимир, 2003 г.), Международной конференции по вычислительной математике "МКВМ - 2004"(г. Новосибирск), Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики", посвященной 70-летию НИИММ им. Чеботарева (г. Казань, 2004 г.), итоговых научных конференциях Казанского государственного университета 2002-2005 г.г., научных семинарах кафедры вычислительной математики КГУ, лаборатории математического моделирования Института информатики КГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и изложена на 140 страницах, иллюстрированных 45 рисунками. Список литературы состоит из 146 наименований.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты 03-01-00380,04-01 -00821) и КЦФВ Ми-нобрнауки РФ (грант А03-2.8-659).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы исследований, дан обзор ра-

бот, близких к теме диссертации, излагается содержание диссертации

В первой главе рассматриваются постановки стационарных задач фильтрации, которые математически формулируются в виде вариационных неравенств второго рода Приведены постановки задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей разрывному закону фи.пы рации с предельным градиентом, и задачи об определении предельно равновесных целиков остаточной вязкопластичной нефти.

В § 1 дается постановка стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей разрывному закону с предельным градиентом.

Рассматривается установившейся процесс фильтрации несжимаемой жидкости Фильтрация происходит в ограниченной области О с Я"\ m > 1с непрерывной по Липшицу границей Г = Г1 U Г2, Г] П Г2 = 0, mes Го > 0, где Г] — ограниченное открытое подмножество Г, Г2 — внутренность r\Fi. Закон фильтрации будем записывать в виде

где V — скорость фильтрации, и — давление, £ —» — функция, определяющая закон фильтрации, относительно которой предполагаем следующее:

£ —* 5о(ч2К ~~ неотрицательная, непрерывная, функция, равная нулю при £ < (/? >0 — предельный градиент), не убывающая при £ > 0, имеющая на бесконечности степенной рост порядка р— I > 0, функция £ —* д\((;2)€

Предполагаем, что выполнены следующие краевые условия:

(у(х), п) — 0, х £ Гь п - внешняя нормаль к Г), и = 0, х е Г2

Отметим, что на практике важным моментом при решении задач нелинейной фильтрации с предельным градиентом является нахождение границ застойных зон - границ областей, где течение жидкости не происходит, т.е. линий, где = /?.

11ерейдем к математической формулировке описанной выше задачи. Пусть V = (не ■ ф) = 0, х е Г2} , Л0 . V -> V - оператор,

порождаемый формой

v = —p(|V«|2)Vu

(1)

д(ек=9о(ек+91(е)(;,

(2)

имеет вид

(Аои, V) - У до(\Чч\2) (У и, Ут?) сЬ, (3)

п

функционал 7*1 V > Я1 определен соотношением

К (V)- I ! длетах^я ! к(\Щ-!3)±с, Л(С) = | (4)

но п I ' —

Под решением стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости в области, следующей разрывному закону фильтрации будем понимать функцию и е V, являющуюся решением вариационного неравенства второго рода

(Аои, г] - и) + ^ (г?) - Я(и) >(1,т,-и) V ту е V, (5)

где / 6 V* - заданный элемент, который характеризует плотность внешних источников. Известно, что задача (5) имеет по крайней мере одно решение.

Отметим, что при р — 2 (т.е при линейном росте функции, определяющей закон фильтрации (1)) пространство V является гильбертовым.

В § 2 главы I дается постановка задачи об определении предельно равновесных целиков остаточной вязкопластичной нефти.

Рассматривается процесс вытеснения вязкопластичной нефти из пласта водой. Отличительной особенностью вязкопластичных жидкостей, отличающей их от обычных ньютоновских жидкостей, является способность оставаться неподвижными в пористой среде, если модуль градиента давления не превосходит предельного значения 0 (предельного градиента давления). Предположим, что в процессе длительного вытеснения в пласте образовался равновесный целик, обтекаемый стационарным потоком вытесняющей воды. Это означает, что область фильтрации распадается на область движения воды и область, занятую неподвижной вязкопластичной нефтью (предельно равновесный целик). Существенным моментом при этом является определение границ таких целиков. Эта задача аналогична задаче фильтрации однородной жидкости с многозначным законом фильтрации. Застойные зоны (области, где жидкость не движется) отвечают целикам, а область течения - области движения воды Область, в которой модуль градиента давления равен предельному градиенту, в законе фильтрации, соответствует области частично промытого пласта, часть мощности которо! о занята целиком, а часть — промыта

Таким образом, задача поиска предельного целика сводится к определению стационарных полей давления и и скорости V жидкости, вытесняющей нефть, в области О с непрерывной по Липшицу границей Г --- ?! и Г2, Г1 П Г2 - 0, шее Г2 > 0, где Г, — ограниченное открытое подмножество Г, Г2 — внутренность Г\ГЬ удовлетворяющих уравнению фильтрации и соответ с дующими граничными условиями-

СКуЦГЕ) - /, х 6 П,

1 -ь(х) е <?41^и|2)Чи яй{\Уи\2)Vи-I д ~^ Vи, (6)

| уы|

(и, п) = 0, х € Г1, и(х) = 0, х € Гз, где Я — многозначная функция, определяемая по формуле

(о, 4 < о, Я(0 = и 0,1], £ = 0, 11, £ > о,

¡3 > 0, д > 0 - заданные константы, функция £ —> д0(£2)£ удовлетворяет условиям, сформулированным в § I

Описанная задача математически также формулируется в виде вариационного неравенства (5).

Во второй главе построен метод итеративной регуляризации для решения вариационных неравенств второго рода с пссвдомонотонными операторами и выпуклыми, недифферснцируемыми функционалами на выпуклых замкнутых множествах в банаховых и гильбертовых пространствах, описывающие, в частности, задачи фильтрации, рассматриваемые в главе 1. Проведено исследование сходимости предложенного итерационного метода. Рассмотрено решение задач фильтрации методом итеративной регуляризации.

В § 1 сформулирована постановка общей задачи - вариационного неравенства второго рода.

Пусть V — рефлексивное банахово пространство с равномерно выпуклым сопряженным пространством V'*, (■, •) - отношение двойственности между V и V*, М - выпуклое замкнутое множество в V. А0 ■ V —> V — псевдомонотонный, коэрцитивный оператор 11редполагаем, также, что Ло — ограниченно липшиц-непрерывный оператор:

|| А0и - Аол\\V • < /4Я)Ф(||и - т/|И V«, 77 б К (7)

где R = m<ix{||u||v, ¡M|v}, M ~ неубывающая на [0, +oc) функция, Ф — непрерывная, строго возрастающая на [0,+оо) функции 1акая, что Ф(0) = 0.

Ф(£) —» +ос при f —» I ос. Кроме того, считаем, что ] ]

J((A0(t{v I 7/)),u + 7/)- (Aü(tu),u))dt =r J(A0(u ! tr;).ij)di Vuji e К (8) о о

Пусть, далее, Fi : V —» R1 - выпуклый (вообще говоря, недифференци-руемый), Липшиц непрерывный (с константой 7 > 0) функционал

Рассматривается задача поиска элемента и е М. являющегося решением вариационного неравенства второго рода

(А0и,т1-и)1 F^-F^u) > {/,7?-u) Vi/ еМ. (9)

В §2 главы 2 построен метод итеративной регуляризации решения вариационного неравенства (9).

Для s > 0 вводится функционал f\f, удовлетворяющий условиям

V7J6K lim с(е) — 0, (10)

£—»0

IM") - Fu{u)\ < Y\\v - u\\v Vu,v<EV, 7->0 (11)

Для решения задачи (9) рассмотрим следующий итерационный метод. Пусть и(0) 6 M - произвольный элемент. Определим для п = 0,1,2,. элемент г^1' e M как решение вариационного неравенства:

-UnU-u^) +T(FleM - ^>(л+1))) >

>T(f-A0u{n\jj-u^) V77 e M, (12)

где т > 0 — итерационный параметр, J : V —> V* — оператор двойственности, порождаемый функцией Ф.

В § 3 главы 2 исследована сходимость метода ( 12) в случае банахова пространства. Введем функционал

Пч) = Ш + FM - {/, Т7>, ад = j(Mtv), v)dt, / € V.

0 fil Теорема 1 . Пусть с(еп) — а < +оо, 0 < г < min ^ 1, — > ,

где il о Ф I 7*)),iîo- sup ||к||у, R^ sup ||A0u — /||v-»

ues0 ues0

S0 -- {ne M: F(u) < F(u^) f 2a}.

Тогда последовательность {У"'}, построенная согласно (12), ограничена в V, и все ее слабо предельные точки являются решениями задачи (9) при п —> +оо.

В § 4 главы 2 рассмотрен случай, когда V — гильбертово пространство, отождествленное со своим сопряженным V". Предполагаем, что оператор Ло удовлетворяет условию обратной сильной монотонности-

||Л0и - a0tj\\v < d0 (А0и - Л0т/. и - 7])v, d0 > 0 Vu, ijeV. (13)

оо

Теорема2 . Пусть^2с(еп) — а< +ос, оператор Л0является коэрци-

п=0

тивным и удовлетворяет условиям (8), (13). Пусть, далее, ие M -произвольный элемент Определим для п — 0,1,2. элемент е M как решение вариационного неравенства:

(u<»+i> _ „(«) , г, - u(»+i))v + T(FuM ~ Fitn(u[n+1))) >

> т(/ - Aou(n\v- u{n'V)v V T] e M, (14)

где 0 < т < т0 = 2/d0. Тогда вся последовательность {u(n)}, построенная согласно (14), сходится слабо в V к решению задачи (9) при п —> +оо.

В §5 главы 2 приведена реализация метода (14) в случае специального вида функционала Fy.

Пусть v, h - гильбертовы пространства, m = v. Предполагаем, что Fx — Gi о Л, Л : V —» Я — линейный, непрерывный оператор, такой что (Ли, Л77)я — (u,t])v для любых и,т] б V, где G] • Я —» R} - собственный, выпуклый, слабо полунепрерывный снизу функционал. Введем функционал Glf, который удовлетворяет условиям вида (10), (11). Тогда положим flt = gu о Л.

Для решения неравенства (14) рассматривается следующий итерационный процесс. Для заданных г > 0, начальных приближений Ло 6 Я, р(°) € Я, таких, что А<°> € dGie(p(0)), определим для к 0,1,2, последовательности {р^}, {А^} следующим образом.

1 ) определим как решение задачи

_ tf„,v)v 4 т (A(fc) - rpw + rAu>(fcll),A»?) = 0 Vi? 6 V; (15)

2) находим решая задачу минимизации

г 2

Аи>(к+1) - р

<

3) вычислим находим по формуле _ д(к) + г

(Ли/к+1>-р<*+1>). (17)

При этом {ги^} сходится слабо в V к некоторому решению ад задачи (14),

сходится сильно в Я к Л«' при к —> + ос. В § 6 главы 2 метод итеративной регуляризации применяется для решения задач фильтрации. Пусть функция £ —> д0(62)£. кроме, условий определенных в § 1 главы 1, удовлетворяет так называемому условию подчинения

< сг(а 4 £ + п)р~2 V т/ > 0, са > 0, а =

1, при р > 2.

£ - 77 ■>■-./ 10, при р < 2

При этом оператор Л0 удовлетворяет условию (7) с функциями Ф, д, задаваемыми формулами

ГСр-М <Р<2, ... /с,, е2 > О, 1 < р < 2,

, Р>2, ^^(са + гсг2, сз > 0,р> 2

, В случае, когда пространство V является гильбертовым, оператор Ао является обратно сильно монотонным, т.е. удовлетворяет условию (13).

Для решения рассматриваемых задач фильтрации выполнены условия теорем 1, 2. Функционал определяемый соотношением (4), представим в виде суперпозиции ^ = С\ о Л, где Л = V, а функционал : Я = —1• Я1

задается соотношением

! }1{\р\-!3)(1х, реН. п

Теперь исходное вариационное неравенство приобретает следующий вид

(4>и , ч - и)у + в^Ьп) -<^1 (Ли) > (/,7? -и) V

Определим функцию по формуле

О, £ < /? - е,

С > /?,

которая порождает функционалы Ь\, и Си

В случае гильбертова пространства J = -Д. Поэтому метод итеративной регуляризации (15) - (17) для определения последовательностей {р"5'}, {Л«} запишется в следующем виде: пусть р(°) е Я - произвольный вектор, Ас - <71£(|р(0)|>(0У |р(0)|, Аля Аг = 0,1,2.....

1) находим как решение краевой задачи

-(1 + тг)Ач,{км1> = г [я, + <Цу (А<*> - грЮ)] ,х € П,

(ш(к+1)(®), п) = 0, х е Гь ги{к+1)(х) -0, хё Г2; (18)

2) полагаемр(к+1> = + г), где а = А^ + т-Уи/*"1-1),

t =

H/r, г < г(/3-е),

(т?(/? - е) + £ H)/(tf + ет), г(р - е) < |а| < т0 + д, (|а| - т?)/г, |а| > г/? + 0;

3) вычисляем A<fc+I) -- A<fc> + г (Viu<*+1> - pifc+0) .

Таким образом, на каждом шаге итерационный метод сводится фактически к решению краевой задачи ( 18).

В третьей главе построен итерационный метод расщепления решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами и выпуклыми недифференцируемыми функционалами в гильбертовых пространствах, возникающих при описании рассматриваемых задач фильтрации. Проведено исследование сходимости метода.

В § 1 рассмотрен частный случай вариационного неравенства (9) в гильбертовом пространстве, когда функционал F\ является суперпозицией выпуклого функционала и линейного непрерывного оператора.

Пусть v, h — гильбертовы пространства, m — v, f(tj) — Ф (т?) + gi(hr}), Ф : v —> r1 — дифференцируемый по Гато функционал, причем производная Гато Ао = Ф ' : V —> V - коэрцитивный, обратно сильно монотонный оператор с константой do > т.е. выполнено условие ( 13), gx : Я —» r1 - собствен ный, выпуклый, слабо полунепрерывный снизу функционал, Л : V —» Я -линейный непрерывный оператор, имеющий ограниченный обратный, такой, что (Ли, atj)h = (ii, 77)v для всех и,т] 6 v.

Рассматривается задача

f (и) inf {f(tj) — (/, } . (19)

nev

Эта задача имеет по крайней мере одно решение и эквивалентна следующему вариационному неравенству второго рода

(Лои - /,17 - u)v + Gi(At/) - Gi(Aw) >0 V77 е V, (20)

являющемуся частным случаем вариационного неравенства (9). Поэтому задача (20) также имеет по крайней мере одно решение

Введем функции l : v х Я х н ñ1 и /,г . х Я х н -> Я1:

l(tj, z; (г) = щ) + f (/а Лт? - z)„ - (/, т?),,,

М»7,г; м) ¿(»7, м) -f ^ ЦЛ77 - , г > О.

Наряду с задачей (19) рассматриваются следующие задачи о поиске сед-ловых точек функционалов L и LT

inf sup l(rj,z] fl), (21)

r¡€V,z€H I¡£H

inf sup lt(r),z;fi). (22)

V£V,z(=H у. ея

Теорема 3 . Задача (21) разрешима, при этом первая компонента седловой точки и — решение задачи (19) , вторая и третья компоненты седловой точки у и А связаны с первой компонентой и соотношениями у — Аи, А е 3Gi(Au). Обратно, если и — решение задачи (19), Аи = у, тогда существует А е dG\(Au) такая, что (и,у, А) - седловая точка задачи (21).

Теорема 4 . Множества решений задач (21) и (22) совпадают

В § 2 главы 3 построен метод расщепления решения задачи (20).

Из теорем 3, 4 вытекает, что для нахождения решения задачи (20), в силу ее эквивалентности задаче (19), можно использовать алгоритмы поиска седловой точки функции Лагранжа LT.

Пусть u(0) е v — произвольный элемент, полагаем у^ = нахо-

дим £ dGi(vS°)). Определим для к — 1,2, последовательности {у^}> {А^} следующим образом.

1) находим u(fc+l) как решение задачи

u(fc+i) = „(*) _ Т _ j + A*x(k) + r и(к) _ г лу*,] _ (23)

где г — итерационный параметр;

2) определяем элемент решая задачу минимизации

Lr(u^kn\y^l\X^)<Lr(u^+l\z, А<*>) VzeH: (24)

3) вычисляем Хк+\ по формуле

A(*+i) = A(k) + r (25)

При численной реализации метода расщепления (23) - (25) основную трудность представляет решение задачи минимизации (24). Запишем (24) в виде'

(г Аи{к~" + Х{к\ z - у(к+1))н < Gr{z) - Gr{y^) VzeH, (26)

где Gr{z) -- G\{z) + ^ \\z\fH, т. е. гЫк+х> f e dGT(y(k+1)) Известно, что q £ dGr(z) тогда и только тогда, когда г € dG*(q), где G* - сопряженный к Gr функционал. Поэтому имеем, что

Таким образом, решение задачи (24) существенно облегчается в случае, когда мы можем эффективно вычислить субдифференциал dG* При этом задача поиска элемента у-к+^ сводится к вычислениям по явным формулам. Этим мы пользуемся ниже при решении рассматриваемых задач фильтрации

В § 3 главы 3 проведено исследование сходимости итерационного процесса расщепления (23) - (25). Определим гильбертово пространство Q = V х Н х Н со скалярным произведением (•, -)q = a-i (■, )v + а2 (•, )я + а3 (-, -)я, где ai = (1 - тг)/(2т), а2 — г-/(2), а3 = 1/(2г), т, г - положительные константы, связанные соотношением тг < 1.

Рассмотрим оператор Т : Q ^ Q: Tq = {T^q, T2q, T3q,} ,

Tiq — q\ — т [Atfi - / + A*q3 + г qx -rA*q2], T2q = Arg min Lr(7\g, 2; q3),

zkH

T3q = q3 + r [АТ1Ч - T2q].

Тогда итерационный метод (23) - (25) запишется в виде q(k+^ = Tq(k\ q(k) = (uW, y(fc); Л^ ), для A: = 0,1,2 .., те T - оператор перехода итерационного процесса

Теорема 5 . Множество седловых точек задачи (21) совпадает с множеством неподвижных точек оператора Т.

Таким образом, исследование сходимости метода (23) - (25) сводится к исследованию сходимости метода последовательных приближений для нахождения неподвижной точки оператора Т

Теорема 6 . Пусть 0 < 7 < 2 <¿0/(2 ¿о г + 1), д'01 € <3 - произвольно заданный элемент. Определим последовательность -¡У^} по формуле я{к+1) _ туо ¿)яя к . 0,1.2. . Тогда эта последовательность сходится слабо в <3 при к —> +оо, ее предел д* является неподвижной точкой оператора Т, и справедливы равенства

Нт

№

АЯ\

(к)

0,

Нт

к—+оо

д(к+1) _ ч(к)

Я

0.

(27)

Затем рассмотрен случай, когда оператор А0 удовлетворяет более сильному условию, чем условие обратно сильной монотонности. Справедлива

Теорема 7 . Пусть оператор сильно монотонен липшиц-непрерывен с константами 6 > 0 и 7 > 0 соответственно:

{Аои-АоГ},и-т})у>6\\и-т]\\1, \\aqu- а<т\\у <-у \\и - г)\\у Уи^еУ, выполнено условие т < 26/ (26г + 72). Тогда справедливы соотноше-

ния (27) и, кроме того, Нт

к—>+оо

(к) Я\' -и

О, Нт

к->+оо

№

ки

н

= 0, где

и — решение задачи (20).

В §4 главы 3 метод расщепления (23) - (25) применен для решения рассматриваемых в главе 1 задач фильтрации. Для этих задач Л = V, а Л* = —сПу. 1) Реализация (23) состоит в решении краевой задачи

- аю = / - Аи(к> 4 <Ку (А^ - гр<*>) + г Ди^ х Е

(Цх), п) = О, X е Гь ы{х) -0,16 Г2, (28)

после чего вычисляется = и^ + ти>.

2) Установлено, что функционал б* является выпуклым и дифференцируемым по Гато, субдифференциал этого функционала состоит из единственного элемента, совпадающего с его градиентом, который определяется следующим образом: (С*т)'г ^ д"г{\г?)х, где

(£-0)/г, £ > г/3 + 1?.

Поэтому задача минимизации (24), в соответствии с рассуждениями, приведенными в §2 главы 3, сводится к нахождению j/kl Г) по явным формулам: У{к'1) = яШ)ч, q = r\uW + \lk>.

3) Вычисляем по формуле \{к'A(fc> | г (Vu{k'- у**"1')

Таким образом, каждый шаг итерационного метода расщепления сводится фактически к решению краевой задачи (28)

В четвертой главе приводятся результаты численных экспериментов для модельных задач фильтрации, полученные методом итеративной регуляризации и методом расщепления, проводится их анализ.

В § 1 проведено построение внутренних конечноэлементных аппроксимаций вариационных неравенств с пседомонотонными операторами применительно к рассматриваемым задачам фильтрации.

В § 2 главы 4 приведены постановки некоторых задач об определении границ предельно равновесных целиков вязкопластичной нефти, для которых аналитическим способом определены характеристики точных решений - линии, на которых модуль градиента давления имеет посюянное значение ß — предельному градиенту давления (границы целиков). Эти задачи рассматриваются при различных схемах расположения скважин.

Сначала рассматривается задача для бесконечной цепочки скважин с расходом q, расположенных на прямой на расстоянии 2 Ч друг от друга, при этом:

1) функция f —» g,?(f2)f имеет следующий вид (задача 1а):

0 < £ < /3, \<*ß,ß}, i = ß, £ > Р,

где 0 < а < 1 и ß > 0. Решение данной задачи зависит от безразмерного параметра Q — q/(4ߣ), характеризующего скорость фильтрующейся жидкости на бесконечности. Изучаются два случая Q < а < 1 и Q > 1;

2) функция f —» д#(£2)£ имеет следующий вид (задача 1Ь):

0. 0 < £ < /3, w(i2)e= | [О,/?], (29)

С, £ > ß

Элемент течения (см рис. 1) для этой задачи представляет собой полуполосу {0 < х < у > 0} (I = 0 1) , которая при решении заменяется на конечную прямоугольную область Скважина расположена в точке (0,0).

Далее рассматривается задача при пятиточечной схеме расположения скважин с расходом Исследуется случай, когда функция £ —> опре-

делена соотношением (29) (задача 2Ь). Элемент симметрии изображен на рис. 4, скважины расположены в точках (0,0) и (1,1)

В § 3 главы 4 приведены результаш численных расчетов дня описанных в § 2 главы 4 задач Сфоятся триангуляции рассматриваемых расчетных областей П, которые получаются путем равномерного разбиения ее сторон на пг и п2 частей, построения треугольников с диагоналями, параллельными биссектрисе первою и третьего координатного углов, и применения МКЭ с использованием кусочно-линейных на треугольниках функции

На приводимых ниже рисунках сплошные линии - это границы целиков, построенные аналитическим способом по входным данным задачи <3, а и Темным цветом выделено множество треугольников, на которых модуль градиента приближенного решения равен ¡5 (предельному градиенту давления).

На рис. 1 приведены результаты расчетов задачи 1а для цепочки скважин. Результаты получены методом итеративной регуляризации. Выбирались следующие значения параметров задачи: д — 0.16, <2 = 0 4, а — 0.5, <3 < а

На рис. 2 приведены результаты расчетов задачи 1а для цепочки скважин при более интенсивном течении (при <3 > 1). Результаты получены методом расщепления. Выбирались следующие значения параметров задачи: <? = 0.4304, С} = 1.076, а = 0.5, <2 > 1.

На рис 3 приведены результаты расчетов задачи 1Ь для цепочки скважин Результаты получены методом итеративной регуляризации. Выбирались следующие значения параметров задачи: д = 0 6, <3 = 1.5, а - 0, <3 > 1.

На рис. 4 приведены результаты расчетов задачи 2Ь для пятиточечной расстановки скважин. Результаты получены методом расщепления. Выбирались следующие значения параметров задачи: д — 0 4, <3 — 1, а = 0.

В § 4 главы 4 приведены результаты численных расчетов для других законов фильтрации и областей.

На рис. 5 приведены результаты численных расчетов для задачи о бесконечной цепочке скважин, когда функция £ —> имеет вид (задача За):

О, 0<£</3,

Рис. 1: Границы целика (задача 1а). Рис. 2. Границы целика при (¡) > 1 (задача 1а)

Для ее решения используется метод итеративной роуляризации. Темным цветом выделена граница застойной зоны, области, где жидкость не движется Выбирались следующие значения параметров <7 — 0 6 <3 — 1 5, а = 0, <5 > 1 Приведены также результаты численных расчетов для 1_, - образной области (рис 6), внутри которой располагаются две скважины с расходом д = 1 5' одна - эксплуатационная, другая — нагнетательная (задача ЗЬ). Закон фильтрации определяется соотношением (29) Приведенные численные резуль-

ог,

! !

Ч»

0.

•-д £

Рис 5 Границы целика (задача За) Рис 6 Границы застойных зон (задача ЗЬ)

таты показали эффективность предложенных методов решения стационарных задач фильтрации.

Основные научные положения и результаты работы

1. Достаточные условия сходимости метода итеративной регуляризации решения вариационных неравенств с псевдомонотонными операторами и выпуклыми недифференцируемыми функционалами на выпуклых замкнутых множествах в банаховых и гильбертовых пространствах.

2. Достаточные условия сходимости метода расщепления решения вариационных неравенств с обратно сильно монотонными, потенциальными операторами и выпуклыми недифференцируемыми функционалами в гильбертовых пространствах

3 Результаты численных экспериментов по решению стационарных задач фильтрации с многозначным законом, подтвердившие эффективность предложенных итерационных методов.

Список публикаций по теме диссертации

1. Бадриев И.Б. Методы итеративной регуляризации для вариационных неравенств второго рода с псевдомонотонными операторами/ И.Б Бадриев, О А. Задворнов, Л Н. Исмагилов // Актуальные проблемы математического моделирования и информатики. Матер, научной конференции (г. Казань, 30.01.2002 - 06 02 2002 г.) - Казань: Издательство Казанского математического общества, - 2002. - С. 29-32.

2 Бадриев И.Б. О методах регуляризации для решения некоторых вариационных неравенств второго рода с псевдомонотонными операторами/ И.Б. Бадриев, О А. Задворнов, Л.Н. Исмагилов // Сеточные метода для краевых задач и приложения. Матер. 4-го Всеросс. семинара. Казань: Изд-во Казанского математического общества. - 2002. - С. 23-28.

3. Бадриев И.Б О численном решении некоторых нелинейных стационарных задач теории фильтрации/ И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов, Л.Н. Исмагилов // Современные методы теории краевых задач. Матер Воронежской весенней матем. школы "Понтрягинские чтения - XIV" (3-9 мая 2003 г.) - Воронеж- Изд-во ВГУ. - 2003 - С. 11-12.

4 Badriev I.B. On the methods of iterative regularization for the variational inequalities of the second kind with pseudomonotone operators/ I.В Badriev, O.A. Zadornov , L.N. Ismagilov// Computational Methods in Applied Mathematics. - 2003, - V. 3. - N. 2. - R 223-234.

5. Бадриев И.Б. Численное исследование некоторых нелинейных стационарных задач 1еории фильтрации/ И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов, Л.Н. Исмагилов // Тезисы докладов Двенадцатой Международной конференции по вычисли гельной механике и современным прикладным системам, Владимир, 30 июня - 5 июля 2003 г. - М.: Изд-во МАИ. -2003. - С. 75 - 76.

6. Бадриев И.Б. Применение метода декомпозиции для численного решения некоторых нелинейных стационарных задач теории фильтрации/ И.Б. Бадриев, О А Задворнов, Л Н. Исмагилов // Исследования по прикладной матема1икеи информатике Вып. 24.-Казань: Изд-во КГУ - 2003.- С. 12-24.

Н11Ъ2Ъ Ш126 ;

7 Бадриев И Б Численное решение задачи о целиках остаточной вязко-пластичной нефти/И. Б Бадриев, О.А Задворнов, Л Н. Исмагилов// Современные методы теории краевых задач Матер Воронежской весенней матем школы "Понтрягинские чтения - XV" (3-9 мая 2004 г.) - Воронеж Изд-во ВГУ. -2004. - С 20-21

8. Бадриев ИБО численном решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации/ И Б Бадриев, О А. Задворнов, Л.Н. Исмагилов, А.Д. Ляшко // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 Ч. 1. Подред ГА Михайлова, В П.Ильина, Ю.М. Лаевского. - Новоси бирск- Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2004. - С. 396-400.

9. Бадриев И.Б. Численное решение вариационных неравенств, возникающих при описании процессов фильтрации/ И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов, Л.Н Исмагилов // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Матер 5-го Всероссийского семинара - Казань: КГУ. - 2004. - С. 24-25.

10. Бадриев И Б О численном решении некоторых задач фильтрации с предельным градиентом/ И Б. Бадриев, O.A. Задворнов, Л.Н. Исмагилов, Э.В. Скворцов // Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского. Т. 25. Матер международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" - Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2004. - С. 39-40.

11. Бадриев И Б Решение задач об определении предельно равновесных целиков остаточной вязко - пластической нефти/ И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов, Л.Н. Исмагилов, Э В. Скворцов // Исследования по прикладной мате матике и информатике. Вып 25. - Казань: КГУ. - 2004. - С.26-41.

Подписано в печать 18.05.2005. Бумага офсетная. Формат 60x84 1/16 Гарнитура "Тайме" Печать ризографическая. Усл. печ. л. 1.16 Уч -изд л. 1 29. Тираж 100 экз. Заказ 5/46

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии издательского центра Казанского государственного университета 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17 Тел.(8432)92-65-60

ВВЕДЕНИЕ

1 ПОСТАНОВКА НЕЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ

1.1 Постановка нелинейной стационарной задачи фильтрации.

1.2 Постановка задачи об определении предельно равновесных целиков остаточной вязкопластичной нефти.

2 ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ МЕТОДА ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПСЕВДОМОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

2.1 Постановка общей задачи.

2.2 Метод итеративной регуляризации в случае банахова пространства.

2.3 Исследование сходимости метода итеративной регуляризации в случае банахова пространства.

2.4 Исследование сходимости метода итеративной регуляризации в случае гильбертова пространства.

2.5 Реализация метода итеративной регуляризации в случае гильбертова пространства.

2.6 Решение нелинейных стационарных задач фильтрации методом итеративной регуляризации

3 ИССЛЕДОВАНИЕ ИТЕРАЦИОННОГО МЕТОДА

РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ

НЕРАВЕНСТВ С ОБРАТНО

СИЛЬНО МОНОТОННЫМИ ОПРЕАТОРАМИ

3.1 Задача о поиске седловой точки.

3.2 Построение итерационного метода расщепления.

3.3 Исследование сходимости итерационного метода расщепления.

3.4 Решение нелинейных стационарных задач фильтрации методом расщепления.

4 РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ

4.1 Построение внутренних аппроксимаций для вариационных неравенств с пседомо-нотонными операторами. Построение схем МКЭ для стационарных задач фильтрации.

4.2 Точные характеристики для некоторых задач фильтрации.

4.2.1 Задача определения целиков остаточной нефти в случае бесконечной цепочки скважин.

4.2.2 Задача определения целиков остаточной нефти в случае пятиточечной площадной системы скважин

4.3 Результаты численных экспериментов для модельных задач.

4.3.1 Результаты решения задачи об определении целиков остаточной нефти в случае бесконечной цепочки скважин.

4.3.2 Результаты решения задачи об определении целиков остаточной нефти в случае пятиточечной площадной системы скважин.

4.4 Результаты численных экспериментов для задач фильтрации с законами, имеющие степенной рост, и для областей, отличных от прямоугольных.

Математическое моделирование является одним из наиболее эффективных способов решения многочисленных задач, возникающих в различных практических областях - механике, физике, экономике, биологии, медицине и т.д. Многие такие задачи описываются уравнениями и неравенствами с частными производными. В связи с этим особое внимание уделяется методам их решения. Поскольку возникающие здесь задачи сложны и, как правило, нелинейны, то для их решения необходимо использовать численные методы, основанные на конечномерных аппроксимациях изучаемых задач при помощи метода конечных элементов и метода конечных разностей. Эти методы развиты к настоящему времени достаточно полно для линейных уравнений и вариационных неравенств, различные аспекты их освещены, например, в [59], [77], [79], [85], [110], [118] - [123], [125], [126].

Нелинейные уравнения и вариационные неравенства также давно являются объектами изучения. Эти уравнения и неравенства возникают во многих прикладных областях, к которым относятся, в частности, задачи нелинейной фильтрации несжимаемой жидкости с предельным градиентом (см., например, [48], [66], [73], [83], [84], [105], [106], [114], [116], [128], [129], [132]).

Диссертация посвящена построению и исследованию приближенных методов решения нелинейных стационарных задач фильтрации с предельным градиентом (см. [3], [4], [107], [116]) и задач об определении предельно-равновесных целиков остаточной вязко пластичной нефти (см. [48], [68] -[72], [83], [113], [124]). Эти классы задач описываются математически с помощью уравнений и вариационных неравенств с вырождающимися операторами монотонного типа (монотонными, обратно сильно монотонными [62], псевдомонотонными [94]) в банаховых пространствах.

Методы теории монотонных и псевдомонотонных операторов (см., например, [35],[44] - [47], [49], [50], [56], [58], [81], [91], [94], [142] - [144]), а также выпуклого анализа (см., например, [53] - [55], [57], [74], [95], [104],

115], [117], [130], [133], [140]) оказываются весьма плодотворными при исследовании указанного круга задач, построении и исследовании методов их решения.

Остановимся вкратце на работах, близких к тематике диссертации.

Вопросам исследования разностных методов решения нелинейных стационарных задач теории фильтрации несжимаемой жидкости, следующей непрерывному закону фильтрации с предельным градиентом посвящены работы [60], [61], [76], [78], [79], [98], [99], где математически задача сформулирована в виде квазилинейного вырождающегося эллиптического уравнения. В [78], [79], [98] доказаны теоремы существования решения и единственности скорости фильтрации, проведена и исследована аппроксимация закона фильтрации с предельным градиентом близким законом без предельного градиента. В [61], [76], [79], [98] строятся и исследуются разностные схемы для указанных задач, изучаются вопросы существования и сходимости решений разностных схем и сходимости разностных скоростей фильтрации. В [60], [79], [98] предложены и исследованы итерационные методы численного решения разностных схем.

Математическая модель задачи стационарной фильтрации с разрывным законом в виде вариационного неравенства второго рода рассмотрена в работе [89], где, в частности, исследованы вопросы аппроксимации разрывного закона фильтрации с предельным градиентом близким непрерывным законом без предельного градиента. В [93] рассматривался вариант метода расширенного лагранжиана численной реализации конечномерной аппроксимации стационарной задачи фильтрации с разрывным законом.

Вопросам корректности математических моделей стационарных задач фильтрации с разрывным законом, сформулированных в виде вариационных неравенств первого рода, задач на минимум функционала, с многозначными операторами, исследованию двойственных задач посвящены работы [8], [33], [75], [80], [96]. В частности, в работе [75] установлена эквивалентность вариационного неравенства первого рода включению с многозначным законом фильтрации. В работах [6], [31], [38], [92], [97], [99], [101] проводилось построение и исследование конечномерных аппроксимаций (конечно-разностных и конечноэлементных) для рассматриваемых задач. В работах [7], [32], [33] изучались вопросы регуляризации разрывного закона близким непрерывным.

Вопросам построения и исследования итерационных методов решения вариационных неравенств с монотонными, максимально монотонными, сильно монотонными операторами посвящено большое количество работ. Следует отметить, что, как правило, рассматривались случаи конечномерного или гильбертова пространства (см. [5], [14] - [17], [32], [43], [47], [51], [52], [58], [59], [62], [64], [65], [81], [82], [111], [130], [135] - [145]). В случае банаховых пространств отметим здесь работы [10] - [13], [28], [29], [36], [45], [46], [56].

Для задач фильтрации итерационные методы рассматривались в работах [9], [И], [15], [29], [32] - [34], [36] - [38], [40] - [43], [93], [97], [99], [101]. Эти методы предполагали предварительную регуляризацию - замену разрывного закона фильтрации близким непрерывным.

Отметим, что для ряда специальных областей и законов фильтрации в работах [3], [48], [68] - [73], [83], [107], [116], [124], [129] были построены точные характеристики решения (границы областей, где модуль градиента давления равен предельному градиенту) методами теории струй [63]. Эти характеристики оказываются весьма полезными при оценке эффективности приближенных методов, предложенных для решения задач с произвольными областями и законами фильтрации.

Некоторые вопросы теории разностных методов для нестационарных задач теории фильтрации в случае разрывного закона фильтрации с предельным градиентом рассмотрены в работах [90], [100] - [103], где математическая модель процесса нестационарной фильтрации формулируется в виде параболического вариационного неравенства, исследуются вопросы существования и единственности решения, регуляризации разрывного закона близким непрерывным, строятся и исследуются разностные схемы.

В настоящей диссертации проведено построение и исследование приближенных методов решения вариационных неравенств второго рода с псевдомонотонными операторами и недифференцируемыми выпуклыми функционалами на выпуклых замкнутых множествах в банаховых и гильбертовых пространствах, возникающих при описании стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости.

Диссертация состоит из введения и четырех глав.

1.A. О решении некоторых уравнений, содержащих разрывные монотонные преобразования/А.А. Абрамов, А.Н. Гаипова// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. - 1972. - Т. 12. - N 1. - С. 204-207.

2. Абрамов A.A. О некоторых уравнениях, содержащих монотонные разрывные операторы/А.А. Абрамов, А.Н. Гаипова// Доклады АН СССР. 1973. - Т. 212. - N 3. - С. 529-532.

3. Алишаев М.Г. О стационарной фильтрации с начальным градиентом/ М.Г. Алишаев// В сб. Теория и практика добычи нефти. М.: Недра, - 1968, - С. 202-211.

4. Алишаев М.Г. О некоторых особенностях фильтрации пластовой девонской нефти при пониженных температурах/М.Г. Алишаев, Г.Г. Ва-хитов, М.М. Гехтман, И.В.Глумов// Известия АН СССР, сер. Механика жидкости и газа. 1966. - N 3. - С. 166-169.

5. Алъбер Я. И. Принцип невязки при решении нелинейных задач с монотонными операторами регуляризующий алгоритм/Я.И. Альбер, И.П. Рязанцева// Доклады АН СССР. - 1978 - Т. 212. - N 5. - С. 10171020.

6. Вадриев И.Б. Разностные схемы для нелинейных задач фильтрации с разрывным законом// Изв. ВУЗов. Матем. 1983. - N 5. - С. 3-12.

7. Вадриев И. Б. О регуляризации нелинейной задачи теории фильтрации с разрывным законом/ И.Б. Вадриев // Исследования по прикл. математике, Вып. 10. Казань: изд-во Казан, гос. ун-та, - 1984. -С. 162-176.

8. Бадриев И. Б. Применение метода двойственности к исследованию стационарных задач фильтрации с разрывным законом/ И.Б. Бадриев// Исследования по прикл. математике, Вып. 13. Казань: изд-во Казан, гос. ун-та, - 1985.- С. 67-75.

9. Бадриев И.Б. Исследование сходимости итерационного процесса для уравнений с вырождающимися операторами/И.Б. Бадриев, O.A. За-дворнов// Дифф. уравнения. 1996 - Т. 32. - N 7. - С. 898-901.

10. Бадриев И. Б. О сходимости итерационного процесса для решения вариационного неравенства второго рода/И.Б. Бадриев, O.A. Задвор-нов// Исследования по прикл. математике. Вып. 22. Казань: Изд-во Казан, матем. общ-ва, - 1997. - С. 5-17.

11. Бадриев И. Б. О сильной сходимости итерационного метода для операторов с вырождением/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов//Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1997. - Т.37, - N 12. - С. 1424-1426.

12. Бадриев И. Б. Построение и исследование сходимости итерационных методов решения вариационных задач с недифференцируемым функционалом/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов// Дифф. уравн. 2002, -Т. 38. - N 7, - С. 930-935.

13. Бадриев И. Б. Итерационные методы решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов// Известия ВУЗов. Математика. 2003. - N 1. - С. 20-28.

14. Бадриев И. Б. Методы декомпозиции для решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов// Дифф. уравнения. 2003, - Т. 39. -N 7. - С. 888-895.

15. Бадриев И. Б. Итерационные методы решения вариационных неравенств в гильбертовых пространствах./И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов// Казань: Изд-во КГУ, 2003. - 132 с.

16. Бадриев И. Б. Исследование сходимости итерационных методов решения некоторых вариационных неравенств с псевдомонотонными операторами/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов, A.M. Саддек// Дифф. уравн. 2001, - Т. 37. - N 7, - С. 891-898.

17. Бадриев И. Б. О конечномерных аппроксимациях некоторых вариационных неравенств второго рода/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов,A.M. Саддек //Иссл-я по прикл. матем. и информатике, Казань: Изд-во Каз. матем. об-ва, 2001. - Вып. 23. - С. 8-21.

18. Бадриев И. Б. О решении некоторых вариационных неравенств второго рода/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов, A.M. Саддек //Иссл-я по прикл. матем. и информатике, Казань: Изд-во Каз. матем. об-ва, -2001. Вып. 23. - С. 22-30.

19. Бадриев И.Б. Применение метода двойственности к решению нелинейных задач теории фильтрации с предельным градиентом/И.Б. Бадриев, М.М. Карчевский// Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18. -N 7. - С. 1133-1144.

20. Бадриев И.Б. Методы двойственности в прикладных задачах (общая теория)./И.Б. Бадриев, М.М. Карчевский// Казань: Изд-во Казанск. ун-та,- 1987. - 147 с.

21. Бадриев И.Б. О сходимости итерационного процесса в банаховом пространстве/И.Б. Бадриев, М.М. Карчевский// В сб. Исслед по прикл. матем-ке, Вып. 17. Казань: Изд-во Казан, ун-та, - 1990. - С. 3-15.

22. Бадриев И. Б. Исследование сходимости итерационных методов решения нелинейных задач теории фильтрации/И.Б. Бадриев, А.Д. Ляш-ко, О.В. Панкратова// Известия ВУЗов. Матем. 1998. N 11. - С. 8-13.

23. Бадриев И.Б. Смешанный метод конечных элементов для нелинейных стационарных задач теории фильтрации/И.Б. Бадриев, О.В. Панкратова// В сб. Исслед-ния по прикл. математике. Вып. 16. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, - 1989. - С. 17-34.

24. Бадриев И.Б. Итерационные методы решения задач фильтрации с разрывным законом с предельным градиентом/И.Б. Бадриев, О.В. Панкратова, P.P. Шагидуллин// Дифференциальные уравнения. 1997. -Т. 33. - N 3. - С. 396-399.

25. Бадриев И.Б. О сходимости итерационного процесса с монотонным оператором в гильбертовом пространстве/И.Б. Бадриев, P.P. Шаги-дуллин//В сб. Исследования по прикладной математике. Вып. 22. -Казань: Изд-во Казан, математ. общества, 1997. - С. 17-21.

26. Байокки К. Вариационные и квазивариационные неравенства. Приложения к задачам со свободной границей./К. Байокки, А. Капелло//-М.: Наука, 1988. 448 с.

27. Бакушинский А.Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. /А.Б. Бакушинский, A.B. Гончарский// М.: Изд-во МГУ, 1989. - 199 с.

28. Бакушинский А.Б. Итеративные методы решения некорректных задач. /А.Б. Бакушинский, A.B. Гончарский// М.: Наука, 1989. - 128 с.

29. Бенсусан А. Методы декомпозиции, децентрализации, координации и их приложения/А. Бенсусан , Ж.-Л. Лионе, Р. Темам// Методы вычислит, математики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1975. -С. 144-274.

30. Бернандинер М.Г. Гидродинамическая теория аномальных жидкостей./ М.Г.Бернандинер , В.М. Ентов. М.: Наука, 1975. - 199 с.

31. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. / М.М. Вайнберг. М.: Гостехиздат, 1956. - 344 с.

32. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. / М.М. Вайнберг. М.: Наука, 1972. - 416 с.

33. Вайнелът В. К численному решению вариационных неравенств / В. Вайнельт // Дифференц. уравнения. 1981.- Т.17. - № 11.- С. 2029 - 2040.

34. Вайнелът В. К численному решению вариационных неравенств / В. Вайнельт// Вариационно-разностные методы в математической физике. М., 1984. - С. 34 - 41.

35. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. / Ф.П. Васильев. М.: Наука, 1980. - 518 с.

36. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. / Ф.П. Васильев. М.: Наука, 1981. - 400 с.

37. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. / Ф.П. Васильев. М.: Наука, 1988. - 552 с.

38. Гаевский X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения./Х. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. -М.: Мир, 1978. 336 с. Захариас

39. Галеев Э.М. Краткий курс теории экстремальных задач./ Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров. М.: Изд-во Московского ун-та, 1989. - 204 с.

40. Главачек И. Решение вариационных неравенств в механике./ И. Гла-вачек, Я. Гаслингер, И. Нечас, Я. Ловишек М.: Мир, 1986. - 270 с.

41. Гловински Р.Г. Численное исследование вариационных неравенств./ Р.Г. Гловински, Ж.-Л. Лионе, Р. Тремольер. М.: Мир, 1979. - 576 с.

42. Глушенков В.Д. Об одном уравнении нелинейной теории фильтрации/ В.Д. Глушенков // Прикладная математика в научно-технических задачах. Казань: Изд-во Казан, гос. ун-та, - 1976. - С. 12 - 21.

43. Глушенков В.Д. Разностная схема для одного вырождающего квазилинейного эллиптического уравнения / В.Д. Глушенков // Применение ЭВМ к решению задач мат. физики и АСУ. Казань: Изд-во КГУ.- 1977. С. 121-126.

44. Голъштейн Е.Г. Модифицированные функции Лагранжа./ Е.Г. Голь-штейн, Н.В. Третьяков.- М.: Наука. 1989. - 400 с.

45. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости./ М.И. Гуревич. -М.: Наука, 1961. 496 с.

46. Даутов Р.З. Об операторах точного штрафа для эллиптических вариационных неравенств с препятствием внутри области/Р.З. Даутов// Дифференц. уравнения. 1995.- Т.31. - № 6.- С. 961 - 970.

47. Девликамов В.В. Аномальные нефти./ В.В. Девликамов, З.А. Ха-бибуллин, М.М. Кабиров. М.: Недра, 1975. - 168 с.

48. Дюво Г. Неравенства в механике и физике./ Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе. -М.: Наука, 1980. 384 с.

49. Ентов В.М. О расчете предельно равновесных целиков при вытеснении вязкопластической нефти из слоисто-неоднородного пласта/В.М. Ентов, Т.А. Малахова, В.Н. Панков, C.B. Панько// Прикладная математика и механика. 1980. - Т. 44. - N 1. - С. 113-123.

50. Ентов В.М. К расчету целиков остаточной вязко-пластической нефти/В.М. Ентов, В.Н. Панков, C.B. Панько// Прикладная математика и механика. 1980. - Т. 44. - N 5. - С. 847-856.

51. Ентов В.М. О форме целика остаточной вязкопластичной нефти при разработке круговой скважины/В.М. Ентов, В.Н. Панков, C.B. Панько// Известия АН СССР, сер. МЖГ. 1984. - N 4. - С. 88-93.

52. Ентов В.М. Математическая теория целиков остаточной вязкопластичной нефти. / В.М. Ентов, В.Н. Панков, C.B. Панько. Томск: Изд-во Томского ун-та. - 1989. - 196 е.

53. В.М. Ентов К вариационной формулировке задачи о целиках остаточной нефти/В.М. Ентов, C.B. Панько // Прикладная математика и механика. 1984. - Т. 48. - N 6. - С. 966-972.

54. Ильинский Н.В. Задача нелинейной фильтрации с неоднолистной областью годографа скорости/Н.Б. Ильинский, Е.Г. Шешуков// Изв. вузов. Математика. 1972. - N 10. - С. 34-40.

55. Иоффе А.Д. Теория экстремальных задач. / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. М.: Наука, 1974. - 480 с.

56. Карчевский М.М. Нелинейные задачи теории фильтрации с разрывными монотонными операторами/М.М. Карчевский, И.Б. Бадри-ев//Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО АН СССР. - Т. 10. - N 5. - 1979. - С. 63-78.

57. Карчевский М.М. Исследование разностной схемы для нелинейной стационарной задачи теории фильтрации/М.М. Карчевский, A.B. Лапин// Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во КГУ. - 1979. - Вып 6. - С. 23 - 31.

58. Карчевский М.М. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений. 1/М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко// Изв. вузов. Математика. 1972. - N 11. - С. 23-31.

59. Карчевский М.М. Исследования нелинейных задач теории фильтрации. /М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко//Труды семинара по краевым задачам. Вып.11. Казань: Изд-во КГУ, 1974. - С. 64-72.

60. Карчевский М.М. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики./М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко// Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1976. - 156 с.

61. Кипдерлерер Д. Введение в вариационные неравенства и их приложе-ния./Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья// М.: Мир, 1983. - 256 с.

62. Конное И.В. Обобщенные вариационные неравентсва на произведении множеств/ И.В. Коннов// Исследования по информатике, Казань: Изд-во Отечество. 2001. -Вып. 3. - С. 111-120.

63. Котляр Л.М. Плоские стационарные задачи фильтрации жидкости с предельным градиентом./Л.М. Котляр, Э.В. Скворцов// Казань: Изд-во Казанск. ун-та. 1978. - 144 с.

64. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. / А.Н. Коновалов. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1988. -166 с.

65. Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. / В.Г. Корнеев. JI: изд-во Лениградского ун-та, 1977. -208 с.

66. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений./ М.А. Красносельский. М.: Гостехиздат, 1956. - 392 с.

67. Лаврентьев М.А. Методы теории функции комплексного переменного./ М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат М.: Наука, 1977. -700 с.

68. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики./ O.A. Ладыженская М.: Наука, 1973. - 407 с.

69. Лапин A.B. Об исследовании некоторых нелинейных задач теории фильтрации/ A.B. Лапин // Журн. вычисл. матем. и матем. физ.1979. Т. 19. - N 3. - С. 689 -700.

70. Лапин A.B. Исследование одного нестационарного нелинейного вариационного неравенства/ A.B. Лапин // Дифференц. уравнения.1980. Т. 16. - N 7. - С. 1245-1254.

71. Лапин A.B. Введение в теорию вариационных неравенств./ A.B. Лапин. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1981. - 122 с.

72. Лапин A.B. Сеточные аппроксимации вариационных неравенств./ A.B. Лапин. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1984. -96 с.

73. Лапин A.B. Метод расширенного лагранжиана для задач фильтрации с предельным градиентом/ A.B. Лапин.// Вычислит, процессы и системы. М.: Наука, 1987. - Вып. 6. - С. 192-198.

74. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач./Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. - 588 с.

75. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация./ П.-Ж. Лоран. М.: Мир, 1975. - 496 с.

76. Ляшко А. Д. О вариационном методе для уравнений с разрывными монотонными операторами/А.Д. Ляшко, И.Б. Бадриев, М.М. Карчев-ский//Известия ВУЗов. Математика. 1978. - N 11. - С. 63-69.

77. Ляшко А.Д. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации/А. Д. Ляшко, М.М. Карчевский// Изв. ВУЗов. Математика. -1975. N 6. - С. 73-81.

78. Ляшко А.Д. Разностные методы решения нелинейных задач теории фильтрации/А.Д. Ляшко, М.М. Карчевский// Изв. ВУЗов. Математика. 1983. - N 7. - С. 28-45.

79. Ляшко А.Д. О нестационарных неравенствах с разрывными монотонными операторами и их сеточных аппроксимациях/А.Д. Ляшко, М.М. Карчевский, М.Ф. Павлова// Численные методы и их приложения. София. - 1984. - С. 70-74.

80. Ляшко А.Д. Разностные схемы для задач фильтрации с предельным градиентом/А.Д. Ляшко, М.М. Карчевский, М.Ф. Павлова// -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. 122 с.

81. Ляшко А.Д. Исследование неявной разностной схемы для одного вариационного неравенства нелинейной теории фильтрации/А.Д. Ляшко, М.Ф. Павлова//Дифф. уравнения.- 1980. Т. 16.^ 7. - С. 12551264.

82. Ляшко А. Д. О разностной аппроксимации нелинейного нестационарного вариационного неравенства/А.Д. Ляшко, М.Ф. Павлова// Дифферент уравнения. 1984. - Т. 20. - N 7. - С. 1237-1247.

83. Магарил-Илъяев Г.Г. Выпуклый анализ и его приложения. /Г.Г. Магарил-Ильяев, В.М. Тихомиров// М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 176 с.

84. Мирзаджанзаде А.Х. О теоретической схеме явления ухода раствора/ А.Х. Мирзаджанзаде // Известия АН АзССР. 1953, - Т. 9 - N 4. - С. 203-205.

85. Мирзаджанзаде А.Х. Вопросы гидродинамики вязко-пластичных и вязких жидкостей в нефтедобыче./ А.Х. Мирзаджанзаде. Баку: Аз-нефтиздат, 1966. - 409 с.

86. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов./ С.Г. Михлин. М.: Наука, 1966. - 430 с.

87. Мосолов П.П. Вариационные методы в теории течений вязко-пластической среды/П.П. Мосолов, В.П. Мясников// Прикладная математика и механика. 1965. - Т. 29, Вып. 3. - С. 468 - 492.

88. Обэн Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач./ Ж.П. Обэн. М.: Мир, 1980. - 384 с.

89. Обен Ж.-П. Прикладной нелинейный анализ./Ж.-П. Обен, И. Эк-ланд. М.: Мир, 1988. - 516 с.

90. Павлова М.Ф. Исследование уравнений нестационарной нелинейной фильтрации/М.Ф. Павлова// Дифф. уравнения. 1987. - Т. 23. - N 8. -С. 1436-1446.

91. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод./ П.Я. Полубаринова-Кочина. М.: Наука, 1977. - 664 с.

92. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи./ Б.Н. Пшеничный. М.: Наука, 1980. - 320 с.

93. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. М.: Наука, 1969. - 546 с.

94. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ./ Р. Рокафеллар. М.: Мир, 1973. - 466 с.

95. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем./ A.A. Самарский. М.: Наука,- 1971. - 552 с.

96. Самарский A.A. Теория разностных схем./ A.A. Самарский. М.: Наука, 1977. - 656 с.

97. Самарский A.A. Разностные методы для эллиптических уравнений. /A.A. Самарский, В.Б. Андреев. М.: Наука, 1976. - 352 с.

98. Самарский A.A. Устойчивость разностных схем./A.A. Самарский, A.B. Гулин. М.: Наука, 1973. - 315 с.

99. Самарский A.A. Численные методы./A.A. Самарский, A.B. Гулин.-М.: Наука, 1989. 432 с.

100. Самарский А. А. Методы решения сеточных уравнений./А.А. Самарский, Е.С. Николаев// М.: Наука, 1978. - 590 с.

101. Скворцов Э.В. Подземная гидромеханика аномальных жидкостей./ Э.В. Скворцов. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. - 76 с.

102. Стренг Г. Теория метода конечных элементов./Г. Стренг, Дж. Фикс// М.: Мир, 1977. - 512 с.

103. Съярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач./ Ф. Сьярле. М.: Мир. 1980. - 512 с.

104. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ./ Р. Темам. М.: Мир, 1981. - 408 с.

105. Фаткуллин Р.Г. Теоремы сравнения для некоторых задач фильтрации в неоднородных грунтах/Р.Г. Фаткуллин , Н.Д. Якимов // Известия АН СССР "Механика жидкости и газа", 1981 N2. - С.165-169.

106. Христианович С.А. Движение грунтовых вод, не следующих закону Дарси/ С.А. Христианович// Прикл. матем-ка и мех-ка. 1940. - Т. 4, Вып. 1. - С. 33 - 52.

107. Экланд И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы./И. Экланд, Р. Темам// М.: Мир, 1979. - 400 с.

108. Эроу К. Исследования по линейному и нелинейному программиро-ванию./К. Эроу , Гурвиц, Удзава// М.: ИЛ, 1962. - 334 с.

109. Якимов Н.Д. Исследование разрешимости задачи фильтрации в неоднородной земляной плотине./ Н.Д. Якимов//Докл. АН СССР, 1979, Т.249 N 2 - С. 307-310.

110. Auchmuty G. Variational principles for variational inequalities/ G. Auchmuty// Numer. Funct. Anal, and Optimiz. -1989. V. 10. - N 9-10. - P. 863-874.

111. Badriev I.B. On the methods of iterative regularization for the variational inequalities of the second kind/I.B. Badriev, O.A. Zadvornov, L.N. Ismagilov// Computational Methods in Applied Mathematics. -2003, Is.3. - N. 2. - P.223-234

112. Gabay D. A dual algorithm for the solution of nonlinear variational problems via finite element approximation/D. Gabay, B. Mercier// Comp. and Math, with Applications, Pergamon Press. 1976. - V. 2 . - P 17-40.

113. Konnov I. V. On the generalized vector variational inequality problem/I.V. Konnov, J.-C. Yao// O. Math. Anal. Appl. 1997. - V.226. -№.-P. 42-58.

114. Lions P.L. Splitting algorithms for the sum of two nonlinear operators/P.L. Lions, B. Merscier//SIAM J. Numer. Anal. 1979. - V. 16. - N 6. - P. 964-979.

115. Opial Z. Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings/ Z. Opial// Bull. Amer. Math. Soc. 1967. -V. 73. - P. 591-597

116. Résolution numériques de problèmes aux limites par des méthodes de Lagrangien augmenté /Eds M.Fortin, R.GIowinski. Paris: Dunod, 1983. -320 p.

117. Maruster S. The solution by iteration of nonlinear equations in Hilbert spaces/ S. Maruster // Proc. Amer. Math. Soc. 1977. - V. 63 (1). - P. 69 -73

118. Rockafellar R.T. Convex functions, monotone operators and variational inequalities/ R.T. Rockafellar// in Theory and Applications of Monotone Operators, Tipografía Oderisi Editrice, Gubbio, Italy, 1969. P. 35-65.

119. Rockafellar R.T. Augmented Lagrangian multiplier rule and duality in nonconvex programming/ R.T. Rockafellar// SIAM J. Control and Optimization. 1974. - V. 12 - N 2, - P. 268-285.

120. Rockafellar R.T. Monotone Operators and Augmented Lagrangian Methods in Nonlinear Programming/ R.T. Rockafellar// Nonlinear Programming, Acad. Press. 1978. - N 3, - P. 1-25.

121. Tzeng P. Futher Applications of a Splitting Algorithm to Decomposition in Variational Inequalities and Convex Programming/ P. Tkeng// Mathematical Programming. 1990. - V. 48, - P. 249-264.

122. Zhu D. New classes of generalized monotonicity/D. Zhu, P. Marcotte// Journal of Optimazation Theory and Applications. 1995. - V. 87. - N 2, -P. 457-471.