автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Итерационные методы решения задач установившейся анизотропной фильтрации с многозначным законом

На правах рукописи

0034523Э2 ИСМАГИЛОВ ИРЕК НАИЛЕВИЧ

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УСТАНОВИВШЕЙСЯ АНИЗОТРОПНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С МНОГОЗНАЧНЫМ ЗАКОНОМ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 2008

003452392

Работа выполнена в Казанском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Бадриев Ильдар Бурханович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Лапин Александр Васильевич,

доктор физико-математических наук, профессор Якимов Николай Дмитриевич

Ведущая организация: Институт прикладной механики Уральского

отделения РАН (г. Ижевск)

Защита состоится 2008 г. в 14 час. 30 мин. на за-

седании диссертационного совета Д 212.081.21 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская 35, корп. 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан " 25 " октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физ.- мат. наук сЗл^/^^М О.А. Задворнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование широко используется при решении различных классов прикладных задач. В особенности это относится к нелинейным задачам. Одной из областей, в которой эффективно используются методы математического моделирования, является теория подземной фильтрации аномальных жидкостей. Решению возникающих в этой области задач посвящена обширная литература. Однако, во-первых, в основном используются линейные модели, а во-вторых, рассматривается случай изотропной среды. В то же время, многие практические задачи требуют использования нелинейных законов фильтрации (с предельным градиентом, многозначные законы) Кроме того, изучение движения жидкостей в пористых средах свидетельствует об их анизотропности. Поэтому исследование математических моделей, учитывающих нелинейный и анизотропный характер зависимости скорости фильтрации от градиента давления, построение эффективных методов численной реализации таких моделей является актуальной задачей.

Цель исследований. Цель работы - построение и исследование математических моделей задач анизотропной фильтрации несжимаемой жидкости, построение и исследование приближенных методов решения указанных задач.

Методы исследований. При изучении рассматриваемых в работе задач используются методы выпуклого анализа, нелинейного функционального анализа, теория монотонных операторов, метод конечных элементов

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в исследовании корректности математических моделей задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному многозначному анизотропному закону фильтрации, построении и исследовании приближенных методов для решения вариационных неравенств второго рода в банаховых и гильбертовых пространствах, которые возникают при математическом описании рассматриваемых задач фильтрации, численной реализации предложенных алгоритмов.

Практическая ценность. Разработанные математические модели и численные методы могут быть использованы при решении конкретных стационарных задач фильтрации — задач фильтрации несжимаемых жидкостей, следующих нелинейному многозначному анизотропному закону фильтрации.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на итоговой научно-образовательной конференции студентов Казанского государственного университета 2005 г., XIV, XV Международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, Крым, 25-31 мая 2005 г., 25-31 мая 2007 г.), научной конференции "Теория управления и математическое моделирование" (Ижевск, 3-8 июля 2006 г.), 6-ом, 7-ом Всероссийских семинарах "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (г. Казань, I - 4 октября 2005,21-24 сентября 2007 г.г.), VII Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 17-24 мая 2006 г.), VII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2008) (Алушта, Крым, 24-31 мая 2008 г.), итоговых научных конференциях Казанского государственного университета 2005-2007 г.г., научных семинарах кафедры вычислительной математики КГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ. Из них одна -в издании из списка, рекомендованных ВАК.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и изложена на 120 страницах и содержит 21 рисунок. Список литературы состоит из 149 наименований.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований (грант 06-01 -00633).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследований, изложен обзор работ, близких к теме диссертации, дано ее краткое содержание.

Первая глава посвящена исследованию математических моделей установившихся процессов фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному многозначному анизотропному закону фильтрации с предельным градиентом. Обобщенная задача формулируется в виде вариационного неравенства второго рода.

В § 1 дается постановка стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному многозначному анизотропному закону фильтрации с предельным градиентом.

Рассматривается установившейся процесс фильтрации несжимаемой жидкости. Фильтрация происходит в ограниченной области Ü С Rm, т> 1

, X6fi, (4)

дхк

с непрерывной по Липшицу границей Г = riUr2, (Г1ПГ2 = 0, mes Г2 > 0).

Необходимо найти стационарные поля давления и и скорости v жидкости, удовлетворяющих уравнению неразрывности

divu(ar) = J(x), х 6 П, (1)

и граничным условиям

(v(x), п) = 0, х 6 Г1, п — внешняя нормаль к Гх, (2)

и{х) = 0, х G Г2, (3)

в предположении, что течение жидкости следует нелинейному многозначному анизотропному закону фильтрации

1 т Г т

к=1 L»=l

Д» = (TtVu, V«), т, = {ag}M=1.m Т, > о, Тг = Tf.

С -* 3t(i2)s. г = 1,..., тп — функции, определяющие закон фильтрации, относительно которых предполагаем, что:

ft(e2)£ = Ы^К + ^ЖК, (5)

где £ —> 5го( £2 - однозначные функции, удовлетворяющие условиям:

9го (С2) £ = 0 ПРИ Рг, (& > 0 — предельные градиенты), (6)

ci.te-Ar'Sffioi^KScz,^1, £>/?„ с1г,с2г>0, (7)

? 5го(^2) £ непрерывны, (8)

<?го(£2)£-Зго(С2)С>0 при С>С, (9) £ ► 9г\(f2 )£ — многозначные функции, имеющие вид:

[ 0, £</?„

5,1 (е2) е = ^ л(е - а), ме) = ] [о, i], * = а,

I 1, Z > А-

Относительно коэффициентов предполагаем, что

тп m

«*?= «S. Е аы & & ^ ^ Е &> ан < (ю)

к,1=1 к=1

Обозначим , ч ^

(е,о,= Е^ао, (и)

к,1=1

В силу условий (10) соотношение (11) порождает скалярное произведение в Я"2. Поэтому для любых функций и, г] имеют место неравенства

(ТгУи, Ут?) < Щи) ВД, Д2(и) < се; |Уи|2, са > 0, г = 1 ,...,т.

Пусть V - [т] е И^ДП) :т] — 0,хе Г2}~ пространство Соболева. Пусть операторы А1 : V —» V* порождены формулами

(АЩ т]) = сц(и, т])= У д0г (Д?(и)) (Т,\7м, Ут/) йх и, г) € К п

1 ™

(Л«,т/) = - т/) =

771 ^^ г=1

т ,,

■Е / Ло №)) ^ V«, 17 е К (12)

1 „_1

1

т

Определим функционалы г — 1,2,..., т, по формулам

/)?(и)

ВД = [ц (£,(«(*)) = ( [ <м(£) % ¿х. (13)

771 ^ ¿772 у 7

П ПО

Под решением стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону фильтрации, будем понимать функцию и € V, являющуюся решением вариационного неравенства

т т

1=1 ¿=1

где элемент / Е V* определяется по

формуле (/, т/) = J / {х) т](х) ¿х.

я

В случае, когда V — гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •), отождествленное со своим сопряженным V*, вариационное неравенство (14) может быть записано в виде:

тп т

(Аи-/,г]-и) + ^Сг(В1г])-^О1(В1и)>0 Ут? € V, (15)

где К = С^ о Ви функционалы определены на Н = [Ьд(0,)]т, д =-- по

формулам

М2 М

= ^ / / 11дг1(е)Ы£<1х,

по по

являются выпуклыми, липшиц-непрерывными, В{ = Т^2 V • V —> Н— линейные, непрерывные операторы.

На практике при решении задач нелинейной фильтрации с предельным градиентом важным является нахождение границ областей, где течение жидкости не происходит.

В § 2 главы 1 установлены свойства оператора А, которые необходимы затем для доказательства теоремы существования решения вариационного неравенства (14). Доказано, что оператор А является монотонным, непрерывным и коэрцитивным, причем выполняется неравенство

т т

(Аи, и) > Т ||и||Р - ^ V \\uf~1 Уиб V. та ' та '

г=1 г=1

А функционалы, определенные в (13), конечны на пространстве V, являются выпуклыми, липшиц-непрерывными.

Доказана

Теорема 1 . Пусть выполнены условия (6) — (9). Тогда вариационное неравенство (14) имеет непустое, выпуклое, замкнутое множество решений. Если и — решение вариационного неравенства (14), то существует функция у е Н такая, что почти всюду на выполнены включения (4), и имеет место уравнение неразрывности

!(у{х),Чф))с1х = у /^^¿х Ут,б п п

Вторая и третья главы посвящены построению итерационных методов изучаемых в диссертации задач анизотропной фильтрации и исследованию сходимости этих методов. Предварительно методы формулируются для абстрактных вариационных неравенств второго рода, а затем эти методы применяются для решения рассматриваемых задач фильтрации.

В § 1 главы 2 изложен метод итеративной регуляризации для решения вариационных неравенств 2-го рода.

Пусть V — рефлексивное банахово пространство с равномерно выпуклым сопряженным V*, ( , •) — отношение двойственности между V и V*, М — выпуклое замкнутое множество в V, А : V —> V* — псевдомонотонный, коэрцитивный оператор. Предполагаем, также, что А — ограниченно липшиц-непрерывный оператор'

\\Аи - Аг)\\у* < /*(Д)Ф(||« ~ т?1И (16)

где И = тах{||и||у, |И|у}, — неубывающая на [0, +оо) функция, Ф - непрерывная, строго возрастающая на [0,+оо) функция такая, что Ф(0) = О, Ф(£) —* +оо при £ —► +оо, а также удовлетворяет условию: 1 1

1((А(г(и + т])),и + т]) - (А(ги),и))сИ = ! (А(и +1у),т]}ск У и, ту б V.

о о

Пусть, далее, ^ : V —> Я1, г = 1,2, ...т — выпуклые, недифференци-руемые, липшиц-непрерывные с константами 7, > 0 функционалы.

Рассматривается задача поиска элемента и е V, являющегося решением вариационного неравенства второго рода

т тп

(Аи-/,г]-и) + ^2К(Т>)-У}2Рг(и)>0 V;7еМ. (17)

1=1 г=1

Для решения вариационного неравенства (17) предложен метод итеративной регуляризации.

Пусть £ > 0, Ри — функционал, удовлетворяющий условиям

^«(т7)-ВД|<с(е), У^еУ, ишс(е)=0, (18)

\Рг£(у) - Р1е(и)\ < - и\\у У и, V Е V, 7* > 0 (19)

Для решения задачи (17) рассмотрим следующий итерационный метод. Пусть и(°) € М — произвольный элемент. Определим для п = 0,1,2,... элемент б М как решение вариационного неравенства

(т т \

»=1 1=1 /

> т(/ - Au^\t] - u^+V) Vry € M, (20)

где r > 0 — итерационный параметр, J : V —> V* — оператор двойственности, порождаемый функцией Ф:

{Jv,v) = \\Jv\\vMv = *M\v)M\v vvev.

При этом, если J2 с(£п) = а < +оо, 0 < т < min < 1, — >,

п=о ^ '

И0 = ¿¿(Яо + Ф~1(Д1 + 7*)), Ro= sup ||u||v,/ii= sup \\Au-f\\v„

ueSo u€So

m

S0 = {ueM: F(u) < F(uM) + 2a}, F(rj) = F0(V) + E Ш - (/, »/>,

l

Fo(v) = J (A(tT]),rf)dt,

о

то итерационная последовательность {u'"'}^, построенная согласно (20), ограничена в V, и все ее слабо предельные точки являются решениями задачи (17).

Таким образом, каждый шаг итерационного процесса сводится к решению вариационного неравенства

(тп m \

Е^М-Е^» (21)

»=i i=i /

где Fn — f — Аи^ + l/r

В § 2 главы 2 рассмотрен случай, когда V — гильбертово пространство со скалярным произведением (-, •), отождествленное со своим сопряженным V*. Предполагаем, что оператор А : V —> V обратно сильно монотонней.

\\Аи - Ат]\\у < а (Au-At],u-t])v, <т > 0 V и, ту 6 V. (22)

Функционалы FlSn, удовлетворяют условиям (18), (19).

Для решения задачи (17) рассмотрим следующий итерационный метод Пусть € М — произвольный элемент. Определим для п = 0,1,2,... элемент е М как решение вариационного неравенства:

(mm \

«=1 t=l / 9

>r(Fn,77-U(n+1^ Vî7 б M, (23)

где 0 < т < r0 = 2/а, Fn = / - Au<n> + 1 /ти№.

Если оператор А является псевдомонотонным, потенциальным, липшиц-непрерывным, коэрцитивным и удовлетворяет условию (22), то итерационная последовательность построенная согласно (23), сходится слабо в V

к и* при п —» +оо, где и* — решению задачи (17).

Пусть V и H гильбертовы пространства со скалярньми произведениями ("> ")v> ('> ')я> M = V. Далее, предполагаем, что Fi = Gi о Bi, где Gi : Я —» В} — собственные, выпуклые, слабо полунепрерывные снизу функционал, Bi : V —» Я — линейные непрерывные операторы, такие, что

(BiU, Вгт])н = (и, t])v Vu, î] е V,

Введем функционалы Gie, который удовлетворяет условиям (18), (19). Тогда функционал Fl£ запишем в виде Fls = Gte о Вг.

Для решения вариационного неравенства (23) рассматривается следующий итерационный процесс. Для заданных г > 0, начальных приближений Af> € Я, рG Я, таких, что е dGl£(p^), определим последовательности ]> , | > следующим образом.

\ / А^ ^ 0 ^ / k—О

Найдем элемент и>(к+У как решение задачи

m

_ rFni V)v + Tj^ (л|*} - r-Wpi + rBtwlk+1\ B^ = О Vrj G V. (24)

i=i H

По известному w^+i) находим элементы p-fc+1\ решая m задач минимизации

I 2

Gu

< G и

<

н

Чье H

Находим элемент для г = 1,2,..., m по явной формуле

(25)

(26)

При этом сходится слабо в V к некоторому решению из задачи (23), {р^} сходится сильно в Я к В1,ш при к —> + оо.

В § 3 главы 2 установлены дополнительные свойства операторов, входящих в вариационное неравенство (14), описывающее задачу фильтрации (1) -(4). Эти свойства позволяют применить теоремы о сходимости метода итеративной регуляризации при решении задач фильтрации

Лемма 1 . Пусть выполнены условия (6) — (10). Тогда операторы Аг потенциальны, их потенциалами являются функционалы Ем,

А (и)

Еог(и) = I I дг я о

и справедливы формулы

1

Е0г(и + 7?) - Еог(и) = I(А,(и + ¿т7), Г])<Ь. (27)

о

Лемма 2 . Пусть р>2, выполнены условия (6) — (9),

9гйЫ)Ъ ~9гй (71)72 ^ , (Л , , чр-2 ^ . п /9оч

- < Сбг (1 + 71 + 72Г 1 ^71,72>0- (¿О)

71 - 72

Тогда оператор А является ограниченно липшиц-непрерывным с функциями Ф и р определяемыми по формулам Ф(£) = = св (1 + 2£)р~2, с8 > 0.

Следствие 1 . Пусть р = 2, выполнены условия (6) — (10), (28). Тогда оператор А является обратно сильно монотонным с постоянной с8.

Лемма 3 . Пусть 1 < р < 2, выполнены условия (6) — (9),

дюЫ)ъ-дго(72)72 . , \р—2 ^ ~ /0а\

-< с6{ (71 + 72)р V 71,72 > 0. (29)

71 ~ 72

Тогда оператор А является ограниченно липшиц-непрерывным с функциями Ф(£) = = Сд, Сд > 0.

В § 4 главы 2 метод итеративной регуляризации применяется для решения задач анизотропной фильтрации.

Предполагаем, что функции £ —» дго(£2)£, г = 1,2,..., т кроме условий, определенных в § 1 главы 1, удовлетворяет также условиям подчинения (28), (29)

В случае р = 2, когда V является гильбертовым пространством, оператор А является обратно сильно монотонным, то есть удовлетворяет (22)

Для решения рассматриваемых в главе 1 задач анизотропной фильтрации выполнены необходимые условия для применения метода итеративной регуляризации.

Определим регуляризованную функцию по формуле

О, £ < Дг - е,

9iie{i2)i = <( ш -Рг + е)/е, А - р < £ < А, (30)

А/т, £ > Д.

которая порождает функционалы Fu и Имеет место

Лемма 4 . Пусть функция дг1г(£2)£ определена согласно (30). Тогда функционал Fie удовлетворяет условию (18), где с(е) = 2 г mes il

С учетом формулы (30) итерационный процесс (24) - (26) запишется в следующем виде.

Пусть - произвольный вектор из Я,

К = 9г 1е„

(о) / р. /

, г = 1,2,..., т.

Для известных р[к\

найдем w-k+ïï как решение задачи

-(1 + mTr)Rw(k+l) = т

1=1

w(k+l)(x) = 0; {w(k+1){x), п) = 0,

хеп,

X € Г:, х €Г2,

/ 1

где R = -div TiV J.

По известному w^4"1) находим р[к+1\ г = 1,2,... ,тп по формуле

Рг

(к+1)

а

91 ¡г (£2) + т '

где а = + rBtu/fc+1\ z = lai,

(31)

z/r, Z < r(A - £„),

t = ^ (pi/mfa - £„) + £nz)/(dl/m + enr), г{р{ - £„) <z<rp,+ Ъ/тп, (z - A/m)/г, z>rp, +

Полагаем затем для г = 1,2,... ,т

Действительно, задача (31) может быть записана в виде (24), вследствие того, что Я* = —сИу ТУ2.

В § 1 главы 3 построен итерационный метод расщепления для решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонным оператором и выпуклыми, недифференцируемыми функционалами в гильбертовых пространствах, к которым сводятся задачи анизотропной фильтрации, рассматриваемые в главе 1. Проведено исследование сходимости предложенного итерационного метода.

Пусть У,Н — гильбертовы пространства со скалярными произведениями (•, (■, -)я соответственно, отождествленные со своими сопряженными, А: V —> V — обратно сильно монотонный оператор с постоянной а > 0:

{Аи- Ат],и-т])у >а\\Аи- Аг]\\у, а > 0 Уи,т] € V, (32)

Для решения вариационного неравенства (15) рассмотрим следующий итерационный процесс. Пусть 6 V, у^ 6 Я, А^ € Я, г = 0,1,. . ,тп -

произвольные элементы Для к = 0,1,2, .., зная у\к\ определим

(тп т \

Аи®-/ + г£ в;вг и® + £ Щ (а« - г у[к)) , (33)

г=1 г=1 /

затем находим у[к+1\ решая задачи минимизации

^(гДи^ + А^^-г/^я Ч^еН, г — 1, 2 ..., т, (34) и находим по формуле

А(*+1) = А Ю + г (в1и(М) _ у(*+1)) ) г = 1,2..., т, (35)

гдег>0иг>0 - итерационные параметры, В* : Н V— сопряженные к Вг операторы:

(■В*Уг, Т])у = {уг, Вл) н V?? 6 V, Уг 6 Я. 13

Кроме того, будем предполагать, что выполняется равенство 1 т

— V ВгТ])н = (и, т?)у Уи, т] € V т 1=1

Для исследования сходимости описанного итерационного процесса выпишем явный вид оператора перехода этого процесса.

Обозначим через Нт прямое произведение т пространств Н и введем в рассмотрение оператор Т : V х Нш х Нш —> V х Нт х Нт, ставящий в соответствие вектору q = (д0, Яь 92, ■ • •, ?2т) = 2/1, • • , Ут, Аь • • •, элементы Тд = { Т0д, Гхд, .., Т2тд } следующим образом.

гп тп

Тод = Чо-г[АЧо-¡ + + (36)

г=1 г=1

Тгд = Ргох аг/г (-Вг Т0д + ^ дг ) , г = 1, 2,..., т, (37)

Тт+1д= дт+г + г [ВгТ0д-Тгд] , г = 1,2,...,тга. (38)

Здесь Ргох с : 2 ^ 2 - проксимальное отображение, сопоставляющие каждому элементу р из гильбертова пространства Е элемент у — Ргохс(р), являющийся решением задачи минимизации

которая эквивалентна в случае, когда (3 — выпуклый, собственный, полунепрерывный снизу функционал, вариационному неравенству

(и - р, г - ь)2 + - <3(и) > О Vг е г. (39)

Нетрудно проверить, что проксимальное отображение является жестко нерастягивающим, то есть

Ргох а (р) — Ргох а {г) < ^ Ргохс(р) - Ргохс(^), V — ^ Vp,zeZ.

Используя определение проксимального отображения в виде вариационного неравенства (39), легко установить, что итерационный процесс (33) — (35) может быть записан в следующем виде:

д0 — произвольный элемент,

д(*-н) = Гд№ (40)

д <4= (««.„«у« = 0,1,2.....

то есть Т — оператор перехода этого итерационного процесса. Справедливы

Теорема 2 . Точка д = (и, В^и, В2и,... ,Вти, АьАг,..., Ат) является неподвижной точкой оператора Т в том и только в том случае, когда выполнены условия

т

Уг — Вги, А {едС1(В1и), - ^ В*Хг = Аи - /, г =1,2.. ,тп.

1=1

При этом первая компонента и любой неподвижной точки оператора Т является решением задачи (15).

Теорема 3 . Пусть существует по крайнеймере одно решение задачи (15). Тогда множество неподвижных точек оператора Т не пусто.

В §2 главы 3 исследована сходимость итерационного метода расщепления.

Из теоремы 2 следует, что исследование сходимости итерационного процесса (33) - (35) сводится к исследованию сходимости метода последовательных приближений отыскания неподвижной точки оператора Т.

Введем в рассмотрение гильбертово пространство <3 = V х Нт х Нт со скалярным произведением

1=1 !=1

Лемма 5 . Пусть А1 : V —> V — обратно сильно монотонные операторы с постоянными аи г = 1,2,..., т. Тогда оператор А : V —> V, 1 т

А = — У" Аг, также является обратно сильно монотонным, тп

1=1

Справедлива

Теорема 4 . Пусть А : V —> V — обратно сильно монотонный оператор с константой а>0,и выполнено условие:

О <т < -———т (41)

2тпаг + 1

Тогда оператор Т, определяемый соотношениями (36) — (38), является нерастягивающим.

Более того, для любых p,q eQ справедливо неравенство

|| Tq - Тр\\2q + 5 (Aq0 - Аро, 9о - Po)v +

-г 11(1 - rr)(q0 - Tog - (ро - Тор)) - T(Aqo - APo)\\2v +

т (1 — тптг)

+ Г Х Яг ~ ВгТоЯ ~ (Pl ~ н- II Ч~Р IIQ>

г=1

где5 = 2- т/(а{ 1 -тптг)).

Теорема 5 Пусть А : V V — обратно сильно монотонный оператор с константой ст0 > 0, выполнены условия (32), (41), задача (15) имеет по крайней мере одно решение, итерационная последовательность построена по формуле д(к+У = Тд^к\ д^ е <5 — произвольно заданный элемент. Тогда эта последовательность сходится слабо в (3 при к —> +оо, ее предел д* является неподвижной точкой опе-

yf) _ BiU(k)

= 0, г =

Я

ратора Т, и справедливы равенства lim^+00 1, 2,.. .т, limfc_+00 || q^V - дЮЦ^ = 0.

Отметим, что если выполнены условия теоремы 2, то из теорем 3, 5 вытекает, что последовательности {u^}^, {yf^}^, построенные согласно (33) — (35), сходятся слабо к и в V и к Вги в Я, г — 1,2,... т, соответственно, при к —> со, где и - решение вариационного неравенства (15).

В §3 главы 3 метод расщепления (33) - (35) применен для решения рассматриваемых задач анизотропной фильтрации.

Рассмотрим особенности применения итерационного метода (33) —(35) для решения рассматриваемых задач анизотропной фильтрации.

Для определения u(h+r> необходимо сначала решить краевую задачу

Rs = f — Ли« + £ в*(х[к) - rpf}) + mr Ru(*>, x € П,

1=1 (42)

s(ai) =0, же Г2, (s(x), n) = 0, x<= Гь

/m \

где R = —div I T^iV , а затем положить и^к+г> = «W + r s. Отметим, что в

\.=i J

нашем случае В* — —divT^2.

При численной реализации итерационного метода (33) - (35) основную трудность представляет решение задач минимизации (34). Запишем их в виде:

(г В^ + А<*и - У?+1))н < - Сгг(у^+1)) V ^ € Я, (43)

где = + ~ \\ггЦ2н.

Используя определение субдифференциала дСгг, запишем (43) в виде включения г Б^+^+А^ е Которое эквивалентно следующему

у^£ЭС;г(гВги^) + А?>).

Функционал С*т является выпуклым и дифференцируемым по Гато, субдифференциал этого функционала состоит из единственного элемента, совпадающего с его градиентом, определяемым формой ((С*г)'г,у)н = д?г(\г\2)г, где

{ £/г, £<гД,

[ (е-1?,/т)/г, ^гД+^/т.

Поэтому задачи (34) состоят в вычислениях по формулам у^1"1 =

зМН Ч = г + А|к),» = 1,..., т.

определяется по формуле: А^"1"1^ = А,^ + г — .

Таким образом, каждый шаг рассматриваемого итерационного метода сводится фактически к решению краевой задачи (42) с линейным сильно эллиптическим оператором.

В четвертой главе приводятся результаты численных экспериментов для модельных задач фильтрации, полученные методом итеративной регуляризации и методом расщепления, проводится их анализ.

В § 1 проведено построение внутренних конечноэлементных аппроксимаций вариационных неравенств, которые описывают рассматриваемые задачи.

В § 2 приведены результаты численных расчетов для задач анизотропной фильтрации. Строятся триангуляции расчетных областей Г2, которые получаются путем равномерного разбиения ее сторон на щ и щ. частей, построения треугольников с диагоналями, параллельными биссектрисе первого и третьего координатного углов, и применения метода конечных элементов с использованием кусочно-линейных на треугольниках функций.

Предложенные в работе методы были реализованы численно. Рассматривалось течение в двумерной области £1 Матрицы Т,; выбирались равными

Т,=

То

Функции £ —» дю( ) £ задавались соотношениями

9г

О

£ <А, А,

/?! = 1, ¡з2 = 0.7.

Кроме того, полагалось ¡?1 = 1. = 0.7. Число разбиений составило 64 х 64. На приводимых рисунках темным цветом закрашены конечные элементы, на которых скорость фильтрации равна нулю.

На рисунках (1), (3) представлены результаты, полученные методом итеративной регуляризации. На рисунках (2), (4) представлены результаты, полученные методом расщепления.

"К

р = 2

-0.5 -0,4 -03 -0.2 -0.

0.3 0.4 0.5 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0 1 0.2 0 3 0 4 0.5

Рис. 1.

Рис.2.

На рис. (1) приведены результаты расчетов в случае одной скважины с дебитом д — 1.5, находящейся в центре. Выбирались следующие значения параметров: г = 0.6, г = 0.5.

На рис. (2) приведены результаты расчетов в случае двух скважин с де-битами <7 = 2, находящихся на диагонали. Выбирались следующие значения параметров: т = 0.7, г = 0.45.

На рис. (3) приведены результаты расчетов в случае одной скважины с дебитом д = 2. Выбирались следующие значения параметров: г = 0.4, г — 0.7.

На рис. (4) приведены результаты расчетов в случае двух скважин с деби-тами д = 1.5, находящихся на диагонали. Выбирались следующие значения параметров: г = 0.45, г = 0.6.

О 0.2 04 0.6 0.3 } 0 0.2 О А 0.6 0.8 1

Рис.3. Рис.4.

При использовании метода расщепления наименьшее количество итераций равнялось 57 при т = 0.6, г = 0.5 . В отличие от изотропного случая, для рассматриваемой анизотропной задачи наблюдается асимметричный характер течения.

Приведенные численные результаты показали эффективность предложенных методов решения рассматриваемых задач фильтрации.

Основные научные положения и результаты работы

1. Теорема разрешимости вариационных неравенств второго рода, возникающих при математическом описании процессов установившейся анизотропной фильтрации.

2 Достаточные условия сходимости методов расщепления и итеративной регуляризации для решения возникающих при математическом описании процессов установившейся анизотропной фильтрации вариационных неравенств с операторами монотонного типа и выпуклыми недифференцируемыми функционалами.

3. Результаты численных экспериментов по решению стационарных анизотропных задач фильтрации с многозначным законом, подтвердившие эффективность предложенных итерационных методов.

Список публикаций по теме диссертации

1. Исмагилов И.Н. Численное исследование нелинейных стационар-ных задач теории фильтрации с предельным градиентом // Тезисы докладов итоговой научно-образовательной конференции студентов КГУ 2005 г. - Казань: Казанский государственный университет. - 2005. - С. 64.

2. Бадриев И.Б. Исследование некоторых нелинейных краевых задач с вырождением по градиенту/ И.Б. Бадриев, И.Н Исмагилов// Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы 6-го Всероссийского семинара.

- Казань: Казанский государственный университет, 2005. - С. 50-54.

3. Бадриев И.Б. Итерационные методы решения стационарных задач анизотропной фильтрации / И.Б. Бадриев, И.Н. Исмагилов // Труды Средне-волжского математического общества. - 2006. - Т. 8, N 1. - С. 150-159.

4. Бадриев И Б. Итерационные методы решения стационарных задач анизотропной фильтрации/ И.Б. Бадриев, И.Н. Исмагилов// Исследования по прикладной математике и информатике. - Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2006. - Вып. 26. - С. 18-34.

5. Бадриев И.Б. Математическое моделирование стационарных анизотропных задач теории фильтрации с многозначным законом / И.Б. Бадриев, И.Н. Исмагилов// Вестник Удмуртского университета. Математика. - 2007 - N 1.

- С. 3-8.

6. Бадриев И.Б. Численное исследование нелинейной анизотропной стационарной задачи теории фильтрации / И.Б. Бадриев, И.Н. Исмагилов // Материалы XV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Алушта, Крым, 25-31 мая 2007 г. - М: Вузовская книга, 2007. - С. 71-72.

7. Бадриев И.Б. О решении нелинейных стационарных анизотропных задач фильтрации / И.Б. Бадриев, И.Н. Исмагилов // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы 7-го Всероссийского семинара. - Казань: Изд-во Казанского государственного университета, 2007. - С. 49-54.

8. Исмагилов И.Н. Методы решения нелинейных стационарных анизотропных задач фильтрации / И.Н. Исмагилов, И.Б. Бадриев // Ученые записки Казанского государственного университета. Физико-математические науки. -2007.-Т. 149, Кн. 4.-С. 90-100.

Лицензия на полиграфическую деятельность №0128 от 08 06 98г выдана Министерством информации и печати Республики Татарстан Подписано в печать 24.10 2008 г. Форм бум 60x84 1/16 Печ л 1,25 Тираж 100 Заказ 216.

Минитипография института проблем информатики АН РТ 420012, Казань, ул Чехова, 36

ВВЕДЕНИЕ

1 ПОСТАНОВКА И ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ АНИЗОТРОПНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

1.1 Постановка нелинейных стационарных задач анизотропной фильтрации.

1.2 Существование решения задачи.

2 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ АНИЗОТРОПНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

2.1 Метод итеративной регуляризации для решения вариационных неравенств второго рода в банаховом пространстве

2.2 Метод итеративной регуляризации для решения вариационных неравенств второго рода в случае гильбертова пространства.

2.3 Дополнительные свойства операторов.

2.4 Применение метода итеративной регуляризации для решения нелинейных стационарных задач анизотропной фильтрации.

3 ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ РЕ

ШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ АНИ

ЗОТРОПНОИ ФИЛЬТРАЦИИ

3.1 Построение метода расщепления для решения вариационных неравенств второго рода в гильбертовом пространстве.

3.2 Исследование сходимости итерационного метода расщепления

3.3 Применение метода расщепления для решения нелинейных стационарных задач анизотропной фильтрации.

4 КОНЕЧНОМЕРНОМЕРНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИС

4.1 Конечноэлементные аппроксимации для задач анизотроп

ЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ной фильтрации

4.2 Результаты численных экспериментов

Математическое моделирование широко используется при решении различных классов прикладных задач. В особенности это относится к нелинейным задачам. Одной из областей, в которой эффективно используются методы математического моделирования, является теория подземной фильтрации аномальных жидкостей.

Решению возникающих в этой области задач посвящена обширная литература.

Остановимся вкратце на работах, близких к тематике диссертации.

Стационарные задачи фильтрации в изотропных средах с предельным градиентом рассматриваются, например, в работах, [3], [4], [32], [53], [62], [78], [74], [96] - [98], [108], [110], [126], [127], [131]. Эти классы задач описываются математически с помощью уравнений и вариационных неравенств с вырождающимися операторами монотонного типа (монотонными, обратно сильно монотонными [49], псевдомонотонными [86]) в банаховых пространствах.

К задачам фильтрации жидкости в изотропных средах, следующей нелинейному многозначному закону, относятся задачи об определении предельно-равновесных целиков остаточной вязкопластичной нефти (см. [32], [56] - [60], [78], [106], [119]), которые также описываются математически с помощью уравнений и вариационных неравенств с вырождающимися операторами монотонного типа.

Неоднородность пористой среды оказывает существенное влияние на интенсивность и направление фильтрационных процессов.

Как отмечается в ряде работ, (см., например, [122], [123], [124]) пористые среды, в которых происходят фильтрационные течения жидкости, как правило, неоднородны, могут иметь слоистое строение, систему трещин, обладающих упорядоченным расположением в пространстве.

Следует отметить, что подавляющая часть нефтяных и газовых месторождений приурочена к коллекторам трёх типов - гранулярным, трещинным и смешанного строения. К первому типу относятся коллекторы, сложенные песчано-алевритовыми породами, поровое пространство которых состоит из межзерновых полостей. Подобным строением порового пространства характеризуются также некоторые пласты известняков и доломитов. В чисто трещиноватых коллекторах (сложенных преимущественно карбонатами) поровое пространство образуется системой трещин. При этом участки коллектора между трещинами представляют собой плотные малопроницаемые нетрещиноватые блоки пород, поровое пространство которых практически не участвует в процессах фильтрации. На практике, однако, чаще всего встречаются трещиноватые коллекторы смешанного типа, поровое пространство которых включает как системы трещин, так и поровое пространство блоков, а также каверны и карст.

Эти факторы (слоистость, наличие пространственно-ориентированных систем трещин) зачастую приводят к появлению анизотропии фильтрационных свойств в пористых средах.

К необходимости учета анизотропных свойств приводят и задачи распространения жидкой субстанции в пористых средах, возникающих при проектировании различных технологических устройств, например, в нефтехимии.

Постановки задач теории нелинейной фильтрации в анизотропных средах рассмотрены в работах [77], [100], [102],[128], [144]. В этих работах математические модели нелинейной фильтрации сведены к обобщению известного тензорного закона Дарси. Свое развитие теория нелинейной фильтрации в анизотропных средах получила в работах [30], [54]. Авторы этих работ указывают на то, что при фильтрации жидкости между полями скорости и градиента давления существует связь, и используя теорию нелинейных тензорных функций, аппроксимируют эту связь зависимостями между проекциями вектора градиента давления на соответствующие оси и компонентами тензоров, задающих нелинейные свойства среды и компонентами вектора скорости.

Вопросам исследования разностных методов решения нелинейных стационарных задач теории фильтрации несжимаемой жидкости в изотропных средах, следующей непрерывному закону фильтрации с предельным градиентом посвящены работы [46], [47], [67], [69], [70], [89], [90], где математически задача сформулирована в виде квазилинейного вырождающегося эллиптического уравнения. В [69], [70], [89] доказаны теоремы существования решения и единственности скорости фильтрации, проведена и исследована аппроксимация закона фильтрации с предельным градиентом близким законом без предельного градиента. В [47], [67], [70], [89] строятся и исследуются разностные схемы для указанных задач, изучаются вопросы существования и сходимости решений разностных схем и сходимости разностных скоростей фильтрации. В [46], [70], [89] предложены и исследованы итерационные методы численного решения разностных схем.

Математическая модель задачи стационарной фильтрации в изотропных средах с разрывным законом в виде вариационного неравенства второго рода рассмотрена в работе [81], где, в частности, исследованы вопросы аппроксимации разрывного закона фильтрации с предельным градиентом близким непрерывным законом без предельного градиента. В [85] рассматривался вариант метода расширенного лагранжиана численной реализации конечномерной аппроксимации стационарной задачи фильтрации с разрывным законом.

Вопросам корректности математических моделей стационарных задач фильтрации в изотропных средах с разрывным законом, сформулированных в виде вариационных неравенств первого рода, задач на минимум функционала, с многозначными операторами, исследованию двойственных задач посвящены работы [25], [66], [71], [88]. В частности, в работе [66] установлена эквивалентность вариационного неравенства первого рода включению с многозначным законом фильтрации. В работах [8], [18], [26], [84], [90], [92] проводилось построение и исследование конечномерных аппроксимаций (конечно-разностных и конечноэлементных) для рассматриваемых задач. В работах [25] изучались вопросы регуляризации разрывного закона близким непрерывным.

Вопросам построения и исследования итерационных методов решения вариационных неравенств с монотонными, максимально монотонными, сильно монотонными операторами посвящено большое количество работ. Следует отметить, что, как правило, рассматривались случаи конечномерного или гильбертова пространства (см. [5], [12] - [14], [31], [35], [36], [44], [45], [49], [51], [52], [72], [73], [104], [129], [135] - [148]). В случае банаховых пространств отметим здесь работы [9] - [11], [17], [29], [40].

Для задач фильтрации с разрывным законом итерационные методы рассматривались в работах [12], [17], [26], [85], [90], [92]. Эти методы предполагали предварительную регуляризацию - замену разрывного закона фильтрации близким однозначным.

В работах [133] рассмотрены итерационные методы, которые позволяют решать стационарные задачи фильтрации жидкости в изотропной пористой среде с многозначным законом фильтрации.

Отметим, что для ряда специальных областей и законов фильтрации в работах [3], [32], [56] - [62], [78], [98], [110], [119], [127] были построены точные характеристики решения (границы областей, где модуль градиента давления равен предельному градиенту) методами теории струй [50]. Эти характеристики оказываются весьма полезными при оценке эффективности приближенных методов для задач с произвольными областями и законами фильтрации.

Таким образом, анализ литературы, позволяет сделать вывод о том, что, во-первых, в основном используются линейные модели, а во-вторых, рассматривается случай изотропной среды. Случаи нелинейной фильтрации в анизотропных средах рассматриваются в областях специального вида и при специальных видах законов фильтрации.

В то же время, многие практические задачи требуют использования нелинейных законов фильтрации (с предельным градиентом, многозначные законы, нелинейный рост на бесконечности функций, определяющих законы) и рассмотрения анизотропности пористых сред, в которых происходит фильтрация. Поэтому исследование математических моделей, учитывающих нелинейный и анизотропный характер зависимости скорости фильтрации от градиента давления, построение эффективных методов численной реализации таких моделей является актуальной задачей.

В настоящей диссертации проведены построение и исследования корректности математических моделей процессов установившейся фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному закону фильтрации с предельным градиентом, в произвольной ограниченной области. Также проведено построение и исследование приближенных методов решения вариационных неравенств второго рода с операторами монотонного типа и недифференцируемыми выпуклыми функционалами на выпуклых замкнутых множествах в банаховых и гильбертовых пространствах, возникающих при описании рассматриваемых задач.

Диссертация состоит из введения и четырех глав.

1.A. О решении некоторых уравнений, содержащих разрывные монотонные преобразования/А.А. Абрамов, А.Н. Гаипова// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. - 1972. - Т. 12. - N 1. - С. 204-207.

2. Абрамов A.A. О некоторых уравнениях, содержащих монотонные разрывные операторы/А.А. Абрамов, А.Н. Гаипова// Доклады АН СССР. 1973. - Т. 212. - N 3. - С. 529-532.

3. Алишаев М.Г. О стационарной фильтрации с начальным градиентом// В сб. Теория и практика добычи нефти. М.: Недра, - 1968, - С. 202-211.

4. Алишаев М.Г. О некоторых особенностях фильтрации пластовой девонской нефти при пониженных температурах/М.Г. Алишаев, Г.Г. Ва-хитов, М.М. Гехтман, И.В.Глумов// Известия АН СССР, сер. Механика жидкости и газа. 1966. - N 3. - С. 166-169.

5. Альбер Я. И. Принцип невязки при решении нелинейных задач с монотонными операторами регуляризующий алгоритм/Я.И. Альбер, И.П. Рязанцева// Доклады АН СССР. - 1978 - Т. 212. - N 5. - С. 10171020.

6. Аравии В. И. К вопросу о фильтрации в анизотропно-водопроницаемых грунтах/В.И. Аравин// Тр. Ленинградского индустриального института. 1937 - вып. 2. - N 9. - С. 3-12.

7. Аравин В. И. Фильтрация в анизотропно-водопроницаемом грунте /В.И. Аравин// Тр. Ленинградского индустриального института. -1940 вып. 1. - N 1. - С. 3-14.

8. Бадриев И. Б. Разностные схемы для нелинейных задач фильтрации с разрывным законом// Изв. ВУЗов. Матем. 1983. - N 5. - С. 3-12.

9. Бадриев И. Б. Исследование сходимости итерационного процесса для уравнений с вырождающимися операторами/И.Б. Бадриев, O.A. За-дворнов// Дифф. уравнения. 1996 - Т. 32. - N 7. - С. 898-901.

10. Бадриев И. Б. О сильной сходимости итерационного метода для операторов с вырождением/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов//Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1997. - Т.37, - N 12. - С. 1424-1426.

11. Бадриев И. Б. Построение и исследование сходимости итерационных методов решения вариационных задач с недифференцируемым функционалом/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов// Дифф. уравн. 2002, -Т. 38. - N 7, - С. 930-935.

12. Бадриев И. Б. Итерационные методы решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов// Известия ВУЗов. Математика.- 2003. N 1. - С. 20-28.

13. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. Методы декомпозиции для решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами // Дифф. уравн. 2003. - Т. 39, N 7. - С. 888-895.

14. Бадриев И. Б. Итерационные методы решения вариационныхнера-венств в гильбертовых пространствах./И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов- Казань: Изд-во КГУ, 2003. 132 с.

15. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. О сходимости итерационного метода двойственного типа решения смешанных вариационных неравенств // Дифференциальные уравнения. 2006. - Т. 42, N 8. - С. 1115-1122.

16. Бадриев И. Б. Исследование сходимости итерационных методов решения некоторых вариационных неравенств с псевдомонотонными операторами/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов, A.M. Саддек// Дифф. уравн. 2001, - Т. 37. - N 7, - С. 891-898.

17. Бадриев И. Б. О конечномерных аппроксимациях некоторых вариационных неравенств второго рода/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов, A.M. Саддек //Иссл-я по прикл. матем. и информатике, Казань: Изд-во Каз. матем. об-ва, 2001. - Вып. 23. - С. 8-21.

18. Бадриев И. Б. Итерационные методы решения стационарных задач анизотропной фильтрации / И.Б. Бадриев, И.Н. Исмагилов// Труды Средне-волжского математического общества. 2006. - Т. 8, N 1. -С. 150-159.

19. Бадриев И. Б. Итерационные методы решения стационарных задач анизотропной фильтрации / И.Б. Бадриев, И.Н. Исмагилов // Исследования по прикладной математике и информатике. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2006. - Вып. 26. - С.19-35.

20. Бадриев И.Б. Математическое моделирование стационарных анизотропных задач теории фильтрации с многозначным законом / И.Б.Бад-риев, И.Н. Исмагилов// Вестник Удмуртского университета. Математика. 2007. - N 1. - С. 3-8.

21. Бадриев И. Б. Применение метода двойственности к решению нелинейных задач теории фильтрации с предельным градиентом/И.Б. Бадриев, М.М. Карчевский// Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18. -N 7. - С. 1133-1144.

22. Бадриев И. Б. Исследование сходимости итерационных методов решения нелинейных задач теории фильтрации/И.Б. Бадриев, А.Д. Ляш-ко, О.В. Панкратова// Известия ВУЗов. Матем. 1998. N 11. - С. 8-13.

23. Байокки К. Вариационные и квазивариационные неравенства. Приложения к задачам со свободной границей./К. Байокки, А. Капелло//-М.: Наука, 1988. 448 с.

24. Бакушинский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. /А.Б. Бакушинский, A.B. Гончарский// М.: Изд-во МГУ, 1989. - 199 с.

25. Бакушинский А.Б. Итеративные методы решения некорректных задач. /А.Б. Бакушинский, A.B. Гончарский// М.: Наука, 1989. - 128 с.

26. Басниев К. С. Обобщенный закон Дарси для анизотропных пористых сред/К.С. Басниев, Н.М. Дмитриев// Изв. Вузов. Нефть и газ 1986 - N 5. - С. 54-59.

27. Бенсусан А. Методы декомпозиции, децентрализации, координации и их приложения/А. Бенсусан , Ж.-Л. Лионе, Р. Темам// Методы вычислит, математики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1975. -С. 144-274.

28. Бернандинер М.Г., Ентов В.М. Гидродинамическая теория аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975. - 199 с.

29. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. - 344 с.

30. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972. - 416 с.

31. Вайнелъгп В. К численному решению вариационных неравенств// Дифференц. уравнения. 1981.- Т.17. - № 11.- С. 2029 - 2040.

32. Вайнелът В. К численному решению вариационных неравенств// Вариационно-разностные методы в математической физике. М., 1984. - С. 34 - 41.

33. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1980. 518 с.

34. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. - 400 с.

35. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1988. 552 с.

36. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. -336 с.

37. Гайфутдинов А.Н., Якимов Н.Д. Теоремы сравнения для задач нелинейной анизотропной фильтрации// Изв. АН СССР "Механика жидкости и газа", №5, 1988. С. 45-51.

38. Гайфутдинов А.Н., Якимов Н.Д. Вариационные теоремы для задач нелинейной анизотропной фильтрации. (Тезисы)// II Респ.конфер. "Механика машиностроения". Брежнев, 1987.

39. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Изд-во Московского ун-та, 1989. - 204 с.

40. Главачек ИГаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986. - 270 с.

41. Гловински Р.Г., Лионе Ж.-Л., Тремолъер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. - 576 с.

42. Глушенков В.Д. Об одном уравнении нелинейной теории фильтрации/ / Прикладная математика в научно-технических задачах. Казань: Изд-во Казан, гос. ун-та, - 1976. - С. 12 - 21.

43. Глушенков В.Д. Разностная схема для одного вырождающего крази-линейного эллиптического уравнения // Применение ЭВМ к решению задач мат. физики и АСУ. Казань: Изд-во КГУ. - 1977. - С. 121-126.

44. Голубева О.В. Задачи фильтрации в анизотропных средах //Сб. научных трудов "Исследования по теории функций комплексного переменного с приложениями к механике сплошных сред Киев: Наукова Думка, 1986. С. 57 - 63.

45. Голъштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Ла-гранжа. М.: Наука. - 1989. - 400 с.

46. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1961. -496 с.

47. Даутов Р.З. Об операторах точного штрафа для эллиптических вариационных неравенств с препятствием внутри области//Дифференц. уравнения. 1995.- Т.31. - № 6.- С. 961 - 970.

48. Девликамов В.В., Хабибуллин З.А., Кабиров М.М. Аномальные нефти. М.: Недра, 1975. - 168 с.

49. Дмитриев Н.М. Нелинейные законы фильтрации для анизотропных пористых сред/Н.М. Дмитриев, В.М. Максимов// Прикладная математика и механика. 2001. - Т. 65. - вып.6. - С. 963-970.

50. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. - 384 с.

51. Ентов В.М. О расчете предельно равновесных целиков при вытеснении вязкопластической нефти из слоисто-неоднородного пласта/В.М. Ентов, Т.А. Малахова, В.Н. Панков, C.B. Панько// Прикладная математика и механика. 1980. - Т. 44. - N 1. - С. 113-123.

52. Ентов В.М. К расчету целиков остаточной вязко-пластической нефти/В.М. Ентов, В.Н. Панков, C.B. Панько// Прикладная математика и механика. 1980. - Т. 44. - N 5. - С. 847-856.

53. Ентов В.М. О форме целика остаточной вязкопластичной нефти при разработке круговой скважины/В.М. Ентов, В.Н. Панков, C.B. Панько// Известия АН СССР, сер. МЖГ. 1984. - N 4. - С. 88-93.

54. Ентов В.М., Панков В.Н., Панько C.B. Математическая теория целиков остаточной вязкопластичной нефти. Томск: Изд-во Томского ун-та. - 1989. - 196 е.

55. В.M. Ентов К вариационной формулировке задачи о целиках остаточной нефти/В.М. Ентов, C.B. Панько // Прикладная математика и механика. 1984. - Т. 48. - N 6. - С. 966-972.

56. Игнатьева М.А., Лапин A.B. Решение задачи о препятствии методом декомпозиции области // Ученые записки Казанского государственного университета. Физико-математические науки. 2005. - Т. 147. -Кн. 3. - С.112-126.

57. Ильинский Н.В. Задача нелинейной фильтрации с неоднолистной областью годографа скорости/Н.Б. Ильинский, Е.Г. Шешуков// Изв. вузов. Математика. 1972. - N 10. - С. 34-40.

58. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. - 480 с.

59. Исмагилов И.Н. Методы решения нелинейных стационарных анизотропных задач фильтрации / И.Н. Исмагилов, И.Б. Бадриев // Ученые записки Казанского государственного университета. Физико-математические науки. 2007. - Т. 149, Кн. 4. - С. 73-88.

60. Карчевский М.М. Нелинейные задачи теории фильтрации с разрывными монотонными операторами/М.М. Карчевский, И.Б. Бадри-ев//Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО АН СССР. - Т. 10. - N 5. - 1979. - С. 63-78.

61. Карчевский М.М. Исследование разностной схемы для нелинейной стационарной задачи теории фильтрации/М.М. Карчевский, A.B. Лапин// Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во КГУ. - 1979. - Вып 6. - С. 23 - 31.

62. Карчевский М.М. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений. I/M.M. Карчевский, А.Д. Ляшко// Изв. вузов. Математика. 1972. - N 11. - С. 23-31.

63. Киидерлерер Д. Введение в вариационные неравенства и их приложения./Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья// М.: Мир, 1983. - 256 с.

64. Коинов И.В. Обобщенные вариационные неравентсва на произведении множеств// Исследования по информатике, Казань: Изд-во Отечество. 2001. -Вып. 3. - С. 111-120.

65. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1988. - 166 с.

66. Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л: изд-во Лениградского ун-та, 1977. - 208 с.

67. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. - 392 с.

68. Костерин A.B. Об уравнениях нелинейной анизотропной фильтра-ции/А.В. Костерин// Известия АН СССР. МЖГ. - 1980. - № 5. - С. 158-160.

69. Котляр Л.М. Плоские стационарные задачи фильтрации жидкости с предельным градиентом./Л.М. Котляр, Э.В. Скворцов// Казань: Изд-во Казанск. ун-та. 1978. - 144 с.

70. Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1977. -700 с.

71. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. - 407 с.

72. Лапин A.B. Об исследовании некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1979. - Т. 19. -N 3. - С. 689 -700.

73. Лапин A.B. Исследование одного нестационарного нелинейного вариационного неравенства // Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16. -N 7. - С. 1245-1254.

74. Лапин A.B. Введение в теорию вариационных неравенств. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1981. - 122 с.

75. Лапин A.B. Сеточные аппроксимации вариационных неравенств. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1984. - 96 с.

76. Лапин A.B. Метод расширенного лагранжиана для задач фильтрации с предельным градиентом// Вычислит, процессы и системы. М.: Наука, 1987. - Вып. 6. - С. 192-198.

77. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 588 с.

78. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975. - 496 с.

79. Ляшко А.Д. О вариационном методе для уравнений с разрывными монотонными операторами/А.Д. Ляшко, И.Б. Бадриев, М.М. Карчев-ский//Известия ВУЗов. Математика. 1978. - N 11. - С. 63-69.

80. Ляшко А. Д. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации/А.Д. Ляшко, М.М. Карчевский// Изв. ВУЗов. Математика. -1975. N 6. - С. 73-81.

81. Ляшко А.Д. Разностные методы решения нелинейных задач теории фильтрации/А.Д. Ляшко, М.М. Карчевский// Изв. ВУЗов. Математика. 1983. - N 7. - С. 28-45.

82. Ляшко А Д. О нестационарных неравенствах с разрывными монотонными операторами и их сеточных аппроксимациях/А.Д. Ляшко, М.М. Карчевский, М.Ф. Павлова// Численные методы и их приложения. -София. 1984. - С. 70-74.

83. Ляшко А.Д. Разностные схемы для задач фильтрации с предельным градиентом/А.Д. Ляшко, М.М. Карчевский, М.Ф. Павлова// -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. 122 с.

84. Ляшко А.Д. Исследование неявной разностной схемы для одного вариационного неравенства нелинейной теории фильтрации/А.Д. Ляшко, М.Ф. Павлова//Дифф. уравнения.- 1980. Т. 1б.-К 7. - С. 12551264.

85. Ляшко А.Д. О разностной аппроксимации нелинейного нестационарного вариационного неравенства/А.Д. Ляшко, М.Ф. Павлова// Дифферент уравнения. 1984. - Т. 20. - N 7. - С. 1237-1247.

86. Магарил-Илъяев Г. Г. Выпуклый анализ и его приложения. /Г.Г. Магарил-Ильяев, В.М. Тихомиров// М.: Эдиториал УР-СС, 2000. - 176 с.

87. Мирзаджанзаде А.Х. О теоретической схеме явления ухода раствора // Известия АН АзССР. 1953, - Т. 9 - N 4. - С. 203-205.

88. Мирзаджанзаде А.Х. Вопросы гидродинамики вязко-пластичных и вязких жидкостей в нефтедобыче. Баку: Азнефтиздат, 1966. - 409 с.

89. Мифтахутдинов Б.А. Некоторые вопросы плоской стационарной нелинейной фильтрации/ Б.А.Мифтахутдинов, Ю.М.Молокович, Э.В. Скворцов// В сб. Проблемы гидродинамики и рациональной разработки нефт. месторождений. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1971. -С. 51-70.

90. Михлии С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966. - 430 с.

91. Молокович Ю.М. К вопросу нелинейной фильтрации в анизотропных (ортотропных) средах по проницаемости средах/Ю.М. Молокович// Гидродинамика и разработка нефтяных метсорождений. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1977. - С. 124 - 128.

92. Мосолов П.П. Вариационные методы в теории течений вязко-пластической среды/П.П. Мосолов, В.П. Мясников// Прикладная математика и механика. 1965. - Т. 29, Вып. 3. - С. 468 - 492.

93. Нумеров С.Н. К вопросу о нелинейной фильтрации газа в анизотропной среде/С.Н. Нумеров// Изв. ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева. Л., 1974. - Т. 104, - С. 292 - 293.

94. Обэн Ж. П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. -М.: Мир, 1980. 384 с.

95. Обен Ж.-П. Прикладной нелинейный анализ./Ж.-П. Обен, И. Эк-ланд// М.: Мир, 1988. - 516 с.

96. Павлова М.Ф. Исследование уравнений нестационарной нелинейной фильтрации// Дифф. уравнения. 1987. - Т. 23. - N 8. - С. 1436-1446.

97. Полубаринова-Кочина П.Я. О фильтрации в анизотропном грун-те/П.Я. Полубаринова-Кочина// Прикладная математика и механика. 1940. - Т. 4. - Вып. 2. - С. 101 - 104.

98. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод/П.Я. Полубаринова-Кочина// М.: Наука, 1977. - 664 с.

99. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980. - 320 с.

100. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. М.: Наука, 1969. - 546 с.

101. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. - 466 с.

102. Ром Е.С. Структурные модели порового пространства горных по-род./Е.С. Ром// Л.: Недра, 1985. - 240 с.

103. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука,-1971. - 552 с.

104. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 656 с.

105. Самарский A.A. Разностные методы для эллиптических уравнений. /A.A. Самарский, В.Б. Андреев// М.: Наука, 1976. - 352 с.

106. Самарский A.A. Устойчивость разностных схем./А.А. Самарский, A.B. Гулин// М.: Наука, 1973. - 315 с.

107. Самарский A.A. Численные методы./A.A. Самарский, A.B. Гулин//-М.: Наука, 1989. 432 с.

108. Самарский A.A. Методы решения сеточных уравнений./А.А. Самарский, Е.С. Николаев// М.: Наука, 1978. - 590 с.

109. Скворцов Э.В. Подземная гидромеханика аномальных жидкостей. -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. 76 с.

110. Стренг Г. Теория метода конечных элементов./Г. Стренг, Дж. Фикс// М.: Мир, 1977. - 512 с.

111. Съярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. -М.: Мир. 1980. 512 с.

112. Толпаев В.А. Математические модели нелинейной фильтрации в грунтах с обобщенной анизотропией/В.А. Толпаев// Изв. вузов. Северо Кавказский регион. Естеств. науки. - 2000. - N 2. - С. 33 - 36.

113. Толпаев В.А. Математическое моделирование нелинейной фильтрации в анизотропных средах обобщенным методом С.Н. Нумеро-ва./В.А. Толпаев// Изв. вузов. Северо Кавказский регион. Естеств. науки. Приложение. - 2003. - N 12. - С. 3 - 11.

114. Толпаев В.А. Уравнения нелинейной фильтрации в анизотропных средах /В.А. Толпаев// Изв. вузов. Северо Кавказский регион. Естеств. науки. Приложение. - 2003. - N. 7. - С. 7 - 18.

115. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

116. Фаткуллин Р. Г. Теоремы сравнения для некоторых задач фильтрации в неоднородных грунтах/Р.Г. Фаткуллин , Н.Д. Якимов // Известия АН СССР "Механика жидкости и газа", 1981 N2. - С.165-169.

117. Христианович С.А. Движение грунтовых вод, не следующих закону Дарси // Прикл. матем-ка и мех-ка. 1940. - Т. 4, Вып. 1. - С. 33 - 52.

118. Шешуков Е.Г. О нелинейной фильтрации в анизотропной среде/ Е.Г. Шешуков// Гидродинамика и разработка нефтяных месторождений. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1977. - С. 183-194

119. Экланд И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы./И. Экланд, Р. Темам// М.: Мир, 1979. - 400 с.

120. Эрроу К. Исследования по линейному и нелинейному программированию./^. Эрроу , Гурвиц, Удзава// М.: ИЛ, 1962. - 334 с.

121. Якимов Н.Д. Исследование разрешимости задачи фильтрации в неоднородной земляной плотине. //Докл. АН СССР, 1979, Т.249 N 2 -С. 307-310.

122. Auchmuty G. Variational principles for variational inequalities// Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1989. - V. 10. - N 9-10. - P. 863-874.

123. Badriev I.B. On the methods of iterative regularization for the variational inequalities of the second kind/I.В. Badriev, O.A. Zadvornov, L.N. Ismagilov// Computational Methods in Applied Mathematics. -2003, Is.3. - N. 2. - P.223-234

124. Browder F.E., Fetrushin W.V. The solution by iteration of nonlinear functional equations in Banach spaces // Bull. American. Math. Soc. -1996. V. 72. - P. 571-575.

125. Gabay D. A dual algorithm for the solution of nonlinear variational problems via finite element approximation/D. Gabay, B. Merrier// Сотр. and Math, with Applications, Pergamon Press. 1976. - V. 2 . - P 17-40.

126. Konnov I. V. On the generalized vector variational inequality problem/I.V. Konnov, J.-C. Yao// O. Math. Anal. Appl. 1997. -V.226. - №1.-Р. 42-58.

127. Lions P.L. Splitting algorithms for the sum of two nonlinear operators/P.L. Lions, B. Merscier//SIAM J. Numer. Anal. 1979. -V. 16. - N 6. - P. 964-979.

128. Litwiniszin J. Stationary flows in heterogeneously anisotropic mediums/J. Litwiniszin//Ann. Polon. Math. 1950. - V. 22. - P.185.

129. Opial Z. Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. - V. 73. -P. 591-597

130. Résolution numériques de problèmes aux limites par des méthodes de Lagrangien augmenté /Eds M.Fortin, R.Glowinski. Paris: Dunod, 1983. -320 p.

131. Maruster S. The solution by iteration of nonlinear equations in Hilbert spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1977. - V. 63 (1). - P. 69-73

132. Meegoda N.J. An expression for the permeability of anisotropy granular media/N.J. Meegoda, I.P. King, K. Arulandan // Int. J. number, anal/ methods in geomechanics. 1989. - V. 13. - P. 575-598.

133. Numerov S.N. Nonlinear seepage in anisotropic media/S.N. Numerov //15th Congr. Int. Assoc. Hydraul. Res. V. 3. Istanbul, 1973. - P. 3946.

134. Rockafellar R. T. Convex functions, monotone operators and variational inequalities// in Theory and Applications of Monotone Operators, Tipografía Oderisi Editrice, Gubbio, Italy, 1969. P. 35-65.

135. Rockafellar R. T. Augmented Lagrangian multiplier rule and duality in nonconvex programming// SIAM J. Control and Optimization. 1974. -V. 12 - N 2, - P. 268-285.

136. Rockafellar R.T. Monotone Operators and Augmented Lagrangian Methods in Nonlinear Programming// Nonlinear Programming, Acad. Press. 1978. - N 3, - P. 1-25.

137. Tzeng P. Futher Applications of a Splitting Algorithm to Decomposition in Variational Inequalities and Convex Programming// Mathematical Programming. 1990. - V. 48, - P. 249-264.

138. Zhu D. New classes of generalized monotonicity/D. Zhu, P. Marcotte// Journal of Optimazation Theory and Applications. 1995. - V. 87. - N 2, -P. 457-471.