автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование фильтрации несжимаемой жидкости в радиально-анизотропных средах с тонкими проницаемыми включениями

На правах рукописи

СУГАКОВ МИХАИЛ ИГОРЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В РАДИАЛЬНО-А! ¡ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ С ТОНКИМИ ПРОНИЦАЕМЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

05.13.1 8 - Математическое моделирошшне, численные методы и комплексы прог рамм

АВТОРЕФЕРАТ 4049774

диссертации па соискание учёной степе чи кандидата фи шко-мптематических наук

1 6 ИЮН 2011

Станрополь 2011

4849774

Работа выполнена в Северо-Кавказском государственном техническом университете на кафедре «Прикладной математики и компьютерных технологий»

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент

Адамчук Ання Станиславовна.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Сухииов Александр Иванович; доктор физико-математических наук, профессор Спмоноискнй Александр Яковлевич.

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Кубанский Государственный

Университет», г. Краснодар

Защита состоится 30 нюня 2011 г. в 1420 на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 в ТТИ ЮФУ по адресу: 347900, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, гуд. Д 406.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного Федерального Университета.

Автореферат разослан цила^ 2.011 г.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 347928, Ростовская область, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ТТИ ЮФУ.

Учёный секретарь диссертационного совета д-р техн. наук, профессор

А.Н. Целых

ОБЩАЯ ХАРАК ТЕРИСТИКА РЛКО'ГЫ

Актуальность темы диссертационной работы. Операции по гидравлическому разрыву пласта являются широко распространённым средством интенсификации добычи полезных ископаемы*, таких как нефть и природный газ. Нередки случаи повреждения трещин гидроразрыва, которые, в основном, приводят к закрытию трещин в зонах, близких к забою добывающей скважины. Закачка жидкостей или саза в подземные хранилища со склонной к разрушению средой способна привести к образованию техногенных трещин, со структурой, близкой к повреждённым трещинам гидроразрыва, последние приводят к снижению уровня добычи полезных ископаемых, а техног енные трещины - к потере части полезных ископаемых и к экологическим проблемам. Анизотропия среды также оказывает существенное влияние на фильтрационные процессы, поэтому её следует выделить в ряд основных факторов, искажающих картину течений. Современные исследования свидетельствуют также о возможности образования множественных радиальных трещин гндроразрыва, в то же время большинство существующих моделей рассматривают влияние единственной трещины па фильт рацию полезных ископаемых.

В настоящее время в области моделирования повреждённых трещин гндроразрыва используются модели, учитывающие пониженную проницаемость трещины в нрискважинной зоне. Представляют интерес модели, рассматривающие трещину как самостоятельный объект, не имеющий контакта со скважиной, способный как увеличивать приток, так и приводить к потерям жидкости в раднаяьно-аннзотрогшок среде.

Поэтому тема диссертационной работы, направленная на построение математических моделей фильтрации жидкости, учитывающих анизотропию пласта, в коллекторах с множественными трещинами гидроразрыва или с техногенными трещинами, полностью закрытыми в прнскважинной зоне, является актуальной и практически значимой.

Диссертация посвящена решению следующей важной как с теоретической, так и с практической точек зрения общей научной задачи -построить математическую модель для определения дебита одиночной скважины, функционирующей в коллекторе с повреждёнными трещинами гидроразрыва или с техногенными трещинами, при стационарном режиме фильтрации флюидов, учитывающую анизотропные свойства среды коллектора.

Объест и предмет исследования. Объект исследования - фильтрация флюидов в пористых анизот ропных средах.

Предметом исследования является процесс стационарной фильтрации флюидов к одиночной вертикальной скважинс в присутствии гонких проводимых включений.

Цель диссертационной работы - разработать средства определения количественных показателен добычи или закачки полезных ископаемых одиночной вертикальной скважиной в коллекторах с повреждёнными трешинами гидравлического разрыва или техногенными трещинами.

Поставленная общая научная задача требует решения следующих частных научных задач:

1. Сформулировать закон фильтрации несжимаемой идеальной жидкости в среде с радиальной анизотропией.

2. Построить математическую модель фильтрации жидкости к круговой скважине в радиальио-анизотропиой среде с бесконечно тонкими включениями конечной проводимости.

3. Построить математическую модель фильтрации жидкости к круговой скважине в радиально-аиизотропной среде с бесконечно тонкими включениями с заданным постоянным давлением.

■ 4. Построить математическую модель фильтрации жидкости к круговой скважине в радналыю-анизотрогшом среде с бесконечно тонкими включениями с постоянным давлением и условием отсутствия дебита.

5. Разработать, аналитические н численные методы решения задачи о дебите скважины в рамках предложенных моделей фильтрации.

6. Провести исследование моделей, направленное на определение характера влияния параметров на продуктивность скважины, а также сравнить методы решения.

Методология н методы проведённых исследований. Для решения поставленных задач использовались методы уравнений математической физики, теории функций комплексного переменного, численные методы, программные средства компьютерной алгебры MATLAB, Maple, система конечных элементов COMSOL Multiphysics, язык программирования С.

Обоснованность научных положений, результатов и выводов, приведённых в диссертации, основывается на

корректном применении апробированного математического аппарата, широком сравнении различных методов решения,

использовании апробированных специализированных программных средств (компилятор Microsoft Visual С++ 2008, Maple 13, MATLAB R2008b, COMSOL Multiphysics 3.4).

Достоверность полученных результатов подтверждается согласованностью расчётных данных. предложенных моделей и существующих моделей других авторов, тестированием вычислительных алгоритмов и программных средств ltd МЙДелЬпЫх ЩДЧйх:

Научная новизна полученных результатов

1. Построены частные математические модели стационарной фильтрации жидкости для расчёта дебита скважины с учётом влияния повреждённых трещин гидроразрыва, отличающиеся от известных тем, что а) учитывается радиальная анизотропия среды, б) трещины гидроразрыва

считаются самостоятельными объектами, не имеющими прямого контакта со скважиной, в) учитывается присутствие множественных повреждённых радиальных фсщип гидроразрыва, идеализацией которых являются бесконечно гонкие включения конечной проводимости, с заданным постоянным давлением, или с постоянным давлением и условием отсутствия дебита.

2. Дта задачи о фильтрации жидкости к скважтще с учётом влияния бесконечно топких включений с заданным постоянным давлением найдены методы аналитического решения путем сведения к формуле Келдыша-Седова.

3. Обобщён метод определения постоянных коэффициентов в формуле Келдыша-Седова на случай произвольно]'» числа отрезков с постоянным потенциалом.

4. Построены дискретные аналоги сформулированных математических моделей фильтрации жидкости к скважине с учётом бесконечно тонких включений конечной проводимости н с заданным постоянным давлением, работающие на сетке с переменным тагом.

Практическая значимость изложенных в диссертационной работе научных результатов состоит с возможности их использования для расчёта продуктивности скважин, окружённых повреждёнными трещинами гндроразрыва, а также гидродинамических потерь жидкости в самих •трещинах, что может служить в качестве инструмента технико-экономического обоснования инженерных решений. Результаты исследовании представляют определённый интерес для инженеров нефтегазовой отрасли и специалистов по охране окружающей среды.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Математические модели стационарной фильтрации жидкости в радиально-ашпотронной среде с бесконечно тонкими включениями конечной проводимости и с постоянным давлением.

2. Аналитические решения задачи стационарной фильтрации жидкости " в радиалыю-анизотропной среде с бесконечно тонкими включениями с постоянным давлением, основанные н^ формуле Келдыша-Седова.

3. Обобщённый метод определения постоянных коэффициентов в формуле Келдыша-Седова для полуплоскости в случае произвольного числа отрезков с постоянным потенциалом.

4. Дискретные аналоги математических моделей стационарной фильтрации жидкости в радиалыю-анизотропной среде с бесконечно тонкими включениями конечной проводимости и с заданным постоянным давлением.

5. Пакет прикладных программ расчёта дебптов скважины для модели фильтрации жидкости в радиально-ашпотронной среде с бесконечно тонкими включениями.

Реализации и внедрение. Полученные в диссертации результаты использованы в деятельности ООО «Перспективные технологии и консультации» г. Москва (акт о внедрении). Отдельные положения использованы в учебном процессе Северо-Кавказского государственного технического университета г. Ставрополь при обучении студентов 3 и 4 курсов специальности «Прикладная математика» (акт о внедрении).

Апробация результатов исследования. Результаты проведенных исследований докладывались на Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005); Второй международной научно-технической .конференции «Ипфокоммуникациоиные технологии в науке, производстве и образовании (Инфоком-2)» (Ставрополь, 2006); III Всероссийской научной конференции молодых учёных и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (Краснодар, 2006); IX и X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2008, Сочи, 20G9); Международной научной конференции «Актуальные проблемы и инновации в экономике, управлении, образовании, информационных технологиях» (Ставрополь, 2009); Общероссийской электронной научной конференции на основе интернет-форума «Актуальные вопросы современной науки и образования» . (Красноярск, 2010); IX Региональной научно-технической конференции «Вузовская наука -Северо-Кавказскому региону» (Ставрополь, 2005); XXXV, XXXVII и XL Научно-технических конференциях по итогам работы профессорско-преподавательского состава СевКавГТУ за 2005, 2007 и 2010 годы (Ставрополь); в рамках стипендиальной программы Леопарда Эйлера Германской службы академических обменов (Мюнхен, 2010).

Опубликованпость результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 17 печатных работах: из них две - в реферируемых изданиях, включенных в перечень рекомендованных ВАК, шесть - в сборниках материалов Международных и Всероссийских конференций. Зарегистрированы две программы для ЭВМ в реестре Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам н товарным знакам.

Структура и обьём диссертации. Общий объём диссертации 174 стр. Диссертация состоит нз введения, четырёх глав, заключения, списка литературы .(содержит 106 наименований) и трёх приложений. Работа содержит 96 рисунков к 7 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении сформулирована цель диссертации, общая научная задача, на решение которой направлено даШЮе диссертационное исследование, обоснована актуальность выбора темы* поставлены частные научные задачи исследования, сформулированы защищаемые положения, указаны научная новизна и практическая значимость полученных результатов исследования.

В первой главе проведён обзор литературных источников по теме диссертационной работы, который позволяет сделать вывод, что в настоящее время недостаточно исследованы проблемы моделирования фильтрации жидкости к скважине в присутствии повреждённых трещин гндроразрыва, повреждение которых выражается в заглушении в прискважииной зоне.

Во второй главе диссертационной работы разработаны модели фильтрации жидкости в радиально-анизотропной среде с учётом бесконечно тонких включений, моделирующих повреждённые трещины гидроразрыва, с заданной проницаемостью или с постоянным давлением. Предложены аналитические методы решения задач о дебите скважины, основанных на моделях фильтрации с учётом бесконечно тонких включений с'постоянным давлением. Решена задача о фильтрационном потоке жидкости в прямоугольном изотропном коллекторе с двумя литологическими окнами.

Плоскопараллельная линейная фильтрация жидкости в радиально-анизотропной среде считается подчиняющейся тензорному закону Дарен

г (> 11 д<р V. =—г*----' "

1 дг у[с г дО

где V, и v, компоненты вектора скорости фильтрации в полярных координатах (i\Ü), <р - потенциал, связанный с давлением жидкости

Jя! * /tí'

отношением ip- - —- -Р. Р -p + pgn приведённое давление, //

динамическая вязкость жидкости, Á¡1) и главные проницаемости

пористой анизотропной среды коллектора (рис. I), через которые выражается коэффициент е отношения проницаемостей с = Д^'/А'0 .

X, /

К/ Л

Л >

о

I

Рисунок 1. Главные направления проницаемости в полярной системе

координат

С учётом закона Дарси в форме (1) получается следующее уравнение неразрывности

4- (2) дг { дг ) г дв1

Геометрия области фильтрации представлена на рис. 2. Круговая скважина, располагающаяся в начале координат, окружена К бесконечно топкими включениями, лежащими на прямых, проходящих через центр скважины и отстоящих друг от друга на угол 2а, где а-тг/К. Контур питания считается круговым, ею центр также совпадает с началом координат.

Рисунок 2. Геометрия области фильтрации с множественными бесконечно топкимп включениями Перетекание жидкости через прямые ОА п ОН отсутствует, значит, при моделировании течений жидкости доел точно рассмотреть единственную подобласть - ЛОВ, при помощи отображения и поворота которой можно представить всю область фильтрации.

В первой мотели фильтрации предполагается, что бесконечно тонкие включения, моделирующие трещины, обладают заданной постоянной проницаемостью Я'"1 (верхний индекс 2 обозначает среду включения), и фильтрация внутри них подчиняется одномерному закону Дарси и, следовательно, уравнению неразрывности

Гг

д

ОI//

¿И дг

0,

(3)

причем у определяется как у = Л,'21//!'1', а потенциал у/ =

В точках /Г, и Г\ формулируются условия сопряжения давлений и скоростей фильтрационных течений, и совершается переход от потенциала у/ к потенциалу </) при помощи отношения ^/-^у/с <р, после чего эта модель принимает вид

II я2«,

(4)

¿(.а)...,.«,., в.„:

(5)

и,,.

Ч-,; (PL,<

:4.(1,ои И,,.,-« = 4=/,.« при 0 = 0;

(9м с —

а-

Di-

li у-

д(р

при 0 - 0;

^ = 0, /-е^./^и^.Л), 0 = 0; оО

дер

од'

0, re(r ,/i), 0 = а .

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Таким образом, краевая задача (4)-(10) является моделью фильтрации жидкости ь радиалыю-апизотропной среде с бесконечно тонкими включениями заданной проницаемости (далее - модель 1).

Модель 1 допускает упрощение. Если проницаемость включения во много раз больше проницаемости анизотропной среды, то можно считать, что давление во включениях постоянно. Если оно известно, то в модели к уравнению (4) вместо условии (5), (7) и (8) добавляются другие:

P-Vh -const вдоль r-[lt./2], 0 0: (It)

Ч,,: '-'л* И,,« ':z<p„- о2)

Эта краевая задача (4), (б), (9)—(12) является моделью фильтрации жидкости в радиалыю-апизотропной среде с бесконечно тонкими включениями с заданным постоянным давлением (далее - модель 2).

Так как давление во включениях зачастую неизвестно, то учитывая замкнутость системы, можно считать, что общий дебит каждого включения равен нулю (13), то есть включение не является ни стоком, ни источником. Это приводит к другой краевой задаче. К уравнению и дополнительным условиям модели 2 добавляется условие

Qh =

А J*}

д <р То

— = 0.

(13)

Полученная задача (4), (6), ('))-(13) описывает фильтрацию жидкости в среде с бесконечно тонкими включениями с постоянным давлением и условием отсутствия дебита включений (далее - модель 3).

Дебиты скважины, контура питания и К бесконечно тонких включений в каждой из трех моделей находятся по следующим формулам.

а

2 КЩ у dO; 0„ = -2 КЩ

dip дг

(W:

(14)

Ju" я be.

dr

Уравнение (4) для краевых задач моделей 2 и 3 в новой системе координат /■' = r¡^£ и 0' (изотропмрующая подстановка), примет вид

уравнения Лапласа Д^(г'.й') = 0. Так как функция q> - гармоническая, и допустимо рассматривать комплексный потенциал вида /'(-) = +/у/, то используется конформное преобразование области ЛОВ, сохраняющее, как известно, величины дебитов.

Краевая .задача модели 2 решена двумя способами. Для первого решения этой задачи применяется конформное отображение 4' = In : - In г/ - ¡a', преобразующее5'область -ЛОВ. в прямоугольник. Затем с помощью метода разделения переменных Фурье в прямоугольной области находится решение краевой задачи в виде

<р{.у, у)= ^'-L-^-x + т + У Л sin Д,-veil /Jj>. (15)

ч г;

■ Оно приводит к трансцендентной системе относительно неизвестных коэффициентов /1'-,' которая решена приближенно методом наименьших квадратов при помощи усечения числа уравнений и неизвестных.

Второй способ решения этой же краевой задачи модели 2 состоит в конформном преобразовании области ЛОВ в верхнюю полуплоскость с помошыо функциг: l, -- In; и £ - sn(z;k), где sn - функция эллиптического синуса, тогда граница области переходит в прямую Ох (рис. 3). Вдоль отрезков л-,.*,, а,*, и х5л'6 действуют условия постоянного потенциала, на

д<Р п

остальных частях прямой - условия непротекания — = 0.

5)>

"Ч

.X

1-1 о 11

к к Рисунок 3. Область ЛОВ, преобразованная к полуплоскости

^ гч ч дф -¿V <Решением задачи относительно функции /, = / (г) = —+ /- будет

дх дх

формула Келдыша-Седова, которая в рассматриваемом случае принимает вид

(16)

где А' - число отрезков с постоянным потенциалом (для краевой задачи моделей 2 и 3 Л' = 3).

Вектор-столбец коэффициентов С, формулы (16) находится из матричного уравнения

С = ЛГ'-./, (17)

где = 2 Л/-(/,(.х,;,х,111))!1 д,1н <р, - потенциалы

отрезков дг,,...,.х,,., а /„(.г^.д-,,,,) представляют собой интегралы вида

г ск.

(18)

При /V = 2 интегралы (|8) сводятся к хорошо изученным эллиптическим интегралам. При N>3 интеграл (18) является пшерэллштгическнм и не выражается и более простых функциях. В диссертационной работе гипсрэллиптические интегралы рассчитываются численно при помощи процедур evalf/ lut системы компьютерной алгебры Maple.

Искомые дебиты рассчитываются при помощи следующей формулы

О = il ■ С, ' (19)

где !. = (/ (х-, ...v. и . Дебиты скважины, контура питания и

\ ¿i-l- H'Jr-l.....Л':./.-11.....К-2

включений равняются соответственно 2К-0,, 1К Оу и 2К-Ог. Таким образом построено аналитическое решение краевой задачи модели 2.

Следует отмстить, что этот метод решения пригоден для целого класса краевых задач Л(/) = 0 на односвязных областях Г, с чередующимися

д<Р с «

граничными условиями вида <р —const и —--0. Аналитическое решение

(Т

модели 2 демонстрирует краевые эффекты возле начальной и конечной точек включений (рис. 4).

S3-

60-

1

Г— 1

1 -55-

-SC-

100 -

К.е(П ) — •~--~1ш(П}| sj™,

Рисунок 4. Графики Rc(/¡) = —, lm(/¡) = -— вдоль Ох,

дх

ду

0,428958 + 5,250716-;

vi" ' 2 К г i 1)(г « 0,5)(_- 0.5К- 1)(г 2) 11

С помощью построенного аналитического решения модели 2, в диссертационной работе найдено аналитическое решение задачи о дебите скважины модели 3. Потенциал включений оказывается равным

<Рй = (Р2)<Рс + Р22<Р„)/(Р21 + Рц)> (20)

а дебит скважины выражается как

■ & = 2■+ ри(р„ ~(рг[<рс + Р1г9„){Рп + Ри)/Рн + Р21)> где р - элементы матрицы /Х-АТ1.

Третья глава посвящена построению конечно-разностных аналогов моделей фильтрации жидкости в радиалыю-анизотропной среде с учетом бесконечно тонких включений и описанию алгоритмов решения задачи о дебите скважннЫ с помошыо конечно-разностных аналогов моделей. Рассмотрены вопросы сходимости численных методов. Приведено описание пакета прикладных программ.

Для краевых задач моделей I и 2 рассматривается конечно-разностная сетка в полярных координатах с переменным шагом по оси Ор такая, что начало и конец включения попадают в узлы сетки (рис. 5).

0

о.

0 V,

Рисунок 5. Конечно-разностная сетка На основании разложения функции /{р,0)~(р(гср,0)1(рс в ряды Тейлора выводится конечно-разностный аналог модели I (4)-(10)

Л = ЛАВ< , ( + +Ли)]. ™е (22)

А = + в = 2р,+з, ^ с = 2р^х^ ^ 0 = 1

0</<Л/, 0< у <«,.; /.« = + КМ,™ + (2Р, ~ Ь2)/-!.»] прч <<<«,+ пг;

*А2<-Л-2.0 + 4/»,-1.о) + + 4/„+М1) .

Д.О =

3(«А2+г1',)

з (еИ.+г'ь)

2 г 9 18 п . „

/, п = — /, з---/ > + —/ г ПРИ 0 < I < п, и и. + я, < г < N ;

II • П''2 II 1 II-

(23)

(24)

(25)

2 9 18

= - у]/л. ^ + 77I пР"0<'</V;

-1 при о < ./<//, ; /ли = "Р"0 ^./ ^», ■

(28) (29)

Аналогичным образом выводятся конечно-разностные уравнения для модели 2(4), (6), (9)~( 12).

В работе доказана устойчивость конечно-разностных моделей, а также показано, что модели имеют второй порядок точности по координатам р и <р, из чего следует сходимость предложенных разностных схем.

Полученные конечно-разностные уравнения решаются при помощи метода последовательной верхней релаксации. Дебиты скважины, включении и кон тура питания находятся в квадратурах по методу Симнсона. Алгоритмы численного решения задач о дебите скважины в рамках моделей 1 и 2 реализованы как программы на языке С.

В чешёрюй главе описываются результаты вычисли тельного эксперимента. Проводится сравнительный анализ трех решений задачи о дебите скважины модели 2, в сравнении также участвует решение, реализуемое с помощью универсал),пой системы коночных элементов СОМБОЬ \1ultipliysics. Приближенное решение, основанное на методе разделения переменных, оказывается наиболее быстрым в вычислительном плане, однако требующим тщательного подбора числа /V неизвестных системы линейных уравнении, кроме того распределение потенциала вдоль включении оказывается не постоянным, а колеблющимся возле постоянного значения (рис. 6). В серии тестов при тщательном выборе N дебит скважины отклоняется менее чем па 2 % от найденного аналитически.

Аналитическое решение показывает, что дебит скважины является линейной комбинацией потенциалов скважины, включений и контура питания. Вычислительный эксперимент демонстрирует необходимость реализации быстрых процедур вычисления пшерэллинтнческих интегралов, способных работать для широкого диапазона действительных и комплексных чисел. Показано, что аналитическое решение ограничено областями, для

■ П" Л:

геометрии которых выполняется неравенство И<гсе А .

Разработанное конечно-разностное решение и решение в системе С0М80Ь МЫНрЬухюз (рис. 7) демонстрируют согласующиеся результаты и хорошую точность, однако не способны учитывать наблюдаемые краевые эффекты скорости притока к включениям. Установлено, что численные решения могут давать погрешность вычисления дебита включений, превышающую 15 %. Дебит скважины вычисляется с отклонением, меньшим 7 %. Наименьшая погрешность обеспечивается выбором переменного шага сетки вдоль оси /">, отличающегося от соседнего не более чем в 1,3 раза.

Рисунок 6. Распределение потенциала в задаче по модели 2, найденное при помощи метода, основанного на разделении переменных

Я ■ У /I у

а) ■ б)

Рисунок 7. Распределения потенциала в краевой задаче по модели 2,

найденные при помощи конечно-разностного метода (а) и с помощью системы конечных элементов СОМЗОЬ МиШрЬуэюз (б) Также в четвёртой главе диссертации исследуется задача о дебите скважины в модели 1. Показано, что дебит скважины линейно зависит от потенциала контура питания и от потенциала на стенке скважины. С повышением проницаемости включений, давление вдоль них выравнивается и с некоторых пор их можно считать обладающими постоянным потенциалом. В рамках проведённых вычислений найдена величина у ~6-10% определяющая проницаемость включений, для которой при всех протестированных с, разница между потенциалами па концах включения меньше I %, при этом дебигы скважины, находимые по моделям 1 и 2, совпадают также до 1 %.

Исследуется зависимость удельного дебита д скважины от параметров среды и включений по модели 1. Установлено, что удельный дебит скважины в присутствии небольших включений и включений, удалённых от скважины оказывается меньшим единицы. Зависимость удельного дебита скважины от проницаемости протяжённых включений и включений средней длины показана на рис. 8.

I^^' lf—o- G

R=600; I,=15; 12=«Ю, h-2. <),= I0

10' !0 10" Ю Ш 10

у У

Рисунок 8. Зависимость удельного дебита скважины от проницаемости включении (модель 1) Параметры, в наибольшем мере влияющие па приток к скважине, - это координаты включения /, и /, (рис. 9). Дебит скважины быстро надает с ростом длины повреждённой зогы. При этом, как отмечалось, удалённые от скважины включения н включения малой длины могут снизить удельный дебит скважины меньше 1.

а)

б)

Рисунок 9. Зависимость удельного дебита скважины от длины повреждённой части трещин /, (а) и от координаты /2 при фиксированной I, (б), модель 1 При исследовании влияния размеров включений на удельный дебит скважины для сравнения используется известная модель Р. Коллинза (Collins R. Е. Calculated Effect of Multiple Vertical Fractures in Well Production Capacity. Society of Petroleum Engineers of AIME, 1961. 11 p.), в которой рассматривается влияние множественных неповрежденных радиальных трещин гидроразрыва. В диссертационной работе формула Коллинза для вычисления дебита скважины обобщается па случай радиальной анизотропии.

Установлено, что имеются различия в поведении дебита как функции от /, или от /3 (рис. 10) между моделями I и 3.

Гс=1. Р=21. 12-17. фс=1. 4у, = 10. К=|, е-1

гс-':. Н=:м. 1,=?. >.='| К=1;

~а—

—к—!«»■.• 1.т-100

' 1Г.Я..-Ч I

а) '' б)

. Рисунок 1.0. Зависимость удельного дебита скважины от /, (а) и от /, (б)

Рисунок 11. Зависимость удельного дебита скважины от полезной длины включений по модели 3 Поведение удельного дебита скважины модели 3 как функции от длины включений ¿ = /2-/,, схоже с поведением удельного дебита по модели Коллинза (рис. 11). Отмечено, что наибольшее положительное влияние на дебит скважины оказывает близкое расположение /, -> г включений.

Также установлено, что в модели 3 включения малой длины и включения, удалённые от ствола скважины, не вызывают снижения удельного дебита ниже единицы, как в модели 1.

В заключении работы дается общая характеристика полученных результатов, приведены основные выводы.

Благодарности. Автор искренне признателен и благодарен канд. техн. наук, доценту А. Д. Жерновому за плодотворные идеи и консультативную помощь.

■■ ,.. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработаны три модели стационарной фильтрации жидкости в среде с бесконечно тонкими включениями, которые отличаются от известных тем, что учитывается радиальная анизотропия среды, трещины гидроразрыва

16

считаются самостоятельными объектами, не имеющими прямого контакта со скважиной, а также учитывается присутствие множественных бесконечно тонких включений, моделирующих трещины гидроразрыва.

2. Представлены аналитические и численные методы решения поставленных задач о дебите скважины по моделям фильтрации жидкости в радиально-анизотропной среде с бесконечно тонкими включениями.

3. Разработан пакет прикладных программ расчёта дебита скважины и потенциала фильтрации жидкости в радиально-анизотропной среде с бесконечно тонкими включениями а) с заданной постоянной проницаемостью и одномерным течением, б) с заданным постоянным давлением н в) с постоянным давлением и условием отсутствия дебита включений.

4. Для построенной модели фильтрации жидкости в радиально-анизотропной среде с бесконечно тонкими включениями с заданной проницаемостью установлено, что трещины гидравлического разрыва, моделируемые как бесконечно тонкие включения, имеют постоянное давление при высокой проницаемости.

5. Па основе результатов вычислительного эксперимента рекомендуется предотвращать причины заглушения трещин гидроразрыва в прпскважшшой зоне, так как длина заглушённой части трещины в наибольшей мере влияет на удельный дебит скважины.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Работы, опубликованные в научных журналах, входящих в перечень ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ

1. Адамчук, А. С. Влияние бесконечно проницаемых трещин па течение жидкости к скважине / А. С. Адамчук, И. А. Куннцин. М. И. Сугаков // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010. - Т. 17, вып. 1. - С. 85-87. - ISSN 0869-8325.

2. Сугакоп, М. И. Результаты исследований двух моделей фильтрации жидкости в радиально-анизотропной среде / М. И. Сугаков // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15, вып. 3. - С. 521522. - ISSN 0869-8325.

Работы, опубликованные в сборниках научных трудов Международных и Всероссийских конференций

3. Адамчук, А. С. Математическая модель фильтрации жидкости в области с вертикальными трещинами гидроразрыва // А. С. Адамчук, М. И. Сугакои // Материалы международной научной конференции «Актуальные Проблемы и инновации в экономике, уиранлеИИИ, образовании, информационных технологиях». - Т. 4, вып. 5. - С. 7-8. - ISSN 2074-1685.

4. Адамчук, А. С. О методе решения задач для гармонических функций в односвязных областях с чередующимися краевыми условиями на отрезках границы / А. С. Адамчук, М. И. Сугаков // Материалы 4-й международной

научно-технической конференции «Инфокоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании». - 2010. - Ч. 1. - С. 105-108.

5. Лмироков, С. Р. Некоторые методы решения задач эллиптического типа со смешанными граничными условиями / С. Р. Лмироков, М. И. Сугаков // В мире научных открытий. - 2010. - № 1 (07). Часть 4. - С. 16-22. - ISSN 2072-0831.

6. Жерновой, А. Д. К задачам вскрытия нефтяных месторождений кустовым способом / А. Д. Жерновой, А. Г. Гришаев, М. И. Сугаков, А. А. Цевменко // Труды III Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах». - Краснодар : Просвещение-Юг, 2006. -С. 182-183.

7. Жерновой, А. Д. Математическая модель фильтрации несжимаемой жидкости к круговой скважине с учетом влияния бесконечно тонкого включения [Текст] / А. Д. Жерновой, А. Г. Гришаев, М. И. Сугаков, А. А. Цевменко // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования». - Воронеж : Воронежская гос. технолог, академия, 2005. -С. 92.

8. Жерновой, А. Д. Фильтрационные течения жидкости к скважине с учетом влияния трещин гидроразрыва или бесконечно тонких включений [Текст] / А. Д. Жерновой, А. Г, Гришаев, М. И. Сугаков, А. А. Цевменко // Материалы 2-й международной научно-технической конференции «Инфокоммуникационные технологии в науке и технике». - Ставрополь : СевКавГ'ТУ, 2006. - Ч. 1. - С. 209-212.

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве: [1] -применение конформного отображения и метода Фурье, программная реализация решения задачи; [3] - применение приёма выделения подобласти области фильтрации; [4] - идея и программная реализация аналитического метода, основанного на сведении к задаче Келдыша-Седова; [5] -применение аналитического метода решения задачи о потоке в прямоугольном пласте, программная реализация и сравнение методов; [6] -корректура текста; [7, 8] - реализация программы решения дискретного аналога задачи о дебите скважины с учётом влияния бесконечно тонкого включения (множественных включений в [8]) с заданной проницаемостью, численные расчёты.

Печатается в авторской редакции

Подписано в печать 16.05.2011 Формат 60x84 1/16 Усл. меч. л. - 1,25 Уч.-изд. л. - I Бумага офсетная. 11счать офсетная. Заказ № 179 Тираж 100 экз. ГОУ ВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет» 355028, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2

Издательство Северо-Кавказского государственного технического университета Отпечатано в i шюграфии СсвКавГГУ

Введение.

1 Математические модели фильтрации жидкости в трещиноватых средах.

1.1 Общие сведения об операции по гидравлическому разрыву пласта

1.2 Математическое моделирование фильтрации жидкости в анизотропных средах.

1.3 Проблематика повреждённых трещин гидроразрыва.

1.4 Модели фильтрации с учётом повреждённых трещин гидроразрыва.

1.5 Моделирование фильтрации в области с трещинами гидравлического разрыва.

1.6 Обзор методов исследования, применяемых в диссертационной работе.

2 Двумерные математические модели фильтрации жидкости в анизотропных средах с бесконечно тонкими включениями.

2.1 Плоскопараллельная фильтрация жидкости в радиально-анизотропных средах.

2.2 Модели фильтрации жидкости к круговой скважине в радиально-анизотропной среде с учетом влияния бесконечно тонких включений.

2.3 Модель фильтрации жидкости к круговой скважине в радиально-анизотропной среде с учётом влияния бесконечно тонких включений с постоянным давлением.

2.4 Модель фильтрации жидкости с учётом влияния бесконечно тонких включений с постоянным давлением и условием отсутствия дебита включений.

2.5 Дебиты в задачах о фильтрации жидкости с влиянием бесконечно тонких включений.

2.6 Применение преобразований координат для отыскания аналитического решения задачи о дебите скважины с учётом влияния бесконечно тонких включений с постоянным давлением.

2.8 Модель фильтрации жидкости через пласт прямоугольной формы

2.9 Применение конформного отображения для решения задачи о фильтрации жидкости через пласт прямоугольной формы.

2.10 Аналитическое решение задачи о фильтрации жидкости к. скважине с учётом влияния бесконечно тонких включений с постоянным давлением с помощью формулы Келдыша-Седова.

2.11 Пример вычисления дебита скважины при наличии К трещин с помощью приведения математической модели фильтрации к задаче Келдыша-Седова.

2.12 Альтернативный метод решения с помощью формулы Келдыша-Седова

2.13 Аналитическое решение задачи о фильтрации жидкости к круговой скважине в радиально-анизотропной среде с учётом бесконечно тонких включений с постоянным давлением и условием отсутствия дебита включений.

3 Численные аналоги моделей фильтрации жидкости с учётом бесконечно тонких включений.

3.1 Конечно-разностный аналог модели фильтрации с учётом влияния бесконечно тонких включений конечной проницаемости.

3.2 Квадратурные формулы для дебитов и потерь жидкости.

3.3 Алгоритм численного решения модели фильтрации с учётом влияния бесконечно тонких включений конечной проницаемости.

3.4 Алгоритм численного решения модели фильтрации с учётом влияния бесконечно тонких включений с постоянным давлением.

3.5. Исследование устойчивости и сходимости конечно-разностных схем моделей фильтрации с учётом бесконечно тонких включений.

3.6. Пакет прикладных программ.

4 Вычислительный эксперимент.

4.1 Сравнение методов решения задачи о перетекании жидкости через прямоугольный пласт.

4.2 Решение задачи о фильтрации жидкости в области с бесконечно тонкими включениями с постоянным давлением методом Фурье.

4.3 Решение задачи о фильтрации жидкости в области с бесконечно тонкими включениями с постоянным давлением с помощью преобразования координат и формулы Келдыша-Седова.

4.4 Решение задачи о фильтрации жидкости в области с бесконечно тонкими включениями численными методами.

4.5 Сравнение методов решения задачи о фильтрации жидкости в области с бесконечно тонкими включениями с постоянным давлением

4.6 Модель фильтрации жидкости к круговой скважине в радиально-анизотропной среде с учетом влияния бесконечно тонких включений конечной проницаемости.

4.7 Влияние проницаемости бесконечно тонких включений на дебит скважины.

4.8 Влияние размеров бесконечно тонких включений конечной проницаемости на дебит скважины.

4.9 Задача о фильтрации жидкости к круговой скважине в радиально-анизотропной среде с учётом бесконечно тонких включений с постоянным давлением и условием отсутствия дебита включений.

Актуальность темы диссертационной работы. Операции по гидравлическому разрыву пласта являются широко распространённым средством интенсификации добычи полезных ископаемых, таких как нефть и природный газ. Нередки случаи повреждения трещин гидроразрыва, которые, в основном, приводят к закрытию трещин в зонах, близких к-, забою добывающей скважины. Закачка жидкостей или газа в подземные хранилища со склонной к разрушению средой способна привести к образованию техногенных трещин, со структурой, близкой к повреждённым трещинам гидроразрыва, последние приводят к снижению уровня добычи полезных ископаемых, а техногенные трещины - к потере части полезных ископаемых и к экологическим проблемам. Анизотропия среды также оказывает существенное влияние на фильтрационные процессы, поэтому её следует выделить в ряд основных факторов, искажающих картину течений. Современные исследования свидетельствуют также о возможности образования множественных радиальных трещин гидроразрыва, в то- же время большинство существующих, моделей рассматривают влияние единственной трещины на фильтрацию полезных ископаемых.

В настоящее время в области моделирования повреждённых трещин гидроразрыва используются модели, учитывающие пониженную проницаемость трещины в прискважинной зоне. Представляют интерес модели, рассматривающие трещину как самостоятельный объект, не имеющий контакта со скважиной, способный как увеличивать приток, так и приводить к потерям жидкости в радиально-анизотропной среде.

Поэтому тема диссертационной работы, направленная на построение математических моделей фильтрации жидкости, учитывающих анизотропию пласта, в коллекторах с множественными трещинами гидроразрыва или с техногенными трещинами, полностью закрытыми в прискважинной зоне, является актуальной и практически значимой.

Диссертация посвящена решению следующей важной как с теоретической, так и с практической точек зрения общей научной задачи — построить математическую модель для определения дебита одиночной скважины, функционирующей в коллекторе с повреждёнными трещинами гидроразрыва или с техногенными трещинами, при стационарном режиме фильтрации флюидов, учитывающую анизотропные свойства среды коллектора.

Объект и. предмет исследования. Объект исследования — фильтрация флюидов в пористых анизотропных средах.

Предметом исследования является процесс стационарной фильтрации флюидов к одиночной вертикальной скважине в присутствии, тонких проводимых включений.

Цель диссертационной работы - разработать средства определения количественных показателей добычи или закачки полезных ископаемых одиночной вертикальной скважиной в, коллекторах с повреждёнными трещинами гидравлического разрыва или техногенными трещинами.

Поставленная общая научная задача требует решения- следующих частных научных задач:

1. Сформулировать закон фильтрации несжимаемой идеальной жидкости в среде с радиальной анизотропией.

2. Построить математическую модель фильтрации жидкости к круговой скважине в радиально-анизотропной среде с бесконечно тонкими включениями конечной проводимости.

3. Построить, математическую модель фильтрации жидкости к круговой скважине в радиально-анизотропной среде с бесконечно тонкими включениями с заданным постоянным давлением.

4. Построить, математическую модель фильтрации жидкости к круговой скважине в радиально-анизотропной среде с бесконечно тонкими включениями с постоянным давлением и условием отсутствия дебита. 7

5. Разработать аналитические и численные методы решения задачи о дебите скважины в рамках предложенных моделей фильтрации.

6. Провести исследование моделей, направленное на определение характера влияния параметров на продуктивность скважины, а также сравнить методы решения.

Методология и методы проведённых исследований. Для решения поставленных задач использовались методы уравнений математической физики, теории функций комплексного переменного, численные методы, программные средства компьютерной алгебры MATLAB, Maple, система конечных элементов COMSOL Multiphasics, язык программирования С.

Обоснованность научных положений, результатов и выводов, приведённых в диссертации основывается на

- корректном применении апробированного математического аппарата,

- широком сравнении различных методов решения,

- использовании апробированных специализированных программных средств (компилятор Microsoft Visual С++ 2008, Maple 13, MATLAB R2008b, COMSOL Multiphysics 3.4).

Достоверность полученных результатов подтверждается согласованностью расчётных данных предложенных моделей и существующих моделей других авторов, тестированием вычислительных алгоритмов и программных средств на модельных задачах.

Научная новизна полученных результатов

1. Построены частные математические модели стационарной фильтрации жидкости для расчёта дебита скважины с учётом влияния повреждённых трещин гидроразрыва, отличающиеся от известных тем, что а) учитывается радиальная анизотропия среды, б) трещины гидроразрыва считаются самостоятельными объектами, не имеющими прямого контакта со скважиной, в) учитывается присутствие множественных повреждённых радиальных трещин гидроразрыва, идеализацией которых являются 8 бесконечно тонкие включения конечной проводимости, с заданным постоянным давлением, или с постоянным давлением и условием отсутствия дебита.

2. Для задачи о фильтрации жидкости к скважине с учётом влияния бесконечно тонких включений с заданным постоянным давлением найдены методы аналитического решения путём сведения к формуле Келдыша-Седова.

3. Обобщён метод определения постоянных коэффициентов в формуле Келдыша-Седова на случай произвольного числа отрезков с постоянным потенциалом.

4. Построены дискретные аналоги сформулированных математических моделей фильтрации жидкости к скважине с учётом бесконечно тонких включений конечной проводимости и с заданным постоянным давлением, работающие на сетке с переменным шагом.

Практическая значимость изложенных в диссертационной работе научных результатов состоит в возможности их использования для расчёта продуктивности скважин, окружённых повреждёнными трещинами гидроразрыва, а также гидродинамических потерь жидкости в самих трещинах, что может служить в качестве инструмента технико-экономического обоснования инженерных решений. Результаты исследований представляют определённый интерес для инженеров нефтегазовой отрасли и специалистов по охране окружающей среды.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

Выводы

Результаты моделирования фильтрации жидкости в прямоугольном пласте опубликованы в работе [9].

Фильтрация жидкости к скважине в радиально-анизотропной среде в присутствии одного включения с заданной конечной проницаемостью исследована в работах [31-34, 37]. В работах даётся оценка проницаемости включения, при которой его можно рассматривать как имеющее постоянное давление. В [32, 33, 37] строятся графики зависимости расхода жидкости через включение в зависимости от его проницаемости, приводятся карты распределения потенциала в области фильтрации.

Модель фильтрации с учётом включения с конечной проницаемостью обобщается на множество включений в [38], где исследованы отличия от модели с одним включением. Зависимость дебита скважины от числа включений с заданной проницаемостью и с заданным давлением приводится в [5, 25]. В [25] также продемонстрирована линейная зависимость дебита

161 скважины от давления контура питания и давления включений. В [5] приведены графики зависимости дебита скважины от размеров включений.

Статья [62] обобщает результаты, полученные в ходе исследования установившейся фильтрации жидкости к скважине в радиально-анизотропной среде с включениями, проницаемость которых постоянна и известна, или включениями, о которых известно давление находящейся в них жидкости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе на основе обзора литературы по проблеме проектирования разработки месторождений полезных ископаемых и интенсификации добычи с применением гидравлического разрыва пласта установлено, что задача оценки дебита скважины в случае повреждения трещины гидравлического разрыва не является до конца решённой. Отсутствуют модели, в которых бы скважина и множественные трещины рассматривались отдельно а не как единая система, и учитывался бы анизотропный характер среды фильтрации.

В связи с этим разработаны три модели стационарной фильтрации жидкости-в среде с бесконечно тонкими включениями, которые отличаются от известных тем, что учитывается радиальная анизотропия среды, трещины гидроразрыва считаются самостоятельными объектами, не имеющими прямого контакта со скважиной, а также учитывается присутствие множественных бесконечно тонких включений, моделирующих трещины гидроразрыва.

Разработаны аналитические методы и конечно-разностные аналоги моделей для решения- поставленных задач о дебите скважины по моделям фильтрации жидкости в радиально-анизотропной среде с бесконечно тонкими включениями.

Разработан пакет прикладных программ расчёта дебита скважины и потенциала фильтрации жидкости в радиально-анизотропной среде с бесконечно тонкими включениями а) с заданной постоянной проницаемостью и одномерным течением, б) с заданным постоянным давлением и в) с постоянным давлением и условием отсутствия дебита включений.

Для построенной модели фильтрации жидкости в радиально-анизотропной среде с бесконечно тонкими включениями с заданной проницаемостью установлено что трещины гидравлического разрыва, моделируемые как бесконечно тонкие включения, имеют постоянное давление при высокой проницаемости. Поэтому, если коэффициент проницаемости среды трещин в 6000 больше, чем проницаемость анизотропной среды фильтрации, трещины не контактируют со скважиной, и фильтрация в трещинах подчиняется линейному закону, то при расчётах можно использовать более простые модели, предполагающие постоянное давление в трещинах.

На основе результатов вычислительного эксперимента рекомендуется предотвращать причины заглушения трещин гидроразрыва в прискважинной зоне, так как длина заглушённой части трещины в наибольшей мере влияет на удельный дебит скважины.

1. АТС метод Гаусса Электронный ресурс. URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/AГCмeтoдГaycca (дата обращения: 05.05.2010).

2. Адамчук, А. С. Введение в прикладную математическую физику Текст. / А. С. Адамчук. — 2-е изд. Ставрополь : издательство СевКавГТУ, 2006. — 199 с. - ISBN 5-9296-0311-1.

3. Ставрополь : СевКавГТУ, 2009. Т. 4, вып. 5. — С. 7—8. - Библиогр.: с. 8. — ISSN 2074-1685.

4. Амироков, С. Р. Некоторые методы решения задач эллиптического типа со смешанными граничными условиями Текст. / С. Р. Амироков, М. И. Сугаков // В мире научных открытий. 2010. - № 1 (07). Часть 4. - С. 16-22.-Библиогр.: с. 22.-ISSN2072-0831.

5. Аравин, В. И. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде Текст. / В. И. Аравин. М.: Гостехиздат, 1953. - 616 с.

6. П.Астафьев, В. И. Моделирование фильтрации жидкости при наличии трещины гидравлического разрыва пласта Текст. / В. И. Астафьев, Г. Д. Федорченко // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2007. -№2(15).-С. 128-132.-ISSN 1991-8615.

7. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций Текст. / Н. И. Ахиезер. — 2-е изд., перераб. — М. : Наука : Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970. — 304 с. : ил.

8. Басниев, К. С. Нефтегазовая гидромеханика Текст. / К. С. Басниев, Н. М. Дмитриев, Г. Д. Розенберг. — М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 480 с.

9. Басниев, К. С. Подземная гидромеханика Текст. / К. С. Басниев, И. Н. Кочина, В. М. Максимов. М>. : Недра, 1993. - 416 с. - ISBN 5-247-023234.

10. Бэр, Я. Физико-математические основы фильтрации воды Текст. / Я. Бэр, Д. Заславски, С. Ирмей. -М.: Мир, 1971. 452 с.

11. Голубева, О. В. Курс механики сплошных сред Текст. / О. В. Голубева. — М. : Высшая Школа, 1972. 368 е., ил.

12. Горбунов, А. Т. Математическая модель движения несжимаемой жидкости с обобщённым законом фильтрации в анизотропных средах Текст. / А. Т. Горбунов, А. Д. Жерновой. М., 2003. - 12 с. - Библиогр.: с. 10-12. - Деп. в ВИНИТИ № 911-ВОЗ.

13. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы Текст. / Г. Б. Двайт; перевод с англ. Н. В. Леви; под ред. К. А. Семендяева. 5-е изд. - М. : Наука : Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. - 228 с. : ил.

14. Дитман, А. О. Методы аналогий в аэродинамике летательных аппаратов Текст. / А. О. Дитман, В. Д. Савчук, И. Р. Якубов. М. : Машиностроение, 1987. - 152 с.

15. Донцов, К. М. Решение краевой задачи Дюпюи для среды с прямолинейной анизотропией Текст. / К. М. Донцов, А. Д. Жерновой, В. А. Толпаев // Известия Северо-Кавказского научного центра. Естественные науки. — 1988. — № 4.

16. Жерновой, А. Д. Математическая модель вскрытия пласта с анизотропным включением щелевым способом Текст. / А. Д. Жерновой, К. М. Донцов. М., 1996. - Деп. в ВИНИТИ № 1587-В96.

17. Жерновой, А. Д. Математическая модель вскрытия радиально-анизотропного пласта щелевым способом Текст. / А. Д. Жерновой, В. А. Толпаев, К. М. Донцов // Известия ВУЗов, Сев.-Кав. регион. Естественные науки. 1996. - № 1.

18. Жерновой, А. Д. Математическая модель фильтрации жидкости к круговой скважине с учётом влияния трещины гидроразрыва Текст. / А. Д. Жерновой // Теоретические и прикладные проблемы современной физики. Ставрополь, 2002. - С. 323-327.

19. Жерновой, А. Д. Результаты расчётов по математической модели фильтрации жидкости к круговой скважине с учётом влияния* трещины гидроразрыва Текст. / А. Д. Жерновой, А. А. Цевменко. — М., 2005. — 7с. Деп в ВИНИТИ № 509-В2005.

20. Иоссель, Ю. Я. Расчёт электрической ёмкости Текст. / Ю. Я. Иоссель, Э. С. Кочанов, М. Г. Струнский. 2-е изд., перераб. и доп. - СПб. : Энергоиздат, 1981. - 288 е., ил.

21. Казанцев, П. Ю. Исследование технологии воздействия гидроразрывом пласта на поздней стадии разработки месторождения Текст.: : автореферат дис. . канд. техн. наук : 25.00.17 : защищена 20.06. 04 / Казанцев Павел Юрьевич. Тюмень, 2004. — 25 с.

22. Каневская, Р. Д. Математическое моделирование разработки месторождений нефти и газа с применением гидравлического; разрыва; пласта Текст. / Р. Д. Каневская; — М. : ООО «Недра-Бизнесцентр», 1999. — 212 е. : ил.

23. Канторович, Л. В. Приближенные методы численного анализа Текст. / Л: В. Канторович, В; И. Крылов. — 3-е изд. - М: : Гостсхиздат, 1949. — 695 с.

24. Каппелини, В. Цифровые фильтры и их применение Текст. / В. Каппелини, А. Дл. Константинидис, П. Эмклиани. М.: Энергоатомиздат, 1983: — 360 с.

25. Кейбал, А. А. О причинах обратного выноса проппанта в ствол скважины после гидроразрыва продуктивного пласта Текст. / А. А. Кейбал, А. В. Кейбал // Бурение и нефть. Ноябрь 2009. - № 11. - С. 48-52. - ISSN 2072-4799;

26. Келдыш, М. В. Эффективное решение, некоторых краевых задач для гармонических функций Текст. / М. В. Келдыш, JL И. Седов // Докл. АН СССР:- 1937;-Т. 16, № 1.-С. 7-Ю;

27. Константинов, С. В. Глубокопроникающий гидравлический разрыв пласта метод интенсификации разработки низкопроницаемых коллекторов Текст. / С. В. Константинов, Н. П. Лесик, В. И: Гусев, Ю. П. Борисов // Нефтяное хозяйство. - 1987. -№ 5. - С. 22-25.

28. Кочин, Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления Текст. / Н. Е. Кочин. М.: Наука, 1965. - 426 с.

29. Кудрявцев, JI. Д. Курс математического анализа Текст. В 3 ч. Ч. 2. Ряды. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных / JI. Д. Кудрявцев. М. : Дрофа, 2004. - 720с.

30. Лаврентьев, М. А. Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики Текст. / М. А. Лаврентьев. М. - СПб. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1946. -159 е.

31. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного Текст. / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. 4-е изд., перераб. и доп. - М. : Наука, 1973.-749 с.

32. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые приложения к математической физике Текст. / Н. И. Мусхелишвили. 3-е изд., испр. и дополн. - М. : Наука, 1968.-512 с.

33. Пилатовский, В. П. Основы гидромеханики тонкого пласта Текст. / В. П. Пилатовский. М. : Недра, 1966. - 317 с.

34. Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа Электронный ресурс. URL: http://ш.wikipedia.org/wiki/ПpизнaкДиpиxлe (дата обращения: 05.05.2010).

35. Рабинер, Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов Текст. / Л. Рабинер, Б. Гоулд. М.: Мир, 1978. - 848 с.

36. Ромм, Е. С. Структурные модели порового пространства горных пород Текст. / Е. С. Ромм. Л.: Недра, 1985. - 240 с.

37. Ромм, Е. С. Фильтрационные свойства трещиноватых горных пород Текст. / Е. С. Ромм. М.: Недра, 1966. - 238 с.

38. Самарский, А. А. Методы решения сеточных уравнений Текст. / А. А. Самарский, Е. С. Николаев. — М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. — 592 е., ил.

39. Самарский, А. А. Теория разностных схем Текст. / А. А. Самарский. 3-е изд., испр. - М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 616 с. - ISBN 502-014576-9.

40. Система конечноэлементных расчётов FEMLAB 3.x. Документация Электронный ресурс. // Консультационный центр MATLAB компании Softline: [сайт]. URL: http://matlab.exponenta.ru/femlab/book6/default.php (дата обращения: 05.05.2010).

41. Сугаков, М. И. Результаты исследований двух моделей фильтрации жидкости в радиально-анизотропной среде Текст. / М. И. Сугаков // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. - Т. 15, вып. 3. - С. 521-522. -Библиогр.: с. 522. - ISSN 0869-8325.

42. Сунцов, Н. Н. Методы аналогий в аэрогидродинамике Текст. / Н. Н. Сунцов. М. : Гос. изд. физико-математической литературы, 1958. - 324 с.

43. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач Текст. / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. 2-е изд. - М. : Наука : Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979.-285 с.

44. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики Текст. / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. 5-е изд. - М. : Наука, 1977. - 735 с.

45. Фихманас, Р. Ф. Метод Хоу расчёта' ёмкости тел и его связь с вариационными принципами Текст. / Р. Ф. Фихманас, П. Ш. Фридберг // ЖТФ. 1970. - Т. 40, Вып. 6. - С. 1327-1328.

46. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах Текст. / С. Е. Холодовский // Дифференциальные уравнения. 2009. - Т. 45. № 6. - С. 855-859.

47. Холодовский, С. Е. О решении задач фильтрационной экологии1 Текст. / С. Е. Холодовский // Обозрение прикладной' и, промышленной. математики. 1994. — Т. 1, Вып. 6 : ,Математические методы экологии.

48. Холодовский, С. Е. Развитие метода потенциала в решении проблем фильтрации жидкости в сильно неоднородных средах Текст. : дис. . д-ра физ.-мат. наук : 01.02.05 / Холодовский Святослав Евгеньевич. Чита, 1998.-323 с.-Библиогр.: с. 232-323.

49. COMSOL Электронный ресурс. // CAE-Services: [сайт]. URL: http://www.caeservices.ru/index.php?option=comcontent&view=article&id=146&Itemid=16 6 (дата обращения: 05.05.2010).

50. RU2379497 Электронный ресурс. // Новые российские патенты (полные тексты): [сайт]. URL: http://partkom.com/patent/ru2379497-2/ (дата обращения: 20.06.2010).

51. Ab'ramowitz, М. Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and'Mathematical Tables Text. / M. Abramowitz, I; A. Stegun. 10th ed., corrected. - Washington, Ю.С., USA : U.S. Government Printing Office, 1972.-1046 p.

52. Barree, R. D. Engineering Criteria for Fracture Flowback Procedures Text. / R. D. Barree, H. Mukherjee // Low Permeability Reservoirs Symposium. Denver, Colorado, 20 22 March. 1995.- P. 567-581.

53. Bennett, С. O. Influence of Fracture Heterogeneity and Wing Length on the Response of Vertically Fractured Wells Text. / С. O. Bennett, N. D: Rosato, A. C. Reynolds Jr., R. Raghavan // Paper SPE 9886. 1981.

54. Bourbiaux, B. Fractured reservoirs modelling: a review of the challenges and some recent solutions Text. / B. Bourbiaux, R. Basquet, J. M. Daniel, L. Y. Hu, S. Jenni, A. Lange, P. Rasolofosaon // First break. Sept. 2005. - Vol. 23. -P. 33-40:

55. Differential of the first kind Electronic resource. URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Differentialofthefirstkind (access date 29.05.2010).

56. Economides, M. J. Reservoir Stimulation Text. / M. J. Economides, K. G. Nolte. 2nd ed. - Englewood Cliffs, NJ, USA: Prentice Hall, 1989. - 440 p.

57. Evalf/Int Maple Help Electronic resource. URL: http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=evalf/Int (access date 29.05.2010).

58. Gilespie, W. On the Reduction of Hyperelliptic Integrals (p=3) to Elliptic Integrals by Transformations of the Second and'Third'Degrees Text. / William Gilespie // American Journal of Mathematics. Jul. 1900. - Vol. 22, No. 3. -P. 259-278.

59. Henn, N. Modelling Fluid Flow in Reservoirs Crossed by Multiscale Fractures : A New Approach Text. / N. Henn, B. Bourbiaux, M. Quintard, S. Sakthikumar // 7 European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, ECMOR7. 5-8 Sept. 2000. - 16 p.

60. Hoteit, H. An efficient numerical model for incompressible two-phase flow in fractured media Text. / Hussein Hoteit, Abbas Firoozabadi // Advances in Water Resources. 2008. - P. 891-905.

61. Howe, G. W. O. The capacity of rectangular plates and a suggested formula for the capacity of aerials Text. / G. W. O. Howe // The Radio Review. Oct. 1919-June 1920.-Vol. 1.-P. 710-714.

62. Karimi-Fard, M. An Efficient Discrete-Fracture Model Applicable for GeneralPurpose Reservoir Simulators Text. / M. Karimi-Fard, L. J. Durlofsky, K. Aziz // SPE Journal. June 2004. - P. 227-236.177

63. Kowalevsky, S. Über die Reduction einer bestimmten Klasse Abel'scher Integrale 3ten Ranges auf elliptische Integrale Text. / Sophie Kowalevski // Acta Mathematica. Juli 1884. - Vol. 4, No. 1. - P. 393-414.

64. Lyons, W. C. Standard Handbook of Petroleum and Natural Gas Engineering Text. / W. C. Lyons, G. J. Plisga. 2nd ed. - Houston, TX, USA: Gulf Publishing, 1996. - 1076 p. - ISBN 0-88415-643-5.

65. Malet, J. C. Some Theorems in the Reduction of Hyper-elliptic Integrals Text. / J. G. Malet // The-Transactions of the Royal Irish Academy. 1875. - Vol. 25.-P. 279-294.

66. Mukherjee, H. Fractured* Well Performance: Key to Fracture Treatment Success Text. / H. Mukherjee // Journal of Petroleum Technology. March 1999.-Vol. 51,Number3.-P. 54-59.

67. Narasimhan, T. N. A Purely Numerical Approach for Analyzing Fluid Flow to a Well Intercepting a Vertical Fracture Text. / T. N. Narasimhan, W. A. Palen //Paper SPE 7983.- 1979.

68. Pratikno, H. Declie Curve Analysis Using Type Curves Fractured Wells / Helmi Pratikno // SPE Journal.

69. Raymond, L. R. Productivity of Wells in Vertically Fractured, Damaged Formations Text. / L. R. Raymond, G. G. Binder Jr. // Journal of Petroleum Technology. 1967. - Vol. 19:1. -P. 120-130.178

70. Reeves, D. FRACK: A Freeware Flow and Transport Suite for Fractured Media Text. / D. M. Reeves, Y. Zhang, G. Pohll, D. Benson // Proceedings of MODFLOW and MORE 2008: Ground Water and Public Policy. 19-21 May 2008.-P. 67-71.

71. Restrepo, D. P. Pressure Behavior of a System containing Multiple Vertical Fractures Text. : diss. . Ph. D. / Dora Patricia Restrepo. — Norman, Oklahoma, 2008. 297 p. - Bibliogr.: p. 216-225.

72. Robinson, B. M. Minimizing Damage to a Propped Fracture by Controlled Flowback Procedures Text. / B. M. Robinson, S. A. Holditch, W. S. Whitehead // Journal of Petroleum Technology. June 1988. - Vol. 40, Number 6.-P. 753-759.

73. Romero, J. Theoretical Model and Numerical Investigation of Near-Wellbore Effects in Hydraulic Fracturing Text. / J. Romero, M. G. Mack, J. L. Elbel // SPE Annual Conference & Exhibition. SPE 30506. Dallas, USA. -22-25 Oct 1995. - P. 569-578.

74. Smith, J. E. Effect of Incomplete Fracture Fill Up at the Wellbore on Productivity Ratio Text. / J. E. Smith // Paper SPE 4677. 1973. - 16 p.

75. Uhri, D. C. Fractured.Well Performance Prediction Text. / D. C. Uhri, N. L. Webb, J. L. Fitch // Socony Mobil Field Research Laboratory Report No. 56. -1968.

76. Wolfram Alpha Electronic resource. URL: http://www.wolframalpha.com/ (access date: 06.05.2010).

77. Wood, D. B. Stresses and Displacements Around Hydraulically Fractured Wells Text. / D. B. Wood, G. Junkin II // Paper SPE 3030. 1970.