автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование напряженного состояния неоднородных цилиндрических стержней

На правах рукописи

00460048? Ерошкина Татьяна Васильевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЧЕЛЯБИНСК - 2010

004600485

Работа выполнена на кафедре общей математики

ГОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет»

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Дильман Валерий Лейзерович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кадченко Сергей Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Федоров Владимир Евгеньевич

Ведущая организация: Российский федеральный ядерный центр

"РФЯЦ - ВНИИТФ им. академика Е.И. Забабахина"

Защита диссертации состоится 3 марта 2010 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 212.298.14 при Южно-Уральском государственном университете по адресу: 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76, ауд. 1001.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южно-Уральского государственного университета.

Автореферат разослан 22 января 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

Л.Б. Соколинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Необходимость построения математических моделей (далее в автореферате ММ) (в форме краевых и других задач для дифференциальных, интегральных и других уравнений и их систем), позволяющих получать достаточно точные приближенные аналитические решения осесим-метричных задач теории пластичности неоднородных сред, диктуется потребностью создания эффективных методик проведения экспериментов на прочность материалов, а также потребностями практики. Действительно, некоторые нормативные документы1, регламентирующие условия производства и эксплуатации сварных соединений, в том числе арматурных сварных конструкций, не учитывают влияния параметров соединений на величину контактного упрочнения менее прочных (далее в автореферате МП) участков, и поэтому требуют уточнения. В то же время, теоретических работ, исследующих напряженное состояние (далее в автореферате НС) или напряженно-деформированное состояние (далее в автореферате НДС) неразъемного соединения, содержащего слой (прослойку) с иными, чем основной металл (далее в автореферате ОМ), механическими характеристиками, и содержащих новые теоретические идеи и подходы, было немного. В работах Л.М. Качано-ва2, O.A. Бакши и Л.М. Качанова3 при достаточно жестких предположениях исследовался случай бесконечной механической неоднородности К соединения. В работе4 получены для случая плоской деформации зависимости предельной нагрузки от К и относительной толщины слоя ус для произвольных значений К аппроксимацией по двум точкам. Этот подход перенесен в работу5, в которой исследовалось НС в МП поперечном слое круглого сплошного стержня. Кроме того, в ней использовались гипотезы, не вполне соответствующие реальным распределениям напряжений в слое. Поэтому остается актуальной необходимость построения и исследования адекватных математических моделей НС неоднородных сплошных стержней.

Цель работы — разработка и исследование аналитическими и численными методами математических моделей НС неоднородных сплошных стержней

'ГОСТ 10922-64. Арматура и закладные изделия сварные, соединения сварные арматуры и закладных изделий железобетонных конструкций. Общие технические условия. М.: Изд-во стандартов, 1990. 30 е.; ГОСТ G996-66. Сварные соединения. Методы определения механических свойств. М.: Стандартинформ, 2005. 44 с.

2 Качано а J1.M. О напряженном состоянии пластической прослойки // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Механика и машиностроение. 1962. №5. С. 63-67.

3Бакши O.A., Качалов JI.M. О напряженном состоянии пластической прослойки при осесимметричиой деформации // Изв. АН СССР. Механика. 1965. №2. С. 134-137.

'О влиянии степени механической неоднородности на статическую прочность сварных соеданений / O.A. Бакши, В.В. Ерофеев, М.В. Шахматов и др. // Свароч. пр-во. 1983. №4. С. 1-4.

^Шахматов М.В., Ерофеев В.В., Остсемин A.A. О некоторых особенностях метода линий скольжения при решении осесимметричных задач теории пластичности // Проблемы прочности. 1985. №3. С. 88-94.

(см. рис. 1), подверженных осевой нагрузке (осесимметричное состояние), и на этой основе оценка влияния на их несущую способность их механических и геометрических параметров.

Система уравнений теории идеальной пластичности при осесимметричном деформировании на основе теории течения имеет вид:

^ + ^ + ^ = (1) дг аг г

дтг- тг2 даг . ,„.

(<7Г - (Ту)2 + - сгг)2 + (а2 - аг)2 + бт2г = 6к2, (3)

дьг ь'г ди~ диГ дуг ду2

дг г _ дг дг _ дг дг ^

<тг — сгу ст2 — <тГ 2 тгг

дьг иг диг

Здесь су - радиальное, а,е - кольцевое, а- - осевое нормальные напряжения, тгг - радиалыго-осевое касательное напряжение; уг, п^ и иг - соответствующие (условные) скорости перемещений; (1) и (2) - уравнения равновесия (касательные

напряжения и т^>г тождественно равны нулю, так как изгиб и кручение отсутствуют); (3) - условие текучести Мизеса, к - постоянная пластичности, к = /сБП в более прочной (далее в автореферате БП) части стержня и к = кмп в МП слое; (4) - закон пропорциональности девиато-ров скоростей деформаций и напряжений; (5) - условие сохранения объема пластического тела в процессе деформирования (условие несжимаемости). Величины иг, Щ и и2 определяются с точностью до постоянного множителя. Система (1) - (5) содержит шесть уравнений относительно шссти неизвестных функций (двух независимых безразмерных переменных г и х) и, в этом смысле, замкнута. Искомые функции определены на осевом сечении части стержня, подверженной пластическому деформированию, и содержащей осе-симметричный МП слой прямоугольного сечения (рис. 1), а также некоторые участки БП части, примыкающие к слою.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи.

1. Разработать математические модели НС цилиндрического (сплошного) соединения с МП поперечным однородным слоем в условиях осесиммет-ричной деформации. Для этого:

2. Разработать аналитические методы приближенного решения задачи сопряжения для напряжений на контактной границе с целью нахождения недостающих краевых условий, для чего:

3. Исследуя систему (1) - (3) методами теории нелинейных уравнений гиперболического типа, вычислить для нее инварианты Римана;

4. На этой основе найти напряжения на контактной границе в окрестности свободной поверхности, в частности, определить наибольшую величину касательных и нормальных напряжений на контактной границе в критический момент нагружения как функцию внешних параметров;

5. Разработать аналитические методы приближенного решения недоопре-деленных краевых задач для системы уравнений пластического равновесия (1) - (3);

6. Разработать аналитические методы приближенного решения недоопре-деленных краевых задач для полной системы уравнений (1) - (5), моделирующих НДС в пластическом слое;

7. Разработать математические модели НС цилиндрического (сплошного) соединения с МП поперечным неоднородным слоем в условиях осесим-метричной деформации, для чего решить перечисленные в пунктах 2-6 задачи в случае, когда в уравнении (3) параметр пластичности является переменным: к — к(г).

Методика исследования.

В исследованиях, проводимых в диссертационной работе, использовался аппарат математической теории пластичности, применялись методы исследования нелинейных уравнений в частных производных гиперболического типа, а также возможности пакета МАТЬАВ для проведения приближенных вычислений и численных экспериментов.

Научная новизна работы.

1. Новыми являются все полученные в работе аналитические выражения -зависимости компонент тензора напряжений от координат точек в различных случаях; зависимости критических осевых нагрузок от механических и геометрических параметров стержня и его МП поперечного слоя (в том числе неоднородного).

2. Впервые при исследовании НС МП однородного слоя сплошного стержня в процессе его пластического деформирования при осесимметричной деформации:

- введен и исследован ряд новых ММ НС однородного пластичного осе-симметричного слоя, основанных на различных предположениях: гипотезы плоских поперечных сечений (далее в автореферате ГППС), гипотезы разделения переменных (далее в автореферате ГПР) для касательных напряжений и ее частных случаях;

- для анализа НС МП слоя использовалась гипотеза параболических сечений;

- удалось приближенно проинтегрировать методом инвариантов Римана систему уравнений, описывающую осесимметричное НС при ГППС;

- решена задача сопряжения на контактной границе для осесимметрич-ного НС.

3. Впервые построены и исследованы ММ неоднородного осссимметрично-го слоя при небольшой механической неоднородности. При моделировании НС слоя с переменной прочностью по толщине впервые:

- найдены аппроксимации функции прочности слоя, при которых применима ГРП для касательных напряжений, и изучена ММ, при которой касательные напряжения в окрестности оси стержня меняются линейно в радиальном направлении;

- удалось приближенно проинтегрировать методом инвариантов Римана систему уравнений, описывающую осесимметричное НС неоднородного слоя при ГППС. На этой основе

- решена задача сопряжения на контактной границе для неоднородных сред.

Теоретическая ценность.

Обобщение метода разделения переменных на некоторые нелинейные уравнения в частных производных может быть полезно для получения точных и приближенных решений недоопределенных краевых задач для таких уравнений. Метод приближенного построения инвариантов Римана для уравнений осесимметричных задач теории пластичности, использованный в работе, можно применять и для других неоднородных уравнений гиперболического типа.

Практическая ценность.

Полученные результаты позволяют:

1. Определять прочность сварных соединений стержней арматуры при осевых нагрузках.

2. Определять разрушающие растягивающие нагрузки, действующие на стержневые образцы, содержащие прослойки из МП материала, исследуя на этой основе свойства материалов.

3. Внести изменения и дополнения в нормативные документы, регламентирующие условия производства и эксплуатации сварных конструкций.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике: VII (г. Кисловодск, 2006), VIII (г. Адлер, 2007), IX (г. Кисловодск, 2008), X (г. Санкт-Петербург 2009); Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения И.Н. Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (г. Новосибирск, 2007); Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (г. Стерлитамак, 2008); Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения C.JI. Соболева "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений" (г. Новосибирск, 2008); IX Международной летней научной школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (г. Казань, 2009); Научных конференциях ЮУрГУ: 57-ой (2005), 58-ой (2006), 59-ой (2007), 60-ой (2008), 61-ой (2009); на научном семинаре кафедры уравнений математической физики ЮУрГУ; на научном семинаре кафедры математических методов теории управления БГУ (г. Минск).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 14 работах, из них 4 - в изданиях, включенных в перечень ВАК. В работах [1], [5] - [8], [14] B.JI. Дильману принадлежит постановка задач и общее руководство, Т.В. Ерошкиной принадлежит вывод всех аналитических зависимостей, формулировки и доказательства всех утверждений, а также численные эксперименты. В работе [2] В.Л. Дильману принадлежит постановка задачи, А.А. Остсемин выполнил анализ нормативных документов, Т.В. Ерошкиной принадлежит вывод всех аналитических зависимостей. Все результаты, включенные в диссертацию, получены лично диссертантом.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 88 наименований. Материал изложен на 103 страницах машинописного текста, включая 21 рисунок. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены цель, задачи и методы исследования, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе изучается НС МП поперечного однородного слоя сплошного круглого стержня под осевой растягивающей нагрузкой.

В п. 1.1 строится и исследуется математическая модель НС МП слоя при ГППС

V, = УУ(г). (6)

При таком предположении система уравнений НДС слоя (1) - (5) заметно упрощается, приобретая вид:

дстг дтг^ _ 0 дт„ + _ _7у*_ дг дг ' дг дг г '

аг-сг = ±уДу/1-тЪ (8)

ЗИ"(г) г УГ[г\

--— =--—-; ют =----. (9)

а2 - ат Лтгг г

В качестве "модельного" используется приближенный вариант уравнения (8):

<г,-<7г = А/3(1--£/2). (10)

Наряду с граничными условиями

гм(0,2)=0, оу(1, г) = 0, тГ2(1;г) = 0, тГ2(г-;0) = 0, (И)

на контактной границе имеют место внутренние граничные условия (условия сопряжения) = = Ктвп {12)

где К = кБП/кмп - степень механической неоднородности соединения. Система (7) - (9) вместе с граничными условиями (11) и (12) является математической моделью НДС осесимметричного пластического слоя при осесим-метричной деформации и ГППС (6).

В п. 1.2 исследуется НС МП слоя в окрестности свободной границы методом характеристик. В п. 1.2.2 система (7) - (8) записывается в матричной форме и в инвариантах Римана :

г + ц) гЛ{ ___ = __ г = 1,2, (13)

где Ае - собственные числа матрицы системы, а ц- - первообразная по ту, от А,-. Приближенное интегрирование системы (13) приводит к зависимости на контактной поверхности между напряжениями су и ттг:

оу + VI - Т;А{ 1п — = 0, т

где из геометрических соображений получено тур = г + д(1 — г), д ~ 0,10...0,15.

В п. 1.2, на основе результатов п. 1.2.2, решается задача сопряжения на контактной границе для напряжений тГ2 и оу, т. е. находятся их значения па отрезке РА в зависимости от параметров К и х. В п. 1.2.4 на основе результатов предыдущего пункта получены зависимости координат точки Г

(см. рис. 1) и значений а2 = ст^ и тгг = тр в этой точке от параметров К и

А.

В п. 1.3 дается полное описание и исследование математических моделей НС МП слоя при ГРП для касательных напряжений. Следствием применения ГРП г = R(r)Z(z) к уравнению

^ аУ) + _ _ /т\ _ 0

2 ЗгЗг Зг2 дг2 дг\г) ' полученному исключением функций о> и ст. из системы (7), (10), является уравнение

2л/3 + - - (Л/г)'/Д = 0, (14)

причем из (11) следуют условия

Я(0)=0; 2(0) = 0. (15)

В п. 1.3.1 доказана лемма 2: уравнение (14) не имеет решений, за исключением следующих частных вариантов. 1. Функция 2 постоянна. 2. Функция линейна (не постоянна). 3. Функция Я линейна.

Первый вариант приводит к известным решениям Хилла и Ивлева 6, не удовлетворяющим граничным условиям (15). В п. 1.3.2 и п. 1.3.3 подробно исследуются модели, когда касательные напряжения изменяются линейно поперек МП слоя и, соответственно, в радиальном направлении (варианты 2 и 3, лемма 2). Во втором варианте функция Д удовлетворяет уравнению

->/ЗЯ2 + Я' + Я/г = 2Л1 и условию Я(0) = 0. Точное решение, представленное в виде суммы ряда, можно с точностью до тысячных при 0 < г < 0,5; 0 < г < 1 аппроксимировать функцией 2г / 2 \

Т ~ 7з71п '

причем параметр А находится по формуле

2(1-ехр(-УЗг^/(2х)))

Это позволяет интегрированием уравнений (7) получить решение в виде: 2х ( 2 \

2 Аг2 2 /4-ч/3 Аг2\ 2 Ах2 , ч

< = (16)

, 2 (А-у/гЛг2\ 2АУ? г

"Имев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 231 с.

Решение (16) относится к случаю, когда нормальные напряжения <гг, возрастающие при приближении к оси стержня, не достигают критических напряжений БП материала, равных величине \/3К (рис. 2, а), и распространяется на область НРРН'.

Рис. 2: Осевое сечепие МП слоя и эпюра нормальных напряжепий <т2 по контактной поверхности НА: а) первый случай - с, < всюду на контактной поверхности; 6) второй случай - существует участок НМ, на котором аг = </3К (в области НММ'Н' НС простое равномерное)

В противном случав, когда в некоторой точке М контактной границы оказывается, что а2 = \/3К, напряженное состояние в МП слое между этой точкой и осью стабилизируется и становится простым равномерным (рис. 2, б). На участке НМ напряжения постоянны (сг2 = \/ЗК), на участке МЕ их можно описать уравнениями, аналогичными уравнениям (16), с другими константами, для определения которых необходимо найти точку М. Точка М находится из системы трансцендентных уравнений

^уА(гр-гм)2=у, (17)

= + (18) л^-Х1-!)-!^** (19)

Аппроксимация функции (19) функцией

д{у, к) = - + х2^ у (1 - 2С*2 + 0, Щу)'1

(с ошибкой в несколько тысячных при 0 < у < 0,5) позволяет найти приближенное решение системы (17)—(19) и вычислить координату точки М:

\/ЗК - агр

гм = гР

1/у/З + х2 + {<ДК - агР){2нг + 0,26)'

В третьем варианте леммы 2 функция 2 удовлетворяет уравнению

у" - г'г - 0.

Его общее решение легко находится, что в первом случае (рис. 2, а) приводит к решению

а г = -

2

= --7=111 л/3

л/3Л2г2

л/3 о

сЬ((1/2)Аг)

сЬ((1/2)Л*)

2

--=1п

24сЬ2 (ч/ЗЛг)

V2

2-2

24

сЬ((1/2)Аг)

сЬ((1/2)Лж)

+ •

24 ч/ЗЛ2г

■ +

■+^ - у/г.

Параметр А вычисляется по формуле

(20)

У \ 4т> / Во втором случае (рис. 2, б) получена формула:

г +

- *

+ л/3 К, гм<г< гР,

причем гм легко находится.

В п. 1.4 исследуется математическая модель НДС МП слоя на основе системы уравнений (7) - (9). Показано, что при некоторых упрощающих предположениях, несущественных при небольшой механической неоднородности соединения, этот вариант сводится к варианту из п.1.3.3. Найдены скорости смещений точек слоя в осевом и радиальном направлениях

гЩг)

Сг

А\У{х)

4 сШ2 (Аг/2)' Ш(Лх/2)'

С =

В п.1.5 на основе результатов п. 1.3 получены зависимости критической нагрузки от параметров К и >с п графической форме и в виде простых аналитических выражений, аппроксимирующих точные решения. Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными показано на рис. 3: линии - теоретическая зависимость: 1 - модель работы7; 2 - модель автора, когда касательные напряжения изменяются линейно в радиальном направлении; 3 - модель автора, когда касательные напряжения в слое изменяются

'Дильмаи В Л. Математические модели напряженного состояния неоднородных тонкостенных цилиндрических оболочек. - Челябинск: изд-во ЮУрГУ, 2007. - 202 с.

линейно в осевом направлении; 4 - зависимость из работы8; 5 - из работы9; 6 - по формуле работы10. Точки - экспериментальные данные из работы11.

В п. 1.6 исследуется математическая модель НДС МП слоя на основе системы уравнений (7) - (9) при гипотезе параболических сечений (далее в автореферате ГПарС) vz = W(z)( 1 4- 8г2). Вычислены компоненты тензора напряжений и скорости деформаций. Сравнением аналитических выражений и численными экспериментеми показано, что замена ГППС на ГПарС при малых значениях 5 (например, при S < 0,1...0,3) не оказывает существенного влияния на величину напряжений в критическом состоянии материала и величину скоростей смещений.

В главе 2 изучается НС МП поперечного неоднородного слоя сплошного круглого стержня под осевой растягивающей нагрузкой. Предполагается, что параметр /смп зависит от координаты z: кмп = T(z)ko,z € [—х; лг], причем Т - выпуклая вверх или вниз четная дифференцируемая функция, т. е. уравнение (8) заменяется на уравнение

= (21)

В п.2.2 исследуется НС МП слоя в окрестности свободной границы методом характеристик. В п. 2.2.1 система (7) - (8) записывается в инвариантах Римана

д(аг + 'л) dr | д(аГ + щ) _ dvj Of rrz ¿ = 1.2 дг dz dz dz dz r '

Оценка правых частей этих уравнений и замена их на более простые выражения позволила в п. 2.2.2 приближенно проинтегрировать эти выражения.

®Satoh К., Toyoda М. Joint strength of heavy plastics with lower strength weld metal // Welding Jornal. Sept. 1975. №9. P. 311-319.

9Бакши O.A., Качалов JI.M. О напряженном состоянии пластической прослойки... С. 134-137.

10Даунис М.А., Браженас А.П. Сопротивление деформированию и разрушению механически неоднородных сварных соединений при однократном нагружении// Проблемы прочности. 1979. Л112. С. 53-58.

11Satoh К., Toyoda М. Joint strength of heavy plastics ... P. 311-319.

На этой основе в п. 2.3 вычислены зависимости касательных и нормальных напряжений на контактной поверхности на участке РА.

В п. 2.4 исследуются математические модели НС МП слоя с переменной по толщине прочностью в окрестности оси стержня при ГРП. Задача сводится к исследованию дифференциального уравнения

(гуту г» я" (я/г)'

х/ЗЯ-у- + у----—-0, (22)

которое обобщает уравнение (14) из гл. 1. В п. 2.4.1 доказана лемма 3: уравнение (22) при условииях (15) не имеет решений, за исключением следующих частных вариантов. 1. Функция Я линейна. 2. Функция Т имеет, вид Т — со^(^,г/2), а функция 2 — вт(//;г). 3. Функция Т имеет вид Т = сЪ2(/лг/2), а функция 2 = 5Ъ.([1г). Здесь ц - произвольная положительная постоянная.

В п. 2.4.2 исследуется НС МП слоя с переменной по толщине прочностью, когда касательные напряжения изменяются линейно в радиальном направлении (п. 1 леммы 3). Тогда для некоторой постоянной С

Т = т = (23)

Решение уравнения (23) для нахождения 2 затруднительно даже для самых простых аппроксимаций Т неоднородности МП слоя. В работе использован полуобратный метод, при котором для 2 выбирается "естественная" аппроксимация с не менее чем тремя параметрами. В работе для 2 принята степенная зависимость. Получены явные формулы для вычисления Г, а также нормальных напряжений в каждом из случаев, когда <т2 в МП слое либо достигают, либо не достигают значения напряжений в БП части, равного На этой основе в п. 2.5 получены аналитические выражения для вычисления критических нагрузок в зависимости от значений трех параметров К, А'сл и х, имеющие очень громозкий вид. Поэтому они представлены в виде поверхностей (при фиксированных значениях Ка,) (рис. 4). Сравнение

г

Рис. 4: Зависимость ас9/<М от х л К при Ко, = 0,9 полученных результатов с экспериментальными данными показано на рис. 5.

г иь. о. ocuiill-malUCXb иср/у о их x. 1 — лри л = 1- Ü,

ККы = 1,5, Ясл = 0,8; 3 - при = 1,5, К„ = 1,2

Точки - экспериментальные данные из работы12. Квадратики - экспериментальные данные из работы13. Видно, что отклонения этих результатов друг от друга находятся в пределах точности приведенных экспериментальных данных. Это может объясняться некоторыми (незначительными) отклонениями прочности МП слоев в использованных в экспериментах образцах от прочности однородных. Поэтому полученные результаты могут быть основой для постановки новых экспериментов.

Основные результаты диссертационной работы

1. Решены аналитическими методами задачи сопряжения для напряжений на контактной границе между различными пластическими средами, в том числе неоднородными.

2. Получены аналитическими методами решения недоопределенных краевых задач, моделирующих НДС в осесимметричном пластическом слое, как однородном, так и неоднородном, при гипотезе плоских поперечных сечений.

3. Найдены силовые критерии потери несущей способности сплошных стержней с поперечным менее прочным слоем, в том числе неоднородным, в форме аналитических зависимостей критических напряжений от механических и геометрических параметров, а также в форме программ в пакете MATLAB.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект № 05-08-18179).

12Satoh К., Toyoda М. Joint strength of heavy plastics ... P. 311-319.

13K вопросу о расчетной прочности составных образцов с мягкой прослойкой при статическом растяжении/ A.B. Гурьев, В.П. Багмутов, Ю.Д. Хесин, Л.В. Бойков // Проблемы прочности. 1973. №1. С. 9-13.

Публикации по теме диссертации

Статьи, опубликованные в научных журналах из списка ВАК

1. Дильман В.Л., Ерошкина Т.В. Математические модели напряженного состояния пластического слоя с сечением в форме кольцевого сектора // Вест. ЮУрГУ. Серия "Математика, физика, химия". 2006. Вып. 7. №7(62). С. 13-21.

2. Дильман B.JI., Остсемин A.A., Ерошкина Т.В. Прочность механически неоднородных сварных соединений стержней арматуры // Вестник машиностроения. 2008. №9. С. 13-17.

3. Ерошкина Т.В. Напряженное состояние поперечной мягкой прослойки в растягиваемом круглом стержне при гипотезе параболических сечений // Обозрение прикл. и пром. математики. 2007. Т. 14, вып. 1. С. 109-110.

4. Ерошкина Т.В. Особенности моделирования предельной осевой нагрузки неоднородного сплошного стержня // Обозрение прикл. и пром. математики. 2009. Т. 16, вып. 2. С. 325-326.

Другие публикации

5. Дильман B.JI., Ерошкина Т.В. Об одной модели, описывающей напряженное состояние в круглом стержне // Обозрение приклад, и пром. математики. 2004. Т. 11, вып. 2. С. 793-794.

6. Дильман B.JI., Ерошкина Т.В. Об одной математической модели напряженного состояния пластического слоя при плоской деформации // Вест. ЮУрГУ. Серия "Математика, физика, химия". 2005. Вып. 6. №6. С. 1923.

7. Дильман B.JI-, Ерошкина Т.В. Математические модели осесимметрич-ного напряженного состояния при гипотезе разделения переменных для касательных напряжений // Изв. Челяб. науч. центра. 2006. Вып. 2(32). С. 1-4.

8. Дильман B.JI., Ерошкина Т.В. Напряженное состояние продольной мягкой прослойки, с сечением в форме кольцевого сектора, в тонкостенной цилиндрической оболочке // Обозрение прикл. и пром. математики. 2006. Т. 13, вып. 4. С. 637-638.

9. Ерошкина Т.В. Математические модели напряженного состояния пластичной прослойки в сплошном цилиндре // Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения: междунар. конф., посвященная 100-летию со дня рождения акад. И. Н. Векуа (Новосибирск, 28 мая - 2 июня 2007 г.): тез. докл. Новосибирск, 2007 г. С. 136-137.

10. Ерошкина Т.В. Анализ математических моделей напряженно-деформированного состояния продольной мягкой прослойки, с сечением в форме кольцевого сектора, в цилиндрической оболоке // Обозрение прикл. и пром. математики. 2007. Т. 14, вып. 4. С. 708-709.

11. Ерошкина Т.В. Напряженное состояние мягкой поперечной прослойки в круглом стержне // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: тр. междунар. конф. (24 - 28 июня 2008 г., Стерлитамак). Уфа: Гилем, 2008. Т. III. С. 201-205.

12. Ерошкина Т.В. Исследование аналитическими методами напряженно-деформированного состояния неоднородного пластического круглого стержня // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Междунар. конф., посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 5-12 октября 2008 г.): тез. докл. Новосибирск, 2008 г. С. 486.

13. Ерошкина Т.В. Математические модели напряженного состояния неоднородного сплошного цилиндра при его растяжении // Тр. математ. центра им. Лобачевского. Казань: изд-во КГУ, 2009. Т. 38. С. 121 - 123.

14. Дильман В.Л., Ерошкина Т.В. Исследование математических моделей напряженного состояния неоднородного поперечного слоя в круглом стержне // Вест. ЮУрГУ. Серия "Математическое моделирование и программирование". 2009. Вып. 4. №37(170). С. 65-77.

Подписано в печать 13.01.2010 Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Издательство Южно-Уральского государственного университета 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76

Обозначения и соглашения.

Введение

Объект изучения.

Цель и задачи исследования

Методы исследований.

Методы исследований.

Ограничения на классы решений.

Историография и общая характеристика работы.

Историография.

Научная новизна результатов работы.18

Теоретическая и практическая ценность работы.19

Краткое содержание диссертации .20

Основные результаты, выносимые на защиту.24

1 Математические модели напряженного состояния сплошного стержня с поперечным менее прочным однородным слоем при осевой нагрузке 26

1.1 Математическая модель НС МП поперечного слоя при ГППС 27

1.2 Исследование НС МП слоя в окрестности свободной границы методом характеристик.31

1.2.1 Введение.31

1.2.2 Система характеристических уравнений и ее приближенное интегрирование. 32

1.2.3 Вычисление напряжений на контактной границе в окрестности свободной границы в критический момент на-гружения (решение задачи сопряжения для напряжений на контактной границе). 35

1.2.4 Вычисление координаты точки ^Р в критический момент нагружения. 39

1.3 Полное описание и исследование математических моделей

НС МП слоя при ГРП (статически квазиопределимая задача) 41

1.3.1 Введение. 41

1.3.2 Исследование модели, когда касательные напряжения изменяются линейно поперек МП слоя. 43

1.3.3 Исследование модели, когда касательные напряжения изменяются линейно в радиальном направлении . 49

1.4 Математическая модель на основе полной системы уравнений

НДС МП слоя . 51

1.4.1 Вычисление касательных напряжений. 51

1.4.2 Вычисление скоростей смещений. 53

1.5 Вычисление критической нагрузки. 54

1.5.1 Введение. 54

1.5.2 Вычисление критической нагрузки, когда касательные напряжения изменяются линейно в радиальном направлении. 55

1.5.3 Вычисление критической нагрузки, когда касательные напряжения изменяются линейно поперек МП слоя 58

1.5.4 Выводы. 60

1.6 Гипотеза параболических сечений. 62

1.6.1 Математическая постановка задачи . 62

1.6.2 Вычисление компонент тензора напряжений и скоростей смещений при гипотезе параболических сечений 63

2 Математические модели НС МП слоя с переменной прочностью по толщине 69

2.1 Постановка задачи. 69

2.2 Исследование НС неоднородного МП слоя в окрестности свободной границы методом характеристик. 72

2.2.1 Система уравнений пластического равновесия в инвариантной форме . 72

2.2.2 Приближенное интегрирование системы уравнений пластического равновесия, записанной в инвариантной форме. 74

2.3 Вычисление напряжений на контактной границе в критический момент нагружения (решение задачи сопряжения для напряжений па контактной границе). 77

2.3.1 Вычисление касательных напряжений на контактной границе. 77

2.3.2 Вычисление координаты точки Р. 81

2.4 Исследование математических моделей НС МП слоя с пере- ' менной по толщине прочностью в окрестности оси стержня при ГРП. 82

2.4.1 Классификация условий разрешимости уравнения, определяющего касательные напряжения. 82

2.4.2 Исследование НС МП слоя с переменной по толщине прочностью, когда касательные напряжения изменяются линейно в радиальном направлении. 84

2.5 Вычисление критической нагрузки. 88

Литература 92

Обозначения и соглашения

В работе используются обозначения, принятые в механике твердого тела, а также: ус - относительная толщина слоя; индекс "*" (вверху) - значение величины в критический момент; индекс "БП" ("МП") вверху указывает на отношение данной величины к более прочной (менее прочной) части соединения (для снижения громоздкости формул индекс "МП" в некоторых случаях не ставится).

В работе приняты следующие сокращения.

ММ - математическая модель (математические модели);

ЗТВ - зона термического влияния; ОМ - основной металл;

НС - напряженное состояние; НДС - напряженно-деформированное состояние;

МП - менее прочный; БП - более прочный;

ПН - пластическая неустойчивость; ЛПД - локализация пластических деформаций;

ГППС - гипотеза плоских поперечных сечений; ГПрС - гипотеза продольных сечений; ГРП - гипотеза разделения переменных; МГ - мультипликативная гипотеза.

Во многих случаях, когда это не может привести к разночтениям, касательные напряжения тгг обозначаются буквой т без индексов.

Введение

Объект изучения

В диссертации рассматриваются математические модели НС сплошного круглого стержня из упрочняемого материала, содержащего поперечный слой из МП материала, при монотонном статическом нагружении осевой силой, на этапе пластического деформирования слоя.

Изменение геометрических размеров (во всех направлениях) рассматриваемого участка стержня при возрастании осевой нагрузки приводит к приращению напряжений на данном участке, которые компенсируются за счет упрочнения материала стержня, и в этом случае пластическое деформирование протекает устойчиво. Однако упрочнение происходит по закону, который на стадии развитых пластических деформаций можно аппроксимировать монотонно возрастающей выпуклой вверх функцией, а рост напряжений за счет изменения геометрии конструкции в зависимости от деформаций идет по экспоненте, скорость роста которой выше скорости роста выпуклой вверх функции. Следовательно, при возрастании осевой нагрузки должен наступить такой момент, когда упрочнения материала оказывается недостаточно для нейтрализации роста напряжений, связанного с изменением формы. В этот момент, определяемый равенством дифференциалов двух указанных зависимостей, происходит "потеря общей пластической устойчивости, т. е. начинается деформирование материала с неконтролируемой скоростью при постоянных или уменьшающихся внешних нагрузках" [39], т. е. наступает момент ПН. Заметим, что ПН деформирования стержня приводит сразу к ЛПД (образованию шейки), в отличие от оболочки, нагруженной внутренним давлением, когда начало неустойчивого деформирования может происходить существенно раньше начала образования шейки.

Рассматривается стадия нагружения, когда ОМ деформируется пластически устойчиво, а материал МП слоя достиг момента начала ПН и деформируется без увеличения внешней нагрузки, т. е. находится в состоянии предразрушения (это состояние в работе называется критическим). В этот момент за счет контактного упрочнения в МП слое, в случае относительно небольшой механической неоднородности между ОМ и МП слоем, происходит вовлечение в неустойчивое пластическое течение приконтактных участков в ОМ. Для исследования состояния ПН, близкого по свойствам к идеальной пластичности, в качестве модельной ситуации рассматривается стержень из идеального упруго-пластического материала на стадии деформирования, когда МП слой прошел предел текучести, а ОМ работает упруго, за исключением приконтактных участков, также перешедших в пластическое состояние.

В диссертации рассматриваются:

1. Математические модели НДС поперечного однородного МП слоя прямоугольного сечения в сплошном стержне из упрочняемого материала, при нагружении стержня осевой силой;

2. Математические модели НДС поперечного неоднородного МП- слоя прямоугольного сечения сплошного стержня из упрочняемого материала при нагружении стержня осевой силой.

Все рассматриваемые задачи предполагаются осесимметричными, т. е. НДС и геометрия объекта изучения инвариантны относительно вращения вокруг некоторой оси (в данном случае, оси стержня). НДС пластической среды при осесимметричной деформации определяется, как известно [30, 35], системой уравнений (знак "тильда" указывает на наличие размерности у данной величины) даг drrz <тг — , + fi = 0; (0.0.2) ог г oz дгг - а^)2 + - сгг)2 + (crz - ar f + 6f22 = 6fc2; (0.0.3) dvr vr dvz dvr dvr dvz

--------1-dr r dz dr dz дr . aT — 5-p az — ar 2 frz ' dvr vr dvz

0.0.4) ог г ог

Здесь аг - радиальное, а^ - кольцевое, аг - осевое нормальные (размерные) напряжения, тгг - радиально-осевое касательное (размерное) напряжение; уг, Ур и у2 - соответствующие (условные) скорости перемещений; (0.0.1) и (0.0.2) - уравнения равновесия (касательные напряжения т^ и т^ тождественно равны нулю, так как изгиб и кручение отсутствуют); (0.0.3) -условие текучести Мизеса, к - постоянная пластичности, к = кш в БП части стержня и к = кми в МП слое; (0.0.4) - закон пропорциональности девиаторов скоростей деформаций и напряжений; (0.0.5) - условие сохранения объема пластического тела в процессе деформирования (условие несжимаемости). Величины уг, у^ и уг определяются с точностью до постоянного множителя. Система (0.0.1) - (0.0.5) содержит шесть уравнений относительно шести неизвестных функций (двух независимых безразмерных переменных г и £) и, в этом смысле, замкнута. Искомые функции определены на осевом сечении части стержня, подверженной пластическому деформированию, и содержащей осесимметричный МП слой прямоугольного сечения (рис. 1), а также некоторые участки БП части, примыкающие к слою. Из соображений симметрии достаточно рассматривать четверть D этого сечения (четырехугольник АСОН на рис. 1): яч

БП

МП„.оР

БП И н f

Рис. 1: Сплошной круглый стержень с поперечным МП слоем. Осевое сечение МП слоя = {(г;г),ге[0;1], г е [0; к}} , где х - относительная толщина МП слоя, т. е. отношение толщины слоя к диаметру стержня (радиус стержня принят равным единице).

К основным параметрам, следующим из постановки технической задачи, относятся:

• Геометрические параметры:

1) Я - радиус стержня,

2) К - толщина слоя,

3) х - отношение толщины слоя к диаметру стержня.

• Механические параметры:

1) <т^п, атмп - пределы текучести материала слоя и материала основной части соединения,

2) (7з п, <хвмп - пределы прочности материала слоя и материала основной части соединения,

3) К - коэффициент механической неоднородности соединения, К — &БП/£;МП, где &БП и £:мп - пластические постоянные, участвующие в записи уравнения (0.0.3) и характеризующие начало ПН процесса деформирования. В инженерной практике в качестве приближенного значения для К используется отношение К = сг®п/сг^1п.

Цель и задачи исследования

Цель работы - разработка и исследование аналитическими и численными методами математических моделей НС неоднородных сплошных стержней (см. рис. 1), подверженных осевой нагрузке (осесимметричное состояние), и на этой основе оценка влияния на их несущую способность их механических и геометрических параметров.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи.

1. Разработать математические модели НС цилиндрического (сплошного) соединения с МП поперечным однородным слоем в условиях осе-симметричной деформации, для чего: a) разработать аналитические методы приближенного решения задачи сопряжения для напряжений на контактной границе с целью нахождения недостающих краевых условий, для чего: b) исследуя систему (0.0.1) - (0.0.3) методами теории нелинейных уравнений гиперболического типа, вычислить для нее инварианты Римана; c) на этой основе найти напряжения на контактной границе в окрестности свободной поверхности, в частности, определить наибольшую величину касательных и нормальных напряжений на контактной границе в критический момент нагружения как функцию внешних параметров; с!) разработать аналитические методы приближенного решения недо-определенных краевых задач для системы уравнений пластического равновесия (0.0.1) - (0.0.3); е) разработать аналитические методы приближенного решения недо-определенных краевых задач для полной системы уравнений, моделирующих НДС в пластическом слое (0.0.1) - (0.0.5).

2. Разработать математические модели НС цилиндрического (сплошного) соединения с МП поперечным неоднородным слоем в условиях осесимметричной деформации, для чего решить перечисленные выше задачи в случае, когда в уравнении (0.0.3) параметр пластичности является переменным: к = к (г).

Методы исследований Методы исследований

При решении систем нелинейных уравнений в частных производных использовались

1. Метод характеристик для решения краевых задач систем уравнений гиперболического типа, с разрывными решениями на "внутренних" границах, в том числе в неоднородных средах.

2. Некоторые обобщения метода разделения переменных для решения нелинейных уравнений, позволяющие свести возникающие задачи к решению краевых и начальных задач для некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений.

В работе использовалось численное интерполирование с помощью пакета МАТЬАВ многочисленных сложного вида функций, возникающих в процессе реализации авторских вычислительных схем, что позволило получить явные зависимости от внешних параметров величин предельных нагрузок и сравнить их с известными экспериментальными данными.

Ограничения на классы решений

Известно [3, 6, 40, и др.], что в некоторый момент под действием возрастающей растягивающей внешней нагрузки в соединении, содержащем МП слой, вступает в пластическое деформирование (течение) ОМ соединения. Однако распределение напряжений поперек полосы, как в БП части, так и в МП слое, в том числе и на контактной поверхности, заранее неизвестно. Поэтому при рассмотрении сечения слоя в качестве исследуемой области возникает недоопределенная краевая задача. Более того, именно краевые условия (значения нормальных напряжений) на контактной границе требуется находить для определения критической нагрузки. Поэтому для получения "правдоподобного" решения приходится вводить дополнительные ограничения на классы функций, обоснованность которых должна опираться на экспериментальные данные. Примеры применяемых ограничений.

1. Гипотеза плоских поперечных сечений (ГППС): диг/дг — 0 или дуг/дг = 0, где и2 - перемещение в направлении оси стержня. Использовалась в работах Л.М. Качанова и его соавторов [36, 37, 38, 8]. Она применялась в работах В.Л. Дильмана [26, 23, 72, 28, 71, 25, 73, 74, 75, и др.].

2. Гипотеза поперечных параболических сечений (ГПарС): и г — г2д{г) или уг = г2д{х).

Упоминается в работе Л.М. Качанова [38]. Впервые использовалась в работах Т.В. Ерошкиной [76, 83].

3. Гипотеза разделения переменных (мультипликативная гипотеза, ГРП) для касательных напряжений: тГ2 = R{r)Z(z).

Впервые применялась при исследовании НС МП слоя в работе [46]. В дальнейшем она активно использовалась в других работах B.JI. Диль-мана и его соавторов (см. [18] и литературу в [18]). Частным случаем этой гипотезы является следующее условие.

4. Гипотеза о линейной зависимости касательных напряжений от одной из переменных: т = rZ(z) или т = R{r)z.

Вторая из этих гипотез применялась при решении задач плоской и осесимметричной деформации в работах JI.M. Качанова [36, 37], JT.M. Качанова и A.JI. Немчинского [38], JI.M. Качанова и O.A. Бакши [8], O.A. Бакши [7, 3, 4, и др.] и в работах B.JI. Дильмана (в том числе с соавторами) [20, 19, 21, 47, 73, 18, и др.]. Первая гипотеза, позволяющая детально исследовать НС вблизи оси вращения, применялась B.JI. Дильманом в работах [25, 22, 72, 73, 18, и др.].

Историография и общая характеристика работы

Историография

Со времен работы JI. Прандтля (1924 г., [68], русский перевод [49]) о напряженном состоянии при плоской деформации бесконечной пластичной прослойки, подверженной сжимающим усилиям, написано большое количество статей, глав в монографиях и учебниках, относящихся, в основном, к сжатию (осадке) пластического слоя двумя жесткими плитами. Во многих работах, написанных в рамках общей теории обработки металлов давлением, как правило, допускалась (и исследовалась) возможность скольжения заготовки (пластического слоя) по контактным поверхностям, что приводило к различным краевым задачам в зависимости от условий трения между плитой (матрицей) и заготовкой. Можно отметить монографии A.A. Ильюшина [32], JI.M. Качанова [35], B.JI. Колмогорова, A.A. Бога-това и др. [48], А. Надаи [43], Г.А. Смирнова-Аляева [51], В.В. Соколовского [52], И.Я. Тарновского, Д.А. Поздеева, O.A. Ганаго и др. [54], А.Д. Томленова [57], Э. Томсена, Ч. Янга, Ш. Кобаяши [58], Е.П. Унксова [59], Е.П. Унксова, У. Джонсона, B.JI. Колмогорова и др. [55, 53]. В ряде работ, А.Ю. Ишлинского, Д.Д. Ивлева, С.А. Христиановича, Е.И. Шемякина, их коллег и соавторов (см. [50, 62, 33] и литературу в этих работах) изучалось НДС прослойки, в том числе осесимметричной, из идеально пластического материала методами, использующими условие пластичности Треска и гипотезу полной пластичности.

Актуальность работы

Большое влияние на свойства соединений стали и сплавов, термически упрочненных материалов, узлов и конструкций из разных металлов оказывают МП слои - участки, материал которых имеет пониженные прочностные свойства по сравнению с материалами прилежащих участков. Такими слоями могут быть сварные швы, диффузионные прослойки в зонах сплавления, участки разупрочнения в зонах термического влияния, технологические прослойки при сварке разнородных материалов, спаи в паянных соединениях и др. При монтаже сборных железобетонных конструкций стержни арматуры соединяют сваркой плавлением ванным способом на строительной площадке [56, 13], когда металл шва обладает более низкими прочностными характеристиками, чем основной металл (коэффициент механической неоднородности К — 1, 2.1, 5). Относительные размеры МП слоя, его форма, соотношения свойств МП слоя и материалов соседних участков, существенно влияют на прочностные свойства соединения, место и характер разрушения. МП слои в стержневых конструкциях (сварных стыках арматуры, специально изготовленных цилиндрических образцах для измерения сопротивления отрыва и других параметров "мягкого" материала, и т. п.)

• регламентируют прочностные и пластические свойства сварных соединений;

• их прочность выше прочности стержней из того же МП материала за счет контактного упрочнения;

• контактное упрочнение самым существенным образом зависит от относительной толщины прослойки.

Однако это не учитывается в ГОСТе 6996-66 "Сварные соединения. Методы определения механических свойств", ГОСТе 10922-64 "Арматура и закладные детали сварные для железобетонных конструкций" и ГОСТе 1409891 "Соединения сварные арматуры и закладных изделий железобетонных конструкций", что нельзя поставить в вину их разработчикам, поскольку ко времени выхода этих стандартов теория механической неоднородности сварных соединений не получила должного теоретического развития и широкого распространения. ГОСТ 6996-66 рекомендует оценивать прочность наиболее слабого участка соединения путем растяжения цилиндрических образцов, начиная с типа I (с1=3 мм) до XIV (с!=70 мм), вырезаемых в направлении, перпендикулярном шву. В указанных образцах МП слои будут иметь совершенно иные значения относительной толщины (отношение толщины слоя к диаметру), чем в реальном сварном соединении, что может привести к совершенно неправильному представлению о действительном уровне механических свойств конструкций, их прочности, месте и характере разрушений.

Создание эффективных методик проведения экспериментов на прочность стержневых неоднородных образцов, а также потребности практики (написание нормативных документов, регламентирующих условия производства и использования в строительстве арматурных сварных конструкций), приводят к необходимости создания методов решения осесимметрич-ныхх задач теории пластичности, позволяющих получать явные аналитические приближенные зависимости напряжений от известных механических параметров, что дает возможность исследовать поведение конструкций и образцов в зависимости от этих параметров. Отсюда следует необходимость создания математических моделей (в форме краевых и других задач для дифференциальных, интегральных и других уравнений и их систем), которые позволяют получать достаточно точные приближенные аналитические решения. Получение таких моделей основано на допущениях и упрощающих условиях, следующих из экспериментальных данных.

Механические свойства МП слоев, во многих случаях нельзя считать однородными. Причинами неоднородности могут быть диффузия, наклеп, наличие температурного градиента, облучение нейронами и 7-лучами. Поэтому в диссертации рассматривается также напряженное состояние поперечного неоднородного по толщине МП слоя в составе сплошного цилиндра под действием осевой нагрузки.

Исследование напряженного состояние МП слоя при осесимметричной деформации имеет большое значение для оценки прочности механически неоднородных цилиндрических сварных соединений и при экспериментальном определении сопротивления отрыву. При этом представляет интерес изучение не только состояния слоя в критический момент нагружения, но и всего процесса развития напряжений в пластической зоне соединения по мере роста осевого усилия. В то же время, теоретических работ, исследующих НС или НДС неразъемного соединения, содержащего слой (прослойку) с иными, чем ОМ, механическими характеристиками, как это бывает в сварных швах или ЗТВ, и подверженный растягивающей нагрузке, действующей поперек слоя, и содержащих новые теоретические идеи и подходы, было немного. В работах JI.M. Качанова [36, 37], JI.M. Ка-чанова и A.JI. Немчинского [38], JI.M. Качанова и O.A. Бакши [8], O.A.

Бакши [7, 3, 4, и др.], O.A. Бакши и Р.З. Шрона [11], в силу значительной сложности теоретических и экспериментальных исследований, авторы ограничивались большей частью рассмотрением механически неоднородных соединений листовых и стержневых конструкций. В этих работах использованы одновременно различные гипотезы (упрощающие допущения) без анализа их совместности и взаимозависимости, например, гипотеза линейности касательных напряжений по длине прослойки и ГППС, и ряд других предположений (например, одна из величин для упрощения полагалась постоянной, но в окончательных формулах от этого ограничения отказывались). Это позволило существенно упростить уравнения и найти некоторые (труднообозримые неявные) аналитические зависимости для напряжений, возникающих в процессе нагружения. Формулы для вычисления предельного усилия оказались простыми и имеющими вид для пластины и стержня с поперечным МП слоем соответственно:

В этих работах не учитывались деформационное упрочнение и вовлечение основного металла в пластическое деформирование. Решение распространялось на весь слой, в т. ч. на область в окрестности свободной границы, в которой решение однозначно определяется граничными условиями и не совпадает с полученным в средней части слоя. Для тонких прослоек такая ошибка не очень существенна, но для не очень тонких слоев, с относительной толщиной больше чем 0,10.0,15, приводит к заметному завышению критической нагрузки. Таким образом, огрубленность применявшихся математических моделей в перечисленных работах не позволила построить удовлетворительную для практических целей теорию НДС МП слоя. Ограниченность применения формул (0.0.6) была вскоре обнаружена. При некоторых значениях относительных толщин МП слоев эти формулы давали существенное отклонение от экспериментальных данных. В работах A.M. Макара и др. [44], A.B. Гурьева и др. [34], К. Satoh, М. Toyoda [69], М.А.

0.0.6)

Дауниса, А.П. Браженаса [15] и др. и работе [9] самих авторов методики на основании проводимых авторами этих работ экспериментов вносились поправки и уточнения в формулы (0.0.6), либо предлагались альтернативные формулы, полученные аппроксимацией экспериментальных данных. Причиной расхождения теории и эксперимента авторы [9] считали один из недостатков использованной математической модели - неучет явления неполной реализации контактного упрочнения вследствие вовлечения ОМ в пластическое деформирование, что было отчасти верно. Однако соответствующих изменений математической модели в работе [9] нет.

Поэтому остается актуальной необходимость теоретического, с использованием аналитических и численных методов, решения следующих задач:

• Разработка методики получения явных аналитических выражений, характеризующих НС поперечного МП однородного слоя, в течение всего процесса нагружения.

• Выработка критерия для определения несущей способности подверженного осевой нагрузке сплошного цилиндрического стержня с поперечным МП слоем, и вычисление предельного усилия.

Научная новизна результатов работы

1. Новыми являются все полученные в работе аналитические выражения - зависимости компонент тензора напряжений от координат точек в различных случаях; зависимости критических осевых нагрузок от механических и геометрических параметров стержня и его МП поперечного слоя (в том числе неоднородного).

2. Впервые при исследовании НС МП однородного слоя сплошного стержня в процессе его пластического деформирования при осесимметрич-ной деформации:

- введен и исследован ряд новых ММ НС однородного пластичного осесимметричного слоя, основанных на различных предположениях: гипотезы плоских поперечных сечений (далее в автореферате ГППС), гипотезы разделения переменных (далее в автореферате ГПР) для касательных напряжений и ее частных случаях;

- для анализа НС МП слоя использовалась гипотеза параболических сечений;

- удалось приближенно проинтегрировать методом инвариантов Рима-на систему уравнений, описывающую осесимметричное НС при ГППС;

- решена задача сопряжения на контактной границе для осесимметричного НС.

3. Впервые построены и исследованы ММ неоднородного осесимметричного слоя при небольшой механической неоднородности. При моделировании НС слоя с переменной прочностью по толщине впервые:

- найдены аппроксимации функции прочности слоя, при которых применима ГРП для касательных напряжений, и изучена ММ, при которой касательные напряжения в окрестности оси стержня меняются линейно в радиальном направлении;

- удалось приближенно проинтегрировать методом инвариантов Ри-мана систему уравнений, описывающую осесимметричное НС неоднородного слоя при ГППС. На этой основе

- решена задача сопряжения на контактной границе для неоднородных сред.

Теоретическая и практическая ценность.

Теоретическая ценность.

Обобщение метода разделения переменных на некоторые нелинейные уравнения в частных производных может быть полезно для получения точных и приближенных решений недоопределенных краевых задач для таких уравнений. Метод приближенного построения инвариантов Римана для уравнений осесимметричных задач теории пластичности, использованный в работе, можно применять и для других неоднородных уравнений гиперболического типа.

Практическая ценность.

Полученные результаты позволяют:

1. Определять прочность сварных соединений стержней арматуры при осевых нагрузках.

2. Определять разрушающие растягивающие нагрузки, действующие на стержневые образцы, содержащие прослойки из МП материала, исследуя на этой основе свойства материалов.

3. Внести изменения и дополнения в нормативные документы, регламентирующие условия производства и эксплуатации сварных конструкций.

Краткое содержание работы

В главе 1 изучается НС МП поперечного однородного слоя сплошного круглого стержня под осевой растягивающей нагрузкой.

В п. 1.1 строится и исследуется математическая модель НС МП слоя при ГППС. При таком предположении система уравнений НДС слоя (0.0.1) - (0.0.5) заметно упрощается, приобретая вид (1.1.13) - (1.1.17). В качестве "модельного" используется приближенный вариант (1.1.18) уравнения (1.1.15). Наряду с граничными условиями (1.1.19) имеют место внутренние граничные условия (условия сопряжения) (1.1.11). Система (1.1.13) -(1.1.17) вместе с граничными условиями (1.1.19) и (1.1.11) является математической моделью НДС пластического слоя при осесимметричной деформации и ГППС (1.1.12).

В п. 1.2 исследуется НС МП слоя в окрестности свободной границы методом характеристик. В п. 1.2.2 система (1.1.13) - (1.1.15) записывается в инвариантах Римана (1.2.5) - (1.2.8). Ее приближенное интегрирование, основанное на подборе единственного параметра q в формуле (1.2.15) на основе геометрических соображений и анализа экспериментальных данных работы [69], приводит к зависимости на контактной поверхности между напряжениями сгг и тГ2 (1.2.14), (1.2.17) и (1.2.16). В п. 1.2.3, на основе результатов п. 1.2.2, с использованием условий сопряжения (1.2.26), записываются уравнения для вычисления напряжений на отрезке РА контактной границы. Это позволяет последовательно получить зависимости тГ2 и <т2 на контактной поверхности от г и параметра неоднородности К. В п. 1.2.4 на основе результатов предыдущего пункта получены зависимости координат точки .Р от параметров К и х, а также значения аг и тГ2 в зависимости от тех же параметров.

В п. 1.3 дается полное описание и исследование математических моделей НС МП слоя при ГРП для касательных напряжений. Следствием применения ГРП (1.3.2) к уравнению (1.3.1) является уравнение (1.3.3). В п. 1.3.1 доказана лемма 2: уравнение (1.3.3) не имеет решений, за исключением следующих частных вариантов. 1. Функция Z постоянна. 2. Функция Z линейна. 3. Функция Я линейна.

Первый вариант приводит к известным решениям [31, 61], не удовлетворяющим граничным условиям (1.1.19). В п. 1.3.2 и п. 1.3.3 подробно исследуются модели, когда касательные напряжения изменяются линейно поперек МП слоя и, соответственно, в радиальном направлении (варианты 2 и 3).

Во втором варианте функция Я удовлетворяет уравнению (1.3.6) и условиям (1.3.7). Точное решение, представленное в виде суммы ряда, можно с точностью до тысячных при 0<г<0,5;0<г<1 аппроксимировать функцией (1.3.9), причем параметр А находится по формуле (1.3.10). Это позволяет интегрированием уравнений (1.1.13), (1.1.14) и (1.1.18) получить решение в виде (1.3.16). Решение (1.3.16) относится к случаю, когда нормальные напряжения а2, возрастающие при приближении к оси стержня, не достигают критических напряжений БП материала \/3К (рис. 1.6, а) и распространяется на область НРР'Н'. В противном случае, когда в некоторой точке М контактной границы оказывается, что аг = л/ЗК, напряженное состояние в МП слое между этой точкой и осью стабилизируется и становится простым равномерным (рис. 1.6, б). На участке НМ напряжения постоянны (а2 = л/3 К), на участке МЕ их можно описать уравнениями (1.3.16), с другими константами, для определения которых необходимо найти точку М. Точка М находится из системы трансцендентных уравнений (1.3.20) - (1.3.22). Аппроксимация функции (1.3.22) функцией (1.3.23) (с ошибкой в несколько тысячных) позволяет решить указанную систему и найти точку М (формула (1.3.25)).

В третьем варианте функция Z удовлетворяет уравнению (1.3.27). Оно легко решается, что в первом случае (рис. 1.6, а) приводит к решению (1.3.33) с параметром А, вычисляемым по формуле (1.3.31), а во втором (рис. 1.6, б) - к формуле (1.3.37) (в третьем варианте во втором случае точка М легко находится).

В п. 1.4 исследуется математическая модель НДС МП слоя на основе системы уравнений (1.1.13) - (1.1.17). Показано, что при некоторых упрощающих предположениях, несущественных при небольшой механической неоднородности соединения, этот вариант сводится к варианту из п. 1.3.3. Найдены скорости смещений точек слоя в осевом и радиальном направлениях (формулы (1.4.8) - (1.4.10)).

В п. 1.5 на основе результатов п. 1.3 получены зависимости критической нагрузки от параметров и в графической форме и в виде простых аналитических выражений, аппроксимирующих точные решения. Проведено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными, известными из литературы, показавшее хорошее соответствие.

В п. 1.6 исследуется математическая модель НДС МП слоя на основе системы уравнений (1.1.13) - (1.1.17) при ГПарС (1.6.1). В п. 1.6.2 вычислены компоненты тензора напряжений и скорости деформаций и показано, что замена ГППС на ГПарС при малых значениях 6 (например, при 6 < 0,1.0,3) не оказывает существенного влияния на величину напряжений в критическом состоянии материала и величину скоростей смещений.

В главе 2 изучается НС МП поперечного неоднородного слоя сплошного круглого стержня под осевой растягивающей нагрузкой. Предполагается, что параметр /гмп зависит от координаты г.

В п. 2.2 исследуется НС МП слоя в окрестности свободной границы методом характеристик. В п. 2.2.1 система (1.1.13) - (1.1.15) записывается в инвариантах Римана (2.2.16). Оценка правых частей этих уравнений и замена их на более простые выражения позволила в п. 2.2.2 приближенно проинтегрировать эти выражения. На этой основе в п. 2.3 вычислены зависимости касательных и нормальных напряжений на контактной поверхности на участке ГА. Например, в формуле (2.3.17) представлена зависимость аг от г, и. и К.

В п. 2.4 исследуются математические модели НС МП слоя с переменной по толщине прочностью в окрестности оси стержня при ГРП. Задача сводится к исследованию дифференциального уравнения (2.4.4), которое обобщает уравнение (1.3.3) из гл. 1. В п. 2.4.1 доказана лемма 3: уравнение (1.3.3) при условии (1.3.4) не имеет решений, за исключением следующих частных вариантов. 1. Функция Я линейна. 2. Функция Т имеет вид Т — сов2(/12/2), то функция Z = Бт^г). 3. Функция Т имеет вид Т = сЬ2(/х,г/2), а функция Z = БЪ^г).

В п. 2.4.2 исследуется НС МП слоя с переменной по толщине прочностью, когда касательные напряжения изменяются в радиальном направлении. Решение уравнения (2.4.11) для нахождения Т по Z затруднительно даже для самых простых аппроксимаций неоднородности МП слоя. Поэтому в работе использован полуобратный метод, при котором для Z выбирается "естественная" аппроксимация, с не менее чем тремя параметрами. В работе для Z принята степенная зависимость (2.4.11). Получены явные формулы для вычисления Т, а также нормальных напряжений в каждом из случаев, когда <jz в МП слое либо достигают, либо не достигают значения напряжений в БП части, равного \/ЗККсл. На этой основе в п. 2.5 вычислены критические нагрузки в зависимости от значений трех параметров К, Ксл и ус. Они представлены в виде поверхностей (при фиксированных значениях Ксл).

Основные результаты, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие положения

1. Решены аналитическими методами задачи сопряжения для напряжений на контактной границе между различными пластическими средами, в том числе неоднородными.

2. Получены аналитическими методами решения недоопределенных краевых задач, моделирующих НДС в осесимметричном пластическом слое, как однородном, так и неоднородном, при гипотезе плоских поперечных сечений.

3. Найдены силовые критерии потери несущей способности сплошных стержней с поперечным менее прочным слоем, в том числе неоднородным, в форме аналитических зависимостей критических напряжений от механических и геометрических параметров, а также в форме программ в пакете MATLAB.

Благодарности

В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту В.Л. Диль-ману за неоценимую помощь в работе над диссертацией; коллективу кафедры общей математики ЮУрГУ за ценные советы, поддержку и веру в успех.

Работа выполнена при поддерэюке гранта РФФИ (проект № 05-08-18179).

1. Аннин Б.А., Бытев С.И., Сенатов С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности.-Новосибирск: Наука, 1985.-140 с.

2. Анцупов В.П., Кадченко С.И., Соловьев В.В. Определение напряженно-деформированного состояния и основных характеристик поверхностного слоя при упрочнении цилиндрических изделий щетками // Межвуз. сборник трудов. Магнитогорск, МГПИ, 1993. -С. 102 - 112.

3. Бакши O.A. Механическая неоднородность сварных соединений: Автореф. дисс. . докт. техн. наук / МВТУ им. Н.Э. Баумана. -Москва, 1967. 35 с.

4. Бакши O.A. Механическая неоднородность сварных соединений. -Челябинск: Изд-во Челяб. политехи, ин-та, 1981. Ч. 1. - 57 с.

5. Бакши O.A. Механическая неоднородность сварных соединений. -Челябинск: Изд-во Челяб. политехи, ин-та, 1981. Ч. 2. - 56 с.

6. Бакши O.A., Шатов A.A. О напряженном состоянии и деформации твердого металла в сварных соединениях с твердой и мягкой прослойками // Свароч. пр-во. 1966. - №5. - С. 17-20.

7. Бакши O.A. О напряженном состоянии мягких прослоек в сварных соединениях при растяжении (сжатии) // Сб. науч. тр. ЧПИ: Вопросы свароч. пр-ва. Челябинск: Изд-во Челяб. политехи, ин-та, 1965. - Вып. 33. - С. 5-26.

8. Бакши O.A., Качанов J1.M. О напряженном состоянии пластической прослойки при осесимметричной деформации // Изв. АН СССР. Механика. 1965. - №2. - С. 134-137.

9. Бакши O.A., Шрон Р.З. О расчетной оценке прочности сварных соединений с мягкой прослойкой // Свароч. пр-во. 1971. - №3. -С. 3-5.

10. Бакши O.A. Об учете фактора механической неоднородности сварных соединений при испытании на растяжение // Свароч. пр-во. -1985. №7. - С. 32-34.

11. Бакши O.A., Шрон Р.З. Прочность при статическом растяжении сварных соединений с мягкой прослойкой // Сварочное производство. 1962. -№5. - С. 6-10.

12. Бриджмен П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. М.: Изд-во иностр. лит., 1955. - 444 с.

13. Бродский А.Я., Евстратов Г.И. Сварка арматуры железобетонных конструкций на строительной площадке. М.: Стройиздат, 1978. -271 с.

14. Воронцов А.Л. Изменение геометрии цилиндрической заготовки при осадке с контактным трением // Вестн. машиностроения. -2009. № 7. - С. 68-75.

15. Даунис М.А., Браженас А.П. Сопротивление деформированию и разрушению механически неоднородных сварных соединений при однократном нагружении// Проблемы прочности. -1979. №12. -С. 53-58.

16. Дильман B.JL, Остсемин A.A. К анализу напряженного состояния в шейке образца при растяжении // Завод, лаборатория. 1998. -№1. - С. 47-49.

17. Дильман B.JI. Математические модели напряженного состояния неоднородных тонкостенных цилиндрических оболочек. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2007. - 202 с.

18. Дильман В.Л., Остсемин A.A. Напряженное состояние и прочность сварных соединений с механической неоднородностью // Свароч. пр-во. 1998. - №5. - С. 15-17.

19. Дильман B.JL, Остсемин A.A. Напряженное состояние и прочность сварных швов труб большого диаметра // Химич. и нефтегаз. машиностроение. 1998. - №4. - С. 16-20.

20. Дильман B.JL, Остсемин A.A. Напряженное состояние пластического слоя с переменной прочностью по толщине // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2000. - № 1. - С. 141-148.

21. Дильман B.JL, Остсемин A.A. Напряженное состояние и статическая прочность пластичной прослойки при плоской деформации // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2005. - №4. -С. 38-48.

22. Дильман В.Л., Остсемин A.A. О напряженно-деформированном состоянии пластического кольца при растяжении // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2002. - № 2. - С. 109-120.

23. Дильман В.JI., Остсемин A.A. О напряженно-деформированном состоянии при растяжении пластического слоя с двумя осями симметрии // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2001. - №6. - С. 115-124.

24. Дильман B.JI. О некоторых математических моделях напряженного состояния пластической среды при осесимметричной деформации // Вест. ЮУрГУ. Серия "Математика, физика, химия". 2005. -№2. - С. 20-25.

25. Дильман B.JI. О приближенном решении системы уравнений напряженно-деформированного состояния пластического кольца при растяжении // Изв. Челяб. науч. центра. 2001. - Вып. 3. - С. 1-5.

26. Дильман B.JI. Об одном приближенном решении системы уравнений напряженно-деформированного состояния пластического слоя в случае плоской деформации // Изв. Челяб. науч. центра. 2001.- Вып. 4. С. 1-4.

27. Дильман B.JI. Приближенное решение системы уравнений напряженно-деформированного состояния для пластического кольцевого слоя // Обозрение прикл. и пром. математики. 2000.- Т. 7, вып. 2. С. 340.

28. Ивлев Д.Д., Ершов JI.B. Метод возмущений в теории упругопла-стических деформаций. М.: Наука, 1978. - 196с.

29. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. -М.: Наука, 1966. -231 с.

30. Ильюшин A.A. Пластичность М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 271 с.

31. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001. - 704 с.

32. К вопросу о расчетной прочности составных образцов с мягкой прослойкой при статическом растяжении/ A.B. Гурьев, В.П. Багмутов, Ю.Д. Хесин, JI.B. Бойков // Проблемы прочности. 1973. - №1. -С. 9-13.

33. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. -420 с.

34. Качанов JI.M. К задаче о деформации пластического слоя// ДАН СССР. 1954. - Т. XCVI, №2. - С. 249-252.

35. Качанов JI.M. О напряженном состоянии пластической прослойки // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Механика и машиностроение. -1962. -№5. С. 63-67.

36. Качанов JI.M., Немчинский A.JI. Об одном способе определенния сопротивления отрыву // Физика металлов и металловедение. -1957. Том 4, вып. 1. - С. 151-160.

37. Ковальчук Г.И. К вопросу о потери устойчивости пластического деформирования оболочек // Проблемы прочности. 1983. - №5. - С. 11-16.

38. Когут Н.С., Шахматов М.В., Ерофеев В.В. Несущая способность сварных соединений. Львов: Свит, 1991. - 184 с.

39. Кузнецов А.И. Задача о неоднородном пластическом слое // Archiwum mechaniki stosowanej. 1960. - Т. 12, №2. - С. 163-172.

40. Махутов H.A. Деформационные критеритерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность. М.: Машиностроение, 1981. - 272 с.

41. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: Изд-во иностр. лит., 1954. - 494 с.

42. О разрушении высокопрочных сталей при сварке / A.M. Макара, В.А. Саржевский, Н.Е. Протосей и др. // Свароч. пр-во. 1968. -№8. - С. 1-5.

43. Олыпак В., Рыхлевский Я., Урбановский В. Теория пластичности неоднородных тел. М.: Мир, 1964. - 156 с.

44. Остсемин A.A., Дильман B.JI. О сжатии пластического слоя двумя шероховатыми плитами // Проблемы прочности. 1990. - №7. - С. 107-113.

45. Остсемин A.A., Дильман B.JI. Статическая прочность и напряженное состояние механически неоднородных стыковых сварных соединений с Х-образной разделкой кромок // Автомат, сварка. 2005. -№11. - С. 22-25.

46. Пластичность и разрушение / B.JI. Колмогоров, A.A. Богатов, В.А. Мигачев и др. М.: Металлургия, 1977. - 331 с.

47. Прандтль JI. Примеры применения теоремы Генки к равновесию пластических тел // Теория пластичности / под ред. Ю.Н. Работ-нова. М.: Изд-во иностр. лит., 1948. - С. 103-113.

48. Предельное состояние деформируемых тел и горных пород / Д.Д. Ивлев, JI.A. Максимова, Р.И. Непершин, Ю.Н. Радаев, С.И. Сенатов, Е.И. Шемякин. М.: Физматлит, 2008. - 832 с.

49. Смирнов-Аляев Г.А. Механические основы пластической обработки металлов. Л.: Машиностроение, 1968. - 272 с.

50. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969.- 608 с.

51. Теория ковки и штамповки / Е.П. У иксов, У. Джонсон, В. Л. Колмогоров и др. М.: Машиностроение, 1992. - 720 с.

52. Теория обработки металлов давлением (вариационные методы расчета усилий и деформаций) / И.Я. Тарновский, Д.А. Поздеев, О.А. Ганаго и др. М.: Металлургиздат, 1963. - 672 с.

53. Теория пластических деформаций металлов / Е.П. Унксов, У. Джонсон, В.Л. Колмогоров и др. М.: Машиностроение, 1983. -598 с.

54. Томленов А.Д. Теория пластического деформирования металлов. -М.: Металлургия, 1972. 408 с.

55. Томсен Э., Янг Ч., Кобаяши Ш. Механика пластических деформаций при обработке металлов. -М.: Машиностроение, 1969.- 502 с.

56. Унксов Е.П. Инженерная теория пластичности. М.: Машгиз, 1959.- 328 с.

57. Харченко Г.К. Прочность соединений с тонкой мягкой прослойкой. // Автомат, сварка. 1968. - №5. - С. 31-33.

58. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Государств, изд-во технико-теоретич. литературы, 1956. - 407 с.

59. Христианович С.А., Шемякин Е.И. К теории идеальной пластичности // Инж. журн. Механ. твчрдого тела. 1967 - № 4. - С. 58-69.

60. Шахматов М.В., Ерофеев В.В., Остсемин А.А. О некоторых особенностях метода линий скольжения при решении осесимметричных задач теории пластичности // Проблемы прочности. 1985. - №3.- С. 88-94.

61. Шахматов М.В., Храмова Л.И., Бакши О.А. Влияние геометрических парамеров механически неоднородных сварных соединений арматуры железобетона на их предельную несущую способность // Свароч. пр-во. 1986. - №6. - С. 28-30.

62. Шахматов М.В., Ерофеев В.В. Напряженное состояние и прочность сварных соединений с переменными механическими свойствами металла мягкого участка // Свароч. пр-во. 1982.- №3. - С. 6-7.

63. Biljavsky L.S., Kadchenko S.I. Application of the protective coating by frictional-mecanical metod for increasing the durability of machines and materials // Journal for Technology of Plasticity. 1996. - V. 21.- P. 1-2.

64. Dilman V.L., Ostsemin A.A. Strenght of straight-seam pipes in transmission gas and oil pipelines // Welding International. 2001. -V. 15(7).-P. 557-562.

65. Prandtl L. Beispiele der Anwendung des Hencky's Theorems zum Gleichgewicht der plastischen Körper// ZAMM 1923. - Bd, 3. - №6. - S. 401-406.

66. Satoh К., Toyoda M. Joint strength of heavy plastics with lower strength weld metal // Welding Journal. Sept. - 1975. - №9. - P. 311-319.

67. Satoh K. Size effect on static tensile properties of welded joints including of soft interlaver// Journal Jap. Welding Soc. 1968. - 37. -№ 11. - P. 242-249.

68. Дильман В.JI., Ерошкина Т.В. Об одной модели, описывающей напряженное состояние в круглом стержне // Обозрение приклад, и пром. математики. 2004. - Т. И, вып. 2. - С. 793-794.

69. Дильман В.Л., Ерошкина Т.В. Об одной математической модели напряженного состояния пластического слоя при плоской деформации // Вест. ЮУрГУ. Серия "Математика, физика, химия".2005. Вып. 6. - № 6. - С. 19-23.

70. Дильман В.Л., Ерошкина Т.В. Математические модели осесиммет-ричного напряженного состояния при гипотезе разделения переменных для касательных напряжений // Изв. Челяб. науч. центра.2006.-Вып. 2(32).-С. 1-4.

71. Дильман В.Л., Ерошкина Т.В. Напряженное состояние продольной мягкой прослойки, с сечением в форме кольцевого сектора, в тонкостенной цилиндрической оболочке // Обозрение прикл. и пром. математики. 2006. - Т. 13, вып. 4. - С. 637-638.

72. Дильман В.Л., Ерошкина Т.В. Математические модели напряженного состояния пластического слоя с сечением в форме кольцевого сектора // Вест. ЮУрГУ. Серия "Математика, физика, химия". -2006. Вып. 7. - №7(62). - С 13-21.

73. Ерошкина, Т.В. Напряженное состояние поперечной мягкой прослойки в растягиваемом круглом стержне при гипотезе параболических сечений // Обозрение прикл. и пром. математики. 2007. -Т. 14, вып. 1. - С. 109-110.

74. Ерошкина Т.В. Анализ математических моделей напряженно-деформированного состояния продольной мягкой прослойки, с сечением в форме кольцевого сектора, в цилиндрической оболоке // Обозрение прикл. и пром. математики. 2007. - Т. 14, вып. 4. - С. 708-709.

75. Ерошкина Т.В. Напряженное состояние и прочность Х-образной мягкой поперечной прослойки в круглом стержне // Обозрение прикл. и пром. математики. 2008. - Т. 15, вып. 3. - С. 469-470.

76. Ерошкина Т.В. Напряженное состояние мягкой поперечной прослойки в круглом стержне // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: тр. междунар. конф. (24 28 июня 2008 г., Стерлитамак). - Уфа: Гилем, 2008. - Т. III. - С. 201-205.

77. Дильман В.Л., Остсемин A.A., Ерошкина Т.В. Прочность механически неоднородных сварных соединений стержней арматуры // Вестник машиностроения. 2008. - № 9. - С. 13-17.

78. Ерошкина Т.В. Особенности моделирования предельной осевой нагрузки неоднородного сплошного стержня // Обозрение прикл. и пром. математики. 2009. - Т. 16, вып. 2. - С. 325-326.

79. Ерошкина Т.В. Математические модели напряженного состояния неоднородного сплошного цилиндра при его растяжении // Тр. ма-темат. центра им. Лобачевского. Казань: Изд-во КГУ, 2009. - Т. 38. - С. 121-123.

80. Дильман В.Л., Ерошкина Т.В. Исследование математических моделей напряженного состояния неоднородного поперечного слоя в круглом стержне // Вест. ЮУрГУ. Серия "Математическое моделирование и программирование". 2009. - Вып. 4. - №37(170). - С. 65-77.