автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование неоднородных физико-механических полей методом гибридных физико-механических полей методом гибридных интегральных преобразований (Фурье, Бесселя)

ПЕРМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ■ ИНСТИТУТ

На праёах рукописи

П А С К А Р Ь Александр Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ МЕТОДОМ ГИБРИДНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ( ФУРЬЕ, БЕССЕЛЯ )

05.13,10 ~ Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата фпзико- математических4наук

Пермь - 1002

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравне -кий Черновицкого государственного университета им.Ю.Федь-ковича.

Научный руководитель; кавдидат фпзико-матоматкчески

наук, доцент М.П. ЛЕНЮК

Официальные оппоненты: 1. Доктор физико-матемагичес-

ких наук, профессор П.В.ТРУСО

2, Доктор технических наук, профессор В.М. СУСЛОНОВ

Ведущая организация - институт математики с ВЦ

АН Молдовы.

Зашита состоится * ' < " ■" ч~ ' - \ 1992г»

в ч. на заседании специализированного Совета

К 063.66,07 по присуждению ученой степени кандидата фиэи ко-математических наук Пермского политехнического инстигу< та (614600, Пермь, Комсомольски?! пр-кт, 29 а).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Перм -ского политехнического института.

'Ч . ..

Автореферат разослан * /1 '; * '■'<-- "- " 1992

Ученый секретарь спешил изироваиного Совета, доцент .--"*'

С.Г.Николаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Акцальньсть_теш. Среди многочисленных технических задач, озникающих при конструировании машин и проектировании инженерах сооружений, в технологии и сварочном производстве, а также ри исследовании кинетики целого ряда физических и химико-тех-ологических процессов важное место занимает определение темпе-атурннх полей и возникающих при этом напряжений.

Одним из аффективных методов решения такого рода задач яв-яется метод интегральных преобразований. Наиболее распростра-онными среди них являются ставшие классическими интегральные реобразования Фурье, Лапласа, Фурье-Бесселя, Вебера, Меллина, ежандра, Меллера-Фока и др. Они применимы в случае линейных ифференциальных уравнений либо с постоянными коэффициентами, ибо с непрерывными коэффициентами. В настоящее время в связи широким применением композиционных материалов возникает ост-ая необходимость в моделировании и исследовании неоднородных изико-механических полей, формирующихся в элементах сложных онструкций в результате кратковременных высокоинтенсивных си-овых или температурных воздействий или обоих одновременно, оследнее требует создания математического аппарата (аналога лассических интегральных преобразований) для решения линейных ифференциальных уравнений в частных производных с разрывными оэффициентами.

Создание такого типа интегральных преобразований, получив-их название гибридных, было начато в начале семидесятых годов .С.Уфляндом (и его учениками), продолжено Проценком B.C. С с го учениками), развивается и доводится почти до совершенства енюком М.П. (с его учениками) уже при наличии более двух точек опряжения и более общих условий сопряжения. При этом оказыва- ■ тся, что привлечение к рассмотрению только операторов Фурье и есселя с хорошо изученной фундаментальной системой решений орождает достаточно богатую группу гибридных интегральных пре-бразований.

Проблеме построения отсутствующих в математической литера-уре гибридных интегральных преобразований (ГИЛ) Фурье-Фурье-ебера, Фурье-Ханкеля 2-го рода-Фурье, Фурье-Ханкеля 2-го рода-

Вебера на декартовой оси и Фурье-Ханкеля 2-го рода-Фурье, Фурье-Ханкеля 2-го рода-Ханкеля 2-го рода и Фурье-Фурье-Ханке-дя 2-го рода на ограниченной справа декартовой полуоси с двумя точками сопряжения посвящена данная кандидатская диссертация.

ШЗЬ9_Е§й22У является: а) построение ядер (и структуры) прямых и обратных ГИЛ Фурье-Фурье-Вебера, Фурье-Ханкеля 2-го рода-Фурье, Фурье-Ханкеля 2-го рода-Вебера на декартовой оси с двумя точками сопряжения; б) построение ядер прямых и обратных ГИП Фурье-Фурье-Ханкеля 2-го рода, Фурье-Ханкеля 2-го рода-Фурье и Фурье-Ханкеля 2-го'рода-Ханкеля 2-го рода на ограниченной справа декарговой полуоси; в) применение полученных ГИП по разработанной логической схеме для решения задач о структуре смоделированных динамических волновых полей в тонкой неоднородной бесконечной струне, о структуре нестационарных температурных полей, смоделированных с помощью коэффициента теплопроводности в тонких неоднородных пластинах, о структуре статических упругих полей, смоделированных с помощью модуля сдвига в цилиндрических стержнях при вручении осесимметричнши усилиями.

• При выполнении работы использовалис ёлзменты теории краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, операционный метод, теория разложения по собственным функциям самосопряженных операторов и основные положения теории обобщенных функций.

диссертационной работы заключается в следз

ыцем:

- построены методом дельтаобразных последовательностей ГИГ Фурье-Фурье-Вебера, Фурье-Ханкеля 2-го рода-Вебера и Фурье-Хан-келя 2-го рода-Фурье на декартовой оси с двумя точками сопряжения;

.- построены методом дельтаобразных последовательностей ШГ Фурье-Фурье-Ханкеля 2-го рода, Фурье-Ханкеля 2-го рода-Фурье, Фурье-Ханкеля 2-го рода-Ханкеля 2-го рода на ограниченной справа декартовой полуоси с двумя точками сопряжения;

- сформулированы и доказаны теоремы о наличии основного товдества интегрального преобразования дифференциального операт ра, позволяющего применять полученные гибридные интегральные

преобразования для решения соответствующих задач математической физики, возникающих при моделировании неоднородных фиэико-деханических полей;

- доказаны теоремы разложимости кусочно-непрерывных, абсолютно суммируемых с точно определенной весовой функцией и име-ощих ограниченную вариацию функций через ядра построенных ГИП;

- по разработанной логической схеме полученные ГШ фурье-Еурье-Вебера, Фурье-Ханкеля 2-го рода-Фурье, Фурье-Ханкеля 2-го рода-Еебера применены для исследования динамических волновых '•процессов, смоделированных в тонкой неоднородной струне, статических упругих полей, возникающих при кручении цилиндрических стержней, а также исследования нестационарных температурных полей, смоделированных в тонких неоднородных бесконечных пластинах.

0ЕМ™Н§£ёй£_Ц§Ш!2££ь. Полученные в диссертации гибридные интегральные преобразования наряду с задачами теплопроводности и кручения цилиндрических объектов могут бить применены и для решения аналогичных задач теории упругости, гидромеханики, электростатики, электрохимии и т.д. В частности, они могут быть использованы в технических приложениях для расчета цилиндрических стержней на прочность при их кручении и влияния степени неоднородности на напряженное состояние технологических установок, строительных конструкций, основных блоков машин.

^Е2£ация работы. Основные результаты работы докладывались та научно-технических конференциях (г.Тирасполь, 1986-1990 г.г.), на У и У1 Всесоюзных симпозиумах по общей топологии и её приложениям {г.Тирасполь, 1985 г.; г.Кишинев, 1991 г.); на республи- • канской школе по топологической алгебре и её приложениям (г.Тирасполь, 1988 г.); на республиканской конференции "Нелинейные задачи математической физики" (г.Черновцы, 1989 г.); на научной конференции преподавателей Кишиневского политехнического института (г.Кишинев, 1979 г.); на Всероссийской научно-технической конференции "Математическое моделирование технологических процессов обработки материалов давлением" (г.Пермь, 1990 г.); на научном семинаре по прикладной математике АН МССР с ВЦ (г.Кишинев, 1990 г.); на научном семинаре кафедры геометрии ТГТ1И (г.Ти- •

располь, 1992 г.); на научно-методическом семинаре кафедры дифференциальных уравнений ЧПУ (г.Черновцы, 1992 г.); на научном семинаре кафедры теоретической механики Пермского политехнического института (г.Пермь, 1992 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано II работ.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы. Полный объем работы составляет -{45 страниц машинописи. Библиографический список включает 65 наименований. Рисунков 8.

СОДЕРЖШЕ РАБОТЫ. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Во введении к диссертации обосновывается актуальность темы, дан обзор работ по теме диссертации и сделано описание полученных результатов.

Первая глава посвящена построению ГИП фурье-Фурье-Вебера, Фурье- Ханкеля 2-го рода-Фурье и Фурье-Ханкелл 2-го рода-Вебера на декартовой оси с двумя точками сопряжения методом дельта-обравных последовательностей, в качестве которых выступает ядро Коши - фундаментальная матрица решения задачи Коши для соответствующей сепаратной системы классических уравнений теплопроводности параболического и В-параболического типа. В связи с тем, что пределом в сшсле теории обобщенных функций дельта-образных последовательностей есть мера Дирака (дельта-функция), то каждое решение задачи Коти для уравнения (системы уравнений) теплопроводности параболического либо В-параболического типа позволяет получить интегральное представление дельта-функции. Последнее порождает прямое и обратное ГИП:

При этом имеют место идентичные утверждений. Теорема I: Если функция

определена, кусочно-непрерывная, абсолютно интегрируемая и имеет ограниченную вариацию на ( - , ч ро ), то для =

(~оо , Й^) и ( , ) и < Р. ,00 ) справедлива формула разложения,,

РС _ со .

[Vсз)

Теосема_2: Пусть функция С^^СТд), удовлетворяет

условиям сопряжения

^ Ь £ > <л м>

К

исчезает со своей первой производной при 5 а ПрИ

Ъ~*ьо стремится к нулю вместе с первой производной как функция $¡(1) . Тогда имеет место основное тождество

интегрального преобразования дифференциального оператора.

«а Г

%

Наличие тождества (5) позволяет применять полученные ГИП для решения точно смоделированных краевых задач математической физики неоднородных структур по определенной логической схеме.

Вторая глава посвящена построению ПИП Фурье-Фурье-Ханкеля 2-го рода, Фурье-Ханкеля 2-го рода-Фурье и Фурье-Ханкеля 2-го рода-Ханкеля 2-го рода на ограниченной справа декартовой полу-

оси с двумя точками сопряжения. Математическим обоснованием этих Ш1 служат идентичные (в этой группе утверждения).

ТвО£ема_3: Пусть функция

определена, кусочно-непрерывная, абсолютно суммируемая на множестве (-со , и имеет таи ограниченную вариацию. Тогда для 2 € йбС-оо^иГЯ^иСЙ^^)., £,>0, 1

имеет место интегральное представление

оо

0 «,<£)

Тсоре«а_4: Если функция £(2) & С удовлетворяет

условиям сопряжения (4) и краевым условиям

Л

(И-

то справедливо основное тождество интегрального преобразования дифференциального оператора

♦ г**1

0О ^

<*■ (8)

Доказательство тождества (8) проводится методом интегрирования по частям с использованием тождеств

Г йъ

сл1. г ^

Фь

(9)

свойств функций V и структуры бГ^ ( Но-=1,2,3).

V)! м.

Кавдое интегральное представление (6) влечет за собой прямое

4) ^ (ю)

и обратное

а" о 'ад '«)

гибридное интегральное преобразование на трехслойной ограниченной справа декартовой полуоси.

Третья глава носит прикладной характер. Здесь предложена логическая схема применения построенных гибридных интегральных Преобразований для решения достаточно широкого класса сингулярных задач математической физики неоднородных структур на примерах задач: а) моделирования статического поля перемещений при

кручении упругих цилиндрических стержней под воздействием со- ' средоточенного осесимметрического усилия; б) моделирование колебаний в ограниченной справа кусочно-однородной струне; в) моделирование нестационарных температурных полей в тонкой неоднородной неограниченной пластине.

При этом решения задач выписываются в замкнутой форме, удобной для использования их (с помощью ЭВМ) в инженерных расчетах. Последнее подтверждают примеры численного расчета на ЭВМ ЕС-1045 структуры нестационарного температурного поля в кусочно-однородной тонкой неограниченной пластине и статичес-його поля перемещений, возникающего при кручении кусочно-однородного цилиндрического стержня в результате воздействия на одной из участков осесимметричного давления. Результата численного анализа представлены в виде графиков. Программы реализации на ЭВМ прилагаются.

ВЫВОДЫ:-

Основные результаты, полученные в диссертационной работе состоят в следующем:

1. Построены методом дельта-образных последовательностей гибридные интегральные преобразования Фурье-Фурье-Вебера, Фурье-Хцнкеля 2-го рода-Фурье, Фурье-Ханкеля 2-го рода-Вебера на декартовой оси с двумя точками сопряжения. •

2. Получены структуры прямого и обратного гибридного интегрального преобразования Фурье-Ханкеля 2-го рода-Фурье, Фурье-Фурье-Ханкеля 2-го рода и Фурье-Ханке ля 2~го роца-Ханкеля 2-го рода на ограниченной справа декартовой полуоси,

'3. Сформулированы теоремы .об интегральном представлении кусочно-непрерывных абсолютно суммируемых (с точно определенной весовой функцией) функций ограниченной вариации через ядра гибридных интегральных операторов.

4. Сформулированы и доказаны теоремы о наличии основного тождества интегрального преобразования дифференциального оператора, позволяющего применять по разработанной логической схеме полученные гибридные интегральные преобразования для решения соответствующих задач математической физики неоднородных структур.

5. Логическая схема применения полученных гибридных интегральных преобразований показана на задаче моделирования динамических волновых процессов в тонкой неоднородной струне и упругих полей при кручении кусочно-однородных цилиндрических стержней, на задаче моделирования нестационарных температурных полей в тонких неоднородных неограниченных пластинах с последующим численным анализом (с помощью ЭВМ),

6. Теоретические результаты работы состоят в следующем:

а) получена группа гибридных интегральных преобразований Фурье-Фурье-Вебера, Фурье-Ханкеля 2-го рола-Фурье, Фурье-Ханкеля 2-го рода-Вебера на декартовой ос« и на ограниченной справа декартовой полуоси с двумя точками сопряжения;

б) предложена логическая схема применения гибридных интегральных преобразований для построения точных аналитических решений соответствующих сингулярных задач математической физики, возникающих при ¡доделировании неоднородных физико-механических полей.

7. Практическое значение получениях результатов состоит в том, что они могут быть использованы как математический аппарат для решения достаточно широкого класса сингулярных задач математической физики неоднородных структур. Записанное при этом решение носит алгоритмический характер и может быть использовано (с помощью ЭВМ) для инженерных расчетов в каждом требуемом практическом случае.

В приложении работы представлены программы для ЭВМ.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Лешок М.П., Паскарь A.A. Гибридные интегральные преобразования ®урье-Фурье~Ханкеля. Справочно-информационный фонд Молд.НИ ИНГ И, № 984-14. (PI "Математика", № 9,1988). Деп.-24 с. Кишинев.

2. Ленюк М.П., Паскарь A.A. Гибридные интегральные преобразования Фурье-Ханкеля-Ханкеля на ограниченной справа полупрямой. В справочно-информационном фонде Молц.ШИНГИ № 985-14 (РЖ "Математика", № 9, 1988). Деп.- 27 с. Кишинев.

3. Ленюк M.II., Паскарь A.A. Кн.:"Построение методом дельта-образных последовательностей гибридных интегральных преобразований" . 1990 , Тирасполь. ТГПИ - 75 с.

4. Паскарь Л.А. Применение методов теории обобщенных функций и определение динамических импульсивных систем. В кн.: Пятый симпозиум по общей топологии и ее приложениям. Кишинев, Штишща,- 1985. - 3 с.

5. Паскарь A.A. Распределение механических импульсов в упругих средах. В кн.: Топологическая алгебра. (Республиканская

-. школа), Кишинев, Штиинца, 1988 - 2 с.

6. Паскарь A.A. Гибридные интегральные преобразования Фурье-Веб ера на оси с применением к задачам математической физики. В кн.: Ш МОСР. Численные методы решения задач волновой динамики.(Мат.исследования).Кишинев, Штиинца, 1990 - 17 с.

7. Паскарь A.A. Один способ моделирования тепловых процессов в элементах конструкций./Дез. докл. Всероссийской научно-технич.конференции "Математическое моделирование технологических процессов обработки материалов давлением", Пермь, 1990 - I с.

8. Паскарь A.A. Некоторые аспекты ГИП Фурье-Фурье-Ханкеля при решении краевых задач. В кн.: 60 лет ТГГЖ Республиканская научно-методическая конференция. Кишинев, Тимлул, 1990 - 2 с.

9. Паскарь А*. А. Гибридные интегральные преобразования Фурье-Ханкеля 2-го рода-Фурье на ограниченной справа полупрямой. Известия АН МЗСР "Математика", № 3, 1990 -Юс.

10.A.A.Pascari. On similation of the non-stationary temperature fielde in a piecewise hoaogeneous plate "Furry Suts and systems", Tiraspol, 1991 - 2 pg.

11. Паскарь A.A. Моделирование статического поля перемещений при кручении упругих цилиндрических стершей. У1 симпозиум по топологии и ее приложениям. Кишинев, 1991 - 2 с.