автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование электромагнитных полей точечных источников в слоистых средах

Введение.

Глава 1. Фундаментальные решения для слоистых сред

1.1. Фундаментальное решение уравнения Гельмгольца

1.1.1. Постановка задачи.

1.1.2. Единственность и ограниченность подинтегральных выражений.

1.1.3. Расчет подинтегральных функций.

1.2. Фундаментальные решения системы Максвелла.

1.2.1. Постановка задачи.

1.2.2. Расчет подинтегральных выражений.

Глава 2. Вычисление интегралов Фурье-Бесселя.

2.1. Выбор контура интегрирования.

2.2. Вычисление несобственных интегралов.

2.3. Вычисление интегралов с конечным верхним пределом.

2.4. Вычисление фундаментальных решений системы Максвелла.

2.5. Результаты тестирования.

Глава 3. Электромагнитные поля в слоистых средах с трехмерными включениями.

3.1. Пространственная задача дифракции электромагнитных волн на включении.

3.2. Интегральные уравнения исходной задачи.

3.3. Расчет ядер интегральных уравнений.

3.4. Сведение интегральных уравнений к системе линейных алгебраических уравнений.

Лхава 4. Численное моделирование электромагнитных полей в слоистых средах.

4.1. Описание программного комплекса.

4.1.1. Описание входной информации.

4.1.2. Описание выходной информации.

4.2. Электромагнитные поля в слоистых средах.

4.3. Электромагнитные поля в слоистых средах с включением.

В настоящее время для решения многих геолого-геофизических задач изучения внутренннего строения Земли широко применяются электромагнитные поля, содержащие о-бширную информацию о среде, в которой они распространяются. Существующие методы интерпретации полученной информации фактически сводятся к сравнению данных наблюдений с расчетными данными, полученными при решении прямых задач для типичных моделей сред. Отсюда следует, что практическое использование в геофизических исследованиях электромагнитных полей невозможно без разработки эффективных алгоритмов решения прямых задач для характерных моделей сред.

Естественным стремлением исследователей является выбор моделей сред, наиболее полно отражающих реальное строение Земли. Однако, решение теоретических задач для произвольных сред встречает на своем пути множество трудностей, начиная с вывода уравнений для происходящих физических процессов и корректных постановок соответствующих математических задач, исследования этих уравнений, отыскания их решений и кончая трудностями численной реализации и интерпретации полученных результатов.

Первыми систематические исследования электромагнитных полей, применительно к задачам электроразведки, были выполнены советскими учеными В.А.Фоком и В.Р.Бурсианом в 30-х годах нашего столетия [1,64]. Однако идеи, заложенные в этих работах, не нашли в то время применения из-за отсутствия средств вычислительной техники. Найти аналитические решения удавалось только для простейших моделей [1,64].

Дальнейшее развитие эти идеи получили в конце 50-х годов в связи с появлением электронно-вычислительных машин. В работе А.Н.Тихонова [60] впервые был предложен метод расчета электромагнитного поля электрического диполя в горизонтально-слоистой среде при произвольном числе слоев. Он опирался на представление поля в виде интегралов типа Фурье-Бесселя от решений соответствующих краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от переменной интегрирования как параметра. При этом для расчета подинтегральных выражений были получены рекуррентные соотношения. В качестве источника поля рассматривался горизонтальный электрический диполь, гармонически зависящий от времени и заземленный на поверхности плоскослоистой среды.

Развитие метода А.Н.Тихонова для случая градиентных сред и дипольного источника, расположенного в любом из слоев, было дано В.И.Дмитриевым в [13]. В дальнейшем были проведены расчеты электромагнитных полей по методу, предложенному В.И.Дмитриевым, позволившие изучить характерные особенности поведения полей в некотором классе слоистых структур [16-20].

Предложенный А.Н.Тихоновым и В.И.Дмитриевым в [13] и [60] подход к расчету электромагнитного поля на ЭВМ требует вычислений несобственных интегралов вида гоо

I„(z,z',r) = JoJ(z,z',\)Ju(\r)d\, (1) где М = (x,y,z) и М1 = (x',y',z') - произвольные точки трехмерного пространства Oxyz, г2 — (х-х')2 + (у-у')2, f(z, z1, A) - решение дифференциального уравнения второго порядка по переменной z, a Jv(\r) - функция Бесселя порядка и, и = 0,1.

Приближенное вычисление интегралов (1) требует значительных усилий. Здесь под знаком интеграла содержится произведение функции f(z,z', А) - решения дифференциального уравнения на функцию Бесселя J„(Ar), котрая при больших А является быстроосциллирующей. Наличие быстроосциллирующего ядра J„(Ar) предполагает испольоование специальных приемов вычисления несобственных интегралов. Кроме того, подинтегральная функция / в интеграле (1) зависит еще и от частоты источника поля, мощности каждого слоя,проводимости, диэлектрической и магнитной проницаемости всех слоев, что создает серьезные трудности на пути создания вычислительных алгоритмов, позволяющих вычислять интегралы (1) с приемлемой точностью во всем диапазоне изменения исходных данных.

К настоящему времени опубликовано большое количество работ, освещающих разнообразные подходы к численному расчету интегралов Iv при различных ограничениях на исходные данные. Рассмотрим наиболее интересные из них.

Если параметр г мал, то предлагается проводить численное интегрирование на конечном интервале [0,Т] с помощью обычных квадратурных формул (например формулы Симпсона в работе [8]). При этом число Т выбирается из условия ТУ < 47г.

Иной способ вычисления интегралов Iv(z;z',r) при малых г описан в работе [15]. Пусть А£, к = 1,2,3. - последовательность нулей функций Бесселя порядка и = 0,1. Зафиксируем номер к = т и, начиная с интегрирование будем вести по отрезкам, каждый из которых содержит четное число"нулей к = 21, / = 1,2,3,. Применяя на отрезках [0,А^], A*+J.(tx)] квадратурную формулу

Симпсона или Гаусса с соответствующим числом узлов и суммируя результаты интегрирования по отрезкам, получаем значение Iv. При этом окончание процесса суммирования определяется абсолютной величиной вклада, вносимого в сумму при интегрировании на очередном отрезке.

Основные трудности при вычислении Iu(z,z',r) возникают в случае больших значений переменной г, так как подинтегральное выражение содержит быстроосциллирующее ядро Ju(\r).

В работе [63] предлагается рассчитывать интегралы (1) по следующей приближенной формуле оо . \

L=i»+j:iz*j''f(z,z>,\)M\r)d\+ (2)

71 = 1 где Ay - есть значение Л, начиная с которого функция Бесселя порядка v рассчитывается по ассимптотической формуле [58].

Интегралы вычисляются по квадратурной формуле Симп-сона, а - по формуле Филона для расчета интегралов от быстро осциллирующих функций [38]. При выборе числа N можно применять результаты работ [16], [62] об ассимптотическом поведении интегралов, содержащих функции Бесселя.

Представляет интерес подход к вычислению инегралов h, описанный в работе [49]. В основе этого подхода лбжит алгоритм, предложенный в [3]. Основной интервал интегрирования разбивается на ряд отрезков, длины которых возрастают в геометрической прогрессии. Внутри каждого из отрезков подинтегральная функция / аппроксимируется по переменной А полиномом первого порядка, коэфо фициенты которого находятся из решения соответствующей системы уравнений. Приближенные значения интегралов по промежуткам находится с помощью метода Филона [38]. Общий интеграл находится как сумма интегралов по каждому интервалу разбиения.

В работе [51] для вычисления /„ при и — 1 используется метод Лонгмана [73], который заключается в замене интеграла суммой h{z,z',r) « f> = £ /А,+1 /(г,г',\)^{\г)<1\, (3) i=i i=iJAi где А, - нули функции Бесселя, а величины а, вычисляются по квадратурной формуле Гаусса с заданной точностью. Простое суммирование потребовало бы для достижения заданной точности 104 - 106 членов ряда. Поэтому для ускорения сходимости знакопеременного ряда было применено t - преобразование Левина [71], что позволило, по мнению авторов, сократить число членов ряда до 10-12.

Представление интеграла (1) в виде (3) рассматривается также в работе [68], но для ускорения сходимости ряда здесь используются непрерывные дроби.

Представляет большой интерес и работа [66], в которой рассматривается следующий алгоритм быстрого преобразования Ханкеля (БПХ).

Заменой переменных х — Inr, у = -1пХ и умножением левой и правой частей на ехр(х) приведем (1) к виду ( зафиксировав гиг')

ОО ехр(-у))[ехр(х - y)J„(exp(x - y))]dy. (4)

-оо

Выражение (4) есть преобразование свертки, где / - входной сигнал, выражение в квадратных скобках - фильтр, а искомое значение интеграла с весом - сигнал на выходе фильтра. Используя табличный интеграл [12]

A"+1 exp(-aA2)Ji,(Ar)(iA = (2а"+1)~1 exp(-62/4a), а > 0, v = 0,1, нетрудно вычислить веса фильтра W,, которые входят в выражения для приближенного расчета интеграла (1)

1 n2

I„(r)«± £ Wj/[exp(A,- - Inr)], i=Ny где Ai - Inr - смещенная абцисса, > 1, N2 < 283.

Отметим, что в отличии от интегрирования с помощью квадратурных формул, здесь нет необходимости в вычислении значений функции Бесселя, а веса W{ могут быть насчитаны один раз и использоваться по мере надобности. К достоинствам алгоритма следует отнести использование при вычислении конкретного интеграла не всех весов W, , а только их части. Это делается автоматически, по мере достижения заданной точности расчетов. Однако как показал сам автор, при г > 1000 или г < 0.001 алгоритм БПХ дает большую погрешность при вычислении интеграла (1). Поэтому в более поздней работе [67] было предложено в этих случаях использовать квадратурные формулы, приведенные в работе [68].

Несмотря на свою привлекательность и простоту, БПХ оказался неприменим при рассмотрении некоторых моделей, в частности описывающих морской шельф. В работе [69] рассмотрен интеграл

ГОО у уо ^-exp(-A1|2|)7i(Ar)(iA = exp(ikiR)(l - ik\R), (5) для которого известно представление в явном виде и показано, что при z < г и \k\R\ > 20 вычисление интеграла (5) с помощью БПХ происходит с относительной погрешностью от нескольких десятков до сотен процентов. Здесь R = \/r'1 + z2, Ai = ^X1 - к'(, к\ = \Дк, г = >/-1, i?e(Ai) > 0, Im(ki) > 0. Отметим, что трудности, встречаемые при численном расчете интегралов (5), типичны для многих интегралов, возникающих при построении различных моделей сред.

В работе [69] предлагавтсяЧзычислять интегралы Фурье-Бесселя с осциллирующим ядром с помощью деформации пути интегрирования в комплексную плоскость переменной интегрирования при помощи метода, описанного в работах [11, 57, 59]. Интегрирование ведется вдоль линий разрезов, которые соединяются отрезком прямой. Интеграл (1) при этом распадается на три интеграла, два из которых берутся вдоль гипербол, а третий - вдоль прямой. Используя известные соотношения между цилиндрическими функциями, производится замена осциллирующего ядра J„(Ar) на ядро Hl(Xr), экспоненциально убывающее на бесконечности в верхней полуплоскости. Здесь НЦХг) - функция Ханкеля первого рода порядка и, v — 0,1. Приведены результаты численных экспериментов, демонстрирующие преимущества предлагаемого метода. К недостаткам метода стоит отнести рассмотрение автором только трехслойных сред с чисто мнимыми квадратами волновых чисел (для которых подинтегральные функции выписываются в явном виде), что сужает область применимости предлагаемого метода.

Значительное число работ и разнообразие развиваемых подходов свидетельствует о большом теоретическом и практическом значении затронутой темы. В настоящей работе для вычисления интегралов 1и используется алгоритм основанный на переносе пути интегрирования в комплексную плоскость, который был предложен и развит в [38, 39, 42, 47]. В качестве пути интегрирования предлагается прямая, вдоль которой отсутствуют осцилляции у подинтегральных выражений. Кроме того, переход к комплексным значениям параметра интегрирования позволяет осциллирующее ядро J1/(Xr) заменить на экспоненциально убывающее на бесконечности ядро Н^(\г). Обоснование этого метода для системы Максвелла дано в [41]. В [55] доказан ряд утверждений относительно области аналитичности и асимптотическом поведения подинтегральных выражений, позволяющих деформировать контур оптимальным образом.

Однако, в некоторых случаях, путь интегрирования можно деформировать в комплексную плоскость только начиная с некоторого конечного значения параметра интегрирования А. В такой ситуации искомый интеграл разбивается на сумму двух интегралов, один из которых несобственный, а интервал интегрирования второго конечен. Несобственный интеграл вычисляется по алгоритму, описанному выше.

Для вычисления значения интеграла на конечном промежутке предлагается замена подинтегрального выражения интерполяционным многочленом четвертой степени, содержащим только четные степени параметра интегрирования. В результате такой замены возникают интегралы, которые берутся явно и записываются в виде суммы значений на концах отрезка интегрирования функций Бесселя нулевого и первого порядков с соответствующими коэффициентами. Если конечный интервал интегрирования достаточно большой, то необходимо разбить его на несколько промежутков, а в качестве точек разбиения це-леесообразно брать нули бесселевых функций. Заменяя подинтеграль-ную функцию на каждом промежутке интерполяционным полиномом, мы также получаем интегралы, которые берутся явно. Суммируя значения интегралов по всем промежуткам,мы получаем значение интеграла на всем интервале.

Модели плоскослоистой среды к настоящему времени достаточно хорошо изучены и, как следует из вышеизложенного, существует достаточное количество различных методик, которые применимы в различных ситуациях. Хорошо разработанный математический аппарат для решения этого класса задач позволяет рассматривать гораздо более сложные модели, а именно слоистые среды с трехмерными включениями. Они характеризуются наличием разрывов параметров сред, их зависимостью от трех пространственных переменных и необходимостью учета условий излучения на бесконечности. Широко распространенные разностные и асимптотические методы не всегда обеспечивают приемлемую точность при их решении, так как дифрагированное поле может медленно убывать с расстоянием, а длина волны соизмерима с размерами неоднородности.

Весьма эффективным аппаратом численного решения этих задач является методом граничных интегральных уравнений. Он позволяет свести исходную трехмерную задачу дифракции в неограниченной области к задаче отыскания решения системы интегральных уравнений по компактной границе включения, имеющей меньшую размерность.

В работе [53] рассматривается система гиперсингулярных интег-ро-дифференциальных уравнений первого порядка относительно четырех касательных к поверхности включения плотностей вспомогательных источников, полученная методом потенциалов. Ядрами в рассматриваемой системе являются фундаментальные решения электрического типа, удовлетворяющие системе Максвелла для слоистой среды без включения. Их компоненты представляют собой комплексные амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей, которые возникают при возбуждении элементарным электрическим диполем с единичным моментом, помещенным в произвольною точку этой среды.

Следует отметить, что эффективность метода численного решения системы интегральных уравнений в значительной степени зависит от эффективности способов рассчета ядер, поскольку на их вычисление тратится основное время ЭВМ.

Приближенное решение исходной задачи дифракции ищется в виде потенциалов от вспомогательных источников, распределенных по границе неоднородности. Их плотности находятся численным решением системы линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих исходные интегральные уравнений4. Для сведения интегральных уравнений к системе линейных алгебраических уравнений используется разбиение единицы на поверхности включения, подчиненное ее покрытию системой стандартных окрестностей узловых точек. Причем коэффициенты найденной системы линейных алгебраических уравнений представляют собой интегралы вида (1).

В конце работы приводятся результаты численных экспериментов, характеризующие возможности применяемого подхода. Приведены линии уровня, перспективные проекции и графики модулей приближенных решений для набора модельных задач, отличающихся параметрами вмещающих сред, заданных электромагнитных полей и формой включений.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Бурсиан В.Р. Теория электромагнитных полей, применяемых в электроразведке. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 4.1, 1933; 4.2, 1936.

2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.

3. Ваньян Л.Л. Основы электромагнитных зондирований. М.: Недра, 1965.

4. Ваньян Л.Л. Становление электромагнитного поля и его использование для решения задач структурной геологии. Новосибирск: 1966.

5. Вешев А.В., Морозова О.М. Электромагнитное поле электрического и магнитного диполей в присутствии сферы при конечной проводимости среды и сферы // Уч. зап. ЛГУ. Вопросы геофизики. Сер. физ. и геол. наук. 1973. Вып. 23, N 372. С.125-153.

6. Воронин В.В. Решение двумерной задачи дифракции акустических волн на упругом включении методом потенциалов // Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. Вып. 6, Часть 2. С. 120-129.

7. Вычислительные методы в электродинамике. Под ред.Р.МитрыМ.: Мир. 1977.

8. Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике. Под. ред.Дмитриева В.И. М.: Недра. 1990.

9. Гасаненко Л.Б. Нормальное поле вертикального гармонического низкочастотного магнитного диполя// Уч.зап.ЛГУ. 1958. N 249. Вып 10.

10. Гасанеко JI.Б. Поле вертикального гармонического магнитного диполя над поверхностью многослойной структуры / / Уч лап. ЛГУ. 1959. N 278. Вып 11.

11. Гепьфанд И.С. Электромагнитное поле горизонтальной рамки в слоистой среде// Сб. статей по геоф. методам разведки. Свердлов, горн, ин-т им. Вахрушева. Свердловск: Гостехиздат, 1955. С.3-17.

12. Г^адштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1962.

13. Дмитриев В.И. Общий метод расчета электромагнитного поля в слоистой среде j j Вычислит, методы и программирование. М.: МГУ, 1968. Вып. 10. С.55-65.

14. Дмитриев В.И. Электромагнитные поля в неоднородных средах. М. : Труды ВЦ МГУ, 1969.

15. Дмитриев В.Н., Аккуратов Г.В. Математическое моделирование сейсмического частотного зондирования. М.: МГУ, 1985.

16. Дмитриев В.Н., Скугаревская О.А., Федорова З.А. О высокочастотной асимптотике электромагнитного поля в слоистой среде // Известия АН СССР. Сер. Физ. Земли. 1970. N 2. С.44-52.

17. Дмитриев В.И., Федорова З.А. Численное исследование электромагнитных полей в слоистых средах // Вычислит, методы и программирование. М.: МГУ, 1980. Вып.32. С.150-183.

18. Дмитриев В.И., Плешко В.Ю. К расчету электромагнитного поля в слоистой среде с локальной неоднородностью // Вычислит, методы и программирование. М.: МГУ, Вып. 36. 1982. С.27-35.

19. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: МГУ, 1987.

20. Дмитриев В.И.,Пооднякова Е.Е. Метод расчета электромагнитного поля в слоистой среде с локальной неоднородностью // Актуальные вопросы прикладной математики. М.: МГУ, 1989. С.98-104.

21. Дробница В.В., Цецохо В.А. Метод расчета плоского электромагнитного поля в средах с слоем переменной толщины // Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1971. Вып. 2. С.251-284.

22. Ершов Н.Е., Смагин С.И. Численное решение трехмерной стационарной задачи дифракции акустических волн на упругом включении. Препр. Владивосток: ДВО АН СССР, 1989.

23. Ершов Н.Е. О задаче дифракции акустических волн на упругом теле в слоистой среде // Удаленные методы в задачах математ. физики кибернетики. Владивосток: ДВО АН СССР, 1987, С.20-26.

24. Ершов Н.Е. Решение трехмерной задачи дифракции акустических волн на упругом теле методом потенциалов // Математические проблемы геофизики: моделирование, исследование, интерпретация. Новосибирск : ВЦ СО АН СССР, 1985. С.47-58.

25. Заборовский А.И. Электроразведка. М.: Гостоптехиздат, 1963.

26. Запреев А.С., Мазалов В.Н. О структуре ППП "Электромагнитные поля в в геофизике"// Комплексы программ математическойфизики. Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1989. С.151-160.

27. Захаров Е.В., Ильин И.В. Метод расчета электромагнитных полей в плоско-параллельной слоистой среде с локальными неоднородно-стями //Вычислит, методы и программирование. М.: МГУ, 1971. Вып. 16. С.83-198.

28. Иванова Н.В. Алгоритм вычисления функции Грина в случае слоистого расположения сред в диэлектрике //Численные методы в интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980. С.60-69.

29. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз. 1962.

30. Кеворкянц С.С. К постановке граничной задачи электродинамики слоистой анизотропной среды // Физика Земли. 1987. Т.8. С.62-67.

31. Кеворкянц С.С., Кухарев В.Ф. Об одном способе расчета полей погруженных дипольных источников в слоисто-анизотропных средах // Физика Земли. 1992. Т. 5. С.71-78.

32. Кеворкянц С.С. Интегральные уравнения электродинамики в задачах дифракции на ограниченном теле в слоисто-неоднородной анизотропной среде //Физика Земли. 1992. Т 8. С.59-71.

33. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

34. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974.

35. Кошляков Н.С. и др. Уравнения в частных производных математической физики. М., Высшая школа, 1970.

36. Краев А.П. Основы геоэлектрики. Д.: Недра, 1965.

37. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.

38. Крылов В.И., Шульгина JI.T. Справочная книга по численному интегрированию. М. : Наука. 1966.

39. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. М.-Л.: ГТГИ, 1950.

40. Мазалов В.Н., Смагин СМ. Электромагнитное поле точечного диполя в горизонтально-слоистой среде // Сообщения по прикладной математике: модели и уравнения. М.: ВЦ АН СССР, 1980. С.25-30.

41. Мазалов В.Н. Поле диполя в слоистой среде // Численные методы в алгебре и анализе. Владивосток: ДВО АН СССР, 1984. С.20-25.

42. Мазалов В.Н. Дифракция электромагнитных волн на трехмерном включении в слоистой среде// Интегральные уравнения и краевые задачи-теория и прикладные системы. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1990. С.72-82.

43. Мазалов В.Н. О вычислении одного класса интегралов, содержащих быстроосциллирующие функции // Всесоюзн. конф. "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики". Тез. докл. Новосибирск : 1990. С.94-95.

44. Мазалов В.Н., Смагин С.И. О численном решении задач дифракции электромагнитных волн на трехмерном включении методом потенциалов// Всесоюзн. конф."Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики." Владивосток: 1990 . С.8-9.

45. Мазалов В.Н., Смагин С.И. Численное решение трехмерной задачи дифракции электромагнитных волн на включении в слоистой среде. Препр. Владивосток: ДВО АН СССР,. 1991, С. 59.

46. Петровский А.Д., Попов А.А. Руководство по радиоволновым методам скважинной и шахтной геофизики. М.: Недра, 1977.

47. Петрухин Б.П. Программа решения прямой задачи электромагнитного зондирования. М.: МГУ, 1989, Деп. в ВИНИТИ 29.09.89, N 6071-В89.

48. Свешников А.Г. Принцип излучения // Докл. АН СССР. 1950. Т.73, N 5. С.917-920.

49. Слипченко А.А., Филатов В.А. Решение прямой задачи частотного зондирования для двуслойной среды //Геология и геофизика. 1987. N 5. С.130-133.

50. Смагин С.И. Решение трехмерной задачи дифракции электромагнитных волн методом потенциалов // Численные методы в интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск : ВЦ СО АН СССР, 1980. С.109-123.

51. Смагин С.И., Цецохо В.А. О численном решении интегральных уравнений с особенностями по замкнутым поверхностям // Препр. N 350. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982.

52. Смагин С.И. Об одном численном "алгоритме расчета полей в слоистых средах // Журнал вычислит, математики и математ. физики. 1986. Т.26, N 8. С.1234-1242.

53. Смагин С.И. Метод потенциалов в трехмерной задаче дифракции электромагнитных волн // Журнал вычислит, математики и математ. физики. 1989. Т. 29, N 1. С.1663-1673.

54. Соколов В.П., Таборовский Л.А. О вычислении электромагнитного поля при решении индуктивных задач с помощью деформации пути интегрирования в комплексную плоскость переменной интегрирования // Геология и геофизика, 3, 1973, С. 86-93.

55. Справочник по специальным функциям. Под ред. Абрамовиц и Стиган. М.: Наука, 1979.

56. Таборовский Л.А. Применение метода интегральных уравнений в геоэлектрике. М.: Наука, 1975.

57. Ткхонов А.Н., Шахсуваров Д.Н. Метод расчета электромагнитных полей, возбуждаемых переменным током в слоистых средах // Изв. АН СССР. Сер. геофиз., 1956. Т.20, N 3. С.245-251.

58. Ткхонов А.Н., Шахсуваров Д.Н. Электромагнитное поле диполя в дальней зоне // Известия АН СССР. Серия геофиз., 1959. Т.23, N 7. С.946-955.

59. Ткхонов А.Я. Об ассимптотическом поведении интегралов, содержащих Бесселя функции // Докл. АН СССР. 1959. Т.125, N 5. С.982-985.

60. Федорова Э.А. Фарзан Р.Х. Методы и алгоритмы численного исследования электромагнитных полей в слоистых средах // Математические модели в геофизике, Будапешт, 1980.

61. Фок В.А.,Бурсиан В.Р. Электромагнитное поле переменного тока в цепи с двумя заземлениями// Журнал Русского физико-химического общества. Т.58. Вып.2, 1926. С.355-363.

62. Цецохо В.А., Бепоносов А.С., Бепоносова А.В. Об одном методе г-гладкого приближения функций многих переменных // Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. Вып.6. С.298-309.

63. Anderson W.L. Numerical integration of related Hankel Transforms of Order 0 and 1 by Adaptive Digital Filtering // Geophysics. 1979. V.44. P.1287-1305.

64. Anderson W.L. A hybrid fast Hankel transform algorithm for electromagnetic modeling // Geophysics. 1989. V.54 P. 263-266.

65. Chave A.D. Numerical integration of Hankel transforms by qudrature and continued fraction expansion//Geophysics. 1983. V.48. P. 16711086.

66. Goldman M. Forward modelling for frequency domain marine electromagnetic system// Geophysical Procpecting. 1987. V.35. P. 10421064.

67. Hvozdara M. Solution of the Stationary Approximation for MT Fields in the Layered Earth with 3D and 2D Inhomomegenities // Jornal of Geophysics. 1984. V.55. P. 214-225.

68. Levin D. Divelopment of Non-Linear Transformation, for Inproving Couvergence of Seqnens Int //J. ComP. Math. 1973. V.3. N 4.

69. Levin D. Procedures for Computating One-and Two Dimensional Integrals of Fanctions With Rapid Integral Oscilations // Math, for Comput. 1982. V. 38. N 158., P. 531-538.

70. Longman I.M. Note a method for computing infinite integrals of oscillatory function // Proc. Cambrige Phylos. Soc. 1952. V. 52.

71. Muller CI. Grundproblem der Mathematiashen Tharie Electro- mag-netisher Schwingungen // Berlin: Springer-Verlag, 1957.

72. Norton K.A. Propagation of radio waves over plane earth // "Nature". 1935, P.954-955.

73. Sidi A. The Numerical Evaluation of Very Oscillatory Infinit Integrals by Extrapolation // Math, of Comput. 1982. V.38. N 158. P. 517529.

74. Slichter L.B. An electromagnetic interpretation problem in geophysics. 11 Geophysics. V.16. N 3. 1951.

75. Slichter L.B., Knopoff L. Field of an Alternating Magnetic Dipole on the Surface of a Layered Earth // Geophysics. V.24. N 4. 1959.

76. Kurt i.Sorensen , Niels B. Chistensen The fields from a finit electrical dipole -A new computansional approach // Geophysics. 1994. V. 59, N 6. P.864-880.

77. Walker P.W., West G.F. A robust integral equation solution for electromagnetic scattering by a thin plate in condactive media // Geophysics. 1991. V.56, N 8. P. 1140-1152.

78. Wannamaker P.E., Hohmann G.W., SanFilipo W.A. Electromagnetic Modeling of Three-Dimensional Bodies in Layered Earth Using Integral Equations // Geophysics. 1984. V.49. N 1. P.60-75.

79. Wannamaker P.E., Hohmann G.W., Ward S.H. Magnitotelluric Responses of three-dimensional bodies in Layered Earth // Geophysics.1984. V.49, N 11. P.1517-1533.