автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и численно-аналитические методы расчета устойчивости тонкостенных конструкций при продольном ударе

правах рукописи

Хамитов Tarup Камилевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

6 ИЮН 20)3

Казань-2013 j

005061134

Работа выполнена на кафедре теоретической механики федерального госуда ственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессиональног образования «Казанский государственный архитектурно-строительный универс

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, профессор Шигабутдинов Феликс Галлямович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Ахмадиев Файл Габдулбарович, заведующий кафедрой прикладной математики ФГБОУ ВПО «Казанский государственный архитектурно-строительный университет»

доктор физико-математических наук, профессор Сидоров Игорь Николаевич, заведующий кафедрой теоретической и прикладной механики ФГБОУ ВПО «Казанский национальный исследовательский технический университет»

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный технический университет»

Защита состоится «28» июня 2013 г. в 1400 часов на заседании диссертационного со вета Д 212.080.13 при Казанском национальном исследовательском технологиче ском университете по адресу. 420015, г. Казань, ул. К. Маркса, д.68, зал заседани Ученого совета (А - 330).

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный гербовой печатью, проси направлять по адресу: 420015, г. Казань, ул. К. Маркса, 68, Казанский национальны! исследовательский технологический университет, ученому секретарю диссертаци онного совета Д 212.080.13.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Казанског национального исследовательского технологического университета.

Автореферат разослан « » мая 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор технических наук, профессор

Клинов

-Александр Вячеславович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Обеспечение устойчивости конструкций, состоящих из тонкостенных элементов типа стержней, пластин и оболочек, является важным этапом расчета при проектировании сооружений, машин или оборудования. В настоящее время в теории устойчивости упругих систем под действием статических нагрузок имеются хорошо разработанные методы расчета и исследованы многие задачи. Задачи динамической устойчивости конструкций при ударных нагрузках, которые испытывают машина или сооружение в процессе эксплуатации или при возникновении «нештатной» ситуации разработаны в меньшей степени. Характер потери устойчивости при динамических и ударных нагрузках существенно отличаются от статической, появляются более высокие формы, конструкции могут выдержать нагрузки, в несколько раз превышающие их статическую критическую нагрузку.

Несмотря на относительно большое количество работ в этой области, проблема далека от завершения. Имеющиеся в литературе результаты относятся лишь к случаям мгновенного приложения продольной нагрузки. Недостаточно исследовано влияние граничных условий при потере устойчивости на малых временах (при «больших» ударных силах), не рассмотрены в литературе и нет в справочниках результатов по потере устойчивости стержней и цилиндрических оболочек при часто встречающихся способах закрепления. Много проблем остается в задачах потери устойчивости при ударе с учетом упругопластических деформаций. Поэтому существующие математические модели требуют дальнейшего дополнения и уточнения. Отсюда вытекает актуальность разработки новых подходов к моделированию самого явления и адаптации математических методов в данном классе задач.

Целью работы является математическое моделирование и разработка комбинированных численно-аналитических методов для решения задач потери устойчивости тонкостенных элементов конструкций при продольном ударе с учетом неоднородности напряженного состояния по длине элементов, вызванного волновыми процессами распространения деформаций. Для достижения этой цели решены следующие задачи:

1. Построены новые математические модели в задачах о потере устойчивости упругих и упругопластических тонкостенных конструкций в виде стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе.

2. Разработаны численно-аналитические методы решения систем дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка с переменными коэффициентами и переменной границей области определения решений, описывающих потерю устойчивости стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе.

3. Разработанные численно-аналитические методы реализованы в виде комплекса программ.

4. На основе комплекса программ проведено математическое моделирование потери устойчивости стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе с применением уточненных моделей нагружения при упругих и упругопластических деформациях.

з

Научная новизна работы.

1. Математические модели потери устойчивости упругих и упругопластических стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе обобщены на случаи, учитывающие неоднородность напряженного состояния, вызванную конечностью скорости распространения упругих и упруго-пластических волн.

2. Разработаны численно-аналитические методы решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами и решены новые задачи о потере устойчивости стержней и цилиндрических оболочек переменной длины при продольном ударе.

3. Разработана методика определения критических параметров (нагрузки, длины или времени) явления потери устойчивости для различных законов нагружения и граничных условий стержня и оболочки при первом прохождении продольной волны вдоль указанных элементов.

Практическая значимость. Результаты диссертационной работы используются на ЗАО «Казанский Гипронииавиапром» и ООО «ПРИС Меткой» при проектировании стальных конструкций на действие динамических нагрузок. На основе предложенных в работе методик и алгоритмов, разработан комплекс программ. Также полученные результаты могут быть использованы при проектировании конструкций в строительстве, машиностроении, в авиационной и горнодобывающей промышленности, подвергаемых ударным нагрузкам, для обеспечения работоспособности конструкций в «нештатных» ситуациях, в биомеханике для разработки методик безопасной деятельности человека при ударных воздействиях.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы: метод характеристик для решения волновых уравнений, метод разложения функций в ряды Фурье, метод Бубнова-Галеркина, методы решения линейных алгебраических уравнений бесконечного порядка, метод Гаусса для вычисления определителей.

Достоверность результатов исследования обеспечивается использованием при моделировании фундаментальных положений механики деформируемого твердого тела; применением известных математических методов; математическим обоснованием сходимости примененных методов; численными экспериментами на сходимость решений; хорошим качественным и количественным согласованием с теоретическими и экспериментальными результатами, имеющимися в литературе.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на ежегодных республиканских научно-технических конференциях КГАСУ (Казань, 2003 - 2012гг.); на городском семинаре кафедр теоретической механики г. Казани (2010г. и 2012г.); на УП - X Крымских Международных математических школах «Метод функций Ляпунова и его приложения» (Крым, Алушта, 2004, 2006, 2008, 2010гг.); на Шестой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2007» (Казань, 2007); на Международном семинаре, посвященного памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. A.B. Саченкова (Казань, 2008); на Всероссийском семинаре, посвященного столетию проф. М.Ш. Аминова (Казань, 2008); на Всероссийском семинаре, посвященного столетию проф. П.А. Кузьмина (Казань, 2008), на X Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление» (Казань, 2012г).

4

Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 работ, из них 13 статей, 3 тезиса докладов, 4 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. В том числе, 3 статьи опубликованы в изданиях из перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 167 страниц, из них 148 страницы основного текста, включая 25 таблиц и 50 рисунков. Список литературы насчитывает 100 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, описаны цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость результатов, сведения об апробации результатов работы и структуре диссертации.

В первой главе представлен анализ работ, посвященных вопросам моделирования и математическим методам исследования процессов устойчивости упругих и упругопластических стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе. Отмечается, что большой вклад в решении этой проблемы внесли: Агамиров В.Л., Баженов В.Г., Болотин В.В., Борисенко В.И., Вольмир A.C., Гордиенко Б.А., Дарев-ский В.М., Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю., Малый В.И., Малышев Б.М., Мов-сисян Л.А., Кийко И.А., Коноплев Ю.Г., Корнев В.М., Саченков A.B., Терегулов И.Г., Фельдштейн В.А., Шигабутдинов Ф.Г., Abrahamson G.R., Сорра А.P., Grybos R., Goodier J.N., Herbert R.E., Huffington N., Klosner J.M., Lindberg H.E., Roth R.S., Sevin E., Smitt A.F. и др. В главе сформулированы цель и задачи исследования.

Во второй главе рассмотрены задачи о потере устойчивости упругих стержней при продольном ударе. В §2.1 дается постановка задачи. Считается, что однородный прямолинейный стержень испытывает продольный удар силой P(t), возрастающей по заданному закону. За фронтом продольной волны образуется сжатый участок, переменной длины. Перед фронтом продольной волны участок с нулевым уровнем напряжений. В зависимости от функций, определяющих законы нагружения ударяемого торца, законы распределения продольных нормальных напряжений за фронтом продольной волны могут иметь любой вид. Продольно-поперечные движения стержня описываются системой уравнений:

д_ дх

du 1 (5w дх 2 [а*

1 8-и ^ 1 8

' ai d2t ~ 2 дх

ди'р дх

О)

Эл-4 к2С дх2дг к й д! дх{К'дх) И дг дхА

Здесь и'(л:,г) - продольное перемещение и прогиб сечения стержня; Р(х) -

функция распределения продольных усилий по длине стержня; J, Р - минимальный момент инерции и площадь поперечного сечения стержня соответственно; р,Е,С,к - плотность, модуль упругости, модуль и коэффициент сдвига материала стержня соответственно; и'0(.т,о) - начальная погибь стержня; а0- скорость продольной волны в стержне (скорость звука в материале).

Для определения критической нагрузки рассматриваются начальные стадии поперечного движения. В работе показано, что влияние второго и третьего слагаемых в (2), учитывающих поперечный сдвиг и инерцию вращения, при использовании первого критерия, не наблюдается. Это позволяет упростить систему уравнений (1), (2) и при решении применить метод раздельного интегрирования. При этом процесс движения разбивается на два этапа - на первом этапе происходит волнообразное накопление деформаций в стержне, а на втором - потеря устойчивости.

В §§2.2, 2.3 решаются задачи о потере устойчивости полубесконечных упругих стержней при приложении ударной силы, изменяющейся по двум законам: сила возрастает по закону треугольника (рис. 1а) и сила, мгновенно достигнув своего максимального значения, убывает по закону треугольника (рис.1б).

Рис.1. Законы изменения нагрузки на ударяемом торце стержня

Рис.2. Эпюры продольных сил по длине возмущенного участка стержня

Граничные условия для уравнения (2) на торце, воспринимающем удар (при х = 0), варьируются, а на фронте продольной волны ставятся во всех случаях условия жесткого закрепления. Функции, описывающие законы распределения продольной силы по длине стержня, показаны на рис.2 (функция (3) соответствует рис.2а, функция (4) соответствует рис.2б):

Р(х)=Р0(1-х//), (3) Р(х) = Р0(х/1) . (4)

Методика решения и применения критериев потери устойчивости показывается на следующем примере. В момент времени ( = 0 по стержню наносится удар силой, изменяющейся по законам (3) или (4) до потери устойчивости стержня. По стержню распространяется продольная волна сжатия. За фронтом продольной волны образуется сжатый участок, переменной длины. Перед фронтом волны невозмущенный полубесконечный участок. Пусть граничные условия на торце, воспринимающем удар {х = 0), и на фронте продольной волны (х = / ) имеют вид:

х = 0: № = 0, и£д=0, х = 1: и' = 0, Ч=°- (5)

Функция прогиба, удовлетворяющая граничным условиям, принимается в виде:

1

^ /

/

(6)

где дк - спектр корней уравнения tgq = q (д1 <цг <..., =4,4934).

Для решения уравнения (2) применяется метод Бубнова-Галеркина, при этом ограничимся одним членом ряда (6). После применения процедуры метода Бубнова-Галеркина для ш получим выражение:

„2 -4

(7)

Величина со определяет темп нарастания амплитуды прогибов. Она может быть положительна, отрицательна и равна нулю. Как известно, одним из критериев потери статической устойчивости по Эйлеру является условие а> = 0, которое в дальней-

6

шем называется первым динамическим критерием. М.А. Лаврентьевым и А.Ю. Иш-линским было показано, что при ударах силами, превышающими эйлеровые критические силы, стержень изгибается по высшим формам и наиболее быстро меняются те формы, которые обладают наибольшим темпом возрастания амплитуды. Исходя из этого, формулируется второй динамический критерий устойчивости: под критической длиной потери устойчивости полубесконечного стержня или оболочки понимается наименьшая длина, на которую должна после удара продвинуться продольная волна сжатия, чтобы появилось поперечное движение (поперечная волна) с наибольшим темпом возрастания амплитуды.

Применение второго динамического критерия и последующее нахождение критических параметров связано с отысканием экстремума функции <г> (77), где /7 = д2//2. Применяя первый и второй динамические критерии, для длин потери устойчивости будем соответственно иметь:

= (8) 11т1=2Юд2<р/(Рй¥) (9)

Сравнивая (8) и (9) видно 16и„ = ^21ст, что качественно согласуется с имеющимися в литературе результатами.

Изложенная методика решения применялась при четырех вариантах граничных условий на ударяемом торце стержня. Некоторые результаты решения представлены в табл.1.

Таблица 1

Значение коэффициента у в формуле (10), полученное по первому критерию

Схема нагружения Вид закрепления стержня на ударяемом торце V Значение V из справочника Расхождение, %

1 Р* г® ТГПТтттг^ , Шарнирное опира-ние 0,565 0,576 1,8%

2 ко -^-ттТТТПГГГ , 0,411 0,433 5,1%

3 '/ЩТТГтгтт^ , т 1 а' Подвижная в продольном направлении заделка 0,353 0,364 2,88%

4 Р(0^ГГГТГТ\ЩР", Т ' I

5 р. Р(т) ТПТт-т-^й , ' \ Свободный конец 1,676 1,685 0,53%

6 Р(1\ ^г-ггГГПТТ| °, 1,09 1Д2 2,62%

В литературе отсутствуют работы, с которыми можно было бы провести непосредственное сравнение динамических критических длин. Однако, критические

7

длины (8), полученные по первому критерию, пользуясь математической аналогией между дифференциальными уравнениями, можно сравнить с имеющимися в справочниках данными о статической потере устойчивости стержней, сжатых собственным весом, для которых приводится формула:

Р0 = я2Е7/{у1,.тУ. (10)

В третьем столбце табл. 1 приведены значения коэффициента V, полученные в данной работе. В четвертом столбце приведены значения V из справочника под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко (1968г). В пятом столбце приведены расхождения сравниваемых результатов в процентах.

В §§2.4 - 2.6 приводятся результаты решения задач о потере устойчивости упругих стержней конечной длины, к одному из торцов которых прикладывается продольная ударная сила, зависящая от времени по одному из трех законов нагружения: мгновенно возрастающая сила до некоторого значения; сила, возрастающая по линейному закону до потери устойчивости; сила, возрастающая по линейному закону до некоторого значения и остающаяся постоянной. Всюду предполагается, что потеря устойчивости происходит при первом прохождении волны сжатия вдоль стержня.

Эпюры продольных сжимающих сил за фронтом продольной волны, соответствующие виду приложенной ударной силы, показаны на рис.3. Для удобства обсуждения законы изменения продольных сил назовем соответственно нагружениями по «прямоугольному», по «треугольному» и «трапециевидному» законам.

Здесь: / - длина стержня, ¿(/), ^(0, ¿ъС)- полная длина загруженной части стержня, длина участка, где сжимающая сила постоянна и длина участка, где сжимающая сила изменяется по линейному закону соответственно.

Уравнение (2) решалось двумя методами: методом Фурье и методом Бубнова-Галеркина. Ниже на примере шарнирно опертого стержня показана методика определения критической силы методом Бубнова-Галеркина.

а)

б)

О ъ 1

Шх

Рис.3. Эпюры продольных сжимающих сил вдоль стержня при различных нагружениях торца: а) по «прямоугольному» закону; б) по «треугольному» закону; в) по «трапециевидному» закону

Закон изменения силы по длине стержня, полученный из (1), должен быть представлен аналитически. Решения уравнения (1) представляются следующими рядами Фурье.

1) Нагружение по закону «прямоугольника» (рис.За).

, ч (Р, 0<х<Ь ,, 1Ч

Р(х)=£а;5т(Л,■*) = •{„ , . (И)

0, Ь<х<1

Л;= —, (/ = 1,2,3...), [1-со5(^/)],

/ л I

2) Нагружение по закону «треугольника» (рис.36).

ц = Ы1.

(12)

= М1 Ъ

'•=| [ О,

2 Р

0<х <Ъ Ь<х<1

Л=-7-> (! = 1,2,3...), = 70], г, = Ь/1. (14)

' Л'1'Г\

3) Нагружение по закону «трапеции» (рис.Зв).

Л 0 < л- < 6,

6] <х<Ъ

О,

х>Ъ

V

= ^, (/ = 1,2,3...), О,. = [я, ¿2 + НП^-б, ) - 51"п(Л,б)].

I !л[Ь-,

(15)

(16)

Стандартная процедура метода Бубнова-Галеркина приводит к бесконечной системе алгебраических уравнений вида

/

дх4 дх

Р(хЩ + рГ ^ | (х)Ох = 0, (А- = 1,2,3,...). (17)

Для шарнирно опертого стержня граничные условия имеют вид:

х = 0: и' = 0, и-^ = 0; х = 1: и = 0, и"х = 0. Функция прогиба представлялась в виде ряда:

и>(лг,

х,» = еш^/квтакх), (к =1,2,3...)

г—1 '

(18)

к=\

Подставляя ряд (18) и любой из рядов (11), (13) или (15) в систему уравнений (17), после вычисления интегралов получим бесконечную систему однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов fk:

Л«А + Е + ='= ,'2'3-)> (19)

7=* + 1 у=1

где £

2 * 1=1,3,5 КГ-4А-)

^ ,-=1,2,з J + * +' _2(' J +J к +1 к )

Условие существования нетривиального решения однородной бесконечной системы алгебраических уравнений (19) приводит к условию равенства нулю бесконечного определителя:

<НЫ1=0> (21)

где скк = Пк при к = / и ск] = сд при к ф ).

Определитель (21) связывает между собой механические характеристики материала стержня, его геометрию, длину возмущенного участка, полную длину и параметр т. Для определения критической нагрузки воспользуемся первым критерием (ш = 0), который в этой задаче впервые был использован Л.А. Мовсисяном. Критическая нагрузка находится из определителя конечного порядка методом половинного деления. Аналитически доказывается сходимость определителя (21).

При вычислении во всех случаях проводились численные эксперименты с рядами различной длины (в зависимости от граничных условий до 100 членов ряда). В качестве примера в табл.2 приведены результаты вычислений критических сил для шарнирно опертого стержня при «прямоугольном» нагружении в зависимости от порядка определителя п, когда удерживалось до 20 членов ряда (18).

Таблица 2

Значения Р/Р3{п при различных порядках определителя для шарнирно опертого стержня

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1 5,167 2,845 2,215 2,026 2 1,975 1,822 1,541 1,24 1

2 4,212 2,434 2,002 1,898 1,894 1,835 1,668 1,449 1,219 1

3 3,939 2,359 1,986 1,898 1,892 1,834 1,665 1,438 1,214 1

10 3,746 2,343 1,984 1,897 1,891 1,831 1,662 1,421 1,21 1

20 3,743 2,343 1,984 1,897 1,891 1,831 1,662 1,421 1,21 1

а)

б)

PC) ^

ч

\

ч - - __

" —

Р/Р„„

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 06 0.7

т f

\ \ \ л

N ч ^

—

0.1 02 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Рис.4. Графики зависимостей «критическая сила - возмущенная длина» для некоторых вариантов закреплений стержня. Сплошная линия соответствует «прямоугольному закону» на-гружения, пунктирная — «треугольному закону»

Результаты, полученные для шарнирно опертого стержня при мгновенном приложении нагрузки, сравнивались с результатами JI.A. Мовсисяна. Получено полное совпадение. Всего было рассмотрено восемь вариантов граничных условий на торцах стержня. Некоторые результаты вычислений представлены на рис.4. Здесь: Р -динамическая критическая сила, РЭ1П - статическая критическая (эйлерова) сила для стержня; ri = bjl - отношение длины сжатого участка к полной длине стержня.

В третьей главе рассматривается осесимметричное выпучивание упругих цилиндрических оболочек. В §3.1 этой главы приводится постановка задачи. Относительно вида нагружения, методов решения, критериев потери устойчивости сохраняются предпосылки второй главы. Экспериментальные работы Гордиенко Б.А., Вольмира A.C., Кийко И.А., Коппа А.Р., Линдберга Г.Е. и Герберта P.E. по потере устойчивости цилиндрических оболочек показывают, что начальные стадии движения являются осесимметричными. Преимущественное развитие прогибов наблюдается у торцов оболочки. При этом различные авторы в качестве критических параметров выпучивания цилиндрической оболочки от продольного удара принимают различные характерйстики явления - критические напряжения, время, скорость уда-

Ю

ра, длину полуволны выпучивания. В данном исследовании требуется определить наименьшую величину продольного усилия, которую нужно приложить на торце оболочки, чтобы она потеряла устойчивость по первому или второму критериям. Исходя из сказанного выше, система уравнений продольно-поперечных движений пологих цилиндрических оболочек принимает вид:

Eh 8 (du иЛ , д'и .

+ + + 0. (23)

дх\ дх) R- дг

Все обозначения в уравнениях (22) и (23) общепринятые: u(x,t), и{л-,/) - продольное и поперечное перемещения сечений оболочки; Е,р - модуль упругости и плотность материала оболочки; R,h,p- радиус, толщина оболочки и коэффициент Пуассона; Р(х) - продольное погонное усилие в срединной поверхности оболочки. Дифференциальный оператор Ци, и) содержит нелинейные слагаемые и слагаемые, которые в совокупности учитывают сдвиг и инерцию вращения. При сделанных допущениях о начальной стадии поперечных движений этот оператор можно опустить. Тогда уравнения (22), (23) могут быть заменены уравнениями:

д2и 2 д2и ..

-у-а -гз = 0, (24)

dt дх

ЕИг a4w д(п, чЭиЛ Eh , d2w п ,-сч

—1-^—г + ^г Я*)— + ~Tw + hP—г = °> (25)

Щ-м2)ах* дх{к'дх) R2 И дг

где a2 =£/p(l-/i2)r1 — квадрат скорости распространения продольной волны (скорость звука) в оболочке;

Решение уравнения (24) известно. Критические силы определяются при первом пробеге продольной волны вдоль оболочки.

В §3.2 уравнение (25) для полубесконечной оболочки решалось при нулевых начальных условиях. На ударяемом торце оболочки рассматривались различные граничные условия, а на фронте продольной волны задавались условия жесткого защемления. Рассмотрено нагружения по «прямоугольному» и «треугольному» законам. Критические длины полуволн, вычисленные по второму критерию, представлены в табл.3. В первой колонке таблицы, показаны рассмотренные граничные условия. Для сравнения с имеющимися в литературе результатами была решена модельная задача о потере устойчивости цилиндрической оболочки при нагружении по «прямоугольному» закону, когда на фронте продольной волны ставились условия шарнирного закрепления. Была найдена критическая длина полуволны потери устойчивости оболочки с использованием второго критерия. Результаты решения для этого случая совпали с точным решением В.И. Малого (первая строка табл. 3).

В §3.3 и §3.4 для оболочек конечной длины критические нагрузки находились по первому критерию. Решения уравнения (25) представлены двумя методами для восьми вариантов закреплений торцов. Для вычислений принимались стальные оболочки. Рассматривались два типа нагружения оболочки на торце: по законам «прямоугольника» и «треугольника». Как и ранее доказывалось нормальность полученных бесконечных определителей, сходимость методов контролировалась и в ходе

вычислений. Вычислялись определители до 500 порядка. Относительная погрешность вычислений задавалась величиной е = Ю-6.

Таблица 3

Критические длины цилиндрических оболочек £,,„„, вычисленные по второму критерию

Вия закрепления оболочки на ударяемом торце Функция прогиба w(jr,f) Нагруженне по закону «прямоугольника» Нагруженне по закону «треугольника»

1 Р(0 Шарнирно опертая оболочка Ля'п(х)' (¿ = 1,2,3...) л Л I Е Л-Л ГЁ~

Hh l ih д/б(1- fi2)\<xö„„

2 р"> t Подвижное шарнирное опирание , Г . дкх х . 1 /Tm"isnH =Ч\ =4,4934 1,43л- h ПГ 2,56л- h ПГ"

4- L !

3 PO) ^ , Подвижная в продольном направлении заделка (к = 2,4,6...) 2л- h 1 £ 2 п Л I Е

T_±_! ^6(1-fj2) фо-fj1) V"-*»

В качестве тестовой задачи была выбрана классическая задача о потере устойчивости идеальной цилиндрической сжатой продольной силой. Для мгновенного ударного нагружения цилиндрической оболочки вычисления показали, что при «больших временах», когда продольная волна пробегает расстояние в несколько длин полуволн статической задачи (от 2 до 7 в зависимости от жесткости оболочки), критическое усилие с точностью до 1% совпадает с классическим значением и не зависит ни от длины оболочки, ни от способов ее закрепления. Это объясняется тем, что сжатая часть оболочки как бы оказывается в условиях статического нагружения. При этом с увеличением длины сжатой части оболочки, даже это расхождение стремится к нулю. Чем больше сжатая часть оболочки, тем легче ей изогнуться. Граничные условия на торце, воспринимающем удар, существенно влияют на критические усилия при «малых временах» потери устойчивости, то есть когда потеря устойчивости оболочки происходит на длинах, соизмеримых с длиной полуволны потери устойчивости Л, статической задачи. Например, при Ъ= 0,366/д.=2,4CM=20h (рис.За) критическое ударное усилие на 80,5% превышает статическое критическое усилие. Использованный метод определения критических усилий позволяет рассматривать потерю устойчивости и с учетом отраженной волны. При этом влияние граничных условий на не ударяемом конце тоже может быть выявлено. Результаты вычислений для двух законов ударного нагружения оболочки приведены в табличной форме.

В четвертой главе представлены результаты решения задач о потере устойчивости упруго-пластических стержней и цилиндрических оболочек.

В §4.1 и §4.2 решены задачи о потере устойчивости упругопластических полубесконечных стержней при продольном ударе с учетом конечности скорости распространения продольной волны. Реальная диаграмма сжатия материала стержня моделируется схемой с линейным упрочнением. Применяется теория малых упруго-пластических деформаций A.A. Ильюшина. Система физически и геометрически

линеаризованных уравнений продольно-поперечных движений стержня с переменными коэффициентами в общем случае имеет вид:

Здесь а - скорость распространения продольных волн, а2 = (с1а >с!с)1 р. Для участка стержня, где напряжения превышают предел текучести аЁ - Т - модуль Кармана. На участках, где напряжения не превышают «т,, Ё = Е. Граничные условия для уравнения (26) имеют вид:

Для мгновенно приложенной сжимающей силы решение уравнения (26) показано на рис.5 (монография Х.А.Рахматуллина и Ю. А .Демьянова). В начальный момент времени (рис.5) от ударяемого торца одновременно начинают распространяться две волны с разными скоростями аа и о,: упругая волна со скоростью а0 = л/£7 р и с напряжением за фронтом волны, равным пределу текучести материала , и пластическая волна со скоростью а, = Л/Ек / р и напряжением ат на фронте волны. Здесь Е, Ек - модуль упругости и модуль упрочнения материала соответственно. Перед фронтом продольной волны невозмущенный (недеформированный) участок стержня с нулевым уровнем напряжений. В случае линейного возрастания напряжения (рис.6) на ударяемом торце решение для сжимающих напряжений получено методом характеристик и показано на рис.7. Видно, что учет пластических деформаций ведет к резкому усилению неоднородности напряженного состояния по длине стержня даже при сравнении с упругой задачей удара. В начальный момент времени от ударяемого торца стержня начинают распространяться упругие волны с разными уровнями напряжения. В момент времени г = г, одновременно начинают движение две волны с разными скоростями а0 и я,. По длине стержня образуется участок переменной длины с постоянным уровнем напряжений <г1. При напряжениях на торце стержня, сколь угодно мало превосходящих напряжение ст5, по стержню распространяются и пластические волны. Их скорость - я,. При t = т2 начинают распространяться продольные волны с максимальным напряжением сг(г2 ) = <?,„■ Стержень разбивается на пять участков переменной длины с различным уровнем напряжений (один участок перед фронтом продольной волны). Если устремить г, и т2 к нулю (мгновенное ударное приложение силы), то приходим к картине напряжений, показанной на рис.5. Задачи решались для двух видов ударного нагружения - мгновенного приложения нагрузки (решение уравнения (26) продольных движений дано на рис.5) и нагрузки, возрастающей по линейному закону (решение уравнения продольных движений (26) дано на рис.6). Уравнение (27) решалось двумя методами: методом разложения известных и искомых функций в ряды Фурье и методом Буб-нова-Галеркина.

(27)

(26)

1 = 0: и = ди/д1 = 0, ст(0,0 = о-,„, о-т>ст,,

при при

Рис.5. Напряженное состояние стержня при мгновенном приложении напряжения на ударяемом торце

Рис.6. Линейный закон изменения напряжения в зависимости от времени на ударяемом торце стержня

В качестве примера проведены расчеты для стальных полубесконечных стержней прямоугольного сечения со следующими характеристиками:

£ = 2,1 ■ Ю6 кг / см2, <7; =2400кг/см2, Т = 4ЕЕк ¡{41 + .

Некоторые результаты вычислений представлены на рис.8, для мгновенного приложения нагрузки на торце стержня. На рисунке по оси абсцисс отложены величины максимальных напряжений сгт на ударяемом торце, а по оси координат дк (%) - отношение вычисленных ударных критических длин с учетом неоднородности напряженного

состояния к критическим длинам, вычисленным по формуле Кармана для статической задачи. В статике участка с напряжениями а5 нет. Знаками «ш» и «с» обозначены кривые, относящиеся соответственно к шарнирному закреплению и свободному ударяемому концу стержня. Знаком «з-1» обозначена кривая для подвижной в продольном направлении заделки. Знаком «з-2» - для подвижной в продольном и поперечном направлениях заделки. Вычисления проводились для достаточно широкого диапазона напряжений СГ„, и касательного модуля Ек. Из рисунка видно, что учет неоднородности напряженного состояния по длине сжатой части стержня существенно сказывается на критических длинах (напряжениях). Превышение динамических критических длин достигает 30%. При стремлении Ек -> Е были получены критические гибкости для бесконечно упругого стержня. Другими словами, с увеличением касательного модуля влияние участка с напряжением уменьшается. Наоборот, с уменьшением Ек влияние неоднородности становиться все более заметным. Объясняется это тем, что с уменьшением Ек уменьшается скорость пластической продольной волны и тем самым уменьшается доля первой зоны с напряжением сг„, в общей длине возмущенного участка стержня.

Рис. 7. Напряженное состояние стержня при линейном возрастании напряжения на ударяемом торце

Рис.8. Зависимость «критическое напря- Рис.9. Зависимость критических длин от ско-

жение - безразмерная длина» для полу- роста возрастания напряжения бесконечных стержней при мгновенном приложении напряжения

На рис.9 представлены некоторые результаты для задачи о потере устойчивости упругопластического стержня при нагружении ударной линейно возрастающей нагрузкой (граничные условия вида «з-2») для четырех значений сжимающих напряжений на торце. Графики иллюстрируют различия между моделью мгновенного на-гружения и нагружения по линейному закону. Здесь г; = /3 /I- отношение длины /3 = а0 ■ г,, которую пробегает продольная волна за время возрастания нагрузки до предела текучести материала, к полной длине возмущенной части стержня / = а0-т„ при потере устойчивости для заданного на ударяемом торце напряжения (рис.6, 7). Параметр дк=1* /1*р, где Г - безразмерная критическая длина потери устойчивости, вычисленная для линейного ударного возрастания нагрузки (график на рис.7), Гкр критическая длина потери устойчивости для мгновенного возрастания ударной нагрузки (график на рис.5), вычисленные при одних и тех же максимальных напряжениях на торце. Вычисления показаны для двух значений касательного модуля Ек.

Графики, приведенные на рис.9, показывают, что при моделировании движения стержня в предположение о мгновенном приложении нагрузки может приводить к ошибкам до 30-40%. При этом актуальность более точного учета неоднородности наряженного состояния по длине возрастет с увеличением скорости удара и касательного модуля.

В §4.3 рассматриваются потеря устойчивости стержней конечной длины / при мгновенном возрастании напряжения. Как и во второй главе, для различных вариантов закреплений стержня получены критические напряжения в зависимости от длины распространения продольной волны сжатия. В качестве примера взят шарнирно опертый стержень из дюралюминия Д16Т с характеристиками Е = 7,5 ■ 105я-г/слг, ст., =2000 кг/ал2. На рис.10 представлены кривые зависимости критических напряжений ст„, от параметра г] = Ь/1 - отношение длины сжатого участка стержня к полной его длине при некоторых значениях гибкости /*. Значение ц = 1 соответствует случаю, когда продольная волна дошла до неударяемого конца стержня. Из рисунков видно влияние механических характеристик материала и длины сжатой части стержня.

0.4 0.5 06 0.7 0.6 0.9 1 0.5 0 6 0.7 0 8 0.9 1

Рис. 10. Зависимость «критическая напряжение - возмущенная длина» для шарнирно опертого

стержня

В §4.4 приводится вывод системы уравнений продольно-поперечных движений упруго-пластической цилиндрической оболочки. Немногочисленные эксперименты по потере устойчивости цилиндрических оболочек за пределом упругости показывают, что потеря устойчивости происходит с образованием одной осесимметричной полуволны у одного из торцов оболочки. Как и ранее предполагается, что процесс продольно-поперечных движений можно представить в виде двух движений: на первом этапе происходит накопление продольных деформаций сжатия, на втором — потеря устойчивости по формам, наблюдаемым в экспериментах. Свойства материала описываются схемами с линейным упрочнением. При сделанных предположениях, между уравнениями продольных движений стержня и цилиндрической оболочки наблюдается математическая аналогия. Динамические уравнения поперечных движений оболочки получены с учетом результатов, приведенных в монографии В.И.Королева, где автор рассматривал задачи статической устойчивости упругопла-стических оболочек. Уравнение возмущенного движения оболочки имеет вид:

эД 2 - S.v2 ) ех\\2R ' )8х) 4Л2 dt2

Параметры 5,, В2, D-,, D} характеризуют жесткость оболочки при изгибе и из-за их громоздкости здесь не приводятся.

В §4.5 приводятся результаты решения задачи о потере устойчивости полубесконечных цилиндрических оболочек подвергнутых удару силой, мгновенно возрастающей до своего максимального значения. Рассмотрены следующие способы закреплений оболочки на торцах: «шарнир - шарнир»; «шарнир — жесткая заделка»; «свободный конец - жесткая заделка» и получены критические длины в зависимости от приложенного на торце напряжения. Уравнение (29) решалось двумя методами: методом разложения известных и искомых функций в ряды Фурье и методом Бубнова-Галеркина. Результаты вычислений приводятся в виде таблиц и графиков. В качестве примера взята оболочка из дюралюминия Д16Т с данными Е = 1,5 ЛС?кгIсм2, <ts=2000кг/см2, R = 5см . Приведенные графики (рис.] 1-12) показывают, что критические длины потери устойчивости 1Х существенно зависят от касательного модуля и граничных условий на ударяемом торце оболочки.

Критические длины для шарнирно опертого на ударяемом торце оболочик сравнивались с известными результатами работ И.Г. Терегулова и Ф.Г. Шигабутди-нова. Расхождение не превышало 5%.

Л/Л = 100

2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 3600

Рис. 11. Зависимость критических длин от напряжений для шарнирно опертой оболочки

Л/А =200

0.6

0.5 0.4 0.3 0.2

2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 3600 С"

Рис.12. Зависимость критических длин от напряжений для оболочки, у которой левый край шарнирно оперт, правый край жестко заделан

Основные результаты и выводы

1. Построены новые математические модели потери устойчивости упругих и упругопластических стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе. В разработанных моделях учитывается широкий спектр факторов, влияющих на потерю устойчивости при продольном ударе: упругое и неупругое поведение материалов, влияние неоднородности напряженного состояния по длине элементов, вызванной конечностью скорости распространения продольной волны деформаций и начальными условиями, учитываются различные граничные условия и различные законы продольного нагружения на торцах стержней и оболочек.

2. Разработаны численно-аналитические методы решения систем дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка с переменными коэффициентами и переменной областью определения решений.

3. На основе предложенных в работе алгоритмов, разработан комплекс программ.

4. Показана необходимость учета конечности скорости распространения продольной волны, начальных условий (законов нагружения) и граничных условий при определении критических нагрузок. При разных законах нагружения критические нагрузки могут различаться в несколько раз.

5. Проведено численное моделирование на ЭВМ и определены критические длины или нагрузки потери устойчивости в новых задачах: а) о потере устойчивости упругих стержней, сжатых «прямоугольной», «треугольной» и «трапециевидной» нагрузками; б) о потере устойчивости упругих цилиндрических оболочек, сжатых «прямоугольной», «треугольной» нагрузками при больших временах (когда продольная волна успевает до снятия нагрузки у торца пробежать длину, превосходящую несколько длин полуволн потери устойчивости); в) о потере устойчивости упругих цилиндрических оболочек, сжатых «прямоугольной» и «треугольной» нагрузками при малых временах (когда продольная волна до снятия нагрузки у торца успевает пробежать длину, сопоставимую с длиной полуволн потери устойчивости);

г) о потере устойчивости упругопластического стержня, сжатого «прямоугольной» и «трапециевидной» нагрузками; д) о потере устойчивости полубесконечной упруго-пластической цилиндрической оболочки, сжатой «прямоугольной» нагрузкой.

6. Методы решения и программы используются в проектных организациях на ЗАО «Казанский Гипронииавиапром» и ООО «ПРИС Меткой» при проектировании несущих систем из стальных конструкций на действие динамических нагрузок (подтверждены справками внедрения).

Основные положения диссертации изложены в следующих работах В изданиях, рекомендованных ВАК

1. Хамитов Т.К., Шигабутдинов Ф.Г. Потеря устойчивости упругих стержней при продольном ударе силой, изменяющейся по линейному закону, при различных способах закрепления.// Вестник Иркутского государственного технического университета. Иркутск, 2009, №1, с. 200-205.

2. Шигабутдинов Ф.Г., Хамитов Т.К. Определение критических усилий потери устойчивости упругих цилиндрических оболочек при продольном сжатии силами ударного типа // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2011, №2, с.85-92.

3. Хамитов Т.К., Шигабутдинов Ф.Г. К вопросу о потере устойчивости упругих цилиндрических оболочек при продольном сжатии усилием ударного типа.// Вестник Иркутского государственного технического университета. Иркутск, 2010, №3 (43), с. 70-76.

В других изданиях

4. Хамитов Т.К. Потеря устойчивости упругих стержней при продольном ударе с учетом конечности скорости распространения продольной волны.// Материалы 55-й республиканской научной конференции. Сборник научных трудов аспирантов. Казань: КГАСА, 2003г. - с.50-55.

5. Хамитов Т.К. Потеря устойчивости полубесконечных стержней при ударном приложении импульса различной формы.// Материалы 56-й республиканской научной конференции. Сборник научных трудов докторантов и аспирантов. Казань: КГАСА, 2004г. - с.30-35.

6. Хамитов Т.К., Шигабутдинов Ф.Г. Об устойчивости стержней при продольном ударе.// Материалы Шестой молодежной научной школы-конференции. - Казань: Изд-во Казанского математического общества, Изд-во Казанского государственного университета, 2007, с. 234-236.

7. Хамитов Т.К., Шигабутдинов Ф.Г. Критические параметры движения упругих стержней при продольном ударе.// Аналитическая механика, устойчивость и управление движением. Материалы Всероссийского семинара, посвященного столетию Аминова МонгимаШакуровича. Казань, 4-5 февраля 2008г, с. 80-81.

8. Хамитов Т.К., Шигабутдинов Ф.Г. К вопросу об устойчивости упругих стержней при продольном ударе силой, изменяющейся по линейному закону, при различных способах закрепления.// Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек. - Казань: Изд-во Казанск. гос. ун-та, 2008, с. 121-123.

9. Хамитов Т.К. Определение критических длин потери устойчивости упругопластических стержней при продольном ударе с учетом неоднородности напряженного состояния по длине. // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ, 2011г. -с.477-482.

10. Шигабутдинов Ф.Г., Хамитов Т.К. Устойчивость одномерных упругих элементов конструкций конечной длины при продольном ударе с учетом конечности скорости распространения продольной волны.// Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники: Труды международной конференции КЛИН-2003.-Ульяновск: УлГТУ, 2003. Т.5.- с.108-111.

11. Шигабутдинов Ф.Г., Хамитов Т.К. Влияние формы импульса на критическую нагрузку потери устойчивости при продольном ударе.// Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники: Труды международной конференции КЛИН-2004.-Ульяновск: УлГТУ, 2004. Т.7.- с.205-207.

12. Шигабутдинов Ф.Г., Хамитов Т.К. Об устойчивости упругих стержней сжатых волновой нагрузкой различной формы. // VII Крымская Международная математическая школа «Метод функций Ляпунова и его приложения»: Тез. докл.; Алушта, 11-18 сентября 2004г, с.159.

13. Шигабутдинов Ф.Г., Хамитов Т.К. Определение критических сил потери устойчивости упругих стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе. // IX Крымская Международная математическая школа «Метод функций Ляпунова и его приложения»: Тез. докл.; Алушта, 15-20 сентября 2008г, с. 186.

14. Шигабутдинов Ф.Г., Хамитов Т.К., Шигабутдинов А.Ф. Определение критических сил потерн устойчивости упругих стержней при продольном ударе по "статическому критерию".// Механика. Научные исследования и учебно-методические разработки: междунар. сб. науч. тр. Вып. 3. Гомель: БелГУТ, 2009, с. ¡38-143.

15. Шигабутдинов Ф.Г., Хамитов Т.К., Мухутдинов Р.Ф. К вопросу о потере устойчивости упругих стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе. // X Крымская Международная математическая школа «Метод функций Ляпунова и его приложения»: Тез. докл.; Алушта. 13-18 сентября 201 Ог, с. 147.

16. Шигабутдинов Ф.Г., Хамитов Т.К. Об устойчивости упруго-пластических стержней при продольном ударе.// Аналитическая механика, устойчивость и управление движением. Труды X Международной Четаевской конференции. Т.2. Секция 2. Устойчивость. Казань, 12-16 июня 2012г, с.560-569.

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ

17. Хамитов Т.К., Шигабутдинов Ф.Г. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012613425 «1МРАСТ-1». Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 11.04.2012.

18. Хамитов Т.К., Шигабутдинов Ф.Г. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №¡2012613426 «IMPACT-2». Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 11.04.2012.

19. Хамитов Т.К., Шигабутдинов Ф.Г. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012616545 «IMPACT-3». Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 20.07.2012.

20. Хамитов Т.К., Шигабутдинов Ф.Г. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №>2012616546 «IMPACT-4». Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 20.07.2012.

Подписано в печать 24.05.13 Формат 60x84/16

Заказ №243 Печать ризографическая Печ.л. 1,0

Тираж 100 экз. Бумага офсетная № 1

Отпечатано в полиграфическом секторе Издательства КГАСУ. 420043, г. Казань, ул. Зеленая, д. 1

\

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

ХАМИТОВ ТАГИР КАМИЛЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

На правах рукописи

04 У (И _159?51

и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель:

кандидат физико-математических

наук, профессор Ф.Г. Шигабутдинов

Казань-2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА.........................................

ГЛАВА 2. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАКОНАХ

НАГРУЖЕНИЯ ТОРЦА.........................................................

§2.1. Постановка задачи...................................................

§2.2. Полубесконечные стержни при различных способах

закрепления.........................................................................

§2.3. Обсуждение результатов, полученных в §2.2..................

§2.4. Метод разложения искомых функций в ряды Фурье для

стержней конечной длины.........................................................

§2.5. Метод Бубнова-Галеркина для стержней конечной

длины..................................................................................

§2.6. Обсуждение результатов, полученных в §2.4, §2.5...........

ГЛАВА 3. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ....

§3.1. Постановка задачи...................................................

§3.2. Полубесконечная оболочка........................................

§3.3. Применение метода разложения функций в ряды Фурье к

упругим цилиндрическим оболочкам конечной длины...................

§3.4. Применение метода Бубнова-Галеркина к упругим

цилиндрическим оболочкам конечной длины..............................

ГЛАВА 4. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ОБОЛОЧЕК ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ................................

§4.1. Потеря устойчивости полубесконечных упруго-

пластических стержней в случае мгновенного возрастания нагрузки. 104 §4.2. Случай линейного возрастания нагрузки до максимального

значения и остающейся постоянной до потери устойчивости....................112

§4.3. Потеря устойчивости упруго-пластических стержней

конечной длины......................................................................................................................................118

§4.3.1. «Точное» решение для шарнирно опертого стержня.. 118 §4.3.2. Методы разложения функций в ряды Фурье и

Бубнова-Галеркина....................................................................................121

§4.4. Об уравнениях движения упруго-пластических

цилиндрических оболочек............................................................................................................132

§4.5. Определение критических длин потери устойчивости полубесконечных цилиндрических оболочек при различных

способах закрепления........................................................................................................................137

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..............................................................................................................................147

ЛИТЕРАТУРА................................................................................................................................149

ПРИЛОЖЕНИЯ............................................................................................................................160

Введение

Актуальность работы. Обеспечение устойчивости конструкций, состоящих из тонкостенных элементов типа стержней, пластин и оболочек, является важным этапом расчета при проектировании сооружений, машин или оборудования. В настоящее время в теории устойчивости упругих систем под действием статических нагрузок имеются хорошо разработанные методы расчета и исследованы многие задачи. Задачи динамической устойчивости конструкций при. ударных нагрузках, которые испытывают машина или сооружение в процессе эксплуатации или при возникновении «нештатной» ситуации разработаны в меньшей степени. Характер потери устойчивости при динамических и ударных нагрузках существенно отличаются от статической, появляются более высокие формы, конструкции могут выдержать нагрузки, в несколько раз превышающие их статическую критическую нагрузку. Впервые на это явление обратили внимание М.А. Лаврентьев и А.Ю. Ишлинский в 1949г [49].

Несмотря на относительно большое количество работ в этой области, проблема далека от завершения. Имеющиеся в литературе результаты относятся лишь к случаям мгновенного приложения продольной нагрузки. Недостаточно исследовано влияние граничных условий при потере устойчивости на малых временах (при «больших» ударных силах), не рассмотрены в литературе и нет в справочниках результатов по потере устойчивости стержней и цилиндрических оболочек при часто встречающихся способах закрепления. Много проблем остается в задачах потери устойчивости при ударе с учетом упругопластических деформаций. Поэтому существующие математические модели требуют дальнейшего дополнения и уточнения. Отсюда вытекает актуальность разработки новых подходов к моделированию самого явления и адаптации математических методов в данном классе задач.

Целью работы является математическое моделирование и разработка комбинированных численно-аналитических методов для решения задач потери устойчивости тонкостенных элементов конструкций при продольном ударе с учетом неоднородности напряженного состояния по длине элементов, вызванного волновыми процессами распространения деформаций. Для достижения этой цели решены следующие задачи:

1. Построены новые математические модели в задачах о потере устойчивости упругих и упругопластических тонкостенных конструкций в виде стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе.

2. Разработаны численно-аналитические методы решения систем дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка с переменными коэффициентами и переменной границей области определения решений, описывающих потерю устойчивости стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе.

3. Разработанные численно-аналитические методы реализованы в виде комплекса программ.

4. На основе комплекса программ проведено математическое моделирование потери устойчивости стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе с применением уточненных моделей нагружения при упругих и упругопластических деформациях.

Научная новизна результатов, выносимых на защиту.

1. Математические модели потери устойчивости упругих и упругопластических стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе обобщены на случаи, учитывающие неоднородность напряженного состояния, вызванную конечностью скорости распространения упругих и упруго-пластических волн.

2. Разработаны численно-аналитические методы решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных с переменными

коэффициентами и решены новые задачи о потере устойчивости стержней и цилиндрических оболочек переменной длины при продольном ударе.

3. Разработана методика определения критических параметров (нагрузки, длины или времени) явления потери устойчивости для различных законов нагружения и граничных условий стержня и оболочки при первом прохождении продольной волны вдоль указанных элементов.

Практическая значимость. Результаты диссертационной работы используются на ЗАО «Казанский Гипронииавиапром» и ООО «ПРИС Меткон» при проектировании стальных конструкций на действие динамических нагрузок. На основе предложенных в работе методик и алгоритмов, разработан комплекс программ. Также полученные результаты могут быть использованы при проектировании конструкций в строительстве, машиностроении, в авиационной и горнодобывающей промышленности, подвергаемых ударным нагрузкам, для обеспечения работоспособности конструкций в «нештатных» ситуациях, в биомеханике для разработки методик безопасной деятельности человека при ударных воздействиях.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы: метод характеристик для решения волновых уравнений, метод разложения функций в ряды Фурье, метод Бубнова-Галеркина, методы решения линейных алгебраических уравнений, метод Гаусса для вычисления определителей.

Достоверность результатов исследования обеспечивается использованием при моделировании фундаментальных положений механики деформируемого твердого тела; применением известных математических методов; математическим обоснованием сходимости примененных методов; численными экспериментами на сходимость решений; хорошим качественным и количественным согласованием с теоретическими и экспериментальными результатами, имеющимися в литературе.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались: - на итоговых научно-технических конференциях КГАСУ 2003-2011гг;

- на городском семинаре кафедр теоретической механики г. Казани (2010, 2012гг);

- на VII - X Крымских Международных математических школах «Метод функций Ляпунова и его приложения» (Крым, г. Алушта, 2004, 2006, 2008, 2010гг.);

- на Шестой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2007» (Казань, 2007);

- на Международном семинаре, посвященного памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. A.B. Саченкова (Казань, 2008);

- на Всероссийском семинаре, посвященного столетию Аминова Монгима Шакуровича (Казань, 2008);

- на Всероссийском семинаре, посвященного столетию Кузьмина Павла Алексеевича (Казань, 2008).

- на X Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление» (Казань, 12-16 июня 2012г).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 работ, из них 13 статей, 3 тезиса докладов, 4 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. В том числе, 3 статьи опубликованы в изданиях из перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 167 страниц, из них 148 страницы основного текста, включая 25 таблиц и 50 рисунков. Список литературы насчитывает 100 наименований.

Во введении обоснована актуальность темы, приведены цель и задачи исследования, научная новизна работы и практическая значимость результатов, сведения об апробации результатов работы и структуре диссертации.

В первой главе представлен анализ работ, посвященных вопросам моделирования и математическим методам исследования процессов

устойчивости упругих и упругопластических стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе. На основе сделанного обзора сформулированы цель и задачи исследования.

Во второй главе рассмотрены задачи о потере устойчивости упругих стержней при продольном ударе. Рассмотрены три способа приложения силы: сила мгновенно достигает своего максимального значения и остается постоянной (нагружение по закону прямоугольника); сила возрастает по линейному закону до момента потери устойчивости (нагружение по закону треугольника) и сила возрастает по линейному закону до некоторого значения и остается постоянной (трапециевидный закон нагружения). В первом параграфе приводятся основные уравнения движения. Система уравнений, описывающих явление, в общем случае состоит из гиперболических уравнений продольных и поперечных движений.

Рассматривается потеря устойчивости полубесконечных упругих стержней при приложении ударной силы, изменяющейся по двум законам: сила возрастает по закону треугольника и сила, мгновенно достигнув своего максимального значения, убывает по закону треугольника. Получены критические длины выпучивания полубесконечных стержней при двух законах нагружения и четырех видах граничных условий на ударяемом торце. При заданной на торце силе удара, для определения критических длин используются два критерия потери устойчивости - статический и динамический. Полученные по статическому критерию критические длины и соответствующие им критические силы сравниваются с имеющимися справочными данными по Эйлеровым критическим силам статической потери устойчивости стержней, сжатых собственным весом. Отмечается хорошее совпадение.

Кроме того, приводятся результаты решения задач о выпучивании стержней конечной длины. Нагрузка на ударяемом торце прикладывается по закону прямоугольника, треугольника и трапеции. Предполагается, что выпучивание происходит при первом прохождении продольной волны вдоль стержня.

/Л

У

Рассмотрены пять вариантов граничных условий на различных торцах. Используется метод разложения функций в ряд Фурье, который применительно к задаче о потере устойчивости шарнирно опертого стержня при нагрузке, приложенной по закону прямоугольника, был применен в работе [56]. Значения критических нагрузок в зависимости от длины, на которую продвинулась продольная волна сжатия вдоль стержня, представлены в таблице.

В этой же главе методом Бубнова-Галеркина для восьми вариантов граничных условий решены те же задачи, что и в третьем параграфе. Результаты расчетов, полученные двумя методами, полностью совпадают.

В третьей главе рассматривается осесимметричное выпучивание упругих цилиндрических оболочек. Относительно вида нагружения, методов решения, критериев потери устойчивости сохраняются предпосылки второй главы. Вычисления показывают, что для цилиндрических оболочек критические нагрузки не зависят от граничных условий и длины оболочки. Как только продольная волна проходит расстояние, равное длине полуволны выпучивания, критическая нагрузка практически не меняется. Этот факт полностью соответствует имеющимся в литературе результатам [17], полученным в предположении, что по длине оболочка делится на большое число полуволн.

В четвертой главе приводятся результаты исследования потери устойчивости элементов конструкций в виде полубесконечных упруго-пластических стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе. Для материала элементов конструкций принята диаграмма с линейным упрочнением. Уравнение возмущенного поперечного движения оболочки получены с использованием результатов работы [48] с добавлением инерционного члена. Вычисления проводились для различных значений касательного модуля, отношений толщины к радиусу (для оболочек) и гибкости (для стержней).

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Казанского государственного архитектурно-строительного университета.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, кандидату физико-математических наук, профессору КГАСУ Шигабутдинову Ф.Г. за постановку задачи, постоянное внимание и помощь при выполнении работы и сотрудникам кафедры теоретической механики КГАСУ за внимание к работе и обсуждение полученных результатов.

ГЛАВА 1. Состояние вопроса

Обзор работ, выполненных до 1972г. и посвященных исследованию динамическому поведению упругих систем, можно найти в монографии Вольмира A.C. [18]. Согласно классификации, принятой в этой работе, задачи динамической устойчивости делятся на три типа.

К задачам первого типа относятся задачи о поведении конструкций при «быстром нагружении». В этом случае считается, что нагрузка передается вдоль конструкций мгновенно. Здесь не учитывается то, что деформации распространяются вдоль элемента конструкции в течение некоторого времени. При этом в уравнениях движения учитываются лишь силы инерции, соответствующие поперечным перемещениям (прогибам) сечений элементов конструкций.

К задачам второго типа относятся задачи об устойчивости конструкций при собственно ударных нагрузках, когда нагрузка передается на конструкцию в течение весьма короткого промежутка времени. Здесь необходимо проследить процесс передачи продольных усилий вдоль элементов конструкций. При этом необходимо учесть силы инерции, соответствующие и продольным, и поперечным перемещениям сечений конструкций.

В задачах третьего типа нагрузки, действующие на конструкции, являются периодическими. Возникающие при этом параметрические колебания в зависимости от основных параметров системы могут быть динамически устойчивыми или неустойчивыми.

Настоящая диссертация посвящена решению задач второго типа, т.е. выпучиванию упругих и упругопластических стержней и цилиндрических оболочек при ударных нагрузках. Опубликованные исследования по устойчивости конструкций при ударе отличаются как по постановкам задач, так и методам их решения и применяемым критериям для определения критических параметров явления. Вопросам устойчивости упругих и упругопластических

стержней, пластин и оболочек при ударе посвящены работы Агамирова B.JL, Баженова В.Г., Болотина В.В., Борисенко В.И., Вольмира A.C., Гордиенко Б.А., Даревского В.М., Ишлинского А.Ю., Малого В.И., Малышева Б.М., Мовсисяна JI.A., Кийко И.А., Коноплева Ю.Г., Корнева В.М., Саченкова A.B., Терегулова И.Г., Фельдштейна В.А., Шигабутдинова Ф.Г., Abrahamson G.R., Сорра А.Р., Grybos R., Goodier J.N., Herbert R.E., Huffington N., Klosner J.M., Lindberg H.E., Roth R.S., Sevin E., Smitt A.F. и др.

Проанализируем работы, имеющие непосредственное отношение к теме диссертации. Вольмир A.C. и Кильдибеков И.Г. [15] исследовали развитие начал�