автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния стержня в условиях неоднородного температурного поля с учетом нелинейности

На правах рукописи

АБДРАХМАНОВА Алия Айдаровна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТЕРЖНЯ В УСЛОВИЯХ НЕОДНОРОДНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ

Уфа 2007

003178013

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет»

Научный руководитель

Официальные оппоненты

доктор технических наук, доцент ПАВЛОВ Виктор Павлович

доктор физико-математических наук, профессор

АХТЯМОВ Аза мат Мухтарович

доктор физико-математических наук, профессор

ПУЛЬКИНА Людмила Степановна

Ведущая организация

Институт гидродинамики имени М. А. Лаврентьева СО РАН

Защита диссертации состоится 26 декабря 2007 г в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212 288 06 при Уфимском государственном авиационном техническом университете по адресу 450000, г Уфа-центр, ул К Маркса, д 12

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уфимского государственного авиационного технического университета

Автореферат разослан 24 ноября 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук,

профессор

' . ^^ Г. Т БУЛГАКОВА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы В условиях современного развития науки и техники необходимо математическое моделирование описания поведения реальных конструкций В частности, это связано с появлением композиционных материалов (КМ), обладающих рядом уникальных свойств малым удельным весом, высокой удельной прочностью, малой теплопроводностью, высокой удельной теплоемкостью и др Из КМ изготавливают детали самолетов и космических аппаратов Многие из них работают при переменных во времени высоких температурах Так, при посадке на Землю в момент входа в плотные слои атмосферы скорость космического спускаемого аппарата (КСА) равна 7,9-10 км/с, и гашение этой скорости осуществляется за счет аэродинамического торможения в атмосфере При этом наружная теплозащищающая обшивка КСА, изготовляемая из КМ, при торможении снаружи нагревается до температуры

достигающей в ряде случаев 1000 °С и выше Из-за действия температуры и внешнего аэродинамического давления теплозащищающие элементы конструкции деформируются, в них возникают напряжения, которые приводят к силовым воздействиям на узлы их крепления к корпусу КСА В связи с этим, для проектирования надежно работающей теплозащищающей обшивки КСА возникает актуальная задача построения математической модели деформирования элементов конструкций из КМ в условиях одностороннего высокотемпературного нагрева, соответствующего условиям реальной эксплуатации, в форме системы дифференциальных уравнений с последующей разработкой численных методов и комплексов программ для решения поставленной задачи

К настоящему времени построен ряд математических моделей физико-механических свойств КМ при высоких температурах и разработан ряд численных методов расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций из КМ в линейной постановке Большой вклад в изучение этой проблемы внесли отечественные ученые Н А Алфутов, Б Д Аннин, Е К Ашке-нази, В В Болотин, Г И Брызгалин, В А Бунаков, С В Бухаров, Г А Ванин, В В Васильев, Г Е Вишневский, Г С Головкин, Ю И Димитриенко, Н П Ершов, А А Ильюшин, Г В Исаханов, В И Королев, С А Лурье, А К Малмейечер, Г X Мурзаханов, Ю В Немировский, Ю II Новичков, И Ф Образцов, Ю А Ножницкий, В Н Паймушин, Ю С Первушин, Г С Писаренко, Б Е Победря, В Д Протасов, Ю Н Работнов, А А Рыжов, Ю В Соколкин, В С Стреляев, В П Тамуж, Ю М Тарнапольскии, А А Ташкинов, Г Н Третьяченко, Ю С Уржумцев, О Ф Шленский и др

Для более точного моделирования напряженно-деформированного состояния элементов конструкций из КМ необходимо учитывать нелинейные зависимости напряжения от деформации при высоких температурах и влияние деформации конструкции на уравнения равновесия, что приводит к необходимости решения нелинейных дифференциальных уравнений Это позволяет считать разработку численных методик расчета деформировано-напряженного состояния элементов конструкций из КМ с учетом физической и геометрической нелинейностей актуальной задачей, обладающей существенной научной новизной и имеющей важное практическое значение

Целью работы является разработка методики математического моделирования стержневых элементов конструкций в условиях неоднородного температурного поля с учетом нелинейности

Задач» исследования. Для достижения цели работы поставлены следующие задачи

1) разработать алгоритм построения в рамках гипотезы плоских нормальных сечений нелинейных уравнений равновесия стержня, не имеющих ограничений на величину перемещений, на характер изменения по времени и объему детали температурного поля и зависящей от него тепловой деформации, на вид зависимости между деформациями и напряжениями, возникающими внутри стержня,

2) свести решение системы нелинейных дифференциальных уравнений к решению системы линейных дифференциальных уравнений в последовательные моменты времени,

3) определить эффективный вариант решения линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка методом сплайнов пятой степени,

4) создать и реализовать на ЭВМ методику расчета напряженно-деформированного состояния стеклопластикового стержня с учетом больших перемещений, тепловых деформаций и нелинейных зависимостей напряжений от деформаций

Научная новизна работы заключается в следующем

• разработан новый алгоритм построения нелинейных уравнений равновесия стержня с учетом больших перемещений и деформаций, нелинейных зависимостей напряжений от деформации и дифференциальной модели, описывающей тепловую деформацию материала с учетом всей истории его нагрева,

• предложена методика сведения системы неявно заданных нелинейных дифференциальных уравнений, изменяющихся во времени, к системе линейных дифференциальных уравнений, описывающих деформирование стержня в последовательные моменты времени,

• построен более точный, по сравнению с существующими, вариант метода сплайнов пятой степени, базирующийся на принципе Пуансо, и предназначенный для решения системы линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка, описывающих деформирование стержней,

• на основе созданного и реализованного на ЭВМ алгоритма расчета напряженно-деформированного состояния стержня впервые проведено математическое моделирование влияния способов закрепления стеклопластикового стержня на возникающие в нем деформации и напряжения при одностороннем высокотемпературном нагреве Выявлено существенное влияние способов крепления элементов теплозащитной конструкции на внутренние напряжения и показано, какие из способов крепления позволяют снижать коэффициенты опасности напряженного состояния

Методы исследований основаны на использовании

" соотношений теории упругости и гипотез теории стержней,

■ численного метода решения дифференциальных уравнений механики деформируемого твердого тела на основе метода сплайн-функций пятого порядка,

■ экспериментальных данных о тепловой деформации и диаграмм деформирования стеклопластика при высоких температурах Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в диссертационной работе, основывается на фундаментальных положениях, современных экспериментальных и численных методах механики деформируемого твердого тела и подтверждается

■ сравнением численных решений с точными аналитическими решениями тестовых задач,

■ сопоставлением численных решений с результатами соответствующих экспериментальных исследований

Практическое значение и реализация результатов работы. Данная работа выполнялась в период с 2004 по 2007 год в лаборатории композиционных материалов кафедры сопротивления материалов и на кафедре математики Уфимского государственного авиационного технического университета Результаты работы внедрены в учебный процесс на кафедрах сопротивления материалов и математики УГАТУ Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях напряженно-деформированного состояния элементов конструкции авиационно-космической техники из композиционных материалов, а также при прогнозировании поведения трубопроводов из стеклопластиков в химической и нефтеперерабатывающей промышленности, строительных стеклопластиковых конструкций в чрезвычайных ситуациях (при пожарах и т п)

Автор выносит на защиту:

• методику построения, в рамках гипотезы плоских нормальных сечений, системы нелинейных дифференциальных уравнений равновесия стержня, не имеющих ограничений на величину перемещений, на характер изменения по времени и объему детали температурного поля и зависящей от него тепловой деформации, на вид физической зависимости между деформациями и напряжениями, возникающими внутри стержня,

• схему сведения зависящих от времени систем нелинейных дифференциальных уравнений к системе линейных дифференциальных уравнений в последовательные моменты времени,

• вариант метода сплайнов пятой степени, предназначенный для численного решения систем линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка, описывающих деформирование стержней,

• методику расчета напряженно-деформированного состояния стеклопла-стикового стержня с учетом больших перемещений, тепловых деформаций и нелинейных зависимостей напряжений от деформаций Личный вклад автора. Все основные результаты, выносимые на защиту,

получены лично автором

Апробация работы Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах Всеросс науч конф «Математика, механика, информатика» (г Челябинск, 2006г), Всеросс. научно-практ конф «Интеграционные евразийские процессы в науке, образовании и производстве» (Башкирия, гКумертау, 2006г), III Междунар конф «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (г Нальчик, 2006г), X Междунар конф «Современные проблемы механики сплошной среды» (г Ростов-на-Дону, 2006г), Всеросс конф «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г Самара, 2007г), XI Междунар научно-техн конф «Проблемы строительного комплекса России» (Уфа, 2007г ), семинаре Института механики РАН (г Уфа, 2007г), семинаре отдела Вычислительной математики ИМВЦ УНЦ РАН (г Уфа, 2007г), семинаре Института компьютерных исследований при УГАТУ (г Уфа, 2007г)

Публикации. По результатам выполненных исследований и разработок опубликовано 12 работ, в том числе три из них в рецензируемых журналах из списка ВАК

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных выводов и списка литературы Содержит 127 страниц машинописного текста, включающею 40 рисунков и библиографический список из 74 наименований

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель, определены направления исследований и основные научные положения, выносимые на защиту, научная новизна, достоверность и практическая значимость диссертационной работы

В первой главе дана общая характеристика проблемы и поставлена задача математического моделирования напряженно-деформированного состояния стержней при высоких нестационарных температурах с учетом нелинейности Обращено внимание на ряд актуальных задач науки и техники, требующих решений с учетом нелинейности конструкции и ее материала В качестве важных на сегодняшний день задач отмечены тепловая защита космических спускаемых аппаратов и деформирование тонких упругих деталей при больших перемещениях Выявлены общие подходы к решению задач о деформировании стеклопластиковых стержней при высоких температурах и упругих тонких стержней при больших перемещениях, дана общая характеристика публикациям в области анализа деформированного и напряженного состояния гаких стержневых элементов конструкций Отмечены основные численные методы решения дифференциальных уравнений механики деформирования стержней, особенности построения уравнений и проведения расчетов при больших перемещениях Приведены физико-механические свойства теплозащитного стеклопластика - материала стержней, для которых разработана методика расчета напряженно-деформированного состояния при высокотемпературном одностороннем нагреве

Вторая глава посвящена алгоритму построения нелинейных дифференциальных уравнений равновесия, описывающих напряженно-деформированное состояние стержня при больших перемещениях Рассматривается первоначально прямой стержень, точки базовой линии которого идентифицируются ее начальными координатами по координатной оси , направленной вдоль стержня Деформация базовой линии описывается функциями перемещений

и-и{Х],1), у = У(Х,,0, 0)

зависящими от начальной пространственной координаты Х\ и времени !

Линейная деформация базовой линии определяется выражением

+ (2) где для выражения (2) и дальнейших соотношений применяются обозначения

и(дЛ =

7 = 0,1, ,5

дх{ дх{

Орты касательной Т и нормали П деформированной базовой тинии т = т1е1+т2е2, п = ще^ + л2е2

определяются их проекциями на неподвижные координатные оси , Х2

11 п\

1 + 8!

1 + £]

-т2, п2= т, Дифференцированием (2) и (5) определяются частные производные

ЛдЛ _т ЛЪ) _

-\ ~ ' 1 —

(3)

(4)

(5)

ЛЪ) _ 2

ох.

(6)

дх{

, у = о, ,3

В рамках гипотезы Бернулли определяется продольная деформация 8] 1 волокна стержня с координатой ЗГ2

■1

8„ = 6<?> = > +

(7)

На основе (7) определяются производные от £51

>ц --7 = 0,1,2 (8)

При деформации стержня в нем возникают нормальные напряжения

в общем случае нелинейно зависящие от деформации и температуры

=(Ти(еп.7') (10)

По нормальным напряжениям О)} определяются внутренняя продольная сила Ых и внутренний изгибающии момент Мх3 Л/2 Л/2

Nx = ¡аиЬ(Их2, Мхз = \ахфх2с1хг С11)

-А/2 -Л/2

В (11) и дальнейших соотношениях применяются обозначения

дЫх

йх,

м™

хЗ

=

д1М

хЗ

(12)

"

Построена система из двух нелинейных уравнений равновесия стержня

Т(0О) (31) (50) 01) х2 Т1 2 дМ

(1 + е,)

__,3__

1 + £, &, т(во)т(в1)+т(ао)т(а1)

1 + Е]

1

Э2М

*3

(1+Е, г &Г

+-

Гт(эо)т(31) + 1<зоца1)

I 1 2 /

(1 + е,Г

^(30)х(Э1)_т(30)т(31)

_}_)_ **

1 + Е]

(13)

ДЭ1)

9М

(к.

хЗ

- +

При обозначениях

^52=(х?°Мв1>-хГт?1>)/(1+с1)2

4 01) _ Лг _

-1/(1 + 8,),

нОО) _ /

_ Vх 1

(Э0)Т(Э1)

2

хр+х^х^/О + в,),

=1/(1+6,)

°Мх 3 к

(14)

.00)^(31) _тО0М91) _е01)

X, х2 х2

система (13) принимает вид

(Ад]) „(31) ,01) „(31) ЛдО) „(30) I АйЗ хЗ ^ -<7т>

1 д(32) д^(32) „(31) ,,(31) „(30) „(30) _ „

Система уравнений (15) является нелинейной, так как все определяется нелинейными выражениями от производных функций перемещения

и(х!,/), ,г) до четвертого порядка включительно ] - О, ,4

При решении системы (15) деформированное состояние стержня рассчитывается в последовательные моменты времени /г, г = 1,2, . В этом случае для каждого отрезка времени из предыдущих расчетов считаются извест-

ными все компоненты напряженно-деформированного состояния в момент времени 11 При линеаризации левых частей уравнений системы (15) использу-Ю1ся линейные части разложения ряд Тейлора вблизи состояния уравнений для момеЕгга времени В итоге получается система уравнений

У—— 1л(а!) М(9|) + Ат 4 Ат и+

-+ + <0) ), +

+ У—М(Э1> +Л(Э1) +Л(50) ЛГ(30))

(16)

у д 1В02) мт+вт мт вт „(зо)) т.

оЭи(Э;) 3 3 МхЗМхЗ ;,и,+1

+ ¿¿У(<з + ^ + ^Ьй5 =

= як, - (« - « "У + "Г), +

+ у 8 (в(д2) м[31) + вт мт + вт ,¥(ао)) и+ оди^ 3 3 шъ хг 1 Ь 1

+ у_А_(я(а2) мт + вт мт + вт ^(зо)1) ш

+ ¿^(3,) \ ллз МхЗ +°МхЗмхЗ +1}Ых

В правой части системы линейных дифференциальных уравнений (16) находятся величины, известные для момента времени В левой части системы линейных дифференциальных уравнений (16) находятся неизвестные производные и^х > У^+х > ,4 от функций перемещения и;+] =

1 = у(х\ >Л+1) в момент времени /1+] Полученная система линейных диффе-

ренциальных уравнений (16) дополняется уравнениями, учитывающими конкретные граничные условия, и затем решается численным методом В качестве такого метода выбран метод сплайнов пятой степени

В третьей главе для решения полученной системы линейных дифференциальных уравнений применен новый вариант метода сплайнов пятой степени, позволяющий достигать шестого порядка сходимости при численном решении дифференциальных уравнений, описывающих деформирование стержней

Сплайн 1/И5 1 (х) степени 5 дефекта 1 определяется на сетке из N узлов

А а = х^<х2 < <х^=Ь, (17)

и имеет N¡=N+4 степеней свободы В пределах каждого отрезка [х,, х,+1], г = 1, ,N-1 функция ] (х) - многочлен пятой степени

хе[х„х,+1], » = 1, ,N-1, (18)

а=0

и для внутренних узлов сетки Д выполняются условия непрерывности по производным до четвертого порядка включительно

5=0,1, ,4, у =2, ,N-1 ¿¿с* сЬс*

Параметры, определяющие сплайн, сведены в вектор-столбец

0 = {дк, к = 1,2, ,N + 4/,

где

47

екя (к

(19)

(20)

(21)

ЯN^3

сЫ1

<7^+4

йх

На основе вектор-строк, являющихся функциями координаты х Й,(х) = (К{/)(х), у = 1, ,N + 4), хе[хг,хг+)], 5 = 0, ,5, (22)

определяются производные от сплайн-функции И^ ] (х) в любой точке с координатой х из области определения [а, 6]

ск5

■ = ^(х)0, хе[х,,х,+1], 1 = 1, ,N-1, 5 = 0,. ,5

(23)

В качестве примера применения сплайна пятой степени рассмотрено дифференциальное уравнение равновесия, описывающее изгиб стержня

Е1у—г + 2-

У ¿¿с4 еЬ А3

йх1 (к1

в котором заменой искомой функции перемещения осевой линии V = у(х) на ее сплайновую аппроксимацию №5, (х) определена поперечная нагрузка Чу ~ Чу (х) > ПРИ которой сплайн 1/У5 ] (х) является точным решением дифференциального уравнения (24) При этом подстановкой (23) в (24) получен сплайновый аналог дифференциального уравнения равновесия (23)

Чу(х) =

(1{Е1у)

Е1 Я4(х) + 2—+ ах

у У>Й2{Х)

\

На основе (25) введена вектор-строка К(х) = Е1уЯ 4(х) + 2-(х) +

Я2(х),

(25)

(26)

и уравнению (25) придан более лаконичный вид

ду (х) = К(х)0 (27)

При построении дискретного аналога дифференциального уравнения (24) использован известный в теоретической механике результат силы, произвольно расположенные в пространстве, можно привести к одной силе, равной их главному вектору и приложенной в центре приведения, и к паре сил с моментом, равным главному моменту всех сил относительно центра приведения

Базируясь на этом положении, была выбрана сетка с нечетным числом узлов N и четным числом отрезков [хг, х,+[ ] при г = 1,2, N -1 В пределах этой сетки рассмотрены узлы с номерами п

п=2т, т = 1, ,М при М-{И-\)!2 (28)

Данные узлы, имеющие координаты хп, выбраны в качестве центров приведения для заданной ду - ду (х) и приближенной (]у = цу (х) распределенных нагрузок Для определения сплайн-функции И/5 | (х), близкой к искомому решению V = у(х) , использовалось условие эквивалентности внешних действующих на стержень нагрузок, заключающееся в том, что в пределах каждого отрезка *„+[] распределенные нагрузки ду — ду(х) и (¡у = Цу(х) приводились к центру приведения, имеющему координату хп Получаемые при этом на основе точной ду = ду (х) и приближенной ду - с}у (х) нагрузок

главный вектор сил и главный момент приравнивались В итоге получалась система из N — 1 уравнений, имеющая следующий вид

(29)

¡ЧуМ&= \чу{х)с1х,

хп-1 хп-\

хп+\

\ду(х){х-х„)сЬс= \с[ у{х){х ~ х„)с1х,

хп-1 Хп—)

п = 2т, от = 1,. ,М, М = (ЛГ-1)/2

При подстановке (27) в (29) получена система из N -1 алгебраических линейных уравнений

N

ХП +1

¡К(х)сЬс 0= \чу(х)сЬс,

V

хп+1

\

\К(х)(х-х„)с1х

Ухп~ I

° = &у(х)(х-х„)сгх, ха~1

(30)

„ = 2т, т-\, ,М, М = (Ы — \)/2 Недостающие для системы (30) уравнения формируются на основе учета краевых условий Точность предлагаемого метода сплайнов оценивалась при решении эталонной задачи, имеющей точное решение

Во второй части третьей главы рассматривается решение задачи о деформировании стержня при больших перемещениях В качестве эталонной задачи выбрана задача о чистом изгибе первоначально прямого упругого стержня дли-пой I и прямоугольным поперечным сечением ЬхИ Левый конец стержня защемлен, а к правому приложен изменяющийся во времени / изгибающий момент М При этом под действием изгибающего момента М ось стержня принимает форму дуги окружности радиуса р с кривизной к- 1/р, а перемещения ее точек и и V, соответственно вдоль координатных осей Х^.Х-^-, определяются формулами

1 ' У = ^О-соб/Ц) (31)

к

и-— этА*! к 1

Осевой момент инерции сечения стержня 1Х3, модуль упругости материала Е, максимальный изгибающий момент при конечном моменте времени 'тах Равен л/тач Изгибающий момент изменяется во времени / по закону М = Мтахг / (тах, расчеты выполняются для последовательных моментов времени е1 = 0 - 1)А/, А( = /тах /(N-1), 1 = 1,2, N, число узловых точек во времени принимается равным N = 1001 Нормальное напряжение сг, ] вдоль оси X] в слое стержня, имеющем координату Зс2, определяется по формуле ст11 = Их3 где ^хЗ ~ М - внутренний изгибающии момент

Результаты численных расчетов на основе разработанного в главах 2 и 3 численного алгоритма с применением для решения линейных дифференциальных уравнений метода сплайнов пятой сгепени представлены на рис 1,2

На рис 1 сплошной линией изображены точные формы деформированной оси стержня при различных значениях времени 1п, определяемых величинами индекса и = 1,251; 501,751,1001, а точками показаны формы деформированной оси, рассчитанные по предлагаемому методу На рис 2 сплошными линиями показаны точные нормальные напряжения в слоях с координатами 5с"2 = —0,003, -0,0015, 0, 0,0015, 0,003 м при действии максимального изгибающего момента Мтах = 76,3 Н м Точками на рис 2 показаны результаты

численных расчетов напряжении О] j

006

0,04

0,02

\

tftr >-л /

\ ¿Го -л=1 / д - п =251 □ п =501 7 л =751 ф - л =100'

100

фккик>о<и>о<з-о<км><кн><><><ю

О Xj=-oao3

Д Xj =-0 001S

a *2=o

-0 04 -002 0 0 02 0 04 0 06 0 08 х.

Рисунок 1. Форма деформированной оси стержня при изгибе моментом М

002 004 005 008 010 X,

Рисунок 2. Напряжения в слоях изогнутого стержня

Из рис 1 и 2 видно, что результаты численных расчетов достаточно хорошо совпадают с точными решениями Для объективной оценки точности получаемых численных результатов применяется метод фильтрации с последующей экстраполяцией, позволяющие получать более точные результаты на менее густой сетке и давать гарантированную оценку погрешности численного решения

При экстраполяции применялась математическая модель погрешности вида

zn =z + cln"kl +с2п~к2 + +cLn~kL -fSO), (32)

где z - точное значение, zn - приближенный результат, полученный при числе отрезков разбиения, равном и, с - коэффициенты, которые предполагаются не

зависящими от п, 5(«)- величина, полагаемая малой по сравнению с с}п ] при тех значениях п, которые использовались в данных конкретных расчетах, А], -произвольные действительные числа < < Экстраполяция проводилась по формуле

z»2 Z"2

Z"2 Z"l Qkj -1

(33)

при числе узлов щ и п2 = 0.Щ Принималось Q = 2

При проведении серии экстраполяций по всем парам соседних значений

*

гп получается уточненное значение искомой величины г На основе уточненных значении оценка погрешности проводилась по правилу Рунге сравнени-

*

ем значения гп с экстраполированным значением гп Поскольку эта оценка

*

справедлива при допущении, что величина гп точнее, чем 2п, то необходима проверка этого допущения Для этого процесс экстраполяции повторяется и по-

* ** *

лучается на основе гп уточненное значение гп . Разность Ап = гп — гп представляет собой. оценку погрешности приближенного значения 2п. Разность

* **

Ад = 1п — гп является оценкой погрешности экстраполированного значения 2п или размытостью оценки погрешности. Отношение Ьп = Ад Ми имеет смысл относительной размытости оценки погрешности. Если 8п « 1, то отно- I сительная размытость оценки Ап мала, и такой оценке можно доверять. В работе принимается пороговое значение 5„=1/3, что означает, что при 5п <1/3 оценка принимается, а при >1/3 отвергается.

На рис. 3, 4 в качестве примера приведены результаты экстраполяционно-го исследования значений перемещения вдоль оси Хх средней точки рассматриваемого стержня, полученные на основе предлагаемого численного метода, при различных разбиениях по времени г и по пространственной переменной X,. Результаты экстраполяции и оценки погрешности представлены на рис. 3, 4 в виде зависимостей — (десятичный логарифм относительной погрешности) от 1 (логарифм числа отрезков разбиения вдоль оси Х\) и \grri (логарифм числа отрезков разбиения вдоль оси времени). На рис. 3, 4 нижние кривые соответствуют погрешности расчетных данных, остальные кривые - результатам повторных экстраполяций.

Рисунок 3. Результаты экстраполяции Рисунок 4. Результаты экстраполяции

по пространственной переменной по времени / значений,

при разбиении на 6400 отрезков предварительно экстраполированных

по времени I по пространственной переменной х]

Из рис. 3, 4 видно, что применение методов фильтрации и экстраполяции позволяет повысить точность на 1-2 порядка и снизить относительную погрешность до 10 7 -10~9.

В четверюй главе для экспериментальной оценки возможности разработанной методики использовались результаты натурных экспериментов, проведенных в лаборатории композиционных материалов УГАТУ Рассматривалось напряженно-деформированное состояние прямого стержня из стеклопластика, имеющего прямоугольную форму, в условиях одностороннего высокотемпературного нагрева Стержень жестко защемлен на левом конце при х\ = 0, реакциями левой опоры является сила и момент М^а> (рис 5) Правый торец стержня в направлении оси Х^ взаимодействует с упругим элементом, который создаст силу упругости /у = -Сущ, величина которой линейно зависит от

перемещения и\ ' и коэффициента жесткости упругого элемента С

Х\ =Х%

Рисунок 5. Стержень при одностороннем нагреве

Температура стержня изменяется во времени / и вдоль координатной оси , оставаясь одинаковой вдоль осей Х\, Х^ (рис 6 ) Для заданных законов нагрева известны экспериментально замеренные усилия, действующие на правую опору стержня (точки на рис 7) Для данного нагрева были рассчитаны усилия, которые представлены сплошной линией на рис 7 Наблюдается удовлетворительное совпадение расчетных и экспериментальных результатов

р, н

О = 0 МП V = 3 5 глн □ Х7-1 им — сплайн

/

/1 *

/ У

40

80

120 160 сек

-100 -200 -300 -400.

ТОЧКИ ЭКСПЕРИМЕНТ ЛИНИЯ РАСЧЕТ о /

\

\ /о /а

200 400 600 800 Т,°С

Рисунок 6 Изменение температуры Т Рисунок 7. Сила, действующая на во времени I в слоях стержня опору, в зависимости от температуры

Т «горячей» поверхности

Предлагаемая методика расчета позволила провести детальный анализ напряженно-деформированного состояния етеклопластикового стержня при различных жесткостях его опор. При этом оценка степени опасности напряженного состояния стержня оценивалась коэффициентом опасности напряженного состояния Ка =а/спч, где с - возникающее в рассматриваемой точке стержня напряжение; апч - предел прочности материала в рассматриваемой точке стержня в данный момент времени при конкретной в этой точке темпера-туре.В работе выполнены расчеты коэффициентов опасности Ка для различных способов закрепления. В качестве примера на рис. 8 представлены результаты расчетов при защемлении концов стержня, а на рис. 9 при закреплении неподвижными шарнирами. Видно, что переход от защемления к шарнирам снижает коэффициент опасности в наиболее опасных точках от Ка = 2,3 (рис. 8) до Ка = 1,5 (рис.9), что существенно повышает прочность конструкции в целом.

200 400 600 800 Т.'С 'О 200 400 600 800 Т. «С

Рисунок 8 Рисунок 9

Таким образом, можно утверждать, что предлагаемая методика является инструментом, позволяющим конструкторам тепловой защиты КСА анализировать как влияние температуры и внешних сил, так и влияние жесткости опор, и находить наиболее оптимальное инженерное решение.

КОЭФФИЦИЕНТ ОПАСНОСТИ НАПРЯЖЕННОГО состояния

Стержень, защемленный по концам

КОЭФФИЦИЕНТ ОПАСНОСТИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан в рамках гипотезы плоских нормальных сечений алгоритм построения нелинейных уравнений равновесия стержня, отличающийся тем, что он не имеет ограничений на величину перемещений, на характер изменения по времени и объему детали температурного поля и зависящей от него тепловой деформации, на вид зависимости между деформациями и напряжениями, возникающими внутри стержня.

2. Предложена схема линеаризации систем нелинейных дифференциальных; уравнений, изменяющихся во времени, и сведения их к системе линейных

дифференциальных уравнений в последовательные моменты времени, отличающаяся тем, что система решаемых нелинейных дифференциальных уравнений формируется в неявном виде

3 Разработан новый вариант метода сплайнов пятой степени, предназначенный для решения системы линейных дифференциальных уравнений, описывающих деформирование стержня, отличающийся тем, что для повышения точности численного решения при формировании дискретного аналога дифференциального уравнения равновесия использовался фундаментальный принцип теоретической механики - принцип Пуансо о способах приведения систем сил к заданному центру

4 Разработана и реализована на ЭВМ методика расчета напряженно-деформированного состояния стеклопластиковых стержней в условиях неоднородного температурного поля, отличающаяся тем, что она не имеет ограничений на величину деформаций стержня, на характер тепловых деформаций материала стержня и на вид зависимостей между напряжениями и деформациями

5 Впервые проведено математическое моделирование влияния способов закрепления стеклопластикового стержня на возникающие в нем деформации и напряжения при одностороннем высокотемпературном нагреве На основе расчетов при разнообразных краевых условиях выявлено существенное влияние способов крепления элементов теплозащитной конструкции на внутренние напряжения и показано, какие из способов крепления позволяют снижать коэффициенты опасности напряженного состояния

ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в рецензируемых журналах из списка ВАК:

1 Вариант метода сплайна для расчета изгиба балок / А А Абдрахманова // Вестник Самарского государственного университета Естественно-научная серия Самара, 2007 № 2(52) С 5-15

2 Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния стержня при больших деформациях / А А Абдрахманова, В П Павлов // Вестник Самарского государственного университета Естественнонаучная серия Самара, 2007 №2(52) С 16-22

3 Математическое моделирование напряженного состояния стеклопластикового стержня при различных жесткостях опор / А А Абдрахманова, В П Павлов // Вестник Уфимского государственного авиационною технического университета Серия управление, вычислительная техника и информатика Уфа 2007 Том 9, № 5(23) С 91-96

В других изданиях-

4 Расчет изгиба балок методом сплайнов / А А Абдрахманова, В П Павлов // Математические заметки Якутского государственного университета Якутск, 2006 т 13, выл J с 98-104

5 Математическая модель деформирования стержня при одностороннем тепловом воздействии / А А Абдрахманова // Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики ма-

териалы III Междунар конф Нальчик, 2006 С 13-15

6 Моделирование деформирования конструкций из стеклопластиков при тепловом воздействии / А А Абдрахманова // Современные проблемы механики сплошной среды труды X Междунар конф Ростов-на-Дону ЦВВР, 2006 С 19-22

7 Математическая модель деформирования стержня при произвольном силовом и тепловом воздействии / А А Абдрахманова // Интеграционные евразийские процессы в науке, образовании и производстве материалы Всеросс научно-практич конф Кумертау, 2006 С 194-196

8 Метод расчета деформированного состояния стержня при больших перемещениях / А А Абдрахманова // Интеллектуальные системы обработки информации и управления сборник статей 2-ой регион зимней школы-семинара аспирантов и молодых ученых Уфа Технология, 2007 Т2 С 226-231

9 Построение математической модели деформирования стержней при больших перемещениях / А А Абдрахманова // Проблемы строительного комплекса России материалы XI Междунар научно-технич конф Уфа, 2007 Т 2

10 Вариант применения сплайнов для расчета стержней / А А Абдрахманова // Проблемы строительного комплекса России материалы XI Междунар научно-технич конф Уфа, 2007 Т2 С 140-141.

11 Метод расчета изгиба балок сплайнами пятой степени / А А Абдрахманова // Материалы Уфимской междунар математ конф , посвященной памяти А Ф.Леонтьева Уфа 2007 Т1 С 10-12

12 Метод математического моделирования напряженно- деформированного состояния стержня при больших деформациях / А А Абдрахманова, В П Павлов // Дифференциальные уравнения и их приложения материалы Всеросс конф Самара, 2007 С 11-16

С 13Е-139

Диссертант

Абдрахманова А А

АБ ДРАХМА НОВА Алия Айдаровна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТЕРЖНЯ В УСЛОВИЯХ НЕОДНОРОДНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 23 11 07 Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Печать плоская Гарнитура Times New Roman Уел печ л 1,0 Уел кр-отг 1,0 Уч.-изд л. 1,0. Тираж 100 экз Заказ № 577

ГОУВПО Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии УГАТУ 450000, Уфа-центр, ул К Маркса, 12

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ВОПРОСЫ, ТРЕБУЮЩИЕ РЕШЕНИЯ ПРИ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТЕРЖНЯ ПРИ ВЫСОКИХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ. и

1.1. Общая характеристика проблемы и постановка задачи.

1.2. Актуальные задачи науки и техники, требующие решений с учетом геометрической нелинейности конструкции и физической нелинейности ее материала.

1.2.1. Тепловая защита космических спускаемых аппаратов.

1.2.2. Тонкие упругие детали при больших перемещениях.

1.3. Краткая характеристика публикаций по вопросу анализа деформированного и напряженного состояния элементов конструкций при больших перемещениях и неоднородных температурных полях.

1.4. Физико-механические свойства стеклопластика КТ-11 -К-Ф.

1.4.1. Общая характеристика стеклопластика КТ-11-К-Ф и условий его эксплуатации

1.4.2. Тепловая деформация стеклопластика КТ-11 -К-Ф.

1.4.3. Характеристики прочностных и упругих свойств стеклопластика КТ-11 -К-Ф при высоких температурах.

1.5. Основные результаты главы 1.

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ДЕФОРМИРОВАНИЯ СТЕРЖНЯ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ СИЛОВОМ И ТЕПЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Деформация базовой линии стержня.

2.3. Орты касательной и нормали к деформированной базовой линии

2.4. Деформация произвольного волокна, параллельного базовой линии стержня.

2.5. Напряжения и внутренние силовые факторы в стержне.

2.5.1. Определение внутренних силовых факторов при нелинейной зависимости напряжения от деформаций.

2.5.2. Определение внутренних силовых факторов для материала, подчиненного закону Гука.

2.5.3. Учет тепловой деформации при определении внутренних силовых факторов.

2.6. Уравнения равновесия.

2.7. Линеаризация расчетных уравнений для описания деформирования стержня при больших перемещениях.

2.7.1. Линеаризация уравнений равновесия.

2.7.2. Линеаризация формул для определения деформации волокна стержня в произвольный момент времени.

2.7.3. Разложение параметров деформированной базовой линии по параметрам функций перемещений.

2.7.4. Разложение параметров деформации произвольного волокна стержня по параметрам функций перемещений.

2.7.5. Разложение коэффициентов дифференциального уравнения равновесия прямого стержня по параметрам функций перемещения.

2.7.6. Линеаризация уравнений равновесия с учетом тепловой деформации.

2.8. Основные результаты главы 2.

Глава 3. МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЯ И ОЦЕНКА ЕГО ТОЧНОСТИ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Метод сплайнов пятой степени.

3.2.1. Постановка задачи.

3.2.2. Основные положения метода.

3.2.3. Дискретный аналог уравнения равновесия.

3.2.4. Модельная задача, имеющая точное решение.

3.2.5. Методика оценки точности результатов численных расчетов

3.2.6. Обсуждение результатов решения модельной задачи методом сплайнов.

3.3. Решение нелинейной эталонной задачи об изгибе консольного защемленного на одном конце стержня изгибающим моментом, приложенным на другом конце стержня.

3.4. Применение методов фильтрации и экстраполяции для повышения точности расчетов и оценки погрешности численных результатов.

3.4.1. Фильтрация и экстраполяция численных результатов.

3.4.2. Результаты фильтрации и экстраполяции нелинейной эталонной задачи об изгибе консольного стержня I qq

3.5. Основные результаты главы 3.

Глава 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТЕКЛОПЛАСТИКОВОГО СТЕРЖНЯ В УСЛОВИЯХ ОДНОСТОРОННЕГО НАГРЕВА ПРИ

РАЗЛИЧНЫХ ЖЕСТКОСТЯХ ОПОР.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Стержень с упругой опорой заданной жесткости при одностороннем нагреве.

4.2.1 .Силовая нагрузка.

4.2.2. Температурное поле.

4.2.3. Результаты расчетов и экспериментов для стержня, защемленного по концам.

4.3. Анализ напряженного состояния стеклопластикового стержня при различных жесткостях опор стержня.

4.3.1. Постановка задачи.

4.3.2. Построение расчетной схемы для анализа напряженно-деформированного состояния стержневой модели тепловой защиты

4.3.3. Реакции консольного стержня при перемещении торцевого поперечного сечения его свободного конца.

4.3.4. Результаты расчетов.

4.6. Основные результаты главы 4.

Актуальность проблемы. В условиях современного развития науки и техники необходимо математическое моделирование описания поведения реальных конструкций. В частности, это связано с появлением композиционных материалов (КМ), обладающих рядом уникальных свойств: малым удельным весом, высокой удельной прочностью, малой теплопроводностью, высокой удельной теплоемкостью и др. Из КМ изготавливают детали самолетов и космических аппаратов. Многие из них работают при переменных во времени высоких температурах. Так, при посадке на Землю в момент входа в плотные слои атмосферы скорость космического спускаемого аппарата (КСА) равна 7,9-г 10 км/с, и гашение этой скорости осуществляется за счет аэродинамического торможения в атмосфере. При этом наружная теплозащищающая обшивка КСА, изготовляемая из КМ, при торможении снаружи нагревается до температуры достигающей в ряде случаев 1000 °С и выше. Из-за действия температуры и внешнего аэродинамического давления теплозащищающие элементы конструкции деформируются, в них возникают напряжения, которые приводят к силовым воздействиям на узлы их крепления к корпусу КСА. В связи с этим, для проектирования надежно работающей теплозащищающей обшивки КСА возникает актуальная задача построения математической модели деформирования элементов конструкций из КМ в условиях одностороннего высокотемпературного нагрева, соответствующего условиям реальной эксплуатации, в форме системы дифференциальных уравнений с последующей разработкой численных методов и комплексов программ для решения поставленной задачи.

К настоящему времени построен ряд математических моделей физико-механических свойств КМ при высоких температурах и разработан ряд численных методов расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций из КМ в линейной постановке. Большой вклад в изучение этой проблемы внесли отечественные ученые: Н. А. Алфутов, Б. Д. Аннин, Е. К. Ашкенази, В. В. Болотин, Г. И. Брызгалин, В. А. Буна-ков, С. В. Бухаров, Г. А. Ванин, В. В. Васильев, Г. Е. Вишневский, Г. С. Головкин, Ю. И. Димитриенко, Н. П. Ершов, А. А. Ильюшин, Г. В.

Исаханов, В. И. Королев, С. А. Лурье, А. К. Малмейстер, Г. X. Мурзаха-нов, Ю. В. Немировский, Ю. Н. Новичков, И. Ф. Образцов, Ю. А. Ножниц-кий, В. Н. Паймушин, Ю. С. Первушин, Г. С. Писаренко, Б. Е. Победря, В. Д. Протасов, Ю. Н. Работнов, А. А. Рыжов, Ю. В. Соколкин, В. С. Стре-ляев, В. П. Тамуж, Ю. М. Тарнапольский, А. А. Ташкинов, Г. Н. Третья-ченко, Ю. С. Уржумцев, О. Ф. Шленский и др.

Для более точного моделирования напряженно-деформированного состояния элементов конструкций из КМ необходимо учитывать нелинейные зависимости напряжения от деформации при высоких температурах и влияние деформации конструкции на уравнения равновесия, что приводит к необходимости решения нелинейных дифференциальных уравнений. Это позволяет считать разработку численных методик расчета деформировано-напряженного состояния элементов конструкций из КМ с учетом физической и геометрической нелинейностей актуальной задачей, обладающей существенной научной новизной и имеющей важное практическое значение.

Целью работы является разработка методики математического моделирования стержневых элементов конструкций в условиях неоднородного температурного поля с учетом нелинейности.

Задачи исследования. Для достижения цели работы поставлены следующие задачи:

1) разработать алгоритм построения в рамках гипотезы плоских нормальных сечений нелинейных уравнений равновесия стержня, не имеющих ограничений на величину перемещений, на характер изменения по времени и объему детали температурного поля и зависящей от него тепловой деформации, на вид зависимости между деформациями и напряжениями, возникающими внутри стержня;

2) свести решение системы нелинейных дифференциальных уравнений к решению системы линейных дифференциальных уравнений в последовательные моменты времени;

3) определить эффективный вариант решения линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка методом сплайнов пятой степени;

4) создать и реализовать на ЭВМ методику расчета напряженно-деформированного состояния стеклопластикового стержня с учетом больших перемещений, тепловых деформаций и нелинейных зависимостей напряжений от деформаций.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• разработан новый алгоритм построения нелинейных уравнений равновесия стержня с учетом больших перемещений и деформаций, нелинейных зависимостей напряжений от деформации и дифференциальной модели, описывающей тепловую деформацию материала с учетом всей истории его нагрева;

• предложена методика сведения системы неявно заданных нелинейных дифференциальных уравнений, изменяющихся во времени, к системе линейных дифференциальных уравнений, описывающих деформирование стержня в последовательные моменты времени;

• построен более точный, по сравнению с существующими, вариант метода сплайнов пятой степени, базирующийся на принципе Пуансо, и предназначенный для решения системы линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка, описывающих деформирование стержней;

• на основе созданного и реализованного на ЭВМ алгоритма расчета напряженно-деформированного состояния стержня впервые проведено математическое моделирование влияния способов закрепления стеклопластикового стержня на возникающие в нем деформации и напряжения при одностороннем высокотемпературном нагреве. Выявлено существенное влияние способов крепления элементов теплозащитной конструкции на внутренние напряжения и показано, какие из способов крепления позволяют снижать коэффициенты опасности напряженного состояния.

Методы исследований основаны на использовании: соотношений теории упругости и гипотез теории стержней; численного метода решения дифференциальных уравнений механики деформируемого твердого тела на основе метода сплайн-функций пятого порядка; экспериментальных данных о тепловой деформации и диаграмм деформирования стеклопластика при высоких температурах. Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в диссертационной работе, основывается на фундаментальных положениях, современных экспериментальных и численных методах механики деформируемого твердого тела и подтверждается: сравнением численных решений с точными аналитическими решениями тестовых задач; сопоставлением численных решений с результатами соответствующих экспериментальных исследований.

Практическое значение и реализация результатов работы. Данная работа выполнялась в период с 2004 по 2007 год в лаборатории композиционных материалов кафедры сопротивления материалов и на кафедре математики Уфимского государственного авиационного технического университета. Результаты работы внедрены в учебный процесс на кафедрах сопротивления материалов и математики УГАТУ. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях напряженно-деформированного состояния элементов конструкции авиационно-космической техники из композиционных материалов, а также при прогнозировании поведения трубопроводов из стеклопластиков в химической и нефтеперерабатывающей промышленности, строительных стеклопласти-ковых конструкций в чрезвычайных ситуациях (при пожарах и т.п.). Автор выносит на защиту:

• методику построения, в рамках гипотезы плоских нормальных сечений, системы нелинейных дифференциальных уравнений равновесия стержня, не имеющих ограничений: на величину перемещений, на характер изменения по времени и объему детали температурного поля и зависящей от него тепловой деформации, на вид физической зависимости между деформациями и напряжениями, возникающими внутри стержня;

• схему сведения зависящих от времени систем нелинейных дифференциальных уравнений к системе линейных дифференциальных уравнений в последовательные моменты времени;

• вариант метода сплайнов пятой степени, предназначенный для численного решения систем линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка, описывающих деформирование стержней;

• методику расчета напряженно-деформированного состояния стекло-пластикового стержня с учетом больших перемещений, тепловых деформаций и нелинейных зависимостей напряжений от деформаций.

Личный вклад автора. Все основные результаты, выносимые на защиту, получены лично автором.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Всеросс. науч. конф. «Математика, механика, информатика» (г.Челябинск, 2006г.); Всеросс. научно-практ. конф. «Интеграционные евразийские процессы в науке, образовании и производстве» (Башкирия, г.Кумертау, 2006г.); III Междунар. конф. «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (г.Нальчик, 2006г.); X Междунар. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды» (г.Ростов-на-Дону, 2006г.); Всеросс. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г.Самара, 2007г.); XI Междунар. научно-техн. конф. «Проблемы строительного комплекса России» (Уфа, 2007г.); семинаре Института механики РАН (г.Уфа, 2007г.); семинаре отдела Вычислительной математики ИМВЦ УНЦ РАН (г.Уфа, 2007г.); семинаре Института компьютерных исследований при УГАТУ (г.Уфа, 2007г.).

Публикации. По результатам выполненных исследований и разработок опубликовано 12 работ, в том числе три из них в рецензируемых журналах из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных выводов и списка литературы. Содержит 127 страниц машинописного текста, включающего 40 рисунков и библиографический список из 74 наименований.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан в рамках гипотезы плоских нормальных сечений алгоритм построения нелинейных уравнений равновесия стержня, отличающийся тем, что он не имеет ограничений на величину перемещений, на характер изменения по времени и объему детали температурного поля и зависящей от него тепловой деформации, на вид зависимости между деформациями и напряжениями, возникающими внутри стержня.

2. Предложена схема линеаризации систем нелинейных дифференциальных уравнений, изменяющихся во времени, и сведения их к системе линейных дифференциальных уравнений в последовательные моменты времени, отличающаяся тем, что система решаемых нелинейных дифференциальных уравнений формируются в неявном виде.

3. Разработан новый вариант метода сплайнов пятой степени, предназначенный для решения системы линейных дифференциальных уравнений, описывающих деформирование стержня, отличающийся тем, что для повышения точности численного решения при формировании дискретного аналога дифференциального уравнения равновесия использовался фундаментальным принцип теоретической механики -принцип Пуансо о способах приведения систем сил к заданному центру.

4. Разработана и реализована на ЭВМ методика расчета напряженно-деформированного состояния стеклопластиковых стержней в условиях неоднородного температурного поля, отличающаяся тем, что она не имеет ограничений на величину деформаций стержня, на характер тепловых деформаций материала стержня и на вид зависимостей между напряжениями и деформациями.

5. Впервые проведено математическое моделирование влияния способов закрепления стеклопластикового стержня на возникающие в нем деформации и напряжения при одностороннем высокотемпературном нагреве. На основе расчетов при разнообразных краевых условиях выявлено существенное влияние способов крепления элементов теплозащитной конструкции на внутренние напряжения и показано какие из способов крепления позволяют снижать коэффициенты опасности напряженного состояния.

1.А. Метод расчета деформированного состояния стержня при больших перемещениях // Сборник статей 2-ой регион.зимней школы аспирантов и молод, ученых. Уфа: Изд-во «Технология» 2007. Т.2. С. 10-17.

2. Абдрахманова А.А. Вариант метода сплайна для расчета изгиба балок //Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. Самара, 2007. - № 2(52). - С.5-15 .

3. Абдрахманова А.А. Вариант применения сплайнов для расчета стержней // Материалы XI Международной научно-технической конференции «Проблемы строительного комплекса России» Уфа: 2007. Т.2. С.140-141.

4. Абдрахманова А.А. Моделирование деформирования конструкций из стеклопластиков при тепловом воздействии // Труды X междунар. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". -Ростов-на-Дону: изд-во «ЦВВР», 2006. С. 19-22 .

5. Абдрахманова А.А. Павлов В.П. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния стержня при большихдеформациях //Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. Самара, 2007. - № 2(52). - С.82-90 .

6. Абдрахманова А.А. Построение математической модели деформирования стержней при больших перемещениях // Материалы XI Международной научно-технической конференции «Проблемы строительного комплекса России» Уфа. 2007. Т.2. С. 138-139.

7. Абдрахманова А.А., Павлов В.П. Метод математического моделирования напряженно- деформированного состояния стержня при больших деформациях //тез. докл. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара, 2007. - С. 11 -16.

8. Абдрахманова А.А., Павлов В.П. Расчет изгиба балок методом сплайнов //Мат. заметки ЛГУ. Якутск, 2006. - т. 13, вып. 1. - С. 98104.

9. Абдрахманова А.А. Метод расчета изгиба балок сплайнами пятой степени //Материалы Уфимской Международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф.Леонтьева Уфа: 2007. Т.1. С.10-12.

10. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.-448 с.

11. Амбар цумян С. А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость, колебания. М.: Наука, 1987. - 360 с.

12. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. -М.: Наука, 1987, 600 с.

13. Безухов Н. И., Лужин О. В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. М.: Высш. шк., 1974, 200 с.

14. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1986, 560 с.

15. Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980.-375 с.

16. Бунаков В. А., Головкин Г. С., Машинская Г. П. и др. Армированные пластики. М.: Изд-во МАИ, 1997. - 404 с.

17. Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. 4.1. М.: Наука, 1972,468 с.

18. Валишвили Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. -М.: Машиностроение, 1976.

19. Волков Е. А. Численные методы. М.: Наука, 1982. - 256 с.

20. Вольмир А. С. Гибкие пластины и панели, М.: Наука, 1968.

21. Гафаров Р.Х., Жернаков B.C. Что нужно знать о сопротивлении материалов / Под ред. В.С.Жернакова. М.: Машиностроение, 2001. -276 с.

22. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы: Введение в теорию. М.: Наука, 1977. 440 с.

23. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976.-512 с.

24. Гребенников A.M. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1983. - 208 с.

25. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.-360 с.

26. Григоренко Я. М., Василенко А. Т., Беспалова Е. И., Панкратова Н. Д., Полищук Т. Н., Лацинник И. Ф. Численное решение задач статики ортотропных оболочек с переменными параметрами. К.: Наукова думка, 1975. - 184 с.

27. Демидович Б. П. , Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. - 368 с.

28. Доннел Л. Г. Балки, пластины и оболочки, -М.: Наука, 1982. 568 с.

29. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Ураков А.Р. Линейные некорректные задачи. Верификация численных результатов. Учебное пособие.-Уфа:УГАТУ,2002.- 91с.

30. Житников В.П., Зиннатуллина О.Р., Михтанюк А.А. Программная реализация численных методов и анализ результатов численного эксперимента: методические указания. Уфа: УГАТУ, 2007. - 34с.

31. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Федорова Г.И., Зиннатуллина О.Р. Основы многокомпонентного анализа численных результатов. Учебное пособие Уфа: УГАТУ, 2007. - 117с.

32. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Метод сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

33. Завьялов Ю. С., Леус В. А., Скороспелов В. А. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985.-224 с.

34. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -541 с.

35. Исаханов Г. В. Прочность неметаллических материалов при неравномерном нагреве. Киев: Наукова Думка, 1971.-180 с.

36. Исаханов Г. В., Журавель А. Е. Прочность армированных пластиков и ситаллов. М.: Машиностроение, 1981. - 234 с.

37. Калиткин Н. Н. Численные методы.-М.: Наука, 1978. -512 с.

38. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. -352 с.

39. Корнишин М. С., Исанбаева Ф. С. Гибкие пластины и панели. М.: Наука, 1968.-260 с.

40. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. Т. 1. М.: Наука, 1976. -304 с.

41. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. Т. 2. М.: Наука, 1976. -304 с.

42. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.-536 с.

43. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 208 с.

44. Новожилов В. В. Теория оболочек. JL: Судостроение, 1962.

45. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов: Пер. с англ. М.: Мир, 1981.-304 с.

46. Образцов И. Ф., Савельев JI. М., Хазанов X. С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высш. шк., 1985. - 392 с.

47. Павлов В. П. Метод сплайнов и другие численные методы решения одномерных задач механики деформируемых твердых тел/. Уфа: Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. Уфа, 2003. 197 с.

48. Павлов В. П. Ползучесть полимерных композиционных материалов при переменных повышенных температурах. Экспериментальные исследования и математическое моделирование/ Уфа: Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. Уфа, 2004.154 с.

49. Павлов В. П. Тепловая деформация, прочность и термовязкоупругость стеклопластиков при высокой переменной во времени температуре в условиях термодеструкции.

50. Экспериментальные исследования и математическое моделирование/ Уфимск. гос. авиац. ун-т.-Уфа: УГАТУ, 2004. 218 с.

51. Павлов В.П. Методика расчета и результаты экспериментального исследования стержня из стеклопластика при одностороннем высокотемпературном нагреве / В.П. Павлов // Вестник УГАТУ. 2005. Т.6. №1 (12). С. 162-167.

52. Панкратов Б. М. Основы теплового проектирования транспортных космических систем. М.: Машиностроение, 1988.-304 с.

53. Панкратов Б. М. Тепловое проектирование агрегатов летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1981. - 175 с.

54. Панкратов Б. М., Полежаев Ю. В., Рудько А. К. Взаимодействие материалов с газовыми потоками. М.: Машиностроение, 1975. - 224 с.

55. Поздеев А. А., Трусов П. В., Няшин Ю. И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. -М.: Наука, 1986.-232 с.

56. Полежаев Ю. В., Юрьевич Ф. Б. Тепловая защита. М.: Наука, 1976. - 392 с.

57. Попов Е. П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. JI.; М.: Гостехиздат, 1948. 170 с.

58. Попов Е. П. Теория и расчет гибких стержней. М.: Наука, 1986. -296 с.

59. Протасов В. Д. Механика в машиноведении композитных конструкций // Механика композитных материалов. 1987. - № 3. -С. 490 - 492.

60. Протасов В. Д., Страхов В. JI, Кульков А. А. Проблемы внедрения композитных материалов в конструкции авиационно-космической техники // Механика композитных материалов. 1990. - № 6. - С. 1057- 1063.

61. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. - 744 с.

62. Самарский А. А, Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432 с.

63. Самарский А. А, Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: 1978.-592 с.

64. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 656 с.

65. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.-416 с.

66. Сахаров А. С., Кислоокий В. Н., Киричевский В. В., и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев: Вища шк., 1982.-480 с.

67. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов: Пер. с англ. -М.: Мир, 1979.-392 с.

68. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов М.: Наука, 1979—560с.

69. Филин А. П. Элементы теории оболочек. JL: Стройиздат, 1975. -256 с.

70. Шленский О. Ф. Тепловые свойства стеклопластиков. М.: - Химия, 1973.-219 с.

71. Шленский О. Ф., Шашков А. Г., Аксенов Л. Н. Теплофизика разлагающихся материалов. М.: Энергоиздат, 1985. - 144 с.