автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование магнитогидродинамических нестационарных процессов электродугового синтеза углеродных нанотрубок

На правах рукописи

Ершов Сергей Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МА СНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ ЭЛЕКТРОДУГОВОГО СИНТЕЗА УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссе ггации на соискание ученой степени кандидата технических наук

48523оэ

Воронеж - 2011

4852385

Работа выполнена на кафедре «Управление качеством и машиностроительные технологии» ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия».

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Попов Геннадий Васильевич

доктор технических наук, профессор Колодёжнов Владимир Николаевич (Воронежская государственная технологическая академия) кандидат технических наук, доцент Кочетов Владимир Иванович (Воронежский филиал МГЭИ)

Ведущая организация:

ОАОНИИПМ г.Воронеж

Защита состоится «5» июля 2011 г. в 12 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 в ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия» по адресу: 394036, г. Воронеж, проспект Революции, д. 19, конференц-зал.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять по адресу: 394036, г. Воронеж, проспект Революции, д. 19, ГОУ ВПО ВГТА, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.035.02.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия».

Автореферат размещен на официальном" сайте ВГТА www.vgta.vrn.ru «3» июня 2011 года.

Автореферат разослан «2» июня 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ,

кандидат технических наук, доцент ^^^^^^¿^аустов И. А.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Перспективный уровень развития техники во многом определяется нанотехнологиями и наномате-риалами, среди которых наибольшее внимание привлекают углеродные нанотрубки (УНТ). Сдерживающим фактором производства нанотрубок является низкая эффективность технологии их получения. Ввиду сложности экспериментального изучения процесса, перспективным направлением исследования условий синтеза является математическое моделирование.

Сложность моделирования обуславливается тем, что наряду с описанием гидродинамики плазмы, необходимо учитывать влияние электрических и магнитных полей, многофазность системы и др.

Управление процессом получения углеродных нанотрубок в настоящее время ведется по усредненным функциональным параметрам (сила тока, напряженность электрического поля, межэлектродное расстояние). Не учитывается нестационарность условий образования УНТ, что приводит к изменению содержания нанотрубок в депозите с течением времени. Следовательно, изучение нестационарности процесса синтеза углеродных нанотрубок в плазме методами математического моделирования и выявление взаимосвязей функциональных параметров и параметров, характеризующих процесс синтеза, является актуальной и перспективной задачей.

Работа проводилась при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 06-08-01310 «Математическое моделирование микромеханических процессов в технологиях формирования нанопленок».

Целью работы является разработка методов математического моделирования для магнитогидродинамического описания нестационарных процессов при электродуговом синтезе углеродных нанотрубок.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе сформулированы следующие задачи исследования:

1. На основании анализа особенностей получения УНТ предложить методику математического моделирования неста-

ционарных магнитогидродинамических процессов при электродуговом синтезе углеродных нанотрубок.

2. Провести исследование характеристик полученной математической модели и оценить их динамические свойства.

3. Выявить влияние функциональных параметров на параметры, характеризующие условия образования углеродных нанотрубок.

4. Реализовать результаты математического моделирования в виде комплекса проблемно-ориентированных программ, позволяющих исследовать влияние функциональных параметров электродугового синтеза на условия образования углеродных нанотрубок, с учетом нестационарности процессов в плазме, и оценить область его рационального использования.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались теория магнитной гидродинамики, теория решения дифференциальных уравнений в частных производных, методы вычислительной математики и моделирования.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

1. Математическая модель, отличающаяся учетом нестационарного поведения углеродной плазмы в зоне формирования углеродных нанотрубок.

2. Предложен алгоритм математического моделирования нестационарных процессов электродугового синтеза на основании конечно-разностной схемы интегрирования, отличающийся идентификацией граничных условий, определена область устойчивости полученного решения. Предложен алгоритм математического моделирования нестационарных процессов электродугового синтеза углеродных нанотрубок на основе уравнений магнитной гидродинамики, отличающийся тем, что исходные уравнения преобразуются представлением искомых функций в виде рядов с разложением по безразмерным аксиальным и радиальным координатам, а ряд граничных условий определяется на основе численного метода последовательного приближения.

3. На основании полученной математической модели разработан программный комплекс, позволяющий исследовать влияние функциональных параметров электродугового синтеза на

условия образования углеродных нанотрубок, учитывая нестационарные процессы в плазме.

Практическая значимость состоит в следующем:

1. Разработанная математическая модель и методика моделирования позволяют учитывать нестационарные процессы в плазме при электродуговом синтезе углеродных нанотрубок и определить время нестационарных и стационарных режимов процесса.

2. Математическая модель и результаты исследований положены в основу прикладной программы, позволяющей выбрать требуемой режим управления электродуговым синтезом углеродных нанотрубок.

3. Результаты вычислительного эксперимента позволили предложить способ получения углеродных нанотрубок и устройство его осуществления, защищенное патентом на изобретение.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: VI международной научной конференции «Кибернетика и высокие технологии XXI века» (г.Воронеж, 2005 г.), I всероссийской школе - семинаре молодых ученых и преподавателей, аспирантов студентов и менеджеров малых предприятий (г.Тамбов, 2008 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, из них 2 в реферируемых журналах из списка ВАК РФ и патент ЬШ 2337061 С1.

Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 132 страницах машинописного текста. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы и приложений, содержит 75 рисунков и 6 таблиц. Библиография включает 98 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе приведены данные, свидетельствующие об актуальности исследования свойств и применения углеродных нанотрубок и ставится задача повышения эффективности технологии их получения.

Анализ состава плазмы позволил установить, что возможны три механизма образования: из нейтральных частиц углерода, заряженных углеродных частиц и смешанный механизм.

Исследование электродугового синтеза позволило, сделать вывод, что при поддержании параметров процесса на заданном уровне содержание углеродных нанотрубок в депозите меняется с течением времени. Поэтому изучение нестационарности параметров, характеризующих процесс образования углеродных нанотрубок, позволит предложить рекомендации по управлению функциональными параметрами электродугового синтеза, с целью увеличения содержания УНТ в катодном депозите.

Анализ методов описания плазмы и оценочные расчеты основных её свойств показали, что углеродную плазму можно рассматривать, как электропроводящую жидкость.

Во второй главе разработана и проверена на адекватность математическая модель магнитогидроди-намических процессов в электрической дуге между цилиндрическими графитовыми электродами.

Течение плазмы было рассмотрено в цилиндрических координатах, а также введено допущение об осесиммет-ричности движения. Вектор напряженности электрического поля был принят постоянным во всем объеме плазмы и имеющим только аксиальную составляющую. Действием тангенциальных сил пренебрегали. Плазма рассматривалась как сжимаемая среда. Несущей фазой являлась заряженная компонента, состоящая из однозарядных ионов углерода. На оси разряда было выделено плазменное ядро, в котором ток, температура считаются постоян-

Рис.1 Расчетная схема процесса электродугового синтеза

ными. Радиус ядра принят равным г0 = 0,001Лэ?. Движение плазмы в межэлектродном зазоре происходит под действием сил (рис. 1): кулоновской силы вязкого трения Ртр, давления р

и силы Ампера РА.

Система исходных уравнений магнитной гидродинамики в цилиндрических координатах, включающая уравнения неразрывности, движения, уравнения электродинамики, с учетом изложенных допущений приняла следующий вид:

= ]г

Р-к дР

— + Р 81

д&.

; =

1 (дВ р-к'"" м0-Лдг

/

г + В

; р

м-к'

ар ^

дг дг

дг

дг

' дг

+Р

дЭ.

Гд23г + д2&г

дг2 дг2

дг

1 дЭг

+---

г дг

дг Лг дг

А

г

(1)

д23..

дг дг г дг

д23, 1 - + —

где г, г - аксиальная и радиальная координаты, м; у - плотность тока в плазме, А/м2; р - плотность заряженной компоненты плазмы, кг/м3; <9 - скорость заряженной компоненты плазмы, м/с; Е — напряженность электрического поля, В/м; к - удельный заряд иона углерода, Кл/кг; р - парциальное давление ионов, Па; // - коэффициент динамической вязкости, Па с; В - индукция магнитного поля, Тл; цм - магнитная проницаемость среды.

В соответствии с принятыми допущениями и расчетной схемой граничные и начальные условия были записаны в виде: при / = 0: В (О,г,.г) = 0, р(0,г,г) = РНе, Э, (0 ,г,г) = О,

р(0,г,г)-

р(0,г,г)М-кЛс

-,■9,(0,2,/-) = С,

„2 Л

1-е,

Л.

при 7 = 0: $г(/,0,г) = С,

Г 2

1

Ч

дЗ 0,0,г)

52 /

2 Л

при г = 0: В{1,2,0) = 0, 5г(/,г,0)=0, р(/,г,0) = С3, 51(/,0>г) = С1>

^ ; аг ' 1 ' Эг

Так как в системе (1) находятся нелинейные уравнения в частных производных, поиск её решения проводился сеточным методом. Использовалась явная схема, производные были разложены по правым разностям.

Ряд граничных и начальных условий (2) записаны с неизвестными коэффициентами С/, С2, С3, С4, которые невозможно определить экспериментально или исследований других авторов.

Поэтому они были подобраны методом "пристрелки" с помощью градиентного метода наискорейшего спуска с критерием

п N

щ • • « • • • 11

ЛЬ а.' а. 'л 1 "

Рис. 2 Наложение сетки на межэлектродное пространство

грасч г Л 11, г

->0,

(3)

где Цкс и 1[м™ - значение силы тока в цепи, полученное экспериментально и рассчитанное по модели соответственно.

Применение данной методики для решения системы уравнений (1) с использованием конечно-разностной схемы на ЭВМ затруднительно, что связано с большими массивами данных и длительным временем счета.

Соотношение вязкостных и кулоновских сил, действующих на элементарный объем при коэффициенте динамической

вязкости

fi = 1,5 • 10"5 Па ■ с, находится

в

диапазоне

Fmp j FKyi = 0,005 + 0,01, а, следовательно, действием вязкостных

сил можно пренебречь.

Сравнительный анализ расчетного и полученного в работе B.C. Мечева распределения аксиальной скорости показал, что их относительное расхождение составляет не более 5%, что является удовлетворительным для плазменных процессов.

Исследование устойчивости полученного решения показали, что на основании критерия (4) наиболее оптимальными шагами дискретизации являются значения из диапазонов по аксиальной координате¿fe = 10"8.. 10"6м, по радиальной координате

dr — 10_9..10~7Л1 ипо времени dt = 10"14.. 10"12 се/с..

Использование данного подхода к моделированию затруднено для выбора режима управления электродуговым синтезом, так как время расчета для решения должно быть сопоставимо со временем цикла процесса синтеза, то реализация данного метода потребовала бы "мощные" вычислительные устройства, применение которых нецелесообразно в системах управления. Поэтому полученная методика может быть использована лишь для исследовательских работ.

В работе рассмотрена методика построения модели электродугового синтеза углеродных нанотрубок для выбора требуемого режима управления процессом.

На основании вычислительного эксперимента сделано допущение о незначительности влияния вязкостных сил, поэтому ими пренебрегли. При этом граничные и начальные условия были заданы следующим образом:

при r = r0 : B(t,z,r0) = 0, 3r(t,z,ro)=0, p(t,z,r0)=/2(t,z); &2{t,z,r0)=v00V0(t).

Поиск приближенного решения осуществлен в виде разложения функций радиальной и аксиальной компоненты скоро-

(4)

сти и плотности в функциональные ряды по степеням безразмерной аксиальной и радиальной координаты:

N1 N1

С \ 2

>=0 N1 N2

я(0.

V

Л,у

1=0 N2 N1

Л' г

Н{г)

кК)

Г V

(5)

_/=0 /=0 где N1 = 2, N2 = 1.

При решении искомые функции были усреднены интегрированием по аксиальным и радиальным координатам. Таким образом, задача поиска решения была сведена к решению системы уравнений относительно компонент разложения (6):

(6)

г2(0) = 1,у,(0) = 0,р(0) = 1.

Из граничных и начальных условий были определены неизвестные коэффициенты рц, кроме у0,о- Коэффициент у0,0 был подобран методом пристрелки, который реализован с помощью градиентного метода наискорейшего спуска с критерием:

5(уо,о) =

( _^ расы

-»О

(7)

Сравнительный анализ расчетного и полученного в работах В.С.Мечева и А.И. Иванова распределения аксиальной скорости в дуге показал, что относительное расхождение результатов 1 и 3 (рис. 3) не превышает 20 %, что является удовлетворительным при описании плазменных процессов.

Рис 3 Радиальное распределение аксиальной скорости t3? в дуге (ток 150 А): 1 - полученное В. С. Мечевым, 2 — полученное А.И. Ивановым, 3 - рассчитанное по модели

Показано, что полученная математическая модель адекватно описывает физические процессы в электрической дуге при электродуговом синтеза углеродных нанотрубок и может быть использована для описания явлений в ней.

В третьей

главе проведен анализ результатов математического моделирования, исследование процесса идентификации граничных условий при моделировании, исследование динамических характеристик основных параметров движения, исследование влияния изменения внешних параметров модели на параметры, характеризующие условия образования УНТ.

Исследование процесса оптимизации позволило определить зависимость максимально возможного шага оптимизации от точности оптимизации 5 и от коэффициента Vo,o^ Анализ зависимости точности оптимизации от диапазона оптимальных значений коэффициента у00 позволил рекомендовать рацио-

3 1.005

3 §

1 OHM

И 20 30 41 90 С

Бремя процесса синтеза, сек

Рис. 4 Изменение радиуса изобары парциального давления ионов углерода на поверхности катода во время синтеза, где 1 - 6500Па, 2 - 7500Па, 3 - 8500Па.

нальный шаг оптимизации с точки зрения минимизации времени счета.

При оптимизации была определена область значений коэффициента \о,о, для которой будет характерно устойчивое решение. Анализ зависимости критерия от коэффициента Vo,o показал, что в диапазоне у00 = 0..105 будет получено устойчивое решение.

Анализ сходимости решения представленного в виде ряда (5) показывает, что удовлетворительная адекватность достигается при N = 2.

Анализ изменения радиуса изобары на поверхности катода для разного давления (рис. 4) показал, что зона с давлением, соответствующим получению углеродных нанотрубок по мере выхода на стационарный режим уменьшается. Стоит отметить, что если вначале процесса синтеза на 92% поверхности катода

образуется область с давлением Рюп>8500Па, то после того, как процесс выходит на стационарный режим эта область занимает не более 2% поверхности.

То есть область давления образовавшаяся на периферии вначале электродугового разряда, со временем смещается ближе к центру и практически исчезает при выходе на стационарный режим. Таким образом, синтез вначале процесса проводится при одних условиях образования углеродных нанотрубок, а при выходе на стационарный режим - при других условиях.

Рис. 5 Изменение парциального давления ионов углерода на поверхности катода в зависимости от значения радиальной координаты, где 1 - при Я=0 м.; 2 - при Я=0,0025 м.;Ъ- при Я=0,005 м..

Анализ изменения парциального давления ионов углерода на поверхности катода в зависимости от значения радиальной координаты (рис. 5), показывает, что давление в течении первых двух секунд увеличивается, а затем, при выходе на стационарный режим уменьшается. Как известно, при электродуговом синтезе образуются одностенные и многостенные углеродные нанотруб-ки, разной длины и хиральности, и изменение условий образования углеродных нанотрубок будет влиять на вид получаемого продукта. При этом на поверхности катода образуются одностенные углеродные нанотрубки, ориентированные перпендикулярно поверхности катода в первые две секунды электродугового синтеза. То есть создаются условия для получения нанотрубок определенного вида, которые меняются в результате поддержания усредненных параметров процесса.

Таким образом, для получения углеродных нанотрубок требуемого качества необходимо не поддерживать на заданном уровне функциональные параметры процесса, такие как сила тока, напряжение, межэлектродное расстояние, а изменять их, воздействуя на параметры, влияющие на образование углеродных нанотрубок (давление и температура ионов углерода), учитывая при этом динамику их изменения.

В четвертой главе изложена методика проведения экспериментов на установке электродугового синтеза углеродных нанотрубок, методы рентгеноструктурного анализа содержания нанотрубок в депозите и алгоритмы обработки экспериментальных данных, использовавшихся при формировании допущений к модели, граничных условий и при анализе математической модели.

В пятой главе на основании полученной модели и обработки данных экспериментов разработан комплекс программ, позволяющий прогнозировать изменение параметров синтеза УНТ в зависимости от заданных начальных условий и вида внешних функциональных параметров и выдавать рекомендации по оптимизации синтеза.

В приложениях к диссертационной работе приведены справочные данные, листинги программ управления процессом и программ, использовавшихся при расчетах, ряд промежуточных выражений полученных при построении модели.

Основные выводы и результаты работы

1. Анализ экспериментальных данных позволил определить нестационарный характер изменения количественного содержания углеродных нанотрубок в катодном депозите при поддержании функциональных параметров синтеза на заданном уровне.

2. Разработан алгоритм математического моделирования нестационарных процессов электродугового синтеза на основании конечно-разностной схемы интегрирования и идентифицированы граничные условия. Выбраны оптимальные шаги дискретизации по аксиальной координате = 10-8. .10-6 м, по радиальной координате с1г = 10-9..1(Г7л* и по времени = 10-14.. 10~12 сек. с учетом устойчивости решения и минимизации времени вычисления. Результаты решения с использованием конечно-разностной схемы позволили сделать вывод, что вязкостными силами можно пренебречь.

3. Разработан алгоритм математического моделирования нестационарных процессов электродугового синтеза углеродных нанотрубок на основе уравнений магнитной гидродинамики, решение с помощью которого осуществляется представлением искомых функций в виде рядов с разложением по безразмерным аксиальным и радиальным координатам, а ряд граничных условий определяется на основе численного метода последовательного приближения. Сформулированный критерий близости расчетного значения аксиальной скорости к экспериментальным позволил определить граничные условия для аксиальной скорости.

4. Математическая модель и результаты исследований положены в основу прикладной программы, позволяющей осуществить выбор требуемого режима управления электродуговым синтезом углеродных нанотрубок.

5. На основании вычислительных экспериментов с математической моделью установлено влияние внешних параметров (напряженность электрического поля и сила тока в цепи) на параметры, характеризующие плазму (аксиальная скорость и плотность).

6. Исследование процесса моделирования позволило выдать рекомендации по выбору окрестности минимума критерия и шага оптимизации при идентификации граничных условий, при этом точность должна быть не менее Smin = 2-10'5.

Основные результаты работы опубликованы в следующих работах: публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Ершов C.B. Математическая модель динамики движения ионов при электродуговом синтезе углеродных нанотрубок [Текст] / C.B. Ершов, Г.В. Попов // Вестник Тамбовского государственного технического университета. — Тамбов, 2009. — Т. 12, №1 — с.178-185.

2. Попов Г.В. Математическая модель нестационарности движения ионов при электродуговом синтезе углеродных нанотрубок [Текст] / Г.В. Попов, C.B. Ершов // Вестник Воронежского государственного технического университета. — Воронеж: ВГТУ, 2010. — Т.6, №12. - с. 196-200.

статьи и материалы конференций

3. Аксенов С.Н. Система управления электродуговым синтезом углеродных нанотрубок [Текст] / С. Н. Аксенов, С. В. Ершов, А.И. Иванов, Г. В. Попов // Вестник Воронежской государственной технологической академии. - Воронеж, 2005. - № 10. - С. 162-168.

4. Аксенов С.Н. Система управления электродуговым синтезом углеродных нанотрубок [Текст] / С.Н. Аксенов, C.B. Ершов, Г.В. Попов // Вестник Воронежской государственной технологической академии. - Воронеж, 2007. - № 12. - С. 24-28.

5. Авцинов И.А. Автоматизация процесса электродугового синтеза углеродных нанотрубок с учетом выгорания анода [Текст] / И.А. Авцинов, Г.Г. Попов, C.B. Ершов // Вестник Воронежской государственной технологической академии. - Воронеж, 2009. - № 2 (40). - С. 89-93.

6. Ершов C.B. Разработка элементов АСУТП производства углеродных нанотрубок [Текст] / C.B. Ершов, Г.В. Попов // Инновационный менеджмент в сфере высоких технологий/ Издательство ТГТУ - Тамбов, 2008. с. 228-230.

7. Ершов C.B. Диагностика процесса получения углеродных нанотрубок [Электрон, ресурс] / C.B. Ершов, С.Н. Аксенов, Г.В. Попов // Международная научно-техническая интернет-конференция «Информационные технологии в управлении и моделировании» 15.03.2005. - Режим доступа: http://conf.bstu.ru/articles/. Дата обращения: 10.03.2011.

8. Аксенов С.Н. Предпосылки к управлению синтезом углеродных нанотрубок [Текст] / С.Н. Аксенов, C.B. Ершов, Г.В. Попов // Материалы VI международ, науч. - тех. конф. "Кибернетика и высокие технологии XXI века" - Воронеж, ВГУ, 2005 - т. 2-е. 575-579.

"патенты РФ

9. Абрамов Г.В. Пат. RU 2337061 Cl, МПК С01В 31/02 Способ получения углеродных нанотрубок и устройство его осуществления [Текст] / Абрамов Г.В., Аксенов С.Н., Ершов C.B., Попов Г.В. (RU) - № 2337061; заявл. 22.01.2007; опубл. 27.10.2008, Бюл. № 30. - 9 е.: ил.

Подписано в печать 31.05.2011 Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 147

ГОУВПО «Воронежская государственная технологическая академия» (ГОУВПО «ВГТА») Отдел полиграфии ГОУВПО «BITA» Адрес академии и отдела полиграфии: 394036, Воронеж, пр. Революции, 19

Введение

1. Современное ^состояние вопросов математического моделирования электродугового синтеза углеродных нанотрубок д

1.1. Углеродные нанотрубки, как объект исследования. Свойства, применение, получение

1.2. Методы синтеза углеродных нанотрубок

1.3. Анализ механизмов формирования углеродных нанотрубок

1.4. Анализ существующих математических методов описания плазменных процессов

1.5. Цели и задачи исследования

2. Математическое моделирование магнитогидродинамических процессов электродугового синтеза углеродных нанотрубок

2.1. Общая постановка задачи

2.2. Методика построения модели электродугового синтеза углерод ных нанотрубок конечно-разностным методом

2.3. Методика построения модели электродугового синтеза углерод ных нанотрубок методом разложения искомых функций в ряды

2.4. Оценка результатов математического моделирования

3. Анализ результатов математического моделирования условий элек- 75 тродугового синтеза углеродных нанотрубок

3.1. Исследование процесса оптимизации при моделировании

3.2. Исследование динамических характеристик основных параметров движения

3.3. Исследование основных параметров движения

3.4. Исследование влияния изменения внешних параметров модели на характеристические параметры

4. Методика и техника эксперимента

4.1. Техника экспериментов

4.2. Методика эксперимента и обработки экспериментальных данных

5. Практическое использование результатов моделирования

5.1. Описание программного комплекса для расчета параметров движения ионов углерода при электродуговом синтезе

5.2. Предлагаемые способ и устройство получения углеродных нанотрубок

Актуальность работы. Перспективный уровень развития техники во многом определяется нанотехнологиями и наноматериалами, среди которых наибольшее внимание привлекают углеродные нанотрубки (УНТ). Сдерживающим фактором производства нанотрубок является низкая эффективность технологии их получения. Ввиду сложности 1 экспериментального изучения процесса, перспективным направлением исследования условий синтеза является математическое моделирование.

Сложность моделирования обуславливается тем, что наряду с описанием гидродинамики плазмы, необходимо учитывать" влияние электрических и магнитных полей, многофазность системы и др.

Управление процессом получения углеродных нанотрубок в I настоящее время ведется по усредненным функциональным параметрам (сила тока, напряженность электрического поля, межэлектродное расстояние). Не учитывается нестационарность условий образования УНТ, что приводит к изменению содержания нанотрубок в депозите с течением времени. Следовательно, изучение нестационарности процесса синтеза углеродных нанотрубок в плазме методами математического моделирования и выявление взаимосвязей функциональных параметров и параметров, к характеризующих процесс синтеза, является актуальной и перспективной задачей.

Работа проводилась при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований №06-08-01310 «Математическое моделирование микромеханических процессов в технологиях формирования нанопленок».

Целью работы является разработка методов математического моделирования для магнитогидродинамического описания нестационарных процессов при электродуговом синтезе углеродных нанотрубок.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе сформулированы следующие задачи исследования:

1. На основании анализа особенностей получения УНТ предложить методику математического моделирования нестационарных магнитогидродинамических процессов при электродуговом синтезе углеродных нанотрубок.

2. Провести исследование характеристик полученной математической модели и оценить их динамические свойства.

3. Выявить влияние функциональных параметров на параметры, характеризующие условия образования углеродных нанотрубок.

4. Реализовать результаты математического моделирования в виде комплекса проблемно-ориентированных программ, позволяющих исследовать влияние функциональных параметров электродугового синтеза на условия образования углеродных нанотрубок, с учетом нестационарности процессов в плазме, и оценить область его рационального использования.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались теория магнитной гидродинамики, теория решения дифференциальных уравнений в частных производных, методы вычислительной математики и моделирования.

Научная новизна диссертации заключается в следующем: 4

1. Математическая модель, отличающаяся учетом нестационарного поведения углеродной плазмы в зоне формирования углеродных нанотрубок.

2. Предложен алгоритм математического моделирования нестационарных процессов электродугового синтеза на основании конечно-разностной схемы интегрирования, отличающийся идентификацией граничных условий, определена область устойчивости полученного решения. Предложен алгоритм математического моделирования нестационарных 1 | процессов электродугового синтеза углеродных нанотрубок на основе уравнений магнитной гидродинамики, отличающийся тем, что исходные уравнения преобразуются представлением искомых функций в виде рядов с разложением по безразмерным аксиальным и радиальным координатам, а ряд граничных условий определяется на основе численного метода последовательного приближения. I

3. На основании полученной математической модели разработан программный комплекс, позволяющий исследовать влияние функциональных параметров электродугового синтеза на условия образования углеродных нанотрубок, учитывая нестационарные процессы в плазме.

Практическая значимость состоит в следующем:

1. Разработанная математическая модель и методика моделирования позволяют учитывать нестационарные процессы в плазме при электродуговом синтезе углеродных нанотрубок и определить время нестационарных и стационарных режимов процесса.

2. Математическая модель и результаты исследований положены в основу прикладной программы, позволяющей выбрать требуемой режим управления электродуговым синтезом углеродных нанотрубок.

3. Результаты вычислительного эксперимента позволили предложить способ получения углеродных нанотрубок и устройство его осуществления, защищенное патентом на изобретение.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: VI международной научной конференции «Кибернетика1 и высокие технологии XXI века» (г.Воронеж, 2005 г.), I всероссийской школе - семинаре молодых ученых 'и преподавателей, аспирантов студентов и менеджеров малых предприятий (г.Тамбов, 2008 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, из них 2 в реферируемых журналах из списка ВАК РФ и патент 1Ш 2337061 С1.

Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 132 о страницах машинописного текста. Диссертация состоит из введения, пяти

Основные выводы по работе

1. Анализ экспериментальных данных позволил определить нестационарный характер изменения количественного содержания углеродных нанотрубок в катодном депозите при поддержании функциональных параметров синтеза на заданном уровне.

2. Разработан алгоритм математического моделирования нестационарных процессов электродугового синтеза на основании конечно-разностной схемы интегрирования и идентифицированы граничные условия. 1 Выбраны оптимальные шаги дискретизации по аксиальной координате с/г = 10"8., ю^дг, по радиальной координате Ф = кг9.10~7л< и по времени л = 10-14.ю-12сек. с учетом устойчивости решения и минимизации времени вычисления. Результаты решения с использованием конечно-разностной схемы позволили сделать вывод, что вязкостными силами можно пренебречь.

3. Разработан алгоритм математического моделирования нестационарных процессов электродугового синтеза углеродных нанотрубок на основе уравнений магнитной гидродинамики, решение с помощью ' которого осуществляется представлением искомых функций в виде рядов с разложением по безразмерным аксиальным и радиальным координатам, а ряд граничных условий определяется на основе численного метода последовательного приближения. Сформулированный критерий близости расчетного значения аксиальной скорости к экспериментальным позволил определить граничные условия для аксиальной скорости.

4. Математическая модель и результаты исследований положены в основу прикладной программы, позволяющей осуществить выбор I требуемого режима управления электродуговым синтезом углеродных нанотрубок.

5. На основании вычислительных экспериментов с математической моделью установлено влияние внешних параметров - напряженность электрического поля и сила тока в цепи на параметры, характеризующие плазму — аксиальная скорость и плотность.

6. Исследование процесса моделирования позволило выдать рекомендации по выбору окрестности минимума критерия и шага оптимизации при идентификации граничных условий, при этом точность должна быть не менее 8т{п = 2-10~5.

1. Елецкий, A.B. Углеродные нанотрубы и их эмиссионные свойства Текст. / А. В. Елецкий // УФН. - 2002. - т. 172, № 4. - С. 401 - 438.

2. Елецкий, А. В. Углеродные нанотрубки Текст. / А. В. Елецкий // УФН. 1997. - т. 167, № 9. - С. 943 - 972.

3. Харрис, Дж. Мир наноматериалов и нанотехнологий Текст.: углеродные нанотрубы и родственные структуры / Джордж Харрис ; пер. с англ. JI.A. Чернозатонского. М.: Техносфера, 2003.

4. Золотухин, И. В. Углеродные нанотрубки Текст. / И. В. Золотухин // Соросовский образ, журнал , Физика. 1999. - № 3. - С. 111 - 115.

5. Iijima, S. Helical microtubules of graphite carbon Текст. // Nature. 1991. - № 354. - P. 56 -62.

6. Ebbesen, T.W. Carbon nanotube Текст. / T.W. Ebbesen // Ann. Rev. Mater. Sei. 1994. - 24, № 235. - P. 34 - 37.

7. Аксенов С.Н. Система управления электродуговым синтезом углеродных нанотрубок Текст. / С.Н. Аксенов, C.B. Ершов, Г.В. Попов // Вестник Воронежской государственной технологической академии. -Воронеж, 2007. № 12. - С. 24-28.

8. Иванов, А. И. Гидродинамическое описание синтеза углеродных нанотрубок Текст. / А. И. Иванов, Г.В. Попов // Материалы XLIV отчетной конференции ВГТА. 2005. - С.105 - 107.

9. Иванов, А. И. Гидродинамическое описание динамики синтеза углеродных нанотрубок Текст. / А. И. Иванов, Г.В. Попов // Материалы XII междун. симп. «Динамические и технологическиепроблемы механики конструкций и сплошных сред» .- 2006 .- С. 163 -165.

10. Иванов, А.И. Технология углеродных нанотрубок. Проблемы и пути решения Текст. / С. Н. Аксёнов, С.В. Ершов, А.И. Иванов, Г.В. Попов //Вестник ВГТА. 2005. - № Ю.-С. 162-168.

11. Gamaly, E.G. Mechanism of carbon nanotube formation in the arc discharge Текст. / E. G. Gamaly, T. W. Ebbesen // Phys. Review B. -1995. vol. 52, № 3. - P. 2083 - 2089.

12. Reznik, D. X-ray powder diffraction from nanotubes and nanoparticles Текст. / D. Reznik, С. H. Oik, D. A. Neumann, J. R. D. Copley // Phys. Rev. B. 1995 .- vol. 52, № 1. - P. 116 - 124. »

13. Maniwa, Y. Multiwalled carbon nanotubes grown in hydrogen atmosphere: An x-ray diffraction study Текст. / Y. Maniwa, R. Fujiwara, H. Kira // Phys. Rev. B. 2001 .- vol. 64, № 073105. - P. 1 - 7.

14. Growth of Carbon Nanotubes (CNT) in Electric Arc Discharge Электронный ресурс. Электронные тестовые и граф. данные. -2000.

15. Thess, A. Novel structures from arc vaporized carbon and metal: single -layer nanotubes and metallofullerenes Текст. / A.Thess, R. Lee, P. Nikolaev et al. // Surf. Rev. Lett. - 1993. - №3. - C. 765 - 769.

16. Проводимость и термо ЭДС углеродных депозитов, содержащих 1 нанотрубки Текст. : дис. . канд. физ.- математ. наук.: 01.04.07 / Д. А. Держнёв. -Воронеж, 2006. — 106 с.

17. Yu, М. F. Tensile Loading of Ropes of Single Wall Carbon Nanotubes and their Mechanical Properties Текст. / M. F Yu, S.F. Bradley, S. Arepall et al. // Phys. Rev. Letter. 2000. - vol. 84. № 24. - P. 5552 - 5555.

18. Berber, S. Unusually High Thermal Conductivity of Carbon Nanotubesi

19. Текст. / Savas Berber, Y.-K. Kwon, David Tomanek. 2000. - vol. 84. № • 20.- P. 4613-4616.

20. Perspectives of fullerene nanotechnology Электронный ресурс. / Ed. by E. Osawa. Dordrecht: Kluver Academic Publisher. - 2001.

21. Ebbesen, T. W. Electrical conductivity of individual carbon nanotubes Текст. / Т. W. Ebbesen, H. J. Lezec, H. Hiura, J. W. Bennett, H. F. Ghaemi, T. Thio // Nature. 1996. - № 382. - P. 54-56.

22. Wei, B. Q. Reliability and current carrying capacity of carbon nanotubes Текст. / B.Q. Wei, R. Vajtal, P.M. Ajayan // Appl. Phys. Letters. 2001. -vol. 79, №8.- P. 1172-1174.

23. Иванов, А. И. Экспериментальные и теоретические предпосылки синтеза углеродных нанотрубок Текст. / А. И. Иванов, Г. В. Попов, С. Н. Аксенов //Материалы XLIII отчетной конференции ВГТА. 2004-С. 174-175.

24. Ершов С.В. Разработка элементов АСУТП производства углеродных нанотрубок Текст. / С.В. Ершов, Г.В. Попов // Инновационный менеджмент в сфере высоких технологий/ Издательство ТГТУ -Тамбов, 2008. с. 228-230.

25. Froudacis, G. Е. Hydrogen interaction with carbon nanotubes: a review of ab initio studies Текст. / G. E. Froudacis // J. Phys.: Condens. Matter. 2002. - № 14. -P. 453 -464.

26. Won, В. С. Alingened carbon nanotubes for nanoelectronics Текст. / В. С. Won, В. Eunju, К. Donghun // Nanotechnology. 2004.- № 15. - C. 512516.

27. Popov, V. N. Carbon nanotubes: properties and application Текст. / V. N. Popov // Materials Science and Engineering. 2004.- № 43. - P. 61-102.

28. Science And Application Of Nanotubes Электронный ресурс. : Ed. by D. Tomanek, R. J. Enbody. Электронные тестовые и граф. данные. (9 Мб). - Michigan: Kluwer academic publishers, 2000.

29. Dresselhaus, M. S. Nanowires and nanotubes Текст. / M. S. Dresselhaus, Y. M. Lin, O. Rabin et al // Materials Sci. and Engineering C. -2003. № 23. - P. 129-140.

30. Ершов С.В. Идентификация состава углеродного наноматериала Текст. / Материалы XLVII отчетной научной конференции за 2008 год. -Воронеж, 2009.-4.2 С. 163.

31. Guo, Т. Catalytic growth of single walled nanotube by laser vaporization Текст. / T Guo, P. Nikolaev, A. Thess, D. T. Colbert et al. // Chem. Phys. Lett. - 1995. - № 243. - P. 49 - 54.

32. Арцимович, Л. А. Физика плазмы для физиков Текст. / Л. А. Арцимович, Р. 3. Сагдеев . М.: Атомиздат, 1979.

33. Кадомцев, Б. Б. Коллективные явления в плазме Текст. / Б. Б. Кадомцев . 2-е изд. - М.: Наука : Гл. ред. физ. - мат. лит., 1988.

34. Трубников, Б. А. Теория плазмы : Учебное пособие для вузов Текст. / Б. А. Трубников. М.: Энергоатомиздат, 1996.

35. Тарасов, Б.П. Исследование продуктов электродугового испарения метал-графитовых электродов Электронный ресурс. / Б.П. Тарасов, Мурадян В.Е. и др.// 2000.

36. Чурилов, Г. Н. К вопросу о переходе углеродной плазмы в фуллереноподобное состояние углерода Текст. / Г. Н. Чурилов. -препринт № 81 ОФ.- Красноярск: Институт физика СО РАН. 2000. - , С. 2-8.

37. Алексеев, Н.И. Дуговой разряд с испаряющимся анодом Текст. / Н.И. Алексеев, Г.А. Дюжев // ЖТФ 2001, том 71 вып. 10

38. Раков, Э. Г. Пиролитический синтез углеродных нанотрубок и нановолокон Текст. / Э. Г. Раков // Рос. хим. ж. ; Ж. рос. хим. об ва имени Д.И. Менделеева.- 2004. - т. ХЬУШ, № 5. - С. 12 - 20

39. Волченко, В. Н. Теория сварочных процессов Текст. / В. Н. Волченко, В. М. Ямпольский, В. В. Фролова. М.: Высшая школа, 1988.

40. Аксенов, С. Н. Предпосылки к управлению синтезом углеродных 1 нанотрубок Текст. / С. Н. Аксенов, С. В. Ершов, Г. В. Попов // Матер. VI международной конф. «Кибернетика и высокие технологии», ВГУ. -2003. С. 575-579.

41. Мечев В. С. Потоки плазмы в сварочных дугах Текст. / В. С. Мечев, А. Ж. Жайнаков, М. А. Самсонов // Автоматическая сварка. 1981. -№12. - С. 13-16.

42. Лозовик, Ю. Е. Образование и рост углеродных наноструктур — фуллеренов, нанотрубок, наночастиц, конусов Текст. / Ю. Е. Лозовик,

43. A. М. Попов // УФН. 1997. - т. 167, № 7. - С. 752 - 754.

44. Harris, P. J. F. High-resolution Electron Microscopy Studies of a Microporous Carbon produced by Arc-evaporation Текст. / S. C. Tsang, J.

45. B. Claridge, M. L. H. Green // J. Chem. Soc. Faraday Trans. 1994. - № 90(18). - P. 2799-2802.

46. Harris, P. J. F. Burian A., Duber S. High-resolution electron microscopy of a microporous carbon Текст. / P. J. F. Harris, A. Burian, S. Duber // Phil, mag. lett. 2000. - vol. 80, № 6. - P. 381- 386.

47. Kiang, Ch.-H. Polyyne Ring Nucleus Growth Model for Single-Layer Carbon Nanotubes Текст. / Ch. H. Kiang, W. A. Goddard // Phys. Rev. Lett. - 1996. - vol. 76, № 14. - P. 2515 -2518.

48. Богородский, А. Ф. Магнитная гидромеханика Текст. / А. Ф. Богородский. Киев: Киевский госуд. универ., 1966.

49. Явления переноса в низкотемпературной плазме Текст. / Под ред. А. В. Лыкова, Л. Т. Полака, Т. П. Перельмана. — Минск: Наука и техника, 1969.

50. Матвеев, А. Н. Электричество и магнетизм: учеб. пособие для студентов вузов Текст. / А. Н. Матвеев. -2-е изд. — М.: Издат. дом «ОНИКС 21 век»»: Изд во «Мир и Образование»» , 2005

51. Новиков, И. И. Прикладная магнитная гидродинамика Текст. / И. И. Новиков. М.; Атомиздат, 1969.

52. Пирумов, У. Г. Численные методы: учеб. пособие для студ. вузов Текст. / У. Г. Пирумов. 3-е изд., испр. - М.: Дрофа, 2004

53. Дородницын, В. А. Групповые свойства разностных уравнений Текст. / В. А. Дородницын. М.: ФизМатЛит, 2001

54. Статистические методы в инженерных исследованиях: учеб. пособие для вузов Текст. / Бородюк В. П., Вощин А. П. Иванов А. 3. и др.; под ред. Круга Г. К. — М.: Высш. школа, 1983.

55. Пирумов, У. Г. Численные методы: учеб. пособие для студ. вузов Текст. / У. Г. Пирумов. 3-е изд., испр. - М.: Дрофа, 2004.

56. Акулич, И. JI. Математическое программирование в примерах и задачах Текст. / И. JI. Акулич . — М.: Высшая школа, 1986.

57. Березин, И. С. Методы вычислений: в 2 т ; т. 1 Текст. / И. С. Березин, Н. П. Жидков. — 2-е изд., стер. — М.: Изд-во физ. — мат. лит-ры, 1962.

58. Дородницын, В. А. Групповые свойства разностных уравнений Текст. / В. А. Дородницын. М.: ФизМатЛит, 2001.

59. Проводимость и термо ЭДС углеродных депозитов, содержащих нанотрубки Текст. : дис. . канд. физ.- математ. наук.: 01.04.07 / Д. А. Держнёв. -Воронеж, 2006. — 106 с.

60. Zajickova, L. Atmospheric pressure microwave torch for synthesis of carbon nanotubes Текст. / L. Zajickova, M. Elias et al. // Plasma Phys. Control. Fusion.- 2005. № 47. - P. 655-666.

61. Гавурин, M. К. Лекции по методам вычислений Текст. / M. К. Гавурин . М.: Наука, 1997.

62. Адлер, Ю. П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий Текст. / Е. В. Маркова, Ю. В. Грановский. — 2-е изд. М.: Наука, 1976.

63. Yahachi, S. Interlayer spacing in carbon nanotube Текст. / S. Yahachi, Y. Tadanobu, B. Shunji et al. // Phys. Rev. B. 1993. - vol. 48, № 3. - P. 1907 - 1909.

64. Белов, H. В. Структурная кристаллография Текст. / H. В. Белов. М.: Наука, 1951.

65. Гинье, А. Рентгенография кристаллов Текст. / А. Гинье. М.: Физматгиз, 1961.t 133

66. Liu, X. Detailed analysis of the mean diameter and diameter distribution of single-wall carbon nanotubes from their optical response Текст. / X. Liu, T. Pichler, M. Knupfer et al. // Phys. Rev. B. 2002. - vol. 66, № 045411. - P. 1-7.

67. Warren, В. E. X Ray Diffraction in Random Layer Lattices Текст. / В. E. X. Warren // Phys. Rev. B. - 1941. - vol. 59, № 9. - P. 693 - 698.

68. Alon, О. E. High Harmonic Generation of Soft X-Rays by Carbon Nanotubes Текст. / О. E. Alon, V. S. Averbukh, N. Moiseyev // Phys. 1 Rev. B. 2000. - vol. 85, № 24. - P. 5218 - 5221.

69. Тарасов, Б. П. Исследование продуктов электродугового испарения металл графитовых электродов Текст. / Б. П. Тарасов, В. Е. Мурадян, Ю. М. Шульга // Inter. Sci. J. for Alternative Energy and Ecology (ISJAEE). - 2002. - № 6. -C. 4 - 11.

70. Шульга, Ю. M. Исследование катодных депозитов, образующихся при электродуговом распылении Zr — М — графитовых электродов Текст. / Ю. М. Шульга, Д. В. Щур, А. П. Мухачев // Матер, междунар. конф.t

71. Водородное материаловедение и химия углеродных материалов» ISHMS. -2003. С. 452-453.

72. Ф Ф -je Ф ilf île »Iff Ф Ф ф Ф ¡b si; J» Ф Ф île Ф »Iff Ф %|> 4* it; Ф ¡1; Ф Ф ФФФ^^^ФФФФФФФФФФ Ф Ф Ф «Ь ф ф ф л ф Ф Ф Ф Ф Ф ф ф il< ф ф /

73. TTV'I'VTTT ф "Г «т» ф Т Т* "Т* Ч* Т* Т *т* ч* *»* Т *Т* Т* Т Ф "Т* Т* *т* Т Т* Т* т" т» »f» «р Ф •}• ф ф ф Ф гр Ц ф т «р ф »р «Р «Jî »¡ч ïjs Цч ф 3JÇ /1. Функции */

74. TTL OUTPLX( &bi0.,0x8); // to left // textcolor(4); // cprintf(" Движение влево ");textcolor(15); }if(suml>105 && suml<125) {

75. TTLOUTPLX( &bi0.,0x0); // dont movegotoxy(30,20);cprintf(" Стоп ");if(suml>130) {

76. Т* ф Т» ф ф 1> ф ф ф ф «у» ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф ф «{« ф ф ф /

77. Опрос датчиков с частотой freq */jJ» ч^« «Jv «I« «J* *|« ftjd «|« ^ ¡J* «I* ^ jJ* «J« «I* «I» ^ ч^р ft|i к^л aj^ ^ ^ ^ ^ ^int adc() {

78. ADCSAMPLEPLX(&biChoice., 0x0 | &AdcSampleO);// ток

79. Обнуление всех переменных */jjj ||j «|« ^ ^ t|« «Jf «jg «J« ^ ^ ^ ^ ^ ^ «j^ ^ kj* kj^ jnullOсброс ТТЛ если были включены*/ TTLOUTPLX( &bi0.,0x0); time=0;

80. Создание тестовой оболочки , */

81. J sfc j|c jjc sjc % sfc э|с sjc sjc sjs ¡J» ijs ijc jjc sjc sjc 5|c * э|с з|с sfs j|c sjs ijc sjc «1« 5|i s|c * «|с jjc sji i|c sfs з(с sfc jji 5|c jjc jji iji sjc sjc sjc J1. Основная программа */include "graph.cpp"int main(void)

82. InitPlata(); // Инициализация платы null(); // обнуление всех переменных shell(); //оболочка для работы1. Я:for(cikl=0;; cikl++) {setcursortype(NOCURSOR); gotoxy(2,3);

83. ADCS AMPLEPLX(&biChoice., 0x1 | (InputRangeIndex«6), &AdcSamplel);// перемещение if(AdcSample 1 <500) {//setcolor(REEH-BLINK); textattr(146);cprintf("BHHMAHHE ! НЕ ВКЛЮЧЕН РУБИЛЬНИК !"); }elseprintf(" ");gotoxy(2,4);if(kbhit()) break; // Выход из цикла

84. Обработка нажатия клавиши ************/ cl=getch();switch(cl) {case '\х0': c2=getch();switch(c2)case '<': option(); break; //F5case'?': begin(); break; //F3case : files(); break;break;case 27: closeall(); }goto q; closeall();

85. Уравнение неразрывности ### Удельный зарядкг:=1.6* 10Л(-19)/12*(6.02* 10Л(26));ul:=(expand(diff(rho(t,z,r),t)+(l/r*diff(r*rho(t,z,r)*vr(t,z,r),r)+diff(A ,r),z)))=0);

86. SDz:=diff(vz(t,z,r),t)+vr(t,z,r)*diff(vz(t,z,r),r)+vz(t,z,r)*diff(vz(t,z,r),z): Ftrz :=mu*((diff(vz(t,z,r),z,z))+diff(vz(t,z,r),r,r)+(l/r)*diff(vz(t,z,r),r)):

87. Уравнение движения в продольном направлении u2:=expand (rho(t,z,r)*SDz)=Ez(t)*rho(t,z,r)*kr; SDz:=diff(vr(t,z,r),t)+vr(t,z,r)*diff(vr(t,z,r),r)+vz(t,z,r)*diff(vr(t,z,r),z):

88. Ftrz :=mu* ((diff(vr(t,z,r),z,z))+diff(vr(t,z,r),r,r)+( 1 /r)* diff(vr(t,z,r),r)-vr(t,z,r)/r/r):

89. Уравнение движения в радиальном направленииu3 := expand(rho(t,z,r)* SDz)=-10A(0)*jz(t,z,r)*B(t,z,r)-diff(p(t,z,r),r);

90. Выражения для плотноти тока, выраженной через скорость движения u4:=jz(t,z,r)=rho(t,z,r)*vz(t,z,r)*kr;u41 := jr(t,z,r)=rho(t,z,r)*vr(t,z,r)*kr;

91. М На границе при 2=0 зададимся постоянной скоростью угО М# При г=0 уг=угОи71:=8иЬ8(г=0,г11з(и7)=У0.(1)*(1-(г/Ке1)Л2));

92. Размышления о коэффициентахи777:=Шз(и71 )-г118(и71 )=0;и778 :=со11есг(и777,г);u779:=coeff(lhs(u778),rA2)=0;и780:=сое£Г(Ш8(и778),гЛ1)=0;и781 :=coeff(lhs(u778),r,0)=0;и785 :И8о1а1е(и779,у0,2.);и786:Н8оЫе(и781,уМ(0);

93. М Скорость угО не будет постоянной по радиусу, если:у0,1.=0;у[0,2]=-у[0,0];уМа)=У[0](1)/у[0,0];и7:=8иЬ8(уИ(0=У0.(1)/у[0,0],у[0,1 ]=0,у[0,2]=-у[0,0],и7);и1г1:=у0,1.=0:1. Щг2:=у0,2.=-у[0,0]:и 19:=81трН1у(8иЬ8( {и7,и8,и9 } ,и4));

94. Подставим уъ и уг в уравнения системыи 11 :=5иЬБ( {и7,и8,и9} ,и 1 ):и11 :=8Ш1рН1у(и11):и12:=питег(И1з(и11))=0:и121:=т1(Ш8(и12),г=0.Н(1))=0:и 122 :=т1;(Ш8(и 121 ),г=0. .Яе1)=0:и13:=81тр1^(18о1а1е(и122,<иЩгЬоИ(г),1))):

95. Подставим г1га уг и уг во 2-е системы уравненияи14:=8иЬз({и7,и8,и9},и2):и 15 :=Ш8(и 14)-гЬ8(и 14)=0:и16:=Ы(Ш8(и15),2г=0.Н(0)=0:и17:=тКШ8(и16),г=0.Ке1)=0:и18:=8тр1ВД18о1а1е(и17ДЩУ0.(1),1))):

96. Подставим гЬо уъ и уг во 4-е системы уравненияи19:=8иЬз({и7,и8,и9}5и4);

97. Рассмотрим условие для баланса токаи11:Чп1(гЬ8(и19)*2*Р1*г,г=г0.Ке1)+Р1*г0А2*8иЬ8(г-г0,г118(и19))=1ап.(1):

98. Ы2 :=1Ьз(и11 )-гЬ8(и11 )=0:1^3 :=БиЬ8(гО=10Л(-6),и12):1*4 ^соИес^ШБ^З ),г):1Л45 :=сое££(Ш4,г,5)=();ut44:=simpliíy(coeff(ut4,z,4))=0;и143:=8Ш1рН^(сое£Е(и14,г,3))=0;ut42:=simplify(coeff(ut4,z,2))=0;иЫ1 —этрН^соеГА^^,1 ))=0;и140:=сое£Г(и14,г,0)=0;

99. Решим уравнения и140-и144 относительно константи*5 :=18о1а1е(и144,у2,2.);1. Подставим в 1*40-Ш43хХ.в 1 :=8иЬ8({Ш;5} ,1*43 ):иг62:=8иЬз({иг5 },и142):и1бЗ ~8иЬ8({Ш5 } ,1й41):и1б4:=8иЬ8({и15},1*40);

100. Решим уравнения 1Шэ1-и1б4 относительно констант ut7:=simplify(isoIate(ut61 ,у2,1 .)); 1*71 :=8иЬз( {1*7},1*62): мШ :=8иЬз( {Ш7 } ,1*63 ):ut73:=subs({ut7},ut64);

101. Подставим rho vz и vr в 5-е системы уравнения 'u20:=subs({ul9},u5);u21 :=dsolve(u20,B(t,z,r));

102. Граничное условие для ядра При r=r0 B(t,z,r)=0 u22:=subs(r=r0,rhs(u21 )=0): u23 :=isolate(u22,F 1 (t,z)): u235:=simplify(subs(u23,u21)): u24:=simplify(subs(r0=10A(-3)*Rel,u235)):

103. Запишем условие баланса массы испарившейся, осевшей и улетевшей u700:=int(V0.(t)*(lr/Rel)A2)*subs(z=0,rhs(u9))*2*3.14*r,r=0.Rel)=int(subs(r=Rel,rhs(u8))*subs(r=

104. Rel,rhs(u9))*2*ЗЛ4*Rel,z=0.H(t))+int(subs(zF=H(t),rhs(u7))*subs(z=H(t),rhs(u9))2*3.14*r,r=0.Rel):и701 :=simplify(isolate(u700,w 1,2.));шттмттттштмшммштмттммтмммтм i

105. Зададим вид функции H(t) iu4000:=H(t)=(0.210000000e-2-(l/500)*exp(-t/8))/0.002;u4001 :=Ez(t)=kn*2* 10Л( 1 )/H(t);u4001 := Ez(t) = 16.0/H(t);

106. Зададимся начальными условиями1. Hhi:=1.3 :Hlow:=3:al0:=0:bl0:=0:1. HI 1 :=0.5:H21 :=0.5:dql0:=l:dq20:=l:1. S0:=0:all:=5.2*10A(-3): Sl:=0.003:

107. Определим область значений1. OZ:={NULL}: ,dj:=l; jk:=l:

108. Расчет значений функции желательности на заданных интервалах while S1 >0.001 do

109. Подставим в первое дифференциальное уравнение по плотностиul31 :=simplify(subs({koefl 1., koefl 2.,koefl [3],koefl [4],koefl [5],koefl [6],u8211 ,u8241,u8231 ,u8221 ,v0,0.=al 1} ,ul3)):

110. Выразим коэффициент w 1,2.u701 :=simplify(subs({koefl 1.,koefl 2.,koefl [3],koefl [4],koefl [5],koefl [6],u821 1 ,u8241 ,u8231 ,u8221 ,v[0,0]=al 1 ,u8200} ,u700)): u702:=isolate(u701 ,w[l ,2]):ul32:=simplify(subs({u702,u8200,v0,0.=all},ul31)):

111. Подставим во второе дифференциальное уравнение по аксиальнойсоставляющей скорости

112. Выполним дальнейшую подстановкуul34:=simplify(subs({u4000,v0,0.=al 1 },ul32)):ul34:=simpliiy(subs({V0.(t)=V0(t),rho[t](t)=rhot(t),w[t](t)=wt(t),v[34.):

113. Уу:=150;## установившаяся скорость вылетаи449:=г1кЛ(0)=1;1. Расчетное времягкоп:=3*10Л(1):

114. Переопределяем старые коэффициенты перед вычислением новых alO:=all:

115. Рассчитываем новые коэффициенты al 1 :=а10-Н11 *dql 1/dj: S0:=S1: jk:=jk+l: end do;1. TIME:=time()-vremya;

116. Подставим во второе дифференциальное уравнение по аксиальнойсоставляющей скорости

117. Выполним дальнейшую подстановкуul34:=simplify(subs({u4000,v0,0.=all},ul32)):ul34:=simplify(subs({V0.(t)=V0(t),rho[t](t)=rhot(t),w[t](t)=wt(t),v[0,0]==all},ul 34)):

118. Vv:=150;## установившаяся скорость вылетаu449:=rhot(0)=l;1. Расчетное времяtkon:=5*10A(l):

119. A(-3 ),t=t 1 ,v0,0.=5.2 * 10 A(-3 ) } ,u5004));u5 016 :=plot(u5006,r=0. 5*10 A(-3),color=BLUE):u5007:=simplify(subs({V0.(t)==rhs(dsnl (tl)[2]),rho[t](t)=rhs(dsnl (tl)[3]),z=l * 10 i

120. A(-3),t=tl,v0,0.=5.2*10A(-3)},u5004));u5017:=plot(u5007,r=0.5* 10A(-3),color=GREEN):display(u5015,u5016,u5017);u5025:=simplify(subs({V0.(t)=rhs(dsnl(tl)[2]),rho[t](t)=rhs(dsnl(tl)[3]),r=0*10

121. Данные серии экспериментов 2. Результаты экспериментов для оценки выгорания электродов при различном среднем токе. Измерение температуры проводилось термопарой ТХА на расстоянии 2 см от торца катода.

122. Значение массы в каждой ячейки таблицы усредненное по результатам не менее 3 экспериментов. Значения массы (ш) даны в граммах, время в секундах.