автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.01, диссертация на тему:Математическое моделирование магнитных полей в электрических машинах с применением обобщенных рядов Фурье

На правах рукописи

1 ^ .1 ' " . 1

СТРЕЛЬЦОВ Иван Павлович

УДК 519.688:621.313

Математическое моделирование магнитных полей в электрических машинах с применением обобщенных рядов Фурье

Специальность 05.09.01 — Электрические машины

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

НОВОЧЕРКАССК 1995

Диссертационная работа выполнена в Новочеркасском государственном техническом университете (г. Новочеркасск) .

Научный консультант по конструированию и применению аксиальных электрических машин — д. т. н., профессор Водяник Г. М.

Официальные оппоненты: д. т. н., профессор, почетный академик инженерной н электротехнической академий России Копылов И. П., д. т. п., профессор Гайтов Б. X., д. ф.-м. н., профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации Белоносов С. М.

Ведущая организация — Всероссийский научно-исследовательский, ироектно-копструкторскнй и технологический институт электровозостроения (АО ВЭлНИИ, г. Новочеркасск).

Защита диссертации состоится 8 июня 1995 г. в 10 часов в аудитории 107 главного корпуса на заседании диссертационного Совета Д. 063.30.01 Новочеркасского государственного технического университета (346400, г. Новочеркасск, ГСП-1, Ростовской обл., ул. Просвещения, 132).'

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новочеркасского государственного технического университета.

Автореферат разослан « 3 » 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ЗОЛОТАРЕВ Н. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

Теория электромагнитного поля развивается на основе уравнений Максвелла, а наглядной иллюстрацией этой теории являются электрические машины самых разных конструктивных типов.

Важные теоретические основы в области электротехники и в ее приложениях к электрическим машинам заложены работами: Л.Р. Неймана, H.A. Круга, K.M. Поливанова, Г.А. Гринберга, К.С. Демирчяна, О.В. Тозони, Э.В. Колесникова, А.В.Нетушила, Ю.Я.Иосселя, Ю.А.Бахвалова, А.Г.Никитенко, В.И.Астахова, М.П.Костенко, Л.М. Пиотровского, А.И. Вольдека, Г.Н. Петрова, И.П. Котшловз, Е.М. Синельникова, Я.Б. Даниловича, В.В. Дом-бровского, A.B. Иванова-Смоленского, В.М. Казанского, В.И.Бочарова, Б.Д.Сидельникова, Г.А.Сипайлова, А.И.Скороспешкина -ученых ведущих электротехнических центров России.

Развитие электроэнергетики требует совершенствования конструкции, математических моделей и методов расчета полей электрических машин, применения при расчетах ЭВМ.

В практике мирового электромашиностроения в последние 30-40 лет наблюдается расширение области применения аксиальных электрических машин и рост их производства. Это объясняется тем, что аксиальные двигатели конструктивно хорошо совмещаются с рабочими механизмами разного назначения: осевые двух и трехступенчатые вентиляторы встречного вращения, высоконапорные центробежные насосы, нагреватели, центробежные вентиляторы, прессовое и буровое оборудование, тяговый привод электровозов, центрифуги, сепараторы, мотор-колеса и компрессоры.

Однако серийный выпуск аксиальных машин в нашей стране до сих пор не налажен, а теория этих машин недостаточно разработана.

Поэтому актуальными являются следующие проблемы: разработка теории расчета и совершенствование конструкции аксиальных электрических машин; анализ и последующее уточнение основных допущений, положенных в основу теории расчета электрических машин; разработка математических моделей для расчета магнитных полей в электрических машинах и электрических полей в электронных линзах; разработка аналитических и численных методов расчета потенциальных полей сложных и неортогональных областей с высокой точностью.

Сложная область - это такая область, которую можно разбить на конечное число частей (подобластей). При этом, две соседние подобласти могут соприкасаться или иметь общую часть.

Ортогональная область - это такая область, все границы которой на плоскости совпадают с координатными линиями какой-либо ортогональной системы координат. Область же, все границы (или часть границ) которой на плоскости на совпадают с координатными линиями ни в одной из известных ортогональных систем координат, будем называть неортогональной.

Сложные области могут состоять только из ортогональных подобластей или одни из подобластей можно отнести к ортогональному типу, а другие - к неортогональному.

Предполагается, что при решении уравнения Лапласа для ортогональных областей с граничными условиями Дирихле (Неймана, сметанного типа) можно применить метод разделения переменных.

Для неортогональных областей применяются чаще всего численные метода решения уравнения Лапласа (метод конечных разностей или метод конечных элементов). Аналитические же методы (например, вариационные) при решении таких задач из-за сложности выбора подходящей системы функций (базиса) применяются редко. Поэтому целесообразно исследовать возможность применения двойных рядов Чебышева и Лежандра при расчете потенциальных полей для неортогональных областей.

Целью работы является разработка методов математического моделирования магнитных полей электрических машин с применением обобщенных рядов Фурье.

Достижение цели в первую очередь планировалось для аксиальных электрических машин, теория расчета которых недостаточно разработана, а практика их использования расширяется.

В работе ставились задачи по разработке:

- методов расчета магнитных полей и магнитных цепей аксиальных электрических машин;

- математических моделей для расчета магнитного поля в воздушном зазоре электрических машин аксиального и цилиндрического типов с пазами разной формы;

-математического аппарата ортогональных многочленов и рядов группы Якоби (в том числе, многочленов и рядов Чебышева и Лежандра) дискретной переменной и методов расчета потенциальных полей с применением этих рядов;

- рекомендаций по расчету, конструированию, изготовлению и испытанию аксиальных электрических машин, используя практику изготовления машин мощностью до 75 кВт и опыт проектирования машин мощностью до 1000 кВт.

Научная идея работы заключается в следующем: исследование потенциальных полей, в том числе магнитных полей в электрических машинах и электрических полей в электронных линзах,должно вестись на основе применения математического аппарата рядов Фурье, Бесселя, Чебышева и Лежавдра.

Методы исследований. В работе используются и развиваются идеи и методы классической теории потенциала, дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона, интегральных уравнений фредгольма, ортогональных многочленов группы Якоби дискретной переменной и рядов Фурье, Бесселя, Чебышева и Лежавдра.

Математические модели по расчету потенциальных полей рассматриваются с использованием положений, строго доказанных в математике и теоретической электротехнике. При этом, одни модели включают такие сложные области, которые допускают разбиение только на ортогональные подобласти (соприкасающиеся или с общей частью).А другие модели содержат сложные области, состоящие из ортогональных и неортогоналъных подобластей.

В моделях первого« типа частные решения уравнения Лапласа для ортогональных подобластей находятся методом разделения переменных. На общей границе двух подобластей применяются известные условия согласования решений - приравниваются значения потенциалов подобластей и значения их нормальных производных.

При расчете полей сложных областей, подобласти которых имеют общую часть, исследуются теоретические основы альтернирующего метода Шварца и при расчете полей применяется его улучшенная модификация.

При расчете полей с помощью математических моделей, включающих неортогональные области, применяется специально разработанная теория многочленов и рядов группы Якоби (в частности, многочленов и рядов Чебышева и Лежандра). В основу теории многочленов группы Якоби положено само свойство их ортогональности на особом дискретном множестве точек в функциональном пространстве ь2 (-1,1;«).

Аналитически и путем исследования решений уравнения Лапласа для областей в виде круга и квадрата, для сложной области (состоящей из прямоугольника и квадрата) и для области в виде полигональной функции (замкнутого многоугольника, который вписан в квадрат при -1 £ * < 1 и-1 £ у < 1) подробно рассмотрены особенности применения двойных рядов Чебышева и Лежандра

при приближенном решении уравнений Пуассона и Лапласа и разработаны оригинальные методы их решения.

На основе двойных рядов Чебышева и Лежандра построены и исследованы решения линейных интегральных уравнений Фредгольма.

В основу предложенного метода электромагнитного расчета аксиальных электрических машин положен принцип разбиения магнитной цепи машины на расчетные модули. Метод апробирован цри расчете, конструировании, изготовлении и испытании аксиальных электрических машин разной мощности и разного назначения.

Исследование полей электронных линз (из плоских или цилиндрических электродов) было выполнено как дополнение к расчету магнитных полей в электрических машинах,в математических моделях которых подобласти равной ширины не встречаются.

Научная новизна.

1. Решение пространственной краевой задачи по расчету магнитного поля в воздушном зазоре аксиальных электрических машин можно свести к решению задачи по расчету магнитного шля на куске цилиндрической поверхности с последующей разверткой этой поверхности на плоскость и расчету поля уже в плоском воздушном зазоре с пазами любой формы.

2. Исследования задач по расчету магнитных полей в воздушном зазоре электрических машин с пазами разной формы (прямоугольными, в виде кругового прямоугольника, треугольными со скругленным дном, полукруглыми и арочными, конечной и бесконечной глубины) и электрических полей в элекронных линзах позволили получить обширную, новую и полезную информацию.

3. Впервые получены аналитические оценки для учета влияния геометрических параметров ортогональных областей,например глубины пазов разной формы в электрических машинах или длины электродов в электронных линзах,на картину поля в этих устройствах.

4. Предложенная модификация метода Шварца численного расчета поля сложной области, состоящей из двух подобластей с общей частью, выгодно отличается от известного альтернирующего метода Шварца, так как позволяет отказаться: от предварительного задания распределения потенциала на одной из границ общей части подобластей, от величины задаваемой погрешности и от итерационное™ счета.

5. Высокая точность расчета аксиальных электрических машин может быть обеспечена разбиением магнитной цепи машины системой коаксиальных эквидистантных цилиндрических поверхностей на рас-

- б -

четные модули. Принцип разбиения магнитной цепи машины на расчетные модули носит общий характер и применим при расчете всех электрических машин с переменной геометрией магнитопровода вдоль их активной длины.

6. Аналитически установлен критерий для учета кривизны воздушного зазора при расчете магнитных полей в электрических машинах цилиндрического типа.

7. Получено аналитическим путем соотношение, которое следует обязательно учитывать при выборе диаметров магнитопровода аксиальных электрических машин.

8. Создана общая теория ортогональных многочленов группы Якоби на дискретном множестве точек, содержащем нули первой производной соответствующих многочленов и числа -1 и 1, и на базе этих многочленов разработана теория рядов Чебышева и Лежандра одной, двух и трех переменных.

9. Показано,что ряды Чебышева и Лежандра можно успешно исполь-зоватьгпри интерполировании функции и ее производных, при приближенном интегрировании функций, при исследовании решений интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром,при разработке новых методов решения уравнений Лапласа и Пуассона для областей разной формы (в виде круга, квадрата или замкнутого многоугольника). При этом, исследованием решений линейных интегральных уравнений Фредгольма с применением рядов Чебышева и Лежандра установлено, что применение рядов Лежандра существенно упрощает алгоритм решения задачи.

10. Разработанный аппарат многочленов и рядов группы Якоби и предложенные методы решения уравнений Лапласа,Пуассона и Фредгольма носят общий характер и их можно применить для исследования полей иной физической природы.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Математические модели для исследования и расчета магнитных полей в воздушном зазоре и ярме аксиальных электрических машин.

2. Метод электромагнитного расчета аксиальных электрических машин, в основу которого положен принцип разбиения магнитной цепи машины в радиальном направлении на расчетные модули.

3. Математические модели по расчету магнитного поля в плоском воздушном зазоре электрических машин с пазами разной формы (с параллельными стенками или в виде одной из девяти ортогональных областей из бицилиндрической системы координат, включая пазы полукруглые, арочные и шатровые, конечной и бесконечной

глубины), алгоритмы решения задач и результаты численных расчетов магнитных полей электрических машин на ЭВМ.

4. Математические модели и алгоритмы решения задач по расчету магнитного поля в кольцевом воздушном зазоре электрических машин с пазами в виде кругового прямоугольника (части кольца) или в виде криволинейной трапеции.

5. Модифицированный метод Шварца с иллюстрацией его применения на математической модели по расчету магнитного поля в плоском воздушном зазоре электрической машины с пазами в виде треугольника со скругленным дном, алгоритм решения задачи и результаты численных расчетов магнитных полей машин на ЭВМ.

6. Рекомендации по конструированию ротора синхоронных реактивных двигателей и ротора индукторных электрических машин.

7. Теория ортогональных многочленов и рядов группы Якоби дискретной переменной и ее приложения: при интерполировани функции и ее производных, при приближенном интегрировании функции; при расчете потенциальных полей,описывающихся уравнениями Лапласа, Пуассона и Фредгольма.

8. Результаты исследования решений линейных интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром и с применением рядов Чебышева и Лежандра.

9. Математические модели по расчету потенциальных полей для круга, квадрата или полигональной области с применением двойных рядов Чебышева и Лежандра.

10. Методы решения уравнений Лапласа и Пуассона с применением двойных рядов Чебышева и Лежандра для круга, квадрата и полигональной области (замкнутого многоугольника), которая предварительно вписана в квадрат (-1<х<1 ,-1<у<1), при следующих ус-ловиях:заданы граничные условия и необходимое число точек внутри области, в которых выполняется уравнение Лапласа; заданы граничные и внутренние условия; заданы граничные условия и применяется вариационный метод Ритца для нахождения части искомых величин; заданы граничные условия и по способу наименьших квадратов минимизируется невязка уравнения Пуассона (Лапласа) в двух сечениях (х=о и -1 < у < д ,у=о и -1 < х < 1).

11. Математическая модель по расчету магнитного поля в плоском воздушном зазоре электрических машин, в которой полукруглый паз и часть воздушного зазора образуют полигональную область, а решение уравнения Лапласа - двойной ряд Чебышева.

12. Результаты расчета и проектирования аксиальных электричес-

них машин мощностью до 1000 кВт и результаты испытаний изготовленных машин мощностью до 75 кВт, разработанных для привода двухступенчатых и трехступенчатых осевых вентиляторов встречного вращения, центробежных двухступенчатых вентиляторов встречного вращения, погружных насосов, шахтных насосов, электрогидродинамических нагревателей,прессового и бурового оборудования, тягового привода электровозов.

13. Рекомендации по расчету, конструированию и изготовлению аксиальных электрических машин.

14. Критерий для учета кривизны воздушного зазора при расчете магнитных полей в электрических машинах цилиндрического типа.

Теоретическое и практическое значение работы.

Разработана и апробирована теория расчета аксиальных электрических машин, что существенно повлияет на ускорение их серийного производства и расширение области их применения.

Учет влияния зубцов при расчете МДС ярма аксиальных электрических машин позволяет, при конструировании уменьшить их осевые размеры и снизить расход электротехнической стали.

Полученное аналитическое соотношение между диаметрами магнитопровода аксиальных электрических машин, эффективность которого доказана опытом проектирования машин мощностью от 100 Вт до 1000 кВт, является определяющим при их проектировании.

Предложенный способ укладки обмотки аксиальных электрических машин позволяет уменьшить радиальные размеры машин и дает возможность наложить бандаж на лобовые части обмотки, что имеет весьма важное значение для машин встроенного типа.

Полученные аналитически оценки для учета влияния глубины пазов разной формы на картину магнитного поля в воздушном зазоре электрических машин позволяют правильно сконструировать ротор синхронных реактивных двигателей и ротор индукторных машин аксиального и цилиндрического типов, уменьшить число вариантов при проектных и поверочных расчетах этих машин на ЭВМ.

Существенное упрощение алгоритма расчета магнитных полей многих электрических машин цилиндрического типа возможно за счет отказа от учета кривизны их воздушного зазора.

Построенная теория ортогональных многочленов и рядов группы Якоби (в частности, многочленов и рядов Чебышева и Лежандра) на дискретном множестве точек,содержащем нули первой про-производной соответствующих многочленов и числа -1 и 1, имеет

важное теоретическое и прикладное значение в математике и в математической физике: при интерполировании функции и ее производных, при приближенном интегрировании функций,при решении дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона для областей разной формы и при решении линейных интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром.

Результаты выполненных исследований найдут также применение при изучении студентами университетов курсов "Прикладная математика" и "Уравнения математической физики".

Обоснованность и достоверность научных выводов и рекомендаций диссертации подтверждается:

- корректной постановкой задач и использованием при математическом моделировании положений,строго доказанных в математике и теоретической электротехнике;

- доказательством в виде теорем;

- работой с математическими моделями, адекватность которых подтверждена результатами теоретических и экспериментальных исследований в лабораторных условиях;

- промышленной эксплуатацией рабочих механизмов;

- хорошим согласованием полученных результатов с имеющимися в литературе данными других авторов;

- вполне удовлетворительной сходимостью выполненных теоретических и экспериментальных исследований.

Так, например, расхождение между соответствующими расчетными значениями коэффициента воздушного зазора для пазов с параллельными стенками глубиной ь и шириной ь, найденными предложенным методом И ПО формуле Е. Horath Щ)И О £ h/Ь < 0,62S ИЛИ по классической формуле при ь^ь = не превышает о,еж.

Расчетное распределение потенциала по ширине полукруглого паза отличается от опытных данных на г,з%, а расхождение средних значений магнитной индукции в зазоре равно 0,15%.

Расчетные и экспериментальные данные асинхронного торцового короткозамкнутого двигателя АТДВ-iо/зооо (Р2и= ю кВт, ш= = з, гр = г и I = so Гц) имеют расхождение: по распределению магнитного потока в радиальном направлении -5%, по величине номинального тока - г,з%, по номинальному значению КДЦ -i,e%, по номинальному значению коэффициента мощности - i%, по номинальному скольжению - в,г%, по току холостого хода - е,*%.

Апробация работы.

Основные материалы работы докладывались и получили одоб-

рениегна объединенном семинаре кафедр"Прикладная математика ", " Электрические машины " и " Теоретические основы электротехники "Новочеркасского государственного технического университета ( г. Новочеркасск ,1982 г.и 1988 г.); на кафедре "Электрические машины" Санкт-Петербургского государственного технического университета (г.Санкт-Петербург,1988 г.); на семинаре кафедр " Тепло - и электроэнергетики", " Физика " и " Высшая математика " Дальневосточного технологического института (г. Владивосток, 1980 - 90 г.); на объединенном научном семинаре " Математическая физика и вычислительная математика " Института прикладной математики ДВО РАН и Дальневосточного государственного университета (г. Владивосток, 1992г. и 1993г.).

Публикации. По теме дессертационной работы опубликовано 20 печатных работ, среди которых одна монография и три авторских свидетельства.

Объем и структура диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы и приложений.

Диссертация содержит : текст, 71 рисунок, 28 таблиц и список использованных источников из 145 наименований отечественных и зарубежных авторов. Общий объем диссертационной работы составляет 391 страницу.

Диссертационная работа выполнена на кафедре "Гидропневмоавтоматика и гидропривод" Новочеркасского государственного технического университета (г.Новочеркасск).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Улучшение энергетических показателей, уменьшение габаритов и веса, снижение стоимости электрических машин требуют более точных методов их расчета и проектирования.

Электрические машины цилиндрического типа (асинхронные, синхронные и постоянного тока) являются машинами самого массового применения. Методы их расчета, проектирования, конструирования, изготовления и испытания хорошо известны и широко освещены в литературе.

Аксиальные электрические машины существенно отличаются от машин цилиндрического типа не только своей конструкцией и технологией изготовления. У этих машин, например, меняется в радиальном направлении соотношение параметров зубцовой зоны (разное отношение ширины паза к зубцовому делению), а лобовые

части обмотки расположены близко к магнитопроводу. Но, самое главное, аксиальные машины имеют иную структуру магнитных полей в воздушном зазоре и ярме. Все это требует разработки новых методов расчета аксиальных машин, более глубокого исследования магнитных полей в ярме и воздушном зазоре этих машин с павами разной формы.

Исследования ориентированы в первую очередь на аксиальные электрические машины с односторонней зубчатостью. Но результаты исследований носят более общий характер и их можно применить при разработке электрических машин разных типов: аксиальных, цилиндрических, конусных и сферических.

Рассматриваются магнитные поля в плоском и кольцевом воздушном зазорах электрических машин с пазами разной формы (в виде прямоугольника,в виде части кольца, треугольных со скругленным дном и трапецеидальных, полукруглых и арочных, конечной и бесконечной глубины, в виде полигональной функции).

Некоторые из классических допущений при исследованиях уточнены.

Полученные результаты апробированы при расчете, конструировании, изготовлении и испытании аксиальных электрических машин разной мощности и разного назначения.

Математическое моделирование потенциальных полей разной физической природа сводится, как правило, к решению дифференциальных уравнений в частных производных и интегральных уравнений. Среди дифференциальных уравнений в частных производных важное место занимают уравнения Лапласа и Пуассона, а среди интегральных уравнений - уравнения Фредголъма.

Решение указанных дифференциальных уравнений в различных ортогональных системах координат приводит к рядам Фурье, Бесселя, Чебышева и Лежандра, а также и к другим рядам. Термин "обобщенные ряды Фурье" охватывает все частные случаи рядов.

В диссертационной работе основным объектом исследования является магнитное поле в воздушном зазоре электрических машин с пазами разной формы, где применяются ортонормированные системы функций на непрерывном или чаще всего на дискретном множестве точек. Эти системы функций содержат:тригонометрические синусы и косинусы, функции Бесселя и многочлены группы Якоби (многочлены Чебышева первого рода т^с >о .многочлены Чебышева второго рода иксхэ и многочлены Лежандра р^схэ). Ряды по многочленам Чебышева и Лежандра на специальном дискретном

множестве точек используются далее для решения уравнений Лапласа, Пуассона и Фредгольма. В частности, ряды по многочленам Чебышева первого рода применяются при расчете магнитного поля в плоском воздушном зазоре для треугольных пазов с прямым углом на дне и для пазов в виде полигональной функции.

Такой подход дает возможность усовершенствовать некоторые известные методы решения уравнений Лапласа, Пуассона и Фредгольма и разработать новые.

Поля многих электротехнических устройств (например, электрических машин, электронных линз и П - образных экранов) при определенных допущениях описываются уравнением Лапласа, при решении которого можно применять известный метод разделения переменных. Это возможно в том случае, когда границы области совпадают с координатными линиями в какой-либо ортогональной системе координат. При исследовании потенциальных полей (в частности магнитных и электрических) везде применяется принцип разбиения сложных расчетных областей на подобласти (части), число которых может быть две и более. При этом, подобласти могут быть: одинаковой или разной ширины, ортогональными или неортогональными, соприкасающимися или иметь общую часть (площадь). Здесь возможны три типа задач.

Во-первых. Подобласти имеют равную ширину, соприкасаются друг с другом и решение уравнения Лапласа для подобластей отнесены к одной и той же системе координат. Сюда относятся задачи по исследованию полей П - образных экранов и электронных линз из четырех плоских электродов в декартовой системе координат, электронных линз из двух полых цилиндров в цилиндрической системе координат.. Результаты исследования полей П - образных экранов, шлей электронных линз обоих типов и рекомендации по конструированию линз изложены в приложении.

Во-вторых. В декартовой системе координат на плоскости можно рассматривать поле двух соприкасающихся прямоугольников разной ширины, что соответствует, например, полю одного зубцо-вого деления электрической машины, имеющий плоский воздушный зазор и пазы с параллельными стенками. Решение такой задачи изложено во второй главе. В цилиндрической системе координат на плоскости г = о можно исследовать поле двух круговых соприкасающихся прямоугольников разной угловой ширины, что относится, в частности, к полю одного зубцового деления электрической машины, имеющей кольцевой воздушный зазор и пазы в виде части

кольца. Такая задача рассматривалась в третьей главе. А в первой главе при исследовании магнитного поля в тороидальном воздушном зазоре аксиальных электрических машин рассматривается в цилиндрической системе координат математическая модель одного зубцового деления машины, расположенного на цилиндрической поверхности Xя + у' = I?2, -00 < 2 < 00. При этом, подобласть воздушного зазора с угловой шириной а и подобласть паза с параллельными стенками угловой ширины р соприкасаются по дуге окружности х' + у* = я2, длина которой (дуги) равна /ж.

В-третьих , возможны случаи, когда подобласти пересекаются и имеют общую часть. Например, подобласть в виде прямоугольника пересекается с подобластью в виде сектора, а их общей частью является сегмент. Здесь для прямоугольника целесообразно применить декартову систему координат, а для сектора (или части кругового прямоугольника, то есть кольца) - цилиндрическую систему координат. Такая задача и аналогичные другие рассмотрены в четвертой главе применительно к расчету магнитного поля электрических машин.

Пятая глава посвящена изучению поля в плоском воздушном зазоре электрических машин, но для подобластей (пазов) в бици-линдрической системе координат на плоскости. Указанных подобластей (пазов) там девять: полукруглые, арочные, шатровые и другие - конечной и бесконечной глубины. В моделях из пятой главы подобласти соприкасаются по отрезку прямой.

В шестой главе изложена теория ортогональных многочленов и рядов группы Якоби на дискретном множестве точек и приложения этих рядов в теории интерполирования функций, при приближенном интегрировании функций и при приближенном решении уравнений Лапласа, Пуассона и Фредгольма. В частности, ряды Чебы-шева применяются при расчете магнитного поля в плоском воздушном зазоре электрических машин с треугольными пазами и пазами в виде полигональной функции. В рассматриваемых здесь математических моделях подобласти имеют общую часть.

В первой главе приведено решение нескольких важных проблем. На примере разработанных и изготовленных новых рабочих механизмов разного технологического назначения, приводом которых служат аксиальные двигатели, показаны существенные преимущества применения аксиальных двигателей в этих механизмах. Изучена структура магнитного поля в ярме электрических машин и показана необходимость учета влияния зубцов при расчете намаг-

ничивапцей силы ярма этих машин. Предлокен способ учета влияния зубцов на величину МДС ярма. Изложена методика расчета аксиальных электрических машин, в основу которой положен принцип разбиения их магнитной цепи на расчетные модули.

В седьмой главе изложены некоторые вопросы конструирования, изготовления и испытания электрических машин. Рассмотрен вопрос об учете кривизны воздушного зазора электрических машин цилиндрического типа, даны рекомендации по конструированию ротора синхронных реактивных двигателей и ротора индукторных машин аксиального и цилиндрического типов. Исследована проблема выбора геометрических размеров магнитопровода аксиальных электрических машин (соотношение между внешним и внутренним диаметрами магнитопровода, осевая длина магнитопровода) .рассмотрены особенности выбора геометрических размеров магнитопровода аксиальных электриченских машин встроенного типа. Изложены результаты экспериментальных исследований асинхронных торцовых двигателей разной мощности и сформулированы рекомендации по расчету, конструированию и изготовлению аксиальных электрических машин.

Изложим подробно некоторые аспекты указанных выше проблем.

Рассмотрим магнитное поле возбуждения в воздушном зазоре торцовой электрической синхронной машины, один из магнитопро-водов которой является гладким, а другой - с открытыми пазами.

В основу дальнейших исследований положим следующие допущения: магнитная проницаемость магнитопровода машины достаточно большая, зубчатость - односторонняя, а пазы машины имеют параллельные стенки; электрические токи в магнитопроводах, пазах и воздушном зазоре отсутствуют; аксиальное магнитное поле в воздушном зазоре машины обусловлено постоянной по величине и направлению магнитодвижущей силой обмотки возбуждения, которая расположена вне расчетной зоны; краевые эффекты (уменьшение магнитной индукции возле внутреннего и внешнего диаметров магнитопровода, что имеет место и при наличии, и при отсутствии пазов) не учитываются. Такая система допущений позволяет общую (пространственную и сложную) краевую задачу свести к решению задачи для одного зубцового деления, расположенного на цилиндрической поверхности радиуса квиугр * г < квняц.

Структура одного зубцового деления машины на цилиндричес-

Э 9 ?

кой поверхности х + У = к при ~*> < г < со показана на рис.1, где обозначены: » = гл^- центральный угол зубцового

деления, zi - число пазов с параллельными стенками, Р - центральный угол паза.ь - глубина пазов, ¿ - воздушный зазор меаду магнитопроводами, R-средний радиус магнитопроводов. При этом, пусть будет: ft Í O.TSa И /Ж = Ь » <5; a,6,b,h = f(r) = const.

При дальнейших исследованиях кривую магнитной индукции на гладкой поверхности (z = о, -asz < *> < <*sz) представим в виде следующего ряда Фурье: в(Р) = Bm - £ B„cos п -jjr р »

n = 1 . Э . . . .

где вт - максимальное значение индукции по оси зубцов; во - амплитуда нечетных гармоник индукции. На рис. i на цилиндрической поверхности х2 + у2 = R2 и < z < «о показана расчетная область (~а/г<р<а/г, os z <<5+ь), которая разбита на две подобласти: подобласть воздушного зазора i (-а/2 < р < а/г, 0 < z < б) и подобласть паза машины и (-р/г < г < руг, & < z < ó+h).

При допущениях, изложенных выше, задача о распределении магнитного поля в воздушном зазоре и пазах аксиальной электрической машины будет описываться уравнением Лапласа. В цилиндрической системе координат о г z для скалярного потенциала и(г ,f>,z) уравнение Лапласа имеет вид:

<>ги i аи i аги аги

+ - . - + - - + - = о.

ár г дт г dp »z

В данной задаче радиус обоих магнитопроводов изменяется от значения г = г = r до значения г = г = r ,то есть

1 внутр ^ 2 внеш

r < г < r (здесь: r и r - внутренний и внешний

внутр внеш " внутр внеш Г « «

радиусы магнитопроводов электрической машины соответственно)!

При анализе магнитного поля в воздушном зазоре аксиальной машины можно положить (см. рис. i), что потенциал гладкой поверхности зазора является нулевым, а зубчатая поверхность воздушного зазора имеет постоянный потенциал и^ > о.

На цилиндрической поверхности, например xz+yz=Rz, при постоянных значениях потенциалов поверхностей воздушного зазора в исходном уравнении Лапласа можно положить аи/аг = е>г\з/»гг = о. Теперь уравнение Лапласа будет иметь более простой вид: i аги <>ги — ■ —Г + —Г" = <Х>

R' Эр Аг*

Общее решение этого уравнения методом разделения переменных может быть представлено в виде ряда:

m m

U(R,t>,z) = Г (A sin ю»> + С cos rop)(D sh - z + F ch - z )+

m m m ^ m ^

+ (A |P + В) (C z + D), ' (2)

_1

frz.

- 15 -

где m - значения постоянной разделения;

а, в, с, о, am, cm, Dm, f^ - постоянные интегрирования. Все постоянные, входящие в это решение, определяются на основе граничных условий задачи.

Подобласть воздушного зазора i (см. рис. i) - это часть цилиндрической поверхности, для которой хг + уг = rz, -а/2 < р < а/2 И о < z < б. ГрЭНИЧНЫв УСЛОВИЯ ДЛЯ ПОДОбЛаСТИ I

будут следующие. Магнитное поле обладает симметрией по

переменной р: u,(r, -р, z) = и, (r, р, z), 1 л» 1

—* =о. (3)

dp j?=0

Пусть вид кривой магнитной индукции на гладкой поверхности (z = о, -а/г < р < as'z) задан в виде ряда В(р): ди.

= В(р) = в - Е B^cos п р , (4)

Z=0 *" г. = 1 . Э , . . . "

где в^ - искомые амплитуды нечетных гармоник индукции; вт - максимальное значение магнитной индукции по оси

зубцов (при расчете лучше принять в^ = i Тл). Потенциал на гладкой поверхности (z = о, -а/г < р s а/г) пусть будет нулевым, т.е. ^(r, р, о) = о.

На поверхности зубцов, т.е. при z = б, -а/г < р < -p/z и руг < р < и/г, потенциал пусть имеет значение uQ: Р, <5) = U0 = const.

Граничные условия на дуге ав (z =6, -р/г < р < р/г) -известные условия согласования решений подобластей i и и, т.е. равенство потенциалов подобластей и их производных по переменной z: UjiR, р, б) = u2(r, р, <5),

<эи <?и

— = — • (5)

O-z &Z

С учетом изложенных граничных условий решение уравнения Лапласа для подобласти i (-с/г < р < «/г и о < z < б) будет:

^(R, z) = Bm z - Е ^ B^sh n ^ z- соз n P. (6)

ns t . Э , . . .

Производная этого решения по переменной z:

AJ

-i = Bm- EBnch„jJz.c«ni,. (7)

r.= 1 . Э . . . .

Потенциал uQ на зубчатой поверхности машины теперь будет равен: и =. и (r, а/г, б) = в б.

0 1 m

Подобласть паза и (см. рис. i) - это также часть той же цилиндрической поверхности, где х2 + у2 = к2, -р/г < %> < р/г и б < z < б+ь. Граничные условия для подобласти и будут следующие. На боковой поверхности пазов (р - ± р/г и б < z < б+ь)

и на дне пазов (-руг < р < руг и z = <5+ь) потенциал равен uQ: иг(*. z) = и0 = Втб. На гладкой поверхности (z = о) потенциал имеет нулевое значение, а на всей зубчатой поверхности и = uQ = в^б > о. Распределение потенциала относительно оси паза носит четный характер и при z = б и -руг. s *> £ руг его удобно записать в виде следующего тригонометрического ряда Фурье:

тт

U (R, Р, 6) = В <5 - Е Н cos г- Р ,

у= 1.3,.Г. ft

где иу - искомые амплитуды гармоник потенциала подобласти л.

С учетом этих граничных условий решение уравнения Лапласа

для подобласти и (-руг < р < руг. иб<г<б + ь) будет:

л (<5+h-z)

sh у -

PR л

U (r, р, z) = В <5 - £ Н - cos у- Р . (8)

1 уч. л р

sh у

PR

Производная решения для подобласти и по переменной z:

л (<S+h-z )

ch у -

аи л PR л

— = - E Г н - cos Y- p. (9)

&z pR у-» •3 ■ • ■ • ™ P sh Y - h

PR

Зная значения потенциалов подобластей i и и и их производных по переменной z, запишем условия согласования решений подобластей i и и (см рис. i) на их общей границе, т.е. на дуге ав (z = б, -руг < р < руг):

В 6 - Г — В sh п—• cos п -2- р=В б - Г Н cos у-Р,(10)

7» ^ гтп г. aR a r т у /»

,э,. . . у-1.з,.i р

В - Г В ch п о-cos п - р -

т т-> ак а

г>=1 . э ,.. .

л л л

= - Е У Н cth >- - h-cos у-Р . (II)

pR у- 1,э,. . . /?R /5

Имея выражение для и^(r, р, z), на поверхности зубцов

(-с.^2 < ю < /э^-г < р < ах-г при z = 6) можно записать :

В <5 - г — В sh п-Цб-cos n -i- Р = U = В б. (12) m лп г. cxR а о m 1 '

ri=l , з ,. . .

Изучение структуры формул (6) - (12) показывает, что они аналогичны выражениям, относящимся к расчету магнитного поля пазов с параллельными стенками в плоском воздушном зазоре.

Для и (r, р, z), u2(r, р, z) и трех последних соотношений можно ввести следующие обозначения:

or = t - зубцовое деление и PR = ь"- ширина паза в развертке; pR = у, -tyz < у < t/г для подобласти воздушного зазора и

- 17 -

-ъуг < у < ь/г для подобласти паза.

Легко проверить, что выражения (6)-(7) и (8)-(9) будут идентичны формулам (16)-(17) и (20)-(21) соответственно, в которых следует Осуществить соответствующую замену переменных.

Теперь можно сделать три следующих замечания.

Во-первых. При принятых допущениях расчет магнитного поля в воздушном зазоре аксиальных электрических машин, имеющих пазы с параллельными стенками, путем развертки расчетного куска цилиндрической поверхности хг+уг= ,-а/г < р < ауг и о < г < <5+ь можно свести к расчету поля на плоскости.

Во-вторых. Результаты расчета магнитного шля в плоском воздушном зазоре для пазов с параллельными стенками, полученные во второй главе, можно применить для анализа магнитных полей в воздушном зазоре аксиальных электрических машин.

В-третьих. Воздушный зазор аксиальных электрических машин имеет форму тора. Расчет магнитного поля в воздушном зазоре аксиальных машин при принятых выше допущениях можно свести к расчету поля на куске цилиндрической поверхности. Кривизна указанной цилиндрической поверхности на картину магнитного поля в воздушном зазоре аксиальных машин влияния не оказывает.

Таким образом, при анализе магнитных полей в воздушном зазоре аксиальных электрических машин применимы результаты расчета магнитных полей в плоском воздушном зазоре для пазов любой формы (с параллельными стенками, трапецеидальных, полукруглых, арочных и других). Результаты исследования магнитного поля пазов разной формы изложены далее.

Переход от общей пространственной краевой задачи по расчету магнитного поля в воздушном зазоре аксиальных электрических машин к математической модели расчета магнитного поля на куске цилиндрической поверхности с последующей разверткой этой поверхности на плоскость и расчета поля уже в плоском воздушном зазоре и с пазами разной формы имеет важное значение в теории математического моделирования магнитных полей электрических машин.

Рассмотрим влияние зубцов на величину МДС ярма. У аксиальных электрических машин ширина зубца ь^ и ширина паза ь таковы что ь^ > ь. Из-за ответвления магнитного потока в тело зубцов разгрузка ярма статора и ротора аксиальных имашин может быть весьма существенной.

Расчет распределения поля в ярме под зубцом аналитически

возможен лишь без учета насыщения (при р = Данную задачу можно свести к расчету распределения поля в плоском воздушном зазоре под пазом с параллельными стенками. Различие состоит в том, что линии равного потенциала в первой задаче соответствуют силовым линиям во второй.

При исследовании поля под пазом с параллельными стенками во второй главе показано, что зависимость параметров поля от глубины паза носит экспоненциальный характер. А это позволяет ввести расчетное значение высоты ярма h„poc=h„+ 2т= ья+о,25ьж, где т = 0,125 ь^ - постоянная экспоненты и^ - высота ярма.

Такой подход к учету влияния зубцов на величину намагничивающей силы ярма позволяет уменьшить высоту ярма и повысить точность расчета магнитной цепи машин аксиального типа, что подтверждено экспериментально.

Для расчета аксиальных электрических машин разработан и широко апробирован метод электромагнитного расчета их магнитной цепи. В основу предложенного метода положен принцип разбиения магнитной цепи машины на расчетные модули, число которых может быть от трех до двенадцати.

Системой равноотстоящих коаксиальных цилиндрических поверхностей магнитопровод машины разбивается на расчетные модули (части). Расчет магнитной цепи каждого модуля ведется по его среднему диаметру (см. рис.2). В соответствии с законом полного тока необходимо найти в воздушном зазоре машины такое распределение магнитной индукции, при котором намагничивающие силы всех модулей одинаковы и равны заданной намагничивающей силе обмотки возбуждения.

У аксиальных машин вдоль их активной длины, т.е. в радиальном направлении, меняется геометрия зубцов и ярма (даже при ь = const и ь = const), что влечет за собой изменение магнитной индукции (в6(.), коэффициента воздушного зазора (к6£) и коэффициента насыщения магнитной цепи ). Магнитная индукция в воздушном зазоре аксиальной электрической машины определяется формулой в, (г ) = р - , (13)

6 ° 26 К , . (г ) К . (г )

поэтому при конструировании и расчете этих машин надо стремиться к тому, чтобы Kj. (г )к . (г) « const., в этом случае при условии,что намагничивающая сила f = const, получим в6(г) * const.

Расчету магнитного поля в плоеком воздушном зазоре электрических машин для пазов с параллельными стенками посвящена

вторая глава работы.

Структура одного зубцового деления электрической машины цилиндрического типа при классических допущениях (магнитная проницаемость стали магнитопроводов машины достаточно большая, машина имеет бесконечную длину, зубчатость односторонняя, кривизна воздушного зазора не учитывается, электрические токи в магнитопроводах,пазах и зазоре отсутствуют) показана на рис.3, где обозначены: t - зубцовое деление, а - величина воздушного зазора, ь и ь - ширина и глубина пазов с параллельными стенками. Указанная система допущений позволяет пространственную и сложную краевую задачу свести к решению задач на плоскости.

При оценке влияния глубины пазов на картину магнитного поля в воздушном зазоре мнения разных авторов существенно расходятся. Глубина пазов, при которой их практически уже можно считать бесконечно глубокими, составляет: г/з < ь/ъ < i.e. Анализ исследований по проблеме расчета поля пазов с параллельными стенками позволил сделать следующий вывод: при классических допущениях и конечных значениях всех параметров зуб-цовой зоны (t, б, ь, ь) задача по расчету магнитного поля в воздушном зазоре для пазов с параллельными стенками конечной глубины еще полностью не решена.

Необходимо аналитически и с помощью численных расчетов более строго исследовать зависимость параметров магнитного поля в воздушном зазоре от глубины пазов.Также надо получить более точную аналитическую оценку значения той глубины пазов,при которой дно пазов на картину магнитного поля в воздушном зазоре влияет слабо и пазы уже можно считать бесконечно глубокими.

При исследованиях кривая магнитной индукции на гладкой поверхности (см. рис.3) была представлена в ьиде следующих рядов Фурье: в(х) = вт - V в cos п~-х, (14) m ri= 1 ,з,. У.

где в^ - максимальное значение индукции по оси зубцов, в^ - амплитуда нечетных гармоник индукции;

где вср и в^ - среднее значение и амплитуда гармоник индукции. Численные расчеты удобно вести при максимальном значении магнитной ИНДУКЦИИ ПО ОСИ ЗубЦОВ В (±t/2) = вт= 1Тл.

Расчетная область (рис.3) была разбита на две подобласти: подобласть воздушного зазора в виде прямоугольника i (-t/2<x<

- 20 -

<^уг, о<у<б) и подобласть паза и (-ь--г<х< <ьхг, б<у<б+ъ).

Потенциал подобласти I и его производная по у при использовании ряда (14) имеют вид:

и (х.у) = Вту _ £ I 1 Вп.Ь п У • СОЗ „-=- х, (16)

= - I п -г- у " <17>

Лу п = 1 ,э....

где -«.✓г < х < ъ/г и о < у < ¿, в - искомые параметры поля. Аналогично при использовании ряда (15) имеем:

и (х.у) = Всру - Ц В^Ь „ Щ у • со, „Ц х, (18)

ои Р-1.2,...

71 = ВСР - I " ^ у ■ С°3 ^ (19)

Оу и=1,г ,...

где -^-2 < :< £ ь-г и о < у < <5,всри в^-искомые параметры поля. Потенциал для подобласти и и его производная по у имеют вид:

и, (х.у) = Вт<5 - I Н -- соз X, (20)

... . зЬ Ь

<»и сЬ }-?((5+Ь-у)

г п v и ь . " —- = Ь ¿г "у -Г ¡ГТ- ^ь х>

Оу У-1 ,ъ ,. . . зЬ Ь

где -Ьх'г 3 х < ЬУ2 и <5 < у < ¿+ь.

На общей границе подобластей х и п {-ы-2<х<ы-г и у=<5) требование равенства значений потенциалов подобластей и равенства их нормальных производных, используя, например, выражения (18) и (21), приводит к соотношениям:

в <S —п~ У - В sh V Щя ■ cos V—-A =Bi - 5 н cos Гг X, (22)

CP ™ / =

J B^ch U^cos I 'V ""¿T cos ^ x>(23)

B _ x „ . . 2nr_____ 2n

CP LI — w ~ t* / . | ' ' L

, 2 .. . . y = i , э . . th h

где -ь/3 .< x < ь/2 при у = <s.

На зубчатой поверхности потенциал раьен и в^б, то есть на зубце (-is г < х < -ь*г и ь-'2 < х t.,г, у = 6) имеем:

В г -ni У L в sh М ??<s ■ cos 1-.^х =в <s . (24)

CP P^J t t >n

Ввиду симметрии магнитного поля относительно оси паза выражения (22) - (23) необходимо рассматривать на отрезке to,b-<2], а соотношение (24) - на отрезке tь.-г, t.-ai.

Аналогичные соотношения были получены на основе (16)-(17). На основе соотношений (22) - (24) и им аналогичных было разработано несколько алгоритмов, численного решения задачи, позволяющие найти все искомые параметры поля (вп.вср и Bp.Hy).

Построим алгоритм численного решения поставленной задачи на дискретном множестве точек, где всегда должно выполняться условие мун = ьу1. Покажем это на примере. Положим: 1=100 мм, Ь=вО мм, <5=8 мм, М=13, N=23, К=11 И Ь=М+М+1=гм+К=41.

Здесь обозначены: м - число неизвестных коэффициентов ряда (20), то есть г = 1,з,...,(гм-1)=го; н+1 - число членов ряда (18) то есть учитываем в и в = в , в.....в • к - число

Ср 1 < 25

уравнений по соотношению (24); ь - полное число неизвестных (вср и ву, н^) и полное число уравнений.

Разобьем отрезок го.ъ^гз = со.зсл равномерно на м=гз частей с шагом Дх = Ъ'-ги = г. На отрезке о < х < (| - дх) с шагом дх = 2 мм можно составить м = 15 уравнений вида (22) и м = 13 уравнений вида (23). Уравнения будем составлять, начиная со значения х = о, т. е. с левой границы частей разбиения.

На отрезке ъ/г < х < ь/г равномерно, с шагом дх = ь/гы, можно составить к = и уравнений вида (24).

Если считать правую часть (22) известной функцией, то, имея м = 15 уравнений вида (22) и к = и уравнений вида (24), при решении системы алгебраических уравнений из м + к = гв уравнений получим м+1 = м+к = гв коэффициентов интерполяционного полинома вида (22), т.е. значения в ,в,в, ...,в .

ср 1 2 ■••» 29

И, наоборот, имея м = 15 уравнений вида (22) с известной левой частью, получим интерполяционный полином вида (20), т.е. значения н4, нэ, нэ, ..., н2!>, при у = <5ио<*< ь/г.

Таким образом, значения м и N надо выбирать так, чтобы всегда выполнялось условие м/н = ь/ъ. Например, при ь/ъ = о,в возможны варианты: м = 12 и N = 20, м = 15 и N = гз и т. д.

Алгоритм численного решения задачи, построенный на дискретном множестве точек,имеет очень простые выражения для коэффициентов при неизвестных, т. е. при вср, в^ и н^, и позволяет получить решение в виде интерполяционных полиномов.

Алгоритм численного решения задачи, содержащий выражения (22) - (24) и построенный на дискретном множестве точек с условием м/м = ь-г, позволяет вести расчет магнитного поля в плоском воздушном зазоре для пазов с параллельными стенками конечной и бесконечной глубины при любых соотношениях параметров зубцовой зоны (с, б, ь, ь). Результаты расчетов были сведены в 14 таблиц и представлены на 5 рисунках.

Для примера на рис. 4. показаны зависимости х6, в*, вт.п= = г(ьх-ь) при ьуь=о,е и ь/б=ю. Здесь обозначены: к,=в /в

коэффициент воздушного зазора, вср - среднее значение магнитной индукции, в* = в^вср - относительное значение амплитуды первой гармоники ряда (15), в„,1П- минимальное значение магнитной индукции по оси паза - при вт = 1 Тл.

Показано, что зависимость = г{ьуъ) близка к экспоненциальному закону с постоянной т = 0,125 ь.

Изучение структуры формул (22) - (24) показывает,что глубина пазов ь входит только в соотношение (23) и находится под знаком гиперболического тангенса.

Рассмотрим влияние глубины пазов, т.е. значений ь/ь, на картину поля в зазоре. Так как уже при с = значение № « г «0,985, то при ЬУЪ = | получим: ЪЬ дЬ = сь|гт ЧЙ.985 при у = 1 и 35 1 при у ь 3. При Ь'-Ь = со имеет место: ъь = I

при всех значениях у. Отсюда следует,что эти два решения будут мало отличаться друг от друга.

Аналитически установлена граница влияния глубины пазов на картину магнитного поля в воздушном зазоре: если ь-ъ < з-ч, то такие пазы являются пазами конечной глубины;если же ъ/ъ > э/4, то такие пазы уже можно считать пазами бесконечной глубины.

Аналитические исследования и анализ численных результатов, где параметры зубцовой зоны (1, 6, ь, ь) изменялись в широких пределах, показывает их хорошую согласованность друг с другом, с теоретическими положениями и с результатами аналогичных исследований других авторов.

В третьей главе исследуется магнитное поле в кольцевом воздушном зазоре для пазов в виде кругового прямоугольника (части кольца) на примере расчета поля возбуждения индукторных машин..

При решении задач кривую магнитной индукции на гладкой поверхности статора будем представлять в виде следующих рядов

Фурье (рис. 5): в(Р) = в - \ в со* (25)

где в^ - максимальное значение индукции по оси зубца; - амплитуда нечетных гармоник индукции;

в(„) = в - 2 в^соз „-§2. р, (26)

1>=1,1,. . .

где вср и в^ - среднее значение и амплитуда гармоник индукции.

Более удобной для использования формой представления кривой магнитной индукции в зазоре машин является ряд (26).

При классических допущениях задача о распределении маг-

нитного поля в зазоре и пазах является двухмерной. В цилиндрической системе координат огр такое поле описывается уравнением Лапласа. При аналитическом решении задачи (рис.5) вся расчетная область разбивается на две подобласти: подобласть кольцевого воздушного зазора i и подобласть паза и. Обе подобласти соприкасаются друг с другом по дуге окружности радиуса г^ при -руг < <р < р/г, так как цилиндры радиусов г1 и го соосны. При -руг < ю < руг дуги радиусов г, и го эквидистантны.

Подобласть воздушного зазора i - часть кольца для которой rt < г < r и -ауг < р < ауг (рис.5). Здесь: R - радиус расточки гладкого статора, rt - внешний радиус зубчатого ротора, а - гпУт.г - центральный угол зубцового деления ротора и -число пазов ротора.

Рассмотрим решение, где потенциал ио = -b^r Это

1

значение потенциала найдено на основе ряда (25).

Потенциал подобласти i ,если за основу взять ряд (26),будет:

D |- 2ТТ V/a 2ЯР»Уа-| „

U (rlP)=B R ln-I- + I ^ В Urst) -{г/К) lcos г&р.

L . J (27)

Производная (27) по г;

<>U - - Г znu/a znp/cu

-Г = 4-Вср- 2аг ВрГ^) ]соз^.(28)

A- L>= 1 . 2 . . . . L j

Подобласть паза и - круговой прямоугольник (часть кольца), для которого -руг < р < руг и го < г < г (рис.5).

На всей зубчатой поверхности ротора потенциал и = ио < о, а на гладкой поверхности статора потенциал и = о. Потенциал для подобласти и будет иметь вид:

г yn/f3 j-

U2(r,^)= -B^R In -5- + У H -^- cos yZ p, (29)

1 / = i , э .* . . . г ^rn'ft f r0-\Wfi

1-TlJ "brJ

где ro < г < г и -Р'-г < p < р/г. Производная (29) по г:

2 V и "J" ° " 1ПП\

— = 1 н/ w'-со3 (30)

Используя соотношения ak = ек1т>, формулы (27) - (30) можно записать через гиперболические функции. Для потенциала (27) подобласти I и его производной (28) получим:

и (г,„) = В К + 2 зЬ Щ 1п р-соз г&р, (31)

к=1, г ,. . .

!Л = _Е_В- У»В сь^Щ 5.соз (32)

л- Г ср р^Ь.Г.." а г Л

где г < г < (г и -а/г < р < а/г.

Аналогичные преобразования для выражений (29) и (30) дают:

, л . г

зь у- щ —

и2(г,»>)= -в^ 1п -5- + 2НГ -¡А ^ с; (33)

зЬ ур 1п

ои „ сЬ гр 1п —

^ = ЛНГ -Г^ — г* (34)

зЬ Гр 1п

где г^ < г < г€ и -р/г £ »> < .

При нахождении решения для всей расчетной области на общей границе (дуге ав) подобластей надо выполнить известные условия согласования решений подобластей I и и - равенство потенциалов подобластей и равенство нормальных производных этих потенциалов (см.рис.5).

Используя выражения (31) - (34), запишем эти условия на дуге ав (г = г , -р/г < р < р/г) г

_ _ , Г1 , V О оЯ . 2и , I? 2л

В 15 1п—+ > В 7т-- зЬ V— 1п —-соз V—р =

ср К £ V а г а

и-1,2,

= -Вт1? 1„ + Ун СОЗ Л Р , (35)

X ^=1,3,;.. '

- В - ) В — СП ч— 1п — соз V—р =

г ср С V г а г а

1 1 , 2 , . . . 1 1

1

I ИУ г!Г'-г со3 »'• <36>

ъь гп 1п -

' о

На поверхности ротора потенциал ио = -в^е 1г. -5-, поэтому

1

на зубце (-о/г < р < -р/г и р/г < р < с^г, = ) имеем:

В (г + У В зЬ 1п сое = 1II -5-. (3?)

ср К и 2лу а г а т

1,2,... 1 1

С учетом симметрии магнитного поля относительно оси паза

выражения (35) - (36) надо рассматривать на отрезке со, р/г^ ,

а соотношение (37) - на отрезке с р/г, о/г\.

Рис. I. Расчетная область (-а/г < <р < а/г, о < х < <5+ю, подобласть воздушного зазора I (-а/г < %> < а/г, о < г < <5з и подобласть паза'и (-р/г < *> < р/г, &< -г. < б+ь) на цилиндрической поверхности

X2 + у2 = И -со < г < О)

Р&неш_

э

-с

Ол

ж

V»

¡Ев

Рота

Статор

ТЦычтр

14-.-

Рис. 2. Магнитопровод аксиальной электрической машины с разбиением его на три расчетных модуля (1 и г - коаксиальные эквидистантные цилиндрические поверхности)

/Ц-Ц.

ф

! ©

-1/2

-'/г

о|\ Ь/Г Ч)-0

Чг

4

Рис.3. Расчетная область и две подобласти в системе координат оху : подобласть воздушного зазора х (-^г < х < <уг. и о < у < б) и подобласть паза и (-ыг < х < ь/г и б < у < <5+ь)

Рис. 4. Зависимости кб, в*, вт,ап=г(Ь'Ь) при Ь'-Ь = 0,6 И ьУб = 10

Рис.5. Расчетная область и две подобласти в цилиндрической системе координат ог»>: подобласть кольцевого воздушного зазора I (г < г < и -а/гз *> <а/г) и подобласть паза и (го< г <1^,

-р/г < |Р < /?/2)

Рис. 6. Расчетная область, подобласти I и и и две системы координат: оху - прямоугольная, сгр - цилиндрическая

Рис. 7. Расчетная область и две подобласти: подобласть воздушного зазора х в системе координат оху (-ь/г < х < и о < у £ <5), подобласть полукруглого паза II в системе координат о'х-у-

а' Ь/2

а \

о и ■«г

О1

6/2 Г"

У'

Ь/г

N -ис п ( ^

0'

-Ь/г Г"

Рис. 8. Две подобласти: слева - полукруглого паза (о < ? < и рг ^ (р 5 р1), справа - арочного паза конечной глубины (о < ч < ^ и *>2 ^ <р £ »>,) в системе координат о-х'у'

- 25 -

Соотношения (35) - (37) позволили разработать алгоритмы численного решения поставленной задачи, которые аналогичны таковым из второй главы.

Для подобласти паза и также было получено решение уравнения Лапласа в сферической системе координат. Но это решение сложнее, чем рассмотренное выше.

Анализ выражений (35) - (37) показывает, что параметр, который характеризует глубину пазов, т.е. радиус по дну пазов ротора г , входит только в соотношение (36) и находится под знаком гиперболического тангенса. Искомые параметры поля (в^, вср и Bijf н^) при заданных исходных данных (R, rt, го, а, р)

зависят от значений th ^ i г» ¡ri.

Так как th w 4 о,ees при » * | п, то можно считать, что

Г

для веек г при w > ~ а будет th ~ i - Отсюда для г ~ \

о

г г л

получим: 51г,р- = |пили — « е0,7*'\

' о о

Таким образом, пазы, у которых r%sro < можно

считать пазами конечной глубины. Те же пазы, для которых имеем г/г^ > е0,75'5, являются пазами бесконечной глубины.

В четвертой главе при классических допущениях рассматривается расчет магнитного поля возбуждения в воздушном зазоре индукторного генератора с полузакрытыми узкими пазами на статоре и трапецеидальными пазами со скругленным дном на роторе.

При принятых допущениях задача по расчету поля сводится к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа.Расчетная область является сложной и состоит из двух подобластей: плоского воздушного зазора и треугольного паза со скругленным дном.

Решение уравнения Лапласа для подобласти плоского воздушного зазора необходимо искать в прямоугольной системе координат, а для подобласти паза - в цилиндрической (рис.6).

Кривая магнитной индукции на гладкой поверхности статора, была представлена в виде ряда Фурье (15), выражение для подобласти плоского возданного зазора i.естественно, в виде выраже-

t v 2п 2п

v — г "" -- --- --

ср

НИЯ (18): II (х,у)=В у - ± У ~ зь у■ соз иЩ х, (38)

где -ъхг < х ехг и о < у < <5.

Подобласть паза и при Ro>o,<s + н>Rи принятой системе допущений имеет форму кругового прямоугольника, а задача

- 26 -

по расчету поля подобласти является двухмерной (рис.6).

В цилиндрической системе координат сгР магнитное поле для подобласти и описывается уравнением Лапласа, решение которого при ио = вт<5 имеет вид:

, 1Т . г

*л 1п к-

V'*) - и я , СО* <39>

г=1Гэ.'... зЬ Гр

где к 5 г < й и -руг < < руг.

Рассматривалось решение задачи для всей расчетной области путем согласования решения на одной общей границе, в качестве которой была выбрана хорда ав. Полученные соотношения имеют сложный вид. Это объясняется тем, что на хорде ав согласуются между собой два решения, полученные в двух разных ортогональных системах координат (прямоугольной и цилиндрической).

Общей частью подобластей I и и (рис.6) является круговой сегмент, ограниченный дугой ав и хордой ав, поэтому поставленную задачу можно решить, применив альтернирующий метод Шварца.

Альтернирующий метод Шварца является методом последовательных приближений, а его алгоритм - итерационным.

Решение задачи для двух подобластей, имеющих общую часть, с помощью альтернирующего метода Шварца можно получить, если предварительно на одной из границ общей части подобластей задать произвольно распределение пока неизвестного нам потенциала. Также необходимо задать погрешность решения.

Поставленная задача была решена с помощью модифицированного метода Шварца, где использован способ взаимной интерполяции неизвестных зависимостей (у нас на дуге ав и на хорде ав). Использованы формулы (38) и (39), а на зубце - формула (24).

Решение задачи сведено к решению системы алгебраических уравнений на дискретном множестве точек. Полученная система уравнений здесь решается один раз.-Условие мун = ь/ь при .расчетах выполнялось.

Недостатками альтернирующего метода Шварца является: необходимость предварительно задавать распределение потенциала на одной из границ общей части подобластей и потребность заранее указывать значение относительной погрешности для окончания итерационного процесса решения задачи.

Указанных недостатков лишен модифицированный метод Шварца. Главное в методе Шварца (альтернирующем ■ и модифицированном) - отсутствие условия ои у ¿п = мгу&п. Наличие этого уело-

вия усложняет алгоритм численного решения задач такого класса, так как дифференцирование всегда приводит к ухудшению сходимости рядов Фурье.

На основе алгоритма, реализующего на ЭВМ решение задачи с применением модифицированного метода Шварца, получены численные результаты, которые сведены в в таблиц и показаны на рисунках. Приведенные в этой главе результаты численных расчетов магнитного поля треугольных пазов со скругленным дном убедительно подтверждают преимущества и высокую эффективность модифицированного метода Шварца.

В пятой главе на примере расчета поля возбуждения в плоском воздушном зазоре индукторных машин с полукруглыми и арочными пазами детально изучены все девять подобластей, отнесенных к бицилиндрической системе координат.

В этой системе координат можно изучать не только поАе полукруглых пазов, но и поле пазов иных форм - например, арочных и 3 - образных (бесконечной и конечной глубины) и других.

Бицилиндрические координаты ?, *>, z связаны с декартовыми координатами х, у, z (рис.8) известными соотношениями:

sh С sin р / лг\\

х = * ch < -I- cos р ' У = а eh о cos р ■ Z = z' <4°) где а = О' at - о' В^; -оо < ¡г < о>; -7Т < f> < п; -ш < z< оо.

Координатными линиями на плоскости оху в этой системе координат являюся два семейства ортогональных окружностей. Центр каждой из окружностей к - cons*, лежит на оси ох, а центр окружностей *> = const - на оси оу.

Все окружности, для которых р = const, проходят через точки ai ив(. Если верхняя часть одной такой окружности имеет уравнение = const, то ее нижняя часть имеет уравнение рх = ■Pt-n - const (см. полукруглый паз на рис. 8).

Таким образом, при IpJ = |*>21 > n/г будем иметь 3 - образные пазы, при |*>4| = Iip2I = nsг - полукруглые пазы, а при = lt>21 < "''2 - арочные пазы.

Все рассмотренные выше пазы (области) являются с математической точки зрения пазами бесконечной глубины, т.к. для них координата f пробегает все значения от е = о (на оси оу) до f = ® (т. в4 - на дне пазов). Если же выбрать форму пазов так, что будет о< ? < (где > о, но конечное значение координаты), то будут иметь место пазы конечной глубины. На рис.8 справа показан арочный паз конечной глубины.

На рис.7, показана расчетная область и две подобласти: подоб-

ласть плоского воздушного зазора i в прямоугольной системе координат оху (-t^2<x<tx2H0<y<c5) ¡подобласть полукруглого паза н.

Подобласть воздушного зазора i - прямоугольник, где -t^z £ х < t/2 и о s у s & (см. далее рис.7). В прямоугольной системе координат оху на плоскости магнитное поле для подобласти i описывается уравнением Лапласа, решение которого было представлено в форме (18).

На рис.8(справа) для примера показан арочный паз конечной глубины, для которого ^ < р < и о < [ < <

Выражение для потенциала подобласти и имеет вид:

3h >

= Bm6 - I H -—-- cos

г-Sh ГрК ^ '

где О < f < < р < Pt и р = грг

Это выражение применимо для полукруглых (= п/г) и арочных пазов конечной < ®) и бесконечной {^=«0 глубины, что было использовано при разработке алгоритма расчета поля. Показано, что координата к находится в этом алгоритме под знаком гиперболического тангенса: th г1- ^ при г = i ,з.....То

есть при <rt > | ft пазы полукруглые и арочные уже можно считать бесконечно глубокими, а при s | р -пазами конечной глубины.

Также приведены решения уравнения Лапласа в бицилиндри-ческой системе координат для остальных подобластей.

Практическое значение при проектировании и конструировании синхронных электрических машин реактивного типа и синхронных индукторных машин имеют полукруглые пазы и арочные пазы конечной глубины.

Для расчета поля этих пазов на дискретном множестве точек с соблюдением условия и^к = ь/t и был разработан алгоритм. Результаты расчета поля полукруглых и арочных пазов сведены в 8 таблиц и представлены на рисунках. Также был поставлен численный эксперимент, в котором было выбрано m/n=o,q при = о,75. Этот эксперимент показал, что условие = b/t должно всегда выполняться.

В шестой главе изложены результаты исследований по теории многочленов и рядов Чебышева и Лежандра, рассмотрены особенности применения этих рядов при решении дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона и при решении линейных интегральных уравнений Фредгольма с вырозденным ядром.

Также приведены примеры расчета потенциальных полей (в

- 29 -

том числе магнитных полей в электрических машинах).

Рассмотрим некоторые из этих вопросов более подробно. Будем рассматривать в "функциональном пространстве |-2 (-1,1 ;и>) способ ортогонализации многочленов группы Якоби: многочленов Чебышева первого рода тк(х), многочленов Чебышева второго рода ик(х), многочленов Лехандра Рк(х), ультрасферических многочленов С^(х) и многочленов Якоби на дискретном множестве <х.> с весом иСх.э. Это позволит применить указанные многочлены для построения интерполяционных многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения функции гс>о из пространства ь (-1,1;«). Решение поставленных задач дает следующия теорема. Теорема^.

Пусть п - произвольное целое неотрицательное число (п > 1); к0(х>. я (х).....(х) - последовательность многочленов (Чебышева первого рода, Чебышева второго рода, ультрасферических, Лежандра или Якоби) переменной х.

Тогда в функциональном пространстве ь2(-1,1;ш) существуют: 1) единственное дискретное множество точек

X = { = <х1,х2.....х^ ^ = {-1; = оц п, С413

где <и; (х) = оу - множество нулей первой производной многочлена ^ с х);

г) множество значений весовой функции:

» = х.)). = .....> С42Э

ИЛИ » = ,С2.....Ст.....С2,П = ^{(¡(х^Ь

где ш =и и С = 1. и = ш = Со>,.....и> = с и;

" г,*» 1 1 ' п 2 21' * т тп 1

т = 1 + ^ при п - четном и т = ^ + ^ при п - нечетном; <С(х )> = <1, С2,...,Си.....С2,1> - постоянные:

3) ортонормированная последовательность многочленов

= ьк Кк(х)- к = 0,1....... <*з:>

где ьк -нормирующие множители;

4) неопределенная система линейных алгебраических уравнений

ь!' " ^ = 1 • к = О'1.....п.

к к 1

где ¿к = ^С(х.) в;к(х )- постоянные;

з) единственный интерполяционный многочлен степени п наилучшего среднеквадратичного приближения для функции г(х) вида:

Гп(х) = ^АкКк(х), С45Э

. т> + 1

где ^ = £С(х.) С(х>) кк(х4); И «1к- см. выше.

к

В указанной теореме постоянные <С(х.)} и ак(к =0,1.....п)

зависят от порядка многочленов п и типа многочленов. При доказательстве теоремы используем условия ортогональности последовательности многочленов *-*(х) = ьккк(х). к = о,1,...,п на дискретном мнокестве X = <х.} с весом Мх.)>

п.1 Г О при к*1 , С 463

<*-Г-*-Т> = = ( 1 при к=1. <473

где к,1= 0,1 ,...,п.

Положим, например, п = * и последовательно рассмотрим многочлены Чебышева первого рода Тсхэ, многочлены Чебышева второго рода иехз и многочлены Лежандра рсхз.

Для последовательности многочленов Чебышева первого рода при п=* дискретное множество точек определяется формулами:

Т2СхЭСТ4СхЭ - 13 = о ИЛИ ТвСхЗ - Т2<:хЗ = О. С483

Так как Т2(х) = гх2- 1, Т4(х) = вх*- вх2-> 1 и Тв(х) = З2хв- 4вх*+ 1вхг- 1, то уравнения с48з имеют следующие идентичные корни: х= ±1, х = о и х = ±у§—/2.

При этом, х = О является корнем двойной кратности. Числа х = о и х = ±У2~уг являются корнями уравнения Т^(х) = о. Этим доказано, что дискретное множество-точек X для многочленов Чебышева первого рода при п = 4 имеет тот вид, который утверждается в теореме:

X = < х} = {-1 , , О, УгР/2, 1 (. С 403

Весовая функция Мх^)>- и множество постоянных {с(х^)> теперь будут иметь вид:

ш = = Ы1{С(х )} = , 2, 2, г, С503

<с(х.)}= <1, г, г, г, п. С513

Для ортонормированной последовательности многочленов Чебышева первого рода = ькТк<хЗ, к = 0,1.....п = 4 на

дискретном множестве точек С4эз с весовой функцией (бо) на основе условий ортогональности с473 получим следующую неопределенную систему уравнений:

Ь^ы = 1 , к = 0,1 ,...,п = 4, С 523

где ак = £ С(х.) Т^(х ); = ^ = 8 и ^ = ^ = ¿э = 4.

Система С5гэ состоит из пяти уравнений, но содержит шесть неизвестных величин (ьк, к = о,1,...,п = * и о>1), и по-

этому является неопределенной.

В общем случае неопределенная система уравнений сэгэ имеет бесконечное множество решений. При решении системы уравнений такого типа надо задать численное значение одного из нормирующих множителей (например, ь*) или значение ь>1. Если положим, например, ^ = i/г, то получим: ш = м X )} = Wi<l , 2, 2, 2, 1} = <1/2, 1 , 1 , 1 , 1/2};

= blVx) ИР11 Ьо = Ь« = 1/4 И Ь! = Ьг = Ьэ = 1/2-И, наоборот, при ь* = 1/4 из той же системы уравнений с521 получим идентичные результаты. Этот вариант решения совпадает с теми единственными данными, которые известны и приведены в книге С. Пашковского "Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева".

Аналогично изложенному выше для последовательности многочленов Чебышева второго рода при п = 4, и ь* = i/n = 1/4 (или и» =1/10) имеем:

j ' ___

X = i х} = {-1 УсР/Ч, О, VS-/4 , 1 ь

, / \ , ,П1 м 1 Г. 32 50 32 Л

u> = i u,(Xj) } = «<С(хН = íó -у. -3. -3. 1];

<С(х,)> - {г. Щ. Ц. Щ. i};

t-"(x) = b„uv{x)' bv2= 1/* (fc = o.i,2.3), ь: = 1/10;

dk = IC(x,) k = 1.....n =

d = d = d = d=40Hd = 100. o 1 2 э *

В монографии tu] для многочленов Чебышева второго рода приведены результаты расчетов при п=г,п=зип=4.

Для последовательности многочленов Лежандра при п = 4 и ь* = 1/г (или ы = 1/ю) аналогично изложенному выше имеем:

X = -- <-t ,- ^ТП О. УЗ/7 ', 1} ;

= {-■•'<:<, - ...JCÍX^ = ~ <1 ,49/в,64/в,49/3,1}; {СЫ ■ )> = о ,49/9,04/9,49/9,1};

*•!>"> = Wx> • К = ¿ 1 (k = ол.....3)-ь1 =

dk =IC(x) F*(x), К =0.1.....n = 4.

^ dk = "4" l í ) " гЛ 1 <l ' 0Л.2.3) И dr= d4= „ ♦ 1- 5.

В монографии fu] для многочленов Лежандра приведены результаты расчетов при >■> = 2,3,4.

Значения элементов множества <С(х.)}, постоянных dk

(К = .........->) И_ КОЭффИЦИСНТОВ Ак (к = 0,1.....п) ряда <455

для многочленов Тк (х),ик(х) и Рк(х) не зависят от выбранного

при расчете значения

Изучение структуры общих формул с 4гз-<<4) из теоремы и их частных случаев для многочленов т(х),и(х) и р(х) соответственно показывает, что здесь удобнее взять ^=1. в этом случае некоторые формулы и вычисления упрощаются.

Множества <ы(х.)> и <С(х^)> при <»= i будут идентичны друг другу, т.е. Мх.)>= <С(х.)>.

Формула для определения постоянных dk будет теперь иметь

вид: dk =^С(Х) R*^) =Ju>(x) R*<x) = (Rk ,Rk). CS33

J=t i=i

Выражение сэзэ является квадратом нормы многочлена Rk(х)

при к =o,i.....п. Нормирующие множители ь* и постоянные dk

будут связаны теперь между собой известной формулой:

ь, = 4-, к = 0,1.......

к

где dk - это квадрат нормы многочлена Rk(x).

Сравнение всех трех видов последовательностей, содержащих многочлены т(х),и(х) и р(х), показывает, что самыми простыми, а значит и самыми удобными в приложениях, являются последовательности, построенные на основе многочленов Чебышева первого рода или многочленов Лежандра.

Для многочленов Чебышева первого рода при ^ = i и произвольном п основные формулы имеют вид:

X = = <-i;<Tjx) = о>; 1 >, j = 1,г,...,п + i; С54> X = <х^ = {-1; {u^ (х) = о>; 1> =

= {cos ("+1 -J )" t j _ 1)2.....1, + 1>; C5SJ

Г T (x)-\ (x) = о при П-четном,

x = I n»z r C5e>

I. (x)-Tt i <x) = о при n-нечетном;

1 при j =1 И j = n + 1 ,

W(x H = <C(xH =

С 573 (58)

г при j = 2,3.....n;

dk = I0**,) k = ...........

где do = dn = 2n И dk = 11 при I. = l,2,...,n - 1;

Ък(х) = bkTk(x)' bk = 1/dk "P11 k = 0>1.....n- C593

где Ь* = b* = l/2n и Ьк = 1/n при к = l,2,...,n - 1;

fr.<*> = l"*ww

Тк(х), С 603

где символ е означает, что первое и последнее слагаемое суммы делятся на два.

При выбранном » вычисления по формулам ев«-сзез дают, естественно, одно и тоже дискретное множество точек.

к = с.

- 33 -

Интерполяционный многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения сво} получен путем подстановки с 57) и cse> в <*зэ.

Аналогично для многочленов Лежандра порядка п при i имеем:

X = <х> = 1-1 : 1р^(х) = i =1.2...... + i; ceiï

<ы(х.^ = <С(х.)> = {Р^х^, J = 1 ,2,...,n + 1 : <62J

dk =2C(x.) P*^), k =0,l,...,n, C63Î

где dk = n(n + 1 )'-(2k + 1 ) при k = 0,1 ,...,n-l И dn = г» + 1 ;

*"к(х) = bkPk(x)> bk = 1/dk При k = 0,1.........C6*3

где Ь* = (2k + l)/n(n +1) при k = 0,1,...,n-1 и b* = 1/n+1 ;

fn<*>= IÍT p;a <*,>'(*,> vxi>K<x)- <es>

Приняв n, формулы с6ij - с 653 позволяют найти требуемое дискретное множество точек, значения весовой функции, орто-нормированную последовательность многочленов Лежандра и интерполяционный многочлен функции f(x) из пространства (-1,1;ы).

Предложенные формулы es«-своз для многочленов Чебышева первого рода и формулы С61Э-С65Э для многочленов Лежандра позволяют существенно расширить область применения этих многочленов в прикладной математике и математической физике.

Изложенные выше результаты, полученные для многочленов Чебышева и Лежандра, можно интерпретировать более широко.

Многочлены Тп(х),и^(х) и РТ1(х) простым образом связаны с

многочленами Якоби (-.<). Здесь следует брать а = /з;

а = (i = -1/2 для многочленов Tri(x), а = ft = 1/2 ДЛЯ МН0Г0ЧЛ6-НОВ Un(x) И а = ft = О ДЛЯ МН0Г0ЧЛ6Н0В Рп(х).

Многочлены Тг(х),и^(;<) и Pri(x) и ультрасферические многочлены (Гегенбауэра) с^ (х) = р^'^х), где всегда а > -1/2, также связаны между собой известными формулами.

Переходя от частных случаев изученных многочленов к общему, можно действие сформулированной выше теоремы распространить: на многочлены Якоби общего вида р^а,<э^(х) при a,ft > -1, многочлены Гегенбауэра с^^ (■<), многочлены Чебышева Тп(х) и и^х), многочлены Лежандра рт,(х).

Полученные ортонормированию последовательности многочленов группы Якоби (в частности, многочленов Чебышева первого и второго рода и многочленов Лежандра) одной переменнной позволяют построить ортонормированные последовательности многочле-

нов двух переменных, дискретное множество точек для которых лекит внутри квадрата (-1 < х < 1, -1 < у < 1). Аналогично для ортонормированной последовательности многочленов трех переменных дискретное множество точек лежит внутри куба (-1 < х < 1,

-1 < у < 1 , -1 £ г < 1 ).

Рассмотрены вопросы интерполирования функций одной и двух переменных с применением рядов Чебышева и Лежандра.

Для рядов по многочленам Чебышева первого рода в пространстве равномерного приближения с(*,ь) получена оценка погрешности интерполирования.

На основе этой оценки доказано, что при интерполировании функции с применением рядов по многочленам Чебышева первого рода лучше выбирать четное значение п.

Также показано, что при интерполировании функции и ее производных рядами разного порядка лучше применять ряды по многочленам Чебышева первого рода, а не ряды Лежандра.

На основе интерполяционного многочлена (45) получены новые квадратурные формулы, где были использованы многочлены Чебышева первого рода и многочлены Лежандра.

Интерполирование же функции с последующим вычислением интеграла от нее лучше выполнять на основе рядов Лежандра.Этот случай имеет место, например, при решении интегральных уравнений Фредгольма с выроаденным ядром в виде интерполяционного двойного ряда Чебышева или Лежандра.

Для двух канонических областей (квадрат и круг) в книге С.Пашковского "Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева" изложен аналитический метод решения уравнений Пуассона и Лапласа, где приближенное решение этих уравнений представлено в виде двойного ряда по многочленам Чебышева первого рода:

I'

Специфика решения таких задач с применением двойных рядов Чебышева состоит в том, что кроме задания граничных условий нужно еще составить определенное число дополнительных уравнений. Число дополнительных уравнений можно определить, например, так: каждой паре значений к и г, где к > 2 и I >2, соответствует одно дополнительное уравнение.

Дополнительные уравнения для областей в виде квадрата и

- 35 -

круга можно составить по методу С.Пашковского.

В статьях с 4,91 и в монографии с II) исследовалось то множество точек, в которых выполняется уравнение Лапласа.

Оказалось,что в простейших случаях для области в виде круга это такие кривые, как окружность и эллипс или точки их пересечения. Поэтому дополнительные уравнения можно составить иначе: задать координаты точек, в которых должно выполняться уравнение Лапласа для решения в виде двойного ряда Чебышева t ID.

Также дополнительно можно задавать внутренние условия -потенциал в точках внутри области t9,ID.

При решении этих задач также возможно применение вариационных методов (в частности, метода Ритца) с 6,II).

Наконец, дополнительные уравнения можно получить путем минимизации невязки уравнения Пуассона (или Лапласа) методом наименьших квадратов в двух сечениях: х=о и -i < у < i; у=о и -i < х < i. Такое решение приведено в г II).

Полученные результаты при решении уравнения Лапласа для областей в виде квадрата и круга с применением двойных рядов, содержащих многочлены Чебышева первого рода, можно применить при решении уравнений Лапласа и Пуассона для таких полигональных областей, которые можно вписать в квадрат (-i < х < i и -i < у < i). Полигональная область- это замкнутый многоугольник. Из изложенного ранее следует, что такие области (пазы) могут применяться в электрических машинах.

При решении, например, уравнения Лапласа для полигональной области дополнительные уравнения можно составить: путем задания внутренных условий, применением вариационного метода Ритца или путем минимизации невязки уравнения Лапласа по способу наименьших квадратов.

В монографии Щ) ив работе рассматривается пример расчета магнитного поля полукруглых пазов, где паз и часть воздушного зазора (см. рис.7) образуют полигональную область, для которой были" заданы граничные и внутренние условия. Потенциал внутри области был замерен на прямой электрической модели трех зубцовых делений.

В монографии с II) также приведено решение задачи по расчету магнитного поля в плоском воздушном зазоре для треугольных пазов с прямым углом на дне, где для подобласти паза (квадрата) применен при решении уравнения Лапласа метод С.Пашковского.

Разработанная теория интерполяции функций одной и двух переменных позволяет применить ряды по многочленам Чебышева первого рода или по многочленам Ле хандра для решения интегральных уравнений Фредгольма, заменяя заданное ядро уравнения к(х,у) вырожденным в виде двойного интерполяционного ряда кпг>(х,у), где п - порядок многочленов по переменным х и у. Искомую и известную функции также надо представить в виде рядов такого же порядка.

Выполнив интегрирование в исходном уравнении и приравнивая из обеих частей вновь полученного уравнения коэффициенты при многочленах (Чебышева или Лежандра) одинакового порядка (k=o,i,...,п), получим систему линейных алгебраических уравнений. Решением этой системы уравнений будут неизвестные коэффициенты искомой функции уравнения Фредгольма.

В монографии tili приведено решение линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода с применением рядов по многочленам Чебышева первого рода, а в работе-решение того же уравниения с применением рядов Лежандра. Порядок многочленов в обоих решениях был одинаков и равен четырем. Показано, что при решении линейных интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром лучше использовать ряды Лежандра.

На основе всего изложенного в шестой главе и в монографии с Из можно сделать следующий вывод: исследования по многочленам группы Якоби (в частности, многочленов Чебышева первого и второго рода и многочленов Лежандра) имеют фундаментальное значение в математике и широкий спектр применения в математической физике и, в частности, в теоретической электротехнике.

Полученные результаты исследования магнитных полей были использованы при конструировании,изготовлении и испытании электрических машин аксиального и цилиндрического типов, что изложено в седьмой главе.

Установлено,что кривизной воздушного зазора в электрических машинах при расчете их магнитных полей можно пренебречь, если r/<5 > so (r - внутренний радиус магнитопровода статора и & - воздушный зазор). Но расчет магнитных полей в воздушном зазоре и в торцовой зоне турбогенераторов, у которых « so, следует вести с учетом кривизны воздушного зазора.

Глубину пазов с параллельными стенками на роторе индукторных машин следует выбирать так, чтобы ь/ь < о,625 (см. рис.3 и рис.4)). Аналогично пазы в виде части кольца следует выбирать

так, чтобы г,Уг0 < < (см. рис.5).Пазы с параллельными

стенками на роторе синхронных реактивных машин надо брать так, чтобы hsb JB 0,73.

Анализ распределения магнитной индукции аксиальных электрических машин в радиальном направлении с применением четырех разных рядов Фурье (двух тригонометрических рядов и двух рядов Бесселя, содержащих функции (х)) позволил установить аналитически соотношение между внешним и внутренним диаметрами маг-нитопровода этих машин, которые следует соблюдать при их разработке: 1,47 < xd = DBHei/'DBHyTp < 2- Магнитопроводы всех выполненных аксиальных торцовых асинхронных двигателей (общее число которых более 50) мощностью от 100 Вт до 40 кВт и спроектированного синхронного дискового двигателя мощностью 1000 кВт указанному соотношению удовлетворяют. Исключение составляет только двигатель мощностью 75 кВт, для которого xd = 2,24.

В процессе исследований были рассчитаны, сконструированы, изготовлены и испытаны асинхронные торцовые короткозамкнутые двигатели разной мощности(от 100 Вт до 75кВт) и разного назначения. Двигатели были испытаны в разных режимах: нагрузки, холостого хода и короткого замыкания.

Расчетная и опытная кривые распределения основной гармоники магнитного потока в радиальном направлении и в относительных единицах *6iyi&t= f(0 = r (Dc) в воздушном зазоре двигателя АТДВ-1о/зооо показаны на рис. 9, расхождение мевду которыми не превышает 5 процентов. А расчетные и опытные рабочие характеристики асинхронного торцового короткозамкнутого двигателя двойного вращения АТДВ-iо/зооо представлены на рис. 10. Расчетные данные двигателя АТДВ-Т0^3000 следующие:

Р = Ю КВТ, U = 220^380 В, I = 3S, 3/20, 4 А, П = 0,833,

2Н 1Л 1М " Н *

cos =0, 891 и S =0,05: М /М = О, 9Э, М =2,01 Из =0,2141

н н'пн гон m "

I = S, 43 А И cos «> = О, 181 . о о

Аналогичные опытные параметры двигателя АТДВ-10^3000: Р = Ю КВТ, U = 220/380 В, I = 36,2/20,9 А, П = 0,820,

2Н * 1Л 1Н Н

cos ю =0, 882 и s =0, 0533; М /М = 1,0в5, М /М = 1,89 И Н Н n м m н

s =0,197; I = 5, 80 А И cos =0,19.

т о О

Расчетные и опытные данные хорошо совпадают друг с другом. Два двигателя АТДВ-10/3000 предназначены для привода трехступенчатого осевого вентилятора встречного вращения, у которого диаметр рабочих колес составляет 600 мм, а диаметр втулок этих колес - 360 мм.

/,з /.г

и\ <,0

\

1 2 3 и 5

О « 20 22 24 26 28 Щ. См

Рис. 9. Относительное распределение в радиальном направлении магнитного потока в воздушном зазоре двигателя АТДВ-ю.-зооо (с = 1,2,...,в - нумерация модулей, о. - средний диаметр расчетных модулей)

Рис. 10. Рабочие характеристики двигателя АГДВ-ю^зооо

Рис. II. Рабочие характеристики двигателя АТДВ-403000

Рис. 12. Рабочие характеристики двигателя АТДВ-0,18''30СЮ

- 40 -

Опытные номинальные параметры двигателя АТДВ-40/3000: Р = *0 КВТ, U = 220/Э80 В, I = 134/77,23 А, Г} =0,881,

2Н * 1Л 1Н 1 Н 9

cos ^=0,802 И ®н=°> 02 (СМ. рИС. II).

Два двигателя АТДВ-403000 предназначены для привода трехступенчатого осевого вентилятора встречного вращения ВОТ-8, у которого диаметр рабочих колес составляет 800 мм, а диаметр втулок этих колес - 480 мм.

Расчетные номинальные данные двигателя АТДВ-0,1&^3000 : Р = 180 Вт, и = 380 в, I = 0,533 А, Г) = 0,64,

2Н 1Л 1м Н

cos *>н=0,80 и SH=0.11 (СМ. рис. 12).

Опытные номинальные параметры двигателя АТДВ-О,18/3000: Р = 180 Вт, и = 380 в, I = 0,483 А, Т) 0,71,

2Н ' 1Л * 1Н * 'н *

eos I» =0, 70 и S =0, 1 .

н н .

Два двигателя АТДВ-0,18/3000 предназначены для привода действующей модели трехступенчатого осевого вентилятора встречного вращения, у которого диаметр колес составляет 250 мм, а диаметр втулок этих колес - 150 мм.

Все изложенное выше подтверждает эффективность предложенного метода электромагнитного расчета аксиальных электрических машин и основных конструктивных и технологических решений, перспективность применения таких машин в рабочих механизмах разного назначения: вентиляторах,нагревателях,насосах,прессах.

Обобщение результатов многолетнего опыта по расчету, конструированию, изготовлению и испытанию аксиальных двигателей разной мощности и разного назначения позволили сформулировать некоторые общие принципы,которые необходимо соблюдать при разработке аксиальных электрических машин.

В. приложении представлнены: результаты исследования электрических полей в электронных линзах (из плоских и цилиндрических электродов) и даны рекомендации по их проектированию; перечень авторских свидетельств на рабочие механизмы, электроприводом которых служат аксиальные торцовые двигатели; перечень мест внедрения изготовленных рабочих механизмов с17,20з, среди которых - шахта (г. Луганск, вентилятор ВОТ-8), горнометаллургический комбинат (г. Тырныауз, вентилятор ВОТ-8 и буровая самоходная установка БУАД), металлургический комбинат (г. Магнитогорск, 6 вентиляторов ВОТ-8), станции контроля загрязненности воды (г. Москва, 24 погружных насоса) и НПО "Энергия" (г.Москва и Г.Байконур, 3 вентиляторных установки ВУ-3).

- 41 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа предствляет собой подробное изложение: результатов расчета и анализа магнитных полей в электрических машинах аксиального и цилиндрического типов ¡результатов исследования аналитических и численных методов решения уравнения Лапласа методом разделения переменных для сложных и неортогональных областей;теории ортогональных многочленов группы Якоби на дискретном множестве точек; теории и применения рядов Чебышева и Лежандра при интерполировании и приближенном интегрировании функций, при решении уравнений Лапласа и Пуассона для полигональных областей; методов решения линейных интегральных уравнений Фредгольма; результатов расчета, конструирования, изготовления и испытания асинхронных торцовых двигателей разной мощности и разного назначения; результатов расчета и анализа электрических полей в электронных линзах и экранах.

Основные результаты проведенных иследований формулируются следующим образом.

1. Предложены и обоснованы математические модели для расчета магнитного поля в воздушном зазоре и ярме аксиальных электрических машин. Показано, что при анализе магнитных полей в тороидальном воздушном зазоре аксиальных электрических машин, полностью применимы результаты расчета магнитных полей в плоском воздушном зазоре для пазов любой формы.

2. Выполнен расчет поля пазов с параллельными стенками на модели сложной области, состоящей из двух прямоугольников разной ширины, но при строго определенном соотношении между числом членов рядов в выражениях для потенциалов подобластей

и величиной отношения ширины паза к зубцовому делению. Это соотношение (м/н = ь/t) носит универсальный характер и должно выполнятся для пазов любой формы, что и было использовано при расчете полей арочных и полукруглых пазов конечной и бесконечной глубины и треугольных пазов со скругленным дном.

Разработан алгоритм численного решения задачи на ЭВМ, который включает систему алгебраических уравнений, составленную на дискретном множестве точек.

Путем сравнения результатов расчета полей для пазов конечной и бесконечной глубины, которые рассчитаны по этому алгоритму на ЭВМ типа ЕС, и дашшх других авторов, где применяется метод конформных отображений и только два или три параметра расчетной области из четырех конечны, показана высокая

- 42 -

точность полученных результатов.

Полученные численные результаты имеют важное функциональное значение при проектировании электрических машин и используются далее при анализе параметров полей пазов иных форм.

Аналитически установлена граница влияния глубины пазов с параллельными стенками на картину поля в воздушном зазоре.

Значение отношения глубины паза к ширине паза, когда оно равно 0,75, является той границей, когда паз конечной глубины уже можно считать бесконечно глубоким. Результаты численных расчетов поля подтверждают правильность аналитической оценки.

3. Предложенная математическая модель для расчета поля в цилиндрической системе координат для сложной области, которая была цредставлена в виде двух соприкасающихся частей колец (круговых прямоугольников), позволяет вести расчет поля в кольцевом воздушном зазоре индукторных машин. Оригинальное преобразование решения для подобласти паза позволило разработать алгоритм численого решения задачи на ЭВМ, который аналогичен алгоритму решения задачи для сложной области, состоящей из двух прямоугольников в декартовой системе координат. Это же преобразование позволило аналитически определить ту границу, когда паз конечной глубины уже можно считать бесконечно глубоким: г уго= е0'73^(здесь: о- центральный угол паза; го- радиус по дну пазов; ^ - внешний радиус ротора).

В сферической системе координат на плоскости найдено оригинальное решение уравнения Лапласа для подобласти в виде кругового прямоугольника (части кольца).

4. Разработан модифицированный метод Шварца, и в качестве примера реализован на ЭВМ алгоритм численного расчета поля треугольных пазов со скругленным дном с применением предложенного модифицированного метода Шварца.

Предложенному модифицированному методу Шварца присущи достоинства классического альтернирующего метода Шварца: простота алгоритма, высокая точность и малое время счета на ЭВМ.

Модифицированный метод Шварца лишен тех недостатков, которые имеет классический метод: необходимость предварительно задавать распределение потенциала на одной из границ общей части двух подобластей,итерационность процесса счета и потребность задавать погрешность, чтобы процесс расчета закончить.

Оба метода имеют одно важное достоинство: на гарницах общей части двух подобластей приравниваются значения потенциа-

лов этих подобластей и нет необходимости в процедуре дифференцирования потенциалов по одной из переменных, ибо дифференцирование рядов Фурье приводит к ухудшению их сходимости.

Эффективность предложенного модифицированного метода Шварца показана на численных примерах.

5. Обобщение задачи по расчету поля возбуждения в плоском воздушном зазоре индукторных машин с полукруглыми пазами позволило установить все те возможные формы ортогональных областей (пазов у электрических машин), для которых в бицилиндри-ческой системе координат на плоскости можно получить решение уравнения Лапласа методом разделения переменных. Таких возможных форм пазов будет девять:арочные, полукруглые и 3-образные пазы конечной и бесконечной глубины, шатровые и др.

По аналогии с пазами в виде прямоугольника или части кольца (кругового прямоугольника) для всех возможных фо^м пазов в бицилиндрической системе координат получена оценка влияния глубины пазов на картину шля. Такой универсальный аналитический метод оценки глубины пазов стал возможен благодаря тому, что для всех рассмотренных пазов тот параметр, который характеризует их глубину, всегда находится под знаком гиперболического тангенса.

Результаты численных расчетов поля трех форм пазов: арочных пазов бесконечной глубины, пазов с параллельными стенками и треугольных пазов с малым радиусом по дну - показывают, что параметры поля этих пазов логически и численно хорошо соответствуют друг другу. Это имеет место, если у всех этих пазов одинаковы: зубцовое деление, величина воздушного зазора, ширина пазов и их глубина, которая существенно больше ширины пазов.

Метод оценки влияния глубины пазов на картину поля в зазоре можно распространить на область в любой ортогональной системе кординат на плоскости, если границы этой области совпадают с координатными линиями.

6. Разработана общая теория ортогональных многочленов группы Якоби на дискретном множестве точек. Это дискретное множество точек содержит нули первой производной соответствующих многочленов и числа -1 и 1.

Детально изучены наиболее известные многочлены из группы Якоби: многочлены Чебышева первого рода, многочлены Чебышева второго рода и многочлены Лежандра.

- 44 -

Изложена разработанная теория рядов Чебышева и Лежандра на указанном выше дискретном множестве точек для функций одной, двух и трех переменных.

Подробно рассмотрены вопросы интерполирования функций и интегрирования функций с применением рядов Чебышева и Лежандра. Показаны области их эффективного применения.

Исследованы методы решения линейных интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром в виде интерполяционных полиномов двух переменных, содержащих многочлены Чебышева первого рода и многочлены Лежандра.

Предложены и исследованы методы решения уравнений Пуассона и Лапласа для областей в виде полигональной функции (замкнутого многоугольника). Исследованы: вариационный метод Ритца; метод, где задаются координаты тех точек, в которых должно выполняться уранение Лапласа; метод решения, когда задаются граничные и внутренние условия; метод минимизации невязки уравнения Пуассона (Лапласа).

7. Установлена та граница, когда кривизной воздушного зазора в электрических машинах цилиндрического типа при расчете их магнитных полей можно пренебречь. Этой границей является значение отношения r/s = 50 (здесь^ - внутренний радиус маг-нитопровода статора и б - воздушный зазор).

Если r/6 < 50, то расчет поля машин надо вести с учетом кривизны их воздушного зазора.Отсюда, например, следует важный вывод о том, что у турбогенераторов расчет полей всегда надо вести с учетом кривизны воздушного зазора. При расчете шлей других электрических машин кривизной воздушного зазора можно, как правило, пренебречь.

8.При конструировании ротора синхронных реактивных двигателей аксиального и цилиндрического типов надо выбирать размеры открытого паза по поперечной оси так, чтобы отношение глубины этого паза к его ширине было,примерно, равно 0,75.

9. При конструировании ротора синхронных индукторных машин цилиндрического типа с малым числом пазов, выполненых в виде части кольца (кругового прямоугольника), предложено выбирать радиус по дну этих пазов так, чтобы соблюдалось условие:

то < в°'агз'9 , ГДе - внешний радиус ротора, го - радиус по дну пазов и ß - центральный угол паза.

10. Предложен метод электромагнитного расчета аксиальных электрических машин,в основу которого положен принцип разбие-

ния их магнитной цепи в радиальном направлении на расчетные модули. Число расчетных модулей - от трех до двенадцати.

Разработан способ учета влияния зубцов на величину намагничивающей силы ярма,где при определении индукции в ярме аксиальных электрических машин вводится его расчетная высота.

Высокая эффективность предложенного метода расчета аксиальных электрических машин доказана испытанием большого числа <более 50 штук) асинхронных торцовых двигателей разной мощности (от 100 Вт да 75 кВт) и разного назначения.

11. Сформулированы рекомендации по расчету, конструированию и изготовлению аксиальных электрических машин. Из этих рекомендаций следует отметить прежде всего следующие: при расчете аксиальных электрических машин следует всегда применять метод разбиения их магнитной цепи на расчетные модули; при конструировании аксиальных электрических машин следует учитывать то, что отношение внешнего диаметра магнитопроводов к внутреннему диаметру не должно превышать двух;обмотка статора (якоря) аксиальных электрических машин встроенного типа должна выполняться с отгибом лобовых частей в осевом направлении.

12.Предложены и обоснованы математические модели для расчета полей симметричных устройств из П-образных электродов и симметричных электронных линз из плоских электродов. Установлена корректность моделей, получено аналитическое решение задачи путем разбиения всей расчетной области на две части (подобласти) в случае симметричных устройств из П-о<5разных электродов и симметричных электронных линз. В случае асимметричных электронных линз расчетная область разбивается на три подобласти. В предложенной модели все геометрические размеры устройств из П-образных электродов и электронных линз конечны.

Найден эффективный способ оценки влияния высоты П-образных электродов (длины электродов электронной линзы) на картину поля в устройствах. Показана возможность упрощения всех расчетных формул, если отношение высоты П-образных электродов к их ширине больше значения 0,75. Для электронных линз это будет отношение длины электродов к их ширине.

Сравнение полученных результатов расчета поля симметричной линзы на предложенной модели и известного решения из литературы методом конформных преобразований, где зазор между электродами линзы бесконечно мал при бесконечно длинных электродах, показало ' существенные преимущества предложенной

модели и решения на ее основе.

Для рассматриваемых устройств найдены решения более общего типа, где допущение о линейности распределения потенциала в зазоре между электродами является лишним.

Даны рекомендации по конструированию устройств из П-об-разных электродов и электронных линз из плоских пластин.

Разработана и обоснована математическая модель для расчета полей осесимметричных электронных линз, состоящих из двух идентичных цилиндрических стаканов. Дан предварительный анализ связи между граничными условиями в зазоре между электродами и видом двух рядов Фурье - Бесселя, которые нужны при решении поставленной задачи. Получены два решения, одно из которых аналитическое и точное. Другое - требует применения ЭВМ. Найдена аналитическая оценка влияния длины электродов линзы на картину поля в зазоре и даны рекомендации по конструированию осесимметричных линз: следует брать 1/ч > 1 (здесь: I - длина, и - радиус цилиндрических элементов). Проведено сравнение полученных решений с известными, где применен метод конформных преобразований для устройства с бесконечно малым зазором и бесконечно большой длиной электродов.

Показаны существенные преимущества полученных решений. Одно из решений (и соответствующий ему ряд Фурье - Бесселя, содержащий функции Бесселя нулевого порядка первого рода и корни ее первой производной) аналогов в теоретической электротехнике не имеет.

Предложенные аналитические и численные метода решения уравнения Лапласа методом разделения переменных при расчете полей сложных и неортогональных областей, результаты анализа магнитных полей в электрических машинах аксиального и цилиндрического типов, результаты анализа электрических полей в электронных линзах, полученные оценки влияния одного из параметров расчетных областей (например, глубины пазов разной формы в электрических машинах или длины электродов в электронных линзах) на картину поля в этих устройствах, результаты исследований по применению двойных рядов Чебытева и Лежандра при приближенном решении уравнений Пуассона и Лапласа для полигональных областей и при решении линейных интегральных уравнений Фредгольма, разработанный и широко апробированный метод электромагнитного расчета аксиальных электрических машин - все это найдет применение при теоретических исследованиях, проектиро-

вании и конструировании электрических машин аксиального и цилиндрического типов, электронных линз и экранов.

Результаты исследований: по теории ортогональных многочленов группы Якоби на дискретном множестве точек (в частности, многочленов Чебышева первого и второго рода и многочленов Лежандра); по теории рядов Чебышева и Лежандра одной, двух и трех переменных; по применению рядов Чебышева и Лежандра при интерполировании и приближенном интегрировании функций - имею» важное значение в математике и широкий спектр применения в математической физике и в теоретической электротехнике.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Стрельцов И.П. Неитерационный метод решения задачи Дирихле на примере расчета магнитного поля треугольных пазов /--Электромеханика. -1984. #12. -С. ^4-30. (Изв. высш. учеб. заведений)

2. Стрельцов И.П. Аналитическое решение задачи по расчету магнитного поля треугольных пазов Электромеханика.-1985.-Ж. -С. 21-27. (Изв. высш. учеб. заведений).

3. Стрельцов И.П. О расчете магнитного поля в кольцевом воздушном зазоре для пазов в виде кругового прямоугольника — Электромеханика .-1985. #10. -С. 15-19. (Изв. высш.учеб. заведений).

4. Стрельцов И.П. Применение рядов Чебышева при решении одной краевой задачи // Электромеханика. -1989.-*!.- С. ЗО-ЗБ. (Изв.высш.учеб.заведений).

5. Стрельцов И.П. Поле фокусирующего устройства электронного ускорителя "V Электромеханика.-1989.-#2.-С.20-24.(Изв. высш.учеб.заведений).

в. Стрельцов И.П. Вариационный метод решения задачи Дирихле с применением двойных рядов Чебышева для круга // Электромеханика.-1989. #4.-С. 8-13. (Изв.высш.учеб.заведений).

7. Стрельцов И.П. Об одной задаче расчета магнитного поля в кольцевом воздушном зазоре //Электромеханика.-1989.-#П.--С.40-45.(Изв.высш.учеб.заведений).

8. Стрельцов И.П. 0 расчете магнитного поля арочных и полукруглых пазов конечной глубины '/ Электромеханика.-1990.--*1.-С.30-34.(Изв. высш.учеб.заведений).

9. Стрельцов И.П. Решение уравнения Лапласа для круга с применением двойных рядов Чебышева и внутренних условий ^Электромеханика . -1990. -#2. ~С. 27-31. (Изв. высш .учеб. заведений).

10. Стрельцов И.П. Об одном методе оценки точности решения уравнения Лапласа с применением двойных рядов Чебышева для

круга /v Электромеханика.- 1990.- ЛЗ.-C.II-I?. (Изв. высш. учеб. заведений).

11. Стрельцов И.П. Ряды Чебышева и Лежандра на непрерывном и дискретном множестве точек.Новочерк.Политехн.ин-т. .Новочеркасск, 1992. - 210 с.

12. Водяник Г.М., Стрельцов И.П. Новый привод вентиляторов встречного вращения типа НШ ✓✓ Тр.ин-та '-Новочеркасский политехи ин-т.-1962.-т.137

13.Стрельцов И.П. Определение машинной постоянной и геометрических размеров асинхронных аксиальных торцовых двигателей двойного вращения ✓✓ Электромеханика.-1967.(Изв. высш. учеб.заведений).

14. Стрельцов И.П. Испытания асинхронных аксиальных торцовых двигателей двойного вращения, работающих на вентиляторную нагрузку " Тр.ин-та /Новочеркасский политехи.ин-т.-1967 -т.171.

15. Водяник Г.М.,Крутиков B.C. .Стрельцов И.П. .Чернов О.В. Динамика нагрева элементов закрытых торцовых электродвигателей при заторможенном роторе ^.'Тр.ин-та ^-Новочеркасский политехи, ин-т.-1975.- т.334.

16. Стрельцов И.П., Юрченко А.И. Применение торцовых электродвигателей для привода шахтных (угольных) центробежных насосов /V Изв.Сев.-Кавк.-научн.центра высшей школы.Техн.науки.-1977. XZ.

17. A.C. 214725 СССР, МКИ 27с 7^05. Осевой многоступенчатый вентилятор ✓ Г.М.Водяник, П.С.Карастан, В.С.Крутиков, И.П.Стрельцов.-Опубл. в Бюл.-1968.-Ш2.

18. A.C. 430466 СССР, МКИ Н 02к 1Л6. Якорь торцовый электрической машины ^ И.П.Стрельцов.-Опубл. в Бюл.-1974.-Ж0.

19. A.C. 785120 СССР, МКИ В 65Д 88/74. Устройство для разогрева застывающих жидкостей ✓ Г.М.Водяник, В.С.Крутиков, И.П.Стрельцов и др.-Опубл. в Бюл.-1980.-*45.

20. Водяник Г.М. .Крутиков B.C. .Ефимов В.А. .Стрельцов И.П. Трехступенчатый осевой вентилятор встречного вращения ВОТ-8 ✓✓Ростовский ЩГГИ,1983.Информац.листок *49 о научно-техн. достижении Л83-36.

В работах tI2.I5.I6i, написанных в соавторстве, диссертанту принадлежат: электромагнитный расчет двигателей, выбор геометрии двигателей и описание их конструкции.