автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.01, диссертация на тему:Математическое моделирование магнитных полей в электрических машинах с применением обобщенных рядов Фурье

Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию

Новочеркасский государственный технический университет

" ГПГТд

? 3 На правах рукописи

СТРЕЛЬЦОВ Иван Павлович

УДК 519.688:621.313

Математическое моделирование магнитных полей в электрических машинах с применением обобщенных

рядов Фурье

Специальность 05.09.01 — Электрические машины

А втор е фе р ат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

НОВОЧЕРКАССК 1994

Работа выполнена в Новочеркасском государственном техническом университете (г. Новочеркасск), Дальневосточном техническом институте (г. Владивосток) и Институте прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук (г. Владивосток).

Научный консультант по конструированию и применению аксиальных электрических машин—доктор технических наук, профессор Водяник Г. М.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Синельников Е. М. (г. Новочеркасск), доктор технических наук,профессор Копылов И. П, (г. Москва),

доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ Белоно-сов С. М. (г. Киев).

Ведущая организация — Всероссийский научно-исследовательский, проектно-конструк-торский и технологический институт электровозостроения (ВЭлНИИ, г. Новочеркасск).

Защита диссертации состоится «■ {О » 1994 г.

в 10 часов в аудитории 107 гл. корп. на заседании диссертационного Совета Д. 063.30.01 Новочеркасского государственного технического университета (346400, г. Новочеркасск, Ростовской обл., ул. Просвещения, 132).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новочеркасского государственного технического университета.

Автореферат разослан « Ю » 1994 г.

Отзыв на автореферат, заверенный печатью, просим направлять в адрес университета.

Ученый секретарь диссертационного совета к. т. н., доцент

Золотарев Н. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

Классическая электродинамика является завершенной областью электротехники и полностью описывается уравнениями Максвелла, а наглядной иллюстрацией ее законов являются электрические машины. Однако то, что было простым и ясным,например, для одного проводника, движущегося в магнитном поле, или для отдельного витка с током, существенно усложняется в электрических машинах. Сложное пространственное расположение обмоток электрических машин и их взаимное перемещение, наличие стали магнитопроводов и присутствие вблизи обмоток проводящих, элементов конструкции требуют создания новых и более точных методов анализа процессов в электрических машинах.

Усилиями ряда поколений отечественных и зарубежных ученых к настоящему времени создана развитая научная база электротехники. Важные теоретические основы в области электротехники и в ее приложениях к электрическим машинам заложены работами: Л.Р. Неймана, К.А. Круга, K.M. Поливанова, Г.А. Гринберга, К.С. Демирчяна, О.В. Тозони, Э.В. Колесникова, А.В.Нвтушила, Ю.Я.Иосселя, Ю.А.Бахвалова, А.Г.Никитенко, В.И.Астахова, М.П.Костенко, Л.М. Пиотровского, А.И. Вольдека, Г.Н. Петрова, И.П. Копнлова, Е.М. Синельникова, Я.Б. Данилевича, В.В. Дом-бровского, A.B. Иванова-Смоленского, В.М. Казанского, В.И.Бочарова, Б.Д.Свдельникова, Г.А.Сшзайлова, А.И.Скороспешкина -ученых ведущих электротехнических центров России.

Быстрое развитие электроэнергетики требует совершенствования конструкции электрических машин, математических моделей процессов в электрических машинах и в иных электротехнических устройствах, применения при исследованиях ЭВМ.

Наличие совершенных вычислительных машин и накопленный опыт по расчету электромагнитных и тепловых полей в электрических машинах позволяют математически формулировть и рассчитывать с высокой точностью многие реальные физические процессы с небольшим числом допущений. Однако комплексные исследования процессов в электрической машине приводят к необходимости разбиения расчетной зоны машины на большое число элементов (30007000) и к увеличению времени счета на ЭВМ.

Поэтому актуальными являются следующие задачи: анализ и последующее уточнение основных допущений, положенных в основу теории расчета электрических машин; совершенствование мето-

дов расчета электрических машин; разработка аналитических и численных методов расчета электрических и магнитных полей сложных и неортогональных областей с высокой точностью.

Сложные области - это такие области, которые можно разбить на конечное число частей; (подобластей). При этом, две соседние подобласти могут соприкасаться или иметь общую часть.

Ортогональными областями будем называть такие области, все границы которых на плоскости совпадают с координатными линиями какой-либо ортогональной системы координат Если же все границы (или часть границ) области на плоскости не совпадают, с координатными линиями ни в одной ортогональной системе координат, то такие области будем называть неортогональными.

. Сложные области могут состоять только из ортогональных подобластей или одни из подобластей можно отнести к ортогональному типу, а другие - к неортогональному.

Предполагается, что при решении уравнения Лапласа для ортогональных областей с граничными условиями любого типа всегда возможно применение метода разделения переменных.

Для неортогональных областей применяются чаще всего численные методы решения уравнения Лапласа (метод конечных разностей или метод конечных элементов). Аналитические же методы (например, вариационные) при решении таких задач из-за сложности выбора подходящей системы функций (базиса) применяются редко. Но достоинства аналитических методов делают целесообразным исследовать возможность применения двойных рядов Чебы-шева и Лежандра при расчете потенциальных полей для неортогональных областей.

Цель работы состоит в создании математических моделей по расчету полей в электронных линзах, экранах и электрических машинах. Указанные модели заранее ориентированы на применение аналитических и точных методов расчета или численных методов расчета с применением ЭВМ, где решение задачи всегда представлено в аналитической форме. Разработанные модели должны служить инструментом для проведения поверочных и проектно-конструкторских расчетов электротехнических устройств. Кроме разработки математических моделей поставленная цель предполагает: построение систем ортогональных многочленов группы Якоби (в частности, многочленов Чебышева первого и второго рода, многочленов Лежандра) на дискретном множестве то-

чек, лежащих на отрезке С -1,1] , и иследование рядов Чебышева и Лежандра; применение рядов Чебышева и Лехандра при интерполировании и приближенном интегрировании функций, при решении уравнения Пуассона (в частности, Лапласа) для неортогональных областей и при решении линейных интегральных уравнений Зред-гольма; создание алгоритмов расчета полей на ЭВМ, проведение значительного обьема численных расчетов и анализ полученных данных.

Методы исследований. В работе используются и развиваются идеи и метода классической теории потенциала, дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона, интегральных уравнений Фредгольма, ортогональных многочленов группы Якоби дискретной переменной и рядов Фурье, Бесселя, Чебышева и Лежандра.

С использованием положений, строго доказанных в математике и теоретической электротехнике, рассматриваются математические модели двух типов: первый тип - слокная область допускает разбиение на ортогональные подобласти; второй тип-сре-ди подобластей есть хотя бы одна неортогональная.

В моделях первого типа частные решения уравнения Лапласа для ортогональных подобластей находятся методом разделения переменных. На общей границе двух подобластей применяются "известные условия согласования решений - приравниваются значения потенциалов подобластей и значения нормальных производных этих потенциалов.

При расчете полей электронных линз и экранов исследуется связь между конструкцией этих устройств, видом граничных условий и формой решения. Исследуются аспекты применения двух рядов Фурье при расчете шлей электронных линз из плоских пластин и двух рядов Бесселя при расчете полей осе симметричных фокусирующих устройств. -

При расчете полей сложных областей, когда их подобласти имеют общую часть, исследуется теоретические основы альтернирующего метода Шварца и при расчете полей применяется его улучшенная модификация.

При расчете полей с помощью математических моделей, включающих неортогональные области, применяется специально разработанная теория многочленов и рядов группы Якоби (в частности, многочленов и рядов Чебышева и Лежандра). В основу теории многочленов группы Якоби положено само свойство их ортогональ-

ности на особом дискретном множестве точек в функциональном пространстве ,1 ;о>).

Аналитически и путем исследования решений уравнения Лапласа для области в виде круга и квадрата, для сложной области (состоящей из прямоугольника и квадрата) и для области в виде полигональной функции (замкнутого многоугольника, который вписан в квадрат при -1 < х < 1 и-1 & у < 1) подробно рассмотрены особенности применения двойных рядов Чебышева и Лежандра при приближенном решении уравнений Пуассона и Лапласа и разработаны оригинальные метода их решения.

На основе двойных рядов Чебшева и Лэжавдра построены и исследованы решения линейных интегральных уравнений Фредгольма.

В основу предложенного метода электромагнитного расчета аксиальных электрических машин положены принцип разбиения магнитной цепи машины на расчетные модули и закон полного тока. Метод апробирован испытанием асинхронных двигателей разных мощностей.

Научная новизна.

В диссертации средствами математического моделирования проведены систематические исследования задач по расчету электрических шлей в электронных линзах из плоских и цилиндрических. электродов и магнитных полей в электрических машинах с пазами разной формы (прямоугольными, в виде кругового прямоугольника, треугольными со скругленным дном, полукруглыми и арочными, конечной и бесконечной глубины).

Разработаные алгоритмы численно реализованы на ЭВМ и получена обширная информация о полях в воздушном зазоре машин.

Впервые получена аналитически оценка для учета влияния одного из геометрических параметров ортогональной области (например, длины электродов линз или глубины пазов электрических машин) на картину поля в устройстве. Указанные оценки упрощают алгоритмы расчета полей и полезны при конструировании электронных линз и электрических машин.

Для двух областей с общей частью предложен модифицированный метод Шварца, который отличается от известного альтернирующего метода Шварца и более удобен при расчете полей на ЭВМ.

Разработанный метод электромагнитного' расчета аксиальных электрических машин, защищенных авторскими свидетельствами, экспериментально проверен на торцовых асинхронных машинах мощностью от 100 Вт до 75 кВт.

Создана общая теория ортогональных многочленов группы Якоби на дискретном множестве точек, содержащем нули первой производной соответствующих многочленов и числа -1 и 1.

На базе этих многочленов разработана теория рядов Чебыше-ва и Лежандра одной, двух и трех переменных.

Ряда Чебышева и Лежандра применены при исследовании: методов интерполирования функции (функции и ее производных, функции и интеграла от нее), решений инте дальних уравнений Фредгольма с вырожденным ядром, методов решения уравнений Лапласа и Пуассона.

Впервые для круга, квадрата и полигональной области (зак-нутого многоугольника) предложено несколько новых методов решения уравнений Лапласа и Пуассона с применением двойных рядов Чебышева и Лежандра при следующих условиях: заданы граничные условия и координаты тех точек, где должно выполняться уравнение Лапласа; применяется вариационный метод Ритца; заданы граничные и внутренние условия задачи; минимизируется по способу наименьших квадратов невязка уравнения Пуассона (Лапласа) в двух сечениях (х = о и -1 <у51,у = ои-1 ^ х £ 1).

Приведены примеры решения уравнений Лапласа и Фредгольма с применением рядов Чебышева и Лежандра.

Полученные результаты и разработанный аппарат рядов группы Якоби можно применить для исследования полей иной физической природа и в других отраслях математики. Основные положения, выносимые на защиту, формулируются следующим образом:

1. Математические модели для расчета электрических шлей электронных линз из плоских или цилиндрических электродов, в которых применяются ряды Фурье и Бесселя двух видов, и два алгоритма решения хавдой задачи.

2. Математические модели по расчету магнитного поля в плоском воздушном зазоре электрических машин с пазами разной формы: с параллельными стенками или в виде одной из девяти ортогональных областей из бищшщрической системы координат (включая пазы полукруглые, арочные и шатровые, конечной и бесконечной глубины).

Алгоритмы решения задач и результаты численных расчетов полей на ЭВМ.

3. Математические модели и алгоритмы решения задач по расчету магнитного шля в кольцевом воздушном зазоре электрических

машин с пазами в виде кругового прямоугольника (части кольца) или в виде криволинейной трапеции.

4. Математическая модель то расчету магнитного поля в плоском воздушном зазоре электрических машин для треугольных пазов со скругленным дном.

Алгоритм решения задачи, который .включает модификацию альтернирующего метода Шварца, и результаты численных расчетов полей на ЭВМ.

5. Универсальный метод оценки влияния одного из геометрических параметров областей (длины электродов линз или глубины пазов электрических машин) на картину поля в устройствах и рекомендации по конструированию электронных линз и электрических машин с учетом полученных для них оценок.

6. Алгоритм решения задач по расчету потенциальных шлей для уравнений Фредгольма- с применением рядов Лежандра.

Результаты исследования решений линейных интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром в виде интерполяционного полинома двух переменных, содержащего многочлены Чебышева первого рода или многочлены Лежандра, где показано,что применение рядов Лежандра существенно упрощает алгоритм решения задачи.

7. Математические модели по расчету потенциальных полей для областей в виде круга, квадрата и полигональной функции.

Математическая модель по расчету магнитного поля в плоском воздушном зазоре электрических машин, где паз и часть воздушного зазора образуют полигональную область.

Методы решения уравнений Лапласа и Пуассона для круга, квадрата и полигональной области (замкнутого многоугольника), которая предварительно вписана в квадрат (-1<х£1 ,-1<у<1), при следующих условиях: заданы граничные условия и необходимое число точек, где выполняется уравнение Лапласа; заданы граничные и внутренние условия; заданы граничные условия и применяется вариационный метод Ритца для нахождения части искомых величин; заданы граничные условия и по способу наименьших квадратов минимизируется невязка уравнения Пуассона (Лапласа) в двух сечениях (х=0 И -1 £ у 5 1 ,У=0 И -1 £ X £ 1 ).

8. Метод электромагнитного расчета аксиальных электрических машин, в основу которого положены цринцип разбиения магнитной цепи в радиальном направлении на расчетные модули и закон полного тока, с учетом влияния зубцов на величину намагничивающей

силы ярма.

Э. Результаты экспериментальных исследований асинхронных торцовых двигателей, созданных для привода двухступенчатых и трех ступенчатых осевых вентиляторов и погружных насосов.

Теоретическое и практическое значение работы. На основе аналитических исследований и анализа результатов численных расчетов полей на ЭВМ получена обширная информация о полях в электронных линзах и электрических машинах.

Полученные аналитически оценки для учета влияния глубины пазов разных форм на картину поля в зазоре позволяют правильно сконструировать ротор синхронных реактивных двигателей и ротор индукторных машин, уменьшить число вариантов при проектных и поверочных расчетах этих машин на ЭВМ.

Существенное упрощение алгоритма расчета полей многих электрических машин возможно за счет отказа от учета кривизны их воздушного зазора.

Учет влияния зубцов на картину поля в ярме аксиальных электрических машин позволяет при конструировании уменьшить их осевые размеры.

Предложенный метод электромагнитного расчета аксиальных электрических машин найдет применение при расчете и конструировании машин (асинхронных, синхронных и постоянного тока) разных мощностей, разного исполнения и разного назначения.

Построенная теория ортогональных многочленов группы Якоби ( в частности, многочленов Чебышева первого и второго рода и многочленов Лежандра) на дискретном множестве точек, содержащем нули первой производной соответствующих многочленов и числа -1 И1, имеет важное теоретическое и прикладное значение в математике.

Ряды по многочленам Чебышэва и Лежандра имеют широкий спектр применения в математической физике при интерполировании и приближенном интегрировании функций, при решении дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона для круга, квадрата и полигональных областей и при решении линейных интегральных уравнений Фредгольма. •

Результаты выполненных исследований: решение задач по расчету полей в электронных линзах, оригинальный способ преобразования решений уравнения Лапласа в цилиндрической и сферической систёмах координат, особенности применения альтер-

нирующего и модифицированного методов Шварца, применение двойных рядов Чебыщева и Лежандра при расчете полей областей разных форм для уравнения Пуассона (Лапласа) и при решении линейных интегральных уравнений Фредгольма- найдут также применение при изучении студентами университетов курсов "Прикладная математика" и "Уравнения математической физики".

Обоснованность и достоверность научных выводов и рекомендаций диссертации подтверадается:

- корректной постановкой задач и использованием положений, строго доказаных в математике и теоретической электротех^ шгке;

- доказательством в виде теорем;

- работой с математическими моделями, адекватность которых подтверждена результатами теоретических и экспериментальных исследований;

- численным экспериментом с применением ЭВМ;

- хорошим согласованием полученных результатов с имеющимися в литературе данными других авторов.

Апробация работы.

Основные материалы работы докладывались и получили одобрение :на объединенном семинаре кафедр"Прикладная математика " Электрические машины " и " Теоретические основы электротехники "Новочеркасского государственного технического университета ( г. Новочеркасск ,1982 г.и 1983 г.); на кафедре "Электрические машины" Санкт-Петербургского государственного технического университета (г.Санкт-Петербург,1988 г.); на семинаре кафедр " Тепло - и электроэнергетики", " Физика " и " Высшая математика " Дальневосточного технологического института (г. Владивосток, 1980 - 90 г.); на объединенном научном семинаре " Математическая физика и вычислительная математика " Института прикладной математики ДВО РАН и Дальневосточного государственного университета (г. Владивосток, 1992г. и 1993г.).

Публикации. По теме двссертационной работы опубликованы 20 печатных работ, среди которых одна монография и три авторских свидетельства.

Объем и структура диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы.

Диссертация содержит : текст, 49 рисунков, 28 таблиц и список использованной литературы из 145 наименований отечест-

9 • .

венных и зарубежных авторов - всего 346 страниц.

Диссертационная работа выполнялась в Новочеркасском государственном техническом университете, Дальневосточном технологическом институте (г. Владивосток! и Институте прикладной математики Дальневосточного отделения Российской Академии Наук (г. Владивосток).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Улучшение энергетических показателей, уменьшение габаритов и веса, снижение стоимости электрических машин требуют более точных методов их расчета и проектирования.

Электрические машины цилиндрического типа (асинхронные, синхронные и постоянного тока) являются машинами самого массового применения. Методы их расчета, проектирования, конструирования, изготовления и испытания хорошо известны и широко освещены в литературе.

Аксиальные электрические машины существенно отличаются от машин цилиндрического типа не только своей конструкцией и технологией изготовления. У этих машин, например, меняется в радиальном направлении соотношение параметров зубцовой зоны (разное отношение ширины паза к зубцовому делению), а лобовые части обмотки расположены близко к магнитопроводу. Но, самое главное, аксиальные машины имеют иную структуру магнитных полей в воздушном зазоре и ярме. Все это требует разработки новых методов расчета аксиальных машин и более глубокого исле-дования полей в воздушном зазоре машин с пазами разной формы.

Исследования ориентированы на электрические машины обоих типов с односторонней зубчатостью и, в частности, на асинхронные торцовые короткоеамкнутые двигатели с открытими пазами на статоре и узкими пазами на роторе.

Рассматриваются магнитные поля в плоском и кольцевом воздушном зазорах электрических машин с пазами разной формы (в виде прямоугольника,в виде части кольца, треугольных со скругленным дном и трапецеидальных, полукруглых и арочных,конечной и бесконечной глубины, в виде полигональной функции).

Некоторые из классических допущений при исследованиях уточнены.

Полученные результаты применены, в частности, при расчете и конструировании аксиальных электрических машин.

Математическое моделирование потенциальных полей разной физической природы сводится, как правило, к решению дифферен-

циальных уравнений в частных производных и интегральных уравнений. Среди дифференциальных уравнений в частных производных важное место занимают уравнения Лапласа и Пуассона, а среди интегральных уравнений - уравнения Фредгольма.

Решение указанных диффэренциальных уравнений в различных ортогональных системах координат приводит н рядам Фурье, Бесселя, Чебышева и Хежавдра, а также и к другим рядам. Термин "обобщенные ряды Фурье" охватывает все частные случаи рядов.

В диссертационной работе основным объектом исследования является магнитное пола в воздушном зазоре электрических машин с пазами разной формы, где применяются ортонормированию системы функций на непрерывном или чаще всего на дискретном множестве точек. Эти системы функций содержат:тригонометрические синусы и косинусы, функции Бесселя и многочлены группы Якоби (многочлены Чебышева первого рода Тк(х),многочлены Чебышева второго рода ик<х) и многочлены Лежандра Рк<х)). Ряды по многочленам Чебышева и Лежандра на специальном дискретном множестве точек используются далее для решения уравнений Лапласа, Пуассона и Фредгольма. В частности, ряды по многочленам Чебышева первого рода применяются при расчете магнитного поля ■в плоском воздушном зазоре для треугольных пазов с прямым углом на дне и для пазов в виде полигональной функции.

Такой подход дает возможность усовершенствовать некоторые известные методы решения уравнений Лапласа, Пуассона и Фредгольма и разработать новые.

Поля многих электротехнических устройств (например, электронных линз, П - образных Э1фанов и электрических машин) при определенных допущениях описываются уравнением Лапласа, при решении которого можно применять известный метод разделения переменных. Это возможно в том случае, когда границы плоской области совпадают с координатными линиями в какой-либо ортогональной системе координат. Сложные области разбиваются на подобласти (части), число которых может быть две и более. Здесь возможны три типа задач.

Во-первых. Подобласти имеют равную ширину, соприкасаются друг с другом и решение уравнения Лапласа для подобластей отнесены к одной и той же системе координат. Сюда относятся задачи по исследованию полей П - образных экранов и электронных линз из четырех плоских электродов в декартовой системе координат, электронных линз из двух полых цилиндров в цилиндричес-

кой системе координат. Результаты исследования полей П - образных экранов и электронных линз обоих типов и рекомендации по конструированию линз приведены в первой главе работы.

Во-вторых. В декартовой системе координат на плоскости можно рассматривать поле двух соприкасающихся прямоугольников разной ширины, что соответствует, например, полю одного зубцо-вого деления электрической машины, имеющий плоский воздушный зазор и пазы с параллельными стенками. Решение такой задачи изложено во второй главе. В цилиндрической системе координат на плоскости мокно исследовать поле двух круговых соприкасающихся прямоугольников разной угловой ширины, что относится, в частности, к полю одного зубцового деления электрической машины, имеющей кольцевой воздушный зазор и пазы в виде части кольца. Такая задача рассматривалась в третьей главе.

В-третьих , возможны случаи, когда подобласти пересекаются и имеют общую часть. Например, подобласть в виде прямоугольника пересекается с подобластью в виде сектора, а их общей частью является сегмент. Здесь для прямоугольника целесообразно применить декартову систему координат, а для сектора (или части кругового прямоугольника, то есть кольца) - цилиндрическую систему координат. Такая задача и аналогичные другие рассмотрены в четвертой главе применительно к расчету шля электрических машин.

Пятая глава посвящена изучению поля в плоском воздушном зазоре электрических машин, но для подобластей (пазов) в бици-линдрической системе координат на плоскости. Указанных подобластей (пазов) там девять: полукруглые, арочные, шатровые и другие - конечной и бесконечной глубины.

В шестой главе изложена теория многочленов и рядов группы Якоби на дискретном множестве точек и приложения этих рядов в теории интерполирования, при приближенном интегрировании функций и при приближенном решении уравнений Лапласа, Пуассона и Фредгольма.

В частности, ряда Чебшпева применяются при расчете магнитного поля в плоском воздушном зазоре электрических машин с треугольными пазами и пазами в виде полигональной функции.

Седьмая глава посвящена проблеме расчета аксиальных электрических машин, где используется принцип разбиения их магнитной цепи на расчетные модули, вопросам |чета влияния зубцов на величину намагничивающей силы ярма в этйс машинах и изложению

результатов испытаний асинронных. торцовых двигателей разной мощности. В этой ке главе рассмотрен вопрос об учете кривизны воздушного зазора электрических машин и даны рекомендации по конструированию ротора синхронных реативных двигателей и ротора индукторных машин.

Рассмотрим более подробно некоторые аспекты указанных выше проблем.

В моделях по расчету магнитных полей в электрических машинах сложные области, которые можно разбить на подобласти равной ширины, не встречаются.

Однако для полноты картины в первой главе были рассмотрены модели по расчету полей экранов и электронных линз,где указанные сложные области применяются. Дополнительно эти модели позволили установить связь рядов Фурье и Бесселя двух типов с граничными условиями задачи. Эти результаты использованы при исследовании магнитных полей в электрических машинах, где широко применяются ряда Фурье обоих типов.

В качестве расчетной модели электронной линзы, состоящей из четырех плоских параллельных пластин, рассмотрим поперечное сечение плоскостью Охг двух бесконечно длинных (в направлении оси Оу), соосно расположенных П-образных электродов одинаковой ширины, но разной длины, (рис.1).

Пусть: Ь - ширина электродов; ^ - длина правого (г > о) электрода, <51 - расстояние стенок правого электрода до плоскости Оху и Т£ - потенциал правого электрода; 12 - длина левого (2 < о)электрода, - его расстояние до плоскости Оху и - потенциал левого электрода.

При этом.пусть будет 1Г > гг > ^ и л = + &г « Ь. Будем полагать, что для пролета электронов или ионов вдоль оси Ог П - образные электроды имеют весьма узкие щели шириной б (б « Ь). Напряженность поля линзы определяется разностью потенциалов между электродами, поэтому при расчете можно взять б1 = ¿^ = г и потенциал правого электрода равным и>0= = о,5(ЦМ£) > о, а левого - иго= -и10 < о.

При этом, будем иметь: = иер + и1С, = иср + и10, = + и ию- иго = 1Г - Гг. Если брать бх * &х, то получим |ио| x 1ц,01. но и здесь и10- иго = 1г - При таком выборе значений потенциалов электродов граничные условия задачи имеют более простой вид.

После нахождения напряженности поля и потенциалов в рас-

четной модели распределение потенциала для плоской электронной линзы легко определяется.При = лг = & к расчетным значениям потенциала надо добавить Ucp.

В исследуемой модели поле описывается двухмерным уравнением Лапласа.

При аналитическом решении задачи всю расчетную область (-Ь/2 £ х s b/г и -(<5г + ix) < z 5 (6, + i4)) разобьем на три подобласти: прямоугольник I <-b/2 s х ¿ Ъ/г и ^ s г s ¿(), прямоугольник II (-Ъ/г s х s b/г и ¿t s z i (6, + it)) и прямоугольник III (-b/г ¿ x 5 b/г и + ta) s z <• -¿2).

Симметрия поля относительно плоскости Oyz (по переменной х) и предположение о линейности распределения потенциала в воздушном зазоре между электродами (при х = ¿b/г и -<5г s z s <st на рис. I) дает возмокиость кривую нормальной составляющей напряженности поля на поверхности z = о представить в виде следующего ряда Фурье:

— = 1(х) = Е - Т I cos п £ х, (I)

32 «о Л " я

n = i , а,,

где Im - максимальное значение напряженности поля при х = ±Ь/2 м, s ! s < (его задаем); üEn - искомые амплитуды нечетных гармоник напряженности.

На границах подобластей I и II, I и III должны выполняться известные условия согласования решений - равенство потенциалов соответствующих подобластей и равенство значений нормальных производных этих- потенциалов.

В исследуемой модели, когда применяется ряд (I), неизвестными величинами являются: \ и Сп при n=i, з,... - искомые коэффициенты потенциала Ut (х, z); Rr при искомые коэффициенты потенциала U^x.z);^ при k-i ,з,... - искомые коэффициенты потенциала Ua(x.z). Здесь: Ut(x,z) ,Uz(x,z), UB(x,z), - потенциалы подобластей I, II и III соответственно. Решение задачи сводится к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Эта система имеет единственное и точ ное решение. При n = г = к = * ,з,... из общей системы всегда можно выделить четыре уравнения и легко найти неизвестные. Например, при n = г » k = i найдем EjP С1, Н4 и А4,а при n = г = = к = з -xt, сш, 0в и и т.д.

При симметричной конструкции устройства (^ = ¿г = & и i4= = ix = i и üIO = -UJO) вся плоскость Оху будет иметь нулевой потенциал (Сп = о) и при всех г = к имеем Н^ » А^.

Искомые величины равны:

- aln n5 th гй i

I = - Е -----О- ; (2)

" " " n sh <5 + ch п£ <5 • th nS i

Н - ib v sln rs . ■ аь Л 6 • th 4 1 .

y n* ■ - y» sh rg <s + ch rl * - th I '

,b sin kg sh kS <5 th kS i A, = — E -----2-5- . (4)

II na m ka sh kg a + ch kg <5 • th k§ i '

В этом случае можно рассматривать только половину устройства , т.е. Орать только подобласти I и II или только подобласти I и III.

Из приведенных выше формул для En, Н, и А^ видно, что длина электродов электронной линзы i находится в этих выражениях под знаком гиперболического тангенса. Так как уже при <* = |ч значение th « «в о, ese « i, то при ^ > можно считать, что значения, например, th п g г = i для всех п и электронная линза будет состоять из двух пар параллельных пластин. Отсюда следует, что при конструировании электронных линз и фокусирующих устройств ионных ускорителей, состоящих из плоских пластин, следует брать i/b > з/Ч.

Допущение о линейности распределения потенциала в воздушном зазоре между электродами (при -b/г s х £ b/г k-^ízíí) aU

идентично условию —- = I в этом же зазоре. Но можно задать в ázoü *

этом зазоре условие —- = о и для симметричного устройства по-<чс

лучить решение для подобласти I в виде:

b 1 гп гп

ü (x,z) = I--> — sh »— 2'eos у—х. (5)

1 ср" гп ^ b b

В этом случае кривой нормальной составляющей напряженности поля на поверхности z = о, в отличив от ряда (I), соответствует иной ряд Сурье:

aU i гп

— = Цх) = 1 - У Е соз v — х. (6)

аг |«»о ер b

Для ряда (6) допущение о линейности распределения потенциала в воздушном зазоре между электродами является лишим, а решение (5) носит более общий характер.

Фокусирующее устройство некоторых ионных и электронных ускорителей представляет собой два тонкостенных полых цилиндра одинакового диаметра, расположенных соосно на некотором рас-тоянии друг от друга и находящихся под разными потенциалами.

Цилиндры имеют, как правило, одинаковую длину. Поле таких цилиндров имеет осевую симметрию, а потенциал плоскости, лежащей посередине зазора между ниш, равен нулю.

Решение задачи по расчету поля фокусирующего устройства рассмотрим в цилиндрической системе координат (г,р,2) для иден тичных цилиндров конечной длины (ркс.2). Положим: диаметр цилиндров й = 2й, их длина одинакова 11 = = г, расстояние торцов цилиндров до плоскости Оху одинаково и равно 5. Потенциал правого цилиндра пусть будет равен > о, а левого > > о, ю СГ >При расчете можно взять потенциал правого цилиндра и10=о, 5(1Г - левого иг0=о, з - и^). При этом, Ю1в1 = Ш201 и потенциал плоскости Оху равен нулю.. Ввиду симметрии картины поля относительно плоскости Оху будем далее рас сматривать только правую часть устройства. Картина поля на наружной поверхности цилиндров здесь не рассматривается.

В рассматриваемой модели поле имээт осевую симметрию и будет описываться двухмерным уравнением Лапласа.

При аналитическом решении задачи всю расчетную область (о<г£й и о<г<5+г) разобьем на две подобласти: подобласть I (о<г£й и о<г<б) и подобласть II (о<г£Я и ¿¿г£&+1).

Симметрия поля и предположение о линейности распределения потенциала в воздушном зазоре между цилиндрами (г = Н и -в £25 5 <5 на рис.2) дают возможность кривую нормальной составляющей напряженности поля на поверхности г - о при о £ г £ К представить в виде следующего ряда по функциям Бесселя Ло(?т §):

где 1тая - максимальное значение напряженности поля при г = И и -6 < г $ & (его задаем); Ет - коэффициенты ряда, которые подлежат определению; ?т - различные положительные корни функции Ло(х)=^(?п1)=0 при т = 1,2,з,... и х > о. На границе подобластей I и II (о 5 г 5 II я г = «) должны быть равны значения потенциалов подобластей I и II и значения их нормальных производных:

Выражение для потенциалов подобластей I и II имеет вид:

и. (г.*) = и2(г,г); az «2

16 R

U.^-z) = г - I E„ -Я- sh § • (9)

MS I . *4 14

sh f й+г+1

- ütw z - 2 Hm Jo^-H"). <I0>

sn

где U - I <5, I и H - искомые величины.

*u mox m да

Бесконечная Система линейных алгебраических уравнений, которая составлена на основе (8) - (10) при ш = 1,2,3,..., где неизвестные -Ет и Нт, имеет единственное и точное решение. При одинаковых и из каждой пары уравнений находим:

I =

2 th -р-

max

н

<W sh + ch fm-f- • th (K)

fl ; L, . *»*» + Ch С «W sh ?m4- + ch . th где m = i ,г,з.... .

Задав значения Emox, R и i, на основе (II) мокно найти Im и при разных ш, а значит и все интересующие нас параметры поля. Так как - 2,-1 и уже .при a = | я s 2,ззе значение th а = о, ess & 1, то при -д- > 1 можно считать , что значение th = 1 при любых m. Физически это означает,что при -рр > 1 дао цилиндров на картину поля внутри них и в зазоре между ними никакого влияния не оказывает и можно математически рассматривать цилиндры без дна. Фокусирующие устройства из, вестных электронных и ионных ускорителей имеют, как правило, такие размеры, что их диаметр и длина примерно одинаковы, т.е. у них -jp = 1,5...2,s.

При решении этой же задачи вместо ряда (8) распределение напряженности поля Ех(г) на поверхности z = о можно представить в виде ряда Фурье - Бесселя по системе функций J0 :

Е,<г) =Е0 - J0«VTT>. <12>

...

где Iu - искомые коэффициенты ряда при v = 0,1,г,з,... ;

*?и-корни функции при u=o,i ,г,з,...;

и x г: о;

Ряду (12) соответствует на отрезке -6 s 2 i & при г = R ап,

граничное условие —-I = о, а не линейность распределения аО lr=tR

потенциала или —-I = Imeui = const, как это было ранее. Те-

¿)Г |г»н

перь решение уравнения Лапласа для подобласти I и его произ-

водная по г будут иметь иной вид:

^ (Г,2) = 102- ^ ЗИ • «Г0(/НН.

дЦ (13)

Решение (13) носит более общий характер, чем решение (9). Ряда (I) и (7), (6) и (12) по своему функциональному назначению являются рядами - аналогами.

В тех задачах, где применяются ряды (6) или (12), для получения численных результатов необходимо: ограничиться конечным числом членов, на множестве равноотстоящих узлов составить систему алгебраических уравнений и решить ее на ЭВМ. При этом, надо учитывать 15-г5 членов ряда.

Анализ зависимостей параметров поля электронных линз от длины их электродов позволяет дать рекомендации по конструированию таких устройств: следует брать г /Ъ > э/4. для электронных линз из плоских электродов и г/й > 1 для электронных линз из цилиндрических электродов.

Расчету магнитного поля в плоском воздушном зазоре электрических машин для пазов с параллельными стенками посвящена вторая глава. ■

Структура одного зубцового деления электрической машины цилиндрического типа при классических допущениях (магнитная проницаемость стали магнитопроводов машины достаточно большая, машина имеет бесконечную длину, зубчатость односторонняя, кривизна воздушного зазора не учитывается, электрические токи в магнитопроводах,пазах и зазоре отсутствуют) показана на рис.3, где обозначены: х - зубцовое деление, & - величина воздушного зазора, Ь и Ь - ширина и глубина пазов с параллельными стенками.Указанная система допущений позволяет общую (пространственную и сложную) краевую задачу свести к решению задачи на плоскости.

При оценке влияния глубины пазов на картину магнитного поля в воздушном зазоре мнения разных авторов существенно расходятся. Глубина пазов, при которой их практически уже можно считать бесконечно глубокими, составляет: 2/з < ЫЬ < 1,6. Анализ исследований по проблеме расчета поля пазов с параллельными стенками позволил сделать следующий вывод: при классических допущениях и конечных значениях всех параметров зуб-

цовой зоны (г, 6, Ь, 11) задача по расчету магнитного поля в воздушном зазоре для пазов с параллельными стенками конечной глубины еще полностью не решена.

Необходимо аналитически и с помощью численных расчетов более строго исследовать зависимости коэффициентов Картера и параметров магнитного поля в воздушном -зазоре от глубины пазов.

Надо получить более точную аналитическую оценку значения той глубины пазов, при которой дно пазов на картину магнитного поля в воздушном зазоре ввлияег слабо и пазы уже можно считать бесконечно глубокими.

Цри исследованиях кривая магнитной индукции на гладкой поверхности (см. рис.3) была представлена в виде следующих рядов Фурье:

В(х) = \ - I Впсоз п-?-х, (14)

пвд , а ,.

где Вп - максимальное значение индукции по оси зубцов; Вп - амплитуда нечетных гармоник индукции;

В(х) = Вгп - Т В СОБ X, (15)

где Вср и Вр - среднее значение и амплитуда гармоник индукции. Численные расчеты удобно вести при максимальном значении магнитной индукции по оси зубцов В(±1;/г) = Вт= 1Тл.

Расчетная область (рис.3) была разбита на две подобласти: подобласть воздушного зазора в виде прямоугольника I {-х/г<х$ ¿иг, о£у<<5) и подобласть паза II (-Ь/г<х< ¿Ь/г, б<у<б+Ъ).

Потенциал подобласти I и его производная по у цри использовании ряда (14) имеют вид:

и^х.у) = Вту - | ^ й п "Г" У • соа ПНГ х» <16) аи пч......

— = В - У В сИ п. -5- у • соз п-£- х. (17)

где -1У2 £ х £ %/г и о < у < й, во- искомые параметры поля. Аналогично при использовании ряда (15) имеем:

^(х.у) - Веру - "Ч У • сов ^ х. (18)

~= в«р" I с°з»4-<19>

ву ....

где 5X5 х/г и о £ у £ ¿.В^и В^-искомые параметры поля. Потенциал для подобласти II и его производная по у имеют вид:

«U, „ ch

—- = к J r IL--C03 r« (21)

ay ь г'Л,. Г. sh rg h 0

ГД9 -Ь/2 <Ii b/2Hi < J5 64-h.

На общей границе подобластей I и II (-Ь/г<хгЬ/г и у=<5) требование равенства значений потенциалов подобластей и равенства их нормальных производных, используя, например, выражения (18) и (21), приводит к соотношениям:

вСр6 " т4 ' cos ^ "В"*г:.?.Л.соа ^ х-<22>

J*5ch v ^'С03 008 ХЛ23)

где -Ь/2 < х ^ Ь/2 при у = <5.

На зубчатой поверхности потенциал равен Ue = Bm6, то есть на зубце имеем:

Вер"5 М11 " ^ ' 003 ^ (24)

где —t/2 <xs -Ь/2 и b/г < х ^ t/г при у = <5.

Ввиду симметрии магнитного поля относительно оси паза выражения (22) - (23) необходимо рассматривать на отрезке [о.ь/а], а соотношение (24) - на отрезке СЬ/г, t/г].

Аналогичные соотношения были получены на основе формул (16) - (17).

На основе соотношений (22) - (24) и им аналогичных было разработано несколько алгоритмов численного решения задачи, позволяющее найти все искомые параметры поля (Вп,Вер и В^.Н^,).

Построим алгоритм численного решения поставленной задачи на дискретном множестве точек, где всегда должно выполняться условие M/N = b/t. Покажем это на примере. Положим: t=ioo мм, Ь=ео мм, s=e мм, M=is, N=25, К=и и I=M+N+i =гМ+К=«.

Здесь обозначены: М - число неизвестных коэффициентов ряда (20), то есть г = 1 .....(гМ-1 )=гэ; U+i - число членов ряда (18) то есть учитываем Вср и = В4, Вг.....В15; К - число

уравнений по соотношению (24); L - полное число неизвестных (Вср иВ„, Hj,) и полное число уравнений.

Разобьем отрезок io.t/г) = [o.so] равномерно на N=25 частей с шагом ¿х = t/гц = г. На отрезке о <х< (| - лх) с шагом лх = э мм можно составить М = is уравнений вида (22) и М = is уравнений вида (23). Уравнения будем составлять, начиная со значения х = о, т. е. с левой границы частей разбиения.

На отрезке b/г < х < t/г равномерно, с шагом ах = t/aN,

можно составить К = и уравнений вида (24).

Если считать правую часть (22) известной функцией, то, имея М = 15 уравнений вида (22) и К = и уравнений вида (24), при решении системы алгебраических уравнений из М + К = ге уравнений получим N+i = М+К = ге коэффициентов интерполяционного полинома вида (22), т.е. значения Вср, Blt Вг, ..., B2S.

И, наоборот, имея М = 15 уравнений вида (22) с известной левой частью, получим интерполяционный полином вида (20), т.е. значения Н4, Hjt ^.....H3t>, при у = био<х£ Ь/г.

Таким образом, значения И и N надо выббирать так, чтобы всегда выполнялось условие M/H = b/t. Например, при b/t = о.е возможны варианты: М = iz и N = го, м = is и N = 25 и т. д.

Алгоритм численного решения задачи, построенный на дискретном множестве точек,имеет очень простые выражения для коэффициентов при неизвестных, т. е. при Вср, Ву и Н^, и позволяет получить решение в виде интерполяционных полиномов.

Алгоритм численного решения задачи, содержащий выражения (22) - (24) и построенный на дискретном множестве точек с условием M/N = b/t, позволяет веста расчет магнитного поля в плоском воздушном зазоре для пазов с параллельными стенками конечной и бесконечной глубины при любых соотношениях параметров зубцовой зоны (t, b, h).

Результаты расчетов были сведены в 14 таблиц и представлены на 5 рисунках.

Для примера на рис. 4. показаны зависимости к6. В*, Bmin= = И h/b) при b/t=o,e и b/<5=iо. Здесь обозначены: к6=Вт/Вср -коэффициент воздушного зазора, Вср - среднее значение магнитной индукции, В* = Bt/B - относительное значение амплитуды первой гармоники ряда (15), Bmin - минимальное значение магнит ной индукции по оси паза - при Bm = i Тл.

Показано, что зависимость k6 = f(h/b) близка к экспоненциальному закону с постоянной Т = 0,125 ь.

Изучение структуры формул (22) - (24) показывает,что глубина пазов h входит только в соотношение (23) и находится под знаком гиперболического тангенса.

Рассмотрим влияние глубины пазов, т.е. отношение h/b, на картину поля в зазоре. Так как уке при с. = значение th а * »0,085, ТО при h/b = | получим: ttl gh = ЯЛ,985 при г = 1 и th а i при г - 3. При h/b = о> имеет место: th rgh = I при всех значениях г. Отсюда следует,что эти два решения будут

мало отличаться друг от друга.

Аналитически установлена граница влияния глубины пазов на картину магнитного шля в воздушном зазоре: если Ь/Ъ £ э/4, то такие пазы являются пазами конечной глубинн;если же Ь/Ь > зА, то такие пазы уже можно считать пазами бесконечной глубины.

Аналитические исследования и анализ численных результатов, где параметры зубцовой зоны (г, <5, Ь, й) изменялись в широких пределах, показывают их хорошую согласованность друг с другом, с теоретическими положениями и с результатами аналогичных исследований других авторов.

В третьей главе исследуется магнитное поле в кольцевом воздушном зазоре для пазов в виде кругового прямоугольника (части кольца) на примере расчета поля возбуждения индукторных машин.

При решении задач кривую магнитной индукции на гладкой поверхности статора будем представлять в виде следующих рядов Фурье (рис. 5):

В(р) = В^ - У Впсоз п-2-*>, (25)

где Вт - максимальное значение индукции по оси зубца;

Вп - амплитуда нечетных гармоник;

В<*,) = Во - I В*С03 Нг (2е>

ср

где Вср - среднее значение индукции;

В^ - амплитуда гармоник индукции.

Более удобной для использования формой представления кривой магнитной индукции в зазоре машин является ряд (26).

При классических допущениях задача о распределении магнитного поля в зазоре и пазах является двухмерной. В цилиндрической системе координат Огр такое поле описывается уравнением Лапласа. При аналитическом решении задачи (рис.5) вся расчетная область разбивается на две подобласти: подобласть кольцевого воздушного зазора I и подобласть паза II. Обе подобласти соприкасаются друг с другом по дуге окружности радиуса г4 при -р/г 5 к> < р/г, так как цилиндры радиусов г4 и го соосны. При -а/г < <р < в/г дуги радиусов г4 и гс эквидистантны.

Подобласть воздушного зазора I - часть кольца для которой г, « г 5 Н и -«/г < р < а/г (рис.5). Здесь: И - радиус расточки гладкого статора, г4 - внешний радиус зубчатого ротора, а = гп/гг - центральный угол зубцового деления ротора иг,-

число пазов ротора.

Рассмотрим решение, где потенциал ио = -ВтН 1п-у-. Это

значение потенциала найдено на основе ряда (25).

Потенциал подобласти 1,есля за основу взять ряд (26),будет:

_ тэ г ти/с* гпи/а-.

и1(г,р)=в и + ^вГ^г) -(Г/Й)

1 J (27)

Производная (27) по г:

^Г - Вср-„Д5? Л[(Н/Г) +(г/ю ]С03 (28) Подобласть паза II - круговой прямоугольник (часть кольца), ДЛЯ которого -р/2 £ Р £ Р/2 И Го £ Г £ ГА (рИС.5).

На всей зубчатой поверхности ротора потенциал и = ио < о, а на гладкой поверхности статора потенциал и = о. Потенциал для подобласти II будет иметь вид:

и (Г,р)= -Вй 1п -Р- + У Н,-2- СОЭ Л *>,(29)

учГэ.Г. . ( Г

ТО "ТО

где Г0 £ Г £ И -/3/г < р £ /3/2, Производная (29) но г:

г т -.Г"'!* Г ТаЛу"'Р

аи 1~1 + Гг"1

— - 2 «г- -—^С03 4 (30)

То "то

Используя соотношения ак = ек",а1 формулы (27) - (30) можно записать через гиперболические функции. Для потенциала (27) подобласти I и его производной (28) получим:

и,(г.р) - ВсрБ 1п—д— §5 "Л >4 1п Р С03 <31>

^ = «* ^ 1П г с03 ^ (32)

где г4 £ Г £ И И -о/2 £ р £ с/2.

Аналогичные преобразования для выражений (29) и (30) дают:

з1г 1п

и,(г.«0- -ВтЕ1 1п + I Нг -р-2-созгрр; (33)

а

/°м ьц уЩа

® © Ф

¡Ц П|» 1

у ЙИ) г-о

/ -6/2

-Л* . 6? и

Рис. I. Расчетная область модели электронной линзы из плоских пластин, состоящая из трех подобластей, в декартовой системе координат Охуг.

Ога^ X

© ©

ас п

■а / 1-6/0 1-0 '¿•б г-Ьч

Л.г-1 6 6

Рис. 2. Расчетная область модели фокусирующего устройства из цилиндрических электродов, включающая две подобласти, цилиндрическая (г, *>, г) и декартова (х.у.г) системы кординат.

¿г.

ф

©

и-и«

\ Ь/г ¡/Г

-1/г -1/2 о

ч

Рис. 3. Расчетная область и две подобласти в декартовой системе координат Оху.

Рис. 4.Зависимости к^, В*, Вт.п= 1(Ь/Ь) при Ь/Ч=о,е и ЬЛ5=10.

Рис. 5. Расчетная область й две подобласти в цилиндрической системе координат Оху.

Рис. 6. Расчетная область, подобласти I и II и две системы координат: Оху - прямоугольная, Сгр - цилиндрическая.

-к/г 4/2

Ь/г 1/г

Рис.7. Расчетная область и две подобласти: воздушного зазора I и полукруглого паза II.

У'

Ь/2 ^ а*.

о Ь^-уф

II •иг. п К >> ос'

0' 1 Л\

-Чг Г"

Рис. 8. Две подобласти: слева - полукруглого паза (о < ? ^ » и р £ г> < ? ), справа - арочного паза конечной глубины (0 5? £ Кх И <рг £. *» ^

а\] <*> 4 1п Ь

— = IК ш--г"2" С03 ГЪ (34)

ЗИ Г* 111

О

где Г0 2 Г < Г И -Д/2 < < /5/2.

При наховдекии решения для всей расчетной области на общей границе (дуге АВ) подобластей надо выполнить известные условия согласования решений подобластей I и II - равенство потенциалов подобластей и равенство нормальных производных этих потенциалов (см.рис.5).

Используя выражения (31) - (34), запишем эта условия на дуге АВ (г = г,, -п/г < р < р/г):

-Дв^ ЗЬ Ш Р-сол =

= -ВтЯ 1п + У Н соз Л р ; (35)

х ВСР-, .1 г^ т р-соз =

= ^ -— 003 4 (36)

*

о

п

На поверхности ротора потенциал 17о = -ВтЙ 1п поэтому на зубце имеем:

ВСРЙ + 1п Р'СОЗ ¿%> = -вгаи ш 4, (3?)

У»»"2 ■ . . . * С

ГДе —а/2 < < -/>/2 И #/3 < р < а/2.

С учетом симметрии магнитного поля относительно оси паза выражения (35) - (36) надо рассматривать на отрезке Со, р/г], а соотношение (37) - на отрезке 1р/г, а/г).

Соотношения (35) - (37) позволили разработать алгоритмы численного решения поставленной задачи, которые аналогичны таковым из второй главы.

Для подобласти паза II также было получено решение уравнения Лапласа в сферической системе координат. Но это решение сложнее, чем рассмотренное выше.

Анализ выражений (35) - (37) показывает, что параметр, который характеризует глубину пазов, т.е. радиус по дну пазов

ротора го, входит только в соотношение (36) и находится под знаком гиперболического тангенса. Искомые параметры поля (В^, Вер и В,. ^ при заданных исходных данных (й, г0, п)

зависят от значений № >4 1п

' о

Так как ХЬ. « « о,985 при « « % п,- то можно считать, что

1>

для всех г при » > | я будет Иг « 1. Отсюда для г = 1

о

Г Г

получим: 5 1п = § п- или =

' о о

Таким образом, пазы, у которых г/г0 £ можно

считать пазами конечной глубины. Те же пазы, для которых имеем г/гс > е°'7:,/?, являются пазами бесконечной глубины.

В четввротой главе при классических допущениях рассматривается расчет магнитного ноля возбуздения в воздушном зазоре индукторного генератора с полузакрытыми круглым пазами на статоре и трапецеидальными пазами на роторе. Дно пазов ротора скруглено.

При принятых допущениях задача по расчету поля сводится к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Расчетная область является сложной и состоит из двух подобластей: плоского воздушного зазора и треугольного паза со скругленным дном.

Решение уравнения Лапласа для подобласти зазора необходимо искать в прямоугольной системе координат, а для паза - в цилиндрической (рис.6).

Кривая магнитной индукции на гладкой поверхности статора, была представлена в виде ряда Фурье (15), выражение для подобласти плоского воздушного зазора I, естественно, в виде выражения (18):

и4 (Х,У)=В У — §5т~ 2 -¿Г ^ У003 х > (38>

где -Х/г < х г/г и о < у < б;

Подобласть паза II при Л0 >о, « + Нг йи принятой системе допущений имеет форму кругового прямоугольника, а задача по расчету шля подобласти является двухмерной (рис.6).

В цилиндрической системе координат Сгр магнитное поле для подобласти II описывается уравнением Лапласа, решение которого при ио = Вя<5 имеет вид:

25 sh In

Uz(r.P) = U„ - ^ V . „-H" cos (39)

r^i.f.... sh i-jj In jJ- '

где Ro < г < R и -p/z < t> < о/г.

Рассматривалось решение задачи для всей расчетной области путем согласования решения на одной общей границе, в качестве которой была выбрана хорда АВ. Полученные соотношения имеют сложный вид.

Это объясняется тем, что на хорде АВ согласуются между собой два решения, которые получены в двух разных ортогональных системах координат: прямоуголлой и цилиндрической.

Общей частью подобластей I и II (рис.6) является круговой сегмент, ограниченный дугой АВ и хордой АВ, поэтому поставленную задачу можно решить, применив альтернирующий метод Шварца.

Альтернирующий метод Шварца является методом последовательных приближений, а его алгоритм - итерационным.

Решение задачи для двух подобластей, имеющих общую часть, с помощью альтернирующего метода Шварца можно получить, если предварительно на одной из границ общей части подобластей задать произвольно распределение пока неизвестного нам потенциала. Также необходимо задать погрешность решения.

Поставленная задача была решона с помощью модифицированного метода Шварца, где использован способ взаимной интерполяции неизвестных нам функций (у нас на дуге АВ и на хорде АВ). Использованы формулы (38) и (39), а на зубце - соотношения' вида (24).

Решение задачи сведено к решению системы алгебраических уравнений на дискретном множестве точек. Указанная система уравнений здесь решается один раз. Условие M/N = b/t при расчетах выполнялось.

Недостатками альтернирующего метода Шварца является: необходимость предварительно задавать распределение потенциала на одной из границ общей части подобластей и потребность заранее указывать значение относительной погрешности для окончания итерационного процесса решения задачи.

Указанных недостатков лишен модифицированный метод Шварца. Главное в методе Шварца (альтернирующем и модифицированном) - отсутствие условия в^/эй = эи^/зп. Наличие этого условия усложняет алгоритм численного решения задач такого класса, а дифференцирование всегда приводит к ухудшению сходимости ря-

дов Фурье.

На основе алгоритма, реализующего на ЭВМ решение задачи с применением модифицированного метода Шварца, получены численные результаты, которые сведены в е таблиц и показаны на рисунках. Приведенные в этой главе результаты численных расчетов магнитного поля треугольных пазов со скругленным дном убедительно подтверждает преимущества и высокую эффективность модифицированного метода Швэрг.а.

В пятой главе на примере расчета поля возбуждения в плоском воздушном зазоре индукторных машин с полукруглыми и арочными пазами детально изучены все девять подобластей, отнесенных к бицилиндрической системе координат.

В этой системе координат можно изучать не только поле полукруглых пазов, но и поле пазов иных форм - например, арочных и 3 - образных (бесконечной и конечной глубины) и других.

Бицилиндрические координаты ♦>, г связаны с декартовыми координатами х, у, z (рис.8) известными соотношениями:

х = ? "сйТТсозТ' У = а сц f + Cos р • 2 = 2 где а = О А^ = 0'Bt; -<ю < ? s -п < ? < л; s zi ю.

Координатными линиями на плоскости Оху в этой системе координат являюся два семейства ортогональных окружностей. Центр каждой из окружностей ? = const лежит на оси Ох, а центр окружностей u = const - на оси Оу.

Все окружности, для которых я = const, проходят через точки Ai и Bj. Если верхняя часть одной такой окружности имеет уравнение = const, то ее нижняя часть имеет уравнение г2 = ■Pi-it = const (см. полукруглый паз на рис. 8).

Таким образом, при !*>,! = |р2| > т/г будем иметь 3 - образные пазы, при = IpJ = тт/г - полукруглые пазы, а при Wi I = |*>21 < т/2 - арочные пазы.

Все рассмотренные выше пазы (области) является с математической точки зрения пазами бесконечной глубины, т.к. для них координата ? пробегает все значения от ? = о (на оси Оу) до К = ю (т. В± - на дне пазов). Если же выбрать форму пазов так, что будет о< z < (где > о, но конечное значение координаты), то будут иметь место пазы конечной глубины. На рис.8 справа показан арочный паз конечной глубины. На рис.7, показана расчетная область и две подобласти: подобласть плоского воздушного зазора I в прямоугольной системе координат Оху (^/г<х^/2ио<у<«5);подобласть полукруглого паза II.

Подобласть воздушного зазора Г - прямоугольник, где -t/a < х < t/2 и о < у < б (см. ранее рис.3). В прямоугольной системе координат Оху на плоскости магнитное поле для подобласти I описывается уравнением Лапласа, решение которого было представлено в форме (18).

На рис.8(справа) для примера показан арочный паз конечной глубины, ДЛЯ которого 5 *> £ %> И О < ? < < оо.

Выражение для потенциала подобласти II имеет вид:

sh )

- ЪЩ6 - соз ^ Р.

где о < ? £ -pt s р < ^ и ß = ePi .

Это выражение применимо для полукруглых (l^j = ч/г) и арочных пазов конечной (fi < ®) и бесконечной (?t=«) глубины, что было использовано при разработке алгоритма расчета поля. Показано, что координата находится в этом алгоритме под знаком гиперболического тангенса: th Yjt <i при j = i . То есть при К > ? Р пазы полукруглые и арочные уже можно считать бесконечно глубокими, а при £ J 0 -пазами конечной глубины.

Также приведены решения уравнения Лапласа в бицилиндри-ческой системе координат для остальных подобластей.

Практическое значение при проектировании и конструировании синхронных электрических машин реактивного типа и синхронных индукторных машин имеют полукруглые пазы и арочные пазы конечной глубины.

Для расчета поля этих пазов на дискретном множестве точек с соблюдением условия M/N = b/t и был разработан алгоритм. Результаты расчета поля полукруглых и арочных пазов сведены в 8 таблиц и представлены на рисунках. Также был поставлен численный эксперимент, когда было выбрано M/N = о,в при b/t --= о,75. Этот эксперимент показал, что условие M/N = b/t должно всегда выполняться.

В шестой главе изложены результаты исследований по теории многочленов и рядов Чебышева и Лежандра, рассмотрены особенности применения этих рядов при решении дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона и при решении интегральных уравнений Фредгольма.

Также приведены примеры расчета потенциальных полей (в том числе магнитных полей в электрических машинах).

Рассмотрим некоторые из этих вопросов более подробно.

Будем рассматривать в функциональном пространстве Ь2 (-1,1 ;ь>) способ ортогонализации многочленов группы Якоби: многочленов Чебышева первого рода Тк(х), многочленов Чебшева второго рода Uk(x), многочленов' Лежандра Рк (х), ультрасферических многочленов С^(х) и многочленов Якоби Рк(а,гз'(х)- на дискретном множестве {хЛ с весом " (х) • Это позволит применить указанные многочлены для построения интерполяционных многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения функции Г(х) из пространства i2(-i ,i ;<»). Решение поставленных задач дает следующия теорема.

Теорема 1. Пусть п - произвольное целое неотрицательное число (п > г); R0(x), R1(x).....»Rn(x) ~ последовательность многочленов (Чебышева первого рода, Чебышева второго рода, ультрасферических, Лежандра или Якоби) переменной х.

Тогда в функциональном пространстве b2(-i,i;«) существуют:

1) единственное дискретное множество точек X = I Xj> = «1,X2,...,xntlv = <-i; HR^ (x) = 0>; i>,

где <Rn(x) = o> - множество нулей первой производной многочлена Rn<x);

2) множество значений весовой функции:

<» = <<■>( хр> = } С4г:>

или о» = "1u,cj,...,cm.....сг,1} = "-(с^)},

где « и 0=1, = ......= Ст « ;

m = i + § при п - четном и m = g + § при п - нечетном;

{CHXj)} = о, С2,...,Сгп,....Сг,1> - постоянные;

3) ортонормированная последовательность многочленов

"t"(х) = Ък Rk(x), к = 0,1.....П, <*»

где Ьк -нормирующие множители;

4) неопределенная система линейных алгебраических уравнений

^ * = 1 • k = 0,1.....п> с**у

где ^ в ]> С(х.) постоянные;

j«»

5) единственный интерполяционный многочлен степени п наилучшего среднеквадратичного приближения для функции Г(х) вида:

где ^ = 1(х;) ^(х.); 1С(х.» и с^- см. выше.

В указанной теореме постоянные и ¿^(к = о,1,...,п) зависят от порядка многочленов п и типа многочленов. Цри доказательстве теоремы используем условия ортогональности последовательности многочленов Ъ*(х) = ЦД (х), к = 0,1.....п на

дискретном множестве X = <х> с весом Мх.)}

п»1 г о при k*i,

(t^) = , прИ k=l>

is4

О при k*I, C46J

С47>

где к,г= о,1,...,п.

Положим, например, п = * и последовательно рассмотрим многочлены Чебышева первого рода Т(х), многочлены Чебышева второго рода U(x) и многочлены Лежандра Р(х).

Для последовательности многочленов Чебышева первого рода при 11=4 дискретное множество точек определяется формулами:

VxXT^x) - 1) = о ИЛИ Тв(х) - Т2(Х) = о. С-КО

Так как Тг (х) = гх2- 1, Tt{x) = ex*- ех*+ i и Тв(х) = згх"- lax2- 1, то уравнения (48> имеют следующие идентичные корни: х= ±1, х = о и х = ±-/5~7г.

При этом, х = 0 является корнем двойной кратности. Числа х = о и х = ±У5"7г являются корнями уравнения Т^(х) = о. Этим доказано, что дискретное множество точек X для многочленов Чебышева первого рода при п = * имеет тот вид, который утверждается в теореме:

X = < jy = {-1 , -VS~/2, О, У§"У2, 1 v. С49>

Весовая функция Мх.)} и множество постоянных теперь будут иметь вид:

ы = {«(Х.)> = о>£{С(Хр> = , 2, 2, 2, 1}; C50J

<С(Х.)>= <1, 2, 2, 2, 1}.- C51J

Для ортонормированной последовательности многочленов Чебышева первого рода t*(x) = bkTk(x>, k = 0,1.....n = * на

дискретном множестве точек С49> с весовой функцией es оэ на основе условий ортогональности с *7> получим следующую неопределенную систему уравнений:

1^«,= 1 , к = 0,1 . ,П = С525

где ú^ C(x) T*(x); do = át = 8 и dt = d, = d, = 4. i-»

Система сэгэ состоит из пяти уравнений, но содержит шесть неизвестных величин (Ьк, К = o,i,...,n = * и «J, и поэтому является неопределенной.

В общем случае неопределенная система уравнений сэгэ имеет бесконечное множество решений. При решении системы уравнений такого типа надо задать численное значение одного из нормирующих множителей (например, Ь*) или значение

Если положим, например, «t = i/г, то получим: ы = <«(' x¿» = »ji, г, г, г, i> = u/2, 1, 1, i, i/г*; tj(x) = ЬьТк(х) при Ь* = Ь* = 1/4 и b* = b* = Ь* = i/г.

И, наоборот, при Ь* = 1/4 из той же системы уравнений с525 получим идентичные результаты. Этот вариант решения совпадает с теми единственными данными, которые известны и приведены в книге С. Пашковского "Вычислительные применения многочленов и рядов Чебшева".

Аналогично изложенному выше для последовательности многочленов Чебышева второго рода при п = 4, и Ь* = i/п = 1/4 (или о^ = 1/ю) имеем;

X = < xv = {-i,- Vg^/4, о, УГУ4 , i

« = < »(X,) I . ^C(x.n = J§ {i, i};

«Wi,»-{»Л. *}:

t"(x) = bbük(x), bk"= 1/4 (k = 0,1,а,з), b* = i/io;

= £С(Х) 1£<х,), h = o, i.....n = 4;

i=»

dc = d, = d2= d3= 40 и = юо.

В монографии í 11J для многочленов Чебышева второго рода приведены результаты расчетов при п = г, п = з и п = 4.

Для последовательности многочленов Лежандра при п = 4 и Ь* = i/г (или = 1/ю) аналогично изложенному'выше имеем:

X = <х.> = М,- т&ГП о, п ;

<•> = <"(хр> = »JC^)} = ji <1,49/9,64/9,49/9,1>;

<С(Х., )> = <1,49/9,64/9,49/0,1>;

t*<x) = bkPk (х) , b* = ak * 1 (k = 0,1.....з),Ь* = г;

=|с(х) k = 0.1.....П = 4,

j-t

гда i = nigi i? = sтт-т-(k: = -2-3) и dn= n +1= s.

В монографин [11] для многочленов Лежандра приведены результата расчетов при п = г.э,*.

Значения элементов множества {С(х.)>, постоянных с^ (к = o,i,...,n) и коэффициентов Ak (k = o,i,...,n) ряда с 4,55 для многочленов Tk(x),Uk(x) и Рк(х) не зависят от выбранного при расчете значения

Изучение структуры общих формул с 425 -с 4« из теоремы и их частных случаев для многочленов T(x),U(x) и Р(х) соответственно показывает, что здесь удобнее взять i. в этом случае некоторые формулы и вычисления упрощаются, а другие формулы приобретают иной смысл.

Множества {w(x.)v и <С(х.)> при i будут идентичны друг другу, т.е. Мх.)>= -(С(х.Н.

Формула для определения постоянных d^ будет теперь иметь

вид: =^*С(х.) Rj(x.) ="2"(xj) ^Ц) = сзэз

i=i j=» Выражение сзээ является квадратом нормы многочлена R^ (х)

при k = o,i.....п. Нормирующие множители Ь* и постоянные с^

будут связаны теперь между собой известной формулой:

= -g-, к = 0,1 .....Ц.11

где d^ - это квадрат нормы многочлена R^x).

Сравнение всех трех видов последовательностей, содержащих многочлены I(x),U(x) и Р(х), показывает, что самыми простыми, а значит и самыми удобными в приложениях, являются последовательности, построенные на основе многочленов Чебышева первого рода или многочленов Лекандра.

Для многочленов Чебышева первого рода при ^ = i и произвольном п основные формулы имеют вид:

X = = (X) = o>;i>, 3 = 1,2.....n + 1; <5«

X = otj» = 1-1; lUn_m(x)'» о>; 1} = = <С03 (П+1-3)" = ifZ.....п + !).; С553

Тм1(х)-Тп.я(х) = 0 при п-четном, (x)-Tn.t (х) = 0 при п-нечетном;

при d = i иЗ = п + 1 г при J = 2,3,...,п;

с^ = ^СЦ) ТЦЦ), k = o,i.....п, <585

j=l

где d0 = dn = гп и dk = п при к = i ,2,... ,n - i;

С 56)

MXjiV = = I 1 """ " " " " ' С57>

tk(x) = b^Cx), b* = i/dk при к = o,i.....n, ts95

где b* = b* = 1/2П ib' = i /п при к = i ... ,n - i;

fJx> = -rü " (Т'*Ц> w] ce0>

где символ E означает, что первое и последнее слагаемое суммы делятся на два.

Цри выбранном п вычисления по формулам cs-o-cse:) дают, естественно, одао и гоже' дискретное множество точек.

Интерполяционный многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения СбОЗ получен путем подстановки <573 И с 585 В С 453 и некоторых простых преобразований.

Аналогично для многочленов Лежандра порядка п при i имеем:

X = = <PJx) = о}; i}, j = j,2,...,n + i; cei> Mx )* = <СЦ)> = {P;z(x.)f, 3 = i ,г.....n + i; с623

= £С(Х.) í£(X.), k = 0,1,...,П, С633

j»»

где = n(n +■ i )/{2k + i) при k = o,i.....n-i min =nti;

t'(x) = \Рк(х), b* = при k = o.i,...,n, ce«

где b* = (2k + i )/n(n + i) при k = o,i,...,n-i и b* = í/n+i;

rl Гт>-*-1 ^

I p;2(x) l(x) pk(Xj) Pk(x). C6S3

Приняв n, формулы с613 - с653 позволяют найти требуемое дискретное множество точек, значения весовой функции, ортонормированию последовательность многочленов Лежандра и интерполяционный многочлен функции Г(х) из пространства L2(-i,i j").

Формулы с 54з—с боз для многочленов Чебышева первого рода и формулы <613-<653 для многочленов Лежандра позволяет существенно расширить область применения этих многочленов в приклад-вой математике и физике.

Изложенные выше результаты, полученные для многочленов Чебышева и Лежандра, можно интерпретировать более широко.

Многочлены Tn(x),Un(x) и Р„(х) простым образом связаны с

многочленами Якоби (х). Здесь следует брать а = р\

а = р = -1/2 ДЛЯ многочленов Т (X), а = (1 = 1/2 для многочле-

и

НОВ Un(X) И а = (i ш о для многочленов Рп(х).

Многочлены Гп(х),ип(х) и Рп(х) и ультрасферические многочлены (Гегенбауэра) C¿a)(x) = (х), где всегда « > -1/2,

также связаны между собой известными формулами.

Переходя от частных случаев изученных многочленов к общему, можно действие сформулированной выше теоремы распространить: на многочлены Якоби общего вида Р^а,^(х)(*,Р > -1), многочлены Гегенбауэра многочлены Чебышева Тп(х) и

ип(х) и многочлены Лежандра Рп(х).

Полученные ортонормированию последовательности многочленов группы Якоби (в частности, многочленов Чебышева первого и второго рода и многочленов Лежандра) одной переменнной позволяет построить ортонормированные последовательности многочленов двух переменных, дискретное множество точек для которых лежит внутри квадрата (-1 < х < 1, -1 < у < 1). Аналогично для трех переменных, когда дискретное множество точек лежит внутри куба (-1 < x £ 1 , -1 £ у < 1 , -1 < 2 £ 1 ).

Рассмотрены вопросы интерполирования функций одной и двух переменных с применением рядов Чебышева и Лежандра.

Для рядов по многочленам Чебышева первого рода в пространстве равномерного приближения С(а,Ь) получена оценка погрешности интерполирования.

На основе этой оценки доказано, что при интерполировании функции с применением рядов по многочленам Чебышева первого рода лучше выбирать четное значение п.

Также показано, что при интерполировании функции и ее производных рядами разного порядка лучше применять ряды по многочленам Чебышева первого рода, а не ряды Лежандра.

На основе интерполяционного многочлена (45) получены новые квадратурные формулы, где были использованы многочлены Чебышева первого рода и многочлены Лежандра.

Интерполирование же функции с последующим вычислением интеграла от нее лучше выполнять на основе рядов Лежандра.Этот случай имеет место, например, при решении интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром в виде интерполяционного двойного ряда Чебышева или Лежандра.

Для двух канонических областей (квадрат и круг) в книге С.Пашковского "Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева" изложен аналитический метод решения уравнений Пуассона и Лапласа, где приближенное решение этих уравнений представлено в виде двойного ряда по многочленам Чебышева пер-

вого рода:

кмо ¿«о

Специфика решения таких задач с применением двойных рядов Чебышева состоит в том, что кроме задания граничных условий нужно еще составить определенное число дополнительных уравнений. Число дополнительных уравнений можно определить, например, так: каадой паре значений к и t, где к > 2 и t > 2, соответствует одно дополнительное уравнение.

Дополнительные уравнения для областей в виде квадрата и круга можно составить по методу С.Пашковского.

В статьях £4,91 и в монографии (III исследовалось то множество точек, где выполняется уравнение Лапласа.

Оказалось, что в простейших случаях для области в виде круга это такие кривые, как окружность и эллипс или точки их пересечения. Поэтому дополнительные уравнения можно составить иначе: задать координаты точек, где должно выполняться уравне-.ние Лапласа для решения в виде двойного ряда Чебышева till.

Также дополнительно можно задавать внутренние условия -потенциал в точках внутри области 19,11].

При решении этих задач также возможно применение вариационных методов (в частности, метода Ритца) (6,III.

Наконец, дополнительные уравнения можно получить путем минимизации невязки уравнения Пуассона (или Лапласа) методом наименьших квадратов в двух сечениях: х=о и -i £ у s i; у=о и -1 s х s 1. Такое решение приведено в СШ.

Полученные результаты при решении уравнения Лапласа для областей в виде квадрата и круга с применением двойных рядов, содержащих многочлены Чебышева первого рода, можно применить при решении уравнений Лапласа и Пуассона для таких полигональных областей, которые можно вписать в квадрат Н < х z i и -i < у < 1). Полигональная область- это замкнутый многоуголь7 ник. Из изложенного ранее следует, что такие области (пазы) могут применяться в электрических машинах.

При решении, например, уравнения Лапласа для полигональной области дополнительные уравнения можно составить: путем задания внутренняя условий, применением вариационного метода Ритца или путем минимизации невязки уравнения Лапласа по способу наименьших квадратов.

В монографии [III и в работе рассматривается пример расчета магнитного поля полукруглых пазов, где паз и часть воздушного зазора (см. рис.7) образуют полигональную область, для которой были заданы граничные и внутренние условия. Потенциал внутри области был замерен на прямой электрической модели трех зубцовых делений.

В монографии СШ также приведено решение задачи по расчету магнитного поля в плоском воздушном зазоре для треугольных пазов с прямым углом на дне, где для подобласти паза (квадрата) применен при решении уравнения Лапласа метод С.Панковского.

Разработанныя теория интерполяции функций одной и двух переменных позволяет применить ряды по многочленам Чебышева первого рода или по многочленам Лежандра для решения интегральных уравнений Фрвдгольма, заменяя заданное ядро уравнения К(х,у) вырожденным в виде двойного интерполяционного ряда Кп(х,у), где п - порядок многочленов по переменным х и у. Искомую и известную функции также надо представить в виде рядов такого же порядка.

Выполнив интегрирование в исходном уравнении и приравнивая из обеих частей вновь полученного уравнения коэффициенты при многочленах (Чебышева или Лежандра) одинакового порядка (k=o,i.....п), получим систему линейных алгебраических уравнений. Решением этой системы уравнений будут неизвестные коэффи- ■ циентн искомой функции уравнения Фредгольма.

В монографии (III приведено решение линейного интегрального уравнения Фрвдгольма вторго рода с применением рядов по многочленам Чебышева первого рода, а в работе-решение того же уравниения с применением рядов Лежандра. Порядок многочленов в обоих решениях был одинаков и равен четырем.

На основе всего изложенного в шестой главе и монографии [II) можно сделать следующий вывод: исследования по многочленам группы Якоби (в частности, многочленов Чебышева первого и второго рода и многочленов Лежандра) имеют фундаментальное значение в математике и широкий спектр применения в математической физике и, в частности, в теоретической электротехнике.

Полученные результаты использованы при исследовании и расчете электрических машин разных типов, что изложено в седьмой главе.

Нахождение величины отношения разности потенциалов в кольцевом воздушном зазоре к разности потенциалов в плоском воздушном зазоре при отсутствии пазов позволило установить ту границу, когда кривизной воздушного зазора в электрических машинах при расчете их магнитных полей можно пренебречь.

Если R/6 > so (R - внутренний радиус магнитопровода статора и <5 - воздушный зазор), то кривизной зазора при расчете можно пренебречь. У турбогенераторов, где W& « so, расчет полей надо вести с учетом кривизны воздушного зазора.

Глубину пазов с параллельными стенками на роторе индукторных машин следует выбрать так, чтобы h/b < о,625. Аналогично пазы в виде части кольца следует выбирать так, чтобы г4/г < < е0'"2®'5 (см. рис.5).Пазы с параллельными стенками на роторе синхронных реактивных машин надо брать так, чтобы h/b * 0,75.

Для расчета аксиальных электрических машин разработан и широко апробирован метод электромагнитного расчета магнитной цепи. В основу этого метода положены принцип разбиения магнитной цепи машины на расчетные модули, число которых мокет быть от трех до двенадцати, и закон полного тока.

Системой равноостоящих коаксиальных цилиндрических поверхностей магнитопровод машины разбивается на модули (части). Расчет магнитной цепи каждого модуля ведется по его среднему диаметру. Необходимо найти в воздушном зазоре такое распределение магнитной индукции, при котором намагничивающие силы всех модулей одинаковы и равны заданной намагничивающей силе обмотки возбуждения. Для учета разгрузки ярма за счет ответвления магнитного потока в зубец предложено при расчете использовать расчетную высоту ярма: h„p5C= йя + 0,2s Шя- высота ярма, Ьа - ширина зубца для машины с открытыми пазами на статоре).

В процессе исследований были рассчитаны, сконструированы, изготовлены и испытаны асинхронные торцовые короткозамкнутые двигатели разной ыощности(100 Вт,180 Вт,10 кВт,40 кВт и 75кВт) и разного назначения. Двигатели были испытаны в разных режимах: нагрузки, холостого хода и короткого замыкания.

Расчетные данные двигателя АТДВ-10/3000 следующие:

*2Н = 10 К®Т' и»л = 220/380 В» 11Н = 35,3/20,4 А, Г7н = 0,833, COS Р =0,891 и S =0,05; М /М = 0,93, М /М = 2,01 и S =0,214;

И Н ПК т н m

Io= 5,43 А И COS *>0 = 0,181 .

Аналогичные опытные параметры двигателя АТДВ-Ю/ЗООО: Р = ю кВт, U = гго/зао В, I = зв, г/го.а A, w = о, его,

2Н' 1/1 iH Н

COS =0,802 и 3„ =0,0533; М„/М = 1,085, М /М = 1,89 И

М Н ПН W И

Sm= О, 1Q7; 1о= 5,80 А И COS <Ро = 0,10.

Расчетные и опытные данные хорошо совпадают друг с другом.

Опытные номинальные параметры двигателя АТДВ-40/3000: Р =40 кВт, U = 220/380 В, I = 134/77,25 А, П = 0,881,

2М 1Л IM Н

COS Р =0, 802 И 3 =0, 02.

н м

Оштные номинальные параметры двигателя АТДВ-О,18/3000: р = 180 Вт, U = 380 В, I = 0,485 А, П = 0,71,

ZH 1/1 1Н л

COS Рн=0,79 и SH=0,1 .

Все изложенное выше подтверждает эффективность цредложен-ного метода электромагнитного расчета аксиальных электрических машин и основных конструктивных и технологических решений, перспективность применения таких машин в рабочих механизмах разного назначения: вентиляторах,нагревателях,насосах,прессах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты проведенных исследований формулируются следующим образом.

I. Предложены и обоснованы математические модели для расчета полей симметричных устройств из П-образных электродов и симметричных электронных линз из плоских электродов. Установлена корректность моделей, получено аналитическое решение задачи путем разбиения всей расчетной области на две части (подобласти) в случае симметричных устройств из П-образных электродов и симметричных электронных линз. В случае асимметричных электронных линз расчетная область разбивается на три подобласти. В предложенной модели все геометрические размеры устройств из П-образных электродов и электронных линз конечны.

Найден эффективный способ оценки влияния высоты П-образ-ных электродов (длины электродов электронной линзы) . на картину^оля в устройствах. Показана возможность упрощения всех расчетных формул, если отношение высоты П-образных электродов к их ширине больше значения 0,75. Для электронных линз это будет отношение длины электродов к их ширине.

Сравнение' полученных результатов расчета поля симметричной линзы на предложенной модели и известного решения из литературы методом конформных преобразований, где зазор между электродами линзы бесконечно мал при бесконечно длинных электродах, показало существенные преимущества предложенной

модели и решения на ее основе. Возможно применение предложенного аналитического метода и при расчете полей более сложных, устройств (например грехэлектродных плоских линз, где подобластей будет пять), если изменение потенциала в воздушных зазорах между электродами считать линейным.

Для рассматриваемых устройств найдены решения более общего типа, где допущение о линейности распределения потенциала в зазоре между электродами является лишним и для получения численных результатов требуется применение ЭВМ. Даны рекомедации по конструированию устройств из П-образных электродов и электронных линз.

2. Разработана и обоснована математическая модель для расчета полей осесимметричных электронных линз, состоящих из двух идентичных цилиндрических стаканов. Дан предварительный анализ связи между граничными условиями в зазоре меаду электродами и видом двух рядов Фурье - Бесселя, которые нужны при решении поставленной задачи. Получены два решения, одно из которых аналитичекое и точное. Другое - требует применения ЭВМ. Найдена аналитическая оценка влияния длины электродов линзы на картину толя в зазоре и даны рекомендации по конструированию осесимметричных линз: .следует брать i/R > 1 ( здесь: i -длина, R - радиус цилиндрических элементов). Проведено сравнение полученных решений с известными, где применен метод конформных преобразований для устройства с бесконечно малым зазором и бесконечно большой длиной электродов.

Показаны существенные преимущества полученных решений. Одно из решений (и соответствующий ему ряд Фурье - Бесселя, содержащий функцию Бесселя нулевого порядка первого рода и корни ее первой производной) аналогов в теоретической электротехнике не имеет.

3. Выполнен расчет толя пазов с параллельными стенками на модели сложной области, состоящей из двух прямоугольников разной ширины, но при строго определенном соотношении между числом членов рядов в выражениях для потенциалов подобластей

и величиной отношения ширины паза к зубцовому делению. Это соотношение (M/N = b/t) носит универсальный характер и должно выполнятся для пазов любой формы, что и было использовано при расчете полей арочных и полукруглых пазов конечной и бесконечной глубины и треугольных пазов со скругленным дном.

Разработан алгоритм численного решения задачи на ЭВМ,

который включает систему алгебраических уравнений, составленную на дискретном множестве точек.

Путем сравнения результатов расчета полей для пазов конечной и бесконечной глубины, которые рассчитаны по этому алгоритму на ЭВМ типа ЕС, и данных других авторов, где применяется метод конформных отображений и только два или три параметра расчетной области из четырех конечны, показана высокая точность полученных результатов.

Полученные численные результаты имеют важное функциональное значение при проектировании электрических машин и используются далее при анализе параметров полей пазов иных форм.

Аналитически установлена граница влияния глубины пазов на картину шля.

Значение отношения глубины паза к ширине паза, когда оно равно 0,75, является той границей, когда паз конечной глубины уже можно считать бесконечно глубоким. Результаты численных расчетов поля подтверждают правильность аналитической оценки.

4. Предложенная математическая модель для расчета поля в цилиндрической системе координат для сложной области, которая была представлена в виде двух соприкасающихся частей колец (круговых прямоугольников), позволяет вести расчет поля в кольцевом воздушном зазоре индукторных машин. Оригинальное преобразование решения для подобласти паза позволило разработать алгоритм численого рещения задачи на ЭВМ, который аналогичен алгоритму решения задачи для сложной области, состоящей из двух прямоугольников в декартовой системе координат. Это же преобразование позволило аналитически определить ту границу, когда паз конечной глубины уже можно считать бесконечно глубоким: гж/го= (здесь: Р - центральный угол паза; г0-радиус то дну пазов; г1 - внесший радиус ротора).

В сферической системе координат на плоскости найдено оригинальное решение уравнения Лапласа для подобласти в ввде кругового прямоугольника (части кольца).

5. Разработан модифицированный метод Шварца, и в качестве примера реализован на ЭВМ алгоритм численного расчета поля треугольных пазов со скругленным дном с применением предложенного модифицированного метода Шварца.

Предоложенному модифицированному методу Шварца присущи достоинства классического альтернирующего метода Шварца: простота алгоритма, высокая точность и малое время счета на ЭВМ.

Модифицированный метод Шварца лишен тех недостатков, которые имеет классический метод: необходимость предварительно задавать распределение потенциала на одной из границ общей части двух подобластей, итерационность процесса счета и потребность задавать погрешность, чтобы процесс расчета закончить.

Оба метода имеют одно важное достоинство: на гарницах общей части двух подобластей приравниваются значения потенциалов этих подобластей 'и нет необходимости в процедуре дифференцирования потенциалов по одной из переменных, ибо дифференцирование рядов Фурье приводит к ухудшению их сходимости.

эффективность предложенного лодфщироважого метода Шварца показана на численных примерах.

6. Обобщение задачи по расчету поля возбуждения в плоском воздушном зазоре индукторных машин с полукруглыми пазами позволило установить все те возможные формы ортогональных областей ( пазов у электрических машин ), для которых в бицялиндри-ческой системе координат на плоскости можно получить решение уравнения Лапласа. Таких возможных форм пазов будет девять: арочные, полукруглые и -3-образные пазы конечной и бесконечной глубины, шатровые и др.

По аналогии с пазами в виде прямоугольника или части кольца (кругового прямоугольника) для всех возможных форм пазов в бицилиндрической системе координат получена оценка влияния глубины пазов на картину поля. Такой универсальный аналитический метод оценки глубины пазов стал возможен благодаря тому, что для всех рассмотренных пазов тот параметр, который характеризует их глубину, всегда находится под знаком гиперболического тангенса.

Результаты численных расчетов поля трех форм пазов: арочных пазов бесконечной глубины, пазов с параллельными стенками и треугольных пазов с малым радиусом по дну - показывают, что параметры поля этих пазов логически и численно хорошо соответствуют друг другу. Это имеет место, если у всех этих пазов одинаковы: зубцовое деление, величина воздушного зазора, ширина пазов и их глубина, которая существенно больше ширины пазов.

Метод оценки влияния глубины пазов на картину поля в

зазоре можно распространить на область в любой ортогональной системе кординат на плоскости, если границы этой области совпадают с координатными линиями.

7. Разработана общая теория ортогональных многочленов группы Якоби на дискретном множества точек, которое содержит нули первой производной соответствующих многочленов и числа -1 и 1.

Детально изучены наиболее известные многочлены из группы Якоби: многочлены Чебышева первого и второго рода и многочлены Лежандра.

Изложена разработанная теория рядов Чебышева и Лежандра на дискретном множестве точек для функций одной, двух и трех переменных.

Подробно рассмотрены вопросы интерполирования и интегрирования функций с применением рядов Чебышева и Лежандра. Показаны области их эффективного применения.

Исследованы метода решения линейных интегральных уравнений Фредгольма с выровденным ядром в виде интерполяционных полиномов двух переменных, содержащих многочлены Чебышева первого рода и многочлены Лежандра.

Предложены и исследованы методы решения уравнений Пуассона и Лапласа для областей в виде полигональной функции (замкнутого многоугольника). Исследованы: вариационный метод Ритца; метод, где задаются координаты тех точек, в которых должно выполняться уранение Лапласа; метод решения, когда задаются граничные и внутренние условия; метод минимизации невязки уравнения Пуассона (Лапласа).

8. Установлена та граница, когда кривизной воздушного зазора в электрических машинах при расчете их магнитных полей можно пренебречь. Этой границей является значение отношения R/<s = 50 (здесь:й - внутренний радиус магнитопровода статора и <5 - воздушный зазор).

Если R/<5 < 50, то расчет поля машин надо вести с учетом кривизны воздушного зазора. Отсюда,' например, следует важный вывод о том, что у турбогенераторов расчет полей всегда надо вести с учетом кривизны воздушного зазора. При расчете, полей других электрических машин кривизной воздушного зазора можно, как правило, пренебречь.

9. При конструировании ротора синхронных реактивных двигателей надо выбирать размеры открытого паза по поперечной оси

так, чтобы отношение глубины этого паза к его ширине было,примерно, равно 0,75.

10. Предложен метод электромагнитного расчета аксиальных электрических машин,в основу которого положены принцип разбиения магнитной цепи в радиальном направлении на расчетные модули и закон полного тока. Число расчетных модулей может быть от трех до двенадцати. Высокая эффективность предложенного метода доказана испытанием большого числа асинхронных торцовых машин разной мощности и разного назначения.

11. Рассмотрены особенности распределения магнитного потока в ярме статора аксиальных машин с открытыми пазами и показано существенное влияние зубцов на поле в ярме, так как ширина зубцов на внешнем диаметре магнитопровода может, примерно, в три раза превосходить ширину паза.

Предложен способ учета влияния зубцов на величину намагничивающей силы ярма. При определении индукции в ярме аксиальных электрических машин вводится его расчетная высота.

12. При конструировании ротора синхронных индукторных машин цилиндрического типа с малым числом пазов, выполненых в виде части кольца (кругового прямоугольника), предложено выбирать радиус по дну этих пазов так, чтобы соблюдалось условие: гуг0 < ( где т4 - внешний радиус ротора, гс - радиус по дну пазов и р - центральный угол паза.

Предложенные аналитические и численные методы решения уравнения Лапласа методом разделения переменных при расчете полей сложных и неортогональных областей, результаты анализа потенциальных полей в электронных линзах и электрических машинах, полученные оценки влияния глубины пазов (одного из параметров расчетных областей) любой формы на картину поля в устройстве, результаты исследований по применению двойных рядов Чебышева и Лежандра при приближенном решении уравнений Пуассона и Лапласа для полигональных областей и при решении линейных интегральных уравнений Фредгольма, разработанный и широко апробированный метод электромагнитного расчета аксиальных электрических машин - все это найдет применение при теоретических исследованиях, проектировании и конструировании различных электротехнических устройств.

Результаты исследований: по теории ортогональных многочленов группы Якоби на дискретном множестве точек ( в частности, многочленов Чебышева первого и второго рода и многочленов

Лежандра); по теории рядов Чебышева и Лежандра одной, двух и трех переменных; по применению рядов Чебышева и Лежандра при интерполировании и приближенном интегрировании функций - имеют важное значение в математике и широкий спектр применения в математической физике и, в частности, в теоретической электротехнике .

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Стрельцов И.П. Неитерационный метод решения задачи Дирихле на примере расчета магнитного поля треугольных пазов //Электромеханика. -1984.№12.-0.24-30. (Изв .высш.учеб.заведений)

2. Стрельцов И.П. Аналитическое решение задачи по расчету магнитного поля полукруглых пазов // Электромеханика.-1985.-Ж.-С. 21-27. (Изв. высш. учеб. заво дений).

3. Стрельцов И.П. О расчете магнитного поля в кольцевом воздушном зазоре для пазов в виде кругового прямоугольника //Электромеханика.-1985.ШО.-С. 15-19. (Изв.высш.учеб.заведений).

4. Стрельцов И.П. Применение рядов Чебышева при решении одной краевой задачи // Электромеханика. -1989.-Ш.- С. 30-35. (Изв.высш.уче б.заведений).

5. Стрельцов И.П. Поле фокусирующего устройства электронного ускорителя // Электромеханика.-1989.-.№2.-С.20-24. (Изв. высш.учеб.заведений).

6. Стрельцов И.П. Вариационный метод решения задачи Дирихле с применением двойных рядов Чебышева для круга // Электромеханика . -1989. №4. -С. 8-13. (Изв. высш. уче б. заведений).

7. Стрельцов И.П. Об одной задаче расчета магнитного поля в кольцевом воздушном зазоре //Электромеханика.-1989.-Ш1.~ -С.40-45.(Изв.высш. учеб.заведений).

8. Стрельцов И.П. О расчете магнитного поля арочных и полукруглых пазов конечной глубины // Электромеханика.-1990.--№1. -С. 30-34. (Изв. высш. учеб. заведений).

9. Стрельцов И.П. Решение уравнения Лапласа для круга с применением двойных рядов Чебышева и внутренних условий //Электромеханика . -1990.-Х2.-С.27-31.(Изв.высш.учеб.заведений).

10. Стрельцов И.П. Об одном методе оценки точности решения уравнения Лапласа с применением двойных рядов Чебышева для круга // Электромеханика.- 1990.- ЯЗ.-С. 11-17.(Изв. высш. учеб. заведений).

11. Стрельцов И.П. Ряды Чебышева и Лежандра на непрерывном и дискретном множестве точек.Новочерк.Политехи.ин-т.,Ново-

черкасск, 1992. - 210 с.

12. Водяник Г.М., Стрельцов И.П. Новый привод вентиляторов встречного вращения типа НЖ // Тр.ин-та /Новочеркасский политехи, ин-т.-1962.-т.137.

13.Стрельцов И.П. Определение машинной постоянной и геометрических размеров асинхронных аксиальных торцовых двигателей двойного вращения // Электромеханика.-1967.-Jfö. Шзв. высш. учеб.заведений).

14. Стрельцов И.П." Испытание асинхронных аксиальных торцовых двигателей двойного вращения, работающих на вентиляторную нагрузку // Тр.ин-та /Новочеркасский политехи.ин-т.-1967.-т.171. '

15. Водяник Г.U.,Крутиков В.С.,Стрельцов И.П..Чернов О.В. Динамика нагрева элементов закрытых торцовых электродвигателей при заторможенном роторе //Тр.ин-та /Новочеркасский политехи. ИН-Т.-1975.- т.334.

16. Стрельцов И.П., Юрченко А.И. Применение торцовых электродвигателей для привода шахтных (угольных) центробежных насосов // Изв.Сев.-Кавк.-научн.центра высшей школы.Техн.науки.-1977. JK3.

17. A.C. 214725 СССР, МКИ 27с 7/05. Осевой многоступенчатый вентилятор / Г.М.Водяник, П.С.Карастан, В.С.Крутиков, И. П. Стрельцов. -Опубл. в Бкш.-1968.-Ш.

18. A.C. 430466 СССР, МКИ Н 02к I/I6. Якорь торцовый электрической машины / И.П.Стрельцов.-Опубл. в Eüui.-I974.-Jfö0.

19. A.C. 785120 СССР, МКИ В 65Д 88/74. Устройство для разогрева застывающих жидкостей / Г.М.Водяник, В.С.Крутиков, И.П.Стрельцов и др.-Опубл. в Бюл.-1Э80.-,№45.

20. Водяник Г.М..Крутиков B.C..Ефимов В.А. .Стрельцов И.П. Трехступенчатый осевой вентилятор встречного вращения В0Т-8 //Ростовский 1ЩГИ, 1983. Информац. листок М9 о научно-техн. достижении Ш3-36.

В работах £12,15,16], написанных в соавторстве, диссертанту принадлежат: электромагнитный расчет двигателей, выбор геометрии двигателей и описание их конструкции.