автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование линейно-упругих систем сложной конфигурации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи^

005019987

Матросов Александр Васильевич

Математическое моделирование линейно-упругих систем сложной конфигурации

Специальность 05.13.18 —математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

5 ДПР 2012

Санкт-Петербург 2012

005019987

Работа выполнена на кафедре информационных систем факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Даль Юрий Михайлович (СПбГУ)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кирсанов Михаил Николаевич (НИУ МЭИ)

доктор физико-математических наук, профессор Утешев Алексей Юрьевич (СПбГУ)

доктор физико-математических наук, профессор Флегонтов Александр Владимирович (РГПУ им. А. И. Герцена)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

морской технический университет

Защита состоится » сМ> 2012 г. в <1 часов на заседании

диссертационного совета Д.212.232^50по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9. Автореферат размещен на сайте ВАК.

1х

Автореферат разослан « Н^І/) 2012

Ученый секретарь диссертационного

доктор физико-математических наук, профессор (СПбГУ) Курбатова Галина Ибрагимовна

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В практике расчета сложных сооружений или конструкций превалирует тенденция к рассмотрению их как единого целого без декомпозиции на простые составляющие элементы, расчет которых может быть выполнен независимо друг от друга на основе простых моделей. Такой подход предполагает разработку математических моделей, адекватно отражающих работу всей конструкции, а не отдельных ее частей. Он основывается на дискретизации сложной конструкции на элементы небольших размеров и аппроксимации в них компонентов напряженно-деформированного состояния на базе различных критериев, приводя к численным схемам расчета сооружений. В настоящее время широко используются три способа дискретизации конструкции: в виде сетки, конечных элементов и граничных элементов. Предполагается, что уменьшение размеров ячеек сетки, конечных и граничных элементов приводит к уточнению напряженно-деформированного состояния конструкции, в пределе сходясь к аналитическому решению на основе подходов механики деформируемого твердого тела.

В настоящее время наибольшую популярность получили программные комплексы на основе конечных элементов как предметно-ориентированные, например, SCAD для расчета строительных конструкций, так и универсальные, предназначенные для расчеты различных физических полей, например, ANSYS. Однако н они имеют недостатки, например, пользователь должен заранее выделять области с резким изменением характера напряженно-деформированного состояния, разбивать их на элементы малых размеров, и, для достижения заданной точности, использовать конечные элементы высокого порядка, что априори может оказаться не очевидным. Подобные «проблемы» могут быть решены, если для моделирования сложных конструкций использовать системы, основанные на численно-аналитических решениях теории упругости, которые не требуют от расчетчика знаний о характере напряженно-деформированного состояния конструкции в различных ее частях.

С появлением систем компьютерной математики (Maple, Mathematica и др.) разработка и реализация аналитических и численно-аналитических методов расчета поднялась на новый уровень. Возможность в этих системах манипулировать аналитическими выражениями, производить вычисления с вещественными числами с

3

мантиссой практически неограниченной длины позволила преодолеть недостатки некоторых алгоритмов построения аналитических решений задач механики твердого тела.

Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов моделирования линейно-упругих систем сложной конфигурации. Данная проблема актуальна, поскольку:

1. численно-аналитические решения плоской и пространственной теории упругости позволяют получить решение в виде рядов по определенной системе функций, не прибегая к дискретизации ни оператора задачи, ни области, в которой оно ищется;

2. численно-аналитические решения задач механики деформируемого твердого тела могут выступать в качестве тестовых для различных численных методов и приближенных теорий.

Цели и задачи работы

Целью работы является разработка универсального подхода к построению численно-аналитического решения широкого класса линейно-упругих систем сложной конфигурации, образованных из соприкасающихся анизотропных прямоугольных областей с различными условиями контакта по граничным линиям.

Для достижения указанной цели были решены следующие задачи:

1. Разработан алгоритм построения общего решения для анизотропной упругой прямоугольной области на основе решений, получаемых методом начальных функций.

2. Исследована вычислительная устойчивость алгоритма метода начальных функций.

3. Разработан алгоритм расчета упругих систем, представимых в виде множества соприкасающихся прямоугольных областей произвольных конечных размеров.

4. Разработано программное обеспечение в системе аналитических вычислений Мар1е.

5. Решен ряд задач прикладного характера с помощью разработанного программного обеспечения .

Методы исследования

В работе используются идеи метода суперпозиции построения общего решения уравнений статики линейной теории упругости, метода начальных функций и символического способа построения решений дифференциальных уравнений в частных производных.

Научная новизна

Новыми результатами являются следующие:

1. Разработан и реализован алгоритм построения общего решения для упругой анизотропной прямоугольной области, позволяющий удовлетворять не только граничным условиям, заданным в виде смещений и внешних напряжений, но и смешанным граничным условиям (нормальная составляющая смещения и касательная составляющая внешнего напряжения или нормальная составляющая внешнего напряжения и касательная составляющая смещения).

2. Исследована вычислительная устойчивость алгоритма метода начальных функций в зависимости от используемой при расчетах длины мантиссы в представлении вещественных чисел.

3. Разработан и реализован алгоритм расчета линейно-упругой неоднородной системы сложной конфигурации на основе ее разбиения на составляющие прямоугольные области конечных размеров.

4. Численно-аналитические решения можно использовать в качестве эталонных при тестировании численных методов расчета (методы конечных разностей, граничных элементов, конечных элементов).

5. Создан и апробирован комплекс программ «МТРЗирегроаИюп» для моделирования линейно-упругих систем сложной конфигурации.

Практическая значимость

Полученные в диссертации результаты имеют практическое значение:

1. Решены практические задачи механики: растяжение и изгиб прямоугольной полосы с трещиной, изгиб балочных перекрытий, расчет напряженно-деформированного состояния балки-стенки на двухслойном основании и головы шлюза на скальном основании.

2. Разработанный комплекс программ «М1Р8ирегрозШоп» проще в использовании по сравнению с традиционными пакетами на базе метода

конечных элементов: сложная система естественно и просто разбивается на составляющие ее конечные прямоугольные области, отсутствует необходимость предварительного анализа системы на наличие сингулярных точек и «подбора» высокоточных конечных элементов в окрестностях этих точек.

3. Комплекс программ «МП^ирегровШоп» использовался для расчета балочных перекрытий, определения коэффициентов податливости листовых конструкций специальных подкреплений в разработанной на кафедре конструкций корпуса Санкт-Петербургского государственного морского технического университета системы проектирования и оценки технического состояния судовых конструкций <<SYSCHECI<.».

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Алгоритм моделирования напряженно-деформированного состояния анизотропной прямоугольной области, находящейся в условиях плоской задачи линейной теории упругости. Он основан на двух решениях, построенных с помощью метода начальных функций.

2. Доказательство регулярности операторов метода начальных функций для анизотропного тела.

3. Замкнутые формы операторов метода начальных функций на основе подхода на базе уравнений теории упругости в перемещениях для случаев ортотропного и изотропного тела.

4. Доказательство сходимости степенных рядов решений метода начальных функций в случае произвольной анизотропии при использовании в качестве начальных функций тригонометрических синусов и косинусов.

5. Алгоритм расчета плоских линейно-упругих систем сложной конфигурации, представимых в виде совокупности соприкасающихся анизотропных прямоугольных областей с различными условиями сопряжения на гранях.

6. Области вычислительной устойчивости разработанных алгоритмов математической модели.

7. Комплекс программ МШБирефовйоп в системе аналитических вычислений Мар1е для моделирования и визуализации получаемых результатов поведения линейно-упругих систем сложной конфигурации.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректным применением методов математического моделирования, теории упругости анизотропных тел и вычислительной математики. Результаты расчетов тестовых задач с помощью разработанного комплекса программ «MIFSuperposition» совпадают с результатами их численного моделирования методом конечных элементов.

Апробация результатов диссертации

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на различных конференциях и семинарах: First International Conference on Composite Science and Technology (ICCST/1), Durban, South Africa, 1996; 3rd EUROMECH Solid Mechanics Conference, Stockholm, Sweden, 1997; Second International Conference on Composite Science and Technology (ICCST/2), Durban, South Africa, 1998; 12th International Conference on Composite Materials, Paris, France, 1999; постоянный семинар «Строительная механика» Санкт-Петербургского дома ученых (2002-2003); 22, 23 и 24 Международные конференции по математическому моделированию в механике деформируемых тел и конструкций, методы граничных и конечных элементов, ВЕМ-FEM 2005, 2009 и 2011, Санкт-Петербург; 111 и IV Международные научно-практические конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование» (Москва, МГУ, факультет ВМиК, 2005, 2009); Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии в образовании и науке» (ИТО-Поволжье-2007, Казань, 2007); Международная конференция «Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения» (RELMAS'2008, Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2008); Международная конференция «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленский государственный университет, 2009, 2010); семинар кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела, факультет прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, рук. проф. Ю. М. Даль, (2006, 2009, 2011); семинар кафедры теоретической механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета, рук. проф. П. Е. Товстик (2009); семинар под руководством акад. Н. Ф. Морозова, институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург (2009); Российская летняя школа

«Математическое моделирование в системах компьютерной математики», Казань-Яльчик, 2010.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 33 работы, из которых 10 в изданиях, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ для опубликования основных научных результатов диссертаций.

Структура и объем работы

Диссертация содержит 269 страниц текста, в том числе 9 таблиц и 80 рисунков, и состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 197 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цели работы и представлен перечень задач, решение которых позволяет достичь указанных целей. Показана практическая значимость работы, отмечена ее апробация, изложены выносимые на защиту положения, описаны структура и объем диссертации, а также ее краткое содержание.

В первой главе вводится понятие линейно-упругой системы сложной конфигурации как системы, составленной из соприкасающихся анизотропных прямоугольников с различными условиями сопряжения и работающих в условиях плоской задачи теории упругости. Приведен обзор и анализ существующих подходов к построению аналитического решения линейно-упругой прямоугольной области в декартовой системе координат.

Отмечается перспективность совместного использования метода суперпозиции и метода начальных функций (МНФ) для разработки алгоритма получения численно-аналитического решения для анизотропной линейно-упругой прямоугольной области. Ставится цель исследования и приводится перечень задач, которые необходимо решить для достижения поставленной цели.

Во второй главе для анизотропной упругой прямоугольной области в декартовой системе координат Оху строятся два решения МНФ в виде операторных степенных рядов соответственно по координатам х и у, воздействующих на начальные функции задачи. Доказывается регулярность построенных операторных рядов для случая материала с произвольной анизотропией. Для ортотропного и

изотропного материала указанные операторные ряды суммируются в замкнутой форме с использованием гиперболических функций. Решения в виде тригонометрических рядов получаются в случае представления начальных функций в виде тригонометрических рядов. При этом для произвольной анизотропии коэффициенты рядов суть степенные ряды по одной из координат, а для ортотропии и изотропии выражаются через гиперболические функции. Приведены результаты расчета по МНФ анизотропных линейно-упругих прямоугольных областей с удовлетворением граничных условий на двух противоположных гранях.

В §2.1 уравнения равновесия в перемещениях в отсутствие массовых сил для прямолинейно-анизотропного тела записываются в матрично-операторной форме в виде

ЛУП = 0, (1)

где и = (м (х,у)} — вектор-столбец перемещений соответственно вдоль осей

х и у, а матрица (операторов Ламе) представляется в виде

\У =

Н1к8;+{Н[1+Ям)8хду + Н26д1 Иид2х +{Нп +Нь6)д,ду +Н2ьд) Над\ + 2Н2Ьдх8у + Н22д1у

Здесь

символы дх и дг обозначают операторы дифференцирования соответственно по независимым переменным х и у, а константы Н^ являются коэффициентами пропорциональности в обобщенном законе Гука

о=Й£. (2)

В (2) через я = |сту, г"г1, <тг | обозначен вектор-столбец напряжений, £ = — вектор-столбец деформаций, а компоненты матрицы Н=[я,>]

выражаются через упругие константы Аи анизотропного материала в зависимости от типа плоского состояния, в котором находится тело: плоская деформация или обобщенное плоское напряженное состояние.

В §2.2 строится общее решение уравнений Ламе (1) через две функции

й = \УЁ, (3)

удовлетворяющие дифференциальному уравнению в частных производных

(с^ХУ^О, 1=1,2. (4)

В (3) матрица \У = ], /, у = 1,2, составлена из алгебраических дополнений элементов матрицы \У; в (4) через сЫ W обозначен определитель матрицы АУ. Вектор напряжений а представляется через две функции (х,у) и Ь\(х,у) в

виде

б = (5)

'8,. О д„

используя (2), (3) и соотношения Коши с = Си, Ст =

О ду д,

Здесь

в = Н С\У — матрица дифференциальных операторов.

В §2.3 решено уравнение в частных производных (4). Использован предложенный А. И. Лурье способ рассмотрения его как обыкновенного дифференциального уравнения по одной из переменных. При этом символ дифференцирования по другой переменной считается некоторой константой, которая на определенном этапе снова выступает в качестве символа дифференцирования.

Уравнение (4) как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно переменной у записывается следующим образом:

{Щ + Щ + Щ + 5,8 у + 04)^=0 (6)

с коэффициентами £>у, / = 0,..., 4, выраженными через упругие константы материала, коэффициенты Нчг и символ дифференцирования дх.

Функции и Г2(х,у), входящие в общее решение уравнений теории

упругости (3), (5), находятся в виде рядов Маклорена

^ = 1//т7' ' = 1'2 (6)

к = 0

с коэффициентами , определяемыми из рекуррентного соотношения

+А7;+з++Д7;+1 + Д7; = о, 1=1,2, * = о,...*>. (7)

Функции !•] {х,у) представляются в виде линейных комбинаций своих начальных значений = друР{(х,у)| о (р = 0,1,2,3)

^ = А/07о +МЛ+МЛ +МЛ, (8)

где М, =£<//*!. р = 0,...,3, суть степенные ряды по переменной ^ с

*=о

коэффициентами, зависящими от упругих констант материала и символа дифференцирования 8Х. Эти ряды легко вычисляются с использованием

рекуррентного соотношения (8). Коэффициенты ряда Мр при начальном значении получаются из решения рекуррентного уравнения (7) с начальными условиями т£ =5кр (8кр —символ Кронекера, к = 0,1,2,3)

Мр=у1'/р\+^т'1:дк-1'ук/к!.

Вектор К функций общего решения можно выразить в виде

вводя в рассмотрение вектор-столбец Ё„ = {717'Л,7Ь7^7]\7}^} значений функций /Г и матрицу М =

(9)

(10) начальных

м„ мх м2 м} о о о о о о о о м0 м] м2 м}

Начальные значения функций (*,>') выражаются через начальные функции ио = |г70(.х),г70(.х),5:"(д;),т", (х)}, представляющие напряжения ст"(х) и т°,(я) и перемещения г70(х) и у0(х) на линии у = 0, в виде

Г„=РС0. (11)

где Р = , через Р„'' обозначена і'-ая строка матрицы

Ч

Р° 0 0

50 Г11

р» ро

д 0 1 д_ д 1

Рм Р* 0 0

ро

1 Л1

(элементы и Д выражаются через упругие

-3-дх -З-д, 1 о . д д '

константы материала), а через 0 обозначена нулевая вектор-строка размерности четыре.

Основное соотношение МНФ для случая задания начальных функций на линии у = 0 получено в виде

и=ьи„

(12)

подстановкой (11) в (10) и далее в (3) и (5).

В (12) и = |г7(х,у),у(х,у),ау(х,у),т11у(х,у),ах(х,у)} — вектор компонентов

напряженно-деформированного состояния, Ь = О' = 1,...,5, у = 1,...,4) —

матрица операторов МНФ, представляющихся степенными рядами с зависящими от упругих констант и символа оператора дифференцирования дх коэффициентами

(13)

*=0

Основное соотношение МНФ в предположении, что начальные функции ^о = (у)'^лт(у)} определены на линии х = 0, строится аналогично

соотношению (12), то есть

0 = Щ, (14)

где С = (.г, >>), V (л:, >>),(хг гг1 (х,у),<тх (х,у)}— вектор компонентов напряженно-деформированного состояния, (г' = 1,...,5, у = 1,...,4) —

матрица операторов МНФ вида

(15)

к=0

При этом уравнение в частных производных (4) рассматривается как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно независимой переменной х

(Ы+Да:+в2д]+5,8 х+В4)Р{ = о

с коэффициентами Dj, у' = 0,...,4, зависящими от упругих констант материала и символа дифференцирования д , а операторные ряды (9) принимают вид

мр=х?1р\+^кдк;гхк1к\.

к =4

При построении операторов МНФ (13) и (15) использовались соответственно операторные ряды М2, Мъ и Мг, Мъ и их производные по соответствующей независимой переменной.

В §2.4 показано, что корнями характеристических уравнений

+ ¿/,//3 + ¿У + + ¿/4 = 0 (16)

рекуррентных соотношений, которым удовлетворяют коэффициенты т1 и т[

(р = 2,3) рядов М2, Мъ и М2, А?,, могут быть только комплексные числа. Таким образом, в диссертации доказана

Теорема. Характеристические уравнения (16) не могут иметь вещественных корней.

С использованием этой теоремы доказано

Утверждение. Операторы д\М2, 8чуМ3 и З^А/,, 3'А?3, к = 0,...,1, где I — любое конечное целое, являются регулярными.

Операторы МНФ (13) и (15) представляются в виде линейных комбинаций соответственно операторных рядов М2, Л/, и М2, Мг и их производных до третьей включительно. С использованием этого факта доказана

Теорема. Операторы МНФ (13) и (15) являются регулярными.

В §2.5 получена замкнутая форма операторов МНФ в случае изотропного и ортотропного материалов. Характеристическое уравнение (16) для ортотропного (направления осей декартовой системы координат совпадают с главными направлениями упругости) и изотропного материала переходит в следующее

0. (17)

В случае двух пар чисто мнимых корней этого уравнения операторы МНФ представляются через тригонометрические функции

А, = Дн =Ни,[(Н22а? +Я12)со5(а,51у) +

(18)

+(-Н22а>-Н12)со*{а2дху)]/(Д2)' "'

£ 1 = 4 = [(-я, ,я22 + н;г + НпНы + я, ,я6 д2) соз(§,8ух) +

.. К Г=-=г=Л>--- (19)

+(я„я22 -я,2 -я12я66 -япя66«22)со8(«2а,д)]Д7^ -4^4)

где а,, а2 и а,, «2 — вещественные числа, выражающиеся через упругие константы материала.

Для изотропного тела с модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона у, находящегося в условиях плоской деформации, характеристическое уравнение (17) сводится к // + 2//+1 = 0, а операторы МНФ получаются в виде

= = _-ла,8ш(хЭ,) + 2(у-1)со8(*0,)

^ .... (21)

Для получения вида операторов в случае обобщенного плоского напряженного

у

состояния следует в формулах (20) и (21) заменить V на-.

1 + У

В §2.6 приведены алгоритмы построения разрешающей системы дифференциальных уравнений при решении задач методом начальных функций, а также представлен перечень всех граничных условий, которым можно удовлетворить при использовании метода начальных функций.

В §2.7 построены решения МНФ при использовании в качестве начальных функций тригонометрических функций синуса и косинуса.

Операторы МНФ (13) и (15) «замкнуты» относительно функций синуса и косинуса: результатом их воздействия на линейную комбинацию указанных функций будет также линейная комбинация этих же функций, коэффициентами которой будут степенные ряды по другой независимой переменной.

Для ортотропного и изотропного материалов операторы МНФ «замкнуты» также при представлении начальных функций по «синусам»

и~~" *т5.ю ( 1 ®.ж Ь 7 5,т И т 5,т Л т Л | «-» л

0 = ио =1«, ст,п2 .$т,/г, .5,„,/г4 ст> в случае начальной линии у = 0 или ио = = '^з'"15»'§4'"с»} в случае начальной линии х = 0 и по

«косинусам» С0 = Сд"' = > если начальная линия у = 0, или

= если начальная линия х = 0 , и ,

I = 1,...,4, произвольные константы, = я'т[ашх), с'1 = сох(атх), я" = яш (/?„>•), с° =соб (Р„у), ат =тл!1г, Д, = н;т/а, тип целые неотрицательные числа, Ли а положительные вещественные числа). При этом соответствующие векторы нанряженно-деформированного состояния получаются в виде

я-=, о«=,

4

4

4

ц-т = І ц;кт. ¿Г = . ¿Г" = ІДО* - Ц" =ІДО" • где ^личины ¿1=1

'-и-д .....4,

суть степенные ряды, получаемые в результате воздействия операторов МНФ на тригонометрические функции синуса и косинуса в соответствии с основными соотношениями МНФ (12) и (14). Доказана

Теорема. Степенные ряды (22) сходятся на всей вещественной оси. Если на линиях у = О и у = а бесконечной ортотропной полосы заданы периодические с периодом 2А силовые, или кинематические, или смешанные граничные условия, представимые тригонометрическими рядами Фурье, то суммы решений

решат поставленную задачу.

Часть постоянных И'/" и в решениях (23) или (24) известна из заданных на линии у = 0 граничных условий, тогда как неизвестные постоянные начальных функций определяются из условия удовлетворения граничным условиям на грани у = а прямоугольной области из систем линейных алгебраических уравнений второго порядка для каждой пары неизвестных постоянных при одной гармонике.

Подобные решения получаются и для бесконечной ортотропной полосы толщиной к при задании периодических ГУ на линиях х = 0, к

(23)

или

(24)

(25)

В третьей главе с помощью метода суперпозиции и двух полученных в первой главе решений МНФ строится общее решение для анизотропной линейно-упругой прямоугольной области.

В §3.1 построено общее решение для упругой прямоугольной анизотропной области (0,Л)х(0,й), основанное на методе суперпозиции Г. Ламе: если имеется два решения и, и и2, каждое из которых позволяет удовлетворить граничным условиям на соответствующих противоположных гранях прямоугольной области, то их сумма будет являться общим решением и для указанной области:

и = и, + и2. (27)

В диссертации построены общие решения для ортотропной и изотропной прямоугольных областей на основе решений МНФ по «синусам» (23), (25) и по «косинусам» (24), (26).

Представлен общий алгоритм расчета прямоугольной анизотропной упругой области с произвольными граничными условиями на ее гранях.

Решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений осуществляется методом редукции, который равносилен заданию начальных функций в двух выбранных решениях МНФ не тригонометрическими рядами, а тригонометрическими полиномами. При этом в соответствии с представленным алгоритмом построения системы линейных уравнений она получается конечной.

В §3.2 приводятся результаты моделирования упругой прямоугольной области при разных граничных условиях и нагрузках.

-Яй

О

,Л\ЫУ) l А

а\ K-L У и=0|

а Г4— 1 1 !=0|

)4WÎM

Ро

V Г^о

| н=0|

JL

и Чо

/ а V'

/ \

/ h \

/ \

Ро

Яо

Рис. 1. Расчетные схемы для квадрата размерами axa, нагруженного по двум противоположным граням параболической нагрузкой (а), всесторонне сжатого (б) и прямоугольника размерами h х а , защемленного по вертикальным сторонам и нагруженного равномерно-распределенной нагрузкой

Сравнение результатов расчета нормальных напряжений в сжатом

параболической нагрузкой q(y)=—qa

1-

(2у-«)

2 N

а

изотропном квадрате (рис. 1, а)

у

в соответствии с построенным в диссертации решением и другими аналитическими решениями показало их совпадение.

-—в^Л 1 /Ьа^ч- 1 ■ - 1 • - - ■ 1 '

а б в

Рис. 2. Безразмерные нормальные напряжения стг/д0 в горизонтальных сечениях всесторонне сжатой квадратной области при различном количестве удерживаемых членов в тригонометрических рядах: т=15 (а), т=20 (б), т=29 (в)

Результаты расчета изотропного квадрата (рис. 1, б) показывают достаточную точность вычислений в его срединной области уже при 15 удерживаемых членах в тригонометрических представлениях начальных функций (рис. 2).

Для сглаживания осцилляций и уменьшения эффекта Гиббса применялась техника а-множителей.

Ь

Рис. 3. Безразмерные перемещения иА{1/д0к (а) и нормальные напряжения их1ца (б) в горизонтальных и нормальные напряжения &у/ча (в)в вертикальных сечениях

Работоспособность предложенного алгоритма продемонстрирована на задаче расчета НДС ортотропного (£„ = 220/77«, £,=6,9/77«, вху=5ГПа, =0,008)

тела прямоугольного сечения А х д (д = 2/г), находящегося в условиях плоской

17

деформации (рис. 1,в). Графики компонентов напряженно-деформированного состояния показаны на рис.3 в горизонтальных х = (г-1)/г/4 и вертикальных у = (/ -1) а/4 сечениях (і = 1,..., 5, номер кривой соответствует значению і).

В §3.3 разработан алгоритм расчета линейно-упругих систем сложной конфигурации путем их декомпозиции на простые тела прямоугольной формы с последующим построением для каждого из них общего решения.

о„

КЗ

УзЛ'з

Я.

Хз,«з

VI,VI о

И,У,<Т,,Г„ Кг' 2

'г. Г1-.

Х,и ' ДГ],»| '*2,1<2

Рис. 4 Декомпозиция модельной конструкции на простые тела В диссертации введено понятие простого тела, под которым понимается прямоугольник со следующими граничными условиями: если грань принадлежит границе расчетного тела, то на ней заданы либо напряжения, либо перемещения, либо смешанные граничные условия, если грань соприкасается с гранью соседнего простого тела, то граничные условия на ней задаются из условий контакта этих простых тел. Пример декомпозиции конструкции на простые тела приведен на рис. 4.

Для каждого простого тела Д. вводится локальная система координат Ох,у, с осями, параллельными соответствующим осям глобальной системы координат Оху, и строится общее решение вида (27)

и'=и;+Ц, (28)

где в качестве решений и', и 1)'2 используются решения МНФ по «синусам» в виде тригонометрических рядов с неизвестными коэффициентами А*1™ и gsp" или по «косинусам» с неизвестными коэффициентами 1г'р" и grp"¡ (р = 1,...,4, т,п= 0,...оо). При решении практических задач т и п изменяются не до бесконечности, а до некоторых конечных значений, определяемых заданной точностью удовлетворения граничным условиям.

/i;2

h 2

ГЕ

©

©

7»

X,ll

?о

~Г "П

а 2 ©

©

£L* о

/ /

/

/ /

,/ к

Л', J/

1 1 1 1 ]

у = 0 г„. = 0 а 1 4 а 2

3

4 а а =0 т„ = 0

(tili 1

х,и

9o

Рис. 5. Декомпозиция расчетных прямоугольных областей на составляющие простые тела

Предложен следующий алгоритм решения задачи:

1) разбиение тела сложной конфигурации 5 (или системы взаимодействующих тел) на простые однородные тела {У?.} ;

2) построение для каждого простого тела Ä,, / = 1,..., N , общего решения (28);

3) построение системы разрешающих функциональных уравнений (на основе удовлетворения заданным граничным условиям и выполнения условий взаимодействия соприкасающихся простых тел);

4) построение разрешающей системы линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов h"" и gsp'" или hcp" и в общих

решениях U' для простых тел;

5) решение полученной системы методом редукции;

6) расчет напряженно-деформированного состояния по формулам (28).

Предложенный алгоритм может быть использован для расчета кусочно-

неоднородных тел. В этом случае декомпозиция выполняется разбиением исходного тела на однородные прямоугольники с последующим вычленением из них простых тел.

В §3.4 приводятся результаты сравнения моделирования заделанных по вертикальным граням ортотропных (Ег = 220ГПа , Ех=6,9ГПа, Giv = 5ГПа , viy = 0,008) прямоугольных областей разных размеров без декомпозиции и с различными вариантами декомпозиции на простые тела.

Результаты расчетов квадратной области без разбиения и при разбиении на две прямоугольные (рис. 5, а) и четыре квадратных (рис. 5, б) области полностью

совпадают (см. графики вертикальных перемещений на рис. 6 и нормальных напряжений на рис. 7).

Рис. 6. Безразмерные перемещения нД ,/д0А при расчете без декомпозиции (я) и с декомпозицией на две прямоугольные (б) и четыре квадратные (в) области в горизонтальных сечениях (пять сечений в каждом простом теле)

а б в

Рис. 7. Безразмерные нормальные напряжения оrjqn при расчете без декомпозиции (а) и с декомпозицией на две прямоугольные (б) и четыре квадратные (в) области в вертикальных сечениях (пять сечений в каждом простом теле)

Выполнены сравнения результатов расчета сжатия изотропного тела (Е = 2 WiM[Ja, у = 0,3) квадратного сечения с квадратным отверстием (рис. 5, в) по разработанному алгоритму и по методу конечных элементов, показывающие совпадение результатов за исключением окрестности сингулярной точки, в которой расчеты по методу конечных элементов имеют колебательный характер (рис. 8).

Четвертая глава посвящена исследованию вычислительной неустойчивости алгоритма метода начальных параметров и метода начальных функций, способам ее устранения и описанию разработанного автором пакета программ MIFSuperposition моделирования линейно-упругих систем сложной конфигурации.

В §4.1 представлен алгоритм получения аналитического решения на основе метода начальных параметров («одномерный» вариант метода начальных функций)

для моделирования поведения нагруженной балки, в том числе лежащей на упругом основании. Приведены результаты исследований по преодолению вычислительной

Рис. 8. Безразмерные перемещения иЕ/д0а (а, г), нормальные напряжения сгг /с/а (б, д) в

горизонтальных сечениях .г = (;-1)л/4 и нормальные напряжения ст,/^ (в, е) в вертикальных сечениях у - (1 -1) а/4 (/ — номер графика, нижний ряд расчет по методу

конечных элементов)

В качестве примера проявления вычислительной неустойчивости выполнен расчет бетонной ( Е ~ 20/У/а ) балки длиной / = 25л;, шириной /> = 0,1-й , высотой Л = 0,15л! на упругом основании Винклера с постоянным коэффициентом постели с(х) = Ш МН/м} под действием равномерно распределенной д(х) = 1КН/м по всей длине и сосредоточенной М(0) = 1КН в центре нагрузки (рис. 9, а). Вычисления выполнялись с длиной мантиссы 22.

Выявлены причины этого явления, кроющиеся в характере сходимости степенных рядов решения, и предложен способ его устранения.

Частичные суммы рядов возрастают до очень большой величины, а потом уменьшаются до истинного значения (рис. 9, б), что приводит к накоплению ошибки округления. Для ее уменьшения следует длину мантиссы вещественных чисел,

используемых для проведения расчета, согласовывать с порядком максимального значения частичной суммы ряда. При расчетах с длиной мантиссы 26 вычислительная неустойчивость алгоритма не проявляется (рис. 9, в).

а б в

Рис. 9. Прогиб балки при проявлении (а) и без проявления (б) вычислительной неустойчивости и график изменения частичных сумм (в) степенного ряда решения

Рис. 10. Касательные напряжения при проявлении вычислительной

неустойчивости (а) и графики изменения частичных сумм степенных рядов при проявлении (б) и без проявления (в) вычислительной неустойчивости

В §4.2 представлены результаты исследований вычислительной неустойчивости алгоритма МНФ при использовании в качестве начальных функций тригонометрических функций синуса и косинуса. Здесь вычислительная неустойчивость зависит как от геометрических размеров и физических характеристик материала прямоугольной области, так и гармоники тригонометрической нагрузки: чем меньше отношение высоты рассчитываемой области к ее ширине, тем при больших значениях гармоник начинается проявление вычислительной неустойчивости, и наоборот. На рис. 10, а представлены графики касательных напряжений в центральном сечении квадратной изотропной прямоугольной области под действием нормальной нагрузки сг° =д„ып(пжу/а) на верхней грани и

касательной т^. = qí¡cos(tl7ty|a) на нижней. Начиная со значения параметра « = 11 наблюдаются вычислительная неустойчивость, связанная с характером сходимости степенных рядов (22).

Была проведена серия вычислительных экспериментов для определения минимальной длины мантиссы, обеспечивающей устойчивые и достоверные вычисления.

В табл. 1 и 2 приведены результаты этих экспериментов для изотропных и анизотропных материалов в зависимости от геометрических параметров упругой прямоугольной области и физических характеристик ее материала. Несмотря на то, что для случаев ортотропии и изотропии ряды (22) суммируются, вычислительная неустойчивость сохраняется.

Таблица 1. Предельные значения гармоник для устойчивых вычислений изотропных

длина мантиссы

И/а 16 64 120 150 200 250 300

1 5 39 79 101 139 173 211

2 3 19 39 51 69 87 105

3 1 13 25 33 45 57 69

4 1 9 19 25 33 43 51

5 1 7 15 19 27 35 41

6 1 5 13 17 23 29 35

7 - 5 11 13 19 25 29

8 - 5 9 11 17 21 25

9 - 3 7 11 15 19 23

10 - 3 7 9 13 17 21

Таблица 2. Предельные значения гармоник для устойчивых вычислений анизотропных областей а/к = 2 при использовании замкнутой формы операторов

МНФ

длина мантиссы

а/к = 2 16 32 64 120 150 200 250 300 350 400

Бакелитовая фанера X 7 13 29 59 75 101

У - 1 5 9 13 17 21 27 31

Графический эпоксид X 13 33 73 143 181 243

У - 1 3 7 9 13 17 21 25 29

Углеволокнит X 13 33 73 147 183 245

У - 1 3 5 7 9 13 15 19 21

В §4.3 представлена структура комплекса программ МШБирегрозШоп моделирования линейно-упругих систем сложной конфигурации, реализованного в виде библиотеки системы аналитических вычислений Мар1е. Перечень программ комплекса представлен в табл. 3.

Таблица 3. Функции библиотеки MIFSuperposition

MIFSuperposition

MIFOperatorsRows Построение операторов МНФ в общем случае общей анизотропии с использованием степенных рядов

MIFOperatorsOrthotropic Построение операторов МНФ в общем случае ортотропии через гиперболические функции

MIFOperatorsisotropic Построение операторов МНФ в общем случае изотропии через гиперболические функции

MIFSolution Построение решения МНФ по направлениям х или у

GeneralSolution Построепние общего решения для прямоугольной области

FourierRows Разложение в ряды Фурье компонентов НДС на гранях прямоугольной области в случае операторов МНФ, заданных в виде степенных рядов

FourierOrthotropic Разложение в ряды Фурье компонентов НДС на гранях прямоугольной области в случае ортотропии и операторов МНФ, заданных в замкнутом виде

Fourierlsotropic Разложение в ряды Фурье компонентов НДС на гранях прямоугольной области в случае изотропии и операторов МНФ, заданных в замкнутом виде

PlotsimpleBody Построение графиков компонентов НДС в вертикальных и горизонтальных сечениях

MultiplyMatrixMatrixInOre Вспомогательная функция дифференцирования элементов матрицы

MultiplyMatrixVectorlnOre Вспомогательная функция дифференцирования элементов вектора

Пятая глава демонстрирует применение разработанного комплекса программ

М^ЗирегрояМоп к моделированию поведения различных линейно-упругих систем: конструкций с трещинами, пространственных конструкций, каждый элемент которых работает в условиях плоской задачи теории упругости, неоднородных конструкций, конструкций со сложной геометрией.

В §5.1 моделируются конструкции с трещинами. Декомпозиция подобных конструкций выполняется с учетом горизонтальных или вертикальных трещин: берега трещин представляются соприкасающимися гранями соседних прямоугольных областей из декомпозиции, на которых отсутствуют напряжения. Моделирование растяжения равномерно распределенной нагрузкой интенсивности изотропной

(модуль упругости Е, коэффициент Пуассона г = 0,3) квадратной (4ах4а) пластинки с трещиной длиной 2а (рис. 11, а), находящейся в условиях плоского напряженного состояния, показывает достоверность полученных результатов. Из графиков нормальных напряжений сг,/(]0 в сечениях х = 2а(/—1)/4 (г' = 1,...,5, г — номер графика) простых тел 1 и 2 (рис. 11,6) видно, что в окрестности вершины трещины напряжения возрастают. Графики нормальных напряжений с,,/<7о в

вертикальных сечениях у = а(1-1)/4 (/ = 1,...,5, /— номер графика) локальной системы координат простого тела 1 (рис. 11, е) показывают наличие постоянного сжимающего напряжения вдоль берега трещины.

V - 0

г.. - 0

4.)

.7-0 г - 0

1 , , I I

а б в

Рис. 11. Схема пластины с трещиной (а), безразмерные нормальные <т, /</„ в горизонтальных сечениях тел 1-2 (б) и <х„/?о напряжения в вертикальных сечениях тела 1 (в)

. ? , * :п,4 :п,2 с; од оь

(Ъ 1 > 1 11 Ч,

а (/

ч ч 2Ь/} Г }

V

ч .1 1 4

_1_ ✓

а, -о г.. - и

а б

Рис. 12. Схема балки с трещиной (а), безразмерные нормальные напряжения <гу/<!0 (б) и

горизонтальные перемещения \'Е\цак (в) в вертикальных сечениях у = 2о,((-1)/8

(/ = 1,...,9 —номер графика)

Моделирование изгиба защемленной по вертикальным граням изотропной (Е,

г = 0,3) прямоугольной пластины с трещиной (рис. 12, а) показывает

перераспределение нормальных напряжений ау в окрестности трещины по

сравнению с изгибом неповрежденной балки (рис. 12, б). По графикам 5 и 5' горизонтальных перемещений V в тех же вертикальных сечениях (рис. 12, в) можно оценить и раскрытие трещины.

§5.2 посвящен моделированию передачи усилий от балки на пластину — практическая задача, возникающая при проектировании специальных подкреплений конструкций корпуса корабля. Рассмотрена прямоугольная стальная пластина с двумя жестко-заделанными противоположными гранями, к которой присоединена стальная стойка, проходящая посередине пластины параллельно заделанным граням. На верхнюю грань стойки действует равномерно распределенная нагрузка интенсивности </0, которая передается посредством касательных напряжений в области стыка пластины и стойки на пластину (рис. 13, а).

Рис. 13. Схема пластины со стойкой (а), безразмерные касательные напряжения г„/90 в сечении ЕН стойки (б) и вертикальные перемещения пластины Л ВС О в горизонтальных

сечениях пластины (в)

Расчеты показывают, что касательные усилия, передаваемые от стойки к пластине, распределены нелинейно вдоль линии контакта (график 1 касательных напряжений в вертикальных сечениях у = ЕР-(г-1)/4, г' = 1,...,5, I— номер графика, локальной системы координат стойки ЕЕСН рис. 13,6). Для упрощенных расчетов их можно аппроксимировать прямой на отрезке [0,£7//3] и нулем на оставшейся части линии контакта стойки и пластины. Вертикальные перемещения в горизонтальных сечениях х = /Ю-(г'-1)/12 (1 = 1,...,13, 1— номер графика) пластины АВСО при этом будут иметь вид представленный на рис. 13, е.

В §5.3 моделируются балочные перекрытия, балки которых работают в условиях плоского напряженного состояния. Изгибные напряжения сгу/да в

вертикальных сечениях у = АВ-(г-1)/12 (1 = 1,...,13, г— номер графика)

продольной балки и вертикальных сечениях у - Е^ • (г —1)/8 (7 = 1,...,9, г — номер

графика) поперечных балок перекрытия с одной продольной и двумя поперечными связями (рис. 14, а) показаны соответственно на рис. 14, б и рис. 14, в.

а б в

Рис. 14. Схема балочного перекрытия (а), безразмерные нормальные напряжения в

вертикальных сечениях продольной (б) и поперечных (в) балок

Рис. 15. Схема балки-стенки на упругом основании (а), безразмерные нормальные напряжения а\./д0 в подошве балки-стенки (б) и вертикальные перемещения в

горизонтальных сечениях основания (в) В §5.4 моделируется напряженно-деформированное состояние квадратной изотропной балки-стенки на изотропном упругом основании (правая половина конструкции показана на рис. 15, а). Балка-стенка по линии контакта 020у с основанием скользит без трения. График 5 рис. 15, б нормальных напряжений (тх/д0 в горизонтальных сечениях .* = А-(/-1)/4 (г=1,...,5, i —номер графика) показывает большое напряжение в крайней точке подошвы балки-стенки, которое при увеличении удерживаемого количества членов в тригонометрических рядах представления начальных функций будет стремиться к бесконечности. Вертикальные перемещения основания в горизонтальных сечениях при его толщине равной трем

высотам балки-стенки показаны на рис. 15, б, где цифрами обозначены перемещения в сечениях х = Н -(г -1)/4, Н —толщина основания.

Рис. 16. Схема головы шлюза (а), безразмерные нормальные напряжения crx/q0 в горизонтальных сечениях тел 1-2 (б) и горизонтальные перемещения в вертикальных

сечениях тел 2-5 (в)

В §5.5 представлено моделирование работы головы шлюза на скальном основании с заполненной камерой (рис. 16, а). Рассчитанные нормальные напряжения crjq0 в горизонтальных сечениях x = h-{i —1)/4 (/ = 1,...,5, i— номер графика)

простых тел 1 и 2 подтверждают допустимость упрощенного подхода к расчету основания камеры головы шлюза как балки, под действием равномерно-распределенной нагрузки и момента, приложенного на ее конце.

Графики безразмерных горизонтальных перемещений в вертикальных сечениях ,y = #-(/-l)/4 (г' = 1,...,5, i— номер графика) тел 2, 3, 4 и 5 (рис. 16,в) показывает, что стенку можно рассчитывать как балку, заделанную одним концом.

В заключении приводятся основные полученные в диссертации результаты и сформулирована практическая значимость работы.

Список публикаций по теме диссертации Публикации в рекомендуемых ВАК изданиях

1. Галилеев С. М., Матросов А. В., Вериженко В. Е. Метод начальных функций для слоистых и непрерывно-неоднородных плит и оболочек // Механика композитных материалов. Т. 30. № 4. 1994. С. 531-539.

2. Галилеев С. М., Матросов А. В. Метод начальных функций в расчете слоистых плит П Прикладная механика. 1995. Т. 31(41). № 6, июнь. С. 64-71.

3. Galileev S. M., Matrosov A. V. Method of initial functions: stable algorithms in the

analysis of thick laminated composite structures // Composite Structures. Vol. 39. Nos. 3-4.

28

1997. P. 255-262.

4. Матросов А. В. Численно-аналитическое решение граничной задачи деформирования линейно-упругого анизотропного прямоугольника / А. В. Матросов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 2. С. 55-65.

5. Матросов А. В. Численно-аналитический алгоритм решения задач плоской деформации линейно-упругих тел сложной конфигурации И Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2008. Вып. 3. С. 70-84.

6. Матросов А. В. Численно-аналитический алгоритм метода начальных параметров // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 2. С. 72-81.

7. Матросов А. В. Вычислительная неустойчивость алгоритма метода начальных функций // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып. 4. С. 30-39.

8. Матросов А. В. Замкнутая форма операторов метода начальных функций для плоской задачи теории упругости ортотропного тела // Вестник Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета. 2010. № 4(22). С. 5662.

9. Матросов А. В. Расчет гидротехнических сооружений численно-аналитическим методом // Журнал университета водных коммуникаций. 2010. Вып. IV(VIII). С. 8-14.

10. Матросов А. В. Численно-аналитический расчет балок-стенок на линейно-упругом основании // Журнал университета водных коммуникаций. 2011. Вып. П(Х). С. 14-21. Публикации в других изданиях

11. Galileev S. М., Matrosov А. V., Verijenko V. Е. Method of initial functions for layered and continuously inhomogeneous plates and shells // Mechanics of Composite Materials. Vol. 30. No. 4. 1994. P. 387-392.

12. Galileev S. M., Matrosov A. V. Method of initial functions in the computation of sandwich plates // International Applied Mechanics. Vol. 31. No. 6. 1995. P. 469^176.

13. Galileev S. M., Matrosov A. V., Verizhenko V. E. Stable algorithms of the method of initial functions in the analysis of thick laminated composite structures // Proc. of the First Int. Conf. On Composite Science and Technology, 18-20 June. Durban, South Africa. 1995. P. 149-154.

14. Galileev S. M., Matrosov A. V. Three dimensional solutions of the theory of elasticity in mechanics of composite materials // Proc. of the First Int. Conf. On Composite Science and Technology, 18-20 June. Durban, South Africa. 1995. P. 155-160.

15. Matrosov A. V. Method of initial functions in the theory of anisotropic plates with arbitrary boundary conditions // Proc. of the First Int. Conf. on Composite Science and Technology, 18-20 June. Durban, South Africa. 1995. P. 341-346.

16. Матросов А. В. Устойчивый алгоритм метода начальных функций для расчета слоистых плит // Сборник научных трудов. СПб.: СПбГУВК, 1996. С. 260-267.

17. Galileev S. М., Matrosov А. V. Exact solutions for layered plates and shells // 3rd EUROMECH Solid Mechanics Conference, Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden, 18-22 August. 1997. P. 259.

18. Матросов А. В. Метод суперпозиции: обхцее решение для упругого шестигранника // Методы прикладной математики в транспортных системах / Под редакцией проф. Ю. М. Кулибанова. СПб.: СПбГУВК, 1998. С. 170-177.

19. Galileev S. М., Matrosov А. V., Gubin N. N., Miroshnichenko I. N. Exact Elasticity Solution for Investigation Peculiarities in Deformations of Thick Plates and Shells in Composite Materials // Proc. Of the Second Int. Conf. On Composite Science and Technology, 9-11 June. Durban, South Africa. 1998. P. 345-351.

20. Galileev S. M., Matrosov A. V., Gubin N. N. Exact Three-Dimensional Models for Layered Composites // Composites Modelling and Processing Science / Proc. of Twelfth. Int. Conf. On Composite Materials (ICCM/12), Paris, 5-9 July. 1999. P. 255-262.

21. Матросов А. В. Алгоритм расчета сложных конструкций методом суперпозиции // Сборник науч. трудов, поев. 190-летию трансп. образ, в Росси / Под ред. проф. Ю. М. Кулибанова. СПб.: СПГУВК, 1999. С. 255-263.

22. Матросов А. В. Основы работы в Maple V Rel. 4. СПб.: СПбГУВК, 1999. 100 с.

23. Матросов А. В. Решение задач строительной механики в системе аналитических вычислений Maple V // Актуальные проблемы механики, прочности и теплопроводности при низких температурах / Тез. докл. VI научно-техн. сем. СПб. : УНТПТ, 2000. С. 40-43.

24. Матросов А. В. Maple 6: решение задач высшей математики и механики. СПб. : БХВ-Санкт-Петербург, 2001. 528 с.

25. Матросов А. В. Вычислительные проблемы реализации метода начальных функций // Математическое моделирование в механике сплошных сред, методы

граничных и конечных элементов. / Тез. докл. XXI межд. конф. 4-7 окт. 2005г. СПб. : ВВМ, 2005. С.133-134.

26. Матросов А. В. Вычислительные проблемы реализации метода начальных функций // Математическое моделирование в механике сплошных сред, методы граничных и конечных элементов. / Труды. XXI межд. конф. 4-7 окт. 2005г. СПб. : ВВМ, 2005. С. 328-334.

27. Матросов А. В. Система аналитических вычислений Maple в подготовке прикладных математиков и ИТ-специалистов // Современные информационные технологии и ИТ-образование. / Сб. докл. I международной науч.-практ. конф. / Под. ред. проф. В. А. Сухомлина. М.: МАКС Пресс, 2005. С. 524-532.

28. Матросов А. В. Метод начальных параметров: аналитический подход // Информационные технологии в образовании и науке / Материалы межд. научно-практ. конф. ИТО Поволжье-2007. / Под ред. проф. Ю. Г. Игнатьева. Казань : Изд-во «Фолиант», 2007. С. 390-395.

29. Матросов А. В. Численно-аналитический алгоритм расчета тел сложной конфигурации в условиях плоской задачи теории упругости // Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения / Труды межд. конф. RELMAS'2008, 17-20 июня 2008. СПб.: Изд-во СПГТУ, 2008. Том 2. С. 213-216.

30. Матросов А. В. Вычислительные алгоритмы в системе аналитических вычислений Maple // Современные информационные технологии и ИТ-образование. / Сб. докл. научно-практ. конф. под ред. проф. В. А. Сухомлина. М. : ИНТУИТ.РУ, 2009. С. 595602.

31. Матросов А. В. Реализация в Maple символического способа составления решений дифференциальных уравнений // Системы компьютерной математики и их приложения / Материалы X межд. конф. «Системы компьютерной математики и их приложения», 18-20 мая, 2009 г. Смоленск : Изд-во СмолГУ, 2009. Вып. 10. С. 62-64.

32. Матросов А. В. Вычислительно неустойчивые алгоритмы механики в Maple // Труды Российской летней школы «Математическое моделирование фундаментальных объектов и явлений в системах компьютерной математики» (ММСКМ2), 6-10 сентября 2010г., Казань-Яльчик. Казань : Изд-во «Фолиангь», 2010. С. 61-67.

33. Матросов А. В., Волушкова Е. Ю. Реализация вычислительно неустойчивых алгоритмов в Maple // Системы компьютерной математики и их приложения / Материалы XI межд. конф. «Системы компьютерной математики и их приложения», 18-20 мая, 2009 г., посвященной 70-летию профессора В. П. Дьяконова. Смоленск : Изд-во СмолГУ, 2010. Вып. 11. С.14-16.

Подписано в печать 30.01.12 Сдано в производство 30.01.12 Формат 60x84 1/16 Усл.-печ. л. 1,86. Уч.-изд. л. 1,6. _Тираж 100 экз._Заказ № 12_

Санкт-Петербургский государственный университет водных коммуникаций 198035, Санкт-Петербург, ул. Двинская, 5/7

Отпечатано в типографии ФБОУ ВПО СПГУВК 198035, Санкт-Петербург, Межевой канал, 2

Введение.

Глава 1. Методы расчета упругой прямоугольной области.

1.1 Плоские линейно-упругие системы сложной конфигурации.

1.2. Аналитические решения для упругой прямоугольной области.

1.2.1. Решения в полиномах и рядах.

1.2.2. Приближенные аналитические методы.

1.2.3. Метод начальных функций.

1.2.4. Метод однородных решений.

1.2.5. Метод суперпозиции.

1.3. Постановка задач исследования.

Глава 2. Метод начальных функций для плоских задач теории упругости.

2.1. Уравнения равновесия Ламе.

2.2. Общее решение через две функции.

2.3. Метод начальных функций.

2.4. Регулярность операторных рядов.

2.5. Замкнутая форма операторов МНФ.

2.6. Краевые задачи для упругой анизотропной полосы.

2.7. Тригонометрические представления начальных функций.

2.7.1. Материал с произвольной степенью анизотропии.

2.7.2 Ортотропный материал.

2.7.3. Изотропный материал.

2.7.4. Решение задач методом начальных функций для прямоугольной области.

Глава 3. Алгоритм расчета упругих систем сложной конфигурации.

3.1 Общее решение для упругой анизотропной прямоугольной области.

3.2 Численные расчеты прямоугольных областей.

3.2.1 Сжатая по противоположным граням изотропная пластинка.

3.2.2 Всесторонне сжатый изотропный прямоугольник.

3.2.3 Заделанный по двум сторонам ортотропный прямоугольник.

3.3 Упругое тело сложной конфигурации.

3.3.1 Декомпозиция тела сложной конфигурации.

3.3.2 Алгоритм построения разрешающей системы уравнений.

3.4 Численные расчеты областей методом декомпозиции.

3.4.1 Пластинка прямоугольного сечения, заделанная по вертикальным граням.

3.4.2 Изотропное тело с квадратным отверстием.

Глава 4. Реализация метода суперпозиции на основе МНФ.

4.1 Вычислительная неустойчивость алгоритма метода начальных параметров.

4.2 Вычислительная неустойчивость алгоритма метода начальных функций.

4.3 Комплекс программ для расчета сложных упругих систем.

Глава 5. Исследование работы конструкций сложной конфигурации.

5.1 Растяжение прямоугольной области с поперечной трещиной.

5.2 Пластина со стойкой.

5.3 Балочные перекрытия.

5.4 Балка-стенка на упругом основании.

5.5 Расчет гидротехнического сооружения.

Расчеты на прочность являются неотъемлемой частью процесса проектирования любого инженерного объекта. Сложное инженерное сооружение может быть разложено на более простые конструктивные элементы, совместная работа которых обеспечивает выполнение заложенных при его проектировании функций. Существует два подхода к расчету напряженно-деформированного состояния (НДС) сложных конструкций. Один базируется на декомпозиции сооружения на более простые элементы, расчетные схемы для которых просты, но учитывают их соединение в единую конструкцию (например, пластины, балки, стержни и т. п.). Второй рассматривает все сооружение как единое целое.

При первом подходе важно выделение простых композиционных элементов, условий их работы, сопряжения с другими элементами, и на основе полученной информации построение физической и математической модели работы каждого элемента, адекватно отражающего его работу в составе целой конструкции. Отдельные расчеты всех выделенных при декомпозиции простых элементов дадут представление о работе всей конструкции.

При втором важна разработка методов, позволяющих моделировать конструкцию целиком, учитывая специфическую работу ее отдельных частей. Этот подход предполагает дискретизацию конструкции сложной геометрии на основе различных критериев и подходов, приводя к различным численным схемам расчета сооружений. В настоящее время широко используются три способа дискретизации конструкции: в виде сетки, конечных элементов и граничных элементов. Предполагается, что уменьшение размеров ячеек сетки, конечных и граничных элементов приводит к уточнению НДС конструкции, в пределе сходясь к решению на основе подходов механики деформируемого твердого тела.

В настоящее время наибольшую популярность получили программные комплексы на основе конечных элементов как предметно-ориентированные, например, SCAD для расчета строительных конструкций, так и универсальные, предназначенные для расчеты различных физических полей, например, ANS YS. Однако и они имеют недостатки, например, пользователь должен заранее выделять области с резким изменением характера напряженно-деформированного состояния, разбивать их на элементы малых размеров, и, для достижения заданной точности, использовать конечные элементы высокого порядка, что априори может оказаться не очевидным. Подобные «проблемы» могут быть решены, если для моделирования сложных конструкций использовать системы, основанные на численно-аналитических решениях теории упругости, которые не требуют от расчетчика знаний о характере напряженно-деформированного состояния конструкции в различных ее частях.

С появлением систем компьютерной математики (Maple, Mathematica и др.) разработка и реализация аналитических и численно-аналитических методов расчета поднялась на новый уровень. Возможность в этих системах манипулировать аналитическими выражениями, степенными и тригонометрическими рядами, производить вычисления с вещественными числами с мантиссой практически неограниченной длины позволила преодолеть недостатки некоторых алгоритмов построения аналитических решений задач механики твердого тела, а некоторые из численных методов вернуть к их аналитическим истокам.

Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов моделирования линейно-упругих систем сложной конфигурации. Данная проблема актуальна, поскольку:

1. численно-аналитические решения плоской и пространственной теории упругости позволяют получить решение в виде рядов по определенной системе функций, не прибегая к дискретизации ни оператора задачи, ни области, в которой оно ищется;

2. численно-аналитические решения задач механики деформируемого твердого тела могут выступать в качестве тестовых для различных численных методов и приближенных теорий.

Цели и задачи работы

Целью работы является разработка универсального подхода к построению численно аналитического решения широкого класса плоских линейно-упругих систем сложной конфигурации, образованных из соприкасающихся анизотропных прямоугольных областей с различными условиями контакта по граничным линиям, используя общее решение для прямоугольной анизотропной линейно-упругой области, построенного с помощью метода суперпозиции Г. Ламе на основе двух решений метода начальных функций соответственно с начальными линиями х = 0 и у = 0.

Для достижения указанной цели были решены следующие задачи:

1. Разработан алгоритм построения общего решения для анизотропной упругой прямоугольной области на основе решений, получаемых методом начальных функций.

2. Исследована вычислительная устойчивость алгоритма метода начальных функций.

3. Разработан алгоритм расчета упругих систем, представимых в виде множества соприкасающихся прямоугольных областей произвольных конечных размеров.

4. Разработано программное обеспечение в системе аналитических вычислений Мар1е.

5. Решен ряд задач прикладного характера с помощью разработанного программного обеспечения.

Методика исследования

В работе используются идеи метода суперпозиции построения общего решения уравнений статики линейной теории упругости, метода начальных функций и символического способа построения решений дифференциальных уравнений в частных производных.

Научная новизна

Новыми результатами являются следующие:

1. Разработан и реализован алгоритм построения общего решения для упругой анизотропной прямоугольной области, позволяющий удовлетворять не только граничным условиям, заданным в виде смещений и внешних напряжений, но и смешанным граничным условиям (нормальная составляющая смещения и касательная составляющая внешнего напряжения или нормальная составляющая внешнего напряжения и касательная составляющая смещения).

2. Исследована вычислительная устойчивость алгоритма метода начальных функций в зависимости от используемой при расчетах длины мантиссы в представлении вещественных чисел.

3. Разработан и реализован алгоритм расчета линейно-упругой неоднородной системы сложной конфигурации на основе ее разбиения на составляющие прямоугольные области конечных размеров.

4. Численно-аналитические решения можно использовать в качестве эталонных при тестировании численных методов расчета (методы конечных разностей, граничных элементов, конечных элементов).

5. Создан и апробирован комплекс программ «МН^ирегрозШоп» для моделирования линейно-упругих систем сложной конфигурации.

Практическая значимость

Полученные в диссертации результаты имеют практическое значение:

1. Решены практические задачи механики: растяжение и изгиб прямоугольной полосы с трещиной, изгиб балочных перекрытий, расчет напряженно-деформированного состояния балки-стенки на двухслойном основании и головы шлюза на скальном основании.

2. Разработанный комплекс программ «МШЗирегрозШоп» проще в использовании по сравнению с традиционными пакетами на базе метода конечных элементов: сложная система естественно и просто разбивается на составляющие ее конечные прямоугольные области, отсутствует необходимость предварительного анализа системы на наличие сингулярных точек и «подбора» высокоточных конечных элементов в окрестностях этих точек.

3. Комплекс программ «МП^ирегровШоп» использовался для расчета балочных перекрытий, определения коэффициентов податливости листовых конструкций специальных подкреплений в разработанной на кафедре конструкций корпуса Санкт-Петербургского государственного морского технического университета системы проектирования и оценки технического состояния судовых конструкций «БУБСНЕСК».

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Алгоритм моделирования напряженно-деформированного состояния анизотропной прямоугольной области, находящейся в условиях плоской задачи линейной теории упругости. Он основан на двух решениях, построенных с помощью метода начальных функций.

2. Доказательство регулярности операторов метода начальных функций для анизотропного тела.

3. Замкнутые формы операторов метода начальных функций на основе подхода на базе уравнений теории упругости в перемещениях для случаев ортотропного и изотропного тела.

4. Доказательство сходимости степенных рядов решений метода начальных функций в случае произвольной анизотропии при использовании в качестве начальных функций тригонометрических синусов и косинусов.

5. Алгоритм расчета плоских линейно-упругих систем сложной конфигурации, представимых в виде совокупности соприкасающихся анизотропных прямоугольных областей с различными условиями сопряжения на гранях.

6. Области вычислительной устойчивости разработанных алгоритмов математической модели.

7. Комплекс программ MIFSuperposition в системе аналитических вычислений Maple для моделирования и визуализации получаемых результатов поведения линейно-упругих систем сложной конфигурации.

Апробация результатов диссертации

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на различных конференциях и семинарах: First International Conference on Composite Science and Technology (ICCST/1), Durban, South Africa, 1996; 3rd EUROMECH Solid Mechanics Conference, Stockholm, Sweden, 1997; Second International Conference on Composite Science and Technology (ICCST/2), Durban, South Africa, 1998; 12th International Conference on Composite Materials, Paris, France, 1999; постоянный семинар «Строительная механика» Санкт-Петербургского дома ученых (2002-2003); 22, 23 и 24 Международные конференции по математическому моделированию в механике деформируемых тел и конструкций, методы граничных и конечных элементов, BEM-FEM 2005, 2009 и 2011, Санкт-Петербург; III и IV Международные научно-практические конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование» (Москва, МГУ, факультет ВМиК, 2005, 2009); Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии в образовании и науке» (ИТО-Поволжье-2007, Казань, 2007); Международная конференция «Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения» (RELMAS'2008, Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2008); Международная конференция «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленский государственный университет, 2009, 2010); семинар кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела, факультет прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, рук. проф. Ю. М. Даль, (20062011); Сентябрь, 2009. семинар кафедра теоретической механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета, рук. проф. П. Е. Товстик (2009); семинар под руководством акад. Н. Ф. Морозова, институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург; Российская летняя школа «Математическое моделирование в системах компьютерной математики», Казань-Яльчик, 2010.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 33 работы, из которых 10 в изданиях, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ для опубликования основных научных результатов диссертаций.

Структура и объем работы

Диссертация содержит 269 страниц текста, в том числе 9 таблиц и 80 рисунков, и состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 197 наименований.

Заключение

В диссертации предложен подход к моделированию в декартовой прямоугольной системе координат поведения анизотропных линейно-упругих систем сложной конфигурации, базирующийся на использовании общего решения для анизотропной упругой прямоугольной области с граничными условиями на гранях следующих трех типов: силовые (нормальное и касательное напряжения), кинематические (перемещения), смешанные (нормальное/касательное напряжение и касательное/нормальное перемещение).

Общее решение построено методом суперпозиции, предложенным французским математиком Г. Ламе для задачи равновесия прямоугольной призмы. В качестве двух решений, сумма которых представляет общее решение, выбраны решения, получаемые методом начальных функций при задании последних соответственно на начальных линиях х = 0 и у- 0.

Каждое из этих решений, представленных в виде тригонометрических рядов по одной из переменных, позволяет удовлетворить ГУ на двух противоположных гранях прямоугольной области.

Декомпозиция анизотропного упругого тела сложной конфигурации, находящегося в условиях плоской задачи теории упругости, на прямоугольные области с использованием для каждой из них общего решения с неизвестными коэффициентами позволяет построить разрешающую систему линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов в общих решениях для прямоугольных областей, основываясь на ГУ исходной задачи и условиях сопряжения смежных прямоугольных областей в декомпозиции исходной задачи.

Получаемые в результате моделирования поведения линейно-упругой системы решения для каждой прямоугольной области являются численно-аналитическими: получаемые значения неизвестных коэффициентов представляют собой приближение к точным значениям, получаемые из решения разрешающей бесконечной системы линейных алгебраических уравнений методом редукции.

Предложенный подход к моделированию поведения анизотропных линейно-упругих систем сложной конфигурации позволяет строить модели как для однородных, так и для неоднородных систем, как для плоских, так и для пространственных систем, образующие элементы которых работают в условиях плоского напряженного состояния.

В диссертации разработан комплекс программ реализации предложенного подхода к моделированию анизотропных линейно-упругих систем сложной конфигурации в виде библиотеки «М1Р8ирегрозШоп» для системы аналитических вычислений Мар1е, а также приведены результаты моделирования реальных систем всех перечисленных выше типов с помощью этого комплекса программ, показывающие применимость предложенного подхода к моделированию анизотропных линейно-упругих систем сложной конфигурации.

Практическая значимость разработанного подхода к моделированию анизотропных линейно-упругих систем сложной конфигурации заключается в следующем:

1. Решены практические задачи механики: растяжение и изгиб прямоугольной полосы с трещиной, изгиб балочных перекрытий, расчет напряженно-деформированного состояния балки-стенки на двухслойном основании и головы шлюза на скальном основании.

2. Разработанный комплекс программ «МП^ирегрозШоп» проще в использовании по сравнению с традиционными пакетами на базе метода конечных элементов: сложная система естественно и просто разбивается на составляющие ее конечные прямоугольные области, отсутствует необходимость предварительного анализа системы на наличие сингулярных точек и «подбора» высокоточных конечных элементов в окрестностях этих точек.

3. Комплекс программ «МШБирегрозШоп» использовался для расчета балочных перекрытий, определения коэффициентов податливости листовых конструкций специальных подкреплений в разработанной на кафедре конструкций корпуса Санкт-Петербургского государственного морского технического университета системы проектирования и оценки технического состояния судовых конструкций «ЗУБСНЕСК».

1. Абрамян Б. Л. К задаче осесимметричной деформации круглого цилиндра//Докл. АН АрмССР. 1954. Т. 19. № 1. С. 3-12.

2. Абрамян Б. Л. К плоской задаче теории упругости для прямоугольника // Прикл. математика и механика. 1957. Т. 21. № 1. С. 89-100.

3. Агарев В. А. Метод начальных функций для двумерных краевых задач теории упругости. Киев : Изд-во Акад. наук УССР, 1963. 203 с.

4. Белзецкий С. Несколько замечаний относительно элементарной теории изгиба прямых балок // Известия собрания инженеров путей сообщения. 1906. № 26. С. 123-124.

5. Белоносов С. М. Основные плоские статические задачи теории упругости для односвязных и двусвязных областей. Новосибирск : Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1962. 231с.

6. Бондаренко П. С. К вопросу о единственности для бесконечных систем линейных уравнений // Мат. сборник. 1951. Т. 29. № 2. С. 403^418.

7. Бондаренко П. С. Зауваження до чисельного розв'язування крайових задач рівняння Лапласа і бігармонічного рівняння методом нескінченних систем // Мат. зб. (Київ. держ. ун-т. ім. Т. Г. Шевченка). 1954. № 5. С. 39-49.

8. Бубнов И. Г. Напряжения в обшивке судов от давления воды. СПб. : Изд-во А. Э. Винеке, 1904. 93 с.

9. Бубнов И. Г. Строительная механика корабля. СПб. : Изд-во Мор. министерства, 1914. Ч. 2. С. 331-640.

10. Буловский Н. Н. Исследование процессов трения в тяжело нагруженных подшипниках скольжения прокатных станов. // Тр. III Всесоюзн. конф. по трению и износу в машиностроении. М. : Инст. машиновед/АН СССР, 1960. Т. 3. С. 17-24.

11. Ванюшенков М. Г. Расчет тонких упругих пластин методом начальных функций. М.: МИСИ, 1965. 295 с.

12. Ванюшенков М. Г. Расчет неразрезных пластинок методом начальных функций // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1966. № 1.С. 57-62.

13. Ванюшенков М. Г. Применение метода начальных функций для расчета параллелограммных пластинок // Сб. тр. МИСИ. 1973. № 112. С. 19-24.

14. Власов В. В. Метод начальных функций в плоской задаче теории упругости // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1956. № 2. С. 97-111.

15. Власов В. В. Метод начальных функций в задачах равновесия толстых многослойных плит // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 7. С. 40-48.

16. Власов В. В. Применение метода начальных функций к плоской задаче теории упругости для прямоугольной области // Изв. АН СССР. ОТН. 1959. № 3. С. 114-125.

17. Власов В. В. Метод начальных функций в задачах равновесия гладких и подкрепленных клиновидных пластин (плоское напряженное состояние) // Сб. тр. МИСИ. 1970. № 84. С. 33-42.

18. Власов В. В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики. М.: Стройиздат, 1975. 223 с.

19. Власов В. 3. Метод начальных функций в задачах теории упругости // Изв. АН СССР. Серия ОТН. 1955. № 7. С. 49-69.

20. Власов В. 3., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1960. 491 с.

21. Ворович И. И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М.: Наука, 1966. Т. 3. С. 116-136.

22. Галеркин Б. Г. Собрание сочинений / Отв. ред. акад. Н. И. Мусхелишвили. М.: Изд-во АН СССР, 1952-1953. Т. 1-2.

23. Галеркин Б. Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок. // Б. Г. Галеркин Собрание сочинений. М. : Издательство Академии Наук СССР, 1952. Т.1.С. 168-195.

24. Галилеев М. Д. К теории оснований гидротехнических сооружений на осадочных породах // Сейсмостойкость гидротехнических и портовых сооружений Приморья. Владивосток. 1972. Ч. 1. С. 64-67.

25. Галилеев М. Д. Напряжения и перемещения в железобетонном массиве при послойном бетонировании // Исследования бетона и железобетона : Сб. научн. тр. Л.: ЛИИЖТ, 1972. Вып. 341. С. 73-80.

26. Галилеев М. Д. Метод операторов в пространственной задаче ортотропного тела // Строительная механика : Межвуз. темат. сб. тр. Л.: ЛИСИ, 1977. № 2. С. 12-18.

27. Галилеев С. М., Матросов А. В. Метод начальных функций для расчета пространственных анизотропных упругих систем // Статические и динамические задачи расчета сложных строительных конструкций : Межвуз. темат. сб. тр. Л. : ЛИСИ, 1988. С. 114-119.

28. Галилеев С. М., Матросов А. В., Вериженко В. Е. Метод начальных функций для слоистых и непрерывно-неоднородных плит и оболочек // Механика композитных материалов. 1994. Т. 30. № 4. С. 531-539.

29. Галилеев С. М., Матросов А. В. Метод начальных функций в расчете слоистых плит // Прикладная механика. 1995. Т. 31(41). № 6, июнь. С. 64-71.

30. Годунов С. Г. О численном решении краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. М. : Изд-во физ.-матем. лит-ры, 1961. Т. XVI. Вып. 3. С. 171-174.

31. Голоскоков Д. П. Численно-аналитические методы расчета упругих тонкостенных конструкций нерегулярной структуры. СПб. : Изд-во А. Кардакова, 2006. — 271 с.

32. Голоскоков Д. П., Голоскоков П. Г. Метод полиномов в задачах теории тонких плит. СПб.: СПГУВК, 2008. 254 с.

33. Голоскоков Е. Г., Голоскоков П. Г. Об изгибе прямоугольной пластины, защемленной по двум противоположным кромкам под действием произвольной нагрузки // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1962. № 5. С. 142-146.

34. Голоскоков, П. Г. Изгиб прямоугольной плиты, жестко заделанной по двум противоположным сторонам / П. Г. Голоскоков // Изв. вузов. Строительство и архитектура. — 1959. — № 11-12. — С. 25-34.

35. Горбунов-Посадов М. И., Маликова Т. А. Расчет конструкций на упругом основании. Изд. 2-е. М.: Стройиздат, 1973. 627 с.

36. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов сумм рядов и произведений. Изд. 4-е. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

37. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф. Изгиб квадратной упругой плиты равномерно распределенной нагрузкой // Прикл. мех. 1965. Т. 1. №9. С. 71-75.

38. Гринченко, В. Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. Киев : Наук, думка, 1978. 264 с.

39. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев : Наукова думка, 1981. 284 с.

40. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф. Пространственные задачи теории упругости и пластичности: равновесие упругих тел канонической формы. Киев : Наукова думка, 1985. 280 с.

41. Даниловская В. И. Применение вариационного метода Кастильяно к плоским задачам термоупругости // Прикладная механика. 1968. №4(12). С. 33-40.

42. Джанелидзе Г. Ю. Задачи теории упругости анизотропной среды, приводящиеся к плоским // Проблемы механики сплошной среды (к семидесятилетию академика Н. И. Мусхелишвили). М. : Изд. АН СССР, 1961. С. 145-151.

43. Джанелидзе Г. Ю., Прокопов В. К. Метод однородных решений в математической теории упругости // Труды IV Всесоюзного математического съезда. М. : Наука, 1964. Т. 2. С. 551-557.

44. Дубинский Ю. А. Алгебра псевдодифференциальных операторов с аналитическими символами и ее приложения к математической физике // УМН. 1982. Т. 37. Вып. 5(224). С. 97-137.

45. Елпатьевский А. Н., Зимаков H. Н. Метод начальных функций в плоской задаче теории упругости для тела с прямолинейной ортотропией // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. № 1. С. 127-134.

46. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. Изд. 2-е, стереотипное. М. : Главная редакция физ.-мат. лит-ры, 1978. 304 с.

47. Иоффе А.Ф., Крылов А. Н., Лазарев П. П. Комментарий к научным трудам проф. Б.Г. Галеркина // Известия Российской академии наук. 1928. —С. 616-618.

48. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М. : Физматгиз, 1962. 695 с.

49. Китовер К. А. Изгиб тонких прямоугольных плит // Расчет пространственных конструкций. М. : Госстройиздат, 1951. № 2. С. 71-78.

50. Китовер К. А. Об использовании специальных систем бигармонических функций для решения некоторых задач теории упругости // ПММ.1952. Т. 16. № 6. С. 739-748.

51. Китовер К. А. Изгиб высоких балок // Инженерный сборник. 1953. Т. 14. С. 199-203.

52. Коялович Б. М. Об одном уравнении с частными производными четвертого порядка. СПб.: Изд-во Имп. Акад. Наук, 1902. 125 с.

53. Коялович Б. М. Исследование о бесконечных системах линейных алгебраических уравнений // Изв. физ.-мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1930. Т. 3. С. 41-167.

54. Коялович Б. М. К теории бесконечных систем линейных уравнений (Ответ проф. Р. О. Кузьмину) // Тр. физ.-матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1932. Т. 2. № 4. С. 1-16.

55. Коялович Б. М. К теории лимитантов // Труды II Всесоюз. мат. съезда (Ленинград 24-30 июня 1934). Л.-М. : Изд-во АН СССР, 1936. Т. 2. С. 187-190.

56. Коялович Б. М. Об основных понятиях теории бесконечных систем линейных уравнений // Ученые записки Ленингр. гос. педагогич. инст-та. 1937. № 5. С. 83-99.

57. Крылов А. Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании. Л. : Издательство АН СССР, 1931. 154 с.

58. Крылов Н. М. О различных обобщениях метода Ритца и о некоторых соприкасающихся вопросах // Избр. труды. Киев : Изд-во АН УССР, 1961. Т. 1. С. 159-243.

59. Крылов Н. М. Методы приближенного решения задач математической физики // Избр. труды. Киев : Изд-во АН УССР, 1961. Т. 2. С. 150-204.

60. Кузьмин Р. О. К теории бесконечных систем линейных уравнений // Тр. физ.-матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1931. Т. 2. № 2. С. 1-16

61. Кузьмин Р. О. Об одном классе бесконечных систем линейных уравнений // Известия Академии наук СССР. VII серия. Отделение математических и естественных наук. 1934. № 4. С. 515-546.

62. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз, 1961. 524 с.

63. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. Изд. 2-е. М. : Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1957. 464 с.

64. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. Изд. 2-е. М. : Главная редакция физ.-мат. литературы издательства «Наука», 1977. 416 с.i

65. Лурье А. И. К теории систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Труды ленинградского индустриального института.1937. № 6. С. 31-36.

66. Лурье А. И. К теории толстых плит // Прикл. мат. мех. 1942. № 6. С. 151-168.

67. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955. 491 с.

68. Лучка А. Ю., Лучка Т. Ф. Возникновение и развитие прямых методов математической физики. Киев : Наукова думка, 1985. 240 с.

69. Малиев А. С. О выборе функций в общих решениях задачи равновесия изотропного упругого тела // Труды ЛЭТИИЖТа. М. : Трансжелдориздат, 1952. Вып. 4. С. 180-244.

70. Матросов А. В. Устойчивый алгоритм метода начальных функций для расчета слоистых плит // Сборник научных трудов. СПб. : СПбГУВК, 1996. С. 260-267.

71. Матросов А. В. Метод суперпозиции: общее решение для упругого шестигранника // Методы прикладной математики в транспортныхсистемах / Под редакцией проф. Ю. М. Кулибанова. СПб. : СПбГУВК, 1998. С. 170-177.

72. Матросов А. В. Алгоритм расчета сложных конструкций методом суперпозиции // Сборник науч. трудов, поев. 190-летию трансп. образ, в Росси / Под ред. проф. Ю. М. Кулибанова. СПб. : СПГУВК, 1999. С. 255-263.

73. Матросов А. В. Основы работы в Maple V Reí. 4. СПб. : СПбГУВК, 1999. 100 с.

74. Матросов А. В. Решение задач строительной механики в системе аналитических вычислений Maple V // Актуальные проблемы механики, прочности и теплопроводности при низких температурах / Тез. докл. VI научно-техн. сем. СПб.: УНТПТ, 2000. С. 40-43.

75. Матросов А. В. Maple 6: решение задач высшей математики и механики. СПб.: БХВ-Санкт-Петербург, 2001. 528 с.

76. Матросов А. В. Вычислительные проблемы реализации метода начальных функций // Математическое моделирование в механике сплошных сред, методы граничных и конечных элементов. / Тез. докл. XXI межд. конф. 4-7 окт. 2005г. СПб.: ВВМ, 2005. С. 133-134.

77. Матросов А. В. Вычислительные проблемы реализации метода начальных функций // Математическое моделирование в механике сплошных сред, методы граничных и конечных элементов. / Труды. XXI межд. конф. 4-7 окт. 2005г. СПб.: ВВМ, 2005. С.328-334.

78. Матросов А. В. Метод начальных параметров: аналитический подход // Информационные технологии в образовании и науке / Материалы межд. научно-практ. конф. ИТО Поволжье-2007 /Подред. проф. Ю. Г. Игнатьева. Казань : Изд-во «Фолиант», 2007. С. 390-395.

79. Матросов А. В. Численно-аналитическое решение граничной задачи деформирования линейно-упругого анизотропного прямоугольника // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 2. С. 55-65.

80. Матросов А. В. Численно-аналитический алгоритм решения задач плоской деформации линейно-упругих тел сложной конфигурации // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2008. Вып. 3. С. 70-84.

81. Матросов А. В. Вычислительные алгоритмы в системе аналитических вычислений Мар1е // Современные информационные технологии и ИТ-образование. / Сб. докл. научно-практ. конф. / Под ред. проф. В .А. Сухомлина. М.: ИНТУИТ.РУ, 2009. С. 595-602.

82. Матросов А. В. Численно-аналитический алгоритм метода начальных параметров // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 2. С. 72-81.

83. Матросов А. В. Вычислительная неустойчивость алгоритма метода начальных функций / А. В. Матросов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып. 4. С. 30-39.

84. Матросов А. В. Замкнутая форма операторов метода начальных функций для плоской задачи теории упругости ортотропного тела // Вестник Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета. 2010. № 4(22). С. 56-62.

85. Матросов А. В. Расчет гидротехнических сооружений численно-аналитическим методом // Журнал университета водных коммуникаций. 2010. Вып. 1У(УШ). С. 8-14.

86. Матросов А. В. Численно-аналитический расчет балок-стенок на линейно-упругом основании // Журнал университета водных коммуникаций. 2011. Вып. ЩХ). С. 14-21.

87. Мелешко В. В. Бигармоническая задача для прямоугольника: история и современность // Мат. методи та ф1з.-мех. поля. 2004. Т. 47. №3. С. 45-68.

88. Мелешко В. В., Токовый Ю. В. Алгоритм П. Ф. Папковича в методе однородных решений для бигармонической задачи в полуполосе //

89. Известия вузов. Северо-кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск. 2009. С. 88-92.

90. Мелешко В. В., Папков С. О., ван Хейст Г. Я. Ф. Закон асимптотических выражений Бубнова-Кояловича в задаче изгиба жестко защемленной прямоугольной пластины // Известия вузов. Северо-кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск. 2009. С. 82-88.

91. Михлин С. Г. Плоская деформация в анизотропной среде // Тр. Сейсмологического ин-та АН СССР. 1936. № 76. С. 1-19.

92. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М. : Наука (Физматгиз), 1970. 512 с.

93. Нейбер Г. Концентрация напряжений. / Пер. с нем. Н. Н. Лебедева. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1947. 204 с.

94. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

95. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 372 с.

96. Папков С. О. Бесконечные системы линейных уравнений в случае первой основной граничной задачи для прямоугольной призмы // Динамические системы. 2010. Вып. 28. С. 89-98

97. Папкович П. Ф. Теория упругости. Л.-М. : Государственное издательство оборонной промышленности, 1939. 640 с.

98. Папкович П. Ф. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы // Доклады АН СССР. 1940. № 27. С. 335-339.

99. Папкович П. Ф. Два вопроса теории изгиба тонких упругих плит // Прикл. мат. мех. 1941. № 5. С. 359-374.

100. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля. Часть 2. Сложный изгиб и устойчивость стержней. Изгиб и устойчивость пластин. Л. : Судпромгиз, 1941. 960 с.

101. Подстригач Я. С., Столяров В. А. Матрично-операторный метод для решения краевых задач для систем уравнений теории упругости //

102. Мат. методы и физ.-мех. поля / Республ. межвед. сб. Киев : 1975. Вып. 2. С. 3-18.

103. Постнов В. А. Численные методы расчета судовых конструкций. JI. : Судостроение, 1977. 279 с.

104. Прокопов В. К. Об одной плоской задаче теории упругости для прямоугольной области // ПММ. 1952. Т. 16. № 1. С. 45-56.

105. Прокопов В. К. Однородные решения теории упругости и их приложения к теории тонких пластинок // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М. : Наука, 1966. Т. 3. С. 253-259.

106. Прокопов В. К. Обзор работ по однородным решениям теории упругости и их приложениям // Тр. Ленингр. политехи, ин-та. 1967. №279. С. 31-46.

107. Рафальсон Е. О решении бигармонического уравнения // Ученые записки Ленинградского государственного университета. Серия мат. наук. 1952. С. 164-191.

108. Савин Г. Н. Основная плоская статическая задача теории упругости для анизотропной среды // Тр. Института строительной механики АН УССР. 1938. № 32. С. 1-55.

109. Тимошенко С. П. Применение нормальных координат к исследованию изгиба стержней и пластинок // Известия Киевского политехнического института. Отдел инженерной механики. 1910. Книга 1. С. 1-49.

110. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости / Пер. с англ. под ред. Г. С. Шапиро. Изд. 2-е. М. : Наука, Главная редакция физ.-мат. литературы, 1979. 560 с.

111. Филоненко-Бородич М. М. Об одной системе функций и ее приложениях в теории упругости // ПММ. 1946. Т. 10. Вып. 1. С. 192-208.

112. Филоненко-Бородич М. М. Изгиб прямоугольной пластинки, у которой два противоположных края закреплены // Вестник Моск. унта. Сер. физ.-мат и естеств. наук. 1947. № 3. С. 29-36.

113. Филоненко-Бородич М. М. Теория упругости. М. : Государственное издательство физ.-мат. литературы, 1959. 364 с.

114. Чашкин А. В. Лекции по дискретной математике. М. : МГУ, 2007. 260 с.

115. Чекурин В. Ф., Постолаки Л. И. Вариационный метод решения бигармонических задач в прямоугольной области // Мат. методы и физ.-мех. поля. 2008. Т. 51. № 1. С. 88-98.

116. Чехов В. Н., Пан А. В. Про граничні вирази лімітант Кояловича // Доповіді HAH України. 2007. № 3. С. 31-36.

117. Шерман Д. И. Плоская задача теории упругости для анизотропной среды // Тр. Сейсмологического ин-та АН СССР. 1938. № 86. С. 5178.

118. Abushama A. A., Bialecki В. Modified nodal cubic spline collocation for biharmonic equations // Numerical Algorithms. 2006. Vol. 43. N 4. P. 331-353.

119. Bialecki B. A fast solver for the orthogonal spline collocation solution of the biharmonic Dirichlet problem on rectangles // J. Comput. Phys. 2003. N191. P. 601-621.

120. Brahtz J. H. A. The stress function and photo-elasticity applied to dams // Proc. of the American Soc. of Civil Eng. 1935. Vol. 61. N 7. P. 9831020.

121. Celep Z. On the Axially Symmetric Vibration of Thick Circular Plates // Ingenieur-Archiv. 1978. Vol. 47. P. 411-420.

122. Chandrashekhara K., Rao N. K. S. Method of initial functions for the analysis of laminated circular cylindrical shells under axisymmetric loading // Mechanics of Composite Materials and Structures. 1998. Vol. 5(2). P. 187-201.

123. Chekurin V. F., Postolaki L. I. Properties of one system of the homogeneous solutions of a biharmonic equation // Prykl. Probl. Mekh. Mat. 2007. N5. P. 156-162.

124. Chekurin V. F., Postolaki L. I. A variational method for the solution of biharmonic problems for a rectangular domain // Journal of Mathematical Sciences. 2009. Vol. 160. N 3. P. 386-389.

125. Cockburn B., Bo Dong A., Guzman J. Hybridizable and Superconvergent Discontinuous Galerkin Method for Biharmonic Problems // Journal of Scientific Computing. 2009. Vol. 40. N 1-3. P. 141-187.

126. Das Y. C., Setlur A. V. Method of Initial Functions in Two-Dimensional Electrodynamics Problems // Journal of Applied Mechanics. 1970. Vol. 37.N1.P. 137-140.

127. Dougall J. An analytical theory of the equilibrium of an isotropic elastic plate // Trans. Roy. Soc. Edinburgh. 1904. Vol. 41. P. 129-228.

128. Fadle J. Die Selbstspannungs-Eigenwertfunktionen der quadratischen Scheibe : Dr.-Dissertation. Berlin : Technische Hochschule Berlin, 1940. 95 s.

129. Fadle J. Die Selbstspannungs-Eigenwertfunktionen der quadratischen Scheibe//Ing.-Arch. 1940. N 11. S. 125-148.

130. Faraji S., Archer R. R. Method of initial functions for thick shells // Int. J. Solids and Struct. 1985. Vol. 21. N. 8. P. 851-863.

131. Faraji S., Archer R. R. Method of initial functions for thick transversely isotropic shells // Ingenieur-Archiv. 1989. Vol. 60. P. 1-9.

132. Filon L. N. G. On the expansion of polynomials in series of functions // Proc. London Math. Soc. Ser 2. 1907. N 4. P. 396-430.

133. Galileev S. M., Matrosov A. V., Verijenko V. E. Method of initial functions for layered and continuously inhomogeneous plates and shells // Mechanics of Composite Materials. 1994. Vol. 30. N 4. P. 387-392.

134. Galileev S. M., Matrosov A. V. Method of initial functions in the computation of sandwich plates // International Applied Mechanics. 1995. Vol. 31. N6. P. 469-476.

135. Galileev S. M., Matrosov A. V. Stable algorithms of the method of initial functions in the analysis of thick laminated composite // Proc. of the First Int. Conf. On Composite Science and Technology, 18-20 June. Durban, South Africa. 1995. P. 149-154.

136. Galileev S. M., Matrosov A. V. Exact solutions for layered plates and shells // 3rd EUROMECH Solid Mechanics Conference, Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden, 18-22 August. 1997. P. 259.

137. Galileev S. M., Matrosov A. V. Method of initial functions: stable algorithms in the analysis of thick laminated composite structures // Composite Structures. Vol. 39. Nos. 3-4. 1997. P. 255-262.

138. Galileev S. M., Matrosov A. V., Gubin N. N. Exact Three-Dimensional Models for Layered Composites // Composites Modelling and Processing Science / Proc. of Twelfth. Int. Conf. On Composite Materials (ICCM/12), Paris, 5-9 July. 1999. P. 255-262.

139. Gorzelan'czyk P., Kolodziej J. A. Some remarks concerning the shape of the source contour with application of the method of fundamental solutions to elastic torsion of prismatic rods // Eng. Anal. Bound. Elem. 2008. N 32. P. 64-75.

140. Grinchenko V. T. The biharmonic problem and progress in the development of analytical methods for the solution of boundary-value problems // J. Eng. Math. 2003. N 46. P. 281-297.

141. Gudi T., Nataraj N., Pani A. K. Mixed Discontinuous Galerkin Finite Element Method for the Biharmonic Equation // Journal of Scientific Computing. 2008. Vol. 37. N 2. P. 139-161.

142. Guo Chen, Zhilin Li, Ping Lin A fast finite difference method for biharmonic equations on irregular domains and its application to an incompressible Stokes flow // Advances in Computational Mathematics. 2008. Vol. 29. N2. P. 113-133.

143. Hajdin M. Contribution à la solution du problème plan // Publ. Inst. Math. Acad. Serbie Sei. 1953. Vol. 5. P. 53-62.

144. Horvay G. The end problem of rectangular strips // J. Appl. Mech. 1953. Vol. 20. N1. P. 87-94.

145. Horvay G., Born J. S. The use of self equilibrating functions in solution of beam problems // Proc. 2nd U. S. Nat. Congr. Appl. Mech. 1955. P. 267276.

146. Horvay G., Born J. S. The use of self equilibrating functions in solution of beam problems // J. Math, and Phys. 1955. Vol. 3. N 4. P. 267-276.

147. Horvay G. Thermal stresses in rectangular strips // Proc. 2nd U. S. Nat. Congr. Appl. Mech. 1955. P. 313-322.

148. HorvayG. Biharmonic eigenvalue problem of the semi-infinite strip // Quart. Appl. Math. 1957. Vol. 15. N 1. P. 65-81.

149. Horvay G. Some aspects of Saint-Venant's principle // J. Mech. and Phys. Solids. 1957. Vol. 5. N 2. P. 77-94.

150. Horvay G., Born J. S. Some mixed boundary-value problems of the semiinfinite strip // J. Appl. Mech. 1957. Vol. 24. N 2. P. 261-268.

151. Iyengar K. T. S. R., Pandya S. K. Application of the method of initial functions for the analysis of composite laminated plates // Archive of Applied Mechanics. 1986. Vol. 56. N 6. P. 407-416.

152. Iyengar K. T. S. R., Pandya S. K. Analysis of Orthotopic Rectangular Thick Plates // Fibre Science and Technology. 1983. N 18. P. 19-36.

153. Iyengar K. T. S. R., Chandrashekhara K., Sebastian V. K. On the Analysis of Thick Rectangular Plates // Ingenieur-Archiv. 1974. Vol. 43. N 5. P. 317-330.

154. Jeon Y., McLean W. A new boundary element method for the biharmonic equation with Dirichlet boundary conditions // Advances in Computational Mathematics. 2003.Vol. 19. N 4. P. 339-354.

155. Karageorghis A. Efficient MFS algorithms in regular polygonal domains //Numerical Algorithms. 2009.Vol. 50. N 2. P. 215-240.

156. Koepcke W. Über das Randwertproblem an rechteckigen Platten : Dr.-Dissertation. Berlin : Technische Hochschule Berlin, 1940. 87 s.

157. Kryloff N. Sur différents procédés d'intégration approchée en physique mathématique // Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse Sci. Math. Sci. Phys. 1925.Vol. 17. P. 153-186.

158. Lamé G. Leçon sur la théorie mathémathique de l'élasticité des corps solids. Paris : Bachelier, 1852. 335 p.

159. Mathieu É. Sur l'équilibre d'élasticité d'un prisme rectangle // C.R. Acad. Sci. Paris. 1880. Vol. 90. P. 1272-1274.

160. Mathieu É. Mémoire sur l'équilibre d'élasticité d'un prisme rectangle // J. Ec. Polytech. (Paris). 1881. Vol. 30. P. 173-196.

161. Mathieu E. Théorie de l'élasticité des corps solides. Paris : Gauthier-Villars, 1890.219 p.

162. Matrosov A.V. Method of initial functions in the theory of anisotropic plates with arbitrary boundary conditions // Proc. of the First Int. Conf. on Composite Science and Technology, 18-20 June. Durban, South Africa. 1995. P. 341-346.

163. Meleshko V. V., Gomilko A. M. On the bending of clamped rectangular plates // Mech. Res. Commun. 1994. N 21. P. 19-24.

164. Meleshko V. V. Equilibrium of elastic rectangle: Mathieu-Inglis-Pickett solution revisited // Journal of Elasticity. 1995. N 40. P. 207-238.

165. Meleshko V. V. Bending of an elastic rectangular clamped plate: Exact versus "engineering" solutions // J. Elast. 1997. N 48. P. 1-50.

166. Meleshko V. V., Gomilko A. M. Infinite systems for a biharmonic problem in a rectangle // Proc. R. Soc. London, Ser. A. 1997. Vol. 453. P. 2139-2160.

167. Meleshko V. V. Biharmonic problem in a rectangle //Appl. Sci. Res. 1998. Vol. 58. P. 217-249.

168. Meleshko V. V., Gomilko A. M., Gourjii A. A. Normal reactions in a clamped elastic rectangular plate // J. Eng. Math. 2001. N 40. P. 377398.

169. Meleshko V. V. Selected topics in the history of the two-dimensional biharmonic problem // Applied Mechanics Review. 2003. Vol. 56. N 1. P. 33-85.

170. Meleshko V. V. Superposition method in thermal-stress problems for rectangular plates // International Applied Mechanics. 2005. Vol. 41. N 9. P. 1043-1058.

171. Mesnager A. Sur l'application de la théorie de l'élasticité en calcul des pieses rectangulaires flechies // C.R. Acad. Sci. Paris. 1901. Vol. 132. P. 1475-1478.

172. Mesnager A. Formule en série simple de la plaque uniformément chargée, encastrée sur un contour rectangulaire plan // C.R. Acad. Sei. (Comptes Rendus de l'Académie des sciences). 1917. Vol. 164. P. 169-172.

173. Nádai A. Die Formänderungen und die Spannungen von rechtickigen elastischen Platten // Z. Ver. Deuts. Ing. 1914. Vol. 58. P. 486-494, 540550.

174. Neuber H. Kerbspannungslehre. Berlin : Julius Springer-Verlag, 1937. 331p.

175. Paschoud M. Sur l'application de la méthode de W Ritz à l'étude de l'équilibre élastique d'une plaque carrée mince : doctorat thèse. Gauthier-Villars, Paris. 1914. 98 p.

176. Pickett G. Solution of rectangular clamped plate with lateral load by generalized energy method // ASME J. Appl. Mech. 1939. Vol. 6. P. 168170.

177. Rao N. S. V. K., Das Y. C. Mixed Method in Elasticity // Journal of Applied Mechanics. 1977. Vol. 44. N 1. P. 51-56.

178. Ribière C. H. Sur divers cas de la flexion des prismes rectangles : doctorat thèse. Bordeaux : 1889. 123 p.

179. Ritz W. Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik // J Reine Angew. Math. (Journal für die Reine und Angewandte Mathematik). 1908. Vol. 135. P. 1-61.

180. Salvati M. II calcolo della lastra piano rettangolare con carico unifórmente. Bari : Accolti-Gil, 1936.234 p.

181. Timoshenko S. P. The approximate solution of two-dimensional problems in elasticity // Philos. Mag. Ser. 6. 1924. Vol. 47. P. 1095-1104.

182. Timpe A. Probleme der spannungsverteilung in ebenen Systemen, einfach, gelöst mit Hilfe der AIRYschen Funktion : dissertation. Leipzig : Teubner, 1904. 93 s.

183. Timpe A. Probleme der Spannungsverteilung in ebenen Systemen, einfach gelöst mit Hilfe der AIRYschen Funktion // Z. Math. Phys. 1905. Vol. 52. S. 348-383.

184. Tölcke F. Wasserkraftanlagen // Handbibliothek für Bauingenieur. Berlin : 1938. S. 358-408.

185. Vlasov V. Z. The method of initial functions in problems of theory of thick plates and shells // Proc. 9th Int. Cong. Theor. Appl. Mech. Belgium. Brussels : 1957. Vol. 6. P. 321-330.

186. Vlasov V. Z., Leont'ev N. N. Beams, Plates and Shells on Elastic Foundaitions. — Jerusalim : Israel Program for Scientific Translations, 1966. 357 p.