автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Построение и анализ математических моделей деформации упругих стержней с приложением к определению условий замкнутости молекул ДНК

На правах рукописи

ТИМОШЕНКО Дмитрий Владимирович

ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЕФОРМАЦИИ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ С ПРИЛОЖЕНИЕМ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ УСЛОВИЙ ЗАМКНУТОСТИ МОЛЕКУЛ ДНК

Специальность:

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Таганрог 2008

003461601

Работа выполнена в ГОУВПО «Таганрогский государственный педагогический институт».

Научный руководитель: . доктор физико-математических наук,

профессор Илюхин Александр Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Жорник Александр Иванович (ТГПИ, г. Таганрог)

доктор физико-математических наук, профессор Соловьёв Аркадий Николаевич (ДГТУ, г. Ростов-на-Дону)

Ведущая организация: Саратовский государственный университет

им. Н.Г. Чернышевского, г. Саратов

Защита состоится « 22 » января 2009 г. в 14-20 на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 Южного федерального университета по адресу: 347928, ГСП-17 А, Ростовская область г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д- 406.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344000, Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «_20_» декабря 2008 г.

Просим Вас прислать отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью учреждения, по адресу: 34792&сгр®|^^&^остовская область, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44,

Ученый секретарь Диссертационного совета^ доктор технических наук,

АН. Целых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Построение математических моделей деформации упругих стержней представляет интерес с точки зрения теории упругости, а так же для описания с помощью этих моделей поведения реальных физических объектов, близких по своим свойствам к упругим стержням. К таким объектам относятся ряд деталей механизмов и машин, элементы инженерных сооружений и конструкций (например, космические тросовые системы). Высокие требования к точности расчёта рабочих характеристик упругих элементов конструкций ставят перед необходимостью совершенствования математических моделей, описывающих поведение упругих элементов конструкций, модификации известных и созданию новых методов качественного и количественного анализа этого поведения.

Кроме того, в последние годы в работах ряда отечественных и зарубежных учёных было предложено применение механической модели упругого стержня к исследованию биологических макромолекул, и, прежде всего, молекул дезоксирибонуклеиновой кислоты - ДНК. Суть такого подхода заключается в представлении молекулы ДНК в качестве одномерного континуального объекта -упругого стержня - и исследовании изменения конфигураций молекулы в ходе ее существования как деформаций упругого стержня различными видами внешних нагрузок. К основоположникам этого направления относятся отечественные учёные М.Д. Фрашс-Каменецкий и А.И. Клттайгородский. а также американцы К. Бенхем и Д. Хёрст, независимо друг- от друга в начале 80-х годов прошлого века обосновавшие применимость стержневой модели при определении механических параметров молекулы ДНК и её возможных пространственных конфигураций. Дальнейшее развитее это направление получило в трудах ряда отечественных и зарубежных специалистов, среди которых отметим работы У. Олсона и Дж. Уайта (США), Дж. Мэдцокса (Швейцария), Ватади и Тсуру (Япония), Н.Н. Козлова, Т. М. Энеева (ИПМ им. М.В. Келдыша), Е.И. Кугушева и Е.Л. Старостина (МГУ).

Во всех перечисленных направлениях при изучении деформации гибкого стержня одной из основных задач является определение возможных форм, которые может принимать стержень в результате деформации, а также установление механических параметров стержня и характеристик воздействия, позволяющих получить требуемую конфигурацию стержня. Одним из типов конфигураций стержня, представляющим значительный интерес и сравнительно мало изученным, являются замкнутые конфигурации. Определение условий замкнутости стержневых объектов находит своё применение в задачах проектирования систем пассивной гравитационной стабилизации ИСЗ вследствие того, что условия, при которых возможно образование замкнутых конфигураций, являются предельным случаем для допустимых воздействий на такие системы. Знание условий, обеспечивающих образование замкнутых конфигуращш, поможет подобрать оптимальные механические характеристики стержневых элементов при проектировании подобных систем и избежать необратимого негативного влияния агрессивной космической среды. С другой стороны, благодаря известной кинетической аналогии Кирхгофа, условия образования стержнями замкнутых конфигураций в аналитической динамике будут соответствовать условиям существования периодических движений твёрдого

з

тела, имеющего неподвижную точку. Такие движения представляют наибольший интерес.

С точки зрения применения теории стержней в исследованиях пространственных конфигураций молекулы ДНК, отметим, что результаты экспериментов показывают зависимость многих физиологически важных регулягорных механизмов в процессе жизнедеятельности клетки от замкнутости третичной структуры молекулы ДНК.

Из сказанного вытекает необходимость исследования условий замкнутости упругих стержней и их систем, а также выявление факторов, влияющих на их пространственную конфигурацию в целом.

Цель диссертационной работы состоит в построении и исследовании математических моделей деформации упругих стержней, обобщающих модель Кирхгофа, путём последовательного изменения предположений о характере взаимосвязей между механическими параметрами стержня и последующем применении построенных моделей к изучению пространственных конфигураций молекулы ДНК и, главным образом, - к нахождению условий, обеспечивающих образование замкнутых конфигураций ДНК.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Разработать математическую модель деформации естественно закрученного стержня, учитывающую связи между характеристиками деформации и механическими параметрами стержня, обобщающие соотношения Кирхгофа.

2. Построить математическую модель деформации стержня, учитывающую вращательные взаимодействия микрочастиц вещества, из которого выполнен стержень.

3. В рамках математической модели деформации криволинейного стержня, основанной на теории Кирхгофа с помощью универсального геометрического метода исследования конфигурации деформированного стержня доказать существование замкнутых конфигураций стержневых объектов и получить аналитические условия замкнутости в общем виде.

4. Проинтегрировать систему уравнений Эйлера - Кирхгофа при предположениях, принимаемых для построенных в работе математических моделей. Исследовать механические эффекты, описываемые новыми решениями. Использовать построенные математические модели в задаче определения условий замкнутости молекул ДНК.

5. Разработать и программно реализовать алгоритмы численного определения значений параметров математических моделей, обеспечивающих замкнутость стержневого объекта с помощью найденных решений системы уравнений Эйлера - Кирхгофа, и провести численный эксперимент на их основе.

Методы исследования опираются на теоретическую механику, дифференциальную геометрию, теорию упругости и численный анализ.

Достоверность результатов вытекает из их математического обоснования, подтверждается доказательными утверждениями и леммами, иллюстрируется экспериментальными данными, свидетельствующими о применимости построенных в работе математических моделей к исследованным обьектам.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Предложена математическая модель деформации естественно закрученного и растяжимого стержня, в которой уравнения состояния обобщают соотношения Кирхгофа. Последнее отличает предложенную модель от аналогов в области исследования конфигураций естественно закрученных стержней и позволяет объяснить ряд экспериментально наблюдаемых механических эффектов, возникающих при их деформации. В частности, при исследовании конформаций молекул ДНК в рамках модели деформации естественно закрученного стержня, выявлены ограничения на способность молекулы ДНК к сверхспирализации.

2. Построена математическая модель деформации стержня на основе несимметричной теории упругости. Модель отличается от известных тем, что учитывает моментные напряжения внутри материала стержня, возникающие в результате вращательного взаимодействия образующих материал микрочастиц. Это позволяет оценить интегральное влияние интенсивности моментных напряжений в материале стержня на его геометрию. Последнее оказывается существенным .при изучении конфигурации молекулы ДНК, для которой вращательные взаимодействия компонент весьма значительны.

3. В рамках математической модели деформации криволинейного стержня, основанной на теории Кирхгофа, с помощью общего геометрического метода исследования конфигурации деформированного стержня доказано существование, и получены аналитические условия замкнутости стержневых объектов. Данные условия отличаются от известных аналогов инвариантным характером относительно математической модели и дают численные значения параме!ров решений системы уравнений деформации, при которых конфигурация стержня является замкнутой. Это позволяет определять допустимые для осуществления замкнутости механические параметры стержня и характеристики внешних воздействий.

4. Получены два точных решения системы уравнений Эйлера - Кирхгофа в случае равных жёсткостей стержня на изгиб. Найденные решения позволили в рамках единого математического аппарата оценить влияние новых механических факторов, учитываемых при построении каждой математической модели, на характер условий замкнутости и вид замкнутых конфигураций. Теоретические результаты, полученные при анализе построенных моделей интерпретированы в задаче определения условий замкнутости молекулы ДНК Это позволило объяснить ряд экспериментально наблюдаемых в поведении молекулы явлении.

5. Разработаны и программно реализованы алгоритмы численного определения значений механических параметров упругого стержня и параметров внешних воздействий, при которых стержень в результате деформации образовывает замкнутые конфигурации. Предложенные алгоритмы отличаются инвариантностью относительно вида решения системы уравнений Эйлера -Кирхгофа, а также математической модели деформации стержня и позволяют определять значения конструктивных параметров с заданной точностью.

Основные положения, выносимые на защиту: 1. Математическая модель деформации естественно закрученного стержня, учитывающая связи между характеристиками деформации и механическими параметрами стержня, обобщающие соотношения Кирхгофа.

2. Математическая модель деформации стержня, учитывающая вращательные взаимодействия микрочастиц, образующих его вещество.

3. Точные решения системы уравнений Эйлера - Кирхгофа, полученные в рамках построенных математических моделей деформации стержня.

4. Условия существования замкнутых конфигураций стержневых объектов.

5. Алгоритмы численного определения механических параметров замкнутых конфигураций стержневых объектов, учитывающие математическую специфику предложенных моделей.

Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере разработанных математических моделей и возможности ''интерпретации результатов моделирования одновременно в нескольких областях.

Внедрение и использование результатов работы. Полученные в работе результаты использованы: в ГОУВПО «Таганрогский государственный педагогический институт» на физико-математическом факультете в процессе . преподавания курсов «Уравнения матемашческой физики», «Дополнительные главы математического анализа», «Избранные вопросы теоретической физики». Внедрение результатов работы подтверждено соответствующими актами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: IV региональной конференции «Молодёжь XXI века - будущее российской науки» (Ростов-на-Дону, РГУ, 2005 г.); VII всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2006г.); Международной научно-технической конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, 2006 г.); XIV международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2007 г.); международной конференции «Классические задачи динамики твёрдого тела» (Донецк, Украина, 2007 г.); международной научно-технической конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, • 2007 г.); III, IV всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморское, 2007, 2008 гг.); международной конференции «Проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, ЮФУ, 2007 г.); международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твёрдого тела» (Донецк, Украина, 2008 г.).

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 12 печатных работ, из них три в изданиях, входящих в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденный ВАК

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного раздела, заключения, списка литературы. Основное содержание работы изложено на 155 страницах, включая список литературы из 102 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель исследования, основные положения, выносимые на защиту, ставятся основные задачи исследования.

б

Первая глава посвящена описанию общего метода исследования пространственных конфигураций деформированного упругого стержня с помощью решений системы уравнений Эйлера - Кирхгофа, описывающей его деформации. Приводится обоснование применимости стержневых моделей к исследованию пространственной конфигурации биополимеров и, прежде всего, молекул ДНК.

Ш

1

m

-с,

.«у

а) участок моянулы ДНК содержащий две пары оснований.

6) участок млткуяы ДНК в) эквивалентный

содержаний 120 ООО пер оснований. упругий стержень. Рис. 1 Механическая модель мжкуяыДНК

Суть механической модели молекулы ДНК (рис. 1)' состоит в том, что молекуле ставиться в соответствие упругий стержень,' ось которого совпадает с гипотетической осью молекулы, а боковая поверхность - с гипотетической боковой поверхностью молекулы, а также обладающий близкими к молекуле механическими характеристиками. Поведение такого стержня под действием внешних сил считается эквивалентным поведению молекулы ДНК в естественной для нее среде.

В рамках математической модели деформации стержня, основанной на классической теории Кирхгофа, на примере двух точных решений системы уравнений Эйлера - Кирхгофа исследуются условия, при которых стержни могут образовывать замкнуше конфигурации. Полученные условия интерпретированы в задаче определения условий образования замкнутых конфигураций молекул ДНК. Выбранные решения получены при близких предположениях относительно механических свойств деформируемого объекта, однако описывают различные исходные состояния.

Система уравнений Эйлера - Кирхгофа в векторной форме имеет вид: — (М+Л) = (М + А)хт+Р{ехг),

(1)

где <и(ед,/»,,^) - вектор Дарбу оси стержня, Р - равнодействующая концевых сил, М (М,, А/3, М,) - вектор-момент внутренних сил, у (;-,. . /3) - единичный вектор вдоль концевой силы, - единичный вектор касательной к оси

стержня, вектор Я (Л,Д,;у характеризует форму оси стержня к первоначальном состоянии. Дифференцирование по дуговой координате .г производится в главных осях изгиба и кручения. Система дифференциальных уравнений (1) содержит девять неизвестных величин: м„ у,- со, 1, 2, 3) поэтому является незамкнутой. Для того чтобы получить недостающие три уравнения, привлекают к

рассмотрению уравнения теории упругости. В классической теории стержней Кирхгофа эти замыкающие уравнения имеют вид:

+ (2) и

где <ц° — компоненты в главных осях изгиба.и кручения вектора Дарбу для недеформированного состояния, щ— компоненты матрицы жёсткостей стержня. В дальнейшем рассматриваются изотропные стержни (В, =0,1*]). Система уравнений (1) совместно с замыкающими • соотношениями (2) допускает два общих интеграла:

Г,2+Г32+5= 1. (3)

Мху1 + + М2уг = А", (4)

третий интеграл, в случае равенства нулю недаагональных компонентов матрицы жёсткостей, имеет вид:

+ в.по>1 + В-ло>] - 1Рух = 2Я, (5)

В работе используются следующие равнения для координат точек оси деформированного стержня - упругой линии - в цилиндрической системе координат:

Р2=р [(м + хМ,

<1а_рКу1-{М1+Хх)

<к М/

Ц

Система равенств (6), (7) и (8) полностью определяет значения координат точек упругой линии на решениях системы дифференциальных уравнений (1). При таком подходе к определению перемещений точек оси стержня нет необходимости в интегрировании кинематических уравнений Эйлера и вычислении углов Эйлера в качестве промежуточных переменных. В основу метода качественного исследования пространственных конфигураций деформированных стержней, используемого в работе, положено следующее представление упругой линии Ь стержня: в цилиндрической системе координат 3 (рис. 2) в трёхмерном пространстве рассматриваются две поверхности: первая определяется уравнениями (б) и (7), вторая - уравнениями (6) и (8). Первая поверхность является цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна концевой силе р, а направляющая совпадает с проекцией упругой линии на с плоскость, перпендикулярную концевой силе р. В дальнейших исследованиях эту проекцию будем Рис.2 Цитндричесте координаты обозначать П. Вторую поверхность можно получить точек упругой тмш

вращением вокруг оси о<г3 кривой, называемой меридианом, М, уравнения которой в плоскости получаются из (6) и (8) заменой /> -> . Упругую

(б)

(7)

(8)

£

линию стержня представляем как линию пересечения двух описанных поверхностей. С точки зрения качественного анализа основные свойства поверхностей и упругой линии вполне определяются свойствами двух плоских кривых: проекции П и меридиана N. В исследованиях геометрического характера, проведённых в работе, основным моментом является анализ на точных решениях уравнений Эйлера - Кирхгофа свойств кривых П и N в зависимости от значений свободных параметров, входящих в уравнения этих кривых.

Правые части уравнений (6), (7) и (8) для известных решений задачи будут иметь определённую структуру, в частности, координаты р, а, могут быть представлены в виде функций вспомогательной переменной г.

* = «(<). Р = Р('), <Гз=Сз(')- (9)

Отличать параметризацию (9) от естественной будем лишь в случав, когда связь между дуговой координатой л- и вспомогательной переменной / имеет вид не интегрируемого в элементарных функциях соотношения

<и

1-Ш

(10)

где /(г) — непрерывная функция. Следует отметить, что для большинства известных точных решений уравнений Эйлера - Кирхгофа связь между sut имеет вид (10).

При исследовании свойств упругой линии, координаты которой, как правило, задаются в виде функций аргумента / решения системы уравнений Эйлера - Кирхгофа используются два утверждения, которые позволяют не только установить определенное соответствие отдельных частей кривой П, но и указал, алгоритм построения кривой при любых значениях j по некоторой известной её части.

Теорема 1.1. Пусть производная ~ предстаеима как

da.

= ¿(0^7, л ибо ^ = Ж

¿1 " ¿1 "7^7'

где функция л(() в точке 1 = принимает конечное значение, причём эта точка не является для неё точкой ветвления. Тогда точки кривой П, которым на упругой линии соответствуют точки со значениями я^) и дуговой

координаты расположены симметрично относительно луча а = ои, где а3 — значение угла а при = .г, )-

а f/7 —X/"

) »

к. J /

Рис. 3 Схема построения проекции е цехом по изеестной её части

Теорема 1.2. Пусть в условиях теоремы 1 производная — имеет вид

где л(?) в точке / =/, принимает конечное значение, не равное нулю. Тогда точки упругой линии с дуговыми координатами j,(/) и s3(i) проектируются в одну точку плоскости, перпендикулярной концевой силе.

С помощью приведенных теорем для произвольного решения системы уравнений (1) найдены условия, при которых стержень в результате деформации может образовывать замкнутые конфигурации. Условия замкнутосш формулируются в терминах представления оси стержня с помощью уравнений (б), (7), (8) в цилиндрической системе координат и имеют вид:

т, к - целые числа.

Теорема О. Условия (11), (12) являются необходимыми и достаточными для замкнутости пространственной конфигурации стержня.

Теорема 1.4. Система уравнений (11), (12) имеет решение, поскольку интегралы в левой части указанных уравнений представимы в виде комбинаций эллиптических интегралов первого и второго рода и непрерывно зависят от параметров задачи через эллиптический модуль и пределы интегрирования.

Таким образом, из соотношений (11) и (12) можно определить ограничения на конструктивные параметры математической модели, а следовательно и на механические параметры стержня, при которых конфигурация стержня будет замкнутой.

В данной главе исследованы два точных решения системы уравнений Эйлера - Кирхгофа (1) с замыкающими соотношениями (2). Первое соответствует прямолинейному, а второе - криволинейному исходному состоянию деформируемого стержня. Для обоих случаев определены механические параметры стержня и характеристики внешних воздействий, допускающие образование замкнутых конфигураций. Полученные условия интерпретированы в задаче определения пространственной конфигурации молекулы ДНК с помощью модели упругого стержня как условия, при которых могут быть получены и стабильно существовать замкнутые конфигурации молекулы при условиях ее первоначально прямолинейной конфигурации и конфигурации в виде винтовой линии.

Вторая глава посвящена построению математической модели деформации естественно закрученного и растяжимого стержня, в основу которой положена теория Лурье - Джанелидзе. Отличие такой модели от модели, основанной на классической теории Кирхгофа, заключатся в ином характере связи между различными видами деформации, что выражается в изменении замыкающих соотношений (2). Необходимость построения такой модели следует из того факта,

(Н)

(12)

ю

что использование замыкающих соотношений системы уравнений Эйлера -Кирхгофа в форме (2), полученной в классической теории, приводило к заметным погрешностям в исследовании деформаций естественно закрученных стержней. Сказанное в полной мере относится и к молекулам нуклеиновых кислот, которые обладают очень высокой степенью закрученностн (спирализации). В качестве новых замыкающих соотношений для системы (1) берутся соотношения, полученные Г.Ю. Джанелидзе:

Л/, = Д (сц - /•) + Е{1 г - туе, Л/2 =j5,Ü)j.

рг\ р

М3 = г, = —i + -(/, -Г>-(*1 -г), (13)

где Е - модуль Юнга, Q - площадь поперечного сечения стержня, Г -геометрическая жёсткость при кручении 1Р - полярный момент инерции сечения стержня относительно центра тяжести, г - первоначальное (естественное) кручение стержня, е - относительное удлинение в процессе деформации.

Для системы дифференциальных уравнений (1) с замыкающими соотношениями (13) интегралы (4), (5) найдены в новой форме, учитывающей величину естественной закрученностн:

в^ + вМг^^пЬ^^-Рг'-в^ук, (14)

iW + B2{ai + + 2гсЧ[^ Ру\ - Д j =■ Я, (15)

интеграл (3) сохраняет свою форму. Для случая равных жёсгкостей стержня на изгиб: = в, найден четвёртый интеграл системы (1):

B^-r^Mtzply^c,. (16)

С помощью че тырёх интегралов (3), (14) - (16), получено точное решение системы дифференциальных уравнений Эйлера - Кирхгофа в виде эллиптических функций Якоби дуговой координаты оси стержня. Найденное решение содержит девять свободных параметров. В рамках предложенной математической модели установлены следующие механические эффекты: кручение стержня не является постоянным по длине, как это имеет место при использовании теории Кирхгофа, кроме того, величина кручения стержня заключена в пределах, зависящих от конструктивных параметров и концевых усилий. Применительно к задаче об определении конфигураций молекул ДНК указаны условия, при которых молекула будет замкнута.

Третья глава посвящена построению на основе несимметричной теории упругости математической модели деформации стержня, учитывающей моментаые взаимодействия микрочастиц вещества, из которого он состоит.

Наглядно этот механизм можно проиллюстрировать на примере молекулы ДНК, где в качестве микрочастиц выступают четыре типа нуклеотидных оснований, которые могут совершать вращения вокруг удерживающих их водородных связей (рис. 1). В результате этого между структурными компонентами молекулы возникают дополнительные моментньте напряжения. .Математически это выражается в несимметричном характере тензоров моментных и силовых напряжений. Такая модель позволяет оценить интегральное

п.

влияние интенсивности моментных взаимодействий микрочастиц вещества стержня как на его способность образовывать замкнутые конфигурации, так и на возможные формы равновесия вообще, при одинаковых, по сравнению с ранее рассмотренными моделями, воздействиях внешней среда- Учёт моментных взаимодействий микрочастиц вещества оказывается существенным при исследованиях конфигураций стержневых объектов, обладающих малыми размерами, в частности, при исследованиях конформаций молекул ДНК с помощью стержневой модели. С другой стороны, построение такой модели важно с точки зрения самой теории стержней поскольку появляется возможность анализа поведения известных общих и частных решений системы уравнений Эйлера - Кирхгофа, а также построения новых с учётом изменения взаимосвязей между силовыми и геометрическими характеристиками поведения стержня.

Уравнения равновесия стержня с учетом моментных взаимодействий микрочастиц его вещества в случае деформации распределенной торцевой нагрузкой имеют вид:

(V,, - + «ЛД, + ^ =

где Ру, с,, - компоненты несимметричных тензоров моментных и силовых напряжений, еф - компоненты тензора Леви - Чивита в главных осях изгиба и кручения стержня; латинские индексы принимают значения от 1 до 3, греческие от 2 до 3, по повторяющимся латинским индексам подразумевается суммирования от 1 до 3, а по греческим от 2 до 3.

Граничные условия на боковой поверхности стержня представимы в виде:

-^^¡^^»Л =°. + "а/',, = 0 08)

Тензоры деформации и кривизны в главных осях изгиба и кручения в даадном представлении имеют вид:

Э„, (19)

где в, -компоненты вектора поворота.

Условия Сандру, накладываемые на компоненты тензоров деформаций и кривизн, могут быть записаны следующим образом:

+ + . ^(V,Г, + <ЦКГВ«V + ))->> (20)

где 6,, - символ Кронекера.

Относительно свойств материала предполагаем, что стержень является однородным, изотропным и связь между силовыми и геометрическими компонентами представима в виде:

I = 7. ^ = У'У,, + м,! = 2 +

• + + С21)

12

где константы Д Л, //, <>, у определяют физические свойства материала.

Реше1ше уравнений (17) - (20) трехмерной задачи построено в виде асимптотических рядов по малому параметру, а также определены порядки разложений для компонентов тензоров деформаций, напряжений, и вектора перемещений:

у= ¿Г^г'Э.ОЭ,. £"= ¿х^'ДвЭ,, й= ¿»Мг'Э,, ¿ = (22)

к—1 *.-4 »—4

В качестве малого параметра выбрана величина е= А//, где А - характерный размер поперечного сечения стержня, I - длина кривой, описывающей его ось.

В случае нулевого приближения для коэффициентов разложения основных переменных задачи получена система уравнений и граничных условий

с? =2мТ^К^' (23)

Ы]. <> -Г?). • /'Г = Дк?+<> -*?>.

"а<40) -0, - о , на дп

Установлено, что решение системы уравнений нулевого приближения должно удовлетворять дополнительным соотношениям, вытекающим из интегральных условий разрешимости задачи первого приближения. С помощью уравнений и граничных условий для определения коэффициентов разложения тензоров моментных и силовых напряжений получены дополнительные соотношения для компонент тензора силовых напряжений:

1(7^=1^^ = 0. (24)

а о

В данной главе также осуществлено расщепление трёхмерной задачи теории упругости (17) - (20) на систему двумерной задачи в плоскости поперечного сечения стержня и одномерной задачи для функций дуговой координаты $ оси стержня. При помощи указанных задач получены замыкающие соотношения для системы уравнений (1), связывающие геометрические и силовые характеристики деформации стержня с учетом моментных взаимодействий частиц его вещества:

Л/, =5,о1 + А/2 =Яп«о,+ М3 = +А^а^. (25)

В соотношениях (25) коэффициенты Д, являются функциями силовых напряжений, коэффициенты л, в соотношениях характеризуют вклад моментных напряжений, возникающих между частицами в процессе деформации, в величину компонент вектора-момента. Показано, что величины Ъ-а и Вп в соотношениях (25) обращаются в нуль без каких-либо дополнительных ограничений на характер деформаций или свойства деформируемого объекта. Последнее означает, что учет моментных напряжений не приводит к изменению структуры замыкающих соотношений системы уравнений Эйлера - Кирхгофа посредством появления величин, зависящих от силовых напряжений. Таким образом, при отсутствии моментных напряжений (д =о) замыкающие соотношения (25) переходят в соотношения, соответствующие классической теории Кирхгофа. Анализ выражений для коэффициентов А, показал, что коэффициент А, является

13

величиной неотрицательной, таким образом, учёт моментных напряженки приводит к увеличению сопротивления материала стержня деформации кручения (увеличению суммарной жёсткости) и, как следствие, к увеличению крутящего момента М.. В ходе исследований также показано, что А2=А>. Последнее соотношение носит общий характер, поскольку получено без каких-либо дополнительных ограничений на систему уравнений (17) - (20) трёхмерной задачи. С учетом сказанного соотношения (25) приобретают форму:

Мх = В, <Я1 + А, <ЦМ2 = В2а>2 + А «и,, -В,ю2 +Ац. (26)

Наеденные соотношения позволяют завершить построение математической модели деформации стержня, основанной на моментной теории упругости. Для системы уравнений Эйлера - Кирхгофа (1) с замыкающими соотношениями (26) найдено общее решение в случае равных жёсткостей на изгиб, с помощью полученного решетки найдены ограничения на механические параметры стержня, при которых возможно существование замкнутых конфигураций.

Четвёртая глава содержит описание алгоритмической реализации предложенных методов исследования пространственной конфигурации деформированных стержневых обьектов. В частности, приведён алгоритм численного определения механических параметров упругого стержня, а также параметров внешних воздействий, при которых возможно образование его замкнутых конфигураций, и представлена программная реализация предложенного алгоритма. Данный алгоритм разработан на основе метода локализации и вычисления нулей полинома произвольной степени с коэффициентами общего вида с помощью сортировки. Необходимость применения указанного метода определяется тем, что одним из ключевых этапов нахождения условий замкнутости стержня и вида его пространственной конфигурации в рамках предложенных математических моделей является вычисления нулей полинома специального вида, определяющего зависимость между дуговой координатой оси деформированного стержня и аргументом точного решения системы дифференциальных уравнений Эйлера - Кирхгофа. Коэффициенты полинома, при этом, зависят от параметров решения системы уравнений Эйлера - Кирхгофа.

а) Замкнутые конфигурации молекул ДНК б.) Примеры замкнутых конфигураций стерж ня,

(съёмка с пожпиью млкроскопа) пощтенных с помощью построенных моделей.

Рис. 4 Сравнение наблюдаемых замкнутых конфигураций молекул ДНК с замкнутыми к</нфигурсщия.щ1 стержня, полученными с иоающю построенных моделей.

Приводится детальное описание программной реализации предложенных алгоритмов, а также описание вычислительных экспериментов, результаты которых интерпретированы в задаче определения условий существования замкнутых конфигураций молекул ДНК. Результаты вычислительных экспериментов показали качественное совпадение замкнутых форм упругого стержня, получаемых с помощью предложенных в работе математических моделей, с реально наблюдаемыми замкнутыми конфигурациями молекул ДНК (рис. 4).. Проанализирована зависимость вида замкнутых конфигураций стержня от его механических характеристик.

В заключении обобщаются основные результаты диссертационной работы, характеризуется их научная новизна, ошечается практическая значимость проведенных исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Основной результат диссертационной работы заключается в построении и анализе совокупности взаимосвязштых математических моделей Деформации упругих стержней и исследовании с помощью построенных моделей условий замкнутости молекул ДНК, а также интерпретация полученных результатов в технических задачах теории стержней и динамике твёрдого тела. Работа содержит следующие научные результаты:

1. Математическая модель деформации естественно закрученного стержня, учитывающая связи между характеристиками деформации и механическими параметрами стержня, обобщающие соотношения Кирхгофа.

2. Математическая модель деформации стержня, учитывающая вращательные взаимодействия микрочастиц, образующих его вещество.

3. Точные решения системы уравнений Эйлера - Кирхгофа, полученные в рамках построенных матемашческих моделей деформации стержня.

4. Условия существования замкнутых конфигураций стержневых объектов.

5. Алгоритмы численного определения механических параметров замкнутых конфигураций стержневых объектов, штариантные относительно исследуемого решения системы уравнений Эйлера - Кирхгофа.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ Публикации в изданиях, входящих в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий», утвержденный ВАК РФ.

1. Илюхин A.A., Тимошенко Д.В. Новый метод определения условий замкнутости молекул ДНК. - Обозрение прикладной и промышленной математики. - Москва, 2006, т. 13, вып. 2, с. 322 - 324.

2. Тимошенко Д. В. Обобщение решения Лагранжа на случай псевдоцилиндров. - Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - Х° 2. - 2008. - С. 40 - 42.

3. Илюхин A.A., Тимошенко Д.В. Математическая модель замкнутых молекул ДНК. - Известия Саратовского университета. - 2008. - Т.8. Сер. Математика. Механика. Информатика. - Вып. 3. - С. 32 - 40.

Публикации в других изданиях

4. Илюхин A.A., Тимошенко Д.В. Математический анализ условий

замкнутости молекул ДНК. - В кн.: Материалы Международной XI научно-технической конференции. - «Математические модели физических процессов».-Таганрог. - 2005. - С. 135 - 143.

5. Илюхин A.A., Тимошенко Д.В. О существовании замкнутых конформаций молекул ДНК. - В кн.: Материалы Международной научно-технической конференции «ММА-2006». - «Математические модели и алгоритмы идя имитации физических процессов». Т 1. Физико-математические и физико-технические модели и алгоритмы для имитации физических процессов. -Таганрог. - 2006. - С. 250 - 255.

6. Илюхин A.A., Тимошенко Д.В. Достаточные условия замкнутости молекул ДНК. - Вестник таганрогского государственного педагогического института. Естественные науки. - № 1. - 2006. - С. 48 - 54.

7. Тимошенко Д.В. Применение уравнения Шредингера к исследованию пространственных конфигураций молекул ДНК. - В кн.: Материалы XIV Международной конференции «Ломоносов» ».- Москва. - 2007. - С. 75 - 79.

8. Илюхин A.A., Тимошенко Д.В. Математическая модель ДНК на основе теории закрученных стержней. - В кн.: Труды III Всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». - Ростов-на-Дону. - 2007. - С. 42 - 43.

9 Илюхин A.A., Тимошенко Д.В. Общие интегралы уравнений теории естественно закрученных стержней. - В кн.: Материалы XIII Международной научно-технической конференции. - «Математические модели физических процессов». - Таганрог. - 2007. - С. 230 - 234.

10. Илюхин A.A., Тимошенко Д.В. Точное решение системы уравнений Кирхгофа для естественно закрученного стержня с равными жёсткостями на изгиб. - В кн.: Труды XI Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». - Ростов-на-Дону. - 2007. - С. 144 - 147.

11. Тимошенко Д.В. К теории естественно закрученных стержней. -Вестник Таганрогского государственного педагогического института. Естественные натай. ■- № 1. 2008......С. 93 - 97.

12. Илюхин A.A., Тимошенко Д.В. К одномерной микрополярной теории упругих стержней. - В кн.: Труды IV Всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». -Ростов-на-Дону. - 2008. - С. 49 - 50.

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, состоит в следующем: [1,4-6]- определение условий замкнутости стержневых объектов и их интерпретация в задаче исследования конфигураций молекул ДНК, [3] -аналитическая формулировка условий замкнутости стержня и их интерпретация мри определении конфигурации молекулы ДНК, программная реализация алгоритмов поиска условий замыкания стержня, [8 - 10] - получение основных уравнений математической модели, интегрирование системы уравнений Эйлера -Кирхгофа, [12] - редукция от трехмерной задачи теории упругости к совокупности двумерной и одномерной -задач.

Тип.ТТИ ЮФУ Заказ тир./^экз. /f

Введение.

1. Геометрические исследования деформации стержня двоякой кривизны с приложением к изучению пространственных конфигураций молекул ДНК.

1.1. Основные соотношения.

1.2. Уравнения оси стержня.

1.3. Геометрическое представление упругой линии.

1.4. Вспомогательные утверждения.

1.5. Исследование условий замкнутости первичной структуры молекулы ДНК.

1.6. Случай прямолинейного свободного состояния.

1.7. Выводы.

2. Математическая модель деформации естественно закрученного стержня с равными жёсткостями на изгиб.

2.1. Первые интегралы уравнений Кирхгофа — Джанелидзе.

2.2. Построение аналога решения Лагранжа для естественно закрученного стержня.

2.3. Анализ обобщённых зависимостей.

2.4. Условия замкнутости сверхспирализованной молекулы ДНК для обобщённого решения Лагранжа.

2.5. Выводы.

3. Построение и анализ основных соотношений теории упругих стержней с моментным взаимодействием частиц.

3.1. Исходные соотношения несимметричной теории упругости.

3.2. Построение асимптотической модели.

3.3. Анализ соотношений нулевого приближения и редукция трёхмерной задачи к одномерной.

3.4. Исследование общих соотношений одномерной теории стержней.

3.5. Аналитическая форма условий замкнутости оси молекулы ДНК и оценка влияния параметров моментных взаимодействий.

3.6. Выводы.

4. Программной поиск нулей полинома без ограничений на вид коэффициентов и его приложение к определению условий замкнутости молекулы ДНК.

4.1. Описание метода и комплекса программ вычисления нулей полинома произвольной степени с коэффициентами общего вида.

4.2. Адаптация метода поиска нулей полинома на основе сортировки к математическим моделям деформации упругих стержней.

4.3. Исследование зависимости вида замкнутых конфигураций стержня от значений параметров математических моделей.

4.3.1. Случай винтовой линии.

4.3.2. Случай прямолинейного исходного состояния стержня.

4.3.3. Случай естественно закрученного стержня.

4.4. Выводы.

Актуальность темы диссертации. Построение математических моделей деформации упругих стержней представляет интерес как с точки зрения теории упругости, так и с точки зрения описания с их помощью поведения реальных физических объектов. Среди причин, объясняющих значительный интерес к задачам деформации гибких стержней, можно выделить следующие. Гибкие стержни, прямолинейные и криволинейные, являются конструктивными элементами многих механизмов и приборов, выполняя, как правило, функции гасителей, либо накопителей энергии колебания недеформируемых частей. Другой важной областью применения гибких стержней служат системы пассивной стабилизации искусственных спутников, учитывающие неоднородность гравитационного поля. В1 этих системах стержни используются в качестве удерживающей связи. Довольно часто деформируемость упругих стержней является причиной, вызывающей колебания абсолютно твёрдых элементов. В силу значительной податливости, тонкие стержни в процессе эксплуатации могут существенно изменять свою форму. Хотя упругие элементы по своей геометрии достаточно просты [14], тем не менее, для определения их оптимальных рабочих характеристик не всегда существуют удовлетворительные теоретические подходы. Использование линейных теорий во многих случаях приводит к значительным погрешностям. В то же время, высокие требования к точности расчёта рабочих характеристик упругих элементов конструкций ставят перед необходимостью совершенствования математических моделей, описывающих поведение гибких элементов конструкций, модификации известных и созданию новых методов качественного и количественного анализа этого поведения.

Следует также упомянуть об известной кинетической аналогии Кирхгофа между задачами деформации гибкого стержня и движения твёрдого тела, имеющего неподвижную точку. Исторически эта аналогии послужила основой для взаимодополнения результатов теории гибких стержней и аналитической динамики. Таким образом, построение новых математических моделей деформации стержней и их последующий анализ представляет интерес и с точки зрения интерпретации этих моделей в динамике твёрдого тела.

Математическая модель одномерного упругого континуума используется для исследования не только собственно стержневых систем, но и при расчёте объектов более сложной конфигурации, при этом, одним из современных направлений применения таких моделей является изучение пространственной конфигурации молекул биологических полимеров, и, прежде всего, молекул дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК) и рибонуклеиновой кислоты (РНК). Это, в свою очередь, расширяет область приложения результатов, полученных в теории гибких стержней. Математическое моделирование пространственной структуры биологических макромолекул, таких как ДНК и белки, является в настоящее время одной из интенсивно развивающихся ветвей молекулярной биологии. Фундаментальность этой проблемы определяется тем, что основные процессы жизнедеятельности клетки во многом зависят от пространственных конфигураций упомянутых макромолекул [63 - 65, 70]. В частности, основная биологическая функция молекулы ДНК состоит в хранении и передаче генетической информации, записанной в виде последовательности нуклеотидов в двойной спирали. Связанное с этим основное требование к структуре ДНК - стабильность и сохранность генов -должно вполне определённым образом сочетаться с изменениями её пространственной конфигурации, например, в процессах взаимодействия с белками [73, 77]. Механические модели совместно с другими подходами позволили установить, что биологически функциональной является кольцевая форма ДНК, в рамках которой подразделяют два уровня топологии ДНК: с узлами и без узлов. Кроме того, каждая из комплементарных цепей должна быть замкнута на себя, что в математическом смысле означает зацепление высокого порядка. Количественной характеристикой заузленности является порядок зацепления Lk (linking number), который является топологическим инвариантом, не изменяющимся ни при каких деформациях и потому непосредственно связанный со свойствами молекулы. В свою очередь, этот инвариант вполне определённым образом связан с геометрией оси молекулы - её пространственной формой. Этой проблеме посвящены работы учёных из Массачусетского Технологического института, института молекулярной генетики РАН, института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН и ряда других. Данные исследования позволили установить взаимосвязь сверхспирализации и структуры ДНК, определить, при каких воздействиях и структурных переходах возможны кроме регулярной р- формы, также Z и Н- формы и некоторые другие. Данный структурный анализ привёл к выводу о важности решения обратной задачи -определения формы оси молекулы, а по ней сделать выводы о структуре4 молекулы ДНК. В лаборатории Ю.С. Лазуркина (Институт молекулярной генетики АН СССР) проводились работы по выяснению влияния сверхспирализации на структуру ДНК. В связи с генной инженерией появились возможности по созданию молекул ДНК со специально синтезированными последовательностями нуклеотидов.

Кроме того, в последнее время в фармакологической промышленности интенсивно развивается метод создания лекарственных препаратов на основе ДНК и РНК-содержащих соединений [80 - 82]. Он основан на том, что даже сравнительно короткие молекулы ДНК (РНК) (около 100 нуклеотидов) обладают гигантским количеством пространственных форм. Такое разнообразие в принципе позволяет подобрать подходящую по форме молекулу ДНК, закрывающую активные центры патогенного соединения (белка или фермента) и препятствующую его разрушительной работе. Основная проблема здесь — поиск экономически эффективного метода определения пространственной структуры короткой молекулы ДНК (РНК) по её нуклеотидному составу (первичной структуре). Наиболее перспективным для решения этой проблемы считается метод математического моделирования. В зарубежных работах это направление получило название драг-дизайна: его суть заключается в предварительном создании с помощью ЭВМ трёхмерной модели молекулы потенциального препарата [80].

Здесь возникает проблема выбора наиболее адекватной изучаемому объекту математической модели, которая, с одной стороны, позволяла бы наиболее точно и полно описать максимальное количество присущих ему свойств, с другой стороны не была бы сложной. На этом пути возникло несколько подходов [53], которые можно объединить в два основных направления [53]:

- первое заключается в представлении молекулы в виде полимерной цепочки с фиксированными валентными углами между составляющими её компонентами, что позволяет, несмотря на малые размеры, рассматривать молекулу ДНК в качестве континуального объекта;

- второе направление предполагает представление молекулы в качестве полимерной цепочки с заторможенным вращением компонентов.

В рамках первого направления, основоположниками которого являются Дж. Уотсон и Ф. Крик, рядом отечественных и зарубежных исследователей (E.JI. Старостин, Е.И. Кугушев, H.H. Козлов, Т. М. Энеев, Дж. ТЙэддокс, К. Бенхем, Дж. Уайт, и др.) в последнее время предпринимались попытки использовать в качестве модели механическую стержневую модель Кирхгофа - Клебша с целью исследования как механических, так и геометрических свойств ДНК, а также с целью объяснения ряда экспериментальных данных. Можно констатировать, что в направлении исследования механических свойств ДНК в работах E.JI. Старостина, Е.И. Кугушева, H.H. Козлова, Т.М. Энеева достигнуты определённые успехи [23, 25, 53], в то же время вопросы, связанные с исследованием геометрии молекул, остаются сравнительно мало изученными. Последнее связано с тем, что до недавнего времени не существовало эффективных методов, позволяющих определить пространственную конфигурацию молекулы ДНК исходя из её физических параметров, а также параметров физико-химического воздействия со стороны активных компонентов среды, таких как белки или ферменты. Причина трудностей, возникавших при определении пространственной конфигурации молекулы в рамках нелинейной стержневой модели, заключалась во внутренних трудностях, возникающих в самой нелинейной теории стержней в процессе качественного анализа геометрии деформированного стержня. Суть проблемы состоит в том,, что исходная система дифференциальных уравнений Кирхгофа содержит интегральные силовые характеристики (компоненты вектора-момента и равнодействующих внутренних сил) и локальные геометрические параметры оси стержня (компоненты вектора Дарбу). В случае малых изменений кривизны и кручения стержня перемещение его точек определяется интегрированием линейных дифференциальных уравнений Клебша. В нелинейной постановке при вычислении перемещений необходимо проинтегрировать кинематические уравнения Эйлера, что представляет собой отдельную проблему, сопоставимую по трудности с основной задачей интегрирования уравнений Эйлера - Кирхгофа. Проблема построения общих уравнений оси деформированного стержня без привлечения дополнительных ограничений была успешно решена в работах A.A. Илюхина [17,18].

В то же время наблюдается отсутствие каких-либо механических моделей, соответствующих второму направлению. В качестве одной из основных причин здесь представляется отсутствие соответствующего теоретического аппарата в самой теории стержней. Для построения модели, учитывающей вращение компонентов, или, другими словами, нецентральные взаимодействия частиц среды, возникает необходимость получить основные соотношения одномерной микрополярной теории стержней.

Одним из основных направлений данной работы является исследование условий, при которых рассматриваемые математические модели описывают замкнутые конфигурации стержневых систем. Интерес к замкнутым конфигурациям стержней вызван с одной стороны, тем, что в упоминавшихся выше задачах гравитационной стабилизации искусственных спутников Земли замкнутые конфигурации стержневых элементов являются переходными к критическому случаю самопересекающихся стержневых элементов. В силу кинетической аналогии Кирхгофа, в динамике твёрдого тела замкнутость конфигурации стержня можно интерпретировать как одно из условии существования периодических движений твёрдого тела. С другой стороны, интерес к замкнутым конфигурациям возникает при исследовании геометрии молекул ДНК, поскольку именно замкнутые конфигурации ДНК играют существенную роль в процессах блокирования активных центров патогенных соединений и клеток при лечении различных заболеваний [72, 73, 77], и, кроме того, замкнутые конфигурации, согласно биологическим исследованиям, являются наиболее благоприятными для передачи генетической информации с наименьшим количеством потерь и нарушений [50]. Результаты экспериментов показывают, что многие физиологически важные регуляторные события напрямую зависят от замкнутости третичной структуры молекулы ДНК [83, 84, 87]. К таким событиям относятся: инициация транскрипции и репликации, транспозиция, интегративная рекомбинация и присоединение гомологичных однотяжевых цепей, распознавание и связывание с некоторыми типами регулятивных ферментов. Эксперименты по рассеиванию рентгеновских лучей под малым углом подтверждают, что одной из наиболее вероятных равновесных конформаций молекулы ДНК в естественной для неё водно-биологической среде являются замкнутые конформации. Следует также отметить, что наряду с естественными внутриклеточными физико-химическими процессами, влияющими на пространственную конфигурацию ДНК, в последние годы проводятся эксперименты по синтезу ДНК заданной конфигурации при помощи силового воздействия на свободные молекулы.

Из сказанного вытекает актуальность исследования условий замкнутости гибких стержней и их систем, а также выявление факторов, влияющих на их пространственную конфигурацию в целом.

Цель диссертационной работы состоит в построении и исследовании математических моделей деформации упругих стержней путём последовательного изменения предположений о характере взаимосвязей между механическими параметрами стержня и последующем применении построенных моделей к изучению пространственных конфигураций молекулы ДНК и, главным образом, - к нахождению условиГ, обеспечивающих образование замкнутых конфигураций ДНК.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Разработать математическую модель деформации естественно закрученного стержня, учитывающую связи между характеристиками деформации и механическими параметрами стержня, обобщающие соотношения Кирхгофа.

2. Построить математическую модель деформации стержня, учитывающую вращательные взаимодействия микрочастиц вещества, из которого выполнен стержень.

3. В рамках математической модели деформации криволинейного стержня, основанной на теории Кирхгофа с помощью универсального геометрического метода исследования конфигурации деформированного стержня доказать существование замкнутых конфигураций стержневых объектов и получить аналитические условия замкнутости в общем виде.

4. Проинтегрировать систему уравнений Эйлера - Кирхгофа при предположениях, принимаемых для построенных в работе математических моделей. Исследовать механические эффекты, описываемые новыми решениями. Использовать построенные математические модели в задаче определения условий замкнутости молекул ДНК.

5. Разработать алгоритмы и программы численного определения значений параметров математических моделей, обеспечивающих замкнутость стержневого объекта с помощью найденных решений системы уравнений Эйлера — Кирхгофа, и провести численный эксперимент на их основе.

Методы исследования опираются на теоретическую механику, дифференциальную геометрию, теорию упругости и численный анализ.

Достоверность результатов вытекает из их математического обоснования, подтверждается доказательными утверждениями и леммами, детально иллюстрируется результатами численного анализа и экспериментальными данными, свидетельствующими о применимости построенных в работе математических моделей к исследованным объектам.

Внедрение и использование результатов работы. Полученные в работе результаты приняты к использованию в процессе преподавания курсов «Уравнения математической физики», «Дополнительные главы математического анализа», «Избранные вопросы теоретической физики», на физико-математическом факультете ГОУВПО «Таганрогский государственный педагогический институт». Внедрение подтверждено соответствующими актами об использовании.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Предложена и исследована математическая модель деформации естественно закрученного стержня, учитывающая обобщённый вид связи между различными механическими характеристиками стержня. Это отличает предложенную модель от аналогов в области исследования конфигураций ДНК и позволяет объяснить ряд экспериментально наблюдаемых для молекул эффектов, а также выявить ограничения на их способность к сверхспирализации.

2. Построена и проанализирована математическая модель деформации стержня, учитывающая вращательные взаимодействия микрочастиц, образующих его вещество. Модель отличается от известных аналогов тем, что позволяет оценить интегральное влияние интенсивности моментных взаимодействий структурных компонентов стержня на его геометрию. Последнее оказывается существенным при изучении конфигурации молекулы ДНК, для которой вращательные взаимодействия компонент весьма значительны.

3. В рамках математической модели деформации криволинейного стержня, основанной на теории Кирхгофа с помощью универсального геометрического метода исследования конфигурации деформированного стержня доказано существование замкнутых конфигураций, и получены аналитические условия замкнутости стержневых объектов. Данные условия отличаются от известных аналогов тем, что дают численные значения параметров решений системы уравнений деформации, при которых конфигурация стержня является замкнутой. Это позволяет определять допустимые для осуществления замкнутости механические параметры стержня и характеристики внешних воздействий.

4. Для рассмотренных в работе математических моделей получены точные решения системы уравнений Эйлера — Кирхгофа, обобщающие решение Лагранжа на соответствующие случаи. Найденные решения позволили в рамках единого математического аппарата оцёнить влияние новых механических факторов, учитываемых при построении конкретной математической модели, на характер условий замкнутости и вид замкнутых конфигураций. Теоретические результаты, полученные при анализе построенных моделей интерпретированы в задаче определения условии замкнутости молекулы ДНК. Это позволило объяснить ряд экспериментально наблюдаемых в поведении молекулы явлений.

5. С учётом специфики исследуемых моделей разработаны алгоритмы численного определения механических параметров замкнутых конфигураций стержневых элементов, и проведён численный эксперимент. Установлено качественное совпадение наблюдаемых экспериментально замкнутых конфигураций молекул с полученными в результате численного эксперимента. Экспериментально установлено соответствие значений параметров и конфигураций замыкания для случаев криволинейного, прямолинейного и естественно закрученного в исходном состоянии стержня.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель деформации естественно закрученного стержня, учитывающая обобщённый вид связи между характеристиками деформации и механическими параметрами стержня.

2. Математическая модель деформации стержня, учитывающая вращательные взаимодействия микрочастиц, образующих его вещество.

3. Точные решения системы уравнений Эйлера - Кирхгофа, полученные в рамках построенных математических моделей деформации стержня.

4. Условия существования замкнутых конфигураций стержневых объектов.

5. Алгоритмы численного определения механических параметре^ замкнутых конфигураций стержневых объектов, учитывающие математическую специфику исследуемых моделей.

Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере разработанных математических моделей и возможности интерпретации результатов моделирования одновременно в нескольких областях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: IV Региональной конференции «Молодёжь XXI века - будущее российской науки» (Ростов-на-Дону, РГУ, 2005 г.); VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2006 г.); Международной научно-технической конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, 2006 г.); XIV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2007 г.); Международной конференции «Классические задачи динамики твёрдого тела» (Донецк, Украина», 2007 г.); Международной научно-технической конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, 2007 г.); Международной конференции «Проблемы механики сплошной средьо

Ростов-на-Дону, ЮФУ, 2007г.); Международной . конференции «Устойчивость, управление и динамика твёрдого тела» (Донецк, Украина, 2008 г.).

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано

12 печатных работ, из них три в изданиях, входящих в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденный ВАК.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного раздела, заключения, списка литературы. Основное содержание работы изложено на 155 страницах, включая список литературы из 102 наименований.

4.4. Выводы.

1. С учётом специфики построенных в работе математических моделей разработан алгоритм и программный комплекс определения численных значений свободных параметров предложенных в работе математических моделей, соответствующих замкнутой конфигурации стержня. В основу алгоритма положен метод локализации и вычисления нулей полиномов с коэффициентами произвольного вида на основе сортировки.

2. Установлены промежутки изменения свободных параметров исследованных математических моделей, в которых осуществляется одновременное замыкание обеих проекций П и N упругой линии стержня.

3. Определены промежутки изменения свободных параметров, в которых одновременная замкнутость проекций неосуществима.

4. Исследована зависимость абсолютной погрешности критерия замкнутости от величины шага численного интегрирования.

5. Выявлено появление дополнительных замкнутых форм равновесия при одинаковых значениях общих свободных параметров двух моделей деформации стержня.

145

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной результат диссертационной работы заключается з построении и анализе совокупности взаимосвязанных математических моделей деформации упругих стержней и исследовании с помощью построенных моделей условий замкнутости молекул ДНК, а также интерпретация полученных результатов в динамике твёрдого тела.

Научная новизна результатов диссертационной работы, заключается в следующем:

1. В рамках стержневой модели, основанной на теории Кирхгофа, с помощью двух точных решений системы уравнений Кирхгофа получены условия, при которых указанные решения описывают семейства замкнутых пространственных конфигураций молекул нуклеиновых кислот. Данные условия отличаются от известных аналогов тем, дают численные значения параметров решений системы, при которых конформация молекулы является замкнутой, что позволяет определять допустимые для замкнутости механические параметры молекулы и интенсивность внешних воздействий.

2. Построена математическая модель естественно закрученного стержня, учитывающая нелинейный характер связи между различными видами деформации с использованием замыкающих соотношений системы уравнений Кирхгофа - Клебша в форме, полученной Г.Ю. Джанелидзе. Это отличает предложенную модель от аналогов в области исследования конфигураций ДНК и позволяет объяснить ряд экспериментально наблюдаемых для молекул эффектов, а также выявить ограничения на их способность к сверхспирализации.

3. Найдено общее решение системы уравнений Кирхгофа - Клебша для случая естественной закрученности при условии равенства жёсткостей на изгиб, обобщающее известное решение Лагранжа. Полученное решение отличается от решения Лагранжа структурой общих интегралов, функциональными зависимостями геометрических и силовых характеристик от дуговой координаты, а также структурой уравнений упругой линии. Это позволило провести качественный и численный анализ влияния естественной закрученности на пространственные конфигурации молекул ДНК и возможность образования ими замкнутых форм. Получены условия, при которых искомое решение описывает замкнутые конфигурации молекулы ДНК, а также ограничения на допустимые пределы величины естественной закрученности. Последнее позволяет дать обоснование экспериментально наблюдаемых у молекул ДНК ограничений на величину сверхспирализации.

4. Построена математическая модель, учитывающая' вращательные взаимодействия микрочастиц, составляющих вещество — микрополярная модель. Найдено общее решение системы уравнений Кирхгофа в случао микрополярной модели при условии равенства жёсткостей на изгиб. Для указанного решения получены условия, при которых оно описывает семейства замкнутых конфигураций молекул ДНК. Построенная модель отличается от известных моделей, учитывающих моментные напряжения, тем, что в её основе лежат уравнения Кирхгофа, а не уравнения псевдоконтинуума Коссера, что позволяет в рамках единого математического аппарата оценить интегральное влияние интенсивности моментных взаимодействий структурных компонентов молекулы на её геометрию, а также провести анализ поведения известных общих и частных решений системы уравнений Кирхгофа и получить новые.

5. С учётом специфики исследуемых моделей разработаны алгоритмы численного определения параметров замкнутости, и проведён численный эксперимент.

1. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. — 1960. — Т.2. — №7.-С. 1399-1409.

2. Аэро Э.Л., Булыгин А.Н., Кувшинский Е.В. Асимметрическая гидромеханика // ПММ. 1965. Т.29. - № 2. - С. 297-308.

3. Воробьёв Ю.С., Шорр Б.Ф. Теория закрученных стержней. — Киев: Наукова думка, 1983. 186 с.

4. Дашевский В. Г., Конформация органических молекул — М.: Наука, 1974.-250 с.

5. Джанелидзе Г.Ю. К теории тонких и тонкостенных стержней. -ПММ . 1949, Т. 13, вып. 6, с. 185 197.

6. Джанелидзе Г.Ю. Соотношения Кирхгофа для естественно скрученных стержней и их приложения. — Труды Ленингр. политехи, ин та, 1946, №1, с. 23 - 32.

7. Джанелидзе Г.Ю. Обобщённые зависимости теории тонких стержней. Доклады АН СССР, 1949, т. 66, № 4, с. 597 - 600.

8. Джанелидзе Г.Ю., Лурье А.И. Задача Сен-Венана для естественно скрученных стержней. Доклады АН СССР, 1939, т. 24, № 1, с. 23 -26.

9. Докшевич А.И. Новое частное решение уравнений движения гиростата, имеющего неподвижную точку. Механика твёрдого тела, Киев: 1970, вып. 2, с. 12 - 15.

10. Елисеев В.В. Теория упругости стержней, основанная на модели оснащённой кривой. Изв. АН СССР. Механ. твёрдого тела, 1976, № 1 с. 163 - 166.

11. Елисеев В.В. Применение асимптотического метода в задаче о . равновесии криволинейного стержня. Изв. АН СССР. Механ. твёрдого тела, 1977, № 3 с. 145 - 150.

12. Иванова Е.А. Учет моментного взаимодействия при расчете изгибной жесткости наноструктур. Доклады РАН, 2003, т. 391, № 6, с. 764768.

13. Илюхин A.A. О деформации упругой линии. Механика твёрдого тела, Киев: 1969, вып. 1, с. 128 - 138.

14. Илюхин A.A. Деформация винтовой пружины — Механика твёрдого тела, Киев: 1971, вып. 3, с. 157 161.

15. Илюхин A.A. Изгиб и кручение изотропного стержня с равными главными жёсткостями при изгибе Механика твёрдого тела, Киев: 1971, вып. 3, с. 161-164.

16. Илюхин A.A. Об одном .методе исследования форм равновесия упругого стержня. Динамика, прочность и долговечность деталей машин, Ижевск: 1978, вып. 2, с. 77-83.

17. Илюхин A.A. Приближённое решение одной задачи о деформации упругого стержня. Механика твёрдого тела, Киев: 1979, вып. 11, с. 98 - 109.

18. Илюхин A.A. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев: Наукова думка, 1979. — 216 с.

19. Илюхин A.A., Щепин H.H. К моментной теории упругих стержней // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2001. Спецвыпуск. С. 92 94.

20. Илюхин A.A., Тимошенко Д.В. Математический анализ условий замкнутости молекул ДНК. В кн.: Материалы Международной XI научно-технической конференции. — «Математические модели физических процессов».- Таганрог. - 2005. - С. 135 — 143.

21. Илюхин A.A., Тимошенко Д.В. Новый метод определения условий замкнутости молекул ДНК. Обозрение прикладной и промышленной математики. - Москва, 2006, т. 13, вып. 2, с. 322 - 324.

22. Илюхин A.A., Тимошенко Д.В. Достаточные условия замкнутости молекул ДНК. Вестник таганрогского государственного педагогического института. Естественные науки. — № 1. — 2006. — С. 48 -54.

23. Илюхин A.A., Тимошенко Д.В. Математическая модель ДНК на основе теории закрученных стержней. В кн.: Труды III Всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». - Ростов-на-Дону. - 2007. -С. 42-43.

24. Илюхин A.A., Тимошенко Д.В. Общие интегралы уравнений теории естественно закрученных стержней. В кн.: Материалы XIII Международной научно-технической конференции. — «Математические модели физических процессов». - Таганрог. — 2007. -С. 230-234.

25. Илюхин A.A., Тимошенко Д.В. К одномерной микрополярной теории упругих стержней. В кн.: Труды IV Всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». - Ростов-на-Дону. - 2008. - С. 49 — 50.

26. Илюхин A.A., Тимошенко Д.В. Математическая модель замкнутыхмолекул ДНК. — Известия Саратовского университета. 2008. — Т.8. Сер. Математика. Механика. Информатика. - Вып. 3. - С. 32 — 40.

27. Ковалёв A.M. Илюхин A.A. К определению параметров оси стержня., деформированного концевыми нагрузками. Механика твёрдого тела, Киев: 1980, вып. 12, с. 100-.108.

28. Кирхгоф Г. Механика. М.: Изд. АН СССР, 1962. - 402 с.

29. Китайгородский А. И. Невалентные взаимодействия атомов в органических кристаллах и молекулах // УФН. 1979. - 127. - вып. 3. -с. 391-419.

30. Козлов H.H., Кугушев Е.И., Сабитов Д.И., Энеев Т.М. Компьютерный анализ процессов структурообразования нуклеиновых кислот. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН № 19, 2002, № 42.

31. Кувшинский Е.В., Аэро Э.Л. Континуальная теория асимметрической упругости. ФТТ. - 1969. - Т. 5. - № 9. - С. 2591-2598.

32. Кугушев Е.И., Старостин E.JI. Математическая модель образованиятрёхмерной структуры ДНК. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 1997, №77.

33. Лурье А.И. О малых деформациях криволинейных стержней. Труды Ленингр. политехи, ин — та, 1941, № 3, с. 47 - 54.

34. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970, 939 с.

35. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980, 512 с.

36. Ляв А. Математическая теория упругости. М. Л.: Гостехиздат, 1935. - 674 с.

37. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

38. Новожилов В.В., Слепян Л. И. О принципе Сен-Венана в динамике стержней. ПММ, 1965, т.29, № 2, с. 261-281.

39. Пальмов, В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости ПММ. 1964, т. 28, вып. 3, с. 401-408.

40. Понятовский В.В. Применение асимптотического методаинтегрирования к задаче тонкого бруса, произвольно нагруженного по боковой поверхности. Инженерный журнал. Механика твёрдоготела, 1968, №5, с. 139-143.

41. Понятовский В.В. Асимптотические разложения в линейной теории плоских стержней. В кн. Пробл. Механики твёрдого тела. — Л.: Судостроение, 1970, с. 341 —351.

42. Понятовский В.В. Асимптотическая теория изгиба кривого бруса. — В кн. Исследования по упругости и пластичности, Л.: Изд-во ЛГУ, 1973, №9, с. 341 -359.

43. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. — Л. — М.: Гостехиздат, 1948. 171 с.

44. Риз П.М. Деформация естественно закрученных стержней. — Доклады АН СССР, 1939, т. 23, № 1,с. 18-21.

45. Риз П.М. Деформация стержня со слабо изогнутой осью Доклады АН СССР, 1939, т. 24, № 2, с. 110 - 113, № 3, с. 229 - 232.

46. Риз П.М. Деформация стержней, закрученных и слабо изогнутых в ненапряжённом состоянии. Труды ЦАГИ, 1940, № 471, с. 37 - 43.

47. Ромм Я.Е. Параллельная сортировка слиянием по матрицам сравнений. II // Кибернетика и системный анализ. 1995. - № 4. - С. 13-37.

48. Ромм Я.Е. Локализация и устойчивое вычисление нулей многочлена на основе сортировки. I // Кибернетика и системный анализ. 2007. -№ 1.-С. 165- 183.

49. Ромм Я.Е. Локализация и устойчивое вычисление нулей многочлена на основе сортировки. II // Кибернетика и системный анализ. 2007. — №2.-С. 161-175.

50. Сен-Венан Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. Перевод с франц. Под ред. Г.Ю. Джанелидзе. М.: Физматгиз, 1961. -273 с.

51. Тимошенко Д.В. Применение уравнения Шредингера к исследованию пространственных конфигураций молекул ДНК. В кн.: Материалы XIV Международной конференции «Ломоносов» » - Москва. — 2007.1. С. 75 79.

52. Тимошенко Д.В. Обобщение решения Лагранжа на случай псевдоцилиндров. Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Естественные науки. - № 2. - 2008. - С. 40 - 42. .

53. Тимошенко Д.В. К теории естественно закрученных стержней. — Вестник таганрогского государственного педагогического института. Естественные науки. № 1. — 2008. - С. 93 - 97.

54. Тумаркин С.А. Равновесие и колебание закрученных стержней. — Труды ЦАГИ, 1937, № 341, с. 3 27.

55. Устинов Ю.А. Задачи Сен-Венана для псевдоцшшндров. М.: Физматлит, 2003. 128 с.

56. Шкутин Л.И. Нелинейные модели деформируемых моментных сред. ПМТФ. - 1980. - № 6. - с. 111-117. i

57. Шкутин Л.И. Механика деформаций гибких тел. М.: Наука, 1988. -127 с.

58. Шкутин Л.И. Обобщенные модели типа Коссера для анализа конечных деформаций тонких тел. ПМТФ. - 1996. - Т. 37. - № 3. -с. 120-132.

59. Шорр Б.Ф. К экспериментальной проверке растяжения закрученных стержней. — Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Механика и машиностроение, 1959, № 4, с. 176 178.

60. Франк-Каменецкий М.Д., Веденов А.А., Дыхне A.M. Переход спираль клубок в ДНК. - УФН, 1971, т. 105, вып. 3, с. 479-519.

61. Франк-Каменецкий М.Д., Лукашин А.В. Электронно-колебательные взаимодействия в многоатомных молекулах. УФН, 1975, т. 116, вып. 2, с. 193-229.

62. Эринген, А.К. Теория микрополярной упругости, тт. 1,2. М.: Мир, 1975.

63. Математические методы для анализа последовательностей ДНК. Под ред. М.С. Уотермена. М.: Мир. - 350 с.

64. Nowacki W. Theory of Asymmetrie Elasticity. Oxford, New-York, Toronto et al: Pergamon-Press, 1986. -383 pp.

65. Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories. I. Foundations and Solids. -Berlin, Heidelberg, New-York et al: Springer-Verlag. 1999. 325 pp.

66. Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories. II. Fluent Media. Berlin, Heidelberg, New-York et al: Springer-Verlag. 2001. - 342 pp.

67. Benham C.J. Elastic model of supereoiling. Proc. Natl. Acad. Sei. USA, 74. (1977), p. 2397-2401.

68. I. Tobias, D. Swigon, and B.D. Coleman, Elastic stability of DNA configurations: I. General theory. Phys. Rev. E 61 (2000) 747-758.

69. B.D. Coleman, D. Swigon, and I. Tobias, Elastic stability of DNA configurations: II. Supereoiling of miniplasmids. Phys. Rev. E 61 (2000) 759-770.y

70. D. Swigon, Configurations with self-contact in the theory of the elastic rod model for DNA. Rutgers University, New Brunswick (1999). 255 pp.

71. G. Kirchhoff, Über das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich dünen elastischen Stabes. J. Reine angew. Math. (Crelle) 56 (1859) 285313.

72. A. Clebsch, Theorie der Elasticität Fester Körper, Teubner, Leipzig (1862).

73. D.S. Horowitz and J.C. Wang, Torsional rigidity of DNA and length dependence of the free energy of DNA supereoiling. J. Mol. Biol. 173 (1984) 75-91.

74. C. A. Hunter. Sequence-dependent DNA Structure: The Role of Base Stacking Interactions. J. Mol. Biol., 230:1025-1054, 1993.

75. C. Bouchiat and M. Mezard, Elasticity model of supercoiled DNA molecule. Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 1556-1559.

76. T. R. Strick, J.-F. Allemand, D. Bensimon, A. Bensimon, and V. Croquette, The elasticity of a single supercoiled DNA molecule. Science 271 (1996) 1835-1837.

77. Frank-Kamenetskii, M. D., Lukashin, A. V., Anshelevich, V. V. &

78. Vologodskii, A. V. 1985 Torsional and bending rigidity of the double helix from data on small DNA rings. J. Biomol. Struct. Dynam. 2, 1005-1012.

79. Le Bret, M. 1984 Twist and writhing in short circular DNAs according to first-order elasticity. Biopolymers 23, 1835-1867.

80. R. S.Manning, J. H.Maddocks, and J. D. Kahn. A continuumrodmodel of sequence-dependent DNA structure. J. Chem. Phys., 105(13):5626—5646,1996.

81. Manning, R. S., Rogers, K. A. & Maddocks, J. H. 1998 Isoperimetric conjugate points with application to the stability of DNA minicircles. Proc. R. Soc. Lond. A454, 3047-3074.

82. J. F. Marko. Stretching must twist DNA. Europhys. Lett., 38(3):183-188,1997.

83. J. H. Marko. DNA under high tension: Overstretching, undertwisting, and relaxation dynamics. Phys. Rev. E, 57(2):2134-2149, 1998.

84. J. F. Marko and E. D. Siggia. Bending and twisting elasticity of DNA. Macromolecules, 27:981-988, 1994.

85. J. F. Marko and E. D. Siggia. Fluctuations and Supercoiling of DNA. Science, 265:506-508, 1995.

86. J. F. Marko and E. D. Siggia. Statistical mechanics of supercoiled DNA. Phys. Rev. E, 52(3):2912-2938, 1995.

87. J. F. Marko and E. D. Siggia. Stretching DNA. Macromolecules, 28:87598770, 1995.

88. Olson, W. K, Gorin, A. A., Lu, X.-J., Hock, L. M. & Zhurkin, V. B. 1998 DNA sequence-dependent deformability deduced from protein-DNA crystal complexes. Proc. Natl Acad. Sei. USA 95, 11163-11168.

89. Starostin, E. L. 1996 Three-dimensional shapes of looped DNA. Meccanica 31,235-271.

90. T. R. Strick, V. Croquette, and D. Bensimon. Homologous Pairing in Stretched Supercoiled DNA. Proc. Natl. Acad. Sei. USA, 95( 18): 1057910583, 1998.

91. S. B. Smith, L. Finzi, and C. Bustamante. Direkt Mechanical Measurements of the Elasticity of Single DNA-Molecules by using Magnetic Beads. Science, 258:1122- 1126, 1992.

92. H. Schiessel, W. M. Gelbart, and R. Bruinsma. DNA Folding: Structural and Mechanical Properties of the Two-Angle Model for Chromatid. Biophys. J., 80:1940 1956, 2001.

93. C. Storm and P. Nelson. The bend stifftiess of S-DNA. arXiv:physics/0212032, 2002.

94. C. Storm and P. Nelson. Theory of High-Force DNA Stretching and Overstretching. arXiv:physics/0206088, 2002.

95. T. Schlick and W. K. Olson. Supercoiled DNA Energetics and Dynamics by Computer Simulation. J. Mol. Biol., 223:1089-1119, 1992.

96. J. M. Schurr and K. S. Schmitz. Dynamic light-scattering-studies of biopolymers effects of charge, shape, and flexibility. Annual Review of Physical Chemistry, 37:271-305, 1986.

97. A. V. Vologodskii and N. R. Cozzarelli. Modeling of Long-Range Electrostatic Interactions in DNA. Biopolymers, 35:289-296, 1995.

98. Wang, J. C. 2002 Cellular roles of DNA topoisomerases: a molecular perspective. Nat. Rev. Mol. Cell. Biol. 3, 430^140.

99. J. Widom. A relationship between helical twist of DNA and the ordered positioning of nucleosomes in all eukariotic cells. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 89(3):1095-1099, 1992.

100. G. J. L. Wuite, S. B. Smith, M. Young, D. Keller, and C. Bustamante: Single molecule studies of the effect of template tension on T7 DNA polymerase activity. Nature, 404:103-106, 2000.

101. White, J. H., Lund, R. A. & Bauer, W. R. 1996 Twist, writhe, and geometry of a DNA loop containing equally spaced coplanar bends. Biopolymers 38, 235-250.