автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование ламинарного течения вязкой среды в каналах произвольной формы

На правах рукописи

Васильева Елена Игоревна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ СРЕДЫ В КАНАЛАХ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новокузнецк - 2013

3 ОКГ 2013

005534167

005534167

Работа выполнена в Новокузнецком институте (филиале) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Каледин Валерий Олегович,

доктор технических наук, профессор, Новокузнецкий институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Калашников Сергей Николаевич, доктор технических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный индустриальный университет», профессор кафедры информационных технологий в металлургии

Пимонов Александр Григорьевич, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Кузбасский государственный технический университет имени Т.Ф. Горбачёва», профессор кафедры прикладных информационных технологий

Ведущая органи- Федеральное государственное бюджетное учреждение зация науки «Институт теоретической и прикладной механики

им. С.А. Христиановича Сибирского отделения РАН»

Защита состоится «23» октября 2013 года в 10-00 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.252.02 в ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный индустриальный университет» по адресу: 654007, Россия, г. Новокузнецк, Кемеровская обл., ул. Кирова, 42, факс (3843) 46-57-92, E-mail: sibsiu_ais@mail.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный индустриальный университет».

Автореферат разослан «&» сентября 2013 года.

Ученый секретарь ^__

диссертационного совета /^^У7 В.Ф. Евтушенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Рабочие процессы во многих технических устройствах, таких, как вентиляционные трубопроводы, пульпопроводы, проточные каналы двигателей и других, связаны с течением газов и жидкостей в каналах сложной формы при числах Рейнольдса, меньших критических. Совершенствование конструкции таких устройств невозможно без расчета параметров происходящих в них физических процессов, которые основываются на решении уравнений математической физики. Математическое моделирование сложных связанных процессов в технических устройствах включает решение задачи о течении вязкой среды как один из этапов и требует многократно вычислять поля скоростей движущейся среды.

Однако существующие методы и алгоритмы решения задач о течении вязкой среды связаны с необходимостью решения «жестких» систем уравнений и недостаточно экономичны. Одной из трудностей является проблема корректной постановки граничных условий на входе в канал с учетом распространения возмущений вверх по потоку жидкости или газа. В существующих моделях кинематические и силовые параметры потока на входе и выходе не могут задаваться раздельно, и не все их возможные комбинации корректным образом замыкают краевую задачу течения. Как следствие, малые возмущения параметров потока на границах, неизбежные при использовании сеточных методов интегрирования уравнений движения, вызывают значительное изменение рассчитанных параметров потока в канале, и для достижения высокой точности требуются большие затраты вычислительных ресурсов. Вторая причина высокой вычислительной сложности существующих алгоритмов заключается в том, что характерные времена процессов, обусловленных силами вязкости и силами упругости, различаются на много порядков при низкоскоростном течении, когда среда слабо сжимаема.

Поэтому для решения прикладных задач расчета течений вязкой среды актуально построение таких математических моделей, которые описывают ламинарное течение среды при действии сил вязкости, не

отражают упругой реакции среды на деформацию и исключают возможность конфликта граничных условий.

Работа выполнялась в соответствии с планом НИР Новокузнецкого института (филиала) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет».

Целью работы является разработка моделей, алгоритмов и программ для расчёта скоростей и внутренних напряжений при ламинарном течении вязкой среды через канал произвольной формы с автоматическим обеспечением корректности граничных условий на входе и выходе.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи

1. Построить реологическую модель течения среды без внутренних связей и сил упругости, переходящую в пределе в модель течения несжимаемой среды.

2. Сформулировать краевую задачу для уравнений движения модельной среды, в которой граничные условия автоматически согласованны.

3. Разработать схему дискретизации и алгоритм численного решения полученной краевой задачи.

4. Разработать компьютерную программу, реализующую алгоритм расчёта ламинарного течения вязкой среды в каналах произвольной формы.

5. Исследовать сходимость численного решения при сгущении сетки.

6. Апробировать разработанную модель, алгоритм и программу на расчёте течения в канале с препятствием в виде крыла и в канале переменного сечения.

Методы исследования механики сплошных сред, решения краевых задач математической физики, регуляризации некорректных задач, вычислительной математики, алгоритмизации и объектно-ориентированного программирования.

4

Научная новизна работы

1. Математическая модель течения вязкой среды без внутренних связей и сил упругости, характеризующейся тремя физическими параметрами - сдвиговой вязкостью, объемной вязкостью и равновесным давлением, отличающаяся обратимостью реологических уравнений, которые в предельном случае переходят в реологическое уравнение ньютоновой жидкости.

2. Уравнения движения модельной среды в слабой постановке и сформулированы краевые задачи, отличающиеся выделением в граничных условиях главных и естественных составляющих, что обеспечивает отсутствие конфликта граничных условий.

3. Аналитические решения одномерной и двумерной задач, позволяющие оценить точность численного решения путем сопоставления приближенных численных решений с точными.

4. Разрешающие дискретные уравнения, позволяющие определять поля скоростей и давлений модельной среды.

5. Алгоритм численного решения стационарной задачи о течении, основанный на методе установления. Экономичность алгоритма подтверждена решением задачи об обтекании крылового профиля в канале.

6. Коэффициенты местного аэродинамического сопротивления гибких трубопроводов шахтной вентиляции в местах установки стяжных хомутов.

Практическая значимость работы. Результаты диссертации могут быть использованы:

-в расчётах параметров ламинарного течения вязких жидкостей и газов в каналах произвольной формы;

-при проектировании и совершенствовании вентиляционных каналов и трубопроводов;

-при проведении вычислительных экспериментов с использованием разработанного комплекса программ.

Личный вклад автора заключается в выводе уравнений, получении аналитических решений модельных задач, разработке и программ-

ной реализации алгоритма численного решения, проведении расчетов и анализе результатов вычислительного эксперимента.

Реализация результатов. Результаты работы (методика математического моделирования, программа для ЭВМ и результат численного моделирования) использованы в ОАО «НЦ ВостНИИ» при разработке «Дополнений к руководству по проектированию вентиляции угольных шахт», что подтверждено справкой об использовании результатов диссертационной работы.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на: научной конференции «Инновации молодых» (Новокузнецк, 2010); всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2010); «Инновации молодых» (Новокузнецк, 2011); XII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2011); XV Международной научной конференции, посвященной памяти генерального конструктора ракетно-космических систем академика М.Ф. Решетнева «Решетневские чтения» (Красноярск, 2011); «Инновации молодых» (Новокузнецк, 2012); Международной научной и практической конференции «Science and Education» (Wiesbaden, 2012); Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2012); Международной научной конференции «Информационно-вычислительные технологии и математическое моделирование» (Кемерово, 2013).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 11 печатных работах, из них 1 - в рецензируемом периодическом издании из перечня ВАК. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Композит НК Поток» Федерального института промышленной собственности.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы из 115 наименований. Материал диссертации изложен на 110 страницах, содержит 27 рисунков и 7 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, формулируются цель и задачи исследования, научная новизна, практическая значимость полученных результатов, излагается краткое содержание основных глав.

Первая глава содержит анализ постановок и численных методов решения задач о ламинарном течении вязкой жидкости. Отмечается, что одной из проблем, связанных с численным решением краевой задачи, является необходимость итерационного расчёта параметров течения на входной границе. Формулируются задачи исследования и способы её решения.

Вопросы построения моделей и получения численных решений задач о течениях жидкости являются предметом обширного круга работ, начиная с классических трудов Л. Эйлера и Г. Кирхгофа. Определяющий вклад в развитие механики сплошной среды внесли Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Л.Г. Лойцянский, Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе, Ю.Д. Шмыглевский, В.А. Стеклов, С.А. Христианович, а также Дж. Мейз, К. Трусделл и другие исследователи. Современные исследования в области прикладных методов решения задач о низкоскоростном течении жидкостей связаны с именами В.В. Пухначёва, В.Б. Курзина, Н.Ф. Ершова, С.Н. Аристова, К.Е. Афанасьева и многих других.

При малых скоростях течения жидкости и газы хорошо описываются моделью несжимаемой среды, однако такая модель приводит к «жестким» уравнениям. Для построения экономичных численных схем на поле скоростей дополнительно накладываются кинематические связи, либо используются реологические модели, допускающие сжимаемость и учитывающие силы упругости. Это не позволяет полностью устранить разномасштабность моделируемых процессов, приводящую к «жесткости» уравнений. Кроме того, численное решение краевых задач для уравнений движения связано с трудностью выполнения граничных условий для дискретного аналога исходных дифференциальных уравнений.

Поэтому для повышения робастности математических моделей течения вязких жидкостей и газов в каналах произвольной формы необходима разработка новых моделей течения, постановка краевых задач и построение алгоритмов их численного решения в соответствии с этими моделями.

Во второй главе построена математическая модель течения вязкой неупругой среды, основанная на реологической модели без внутренних связей и использовании вариационной постановки задачи, позволяющей разделить граничные условия на главные и естественные. Проведена дискретизация уравнений движения и разработан алгоритм численного решения полученной краевой задачи.

Математическая модель включает в себя реологическое уравнение ао = -My + T,J = + 2ц{е, - ёа5,)~ p'S0- ^

и уравнение движения:

где ¿у - тензор скоростей деформаций, ¿Q = = ^divu - скорость объёмной деформации, м - сдвиговая вязкость, £ - объёмная вязкость, р* -равновесное давление, Ъг проекции объёмной силы, р - плотность жидкости, о - вектор скорости.

Объемная вязкость является регуляризующим параметром. Благодаря его введению соотношение (1) обратимо и позволяет выразить скорости деформаций через напряжения в виде линейного выражения с симметричной положительно определенной матрицей коэффициентов. При стремлении коэффициента объёмной вязкости к бесконечности (#->»). реологическое уравнение (1) переходит в пределе в уравнение ньютоновой жидкости.

Уравнение движения (2) преобразовано в вариационную форму:

("Г + £РЫТ ¿{8o}dn+ jp{u}T mfajjn + ¡{u}TB*TDB*{Su}dn =

= J {g}T{su}dr+jp*{E}TB*{su}da, (3)

SCI Q

где в' - линейный дифференциальный оператор, а> - антисимметричная часть тензора скоростей деформаций, {<?} - граничные напряжения, £>-матрица вязкости, {&}- вариация вектора скорости, п- расчетная область, Ш - её граница.

Для того, чтобы начально-краевая задача для уравнения (3) была корректно разрешимой, граничные условия разделяются на главные

иГ11=ц,иГи=«:. (4)

и естественные (д = а п):

?1г„ = Я.. Г}, иг„»г, д\Ги = д;, г2, иг„,г, ^ = ч\, Г2„ и г,„ 5 Г. (5)

Дискретизация методом конечных элементов задачи (3) - (5) с дополнительно заданными начальными условиями приводит к уравнению вида:

М Г^р|-ЛГГЛШ{<Уо}+ {и}Г^7'ж{&}+ {и}Т ^рМ7 а}ШП{Зи}+

+ {и}Т £ВТОВсК1{Зи} = ^ Мг шг{3и]+^ р*в1т{5и\ ^

где N - матрица, содержащая базисные интерполяционные функции, в — матрица деформаций.

Стационарное течение описывается уравнением (6), если положить равной нулю первую производную по времени. Для решения полученного уравнения разработан алгоритм, основанный на неявной разностной схеме по времени и методе установления.

В третьей главе исследуется точность численного решения на модельных задачах о плоском и пространственном течении вязкой жидкости в каналах. Показано, что численное решение сходится к точному решению при уменьшении размеров элементов сетки. С увеличением коэффициента объёмной вязкости решение стремится к точному решению для несжимаемой жидкости. Сходимость решения обеспечивается при любом выборе реологического параметра - равновесного давления, но точность может быть улучшена за счёт его подходящего выбора из априорной информации о решении.

Пример 1. Для одномерного течения модельной среды найдено точное аналитическое решение уравнение движения в безразмерном виде:

со

„„„ - X _ ояц где х = —, и = ——. Ь рЬ

Полученное отличие численного решения от точного не превысило 0,04% (рисунок 1).

1.1 ¡и 03 С/» 0,5 М 0.7 ад Ь9 1 у

Рисунок 1 — Зависимость скорости от продольной координаты при значениях коэффициента объёмной вязкости 1) 0,3,2) 10,3) 100,4)

500

Пример 2. Для двумерного течения модельной среды уравнение

движения в частном случае ц = принимает вид:

2 2 д их + д их

дх" ду~

Я'

дих : дх

(8)

(9)

Аналитическое решение для частного случая граничных условий:

их = 10 ' втСурМх) +--——^^-, -£-—

6 + 12//

приведено на рисунке 2 вместе с графиком численного решения (ломаная линия). Отличие между численным и аналитическим решением не

ю

превышает 2% уже на сетке, содержащей 5 элементов по ширине канала.

и и

0.8 м

0.4

03

Со у I ¡а г V з у

Рисунок 2 - Распределение скорости по ширине канала. Аналитическое и численное решение.

Пример 3. Течение вязкой жидкости в плоском канале при заданном перепаде давления.

Параболическая зависимость скорости от расстояния до неподвижных стенок (течение Пуазейля) в безразмерном виде имеет вид:

и = 4(1 -у)у, (10)

где у = , Ар - перепад давления, I -длина канала, Я-ширина

Н АрН

канала, ц - сдвиговая вязкость.

На рисунке 3 приведены результаты решения при различных значениях объемной вязкости. При её увеличении решение приближается к (10). Показано, что различие между численным решением и течением Пуазейля (10) близко к нулю при любой конечной величине объемной вязкости, если принять равновесное давление р* равномерно уменьшающимся вдоль канала на величину Ар.

плоском канале при увеличении объемной вязкости: = 10; 2)# = 50;

3)£ = 100; 4)£ = 500; 5) течение Пуазейля (£ -»•«).

Пример 4. Плоское обтекание крыла в канале ламинарным потоком.

Решение задачи обтекания профиля крыла, находящегося в канале (рисунок 4), сопоставляется с известными экспериментальными данными.

Рисунок 4- Профиль Цаги Р-Н-12%.

На рисунке 5 приведены зависимости коэффициентов подъемной силы и лобового сопротивления от углов атаки. Отмечается их хорошее совпадение (различие не более 2%) на сетках, содержащих 30-35 узлов на контуре профиля и до 10 тыс. треугольных элементов в расчётной области.

а б в

Рисунок 5 - Зависимости коэффициента лобового сопротивления Сх и коэффициента подъемной силы Су от углов атаки (а, б); поляра Лилиен-

таля первого рода (в).

Основываясь на достигнутом согласовании результатов расчетов контрольных примеров с точными решениями и известными данными, разработанная модель и алгоритм расчета были использованы для определения коэффициентов местного аэродинамического сопротивления гибкого трубопровода шахтной вентиляции в месте установки стяжного хомута (рисунок 6).

г г ч * » 1

» Л. ■» » *

^ -V I» :»_

-г X £ Г- Г: г- :>

г

г%

50

60

70

80

90

Рисунок 6—Поле направлений скоростей потока в трубопроводе

Результаты численного решения были сопоставлены с известными эмпирическими оценками коэффициентов потерь в конфузоре и в диффузоре. На рисунке 7 сплошной кривой представлен график зависимости коэффициента сопротивления от отношения диаметров стяжного хомута и трубы. Точками показаны результаты численного расчета по предложенной методике при ^/^ = 500.

Полученные результаты согласуются с известными. При сложной форме канала расчет по разработанной методике позволит более точно описать течение, при этом расчет на компьютере занимает менее одной минуты.

В четвёртой главе описан комплекс программ для расчёта полей скорости и давления при течении вязкой среды.

Разработанные в диссертации программы реализованы в составе исследовательского комплекса программ с открытым кодом «Композит НК», предназначенного для математического моделирования механического поведения сплошных сред и пространственных конструкций с усложненными физико-механическими свойствами. Особенностью про-

14

граммной реализации является использование функционально-объектной парадигмы, которая заключается в организации взаимодействия объектов (конечных автоматов) путем задания их функциональных зависимостей, таких, что значение зависимых объектов однозначно определяется значениями объектов-аргументов. Эти зависимости задаются графически в виде функционально-объектной схемы с помощью подсистемы визуального программирования.

Использование средств комплекса «Композит» требует разработки функционально-объектных схем алгоритмов и программной реализации классов конечных автоматов на языке С++.

Для программной реализации алгоритма были разработаны классы на языке С++, вычисляющие локальные матрицы масс, вязкости, конвективных масс и эквивалентных узловых сил в соответствии с дискретной моделью, разработанной в главе 2, а также классы, необходимые для организации итерационного процесса при решении задачи течения модельной среды.

На рисунке 8 приведена функционально-объектная схема алгоритма решения задачи о течении модельной среды методом установления.

Рисунок 8 - Функционально-объектная схема алгоритма решения

На разработанный комплекс программ получено свидетельство о государственной регистрации.

Заключение и выводы. В диссертации решена актуальная научно-практическая задача расчета параметров ламинарного течения вязкой среды в канале произвольной формы и получены следующие выводы.

1. Построена математическая модель течения вязкой среды без внутренних связей и сил упругости, характеризующейся сдвиговой и объемной вязкостью, содержащая дополнительный структурный параметр - равновесное давление, и показано, что предложенные реологические уравнения обратимы и переходят в уравнение ньютоновой жидкости в пределе при бесконечном увеличении объемной вязкости.

2. Сформулирована начально-краевая задача о течении модельной среды в слабой вариационной постановке, в которой уравнения движения выведены из уравнения сохранения импульса в эйлеровой форме, а в граничных условиях выделены главные и естественные составляющие, что обеспечивает отсутствие конфликта граничных условий.

3. Разрешающие уравнения относительно узловых скоростей дискретной модели, позволяющие определять поля скоростей и давлений модельной среды, сохраняют положительную определенность матрицы коэффициентов при докритических скоростях потока.

4. Разработан алгоритм численного решения стационарной задачи о течении модельной среды, основанный на методе установления, включающий однократное вычисление матриц вязкости и итерационное вычисление матрицы конвективных масс, вектора сил инерции и следующего приближения узловых скоростей путем решения системы линейных уравнений высокого порядка.

5. Разработан комплекс прикладных программ расчета течения вязкой среды с открытым кодом, который может быть использован для определения параметров низкоскоростного течения жидкостей и газов в каналах технических устройств.

6. Численное решение сходится к точному решению модельных задач при сгущении сетки и к точному решению задачи о течении несжимаемой жвдкости при увеличен™ коэффициента объемной вязкости. Погрешность решения в контрольных примерах не превышает 2%.

7. Достоверность результатов расчета коэффициентов аэродинамических сил при плоском обтекании крылового профиля в канале подтверждена сравнением с известными данными экспериментальных измерений. Различие составило не более 2% на сетке из 10 тыс. треугольных элементов.

8. Разработанные модель, численный метод расчета параметров течения и реализующий его комплекс программ использованы для определения коэффициентов местных аэродинамических сопротивлений шахтного вентиляционного трубопровода со стягивающим хомутом и могут быть использованы при расчете низкоскоростного ламинарного течения вязких жидкостей и газов в каналах произвольной формы, что подтверждает практическую значимость работы.

ОСНОВНЫЕ ТРУДЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в периодических изданиях, рекомендованных ВАК

1. Аульченко, С.М. Моделирование ламинарного течения вязкой сжимаемой жидкости при малых скоростях / С.М. Аульченко, Е.И. Васильева, В.О. Каледин // Вестник КемГУ. - 2013. - № 2 (54). - Т. 1. -С. 170-174.

Статьи, опубликованные в сборниках научных конференций

2. Васильева, Е.И. Математическая модель течения вязкой сжимаемой жидкости, обтекающей оболочку вращения / Е.И. Васильева // Инновации молодых: сб. науч. тр. - Новокузнецк, 2010. - С. 6-8.

3. Васильева, Е.И. Модель течения вязкой сжимаемой жидкости со специальным определяющим уравнением / Е.И. Васильева // Краевые задачи и математическое моделирование: сб. науч. ст.: в 3 т. - Новокузнецк, 2010. - Т. 1. - С. 52-58.

4. Васильева, Е.И. Численное решение задачи плоского течения

вязкой сжимаемой жидкости / Е.И. Васильева, В.О. Каледин // Инновации молодых: сб. науч. тр. - Новокузнецк, 2011. - С. 10-14.

5. Васильева, Е.И. Численное решение стационарной задачи о течении вязкой сжимаемой жидкости / Е.И. Васильева // Математическое моделирование и информационные технологии: тезисы док. науч. конф. -Новосибирск, 2011. - С. 36.

6. Васильева, Е.И. О точном решении задачи движения вязкой сжимаемой жидкости в канале прямоугольной формы / Е.И. Васильева // Молодой учёный - 2011. - № 9. - С. 7-10.

7. Аульченко, С.М. Численная схема для приближённого расчёта дву- и трёхмерного течения вязкой сжимаемой жидкости / С.М. Аульченко, Е.И. Васильева, В.О. Каледин // Решетневские чтения: материалы XV междунар. науч. конф.: в 2 ч. - Красноярск, 2011. - Ч. 2. - С. 535536.

8. Васильева, Е.И. Расчёт поля скоростей одномерной задачи динамики вязкой сжимаемой жидкости / Е.И. Васильева // Инновации молодых: сб. науч. тр. - Новокузнецк, 2012. - С. 39-44.

9. Васильева, Е.И. Численное моделирование обтекания крыла конечного размаха с аэродинамическим профилем цаги P-II потоком вязкой сжимаемой жидкости / Е.И. Васильева // Краевые задачи и математическое моделирование: сб. науч. ст. - Новокузнецк, 2012. - С. 30-34.

10. Васильева, Е.И. Численное решение задачи об обтекании крыла потоком вязкой сжимаемой жидкости [Электронный ресурс] / Е.И. Васильева, В.О. Каледин // Информационно-вычислительные технологии и математическое моделирование: сб. тр. конф. - Кемерово: Изд-во КемГУ, 2013.-1 эл. опт. диск (CD-ROM) - Загл. с экрана. - № гос. регистрации в ФГУП НТЦ «Информрегистр» 0321302759.

11. Aulchenco, S.M. About accuracy of the numerical scheme of integration motion equation of solid viscous fluid / S.M. Aulchenco, E.I. Vasi-lyeva, V.O. Kaledin // materials of the international research and practice conference. - Wiesbaden, 2012. - P. 13-19.

Свидетельство о регистрации программы на ЭВМ

12. Каледин В.О., Васильева Е.И. Композит НК Поток. РОСПАТЕНТ. Свидетельство № 2012660806 от 28.11.2012.

18

Васильева Елена Игоревна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ СРЕДЫ В КАНАЛАХ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать 11.09.2013 г. Формат 60x84 х116. Бумага писчая. Ризография. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,04. Тираж 100 экз. Заказ 256.

Новокузнецкий институт (филиал) Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» 654000, г. Новокузнецк, пр. Металлургов, 19, тел. (3843) 74-15-41 Редакционно-издательский отдел

Новокузнецкий институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

На правах рукописи

\1. ппл ил 1. о л

Васильева Елена Игоревна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ СРЕДЫ В КАНАЛАХ

ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Каледин В.О.

Новокузнецк -2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..........................................................................................................4

1. АНАЛИЗ ПОСТАНОВОК И ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.................11

1.1 Уравнения движения и граничные условия..........................................11

1.2 Основные реологические модели движения вязких сред....................16

1.3 Численные методы решения задач о течении сплошной среды.........18

1.4 Постановка задач исследования и выбор методов исследования.......28

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ................................................................................................................31

2.1 Реологическая модель..............................................................................31

2.2 Краевая задача течения модельной среды.............................................36

2.3 Дискретизация краевой задачи о течении модельной среды..............42

2.4 Алгоритмы решения задачи о течении модельной среды...................45

2.5 Выводы по главе 2....................................................................................48

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НА МОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ...............................................................................50

3.1 Одномерное течение модельной среды.................................................50

3.2 Двумерное течение модельной среды....................................................56

3.3 Приближение течения модельной среды к течению ньютоновой жидкости.........................................................................................................62

3.4 Обтекание крыла в канале ламинарным потоком................................67

3.5 Расчёт местных сопротивлений гидравлических трубопроводов......72

3.6 Выводы по главе 3....................................................................................79

4. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ.....80

4.1 Характеристика исследовательского комплекса программ «Композит НК»..................................................................................................................80

4.2 Программная реализация вычисления локальных матриц конечных элементов........................................................................................................82

4.3 Программная реализация сборки и факторизации глобальных матриц ..........................................................................................................................88

4.4 Программная реализация алгоритма решения методом установления ..........................................................................................................................89

4.5 Выводы по главе 4....................................................................................91

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................................................................92

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.................................................................................94

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Сведения об использовании результатов.....................106

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Сведения о регистрации программного комплекса.... 110

*

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Рабочие процессы во многих технических устройствах, таких, как вентиляционные трубопроводы, пульпопроводы, проточные каналы двигателей и других, связаны с течением газов и жидкостей в каналах сложной формы при числах Рейнольдса, меньших критических. Совершенствование конструкции таких устройств невозможно без расчета параметров происходящих в них физических процессов, которые основываются на решении уравнений математической физики. Математическое моделирование сложных связанных процессов в технических устройствах включает решение задачи о течении вязкой среды как один из этапов и требует многократно вычислять поля скоростей движущейся среды.

Однако существующие методы и алгоритмы решения задач о течении вязкой среды связаны с необходимостью решения «жестких» систем уравнений и недостаточно экономичны. Одной из трудностей является проблема корректной постановки граничных условий на входе в канал с учетом распространения возмущений вверх по потоку жидкости или газа. В существующих моделях кинематические и силовые параметры потока на входе и выходе не могут задаваться раздельно, и не все их возможные комбинации корректным образом замыкают краевую задачу течения. Как следствие, малые возмущения параметров потока на границах, неизбежные при использовании сеточных методов интегрирования уравнений движения, вызывают значительное изменение рассчитанных параметров потока в канале, и для достижения высокой точности требуются большие затраты вычислительных ресурсов. Вторая причина высокой вычислительной сложности существующих алгоритмов заключается в том, что характерные времена процессов, обусловленных силами вязкости и силами упругости, различаются на много порядков при низкоскоростном течении, когда среда слабо сжимаема.

Поэтому для решения прикладных задач расчета течений вязкой среды актуально построение таких математических моделей, которые описывают ламинарное течение среды при действии сил вязкости, не отражают упругой реакции среды на деформацию и исключают возможность конфликта граничных условий.

Целью настоящей работы является разработка моделей, алгоритмов и программ для расчёта скоростей и внутренних напряжений при ламинарном течении вязкой среды через канал произвольной формы с автоматическим обеспечением корректности граничных условий на входе и выходе.

Идея работы состоит в регуляризации по Тихонову краевой задачи, описывающей течение несжимаемой среды, путём введения искусственно построенной реологической модели среды без внутренних связей и использовании вариационной постановки задачи, позволяющей разделить граничные условия на главные и естественные.

Для достижения цели в работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Построить реологическую модель течения среды без внутренних связей и сил упругости, переходящую в пределе в модель течения несжимаемой среды.

2. Сформулировать краевую задачу для уравнений движения модельной среды, в которой граничные условия автоматически согласованны.

3. Разработать схему дискретизации и алгоритм численного решения полученной краевой задачи.

4. Разработать компьютерную программу, реализующую алгоритм расчёта ламинарного течения вязкой среды в каналах произвольной формы.

5. Исследовать сходимость численного решения при сгущении сетки.

6. Апробировать разработанную модель, алгоритм и программу на расчёте течения в канале с препятствием в виде крыла и в канале переменного сечения.

Методы исследования основаны на использовании:

- известных положений механики сплошных сред;

- методов исследования и решения краевых задач математической физики;

- методов регуляризации некорректных задач;

- численных методов решения краевых задач и вычислительной математики;

методов алгоритмизации и объектно-ориентированного программирования.

Обоснованность и достоверность научных положений и выводов обеспечена корректным применением апробированных методов механики сплошной среды и прикладной математики; исследованием сходимости и точности численного решения; согласованием результатов расчётов с точными решениями модельных задач и известными экспериментальными данными.

Научная новизна работы состоит в том, что:

- построена математическая модель течения вязкой среды без внутренних связей и сил упругости, характеризующейся тремя физическими параметрами - сдвиговой вязкостью, объемной вязкостью и равновесным давлением, отличающаяся обратимостью реологических уравнений, которые в предельном случае переходят в реологическое уравнение ньютоновой жидкости;

- выведены уравнения движения модельной среды в слабой постановке и сформулированы краевые задачи, отличающиеся выделением в граничных условиях главных и естественных составляющих, что обеспечивает отсутствие конфликта граничных условий;

- найдены аналитические решения одномерной и двумерной задач, позволяющие оценить точность численного решения путем сопоставления приближенных численных решений с точными;

- выведены разрешающие дискретные уравнения, позволяющие определять поля скоростей и давлений модельной среды;

- разработан алгоритм численного решения стационарной задачи о течении, основанный на методе установления. Экономичность алгоритма подтверждена решением задачи об обтекании крылового профиля в канале;

- определены коэффициенты местного аэродинамического сопротивления гибких трубопроводов шахтной вентиляции в местах установки стяжных хомутов.

Практическая ценность работы состоит:

- в разработке пакета программ для расчёта параметров ламинарного течения вязких жидкостей и газов в каналах произвольной формы;

- в возможности использования разработанных моделей, алгоритмов и программ при проектировании и совершенствовании вентиляционных каналов и трубопроводов

и подтверждена свидетельством о регистрации программы и справкой об использовании результатов диссертации.

Работа выполнялась в соответствии с планом НИР Новокузнецкого института (филиала) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет».

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на научных конференциях, посвящённой 65-летию Победы в Великой Отечественной войне и 15-летию НФИ КемГУ (Новокузнецк, 2010); всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2010);

«Инновации молодых» (Новокузнецк, 2011); XII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2011); XV Международной, научной конференции, посвященной памяти генерального конструктора ракетно-космических систем академика М.Ф. Решетнева «Решетневские чтения» (Красноярск, 2011); «Инновации молодых» (Новокузнецк, 2012); Международной научной и практической конференции «Science and Education» (Wiesbaden, 2012); всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2012); Международной научной конференции «Информационно-вычислительные технологии и математическое моделирование» (Кемерово, 2013).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 11 печатных работах, из них 1 - в рецензируемом периодическом издании из перечня ВАК. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Композит НК Поток» Федерального института промышленной собственности.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 115 наименований. Материал диссертации изложен на 110 страницах, содержит 27 рисунков и 7 таблиц.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, формулируются цель и задачи исследования, научная новизна, практическая значимость полученных результатов, излагается краткое содержание основных глав.

Первая глава содержит анализ постановок и численных методов решения задач о ламинарном течении вязкой жидкости. Отмечается, что одной из проблем, связанных с численным решением краевой задачи, является необходимость итерационного расчёта параметров течения на

входной границе. Формулируются задачи исследования и способы её решения.

Во второй главе построена математическая модель течения вязкой несжимаемой жидкости, основанная на реологической модели без внутренних связей и использовании вариационной постановки задачи, позволяющей разделить граничные условия на главные и естественные. Проведена дискретизация уравнений движения и разработан алгоритм численного решения полученной краевой задачи.

В третьей главе исследуется точность численного решения на модельных задачах о плоском и пространственном течении вязкой жидкости в каналах. Показано, что численное решение сходится к точному при уменьшении размеров элементов сетки. С увеличением коэффициента объёмной вязкости решение стремится к точному решению для несжимаемой жидкости. Сходимость решения обеспечивается при любом выборе реологического параметра - равновесного давления, но точность может быть улучшена за счёт подходящего выбора его значения.

Решение задачи обтекания профиля крыла, находящегося в канале, сопоставляется с известными экспериментальными данными; отмечается их согласие на сетках, содержащих 30-35 узлов на контуре профиля и до 10 тыс. треугольных элементов в расчётной области.

В заключение решена задача определения коэффициентов местного аэродинамического сопротивления гибкого трубопровода шахтной вентиляции.

В четвёртой главе описан пакет программ для расчёта полей скорости и давления при течении вязкой среды в канале.

В заключении приведены выводы и основные результаты работы. Результаты диссертации (методика математического моделирования, программа для ЭВМ и результат численного моделирования) использованы в ОАО «НЦ ВостНИИ» при разработке «Дополнений к

руководству по проектированию вентиляции угольных шахт», что подтверждено справкой об использовании результатов диссертационной работы, приведённой в приложении.

1. АНАЛИЗ ПОСТАНОВОК И ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Исследования ламинарных течений жидкости в каналах и трубопроводах сложной формы приобретают большое значение для многих отраслей промышленности и науки, в том числе для расчета линий транспортировки веществ, вентиляционных воздуховодов, проточных каналов двигателей и т.п. В связи с этим возникает необходимость математического моделирования стационарного и нестационарного движения вязкой сплошной среды. Основу для построения математических моделей составляют уравнения механики сплошной среды, включающие уравнения движения, граничные условия и уравнения состояния (реологические определяющие соотношения), замыкающие систему уравнений.

1.1 Уравнения движения и граничные условия

При поиске количественного описания движения вязкой среды обычно вводят в рассмотрение систему дифференциальных уравнений с частными производными, справедливую в определенной области, и налагают на эту систему необходимые граничные и начальные условия. Вопросы построения математических моделей, описывающих вязкие течения, широко освещены в литературе [10, 15, 21, 23, 24, 45, 58, 60, 61, 88, 98].

Уравнения движения, как правило, выводятся из условия сохранения импульса частиц движущейся среды [15, 21, 23, 24, 56, 60, 61, 64, 109, 113]. Альтернативой уравнению импульсов является использование энергетических вариационных принципов, которые позволяют вывести уравнения движения из условий сохранения механической энергии или различных вариантов принципа «минимума действия» [13, 22, 68]. При

этом в обоих случаях вводится в рассмотрение реологическая модель, в которой делаются предположения о взаимосвязи кинематических параметров течения с силовыми параметрами (давлением, касательными напряжениями), а часто и с термодинамическими параметрами состояния.

Большое число работ основано на явной подстановке реологических уравнений в уравнение движения; при этом получается система дифференциальных уравнений, которая, однако, описывает течение жидкости только одной определенной реологии. Так, происходящие в жидкости процессы обычно моделируют с помощью уравнений Навье-Стокса. Эти уравнения имеют сложную структуру, так как обладают такими свойствами, как нелинейность, нестационарность и многомерность. Замыкание краевой (или начально-краевой) задачи требует задания начальных и граничных условий. При этом, если с начальными условиями проблем не возникает, то корректная постановка граничных условий требует аккуратного исследования.

Уравнения Навье - Стокса имеют две основные формы записи [23, 24, 56, 60, 61, 88, 102, 107]: в переменных «скорость — давление» и в переменных «функция тока и вихрь».

Система уравнений Навье-Стокса в переменных «функция тока цг » и «вихрь со » имеет вид:

дсо дш до) дц/ да>

-+ —---—--= УДЙ); /1 1 \

Ы ду дх дх ду (1-1)

А ^ = со.

Отличительная особенность таких уравнений состоит в отсутствии краевых условий для давления, т.к. давление исключено из уравнений путём перехода к переменным «функция тока - завихренность» в двумерном случае или введением векторного потенциала в трёхмерном.

На твердой границе условие для вихря ставится, исходя из условия прилипания [33], но на входе в канал и на выходе из канала граничное условие для вихря отсутствует в физической постановке. Расчёт течений со

свободной поверхностью также вызывает трудности, связанные с постановкой граничных условий для функции тока и вихря н�