автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование континуального разрушения термоупругих хрупких материалов

На правах рукописи

ЕЖОВ ГЕННАДИЙ ПЕТРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТИНУАЛЬНОГО РАЗРУШЕНИЯ ТЕРМОУПРУГИХ ХРУПКИХ МАТЕРИАЛОВ

Специальность: 05.13.18 - "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре прикладной механики Московского физико - технического института (государственного университета)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кондауров Владимир Игнатьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кукуджанов Владимир Николаевич; доктор физико-математических наук, профессор Петров Игорь Борисович

Ведущая организация: МАТИ - Российский государственный

технологический университет им. К.Э. Циолковского

Защита состоитсяЯ^^^/года в /¿^ часов на заседании диссертационного совета К 212.156.02 в Московском физико - техническом институте по адресу: 141700 Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ. Автореферат разослан года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук О.С. Федько

¿OOGft

66 M

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Инженерная практика разработки и эксплуатации новой техники, зданий и сооружений показывает, что проблема расчета прочности конструкций при интенсивных механических и тепловых нагрузках до сих пор остается актуальной задачей. Это обусловлено использованием новых материалов, комбинированных видов нагрузок, необходимостью минимизации веса конструкций. Новые материалы - композиты, полимеры, среды с наноструктурой - в отличие от традиционных материалов обладают более сложным поведением по сравнению с линейно упругими средами, проявляют свойства вязкости, пластичности, могут испытывать структурные превращения. Взаимосвязь этих свойств с процессами разрушения остается в настоящее время в значительной степени открытым вопросом.

Особое место в последние годы занимает проблема оценки отклика высотных зданий и сооружений на ударные нагрузки и тепловые воздействия. Как показали известные события с World Trade Center, динамическое воздействие на высотное сооружение, даже небольшой интенсивности, способно приводить к полному разрушению из-за снижения прочностных свойств при тепловом воздействии на несущие конструкционные элементы. Причем разрушение сопровождается высвобождением упругой энергии конструкции, находящейся под действием силы тяжести. Отсутствие в настоящее время исчерпывающего анализа стойкости высотного сооружения при таких воздействиях связано с рядом принципиальных трудностей. Главные из них - сложная геометрия соединений многочисленных конструкционных элементов, необходимость учета начальных напряжений в сооружении с огромным запасом потенциальной энергии, отсутствие детерминистических моделей, позволяющих надежно рассчитывать коллапс сооружения, необходимость проведения расчетов на больших интервалах времени, на порядки превышающих время пробега акустической волны по конструкционным элементам. Поэтому традиционные численные методы сквозного расчета динамических процессов становится малоперспективным вследствие накопления ошибки и потери аппроксимации.

В этой ситуации особенно актуальными становятся альтернативные подходы, которые опираются на континуальные, осредненные модели среды с высокой начальной пористостью.

Цель исследования - математическое моделирование деформирования и континуального (рассеянного) разрушения термоупругих тел и решение на основе этой модели двух новых задач:

- совместный изгиб и растяжение плиты из повреждающегося материала;

- распространение волн разрушения в слое из начально-напряженного высокопористого материала при действшццщамической нагрузки.

Методы исследования. Базисом для построения модели термоупрой повреждающейся среды служили современные методы термодинамики необратимых процессов и механики континуального разрушения. Исследование математических свойств моделей опиралось на методы теории нелинейных уравнений в частных производных, связанные с изучением вырождения начально-краевых задач для нелинейных гиперболических систем уравнений.

В основу модели положен энергетический подход, который в свое время был предложен Гриффитсом для описания распространения макроскопической трещины. Этот подход обобщен на случай среды, содержащей большое число рассеянных по объему тела микродефектов (микропор и микротрещин).

Научная новизна полученных результатов. В результате проведенных исследований получены следующие результаты:

- построена новая термодинамическая модель накопления поврежденно-сти термоупругих твердых тел;

- для термоупругой повреждающейся среды сформулирован критерий макроразрушения;

- решена новая нелинейная задача о совместном изгибе и растяжении толстой плиты из повреждающегося материала;

- построено аналитическое описание вызванных ударной нагрузкой волн разрушения в напряженном пористом слое;

- выявлен новый эффект существования «кинетического интервала» для напряжений, внутри которого аномально поведение волн напряжений.

Практическая ценность работы. Предложенная модель континуального разрушения может быть использована для создания методик и нормативных материалов, программного продукта и численного анализа процессов деформирования и разрушения конструкций и сооружений.

Совместный изгиб и растяжение балок, плит, панелей является типичной формой деформации элементов конструкций в процессе их эксплуатации, а также характерны для образцов, испытываемых в разрывных машинах при определении свойств материала при сложном напряженно-деформированном состоянии. Решение этой нелинейной задачи позволит расширить арсенал экспериментатора и проектировщика при анализе нелинейного поведения элементов конструкций и образцов материала.

Решение задачи о распространении волн напряжений в слое напряженного высокопористого материала представляет собой попытку нестандартного анализа разрушения высотных зданий и сооружений при динамическом воздействии. Поскольку большие здания и сооружения играют 'важную роль в жизни современного общества, то оценка уязвимости таких сооружений, повышение их стойкости и способы минимизации потерь являются сегодня одной из важнейших практических проблем.

Обоснованность и достоверность. Выводы, полученные в диссертации, можно считать достаточно обоснованными вследствие использования строгих математических методов решения задач и учета экспериментальных данных, касающихся особенностей процессов деформирования и разрушения материалов. Предложенная в диссертации модель и построенные решения новых задач основаны на общих законах термодинамики и механики сплошной среды. Принятые гипотезы и допущения и вытекающие из них следствия сравниваются с имеющимися экспериментальными данными и решениями, полученными другими авторами.

На защиту выносятся следующие положения:

- Модель континуального разрушения термоупругих тел, учитывающая влияние температуры на процесс накопления поврежденное™.

- Условие реологической устойчивости, которое является критерием прочности материала, тесно связанным с его механическими характеристиками.

- Решение полуобратным методом нелинейной задачи о совместном изгибе и растяжении толстой плиты из повреждающегося материала.

- Решение задачи о распространении вызванных ударной нагрузкой волн разрушения в начально-напряженном пористом слое.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на XLIV - XLV - научных конференциях МФТИ, 2001-2002, на конференции "Современные проблемы механики и прикладной математики", г. Воронеж, 2002, на семинаре Института проблем механики РАН, 2003, на ХХХ1П Летней школе - конференции "Advanced Problems in Mechanics", г. С. Петербург, 2004, на 5-ом Международном конгрессе по термическим напряжениям «THERMAL STRESSES 2003», Virginia Polytechnic Institute and State University, Blacksburg, USA.

Публикации. По результатам работы имеется 6 публикаций. Список печатных работ, опубликованных по материалам диссертации, приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 96 наименований. Работ содержит 92 страницы текста и 17 рисунков.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель исследования, охарактеризована научная и практическая ценность работы. Приведен обзор литературы по теме диссертации, проанализированы методы и подходы к моделированию деформирования и рассеянного разрушения хрупких материалов. Кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе сформулирована модель начально-изотропной термоупругой повреждающейся среды и обсуждены ее главные особенности. Исследованы характеристические свойства системы уравнений для трехмерного напряженно - деформированного состояния. Дано определение

реологической неустойчивости и найдены условия, при которых возникает неустойчивость указанного вида. Эти условия проиллюстрированы на примере сдвиговой и одноосной деформаций. Показано существенное влияние скорости нагружения на прочностные свойства материала.

В разделе 1.1 приведены основные уравнения. Используется приближение малых деформаций, малого отклонения температуры от начального значения. Поврежденность <о считается малым симметричным тензором второго ранга. Система уравнений представляет собой совокупность законов сохранения импульса, совместности деформации и скорости, энергии и кинетического уравнения1

= а: (V ® v) + V • q - py/f, 6 = £l(e,ce,5) ' O1-!)

Здесь и далее p - плотность среды, v -скорость, V - пространственный градиент, у -массовая сила, и - удельная внутренняя энергия, q - тепловой поток, о - симметричный тензор напряжений, 9 = в-в0 - изменение температуры. Деформация е отсчитывается от естественной (ненапряженной и неповрежденной) начальной конфигурации тела.

Состояние термоупругой повреждающейся начально-изотропной средой характеризуется величинами (е,со,5). Отклик материала описывается изотропными функциями

у = fi/(e, a, i9), а = в(е, е>, 3), т] = т/(е. <о, 9), у/, =у/¡(nt), q = q(e,a,S:V&) где /7 - энтропия среда, щ^и-вц - свободная энергия, у, - эффективная поверхностная энергия, которая задается выражением

= gtpi<ú) + -^-rb(p"\<o), <р(ш) = aJ:(a) + a,J(<ú)

n+J___(1-1.2)

/,(<о) = ш:1, У(ш) = sjdevia: devю, devto = о> — b,g,n> 0

Поверхностная энергия y/f(,ai) рассматривается как энергетическая мера структурных изменений, позволяющая естественным образом описать необратимость рассеянного разрушения при умеренных температурах. Для свободной энергии среды постулируется выражение /?V(e,$!>(to),i9) = УгК1*(е)+ /<У2(е)- ai9/,(е) - Угсг92 --ap<p(m)It(е) - а,<2>(о>У(е) - авср{&),9

Здесь и далее devt = е-/,(e)I, J(e) = (deve:deve)y-. /,(е) = е:1, - инварианты тензора деформации, К,ц - модули объемного сжатия и сдвига неповрежденного материала, а - коэффициент теплового расширения. Параметры ар, а3,ав> 0 характеризуют уменьшение потенциала у/(е, со, 9) при росте поврежденности за счет объемной деформации, сдвига и изменения

1 В автореферате, как и в диссертации, используется тройная нумерация формул. Первая цифра указывает номер главы, вторая - номер параграфа, третья - номер формулы При ссылках внутри главы указываются только две цифры, обозначающие номер параграфа и номер формулы.

температуры. Величины К,р,а,ар,а„ап - функции начальной температуры.

Показано, что из неравенства энтропии следует связь тензора напряжений и удельной энтропии с термодинамическим потенциалом (1.6)

а = рду/де = (Л-,/,(е) -а9- afl<p)l + (2p-at<p/J(e))devc ^ ^

рт] = -рду/!дв = а!,(е) + + а^р Определяющее поврежденность кинетическое уравнение выбрано в виде

® = dp (е, ю, 5) I + у il, (е, со, 9), Ч'(е,ш, ff) = ¥{t, со, ff)+у, (со)

м ' К ô/,(®) v ' fi ddeva>

где тр,т> >0 - времена релаксации напряжений при поврежденности, Н(х)-функция Хевисайда. Основание для такого выбора - требование неотрицательности диссипации континуального разрушения в любых процессах

<УДе,ю, 9) в —^ ■ : со > 0

дю

В рассматриваемом материале реализуется либо активный процесс, когда 4>f(to) > 0, либо пассивный процесс, когда у f = 0. С учетом ( 1.2), ( 1.3) кинетическое уравнение приводится к виду

« I + N(«a)J (а„/, (е)+aj(е)+а „9 - g - Ыр" ) (1.1.5)

где N(co) = rfevco/y(o) - нормированный девиатор, (х) = /:(х+\х\). Из (1.5) следует скалярное кинетическое уравнение

тЬф = (а,/, (е) + a,J(t) + ав9- g- Ырп) (1.1.6)

где 1/rb = af /Кг„ +а\!цтл. Условие ф>0 при <р = 0 задает начало активного процесса. Это условие определяет на плоскости (/,(е),./(е)) область упругости, границей которой является прямая

Де, 5) - (te - a09) - apJt (е))/а, ( 1.1.7)

Модель прогнозирует следующие свойства материала:

■ пороговое значение = {g-aeff)/ap растягивающей объемной деформации, при которой начинается рост поврежденности;

■ пороговый сдвиг •/„ = {g-ав9)!а, для начала поврежденности;

■ отсутствие поврежденности при всестороннем сжатии е = /,(/)!, /, < 0 ;

■ если коэффициент а„ > 0, то поврежденность может развиваться и в отсутствие деформаций при нагреве материала до температуры 9 > 9* = g/а„;

■ разогрев материала снижает пороговые значения 1*{9) и Ja(9), если

ав>0, и, наоборот, увеличивает 1*19) и J0(ff) при а0<0.

Явление снижения пороговых деформаций при нагревании может быть названо температурным охрупчиванием материала. Это свойство

явным образом не закладывалось в системе исходных предположений.

В разделе 1.2 в качестве иллюстрации рассмотрен простейший случай - растяжение термоупругого повреждающегося стержня. Энергия стержня задается аналогично выражению (1.6)

ру(е,е>,9) = У2Ее2 -аВе~У2се9г -aetp(&)e-au<p(a¿)9 где Е - модуль Юнга, ае - коэффициент уменьшения энергии при росте поврежденности. Для поверхностной энергии использована формула (1.2). Кинетика поврежденности описывалась уравнением

гЬф = (аге + ав8 - g - Ыр")

Рассмотрен процесс изотермической ползучести стержня под действием растяжения, превышающего пороговое значение o¡, -¡>FJat. Показано, что в случае линейной кинетики при длительном упругом модуле Е.ш E-a] !b> 0 поврежденность увеличивается до значения яс'(£/£- 1Хст-сг0). Если Е. < 0, то <p(i) растет экспоненциально (неустановившаяся ползучесть). Зависимость e(t) для а = 2<т0, ае = Е, <т0 = 0.01£ представлена на рис. 1.1. Кривые 1,3 соответствуют п=Ъ, Е. = +0.5£, кривые 2,4 - п= 1, Е, - +0.5А.". Для кривых 1-3 имеет место экспоненциальный рост деформации и поврежденности.

В разделе 1.3 в адиабатическом приближении исследованы необходимые условия гиперболичности. В областях гладких решений динамическое поведение среды описывается квазилинейной системой уравнений pv-Ve(e,tp,9) = 0, 2é-V<8>v-(V®v)'=0

,?к(е, <р, 9) + p\j>f{<p) - в(е, <г>, &): (v ® v) = 0 (1.3.1)

гЬф = (а/, (е) + asJ (е) + a09-g- Ыр")

Система замыкается конечными соотношениями (1.2)-(1.4). Показано, что тензор упругих коэффициентов для рассматриваемой среды равен

LspdVfr'P»^ = (я + Я4)I<8>1 + (2 ц-£) 1 + £N(e)®N(e). £ = й,р/./(е) (1.3.2) de® de

где I и 1 - единичные тензоры второго и четвертого ранга. Система уравнений для скачков нормальных производных записывается в виде системы однородных линейных уравнений

-pcVl-L,tí,hnkE„h + aTnl+(a/>S,k+a,Nlt)nkF^O ^ ^

-2cEIJ-(VlnJ+VJrt) = Q, -сТ + ас;УЛ = 0, -cF = 0

£вв[а^/аи], Т^[д91дп). F*[d<p/dn]

где Цх,/) = 0 - уравнение поверхности слабого разрыва, с = -|Vwf' dw(x,t)/dt

- скорость, n = jVw¡"' Vw - нормаль к этой поверхности.

Если система (3.3) кроме нулевого имеет также нетривиальное решение, то в этом случае возможно неединственное продолжение решения через эту поверхность — со скачком и без него. Такая поверхность называется характеристической поверхностью системы (3.2) [Курант Р., 1964, Рождественский Б.Л., Яненко H.H., 1978].

Для скорости нестационарных характеристик получено уравнение

det(/>c2I-A) = 0, A(e,f,B)sn L n+(a2/ct)n®n = A/l + AB®n + im®m Л/ = //-£/2, \ = Л + р+а2/се-г;/6, £(е,р) = а,р/./(е). m-N(e)n где А - симметричный второго ранга акустический тензор, который зависит от деформации, поврежденности и направления распространения характеристик. Показано, что собственные числа тензора А (скорости нестационарных характеристических поверхностей) определены формулами рсЪ(е,<р,п) = М + Р± (Рг - Qf, pc](t,<p) = М 2 Р(е,<р, п) = Я + ц + а2 / с. + £ (и • N2(e) • п - %) (, 3 4)

0(е,«>, n) = (п • N2(e) • n - (п • 1Ч(е) • п)2)

Требование вещественности скоростей нестационарных характеристик приводит к условию Адамара

A:(b®b)>0, Vb*0 которое необходимо для корректности краевых задач системы (3.1). Условие Адамара рассматривается как зависящий от свойств среды критерий прочности, определяющий потерю несущей способности элемента среды.

Раздел 1.4 посвящен исследованию вопроса, при каких значениях деформации, поврежденности и для каких направлений распространения возможно нарушение условия Адамара. С этой целью, следуя работам [Rudnicki J.W., Rice J.R., 1975, Кондауров В.И., 1991], введено определение реологически неустойчивого состояния (e'T,<pir), для которого существует направление п^Г{*сг,<р"), вдоль которого скорость характеристической поверхности обращается в нуль. Показано, что такого рода неустойчивость проявляется в образовании поверхностей локализации деформации.

Отмечено, что вырождение скорости с\(е,<р) наступает при достижении параметром £=я,<г>/Де) критического значения <£'' = 2/л. Ориентация поверхности локализации в этом случае произвольна.

Методом множителей Лагранжа найдено, что единичный вектор п, доставляющий экстремум величине pcl{t,<p,n), определяется уравнением

(I-n®n) B п = 0, В s (А - 5,)N2(e) - 2A(n ■ N(e) • n)N(e) (1.4.1)

Доказана теорема о формах реологической неустойчивости, показывающая, что при с, -» О уравнение (4.1) имеет три семейства решений:

1) нормаль п - собственный вектор тензора N(e) при произвольных собственных числах тензора В. Потеря устойчивости происходит при

¿¡I" = 2p и сопровождается образованием поверхностей локализации сдвига, ориентированных перпендикулярно главным осям тензора N(e);

2) если равны два собственных числа тензора В, то нормаль п лежит в плоскости, натянутой на две главные оси тензора N(e). В случае Ni * N2 = Я(Я + 2/^ + а2/се), если N; sy^t/A

= 4p(X + p)/(2p/3 + 3KN;), если %p/\<N;<% а нормаль имеет компоненты

N. \

л, = О

«i-J.fi--___

Х + ц + а- 1се-4и1Ь (N,-N,)/ Если N,=N2, что возможно только для е = е01 + е,е3 ®е}, то устойчивость теряется при : Нормаль п принадлежит плоскости п • е3 = 0.

3) если Teffóop В - шаровой, что возможно только для е = <?„1 + е,е; <8>е,, то устойчивость теряется при £'}>2р. Нормаль п принадлежит поверхности кругового конуса с углом полураствора У, т.ч. nf = sin2 *¥ = %(]+т/3), n¡ + п] = cos2 ч>

На поверхностях, соответствующих второму и третьему семейству решений, терпят разрыв сдвиговая и нормальная деформация.

Для ответа на вопрос, какая форма неустойчивости реализуется при нагружении, формулируется предположение: первой проявляется форма, соответствующая наименьшему моменту времени /., когда параметр £ на заданной траектории деформирования достигает значения , т.е. í, = mini''1, где г1'1 - корни уравнения (ф - функционал решения кинетического уравнения с нулевыми начальными данными)

' (1.4.2)

В разделе 1.5 рассмотрены условия реологической неустойчивости для некоторых характерных видов деформированного состояния.

Шаровой тензор деформации е(г) = /,(01. При такой деформации .7=0, параметр £ = а,<р! J (?) неограничен при <р* 0. Материал теряет сплошность, как только /,(/) = /,+ =(g-aeff)lар, т.е. достигается граница упругости. Поэтому при всестороннем растяжении условие /,(?)</* - традиционный критерий прочности. Сжатие /,(?)< О не приводит к поврежденности среды.

Сдвиговая деформация e = e(f)N>. e(t)>0, N„ = (е, ®е,-е, ®е2)/\/2 . Пороговая деформация е, = (g-ae9)lа,. Для линейной кинетики при сдвиге с постоянной скоростью e(t) = е, + s0t, s0 = const > 0 имеет iwfecTo o = -p(f)I + í(0N„ p(t) = араУ (e(t) - e, - e0(l -V ")) s(t) = 2 pe, + 2 e,) + a\ejf\ 1 - ep,\ p,= p- a; /(2b)

где ц. - длительный модуль сдвига. При высокой скорости (те-0 >>е,) производная (¡э! с1е близка к модулю сдвига //. При малой скорости с,ЫЫе<2р. Для зависимости характерен «зуб текучести», наиболее резко выраженный при малой скорости деформирования.

Прямым расчетом показано, что скорости с2 3 обращаются в нуль при £ = 2//. Для материала с линейной кинетикой (я=1) уравнение (4.2) при постоянной скорости деформирования дает

Уга]Ь-\\-е-х)+р.х + ^,1ей=0, х = Мг (1.5.1)

При сдвиге с высокой скоростью это уравнение существенно упрощается \-е~х = -2(ьа~~Ьх

Его решение существует при /а<0. Приближенный корень х = а]/(2\ц,\Ь) соответствует = та] /(2\р,\Ь), реализуется первая форма неустойчивости.

При сдвиге с малой скоростью время наступления неустойчивости (',!' = трек1(\р,\еа„). Сравнение деформаций е'," и е"' показывает, что при

быстром нагружении неустойчивость достигается при большей деформации чем в случае медленного нагружения.

Вторая форма неустойчивости соответствует обращению в нуль скорости с2 при значении £?>2ц в направлении нормали п\ = 0, п;=п;=/2. Показано, что при высокой скорости сдвига

= П-^—Г1-Г- У*к + ».<0

" |о.75(* + а2/с ) + //.|

При |%(ЛГ + а2/с,) + //,|>|/*.| реализуется вторая форма неустойчивости. В противном случае имеет место первая форма.

При сдвиге с малой скоростью (те„ «е,) из (5.1) следует

С = *&2Ч /(|£к*), £=С-о;!ь< о

Величина > 4", т.е. при медленном сдвиге всегда возникает первая форма потери устойчивости, которая соответствует в направлении оси е, растяжения материального элемента.

Одноосная деформация е = е(/)е, ® е,. Пороговая деформация равна е\ = (# - а$9)/а±, а±-ар±а, >/2/3. Растяжению соответствует плюс, сжатию — минус. При деформации с постоянной скоростью *</) , ^ =сош>О для линейной кинетики и=1 имеет место

сг,,(Г) = (Я + -ад\-К\е-е~) + ке^ (1 -е~р'), Л1 =Х+2р~а1/Ь

сг^ (/) = Ае? - а8+(А - агахЬ~' - ) +(1 - е_/Л), а± = ар-ка3/\[б Отсюда следует, что с ростом деформации производная ¡1аиЫеи стремится

к длительному модулю Л* одноосного растяжения (сжатия). В случае высокоскоростной деформации производная близка к Л0=Л + 2ц. При малой и умеренной скорости производная й^сг, , / , <Л0.

Асимптотический наклон кривой <т„(е) при сжатии больше, чем в неповрежденном состоянии. Это эффект поперечного упрочнения связан, по-видимому, с тем, что с ростом поврежденности напряженное состояние становится более изотропным, - продольное напряжение а„ уменьшается, а поперечные напряжения ап = а„ увеличиваются.

Условия и формы потери устойчивости при одноосной деформации. Направления, вдоль которых происходит вырождение скоростей характеристик, определяются уравнением (4.1), в котором тензор В имеет вид В = Ь,е, ®е, +Ь01, Ь, = ^(Л + М)-Л(3л,2-1), Ь0 = £(Л + Л/) + Л(и,2-£) Первая форма неустойчивости соответствует нормали п; = 1, п, - пъ = 0 и значению Ь{ Ф О. Собственные числа тензора В в этом случае В, * в, = в.. Как и для деформации сдвига, эта форма неустойчивости наступает при = 2//. Уравнение (4.2) для одноосной деформации записывается в форме

При высокой и малой скорости деформирования приближенные решения этого уравнения имеют вид

Другая форма неустойчивости, которая соответствует и, = 0, реализуется при том же значении , что и первая форма. При этом справедливы все выводы о влиянии скорости нагружения на предельную деформацию.

Третья форма реологической неустойчивости, которая соответствует круговому конусу нормалей, реализуется при £<,4' > 2ц и соответствует более позднему моменту наступления неустойчивости.

Таким образом, как и в случае сдвига, при одноосной деформации реализуются первые две формы потери устойчивости, причем при высокоскоростном растяжении (сжатии) неустойчивость развивается при больших деформациях, чем в случае медленного нагружения.

Вторая глава диссертации содержит решение нелинейной задачи о совместном изгибе и растяжении плиты силами и моментами, приложенными к двум боковым граням. Поведение материала описывается уравнениями теории континуального разрушения, основные положения которой сформулированы в первой главе. Для решения задачи использован полуобратный метод. Задача сведена к начальной задаче для двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Для описания макроразрушения приповерхностного слоя материала использован критерий реологической неус-

»1

тойчивости. Показано существенное влияние кинетики и скорости деформирования на прочность и характер разрушения.

В разделе 2.1 приведена постановка задачи. Изменением температуры пренебрегается. Для упругого потенциала однородного начально-изотропного повреждающегося материала используется выражение

ри(г, <р) = Уг К1г (е)+ цГ~ (е) - ар<р1, (е) - л, (2.1.1)

Тензор напряжений, соответствующий потенциалу (1.1), имеет вид

о = (ЛУ, (е) -а„<р)1 + {2 ц - а,«>/У(е)) deve (2.1.2)

Поверхностная энергия определяется выражением (1.1.2). Кинетика по-врежденности задается уравнением (1.1.6).

Рассматривается плоская плита (полоса) толщиной 2И, шириной х0,

бесконечно протяженная в направлении оси г (рис.2.1). Предполагается, что на боковых гранях х=0 и х=х0 действуют нормальные напряжения, которые не зависят от г. Касательные напряжения на этих гранях '',"<-. "' - равны нулю. Нижняя и верхняя

Р^ 21 поверхности плиты у = ±И свободны

от напряжений. Начальное состояние плиты считается естественным, то есть ненапряженным и неповрежденным.

В разделе 2.2 рассматривается решение при малых нафузках, когда материал находится в упругом состоянии. Перемещения для этой задачи и{х,у,1) = хХ(уЛ

где Х(у,1) = и( 0 + уУ(1) - обобщенная нагрузка, и (Г), У(1) - функции времени, определяющие изгибающий момент и растягивающую силу, Л, ц - модули упругости, Л0 = Л+2ц. Отличные от нуля деформации и напряжения

ехх(у,1) = Х(уЛ е>у(у,0 = ~КХ(уЛ (2.2.1)

Из (2.1) следует, что уравнения равновесия и граничные условия на верхней и нижней поверхности плиты удовлетворяются тождественно, а граничные условия на боковых гранях полосы выполняются «в среднем».

Из (2.1) следует условие начала накопления поврежденности

(2 цЛ-в,ар + 1с^пХ(у,1))Х(у,г)-Я = О

Г-=У,(Я2А^+ЯА-'+!) определяющее зависимость от времени г Рис.2.2

координаты у = у, (0, где начинается рассеянное разрушение. В терминах напряжений условие начала накопления поврежденности имеет вид

2 цар±а,1К0

Плюс соответствует растяжению Х(у,1) >0, минус - сжатию.

Показано, что на плоскости (и,У) область упругого поведения материала ограничена кусочно-ломаной прямой. Качественный вид границы ЛВСйС\В\ дан на рис. 2.2. Особенность границы - наличие разрывов, соответствующих смене типа напряженного состояния.

В разделе 2.3 построено решение при наличии поврежденности. Центральный пункт - предположение о виде поля перемещения и(х,у,0 = хХ(у, О

у(х,у,1) = -]1¥(*,№-^-у[Х(у,1)-у2уУ(0]-У2Х2У(1)

о

которому соответствуют деформации

«„ =Х(уЛ е„ = -IV(у,I) - ЛЛд'ЛХу,/), е„ = ег = е1г=е..=0 В области упругости -И<у< у,(1), где у.(О - неизвестная граница, напряжения вычисляются по закону Гука. В области поврежденности у.(О < у < И напряжения определяются формулами

«т„ = сг, =0, £ =

На границе у = у.и) ставятся условия сопряжения: нулевая поврежденность и непрерывность перемещений и вектора напряжений, что дает Х{у.( 0,0 = Л„я(2 цар + /Лев,)"', К{у.{0, 0 = О Предполагается, что <тм = 0 при всех у,{1) <у<И. Это дает уравнение

(2.3.1)

Граничное условие <т„ (А,/) = 0 и условия сопряжения выполняются тождественно.

Таким образом, при заданных функциях 1/(0 и К(г) задача сводится к совместному решению кинетического уравнения (1.1.6) с нулевыми начальными данными и алгебраического нелинейного соотношения (3.1).

Нелинейная система уравнений (1.1.6), (3.1) решалась численным образом. При решении уравнения (3.1), которое сводится к алгебраическому уравнению четвертого порядка, возникает проблема отбора вещественных корней. Поэтому удобнее перейти от (3.2) к дифференциальному уравнению с начальным значением IV(у, 0) = 0.

Принимались значения параметров материала Ь=1, 2. Величины \<а3 <2, «=1.0,2.0. Траектория нагружения задавалась выражением

К(0 = г/, *</„, К(0 = "„, />/„ и(1) = кУ{') где (0 - время нарастания нагрузки, г - скорость нагружения, к - коэффици-

ент пропорциональности между изгибом и растяжением.

На рис.2.3 приведена зависимость сг„(/) для поверхностного слоя у=-к плиты при чистом изгибе ([/(0=0) с постоян-ной скоростью (г=0.3, 1.0, 5.0). Кривые 1,3,5 соответствуют я=1, кривые 2,4,6 - п=2. Кривые на левом рис. 2.3 построены при а, =1.1, на правом - при а, = 1.5. Видна сильная зависимость решения от п, ар, а,, Ь.

При небольших о,, когда ц, >0, напряжения монотонно увеличиваются, причем при п=2 рост сильнее, чем при п= 1. Эта особенность справедлива при всех скоростях деформации. Если ц, < 0, п < 1, го реализуется падающая зависимость

Рис.2.3.

-1 -06 -»2, 42 \

■ 4

4

т -'-Л/У"

167 ' ■> /уу

м \

-06-7 ч

4 - I 1

t -ВД 0 2 Ов 1'

6)

суа(еи). Падение более интенсивно при малых п. Максимум напряжения при малой скорости достигается в более поздний момент времени (но при меньших значениях деформации) по сравнению с

высокоскоростной де- ..... , -

формацией. При п=2

зависимость ст„(е„) остается растущей, для нее при деформации еХ1 «2е0 появляется область, которая при малой скорости деформации превращается в «зуб текучести» [Кукуджанов В.Н., 1967, Работное Ю.Н, 1979]. Эта особенность видна на рис.2.4, где представлена зависимость <т„(_у,0.

В разделе 2.4 на основе введенного в первой главе определения реологической неустойчивости исследуется макроразрушение плиты при изгибе и растяжении. Показано, что в соответствии с общей теорией, первая форма потери устойчивости реализуется при = 2//.

Во втором случае, когда два собственных числа тензора В совпадают, реологическая неустойчивость наступает при значениях

Ьсг

- У< ^ - < ^л/б^/Л

[Ац(1 + и) И% V + 3 р - > ./л/6/Тлл

Третье мода неустойчивости не может реализоваться, так как для компоненты нормированного девиатора справедливо неравенство Л^2 < 2/3. •

Результаты расчета показали, что при и= 1 возможны обе формы потери устойчивости, но более ранней является первая форма, которая соответствует локализации сдвиговой деформации. Об ориентации поверхностей локализации в данном случае ничего сказать нельзя, поскольку при = 2ц возможна любая ориентация. При п=2 обращение в нуль величины pc\{t,<p,п) происходит при умеренных скоростях деформации.

В третьей главе формулируется модель пористого хрупкого материала, и изучаются вызванные ударом волны разрушения. Кроме академического интереса проблема имеет прикладное значение и связана с оценкой стойкости высотных зданий и других сильно напряженных конструкций при землетрясениях, ударе, взрыве. Осредненная модель, рассматривающая сооружение как пористое тело, должна учитывать ряд особенностей поведения конструкции. К ним в первую очередь относятся: о упругая реакция при малых напряжениях;

о рост поврежденное™ при интенсивном растяжении, сдвиге, сжатии; о сильное влияние температуры на пороговые напряжения; о наличие сдвиговых и объемных форм разрушения (срез, смятие); о высвобождение энергии при разрушении напряженной среды; о локализация поврежденности вблизи состояния макроразрушения.

Удовлетворяющая этим требованиям модель континуального разрушения пористых тел была предложена в книге [Кондауров В.И., Фортов В.Е., 2002], на основе которой и проводилось исследование.

В разделе 3.1 сформулированы основные соотношения теории разрушения пористых материалов. Упругий потенциал и поверхностная энергия задавались выражениями

puj {<р) = pu) +g<p+ Ь<р~ /(п +1) Отличие от модели разрушения консолидированной среды - знакоперемен-ность функции ap(I,), 4îo связано с уменьшением энергии при росте поврежденное™, как при растяжении (/,(е) > 0 ), так и при сжатии ( /,(е) < 0). Использовалось линейное кинетическое уравнение грф = (аги,)/,+а,/-г-0а>), (х) =/2(х+\х\) (3.1.2)

Из (1.2) видно, что рост поврежденности происходит при условии

«„(/, (е))/,(е) + û,J(e) -g-bç» 0 Использовалась кусочно-линейная аппроксимация границы областа упругости, изображенная на рис. 3.1. В этом случае

к-«л,//,>о, /;</,</,

\ap*a,j,/i;<о, /,</,<;/, В разделе 3.2 исследованы особенности поведения материала при одноосной деформации сжатия е - ее, ®е,, е<0. На плоскости (/,,./) такой

деформации соответствует прямая линия ОАВМ, которая считалась пересекающей правую часть границы области упругости. Кинетическое уравнение для такой деформации записывается в форме

тф + <p = ((aie-g)/b)

at=a'p-aj2П

(3.2.1)

а напряжение имеет вид

h 1, о h

Рис.3.1.

сг„ = Ке-а^ф* % ре + - Л0е - а±<р, Д0 = Я + 2//

Решение уравнения (2.1) с нулевыми начальными данными имеет вид

/ I

¥S) = ел > e(t) > е„ s /,', <p(t) = ,p(tH) + (x,i)ds, e(t) < e„ = !'

'» 'il

^ КФ) - g)/(r/>)exp(-(/ - .v) I t)

При малой скорости деформирования поврежденность ç-(aIc-g)/b, а сги(е) - кусочно-линейная зависимость. Особенность этой зависимости -разрыв в точке ен = /*, означающий сброс напряжения при достижении состояния В, соответствующего объемному сжатию /,'. Таким образом, статическая диаграмма материала имеет падающий участок, однако потери гиперболичности уравнений здесь не происходит, т.к. напряжения зависят от скорости деформаций материала.

В разделе 3.3 изучены характеристики нелинейной системы уравнений и сформулирован критерий прочности пористого материала.

Динамика пористой повреждающейся среды в адиабатическом приближении описывается системой уравнений

pv-V o{e,<p) = pi, 2è-V®v-(V®v)7 =0, -g-bç) (3.3.1)

Четвертого ранга тензор упругих коэффициентов имеет вид

+ + + (3.3.2)

(76

Я = К + 2р/3, Ç = a,<p/J(e), й/,(/,) = аД/,) +Lttak = LlklHl = Lk„h = LM Поскольку âp(It) -кусочно-постоянная функция, ее производная равна нулю. Поэтому тензор (3.2) формально совпадает с тензором упругих коэффициентов консолидированной среды, рассмотренной в главе 1. Отсюда сразу следует, что акустический тензор для такой среды равен А(е, w, n) = Ml + Ln ® n + <8> m

M(Ç) = p-ÇI2, L(Ç) = À + p-Ç/6, Ç(e,<p) = a,<p/J(e), m-N(e) n Собственные числа тензора А определяются формулами (1.3.4).

Как и ранее, вводится понятие реологически неустойчивого состояния (&r,q>ir) пористой среды и показывается, что реологическая неубтойчи-

вость проявляется в виде поверхностей локализации деформации, ориентация которых определяется уравнением (1.4.1). Показано существование при -> о трех семейств решений этого уравнения.

Аналогично изложенному в главе 1 считается, что первой проявляется та форма неустойчивости, которая соответствует наименьшему моменту времени /., когда величина £(е(/), <p(i)) на заданной траектории деформирования e(z), z</. достигает своего критического значения £rv',JV-1,2,3,4. Это означает, что t, = miru"', где определяются уравнением (1.4.2).

В разделе 3.4 изучено движение головной волны, вызванной сжимающим напряжением ст0 = -pjl(t), р0 = const > 0, приложенным к верхней границе напряженного слоя 0<х' <h пористого материала.

Полная система уравнений (3.1) сводится к системе трех дифференциальных уравнений в частных производиых относительно вектора решения (v,cr,ip), где v=v,/c0, ст = <т|1/ло- В безразмерных переменных (с„ -скорость упругой волны, t0 = h!c„ - характерное время)

? = ///„, г=г//0, х = x/h, v = v,/c0, ст = <тп / До, (т0 = сг0 / До, Л=Л/д0 М = М!Ь.(Ь а±=а±!Л о, Ъ=Ы\„, g = g!Л„, с0 = (Л„//>)''2

эта система записывается в виде

vu,=y, d-vr = -at{zl)> (b-(z'), zi(o.<p)={ut<rл-crjp-%)1(тЬ)-tp!т (3.4.1) Символы «+» соответствуют интервалам /,'</,< 0 и /, < /," умеренного и сильного сжатия.

Краевыми условиями для системы (4.1) служат начальные данные ст(х,0) = -ух, v(x,0) = <p(x,Q) = О, О^г <1 (3.4.2)

характеризующие начальное напряженное состояние, и граничные условия а(0,/) = сто, v(l,/) = 0, i >0 (3.4.3)

которые задают давление на верхней границе хЮ и указывают на отсутствие скорости (и перемещения) на нижней границе х=1 слоя.

Система (4.1) имеет линейную дифференциальную часть. Скорости нестационарных характеристик с = ± 1. Сильные разрывы распространяются с такими же скоростями. Из-за разрыва краевых условий (4.2), (4.3) при x=t=0 в решении возникает исходящий из этой точки сильный разрыв. Поэтому на интервале времени 0 S / < 1 систему (4.1) можно рассматривать в ' треугольной области {0^x<t, t >0} с краевыми условиями

где *(/)=' - положение головной волны. Эти условия следуют из первого граничного условия (4.3) и соотношений на сильном разрыве.

Рассмотрена эволюция напряжения a.(t)~ cr(t-Oj) на фронте ударной волны. ВыделенЫ три основных сценария - случай высокого, умеренного и слабого давления, приложенного к границе слоя х=0.

При высоком приложенном давлении (гг„< <у„ ) ударное сжатие порис-

а.-а о--стп+——-ст.

1-ехр

toro материала вызывает объемную деформацию, превышающую (по модулю) значение е„ = /*, разделяющее области сдвигового и объемного разрушения. В этом случае коэффициент at выбирается со знаком минус. Аргумент кинетической функции z~ в точке x=f-0 больше нуля, поэтому сразу начинается объемное разрушение. Распространение волны сопровождается уменьшением напряжения a.(t). В момент времени /„, т.ч. ст. (г„ ) = <?„, объемное разрушение сменяется сдвиговым. Абсолютная величина напряжения продолжает уменьшаться, стремясь к предельному значению ег„. Эволюция напряжения определяется формулами

я2 У1 1

—г - o0<o,(t)<oB

(3.4.4)

&(')-<?„ =(о-«>-о-в)[1-ехр(-К'-'я)/(<^ -o-J)], ае <<r.(í)«r„

Из второго соотношения видно, что при малых временах релаксации т «1

а. -> = ал - 2тЪу!а\ Величина <т, отлична от порогового напряжения ст,. Ее появление в решении обусловлено совместным действием кинетики и предварительного сжатия. Этот эффект отсутствует при распространении волн в упруго-вязкопластических телах [Кукуджанов В.Н., 1977] и повреждающихся материалах без начальных напряжений [Кондауров В.И., 1998].

Зависимость ст,(0 амплитуды головной волны при нагрузке ст0 = 1Ост,, для материала с параметрами

Л = // = 0.33, а; =0.3, в; = -0.1, о, =1.1, « = 0.01, b = 1.0, е„ = Зе.,

для трех времен релаксации г = 0.01, 0.03, 0.05 (кривые 1-3) представлены на рис.3.2, на которой отчетливо виден излом кривых, соответствующий переходу от объемного разрушения к сдвиговому

В ^случае умеренного давления ст/( < ст0 < ст.,, приложенного к границе слоя, поврежденность гакже развивается сразу при 1=0. Реализуется только сдвиговое разрушение. Эволюция напряжения на фронте волны определяется Рис. 3.2. соотношением

ст.(/)-ст0=(егм-ст0)[1-ехр(-у?/(ст, -ctJ)] (3.4.5)

Если приложенное к границе напряжение ст0 находится в диапазоне ств <ст0 <ст„, то напряжение на фронте волны |ст,(г)| монотонно убывает от |ст0| до асимптотического значения |ст„|. Если стх < <х0 < <т,, то распространение волны сопровождается ростом ее амплитуды до значения \а„\.

Зависимость ст.(г) при cr¡¡ = 2аА (кривые 1.3,5) и ст0 - 2.9а,, (кривые 2,4,6) для вышеуказанных параметров материала при г = 0.01 (кривые 1,2),

г = 0.03 (кривые 3,4) и г = 0.05 (кривые 5,6) представлены на рис. 3.3. Видно, что амплитуда головной волны ведет себя по-разному в зависимости от времени релаксации: она может уменьшаться (кривые 1,2,4), увеличиваться (кривые 3,5), оставаться постоянной (кривая 6). Увеличение амплитуды обусловлено начальными напряжениями.

Наиболее интересен случай малой нагрузки а0, приложенной к границе. На начальной стадии распространения поврежден-ность отсутствует, так как ;+(его,0)<0 и правая часть кинетического уравнения равна нулю. Решение задачи (4.1)-(4.3) - кусочно-постоянно. Материал всего слоя остается неповрежденным при ег„ > ^ + ■

Если |сг0|>|?' + £/а+|, то напряжение в головной волне достигает порогового значения о-^ = в точке хл , т.ч. а0 + , после чего начинается рост поврежденности, т.е. упругий предвестник превращается в волну сдвигового разрушения. При г > гл напряжение равно

аМ-Ч-г-^л Ы'-'Мъ -<т„))] (3.4.6)

На рис. 3.4 представлена зависимость <т.(/) при <т0 = О.Зег, (кривые 1,2) и а0 = 0.9сг4 (кривые 3,4,5) для материала с вышеуказанными параметрами и г = 0.001 (кривая 5), г = 0.01 (кривые 2,4) и г = 0.02 (кривые 1,3). Видно, что при малых нагрузках объемное разрушение не реализуется, разрушение происходит по сдвиговому механизму. Это означает, что '"¿71" .Г начально-напряженный материал в окрестности

Рис. 3.4. головной волны разгружается, оставаясь сжатым ни-

же порогового значения <тА.

В разделе 3.5 рассматривается макроразрушение пористого слоя. Основой исследования служит условие реологической неустойчивости £ = последовательное выполнение которого в точках пористого слоя позволяет определить, как движется волна макроскопического разрушения.

Как показано в разделе 1.3, неустойчивость при одноосной деформации материала при монотонном нагружении наступает при наименьшем возможном значении параметра 4 = равном = 2¡л. Это условие и

определяет движение волны макроразрушения.

Уравнение головной волны х=* в характеристических переменных ^=(х+/)/2, г/=(1-х)/2 имеет вид 7 = 0. Показано, что вдоль направления, нормального фронту волны, поврежденность определена зависимостью

(3.5.1) „, обусловленным

г di

(3.5.2)

=Л'* (O. 2± (O ^ rt (f. 0) = (0,<T.(O - g) /(rt) где - неотрицательная функция с разрывом при / скачком at, а производная да!дг) удовлетворяет начальной задаче

di 1 2

где Г±(С) = да/дт]\0, At = a¡!{2тЬ), 0¡=\-a;/b. Интервалу сг„<ст.«-)<сг|, соответствует плюс, <т.(0 < аи - минус. Получено явное решение задачи (5.2) для умеренного напряжения а„<аа<ал и для сильного сжатия а0 <а„ Полученное решение позволило сформулировать уравнение для волны макроскопического разрушения

xU) = t-2\a.(t)\!Ft(t\ (3.5.3)

Здесь <х.(/) задается формулами (4.4)-(4.6), величина z±(Q определяется (5.1), а функция Y±(C) - решением задачи (5.2). Координата волны макроразрыва i¿(Os(f-*)/2>0. Это возможно при условии, Ft(Q>0. Поскольку параметр входит только в первое слагаемое функции Ft(Q, то значение F±(Q максимально при наименьшем значении -2ц, которое соответствует самой быстрой волне макроразрыва. Значение -2 у. связано либо с вырожде-af i . ■ ;;—нием скорости су, для которой ориентация поверхности локализации деформаций произвольна, либо с вырождением с2, которой соответствует первая форма. Фронты волн макроразрушения x = xt(i,crlí) пред-11 ' ' ставлены на рис. 4.1 для указанных параметров мате-

Рис.4.1. риала и у -0.1, г = 0.02. Пунктир - волна x-t, кривые 1

-3 соответствуют линиям х = xc(t,aü) для нафузок сг0/ст, =2.8, 2.4, 2.3. Следует отметить нетривиальное влияние времени релаксации на макроразрушение - с уменьшением г стойкость тела возрастает. Увеличение модуля сдвига также приводит к задержке коллапса тела.

При сильной нагрузке |о-0|>|<т„| функция * = * (г,<т0) слабо зависит от приложенного давления и совпадает с точностью до нескольких процентов с кривой, соответствующей началу объемного разрушения. Это связано с быстрым затуханием волны напряжения до значения сг„.

В заключении приведены основные результаты работы

? / S - s / - ' / / / /V,/

"' - í ^ „ 7, /,/ Лп'i 7

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложена новая математическая модель континуального разрушения, учитывающая изменение температуры и начальную пористость хрупкого термоупругого материала.

2. Исследованы гиперболические свойства системы уравнений для трехмерного напряженно - деформированного состояния повреждающегося материала. Найдены скорости распространения нестационарных характеристик. Сформулировано уравнение для экстремальной нормали. Доказана теорема о формах проявления реологической неустойчивости.

3. Условия возникновения неустойчивости проиллюстрированы на примере сдвиговой и одноосной деформаций. Выявлен эффект образования «зуба текучести» при небольших скоростях деформации материала.

4. Полу обратным методом решена новая нелинейная задача о совместном изгибе и растяжении толстой плиты из повреждающегося материала. Показано существенное влияние скорости нагружения и кинетики поврежденное™ на прочность тела.

5. Исследовано распространение волн напряжений, вызванных импульсной сжимающей нагрузкой, приложенной к границе пористого слоя. Выявлен новый эффект существования «кинетического интервала» для напряжений, внутри которого аномально поведение волн напряжений.

6. Получено уравнение волны макроразрушения хрупкого пористого слоя. Исследованы условия начала макроразрушения и зависимость времени задержки коллапса при динамическом воздействии.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ежов Г.П., Кондауров В.И. Модель континуального разрушения термоупругой среды // Сб. "Современные проблемы механики и прикладной математики". Материалы международной школы - семинара, (г. Воронеж, 4-8 июня 2002г.). Часть 1. Воронеж: Изд-во ВГУ. 2003. с. 109-122.

2. Ежов Г.П., Кондауров В.И. Изгиб и растяжение плиты из повреждающегося материала // Электронный журнал «Исследовано в России». 2005. 069. С. 753-761.

http://zhurnal.ape.relam.ru/articles/2005/069.pdf

3. Ежов Г.П., Кондауров В.И. О волнах разрушения в начально-напряженном слое пористого материала // Прикладная Математика и Механика. 2006. Т. 69, вып. 2. - С. 19-24.

4. Ежов Г.П., Кондауров В.И. Практический опыт исследования условий разрушения термоупругих сред // Вестник военного регистра Российской академии ракетных и артиллерийских наук. - 2002. - №4. - С. 3639.

5. Ежов Г.П., Кондауров В.И. Моделирование накопления поврежденно-сти и разрушения твердых тел при интенсивных термомеханических нагрузках // Военный университет войсковой ПВО. Сб. ст./ МО РФ. - М., 2002.-С. 16-18.

6. Ежов Г.П., Кондауров В.И. Изгиб и растяжение плиты из повреждающегося материала // Третий ЦНИИ МО РФ. Научно-методические материалы, труды семинаров и НТК. Кн.2, часть2. - 2003. -С. 67-79.

Ежов Геннадий Петрович

Математическое моделирование континуального разрушения термоупругих хрупких материалов

Автореферат

Подписано в печать 14.03.2006. Усл. печ. л. 1.0. Тираж 80 экз. Заказ № 216

Московский физико-технический институт (государственный университет) Печать на аппаратуре Rex-Rotary Copy Printer 1280/

141700, Московская обл., г. Долгопрудный. Институтский пер., 9

ilOOCft

Введение.

Глава 1. Модель накопления поврежденности и разрушения термоупругих тел

1.1. Основные уравнения

1.2. Растяжение стержня.

1.3. Характеристики системы уравнений повреждающейся среды.

1.4. Реологическая неустойчивость повреждающегося материала.

1.5. Примеры реологической неустойчивости.

Глава 2. Изгиб и растяжение плиты из повреждающегося материала.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Упругое деформирование.

2.3. Изгиб и растяжение при наличии поврежденности.

2.4. Макроразрушение плиты при изгибе и растяжении.;.

Глава 3. Волны разрушения в начально-напряженном слое пористого материала

3.1. Основные соотношения теории континуального разрушения начально-пористых материалов.

3.2. Особенности поведения материала при одноосной деформации.

3.3. Характеристики и критерий прочности поврежденного материала.

3.4. Головная волна напряжений.

3.5. Макроразрушение пористого слоя.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Инженерная практика разработки и эксплуатации новой техники, зданий и сооружений свидетельствует о том, что проблема сохранения прочности конструкций при интенсивных механических и тепловых нагрузках до сих пор остается актуальной задачей. Это обусловлено целым рядом причин, наиболее важными из которых являются использование новых материалов, новых комбинированных видов нагрузок, необходимость минимизации веса конструкций. Новые материалы - композиты, полимеры, среды с наноструктурой - в отличие от традиционных материалов характеризуются более сложным поведением по сравнению с линейно упругими средами, проявляют свойства вязкости, пластичности, могут испытывать структурные превращения. Взаимосвязь этих свойств с процессами разрушения остается в настоящее время в значительной степени открытым вопросом. Комбинированное воздействие на конструкционные элементы механических, тепловых и радиационных нагрузок становится характерным процессом не только для атомной промышленности, но и для ряда других отраслей. Наиболее полное использование ресурса изделий при таком нагружении представляет собой область исследований, которая требует новых подходов и методов.

Цель работы. Диссертационная работа посвящена разработке термодинамически корректной модели деформирования и разрушения термоупругих тел и применению этой модели к решению двух новых задач:

- совместный изгиб и растяжение толстой плиты из повреждающегося материала приложенными к боковым граням силами и моментами;

- распространение волн разрушения в слое из начально-напряженного высокопористого материала при действии динамической нагрузки, приложенной к границе слоя.

Методика исследования. Базисом для построения рассматриваемой модели сплошной среды служили современные методы термодинамики необратимых процессов, механики континуального (рассеянного) разрушения, механики больших неупругих деформаций, групповые и асимптотические методы теории определяющих (реологических) уравнений. Для исследования математических свойств моделей привлечены методы нелинейной теории уравнений в частных производных и методы теории устойчивости, связанные с изучением вырождения начально-краевой задачи для полученной нелинейной гиперболической системы динамических уравнений.

В основу развиваемой модели положен энергетический подход, который в свое время был предложен Гриффитсом (Griffith A.A., 1920) для описания распространения отдельной изолированной трещины. Центральный момент модели - учет локального баланса между изменением потенциальной энергии деформирования и энергозатратами на образование новых поверхностей микродефектов (микропор и микротрещин). Использование предположения об уменьшении потенциальной энергии деформирования, которая высвобождается при образовании (росте) дефекта вследствие частичной разгрузки материала в окрестности этого дефекта, и необратимой трансформации ее в поверхностную энергию рассеянных дефектов, позволила взаимно связать деформационные и прочностные характеристики среды. С точки зрения термодинамики это означает фактически, что в законе сохранения энергии при описании процессов разрушения учитываются члены, которые не относятся к тепловой или механической формам энергии.

Модель позволила исходя из «первых принципов», дополненных достаточно общими предположениями, описать ряд качественных эффектов, типичных для процессов накопления трещиноватости. К ним в первую очередь относятся:

- пороговые напряжения, при которых начинается развитие микродефектов;

- сильное отличие пороговых напряжений при сжатии, сдвиге и растяжении;

- накопление поврежденности при действии как нормальных, так и касательных напряжений;

- упругая разгрузка, приводящая к появлению остаточных деформаций;

- эффекты дилатансии (разрыхления), проявляющиеся в виде необратимой объемной деформации при деформации сдвига;

- образование «падающего» участка на диаграмме «напряжение - деформация» при развитой поврежденности, что приводит к реологической неустойчивости элемента материала. Этот вид неустойчивости проявляется в виде поверхностей локализации деформаций, обладающих в зависимости от действующих напряжений различной ориентацией относительно главных осей тензора напряжений. Совокупность точек в пространстве деформаций (напряжений), в которых происходит потеря устойчивости, представляет собой аналог предельной поверхности, критерия прочности, который следует из законов сохранения и определяющих соотношений среды.

Использование в большинстве традиционных моделей поврежденности [Ка-чанов JI.M., 1974, Работное Ю.Н., 1979, Суворова Ю.В., Ахундов М.Б., 1986, Lemai-treJ., 1992, Krajcinovic D., 1996, Кукуджанов B.H., 1999] скалярного параметра поврежденности для описания пространственной упорядоченности и преимущественной ориентации дефектов в условиях негидростатического напряженного состояния твердого тела является чрезмерным упрощающим предположением. Предложенная в работе [Кондауров В.И., 2001] тензорная энергетическая модель поврежденности преодолевает этот недостаток скалярной модели, однако предложенные уравнения являются довольно громоздкими.

В данной работе, которая является развитием работ [Кондауров В.И., 1986, 1988, 1991, 2001, Кондауров В.И., Фортов В.Е., 2002], рассматривается существенно более простая модель континуального разрушения термоупругих тел, позволяющая описать упомянутые особенности поведения и учесть влияние температуры на процесс накопления поврежденности. Предложены новые формы свободной энергии и эффективной поверхностной энергии термоупругой повреждающейся среды. Сформулировано уравнение эволюции тензора поврежденности, которое термодинамически согласовано с внутренней диссипацией энергии в процессах рассеянного разрушения. Рассматривается критерий реологической устойчивости, который определяет условия превращения слабого разрыва решения в сильный разрыв. Выявлены некоторые эффекты, связанные с образованием «зуба текучести» при небольших скоростях деформации материала. Показано существенное влияние скорости нагружения на прочностные свойства материала.

На основе развитой модели решены две новые нелинейные задачи, в которых рассмотрены процессы деформирования, накопления поврежденности и макроскопического разрушения материала при действии квазистатических и динамических нагрузок. Изучено совместное растяжение и изгиб толстой плиты из повреждающегося материала, которая представляет собой обобщение известной в линейной теории упругости задачи Сен - Венана, и динамическое деформирование и разрушение начально-напряженного высокопористого слоя под действием динамической нагрузки, приложенной к одной из границ.

Основные результаты и их научная новизна. В результате проведенных исследований получены следующие результаты:

- принципиально новая термодинамическая модель накопления поврежденности термоупругих твердых тел с тензорной и скалярной характеристикой структуры материала;

- условие реологической неустойчивости термоупругой среды, при которых процесс накопления поврежденности переходит в макроскопическое разрушение материала;

- решение новой нелинейной задачи о совместном изгибе и растяжении толстой плиты из повреждающегося материала;

- исследование волн разрушения в начально-напряженном высокопористом слое, вызванных ударной нагрузкой, приложенной к границе слоя;

- новый эффект существования «кинетического интервала» для напряжений, внутри которого поведение волн напряжений является аномальным. Существование этого интервала обусловлено совместным действием кинетики поврежденности и начальных напряжений.

Практическая ценность работы. Предложенная в работе новая термодинамическая модель континуального разрушения может быть использована для создания методик и нормативных материалов, программного продукта и численного анализа технологических процессов динамического и статического деформирования и разрушения элементов конструкций и сооружений.

Совместный изгиб и растяжение толстой плиты является типичным для элементов конструкций и образцов, испытываемых в разрывных машинах для определения свойств материала при сложном напряженно-деформированном состоянии. Поэтому решение этой новой нелинейной задачи позволит расширить арсенал экспериментатора и проектировщика при анализе нелинейного поведения элементов конструкций и образцов материала.

Решение задачи о распространении волн напряжений в слое из начально-напряженного высокопористого материала представляет собой попытку нестандартного анализа разрушения высотных зданий и сооружений при динамическом воздействии на них. Поскольку большие здания и сооружения играют важную роль в социальной и экономической жизни современного общества, то оценка уязвимости таких сооружений, повышение их стойкости при динамических воздействиях и способы минимизации материальных и людских потерь являются сегодня одной из практически важных проблем.

Достоверность. Выводы, полученные в диссертации, можно считать достаточно обоснованными вследствие использования строгих математических методов решения задач и учета экспериментальных данных, касающихся особенностей процессов деформирования и разрушения материалов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на XLIII - XLVI - научных конференциях МФТИ, 2001-2002, на конференции "Современные проблемы механики и прикладной математики", г. Воронеж, 2002, на семинаре Института, проблем механики РАН под руководством В.Н. Кукуджанова и А.Г. Куликовского, 2003, на XXXIII Летней школе - конференции "Advanced Problems in Mechanics", г. С. Петербург, 2004, на 5-ом Международном конгрессе по термическим напряжениям «THERMAL STRESSES 2003», Virginia Polytechnic Institute and State University, Blacksburg, USA.

Публикации. По результатам работы имеется 6 публикаций.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 96 наименований. Работа содержит 92 страницы текста и 17 рисунков. Общий объем 92 страницы.

Заключение

В результате выполнения диссертационной работы получены следующие основные результаты:

1. Предложена новая математическая модель континуального разрушения, учитывающая изменение температуры и начальную пористость хрупкого термоупругого материала. В основу этой теории положен энергетический подход, аналогичный подходу Гриффитса в механике изолированной трещины. Центральным моментом описания является учет локального баланса между изменением потенциальной энергии деформирования и энергией, которая затрачивается на образование новых поверхностей микропор и микротрещин.

2. Исследованы гиперболические свойства системы уравнений для трехмерного напряженно - деформированного состояния повреждающегося материала. Найдены скорости распространения нестационарных характеристик. Сформулировано уравнение для экстремальной нормали. Доказана теорема о формах проявления реологической неустойчивости.

3. Условия возникновения неустойчивости проиллюстрированы на примере сдвиговой и одноосной деформаций. Выявлен эффект образования «зуба текучести» при небольших скоростях деформации материала.

4. Полуобратным методом решена новая нелинейная задача о совместном изгибе и растяжении толстой плиты из повреждающегося материала. Показано существенное влияние скорости нагружения и кинетики поврежденности на прочность тела.

5. Исследовано распространение волн напряжений, вызванных импульсной сжимающей нагрузкой, приложенной к границе пористого слоя. Выявлен новый эффект существования «кинетического интервала» для напряжений, внутри которого аномально поведение волн напряжений. Существование этого интервала обусловлено совместным действием кинетики поврежденности и начальных напряжений.

1. Астафьев В.А., Радаев Ю.Н., Степанова Л.В. Нелинейная механика разрушения. Самара: Изд-во «Самарский университет». 2001. 632 с.

2. Бахвалов Н.С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой // ДАН СССР. 1973. Т. 218, № 4. С. 1046-1048.

3. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448с.

4. Быковцев Г.И., Вервейко И Д. О распространении волн в упруговязкопластиче-ской среде // Изв. АН СССР. МТТ. 1966. № 4. С. 111-123.

5. Вакуленко A.A., Качалов М.Л. Континуальная теория среды с трещинами // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. №4. С. 159 -166.

6. Гшман Дж. Д. Микродинамическая теория пластичности // Микропластичность. М: Металлургия, 1972. С. 18-37.

7. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978. 304 с.

8. Григорян С.С. Некоторые вопросы математической теории деформирования и разрушения твердых горных пород // Прикладная Математика и Механика. 1967. Т. 31, Вып.4. С. 643 669.

9. Ю.Ежов Г.П., Кондауров В.И. Изгиб и растяжение плиты из пов-реждающегося материала // Электронный журнал «Исследовано в России». 2005. 069. С. 753761. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2005/069.pdf

10. Ежов Г.П., Кондауров В.И. О волнах разрушения в начально-напряженном слое пористого материала // Прикладная Математика и Механика. 2006. Т. 70, вып. 3. С.515-530

11. Ежов Г.П., Кондауров В.И. Практический опыт исследования условий разрушения термоупругих сред // Вестник военного регистра Российской академии ракетных и артиллерийских наук. 2002. - №4. - С. 36-39.

12. Ежов Г.П., Кондауров В.И. Моделирование накопления поврежденности и разрушения твердых тел при интенсивных термомеханических нагрузках // Военный университет войсковой ПВО. Сб. ст./ МО РФ. М., 2002. - С. 16-18.

13. Ежов Г.П., Кондауров В.И. Изгиб и растяжение плиты из повреждающегося материала // Третий ЦНИИ МО РФ. Научно-методические материалы, труды семинаров и НТК. Кн.2, часть 2. 2003. -С. 67-79.

14. Жермен П. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983. 399 с.

15. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1978. 287с.

16. Ильюшин A.A. Об одной теории длительной прочности // Изв. АН СССР. МТТ. 1967. №3. С. 21 -35.

17. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупруго-сти. М.: Наука, 1970. 280 с.

18. Капель Г.И, Разоренов C.B., Уткин А.В., Фортов В.Е. Ударно-волновые явления в конденсированных средах. М.: «Янус-К», 1996. 408 с.

19. Качалов Л.М. О времени разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. С. 26-31.21 .Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 311 с.

20. Кондауров В.И. Энергетический подход к задаче континуального разрушения твердого тела // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1986. № 6. С. 17-22.

21. Кондауров В.И. Континуальное разрушение нелинейно-упругих тел // Прикладная Математика и Механика. 1988. Т.52, вып.2. С. 302-310.

22. Кондауров В.И. О реологической неустойчивости упругой повреждающейся среды // Прикладная Математика и Механика. 1991. Т. 55, вып.1. С. 109-117.

23. Кондауров В.И. Об особенностях волн разрушения в высокооднородных хрупких материалах // Прикладная Математика и Механика. 1998. Т. 62, вып.4. С. 722 729.

24. Кондауров В.И. Тензорная модель континуального разрушения и длительной прочности упругих тел // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2001, №5. с. 134 -151

25. Кондауров В.И., Кутлярова Н.В. Повреждаемость и реологическая неустойчивость начально-пористых материалов // Изв. АН СССР. МТТ. 2000. № 4. С. 99109.

26. Кондауров В.И., Кутлярова Н.В., Фортов В.Е. Повреждаемость и разрушение хрупких начально-пористых материалов // ДАН. 1997. Т. 355, № 3. С. 342-345.

27. Кондауров В.И, Никитин Л.В. Теоретические основы реологии геоматериалов. М.: Наука, 1990. 207с.

28. Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термомеханики конденсированных сред. М.: Изд-во МФТИ, 2002. 336с.31 .Коттрел А.Х. Дислокации и пластическое течение в кристаллах. М.: Метал-лургиздат, 1958. 267с.

29. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир. 1982. 335с.

30. ЪЪ.Кукуджанов В.Н. Микромеханическая модель разрушения упруго-вязкопластического материала и ее применение к исследованию локализаций деформаций. // Изв. РАН. МТТ. 1999. №5. С.72-87.

31. ЪА.Кукуджанов В.Н. Распространение упругопластических волн в стержне с учетом влияния скорости деформации. М.: Изд-во ВЦ АН СССР. 1967. 48с.

32. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830с.

33. Лихачев В.А., Кузьмин СЛ., Каменцева З.П. Эффект памяти формы. JL: Изд-во Ленинградского ун-та. 1987. 216с.

34. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940с.

35. Нигматулин Р.И. Механика гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336с.

36. Никитин Л.В., Юнга С.Л. Методы теоретического определения тектонических деформаций и напряжений в сейсмоактивных районах // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1977. № 11. С. 54-67.

37. Никифоровский B.C., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск: Наука, 1979. 271 с.

38. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра. 1984. 232с.

39. Николаевский В.Н. Предельная скорость фронта разрушения и динамические перегрузки хрупких материалов. Препринт №123. ИПМех АН СССР. М. 1979. 57с.

40. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. 1975. 872с.

41. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. 368 с.

42. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. Новосибирск: Наука, 1985. 229 с.

43. Работное Ю.Н. Механизм длительного разрушения // Сб. «Вопросы прочности материалов и конструкций». М.: Изд-во АН СССР. 1959. С. 5-7.

44. Al.Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

45. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. 688 с.

46. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1970. 492 с.

47. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 2. М: Наука, 1970. 568 с.

48. Слепян Л.И. О моделях в теории волн хрупкого разрушения //Изв. АН СССР. МТТ. 1977. №1. С. 181-186.

49. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Изд-во Высшая школа. 1969. 608с.

50. Суворова Ю.В., Ахундов М.Б. Длительное разрушение изотропной среды в условиях сложного напряженного состояния // Машиноведение. 1986. №4. С. 40-46.

51. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М: Мир, 1964. 308 с.

52. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.

53. Феодосьев В.Н. Сопротивление материалов. М.: Наука. 1967. 552 с.

54. Черепанов ГЛ. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука. 1974. 640 с.

55. Шестериков С.А., Локощенко A.M. Ползучесть и длительная прочность металлов. В кн.: Итоги науки и техники. Механика деформируемого твнрдого тела. Т. 13. М.: ВИНИТИ. 1980. С. 3-104.

56. Camacho G.T., Ortiz M. Computational modeling of impact damage in brittle materials // Int. J. Solids and Structures //1996. V. 33, pp. 2899-2938.

57. Coussy O. Poromechanics. Wiley. New York. 2004. 298p.

58. Denoual C, Hild F. Dynamic fragmentation of brittle solids: a multi-scale model // Eur. J. Mech. A/Solids. 2002. V.21. P. 105-120.

59. Espinosa H.D., Xu Y., BrarN.S. Micromechanics of Failure Waves in Glass: II, Modeling // J. Am. Ceram. Soc. 1997. V.80. № 8. P. 2074-2085.

60. Forquin P., Denoual C., Cottenot C.E., Rota L., Hild F. Experimental approach and modeling of the compressive behavior of two SiC grades // J. Physique IV. 2000. V.10. No 9. P. 735-740.

61. Freund L.B. Dynamic Fracture Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press. 1998. 563p.

62. Glenn L.A., Chudnovsky A. Strain-energy effects on dynamic fragmentation II Journal of Applied Physics 1986. V.59. P. 1379-1380.

63. Grady D.E. Local inertial effects in dynamic fragmentation // J. Appl. Phys. 1982. V. 53. P. 322-325.

64. Grady D.E., Kipp M.E. Geometric statistics and dynamic fragmentation // J. Appl. Phys. 1985. V. 58. No 3. P. 1210-1222.

65. Griffith A.A. The phenomena of rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1920. V. 221. P. 163-198.

66. Hay hurst D.R., Dimmer P.R., Morrison C.J. Development of continuum damage in creep rapture of the notched bars // Phil. Trans. Roy. Soc., London. 1984. A311. P. 131-158.lA.KrajcinovicD. Damage mechanics. Amsterdam: Elsevier Science. 1996. 762 pp.

67. Kurkjian C.R., editor. Strength of inorganic glass. New York: Plenum Press; 1985. p. 6-11.

68. Kutter H.K., Fairhurst C. On the fracture process in blasting // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. 1971. V. 8. P. 181-202.ll.LemaitreJ. A course on Damage Mechanics. Springer Verlag, 1992. 280 p.

69. Liu L., Katsabanis P.D. Development of a Continuum Damage Model for Blasting Analysis // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. 1997. V.34. pp. 217-231.

70. Mencik J. Strength and fracture of glass and ceramics. Amsterdam: Elsevier, Glass Science and Technology. 1992.

71. Miller O., FreundL.B., NeedlemanA. Modeling and simulation of dynamic fragmentation in brittle materials // Int. J. Fracture. 1999. V.96. P. 101-125. 81 .Murakami S. Mechanical modeling of material damage // J. Appl. Mech. 1988. V.55. No.2. P. 280-286.

72. Needleman A. A continuum model for void nucleation by inclusion debonding // J. Appl. Mech. 1987. V.54. P. 525-531.

73. Radayev Y.N. Thermodynamical model of anisotropic damage growth. Part II. Canonical damage growth rate equations and theory of damage invariants // J. Non-Equilib. Thermodyn. 1996. V.21. No.3. P. 197-222.

74. Rudnicki J.W., Rice J.R. Conditions for localization of deformation in pressure-sensitive dilatant materials // J. Mech. Phys. Sol. 1975. V. 23. P. 371 394.

75. Shockey D.A., Curran D.R., Seaman L., Rosenberg J. T., Petersen C.F. Fragmentation of rocks under dynamic loads // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. 1974. V. 11. P. 303-317.

76. SupartonoF., Sidoroff F. Anisotropic damage modeling for brittle elastic material // Arch. Mech. 1985. V. 37. No 4/5.

77. Tay W.N. Plastic damage and ductile fracture in mild steels // Eng. Fracture Mech. 1990. V.37. P. 853-862.

78. Taylor L.M., Chen E.P., Kuszmaul J.S. Micro-crack induced damage accumulation in brittle rock under dynamic loading // Computer Meth. in Appl. Mech. and Engn. 1986. V.55. P.301-320.

79. XuX.-P., Needleman A. Numerical simulations of fast crack growth in brittle solids // J. Mech. Phys. Solids. 1994. V. 42. P. 1397-1434.

80. Yang R., Bawden W. F., Katsabanis P. D. A New Constitutive Model for Blast Damage // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. Geomech. Abstr. 1996. V.33. P. 245-254.

81. Yew C.H., Taylor P.A. A thermodynamic theory of dynamic fragmentation // Int. J. Impact Eng. 1994. V. 15. P. 385-394.

82. Zhang Y.-Q. Hao H. Dynamic Fracture in Brittle Solids at High Rates of Loading // J. Appl. Mech. 2003. V.70 P. 454-457.

83. Zongzhe J., Junarong M., XiaoruiL. Dynamic fracture and Strength of Glass. In: Proceedings XlVth Int. Congr. on Glass. 1986. P. 78-83.