автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Термодинамически согласованная модель континуального разрушения пористых насыщенных сред

на правах рукописи

Извеков Олег Ярославович

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИ СОГЛАСОВАННАЯ МОДЕЛЬ КОНТИНУАЛЬНОГО РАЗРУШЕНИЯ ПОРИСТЫХ НАСЫЩЕННЫХ СРЕД

Специальность: 05.13.18. - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 [■> о ч

Москва 2009

003482889

Работа выполнена на кафедре прикладной механики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Кондауров Владимир Игнатьевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Те.мис Юрий Моисеевич

доктор физико-математических наук Мухамедиев Шамиль Ахмедович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН (ИПМех РАИ)

Защита состоится 9 декабря 2009 г. в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.156.08 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер. 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета).

Автореферат разослан » тш^ллс 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф.-м. н.

Коновалов В.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Проблемы моделирования процессов образования и развития микротрещин актуальны для различных областей техники. С развитием микротрещин приходится иметь дело при разрушении стекол, керамик и горных пород, микротрещины образуются в окрестности скважин (шахт) при разработке месторождений углеводородов (минеральных полезных ископаемых). Важную роль рассеянное трещинообразование играет в технологиях интенсификации производительности скважин таких, как гидроразрыв пласта. Наличие жидкости в порах хрупкого материала, что особенно характерно для задач трибологии и нефтяного инжиниринга, может существенно влиять на процессы разрушения, поэтому проблема моделирования разрушения насыщенных сред имеет научное и практическое значение.

Математическое моделирование в механике сплошных сред предполагает решение системы уравнений, включающей законы сохранения массы, импульса, момента импульса и энергии, с учетом граничных и начальных условий. Система уравнений замыкается с помощью определяющих соотношений (уравнений состояния и уравнений, определяющих транспортные свойства), характеризующих конкретные термомеханические свойства рассматриваемых сред. Успех решения конкретных задач во многом зависит от качества определяющих соотношений. При исследовании новых сложных сред, таких как повреждающиеся среды, прямые обобщения известных реологических моделей (например, введение новых параметров) могут оказаться некорректными. В этих условиях особую важность приобретает конструирование определяющих соотношений, обеспечивающих выполнение базовых принципов механики и термодинамики в любых процессах нагружения. Этот подход, известный как принцип термодинамической согласованности, был развит в середине двадцатого века в работах Трусделла К. [С1] и его школы.

Теория континуального разрушения (теория поврежденности) дает феноменологическое описание эволюции рассеянных дефектов - микротрещин, число которых в любом элементарном объеме предполагается весьма большим, что позволяет описывать этот процесс с помощью осредненного параметра - поврежденности. Этот подход, предложенный в середине шестидесятых годов прошлого столетия Качановым Л.М. [С2] и Работновым Ю.Н. [СЗ], получил интенсивное развитие в многочисленных работах отечественных и зарубежных исследователей. Основное преимущество теории поврежденности перед теориями прочности заключается в учете предыстории нагружения, предшествующей макроскопическому разрушению. Первоначально понятие поврежденности ассоциировалось с долей пустот, возникающих в сечении стрежня под действием интенсивных нагрузок. Постепенно в модели поврежденности стали вводиться более абстрактные предпосылки, близкие к гипотезам теории вязкопластичности [С4]. В середине восьмидесятых годов в работах Грэди Д.Е. [С5] по динамическому дроблению хрупких тел было указано на важность учета поверхностной энергии образующихся осколков. В конце девяностых годов в работах Фортова В.Е и Кондаурова В.И. [С6] была

развита модель сплошной повреждающейся среды, которая ассоциирует параметр поврежденности с необратимыми потерями термомеханических форм энергии, связанными с образованием новых поверхностей при развитии микротрещин. В настоящей диссертационной работе указанный подход обобщается на случай пористых насыщенных сред.

Изучением пористых насыщенных сред в течение двадцатого века интенсивно занимались отечественные (Жуковский Н.Е., Лейбензон Л.С., Христианович С.А. и др.) и зарубежные ученые (Терцаги К., Маскет М, Био М. и др.) Под влиянием основополагающих работ Био М. (первая из них [С7]), опубликованных в середине прошлого века, на западе развилась отдельная отрасль механики - поромеханика, которая на данный момент охватывает весьма широкий круг проблем от биомеханики до нефтяного инжиниринга (см., например, [С8]).

Актуальность диссертационного исследования обусловлена широким спектром практических приложений, которые требуют адекватного математического моделирования процессов деформирования и разрушения пористых сред.

Объектом исследования является насыщенная пористая среда, на поведение которой влияют поверхностные эффекты, связанные с порами и микротрещинами.

Предмет исследования - континуальное (рассеянное) разрушение пористых сред, насыщенных сжимаемой жидкостью.

Цель исследования - установление новых закономерностей поведения пористых повреждающихся сред:

• построение термодинамически согласованных определяющих соотношений пористой упругой среды, насыщенной сжимаемой жидкостью, в твердом скелете которой могут зарождаться и развиваться микротрещины;

• исследование влияния внутрипоровой жидкости на процессы разрушения в твердом скелете пористой среды;

• постановка и решение новых задач механики континуального разрушения.

Научная новизна исследования состоит в том, что впервые получена термодинамически согласованная система определяющих соотношений, характеризующая механические свойства пористой повреждающейся среды, насыщенной сжимаемой жидкостью. В диссертации предложен эффективный метод построения кинетического уравнения, описывающего эволюцию параметра поврежденности, основанный на применении условия неотрицательности диссипации рассеянного разрушения при произвольной истории нагру-жения.

Практическая ценность - разработанная модель может применяться в строительной механике, геомеханике, механике композитных пористых материалов. Разработанные подходы могут быть положены в основу развития новых эффективных методов добычи полезных ископаемых в сложных условиях, создания новых узлов трения и защитных противоударных устройств.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием фундаментальных принципов термодинамики и механики сплошных сред, корректной постановкой краевых задач, сопоставлением полученных данных с имеющимися аналитическими и экспериментальными результатами.

На защиту выносятся следующие положения:

1) Общая форма определяющих уравнений повреждающейся пористой среды, насыщенной сжимаемой жидкостью, в изотермическом приближении.

2) Кинетическое уравнение для параметра поврежденности, которое обеспечивает неотрицательность диссипации рассеянного разрушения при любой истории нагружения.

3) Обобщение упругого потенциала пористой среды, учитывающее основные эффекты процесса развития рассеянной трещиноватости, в рамках приближения малых отклонений от начального состояния.

4) Решение ряда новых задач механики рассеянного разрушения начально-пористых материалов:

1. всестороннее сжатие насыщенной пористой среды;

2. одноосное деформирование насыщенной пористой среды;

3. стесненный и нестесненный сдвиг пористого слоя с варьированием порового давления;

4. одномерная консолидация пористого повреждающегося слоя;

5. задача о вторичной трещиноватости в окрестности трещины гидроразрыва;

6. задача о накоплении поврежденности в окрестности полости при сбросе порового давления.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены на следующих конференциях: 50-я научная конференция МФТИ (Москва, ноябрь 2007 г.); XXII международная конференция «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество» (Кабардино-Балкария, март 2007); Молодежная научная конференция «Физика и прогресс» (Санкт-Петербург. 14-16 ноября 2007); XXIII международная конференция «Уравнения состояния вещества» (Кабардино-Балкария, март 2008); Круглый стол МФТИ - Шлюмберже «Физические модели в современной нефте- и газодобыче» (Москва, 4 декабря 2008); «4-я международная конференция по механике пористой среды имени М. Био» (Нью-Йорк, США, 8-10 июня 2009).

Публикации. Основные результаты по теме диссертационного исследования изложены в 13 публикациях, список которых представлен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Общая постановка задачи и определение направления исследований принадлежит научному руководителю. Все результаты, изложенные в диссертации, получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 104 страницы, содержит 29 рисунков и библиографию, содержащую 75 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе проведен обзор основных моделей разрушения по имеющимся литературным источникам. Рассмотрено историческое развитие подходов к описанию разрушения твердых тел, начиная от простейших моделей теории прочности до энергетической модели континуального разрушения.

Во второй главе рассмотрена кинематика, законы сохранения и термодинамика насыщенной пористой среды.

Кинематика. На микроуровне пористая среда представляет собой смесь большого числа сцементированных зерен твердой компоненты с пустотами, частично или полностью заполненными жидкостью (газом). Твердую компоненту пористой среды принято называть скелетом, а жидкость (газ) флюидом. Предполагается, что элементарный объем пористой среды содержит большое количество зерен и пор, что позволяет представлять скелет и флюид взаимопроникающими и взаимодействующими континуумами.

Для описания движения континуумов используется подход Эйлера, когда рассматривается область х. в которой одновременно совмещены оба континуума. В разные моменты времени г в окрестности фиксированной точки х совмещены разные частицы континуумов. Закон движения определяется в виде связи

Х,=Х,(х,0, хе*, ХлекА{0, '>0, (1.1)

где индекс Л = (индекс 5 относится к скелету, а /*"- к жидкости), ХА - положение в начальный момент времени тех частиц континуума А, которые находятся в момент t в окрестности точки х, область кА(I) занята в начальный момент частицами континуума А, находящимися в момент I в области х ■

При построении модели используется аппарат, характерный для описания конечных деформаций сплошной среды. Используются понятия дисторсии в,, =[У® Х^(х,0]г элемента континуума А и массовой скорости V,, = Эх(х^,()/5г|х . Знак «®» означает прямое тензорное умножение такое, что (а®Ь). = а,Ь1. Между дисторсией и скоростью \А каждого континуума

существует связь - уравнение совместности деформаций и скоростей

(1.2)

где í//)//cй = c)/(x,í)/Зf|,l+v••^'v/ - материальная производная вдоль траектории

частицы континуума А. Если воспользоваться теоремой Коши о полярном разложении невырожденного тензора, дисторсия Сл может быть представлена в виде произведения

С^Нл-и^У,-^, (1.3)

где и^, У, - симметричные положительно определенные тензоры растяжения (сжатия), - ортогональный тензор поворота окрестности частицы.

Законы сохранения насыщенной пористой среды. В систему законов сохранения, которые описывают поведение насыщенной пористой среды, входят законы сохранения массы, импульса и энергии, которые дополняются

неравенством энтропии. Для гладких движений закон сохранения массы и импульса могут быть представлены в виде уравнений неразрывности и уравнений движения континуумов.

В диссертационной работе рассматривается изотермическое приближение, в котором закон сохранения энергии для гладких движений может быть приведен к виду

lAi^^Ie^evJ-b*-*-*(«,/), (1.6)

л at а

где иА - внутренняя энергия континуума A, W5v,-vs — относительная скорость, vF = ф\/ - скорость фильтрации флюида, ф(х,1) - пористость, аА - тензор парциальных напряжений, Ь'"' - плотность объемных сил взаимодействия континуумов, pA(x,t) - осредненная по элементу пористой среды плотность массы континуума A {pF = фр/,р!1 = (\-ф)р1, где pf, ps - истинная плотность флюида и скелета соответственно). Знаком S(x,t) обозначена диссипация, равная плотности распределенных стоков тепла, которая необходима для поддержания постоянной температуры. Знаком «:» обозначено двойное скалярное произведение такое, что А: В = AIJBlj.

Предположение 6(x.t) > 0 представляет собой аналог условия, накладываемого на скорость производства энтропии в неравновесных процессах, происходящих с изменением температуры (неравенство Клаузиуса - Дюгема [С1, С6, С8]). Таким образом, уравнение (1.6) можно представить в виде неравенства диссипации

+ bta'-w>0. (1.7)

a at а

Как и неравенство Клаузиуса - Дюгема для неизотермических процессов, неравенство (1.7) накладывает существенные ограничения на вид определяющих соотношений, которые задают свойства жидкости и скелета, а также закон их взаимодействия.

В третьей главе выводится общий вид термодинамически согласованных определяющих соотношений для повреждающейся насыщенной пористой среды.

Состояние элементарного материального объема насыщенной пористой среды с упругим скелетом задается совокупностью величин

Л(х,<) = {Gs(x,t), GF(x,t), ю(х,0, >v(x,0}, (2.1)

где a - скалярный параметр поврежденности. Реакция среды в точке (x,f) характеризуется упругими потенциалами, парциальными напряжениями, пористостью и массовой силой взаимодействия континуумов

Г(х, г) = К(*> О, <sA(x,t), ф(х,1), bdis(x,г)}, А = S,F.

Предполагается, что эти величины являются функциями состояния среды, т.е.

Т(х,/) = Г{Л(х,0}, (2.2)

где Т+ = ф\ Ь+} - набор функций, задающий уравнения состояния.

Сила взаимодействия континуумов представляется в виде суммы равновесных и диссипативных составляющих (этот поход изложен, например, в [С9]): Ь"" = Ь° + ЬА'. Диссипативные слагаемые равны нулю в состоянии с нулевыми массовыми скоростями и при отсутствии градиентов температуры. Важная особенность модели состоит в том, что в систему определяющих соотношений (2.2) входит не полная сила взаимодействия континуумов Ь"1', а только ее диссипативная часть Ь''".

Помимо соотношений (2.2) в систему определяющих уравнений входит также уравнение кинетики параметра поврежденности

= (2.3)

Предполагается, что повережденность а накапливается необратимым образом, т.е. кинетическая функция £2+(Л) считается неотрицательной и неубывающей функцией параметров состояния.

Предположение, что пористая среда насыщена жидкостью, определяющие уравнения которой инвариантны при унимодулярных преобразованиях отсчетной конфигурации, позволяет перейти от дисторсии в,, к ее детерминанту и далее - к истинной плотности жидкости рг.

К материалу (2.1)-(2.3) применяются три общих принципа теории определяющих уравнений: инвариантность определяющих соотношений относительно преобразований симметрии; независимость от выбора системы отсчета и принцип термодинамической согласованности [С1, С6].

Считается, что уравнения (2.1) - (2.3) обладают группой симметрии &={&>"}• Здесь £0 =о- подгруппа собственной ортогональной группы преобразований начальной конфигурации скелета, и - унимодулярная группа преобразований начальной конфигурации флюида. В наиболее распространенных случаях изотропного и трансверсально-изотропного скелета группа gu совпадает с собственной ортогональной группой и группой вращений вокруг выделенной оси соответственно.

Независимость определяющих соотношений (2.2) - (2.3) от выбора системы отсчета означает, что связь состояния и текущей реакции во всех системах отсчета осуществляется одними и теми же функциями

Принцип термодинамической согласованности определяющих соотношений требует, чтобы неравенство диссипации (1.7) выполнялось для любой гладкой истории состояний. В диссертационной работе показано, что для выполнения указанных принципов необходимо и достаточно, чтобы определяющие соотношения рассматриваемой среды с любым типом симметрии

сжимаемого твердого скелета имели вид

"/="/(/>/). в/ = -р1. р = р)ди!1др/, (2.4)

Ч' = Ч'(Е,р,&), а = ■(д1У/сЕ)-С;'г> ф = -р,дЧ'/др, (2.5)

Б14' = • Ь(Е, ю, Л • \у), = (2.6)

¿¿=-рх(дУ/д(о)П, 8, = Ь'4' ■ + > 0, (2.7)

где о = + ар = <т? - фр\ - тензор полных напряжений, I - единичный тензор второго ранга, Е = (У"2-1)/2 - тензор конечных деформаций Лагранжа, ¥ -потенциал скелета, определяемый преобразованием Лежандра у¥-рду¥/др = Р(Ся,ф,ю), где Р(Сх,ф,ы) - упругий потенциал скелета, выраженный через пористость.

Формулы (2.4) относятся к свойствам флюида, а формулы (2.5) - определяющие соотношения для скелета с конечными деформациями. Формулы (2.6) задают структуру выражений для диссипативной составляющей силы взаимодействия и кинетического уравнения. В общем случае эти функции зависят от относительной скорости, т.е. имеет место взаимосвязь фильтрационных свойств среды и поврежденности скелета.

Приближение, в котором указанная связь отсутствует, позволяет разбить неравенство (2.7) на два независимых соотношения > О, 8 1 > О. Это дает эффективный метод построения кинетического уравнения для накопления поврежденности. Действительно, из неравенства 8а =-р5(8Ч,/да)П>0 и формулы (2.6) следует, что для выполнения неравенства диссипации достаточно принять ¿хй)/сЬ~-рх(дк¥/дсо). Условие активного нагружения т>О, ®>0, дает -рц{д^ 18а)>й. Новизна и преимущество получаемого кинетического уравнения состоит в явной связи скорости накопления поврежденности с потенциалом Ш.

На практике при решении прикладных задач часто реализуется случай малых отклонений параметров состояния от их начальных значений. В этом приближении разложение упругого потенциала по малым параметрам до квадратичных членов дает

-а±ш1х - а^ - а*0Ар, где /, = е: I - объемная деформация, J = (е : с)"2 - интенсивность сдвига, где е = е — 7,1/3 - девиатор тензора малых деформаций е, Ар — отклонение поро-вого давления от первоначального значения.

Тензор полных напряжений и изменение пористости, определяемые упругим потенциалом скелета (2.8) с учетом (2.5), имеют вид

ввА.я(29) АФ=_р«щм=ь11АР+а> (2Л0)

Ф/ N

Здесь К,¡л - модуль объемного сжатия и сдвига неповрежденного материала, b,N — коэффициенты, определяющие связь изменения пористости с объемными деформациями скелета и с изменением порового давления.

При равенстве нулю параметра поврежденности выражение (2.8) совпадает с потенциалом линейно упругой пористой среды. Накопление поврежденности учитывается введением в потенциал слагаемого у±ю + у1рсо1, характеризующего скрытую энергию структурного изменения материала - по-

верхностную энергию микротрещин. Величины у±,р> 0 - положительные параметры. Кроме того, в потенциал добавляются также слагаемые -а±®/, -а^ -а^соАр, которые задают изменение потенциала из-за частичной разгрузки материала возле берегов микротрещин. Считается, что коэффициенты >0, >0, а_,а~ <0.

Знак плюс в индексе ± соответствует рассеянному разрушению вследствие сдвига и растяжения (/* < /,), минус соответствует разрушению вследствие интенсивного объемного сжатия (/, </,'), где /,' <0 - объемная деформация, разделяющая эти два вида разрушения. Знак коэффициентов а± обусловлен уменьшением упругой энергии пористого скелета при любом механизме разрушения. Знак коэффициента а* определяется тем, что с увеличением порового давления прочность на растяжение снижается, а материал при растяжении и сдвиге разрыхляется (а* >0). Поскольку прочность на сжатие с

ростом порового давления увеличивается, а материал при интенсивном сжатии уплотняется, то выбирается коэффициент а~< 0.

Кинетика поврежденное™ для скелета с упругим потенциалом (2.8) имеет вид

= + + а±рАр 11)

Здесь {х) = х при х>0, (х) = 0 при *<0. Величина -^^{е, Ар, со)/да, равная а±/, + ау1/ + а±рАр-г± - Ра, характеризует баланс возрастающей при образовании микротрещин поверхностной энергии и убывающей при разрушении упругой энергии. Если высвобождение упругой энергии превосходит приращение поверхностной энергии, то поврежденность увеличивается, в противном случае — остается неизменной. Этот баланс, являющийся развитием и обобщением идей Гриффитса для изолированной трещины на случай рассеянного разрушения, применим для любого трехосного напряженно - деформированного состояния.

Из уравнения (2.11) следуют пороговые значения деформаций и порового давления, при которых начинается накопление поврежденное™. Рост поврежденности означает сочетание двух условий а> 0, т> 0, тогда из равенства нулю правой части уравнения (2.11) при <у = 0 следует равенство Рис. 1 Зона упругости J = (у±-а^Ар-а,!,)/^. (2.12)

На полуплоскости (/,,./> 0) инвариантов тензора деформации функция (2.12) определяет зависящую от порового давления треугольную область, внутри которой поврежденность отсутствует, а скелет ведет себя упругим образом. Эту область, представленную на рис.1, будем называть областью

упругости. Граница области упругости должна обладать сильной асимметрией относительно оси J, что связано с сильным различием прочностных свойств скелета при растяжении и сжатии.

Уравнение границы упругой области представлены через параметры, которые зависят от порового давления Ар линейным образом

•!0 = (/*-<*№)/«л Л = (./' ~ ар&Р)! aJ >

К = {/' ~ а'рАр)/а_, /,* = [у*-г'- {а"р - а;)Др]/(а+ - а_).

Так как коэффициенты >0, а_,а~< 0, то величины J0 и уменьшаются с ростом порового давления, в то время как величины [/,'1, увеличиваются.

В медленных процессах, для которых время релаксации г мало по сравнению с характерным временем задачи, из ограниченности скорости роста поврежденности следует, что числитель в правой части (2.11) тождественно равен нулю. В этом случае реализуется модель равновесного накопления поврежденности, для которой поврежденность определяется текущей деформацией и поровым давлением

со = (а±/, + а^ + а^Ар-у*)! р. (2.13)

Соотношение (2.13) выполняется при условии ¿>>0, в противном случае скорость изменения поврежденности равна нулю.

Далее рассматривается определяющее уравнение для диссипативной силы взаимодействия жидкости и скелета. Показано, что поровое давление, деформация скелета и его поврежденность влияют на проницаемость, как через коэффициент сопротивления фильтрации, так и через пористость.

В четвертой главе решен ряд прикладных задач, иллюстрирующих поведение исследуемой среды в типичных процессах на-гружения, а также обсуждается постановка экспериментов, которые позволяют определить параметры модели.

В диссертации рассмотрены следующие типы испытаний горных пород: истинное трехосное сжатие, стандартное' трехосное сжатие, одноосное сжатие, всестороннее сжатие, испытания на срез, косвенные испытания на растяжение.

Показано, что для определения коэффициентов построенной модели достаточно провести тесты на всестороннее сжатие, одноосное сжатие, срез и косвенный тест на растяжение (см. рис. 2).

Всестороннее сжатие

В этом случае деформации по главным направлениям тензора деформаций одинаковы: е = е (е, ® е, + е2 ® е2 + е3 ® е3), е < 0

ментов точкам, принадлежащим границе зоны упругости. 1) всестороннее сжатие, 2) одноосное сжатие, 3) испытание на срез, 4) косвенный тест на растяжение.

Для инвариантов тензора деформации справедливо /, = Зе, J - О, т.е. траектория деформирования совпадает с осью . Выражение для напряжений будет иметь вид

ах - сту = стг = а = 3 Ке - ЬАр - ajo, С учетом выражения для поврежденности

<7 = 3| К-^ \е-

Ь + -

Ар +

а_у

Отсюда следует, что за счет растрескивания уменьшается эффективный модуль объемного сжатия, что позволяетя определить а'/р. Кривая нагру-жения на плоскости (а, е) в момент начала развития поврежденности терпит излом, по положению которого можно судить о величине /,". При разгрузке материала зависимость напряжения от деформации принимает вид

а = ЗКе - ЬАр - а_т ,

где поврежденность на момент начала разгрузки со = (Ъа_ (е - /~/з) + а~Ар)! /!. Характерной особенностью поврежденного материала является наличие остаточных деформаций Ае = е - 7,"/3, измеряя которые можно так же определить величину /¡" = ъ[е - Де).

Одноосная деформация сжатия и растяжения

Рассматривется одноосная деформация сжатия (растяжения) е = е(/)е! ® е1, где е(/) - монотонно убывающая (растущая) от нуля заданная функция. Для одноосной деформации /,=е, J = -е-Щъ . Уравнение прямой ОАМ (история состояний при одноосном деформировании элемента среды) имеет вид У = —7,^/273 (рис. 3). Инвариант при котором прямая ОАМ пересекает границу зоны упругости,

обозначается символом I*.

В работе показано, что накопление поврежденности в случае /* < /,"' реализуется при поровом давлении Ар< рн/зу*/а*р. Величина р¥=у*/а* может трактоваться как давление гидравлического разрыва в ненапряженной пористой среде.

Показано, что при переходе от сдвигового к объемному разрушению ((/, =/,*)) поврежденность терпит скачок, величина которого растет с увеличением порового давления (рис. 4). Как и поврежденность, напряжение ап при одноосном сжатии также терпит разрыв при деформации е = /,' (рис. 5), величина которого определяется выражением -о-в) = а+(а+ -а_)(ев -еА)>0,

Рис. 3 Одноосное сжатие

где еА=1? = (у*-а;Ар)/а,, ев=1\=\у*-у-(<**■-ар)Ар}1{а,-а_).

Указанные разрывы получаются из-за излома модельной границы зоны упругости при /, = /,', в реальной ситуации вместо разрыва напряжения следует ожидать падающий участок кривой нагружения на плоскости (<т, е).

В случае I* < /,* скачки поврежденности и напряжения отсутствуют. Касательный модуль упругости Лц = Л + 2ц-аЦ¡3 материала в поврежденном состоянии позволяет определить величину аЦ().

Параметр а~ можно определить, исследуя положение излома графика нагружения при различных поровых давлениях в тестах на всестороннее сжатие. Для выяснения величины а* необходимо модифицировать косвенный тест на растяжение и тест на срез на случай насыщенных жидкостью образцов.

Стесненный и нестесненный сдвиг

Далее рассматривается деформация стесненного в нормальном направлении сдвига е = е,2(/)(е, ® е2 + е2 ® е,), когда наложен запрет на нормальные деформации. Предполагается, что в начальный момент времени нормальные напряжения отсутствуют. Траектория деформирования совпадает с осью J. (рис. 2). Характерной особенностью рассматриваемого процесса является наличие нормальных напряжений, зависящих от поврежденности и порового давления. В активном процессе (еп>е?г, ¿12>0) при равновесном накоплении поврежденности выражение для нормальных напряжений имеет вид

ст22 = -6Ар - л/2а+ог^(е12 где е*2 = (у* - а*Ар}|4:2aJ - предельный упругий сдвиг.

Таким образом, наличие поврежденности приводит к появлению дополнительных сжимающих нормальных напряжений. Повышение порового давления усиливает этот эффект, сброс уменьшает.

Далее в работе обсуждается деформация сдвига е = еп (в; ® е2 + е2 ® е,) + е22е2 ® е2. Неизвестная нормальная к полосе деформация е22 характеризует эффект дилатансии. Пусть верхняя поверхность полосы свободна от добавочных напряжений, т.е. поддерживается постоянное нор-

ю

* -/' | 'I

Рис. 5 Скачок напряжения

-е

Рис. 4 Скачок поврежденности

мальное напряжение. Также предполагается, что отсчетная конфигурация является ненапряженной.

Полученное в ходе решения задачи уравнение, с учетом необратимости накопления поврежденности, решалось численно. Результаты расчета еп при значениях параметров К$/ц=\2, а}1 ц= 2, а+/^=1, Др=0, /7=10,

¿=0.7 показаны на рис.6. Расчеты показали, что при сдвиге в зависимости от начальных условий может реализовываться не только дилатансия, но и ком-пактирование (уплотнение) пористого насыщенного материала. Указанные явления происходят при = е°2 > /' и У" < /'.

0,005 0.01 0,015 0,02 а025

-0,035 .0,030 -0,025 -0,020 -0,015 -0,010 -0,005 O.ODO 0,С05 0,010 -0.014

Рис. 6. Дилатансия и компактирование. 1 - р! 11-0.007, 2- р///=0.005

Консолидация упругого насыщенного повреждающегося слоя

Консолидация (уплотнение) пористого материала под действием массовых или поверхностных сил - одна из важнейших проблем геомеханики, механики фундаментов и оснований. Непрогнозируемое перемещение частиц слоя грунта может привести к повреждению или даже разрушению расположенных на его поверхности сооружений. В нефтяном инжиниринге эта проблема иногда становится весьма острой при уменьшении порового давления флюида при вскрытии пласта.

Рассматривается слой грунта толщиной И, лежащий на жестком непроницаемом основании. Материал грунта считается однородным, изотропным, линейно упругим. Начальная пористость грунта равна ф0. Грунт насыщен слабо сжимаемым флюидом, поровое давление которого в исходном состоянии равно нулю. В момент времени t= 0 к верхней границе z=0 приложено постоянное давление -<г0, где <х0 = const > 0. Граница слоя z=0 считается свободной для дренирования, т.е. поровое давление на этой границе остается равным нулю во все моменты времени. Массовыми силами в рассматриваемой задаче пренебрегается. Задача является одномерной, все искомые функции зависят только от времени t и нормальной к границе слоя координаты z.

Поведение материала слоя описывается системой законов сохранения -уравнением равновесия и законом сохранения массы флюида. Система законов сохранения (1.4)-(1.6) замыкается определяющими соотношениями для

напряжений и пористости (2.9)-(2.10). В начальном состоянии полное напряжение равно нулю. Проницаемость среды считается постоянной величиной.

Качественно картина консолидации выглядит следующим образом. При действии давления на верхнюю поверхность слоя во всем слое появляется одинаковое поровое давление. Далее в процессе фильтрации через верхнюю поверхность вниз идет волна снижения порового давления. При этом на скелет приходится большая нагрузка, и он может начать повреждаться. В работе рассмотрен такой процесс консолидации упругого повреждающегося пористого слоя, когда за волной разгрузки следует волна поврежденности. При этом слой разбивается на две области - верхнюю поврежденную и нижнюю неповрежденную. Граница раздела 2 = £ между этими областями перемещается вглубь слоя. На границе раздела ставится условие непрерывности потока флюида. Процесс консолидации рассматривался при малых временах по сравнению с временем, которое требуется для достижения дна слоя волной разгрузки давления.

Показано что, задача консолидации в рассматриваемом случае может быть сведена к задаче, аналогичной задаче Стефана в теории теплопроводности. Используя граничные условия, уравнение равновесия и уравнение неразрывности можно получить уравнения, содержащие только поровое давление.

При умеренных нагрузках для порового давления имеет место следующая задача (индекс «О» соответствует неповрежденной области пористого слоя):

| = (3.1)

д1 ах Ы ах

р = 0 при * = 0, />0, ф/Эдг —> 0 при е>0, (3.2)

Р = РвШЕАм *20, / = +0, (3.3) К

[8р/дх] = О, р = р, при х = £(/)±0, />0. (3.4)

Задача (3.1) - (3.4) имеет аналитическое решение:

р = Л + ВФ(г), 0<,х< £(/), 2 = —^, Ф(г) = 2я--"2ГеЛй,

2а7' о

р = А0 + В0Ф( г0), «/)£*<«. "о = Т~Т' # = 2 с-Л,

где Ф(г) - интеграл ошибок, А,В,с,А0,Ва - неизвестные постоянные, которые определяются из граничных и начальных условий, дополненных условием (3.4). Для константы с справедливо трансцендентное уравнение, которое решалось численно:

а„р,Ф'{с 1а){1-Ф(с/а0)) = а(ра-р{)Ф\с1а0)Ф{с/а)

На рис. 6 представлено распределение давления в слое для нескольких моментов времени. Пунктирная линия соответствует поврежденной зоне, сплошная - упругой. На рис. 7 представлены соответствующие распределения поврежденности. Были использованы следующие значения параметров /," = -0.018, /; =-0.0075, /; = 0.0025. Остальные параметры а.\ц = -1.0, «,/// = 1.42, а; =-0.1, Ы/р = \0, ¿> = 0.7, /"/,« = 0,015, = Проницаемость

£ = 10~14м2, вязкость = КГ'Па-с. Давление на верхнюю границу бралось &0/м = 0,04, в этом случае начальное поровое давление принималось р0/ц = 0,0245.

Рис. 6 Распределение давления в слое в различные моменты времени

Рис. 7 Распределение поврежденности в слое в различные моменты времени

1 1 1 I П I 1 1

При достаточно высоких нагрузках на пористый слой возможно макроразрушение при достижении поврежденностью критических значений, влекущих за собой потерю реологической устойчивости.

Одномерная задача о поврежденности в окрестности трещины гидроразрыва

Данная глава посвящена рассмотрению влияния развития системы вторичных трещин на фильтрационные свойства породы в окрестности магистральной трещины гидроразрыва пласта. Считается, что плотность вторичных трещин достаточно велика и пропорциональна поврежденности.

Рассматривается задача в одномерной постановке. Пористый слой

Рис. 8 Геометрия задачи о накоплении поврежденности в окрестности трещины гидроразрыва. 1,3- поврежденные зоны, 2 - неповрежденная зона

располагается на жестком проницаемом основании. Давление р0 на верхнюю границу создается фильтрующейся жидкостью. Жидкость отбирается через нижнюю поверхность слоя, на которой поддерживается поровое давление р2. Фильтрация считается установившейся. В окрестности верхней границы по-врежденность может развиваться за счет повышенного порового давления, а в окрестности нижней границы - за счет пониженного. Таким образом, при определенных условиях, пористый слой разбивается на два поврежденных подслоя, между которыми находится упругая неповрежденная зона. Верхний поврежденный подслой моделирует раскрытие вторичных трещин, а нижний подслой моделирует разрушение призабойной зоны добывающей скважины.

На рис. 8 показана геометрия задачи и условное изображение состояния порового пространства. Математическая формулировка задачи аналогична задаче о консолидации. Используется уравнение равновесия, условие посто-

янства потока жидкости вдоль вертикальной оси, условия зарождения поврежденное™ и определяющие соотношения (2.9), (2.10).

В нулевом приближении проницаемость пористой среды не зависит от поврежденности. В этом случае распределение порового давления линейно. В первом приближении проницаемость связана с поврежденностью линейной зависимостью к = к0( 1 + а^со), где к0 - проницаемость неповрежденного пористого материала. Предполагалось, что при повышенном давлении а*к > 0, а при пониженном от*"" < 0. Выбор знаков основан на том соображении, что при повышенном давлении раскрываются трещины, увеличивая пористость, что приводит к увеличению проницаемости. При пониженном давлении скелет испытывает повышенную нагрузку, накопление поврежденности должно способствовать схлопыванию и закупорке пор, что приводит к уменьшению проницаемости. Заметим, что вопросы, связанные с отделением частиц в результате разрушения и засорением ими поровых каналов, не рассматриваются. Эффект влияния поврежденности на проницаемость заметен, если величина а*со имеет величину порядка единицы.

Для порового давление в каждой зоне получаются зависимости, которые сшиваются на границах 4*. Условиями сшивки являются непрерывность порового давления и его производной по координате. На рис. 9 представлены результаты расчета поля давления и поврежденности в направлении перпендикулярном берегам трещины. Здесь для области упругости при нулевом поровом давлении принято /,"=-0.03, =-0.011, /,+ = 0.01, У0 =0.001, У, =0.021. Остальные параметры а_/ ц = -1.0, а3!ц = \А2, а~=- 0.1, а* = 0.12, Ы//л=\0, Ь = 0Л, у~!ц = 0,03, у* / р = 0,009, Р/р = 1,2. Влияние поврежденности на проницаемость определяется параметрами а£ = 103, ак=-10. Величина параметров выбиралась так, чтобы удовлетворялось условие а*а ~ 1.

Накопление поврежденности в окрестности сферической полости Наряду с научным интересом рассматриваемая задача имеет практические приложения, которые связаны с влиянием поврежденности на проводимость нефтегазовых коллекторов в окрестности добывающих и нагнетательных скважин, а также с оценкой близости горных пород к предельному состоянию вокруг туннелей, выработок в шахтах и т.п.

Предполагается, что поровая жидкость слабо сжимаемая, скелет характеризуется потенциалом (2.8), влиянием поврежденности на проницаемость горной породы пренебрегается. При решении задачи используется сфериче-

X

Рис. 9 Распределение порового давления - 1 и поврежденности - 2

екая система координат (г,<р,в), начало которой совпадает с центром полости радиуса а. Вектор и = (ы(г)Д0) - перемещение точек скелета, v = (v(r),0,0) -скорость жидкости, ar(r), ajr) = а0(г) - отличные от нуля компоненты тензора полных напряжений, er,etp=el) - компоненты тензора деформаций, sr, sv = s0 -компоненты девиатора напряжений.

Уравнение равновесия полных напряжений может быть записано в виде

der dsr 3sr ,. -ч

— = i, (т = -у,а: I, sr = crr+a. (3.5)

dr dr г Граничные условия имеют вид Р/=Р». о-, = '" = с0.

Р/=Л» а-г = о"о. г = а-Распределение порового давления описывается выражением

Р/(г) = рх~аАр/г, Ар = р„-р0. Уравнение равновесия (3.5), выраженное через перемещения, имеет вид „" + 2^-2«4-4 + - = 0 , (3.6)

г г г г

Л Г ' ß

, аШ.Л^-Ъка^Л 3KaJ(yi-aipJ 9шА

где / = —— Ь +-^ , п =--—, m = 1 +-,

* 1 J ß\ 2ßA

r2

к = -JlTi sign(u'-и/г), £ = а± + Koij , Л = А + 2/г -

Общим решением уравнения (3.6) является

/ "

■— + —,-г/

Im 2(/и-1)

и(г) = л(-) ' +ßi-V-X+ " , ?|2 = (-1±л/8ш + 1)/2, А и В - неоп-

ределенные константы.

При достаточно большом удалении от полости материал находится в упругом состоянии. В неповрежденной горной породе т-О, величины т-1, п=О, / = /0 забДр/Л0, А = Аа^А + 1/л.

Наибольшее значение объемной и сдвиговой деформаций достигается на границе полости г = а. Из условия начала процесса разрушения (2.12) следует, что накопление поврежденности на внутренней границе г = а начнется тогда, когда абсолютные величины перепада полного напряжения д<т и давления Ар достигнут пороговых значений, связанных следующим уравнением

I ) * ' К И ^ Л0 Аа))

Если перепад давления и полного напряжения превышает пороговое значение, то в окрестности полости формируется зона трещиноватости. Поврежденный материал занимает область а<г<,с, где с - неизвестный радиус границы области накопления поврежденности, который должен быть определен из решения задачи. Вне области поврежденности (г > с) материал находится в упругом состоянии, что соответствует <у = 0. К граничному условию на поверхности полости добавляются условия сопряжения на границе г = с - непрерывность перемещений и радиальных напряжений, а также равенство ну-

+F(g2)X^t2 +F(qi)X~<l't-s +Р(дг)Г*1л = <т„+ЬРа-т + Л

'-Ар,

лю поврежденности. В результате была получена система уравнений, из решения которой следует трансцендентное уравнение для нахождения параметра с:

гЖЖ

Р)т р

где где, (/ = 1,2,3,4) - алгебраические выражения, зависящие от параметров модели и напряжений на бесконечности,

/ 3 Кп

а' 8'~2^(т-1)'

В качестве примера исследовался материал с параметрами: К/ц = 3, а7//у = 1.42, р/ц = 1, ^+//у = 0.01, граница упругой области определялась величинами /,+ =0.01, /,"=-0.025, /,"=-0.02, У() =0.001. Полученные с помощью численного счета зависимости (рис.10 и рис.11) показывают, что полученное решение обладает бесконечной производной при стремлении радиуса зоны трещиноватости к критическому значению, это означает, что дальнейшее поведение среды нельзя описывать в рамках континуального подхода.

Р а

О 0.01 0.02 0.03 0.04 O OS 0 06 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0 05 0 06

(я.-ПоУм

Рис. 10 Зависимость радиуса поврежден- Рис. И Зависимость радиуса поврежденной зоны X от er, - аа при повышенном ной зоны X от ст. -ст„ при пониженном

поровом давлении в полости, р. = 0.1 - поровом давлении в полости, р, = 0,02.1

ра/м = 0;2 - А/,ц = 0,01; 3 - ра/м = 0,02 - pjfi = 0,0\; 2- PJM = 0,015;3 - pj/i = 0,02

В случае отсутствия порового давления, критический радиус зоны трещиноватости определяется только характеристиками материала. Этот результат можно трактовать как обязательное обрушение полости при достижении радиусом Ъ критического значения Ъ,. С практической точки зрения наибольший интерес представляет значение критического перепада напряжений а-.-о-о, т.к. А. определяется с большой погрешностью.

J

При наличии фильтрации критический перепад напряжений начинает зависеть от перепада давления в жидкости. В диссертационной работе показано, что снижение порового давления в полости относительно значения на

Рис.12 Механизм появления поврежденности бесконечности приводит к

давления, напротив, приводит к упрочнению (рис.10).

Механизм появления зоны разрушения в окрестности полости при сбросе давления иллюстрирует рис.12. Стрелкой обозначено деформированное состояние окрестности полости. Пунктирной линией показана граница зоны упругости до сброса давления, а сплошной после. Видно, что при сбросе давления деформированное состояние в окрестности полости может выйти за пределы зоны упругости.

Основные результаты и выводы:

В результате проделанной работы были получены новые закономерности, характеризующие повреждающиеся пористые среды.

В изотермическом приближении получен общий вид термодинамически согласованных определяющих соотношений насыщенной пористой среды с упругим повреждающимся скелетом. С помощью условия неотрицательности диссипации континуального разрушения построено кинетическое уравнение, важной особенностью которого является явная связь скорости накопления поврежденности с упругим потенциалом среды.

В рамках развития качественных и приближенных аналитических методов исследовано линейное приближение построенной модели:

1) предложен новый вид упругого потенциала изучаемой среды, учитывающий поверхностную энергию микротрещин;

2) предложена кусочно-линейная аппроксимация области упругости в пространстве инвариантов тензора деформации, отражающая возможность разрушения при всестороннем сжатии;

3) исследовано влияние порового давления на процессы накопления поврежденности, показано, что при повышении порового давления развитие микротрещин интенсифицируется при растяжении и частично подавляется при сжатии;

4) решен ряд новых задач механики континуального разрушения:

1. всестороннее сжатие насыщенной пористой среды,

2. одноосное деформирование насыщенной пористой среды,

3. стесненный и нестесненный сдвиг пористого слоя с варьированием порового давления,

4. одномерная консолидация пористого повреждающегося слоя,

при сбросе давления

ослаблению окрестности полости (рис.11), повышение

5. задача о вторичной трещиноватости в окрестности трещины гидроразрыва,

6. задача о накоплении поврежденности в окрестности полости при сбросе порового давления.

В задаче на одноосное сжатие предсказан новый эффект - скачок напряжений и поврежденности при смене механизмов разрушения. Показано, что при стесненном сдвиге развитие поврежденности приводит к появлению нормальных напряжений, а нестесненный сдвиг в зависимости от порового давления может сопровождаться как дилатансией, так и компактированием. Показано, что при сбросе давления в окрестности сферической полости по-врежденность начинает накапливаться на внутренней границе. Найдены условия устойчивого развития зоны поврежденности в окрестности полости и условия ее обрушения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Извеков О.Я., Кондауров В.И. Модель пористой среды с упругим трещиноватым скелетом. // Физика Земли. - 2009. - №4. - С. 31 - 42.

2. Извеков О .Я. Влияние порового давления на зону трещиноватости вокруг сферической полости в горной породе. // Труды МФТИ. - М.,2009. - Т.1, №3. - С. 115-122.

3. Kondaurov V.l., Izvekov O.Y. A Model of Saturated Porous Media with an Elastic Brittle Skeleton // Proc. of the 4-th Biot Conference on Poromechanics, POROMECHANICS IV. - EStech Publications, Inc., PA, USA, 2009. - P. 314 -320.

4. Izvekov O.Y., Kondaurov V.l., Application of the damage theory to the description of fragmentation of brittle materials // "Physics of extreme states of matter-2009". - Chernogolovka, 2009. - P. 108 - 110.

5. Извеков О.Я., Кондауров В.И. Моделирование фрагментации хрупких сред. // Сборник трудов 48-й научной конференции МФТИ. Часть III. - М., 2005. -С. 141-143.

6. Извеков О.Я., Кондауров В.И. Энергетическая модель континуального разрушения гетерогенных сред. // Сборник трудов 49-й научной конференции МФТИ. Часть III. - М., 2006. - С. 141.

7. Извеков О.Я., Кондауров В.И. Теоретическое и экспериментальное исследование фрагментации хрупких тел. // Тезисы XXI международной конференции «Уравнения состояния вещества». - 2006. - С. 57 - 58

8. Извеков О.Я., Кондауров В.И. Континуальное разрушение пористых насыщенных сред. // Труды 50-й научной конференции МФТИ. Часть III. Т.1. -М., 2007.-С.119.

9. Извеков О.Я., Кондауров В.И. Энергетическая модель континуального разрушения сред с порами и включениями. // Тезисы XXII международной конференции «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество». -2007.-С. 168.

Ю.Извеков О.Я. Эффект влияния порового давления на дебит скважины. // Тезисы докладов молодежной научной конференции «Физика и прогресс». -СПб., 2007.-С. 16

П.Извеков О. Я. Эффект влияния порового давления на дебит скважины // Сборник трудов молодежной научной конференции «Физика и прогресс». -СПб.,2007. - С. 31 - 36.

12.Извеков О.Я. Рассеянное разрушение насыщенных пористых сред. // Тезисы XXIII международной конференции «Уравнения состояния вещества». -2008.-С. 61-62.

13.Izvekov O.Y. Fragmentation model of elastic media with damage accumulation// Proc. of the XXIV International Conference "Interaction of intense energy fluxes with matter" - 2009. - P. 314.

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

CI. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. - М.: Мир, 1975. - 592 с

С2. Качанов Л.М. О времени разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР. ОТН. - 1958. - С. 26 - 31

СЗ. Работнов Ю.Н. Механизм длительного разрушения // Сб. "Вопросы прочности материалов и конструкций". - М.:АН СССР, 1959. - С. 5 - 7.

С4. Lemaitre J. A course on Damage Mechanics. - Springer-Verlag, 1992. - 280 p.

C5. Grady D.E., Kipp M.E. Geometric statistics and dynamic fragmentation // J. Appl. Phys. - 1985. - V. 58, No 3. - P. 1210 - 1222.

Сб. Кондауров В.И., Фортов B.E. Основы термомеханики конденсированных сред. - М.: МФТИ, 2002. - 336 с.

С7. Biot М.А. General theory of three dimensional consolidation. // J. of Appl. Phys.- 1941. -V. 12.-P. 155-164.

C8. Coussy O. Poromechanics. - Wiley, New York, 2004. - 298 p.

C9. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. I. - М.: Наука, 1987. - 464 с

Отпечатано в типографии ООО «Гипрософт» г. Москва, Ленинский пр-т, Д.37А Тираж 100 экз. 2009 год.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Подходы к моделированию разрушения хрупких сред.

Глава 2. Основные понятия механики пористой насыщенной среды.

2.1 Кинематика.

2.2 Закон сохранения массы.

2.3 Закон сохранения импульса.

2.4 Закон сохранения энергии.

2.5 Неравенство энтропии (второе начало термодинамики).

Глава 3. Построение определяющих соотношений.

3.1 Система определяющих соотношений пористой насыщенной повреждающейся среды.

3.2 Линейное приближение.

3.3 Граница области упругости.

Глава 4. Применение модели к решению прикладных проблем.

4.1 Виды испытаний.

4.2 Всестороннее сжатие.

4.3 Одноосная деформация сжатия и растяжения.

4.4 Стесненный и нестесненный сдвиг.

4.5 Консолидация упругого насыщенного повреждающегося слоя.

4.6 Одномерная задача о поврежденности в окрестности трещины ГРП.

4.7 Накопление поврежденности в окрестности сферической полости.

Проблемы моделирования процессов образования и развития микротрещин актуальны для различных областей техники. С развитием микротрещин приходится иметь дело при разрушении стекол, керамик и горных пород, микротрещины образуются в окрестности скважин (шахт) при разработке месторождений углеводородов (минеральных полезных ископаемых). Важную роль рассеянное трещинообра-зование играет в технологиях интенсификации производительности скважин таких, как гидроразрыв пласта. Наличие жидкости в порах хрупкого материала, что особенно характерно для задач трибологии и нефтяного инжиниринга, может существенно влиять на процессы разрушения, поэтому проблема моделирования разрушения насыщенных сред имеет научное и практическое значение.

Математическое моделирование в механике сплошных сред предполагает решение системы уравнений, включающей законы сохранения массы, импульса, момента импульса и энергии, с учетом граничных и начальных условий. Система уравнений замыкается с помощью определяющих соотношений (уравнений состояния и уравнений, определяющих транспортные свойства), характеризующих конкретные термомеханические свойства рассматриваемых сред. Успех решения конкретных задач во многом зависит от качества определяющих соотношений. При исследовании новых сложных сред, таких как повреждающиеся среды, прямые обобщения известных реологических моделей (например, введение новых параметров) могут оказаться некорректными. В этих условиях особую важность приобретает конструирование определяющих соотношений, обеспечивающих выполнение базовых принципов механики и термодинамики в любых процессах на-гружения. Этот подход, известный как принцип термодинамической согласованности, был развит в середине двадцатого века в работах Трусделла К. [47] и его школы.

Теория континуального разрушения (теория поврежденности) дает феноменологическое описание эволюции рассеянных дефектов — микротрещин, число которых в любом элементарном объеме предполагается весьма большим, что позволяет описывать этот процесс с помощью осредненного параметра - поврежденности. Этот подход, предложенный в середине шестидесятых годов прошлого столетия Качановым JI.M. [16] и Работновым Ю.Н. [38], получил интенсивное развитие в многочисленных работах отечественных и зарубежных исследователей. Основное преимущество теории поврежденности перед теориями прочности заключается в учете предыстории нагружения, предшествующей макроскопическому разрушению. Первоначально понятие поврежденности ассоциировалось с долей пустот, возникающих в сечении стрежня под действием интенсивных нагрузок. Постепенно в модели поврежденности стали вводиться более абстрактные предпосылки, близкие к гипотезам теории вязкопластичности [67, 68]. В середине восьмидесятых годов в работах Грэди Д.Е. [62, 63] по динамическому дроблению хрупких тел было указано на важность учета поверхностной энергии образующихся осколков. В конце девяностых годов в работах Фортова В.Е и Кондаурова В.И. [23] была развита модель сплошной повреждающейся среды, которая ассоциирует параметр поврежденности с необратимыми потерями термомеханических форм энергии, связанными с образованием новых поверхностей при развитии микротрещин. В настоящей диссертационной работе указанный подход обобщается на случай пористых насыщенных сред.

Изучением пористых насыщенных сред в течение двадцатого века интенсивно занимались отечественные (Жуковский Н.Е., Лейбензон JI.C., Христианович С.А. и др.) и зарубежные ученые (Терцаги К., Маскет М, Био М. и др.) Под влиянием основополагающих работ Био М. [54, 55, 56], опубликованных в середине прошлого века, на западе развилась отдельная отрасль механики - поромеханика, которая на данный момент охватывает весьма широкий круг проблем от биомеханики до нефтяного инжиниринга (см., например, [59, 60]).

Актуальность диссертационного исследования обусловлена широким спектром практических приложений, которые требуют адекватного математического моделирования процессов деформирования и разрушения пористых сред.

Объектом исследования является насыщенная пористая среда, на поведение которой влияют поверхностные эффекты, связанные с порами и микротрещинами.

Предмет исследования — континуальное (рассеянное) разрушение пористых сред, насыщенных сжимаемой жидкостью.

Цель исследования - установление новых закономерностей поведения пористых повреждающихся сред:

• построение термодинамически согласованных определяющих соотношений пористой упругой среды, насыщенной сжимаемой жидкостью, в твердом скелете которой могут зарождаться и развиваться микротрещины;

• исследование влияния внутрипоровой жидкости на процессы разрушения в твердом скелете пористой среды;

• постановка и решение новых задач механики континуального разрушения.

Научная новизна исследования состоит в том, что впервые получена термодинамически согласованная система определяющих соотношений, характеризующая механические свойства пористой повреждающейся среды, насыщенной сжимаемой жидкостью. В диссертации предложен эффективный метод построения кинетического уравнения, описывающего эволюцию параметра поврежденности, основанный на применении условия неотрицательности диссипации рассеянного разрушения при произвольной истории нагружения.

Практическая ценность - разработанная модель может применяться в строительной механике, геомеханике, механике композитных пористых материалов. Разработанные подходы могут быть положены в основу развития новых эффективных методов добычи полезных ископаемых в сложных условиях, создания новых узлов трения и защитных противоударных устройств.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием фундаментальных принципов термодинамики и механики сплошных сред, корректной постановкой краевых задач, сопоставлением полученных данных с имеющимися аналитическими и экспериментальными результатами. На защиту выносятся следующие положения:

1) Общая форма определяющих уравнений повреждающейся пористой среды, насыщенной сжимаемой жидкостью, в изотермическом приближении.

2) Кинетическое уравнение для параметра поврежденности, которое обеспечивает неотрицательность диссипации рассеянного разрушения при любой истории нагружения.

3) Обобщение упругого потенциала пористой среды, учитывающее основные эффекты процесса развития рассеянной трещиноватости, в рамках приближения малых отклонений от начального состояния.

4) Решение ряда новых задач механики рассеянного разрушения начально-пористых материалов:

1. всестороннее сжатие насыщенной пористой среды;

2. одноосное деформирование насыщенной пористой среды;

3. стесненный и нестесненный сдвиг пористого слоя с варьированием по-рового давления;

4. одномерная консолидация пористого повреждающегося слоя;

5. задача о вторичной трещиноватости в окрестности трещины гидроразрыва;

6. задача о накоплении поврежденности в окрестности полости при сбросе порового давления.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены на следующих конференциях: 50-я научная конференция МФТИ (Москва, ноябрь 2007 г.); XXII международная конференция «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество» (Кабардино-Балкария, март 2007); Молодежная научная конференция «Физика и прогресс» (Санкт-Петербург. 14-16 ноября 2007); XXIII международная конференция «Уравнения состояния вещества» (Кабардино-Балкария, март 2008); Круглый стол МФТИ - Шлюмберже «Физические модели в современной нефте- и газодобыче» (Москва, 4 декабря 2008); «4-я международная конференция по механике пористой среды имени М. Био» (Нью-Йорк, США, 8-10 июня 2009).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 104 страницы, содержит 29 рисунков и библиографию, содержащую 75 наименований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В результате проделанной работы были получены новые закономерности, характеризующие повреждающиеся насыщенные пористые среды.

1. В изотермическом приближении получен общий вид термодинамически согласованных определяющих соотношений насыщенной пористой среды с упругим повреждающимся скелетом.

2. Предложено кинетическое уравнение для параметра поврежденности, для которого диссипация континуального разрушения неотрицательна в любом процессе нагружения. Важной особенностью кинетического уравнения является явная связь скорости накопления поврежденности с упругим потенциалом среды.

3.В рамках развития качественных и приближенных аналитических методов исследовано линейное приближение построенной модели:

1) предложен новый вид упругого потенциала изучаемой среды, учитывающий поверхностную энергию микротрещин,

2) предложена кусочно-линейная аппроксимация области упругости в пространстве инвариантов тензора деформации, отражающая возможность разрушения при всестороннем сжатии,

3) исследовано влияние порового давления на процессы накопления поврежденности, показано, что при повышении порового давления развитие микротрещин интенсифицируется при растяжении и частично подавляется при сжатии.

4. Решен ряд новых задач механики континуального разрушения:

1) всестороннее сжатие насыщенной пористой среды,

2) одноосное деформирование насыщенной пористой среды,

3) стесненный и нестесненный сдвиг пористого слоя с варьированием порового давления,

4) одномерная консолидация пористого повреждающегося слоя,

5) задача о вторичной трещиноватости в окрестности трещины гидроразрыва,

6) задача о накоплении поврежденности в окрестности полости при сбросе порового давления.

В задаче на одноосное сжатие предсказан новый эффект — скачок напряжений и поврежденности при смене механизмов разрушения. Показано, что при стесненном сдвиге развитие поврежденности приводит к появлению нормальных напряжений, а нестесненный сдвиг в зависимости от порового давления может сопровождаться как дилатансией, так и компактированием. Показано, что при сбросе давления в окрестности сферической полости поврежденность начинает накапливаться на внутренней границе. Найдены условия устойчивого развития зоны поврежденности и условия ее обрушения.

В заключении автор выражает благодарность доктору физико-математических наук, профессору Кондаурову В.И. за научное руководство.

1. Астафьев В А., Радаев Ю.Н., Степанова J1.B. Нелинейная механика разрушения. — Самара: Изд-во «Самарский университет». 2001. — 632 с.

2. Вакуленко А.А., Качанов M.JI. Континуальная теория среды с трещинами // Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1971. - №4. - С. 159 - 166.

3. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. - 208 с.

4. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика. — М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 480 с.

5. Болдырев Г.Г. Методы определения механических свойств грунтов. Состояние вопроса. Пенза: ПГУАС, 2008. - 696 с.

6. Гилман Дж. Д. Микродинамическая теория пластичности // Микропластичность. -М: Металлургия, 1972. С. 18-37.

7. Григорян С.С. Некоторые вопросы математической теории деформирования и разрушения твердых горных пород // Прикладная математика и механика. -1967. Т. 31, вып.4. - С. 643 - 669.

8. Дей У.А. Термодинамика простых сред с памятью. М: Мир, 1974.

9. Желтов Ю. П., Христианович С.А. О гидравлическом разрыве нефтеносного пласта. // Изв. АН СССР, ОТН, 1955. - № 5. - С. 3 - 41.

10. Ю.Жермен П. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983. — 399 с.

11. П.Жуковский Н.Е. Собрание сочинений. Т 3. М.: Гостехиздат, 1947. - 700 с.

12. Извеков О.Я., Кондауров В.И. Модель пористой среды с упругим трещиноватым скелетом. // Физика Земли. 2009. - №4. - С. 31 - 42.

13. З.Ильюшин А.А. Об одной теории длительной прочности // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1967. — №3. — С. 21-35.

14. Канель Г.И., Разоренов С.В., Уткин А.В., Фортов В.Е. Ударно-волновые явления в конденсированных средах. М.: «Янус-К», 1996. - 408 с.

15. Каракин А.В. Общая теория компакции при малой пористости // Известия РАН. Физика Земли. 1999. - №12. - С. 3-5.

16. Качанов Л.М. О времени разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. - С. 26-31.

17. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. - 420 с.

18. Кондауров В.И. Континуальное разрушение нелинейно-упругих тел // Прикладная математика и механика. — 1988. — Т.52, вып.2. — С. 302 — 310.

19. Кондауров В.И. Об особенностях волн разрушения в высокооднородных хрупких материалах // Прикладная математика и механика. — 1998. — Т. 62, вып.4. — С. 722-729.

20. Кондауров В.И. Энергетический подход к задаче континуального разрушения твердого тела // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1986. - № 6. - С.17 - 22.

21. Кондауров В.И. Механика и термодинамика насыщенной пористой среды М.: МФТИ, 2007.-310 с.

22. Кондауров В.И., Мухамедиев Ш.А., Никитин JI.B., Рыжак Е.И. Механика разрушения горных пород. М.: Наука, 1987. — 218 с.

23. Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термомеханики конденсированных сред. — М.: МФТИ, 2002. 336 с.

24. Коттрел А.Х. Дислокации и пластическое течение в кристаллах. — М.: Метал-лургиздат, 1958. —267 с.

25. Кузнецов В.М. Математические модели взрывного дела. Новосибирск: Наука, 1977.

26. Кукуджанов В.Н. Компьютерное моделирование деформирования, повреждаемости и разрушения неупругих материалов и конструкций. М.: МФТИ, 2008. -215 с.

27. Кукуджанов В.Н. Вычислительная механика сплошных сред. М.: Физматлит, 2008. - 320 с.

28. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964. - 568с.

29. Лейбензон Л. С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. — M.-JL: Гостехиздат, 1947. 244 с.

30. Лихачев В.А., Кузьмин С.Л., Каменцева З.П. Эффект памяти формы. — Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1987. — 216 с.31 .Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. — М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 640 с.

31. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. I. — М.: Наука, 1987. — 464 с.

32. Никитин Л.В., Юнга С.Л. Методы теоретического определения тектонических деформаций и напряжений в сейсмоактивных районах // Изв. АН СССР. Физика Земли.- 1977.-№ 11.-С. 54-67.

33. Никифоровский B.C., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. -Новосибирск: Наука, 1979.-271 с.

34. Николаевский В.Н. Предельная скорость фронта разрушения и динамические перегрузки хрупких материалов. // Препринт №123. ИПМех АН СССР. М. -1979.-57 с.

35. Николаевский В.Н Геомеханика и флюидодинамика. М.: Недра, 1996. — 447 с.

36. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения: Основы механики разрушения. / Изд. 3-е, испр. М.: ЛЕСИ, 2008. - 352 с.

37. Работнов Ю.Н. Механизм длительного разрушения // Сб. "Вопросы прочности материалов и конструкций". М.: Изд-во АН СССР, 1959. - С. 5 - 7.

38. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. -744 с.

39. Родионов В.Н. Сизов И.А., Цветков В.М. Основы геомеханики. М.: Недра, 1986.-301 с.

40. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1970. - 492 с.

41. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1970. - 568 с.

42. Слепян Л.И. О моделях в теории волн хрупкого разрушения //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1977. - №1. - С. 181-186.

43. Спивак А.И., Попов А.Н. Разрушение горных пород при бурении скважин. — М.: Недра, 1986.-208 с.

44. Суворова Ю.В., Ахундов М.Б. Длительное разрушение изотропной среды в условиях сложного напряженного состояния // Машиноведение. 1986. - №4. — С. 40-46.

45. Терцаги К. Теория механики грунтов. М.: Госстройиздат, 1961 - 507 с.

46. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. -М.: Мир, 1975.-592 с.

47. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. -М.: Наука, 1967. 552 с.

48. Христианович С.А., Салганик P.JT. Внезапные выбросы угля (породы) и газа. Напряжения и деофрмации / Препринт ИПМех АН СССР. М., 1979. - № 153.

49. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. - 640 с.

50. Щелкачев В.Н. Разработка нефтеводоносных пластов при упругом режиме. -М.: Гостоптехиздат, 1959. 467 с.

51. Ширко И.В. Механика обобщенно-пластических сред. М.: МФТИ, 2007. - 156 с.

52. Aubertin М., Li L., Simon R. A multiaxial stress criterion for short- and long-term strength of isotropic rock media // Int. J. Rock Mech. Mining Sci. 2000. - V. 37. -P. 1169-1193.

53. Biot M.A., General theory of three dimensional consolidation. // J. of Appl. Phys. -1941.-V. 12.-P. 155-164.

54. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. Part I. Low frequency range. // J. Acoust. Soc. Amer. 1956. - 28. - P. 168-178.

55. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. Part II. Higher frequency range. // J. Acoust. Soc. Amer. 1956. - 28. - P. 179-191.

56. Chow C.L., Lu T.J. On evolution laws of anisotropic damage // Engng. Fract. Mech. -1989.-V.34.-P. 679-692.

57. Coleman B.D., Noll W. The thermodynamics of elastic materials with heat conduction and viscosity. // Arch Rat Mech An 1963. -34. - P. 167-178.

58. Coussy О. Poromechanics. Wiley, New York, 2004. - 298 p.60.de Boer R Trends in continuum mechanics of porous media. Springer, Dordrecht, 2005.-279 p.

59. Economides M., Nolte K. (Eds.) Reservoir Stimulation. 3d ed. - Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 2003.

60. Grady D.E. Local inertial effects in dynamic fragmentation // J. Appl. Phys. — 1982. -V. 53.-P. 322-325.

61. Grady D.E., Kipp M.E. Geometric statistics and dynamic fragmentation // J. Appl. Phys. 1985. - V. 58, No 3. - P. 1210 - 1222.

62. Griffith A.A.: The Phenomena of Rupture and Flow in Solids. // Phil. Trans. Roy. Soc.-1921.-221.-P. 163-198.

63. Ju J.W. On energy-based coupled elastoplastic damage theories: constitutive modeling and computational aspects // Int. J. Solids Struct. 1989. - V.35, №7. - P. 803 -833.

64. Kondaurov V.I., Izvekov O.Y. A Model of Saturated Porous Media with an Elastic Brittle Skeleton // Proc. of the 4-th Biot Conference on Poromechanics, POROMECHANICS IV. EStech Publications, Inc., PA, USA, 2009. - P. 314 - 320.

65. Krajcinovic D. Damage mechanics. Amsterdam. Elsevier Science, 1996. - 762 p.

66. Lemaitre J. A course on Damage Mechanics. Springer-Verlag, 1992. - 280 p.

67. Liu L., Katsabanis P.D. Development of a Continuum Damage Model for Blasting Analysis // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. 1997. - V.34. - P. 217 - 231.

68. Miller O., Freund L.B., Needleman A. Modeling and simulation of dynamic fragmentation in brittle materials // Int. J.of Fracture. 1999. - V.96. - P. 101 - 125.

69. Murakami S. Mechanical modeling of material damage // J. Appl. Mech. 1988. -V.55, No.2.-P. 280-286.

70. Noirot J.C., van den Hoek, Zwarts D., Bjoerndal H.P. et. al. Water injection and water flooding under fracturing conditions. // SPE 81462 2003.им)

71. J. Solids Struct. 1987. - V.23. - P. 821 - 869. 75.Zhang Y.-Q. Hao H. Dynamic Fracture in Brittle Solids at High Rates of Loading // J. Appl. Mech. - 2003. - V.70. - P. 454 - 457.