автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математические модели нелинейных геофизических процессов в пористых электропроводящих средах

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Сибирское Отделение Вычислительный центр

• ОД

На правах рукописи

Имомназаров Холматжон Худайназарович

УДК 519.6+530.1+550.344

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНЫХ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ПОРИСТЫХ ЭЛЕКТРОПРОВОДЯЩИХ СРЕДАХ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК- 1996

Работа выполнена в Вычислительном центре СО РАН

Научные руководители:

академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор A.C. Алексеев,

доктор физико-математических наук В.Н. Доровский

Официальные оппоненты:

чл.- корр. РАЕН, доктор физико-математических наук, профессор Б.Г. Михайленко

доктор физико-математических наук Е.И. Роменский

Ведущая организация:

Институт геофизики СО РАН

Защита состоится «Ло" " _ 1996 года в . часов на заседании специализированного Совета Д 002.10.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Вычислительном центре СО РАН по адресу: 630090, г.Новосибирск - 90, проспект Академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ СО РАН. Автореферат разослан "_

и» зг _ 1996 года

Ученый секретарь специализированного Совета к.т.н.

3W-

Г.И. Забиняко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной геофизике принят феноменологический принцип формирования математических моделей наблюдаемых явлений. В частности, в сейсмических, электромагнитных, гравитационном и других методах среда рассматривается как сплошная с усредненными по физическому объему параметрами: А(х) -объемная упругость, /|(х) -модуль сдвига, р(х) -плотность, ст(х) -проводимость и т.д. На этом уровне осреднения пренебрегается фактом микрофизической неоднородности и многокомпонентности среды - наличием пор, заполненных флюидом с определенными физико-механическими свойствами скелета составленного из резко отличного от пор вещества.

Например, при математическом моделировании процесса подготовки землетрясений приходится учитывать наличие микротрещин в первоначальном массиве и процессы их эволюции, по-существу, и определяющие подготовку землетрясений. В напряженно-деформированной зоне подготовки землетрясений происходит большое число разнообразных физико-механических процессов. Ряд из них: разрастание тре-щиноватости, акустическая эмиссия, электрические изменения и т. д. могут служить индикаторами приближения стадии разрушения и давать, в связи с этим, анамальные явления типа предвестников. Использование допольнительной информации дает возможность непосредственного контроля за скоростью изменений напряженно-деформируемого состояния слоев земной коры в периоды тектонической активизации, подготовки землетрясений. Отсюда видно насколько расширяется возможность математического моделирования при переходе на более содержательный уровень осреднения в модели, с учетом пористости, трещиноватости и т. д. В рамках обычной упругой феноменологической модели пористость, трещиноватость и т. д. не учитывается вообще, что существенно затрудняет анализ явлений подобных формированию землетрясений. Точно также в нефтяной сейсморазведке концепция феноменологической среды исключает из рассмотрения пористость и нефтенасшценность пород в рамках сейсмических моделей.

Поэтому назрела необходимость в развитии теории методов математического моделирования и комплексной обработки геофизических данных на основе применения численных методов решения прямых (обратных) задач геофизики в совмещенных постановках, в том числе в переходе на микрофизический уровень осреднения моделей. При

этом расширяется возможность одновременного применения различных методов геофизики для решения единой прямой (обратной) задачи в комплексной постановке.

Сейсмические колебания земной поверхности позволяют получать непосредственно информацию о структуре земной коры и характере протекающих в ней процессов. Передаточным звеном в получении такой информации является математическая модель, в той либо иной степени отражающая существо предпологаемых процессов. Возможность идентификации эксперементальных данных сейсмических колебаний и расчетных результатов математического моделирования служит подтверждением правильности физико-математических посылок, положенных в основу математической модели.

Электромагнитные процессы, обусловленные протекающими электрическими токами в проводящих глубинных слоях, с одной стороны, и воздействующие на эти слои сейсмические колебания при определенных условиях, приводят к самосогласованному взаимодействию. Результаты такого взаимодействия, например, в виде сейсмических волн, могут регистрироваться на поверхности, а последующая интерпретация с учетом математической модели способна отвергнуть, либо подтвердить правилность посылок, положенных в исходную модель.

Понятно, что роль математической модели при такой схеме становится определяющей. Более того, именно модель, учитывающая самосогласованное взаимодействие упругих колебаний и электромагнитных процессов, представляет одно из переспективных направлений, позволяющее вскрыть особенности устройства глубинных слоев и характер протекающих в них электромагнитных процессов с учетом большого числа физических характеристик среды и процесса.

Цель работы. Целью предлагаемой работы является: построение в рамках феноменологического подхода математической модели совмещающей уравнения Максвелла с уравнениями континуальной теории фильтрации, исследование электроакустических колебаний полученной систем уравнений, построение фундаментальных решений для системы уравнений континуальной теории фильтрации как для однородной так и для неоднородной среды.

Научная новизна. Все представленные в диссертации результаты являются новыми и получены впервые. Основные выносимые' на тнщиту результаты:

1. Построена математическая модель, объединяющая уравнения

фильтрации и уравнения Максвелла и описывающая движение проводящей жидкости в пористой проводящей упругодеформируемой среде.

2. На основе построенной модели исследован характер малых колебаний электропроводящей насыщенной пористой среды. Показано, что в системе существуют четыре типа звуковых колебаний: Альфе-новского типа, поперечный и два продольных. Исследован характер дисперсии Альфеновской волны.

3. Установлена зависимость скорости Рэлеевской волны от скорости второго продольного звука. Исследованы частотные характеристики амплитуды магнитного поля, возбуждаемого волной Рэлея.

4. Построен фундаментальный тензор для системы уравнений континуальной теории фильтрации, как для однородной среды, так и для неоднородной среды.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применениие для исследований различных природных и технологических процессов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладоза-лись на международном совещание „Методологии и алгоритмы для исследований региональной сейсмичности и оценки опасности землетрясений в районе Крым-Кавказ-Копетдаг(Ашгабад, 1994), на международном конференции Современные проблемы вычислительной и прикладной математики (Новосибирск, 1995), на конференции молодых ученых ВЦ СО РАН (Новосибирск, 1995), на семинаре отдела математических задач геофизики ВЦ СО РАН под руководством академика A.C. Алексеева.

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 88 страниц, включая 9 рисунков. Список литературы содержит 37 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении обосновывается актуальность работы. Кратко изложено содержание работы, структура и перечисленны результаты, выносимые на защиту.

Первая глава. Последовательный феноменологический подход для построения динамических уравнений двухскоростных сред был

о

развит в работе Ландау Л.Д. (1941, гидродинамический анализ гидродинамики сверхтекучего гелия). Подход достаточно полно изложен в монографии Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица, И.М. Халатникова, С.П. Паттермана и др. Этот подход является современным мощным методом построения совмещенных математических моделей и использует самые общие сведения о системе - законы сохранения, преобразования Галилея, согласованность уравнений движения жидкости с термодинамическими условиями равновесия. Доровский В.Н. (1989) применил этот подход для описания классических конденсированых сред (фильтрация, многофазные среды и т.д.).

Если обозначить за и -скорость движения упругой пористой' среды с парциальной плотностью р$, -метрический тензор упругой деформации, V -скорость движения жидкости заполняющей пористую среду с парциальной плотностью р/, с, 5 -энергия и энтропия единицы объема, ц -химический потенциал, Т -температура, р -давление, то в принятых обозначениях были получены уравнения идеальной ма-' тематической модели двухскоростного континуума (Доровский В.Н., 1989)

О

+ = р = р» + р/, ]' = Р5и + р,у,

й'Ик

+ Ук&и] + А.'ДИ; + И = 0, ра = СОП5<У<М(^), де

Потоки П;Ь (¿к однозначно определяются.

Располагая моделью двухскоростной среды возникает проблема: как совместить, исходную математическую модель с уравнениями Максвелла

1 дВ „ 4тгт 1дЕ

пйЕ =---—, ппВ = —Лн---—, СЪУ В = ¿IV Е = 0,

с ел с с сд

описывающих эффекты протекания электрического тока в проводящих средах. Здесь Е, В, Л —электрическое и магнитное поля, плотность тока.

Сформулированная двухскоростная модель допускает обобщения на случай прусутствия в элементе среды квазистационарного электромагнитного поля: в правую часть закона сохранения импульса следует добавить силу Лоренца

иг с

Одновременно в уравнение движения проводящей жидкости включаем электромагнитную силу Г

01 р Во внутреннюю энергию включим энергию электромагнитного поля

йс0 = ТйБ + рйр + (и - V, еЯ„) + + + с®) .

В гидродинамике закоп сохранения энергии не является независимым и должен тождественно следовать из приведенной системы уравнений (Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, 1988). Представим плотность тока двумя составляющими

I = о-„Е + —[и, В] + а,Е + — [V, В]

с с

и примем условие

а = аё + о-/.

Конструктивным механизмом согласования уравнений между собой служит принцип относительности Галилея, а также требование, что закон сохранение энергии

де

— + сПУ \У = О,

является тождественным следствием законов сохранения.

Результатом согласования однозначно определяется электромагнитная сила

{=-^-[3, В], ср/с

и потоки в законах сохранения.

В результате выполнения всех условий непротиворечивости однозначно определяются уравнения идеальной двухскоростной модели проводящей среды в присутствии квазистационарного электромагнитного поля

де

дг

% + (v, = + £ У (ц - т)» - ^+ В, В],

ся р • 2р 2р Ат:р10

дВ

—и + —V, В

(7 <7

= 0, ап'В = о,

е„ = еп(р,5,1и,ди,В,Е).

Для электромагнитного поля в приближении идеальной проводимости получается выражение

Е = ——[и, В] — —[у, В]. см г.а

Следует отметить, что в работе Я.И. Френкеля (1944) была сделана попытка совмещений уравнений Максвелла с уравнениями пористых сред по аналогии классической теории упругости. При этом предпо-логается проводящей только жидкая компонента. Согласно теории Гель.мгольца и Смолуховского, разность гидродинамических давлений между двумя точками среды должна соответствовать разности электрических потенциалов. При вычислениях электрокинетического эффекта. связанного с распространением продольных волн во влажной почве, рассмотренная в данной работе теория основывается на формуле'

др

47Г/Х<7| дх

для напряженности продольного электрического поля, в случае стационарного течения проводящей жидкости через поры неподвижного аористоупругого тела (здесь £ электрокинетический потенциал, ¡1

— коэффициент вязкости проводящей жидкости и <г; — ее электропроводность). Однако замкнутая математическая модель построена не была: не были получены самосогласованные уравнения движения, определяющие обратное воздействие поля Е на движение среды.

Предложенная замкнутая модель обратимого движения проводящей жидкости через проводящую деформируемую пористую среду есть результат первого параграфа первой главы диссертации.

Во втором параграфе проведен математический анализ малых колебаний для линейного варианта полученной совмещенной математической модели. Анализ распространения монохроматических волн вдоль оси х декартовой системы координат показал существование для малых значений постоянного внешнего магнитного поля Н = (НХ,НУ, 0) четырех типов звуковых колебаний:

а) колебания типа Альфеновского, т. е. скорость волн этого типа пропорциональна амплитуде внешнего магнитного поля

, с/ Я,

±иА =---,

а -/4тгро,/

где а — проводимость среды, а ро,; — парциальная плотность жидкости исходного термодинамически равновесного начального состояния;

б) поперечные колебания, т. е. скорость поперечной волны связана

с продольным магнитным полем соотношением

»2 тт1

Лт -О

±и/с'=1+Н?

47ГРо15

где С; — скорость поперечной волны в пористой среде без поля, ач — проводимость упругого пористого тела, а /9о,з — парциальная плотность упругого пористого тела при термодинамическом равновесии;

в) и двух типов продольных колебаний не испытывающих воздействие продольной компоненты внешнего магнитного поля Нх: .

±и =

! (с? ~ арТгОЧ + а272<т» + лцм + а471^ ~ цо(71^ + 72оч) д-2 2а%/щ{с\ - Э[ + а4 - 2и0) В пределе исчезновения проводящей жидкой компоненты, выражение для скорости продольных колебаний первого типа переходит в соответствующее выражение скорости звука изотропного твердого тела линейной теории упругости. Скорость продольных колебаний второго типа в указанном пределе стремится к нулю.

Для произвольно ориентированного значения внешнего постояного магнитного поля Н имеем шесть звуковых мод: две поперечные и четыре смешанные моды, представляющие собой результат взаимодействия поперечных магнитозвуковых колебаний с двумя продольными, скорости которых удовлетворяют уравнению

В данном случае не возникает Алфеновская волна вышеуказанного типа.

В параграфе 3 первой главы исследуется Рэлеевская волна в пористой среде, т. е. монохроматические затухающие в глубь от поверхности раздела сред колебания вида

Показано, что в пористой среде для малых значений парциальной плотности жидкости скорость Рэлеевской волны пропорциональна скорости второй продольной волны.

Вторая глава. Во второй главе обобщается совмещенная математическая модель на случай диссипативных процессов путем введения аддитивных необратимых потоков, инвариантных относительно преобразования Галилея. Именно, диссипативная модель позволяет ввести в рассматриваемую систему вязкость, проводимость, коэффициенты теплопроводности, межкомпонентное трение - все то, что позволяет описывать реальные системы.

Получена полная система квазилинейных дифференциальных уравнений совмещенной математической модели уравнений диссипативной континуальной теории фильтрации с уравнениями электродинамики

и8 + Л6и6 + Л4и4 + А2и2 + Л0 = 0.

и2 = -г (А (¡1 К\ еК|Ь + В Ь,к-2 с"3*г + а( еК|Ь) ,

у2 = -г (а, к, ск'ь + Ь, к2 ск'кг) с^*-").

5 + (V, У)у = - У(// + в) - -УТ + [Л, В] + {д,

81

Ср1(Т

+ гс*В- — и + -у,в ) =0, <ИуВ = О,

4п(т а а

Необратимые потоки пц,, д, сила трения ^ и функции 9, Л однозначно определяются.

Принципиальную новизну в теории электроакустических взаимодействий в пористых средах представляет исследование дисперсии "Аль-феновской волны", обусловленной межкомпонентным трением. Оказывается, что для слабых магнитных полей скорость Альфеновской волны в условиях поглощения при межкомпонентном трении испытывает дисперсию: скорость является монотонно возрастающей функцией частоты (пропорциональна квадратному корню от частоты). Скорость меняется от нуля при и = 0 до постоянного значения — Альфеновской скорости и а = & Нх/у/Атгр01 при и = оо. Полученный результат представляет содержание второго параграфа второй главы.

В третьем параграфе второй главы приведены результаты вычислительных экспериментов по исследованию затуханию Рэлеевской волны в пористой среде обусловленной межкомпонентным трением. Скорость Рэлеевской волны в условиях поглощения при межкомпонентном трении испытывает дисперсию: сначала монотонно возрастает с увеличением частоты от нуля до определенного значения ш,, а потом монотонно уменьшается с увеличением частоты от ш, до оо.

В четвертом параграфе второй главы решена задача о возбуждении магнитного поля поверхностной волной Рэлея в следующей постановке: проводящее пористоупругое полупространство г < 0 граничит с ваккумом г > 0. Среда находится в постоянном магнитном поле Н. При этом не учитывается влияние магнитного поля на распространение пористоупругих волн, что заведомо справедливо при выполнении условия (|Н| <С %/4тг //). В полупространстве г < 0 выполняются уравнения

.2

й - с^Ди + ^УсНуЩ- а2Ус1пгу + х— (й - у) = 0,

Ро,в

v — <24 Vdivv + asVdivu — xPa,i (u ~ v) = 0,

h — rot

—u H--v, H

a a

— i/A h, div h = 0.

В ваккуме (г > 0) магнитное поле удовлетворяет уравнениям

ДЬ = 0, divh = 0.

На границе тела (z — 0) непрерывны все компоненты магнитного поля, а нормальная составляющая тока обращается в нуль и ститается, что поверхность z = 0 свободна от напряжений Л,* и давления Р:

А,2 = А, з = 0, hn + P = 0, — Р = 0.

Ро

Получены выражения для магнитного поля на поверхности среды через скорости Рэлеевской волны. При этом в ваккуме тангенциальная компонента магнитного поля обращается в нуль при распространении Рэлеевской волны.

Рассмотрение пористого слоя может быть полезным при изучении динамики упругих волн в тонкослоистых средах, моделирующих нефтяные коллектора, а также может использоваться при интерпретации результатов некоторых сейсмических эффектов. В последнем параграфе второй главы приводится алгоритм расчета волнового поля плоских волн для горизонтально слоистых сред в присутствии пористого слоя при следующей постановке: пористый слой D находится между упругими полупространствами Dj и D2. На границу слоя D, из Dj падает плоская продольная или поперечная SV волна формы /(т;). Требуется по заданной форме падающей волны f(t]) найти волновые поле в слое D и в упругих полупространствах Di^. Приведены численные расчеты по исследованию амплитудных спектров скорости смещений, когда на границу слоя D падает под углом 30° поперечная волна. Программы составлены на языке Фортран-77. Расчеты проведены на персональном компьютере IBM PC. Вывод графической информации осуществлялся при помощи пакета програм СМОГ.

Известно, что в пористой среде существуют четыре типа звуковых колебаний: два поперечных (в изотропной среде их свойства совпадают) и два продольных. Анализ свойств этих волн представляет интерес для изучения сложных геофизических процессов, протекающих в геологических средах с присутствием пористости и флюидонасыщен-ности. Для проведения таких исследований может оказаться полезным

использование явных формул для изучаемых волновых полей. Эти формулы могут быть получены из фундаментального решения. Для этих целей в третьей главе диссертации строится тензор Грина для линеаризованной системы уравнений континуальной теории фильтрации.

В первом параграфе третьей главы строится фундаментальное решение системы уравнений континуальной теории фильтрации для однородной среды, используя подход предложенный в работе В.Г. Романова и В.Г. Яхно (1986). Идея метода заключается в том, что формулы Дж. Стокса (фундаментальное решение задачи Коши для оператора Ламе) допускают представление в виде

(С,,-(4,1), С2>(г,х), =

1

4 7Г р

rotrot

Ci

1

— Vdiv

cD

который более удобен для вычислений. Здесь б(-) — функция Хевисай-да; i(-) — функция Дирака; 5,j — символ Кронекера; |х| = \Jxj + х\ + х\; cj —j-й базисный вектор в ii3; ср = \/(А 4- 2ц)/р, ct = \fpfp.Основываясь на этом построен фундаментальный тензор системы уравнений континуальной теории фильтрации.

В заключительном параграфе третьей главы строится лучевое решение системы уравнений континуальной теории фильтрации

ü - Li(u, v) = F, v-L2(u, v)=F,

используя метод A.C. Алексеева, B.M. Бабича, Б.Я. Гельчинского (1961): решение уравнений динамической теории упругости ищется в области регулярности поля лучей и представляется с помощью лучевого ряда. Такая форма решения используется при исследовании амплитуд и частотных спектров различных волн в неоднородных средах с криволинейными границами раздела, при этом, как правило, на практике ограничиваются несколькими первыми слагаемыми лучевого ряда. В.М. Бабич используя лучевые решения, построил фундаментальное решение для уравнений динамической теории упругости для неоднородной среды. В данном параграфе показана применимость подхода В.М. Бабича для уравнений континуальной теории фильтрации

для неоднородной среды.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих ра-

1. Dorovsky V.N., Imomnazarov Kh.Kh. A Mathematical Model for the Movement of a Conducting Liquid Through a Conducting Porous Medium// Mathl. Compxit. Modelling - 1994. - v.29, No.l, 91-97.

2. Имомназаров X.X. Фундаментальные решения системы уравнений континуальной теории фильтрации для неоднородной среды // Труды ВЦ СО РАН. Материалы конференций молодых ученых. - Новосибирск, 1995. - с.57-68.

3. Imomnazarov Kh.Kh. A Mathematical Model for the Movement of a Conducting Liquid Through a Conducting Porous Medium: I. Excitation of Oscilations of the Magnetic Field by the Surface Rayleigh Wave // Mathl. Comput. Modelling - 1995. - v., No.

4. Имомназаров X.X. Фундаментальное решение системы »двухско-ростной гидродинамики // Доклады РАН (в печати).

5. Имомназаров Х.Х. Характеристики интерференционных волновых полей в присутствии пористого слоя // Доклады РАН (в печати).

ботах: