автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и применение разностных методов решения задач пороупругости

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РАН

РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОРОУПРУГОСТИ

Специальность: 05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

на правах, рукописи

Симус Наталья Андреевна

УДК 519.6

Москва -1996 г.

Работа выполнена на кафедре Вычислительных методов факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государствен университета им. М.В. Ломоносова и в Институте математического моделирования РАН

Научные руководители академик РАН Самарский A.A.

доктор физико - математических наук Повещенко Ю.А. кандидат физико - математических наук Колдоба A.B.

Официальные оппоненты

доктор физико - математических наук Вабищевич П.Н. доктор физико - математических наук Каракин A.B.

Ведущая организация

Институт океанологии им. П. П. Ширшо РАН

Защита диссертации состоится « » 199 т^ г.

в часов на заседании диссертационного совета К.053.05.87 в

Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, факультет Вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан « ^Л^^^? 199 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доцент

Говоров В. М.

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы.

Общепризнанным подходом к проведению теоретических исследований в прикладных проблемах естествознания является вычислительный эксперимент. Успех вычислительного эксперимента определяют

— удачно выбранная математическая модель явления, учитывающая многообразие протекающих процессов, реальную геометрию, физические свойства среды,

— использование эффективного численного метода, построенного на основе глубоко проработанной теории, адекватного в определенном смысле выбранной математической модели,

— способ реализации алгоритма на ЭВМ.

При этом разработка эффективных численных методов наряду с увеличением мощности ЭВМ расширяет границы применимости вычислительного эксперименета и обусловливает широкое распространение ориентированных на конкретные прикладные области программных средств, реализованных в виде программных комплексов и пакетов прикладных программ, которые расчитаны на широкий класс пользователей.

Одной из актуальных проблем, решение которой может быть получено средствами вычислительного экспетримента является проблема прогнозирования оптимальных режимов нефтедобычи и определения их техногенных последствий. В настоящее время в технологиях нефтедобычи и других геопользовательских работах математиче-

ское моделирование фильтрации в геологических средах со сложной структурой с учетом нанряженно - деформированного состояния во многих случаях носит чисто качественный характер. Это обусловлено тем, что геомеханические модели являются неполными, а также ввиду неточности и субъективности геолого - геофизической информации о пласте. Более того, структурно многомасштабные среды вообще плохо поддаются моделированию. Рассмотрение более полных моделей, учитывающих реальное многообразие процессов и сложную геологическую структуру среды позволит усовершенствовать существующие технологии геопользования и в первую очередь технологии в нефтедобывающей промышленности с помощью численного моделирования процессов нагнетания жидкости в пласты через скважины. Это позволит оптимизировать параметры закачки жидкости с целью увеличения продуктивности пластов или для решения других технологических задач, а также предсказывать и предотвращать ряд негативных явлений. В частности, Нефтегорское землетрясение 27 мая 1995 года «было «подготовлено» технологическим нарушением свойств геологической среды вследствие отработки нефтяного месторождения»1, так как деформации горных пород, вызываемые перемещением флюидных масс, в тектонических нарушениях достигают уровней, которые близки к критическим, то есть к уровням неустойчивой деформации, превышение которых вызвает разрушение пород с высвобождением сейсмической энергии.

1Рудаков В.П. Геодинамические предпосылки Нефтегорского землетрясения 27 мая 1995 года // ДАН. 1995. Т. 345. N б. С. 810-823

Состояние вопроса.

Задачи, целью решения которых является изучение процессов фильтрации в насыщенных пористых геологических средах, сопровождаемых изменением напряженно - деформированного состояния в этих средах, описываются уравнениями Био [Biot М.А., Rice J.R., Cleary М.Р., Николаевский В.Н. и др.]. Математическая модель Био наряду с уравнениями теории фильтрации — балансным уравнением для массы жидкости и выражением для потока согласно закону Дарси — включает уравнения линейной теории упругости для насыщенных пористых сред. Особенностью рассматриваемого класса задач является необходимость учитывать геологическую неоднородность среды, обусловленную историей развития: она состоит из ряда разновозрастных слоев сложной геометрии, резко отличающихся по своим свойствам, порой на несколько порядков. Таким образом, для изучения процессов фильтрации в насыщенных пористых геологических средах необходимо развитие численных методов на нерегулярных сетках. Под нерегулярными сетками здесь понимаются разностные сетки, которые не могут быть получены из прямоугольной гладким преобразованием координат.

Наряду с другими методами, в частности, методом конечных элементов [Сьярле Ф., Стренг Г., Фикс Дж., Heinrich В.], широко распространенным подходом к численному решению уравнений математической физики на нерегулярных сетках является метод опорных операторов, используемый в настоящей работе для построения дискретных алгоритмов. Метод опорных операторов позволяет построить согласованные разностные аналоги дифференциальных опе-

раторов тензорного анализа и на их основе — разностные схемы для уравнений механики сплошной среды, сохраняющие такие качества уравнений, как консервативность, симметричность (если она была) и положительность эллиптического оператора. Это дает возможность получать физически корректные результаты даже на грубых сетках, а также обеспечивает необходимый порядок аппроксимации в расчетной области в случае негладких коэффицентов и правых частей уравнений. Метод опорных операторов в том виде в котором он используется в настоящей работе, был предложен Самарским A.A., Тишкиным В.Ф., Фаворским А.П., ¡Пашковым М.Ю. в 1981 году. В последующих работах этих и других авторов [Колдоба A.B., Короби-цин В.А., Коршия Т.К., Повешенко Ю.А.] были построены и исследованы разностные схемы для различных уравнений математической физики. Идея метода состоит в том, что один из рассматриваемых дифференциальных операторов первого порядка аппроксимируется непосредственно, а остальные таким образом, чтобы удовлетворить разностным аналогам некоторых интегральных тождеств. В частности, таким тождеством, содержащим тензорные поля, является

/о ^dV = L U'P* dsk - Jop'k £ dV'

где щ, pik — достаточно гладкие функции в области О. Его дискретные аналоги позволяют конструировать разностные схемы для уравнений линейной стационарной теории упругости. Так как метод опорных операторов не ограничен предположениями о структуре разностной сетки, он является адекватным подходом к построению разностных схем для уравнений линейной стационарной теории упру-

гости на нерегулярных сетках.

Непосредственным обобщением метода опорных операторов на случай учета различных физических нелинейных процессов (например, магнитогидродинамических, гравитационных, вязких и т.д.), разворачивающихся на фоне движения сплошной среды является метод диссипативных функций [Попов Ю.П. и др.]. Кратко остановимся на основных идеях метода. При моделировании механики движения такой «осложненной» сплошной среды обычно существует тензор напряжений, обусловленный тем или иным физическим полем, отвечающий за физический процесс (максвелловский тензор напряжений электромагнитного поля, тензор напряжений гравитационного поля, тензор вязких напряжений и т.д.) и тензор деформации (или скоростей деформации), отвечающий за кинематическое описание движения сплошной среды. Свертка симметризованного тензора деформации и «физического» тензора напряжений — диссипативная функция — определяет внутреннее (то есть не работающее через поверхность тела) преобразование энергии при соответствующем физическом процессе. Успешная пространственная дискретизация такой свертки в значительной мере и определяет эффективность применения метода опорных операторов и метода диссипативных функций, так как дальнейшее вычисление соответствующей силы (Лоренца, тяготения, вязкой и т.д.) в результате сопряженного интегрального преобразования является делом техники. Не такова модель Био, так как в ней одновременно присутствуют два различных вида движения (жидкости и скелета) и соответственно две различных диссипативных функции единого энергетического преобразования. Поскольку

прямое дискретное моделирование такого дуализма представляется нецелесообразным, то имеет смысл уже на континуальном уровне воспользоваться обобщенным силовым тензором модели Био, отвечающим только за силовые характеристики процесса напряженного деформирования полной системы жидкость - скелет. Обобщенный силовой тензор и нестационарные объемные деформации рассмотренной вариационно - энергетической формулировки модели Био движения жидкости в деформируемом пористом теле легко дискретизируемы на основе метода опорных операторов.

Широкое распространение программных средств, опирающихся на эффективные алгоритмы и ориентированных на конкретные прикладные области возможно лишь при условии их реализации в виде пакетов прикладных программ. Использованные в работе над диссертацией инструментальные средства системы ТБКОН позволили в значительной мере сократить трудозатраты на программирование алгоритмов. Система ТЕКОН представляет собой комплекс инструментальных средств, на основе которых возможно создание широкого класса пакетов прикладных программ для решения задач математической физики. Средствами ТЕКОНа создаются дискрипторы нерегулярных сеток и организовываются циклические и нециклические операции над ними. При этом используется динамическая организация памяти, которая в отличие от статической состоит в хранении информации в виде сегментов, упорядоченных посредством организации ссылок в список. Такая организация дает возможность возложить на ЭВМ часть громоздких символьных выкладок, позволяет производить декомпозицию матриц произвольной структуры. Инструмен-

тальные средства системы ТЕКОН позволили генерировать версию пакета программ для решения краевых задач теории фильтрации на основе разностных схем метода опорных операторов [Повещен-ко Ю.А., Дремов O.A. и др]. Эта, хорошо зарекомендовавшая себя в процессе решения практических задач, версия пакета послужила основой для создания программного комплекса предназначенного для решения более сложного класса задач — численного моделирования процессов фильтрации в насыщенных геологических средах, сопровождаемых изменением напряженно - деформированного состояния, в рамках вариационно - энергетической формулировки модели Био движения жидкости в пористом теле.

Цель работы. Настоящая диссертация посвящена разработке и реализации алгоритма численного решения задач пороупругости, описываемых уравнениями Био на основе разностных схем метода опорных операторов.

Научная новизна. Разработаны вычислительные алгоритмы для численного интегрирования уравнений механики Био в областях неоднородного геологического строения. Эти алгоритмы, основанные на идеях метода опорных операторов, сохраняют консервативность дифференциальных уравнений, что дает возможность получать физически корректные результаты даже на грубых сетках и в случае негладких коэффицентов и правых частей уравнений. Указанные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ для персональных компьютеров. С помощью этого комплекса проведены расчеты в ряде

прикладных задач геофизики.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты работы докладывались на научно - исследовательских семинарах ИПМ РАН им. М.В.Келдыша, ИММ РАН, НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова, ВНИИГЕОСистем, НИИ океанологии РАН, на XIV Губкинских чтениях (ГАНГ им. И.М. Губкина, 15-17 октября 1996г., участие в стендовом докладе).

Публикации. Излагаемый в диссертации материал опубликован в 3 печатных работах, перечисленных в конце автореферата.

Структура И обьем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 51 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обсуждена актуальность темы диссертации, проанализировано современное состояние исследуемого вопроса, сформулирована цель работы. Приведено краткое содержание работы по главам.

В Главе 1 рассмотрена вариационно - энергетическая формулировка модели Био движения жидкости в деформируемом пористом теле. В рамках этой модели сформулированы замкнутые постановки краевых задачи в переменных поровое давление - смещение. Обобщенный силовой тензор системы жидкость - пористое тело, а также

нестационарные объемные деформации могут быть дискретезируе-мы в дальнейшем на основе метода опорных операторов. Также получены выражения для феноменологических коэффицентов модели Био через экспериментально определяемые модули объемного сжатия среды. Приводятся необходимые сведения справочного характера о модулях упругости пористых тел.

В §1 приводятся необходимые для дальнейшего изложения сведения из линейной теории упругости: основные дифференциальные операторы и уравнения описывающие механику деформации упругого тела, выражение для плотности энергии, модули, характеризующие упругие свойства изотропного тела. Формулируются некоторые используемые в последующих главах постановки краевых задач для уравнения равновесия.

В §2 описаны некоторые аспекты механики деформации насыщенных пористых тел, в частности,

— в разделе 2.1 рассматривается обобщенный силовой тензор модели Био, отвечающий за силовые характеристики процесса напряженного деформирования полной системы жидкость - пористое тело. Вводится в рассмотрение единое выражение для упругой энергии двух различных видов движения (жидкости и скелета);

— в разделе 2.2 производится коэффицентная детерминация обобщенного силового тензора модели Био через экспериментально определяемые модули объемного сжатия: дренажный, недренажный, скелета, жидкости;

— в разделе 2.3 получено выражение связывающее пористость с экспериментально определяемыми модулями обьемного сжатия: дрепаж-

ным, недренажным, скелета, жидкости;

— в разделе 2.4 рассматривается зависимость массы жидкости, содержащейся в порах деформируемого пористого тела от относительного изменения обьема пористого тела и порового давления;

— в разделе 2.5 выводится уравнение баланса массы жидкости, содержащейся в порах деформируемого пористого тела.

В §3 приводится вариационно - энергетическая формулировка модели Био движения жидкости в деформируемом пористом теле. Формулируется постановка краевых задач в переменных поровое давление - смещение.

Глава 2 посвящена построению и исследованию разностных схем метода опорных операторов на нерегулярных сетках для уравнений линейной стационарной теории упругости. Искомой функцией является вектор смещения частиц деформируемого упругого тела. При этом сеточная функция смещений отнесена к узлам расчетной сетки.

В §1 построено семейство разностных схем метода опорных операторов для стационарных уравнений линейной теории упругости. Скалярное произведение в пространстве тензорных сеточных функций — компонент тензора деформаций — выбирается согласованно с энергией деформированного тела.

В §2 формулируются критерий сходимости, построенных в предыдущем параграфе разностных схем, и условия аппроксимации введенным скалярным произведением соответствующей континуальной билинейной формы. Построены метрические операторы, удовлетворяющие этим условиям.

В §3 приведено доказательство первого неравенства Корна.

В §4 получен дискретный вид компонент тензора напряжений.

В §5 проводится построение семейства разностных схем для стационарных уравнений линейной теории упругости в цилиндрической геометрии.

Глава 3 посвящена описанию тестовых расчетов проведенных для поверки изложенных в предыдущих главах методик, а также математическому моделированию некоторых задач пороупругости.

В §1 описаны основные инструментальные средства системы ТЕ-КОН, позволившие генерировать версию пакета программ для решения краевых задач пороупругости на основе разностных схем метода опорных операторов. На примере разностной схемы метода опорных операторов для стационарных уравнений линейной теории упругости продемонстрирована организация ТЕКОНом циклических и нециклических операций на нерегулярной сетке.

В §2 для проверки качества построеных разностных схем метода опорных операторов для стационарных уравнений линейной теории упругости проведены тестовые расчеты, результаты которых иллюстрируют таблицы и рисунки.

— В разделе 2.1 рассматривались краевые задачи для уравнения равновесия а.) с гладкой правой частью, Ь) с разрывной правой частью;

— в разделе 2.2 рассматривалась задача о деформации полой цилиндрической трубы;

— в разделе 2.3 рассматривалась задача о контакте двух пороупру-гих областей.

В §3 изложены основные этапы математического моделирования двумерной задачи порупругости с известным линейным распределе-

нием порового давления.

— в разделе 3.1 приводится постановка задачи;

— в разделе 3.2 описана конечно - разностная модель;

— в разделе 3.3 исследуются результаты проведенных расчетов.

В §4 описаны основные этапы математического моделирования краевой задачи для уравнений Био в области неоднородного геологического строения.

— в разделе 4.1 приводятся рассматриваемые варианты постановки задачи;

— в разделе 4.2 на основе построенных разностных схем метода опорных операторов для стационарных уравнений линейной теории упругости и разностных схем метода опорных операторов для уравнений теории фильтрации предложен дискретный алгоритм решения краевых задач для уравнений механики движения жидкости в деформируемом пористом теле в рамках модели Био;

— в разделе 4.3 детерминируются количественные параметры задачи и иллюстрируются результаты серии проведенных расчетов;

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

1. Рассмотрена вариационно - энергетическая формулировка модели Био движения жидкости в деформируемом пористом геле, приводящая к замкнутой постановке краевых задач в переменных поровое

давление - смещение.

2. Построено семейство разностных схем метода опорных операторов для стационарных уравнений линейной теории упругости в плоской и цилиндрической геометрии. Сформулирован критерий сходимости этих схем. Получен дискретный вид компонент тензора напряжений.

3. На основе разностных схем метода опорных операторов для стационарных уравнений линейной теории упругости и уравнений фильтрации предложен дискретный алгоритм решения краевых задач для уравнений механики движения жидкости в деформируемом пористом теле в рамках модели Био.

4. Создан пакет прикладных программ для численного моделирования (на основе разностных схем метода опорных операторов) процессов фильтрации в трещиновато - пористых насыщенных геологических средах, сопровождаемых изменением напряженно - деформированного состояния в этих средах. Проведены расчеты ряда прикладных задач геофизики.

Публикации по теме диссертации.

1. Дремов O.A., Колдоба A.B., Пергамент А.Х., Повещепко Ю.А., Попов Ю.П., Симус H.A. Разностные схемы метода опорных операторов для уравнений теории упругости.// Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1995. N 131.

2. Гнедин Ю.И., Колдоба A.B., Мясников В.П., Пергамент. А.Х., Повещенко Ю.А., Попов С.Б., Симус H.A. Процессы фильтрации

в напяженно - деформированных средах.// Сборник трудов ИАПУ ДВО РАН, Владивосток, 1996. 14с.

3. Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Самарский A.A., Симус H.A. Разностные схемы метода опорных операторов для линейных стационарных уравнений теории упругости.// Препринт ИММ РАН, 1996. N 3.

Издательство АО "Диалог-МГУ". ЛР N 063999 Подписано к печати 9.12.96г. Усл.печл. 1,0. Тираж 70 экз. Заказ N 575. Тел. 939-38-90, 939-38-91. Факс 939-38-93. 119899, Москва, Воробьевы Горы, МГУ