автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические моделирование некоторых задач теории упругости и пороупругости в существенно неоднородных анизотропных средах

На правах рукописи

ЗАСЛАВСКИЙ МИХАИЛ ЮРЬЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПОРОУПРУТОСТИ В СУЩЕСТВЕННО НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена на механико-математическом факультете Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук доцент кафедры вычислительной механики механико-математического факультета МГУ Пергамент А.Х.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор Тишкин В.Ф.

кандидат физико-математических наук доцент Звягин А. В.

Ведущая организация: Объединенный Институт Физики Земли им.

О.Ю. Шмидта РАН

Защита диссертации состоится п СО^&Я&рЗ 2004 г. в /4-ООла заседании диссертационного совета Д 002.024.02'при Институте Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН по адресу 125047, г. Москва, Миусская пл., д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им. М.В. Келдыша РАН

Автореферат разослан

2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

У*

Г.В. Устюгова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ

Настоящая работа посвящена разработке, обоснованию и применению численных методов для решения двумерных и трехмерных задач теории упругости и пороупругости (модели Био1) в областях сложной структуры. Эти задачи важны как для исследования техногенных последствий газо- и нефтедобычи, так и для моделирования процессов распространения акустических волн в неоднородных средах, которое позволяет решать ряд задач геологоразведки.

Математические модели в подземной гидродинамике, описывающие влияние потока флюида на напряженно-деформированное состояние окружающей среды, всегда представляли практический интерес. Например, при разработке гигантских углеводородных месторождений, характерных для России, возможно влияние процессов фильтрации на сейсмическую активность региона. При этом потоки флюида приводят к возникновению отсутствующих в геостатике касательных напряжений.

Сейчас процессы фильтрации в насыщенных пористых средах, сопровождаемые изменением напряженно-деформированного состояния, обычно рассматриваются в рамках квазистатической модели Био. Однако в моделях такого типа пористая среда рассматривается как совокупность непроницаемых зерен, разделенных порами. В действительности же для всех естественных пластов характерна развитая в той или иной степени трещиноватость. В связи с вышесказанным представляет интерес построение единой модели фильтрации в трещиноватых средах и эволюции напряженно-деформированного состояния среды.

Отметим, что увеличение давления приводит к появлению сдвиговых деформаций, которые могут стать причиной оползания пород на границе разлома. Такой процесс может спровоцировать сейсмическую активность среды вплоть до техногенного землетрясения.

2МА. Biot Mechanics of deformation and acoustic propagation. J. Appl. Phys., v.33, N4, pp 1482-1498, 1962

НАЦИОНАЛЬНАЯ

библиотека

STSpot.

2005-4 12217

Для описания фильтрации в трещиноватых средах используется модель с двойной пористостью и двойной проницаемостью2. В этом случае насыщенная среда представляет собой структуру, составленную из пористых блоков и трещин. Если макроскопическое описание пористой среды есть результат усреднения по масштабам, большим размеров пор, то для трещиноватых сред вводятся характеристики, являющиеся результатом усреднения по масштабам большим сравнительно с размерами блоков. Отличие развиваемой здесь схемы от обычной схемы фильтрации в пористой среде состоит во введении в каждой точке пространства двух давлений жидкости - давления жидкости в порах и давления жидкости в трещинах - и учете обмена жидкостью между трещинами и порами. При определенных предположениях получается выражение для интенсивности этого обмена. Выводятся основные уравнения фильтрации жидкости в трещиноватой породе и более общие уравнения фильтрации жидкости в пористой среде с двойной пористостью.

Причем, поскольку проницаемость в трещинах очень велика, давление в трещинах устанавливается гораздо быстрее, чем в порах, так что для его описания может быть использовано квазистатическое уравнение. Кроме того, можно предположить, что объем трещин пренебрежительно мал, и, как следствие, можно пренебречь величиной флюидосодержания в трещинах. В результате получается модель, отличающаяся от модели Био для пористых сред уравнением для давления в трещинах при условии, что обобщение закона Гука в модели Био сохраняет свое выражение3.

Математическая постановка задачи включает в себя уравнения параболического типа для давлений в порах и трещинах и векторное эллиптическое уравнение, возникающее в задаче теории упругости.

Хорошо известно, что для земной коры характерна структурная рас-слоенность. Эта расслоенность проявляется в чередовании зон высоких и низких скоростей фильтрации , областей повышенных и пониженных напряжений. Существует множество примеров - предельных случаев, когда фильтрация происходит в достаточно узких областях - разломах.

Необходимость учета геологической структуры среды, которая состоит из ряда слоев сложной геометрии, резко отличающихся по своим свойствам, привела к развитию численных методов решения разностных задач

2 ГН Баренблатт, Ю Н. Желтое, И.Н. Кочина Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых средах. Прикладная математика и механика, т 24,1960 3В.Н. Николаевский Геомеханика и флюидодинамика. Москва, Недра, 1996

на криволинеиных сетках, адаптированных к структуре среды.

В настоящей работе представлена единая концепция построения конечно-разностных аппроксимаций скалярных и векторных эллиптических уравнений, которая включает

• Построение базисных векторов, с помощью которых можно приблизить точное решение.

• Нахождение выражения для разностного интеграла энергии, точного на линейной оболочке базисных векторов.

• Аппроксимация источников на исходной сетке.

• Постановка вариационной задачи, которая приводит к согласованному определению операторов дивергенции и градиента в соответствии с разностным аналогом интегрального тождества

У кЧрЧгвУ + У = ! к^гйБ, (*)

• Слабая сходимость схемы.

Для построения алгоритма, сходящегося в смысле энергетической или

нормы, достаточно построить алгоритм таким образом, чтобы выражения для потоков были точными на линейной оболочке базисных векторов.

В методе конечных элементов это требование выполняется автоматически, так как приближенное выражение для решения, используемое в методе конечных элементов, является интерполяционной формулой. В методе опорных операторов для выполнения вышесформулированного условия, обеспечивающего сильную сходимость, достаточно, чтобы выражение для нормальной компоненты потока, построенное с помощью метрического оператора, было точным на элементах линейной оболочки. Это оказывается возможным для ячейки некоторой специальной сетки, называемой сопряженной. Соотношение, обеспечивающее аппроксимацию потоков для базисных векторов, представляет собой условие для определения параметров этой сопряженной сетки.

Если существует сопряженная сетка, удовлетворяющая таким условиям, то удается построить алгоритм, сходящийся в смысле энергетической и Ьр норм.

Однако для решении задач теории упругости в случае, когда разлом достаточно узок по сравнению с характерным размером всей области, адаптированная сетка будет слишком подробной, что ведет к большим затратам процессорного времени при решении соответствующей системы линейных уравнений в силу того, что система является плохо обусловленной. В связи с этим возникает потребность считать на более крупных ячейках - с размерами, большими, чем ширина разлома. Но в этом случае некоторые ячейки будут достаточно сложной структуры, то есть будут составлены из разных материалов. Следовательно, необходимо уметь вычислять осред-ненные коэффициенты в этой ячейке таким образом, чтобы полученная математическая модель учитывала свойства исходной среды. Принципиальной особенностью метода осреднения является изменение характера среды. Действительно, если изначально среда в каждой ячейке изотропна, то малый, но конечный фрагмент среды, содержащий структурные особенности, не обладает свойством изотропии. В общем случае расположения разрывов при решении таких задач наиболее часто используется, в том числе и в прикладных пакетах, осреднение по P. King'y4, которое было построено специально для изотропной среды, причем область состоит из прямоугольников или кубов, отличающихся по структуре. Однако эффективный тензор, определенный по указанному алгоритму, диагоналей. При этом очевидно, что градиент давления вдоль одной из осей создает в общем случае в любом малом, но конечном элементе среды сложной структуры поток флюида по обеим осям. Таким образом, в эффективном тензоре должны присутствовать и недиагональные компоненты.

Эффективный тензор такого вида был получен на Лебедевской сетке в работе В.Друскина и др5. В том варианте осреднения эффективный тензор построен исходя из принципа равенства конечно-разностного и континуального выражений для энергии на любом элементе линейной оболочки, натянутой на некоторые базисные вектора; при этом необходимо, чтобы решение можно было аппроксимировать элементом этой линейной оболочки. Из физических соображений очевидно, что принцип тождества энергий - один из самых важных условий для совпадения некоторых свойств начальной среды и модели после осреднения. Аналитически же

*P.R. King, АЛ. Muggendge, W.G. Price Renormalization calculations of immiscible flow. Transport in porous media, 1993,12 , 237-260

5Moskow S, Drushn V., Habaahy Т., Lee P., Davydycheva S. A finite différence scheme for elliptic équations with rough coefficients using grids nonconforming to interfaces. SIAM, J. Numer. Anal, Vol 36, No. 2, pp 442-464,1999

удалось доказать слабую (в смысле энергетического скалярного произведения) сходимость с первым порядком решения полученной разностной задачи к точному решению исходной задачи.

Таким образом, в результате осреднения элемент изначально изотропной среды, но имеющий сложную внутреннюю структуру, в общем случае может быть адекватно описан только с помощью полностью анизотропной модели.

Очевидно, что в задачах теории упругости эффективный тензор является в общем случае также полностью анизотропным. В плоской геометрии для Лебедсвских сеток была доказана слабая сходимость алгоритма с первым порядком в смысле энергетического скалярного произведения, построенного с помощью анизотропного тензора модулей упругости. Автором был предложен вариант осреднения для произвольной структурированной сетки.

В качестве тестов сначала рассматривались статические и динамические задачи теории упругости. Затем алгоритм был применен к задаче пороупругости. В силу уравнений Био градиент порового давления может рассматриваться как источник сил для задачи теории упругости. Так как размеры порового коллектора много меньше актуальных масштабов задачи, то возникает задача теории упругости с сосредоточенными источниками. Таким образом, задачи пороупругости с этой точки зрения являются более сложными в том смысле, что осреднять необходимо не только коэффициенты Ламе (в изотропном случае), но и источники, обусловленные потоком флюида.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

• Создание эффективных алгоритмов решения краевых задач теории фильтрации, упругости и пороупругости в областях сложной формы с разрывными коэффициентами.

• Исследование методов решения эллиптических и параболических задач с разрывными коэффициентами.

• Разработка эффективных алгоритмов метода опорных операторов для параболических и эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами в областях сложной формы.

• Построение новых алгоритмов осреднения в ячейках как для скалярных уравнений, так и для уравнений теории упругости и пороупру-гости. Исследование их сходимости.

• Реализация построенных алгоритмов для решения параболических уравнений, статических и динамических задач теории упругости, а также задач пороупругости. Проверка их точности на тестовых расчетах.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ

Рассмотрена трехмерная несвязанная задача пороупругости в пористо-трещиноватых средах, являющаяся обобщением классической модели Био.

Разработаны алгоритмы на основе метода опорных операторов для решения эллиптических и параболических уравнений с разрывными коэффициентами на криволинейных сетках. Доказана сильная сходимость алгоритмов.

Построены оригинальные алгоритмы осреднения в ячейках для скалярных эллиптических уравнений, а также задач теории упругости и поро-упругости. Исследованы проблемы аппроксимации в различных нормах. Доказана слабая сходимость.

На основе разработанных алгоритмов построен комплекс программ решения многомерных эллиптических и параболических уравнений, трехмерных статических и динамических задач теории упругости, а также несвязанных задач пороупругости. На ряде тестовых задач показана эффективность предложенных алгоритмов.

ДОСТОВЕРНОСТЬ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Ряд результатов диссертации, относящихся к вопросам сходимости и точности предложенных алгоритмов, строго доказан и подтвержден вычислительными экспериментами. Для динамических задач теории упругости и параболических уравнений достоверность результатов подтверждается тестированием на точных решениях и сравнением с другими широко апробированными методами. В случае статических задач теории упругости на численных экспериментах проверена сходимость к решениям, полученным на достаточно мелких сетках. О достоверности результатов, полученных при расчете задач пороупругости по построенным алгоритмам, говорит справедливость для них качественных оценок ожидаемых решений.

НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ

Разработанные алгоритмы осреднения позволяют эффективно решать ряд задач фильтрации, теории упругости и пороупругости на обычных прямоугольных сетках. Более того, при решении задач пороупругости удается избежать использования слишком подробных сеток, адаптированных к узкому коллектору, что улучшает обусловленность задачи и существенно экономит процессорное время.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Материалы диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1. International conference ECMOR VIII. Freiberg. September, 2002.

2. XIV Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К.И. Бабенко. Абрау-Дюрсо. Сентябрь, 2002.

3. Конференция молодых ученых "Ломоносов-2003" в МГУ. Москва. Апрель, 2003.

4. Семинар проф. Н.Н. Смирнова кафедры волновой и газовой динамики механико-математического факультета МГУ. Москва. Октябрь, 2003.

5. Конференция молодых ученых "Ломоносов-2004" в МГУ. Москва. Апрель, 2004.

6. Семинар отдела N11 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН под руководством чл.-корр. РАН Ю.П. Попова. Май, 2004.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы. Текст изложен на страницах, содержит рисунков в основном тексте. Список литературы включает наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, а также делается обзор существующих моделей фильтрации в пористых и трещиновато-пористых средах. Данный тип задач характеризуется сложной структурой области, в которой происходят рассматриваемые процессы. При этом характерная толщина коллектора, вдоль которого течет флюид, может быть много меньше актуальных размеров задачи.

Затем дан обзор существующих численных методов решения скалярных и векторных эллиптических уравнений. Основное внимание сосредоточено на конечно-разностных алгоритмах. Помимо метода опорных операторов, рассмотрены также различные алгоритмы осреднения. Последние рассматриваются как альтернатива использования адаптированных к структуре среды сеток, так как позволяют аппроксимировать задачу на обычных прямоугольных сетках.

Из физических соображений ясно, что близость энергии и ее дискретного аналога, а также близость непрерывного потока через границу ячеек и его разностного выражения играют определяющую роль в проблеме точности данного метода. Близость потоков в соответствующей метрике влечет за собой сильную сходимость. С другой стороны, достаточным условием для слабой сходимости в смысле энергетического скалярного произведения является соответствующая аппроксимация интеграла энергии. Принципиально важно, что в двумерном случае при использовании метода опорных операторов на адаптированных сетках удается обеспечить выполнение обоих условий.

В трехмерном случае принципиально возможно обеспечение и аппроксимации потоков, и аппроксимации энергий, однако для этого в каждой ячейке необходимо решать систему линейных уравнений достаточно большой размерности. Во избежание этого предлагается аппроксимировать только энергию. Метод осреднения также строится на основе аппроксимации энергии. Таким образом, в трехмерном случае и для метода осреднения, и для метода опорных операторов можно доказать лишь слабую сходимость, причем с тем же порядком.

В первой главе рассмотрена постановка некоторых задач теории упругости, как статических, так и динамических, а также задачи Био. Была исследована несвязанная задача Био, то есть предполагалось, что можно пренебречь изменением пористого или трещиновато-пористого объема за счет деформации. Представлен строгий вывод обобщенного закона Гука для пористой среды.

Затем построена несвязанная математическая модель фильтрации в трещиновато-пористых средах, а также эволюции их напряженно-деформированного состояния. Рассмотрен случай, когда проницаемость в трещинах много больше проницаемости в порах? и объем трещин пренебрежительно мал, то есть можно пренебречь величиной флюидосодержания в трещинах. В этом случае получена модель, отличающаяся от модели Био для пористых сред уравнением для давления в трещинах, при этом обобщение закона Гука в модели Био сохраняет свое выражение. Поясняется смысл констант, используемых в модели.

В силу того, что упругое равновесие в системе устанавливается мгновенно, можно рассматривать квазистатическую задачу теории упругости. Еще одной особенностью задачи является существенное различие актуальных пространственных масштабов, поскольку размеры пористо-

трещиноватой зоны много меньше размеров области, в которой формируется напряженное состояние.

Таким образом, сформулирована краевая задача для системы уравнений, состоящей из векторного эллиптического уравнения теории упругости, а также параболической системы уравнений для давлений в порах и трещинах.

Во второй части рассмотрен метод опорных операторов как для двумерных скалярных эллиптических задач, так и для задач теории упругости при условии, что коэффициенты являются кусочно-постоянными.

Особенностью метода опорных операторов является определение разностных операторов дивергенции и градиента с помощью разностного аналога известного интегрального тождества (*), которое должно быть выполнено для любой функции r. То есть после явного определения одного из этих операторов (он называется опорным) другой находится как сопряженный к нему в силу (*).

При этом показано, что полученные схемы, во-первых, дивергентны, а, во-вторых, имеют первый порядок сходимости в соответствующей норме. В настоящей работе рассмотрены задачи с разрывными коэффициентами, что является обобщением известных результатов А.А. Самарского, Ю.П. Попова, А.В. Колдобы, Ю.А. Повещенко, полученных для постоянных коэффициентов. Метод опорных операторов позволяет определить разностные операторы div(-) и grad(-) согласованно, т.е. как сопряженные друг другу (в силу (*)), причем единообразным способом как для постоянных коэффициентов и непрерывных, так и для разрывных. В отличие от стандартной схемы метода конечных объемов, где дивергенция в ячейке определяется как сумма потоков через грани этой ячейки, поделенная на ее объем, проблема аппроксимации потоков (или градиента) в методе опорных операторов не возникает.

В качестве опорного оператора рассматривался оператор grad. Построена четкая теория этого метода для такого класса задач. Предполагалось, что точное решение принадлежит пространству , а также, что существует превалирующее направление изменение коэффициента к: k — к(пг). Здесь

Я1"1 (К, D) = {p: р, Vp ■ т, Wim = nKVp 6 Hl{D),

где W = KVp. В этом случае показано, что локально в областирешение

можно аппроксимировать функциями из L(E) = span{l,pl,p¿}, где

Здесь т - вектор, касательный к линии разрыва коэффициента. Аналогично, предположив достаточную гладкость точного решения задачи теории упругости с разрывными коэффициентами Ламе, можно показать, что его можно приблизить вектором из

пг п г

LÍE) = span{U1 — т —, U2 = п / -——,

1 J Ц J \ + 2р'

о о

п г

U3 = т(т ■ г) - п / -г—t/4 = —m(n • г) + п{т -г), U5 = т, U6 = гг}. J А + 2/Í о

Предположения относительно гладкости соответствующей компоненты потока и градиента справедливы, если правая часть принадлежит пространству LiiD), а область D есть окружность, кольцо, прямоугольник или может быть преобразована в одну из этих фигур с помощью регулярного преобразования.

Показано, что в двумерном случае для задач с разрывными коэффициентами можно удовлетворить как равенству энергий (непрерывной и разностной), так и равенству нормальных компонент потоков (непрерывного и разностного) через грани некоторых ячеек для векторов из 1/(5). Как следствие, для двумерных задач в случае, если точное решение принадлежит пространству Н1'1, доказана сильная сходимость с первым порядком в разностном аналоге энергетической нормы для алгоритмов, построенных методом опорных операторов.

Третья глава посвящена различным алгоритмам решения двумерных параболических уравнений на криволинейных сетках. Рассмотрена полностью неявная схема, а также регуляризованная схема, при этом пространственный оператор аппроксимировался с помощью метода опорных операторов. Существенно, что обеспечение абсолютной устойчивости ре-гуляризованной схемы приводит к отказу от аппроксимации потоков. Основным недостатком регуляризованной схемы является то, что она не распространяется на трехмерный случай. Из-за этого далее рассматривалась полностью неявная схема, причем основной пространственный оператор

аппроксимировался с помощью метода опорных операторов. Для неявной схемы была доказана сходимость с первым порядком по времени и пространству на решениях из как для одного параболического уравнения, так и для системы уравнений фильтрации в пористо-трещиноватых средах.

Из общей теории метода опорных операторов известно, что для произвольной трехмерной сетки, в отличие от двумерной, не удается построить сопряженные объемы, обеспечивающие аппроксимацию потоков. Однако для рассмотренных задач коллектор представляет собой цилиндрическое множество, для которого такие объемы могут быть построены. В результате построенные схемы обеспечивают аппроксимацию не только энергии, но и потоков.

Как уже было отмечено выше, один из возможных путей при решении задач в неоднородных средах - это использование криволинейных сеток, адаптированных к структуре среды. Затем можно реализовывать конечно-разностные схемы (например, метод опорных операторов) или схемы метода конечных элементов. Однако при таком подходе в задачах с узкими зонами, характеризуемыми контрастными по сравнению с окружающей средой параметрами, появляются матрицы с большими числами обусловленности, что приводит к сложностям при их обращении.

Другой подход связан с использованием произвольных, удобных нам по какой-либо причине сеток, быть может неадаптированных к линиям разрывов. Однако в этом случае в некоторые ячейки будут иметь довольно сложную структуру. Для этих ячеек найден эффективный тензор, который в общем случае является полностью анизотропным, даже если исходное уравнение было изотропным. Очень важно, чтобы эффективный тензор учитывал особенности исходной среды. В четвертой главе рассмотрены различные алгоритмы осреднения в ячейках для скалярных и векторных эллиптических задач: методы стандартного и узлового осреднения, а также метод Пабона, как в двумерном, так и в трехмерном случаях. Принцип тождества энергий является одним из фундаментальных для того, чтобы осредненная математическая модель имела свойства исходной среды. Он реализован для набора базисных векторов, учитывающих особенности задачи. Число этих векторов определяют порядок аппроксимации.

Сначала было рассмотрено скалярное эллиптическое уравнение в изотропных неоднородных средах. Затем данный подход был обобщен на си-

стему уравнений теории упругости в изотропном и в полностью анизотропном случаях. В начале рассматриваемый алгоритм изложен для наглядности на Лебедевских сетках, а далее построен его аналог на обычных прямоугольных сетках.

Для построенных алгоритмов удалось доказать слабую сходимость (в смысле энергетического скалярного произведения) с первым порядком. В конце главы обсуждается вопрос сходимости построенных алгоритмов для полной несвязанной задачи пороупругости.

В последней, пятой главе представлены результаты тестовых расчетов. Во-первых, для параболических уравнений представлено сравнение регуляризованного алгоритма с полностью неявной схемой. Затем представлены результаты расчетов двумерных стационарных задач теории упругости по методам стандартного и узлового осреднения на Лебедев-ских сетках. После этого показаны расчеты волн в трехмерных нестационарных задачах теории упругости по всем алгоритмам осреднения. Наконец, представлены результаты для трехмерной несвязанной задачи пороупругости при использовании алгоритмов осреднения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

• Сформулирована концепция построения конечномерных аппроксимаций эллиптических и параболических задач, основанная на построении выражений для интеграла энергий и потоков - основных параметров задачи, - точных на элементах линейной оболочки, натянутой на вектора, отражающие особенности задачи;

• методом опорных операторов построены разностные схемы для скалярных и векторных двумерных эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами, доказана сильная сходимость с тем же порядком, что и для случая постоянных коэффициентов;

• разработаны новые алгоритмы осреднения в ячейках как для скалярных уравнений, так и для уравнений теории упругости и поро-упругости в общем случае в анизотропных средах, доказана слабая

сходимость алгоритмов в смысле энергетического скалярного произведения;

• создан комплекс программ для математического моделирования распространения акустических волн в композитных анизотропных средах и эволюции напряженно-деформированного состояния, возникающего в процессе фильтрации; проведены рассчеты распространение акустических волн в композитных анизотропных средах и эволюция напряженно-деформированного состояния, возникающего в процессе фильтрации.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. A.Kh. Pergament, S.B. Popov, Yu.B. Radvogin, M.Yu. ZaslavskyThe regularization IMPES algorithms of the reservoir simulation in inho-mogeneous media. Report on international conference ECMOR VIII, E21, Freiberg, September, 2002.

2. М.Ю.Заславский. Методы решения параболических уравнений на криволинейных сетках. Тезисы докладов XIV Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К.И. Бабенко. Абрау-Дюрсо. Сентябрь, 2002.

3. М. Yu.Zaslavsky. Algorithms of solution of parabolic equations on curvilinear grids. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, N2, Москва, 2003.

4. Н.М. Гиззаткулов, М.Ю. Заславский, А.Х. Пергамент. Регуляри-зованные алгоритмы решения уравнения теплопроводности на криволинейных сетках. Тезисы докладов конференции молодых ученых "Ломоносов-2003" в МГУ. Москва. Апрель, 2003.

5. М.Ю.Заславский. Averaging-методы для численного решения задач теории упругости. Тезисы докладов X Всероссийской Школы-Семинара "Современные проблемы математического моделирования". Сентябрь, 2003.

6. В.П. Мясников, М.Ю. Заславский, А.Х. Пергамент. Алгоритмы осреднения для решения задач теории упругости на прямоугольных сетках, неадаптированных к структуре среды (averaging). Доклады Академии Наук, 327, 3, с. 332-337, 2004.

7. М.Ю. Заславский, Д.Ю. Максимов, А.Х. Пергамент. Методы осреднения в задачах фильтрации. Тезисы докладов конференции молодых ученых "Ломоносов-2004" в МГУ. Москва. Апрель, 2004.

8. В.П. Мясников, М.Ю. Заславский, А.Х. Пергамент. Алгоритмы осреднения и метод опорных операторов в задачах пороупругости. Доклады Академии Наук, 397, 5, с. 311-316, 2004.

ИПМ. 3 а к а а № 43. Т и р аж 50 экз.

ВВЕДЕНИЕ

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. НЕСВЯЗАННЫЕ МОДЕЛИ БИО ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРАЦИИ В ПОРИСТЫХ И ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

1.1 Математическая модель распространения волн в упругой среде

1.2 Модель Био.

1.3 Обобщение модели Био на случай трещиновато-пористой среды

2 КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ МОДЕЛЬ НА НЕОРТОГОНАЛЬНЫХ СЕТКАХ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ. МЕТОД

ОПОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ. СХОДИМОСТЬ.

2.1 Интегральные тождества с методе опорных операторов с разрывными коэффициентами.

2.2 Определение метрического тензора.

2.3 Аппроксимация потоков и сильная сходимость.

2.4 Метод опорных операторов в задаче теории упругости с разрывными коэффициентами.

3 КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ МОДЕЛЬ НА НЕОРТОГОНАЛЬНЫХ СЕТКАХ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ И ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ЗАДАЧАХ С ДВОЙНОЙ ПОРИСТОСТЬЮ. УСТОЙЧИВОСТЬ.

СХОДИМОСТЬ.

3.1 Слабосходящийся алгоритм решения параболического урав-ненияс разрывными коэффициентами.

3.2 Регуляризованная схема.

3.3 Метод опорных операторов в задаче теории фильтарции

4 АЛГОРИТМЫ ОСРЕДНЕНИЯ В ЯЧЕЙКАХ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СКАЛЯРНОГО УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ.

4.1 Об алгоритмах осреднения в ячейках для эллиптических краевых задачах.

4.2 Обобщение схемы averaging'a.

4.3 Метод averaging'a в задаче теории упругости.

4.4 Трехмерная полностью анизотропная задача теории упругости

5 РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Математические модели в подземной гидродинамике, описывающие влияние потока флюида на напряженно-деформированное состояние окружающей среды, всегда представляли практический интерес. Например, при разработке гигантских углеводородных месторождений, характерных для России, возможно влияние процессов фильтрации на сейсмическую активность региона. При этом потоки флюида приводят к возникновению отсутствующих в геостатике касательных напряжений [Турунтаев и др., 1994].

Впервые подобная модель была предложена Терцаги [Terzaghi, 1936]. Он ввел эффективный тензор напряжений, зависящий от деформации скелета и смещений флюида. Однако применение соотношений Терцаги на практике представляет большие сложности. Реально могут быть наблюдаемы деформации порового объема как целого, но не деформации скелета и смещения флюида по отдельности. Сейчас процессы фильтрации в насыщенных пористых средах, сопровождаемые изменением напряженно-деформированного состояния, обычно рассматриваются в рамках квазистатической модели Био [Biot, 1962; Rice and Cleary, 1976]. В зависимости от того, рассматривается ли обратное влияние изменения напряженно-деформированного состояния на движение флюида, модель называется связанной или несвязанной.

В работах [Авербух и др., 1995; Гнедин и др., 1996] в рамках несвязанной модели Био были получены пространственные распределения давления фильтрующегося флюида, которые затем использовались для определения полей деформации и напряжений. В отличие от [Desrocher, 1994], где определялась только величина относительного изменения объема, в указанных выше работах были вычислены все компоненты тензора напряжений. В работе [А.В. Колдоба и др., 1999] была рассмотрена двумерная связанная задача Био, т.е. совместное решение уравнение фильтрации и уравнений теории упругости.

Однако в моделях такого типа пористая среда рассматривается как совокупность непроницаемых зерен, разделенных порами. В действительности же для всех естественных пластов характерна развитая в той или иной степени трещиноватость. Здесь возможны два подхода. В первом из них рассматривается более или менее регулярная система трещин. Однако, даже предположив, что мы сможем решить задачу с достаточно общим их распределением, все равно, находясь на поверхности Земли, невозможно достоверно судить о конфигурации этой системы. Здесь ситуация аналогична введению модели пористой среды. Даже если бы мы смогли проинтегрировать уравнения движения вязкой жидкости в порах, все равно их расположение в среде нам неизвестно. Так были введены осредненные величины, такие как пористость, давление, проницаемость, скорость фильтрации, а все основные законы формулировались в терминах этих величин. Именно по этому пути пошли сторонники второго подхода. Так была введена модель фильтрации в трещиноватых средах [Баренблатт и др., I960].

В связи с вышесказанным представляет интерес построение единой модели фильтрации в трещиноватых средах и эволюции напряженно-деформированного состояния среды.

При этом увеличение давления приводит к появлению сдвиговых деформаций, которые могут стать причиной оползания пород на границе разлома. Такой процесс может спровоцировать сейсмическую активность среды вплоть до техногенного землетрясения.

Для описания фильтрации в трещиноватых средах используется модель с двойной пористостью и двойной проницаемостью [Баренблатт и др., I960]. Насыщенная среда представляет собой структуру, составленную из пористых блоков и трещин. Если макроскопическое описание пористой среды есть результат усреднения по масштабам большим размеров пор, то для трещиноватых сред вводятся характеристики, являющиеся результатом усреднения по масштабам большим сравнительно с размерами блоков. Отличие развиваемой здесь схемы от обычной схемы фильтрации в пористой среде состоит во введении в каждой точке пространства двух давлений жидкости - давления жидкости в порах и давления жидкости в трещинах -и учета обмена жидкостью между трещинами и порами. При определенных предположениях получается выражение для интенсивности этого обмена. Выводятся основные уравнения фильтрации жидкости в трещиноватой породе и более общие уравнения фильтрации жидкости в пористой среде с двойной пористостью.

Таким образом, уравнения фильтрации в трещиновато-пористой среде представляют собой уравнения с двойной пористостью и двойной проницаемостью. Причем, поскольку проницаемость в трещинах очень велика, давление в трещинах устанавливается гораздо быстрее, чем в порах, так что для его описания может быть использовано квазистатическое уравнение. Кроме того, можно предположить, что объем трещин пренебрежительно мал, и, как следствие, можно пренебречь величиной флюидосодержания в трещинах. В результате получается модель, отличающаяся от модели Био для пористых сред уравнением для давления в трещинах при условии, что обобщение закона Гука в модели Био сохраняет свое выражение. В дальнейшем мы используем несвязанный вариант данной модели, предложенный Николаевским [1996].

Хорошо известно, что для земной коры характерна структурная рас-слоенность. Эта расслоенность проявляется в чередовании зон высоких и низких скоростей, областей повышенных и пониженных напряжений. Существует множество примеров предельных случаев, когда фильтрация происходит в достаточно узких областях - разломах.

Необходимость учета геологической структуры среды, которая состоит из ряда слоев сложной геометрии, резко отличающихся по своим свойствам, привела к развитию численных методов решения разностных задач на криволинейных сетках, адаптированных к структуре среды. Построение конечномерной аппроксимации задачи на криволинейных сетках может быть осуществлено как проекционными методами, например, методом конечных элементов, так и методом конечных разностей. Если использовать метод конечных элементов с треугольными элементами, то в двумерном случае могут быть получены пятиточечные схемы для ортогональных сеток или семиточечные для неортогональных сеток при соответствующей ориентации прямоугольников. При соответствующем способе аппроксимации источников в такой задаче может быть доказана сходимость алгоритма в метрике Н1. В настоящей работе рассмотрен для данной задачи метод опорных операторов. Особенностью этого метода является использование при определении разностных операторов дивергенции и градиента с помощью разностного аналога известного интегрального тождества

То есть один этих из операторов определяется вручную (он называется опорным), а другой находится как сопряженный к нему.

Можно показать, что данный метод консервативен. Кроме того, разностная схема, построенная этим методом на четырехугольных сетках, переходит в обычную пятиточечную, если все ячейки прямоугольные, но, в отличие от метода конечных элементов на треугольных ячейках, имеет девятиточечный шаблон в общем случае.

Как для скалярных эллиптических уравнений, так и для стационарных задач теории упругости в двумерном случае метод опорных операторов достаточно подробно исследован, однако только для постоянных коэффициб ентов [Самарский и др., 1996). В этой работе доказана сходимость первого порядка как в энергетической, так и в £р-нормах.

Основная проблема для построения разностных схем для уравнения теплопроводности - это вычисление нормального потока через грани ячейки. Эта проблема распадается на две задачи: определение компонентов потока и вычисление баланса тепла, что позволяет определить выражение для дивергенции вектора теплового потока. При этом для определения величины потока через каждую грань могут быть использованы как ковариантные, так и контравариантные компоненты вектора потока. Первые определяются очевидным образом как разностные производные вдоль ребер сетки. При вычислении потока через грань необходимо уметь вычислять контравариантные компоненты вектора потока. В работе применяется предложенный А.А. Самарским и др. [1996] метод, основанный на построении специального метрического тензора. После этого возможно вычисление балансов для каждой ячейки и определение сопряженного оператора в силу (*) Особенностью предложенного метода является девятиточечные схемы, которые обладают более высокой точностью по сравнению с семиточечными схемами метода конечных элементов.

На основе метода опорных операторов были построены экономичные абсолютно устойчивые алгоритмы решения параболических уравнений с разрывными коэффициентами [Zaslavsky, 2003]. Экономичность схемы означает, что число операций для получения решения на неявном слое по времени пропорционально числу узлов сетки. Очевидно, что явная схема экономична. Однако существует жесткое ограничение на шаг по времени для устойчивости схемы: т ~ h2. При этом полностью неявная схема абсолютно устойчива, но не экономична. Кроме того, она является схемой первого порядка аппроксимации по времени. В соответствии с указанными требованиями были построены регуляризованная схема, а также схемы на основе разностного и вариационно-разностного метода потоков. Кроме того, были найдены условия абсолютной устойчивости для регуляризованной схемы.

Сейчас метод опорных операторов широко используется, в том числе и в прикладных задачах. В частности, на его основе построен разностный алгоритм решения связанной задачи пороупругости в плоской геометрии [Колдоба и др., 1999].

При решении квазистатической задачи Био, а именно ее упругой части, избежать обращения матрицы не удается. Хорошо известно, что при использовании любого итерационного алгоритма решения линейной системы точность полученного решения после заданного числа итераций зависит от числа обусловленности обращаемой матрицы. Иначе говоря, чем оно больше, тем больше число итераций необходимо сделать, чтобы получить решение с данной точностью. Но если разлом достаточно узок по сравнению с характерным размером всей области, адаптированная сетка будет достаточно подробной, что ведет к большим затратам процессорного времени для решения системы.

В связи с этим возникает потребность считать на более крупных ячейках - с размерами, большими, чем ширина разлома. Но в этом случае некоторые ячейки будут достаточно сложной структуры, состоять из разных материалов. Таким образом, необходимо уметь вычислять осредненные коэффициенты в этой ячейке таким образом, чтобы полученная математическая модель учитывала свойства начальной среды.

Проблема осреднения, или upscaling'a или averaging'a, возникла еще при осреднении коэффициента проницаемости в задачах фильтрации. Хорошо известно, что в одномерном случае эффективный коэффициент в ячейке от Xi до Xi+1 есть среднее гармоническое h fZi+l ds ' Jxi к где h = Xi+i — xi. Такое среднее значение дает первый порядок сходимости в энергетической норме полученной разностной схемы.

Перейдем к рассмотрению двумерной задачи. Принципиальной особенностью метода осреднения в этом случае является изменение характера среды. Действительно, если изначально среда в каждой ячейке изотропна, то малый, но конечный фрагмент среды, содержащий структурные особенности, не обладает свойством изотропии. Например, если линии разрыва параллельны одной из осей, например у, то в направлении оси х используется среднее гармоническое, а по оси у - среднее арифметическое fijkds д j где Н - ячейка, по которой производится осреднение. В общем случае расположения разрывов наиболее часто при решении таких задач используется, в том числе и в прикладных пакетах, осреднение Кинга [King et al., 1993], которое было построено специально для изотропной среды, причем двумерная область состоит из прямоугольников, отличающихся по структуре. Автор, проводя аналогию между законом Дарси и законом Ома, находит эффективное сопротивление в электрической сети. Показано, что keff алгоритм Кинга равносилен определению эффективного коэффициента из соответствующей простейшей разностной схемы [Максимов и др., 2002]. Однако эффективный тензор, определенный по указанному алгоритму, диаго-нален. То есть, в двумерном случае при осреднении коэффициента теплопроводности к возможно определить лишь две константы кх и ку. При этом очевидно, что градиент температуры вдоль одной из осей создает в любой малом, но конечном элементе среды сложной структуры тепловой поток по обеим осям в общем случае. Таким образом, в эффективном тензоре должны присутствовать и недиагональные компоненты.

Эффективный тензор такого вида получен на Лебедевской сетке Друс-киным [Moskow, Druskin et al., 1999]. Он рассматривал эффективный тензор как матрицу квадратичной формы, соответствующей энергии системы. В стандартном averaging'e эффективный тензор в базисе (т; п), связанном с разрывом (п нормален к нему), имеет вид

В узловом averaging'e он определяет эффективный тензор, исходя из принципа совпадения разностной и непрерывной энергий на любом элементе линейной оболочки, натянутой на некоторые базисные вектора, при этом решение может быть аппроксимировано элементом этой линейной оболочки. Из физических соображений очевидно, что принцип тождества энергий - один из самых важных для совпадения некоторых свойств исходной среды и модели после осреднения. Аналитически же удалось доказать слабую (в смысле энергетического скалярного произведения) сходимость с первым порядком решения полученной разностной задачи к точному решению исходной задачи.

Таким образом, в результате осреднения элемент изначально изотропной среды, но имеющий сложную внутреннюю структуру, в общем случае может быть адекватно описан только с помощью полностью анизотропной модели.

Особый интерес представляет построение алгоритмов осреднения в ячейках для динамических задач теории упругости. Во избежание использования сеток, адаптированных к структуре среды, построение которых в общем случае достаточно сложно, возможно проводить расчеты на прямоугольных сетках, предварительно проводя осреднение коэффициентов в них. Как один из способов решения обратных задач, то есть определения параметров среды, часто используется метод подбора. Поэтому необходимо точно определять эффективные тензоры в ячейках. От этого зависит точность воспроизведения упругих волн, в частности, волн Стоунли. Последние как раз играют важнейшую роль в задачах, связанных с акустическим каротажем.

Задачи теории упругости с точки зрения принципа тождества энергий были рассмотрены в плоской геометрии [В.П. Мясников, М.Ю. Заславский, А.Х. Пергамент, 2004]. Легко видеть, что и в теории упругости эффективный тензор является в общем случае также полностью анизотропным.

Задачи пороупругости с этой точки зрения являются более сложными в том смысле, что осреднять необходимо не только коэффициенты Ламе (в изотропном случае), но и источники, обусловленные потоком флюида.

Таким образом, рассматриваемые проблемы включают решение параболических уравнений в областях сложной формы и решение эллиптических краевых задач с источниками, характерные масштабы которых много меньше актуальных размеров задачи. Для решения таких задач обычно используются сетки, адаптированные к структуре среды, а из численных методов - методы конечных элементов, конечных объемов (I.Babuska et al., 1994; Glowinski R., Wheeler M.F., 1988), а в отечественных исследованиях - метод опорных операторов. Следует отметить, что если разностные операторы градиента и дивергенции являются сопряженными друг другу, а также имеется аппроксимация интеграла энергии, то разностная схема является консервативной, и можно установить слабую сходимость алгоритма. Кроме того, если имеет место аппроксимация потоков, то можно доказать сильную сходимость в энергетической норме и, как следствие, в силу теорем вложения, в норме Lp.

Как правило, задачи аппроксимации решаются для линейных подпространств и многообразий, причем базисные функции этих множеств должны быть таковы, чтобы решение задачи могло бы быть аппроксимировано элементами линейной оболочки с достаточной точностью.

Далее требуется равенства непрерывной и дискретной энергий на элементах линейного подпространства или равенства непрерывного и разностного потоков через грани ячеек для тех же функций. Первый факт ведет с слабой сходимости, из второго же требования можно вывести сильную сходимость алгоритма.

Из вышеприведенных рассуждений, в частности, следует, что метод конечных объемов консервативен, но обладает слабой сходимостью, так как для четырехугольной ячейки (или шестигранной в трехмерном случае) обычно не обеспечивается равенство непрерывного и разностного потоков для элементов span{ 1, х, у} (или span{l, х, у, 2;} в трехмерном случае). Что касается метода конечных элементов, то при использовании ячеек в виде треугольников (или тетраэдров) удается построить алгоритм, который обладает сильной сходимостью. Увеличение числа узлов или граней требует расширения базиса, точнее использования полилинейных аппроксимаций на основе элементов span{ 1, х, у, ху}.

Метод опорных операторов в отличие от метода конечных объемов позволяет построить алгоритм, сходящийся в энергетической норме и в норме Lp для двумерных задач. Авторами метода построены аппроксимации для скалярных произведений, порожденных интегралами энергии, на основе введения своеобразного метрического тензора, определенного в ячейках двумерной сетки. При этом, в согласии с вышеизложенной схемой рассуждений выражение для скалярного произведения (и, соответственно, интеграла энергии) является точным для элементов линейной оболочки, натянутой на совокупность базисных векторов. Выражение для метрического тензора содержит неизвестные параметры, выбор которых позволяет обеспечить аппроксимацию потоков.

Особенностью метода опорных операторов является построение сопряженного объема, для которого выполняются условия, обеспечивающие аппроксимацию потоков. Следует отметить, что в трехмерном случае при наличии шестигранных ячеек не удается обеспечить и аппроксимацию энергий и явным образом построить сопряженные объемы. Однако на сетке из тетраэдров эти объемы можно явно найти, и искомый алгоритм будет схож с построенным в двумерном случае.

Авторы многочисленных работ как по методу конечных объемов, так и по методу опорных операторов фактически использовали в качестве базисов линейные и полилинейные функции. Это корректно, если решение не имеет особенностей. Если же коэффициенты уравнения разрывны, то необходимо построить базисы, позволяющие учитывать особенности решения. В качестве таких базисов были выбраны предложенные I.Babuska функции, которые в двумерном случае сводятся к span{1, га • f, /Qnr Здесь г - радиус-вектор, {га,п} - касательный и нормальный к разрыву вектора, образующие правый базис, к - коэффициент уравнения, в окрестности разрыва зависящий только от ft • г. В результате, используя вышеизложенную схему, удалось построить для двумерных задач фильтрации в пористо-трещиноватых средах и задач теории упругости упругости алгоритм метода опорных операторов, сходящийся с первым порядком. Для трехмерных задач на сетке, состоящей из шестигранников, возможно построение алгоритма, сходящегося только в слабом смысле, так как построить сопряженный объем, обеспечивающий выполнение условия аппроксимации потоков, явным образом не удается. Однако, если сетка состоит из тетраэдров, удается построить сильно сходящийся алгоритм. Алгоритм конструирования сопряженных объемов в этом случае аналогичен двумерному случаю.

Однако, в настоящей работе, алгоритм метода опорных операторов был использован только для задач фильтрации. Это связано с тем, что источники сил в задаче теории упругости имеют малые пространственные масштабы изменения, что приводит к плохообусловленным задачам. В связи с этим для задачи теории упругости был построен оригинальный алгоритм осреднения в ячейках для решения на сетках, более крупных, чем адаптированные к структуре среды. В основе алгоритма лежит требование равенства аппроксимации энергии. Как следствие, можно вывести слабую сходимость построенного алгоритма.

В настоящей работе в первой части рассмотрена постановка задачи Био. Кроме того, построена несвязанная математическая модель фильтрации в трещиноватых средах и эволюции их напряженно-деформированного состояния.

Во второй части рассмотрен метод опорных операторов как для двумерных скалярных эллиптических задач, так и для задач теории упругости при условии, что коэффициенты являются кусочно-постоянными. В качестве опорного оператора рассматривался оператор grad. Построена четкая теория этого метода для такого класса задач. Доказана сходимость в энергетической норме с тем же порядком, что и для постоянных коэффициентов.

Третья часть посвящена различным алгоритмам решения двумерных параболических уравнений на криволинейных сетках. Рассмотрена полностью неявная схема, а также регуляризованная схема. Выведено условие абсолютной устойчивости для регуляризованной схемы. Доказана абсолютная устойчивость и сходимость для полностью неявной схемы.

В четвертой части рассмотрены различные алгоритмы осреднения в ячейках для скалярных и векторных эллиптических задач: методы стандартного и узлового осреднения, а также метод Пабона, - как в двумерном, так и в трехмерном случае. Кроме изотропного случая, была рассмотрена полностью анизотропная среда для задачи теории упругости. Построение алгоритмов производилось как на Лебедевской, так и на произвольной другой сетке, состоящей из четырехугольников в двумерной задаче и шестигранников в трехмерном случае. Доказана слабая сходимость (в энергетическом скалярном произведении) с первым порядком для построенных алгоритмов. В конце обсуждается вопрос сходимости построенных алгоритмов для полной несвязанной задачи пороупругости.

В последней пятой части представлены результаты тестовых расчетов. Во-первых, для параболических уравнений представлено сравнение регуля-ризованного алгоритма с полностью неявной схемой. Затем представлены результаты расчетов двумерных стационарных задач теории упругости по методам стандартного и узлового averaging'a на Лебедевских сетках. После этого показаны расчеты волн в трехмерных нестационарных задачах теории упругости по всем алгоритмам осреднения. Наконец, представлены результаты для трехмерной несвязанной задачи пороупругости по алгоритму, описанному в четвертой части.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе построены эффективные алгоритмы для решения динамических и статических задач теории упругости, а также несвязанных задач пороупругости в трещиновато-пористых средах. Построение конечно-разностной аппроксимации на криволинейных сетках для задачи фильтрации в узком коллекторе проводилось при помощи метода опорных операторов. Для решения задач теории упругости построены специальные алгоритмы осреднения в ячейках.

В работе сформулирована единая концепция построения конечномерных аппроксимаций задач с переменными и, в особенности, разрывными коэффициентами. Это выбор базиса и построение линейного многообразия, функции которого аппроксимируют решение задачи с некоторой точностью. Затем определяются выражения для интеграла энергии и выражения для потоков, точные на элементах линейной оболочки.

Для метода опорных операторов показано, что в двумерном случае для задач с разрывными коэффициентами можно удовлетворить и равенству энергий (непрерывной и разностной), и равенству нормальных компонент потоков (непрерывного и разностного) через грани некоторых ячеек. Этот факт позволили доказать сильную сходимость с первым порядком в разностном аналоге энергетической нормы для алгоритмов, построенных методом опорных операторов, в случае, если точное решение принадлежит пространству

Для параболических уравнений показано, что при использовании полностью неявной схемы для дискретизации по времени и метода опорных операторов для дискретизации по пространству разностное решение сходится к точному с первым порядком по времени и пространству даже при использовании криволинейных сеток и случая разрывных коэффициентов. При этом доказательство проводилось как для одного параболического уравнения, так и для системы уравнений фильтрации в трещиновато-пористых средах.

В случае наличия узких зон с существенно различными значениями коэффициентов предложено использовать специфические алгоритмы осреднения в ячейках. Их построение проведено исходя из требования равенства непрерывной и разностной энергий для некоторых функций, которыми можно достаточно хорошо приблизить точное решение. Построены алгоритмы осреднения коэффициента проницаемости в ячейках для задач фильтрации, коэффициентов Ламе и полного тензора модулей упругости для задач теории упругости и пороу пру гости, в том числе и в трехмерном случае, а также алгоритм осреднения в ячейках источника сил, обусловленного потоком флюида в узком коллекторе, для задач пороупругости. Для построенного алгоритма узлового осреднения в ячейках доказана слабая сходимость в смысле разностного аналога энергетического скалярного произведения.

Проведенные численные расчеты подтверждают точность построенных алгоритмов, а также их преимущество в ряде задач.

Научный интерес представляют следующие результаты:

• концепция построения конечномерных аппроксимаций эллиптических задач, основанная на построении выражений для интеграла энергий и потоков - основных параметров задачи, - точных на элементах линейной оболочки, натянутой на вектора, отражающие особенности задачи;

• на основе разработанной концепции построения разностных схем методом опорных операторов для скалярных и векторных двумерных эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами, доказательство сильной сходимости с тем же порядком, что и для случая постоянных коэффициентов;

• разработка эффективных алгоритмов осреднения в ячейках как для скалярных уравнений, так и для уравнений теории упругости и пороупругости в общем случае в анизотропных средах, доказательство слабой сходимости алгоритмов;

• создание комплекса программ для математического моделирования распространения акустических волн в композитных анизотропных средах и эволюции напряженно-деформированного состояния, возникающего в процессах фильтрации;

• расчет распространения акустических волн в композитных анизотропных средах и эволюции напряженно-деформированного состояния, возникающего в процессе фильтрации.

1. Г.Н. Баренблатт, Ю.Н. Желтое, И.Н. Конина Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых средах. Прикладная математика и механика, том 24, I960

2. Н.М. Гиззаткулов, М.Ю. Заславский, А.Х. Пергамент. Регуляризован-ные алгоритмы решения уравнения теплопроводности на криволинейных сетках. Тезисы докладов конференции молодых ученых "Ломоносов-2003" в МГУ. Москва. Апрель, 2003.

3. Ю.И. Гнедин, А.В. Колдоба, В.П. Мясников, А.Х. Пергамент, Ю.А. Повещенко, С. Б. Попов, П. А. Симу с Процессы подземной гидродинамики в напряженно-деформированных средах. Сборник трудов ИАПУ ДВО РАН, Владивосток, 1996, 14стр.

4. М.Ю. Заславский, Д.Ю. Максимов, А.Х. Пергамент. Методы осреднения в задачах фильтрации. Тезисы докладов конференции молодых ученых "Ломоносов-2004" в МГУ. Москва. Апрель, 2004.

5. М.Ю.Заславский. Averaging-методы для численного решения задач теории упругости. Тезисы докладов X Всероссийской Школы-Семинара "Современные проблемы математического моделирования". Сентябрь, 2003.

6. Д.Ю. Максимов, А.Х. Пергамент, С.Б. Попов Математическое моделирование однофазной фильтрации в случайно неоднородных средах. Препринт Института Прикладной Математики им. М.В. Келдыша, N 38, Москва, 2002

7. В.П. Мясников, М.Ю. Заславский, А.Х. Пергамент Алгоритмы осреднения для решения задач теории упругости на прямоугольных сетках, неадаптированных к структуре среды (averaging). Доклады Академии Наук, 327, 3, стр.332-337, 2004

8. В.77. Мясников, М.Ю. Заславский, А.Х. Пергамент. Алгоритмы осреднения и метод опорных операторов в задачах пороупругости. Доклады Академии Наук, 397, 5, с. 311-316, 2004.

9. В.Н. Николаевский Геомеханика и флюидодинамика. Москва, Недра, 1996

10. Пономарев B.C., Ромашов А.П., Турунтаев С.Б. Закономерности разрушения энергонасыщенных сред в проявлениях наведенной сейсмичности. Сборник "Наведенная сейсмичность", ОИФЗ-ОЭГ РАН, М., "Наука", 1994, с. 73-91.

11. Babuska /., Caloz G., О shorn J.E. Special finite element methods for a class of second order elliptic problems with rough coefficients. SIAM, J. Numer. Anal., Vol.31, No.4, pp.945-981, 1994

12. M.A. Biot Mechanics of deformation and acoustic propagation. J. of applied physics, vol.33, N4, pp 1482-1498, 1962

13. Borcea L., Druskin V. Optimal finite difference grids for direct and inverse Sturm-Liouville problems. Inverse problems 18, pp 979-1001, 2002

14. Davydycheva S., Druskin V., Habashy T. An efficient finite-difference scheme for electromagnetic logging in 3D anisotropic inhomogeneous media. Geophysics, Vol.68, N5, pp.1525-1536, September-October 2003

15. J. Desrocher, E. Detournay, B. Lenoach, P. Papanstasiou, A. Cheng The crack tip region in hydraulic fracturing. Proc. R. Soc. Lond., 1994, A447, pp39-48

16. Druskin V., Knizhnerman L. Gaussian spectral rules for the three-point second differences: I. A two-point positive definite problems in a semi-infinite domain. SIAM J. Numer. Anal., Vol.37, N2, pp.403-422, 1999

17. Druskin V., Knizhnerman L. Gaussian spectral rules for second order finite differences schemes. Numerical algorithms 25: 139-159, 2000

18. Druskin V., Moskow S. Three-point finite difference schemes. Pade and the spectral Galerkin method. I. One-sided impedance approximation. Math. Сотр., 71 (2002), pp.995-1019

19. Glowinski R., Wheeler M.F. Domain decomposition and mixed finite element methods for elliptic problems. First International Symposium on Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations, Philadelphia, 1988, SIAM, pp. 144-171

20. T. Habashy Private conversation. 2003

21. P.R. King, A.H. Muggeridge, W.G. Price Renormalization calculations of immiscible flow. Transport in porous media, 1993, 12, 237-260

22. Moskow S., Druskin V., Habashy Т., Lee P., Davydycheva S. A finite difference scheme for elliptic equations with rough coefficients using grids nonconforming to interfaces. SIAM, J. Numer. Anal., Vol.36, No.2, pp.442464, 1999

23. J. Pabon Private conversation. 2003

24. A.Kh. Pergament, S.B. Popov, Yu.B. Radvogin, M.Yu. Zaslavsky The reg-ularization IMPES algorithms of the reservoir simulation in inhomogeneous media. Report on international conference ECMOR VIII, E21, Freiberg, September, 2002.

25. R.J. Rice, M.P. Cleary Some basic stress diffusion solutions for fluid-saturated elastic porous media with compressible constituents. Reviews of geophysics and space physics, vol.14, N2, pp 227-241, 1976

26. K. Terzaghi The shearing resistance of saturated soils. Proc. Int. Conf. Soil Mech. Found. Eng. 1st, 1, 54-55, 1936

27. M. Yu. Zaslavsky Algorithms of solution of parabolic equations on curvilinear grids. Preprint of Keldysh Institute for Applied Mathematics, N2, Moscow, 2003