автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование задач пороупругости и проблема гидроразрыва

Введение

1 Постановка задачи

§1. Масштаб осреднения пороунругой среды. Модели Терцаги и ф Био.

§2. Хрупкое и квазихрупкое разрушение. Теория развития трещин Гриффитса. Критерий разрушения Ирвина.

§3. Другие критерии разрушения. Критерии Кулона-Мора и Мизсса.

§4. Управляемое и неуправляемое развитие трещин. Обобщение теории хрупкого разрушения на случай пороупругой среды.

2 Численные методы

§1. Метод опорных операторов.

§2. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

§3. Многосеточный метод.

3 Математическое моделирование задач пороупругости

• §1. Моделирование напряженно-деформированного состояния флюида при разработке месторождений нефти.

§2. Исследование задачи гидравлического разрыва.

При разработке нефтяных и газовых месторождений используются различные технологии воздействия на нефтенесущие пласты, такие как закачка жидкости, газа и голевых смесей, а также щелочная обработка призабой-пой зоны, операции гидравлического разрыва пласта. Добыча углеводородов характеризуется интенсивным разбуриванием и значительным движением жидкости в горной породе. Все вышеуказанное может приводить к возникновению зон повышенной деформации горной породы. Возникающие деформации приводят к срыву буровых колонн, движение жидкости приводит к нарушению равновесия и росту сейсмической активности. Для описания процессов движения флюидов и возникновения напряженно - деформированного состояния используются различные математические модели. Эти модели очевидным образом должны включать уравнения фильтрации и уравнения теории упругости, при этом тензор напряжений должен содержать часть, зависящую от порового давления. Предложенное К. Терцаги соотношение, содержащее напряжение скелета, не является содержательным, так как смещения скелета ие наблюдаемы. Уравнения движения флюида в пористой среде может быть описано как движение многофазного континуума. При этом записываются уравнения непрерывности, уравнения сохранения импульса и энергии. Силы, действующие па твердую фазу - это упругие силы и силы межфазного взаимодействия [Рахматулин Х.А., 1956]. На флюид действует сила давления и также силы межфазного взаимодействия. Полные напряжения определяются согласно формуле Терцаги [Terzaghi К., 1968]. Вышеизложенная модель позволяет описать эволюцию многофазного континуума при больших скоростях относительного движения, однако она содержит ряд величин, которые должны быть доопределены, как то, сила межфазного трения и потоки тепла по фазам. Если скорости движения как скелета, так и флюида малы, то можно построить модель, в которой скорость флюида выражается законом Дарси, а тензор напряжений определяется не через тензор деформаций скелета, а через тензор деформаций в целом [Biot М.А., 1962]. При быстром нагружении трещиноватых нороупругих слоев в них возникает дилатанси-онный эффект, он сопровождается резким понижением норового давления. При этом могут образовываться крупные трещины и разломы. Уравнения описывающие данные эффекты были получены в работе [Райе Дж., 1982] и в дальнейшем развиты в работах [Rice J.R., Cleary J.M., 197G] и др.

В настоящее время большинство нефтегазовых месторождений России находятся на стадии завершающей разработки. Такие месторождения характеризуются общим истощением и большой обводненностью нефтедобывающих скважин. Новые месторождения, вовлекаемые в разработку, содержат трудно извлекаемые запасы углеводородов. Коллекторы характеризуются низкой проницаемостью и слабым дренированием. В течение длительного срока эксплуатации скважин, параметры призабойной зоны значительно ухудшаются. Это связанно изменением проницаемости, выпадением парафинов и асфальтепов и значительной обводненностью скважин. Эффективность работы таких скважин за время эксплуатации значительно уменьшается. Одним из основных методов интенсификации разработки сложных и проблемных нефтегазовых месторождений является гидравлический разрыв пласта (ГРП). Метод основывается на механическом воздействии на горную породу. Под действием избыточного давления закачиваемой жидкости порода разрывается по поверхности минимальной прочности. Для этого в породу закачивается жидкость с расходом, много превышающим способность породы к поглощению жидкости. После разрыва пласта образуется трещина или система трещин, обладающие высокой проницаемостью. Зона растрескивания повышает зону дренирования в зоне работы скважин, тем самым достигается высокая эффективность добычи. В настоящее время около трети запасов углеводородов можно извлечь только с использованием этой технологии [Константинов С.В.,Гусев В.И., 1985].

При изучении процессов гидравлического разрыва пласта выделяют два направления:

• Эвристические модели

• Геомеханические модели

Для проведения расчетов в настоящее время преимущественно используются эвристические методы. В первую очередь, это связано со слабым развитием геомеханических моделей и сложностью решения соответствующих задач. Успех такого подхода базируется на большом количестве экспериментального материала и простоте использования метода. Однако, эвристические модели не имеют строгого научного обоснования, основываются на статистике, что является минусом данного подхода. Попытка построить геомеханическую модель была предпринята в работе [Желтов Ю.П., 1955]. Задача рассматривалась в плоской постановке в упругом приближении в изотропной и однородной среде. Изучалась трещина, в которую из скважины нагнетается вязкая жидкость (смесь геля и пропанта). Движение жидкости описывается уравнениями Стокса в приближении смазки. В такой постановке давление меняется только вдоль трещины, поперек трещины давление считается постоянным. Основные предположения сделанные в работе [Желтов Ю.П., Христианович С.А., 1955] -это принцип подобия трещины и условие плавного смыкания берегов трещины. Данное обстоятельство значительно облегчает решение задачи. В такой постановке, при известном постоянном давлении на берегах трещины в однородной и изотропной среде, может быть получено асимптотическое решение. Недостатком данного подхода является постулирование формы трещины - при увеличении размеров трещина не меняет своей формы. Впоследствии модель была усовершенствована в работах Г.И. Барен-блатта [Баренблатт Г.И., 1961], в первую очередь, введением сил сцепления вблизи концов трещины. В дальнейшем модель подвергалась изменениям, в настоящее время задача гидроразрыва выглядит следующим образом [Kovscek A.R., Johnston R.M., 1996]. Рассматривается пороупругая изотропная однородная среда с единичной трещиной. В трещине движется вязкая жидкость, описываемая уравнениями Стокса или Навье-Стокса, жидкость внутри трещины гидроразрыва предполагается не ньютоновской [Valko P., Economides M.J., 1995].

Давление на границе трещины предполагается равным нормальным напряжениям вдоль трещины (с обратным знаком). Задача разбивается на два этапа. На первом этапе решается прямая задача нахождения зависимости давления от потока в скважине (уравнения Стокса или Навье-Стокса). На втором этапе решается обратная задача нахождения размеров трещины при известных закономерностях зависимости давления от потока. Недостатки данного подхода очевидны. Необходимо решать две задачи - прямую и обратную. Возникают определенные сложности с решением обратных задач в связи с их неустойчивостью. Кроме того, существенным недостатком данного подхода является то, что модель не учитывает фильтрационные движения жидкости вне трещины гидроразрыва. Кроме того данная модель не является самосогласованной, а именно, на границе трещины и окружающей среды предполагается выполнение условия равенства нормального напряжения и давления жидкости, но не предполагается равенства смещений величине раскрытия трещины.

Для устранения данных недостатков возможно использование более полных уравнений, описывающих пороупругую среду (уравнения Био). Использование пороупругих уравнений позволяет правильно и согласованно описывать движение породы, учитывая его фильтрационные и упругие характеристики, что затруднительно в рамках других моделей. При использовании такого подхода, зная распределение давления внутри трещины (посредством решения уравнений Стокса), решается полная связанная задача Био. В этой постановке не постулируется ни форма трещины, ни ее размеры. Размеры и форма трещины будут зависеть от возникающих полей напряжений и фильтрационных потоков. Для определения раскрытия трещины и зон разрушения породы используются различные критерии разрушения. Практика показывает, что после проведения операции ГРП не наблюдается одна большая трещина гидроразрыва, образуются значительные зоны направленной трещиповатости [Курьянов Ю.А. и др., 2001]. Таким образом, в результате проведения гидроразрыва образуется аномальная, неоднородная зона повышенной трещиповатости. Поэтому, используя критерии разрушения, правильнее говорить не о трещине гидроразрыва, а о зоне искусственной трещиповатости. Соответственно, используя критерии разрушения, необходимо определять такие зоны. К преимуществам модели можно отнести то, что в данной постановке возможно учесть анизотропию породы и ее неоднородность. Недостатком подхода является большие вычислительные затраты. Однако, в свете использования мощных вычислительных ресурсов, таких как кластерные системы, эта проблема преодолима. В некоторых специальных случаях можно пренебречь влиянием напряженного состояния на движение флюида, в этом случае размерность задачи меньше исходной, и трудоемкость проведения расчетов снижается. В такой постановке уравнения пороупругости поддаются расщеплению на фильтрационную и упругую части, тогда исходные уравнения значительно упрощаются [Каракин А.В. др., 2003]. В настоящей работе рассматривается задача пороупругости (полная связанная задача Био) в результате чего определяется распределение порового давления и полей напряжений. С помощью критериев разрушения определяется зона возможного разрушения, что позволяет описать возможную область искусственной трещиноватости.

Среда характеризуется значительной неоднородностью физических параметров, таких как проницаемость и пористость. Земная кора имеет сложную геометрическую структуру, пронизана трещинами и разломами. Для моделирования таких сложных сред необходимо использование адаптированных к среде сеток или специальных высокоточных алгоритмов усреднения. В связи с этим, к алгоритмам предъявляется требование корректного описания разрывов. Существенной особенностью проблемы построения алгоритмов в средах сложной структуры является обеспечение непрерывности потоков рассматриваемых величин. В многочисленных работах отечественных и зарубежных авторов эта задача решается посредством метода конечных объемов, при этом сетка предполагается, как правило, адаптированной к структуре среды, а значения величин относят к ячейкам. При определении значений потоков величины коэффициентов вычисляются как среднее арифметическое для компонентов потока параллельных границе или как среднее гармоническое, если направление, вдоль которого определяется значение потока, пересекает границу разрыва коэффициентов. Трудности построения таких алгоритмов особенно ярко проявляются на не ортогональных сетках. При этом имеет место значительная ориентаци-онная ошибка. Для преодоления данной проблемы в методе конечных объемов используются различные весовые функции, компенсирующие ошибки, возникающие при прямой аппроксимации потоков, т.е. для аппроксимации используются адаптированные модифицированные алгоритмы, основанные на методе конечных объемов [Колдоба А.В. и др, 1985]. В средах со сложной геометрией трудно обойтись регулярными сетками. Геологическая структура пород такова, что нередки выклинивания пластов. В таких случаях использование нерегулярных сеток становится необходимостью. Использование алгоритмов, основанных на методе конечных объемов, в этом случае затруднительно или невозможно. Техника построения разностных схем, преодолевающих данные препятствия, была разработана А.А. Самарским и его сотрудниками [Самарский А.А. и др., 1996]. Основная идея метода опорных операторов - это согласованное в силу теоремы Гаусса-Остроградского определение разностных аналогов операторов градиента и дивергенции. Метод опорных операторов иа разрывах имеет аппроксимацию порядка 0(h), в то время как обычные методы конечных объемов только 0( 1). До последнего времени в работах, посвященных опорным операторам, рассматривались только среды с непрерывными коэффициентами в ввиду сложности аналитического исследования алгоритма. В настоящее время проведено качественное изучение алгоритма в случае анизотропных и неоднородных, в том числе с разрывными коэффициентами, сред [В.П. Мясников, М.Ю. Заславский, А.Х. Пергамент, 2004].

Для обеспечения точности расчетов часто используется большое количество узлов расчетной сетки. При подготовке инженерных расчетов становится актуальной задача минимизации времени, затраченного на расчет, поэтому численные алгоритмы и методы должны обладать достаточной скоростью сходимости для выполнения данных требований. При построении неявных схем в задачах математической физики возникает необходимость решения большой системы линейных алгебраических уравнений. Данные задачи характеризуются жесткой матрицей и плохой обусловленностью. В связи с этим, для решения таких систем должны быть использованы специальные методы. Для решения задач с симметричными матрицами использованы хорошо зарекомендовавшие методы, такие как метод сопряженных градиентов или верхней релаксации. Общеизвестно, что метод конечных объемов в случае неортогональных сеток не обеспечивает симметричность полученной матрицы. В случае несимметричной матрицы выбор метода затруднителен. Для такого класса матриц большинство итерационных методов не эффективны и имеют крайне малую скорость сходимости. В связи с этим, создание и использование эффективных методов является актуальной задачей. Одним из эффективных методов уменьшения времени обращения матриц является использование предобуславли-вателей. Основная идея метода заключается в том, что исходная система линейный алгебраических уравнений трансформируется в другую систему, характеристики которой значительно лучше исходной, тем самым итерационный метод сходится значительно быстрее [Saad Y., 1995]. В настоящее время данное направление бурно развивается, в свободном доступе существуют библиотеки, позволяющие использовать различные предобуслав-ливатели и итерационные методы (Sparskit, Aztec, Sparslib). В работе для решения системы линейных алгебраических уравнений использованы пре-добуславливатели ILUO, ILUK, ILUTP, в качестве итерационного метода использовался метод минимальных невязок.

Принципиально иной подход для уменьшения времени счета и трудоемкости эллиптических задач был использован Федоренко Р.П. В основе разработанного многосеточиого метода [Федоренко Р.П., 1994] лежит идея использования многоуровневых сеток. Известно, что несколько простых итераций или итераций по Зейделю эффективно погашают высокочастотную составляющую ошибки и сглаживает невязку. Поэтому формируется задача вычисления поправки на более грубой сетке, так как поправка стала более гладкой функцией. Полученные результаты на различных уровнях сеток интерполируются на исходную расчетную сетку и из них составляется решение задачи. Скорость сходимости многосеточного метода определяется выбором уровней сеток, количеством итераций и наличием хорошей интерполирующей функции. Несмотря на большую трудоемкость метода, особенно в случае не ортогональных сеток, метод является одним из самых передовых и часто используемых.

Цель и задачи. Целью данной работы является изучение связанной и не связанной задач Био, описывающих пороупругую среду, и выявление особенностей траектории гидравлического разрыва в неоднородной среде. Построение моделей взаимодействия основной трещины гидравлического разрыва пласта с геологическими неоднородностями. Разработка и реализация эффективных численных методов на основе метода опорных операторов и мпогосеточиого метода для решения уравнений Био.

Методы исследований. Построен эффективный алгоритм решения системы уравнений пороупругости. Для изучения процессов реализованы трехмерные программы решения связанной и не связанной задачи Био. Для случая не связанной задачи применяется многосеточный метод решения уравнений фильтрации.

Для исследования процессов гидравлического разрыва пласта реализована двумерная программа. Для определения возможных зон разрушения используются критерии разрушения.

Научная новизна. Научная новизна определяется решением трехмерной связанной задачи Био. Рассмотрены методы построения алгоритмов в среде с разрывными коэффициентами. Исследована задача взаимодействия трещины гидравлического разрыва пласта с естественными геологическими неоднородностями. Показано изменение траектории трещины гидроразрыва в неоднородной среде.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной конференции „XXII Европейский симпозиум по повышению нефтеотдачи пластов", Казань 2003; на XV Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам ", посвященной памяти К.И. Бабенко; на научных семинарах им. Бабенко К.И. ИПМ РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять печатных работ, в том числе две в соавторстве. Из них 1 статья в российском журнале, 2 статьи в препринтах ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2 работы в сборниках трудов докладов международных и всероссийских конференций.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава работы посвящена математическому описанию поро-упругой среды. Приведено построение математической модели на основе уравнений Био. Уравнения, описывающие пороупругую среду, включают в себя систему уравнений упругости и фильтрации, при этом фильтраци-® онные качества породы зависят от шаровой части тензора деформаций. В свою очередь напряжения и деформация определяются градиентом поро-вого давления.

Рассмотрены задачи теории трещин. В однородной, изотропной среде для одиночной трещины могут быть получены асимптотические решения. В случае пороупругой однородной и изотропной среды уравнения системы Био расщепляются на несвязанные уравнения теории упругости и фильтрации, тем самым для задачи Био, в такой постановке также, могут быть получены асимптотические решения.

Во второй главе диссертации рассмотрены численные методы, используемые для решения задач пороупругости и фильтрации. Алгоритмы основаны на методе опорных операторов и многосеточном методе. Реализованные программы адаптированы на случай неоднородной среды и используют ф неортогональные расчетные сетки.

Проведено исследование сходимости многосеточного метода. Скорость сходимости метода определяется в сравнении с методом верхней релаксации, имеющим тот же порядок сходимости. При интерполяции данных с различных уровней сеток используется полилинейная интерполяция. В случае ортогональной сетки может быть использована интерполяция Кинга.

Третья глава диссертации посвящена вопросам изучения пороупругих эффектов. Реализованная программа оттестированы на известных, классических задачах теории упругости и теории трещин. Проведено моделирование трехмерного коллектора с разломом. Задача решается в геологическом # кубе, куб содержит в себе нефтенесущий коллектор с разломом. Фильтрационные потоки и значения давления определяются в зоне фильтрации, упругие поля напряжений и деформаций во всем кубе. Показаны графики распределения полей напряжений.

Рассмотрена двумерная задача взаимодействия трещины искусственного гидравлического разрыва с геологической неоднородностью (трещиной). Взаимодействие осуществляется под различными углами и при различных расстояниях между трещинами. Приведены соответствующие графики. Получены пространственные распределения компонент тензора напряжений и функция давления. Для определения возможных зон разрушения использован метод Кулона-Мора. Приведены графики, демонстрирующие различные сценарии разрушений в зависимости от типа взаимодействия трещин.

Заключение

При моделировании процессов эксплуатации месторождений нефти газа для корректного описания процессов фильтрации необходимо учитывать напряженно - деформированное состояние породы. В процессе добычи на месторождении имеет место превышение горного давления или значительное падение первоначального пластового давления. Данное обстоятельство приводит к изменению напряженно - деформированного состояния породы и изменению фильтрационных характеристик среды. Ограничиваясь уравнениями фильтрации, не удается корректно описать течение жидкости в насыщенном пористом теле.

В работе рассматривается задача пороупругости для модельного неф-тенесущего коллектора. Напряженно - деформированное состояние определяется в коллекторе, породах фундамента и в кровле месторождения. Тем самым учитывается влияние напряженно - деформированного состояния окружающей породы на процессы фильтрации. На примере модельного месторождения продемонстрированы поля напряжений возникающих в породе и зоны локализации.

Для интенсификации добычи углеводородов одним из основным методов увеличения добычи является технология гидравлического разрыва. Проблема чрезвычайно актуальна в настоящий момент., в связи с истощением большинства месторождений нефти и газа. При моделировании такого класса задач, обычно рассматриваются задачи развития трещин в упругой среде. В настоящей работе рассмотрены некоторые задачи образования трещин в пороупругой среде, учитывающей фильтрационные характеристики среды. Для моделирования трещин в пороупругой среде реализована двумерная и трехмерная программа. Напряженно - деформированное состояние вблизи трещины описывается системой уравнений Био. Рассмотрен случай единичной трещины в пороупругой среде. Пороупругая среда содержит неоднородности и разрывы. Для корректного описания физических процессов используются адаптивные к разрыву сетки. Рассмотрена модель, описывающая процессы гидравлического разрыва пласта. При моделировании гидравлического разрыва не решается задача движения пропанта внутри трещины и давление на берегах считается известным. При этом предполагается взаимодействие основной трещины гидроразрыва с естественными неоднородностями, содержащимися в коллекторе. Для предсказания возможных зон разрушения использован критерий Кулона-Мора. На примере взаимодействия трещины гидроразрыва с естественным разломом показаны возможные зоны и направления разрушения. Определяются возможные направления движения трещины на основе критерия разрушения при этом геометрические размеры трещины не вычисляются. Продемонстрированы графики смещений на берегах разлома, демонстрирующие возникновение нормальных и касательных напряжений по берегам разлома, способные привести к сдвиговым и разрывным разрушениям вне зоны гидравлического разрыва пласта. Продемонстрированы основные режимы взаимодействия основной трещины гидравлического разрыва и разлома. Показано, что возникновение вторичных концентраторов напряжений приводит к существенному изменению характера распространения трещины.

При моделировании напряженно - деформированного состояния месторождения используется не связанная и связанная система уравнений Био. Аппроксимация уравнений базируется на методе опорных операторов. При решении связанной задачи система алгебраических уравнений решается с использованием предобуславливания, в качестве основных итерационных методов выбраны: метод сопряженных градиентов и метод минимальных невязок. В случае не связанной задачи уравнения для смещений аппроксимируются методом опорных операторов, а уравнения теории фильтрации модифицированным методом конечных объемов. При этом для решения уравнений фильтрации используется многосеточный метод. Для этих целей в работе реализована трехмерная программа решения уравнений эллиптического типа с разрывными коэффициентами на криволинейных сетках многосеточным методом. Алгоритм составлен таким образом, что, получив приближенное решение с помощью описанных процедур, можно повторить все вычисления, приняв за новое приближение результаты, полученные программой. Таким образом, можно получать результаты программы в цикле. На последнем шаге алгоритма, при решении задачи на конечной грубой сетке, используются алгоритмы: метод минимальных поправок с LUK предобуславливанием, метод сопряженных градиентов и локально-одномерная схемой для ортогональных сеток. Применительно к многосеточному методу, использованы различные интерполяционные функции, в том числе интерполяция Кинга. Интерполяция Кинга позволяет получать анизотропные коэффициенты (шаровую часть тензора проницаемости). Интерполяция базируется на решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений для объединенных ячеек. В работе приведены основные результаты численных экспериментов.

Для решения задачи гидравлического разрыва построена разностная схема для уравнений теории упругости и пороупругости на основе метода опорных операторов. Для аппроксимации уравнений используются адаптированные к разрыву сетки, позволяющие на разрыве достигать заданную точность. При решении используются чисто неявные схемы, для решения полученных систем используются метод минимальных невязок, метод сопряженных градиентов и метод бисопряженных градиентов. Проведено тестирование полученного численного решения, в случае одиночной трещины в упругой среде, проведено сравнение асимптотического и численного решения, получено хорошее совпадение, что иллюстрируют приведенные графики.

В заключении сформулируем основные результаты диссертации.

1. Сформулирована задача о развитии трещины гидравлического разрыва на основе модели Био и критериев разрушения.

2. Разработаны алгоритмы аппроксимации связанной и несвязанной Био задачи на основе метода опорных операторов. Исследованы различные итерационные методы решения алгебраических систем уравнений, возникающих при аппроксимации уравнений упругости и фильтрации. Создан комплекс программ для решения двумерных и трехмерных задач пороупругости, т.е. для совместного решения задач фильтрации и упругости.

3. Исследованы проблемы взаимодействия трещины гидроразрыва с естественным разломом. Получены возможные зоны и направления разрушений. Рассмотрены задачи моделирования напряженно - деформированного состояния модельного месторождения. Получены поля давлений и напряжений, выявлены зоны концентраций напряжений, что позволяет предсказать техногенные последствия добычи нефти и газа.

1. Biot М.А., "Mechanics of deformation and acoustic propagation", Journal of Applied Physics, 1962, v.33, N4

2. Rice J.R., Cleary J.M., "Some Basic Stress-Diffusion Solutions for Fluid-Saturated Elastic Porous Media with Compressible Constituents", Reviews• of Geophysics and Space Physics, 14, 1976

3. Griffith A. A., "The phenimenon of rupture and flow of solids", Philosophical Transaction of the Royal Society of London, 1920, v.221

4. Irwin G.R., "Analysis of stresses and strain near the end of crack traversing a plate", Journal of Applied Mechanics,1957, v.24, N3

5. Irwin G.R., "Fracture", Springer Encyclopedia of Phisics,1958, v.6

6. King P.R., "Renormalization calculations of immiscible flow", Transport in Porous Media V12 1993

7. Kovscek A.R., Johnston R.M., "Interpretation of Hydrofracture Geometry During Stream Injection Using Temperature Transients. II. Assymetric Hydrofractures. ", In Situ 20(3), 1996, 251-289

8. A.R. Crockett, N.M. Okusu, M.P. Cleary, "A complete Integrated Modelfor Design and Real-Time Analysis of Hydraulic Fracturing Operation", SPE 15069, 1986

9. K.Y. Lam, M.P. Cleary, D.T. Barr, "A complete Three-Demensional Simulator for Analysis and of Hydraulic Fracturing", SPE 15266, 1986

10. Kovscek A.R., Johnston R.M., "Interpretation of Hydrofracture Geometry During Stream Injection Using Temperature Transients. II. Assymetric Hydrofractures. ", In Situ 20(3), 1996, 289-309

11. Papanastasion P., "An efficient algorithm for propagating fluid-driven • fractures", N24, 1999

12. Saad Y., "Iterative methods for Sparse Linear Systems", PWS Publishing Company, 1995

13. Terzaghi K., "Soil Mechanics in Engineering Practice", 1968

14. Valko P., Econornides M.J., "Hydraulic Fracture Mechanics", John Wiley and SonsInc, 1995

15. Азиз X., Сеттари Э., "Математическое моделирование пластовых систем", Москва, 2004

16. Баренблатт Г.И., "О некоторых задачах теории упругости, возникающих при исследовании механизма гидравлического разрыва нефтеносного пласта", Прикладная математика и механика, т.ХХ, в.2, 1958

17. Баренблатт Г.И., "О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Устойчивость изолированных трещин. Связь с энергетическими теориями", Прикладная математика и механика, т.ХХШ, в.5, 1959

18. Баренблатт Г.И., "Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении", Журнал прикладной математики и технической физики, N 4, 1961

19. Баренблатт Г.И., Христианович С.А., "Об обрушении кровли при горных выработках", Известия АН СССР, ОТН, N11, 1955

20. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Конина И.М., "Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах", Прикладная математика и механика, т.24, N6, 1960

21. Бахвалов И.М., "Численные методы", Наука 1977

22. Бетчелор До/с., "Введение в динамику жидкости", Мир, 1973

23. Броек Д., "Основы механики разрушения", Успехи математических наук 1973 в.28, N2

24. Владимиров B.C., "Уравнения математической физики", Наука, 1985

25. Годунов С.К., Рябенький B.C., "Разностные схемы", Наука 1977

26. Годунов С.К., Роменский Е.И., "Элементы механики сплошной среды и законы сохранения", Новоскибирск, Научная книга, 1998

27. Гарипов Т.Т., "Исследование многосеточных алгоритмов для трехмерных задач эллиптического тина с разрывными коэффициентами.", Препринт ИПМ РАН, N45, 2005

28. Гарипов Т. Т., "Моделирование развития трещин в пороупругой среде.", Препринт ИПМ РАН, N51, 2005

29. Гарипов Т.Т., Заславский М.Ю., Пергамент А.Х., "Математическое моделирование процессов фильтрации и пороупругости.", Математическое моделирование, Т. 17, N 9, 2005

30. Гарипов Т.Т., "Моделирование процесса гидроразрыва пласта в пороупругой среде.", Математическое моделирование,Т. 18, N 6 2006

31. Димитриенко Ю.И., "Тензорное исчисление", Высшая Школа, 2001

32. Желтое Ю.П., "Об образование вертикальных трещин в пласте при помощи фильтрующейся жидкости", Известия АН СССР, ОТН, N5, 1955

33. Кантарович JI.B., Акилов Г.П„ "Функцональный анализ", Наука, 1977

34. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., "Элементы теории функций и функцо-нального анализа", Наука, 1976

35. Каневская Р.Д., "Математическое моделирование пазработки месторождений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта", Недра, 1999

36. Качанов JI.M., "Основы механики разрушения", Наука, 1974

37. Каракин А.В., Курьянов Ю.А., Павленкова Н.И., "Разломы, трещиноватые зоны и волноводы в верхних слоях земной оболочки", Москва, 2003

38. Колосов Г.В., "Применение комплексной переменной в теории упругости", ОНТИ, 1935

39. Колдоба А.В., Пергамент А.Х., Повещенко Ю.А.,

40. Симус Н.А., "Напряженно-деформированное состояние пористой среды, вызванное фильтрацией жидкости", Математическое моделирование, т. 11, N10, 1999

41. Колдоба А.В., Повещенко Ю.А., Попов Ю.П., "Об одном алгоритме решения уравнения теплопроводности на неортогональных сетках", Дифференциальные уравнения, t.XXI, е 7, 1985

42. Крылов А.П., Баренблатт Г.И., "Об упруго-пластическом режиме нефтяного пласта", Труды IV международного нефтяного конгресса, т.З, 1956

43. Константинов С.В.,Гусев В.И., "Техника и технология проведения гидравлического разрыва пластов за рубежом", ВНИИОЭНГ, Нефтепромысловое дело, Обзорная информация, 1985

44. Курьянов Ю.А., Кузнецов О.Л., Чиркин И.А., До\сафаров И.С., "Исследование техногенной трещиноватости, возникающей после гидроразрыва пласта.", Москва, 2001

45. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В., "Методы теории функций комплексного переменного", Наука, 1973

46. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М., "Механика сплошных сред", Москва, 1953

47. Максимов Д.Ю., Пергамент А.Х., Попов С.Б., "Математическое моделирование однофазной фильтрации в случайно неоднородных средах", Препринт ИПМ РАН е 38 2002г.

48. Мусхелишвилли Н.И., "Некоторые основные задачи метематической теории упругости", НАУКА, Москва, 1966

49. В.П. Мясников, М.Ю. Заславский, А.Х. Пергамент, "Алгоритмы осреднения для решения задач теории упругости на прямоугольных сетках, неадаптированных к структуре среды (averaging).", Доклады Академии Наук, N327, 2004

50. В.П. Мясников, М.Ю. Заславский, А.Х. Пергамент, "Алгоритмы осреднения и метод опорных операторов в задачах пороупругости.", Доклады Академии Наук, N397, 2004

51. Нигматулин Р.Н., "Динамика многофазных сред", Наука, 1987

52. Николаевский В.Н., "Механика пористых и трещиноватых сред", Недра, 1984

53. Райе Дою., "Механика очага землетрясения", Пер. с англ. Механика. Вып. 28, 1982

54. Рахматулип Х.А., "Основы газовой динамики взаимопроникающих движений сплошных сред", ПММ, том 20., N2, 1956

55. Седов Л.П., "Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики", Москва, 1950

56. Седов Л.И., "Механика сплошной среды", Наука, 1973

57. Самарский А.А., "Теория разностных схем", Наука 1989

58. Самарский А.А., Колдоба А.В., Повещенко Ю.А. и др., "Разностные схемы на нерегулярных сетках", Минск, 1996

59. Самарский А.А., Николаев Е.С., "Методы решения сеточных уравнений", Наука 1978

60. G5. А.А. Самарский, А.В. Колдоба, Ю.А. Повещенко, В.В. Типикин, "Разностные схемы на нерегулярных сетках",Минск, 1996

61. Тихонов А.Н., Самарский А.А., "О разностных схемах для уравнений с разрывными коэффициентами",ДАН СССР, т. 108, е 3, 1956 г.

62. Федоренко Р.П, "Введение в вычислительную физику", Москва МФТИ 1994 год

63. Федоренко Р.П, "Итерационные методы решения бесконечно дифференцируемых эллиптических уравнений", Успехи математических наук 1973 в.28 N 2