автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование колебаний биологических тканей, насыщенных жидкостью

На правах рукописи

МАСЛОВ ЛЕОНИД БОРИСОВИЧ

0046

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЕЙ, НАСЫЩЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ

626

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

- 3 ЛЕН 2010

Санкт-Петербург - 2010

004616265

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении Высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» на кафедре общей физики Института международных образовательных программ

Научный консультант: доктор технических наук,

профессор Арсеньев Дмитрий Германович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бауэр Светлана Михайловна

доктор физико-математических наук, профессор Ясинский Федор Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Шевляков Георгий Леонидович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится </.£8 » д&с^ыпл 2010 г. в . Сю часов на заседании диссертационного совета Д 212.2^9.13 при ГОУ «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» по адресу: 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29, ауд. .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ «СПбГПУ».

Автореферат разослан «-з^?» 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., профессор Б.С.Григорьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время активно развиваются биомедицинские методы вибрационной диагностики состояния твердых и мягких тканей опорно-двигательного аппарата человека и их стимуляции с помощью механического гармонического воздействия как в послеоперационный период, так и для повышения мышечной силы спортсменов. В то же время представленные экспериментальные подходы носят интуитивный характер, не учитывают сложный механизм динамического взаимодействия тканей, имеющих сильные отличия в вязкоупругих свойствах, под действием вибрационного возбуждения. До сих пор не разработаны математические модели биологических макроструктур, включающие в себя основные твердые и мягкие ткани опорно-двигательного аппарата человека и адекватно описывающие результаты вибрационных исследований на живых организмах. В различных известных способах и установках электромеханической стимуляции, использующих гармоническое воздействие на биологические объекты, применяется аппаратура, создающая установившиеся колебания тканей заданной частоты. Однако обоснования выбранных значений частот не приводится. Встречающиеся в литературе теоретические данные о собственных частотах тканей опорно-двигательной системы человека основываются на простейших механических моделях идеально-упругого изотропного тела, а используемые при решении задач граничные условия, как правило, не соответствуют физиологическим условиям функционирования рассматриваемых биологических объектов, что приводит к снижению ценности получаемых результатов.

Особого внимания заслуживает механический аспект воздействия внешнего силового поля на биологические процессы, протекающие в твердых тканях. Закон Вольфа адаптации костной ткани к меняющимся силовым условиям является основополагающей гипотезой различных теорий костной перестройки и, в широком смысле, физиологии твердых тканей. Однако ключевым нераскрытым фактором остается вопрос, как специфические костные клетки, ответственные за процессы формирования новой ткани, воспринимают механический стимул и реагируют на него, чтобы привести физиологическое состояние костного вещества в соответствие изменившимся анешним условиям. Идентификация механического аспекта, ответственного за запуск процесса остеосинте-за, может дать теоретическую базу для разработки биомеханических методов и устройств для лечения остеопороза, интенсификации процесса восстановления кости после перелома, стимуляции процесса остеосингеза.

Таким образом, имеет место противоречие между практической необходимостью развития вибрационных средств и методов диагностики и стимуляции поврежденных элементов опорно-двигательного аппарата человека и отсутствием теоретического фундамента, включающего в себя математические модели биологических структур, более точно, с позиций механики гетерогенных сплошных сред описывающие динамическое поведение живых тканей и обеспечивающие адекватный анализ их резонансных свойств.

Сформулированное противоречие приводит к актуальной научной проблеме, состоящей в том, что существующие модели биологических тканей в виде классических упругих деформируемых тел не позволяют адекватно описать резонансные свойства биологических структур, обнаруживаемые в ходе натурных вибрационных обследований, не могут предложить обоснование или рекомендовать тот или иной набор частот внешнего гармонического воздействия в методиках вибростимуляции. Они не могут служить фундаментом для разработки теорий костной адаптации и перестройки, поскольку не учитывают важнейшее физиологическое свойство живых тканей - наличие жидких субстанций в разветвленной системе пор костных и мягких тканей, обеспечивающих передачу механического стимула активным клеткам, участвующим в формировании и поддержании структуры биологических тканей.

Объетчш исследования в работе являются новые математические модели живых биологических тканей и биомеханических структур как эффективной сплошной среды со сложной внутренней структурой и дополнительными степенями свободы в точках континуума. Предметом исследования диссертации являются колебательные механические процессы, связанные с функционированием биологических тканей опорно-двигательного аппарата человека. В работе с математической точки зрения изучаются вибрационные резонансные явления основных элементов опорно-двигательного аппарата, образованных твердыми и мягкими тканями, как биомеханических структур, описываемых уравнениями механики сплошных гетерогенных сред. Особое внимание уделяется закономерностям движения физиологических жидкостей в распределенных системах пор и микрососудов тканей и их взаимосвязи с резонансными режимами колебаний структур опорно-двигательного аппарата.

Цели исследования:

1. Получить и исследовать теоретические соотношения, описывающие динамическое напряженно-деформированное состояние пористой среды, на-

сьнценной жидкостью; разработать численные алгоритмы и программное обеспечение дпя решения задач пороупругости.

2. Разработать новые математические модели биологических тканей и органов опорно-двигательного аппарата человека на основе полученных уравнений пороупругости; провести оценку эффективных свойств тканей.

3. Выявить взаимосвязи между динамическими свойствами основных биомеханических структур опорно-двигательного аппарата нижней конечности человека и характеристиками движения внутритканевой жидкости; представить теоретическое обоснование методов вибрационной диагностики и поддержания состояния длинных трубчатых костей при остеопорозе.

Научная гипотеза. В основу исследования закладывается гипотеза о том, что динамические свойства различных по своей природе, морфологии и условиям функционирования в организме биологических структур опорно-двигательного аппарата человека могут быть описаны в рамках единого математического подхода. Предполагается, что разработанные модели твердых и мягких тканей биологических структур могут быть основаны на единых базовых уравнениях механики гетерогенных сплошных сред, в то время как различие в их динамическом поведении обусловлено вариациями физико-механических характеристик. Выдвигается также гипотеза, что механическое периодическое воздействие на определенных резонансных частотах и формах колебаний исследуемых биомеханических структур может интенсифицировать относительное движение внутритканевой жидкости в системе пор, что может служить подтверждением эффективного влияния механического стимула на процессы роста живых тканей и обоснованием выбора оптимальных параметров вибрационного стимулирования поврежденных органов.

Исходя из целей и гипотезы, формулируются задачи исследования:

1. Обобщить и систематизировать частные подходы к формулировке динамической задачи, описывающей движение пористых упругих тел, насыщенных жидкостью, как сплошных сред с дополнительными степенями свободы.

2. Получить новые системы связанных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающие вынужденные гармонические колебания пористых упругих конструкций, насыщенных жидкостью, на основе общих уравнений механики гетерогенных анизотропных сплошных сред.

3. Разработать трехмерный алгоритм метода конечных элементов и универсальную компьютерную программу для численного анализа связанных гармонических колебаний пороупругого тела в анизотропной постановке.

4. Разработать алгоритм и программный модуль расчета эффективных упругих и гидростатических характеристик насыщенного жидкостью пористого упругого тела, предназначенного для математического моделирования биологических тканей опорно-двигательного аппарата.

5. Разработать математические модели твердых и мягких тканей опорно-двигательного аппарата человека на основе единого подхода к описанию биологических тканей и структур как пороупругой сплошной среды.

6. Путем проведения серии вычислительных экспериментов проанализировать резонансные свойства разработанных моделей биологических структур при вариации физико-механических параметров тканей и изучить распределение давления и вибрационных потоков жидкости в порах на резонансных формах колебаний исследуемых биологических структур.

7. Методами имитационного моделирования и вибрационной диагностики исследовать динамические характеристики вынужденных колебаний биомеханических структур опорно-двигательного аппарата голени человека.

Методологические основы исследования представлены теорией деформируемых гетерогенных сред и концепцией современной биомеханики тканей, согласно которой многие биологические ткани могут быть математически представлены в виде двухфазного упругого материала, насыщенного жидкостью. Для расчета эффективных тензоров упругих и гидростатических констант сплошной среды используются математические методы теории композитных материалов.

Используемый в диссертации системный подход позволяет в общем математическом виде описать динамические явления, наблюдаемые в вибрационных экспериментах, как для твердых биологических структур, так и для мягких тканей, провести анализ внутренних взаимосвязей объекта как целостного образования, состоящего из связанных друг с другом элементов.

Проведенное исследование опирается на теорию приближенного анализа, методы взвешенных невязок и конечных элементов, на современные технологии разработки эффективного программного обеспечения. В качестве основных средств получения нового научного результата выступают вычислительный эксперимент и имитационное моделирование, проводимые на основе разработанных математических моделей биологических тканей и биомеханических структур с применением разработанных программных средств.

Достоверность результатов достигнута посредством применения общепризнанных теорий и фундаментальных положений и подтверждается соот-

ветствием аналитических, численных и экспериментальных данных, а также согласуется с опубликованными материалами других исследований.

Положения, выносимые на защиту:

1. Теоретические положения в виде связанных динамических уравнений механики гетерогенных анизотропных сплошных сред, описывающих движение пористых упругих тел, насыщенных вязкой сжимаемой жидкостью, и уравнений вынужденных колебаний пороупругой анизотропной сплошной среды под действием гармонической силы.

2. Математические модели основных биологических тканей и численные конечно-элементные модели структур опорно-двигательного аппарата человека в виде сплошных сред со сложными внутренними свойствами, описываемые связанной системой уравнений эффективной пороупругости.

3. Математический алгоритм расчета эффективных упругих и гидростатических модулей пороупругого анизотропного материала и рассчитанные числовые значения пороупругих характеристик биологических тканей в случае принятия модели трзнсверсально-изотропной сплошной среды.

4. Теоретические следствия из разработанных общих уравнений колебаний пороупругой среды в виде одномерных дифференциальных уравнений; аналитические решения полученных уравнений, описывающие продольные и поперечные колебания стержневой модели пороупругого тела.

5. Алгоритм метода конечных элементов, позволяющий рассчитывать динамическое напряженно-деформированное состояние пороупругого тела, давление и потоки жидкости в порах под действием внешних сил, изменяющихся по гармоническому закону, и комплекс программ для анализа колебаний пространственных биомеханических структур и механических конструкций, образованных пористыми материалами, насыщенными жидкостью.

6. Система имитационного моделирования вынужденных колебаний элементов опорно-двигательного аппарата голени человека и обнаруженные в результате компьютерного моделирования динамические свойства биомеханических структур (формы колебаний, резонансные частоты) и закономерности движения внутритканевой жидкости в системе пор костного вещества.

7. Метод проверки адекватности разработанных динамических моделей биологических тканей на основе данных натурного вибрационного эксперимента и алгоритм интерпретации результатов измерений вибрационных свойств твердых тканей голени в естественных физиологических условиях с помощью решения задачи о вынужденных колебаниях вязкоупругого тела.

Новизна исследования:

1. Динамические уравнения связанной линейной задачи пороупругости в переменных «перемещение скелетона - давление жидкости» («и-р») и связанные уравнения вынужденных гармонических колебаний пороупругого тела в «и-р» переменных получены в тензорном виде для анизотропной модели эффективной среды и одновременно учитывают силовое, физическое (в определяющих соотношениях) и инерционное взаимодействие твердой и жидкой фаз.

2. Полученные в тензорном виде динамические уравнения связанной линейной задачи пороупругости в переменных «перемещение скелетона — перемещение жидкости» («и-ш») и связанные уравнения вынужденных гармонических колебаний пороупругого тела в «и-\у» переменных отличаются тем, что записаны для анизотропной модели эффективной среды и одновременно учитывают силовое, физическое, инерционное взаимодействие фаз и собственную вязкость материалов твердой и жидкой фаз.

3. Разработанный единый математический метод моделирования динамики и вынужденных колебаний гетерогенных материалов, обладающих связанными системами пор, учитывает анизотропию упругих и гидростатических свойств эффективной пороупругой среды и основные виды взаимодействия фаз.

4. Математические модели твердых и мягких биологических тканей, образующих костные и мышечные структуры опорно-двигательного аппарата человека, как пороупругих сред, насыщенных жидкостью, имеют отличия от известных моделей в части более точного описания динамических свойств за счет учета инерционного взаимодействия фаз и вязкости, учета анизотропии эффективной среды в «и-р» переменных; точнее описывают резонансные режимы колебаний структур и микроперемещений внутритканевой жидкости.

5. На основе представленного алгоритма расчета эффективных модулей анизотропной пороупругой среды при произвольной пористости разработан теоретический метод исследования механических свойств биологических тканей и впервые проведена количественная оценка пороупругих модулей изучаемых тканей в широком диапазоне значений пористости в предположении модели трансверсально-изотропной среды. Алгоритм имеет новую возможность пересчета характеристик среды в недренированном состоянии в соответствующие «дренированные» параметры, что требуется для «и-р» формулировки.

6. Одномерные дифференциальные уравнения, описывающие продольные и поперечные колебания пороупругого стержня, выведены из построенных динамических уравнений связанной линейной задачи пороупругости в «и-р»

переменных и более полно, чем известные аналоги, учитывают силовое, физическое и инерционное взаимодействие фаз. Выявленные в результате параметрического анализа полученных численно-аналитических решений характерные динамические свойства пороупругих систем и закономерности движения жидкости в порах в различных частотных диапазонах отсутствуют в литературе.

7. Разработанные вычислительные алгоритмы решения поставленных краевых задач пороупругости в «и-р» и «и-\у» переменных реализуют трехмерный метод конечных элементов на основе общего подхода взвешенных невязок и отличаются тем, что рассматривают модель анизотропной среды, учитывают вязкость и перечисленные виды взаимодействия фаз.

8. Разработан проблемно-ориентированный комплекс МесЬашсзРЕ® для расчета динамического напряженно-деформированного состояния пороупругой среды под действием внешних гармонических сил, позволяющий исследовать специфические задачи, не имеющие реализации в универсальных коммерческих программах. По сравнению с моделями пористых сред, включенными в другие программы, разработанный алгоритм учитывает инерционное, силовое и физическое взаимодействие фаз и собственную вязкость материала. Численная реализация основана на «и-р» формулировке задачи поровязкоупругости, что позволяет значительно уменьшить число неизвестных при расчете вынужденных колебаний. Результирующая система уравнений, записанная в комплексных переменных, решается с учетом разреженности и симметрии глобальной матрицы.

9. На основе математических моделей тканей и комплекса проблемно-ориентированных программ МесЬашсзРЕ® впервые разработана система имитационного моделирования вынужденных колебаний биомеханических структур опорно-двигательного аппарата и вибрационных микроперемещений внутритканевой жидкости в порах биологических тканей. С помощью вычислительного и натурного экспериментов определены резонансные частоты, формы колебаний, амплитудно-частотные характеристики основных элементов биологических макроструктур опорно-двигательного аппарата голени человека как отдельных объектов, так и в реальных условиях единой динамической системы.

10. Решенные биомедицинские задачи раскрывают механизмы динамического взаимодействия внутритканевой жидкости и упругого скелетона тканей, впервые дают количественную оценку пространственного распределения давления и микроперемещений внутритканевой жидкости на резонансных формах колебаний, впервые представляют теоретические обоснования гипотезы положительного влияния вибрационного воздействия на процесс

адаптации костной ткани и возможностей метода вибрационной диагностики остеопороза твердых тканей опорно-двигательного аппарата человека.

11. Разработанный метод проверки адекватности численных моделей с помощью эксперимента на затухающие колебания отличается от существующих подходов тем, что математический алгоритм интерпретации измерений позволяет на основе предложенной целевой функции найти собственные частоты, параметры диссипации и оценить формы колебаний объекта.

Теоретическая значимость исследования состоит в разработке единого научного и методологического подхода к описанию динамического напряженно-деформированного состояния твердых и мягких тканей биологических макроструктур как многофазных сплошных сред; в обнаружении и всестороннем анализе вибрационных свойств биомеханических структур и потоков внутритканевой жидкости в системе пор биологических тканей.

Практическая ценность результатов заключается в возможности научного обоснования разрабатываемых вибрационных методик диагностики и стимуляции поврежденных элементов опорно-двигательного аппарата человека; в выработке рекомендаций по числовым значениям амплитуд, частот и области приложения задаваемых внешних воздействий. Результаты работы могут быть применены в современных медицинских технологиях к различным структурным элементам опорно-двигательного аппарата человека для разработки искусственных заменителей костной ткани (эндопротезов суставов и пористых биодеградирующих имплантатов), а также использованы при разработке антропоморфных шагающих механизмов.

Исследование находится в русле приоритетного направления развития науки, технологии и техники РФ - живые системы, и вносит вклад в развитие критических биомедицинских технологий жизнеобеспечения человека, биоинженерии, технологий создания биосовместимых материалов.

Апробация результатов. Основные результаты работы были представлены на следующих всероссийских и международных научных форумах: Все-рос. конференции, приуроченной к 20-лет. ИПРИМ РАН «Механика и наноме-ханика структурно-сложных и гетерогенных сред» (Москва, 2009); 1У-Х Все-рос. конференции по биомеханике (Нижний Новгород, 1998-2008, Саратов, 2010); 3-й Всерос. НТК «Фундаментальные исследования в технических университетах» (С.-Петербург, 1999); ХХХ-ХХХ1 Неделе науки СПбГТУ (С.Петербург, 2001, 2002); Ш-ГУ МНТК «Физика и радиоэлектроника в медицине и биотехнологии» (Владимир, 1998, 2000); Межд. школе-семинаре «Математи-

ческое моделирование и биомеханика в современном университете» (Ростов-на-Дону, 2005, 2009); VI Съезде травматологов и ортопедов России (Нижний Новгород, 1997); Конгрессе травматологов-ортопедов России «Новые имплантаты и технологии в травматологии и ортопедии» (Ярославль, 1999); IX-XV МНТК «Бенардосовские чтения» (Иваново, 1999-2009); II Int. Conference on Tools for Mathematical Modelling (St.-Petersburg, 1999); III-VI Int. Workshop on Nondestructive Testing and Computer Simulations in Science and Engineering (St.-Petersburg, 1999-2002); 15th World Conference on Non-Destructive Testing (Roma, 2000); 13th Conference of European Society of Biomechanics (Wroslav, 2002); 12th Int. Conference on Mechanics in Medicine and Biology (Lemnos, 2002); XXIXème Congrès de la Société de Biomécanique (Paris, 2004) и др.

Разработанные модели биологических тканей и результаты исследования динамических свойств биомеханических систем докладывались на научных семинарах кафедр общей физики, механики и процессов управления, биомеханики и валеологии (СПбГПУ), теоретической и прикладной механики (ИГЭУ), травматологии, ортопедии и ВПХ (ИГМА), Института проблем машиноведения РАН. Во время зарубежных стажировок на рабочих совещаниях в институте передовых технологий и центре мехатроники компании Самсунг Электронике (Южная Корея), в лаборатории прикладной механики Национального центра научных исследований (LMARC CNRS, Франция) обсуждались особенности конечно-элементного моделирования динамики человека и антропоморфных механизмов, новые модели эндопротезов тазобедренного сустава.

Внедрение результатов исследования. Выявленные закономерности динамического поведения биомеханических структур использованы при разработке средств вибрационной диагностики ахиллова сухожилия и трехглавой мышцы голени, стабильности остеосинтеза большеберцовой кости, выполненных в соответствии с планами госбюджетных НИР ИГЭУ по единому заказ-наряду Минобрнауки РФ (1997-2010) на фундаментальные научные исследования в НИЛ «Биомеханика» (ИГЭУ-ИГМА-ИвГУ). Практические выводы и рекомендации из проведенных теоретических исследований отражены в отчетах: Разработка теоретических основ методов вибрационной диагностики, лечения и реабилитации состояния биомеханических объектов / Отчет по НИР, рук. Шапин В.И., РИ № 01.2001.03153; Диагностические методы идентификации, вибродиагностики и частотно-резонансной терапии биомеханических объектов / Отчет по НИР, рук. Шапин В.И., РИ № 02.2006.09975, и в рамках

текущей НИР «Разработка вибрационных резонансных методов диагностики, идентификации и реабилитации биомеханических объектов», РИ № 1.2.06.

В конкурсе «Молодые ученые - малому предпринимательству», проводимому Фондом поддержки малого предпринимательства, в 2001 г. получена поддержка проекта «Компьютерное моделирование конструкции эндопротеза тазобедренного сустава». Методы и принципы компьютерного моделирования гетерогенных материалов и биомеханических структур использованы при разработке ножек эндопротезов тазобедренного сустава из композитных полимерных и пористых титановых материалов в рамках совместного проекта с группой исследователей лаборатории прикладной механики (LMARC CNRS, Франция). Закономерности движения человека, данные о динамических свойствах тканей и биомеханических структур голени человека, принципы конечно-элементного анализа динамики упругих сред применены при разработке опорно-двигательного механизма шагающего робота в центре мехатроники компании Самсунг Электронике (US Patent 7303031; 7650203).

Работа соискателя «Теория колебаний биомеханических струюур как пористых насыщенных жидкостью сред» представлена в Сводный реестр Федерального агентства по образованию как наиболее значимый результат научных исследований, полученных работниками вуза (ИГЭУ) в 2009 году. В 2009 году на основе результатов многолетних исследований и достижений соискателя в ИГЭУ создан НОЦ моделирования и диагностики структурно-сложных сред и систем. Материалы диссертации и разработанное программное обеспечение внедрены в авторский учебный курс «Численные методы механики» (ИГЭУ), использованы при чтении лекций «Computational Biomechanics» в Высшей национальной школе механики и микротехники (ENSMM, Франция).

Разработанное программное обеспечение зарегистрировано в Российском агентстве по патентам и товарным знакам (Роспатент) и получено авторское свидетельство №2009616004 «Программная система конечно-элементного анализа пороупругих механических конструкций MechanicsFE».

Публикации по теме исследования. По материалам диссертации опубликовано 63 печатные работы, в том числе монография, 20 статей в ведущих рецензируемых журналах согласно Перечню ВАК Минобрнауки РФ, 4 авторских свидетельства, 16 статей в сборниках и материалах конференций.

Структура работы. Диссертации состоит из введения, шести глав, заключения, библиографического списка из 264 наименований и приложения. Основной текст включает 317 страниц, 46 рисунков и 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении на основании проведенного анализа литературных источников обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, указаны научная новизна, теоретическая и практическая значимость результатов работы.

В первой главе рассматриваются основные положения теории пороуп-ругости применительно к решению сформулированной проблемы математического моделирования вынужденных колебаний биологических тканей, насыщенных жидкостью. Пороупругая сплошная среда является моделью гетерогенного материала, одна из фаз которого представляет собой упругую пористую матрицу, или скелетон, а вторая - жидкость или газ, заполняющие систему пор. Определяющие соотношения и дифференциальные уравнения, описывающие малые упругие перемещения эффективной двухфазной среды, были сформулированы Био на основе феноменологического подхода и впоследствии получили обобщение в работах Нигматулина.

Для описания деформирования тканей, представленных компактным и губчатым веществом кости, соединительной и мышечной тканью, используются определяющие соотношения двухфазного материала, записанные относительно осредненных по представительному элементу среды перемещений твердой и и жидкой и фаз:

о(1)(и,и) = С-е(и)+д©(и), /2)(и,и)=С>--£(и)+Й0(и), (1)

где =Е--в^/з - осредненные по всему объему представительного

элемента тензор и шаровая часть тензора напряжений в материале каждой фазы; е , 0 - тензор деформаций и объемная деформация твердой и жидкой фазы; С - тензор упругих модулей твердой фазы; О - тензор коэффициентов взаимности, определяющих влияние деформаций одной из фаз на возникающие напряжения в другой фазе; Я - гидростатическая константа, имеющая смысл модуля объемного сжатия жидкой фазы; Е - единичный тензор.

В предположении упругой модели твердой фазы и модели идеальной сжимаемой жидкости фазовые уравнения преобразуются в определяющие соотношения пороупругой среды в «и-р» переменных (перемещение упругого каркаса - давление поровой жидкости). Кинематической переменной жидкой фазы является вектор относительного перемещения № = - и) или дивергенция этого вектора £ = -V • уу , имеющая физический смысл относи-

тельного изменения объемного содержания жидкости в порах. Для случая анизотропии упругих и гидростатических свойств уравнения примут вид

в(и,/7) = я(/г(ц)-Ар = С</г--Е(и)-Ар, ^(и,р) = А--г(и)+фг11~Хр, (2) где с - полный тензор напряжений; - тензор напряжений в точках твердой фазы, вызываемый только упругими деформациями; - тензор упругих модулей среды в дренированном состоянии; А - тензор коэффициентов эффективных напряжений Био; р - давление поровой жидкости.

В результате перехода к новым переменным возникают эффективные материальные константы, представленные тензором упругих модулей в дренированном состоянии и тензором коэффициентов Био:

С¡¡г = С - СЮ/Г1, А = ^(Е + СНГ1). (3)

Уравнения движения эффективной среды могут быть получены из уравнений баланса количества движения, записанных для каждой фазы, с учетом силового и инерционного взаимодействия между фазами:

+ К = + У-«(2)+фТ1-Ъ = рпЬ + р2г1}, (4)

где - плотности объемных сил, действующих в твердой и жидкой фазах; И - сила межфазного взаимодействия; Рц=(1~ Ф)р3 ~~ Р\г • Р\2 = {1-т)фр^, Р22 = тфру — частичные фазовые плотности, выражаемые через истинные плотности упругой матрицы р5 и заполняющего поры флюида р у, пористость ф и параметр искривленности поровых каналов т.

Сила И для схемы Рахматулина силового взаимодействия и совместного деформирования фаз складывается из равновесной и диссипативной составляющих:

И = Н„+К<Й1=-;Л^+В.*, (5)

где В - тензор коэффициентов вязкого трения, выражаемый через тензор проницаемости и вязкость жидкости: В = ф2К~\ К = кД?/ •

С учетом выражения тензора напряжений в идеальной сжимаемой жидкости и соотношения (5) уравнения (4) примут вид

У-а(и,р)+Гу=ри + р^\у, -Ур + Ту =руй + тф~1р/-\у + фК~1 (6)

где {у - полная объемная сила; р - полная плотность среды.

Динамические уравнения (6) содержат дополнительную переменную \у, которая выражается с помощью комплексного преобразования Лапласа:

.пу = -К (*) - + /у .у 2й - Гу ), где = + -5К - приведенная

.пу =

комплексная гидравличе-

екая проницаемость пористой среды.

Окончательная система уравнений примет вид краевой задачи относительно изображений искомых функций и и р :

При замене параметра Лапласа на комплексное выражение 8 = 10) получим уравнения вынужденных колебаний пороупругой среды под действием силы, изменяющейся по гармоническому закону. Записанная система дифференциальных уравнений и сформулированная на их основе краевая задачи пороупругости, описывающая установившиеся гармонические колебания пороупругого анизотропного тела, учитывают все основные виды межфазного взаимодействия (силовой, физический и инерционный), что отличает их от других известных в литературе соотношений.

Вторая глава посвящена разработке новых моделей пороупругих сред с усложненными свойствами. Первым рассматривается вопрос возможности учета собственной вязкости материала, что представляется необходимым для анализа резонансных процессов в биомеханических структурах, демонстрирующих высокую степень диссипации при динамических нагрузках.

Рассмотрим модифицированные определяющие соотношения двухфазного материала в следующем виде:

условная вязкость материала твердой и жидкой фаз, введенная аналогично определению частичных плотностей гетерогенного материала; ё^ = ё, ¿у -

девиаторы тензоров скоростей деформаций твердой и жидкой фаз.

£(1)(и, и) = С • -£(и)+ <2©(и)+ (и), £(2)(и, и) = Е<2 • -£(и)+ ЕД0(и)+ г^ё^и),

(9)

где - тензоры условных напряжений в твердой и жидкой фазах,

включающие упругие и вязкие составляющие; 77^ = (1 - фУ)3, г/2-* -

Формулы (9) учитывают собственные диссипативные свойства, обусловленные вязкостью материала фаз, в то время как взаимное влияние фаз друг на друга, осуществляемое на границе раздела материалов за счет сил вязкого трения, учитывается в уравнениях баланса количества движения. Показано, что при использовании модели вязкоупругого материала (9) могут быть составлены определяющие соотношения эффективной среды с шестью степенями свободы относительно векторов и и w, с новыми материальными константами, описывающими среду в недренированном состоянии: E(u, w) = Cud • e(u)+ 2щ{»)~ Zf(w)+ г^ёДуу),

Е/(u, w)= -p(u, w)E + 2t]^_1er(w)+ 2i] у ё(и), (Ш)

где Е, Еу - полный тензор эффективных напряжений в точке сплошной среды и тензор напряжений в жидкости; Cud =C + EQ + QE + 7?EE - тензор упругих модулей пористой среды в недренированном состоянии; jj - полная вязкость среды; Z = (Q + RE) - тензор эффективных гидростатических модулей жидкости; ег - девиатор тензора скоростей деформаций жидкости.

Давление жидкости в порах входит во второе определяющее соотношение системы (10) и выражается через перемещения скелетона и флюида:

p(u,w)=^~V(w)-Z--£(u). (11)

В результате преобразований уравнений баланса количества движения сформулирована гиперболическая краевая задача пороупругости в «и-w» переменных, включающая в себя диссипативные слагаемые, пропорциональные вязкости жидкости и полной вязкости двухфазного материала: -/ju+V-(27«(u»+V-(C^ -c(u))-/p/vv+V.(27/er(w))+V.(ZV.w)+fK =0,

- тф~1рfiv - К"1 • w + V • (2^~V/er(w))+ v(flfT2V ■ w)- (12)

- pfii + V • (27ye(u)}f V(Z • s(u)) +tf=0.

Дифференциальные уравнения (12) являются основными расчетными соотношениями для решения динамической задачи пороупругости в «u-w» переменных. Согласно общей постановке задачи механики сплошной среды краевые условия представляют собой кинематические ограничения на степени свободы и заданные распределенные силы на частях поверхности:

и(х,г) =и* (*,/), xeSu, t(x,t)=fs(x,t\ xeSt,

w(x,/)= w*(x,t), x<eSw, tf(x,t)~t*f(x,t), xeSf.

Для описания естественных и искусственных материалов, обладающих сложной структурой поровых каналов, разработана модель пороупругой среды с двойной связанной системой пор, характеризуемой значениями пористости фь. Математическая модель среды предполагает, что в каждой материальной точке существуют два вектора перемещения ид, соответствующие двум компонентам жидкой фазы. Принимая модель идеальной сжимаемой жидкости (а^Р = ), запишем фазовые определяющие соотношения:

42>(и*>ил)=(2ь--Е(и*)+Лк®кЫ+Хь!®п(и/п} к,п = 1,2, к*п, где введенные материальные константы и как и в случае простой системы пор, имеют смысл коэффициентов межфазного взаимодействия, а модули - Кпк характеризуют взаимодействие между компонентами жидкости, находящимися в разных поровых системах.

В результате применения разработанного математического аппарата получены определяющие соотношения эффективной среды с пятью степенями свободы. Им соответствуют три компоненты вектора перемещений скелетона и два давления жидкости рк в системах пор в случае смешанной формулировки задачи пороупругости или две кинематические переменные Ск. равные изменению объемного содержания жидкости в каждой из систем пор: ® = Сс1г ■ ~ А1/>1 - МР2»

¿;к = Кк..г5 + Ф1Рк+ЩРп, ¿,„ = 1,2, к*п, (15)

где С ¿г, А ¡с - тензоры упругих модулей эффективной среды в дренированном состоянии и коэффициентов эффективных напряжений Био аналогично определениям (3) для случая простой пористости

Лг Т*---Р---7*-Е + ТТ+рг • (16)

К1 К2 к12 кк "\2 /

Приведенные гидростатические константы и Л*2 = ^21 выражаются через исходные характеристики по формулам, указанным в диссертации.

С помощью уравнения Лагранжа для единичного объема гетерогенного материала и выражений объемной плотности кинетической энергии и дисси-пативной функции двухфазной двухкомпонентной среды записаны связан-

ные уравнения динамики фаз и компонент. Материальными константами служат частичные плотности материала и коэффициенты вязкого трения, описывающие взаимодействие жидкости со стенками поровых каналов и эффект просачивания жидкости между системами пор. Путем перехода к векторам относительных перемещений жидкой фазы и преобразования частичных плотностей материала к плотностям материала фаз получена система динамических уравнений, описывающая движение среды с двойной системой пор:

Кз''(фпФк1*р. ~)+Гд = (п)

= к,п = 1,2, к*п,

где К^ - тензоры гидравлической проницаемости двух систем пор гетерогенного материала, а К3 характеризует просачиваемость жидкости между поровыми системами; т^ - искривленности поровых каналов.

Система (17) представляет собой обобщение уравнений (6) на случай гетерогенного материала, имеющего связанные системы пор. Решение полученных уравнений в переменных «перемещения - давление» возможно, как и ранее, в двух случаях: а) если пренебречь ускорением жидкости в порах; б) с помощью в комплексного преобразования Лапласа. В последнем случае после ряда преобразований краевая задача относительно изображений искомых функций сформулирована в следующем виде:

V • о* - *2 [рЕ - Р/(?! + Г2)]-п, - (А1 - Г0- Ур1 - (А2 - Г2). Ур2 + ТГ = 0,

(18)

где новые комплексные тензоры Ккп и характеризуют динамическую проницаемость пороупругой среды и инерционное взаимодействие фаз и выражаются через исходные действительные характеристики по формулам, приведенным в основном тексте диссертации.

При общем известном подходе к рассмотрению материалов с микро- и макропорами полученные уравнения обладают большей степенью обобщения, чем встречающиеся в литературе. Разработанные математические модели (12) и (18) могут быть использованы для анализа динамического напряженно-деформированного состояния пороупругих биомеханических систем,

распределения давления и вынужденных потоков физиологической жидкости в порах биологических тканей при условии определения значений феноменологических коэффициентов, входящих в данные уравнения.

Третья глава посвящена теоретическому анализу эффективных модулей биологических тканей как анизотропных пороупругих сред.

Для определения эффективных материальных характеристик пороупру-гой среды и А (или Си(1 й Ъ) и К их явные выражения через физико-механические характеристики отдельных фаз типа (3) не могут быть непосредственно использованы, поскольку сами эти характеристики не всегда известны, а их нахождение не менее сложно. Для решения данной задачи применен дифференциальный метод самосогласования, позволяющий определить эффективные упругие модули в случае большой пористости, и методы микромеханики для расчета коэффициентов эффективных напряжений Био и гидростатической константы. Разработанный алгоритм вычисления эффективных упругих модулей анизотропной двухфазной среды Сед- при произвольных значениях пористости описывается дифференциальным уравнением <1Се/г{ф) _се1Г{ф)--Щ) йф \-ф в котором выражение тензорной функции Т имеет вид

Щ=(се/г(ф)+А(ф)-8(ф))-1 А(ф), А(ф) = С,„с ~Сс//(ф), где в - тензор Эшелби, определяющий поле деформаций вокруг эллипсоидального включения в бесконечной упругой среде; С1пс - тензор упругих модулей материала включения.

Выражение тензора Эшелби для матрицы, описываемой моделью изотропного материала, хорошо известно в литературе. Однако в случае анизотропного материала матрицы вычисление тензора Эшелби представляет определенные трудности и для общего случая анизотропии матрицы на данный момент неизвестно. Тем не менее для частного случая анизотропии - транс-версально-изотропного тела, т.е. сплошной среды, обладающей свойством симметрии упругих свойств относительно поворота вокруг оси, выражение тензора Эшелби может быть получено и использовано в следующих главах для расчета эффективных модулей биологических тканей.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений (19) относительно компонент С^ дополнена начальным условием С(^-(о)=С4, со-

гласно которому при нулевой пористости эффективные характеристики среды равны упругим модулям матрицы материала.

Решение полученной системы дифференциальных уравнений для общего случая анизотропии аналитически не представляется возможным. Поэтому для нахождения компонент С^ разработана разностная схема численного интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка:

+ » = 1,2,... (20) 1 -ф

Заметим, что полученные выражения эффективного тензора упругости соответствуют пороупругой среде, находящейся в одном из двух предельных состояний. Предельные состояния среды следуют из условий

Сю с=0 ^ С<$-=С<1гу С,-лс-С/ «/• (21)

Отметим, что для композита, образованного двумя изотропными материалами, при изотропном пространственном распределении эллипсоидальных включений по направлениям, гомогенизированная сплошная среда остается изотропной и описывается двумя модулями упругости. Полученные выражения эффективных упругих модулей справедливы также для анизотропии общего вида и упорядоченного по ориентациям распределения неоднородно-стей. Эффективная среда при этом наследует анизотропию матрицы и пространственного распределения включений.

Для расчета тензора коэффициентов эффективных напряжений и гидростатической константы используется принцип суперпозиции, согласно которому напряженно-деформированное состояние упругого тела, возникающее в результате действия комплекса нагрузок, может быть представлено как суперпозиция полей напряжений и деформаций от отдельных нагрузок. В случае представительного элемента пористого материала, насыщенного жидкостью, полный тензор эффективных упругих напряжений (2) складывается из чисто упругой части, соответствующей деформированию твердого дренированного каркаса е , и гидростатической части, соответствующей давлению поровой жидкости р. Последовательно рассматривая дренированное состояние среды, характеризуемое тензором деформаций твердой фазы £/ и отсутствием давления жидкости в порах р1 - 0, и состояние II, которое возникает при отсутствии деформаций пористого каркаса £// = 0, заполненного жидкостью с давлением рц, в конечном итоге получаем формулы

А = ¡¡Ж • -(I - Б)-1, ^Л-^^ + Е-С^-^Е-А), (22)

где К £ — модуль объемного сжатия жидкости.

Формулы (18)—(22) реализованы в программном модуле, предназначенном для расчета материальных характеристик тканей, требуемых для динамического пороупругого анализа. Хотя данные методы в целом известны в литературе, новизной и достоинством данной части работы является то, что впервые разработан универсальный математический алгоритм и проведен численный анализ эффективных характеристик твердых и мягких биологических тканей как пороупругих сред при произвольных значениях пористости в случае принятия модели трансверсально-изотропного тела.

В качестве примера применения разработанного математического подхода приведены результаты расчета характеристик губчатого вещества, обладающего значительной пористостью (рис. 1). С увеличением пористости значения упругих модулей материала в дренированном состоянии уменьшаются, приближаясь к нулю при пористости, равной единице; коэффициенты эффективных напряжений Био и гидростатическая константа стремятся к своим максимальным значениям, соответственно равным единице и модулю объемного сжатия жидкости. В таблице 1 представлены характеристики некоторых тканей, полученные расчетным путем согласно разработанному алгоритму.

Рис. 1. Графики эффективных модулей губчатого костного вещества в дренированном состоянии среды: а - модули Юнга и сдвига; б - коэффициенты Пуассона; в -коэффициенты эффективных напряжений; г - гидростатическая константа

Таблица ]. Эффективные модули тканей, используемые в модели голени

Параметры Тип костного вещества

среды Компактное Губчатое Костномозговое

Ф 0.05 0.1 0.2 0.65 0.8 0.995

р, кг/м3 1494 1468 1416 1182 1021 1021

Е-(,1гК ГПа 14.3 12.2 10.7 1.55 0.415 1.36-10"4

£<<*■>, ГПа 22.3 21.1 13.1 3.73 0.513 1.36 Ю"4

ГПа 4.69 4.1 4.1 0.618 0.171 0.566-10"4

6.98 6.26 4.52 0.97 0.190 0.566-10-4

№ 0.424 0.408 0.301 0.253 0.217 0.20

0.270 0.224 0.266 0.139 0.191 0.20

«1 0.241 0.416 0.504 0.942 0.974 1.00

а3 0.211 0.367 0.435 0.893 0.970 1.00

Л,ГП а 0.089 0.185 0.390 1.420 1.750 2.29

к\, м2 1.47-Ю"20 1.47-Ю"20 7.9-10'16 1.6-10-" 3.2-10-' 2.1-10"7

¿з.м2 6.3610'" 6.3610" 1.110'" з.о-ю-'0 7.9-10-'° 6.3-10"6

V/, Па с МО'3 МО'3 37.5-10"3 37.5-10"3 37.5-10"3 37.5-10"3

В четвертой главе для анализа общих свойств пороупругих тел и тестирования комплекса программ рассмотрены теоретические следствия из разработанных уравнений. Применительно к биологическим тканям они могут служить упрощенными моделями длинных трубчатых костей скелета.

На основе физических допущений об одномерном напряженном состоянии сплошной среды пространственные уравнения (8) сведены к системам, описывающим продольные {и-Ыр) и поперечные (V-Мр) колебания.

Здесь приведены только уравнения изгибных колебаний стержня длиной Ь:

4 П2Х2ЬУ + П2Х2

1-

Р/Гх

¿У „ й2Мр —т-[ах - ух)-^- = <2у,

1 <12Мп . . ¿гу

а <142 р ¿$2

(23)

где V, Мр - комплексные безразмерные поперечные перемещения точек оси стержня и изгибающие моменты в сечениях стержня от давления жидкости; <2у - амплитуда поперечной нагрузки; О - координата и частотный параметр; ах,а — а х- 2уау-коэффициентыэффективньпснапряжений Био.

В (23) принято естественное условие отсутствия внешних объемных сил, действующих на точки жидкой фазы (fy s 0). Полученные одномерные

уравнения колебаний пороупругого стержня содержат все необходимые слагаемые, описывающие взаимодействие твердой и жидкой фаз гетерогенного материала с помощью безразмерных материальных констант:

Л фЧ 1 Ех ' ф2Ех- (24)

Коэффициент Хь характеризуют динамические и гидростатические свойства пороупругой конструкции, определяя значения собственных частот поперечных колебаний системы, коэффициент Хг обусловлен инерцией вращения сечения, а Л влияет на взаимосвязь уравнений. Показано, что не имеют математического отличия уравнения давления относительно эквивалентных продольных сил и моментов от давления в сечении. Отличие в уравнениях продольных и поперечных колебаний только в механической части, определяющей собственные значения основного дифференциального оператора.

Записанные уравнения получены из общих трехмерных уравнений линейной пороупругости и справедливы для стержневых систем, в которых принимаются во внимание поперечные деформации сечения стержня за счет эффекта Пуассона и инерция поворота поперечного сечения стержня. Для очень тонких стержневых систем, подчиняющихся гипотезам Эйлера-Бернулли, указанными деформациями и перемещениями можно пренебречь.

Особую роль в системе (23) играют комплексные частотно-зависимые коэффициенты а нух, имеющие следующий вид:

Они обусловливают инерционное взаимодействие твердой и жидкой фаз за счет параметра присоединенной массы, связанного с искривленностью поровых каналов. Важным частным случаем полученных уравнений продольных и поперечных колебаний стержневых систем является случай малых значений относительного ускорения жидкости в порах, что может иметь место при низких частотах возбуждающих сил или при определенных значениях физико-механических постоянных пороупругого материала (n/J¡ « 1). Тогда комплексные параметры (25) принимают простые значения: asi, ух s 0, и (23) сводится к уравнениям с действительными коэффициентами.

Построено общее решение уравнений (23) и проведен параметрический анализ частотных и диссипативных свойств пороупругой системы в зависимости от ключевых параметров ^ = Ха\, (р2= Хь, Р\> Рг- в известных публикациях уравнения движения пороупругого стержня представляются в значительно упрощенном виде, что позволяет говорить о представленных в диссертации системах уравнений колебаний как о новом результате.

В частности, показано, что область существования апериодического решения ограничена двумя КРИВЫМИ В ПЛОСКОСТИ (<р\,ф2).

Из диаграммы (рис. 2) следует, что в области изменения параметров существует особая точка, характеризуемая тем, что при любых значениях < 8 и <Р1 < 27 имеет место колебательное движение, и, наоборот, в заштрихованной области колебания отсутствуют. При вариациях (р\, происходит значительное изменение амплитудно-частотных характеристик системы (рис. 3). В высокочастотной области становится существенным влияние Д, связанных с инерционным взаимодействием фаз, и амплитуды перемещений и давления сильно возрастают.

е=о \/ <2<о

е>о к0=о

е>о

8 12 16 20 Щ

Рис. 2. Области существования гармонических колебаний: £?<0и£? = 0- колебания отсутствуют; () >0 - в системе возможны затухающие колебания

а)

II

1x10

б)

Рис. 3. Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) стержня при значениях параметров ^=1, (¡>1=21 (а) и ^=1, (»5=1 (б) и /?1=10"2, Рг=Шъ (—); /01=10"', /^=Ю"3 (---); Д=10-', [¡I =!0"2 (••■■)

Пятая глава диссертации посвящена разработке конечно-элементного алгоритма расчета колебаний пороупругого анизотропного тела.

На основе универсального математического подхода в виде метода взвешенных невязок построены вариационные уравнения, описывающие краевую задачу поровязкоупругости (12). Затем с помощью процедуры конечно-элементной дискретизации непрерывные интегральные соотношения преобразованы в алгебраические уравнения относительно глобальных векторов перемещений и давлений. Тем самым построены системы конечно-элементных уравнений динамики пороупругого тела в «и-\то> переменных:

Ат ¥(/)+ АуУ(г)+ А, ¥(/) = (26)

где Ат, А„, А5 - обобщающие глобальные матрицы масс, вязкости и жесткости эффективной сплошной среды с шестью степенями свободы; У - глобальный вектор узловых перемещений скелета и жидкости; Г - полный глобальный вектор узловых объемных и поверхностных сил.

Для моделирования вынужденных установившихся колебаний пороупругого тела считаем, что все внешние силы изменяются по гармоническому закону с частотой а. Тогда в предположении, что перемещения точек среды также подчинены гармоническому закону, из (26) следует уравнение

- 02АтУо + ;®А, У0 + А, У0 = Г0, (27)

где У0 - вектор амплитудных значений узловых перемещений.

В случае смешанной «и-р» формулировки задачи пороупругости (8) дискретная система содержит изображения искомых функций и параметр преобразования Лапласа. Если нагрузки являются произвольными функциями от времени, то для нахождения динамического отклика системы на силовое воздействие требуется использовать обратное преобразование Лапласа и специальные численные алгоритмы. Однако если внешние нагрузки изменяются по гармоническому закону, то отклик линейной системы также представляет собой гармонические во времени функции, а параметр преобразования Лапласа равен з~1со, что дает следующую систему матричных уравнений:

(к^ - <и2М - £(гсо))и - (н, + Н2(1'ю))р = % + ^,

- Ц + Н2 (т)У и + (- Б + ш_1с;(/ш))р = ,

где М- стандартные глобальные матрицы жесткости и массы; Ь - дополнительная глобальная матрица массы; Н1, Н2 - глобальные матрицы взаимного влияния распределения давления жидкости в порах и деформации

упругого скелетона; Б, С5 - глобальные матрицы насыщения и проницаемости; и, Р - глобальные векторы комплексных амплитудных значений перемещений и давлений в узлах конечно-элементной сетки.

Для разработки специализированного комплекса, позволяющего рассчитывать вынужденные пространственные колебания пористых упругих тел, насыщенных жидкостью или газом, были выбраны уравнения теории по-роупругости в «и-р» переменных. Данный выбор обоснован меньшим числом скалярных переменных; прямым соответствием динамических уравнений относительно изображений задаче о гармонических колебаниях пороупругого тела; перспективной возможностью расширения данной формулировки на пористые материалы с двойной системой пор.

Однако поскольку программа предназначена в первую очередь для анализа биологических тканей, проявляющих существенно диссипативные свойства, то для корректного численного решения в «и-р» формулировку включено слагаемое, учитывающее эффективную вязкость двухфазного материала. В результате первое уравнение системы (28) примет вид

(к^ - й>2М - £(/ю)+ /ют)и - (н, + Н2(ш))р = ¥у + Гу, (29)

где Т - глобальная матрица вязкости пороупругой среды, пропорциональная эффективной вязкости т] = ф)г]1 + фт]/= (1 - ф)Р5С + фцу.

Проблемно-ориентированный комплекс программ МесЬашсзП!® построен на основе современной методики, состоящей в функциональном разделении основных программных единиц на препроцессор, процессор и постпроцессор. Имеются про1раммы сопряжения с коммерческими комплексами АЫБУБ и МАТЪАВ. Входящие в МесИашсзРЕ® отдельные компоненты и система в целом прошли тестовые проверки и верификацию путем сравнения с аналитическими решениями, экспериментальными данными и результатами, полученными с помощью коммерческих универсальных систем.

В шестой главе диссертации демонстрируется применение разработанных моделей и программных средств к исследованию динамического напряженно-деформированного состояния биологических структур.

С помощью базы данных фотографических снимков поперечных сечений тела человека построена трехмерная реалистичная конечно-элементная модель голени (рис. 4). Модель включает в себя основные элементы опорно-двигательной системы голени, такие как берцовые большую и малую кости, ахиллово сухожилие, трехглавую мышцу, мышцы передней поверхности,

кожный покров. Использован пространственный изопараметрический конечный элемент с параболической интерполяцией геометрии и функций. Путем исследования сходимости тестового численного решения выбрана адекватная по точности сетка, состоящая из 3264 конечных элементов и 14238 узлов.

Рис. 4. Конечно-элементная модель голени человека: а - внешний вид; б - вид внутренних структурных частей голени: болыпеберцовой и малоберцовой кости, ахиллова сухожилия, трехглавой мышцы

Вначале был проведен анализ модели изолированной большеберцовой кости в диапазоне до 1200 Гц. Определены две основные изгибные формы колебаний преимущественно в двух взаимно перпендикулярных плоскостях при шарнирных граничных условиях. Эффективная вязкость каждого типа материала, включенного в модель кости, рассчитывалась в зависимости от условного коэффициента диссипации твердой фазы и использовалась в моделировании амплитудно- и фазочастотных характеристик. Оценка влияния диссипации на вынужденные колебания осуществлялась с помощью коэффициента демпфирования. Результаты имитационного моделирования большеберцовой кости по основной резонансной частоте и коэффициенту демпфирования дали хорошее соответствие с литературными данными.

Аналогично исследована модель мягких тканей голени в низкочастотном диапазоне, когда движением костных структур можно пренебречь. Результаты имитационного моделирования подтверждают значительную зависимость вибрационных характеристик от вязкости ткани. При малых значениях вязкости на графиках АЧХ наблюдается большое количество резонансных пиков, что характерно для высокодобротных объемных структур с низ-

ким модулем Юнга. При постепенном увеличении диссипации происходит значительное демпфирование вынужденных колебаний с падением амплитуды на высоких частотах, что соответствует характеру вязкого трения. Сравнение численных результатов с экспериментальными данными подтверждает соответствие упругих модулей и вязкости материалов компьютерной модели диапазону значений механических характеристик живых тканей.

Уточненные значения вязкоупругих характеристик тканей включены в полную модель голени, и исследованы колебания большеберцовой кости под действием поперечной силы, изменяющейся по гармоническому закону. Первые резонансные частоты, наблюдаемые на АЧХ (рис. 5), соответствуют основным изгибным формам большеберцовой кости преимущественно в двух физиологических плоскостях (рис. 6). При этом малоберцовая кость совершает синфазное или противофазное движение, а мягкие ткани вносят дополнительный вклад в пространственные формы колебаний полной модели голени.

-----п1 -п2

"ТУ л\

// у \\

,Л< "СУ

300 400 500 100 200 300

I Гц Гц

Рис. 5. АЧХ модели большеберцовой кости в системе тканей голени в сечениях 110 мм (л/), 212 мм (п2), 314 мм (пЗ) (МесЬмпсвРЕ®)

а)

б)

Рис. 6. Резонансные формы колебаний костных структур голени: а - синфазные (125 Гц); б - противофазные (305 Гц) (МесЬатсБРЕ®)

С помощью разработанного измерительного оборудования проведена дополнительная проверка модели путем сравнения рассчитанных резонансных частот и форм колебаний кости с собственными частотами и формами затухающих колебаний. Последние совместно с диссипативными характеристиками были определены в результате математической обработки затухающего сигнала, измеренного в трех точках поверхности голени, с помощью целевой функции, описывающей отклонение экспериментальных значений ускорений от приближенных решений:

где п5 - количество датчиков, положение которых заданно продольной координатой гг-; п( - число моментов времени в которые происходит реги-

¡к 1 к

страция сигнала; ах , ау - компоненты измеряемого сигнала.

Анализ результатов проведенного эксперимента достоверно подтверждает наличие трех основных частот колебаний диссипативной системы, лежащих в диапазоне расчетных значений резонансных частот. Полученный вид основных форм колебаний хорошо соответствует расчетным данным для модели со свободными граничными условиями.

В заключение были решены две модельные задачи, имеющие практическое биомедицинское приложение. Во-первых, была решена задача, моделирующая процесс вибрационной стимуляции костной ткани. Показано, что на резонансных режимах максимальных значений достигают как компоненты вектора перемещений, так и давление и компоненты вектора потока внутритканевой жидкости. Это особенно заметно на частоте 325...330 Гц в среднем сечении голени в точках вблизи фронтальной плоскости, что связано с расположением главной плоскости соответствующей формы колебаний.

Как следует из численного анализа, частотные зависимости потока существенно зависят от расположения исследуемой зоны компактного вещества как вдоль продольной оси, так и в плоскости самого сечения. При этом резонансные частоты могут существенно сдвигаться. Данный факт необходимо учитывать при разработке методов и устройств вибрационной стимуляции с тем, чтобы воздействие имело направленный и эффективный характер. Пример пространственного распределения амплитуд потоков, соответствующих основной форме на 330 Гц, в компактном веществе кости показан на рис. 7.

(30)

Вторая практическая задача моделирует динамические свойства боль-шеберцовой кости при увеличении пористости, что может быть использовано при разработке вибрационных методов диагностики остеопороза. Было выявлено, что увеличение пористости на 0.1 приводит к уменьшению массы кости примерно на 3.9 %. В результате расчета показано, что имеет место повышение амплитуд колебаний во всем диапазоне частот с максимальным возрастанием в зонах резонанса. Изменение амплитуды колебаний доходит до 20 %. Кроме этого имеет место снижение резонансных частот и повышение общего уровня диссипации в системе. Наиболее заметен данный эффект на старшей резонансной частоте 305 Гц, смещение которой составило около 10 %. Рассмотренные изменения динамических характеристик большеберцовой кости могут служить диагностическими признаками, позволяющими численно оценить развитие остеопороза в костной ткани.

а) б)

Дм,

Рис. 7. Распределение поперечной (а) и продольной составляющих амплитуд потоков внутритканевой жидкости в компактном веществе большеберцовой кости на резонансной частоте 330 Гц (МесЬапювРЕ®)

В заключении приведены основные выводы диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В ходе работы достигнуты следующие основополагающие результаты:

1. Развита теория эффективной пороупругости в части математического описания динамики и вынужденных колебаний пористых упругих структур, насыщенных жидкостью или газом, как анизотропной сплошной среды с дополнительными степенями свободы, характеризующими относительное движение флюида в порах гетерогенного материала. В общем тензорном виде получены системы дифференциальных уравнений динамики пороупругой

анизотропной среды в переменных «перемещение скелетона - давление жидкости» («и-р»), учитывающие основные виды взаимодействия фаз материала.

2. Получены новые уравнения, описывающие динамику пороупругой среды с учетом вязкости жидкой и твердой фаз гетерогенного материала, в переменных «перемещение скелетона - перемещение жидкости» («и-\у»). Установлена взаимосвязь между «и-р» и «и-\у» формулировками.

3. Разработан единый математический подход описания динамического напряженно-деформированного состояния структур из гетерогенных материалов, обладающих двойной связанной системой пор, заполненной флюидом. Получены новые уравнения, описывающие материалы с двойной системой пор в виде анизотропной сплошной среды со сложными внутренними свойствами и дополнительными степенями свободы.

4. На основе полученных уравнений динамики пороупругого тела и определяющих соотношений эффективной среды в «и-р» переменных разработаны математические модели основных твердых и мягких биологических тканей, образующих костные и мышечные структуры опорно-двигательного аппарата человека, как анизотропных сплошных сред с дополнительными степенями свободы, характеризующими движение внутритканевой жидкости.

5. На основе методов микромеханики и дифференциального метода самосогласования разработаны алгоритм и программный модуль для расчета эффективных характеристик пороупругой анизотропной среды в дренированном и недренированном состояниях при изменении пористости от нуля до единицы. Имеется возможность пересчета пороупругих характеристик среды в недренированном состоянии в соответствующие «дренированные» параметры, что требуется для формулировки задачи в «и-р» переменных. Теоретически рассчитаны эффективные материальные характеристики тканей на основе модели трансверсально-изотропного тела.

6. Получены теоретические следствия из построенных соотношений линейной пороупругости в виде уравнений, описывающих вынужденные продольные и поперечные колебания стержня под действием гармонической силы. Проведен подробный параметрический анализ новых уравнений динамики пороупругого стержня и установлены закономерности поведения пороупругих систем при варьировании ключевых параметров математической модели.

7. На основе общего метода взвешенных невязок разработаны конечно-элементные алгоритмы решения систем дифференциальных уравнений, описывающих вынужденные пространственные колебания пороупругого трех-

мерного тела под действием гармонической силы, в «u-р» и «u-w» переменных. Численный алгоритм решения задачи пороупругости в виде «u-р» формулировки реализован в авторском программном вычислительном комплексе MechanicsFE®. Комплекс имеет существенные отличия от известных коммерческих универсальных конечно-элементных комплексов, в которых либо отсутствует возможность пороупругого расчета, либо анализ ограничен квазистатическими задачами без учета вязкости, что не позволяет исследовать резонансные режимы колебательных процессов в пороупругих системах.

8. На основе построенных математических моделей биологических тканей и вычислительного комплекса MechanicsFE® разработана система имитационного моделирования в виде конечно-элементной модели голени человека, включающая большую и малую берцовые кости с внутренней структурой, окружающие мышцы, ахиллово сухожилие, соединительные ткани, кожный покров. Методом имитационного моделирования проведен анализ модели и уточнены значения вязкости тканей, образующих модель голени.

9. С помощью системы имитационного моделирования и вычислительного эксперимента рассмотрены актуальные биомедицинские проблемы вибрационной стимуляции и диагностики костных структур опорно-двигательного аппарата. Решенные задачи выявили новые закономерности в движении внутритканевой жидкости в системе пор костного вещества и взаимосвязь вибрационных потоков жидкости с динамическими характеристиками колебаний кости. Проведенное моделирование позволяет оценить влияние механического стимула на ростовые процессы, происходящие в живой костной ткани, и подтверждает гипотезу о биологической эффективности резонансных режимов колебаний.

10. Разработаны математический метод и алгоритм интерпретации результатов натурных экспериментов по колебаниям большеберцовой кости.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ

1. Маслов Л.Б. Математическое моделирование колебаний пороупругих систем [Текст]: монография/Л.Б. Маслов. - Иваново: Изд-воИГЭУ, 2010.-264 с.

2. Маслов Л.Б. Численное моделирование вибрационных потоков жидкости в системе пор большеберцовой кости [Текст] / Л.Б. Маслов, Д.Г. Арсеньев, A.B. Зинков-ский И Вестник С.-Петерб. ун-та Сер. 1. - 2009. - Вып. 3. - С. 119-126.

3. Маслов Л.Б. Численный анализ вынужденных колебаний пороупругой модели лопатки газовой турбины [Текст] / Л.Б. Маслов, И.А. Белов II Теплоэнергетика. - 2010. - № 8. - С. 49-53.

4. Маслов Л.Б. Пороупругая модель колебаний твердых биологических тканей при гармоническом воздействии [Текст] / Л.Б. Маслов // Вестник ИГЭУ. - 2009. - № 3. -С. 51-53.

5. Маслов Л.Б. Исследование резонансных свойств биологических объектов в нормальных физиологических условиях [Текст] / Л.Б. Маслов, И.А. Белов, A.A. Лебедева 11 Вестник ИГЭУ. - 2009. - № 3. - С. 32-34.

6. Арсеньев Д.Г. Эффективные упругие характеристики анизотропной модели пористого биологического материала, насыщенного жидкостью [Текст] / Д.Г. Арсеньев, A.B. Зинковский, Л.Б. Маслов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2008. - № 3(59).-С. 230-236.

7. Арсеньев Д.Г. Математическое моделирование вынужденных колебаний длинных трубчатых костей голени человека методами механики гетерогенных сред [Текст] / Д.Г. Арсеньев, A.B. Зинковский, Л.Б. Маслов// Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2008. - № 2 (54). - С. 273-280.

8. Маслов Л.Б. Разработка реалистичных моделей упругих элементов опорно-двигательного аппарата человека [Текст] / Л.Б. Маслов, H.A. Сабанеев 11 Вестник ИГЭУ. - 2008. - № 3. - С. 31-35.

9. Смирнов Д.С. Исследование резонансных свойств мягких упругих тканей голени методами вибрационной диагностики [Текст] / Д.С. Смирнов, Л.Б. Маслов, В.И. Шапин, H.A. Сабанеев // Вестник ИГЭУ. - 2006. - № 3. - С. 12-18.

10. Маслов Л.Б. Применение вибрационных неразрушающих методов диагностики в ортопедии [Текст] / Л.Б Маслов, В.И. Шапин, Д.С. Смирнов, С.Е. Львов, Е.В. Бле-скин // Российский журнал биомеханики. - 2006. - Том 10. - № 1. - С. 15-29.

11. Маслов Л.Б. Алгоритм численного анализа биологических тканей на основе модели двухфазной среды [Текст] / Л.Б Маслов 1/ Вестник ИГЭУ. - 2005. - № 3. - С. 62-70.

12. Маслов Л.Б. Применение теории Био к исследованию вынужденных колебаний пористых структур [Текст] / Л.Б. Маслов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2005. - Том 11. - № 2. - С. 276-297.

13. Зинковский A.B. Применение теории пороупругости к анализу колебаний биологических структур [Текст] / A.B. Зинковский, Л.Б. Маслов // Научно-технические ведомости СПбГПУ,-2005.-JVs 1(39).-С. 166-173.

14. Зинковский A.B., Резонансные свойства биологических тканей голени [Текст] / A.B. Зинковский, Л.Б. Маслов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2003. - № 4 (34).-С. 83-88.

15. Маслов Л.Б. Исследование собственных и вынужденных колебаний пороупру-гого тела [Текст] / Л.Б. Маслов // Вестник ИГЭУ. - 2003. - № 6. - С. 110-115.

16. Ликсонов Д.В. Оптимизация механических свойств бедренного компонента композитного эндопротеза тазобедренного сустава [Текст] / Д.В. Ликсонов, Л.Б. Маслов, Т. Баррьер, Н. Будо, Ж.К. Желен // Вестник ИГЭУ. - 2003. - № 1. - С. 98-101.

17. Маслов JI.Б. Резонансные свойства болыыеберцовой кости в неповрежденном состоянии и с устройствами внешней фиксации [Текст] / Л.Б. Маслов // Российский журнал биомеханики. - 2003. - Том 7. - № 2. - С.20-34.

18. Маслов Л.Б. Конечно-элементный программный комплекс "МЕХАНИКА" -приложение в инженерном деле и биомеханике [Текст] / Л.Б. Маслов, М.В. Козлов // Вестник ИГЭУ. - 2002. - № 2. - С. 23-28.

19. Maslov L.B. Vibromechanical diagnostic criteria for the achilles tendon acute tears [Текст] / L.B. Maslov, V.I. Shapin // Russian Journal of Biomechanics. - 2000. - № 4(1). -P. 62-70.

20. Маслов Л.Б. Применение численного моделирования для определения диагностических признаков свежего разрыва ахиллова сухожилия [Текст] / Л.Б. Маслов, С.В. Русских, В.И. Шапин, С.Е. Львов // Российский журнал биомеханики. - 1999. - № 2. -С. 88.

21. Maslov L.B. Computer simulation of the biomechanical system composed of tibia and external fixative apparatus [Текст] / L.B. Maslov, F. Gouriou // Acta of Bioengineering and Biomechanics. - 2002. - V. 4. - № Suppl. 1. - P. 759-760.

22. Программная система конечно-элементного анализа пороупругих механических конструкций MechanicsFE [Текст]: проф. ЭВМ 2009616004 Рос. Федерация У Маслов Л.Б.; заявитель и правообладатель Маслов Л.Б. - № 2009614823; заяв. 04.09.09; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 29.10.09; опубл. 20.03.10, RU ОБПБТ № 1(70). - 1 с.

23. Устройство для моделирования вибрационных резонансных характеристик при исследовании чрескостного осгеосинтеза болыпеберцовой кости в эксперименте [Текст]: полезн. модель 19361 Рос. Федерация / Блескин Е.В., Шапин В.И., Маслов Л.Б., Львов С.Е., Вихрев С.В.; заявитель и правообладатель Ив. гос. мед. академия. -№ 2001103342/20; заявл. 08.02.01; опубл. 27.08.01, Бюл. № 24. - 1 с.

24. Anthropomorphic robot [Текст]: patent 7303031 United States / Maslov L., Son Y., Kwak J.-Y.; appl. and assignee Samsung Electronics Co. - № 11/092747; filed 30.03.05; publ. 04.12.07.-20 p.

25. Foot structure for humanoid robot and robot with the same [Текст]: patent 7650203 United States / Maslov L., Son Y., Kwak J.-Y.; appl. and assignee Samsung Electronics Co. -№ 11/024815; filed 30.12.04; publ. 19.01.10.-22 p.

26. Маслов Л.Б. Конечно-элементное моделирование в биомеханике [Текст] / Л.Б. Маслов, В.А. Пальмов // Математические модели и компьютерное моделирование в биомеханике: учеб. пособие / под ред. А.В. Зинковского и В.А. Пальмова. - СПб.: Политехи, ун-т, 2004. - С. 299-324.

27. Маслов Л.Б. Биомеханические характеристики нижней конечности человека [Текст] / Л.Б. Маслов, Д.В. Ликсонов // Математические модели и компьютерное моделирование в биомеханике: учеб. пособие / под ред. А.В. Зинковского и В.А. Пальмова. - СПб.: Политехи, ун-т, 2004. - С. 385-438.

МАСЛОВ Леонид Борисович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЕЙ, НАСЫЩЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 23.09.2010. Формат 60x84 1/16. Печать плоская. Усл. печ. л. 2. Тираж 100 экз. Заказ № 124. ГОУ ВПО «Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина» 153003, Иваново, ул. Рабфаковская, 34.

Отпечатано в УИУНЛ ИГЭУ.

Введение

Глава 1. Основные уравнения теории анизотропной пороупругости

1.1. Математическая модель пороупругой среды

1.2. Кинематические переменные пороупругой среды

1.3. Силовые переменные пороупругой среды

1.4. Определяющие соотношения пористого упругого материала

1.5. Инерционные и диссипативные характеристики пороупругой среды

1.6. Уравнения движения среды в «и-р» переменных

1.7. Формулировка задачи о вынужденных колебаниях

1.8. Выводы к первой главе

Глава 2. Разработка новых моделей пороупругих сред с усложненными свойствами

2.1. Определяющие соотношения с учетом вязкости фаз

2.2. Уравнения-движения среды в «и-лу» переменных

2.3. Развитие модели Био на материалы с двойной системой пор

2.4. Модифицированные определяющие соотношения

2.5. Уравнения движения среды с двойной системой пор

2.6. Формулировка задачи пороупругости в «и-р» переменных

2.7. Выводы ко второй главе

Глава 3. Теоретический анализ эффективных характеристик пороупругой среды ЮЗ

3.1. Основные соотношения между упругими и гидравлическими модулями среды ЮЗ

3.2. Методы микромеханики для расчета эффективных упругих модулей гетерогенных материалов

3.3. Метод самосогласования для расчета тензора эффективных модулей пороупругой среды

3.4. Дифференциальная схема для случая большой пористости

3.5. Вычисление тензора Био методами микромеханики

3.6. Вычисление гидростатической константы методами микромеханики

3.7. Эффективные характеристики изотропного материала

3.8. Механические свойства биологических тканей как пороупругих

3.9. Выводы к третьей главе

Глава 4. Теоретические следствия из общих уравнений линейной пороупругости для одномерных моделей

4.1. Динамические уравнения растяжения пороупругого стержня

4.2. Динамические уравнения изгиба пороупругого стержня

4.3. Уравнения колебаний пороупругого стержня в безразмерном виде

4.4. Аналитические решения для стержня, закрепленного на торцах

4.5. Анализ собственных частот колебаний пороупругого стержня

4.6. Анализ вынужденных колебаний» пороупругого стержня

4.7. Выводы к четвертой главе

Глава 5. Конечно-элементный алгоритм расчета колебаний пороупругого анизотропного тела

5.1. Ослабленная формулировка задачи пороупругости в «и-р» переменных

5.2. Конечно-элементная дискретизация уравнений в «и-р» переменных

5.2.1. Матричная форма переменных и уравнений

5.2.2. Аппроксимация области и основных переменных задачи

5.2.3. Аппроксимация функций, зависящих от основных переменных

5.2.4. Конечно-элементная дискретизация уравнения движения среды

5.2.5. Конечно-элементная дискретизация уравнения давления

5.3. Конечно-элементные уравнения колебаний пороупругой среды

5.4. Конечно-элементная формулировка задачи в «u-w» переменных

5.4.1. Вариационная постановка динамической задачи пороупругосги

5.4.2. Конечно-элементная дискретизация вариационных уравнений

5.4.3. Конечно-элементные уравнения динамики среды

5.5. Описание программной системы конечно-элементного анализа пороупругих механических конструкций MechanicsFE

5.5.1. Формулировка динамической задачи пороупругости в «и-р» переменных с учетом вязкости твердой фазы

5.5.2. Краткая характеристика и особенности программной реализации комплекса MechanicsFE

5.6. Тестирование программного комплекса

5.6.1. Пространственная модель стержня из пороупругого материала

5.6.2. Расчет амплитудно-частотных характеристик стержня

5.6.3. Анализ вибрационных потоков при гармонических колебаниях

5.7. Выводы к пятой главе

Глава 6. Конечно-элементное моделирование колебаний биомеханических структур

6.1. Разработка компьютерной модели голени человека

6.2. Компьютерный анализ динамических свойств биомеханических структур голени человека

6.2.1. Частотные и диссипативные характеристики модели кости

6.2.2. Расчет частотных и диссипативных характеристик модели сухожильно-мышечного комплекса

6.3. Исследование динамических свойств биологических тканей в естественных физиологических условиях

6.3.1. Имитационное моделирование колебаний большеберцовой кости в окружении мягких тканей

6.3.2. Метод оценки динамических свойств по собственным колебаниям

6.3.3. Сравнение экспериментальных данных с результатами моделирования

6.4. Применение разработанных моделей для решения практических задач травматологии и ортопедии

6.4.1. Вибрационная стимуляция костной ткани в отсутствии достаточной физической нагрузки

6.4.2. Вибрационная диагностика состояния костной ткани при ос-теопорозе

6.5. Выводы к шестой главе

Повреждения и заболевания опорно-двигательного аппарата человека занимают одно из первых мест среди причин временной нетрудоспособности и длительной инвалидности. Катастрофическая потеря трудоспособности сопровождается огромными материальными затратами, что обуславливает необходимость принятия мер по совершенствованию методов лечения и реабилитации больных с данной патологией. Теоретические исследования колебаний биомеханических структур могут помочь в разработке эффективных и достоверных клинических методов оценки и восстановления функционального состояния спортсменов, пожилых и перенесших травмы людей [12, 69]. В соответствии с принципами неразрушающего контроля [31, 196] динамические свойства биомеханических систем рассматриваются в качестве средства количественной оценки жесткости органа в противоположность традиционным подходам, применяемым в практике лечения переломов костей и разрывов сухожилий [5, 15, 74, 87, 132]. Считается, что вибрационное воздействие на живые ткани может служить средством поддержания нормального уровня метаболизма в биологических тканях во время длительной иммобилизации, для лечения остеопороза и переломов [121, 127, 247].

Экспериментальные данные. Начало исследований вибрационных свойств опорно-двигательного аппарата человека относится к 70-м годам XX века. В первых работах представлены метод и устройства для измерения резонансной частоты длинных трубчатых костей путем создания гармонического возбуждения на примере локтевой кости [138, 171, 258].

Авторы [149] осуществляли возбуждение колебаний сухой изолированной болынеберцовой кости путем кратковременного удара медицинским молоточком, измеряя отклик объекта акселерометром в различных точках по длине кости. С помощью модального анализа были найдены основные формы колебаний образцов кости, которые соответствовали изгибу относительно двух главных осей инерции на частотах 430-700 Гц в сагиттальной плоскости и 430-700 Гц в медиальной плоскости в зависимости от их физиологического состояния.

Старшая мода, соответствовавшая двойному изгибу в плоскости минимальной жесткости, была идентифицирована на частоте 780 Гц. Эксперименты на здоровых добровольцах показали, что резонансные кривые имеют сглаженный характер по сравнению с теми, которые были получены в опыте с сухими экземплярами. Предполагалось, что рассеяние энергии связано с наличием мягких тканей, окружающих кость и вызывающих эффект внутреннего трения. Отмечалось, что диссипативный эффект приводит к проблеме точной идентификации собственных частот и форм колебаний. Метод резонансной' диагностики использовался для определения частот болыдеберцовой кости' голени человека в естественных условиях [126, 221]. Возбуждение колебаний осуществлялось вибратором, оборудованным импедансной; головкой и воздействующим на переднюю поверхность болыпеберцовой кости, в диапазоне 30-1000 Гц. Утверждалось, что форма колебаний объекта как твердого-тела возникает на частоте 165 Гц в. сагиттальной* плоскости, в то время как в импульсном-методе аналогичная форма колебаний' была определена на частоте 167 Гц. Две первые изгибные моды, соответствующие свободным граничным условиям, были обнаружены на частоте 303 Гц в плоскости, близкой к фронтальной, и на частоте 470 Гц в сагиттальной'плоскости.

Существенной проблемой при изучении костных структур' является влияние мягких тканей и интерпретация граничных условий. В ходе проведения акселерометрических измерений болыпеберцовой кости ш-у1уо авторы [107, 149, 168] предположили, что большеберцовая кость имеет свободные граничные условия. Две первые изгибные моды, соответствующие колебаниям относительно каждой главной изгибной оси, были идентифицированы на частотах 270 и 340 Гц. Главное отличие между частотами, наблюдаемыми на изолированной кости и при исследовании кости в нормальных физиологических условиях, связано с демпфирующим действием окружающей мускула> туры и наличием костного мозга. В статьях [108, 244] оценивается влияние мягких тканей и механических связей между элементами опорно-двигательного аппарата на поведение вибрации нижних конечностей путем постепенного вскрытия и удаления тканей. Было показано, что кожа оказывает наименьшее влияние на резонансные частоты (до 5%), тогда как мускулатура значительно снижает их величину по причине дополнительной массы, а также повышает демпфирование. Малоберцовая кость увеличивает жесткость биомеханической системы и приводит к изменению резонансной частоты на 5-11%. Физическая модель закрепления болыиеберцовой кости в голеностопном суставе оказывает незначительное влияние на собственные частоты и вид резонансных кривых.

Работа [109] завершает цикл экспериментов, поставленных авторами на ампутированном образце голени с целью* исследования форм и частот колебаний болыпеберцовой кости человека. Утверждается, что первая* изгибная мода оказывается более чувствительной к ослаблению поперечного сечения1 кости, чем мода, соответствующая колебаниям тела как твердого целого. Из представленных рисунков амплитудно-частотных характеристик следует, что количество резонансных пиков, значения резонансных частот и амплитуд изменяются при изменении сечения. В' диапазоне до 500-Гц для целой боль-шеберцовой кости в окружении мягких тканей наблюдаются четыре резонансных пика на частотах 71, 113, 210, 278 Гц с наибольшей амплитудой на второй частоте. Авторы делают вывод о соответствии первой частоты движению всей голени как твердого тела на упругих опорах. Вторая частота отражает собственные колебания болыиеберцовой кости в общей системе тканей голени, но ее значение отличается от указанной,в [221]. Интерпретация других резонансов и верификация результатов требует проведения детального математического моделирования, отсутствующего в данной работе.

Как было отмечено, вибрационный мониторинг рассматривается- как неинвазивный метод контроля жесткости костной мозоли в процессе сращения кости после перелома и операции остеосинтеза [74]. В [125] представлены результаты вибрационных испытаний пациентов с переломами больше-берцовой кости, согласно которым клиническое срастание костной ткани имело место при отличии низших частот поврежденной и здоровой конечности на 20 %. Отмечается, что рентгеновские аппараты не могут давать желаемую оценку жесткости регенерата, поскольку «радиологическое срастание» обломков кости заметное на снимках возникает значительно позже клинического срастания, позволяющего легкое хождение по горизонтальной поверхности. Вопрос же раннего нагружения является актуальным для ускорения процесса регенерации ткани. Вибрационные методы неразрушающего контроля впоследствии активно использовались другими авторами для разработки устройств и проведения диагностики стабильности остеосинтеза длинных трубчатых костей [13, 14, 80,1 92!, 112, 204, 207, 224]. Отмечалось, что развитие неинвазивных биомеханических методов мониторинга процесса заживления перелома затруднено ввиду недостаточной изученности соотношений между анатомией кости, особенностями костной мозоли, условиями измерений и механическими свойствами тканей.

Представленный обзор демонстрирует технические сложности реализации эффективной измерительной системы динамических свойств биологических структур, выявляет проблемы, связанные с разбросом числовых значений и интерпретацией результатов экспериментов. Все это не позволяет полностью доверять встречающимся в литературе значениям частотных и диссипативных характеристик тканей и органов. Разработка адекватных математических моделей биологических тканей и проведение имитационного моделирования вынужденных колебаний биомеханических структур могут помочь в преодолении указанных трудностей.

Мягкие ткани опорно-двигательного аппарата человека с точки зрения их динамических свойств давно представляют интерес для исследователей, но изучены значительно меньше [18, 36, 43, 54, 55]. Можно отметить работы [7, 16, 28, 89, 170, 253], в которых рассматриваются затухающие колебания мышечной ткани, вызванные двигательной активностью человека или волновые процессы в результате периодического воздействия жестким штампом. Однако рассматриваемые в данных публикациях вопросы все же находятся в стороне от темы диссертации, посвященной установившимся колебаниям тканей как структур, образующих органы опорно-двигательного аппарата человека, с точки зрения диагностики их состояния [54, 55, 86, 176, 193, 195].

Известно, что вибрационное воздействие может служить терапевтическим средством, способствующим укреплению мягких тканей и повышению мышечной силы [146, 242]. Закон Вольфа функциональной-адаптации костной ткани к меняющимся внешним силовым условиям [255] является! основополагающей гипотезой теории костной.1 перестройки и, в широком смысле, физиологии твердых тканей. Благодаря многочисленным экспериментам считается доказанным анаболический эффект механического стимула на рост костной ткани и катастрофические последствия его отсутствия [121, 127, 247]. Ряд современных экспериментальных работ по изучению эффекта высокочастотной вибрации сверхмалых амплитуд (30-100 Гц, 25 мкм) подтверждает положительное влияние такого воздействия на костную ткань, подверженную остеопорозу, на регенерацию ткани в зоне перелома [19, 103, 158, 186, 225]. В [93], описывающем устройство для снижения дегенеративных последствий пребывания в невесомости, отмечается, что при импульсном воздействии, по сравнению с непрерывным, в меньшей степени развивается адаптация. Очевидно, что данная проблема актуальна не только для пожилых людей и малоподвижных больных, но также для космонавтов, находящихся в длительном космическом полете. Об этом ясно свидетельствуют поставленные Национальным Космическим Агентством США (NASA) эксперименты на Международной Космической Станции [249] и материалы конференций, проходящих в Институте медико-биологических проблем РАН [33]. s Ключевым нераскрытым фактором к пониманию механобиологических процессов костной перестройки остается вопрос, как костные клетки, ответственные за процессы резорбции и формирования ткани, воспринимают механический стимул и реагируют на него, чтобы привести состояние костного вещества в соответствие изменившимся внешним условиям. Идентификация механического аспекта, ответственного за запуск процесса остеогенеза, может дать теоретическую базу для разработки биомеханических подходов для лечения остеопороза, интенсификации процесса восстановления кости после перелома, стимуляции врастания костной ткани в материал имплантанта.

Многие публикации посвящены гипотезе о влиянии напряженно-деформированного состояния костного вещества на регуляцию костного метаболизма. Предполагается, что критичным для инициации адаптивных изменений являются не столько напряжения, сколько деформации [71, 100]. Однако, хотя качественная взаимосвязь между механическим воздействием и биологическим откликом считается установленной, существуют сомнения, что амплитуда деформаций непосредственно связана с интенсивностью морфологического ответа костной ткани. Вероятнее, что механобиологический эффект кости опосредуется другими факторами, в частности, потенциалом потока, который сопровождает деформации кости [79, 130, 233].

В этом контексте важно отметить, что костное вещество является высокоструктурированным биологическим композитным материалом, образованным матрицей из коллагена и кристаллов гидроксиапатита и сложной иерархической системой пор от 50 до 1 мкм, заполненных сосудистой и внутритканевой жидкостью [71]. Поскольку основная масса костных клеток располагается на стенках канальцев и поверхностях лагун, входящих в систему г I микропор, то предполагается, что возмущения, вносимые внешней механической нагрузкой в установившееся движение жидкости в транспортной системе кости могут обеспечивать передачу управляющих сигналов между клетками кости в процессе ее функциональной адаптации [78, 79, 136, 144]. Данная гипотеза обладает значительным теоретическим потенциалом, что подтверждается рядом публикаций, посвященных изучению движения жидкости в порах, вызванного действием внешней силы. Несмотря на неизбежную проблему, как разделить эффект собственно потоков жидкости в порах от деформации матрикса, имеется ряд экспериментальных подтверждений, что именно индуцированные циклической нагрузкой малой амплитуды градиенты давления межтканевой жидкости вносят существенный вклад в адаптивную реакцию кости [153, 172]. Хотя во многих работах отмечается зависимость анаболического эффекта механического- воздействия от его частоты [187], до сих пор не установлен частотный, диапазон наиболее благоприятного для остеосинтеза механического стимулирования:

Поэтому представляется-актуальной задача разработки математических моделей биологических тканей и программного обеспечения для детального* исследования вынужденных потоков внутритканевой жидкости-в иерархической системе пор костного вещества. Теоретическое изучение распределения давления и потоков поровой жидкости совместно с динамикой* органа в целом может дать существенную информацию о наиболее эффективных режимах периодического воздействия на измененную в результате операции, остеосинтеза или подверженную риску остеопороза косгнуюткань.

Моделирование колебаний биомеханических структур. В первых работах по моделированию колебаний» длинных трубчатых костей использовались простейшие математические модели на основе пружин, масс и демпферов, позволяющие провести сравнение теоретических и экспериментальных результатов [207, 258]. Вскоре аналитические модели уступили место конечноэлементному анализу как эффективному численному методу моделирования биологических тканей в виде сплошной среды [34, 44, 75, 160, 167, 217]. В [164, 241, 248] были представлены стержневые модели болыпеберцовой кости и рассмотрена упругая задача на свободные колебания в предположении однородности и изотропии сплошной среды. В [211] сделана попытка учесть как сложную геометрию длинных трубчатых костей голени, так и влияние массы и закрученности кости на резонансные частоты.

При исследовании стержневой конечно-элементной модели изолированной болыпеберцовой кости приняты во < внимание изогнутая пространственная форма нейтральной оси кости, анизотропия и неоднородность упругих свойств компактной ткани по сечению [3]. Были рассмотрены: 1) изотропный кусочно-однородный материал с осредненными значениями модуля Юнга, сдвига и плотности для- тканей- диафиза и эпифизов; 2) ортотропный материал для диафиза с кусочной неоднородностью по поперечному сечению кости, изотропный однородный для эпифизов1. Получено, что низшие частоты изгибных (в двух плоскостях), крутильных и продольных колебаний при шарнирных граничных условиях и средних значениях упругих констант (компактная ткань: Е =18.7ГПа, О =4.31 ГПа, р — 1850 кг/м3; губчатая: £=0.2 ГПа, в = 0.08 ГПа, р= 800 кг/м3) равны соответственно 226, 372, 923, 1296 Гц. При тех же условиях, но ортотропных свойствах компактной'ткани рассмотренные частоты равны 225.7, 370, 906, 1292 Гц. Отмечено, что варьирование модуля упругости, губчатой.ткани эпифизов в пределах 50-500 МПа изменяет низшие частоты в пределах 5 %, в то время как решающее влияние оказывают граничные условия, что согласуется с выводами [211].

Трехмерная конечно-элементная модель, геометрически соответствующая выбранному экземпляру болыпеберцовой кости, была разработана в [134]. Вначале экспериментально были определены собственные частоты первых четырех форм колебаний сухой кости при свободных граничных условиях. Затем механические параметры модели настраивались с помощью итеративной процедуры с тем, чтобы достичь максимального соответствия между измеряемыми и расчетными резонансными частотами. Отмечается близость расчетных форм колебаний экспериментальным результатам, полученным в [168]. Развитие данного подхода с целью моделирования перелома кости представлено в [201]. В модели болынеберцовой кости учитывалась ее геометрия и сделана попытка учесть реальную форму костной мозоли-. В серии вычислений изучалось влияние консолидации регенерата в зоне перелома на частоты и формы- колебаний, а также на крутильную жесткость кости. При этом, начиная с работы [108], в публикациях отмечается, что в противоположность натурным исследованиям, в которых геометрия и механические свойства костной мозоли не могут быть точно определены, а процесс измерений подвержен неконтролируемым факторам,- математическое моделирование позволяет раздельно изучить влияние геометрии и упругих свойств регенерата на резонансные частоты и обеспечить корректную, интерпретацию» результатов вибрационного мониторинга.

Трехмерное проектирование на-основе- снимков, поперечных сечений кости, полученных с помощью магнитной» томографии, использовано- при разработке пространственных моделей изолированной болынеберцовой [185] и бедренной кости [152]. Материал ткани диафиза и эпифизов принят изотропным, однородным (компактная: Е— 15 ГИа, v= 0.33', р — 1800 кг/м3; губл чатая: Е= 1.1 ГПа, v = 0.33, р = 300 кг/м ). Значения.упругих модулейги-условное разделение объема кости на две зоны с различными'упругими свойствами аналогичны вариантам, представленным в [134]. Авторы отмечают, что значения материальных констант найдены из итерационной процедуры как результат оптимизации соответствия расчетных и экспериментальных значений собственных частот. Задача на собственные колебания решалась без учета демпфирования при свободных граничных условиях с помощью коммерческого программного обеспечения. Для разработанной модели неповрежденной большеберцовой кости получены две первые изгибные формы колебаний на частотах, равных 403 и 1168 Гц в сагиттальной, 519 и 1376 Гц в латеральной плоскостях. В результате моделирования перелома как области с варьируемым модулем Юнга определено, что собственные частоты возрастают с увеличением жесткости костной мозоли. Наиболее заметные изменения в формах колебаний и значениях частот происходят при вариации жесткости мозоли в пределах 0.1-5 % от жесткости неповрежденной ткани.

Отметим, что все представленные подходы к теоретическому исследованию колебаний костных структур обладают существенными недостатками. Во-первых, рассматриваются только модели изолированных костей, не учитываются реальные граничные условия и мягкие ткани, окружающие кости в естественных физиологических условиях. Во-вторых, используется модель идеально-упругой среды без учета как диссипативных свойств биологических тканей, так и их гетерогенной внутренней структуры. Что касается трехмерного математического моделирования собственных или вынужденных колебаний мягких мышечных или соединительных тканей как сплошных сред, образующих органы опорно-двигательного аппарата человека, то значительных публикаций по данной проблеме обнаружено не было.

Математическое моделирование пористых материалов, насыщенных жидкостью или газом, методами механики сплошных сред восходит к основополагающим работам Терзаги [251], Френкеля [94] и Био [115]. Современная теория пороупругости, основы которой были разработаны Био [116-118], опирается на континуальный подход механики сплошных сред [38, 83]. Предполагается, что в пористом материале могут быть выделены твердая фаза, представляющая собой упругий формообразующий скелет и воспринимающая основную силовую нагрузку, и жидкая фаза, полностью или частично заполняющая поры. Механика многофазных сред [66] в целом обладает большей общностью и в частном случае смеси с достаточно большой концентрацией дисперсных частиц приводит к аналогичным уравнениям [67]. Если пористый материал подвергается силовому воздействию, то возникающие деформации твердой матрицы влекут за собой изменение объема пор. Наличие жидкости в порах приводит к эффекту повышения жесткости конструкции из пороупругого материала. Кроме того, в материале возникают вынужденные потоки жидкости между областями повышенного и пониженного давления. Поскольку любая жидкость обладает вязкостью, то реакция системы на приложенную нагрузку проявляет зависимость от времени, а пористый материал демонстрирует свойства линейной наследственности [77].

Исторически теория пороупругих сред возникла из необходимости решения специфических задач геомеханики, таких как проблемы консолидации массивных слоев грунтов и распространение сейсмических волн в земной коре [68, 124]. Начиная с конца прошлого века, значительное внимание посвящено исследованию колебательных процессов в пористых материалах, что связано с использованием таких материалов в современных технологиях [73]. Работа [238] была одна из первых, где на основе теории Кирхгофа и модели изотропной пористой среды рассматривались изгибные колебания тонких, насыщенных жидкостью пластин. На основе полученных разрешающих соотношений методом разложения в ряд Фурье была решена задача о гармонических колебаниях прямоугольной шарнирно-опертой пластины и исследовано влияние инерционных слагаемых и проницаемости на вид амплитудно-частотных характеристик пластины в диапазоне частот от 0 до 130 Гц. В статье [111] также решалась модельная задача о продольных колебаниях изотропного пороупругого стержня, жестко закрепленного на одном торце и нагруженного гармонической силой на противоположном. Был проведен анализ влияния пористости, проницаемости и жесткости упругой матрицы материала на значения собственных частот колебаний в широком диапазоне значений. Отмечалось, что диссипация энергии в результате взаимодействия твердой и жидкой фаз в подобных системах достигает существенных значений по сравнению со структурным демпфированием гистерезисного типа. Авторы [142] исследовали влияние образующихся с течением времени отложений в нижней части дамбы на ее динамические свойства и распределение давления жидкости в пористом материале в низкочастотном диапазоне. Было показано, что увеличение толщины и пористости слоя отложений приводит к изменению собственных частот колебаний и повышению диссипации, что необходимо учитывать при проектировании дамб на сейсмическую устойчивость. В серии работ [181, 182] проведено сравнение результатов, представленных в, [238], с собственными экспериментальными данными и на основе уравнений пороупругости рассмотрен более широкий диапазон частот колебаний прямоугольной пластины. Кроме представленного ранее в статье [238] случая пор, заполненных жидкостью, в статье [239]' рассчитаны амплитудно-частотные характеристики пластины, система пор которой-заполнена воздухом. Здесь необходимо отметить, что исследованию колебаний легких конструкций из пористых, насыщенных воздухом материалов, посвящено довольно много работ, что обусловлено их звукопоглощающими свойствами-и применением в авто- и авиапромышленности [101]. В этих публикациях рассматривается высокочастотный диапазон возбуждения и исследуется влияние специфических параметров на колебания воздуха в поровых каналах. Низкочастотным механическим колебаниям пороупругих тел простой формы, таким как балки и пластины, посвящена монография [120].

В настоящее время изучается применение гетерогенных материалов на основе металлических сплавов или керамики для создания систем пористого проникающего охлаждения термонапряженных элементов энергетического оборудования. В частности разрабатываются фундаментальные основы и технологические подходы для создания систем эффективного охлаждения лопаток высокотемпературных газовых турбин с применением насыщенных газом пористых материалов [88, 135]. Поскольку современные турбины эксплуатируются на значительных угловых скоростях, часто близких к резонансным частотам отдельных конструкционных элементов, в условиях переменных напряжений, вызываемых высокочастотной вибрацией и центробежными силами, то возникает необходимость расчета динамического состояния лопаток турбин с учетом внутренней структуры гетерогенного материала [220].

В последнее десятилетие интенсивно разрабатываются металлопорис-тые и композитные имплантаты, имеющие ряд преимуществ по сравнению с традиционными [70, 95, 141, 150]. После их установки в костную ткань происходит ее прорастание в пористом каркасе имплантата, в результате чего образуется биометаллический композит, выполняющий функции костно-замещающего протеза. При этом ускоряется «вживляемость» имплантата, ' устраняется деградация контактирующей костной поверхности, существенно . уменьшаются сроки реабилитации больного [24, 65]. Таким образом, другим актуальным приложением теории пороупругости является исследование динамических свойств элементов опорно-двигательного аппарата человека и распределения давления внутритканевой жидкости при наличии в них кост-но-замещающих имплантатов. Однако подходы к математическому описанию данной проблемы и численные решения в литературе отсутствуют.

Сложности описания динамического взаимодействия фаз гетерогенного материала, фазовых переходов, массопереноса и теплообмена привели к тому, что до настоящего времени не разработана общепринятая модель насыщенной пористой среды [17]. Даже при значительных упрощениях, когда не учитываются фазовые переходы и температурные эффекты, математическая модель насыщенной пористой упругой среды существенно усложняется по сравнению с классическими моделями упругого или вязкоупругого тела, что связано со способностью жидкости проникать в любую область, формируемую порами. В работе [17] подчеркивается, что это особенно важно учитывать при рассмотрении высокочастотных волновых и других быстропере-менных процессов, поскольку в таких задачах по мере роста частоты возбуждения возрастает вклад динамического поведения поровой жидкости, что приводит к значительному усложнению модели среды.

С вычислительной точки зрения на задачи механики сплошных сред наиболее эффективны разностные методы [82], методы конечных [21] и граничных элементов [11]. Известные приложения разностного подхода для решения пороупругих квазистатических задач геомеханики [20, 84] и метода граничных элементов для анализа распространения волн в пороупругих однородных средах [6, 226, 227] в случае исследования динамики трехмерной неоднородной анизотропной среды наталкиваются на те же трудности, что и в классической теории упругости [58]. Это препятствует их применению для математического трехмерного моделирования колебаний биологических тканей, насыщенных жидкостью.

К настоящему времени основные численные аспекты МКЭ в теории по-роупругости изложены в монографиях [128,183]. Однако в качестве основного ' приложения опять рассматриваются задачи медленной консолидации грунтов и распространения сейсмических волн, имеющие свои специфические численные особенности. Наиболее близки к проблемам, рассматриваемым в диссертации, уравнения пороупругости, описывающие колебания и волновые процессы в звукопоглощающих конструкциях. Для их численного решения широко используются оригинальные уравнения Био и конечно-элементная формулировка с использованием перемещений твердой и жидкой фаз материала в виде степеней свободы [157, 184, 212]. Однако для задач на установившиеся колебания данная формулировка представляется избыточной и требующей значительных компьютерных ресурсов ввиду повышенного числа степеней свободы. Отмечается, что для больших конечно-элементных моделей, предназначенных для решения стационарных задач, более подходит смешанная формулировка, использующая перемещения скелетона и давление поровой жидкости как основные переменные [110, 228]. Данный подход применялся только при некотором упрощении исходных уравнений, состоящем в пренебрежении ускорением жидкости в порах [262] или деформационным взаимодействием между твердой и жидкой фазами [159]. Более полная формулировка, учитывающая физическое и инерционное взаимодействие компонент пороупругого материала, разработана в [110], однако только для изотропного случая упругих и гидростатических свойств среды. Впоследствии смешанный подход подтвердил свою эффективность в задачах распространения,акустических волн в пористых упругих конструкциях, поры которых заполнены воздухом [102].

Пороупругые динамические модели биологических тканей. За последние два десятилетия пороупругие модели получили распространение и успешно применяются в биомеханике [22, 39]. Оказалось, что определенные биологические структуры обладают механическими свойствами и демонстрируют поведение сходное с пористыми геологическими материалами. Уравнениями Био • более точно, чем классическими уравнениями идеальной, упругости, описываются процессы деформации и адаптации костной, хрящевидной и соединительной тканей [1, 4, 123, 131, 234, 257], а также исследуется применимость теории пороупругости для описания мышечной тканей [96, 97, 215, 202]. Известно, что объемный модуль упругости твердого матрикса компактного вещества кости обычно в несколько раз больше аналогичного параметра внутритканевой-жидкости, заполняющей систему пор. Поэтому при статическом или достаточно медленном деформировании основную нагрузку воспринимает твердый каркас. Однако в случае быстроменяющегося силового воздействия динамическая жесткость кости, находящейся в естественном физиологическом состоянии, может быть значительно выше жесткости высушенной костной ткани. В случае же мягких биологических тканей значения упругих модулей твердого матрикса и внутритканевой жидкости достаточно близки, что приводит к необходимости учета жидкой фазы не только в динамике, но и при статическом нагружении.

Приложение теории пороупругости к твердым тканям для исследования динамического напряженно-деформированного состояния и распределения давления в порах известно в литературе. В [231] рассматривался изгиб кон-сольно-закрепленной стержневой модели кости крысы под действием изгибающего момента, изменяющегося по синусоидальному закону, и распределение давления и потоков поровой жидкости в поперечном сечении с использованием конечно-разностного подхода. Отмечено, что ввиду отсутствия инерционных составляющих в системе уравнений влияние частоты нагрузки на перемещения жидкости оценить не удалось. Задача расчета напряженно-деформированного состояния модели остеона под действием нагрузки, типичной для длинных трубчатых костей, рассматривалась в [259]. Численными расчетами было доказано, что нормальная физиологическая нагрузка может приводить к повышению- давления жидкости в лакунарно-каналикулярной системе пор остеона в несколько десятков раз больше, чем вызываемое изменением кровяного давления. Авторы [214] использовали линейную изотропную модель пороупругого материала [223] для расчета напряженного состояния призматического образца компактной ткани под действием гармонической растягивающей силы и изгибающего момента за один период колебаний. Было показано, что распределение давления в однородной лаку-нарно-каналикулярной сети компактного вещества в поперечном сечении образца зависит от частоты воздействия и коэффициента проницаемости, несмотря на квазистатический подход и низкочастотный диапазон. Пороупругая модель типичной ячейки компактной ткани, образованной гаверсовым каналом и окружающим упругим матриксом, была представлена и решена с помощью разработанной программы МКЭ в перемещениях [198, 200]. В работе представлены установившиеся колебания призматического образца компактного вещества, обладающего эффективными упругими свойствами, под действием гармонической изгибающей силы в диапазоне до 1 МГц. В частности, было показано, что амплитуда давления жидкости в гаверсовых каналах увеличивается линейно с увеличением частоты нагрузки и может достигать уровня нескольких паскалей, которого, как показано в других работах, достаточно для генерации морфологического отклика клеток кости. В [230] на основе построенной аналитической модели и результатов измерений отмечено, что распределение потоков внутритканевой жидкости в компактном веществе кости имеет как временной, так и пространственный характер.

Отметим, что в большинстве работ [154, 254, 261 и др.] используются-модели простых геометрических форм, представляющие собой только один вид костного вещества, не рассматривались сложные биологические структуры в комплексе, а динамическое воздействие имело низкий частотный диапазон. Однако экспериментально показано, что потоки жидкости в компактном веществе длинных трубчатых костей обусловлены не только деформацией твердого матрикса, но и избыточным интрамедуллярным давлением, возникающим в результате нагружения кости [218, 219], а вибрационная стимуляция на относительно высокой частоте (порядка 90 Гц) имеет больший эффект, чем низкочастотное воздействие [187]. Поэтому необходимо рассматривать более сложные динамические модели, включающие в себя основные типы костного вещества, формирующие кость как биомеханическую структур, и способные адекватно описать колебания относительно высоких частот. Отметим статьи [156, 232], в которых рассматривались пороупругие модели целой большеберцовой кости, однако без окружающих мягких тканей и костного мозга в квазистатической постановке. В [154, 156] были сделаны попытки исследовать диапазон до 500 Гц, но, как отмечают сами авторы, ввиду того, что модель не учитывается инерционные эффекты, точность решения на высоких частотах не может быть удовлетворительной. В самом деле, представленные графики давления жидкости в системе пор компактного вещества при различных значениях пористости практически не отражают характерной зависимости давления от частоты возбуждения. Тем не менее, авторы [154] делают заключение, что результаты их математического моделирования подтверждают, что вибрационная стимуляция на частотах 20-30 Гц может оказывать более действенный эффект на формирование нового костного вещества, чем низкочастотное (1—5 Гц) воздействие. Еще одним существенным недостатком всех рассмотренных моделей является пренебрежение собственной вязкостью материала, образующего биологические ткани, что не позволяет корректно рассматривать вынужденные колебания биомеханических структур на частотах возбуждения близких к резонансным.

Обратим внимание, что почти во всех рассмотренных конечно-элементных расчетах биомеханических систем как пороупругих сред использовался универсальный коммерческий комплекс ABAQUS (ABAQUS Inc.), в котором запрограммирован элемент, описывающий медленную консолидацию грунтов [263]. Однако, несмотря на универсальность и удобство использования стандартных программных продуктов, возможности математического моделирования колебаний биологических тканей с помощью коммерческого ПО оказываются ограниченными [30, 216]. В частности ABAQUS, MARC (MSC.Software Co.), COMSOL (COMSOL Inc.), а также специализированные средства, такие как Dynel3D (Igeoss Co.), DIANA (TNO DIANA BV.), ориентированы на нелинейные модели пористых сред, учитывающие зависимость проницаемости от деформаций, которые более подходят для решения квазистатических задач геомеханики. Отметим, что в наиболее распространенных в России расчетных программах ANSYS (ANSYS Inc.), NASTRAN (MSC.Software Co.) и WinMachine (ООО НТЦ «AHM») отсутствует возможность решения пороупругих задач. t ?

Таким образом, несмотря на довольно большое количество публикаций, посвященных различным задачам теории пороупругости, работы, применительно к решению проблем динамики живых тканей и учитывающие специфику как самих биологических тканей, так и адекватность математического описания в требуемом частном диапазоне, практически отсутствуют.

Актуальность темы. На основе проведенного обзора можно сделать вывод, что в настоящее время активно развиваются биомедицинские методы вибрационной диагностики состояния твердых и мягких тканей опорно-двигательного аппарата человека и их стимуляции с помощью механического гармонического воздействия. В то же время представленные экспериментальные подходы носят интуитивный характер, не учитывают сложный механизм динамического взаимодействия тканей, имеющих сильные отличия в вязкоупругих свойствах, под действием вибрационного возбуждения. До сих пор не разработаны математические- модели биологических макроструктур, включающие в себя основные твердые и мягкие ткани опорно-двигательного аппарата человека и адекватно описывающие результаты вибрационных исследований на живых организмах. В различных известных способах и установках механической стимуляции, использующих гармоническое воздействие на биологические объекты, применяется аппаратура, создающая установившиеся колебания тканей заданной частоты. Однако обоснования выбранных значений частот не приводится. Встречающиеся в литературе теоретические данные о собственных частотах тканей опорно-двигательной системы человека основываются на простейших механических моделях идеально-упругого изотропного тела, а используемые при решении задач граничные условия, как правило, не соответствуют физиологическим условиям функционирования рассматриваемых биологических объектов, что приводит к снижению ценности получаемых результатов.

Особого внимания, заслуживает механический аспект воздействия внешнего силового поля на биологические процессы, протекающие в твердых тканях. Благодаря многочисленным экспериментам считается доказанным анаболический эффект механического стимула на рост костной ткани и катастрофические последствия его отсутствия. Однако ключевым нераскрытым фактором к пониманию механобиологических процессов костной перестройки остается вопрос, как специфические костные клетки, ответственные за процессы резорбции и формирования новой ткани, воспринимают механический стимул и реагируют на него, чтобы привести физиологическое состояние костного вещества в соответствие изменившимся внешним условиям. Идентификация механического аспекта, ответственного за запуск процесса остеосинтеза, может дать теоретическую базу для разработки биомеханических методов и устройств для лечения, остеопороза, интенсификации процесса восстановления кости после перелома, стимуляции врастания костной ткани в материал имплантата.

Поскольку основная-масса специфических костных клеток располагается на стенках канальцев и поверхностях лагун, входящих в систему микропор, то предполагается, что возмущения, вносимые внешней механической нагрузкой в установившееся движение жидкости в транспортной системе кости - в скорости потоков или давление, — могут обеспечивать передачу управляющих сигналов между клетками кости в процессе ее функциональной адаптации. Имеется ряд экспериментальных подтверждений, что именно индуцированные циклической нагрузкой малой амплитуды градиенты давления межтканевой жидкости вносят существенный вклад в адаптивную реакцию кости. Однако, хотя во многих работах отмечается зависимость анаболического эффекта механического воздействия от его частоты, до сих пор не установлен частотный диапазон наиболее благоприятного для остеосинтеза механического стимулирования.

Таким образом, имеет место противоречие между практической необходимостью развития вибрационных средств и методов диагностики и стимуляции поврежденных элементов опорно-двигательного аппарата человека и отсутствием теоретического фундамента, включающего в себя математические модели биологических структур, более точно, с позиций механики гетерогенных сплошных сред описывающие динамическое поведение живых тканей и обеспечивающие адекватный анализ их резонансных свойств.

Сформулированное противоречие приводит к актуальной научной проблеме, состоящей в том, что существующие модели биологических тканей в виде классических упругих деформируемых тел не позволяют адекватно описать резонансные свойства биологических структур, обнаруживаемые в ходе натурных вибрационных обследований, не могут предложить обоснование или рекомендовать тот или иной набор частот внешнего гармонического воздействия в методиках вибростимуляции. Они не могут служить фундаментом для разработки теорий костной адаптации и перестройки, поскольку не учитывают важнейшее физиологическое свойство живых тканей - наличие жидких субстанций в разветвленной системе пор костных и мягких тканей, обеспечивающих передачу механического стимула активным клеткам, участвующим в формировании и поддержании структуры биологических тканей.

Объектом исследования в работе являются новые математические модели живых биологических тканей и биомеханических структур, как эффективной сплошной среды со сложной внутренней структурой и дополнительными степенями свободы в точках континуума.

Предметом исследования являются колебательные механические процессы, связанные с функционированием биологических тканей опорно-двигательного аппарата человека. В работе с математической точки зрения изучаются вибрационные резонансные явления основных элементов опорно-двигательного аппарата, образованных твердыми и мягкими тканями, как биомеханических структур, описываемых уравнениями механики сплошных гетерогенных сред. Особое внимание уделяется закономерностям движения 1 физиологических жидкостей в распределенных системах пор и микрососудов тканей и их взаимосвязи с резонансными режимами колебаний структур опорно-двигательного аппарата.

Цель исследования. В ходе выполнения диссертационной работы предполагается достичь следующих основополагающих целей:

1. Получить и исследовать теоретические соотношения, описывающие динамическое напряженно-деформированное состояние пористой среды, насыщенной жидкостью; разработать численные алгоритмы и программное г обеспечение для решения задач пороупругости.

2. Разработать новые математические модели биологических тканей и органов опорно-двигательного аппарата человека на основе полученных уравнений пороупругости; провести оценку эффективных свойств тканей.

3. Выявить взаимосвязи между резонансными свойствами основных элементов опорно-двигательного аппарата нижней конечности человека и характеристиками движения внутритканевой жидкости; представить теоретическое обоснование методов вибрационной диагностики и поддержания состояния длинных трубчатых костей при остеопорозе.

Научная гипотеза. В основу исследования закладывается гипотеза о том, что резонансные свойства различных по своей природе, морфологии и условиям функционирования в организме биологических структур опорно-двигательного аппарата человека могут быть описаны в рамках единого ма-, тематического подхода. Предполагается, что разработанные модели твердых и мягких тканей биологических структур могут быть основаны на единых базовых уравнениях механики гетерогенных сплошных сред, в то время как , различие в их динамическом поведении обусловлено вариациями физикомеханических характеристик. Выдвигается также гипотеза, что механическое периодическое воздействие на определенных резонансных частотах и формах колебаний исследуемых биомеханических объектов может интенсифицировать относительное движение физиологической жидкости в системе пор тканей, что может служить подтверждением эффективного влияния механического стимула на процессы роста и перестройки живых биологических тканей и обоснованием выбора оптимальных параметры вибрационного стимулирования поврежденных органов.

Исходя из целей и гипотезы, формулируются задачи исследования:

1. Обобщить и систематизировать известные частные подходы к формулировке связанной динамической задаче, описывающей движение пористых упругих тел, насыщенных жидкостью, как гетерогенных сплошных сред с дополнительными степенями свободы.

2. Получить новые системы связанных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающие вынужденные гармонические колебания пористых упругих конструкций, насыщенных жидкостью, на основе общих уравнений механики гетерогенных анизотропных сплошных сред.

3. Разработать трехмерный алгоритм метода конечных элементов и универсальную компьютерную программу для численного анализа связанных гармонических колебаний пороупругого тела в анизотропной постановке.

4. Разработать алгоритм и программный модуль расчета эффективных упругих и гидравлических характеристик насыщенного жидкостью пористого упругого тела, предназначенного для математического моделирования биологических тканей опорно-двигательного аппарата.

5. Разработать математические модели твердых и мягких тканей опорно-двигательного аппарата человека на основе единого подхода к описанию биологических тканей и структур как пороупругой сплошной среды.

6. Путем проведения серии вычислительных экспериментов проанализировать резонансные свойства разработанных моделей биологических структур при вариации физико-механических параметров тканей и изучить распределение давления и вибрационных потоков жидкости в порах на резонансных формах колебаний исследуемых биологических структур.

7. Методами имитационного моделирования и вибрационной диагностики исследовать динамические характеристики вынужденных колебаний биомеханических структур опорно-двигательного аппарата голени человека.

Методологические основы исследования представлены теорией деформируемых гетерогенных сред и концепцией современной биомеханики тканей, согласно которой многие биологические ткани могут быть математически представлены в виде двухфазного упругого-материала, насыщенного жидкостью. Теория эффективной пороупругости, разработанная в середине прошлого века в работах Терзаги, Френкеля и Био, опирается на континуальный подход механики сплошных сред. Для расчета эффективных тензоров « упругих и гидравлических констант сплошной среды используются« математические методы теории композитных материалов.

Используемый в диссертации системный подход позволяет в» общем математическом виде описать динамические явления; наблюдаемые в вибрационных экспериментах, как для твердых биологических структур, так и для мягких тканей, провести анализ внутренних взаимосвязей* объекта как целостного образования, состоящего из связанных друг с другом элементов.

Исследование методологически опирается на общие подходы приближенного анализа, концепции методов взвешенных невязок и конечных элементов, на современные технологии разработки эффективного программного обеспечения. В качестве основного средства получения нового научного результата будет выступать вычислительный эксперимент и имитационное моделирование, проводимые на основе разработанных математических моделей биологических тканей и биомеханических структурных элементов опорно-двигательного аппарата человека с применением разработанных численных методов и программных средств.

Достоверность результатов достигнута посредством применения общепризнанных теорий и фундаментальных положений и подтверждается соответствием аналитических, численных и экспериментальных данных, а также согласуется с опубликованными материалами других исследований.

Положения, выносимые на защиту:

1. Теоретические положения в виде связанных динамических уравнений механики гетерогенных анизотропных сплошных сред, описывающих движение пористых упругих тел, насыщенных вязкой сжимаемой жидкостью, и уравнений вынужденных колебаний пороупругой анизотропной сплошной среды под действием гармонической силы.

2. Математические модели основных биологических тканей и численные конечно-элементные модели структур опорно-двигательного аппарата человека в виде сплошных сред со сложными внутренними свойствами, описываемые связанной системой уравнений эффективной пороупрушсти.

3. Математический алгоритм: расчета эффективных упругих, и гидростатических модулей пороупругого анизотропного материала и рассчитанные числовые значения пороупругих характеристик, биологических тканей в случае принятия модели трансверсально-изотропной сплошной среды.

4. Теоретические следствия из разработанных общих уравнений* колебаний пороупругой среды в виде одномерных дифференциальных уравнений; аналитические решения полученных уравнений, описывающие продольные и поперечные колебания стержневой модели пороупругого тела.

5. Алгоритм метода конечных элементов, позволяющий рассчитывать динамическое напряженно-деформированное состояние пороупругого. тела, давление и потоки жидкости в порах под действием внешних сил, изменяющихся по гармоническому закону, и комплекс программ для анализа колебаний пространственных биомеханических структур и механических конструкций, образованных пористыми материалами, насыщенными жидкостью. г

6. Система имитационного моделирования вынужденных колебаний элементов опорно-двигательного аппарата голени человека и обнаруженные в результате компьютерного моделирования динамические свойства биомеханических структур (формы колебаний, резонансные частоты) и закономерности движения внутритканевой жидкости в системе пор костного вещества.

7. Метод проверки адекватности разработанных динамических моде1 лей биологических тканей на основе данных натурного вибрационного эксперимента и алгоритм интерпретации результатов измерений вибрационных свойств твердых тканей голени в естественных физиологических условиях с 1 помощью решения задачи о вынужденных колебаниях вязкоупругого тела.

Новизна исследования:

1. Динамические уравнения связанной линейной задачи пороупругости в переменных «перемещение скелетона - давление жидкости» («и-р») и связанные уравнения вынужденных гармонических колебаний пороупругого тела в «и-р» переменных получены в тензорном виде для анизотропной модели эффективной среды и одновременно учитывают силовое, физическое (в определяющих соотношениях) и инерционное взаимодействие твердой и жидкой фаз.

2. Полученные в тензорном виде динамические уравнения связанной линейной задачи пороупругости в переменных «перемещение скелетона — перемещение жидкости» («и-\у») и связанные уравнения вынужденных гармонических колебаний пороупругого тела в «и-\¥» переменных отличаются тем, что записаны для анизотропной модели эффективной среды и одновременно учитывают силовое, физическое, инерционное взаимодействие фаз и собственную вязкость материалов твердой и жидкой фаз.

3. Разработанный единый математический метод моделирования дина> мики и вынужденных колебаний гетерогенных материалов, обладающих связанными системами пор, учитывает анизотропию упругих и гидростатических свойств эффективной пороупругой среды и основные виды взаимодействия фаз.

4. Математические модели твердых и мягких биологических тканей, образующих костные и мышечные структуры опорно-двигательного аппарата человека, как пороупругих сред, насыщенных жидкостью, имеют отличия от известных моделей в части более точного описания динамических свойств за счет учета инерционного взаимодействия фаз и вязкости, учета анизотропии эффективной среды в «и-р» переменных; точнее описывают резонансные режимы колебаний структур и микроперемещений внутритканевой жидкости.

5. На основе представленного алгоритма расчета эффективных модулей анизотропной пороупругой среды при произвольной пористости разработан теоретический метод исследования механических свойств биологических тканей и впервые проведена количественная оценка пороупругих модулей изучаемых тканей в широком диапазоне значений пористости в предположении модели трансверсально-изотропной среды. Алгоритм имеет новую возможность пересчета характеристик среды в недренированном состоянии в соответствующие «дренированные» параметры, что требуется для «и-р» формулировки.

6. Одномерные дифференциальные уравнения, описывающие продольные и поперечные колебания пороупругого стержня, выведены из построенных динамических уравнений связанной линейной задачи пороупругости в «и-р» переменных и более полно, чем известные аналоги, учитывают силовое, физическое и инерционное взаимодействие фаз. Выявленные в результате параметрического анализа полученных численно-аналитических решений характерные динамические свойства пороупругих систем и закономерности движения жидкости в порах в различных частотных диапазонах отсутствуют в литературе.

7. Разработанные вычислительные алгоритмы решения поставленных краевых задач пороупругости в «и-р» и «и-\у» переменных реализуют трехмерный метод конечных элементов на основе общего подхода, взвешенных невязок и отличаются тем, что рассматривают модель анизотропной среды, учитывают вязкость и перечисленные виды взаимодействия фаз.

8. Разработан проблемно-ориентированный комплекс МесЪатсзРЕ® для расчета динамического напряженно-деформированного состояния пороупругой среды под действием внешних гармонических сил, позволяющий исследовать специфические задачи, не имеющие реализации в универсальных коммерческих программах. По сравнению с моделями пористых сред, включенными в другие программы, разработанный алгоритм учитывает инерционное, силовое и физическое взаимодействие фаз и собственную вязкость материала. Численная реализация основана на «и-р» формулировке задачи поровязкоупругости, что позволяет значительно уменьшить число неизвестных при расчете вынужденных колебаний. Результирующая система уравнений, записанная в комплексных переменных, решается с учетом разреженности и симметрии глобальной матрицы.

9. На основе математических моделей тканей и комплекса проблемно-ориентированных программ МесЪатсзРЕ® впервые разработана система имитационного моделирования вынужденных колебаний биомеханических структур опорно-двигательного аппарата и вибрационных микроперемещений внутритканевой жидкости в порах биологических тканей. С помощью вычислительного и натурного экспериментов определены резонансные частоты, формы колебаний, амплитудно-частотные характеристики основных элементов биологических макроструктур опорно-двигательного аппарата голени человека как отдельных объектов, так и в реальных условиях единой динамической системы.

10. Решенные биомедицинские задачи раскрывают механизмы динамического взаимодействия внутритканевой жидкости и упругого скелетона тканей, впервые дают количественную оценку пространственного распределения давления и микроперемещений внутритканевой жидкости на резонансных формах колебаний, впервые представляют теоретические обоснования гипотезы положительного влияния вибрационного воздействия на процесс адаптации костной ткани и возможностей метода вибрационной диагностики остеопороза твердых тканей опорно-двигательного аппарата человека.

11. Разработанный метод проверки адекватности численных моделей с помощью эксперимента на затухающие колебания отличается от существующих подходов тем, что математический алгоритм интерпретации измерений позволяет на основе предложенной целевой функции найти собственные частоты, параметры диссипации и оценить формы колебаний объекта.

Теоретическая значимость исследования состоит в разработке единого научного и методологического подхода к описанию твердых и мягких тканей биологических макроструктур как многофазных сплошных сред; в обнаружении и всестороннем анализе резонансных свойств биологических структур в нормальном физиологическом и отклоненном от нормы состояниях.

Практическая ценность результатов заключается в возможности научного обоснования существующих и разрабатываемых эмпирических вибрационных методик диагностики и стимуляции поврежденных элементов опорно-двигательного аппарата нижней конечности человека; в выработке рекомендаций по числовым значениям задаваемых внешних воздействий с точки зрения соответствия возбуждаемых колебаний собственным резонансным свойствам биологических систем. Результаты работы могут быть применены в современных медицинских технологиях к тканям опорно-двигательного аппарата человека при остеопорозе, травмах, во время длительного космического полета; при разработке искусственных заменителей костной ткани (эндопротезов суставов и пористых биодеградирующих им-плантатов); создании антропоморфных шагающих механизмов.

Исследование находится в русле приоритетного направления развития науки, технологии и техники РФ — живые системы, и вносит вклад в развитие критических биомедицинских технологий эюизнеобеспечения человека, биоинженерии, технологий создания биосовместимых материалов.

Апробация результатов. Основные результаты работы были представлены на следующих всероссийских и международных научных форумах: Всерос. конференции, приуроченной к 20-лет. ИПРИМ РАН «Механика и наноме-ханика структурно-сложных и гетерогенных сред» (Москва, 2009); IV—X Все-рос. конференции по биомеханике (Нижний Новгород, 1998-2008, Саратов, 2010); 3-й Всерос. НТК «Фундаментальные исследования в технических университетах» (С.-Петербург, 1999); XXX-XXXI Неделе науки СПбГТУ (С.Петербург, 2001, 2002); Ш-IV МНТК «Физика и радиоэлектроника в медицине и биотехнологии» (Владимир, 1998, 2000); Межд. школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Ростов-на-Дону, 2005, 2009); VI Съезде травматологов и ортопедов России (Нижний Новгород, 1997); Конгрессе травматологов-ортопедов России «Новые имплантаты и технологии в травматологии и ортопедии» (Ярославль, 1999); IX-XV МНТК «Бенардосовские чтения» (Иваново, 1999-2009); II Int. Conference on Tools for Mathematical Modelling (St.-Petersburg, 1999), III-VT Int. Workshop on Nondestructive Testing and Computer Simulations in Science and Engineering (St.-Petersburg, 1999-2002); 15th World Conference on Non-Destructive Testing (Roma, 2000); 13th Conference of European Society of Biomechanics (Wroslav, 2002); 12th Int. Conference on Mechanics in Medicine and Biology (Lemnos, 2002); 7-8th Esaform Conference on Material Forming (Trondheim, 2004, Cluj-Napoca, 2005); XXIXème Congrès de la Société de Biomécanique (Paris, 2004).

Разработанные модели биологических тканей и результаты исследования динамических свойств биомеханических систем докладывались на научных семинарах кафедр общей физики, механики и процессов управления, биомеханики и валеологии (СПбГПУ), теоретической и прикладной механики (ИГЭУ), травматологии, ортопедии и ВПХ (ИГМА), Института проблем машиноведения РАН. Во время зарубежных стажировок на рабочих совещаниях в институте передовых технологий и центре мехатроники компании Самсунг Электронике I

Samsung Electronics, Южная Корея), в лаборатории прикладной механики Национального центра научных исследований (LMARC CNRS, Франция) обсуждались особенности конечно-элементного моделирования динамики опорно-двигательного аппарата человека и антропоморфных механизмов, новые модели эндопротезов тазобедренного сустава.

Внедрение результатов исследования. Выявленные закономерности динамического поведения биомеханических структур использованы при разработке сотрудниками межвузовской НИЛ «Биомеханика» (ИГЭУ-ИГМА-ИвГУ) аппаратуры и метода активной резонансной диагностики ахиллова сухожилия и трехглавой мышцы голени, стабильности остеосинтеза болыпебер-цовой кости, выполненных в соответствии с планами госбюджетных НИР ИГЭУ по единому заказ-наряду Министерства образования и науки РФ (1997— 2010) на фундаментальные научные исследования. Практические выводы и рекомендации из проведенных теоретических исследований отражены в аннотированных научных отчетах: Разработка теоретических основ методов вибрационной диагностики, лечения и реабилитации состояния биомеханических объектов / Отчет по НИР, руководитель Шапин В.И., РИ № 01.2001.03153; Диагностические методы идентификации, вибродиагностики и частотно-резонансной терапии биомеханических объектов / Отчет по НИР, руководитель Шапин В.И., РИ № 02.2006.09975, и в рамках текущей НИР «Разработка вибрационных резонансных методов диагностики, идентификации и реабилитации биомеханических объектов», регистрационный номер 1.2.06.

В рамках конкурса «Молодые ученые - малому предпринимательству», проводимому Фондом поддержки малого предпринимательства, в 2001 году получена поддержка проекта «Компьютерное моделирование конструкции эн-допротеза тазобедренного сустава». Методы и принципы компьютерного моделирования гетерогенных материалов и биомеханических структур были использованы при разработке новых образцов ножек эндопротезов тазобедренного сустава из композитных полимерных и пористых титановых материалов в рамках совместного проекта с группой исследователей лаборатории прикладной механики (LMARC CNRS, Франция). Закономерности движения органов опорно-двигательного аппарата человека, полученные данные о динамических свойствах тканей и биомеханических структур голени человека, принципы конечно-элементного анализа динамики упругих сред применены при разработке опорно-двигательного механизма антропоморфного шагающего робота в центре ме-хатроники компании Самсунг Электронике (US Patent 7303031, 7650203).

Работа соискателя «Теория колебаний биомеханических структур как пористых насыщенных жидкостью сред» представлена в Сводный реестр Федерального агентства по образованию как один из наиболее значимых результатов научных исследований, полученных работниками вуза (ИГЭУ) в 2009 году. В 2009 году на основе результатов многолетних исследований и достижений соискателя в ИГЭУ создан научно-образовательный центр моделирования и диагностики структурно-сложных сред и систем (руководитель Маслов Л.Б.). Материалы диссертации и разработанное программное обеспечение внедрены в авторский учебный курс «Численные методы механики» (ИГЭУ), использованы при чтении лекций «Computational Biomechanics» в Высшей национальной школе механики и микротехники (ENSMM, Франция).

Разработанное программное обеспечение зарегистрировано в Российском агентстве по патентам и товарным знакам (Роспатент) и получено авторское свидетельство № 2009616004 «Программная система конечно-элементного анализа пороупругих механических конструкций MechanicsFE».

Публикации по теме исследования. По материалам диссертации опубликовано 63 печатные работы, в том числе монография, 20 статей в ведущих рецензируемых журналах согласно Перечню ВАК Минобрнауки РФ, 4 авторских свидетельства, 16 статей в сборниках и материалах конференций.

Структура работы. Диссертации состоит из введения, шести глав, заключения, библиографического списка из 264 наименований и приложения. Основной текст включает 317 страниц, 46 рисунков и 5 таблиц.

6.5. Выводы к шестой главе

В шестой главе диссертации были рассмотрены актуальные вопросы расчета колебаний длинных трубчатых костей скелета человека и вынужденных потоков внутритканевой жидкости путем применения разработанных математических моделей биологических тканей и программных средств [8, 46, 47, 51-53, 57, 63]. Была разработана трехмерная конечно-элементная модель голени человека, образованная основными структурными элементами опорно-двигательного аппарата, и методом имитационного моделирования были исследованы вынужденные колебания болыпеберцовой кости в окружении мягких тканей. Показано, что имеют место существенные отличия между значениями резонансных частот кости человека в нормальном состоянии и при остеопорозе. Математическое моделирование биологических структур как двухфазных сред, насыщенных жидкостью, позволило рассчитать распределения давления внутритканевой жидкости в порах, что играет ключевую роль в вопросах остеопороза, остеогенеза и восстановления прочностных свойств костной ткани после повреждений. Получены новые данные о динамических свойствах костных и мышечных структур, а также о микроперемещениях внутритканевой жидкости в системе поровых каналов компактного и губчатого костного вещества в широком диапазоне частот, отсутствующие в известных публикациях.

Достигнутые результаты имеют ясный физический смысл и позволяют использовать разработанный подход для расчета сложных биомеханических систем, насыщенных жидкостью, таких как длинные трубчатые кости опорно-двигательного аппарата, связки, хрящи, сухожилия и скелетные мышцы, для математического описания которых аппарат теории двухфазных сред представляется наиболее естественным. Идентификация механического аспекта, регулирующего процесс остеосинтеза, может дать теоретическую базу для разработки биомеханических методов и устройств для лечения остеопороза, интенсификации процесса восстановления кости после перелома, стимуляции врастания костной ткани в материал имплантанта.

Дополнительно в диссертации был разработан метод проверки адекватности динамических моделей биологических тканей на основе данных вибрационного эксперимента и алгоритм интерпретации результатов измерений динамических свойств твердых тканей голени в естественных условиях с помощью общего решения задачи о вынужденных колебаниях вязко-упругого тела.

Заключение

В ходе выполнения диссертационной работы достигнуты следующие основополагающие результаты:

1. Развита теория эффективной пороупругости в части математического описания динамики и вынужденных колебаний пористых упругих структур, насыщенных жидкостью или газом, как анизотропной сплошной среды с дополнительными степенями свободы, характеризующими относительное движение флюида в порах гетерогенного материала. В общем тензорном виде получены системы дифференциальных уравнений динамики пороупругой анизотропной среды в переменных «перемещение скелетона - давление жидкости» («и-р»), учитывающие основные виды взаимодействия фаз материала.

2. Получены новые уравнения, описывающие динамику пороупругой среды с учетом вязкости жидкой и твердой фаз гетерогенного материала, в переменных «перемещение скелетона - перемещение жидкости» («ц-лу»). Установлена взаимосвязь между «и-р» и «и-\у» формулировками. Показаны достоинства и ограничения каждого подхода и возможности включения в разрабатываемые математические модели биомеханических структур вязкости рассматриваемых биологических тканей.

3. Разработан единый математический подход описания динамического напряженно-деформированного состояния структур из гетерогенных материалов, обладающих двойной связанной системой пор, заполненной флюидом. Получены новые уравнения, описывающие материалы с двойной системой пор в виде анизотропной сплошной среды со сложными внутренними свойствами и дополнительными степенями свободы.

4. На основе полученных уравнений динамики пороупругого тела и определяющих соотношений эффективной среды в «и-р» переменных разработаны математические модели основных твердых и мягких биологических тканей, образующих костные и мышечные структуры опорно-двигательного аппарата человека, как анизотропных сплошных сред с дополнительными степенями свободы, характеризующими движение внутритканевой жидкости.

5. На основе методов микромеханики и дифференциального метода самосогласования разработаны алгоритм и программный модуль для расчета эффективных характеристик пороупругой анизотропной среды в дренированном и недренированном состояниях при изменении пористости от нуля до единицы. Имеется возможность пересчета пороупругих характеристик среды в недренированном состоянии в соответствующие «дренированные» параметры, что требуется для формулировки задачи в «и-р» переменных. Теоретически рассчитаны эффективные материальные характеристики тканей на основе модели трансверсально-изотропного тела.

6. Получены теоретические следствия из построенных соотношений линейной пороупругости в виде уравнений, описывающих вынужденные продольные и поперечные колебания стержня под действием гармонической силы. Проведен подробный параметрический анализ новых уравнений динамики пороупругого стержня и установлены закономерности поведения пороупругих систем при варьировании ключевых параметров математической модели.

7. На основе общего метода взвешенных невязок разработаны конечно-элементные алгоритмы решения систем дифференциальных уравнений, описывающих вынужденные пространственные колебания пороупругого трехмерного тела под действием гармонической силы, в «и-р» и «и-\у» переменных. Численный алгоритм решения задачи пороупругости в виде «и-р» формулировки реализован в авторском программном вычислительном комплексе МесИашсБрЕ®. Комплекс имеет существенные отличия от известных коммерческих универсальных конечно-элементных комплексов, в которых либо отсутствует возможность пороупругого расчета, либо анализ ограничен квазистатическими задачами без учета вязкости, что не позволяет исследовать резонансные режимы колебательных процессов в пороупругих системах.

8. На основе построенных математических моделей биологических тканей и вычислительного комплекса МесИатсзРЕ® разработана система имитационного моделирования в виде конечно-элементной модели голени человека, включающая большую и малую берцовые кости с внутренней структурой, окружающие мышцы, ахиллово сухожилие, соединительные ткани, кожный покров. Методом имитационного моделирования проведен анализ динамических свойств модели и уточнены значения вязкости тканей, образующих модель голени.

9. С помощью системы имитационного моделирования и вычислительного эксперимента рассмотрены актуальные биомедицинские проблемы вибрационной стимуляции и диагностики костных структур опорно-двигательного аппарата. Решенные задачи выявили новые закономерности в движении внутритканевой жидкости в системе пор костного вещества и взаимосвязь вибрационных потоков жидкости с динамическими характеристиками колебаний кости. Проведенное моделирование позволяет оценить влияние механического стимула на ростовые процессы, происходящие в живой костной ткани, и подтверждает гипотезу о биологической эффективности резонансных режимов колебаний.

10. Разработаны математический метод и алгоритм интерпретации результатов натурных экспериментов по свободным затухающим колебаниям болыпеберцовой кости. Разработанная математическая модель вибрационного эксперимента дает возможность по числовым данным измерений временных сигналов ускорений с поверхности голени или другого биомеханического объекта, удовлетворяющего условиям модели, определить динамические характеристики изучаемой системы, такие как собственные частоты, параметры диссипации и формы колебаний.

1. Авдеев Ю.А. Математическая модель костной ткани как пороупругого пьезоэлектрического материала Текст. / Ю.А. Авдеев, С.А. Регирер // Мех. композ. мат. 1979. - № 5. - С. 851-855.

2. Аглямов С.Р. О механических свойствах биологических мягких тканей Текст. / С.Р. Аглямов, А.Р. Сковорода // Биофизика. 2000. - Т. 45. - № 6. - С. 1137-1145.

3. Адамович И.С. Некоторые задачи динамики болыпеберцовой кости человека Текст. / И.С. Адамович, У.К. Диевбернс // Совр. пробл. биомех. 1989. -№. 6.-С. 99-111.

4. Акулич Ю.В. Математическая модель процесса внутренней адаптационной перестройки спонгиозной и кортикальной костных тканей человека Текст. / Ю.В. Акулич // Мех. композ. мат. и констр. 2005. - Том 11. - № 2. - С. 157-168.

5. Аменицкий A.B. Гранично-элементный расчет динамики однородных по-роупругих тел Текст. / A.B. Аменицкий // Пробл. прочн. и пласт.: межвуз. сб. науч. тр. Н.Новгород, 2009. - Вып. 71. - С. 178-183.

6. Анишкина Н.М. Оценка функционального состояния опорно-двигательного аппарата человека по вибрациям, сопровождающим локомоци-онные акты Текст. / Н.М. Анишкина, В.А. Антонец, А.П. Ефимов // Совр. пробл. биомех. 1992. - № 7. - С. 23-34.

7. Арсеньев Д.Г. Эффективные упругие характеристики анизотропной модели пористого биологического материала, насыщенного жидкостью Текст. / Д.Г. Арсеньев, A.B. Зинковский, Л.Б. Маслов // Науч.-техн. ведомости СПбГПУ. 2008. - № 3 (59). - С. 230-236.

8. Бреббия К. Методы граничных элементов Текст.: пер. с англ. / К. Бреб-бия, Ж. Теллес, Л. Вроубел. М.: Мир, 1987. - 524 с.

9. Вибрационная биомеханика. Использование вибрации в биологии и медицине Текст. / под ред. К. В. Фролова. М.: Наука, 1989. - 141 с.

10. Вибродиагностические признаки разрыва ахиллова сухожилия Текст. / Л.Б. Маслов [и др.] // Реабилитация больных с травмами и заболеваниями опорно-двигательной системы: сб. науч. тр. Иваново, 2000. - Кн. 4. - С. 278-284.

11. Городецкая Н.С. Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах Текст. / Н.С. Городецкая // Акуст. вест. 2007. - Т. 10. - № 2. - С. 43-63.

12. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация Текст.: пер. с англ. / О. Зенкевич, К. Морган. -М.: Мир, 1986. 318 с.

13. Зинковский A.B. Применение теории пороупругости к анализу колебаний биологических структур Текст. / A.B. Зинковский, Л.Б. Маслов // Науч.-техн. ведомости СПбГПУ. 2005. - № 1(39). - С. 166-173.

14. Зинковский A.B. Резонансные свойства биологических тканей голени Текст. / A.B. Зинковский, Л.Б. Маслов // Науч.-техн. ведомости СПбГПУ. -2003. № 4 (34). - С. 83-88.

15. Илюшенков В.Н. Остеосинтез проницаемыми пористыми конструкциями внутри- и околосуставных переломов и при остеопорозе трубчатых костей Текст. / В.Н. Илюшенков, В.Э. Гюнтер // Имплантанты с памятью формы. -1998.-№1-2.-С. 1-13.

16. Исследование вынужденных колебаний биомеханической системы «кость-фиксатор» Текст. / Л.Б. Маслов [и др.] // БИОМЕХАНИКА-2000: Тез.докл. V Всерос. конф., Н.Новгород, 29 мая-2 июня 2000 г. Н.Новгород: ИПФ РАН, 2000. - С.34-35.

17. Исследование резонансных свойств мягких упругих тканей голени методами вибрационной диагностики Текст. / Д.С. Смирнов [и др.] // Вестник ИГЭУ. 2006.-№3.-С. 12-18.

18. Клочков Б.Н. Волновые процессы в активных средах, насыщенных жидкостью Текст.: автореф. дис.: д. физ.-мат. наук / Клочков Борис Николаевич. -Н. Новгород, 2007 48 е.: ил. - Библиогр.: с. 45^8.

19. Компьютеры и суперкомпьютеры в биологии Текст. / под ред. В.Д. Лахно, М.Н. Устинина. М: Ин-т компьютерных исследований, 2002. - 528 с.

20. Кораблев С.С. Вибрационная диагностика в машиностроении Текст. / С.С. Кораблев, В.И. Шапин, Ю.Е. Филатов. Иваново: ИЭИ, 1985. - 135 с.

21. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров Текст.: пер. с англ. / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1984. - 831 с.

22. Космическая биология и авиакосмическая медицина: Мат. XIII Всерос. конф., Москва ,13-16 июня 2006 г. М: ГНЦ ИМБП РАН, 2006. - 396 с.

23. Кривоглаз М.А. Об упругих модулях твердой смеси Текст. / М.А. Кривоглаз, A.C. Черевко // Физ. мет. и металловед. 1959. - Т.8. - №2. - С. 161-166.

24. Кузнецов В.В. Исследование динамики поверхностных возмущений скелетных мышц человека Текст. / В.В. Кузнецов [и др.] // Достижения биомеханики в медицине: Тез. докл. межд. конф. в 4 томах, Рига, 12-15 сент. 1986 г. -Рига: РМИ, 1986.-Т.1. С. 229-234.

25. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа Текст. / Л.Г. Лойцянский. -М.: Дрофа, 2003.-840 с.

26. Лурье А.И. Теория упругости Текст. / А.И. Лурье. М.: Наука, 1970. - 940с.

27. Маслов Л.Б. Алгоритм численного анализа биологических тканей на основе модели двухфазной среды Текст. / Л.Б. Маслов // Вестник ИГЭУ. 2005. -№ 3. - С. 62-70.

28. Маслов Л.Б. Исследование резонансных свойств биологических объектов в нормальных физиологических условиях Текст. / Л.Б. Маслов, И.А. Белов, A.A. Лебедева // Вестник ИГЭУ. 2009. - № 3. - С. 32-34.

29. Маслов Л.Б. Исследование собственных и вынужденных колебаний по-роупругого тела Текст. / Л.Б. Маслов // Вестник ИГЭУ. 2003. - № 6. - С. 110-115.

30. Маслов Л.Б. Конечно-элементное моделирование костных тканей как пороупругих сред Текст. / Л.Б. Маслов // БИОМЕХАНИКА-2008: Тез. докл. IX Всерос. конф., Н.Новгород, 20-24 мая 2008г. Н.Новгород: ИПФ РАН , 2008. -С. 125-127.

31. Маслов Л.Б. Конечно-элементный анализ вынужденных потоков жидкости в системе пор твердых тканей Текст. / Л.Б. Маслов // БИОМЕХАНИКА -2010: Тез. докл. X Всерос. конф., Саратов, 16-22 мая 2010 г. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. - С. 115.

32. Маслов Л.Б. Конечно-элементный комплекс «МеханикаБЕ» Текст. / Л.Б. Маслов, М.В. Козлов // Состояние и перспективы развития электротехнологии (X Бенардос. чтения): Тез. докл. межд. конф., Иваново, 25-27 мая 2001г. -Иваново: Изд-во ИГЭУ, 2001. С. 60.

33. Маслов Л.Б. Конечно-элементный программный комплекс «МЕХАНИКА» приложение в инженерном деле и биомеханике Текст. / Л.Б. Маслов, М.В. Козлов // Вестник ИГЭУ. - 2002. - № 2. - С. 23-28.

34. Маслов Л.Б. Математическое моделирование колебаний пороупругих систем Текст.: монография / Л.Б.Маслов Иваново: Изд-во ИГЭУ, 2010.- 264с.

35. Маслов Л.Б. Особенности вибрационной диагностики мягких тканей голени человека Текст. / Л.Б. Маслов, В.И. Шапин, С.Е. Львов // БИОМЕХАНИ-КА-1998: Тез. докл. IV Всерос. конф., Н.Новгород, 1-5 июня 1998 г. -Н.Новгород: ИПФ РАН, 1998. С. 69-70.

36. Маслов Л.Б. Параметрическое исследование гармонических колебаний пороупругого стержня Текст. / Л.Б. Маслов // Прикл. мат. и мех. 2010 (в печ.).

37. Маслов Л.Б. Пороупругая модель колебаний твердых биологических тканей при гармоническом воздействии Текст. / Л.Б. Маслов // Вестник ИГЭУ.- 2009. -№3.- С. 51-53.

38. Маслов Л.Б. Применение методов граничных и конечных элементов для решения двумерных и трехмерных задач теории упругости Текст.: автореф. дис.: канд. техн. наук / Маслов Леонид Борисович. С.-Петербург, 1992 - 24 е.: ил. - Библиогр.: с. 23-24.

39. Маслов Л.Б. Применение теории Био к исследованию вынужденных колебаний пористых структур Текст. / Л.Б. Маслов // Мех. композ. мат. и констр.- 2005. Том 11. - № 2. - С. 276-297.

40. Маслов Л.Б. Разработка реалистичных моделей упругих элементов опорно-двигательного аппарата человека Текст. / Л.Б. Маслов, H.A. Сабанеев // Вестник ИГЭУ. 2008. - № 3. - С. 31-35.

41. Маслов Л.Б. Резонансные свойства большеберцовой кости в неповрежденном состоянии и с устройствами внешней фиксации Текст. / Л.Б. Маслов // Рос. журн. биомех. 2003. - Том 7. - № 2. - С.20-34.

42. Маслов Л.Б. Численное моделирование вибрационных потоков жидкости в системе пор большеберцовой кости Текст. / Л.Б. Маслов, Д.Г. Арсеньев, A.B. Зинковский // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. - Вып. 3. - С. 119-126.

43. Маслов Л.Б. Численный анализ вынужденных колебаний пороупругой модели лопатки газовой турбины Текст. / Л.Б. Маслов, И.А. Белов // Теплоэнергетика. 2010. - № 8. - С. 49-53.

44. Меликян M.JI. Динамика минерализации костной ткани в пористом титане и прочностные свойства композита «титан костная ткань» Текст. / М.Л. Меликян, В.И. Итин // Письма в ЖТФ. - 2002. - Т. 28. - № 16. - С. 20-24.

45. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред Текст.: в 2 т. / Р.И. Ниг-матулин. М.: Наука, 1987.

46. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред Текст. / Р.И. Нигматулин. М.: Наука, 1978. - 336 с.

47. Николаевский В.И. Геомеханика и флюидодинамика Текст. / В.И. Николаевский. М.: Недра, 1996. - 447 с.

48. Образцов И.Ф. Проблемы прочности в биомеханике Текст. / И.Ф. Образцов, И.С. Адамович, A.C. Барер. — М.: Высшая школа, 1988. 311 с.

49. Оптимизация механических свойств бедренного компонента композитного эндопротеза тазобедренного сустава Текст. / Д.В. Ликсонов [и др.] // ВестникИГЭУ.-2003.-№ 1.-С. 98-101.

50. Остеопороз Текст. / под ред. А.И. Воложина, B.C. Оганова. М.: Практическая медицина, 2005. — 238 с.

51. Пористые проницаемые материалы Текст.: Справ, изд. / под ред. Белова С.В. М.: Металлургия, 1987. - 335 с.

52. Применение вибрационных неразрушающих методов диагностики в ортопедии Текст. / Л.Б Маслов [и др.] // Рос. журн. биомех. 2006. - Том 10. - № 1.-С. 15-29.

53. Применение численного моделирования для определения диагностических признаков свежего разрыва ахиллова сухожилия Текст. / Л.Б. Маслов, С.В. Русских, В.И. Шапин, С.Е. Львов // Рос. журн. биомех. 1999. - № 2. - С.88.

54. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела Текст. / Ю.Н. Работнов. М.: Наука, 1988. - 712 с.

55. Регирер С.А. Движение крови и интерстициальной жидкости в костной ткани: обзор Текст. / С.А. Регирер, Н.Х. Щадрина // Изв. РАН: Механика жидкости и газов. 1999. - № 5. - С. 4-28.

56. Регирер С.А. Свойства и функции костных клеток: биомеханические аспекты Текст. / С.А. Регирер, A.A. Штейн, С.А. Логвенков // Совр. пробл. биомех. 2000. - Т. 10. - С. 174-224.

57. Резонансные характеристики болыпеберцовой кости в процессе восстановления упругих свойств костной мозоли Текст. / Л.Б. Маслов [и др.] //

58. БИОМЕХАНИКА-2002: Тез. докл. VI Всерос. конф., Н.Новгород, 20-24 мая 2002 г. Н.Новгород: ИПФ РАН, 2002. - С. 80-81.

59. Русских C.B. Лечение повреждений ахиллова сухожилия (клинико-функциональные исследования) Текст.: автореф. дис.: канд. мед. наук / Русских Сергей Владимирович. Иваново, 1999 - 24 е.: ил. - Библиогр.: с. 21-24.

60. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем Текст. / A.A. Самарский. -М.: Наука, 1971. 552 с.

61. Седов Л.И. Механика сплошной среды: в 2 т. Текст. / Л.И. Седов. М.: Наука, 1970.

62. Симус H.A. Разработка и применение разностных методов решения задач пороупругости Текст.: автореф. дис.: канд. физ.-мат. наук / Симус Наталья Андреевна. Москва, 1996 - 16 е.: ил. - Библиогр.: с. 16.

63. Сковорода А.Р. Определение механических свойств вязко-упругого слоя на основе импедансных измерений Текст. / А.Р. Сковорода, С.Р. Аглямов // Математическое моделирование. 1997. - Т. 8. - № 8. - С. 119-126.

64. Смирнов Д.С. Применение вибрационной диагностики для исследования мягких тканей голени Текст. / Д.С. Смирнов, Л.Б. Маслов // БИОМЕХА-НИКА-2006: Тез. докл. VIII Всерос. конф., Н.Новгород, 22-26 мая 2006 г. -Н.Новгород: ИПФ РАН, 2006. С. 104-106.

65. Стенд для вибродиагностики ахиллова сухожилия Текст.: пат. 2077266 Рос. Федерация, МПК А61В5/22 / Ноздрин М.А. [и др.]; заяв. и правообл. Ив. гос. энерг. ун-т. -№94000501/14; заявл. 05.01.94; опубл. 20.04.97, Бюл. №11.-Зс.

66. Теплоотдача в оболочках из пористых сетчатых материалов Текст. / А.Ф. Поляков [и др.] // Теплоэнергетика. 2009. - № 3. - С. 46-52.

67. Тиманин Е.М. Теоретические и экспериментальные основы виброакустической вискоэластографии мягких биологических тканей Текст.: автореф. дис: док. техн. наук / Тиманин Евгений Михайлович. Нижний Новгород, 2007. - 26 е.: ил. - Библиогр.: с. 22-25.

68. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле Текст.: пер. с англ. / С.П. Тимошенко, Д.Х. Янг, У. Уивер. М.: Машиностроение, 1985. - 472 с.

69. Устинов К.Б. Об определении эффективных упругих характеристик двухфазных сред. Случай изолированных однородностей в форме эллипсоидов вращения Текст. / К.Б. Устинов // Успехи механики. 2003. - № 2. - С. 126-168.

70. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве Текст. / Я.И. Френкель // Изв. АН СССР. 1944. - Т. 8. - № 4.-С. 133-149.

71. Ходоренко В.Н. Биосовместимые пористые проницаемые материалы Текст. / В.Н. Ходоренко, Ю.Ф. Ясенчук, В.Э. Гюнтер // Биосовместимые материалы и имплантанты с памятью формы. Томск, 2001. - С. 9-24.

72. A broadband viscoelastic spectroscopic study of bovine bone: implications for fluid flow Текст. / M. Buechner [и др.] // Ann. Biomed. Eng. 2001. - Vol. 29. - P. 719-728.

73. Ackerman MJ. The Visible Human Project Текст. / M.J. Ackerman // Proc. of IEEE. 1998. - Vol. 86. -№ 3. - P. 504-511.

74. Adaptive bone-remodeling theory applied to prosthetic-design analysis Текст. / R. Huiskes [и др.] // J. Biomech. 1987. - Vol. 20. - P. 1135-1150.

75. Allard J.F. Propagation of sound in porous media: Modeling sound absorbing materials Текст. / J.F. Allard. London: Elsevier, 1993. - 284 p.

76. Allard J.F. Propagation of sound in porous media: Modeling sound absorbing materials Текст. / J.F. Allard, N. Atalla. 2nd ed. - Chichester: Wiley, 2009.- 372p.

77. Anabolism. Low mechanical signals strengthen long bones Текст. / C.T. Rubin [и др.] // Nature. 2001. - Vol. 412. - № 8. - P. 603-604.

78. Anthropomorphic robot Текст.: patent 7303031 United States / Maslov L., Son Y., Kwak J.-Y.; appl. and assignee Samsung Electronics Co. № 11/092747; filed 30.03.05; publ. 04.12.07. - 20 p.

79. Application of results on Eshelby tensor to the determination of effective po-roelastic properties of anisotropic rocks-like composites Текст. / A. Giraud [и др.] // Int. J. Sol. Struct. 2007. - Vol. 44. - № 11-12. - P. 3756-3772.

80. Assessment of elastic parameters of human skin using dynamic elastography Текст. / J.-L. Gennisson [и др.] // IEEE Trans, on Ultrason., Ferroel., Freq. Control. 2004. - Vol. 51. - № 8. - P. 980-989.

81. Assessment of tibia stiffness by vibration testing in situ -1. Identification of mode shapes in different supporting conditions Текст. / A.B. Christensen [и др.] // J. Biomech.-1986.-Vol. 19.-№ l.-P. 53-60.

82. Assessment of tibia stiffness by vibration testing in situ II. Influence of soft tissues, joints and fibula Текст. / P. Cornelissen [и др.] // J. Biomech. - 1986. - Vol. 19.- №7.-P. 551-561.

83. Assessment of tibia stiffness by vibration testing in-situ. 1П. Sensitivity of different modes and interpretation of vibration measurements Текст. / M. Cornelissen [и др.] // J. Biomech. Vol. 20. - № 3. - 1987. - P. 333-342.

84. Atalla N. A mixed displacement-pressure formulation for poroelastic materials Текст. / N. Atalla, R. Panneton, P. Debergue // J. Acoust. Soc. Am. 1998. -Vol. 104.-№ 3.-P. 1444—1452.

85. Bardet J.P. The damping of saturated poroelastic soils during steady-state vibrations Текст. / J.P. Bardet // Appl. Math, and Сотр. 1995. - № 67. - P. 3-31.

86. Benirschke S.K. The use of resonant frequency measurements for the noninvasive assessment of mechanical stiffness of the healing tibia Текст. / S.K. Benirschke [и др.] // J. Orthop. Trauma. 1993. - Vol. 7. - № 1. - P. 64-71.

87. Berryman J.G. Elastic wave propagation and attenuation in a double-porosity dual-permeability medium Текст. / J.G. Berryman, H.F. Wang // Int. J. Rock Mech. and Mining Scien. 2000. - Vol. 37. - № 1. - P. 63-78.

88. Berryman J.G. Extension of poroelastic analysis to double-porosity materials: new technique in microgeomechanics Текст. / J.G. Berryman // J. Eng. Mech. -2002. Vol. 128. - № 8. - P. 840-847.

89. Biot M.A. General theory of three-dimensional consolidation Текст. / M.A. Biot//J. Appl. Phys.-1941.-Vol. 12.-№2.-P. 155-164.

90. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid, part I: low frequency range Текст. // J. Acoust. Soc. Am. 1956. - Vol. 28. -№2.-P. 168-178.

91. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid, part II: higher frequency range Текст. / M.A. Biot // J. Acoust. Soc. Am. -1956. Vol. 28. - № 2. - P. 179-191.

92. Biot M.A. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissipative media Текст. / M.A. Biot // J. Acoust Soc. Am. 1962. - Vol. 34. - № 5. - P. 1254-1264.

93. Cederbaum G. Poroelastic structures Текст. / G. Cederbaum, L.P. Li, K. Schulgasser. Oxford: Elsevier, 2000. - 158 p.

94. Chao E. Biophysical stimulation of bone fracture repair, regeneration and remodeling Текст. / E. Chao, N. Inoue // Europ. Cells Mater. 2003. - Vol. 6.- P. 72-85.

95. Characterization of the mechanical properties of skin by inverse analysis combined with the indentation test Текст. / A. Delalleau [и др.] // J. Biomech. -2006.-Vol. 39. -№ 9. P. 1603-1610.

96. Chen C.-T. A fiber matrix model for interstitial fluid flow and permeability in ligaments and tendons Текст. / C.-T. Chen, D.S. Malkus, R. Vanderby Jr. // Bior-heol. 1998. - Vol. 35. -№ 2. - P. 103-118.

97. Cheng A.H.-D. Review of some poroelastic effects in rock mechanics Текст. / A.H.-D. Cheng, Y. Abousleiman, J.C. Roegiers // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. Ge-omech. Abstr. 1993. - Vol. 30. - № 7. - P. 1119-1126.

98. Christensen A.B. Resonance of human tibia. Assessment to fracture healing Текст. / A.B. Christensen, F. Ammitzboll, C. Dyrbye // Advances in Biomaterials / ed. P. Ducheyne, G. Van der Perre, A. Aubert Amsterdam: Elsevier. - 1984. - № 5. -P. 215-220.

99. Collier R.J. Non-invasive method of measuring resonant frequency of a human tibia in-vivo Текст. / R.J. Collier, R.J. Donarski // J. Biomed. Eng. — № 9. — 1987.-P. 321-328.

100. Comparison of biophysical stimuli for mechano-regulation of tissue differentiation during fracture healing analysis Текст. / H. Isaksson [и др.] // J. Biomech. -2006.-Vol. 39.-№8.-P. 1507-1516.

101. Computational geomechanics with special reference to earthquake engineering Текст. / O.C. Zienkiewicz [и др.]. Chichester: Wiley, 1999. - 398 p.

102. Coussy O. Poromechanics Текст. / О. Coussy. New York: Wiley, 2004. -315p.

103. Cowin S.C. Bone mechanics handbook Текст. / S.C. Cowin. Boca Raton: CRC Press, 2001.-980 p.

104. Cowin S.C. Bone poroelasticity Текст. / S.C. Cowin // J. Biomech. 1999. -Vol. 32. - № 3. - P. 217-238.

105. Cunningham J.L. Vibration analysis Текст. / J.L. Cunningham // The Physical Measurement of Bone / ed. C.M. Langton, C.F. Njeh Bristol: Institute of Physics Publishing. - 2003. - P. 511-547.

106. Detournay E. Fundamentals of poroelasticity Текст. / E. Detournay, A. H.-D. Cheng // Comprehensive Rock Engineering. Vol. II. Analysis and Design Method / ed. C. Fairhurst Oxford: Pergamon Press. - 1993. - P. 113-171.

107. Development of a three-dimensional finite element model of a human tibia using experimental modal analysis Текст. / M.C. Hobatho [и др.] // J. Biomech. -1991. -№24. -P.371-383.

108. Development of porous steel structures for steam turbines Текст. / U. Dilthey [и др.] // Advanced Engineering Materials. 2001. - Vol. 3. - № 3. - P. 111-119.

109. Differential effect of steady versus oscillating flow on bone cells Текст. / C.R. Jacobs [и др.] // J. Biomech. 1998. - Vol. 31. - P. 969-976.

110. Direct perfusion measurements of cancellous bone anisotropic permeability Текст. / S.S. Kohles [и др.] // J. Biomech. 2001. - Vol. 34. - № 9. - P. 1197-1202.

111. Doherty W.P. Evaluation of the use of resonant frequencies to characterize physical properties of human long bones Текст. / W.P. Doherty, E.G. Bovill, E.L. Wilson // J. Biomech. Vol. 7. - № 6. - 1974. - P. 559-561.

112. Dormieux L. Micromechanical approach to the behavior of poroelastic materials Текст. / L. Dormieux, A. Molinari, D. Kondo // J. Mech. Phys. Solids. 2002. -Vol. 50. - № 10. - P. 2203 - 2231.

113. Dormieux L. Microporomechanics Текст. / L. Dormieux, D. Kondo, F.-J. Ulrn. New York: Wiley, 2006. - 328 p.

114. Drean S. Development and numerical modeling of a femoral biocomposite implant Текст. / S. Drean, B. Lebel, L.B. Maslov // XXXI Неделя науки СПбГПУ:

115. Мат. Всерос. межвуз. науч.-техн. конф. студ. и асп., С.-Петербург, 25-30 ноября 2002 г. СПб: Изд-во Политехи, ун-та, 2003. - Ч. X - С. 74-75.

116. Du X. Effects of sediment on the dynamic pressure of water and sediment on dams Текст. / X. Du, J. Wang, T.-K. Hung // Chin. Science Bulletin. 2001. - Vol. 46. - № 6. - P.521-524.

117. Effective elastic properties of matrix composites with transversely-isotropic phases Текст. /1. Sevostianov [и др.] // Int. J. Sol. Struct. 2005. - Vol. 42. - № 2. -P. 455-476.

118. Effect of low-magnitude, high-frequency vibration on osteocytes in the regulation of osteoclasts Текст. / E. Lau [и др.] // Bone. 2010. - Vol. 46. - № 6. - P. 1508-1515.

119. Elastic modulus and hardness of cortical and trabecular bone lamellae measured by nanoindentation in the human femur Текст. / P.K. Zysset [и др.] // J. Bio-mech. 1999. - Vol. 32. - № 8. - P. 1005-1012.

120. Electrovibrostimulation during the training of sportsmen, an experimental setup Текст. / K.J. Van Zwieten [и др.] // J. Vibroeng. 2007.- Vol. 9.- № 4,- P. 50-54.

121. Eshelby J.D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion and related problems Текст. / J.D. Eshelby // Proc. R. Soc., London, Ser. A. 1957. -Vol. 241.-P. 376-396.

122. Estimation of critical and viscous frequencies for Biot theory in cancellous bone Текст. / E.R. Hughes [и др.] // Ultrason. 2003.- Vol. 41 - № 5.- P. 365-368.

123. Evaluation of bone strength and integrity by vibration methods: identification of in-vivo excited modes Текст. / J. Vandecasteele [и др.] // Mechanical Factors and the Skeleton [Текст] / ed. A.F. Stokes London: John Libbey. - 1981. - P. 98-105.

124. Ferry J.D. Viscoelastic Properties of Polymers Текст. / J.D. Ferry. New York: Wiley, 1980. - 672 p.

125. Finite element modelling of the vibrational behaviour of the human femur using CT-based individualized geometrical and material properties Текст. / В. Couteau [и др.] // J. Biomech. 1998. - Vol. 31. - № 4. - P. 383-386.

126. Fluid pressure gradients arising from oscillations in intramedullary pressure is correlated with the formation of bone and inhibition of intracortical porosity Текст. / Y.X. Qin [и др.] // J. Biomech. 2003. - Vol. 36. - № 10. - P. 1427-1437.

127. Fluid pressure relaxation depends upon osteonal microstructure: modeling an oscillatory bending experiment Текст. / L. Wang [и др.] // J. Biomech. 1999. -Vol. 32.-№7.-P. 663-672.

128. Foot structure for humanoid robot and robot with the same Текст.: patent 7650203 United States / Maslov L., Son Y., Kwak J.-Y.; appl. and assignee Samsung Electronics Co.-№ 11/024815; filed 30.12.04; publ. 19.01.10.-22 p.

129. Fornells P. A finite element dual porosity approach to model deformation-Induced fluid flow in cortical bone Текст. / P. Fornells, J.M. Garcia-Aznar, M. Doblare // Annals Biomed. Eng. 2007. - Vol. 35. - № 10. - P. 1687-1698.

130. Ghaboussi J. Variational formulation of dynamics of fluid-saturated porous elastic solids Текст. / J. Ghaboussi, E.L. Wilson // J. Eng. Mech. 1972. - Vol. 98. -P. 947-963.

131. Goodship A.E. Low-magnitude high-frequency mechanical signals accelerate and augment endochondral bone repair: Preliminary evidence of efficacy Текст. / A.E. Goodship, T.J. Lawes, C.T. Rubin // J. Orthop. Res. 2009. - Vol. 27. - № 7. -P. 922-930.

132. Goransson P. A weighted residual formulation of the acoustic wave propagation through a flexible porous material and a comparison to a limp material model Текст. / P. Goransson // J. Sound Vibr. 1995. - Vol. 182. - № 3. - P. 479-494.

133. Gurkan U.A. The mechanical environmental of bone marrow: A review Текст. / U.A. Gurkan, O. Akkus // Ann. Biomed. Eng. 2008. - Vol. 36. - № 12. -P. 1978-1991.

134. Hashin Z. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials Текст. / Z. Hashin, S.A. Shtrikman // J. Mech. Phys. Solids. -1963. Vol. 11. -№ 2. - P. 128-140.

135. Hellmich C. Drained and undrained poroelastic properties of healthy and pathological bone: a poro-mechanical investigation Текст. / С. Hellmich, F.-J. Ulm // Transp. Porous Med. 2005. - Vol. 58. - № 3. - P. 243-268.

136. Hight Т.К. Natural frequency analysis of a human tibia Текст. / Т.К. Hight, R.L. Piziali, D.A. Nagel // J. Biomech. 1980. - № 13. - P. 139-147.

137. Hoffmeister B.K. Anisotropy of the transverse mode ultrasonic properties of fixed tendon and fixed myocardium analysis Текст. / B.K. Hoffmeister, S.E. Gehr, J.G. Miler // J. Acoust. Soc. Am. 1996. - Vol. 99. - № 6. - P. 3826-3836.

138. Holmes M. Nonlinear characteristics of soft gels and hydrated connective tissues in ultrafiltration analysis Текст. / M. Holmes, V. Mow // J. Biomech. 1990. -Vol. 23.-P. 1145-1156.

139. Huiskes R. A survey of finite element analysis in orthopaedic biomechanics: the first decade Текст. / R. Huiskes, E.Y. Chao // J. Biomech. 1983. - № 16. -P.385^09.

140. Identification of in-vivo vibration modes of human tibiae by modal analysts Текст. / G. Van der Perre [и др.] // J. Biomech. Eng. Vol. 105. - 1983.- P.244-248.

141. Interstitial fluid flow in tendons or ligaments: A porous medium finite element simulation Текст. / S.L. Butler [и др.] // Med. Biol. Eng. Comput. 1997. - Vol. 35. -№11.-P. 742-746.

142. Jenkyn T.R. Noninvasive muscle tension measurement using the novel technique of magnetic resonance elastography (MRE) Текст. / T.R. Jenkyn, R.L. Ehman, K.-N. An // J. Biomech. 2003. - Vol. 36. - P. 1917-1921.

143. Jurist J.M. In-vivo determination of the elastic response of bone. I. Method of ulnar resonant frequency determination Текст. / J.M. Jurist // Phys. Med. Biol. -1970.-№5. -P. 417-426.

144. Kelly P.J. Venous pressure and bone formation Текст. / P.J. Kelly, J.T. Bronk // Microvascular Res. 1990. - Vol. 39. - P. 364-375.

145. Khalili-Naghadesh N. Unified theory of flow and deformation in double porous media Текст. / N. Khalili-Naghadesh, S. Valliappan // Eur. J. Mech. [A] Solid.- 1996. -№ 15.-P. 321-336.

146. Knothe Tate M. L. Interstitial fluid flow Текст. / M. L. Knothe Tate // Cowin S.C. Bone mechanics handbook / S.C. Cowin. Boca Raton: CRC Press, 2001. - P. 230-235.

147. Kohles S.S. Linear poroelastic cancellous bone anisotropy: Trabecular solid elastic and fluid transport properties Текст. /S.S. Kohles, J.B. Roberts // J. Biomech. Eng. 2002. - Vol. 124. - № 5. - P. 521-527.

148. Krasnoshekov V.V. Shank injury computer simulation Текст. / V.V. Krasnoshekov, L.B. Maslov // Tools for Mathematical Modelling: proc. 2nd Int. conf., St.-Petersburg, 14—19 June 1999. SPb.: SPbSPU, 1999. - P. 75-76.

149. Krasnoshekov V.V. Vibration analysis and computer simulation of the human shank Текст. / V.V. Krasnoshekov, L.B. Maslov // III Int. Workshop on New Appr. to High-Tech. NDTCS-99 / Ed. A.I. Melker.- Proc. SPAS. 1999. - V. 3.- P.H4-H5.

150. Krouskop T.A. A pulsed Doppler ultrasonic system for making noninvasive measurement properties of soft tissue Текст. / T.A. Krouskop, D.R. Dougherty, F.S. Vinson // J. Rehab. Res. Dev. 1987. - Vol. 24. - № 2. - P. 1-8.

151. Leclaire P. Transverse vibrations of a thin rectangular porous plate saturated by a fluid Текст. / P. Leclaire, K.V. Horoshenkov, A. Cummings // J. Sound and Vi-brat.-2001.-Vol. 247. — № l.-P. 1-18.

152. Leclaire P. Vibration of porous plates in structural-acoustic coupling applications Текст. / P. Leclaire // Proc. 3rd Europ. Congr. on Acoustics. Sevilia, Spain, 1620 Sept. 2002.-P. 1-3.

153. Lewis R.W. The finite element method in the static and dynamic deformation and consolidation of porous media Текст. / R.W. Lewis, B.A. Schrefler. Chichester: Wiley, 1998. - 508 p.

154. Li X. A discontinuous Galerkin finite element method for dynamic and wave propagation problems in non-linear solids and saturated porous media Текст. / X. Li, D. Yao, R.W. Lewis // Int. J. Numer. Meth. Eng. 2003. - Vol. 57. - № 12. - P. 1775-1800.

155. Lowet G. Study of the vibrational behaviour of a healing tibia using finite element modelling Текст. / G. Lowet, X. Dayuan, G. van der Perre // J. Biomech. — 1996.-Vol. 29.-№8.-P. 1003-1010.

156. Low-magnitude high-frequency vibration treatment augments fracture healing in ovariectomy-induced osteoporotic bone Текст. / H.-F. Shi [и др.] // Bone. 2010. -Vol. 46. -№ 5. - P. 1299-1305.

157. Low-magnitude mechanical signals that stimulate bone formation in the ova-riectomized rat are dependent on the applied frequency but not on strain magnitude Текст. / S. Judex [и др.] // J. Biomech. 2007. - Vol. 40. - № 6. - P. 1333-1339.

158. Maslov L.B. Computer simulation of the shank tissues resonant properties Текст. / L.B. Maslov, F. Gouriou // VI Int. Workshop on New Appr. to High-Tech. NDTCS-2002 / Ed. A.I. Melker. Proc. SPAS. - 2002. - V. 6. - P. ЕЗ1-E34.

159. Maslov L.B. Vibromechanical diagnostic criteria for the Achilles tendon acute tears Текст. / L.B. Maslov, V.I. Shapin // Rus. J. Biomech. 2000. - 4(1) - P.62-70.

160. McConnell K.G. Vibration testing: theory and practice Текст. / K.G. McConnell. New York: Wiley, 1995. - 606 p.

161. Micromechanical bending of single collagen fibrils using atomic force microscopy loading Текст. / L. Yang [и др.] // J. Biomed. Mat. Res. [А]. 2007. - Vol. 82A. -№ l.-P. 160-168.

162. Micromechanically based poroelastic modeling of fluid flow in Haversian bone Текст. / C.C. Swan [и др.] // J. Biomech. Eng. 2003. - Vol. 125. - № 2.- P. 25-37.

163. Micromechanical testing of individual collagen fibrils Текст. / J. A J. Van der Rijt [и др.] // Macromolec. Bioscience. 2006. - Vol. 6. - № 9. - P. 697-702.

164. Modeling deformation-induced fluid flow in cortical bone's canalicular-lacunar system Текст. / S. Gururaja [и др.] // Ann. Biomed. Eng. 2005. - Vol. 33. -№ l.-P. 7-25.

165. Modeling of time-dependent force response of fingertip to dynamic loading Текст. / J.Z. Wu [и др.] // J. Biomech. 2003. - Vol. 36. - № 3. - P. 383-392.

166. Mori T. Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions Текст. / T. Mori, К. Tanaka // Acta Met. 1973. - Vol. 21. - № 5.-P. 571-574p.

167. Nakatsuchi Y. The vibrational mode of the tibia and assessment of bone union in experimental fracture healing using the impulse response method Текст. / Y. Nakatsuchi, A. Tsuchikane, A. Nomura // Med. Eng. Phys. 1996. - Vol. 18. - № 7. -P. 575-583.

168. Nashif A.D. Vibration damping Текст. / A.D. Nashif, D.I.G. Jones, J.P. Henderson. New York: Wiley, 1985. - 453 p.

169. Nauman E.A. Dependence of intertrabecular permeability on flow direction and anatomic site Текст. / E.A. Nauman, K.E. Fong, T.M. Keaveny // Annals Biomed. Eng. -1999. -Vol. 27. № 4. - P. 517-524.

170. Noninvasive determination of bone mechanical properties using vibration response: a refined model and validation in vivo Текст. / S.G. Roberts [и др.] // J. Biomech. 1996. - Vol. 29. - P. 91-98.

171. Non-invasive measurement of an in-vivo elasticity of skeletal muscles with MR-elastoraphy Текст. / Y.B. Kang [и др.] // Key Eng. Mat. 2007. - Vol. 342-343.-P. 901-904.

172. Oestreicher H.L. Field and impedance of an oscillating sphere in a viscoelas-tic medium with an application to biophysics Текст. / H.L. Oestreicher // J. Acoust. Soc. Am. 1951. - Vol. 23. - № 6. - P. 707-714.

173. Panneton R. An efficient finite element scheme for solving the three-dimensional poroelasticity problem in acoustics Текст. / R. Panneton, N. Atalla // J. Acoust. Soc. Am. -1997. Vol. 101. - № 6.-P. 3287-3298.

174. Ponte-Castaneda P. The effect of spatial distribution on the effective behavior of composite materials and cracked media Текст. / P. Ponte-Castaneda, J.R. Willis // J. Mech. and Phys. Sol. 1995. - Vol. 43. - № 12. - P. 1919-1951.

175. Poroelastic finite element analysis of bone specimen under cyclic loading Текст. / P. Manfredini [и др.] // J. Biomech. 1999. - Vol. 32. - № 2. - P. 135-144.

176. Poroelasticity of saturated solids with an application to blood perfusion Текст. / W.J. Vankan [и др.] // Int. J. Eng. Sci.-1996.- Vol. 34.- № 9.- P.1019-1031.

177. Prendergast P.J. A comparison of finite element codes for the solution of bi-phasic poroelastic problems Текст. / P.J. Prendergast, W.D. van Driel, J.-H. Kuiper // Proc. Instn. Mech. Engrs.- 1996. Vol. 210 (H2). - P. 131-136.

178. Prendergast P.J. Finite element models in tissue mechanics and orthopaedic implant design Текст. / P.J. Prendergast // Clin. Biomech. 1997. - Vol. 12. - № 6. -P. 343-366.

179. Qin Y.X. The pathway of bone fluid flow as defined by in vivo intramedullary pressure and streaming potential measurements Текст. / Y.X. Qin, W. Lin, C.T. Rubin // Annals Biomed. Eng. 2002. - Vol. 30. - P. 693-702.

180. Qin Y.X. Intracortical fluid flow is induced by dynamic intramedullary pressure independent of matrix deformation Текст. / Y.X. Qin, K. McLeod, C.T. Rubin // 46th Annual Meeting Orthop. Res. Soc. 2000. - P. 740.

181. Rao J.S. Turbomachine blade vibration Текст. / J.S. Rao. New Delhi: New Age Int., 1991.-445 p.

182. Resonance of the human tibia. Method, reproducibility and effect of transaction Текст. / A.B. Christensen [и др.] // Acta Orthop. Scand. № 53. - 1982. - P. 857-874.

183. Rheology of bovine bone marrow Текст. / J.D. Bryant [и др.] // Proc. Inst. Mech. Eng. [Н]. 203. 1989. - P. 71-75.

184. Rice J.R. Some basic stress-diffusion solutions for fluid saturated elastic porous media with compressible constituents Текст. / J.R. Rice, M.P. Cleary // Rev. Geophys. Space Phys. 1976. - Vol. 14. - P. 227-241.

185. Roberts S.G. Efficacy of monitoring long-bone fracture healing by measurement of either bone stiffness or resonant frequency: numerical simulation Текст. / S.G. Roberts, C.R. Steele // J. Orthop. Res. 2000. - Vol. 18. - № 5. - P.691-697.

186. Rubin C.T. Low-level mechanical signals and their potential as a non-pharmacological intervention for osteoporosis Текст. / C.T. Rubin, S. Judex, Y.-X. Qin // Age and Ageing. 2006. - Vol. 35-S2. - P. ii32-ii36.

187. Schanz M. Application of 3D time domain boundary element formulation to wave propagation in poroelastic solids Текст. / M. Schanz // Eng. Analysis Bound. Elem. 2001. - Vol. 25. - № 4. - P. 363-376.

188. Schanz M. Dynamic analysis of a one-dimensional poroviscoelastic column Текст. / M. Schanz, A. H.-D. Cheng // Trans. ASME. 2001. - Vol. 68. - № 3. - P. 192-198.

189. Schanz M. Poroelastodynamics: linear models, analytical solutions, and numerical methods Текст. / M. Schanz // Appl. Mech. Rev. 2009. - Vol. 62. - № 3. -P. 030803-1-030803-15.

190. Smit Т.Н. Estimation of the poroelastic parameters of cortical bone Текст. / Т.Н. Smit, J.M. Huyghe, S.C. Cowin // J. Biomech. 2002. - Vol. 35. - № 6. - P. 829-835.

191. Srinivasan S. Canalicular fluid flow induced by bending of a long bone Текст. / S. Srinivasan, T.S. Gross // Med. Eng. Phys. 2000. - Vol. 22. - № 2. - P. 127-133.

192. Steck R. A finite difference model of load-induced fluid displacements within bone under mechanical loading Текст. / R. Steck, P. Niederer, M.L. Knothe Tate // Med. Eng. Phys. 2000. - Vol. 22. - № 2. - P. 117-125.

193. Steck R. A finite element analysis for the prediction of load-induced fluid flow and mechanochemical transduction Текст. / R. Steck, P. Niederer, M.L. Knothe Tate // J. Theor. Biol. 2003. - Vol. 220. - № 2. - P. 249-259.

194. Strain gradients correlate with sites of periosteal bone formation Текст. / T.S. Gross [и др.] // J. Bone Mineral Res. 1997. - Vol. 12. - P. 982-988.

195. Suh J.K. Biphasic poroviscoelastic behavior of hydrated biological soft tissue Текст. / J.K. Suh, M.R. DiSilvestro // J. Appl. Mech. Vol. 66. - P. 528-535.

196. Tennyson R.C. Dynamic viscoelastic response of bone Текст. / R.C. Tennyson, R. Ewert, V. Niranjan // Exp. Mech. 1972. - Vol. 12. - P. 502-508.

197. The elastic properties of trabecular and cortical bone tissues are similar: results from two microscopic measurement techniques Текст. / C.H. Turner [и др.] // J. Biomech. 1999. - Vol. 32. - № 4. - P. 437-441.

198. The influence of link protein stabilization on the viscometric properties of proteoglycan aggregate solutions Текст. / V.C. Mow [и др.] // Biochim. Biophys. Acta. -Vol. 992.-P. 201-208.

199. Theodorakopoulos D.D. Flexural vibrations of poroelastic plates Текст. / D.D. Theodorakopoulos, D.E. Beskos // Acta Mech. 1994. - № 103. - P. 191-203.

200. The vibrational response of a clamped rectangular porous plate Текст. / P. Leclaire [и др.] // J. Sound and Vibrat. 2001. - Vol. 247. - № 1. - P. 19-31.

201. Thomsen J.J. Modeling human tibia structural vibrations Текст. / J.J. Thom-sen // J. Biomech. 1990. - № 23. - P.215-228.

202. Training of the skeletal-muscle apparatus of sportsmen through electrovi-brostimulation Текст. / A.V. Zinkovsky [и др.] // Fysische Therapie. 1998. - № 4. -P. 9-11.

203. Transversely isotropic poroelastic FE simulation of the rabbit flexor tendon Текст. / В. Haridas [и др.] // Proc. ASME Summer Bioengineering Conf. 1999. -Vol. XX-P. 139-140.

204. Tsuchikane A. The influence of joints and soft tissue on the natural frequency of the human tibia using the impulse response method Текст. / A. Tsuchikane, Y. Nakatsuehi, A. Nomura // Proc. Inst. Mech. Eng. № 209. - 1995. - P. 149-155.

205. Two-dimensional waveform analysis in MR elastography of skeletal muscles Текст. / S. Parazoglou [и др.] // Phys. Med. Biol. 2005. - Vol. 50. - № 6. -P. 1313-1325.

206. Ultrasonic determination of the anisotropy of Young's modulus of fixed tendon and fixed myocardium Текст. / B.K. Hoffmeister [и др.] // J. Acoust. Soc. Am. 1996. - Vol. 100. - № 6. - P. 3933-3940.

207. Van der Meulen M. Why mechanobiology? A survey article Текст. / M. van der Meulen, R. Huiskes // J. Biomech. 2002. - Vol. 35. - № 4. - P. 401^114.

208. Van der Perre G. On the mechanical resonance of a human tibia in vitro Текст. / G. van der Perre, P. Cornelissen // J. Biomech. 1983. - Vol. 16 - № 7. -P. 519-522.

209. Viscoelastic dissipation in compact bone: implications for stress-induced fluid flow in bone Текст. / E. Garner [и др.] // J. Biomed. Eng. 2000. - Vol. 122. - № 4. -P. 719-728.

210. Von Terzaghi K. Die Berechnung der Durchlässigkeit des Tones aus dem Verlauf der hydromechanischen Spannungserscheinungen Текст. / К. Von Terzaghi // Sitzungsber. Akad. Wissensch. Math.-Natur. Klasse. 1923. - № 132.- S.125-128.

211. Wakeling J.M. Soft-tissue vibrations in the quadriceps measured with skin mounted transducers Текст. / J.M. Wakeling, B.M. Nigg // J. Biomech. 2001. -Vol.34. -P. 539-543.

212. Wakeling J.M. Muscle activity reduces soft-tissue resonance at heel-strike during walking Текст. / J.M. Wakeling, A.-M. Liphardt, B.M. Nigg // J. Biomech. -2003.-Vol. 36.-№ 12.-P. 1761-1769

213. Weinbaum S. A model for the excitation of osteocytes by mechanical loading-induced bone fluid shear stresses Текст. / S. Weinbaum, Y. Zeng, S.C. Cowin // J. Biomech. 1994. - Vol. 27. - P. 339-360.

214. Wolff J. Das Gesetz der Transformation der Knochen. Berlin: A. Hirchwild (1892). Translated as: The Law of Bone Remodeling. Edited by P. Maquet and R. Furlong Текст. / J. Wolff. Berlin: Springer-Verlag, 1986.

215. Wu T.T. The effect of inclusion shape on the elastic moduli of a two-phase material Текст. / T.T. Wu // Int. J. Solids Struct. 1966. - Vol. 2. - № 1. - P. 1- 8.

216. Yin L. A biphasic and transversely isotropic mechanical model for tendon: application to mouse tail fascicles in uniaxial tension Текст. / L. Yin, D.M. Elliott // J. Biomech. 2004. - Vol. 37. - № 6. - P. 907-916.

217. Zhang D. On the calculation of bone pore water pressure due to mechanical loading Текст. / D. Zhang, S. Weinbaum, S.C. Cowin // Int. J. Solids Struct. 1998.- Vol. 35. № 34. - P. 4981^4-997.

218. Zhang J. A large deformation biomechanical model for pressure ulcers Текст. / J. Zhang, A. Mak, L. Huang // J. Biomech. Eng. 1997. - Vol. 119. - № 4. -P. 406-408.

219. Zeng Y. A fiber matrix model for fluid flow and streaming potentials in the canaliculi of an osteon Текст. / Y. Zeng, S.C. Cowin, S. Weinbaum // Ann. Biomed. Eng. 1994. - Vol. 22. - № 34. - P. 280-292.

220. Zienkiewicz O.C. Dynamic behaviour of saturated porous media; the generalized Biot formulation and its numerical solution Текст. / O.C. Zienkiewicz, T. Shi-omi // Int. J. Numer. Analyt. Meth. Geomech. 1984. - Vol. 8. - P. 71-96.

221. Zienkiewicz O.C. The finite element method (vol. 1, The basis) Текст. / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. London: McGraw-Hill, 2000. - 707 p.

222. Zohdi T.I. Introduction to computational mechanics Текст. / T.I. Zohdi, P. Wriggers. Berlin: Springer-Verlag, 2005. - 196 p.