автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование изменения капитала страховой компании в критических ситуациях

На правах рукот

ии

ЛУКАШКИН СЕРГЕИ ИГОРЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ КАПИТАЛА СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ В КРИТИЧЕСКИХ СИТУАЦИЯХ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

2 2 ОНТ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск-2009

003480314

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Башкирский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Спивак Семен Израилевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Кризский Владимир Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент Мамедова Татьяна Фанадовна

Ведущая организация. ГОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет».

Защита состоится «12» ноября 2009 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.117.14 при ГОУ ВПО «Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева» по адресу: 430005, РМ, г. Саранск, Большевистская, 68, аудитория 225 (I).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева.

Автореферат разослан «08» октября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Л.А. Сухарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Основа успешного функционирования любой финансовой структуры - контроль баланса входящих и исходящих потоков денежных средств. Такого рода задачи решаются в актуарной математике, в том числе, с помощью определения вероятности разорения страховой компании. А в современных условиях экономической нестабильности задача о разорении страховой компании становится еще более актуальной для страховых компаний и других финансовых институтов так или иначе связанных со страхованием, например для банков и лизинговых компании. Страхование призвано обеспечить стабильность на основе коллективного баланса, когда риски равномерно распределяются между участниками страхового процесса, за счет чего плата за риск уменьшается. Задача о разорении страховой компании безусловно имеет большое значение и для решения задач макроэкономической стабильности.

Вывод явных аналитических выражений в большинстве случаев приводит к серьезным математическим трудностям. Различные аппроксимации могут быть использованы для ограниченного числа моделей риска, что приводит к необходимости поиска других методов определения вероятности разорения страховой компании.

Для оценки вероятности разорения предлагается использовать метод имитационного моделирования. В литературе достаточно мало примеров комплексного построения и анализа имитационных моделей, описывающих реальные ситуации изменения капитала страховой компании. В особенности в ситуациях с переменным процессом входящих и исходящих финансовых потоков.

Цель работы. Анализ и математическое моделирование реальных процессов изменения капитала страховых компаний, приводящих к критическим ситуациям разорения компаний.

Задачи исследования:

— Построение имитационной модели разорения страховой компании для процессов с непостоянной скоростью входящих и исходящих финансовых потоков.

- Построение метода оценки вероятности разорения, разработка вычислительных алгоритмов и программного обеспечения для анализа реальных процессов страхования.

- Проведение вычислительного эксперимента, моделирующего реальную деятельность страховых компаний.

Методы исследования. Поставленные в работе задачи решены с использованием методов теории вероятностей, математической статистики и имитационного моделирования, в частности метода Монте-Карло. При проведении численного эксперимента использовались различные методы генерации случайных чисел (Генераторы Парка-Миллера, Парка-Миллера со смещением Бей-са-Дурхама и пр.) и функций распределения (Прямой метод, Метод обратной функции, Метод режекции). При решении задач использовались труды отечественных и зарубежных ученых, посвященные проблемам математического имитационного моделирования и анализа страховых рисков.

Основные научные результаты, выносимые на защиту:

- Математическая модель изменения капитала страховой компании, в случае поступления премий, требований по искам и возвратам премий с произвольными функциями распределения с непостоянной скоростью входящих и исходящих финансовых потоков.

- Разработан вычислительный алгоритм и создан программный комплекс анализа имитационных моделей.

- Разработана методика анализа точности результатов по оцениванию вероятности разорения.

Научная новизна работы:

- Построена имитационная модель страховой компании, в случае поступления премий, требований по искам и возвратам премий с произвольными функциями распределения с непостоянной скоростью входящих и исходящих финансовых потоков. Модель основана на использовании метода Монте-Карло.

- Разработан вычислительный алгоритм и создан программный комплекс анализа имитационных моделей.

- Разработана методика анализа точности результатов по оцениванию вероятности разорения.

Практическая значимость раиоти. Разработанная математическая модель и программный комплекс позволяют оценивать реальные процессы, происходящие в страховых компаниях основываясь на реальных статистических

данных. Программный комплекс имитационного моделирования «Ruin Probability Calculator» позволяет гибко настраивать полученные модели и оценивать такие важные параметры, как вероятность разорения страховой компании, время до разорения, дефицит средств в момент разорения и другие.

Разработанный комплекс внедрен в Уфимский филиал ЗАО «Страховая группа «УралСиб» и используется дня анализа рисков разорения портфеля договоров по различным видам страхования, используя имеющиеся статистические данные.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы обсуждались и докладывались на Всероссийской школе - конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, 2007), Всероссийской научно-практической конференции «Финансовая и актуарная математика» (Нефтекамск, 2009), на Ш международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики математического моделирования» (Воронеж, 2009), на VIII международной FAM'2009 конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (Красноярск, 2009), Четвертой международной школе-семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2009).

Публикации. По результатам проведенных исследований опубликовано 6 работ, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из 120 страниц машинописного текста, включающего введение, четыре главы, заключение, приложения, список литературы из 201 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируется цель, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, дается краткое описание работы.

В первой главе приведен краткий литературный обзор по теме исследования, изложена постановка задачи диссертационного исследования.

Классическая модель Лундберга-Крамера описывает поведение процесса рискового резерва R(t), отсчет которого начинается в момент времени t = 0, при начальном значении R(0) = и.

Две составляющие этого процесса - это премии, которые предполагаются линейно растущими с положительной постоянной интенсивностью с и выплаты страховой компанией по страховым событиям. Именно выплаты в данной модели отражают случайную природу страхового процесса и описываются следующим образом.

В модели Лундберга-Крамера предполагается, что выплаты производятся сразу после наступления страхового случая, что моменты времени между наступлениями страховых событий и размеры страховых выплат независимы и одинаково распределены. Другими словами, вводятся случайные величины Т„ / = 1,2,..., - интервалы между страховыми событиями, и У/, г = 1, 2, ..., - размеры страховых выплат, которые предполагаются независимыми и одинаково распределенными. Определение вида распределений этих случайных величин зависит от существа задачи и является отдельным важным вопросом.

Классически эта модель записывается следующим образом:

£/(0 = и + Й-£Г, (1)

Поступление премий считается детерминированным и линейно зависит от времени, величины выплат являются случайными и происходят в соответствии с процессом Пуассона с интенсивностью X, а величина N1 — это количество исков на временном интервале (0, /].

Обычно невероятно трудно вычислить точно вероятность (окончательного) разорения <р(и). Поэтому важным результатом в теории риска является верхняя граничная оценка вероятности разорения, часто называемая неравенством Лундберга:

<р(и) <, ехр(-Ди) (2)

где Я - поправочный коэффициент, а и- начальные активы.

Я определяется как решение уравнения 1 + (1+ Ьг(-К), где в— от-

носительная надбавка безопасности, ц — среднее значение величины иска,, Ьу(г) — преобразование Лапласа для функции распределения исков.

Это неравенство имеет два преимущества над точным выражением для <р(и):

1) его просто применять;

2) если и не слишком малы, то достигаемая аппроксимация очень хорошая.

Неравенство (2) говорит о том, что вероятность разорения ограничена

функцией, экспоненциально убывающей с ростом и. Вероятность разорения

убывает с ростом и и Л. Неравенство Лундберга (2) дает только верхнюю оценку вероятности разорения, но для более точной оценки часто используют так называемую аппроксимацию Крамера-Лундберга.

Теорема. Если существует поправочный коэффициент и выполняется следующее неравенство

~\хег~х{\-Оу{х))ск«я,

о

то имеет место следующее выражение

ЛМ (к) - сг

Несмотря на то, что аппроксимация Крамера-Лундберга дает хорошее приближение для вероятности разорения, очень сложно оценить точность таких приближений. Существуют и другие известные аппроксимации. Например, аппроксимация де Вильдера применима к классической модели риска и состоит в следующем.

Пусть — классический процесс риска с экспоненциально распреде-

ленными размерами выплат определяемый параметрами X, Ь' и р'. Пусть Х(7,) - исходный (классический) процесс риска со средним размером выплат ¿>, и параметрами Л пр.

Найдем параметры X, Ь[ и р из следующих трех уравнений:

Е(Х'(1))" = Е(Х([))", где к=1, 2, 3. Аппроксимация де Вильдера <рт (а) функции <р(х) строится как вероятность разорения для процесса Х'(() и вычисляется по следующим формулам:

<р{х) = —ехр(-Ях), где я =-—, в которых вместо Ъ,, Лир следует поста-

1+ Р ъ,(\+/ф

вить значения X, Ь" и р'.

Среди прочих эвристических аппроксимаций можно также отметить аппроксимацию Бикмана-Бауэрса, применяемую в классической теории риска. При этом функция Н(х) = 1 - (1 + р)<р{х) заменяется на гамма-распределение, первые два момента которого совпадают с первыми двумя моментами функции Н(х). Существуют также работы по двухстороннему оцениванию риска.

Рассмотрим классическую модель риска, определяемую параметрами X, с и функцией распределения В(и). Обозначим к-ый момент (к >1) функции распределения В через Ьк. Пусть # = ^ и функцию распределения нормирован-

1 + р

ной лестничной высоты А'формулой

Р(и)^"\(\-В(2))ск (3).

II

Моменты случайной величины X определяются формулой

Пусть В(и) -логнормальное распределение с плотностью

,, ч 1 ( (1пи + (Т2/2)2^ «р[--^—}

__

•ист

В котором Ьк = ехр(к(к - 1)а2 /2) и, в частности, = 1. Заметим, что

функция Р, определенная равенством (3), имеет асимптотическое представление

. ч__( (\п(Ьм / 2) - а1 / 2)2

1 - --т=—--1---ехр - ^---

2л/2^г(1п / 2) - <т /4) \ 2сг

Определим С(и) = ехр(А(м)), где

Л, (г/), еслии>дг',

А^х')и/х', еслии<;с",

А(«) =

^-¿М^К) -Ч¥Ь

Величина х определена ниже, а г\ е (-со; со) и <>0 служат параметрами функции (7 ив дальнейшем будут выбираться оптимально.

Легко видеть, что (О) <<х> при ( > 1. При вычислении считается, что

/ > 1. Далее, при т] > ^+ ^ функция Л,(«)/и убывает при возрастании

2а

и й 0. При этом Л, (и) принимает минимальное значение в точке

х' = 2ехр^/ - |-)сг2

Следующие таблицы содержат результаты конкретных расчетов. В них а, ц, е означают значения параметров, при которых (р{х) в точке х принимает минимальное значение, а <рЕГ(х) - асимптотическое приближение, вычисленное по формуле

(р{х)~\]{\-В{и))с1и.

Р\ *

Ниже приведена таблица 1, которая содержит численные данные, соответствующие значению <х= 1,8 (Ь2 = 25,53).

Таблица 1

ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗОРЕНИЯ В СЛУЧАЕ ЛОГНОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

р X <Р(х) а 1 п £ Ф) <Ра-О)

0,1 10000 5,9 -Ю-3 1.1 1,5 1,41 0,9 з,о-ю-5 3,5-10"5

50000 2,8-10"4 2,7 1,6 1,72 1,0 3,6-10"7 4,0-10"7

0,2 1000 6,7-10"2 3,3 1,4 1,07 0,93 9,8-Ю-1 2,9-10-'

10000 2,7-10-' 5,1 1,3 0,80 0,98 1,4-10-' 1,7-10-'

50000 4,7-10"1 6,3 1,7 2,10 1,0 1,7-Ю-7 2,0-10"7

0,3 1000 5,3 • 10_: 2,7 1,6 1,70 1,0 8,0-10^ 1,9-10-'

10000 1,8-10-' 3,1 1,3 0,79 0,99 8,8-10"6 1,2-10-'

50000 5,5-10-' 4,8 1,4 1,10 0,99 1,0-Ю"7 1,3-10'7

0,4 1000 5,3 -10"2 2,4 1,9 2,90 0,98 6,6-10"4 1,4-10-'

10000 3,7-10"4 4,7 1,6 1,70 0,50 6,2-Ю-6 8,7-Ю-6

50000 1,8-Ю-5 6,2 1,6 1,70 0,70 7,2-Ю"8 1,0-ю-7

0,5 1000 4,0-10"2 3,7 2,6 6,90 0,70 5,4-10"4 1,1-10'5

10000 7,8-10"' 2,3 1,7 2,09 0,99 4,6-10-" 7,0 -1041

50000 6,2-Ю"6 1,7 1,2 0,55 0,80 5,4-10"* 8,0-Ю-8

Видно, что нижняя оценка достаточно хорошо соответствует асимптотическому значению вероятности разорения. Точность верхней оценки низка, что отчасти объясняется тем, что выбор оптимальных значений параметров а, /, г\ и £ был организован как перебор лишь нескольких их значений, а функция б иска-

лась лишь в указанном выше виде. Тем не менее, не нужно забывать, что неизвестная вероятность разорения гарантированно лежит в указанных границах.

Кроме модели Крамера-Лундберга в литературе рассматривается и биномиальная модель. Рассмотрим модель коллективного риска со следующим процессом поступления исков:

ЛГ(0)=0,

¿У(0 = £+ ...+£„< = 1,2,...

где {4,}МЛг~ последовательность независимых бернуллиевских величин, таких что Р{£, = 1} = д, = 0} = 1 - <7.

Такой процесс поступления исков называется биномиальным. Размер выплат в момент / в случае поступления иска описывается независимыми одинаково распределенными случайными величинами {Х,}Ы2 , принимающими значения во множестве натуральных чисел {1,2,...}. Обозначим

/т=Р{Х,=п),п = 1,2,..., Л*) = 1/„'Лл = 1,2,... и =

распределение, производящую функцию и среднее

Предполагая независимость последовательностей {X, }(=1, и { /г , положим 5 = X, + ... + Хк и г„(к) = Р{8к=п},п = 0,1,2,..., тогда сумма

О,= £« = 1.2.... является функцией распределения суммы St независимых одинаково распределенных случайных величин, каждая из которых имеет производящую функцию

М1 /-1

Следовательно, производящая функция всей суммы равна

Рассмотрим стохастическую последовательность

и„ =х + к-Б]1.,тдск = \,2,..-,ио = *е{0,1,2,...}, моделирующую капитал страховой компании, состоящий из начального капитала х, поступивших премий к за вычетом выплат . Данная модель работы страховой компании носит название сложной биномиальной модели.

Функции ф(х, к) = P{U, £ 0; j = 0,1,2,..., к) и ф{х) = Иш Ф(х, к) будем назы-

к->°О

вать вероятностями неразорения на конечном [0, и бесконечном [0, со) промежутках деятельности страховой компании.

Ясно, что поиск аналитических выражений для этих функций дает возможность оценить рисковостъ, или платежеспособность, такой компании.

Пусть страховая компания, имея начальный капитал х, в каждый момент времени k= 1, 2, ...получает единичную премию и с «бернуллиевской» вероятностью q производит выплаты размера Хк. Найдем аналитическое выражение для вероятности неразорения (сохранения платежеспособности) за время к ф(х,к). Пусть начальный капитал компании равен х-1, х >1. По формуле полной вероятности для любых целых к их имеем следующее рекуррентное соотношение ф(х -1 ,к)~ Еф{и,, к -1) = (1 - q) • ф{х, k-\) + q- ^ф(х~, k-\)-fy при ес-

V-I

тественном соглашении о равенстве нулю вероятности неразорения с отрицательным начальным капиталом.

Существует несколько способов обобщения процесса Крамера-Лундберга. В одних работах рассматриваются различные распределения исков и строятся аналитические выражения для вероятности разорения, в других работах обобщается процесс поступления премий.

В настоящем диссертационном исследовании предпринята попытка применить имитационные методы к построению процесса изменения капитала страховой компании и получению основных характеристик, таких как вероятность разорения, время до разорения, дефицит средств в момент разорения и т. п.

Задачей настоящего диссертационного исследования является построение модели изменения капитала страховой компании вида

tw = «„+!>, -!>,(*) или

¡-1 у.I

U(t) = u0+tp,-tyj-tv>(**)

и нахождение вероятности разорения и других характеристик (например, среднее время до разорения) в рамках этой модели. А также разработка и реализация методов позволяющих моделировать обобщенные процессы вида (*) и (**).

Для имитационного моделирования необходимо создать программный комплекс, который, в том числе будет удобным с точки зрения использования его сотрудниками страховой компании.

В диссертационной работе уделено большое внимание процессу поступления премий и возвратов страховых премий, при расторжении договора страхования, так называемые возвраты, по 1-ой причине, что подавляющая масса работ считает процесс поступления премий детерминированным с постоянной скоростью поступления премий. Однако на практике, такой подход не всегда оправдан, а статистика по собранным премиям, свидетельствует о том, что этот процесс является стохастическим. Кроме того, само время поступления премий, выплат и возвратов, тоже является случайной величиной, что учтено при разработке новой модели.

Во второй главе рассмотрены законы распределений и их свойства, критерии согласия, такие как критерий Пирсона, Колмогорова, Смирнова и методы генерирования случайных величин по заданным законам распределения.

Для настройки метода Монте-Карло необходимо знать, какие вероятностные распределения описывают входящие и исходящие финансовые потоки. Для подбора закона распределения выдвигается несколько гипотез, относительно семейства распределений лежащих в основе статистических данных. Некоторые распределения можно охарактеризовать, хотя бы частично, с помощью функций их истинных параметров, таких как дисперсия, медиана, коэффициент вариации, асимметрии и пр. Кроме этого можно применять графические методы оценивания, такие как построение гистограмм. Для построения гистограммы, разобьем область значений, которая перекрывается данными, на к непересекающихся интервалов [Ьо, Ь/), [Ь/.АД ..., [Ьк.,, Ьк), имеющих одинаковую длину АЬ=ЬГЬ^1. Иногда для этого может потребоваться выбросить несколько крайне больших или крайне малых величин Л/, чтобы избежать получения громоздкой гистограммы. Пусть А,- будет долей величин Хь которые входят в у'-ый интервал [6,./, АД для _/ = 1 ,к. Теперь определим функцию

'О х<Ьа; _

О ,Ък<х,

Затем график функции А(дс) сравним с графиками плотностей различных распределений только на основании их форм (расположение и различия масштабов не учитываются) — это позволит увидеть, какие распределения имеют графики плотности, напоминающие гистограмму А.

Однако, у этого подхода есть недостатки. Наиболее существенный состоит в отсутствии четких указаний относительно выбора числа интервалов к (или, что то же самое, их ширины Д^).

Для выбора числа интервалов к предложено несколько практических правил, например, правило Стерджеса согласно которому к должно определяться по следующей формуле:

А: = [1 + 1О&и] = [1 + 3,3221О8шЛ].

Известны и другие правила определения числа интервалов, например правило Скотта:

где 5 — стандартное отклонение, или правило Фридмана и Диакониса:

*=2(1<г)и~,

где 10 - интерквартильный размах.

Однако на практике часто используется подход, согласно которому из нескольких вариантов разбиений на интервалы, выбирается наименьшее, в котором гистограмма является более «гладкой».

Говорят, что такие критерии согласия, как критерий Колмогорова-Смирнова являются «свободными от распределения». То есть не зависят от вида наблюдаемого закона распределения и, в частности, от его параметров. Это достоинство предопределило широкое использование данных критериев в приложениях.

Распределение статистики

£)„ =8ир|^(*)-^(*,е)|, (4)

|дг]<™

где - эмпирическая функция распределения, - теоретиче-

ская функция распределения, п — объём выборки, было получено Колмогоровым. При п —> оо распределение статистики 4пВп сходится равномерно к распределению Колмогорова

Наиболее часто в критерии Колмогорова (Колмогорова-Смирнова) используется статистика вида

_ _ биД, +1

где Z) = max(D+, Д7) > = max{i-F(*(O,0)}, D~n = maxÎF(*(4,0)-—1,

п - объем выборки, - упорядоченные по возрастанию выбороч-

ные значения, F(x,&) — функция закона распределения, согласие с которым проверяется. Распределение величины SK при простой гипотезе в пределе подчиняется закону Колмогорова K(S).

Если для вычисленного по выборке значения статистики 5* выполняется

неравенство P{S > S^} = 1 - Ä^iS^) > а, то нет оснований для отклонения гипотезы #0.

В основе статистик, используемых в критериях согласия типа %2, лежит измерение отклонений и, / N от P,(Q). Где вероятности попадания количества выборочных значений и„ попавших в / -й интервал вычисляются как

Pt (0) = |/(х, Q)dx, соответствующие теоретическому закону с функцией

плотности f(x,9). Статистика критерия согласия %2 Пирсона вычисляется в соответствии с соотношением

Для генерации случайной величины, имеющей равномерное распределение на интервале (0,1) можно использовать различные методы, такие как метод середины квадратов, метод вычетов, линейные сопряженные генераторы первого, второго и более высоких порядков, и другие методы.

Приведем периоды генерации для некоторых распространенных методов генерации случайной величины, равномерно распределенной (0,1). Генераторы

Парка-Миллера (Random Number Generator of Park and Miller) и Парка-Миллера со смещением Бейса-Дурхама (Random Number Generator of Park and Miller with Bays-Durham shuffle) имеет период порядка 2" -2» 2,1-10®. Генератор Л'Экуйера со смещением Бейса-Дурхама (Random Number Generator L'Ecuyer with Bays-Durham shuffle) имеет период равный 2,3-10". Хорошими характеристиками обладает MRNG-генератор Джорджа Марсаглин (The "Mother-of-all Pscudo Random Number Generation of George Marsaglin). Случайные величины полученные этим методом обладают отличными спектральными характеристиками и очень большим периодом, равным приблизительно 3-10". Кроме того, очень хорошими характеристиками обладает метод генерации случайных чисел, основанный на шифровании данных.

Методов генерации случайных чисел по заданному распределению как правило построены на подходящем преобразовании равномерно распределенных случайных чисел.

Эти методы делятся на несколько типов: прямой метод, инверсный метод (метод обратной функции), метод огибающей (метод режекции). Эти методы зарекомендовали себя и хорошо описаны в литературе.

В третьей главе приведен алгоритм моделирования стационарного и нестационарного пуассоновского процесса, рассмотрены простая (*) и построена уточненная модель разорения страховой компании (**), а также приведен метод точности оценки вероятности разорения.

Для генерации неоднородного процесса Пуассона воспользуемся методом прореживания.

Пусть интенсивность неоднородного процесса Пуассона А(() не превышает некоторого значения Лтах =max{X(t)}. Мы будем генерировать стационарный пуассоновский процесс для Хтах, а затем «прореживаем» количество ti, отбрасывая каждое значение tt с вероятностью Х^. Тогда алгоритм генерации будет выглядеть следующим образом:

1. Определяем t, = t,.j.

2. Генерируем U\ и U2 как независимые и одинаково распределенные величины с распределением U(0,1) независимо от предыдущих случайных величин.

3. заменяем t на t- (1/Дтот)1п U\.

4. Если и2 < Я(0Птах, тогда Ь = I В противном случае возвращаемся к шагу 2. Простая модель описывается следующей формулой

М /=1

где и0 - начальный капитал, М, - количество принятых премий к моменту р, - величина /'-той премии, Л', - количество выплат к моменту I, у— величина у-той выплаты.

Алгоритм имитационного моделирования приведен ниже (рис. 1).

Рис. 1. Имитационное моделирование разорения страховой компании. Случай двух потоков

Генерируем время поступления премии - 6еп_1р Генерируем размер премии - Сеп_р

Генерируем время выплаты - Сеп_> Генерируем размер выплаты - Сеп__в

Генерируем время возврата - веп_> Генерируем размер возврата -

Ниже приведен алгоритм имитации в случае одного входящего и двух исходящих финансовых потоков (рис. 2).

Задаем начальные условия

Т:=0, Ттах, Ц:=О

Рис. 2. Имитационное моделирование разорения страховой компании. Случай трех потоков

Часто, например, в практике страхования ОСАГО при продаже автомобиля, риски связанные со страхованием гражданской ответственности отпадают. В том случае, если срок действия полиса страхования не истек, страхователь

имеет право обратиться в страховую компанию, с требованием вернуть ему неиспользованную часть уплаченной страховой премии, пропорционально оставшемуся сроку действия договора. Это называется возвратом. Таким образом, соотношение (*) можно уточнить, добавив еще один исходящий поток возвратов. Тогда изменение капитала страховой компании в момент времени I запишется следующим образом:

(«I к-1

где иа, Мп рп NJ, у/ — из модели (*), Ьк-количество возвратов к моменту I, Ук - величина к-того возврата.

Таблица 2

ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФИНАНСОВЫХ ПОТОКОВ ПО ОСАГО ЗА 2004 ГОД

Премии Выплаты Возвраты

гамма-распределение а=2,44; Ь=653,09. Логнормальное распределение р =9,1446; 5=1,0229. Распределение Гумбеля а=709,05; Ь=456,16.

Определив функции распределения входящих и исходящих потоков реализуем 20 ООО имитаций моделей (*) и (**) и посчитаем количество разорившихся процессов. Ниже приведены итоги численного эксперимента (табл. 3).

Таблица 3

СРАВНЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЕРОЯТНОСТИ РАЗОРЕНИЯ

ПО ПОРТФЕЛЮ ОСАГО ЗА 2004 ГОД

Модели Количество процессов Количество разорившихся процессов Вероятность разорения

Модель (*) 20000 327 0,01635

Модель {**) 20000 1061 0,05305

При моделировании методом Монте-Карло мы можем говорить о точности полученных результатов лишь в терминах доверительных интервалов. Пусть у нас имеется п значений вероятности разорения, определенных с помощью моделирования, в каждом из которых рассматривается N процессов. Тогда в качестве оценки для <р можно взять величину

п

а для дисперсии а* = Уаг <р

При оценке вероятности разорения с помощью имитационного моделирования возникает вопрос, насколько велико должно быть число значений вероятности разорения п и реализаций процесса N для достижения заданной точно-

сти. Для метода Монте-Карло мы можем говорить о точности полученного результата только с определенной вероятностью. Покажем, как можно оценить необходимое число п оценок вероятности разорения для достижения заданной точности с определенной вероятностью.

Из центральной предельной теоремы можно записать, что

•1ъ{<р-ф)—^—^N((¡,в^y).

Тогда для 95% доверительного интервала можно записать, что

., 1,96 сг а 9>± Г -л/л

. 1,96а „ 1,96а Р--+ -

■Jn л/л

Пусть нам необходимо определить число реализаций п для обсечения точности результата е с вероятностью 95%. Тогда мы можем записать, что

1,96Vj

На практике значение с2 нам обычно неизвестно. Но можно поступить

следующим образом: получить некоторое число и' величин <р{,(рг....., а затем

определить величину дисперсии а'*, на основе которой можно оценить

n=ljev;/*1.

В четвертой главе приведено описание программного комплекса Ruin Probability Calculator (RBC) и примеры численного моделирования.

Для оценки вероятности разорения реальной страховой компании был выбран Уфимский филиал ЗАО «Страховая группа «УралСиб». На основе имеющейся статистической информации о премиях, выплатах и досрочно расторгнутых договорах были подобраны распределения премий и исков. Для подобранных распределений были оценены параметры. Кроме того, были найдены функции распределения времени поступления премий, выплат по искам и расторгнутых договоров. Затем построены имитационные модели для различных типов портфелей договоров по видам страхования и с помощью метода Монте-Карло были найдены оценки вероятности разорения для различных уровней начального капитала.

Программный комплекс Ruin Probability Calculator (RBC) позволяет моделировать процессы разорения для различный видов страхования.

Описание процесса ввода параметров для начала моделирования.

Для начала расчета вероятности разорения необходимо ввести в программный комплекс следующие параметры: тип модели; функции распределения исков, премий и возвратов; параметры функций распределения исков, премий и возвратов; функцию распределения определяющую интенсивность финансовых потоков (исков, премий и выплат); уровень начального капитала; период моделирования; количество циклов для метода Монте-Карло.

Программный комплекс позволяет выбрать генератор случайных чисел.

Численные результаты

Пример 1. Расчет для вероятности разорения по портфелю ОСАГО по модели (*).

Тип модели (♦)

Функция распределения премий <ляята(2,44; 653,09)

Функция распределения времени премий Рошои(86,37)

Функция распределения исков 1о%погт(9,1446; 1,0229)

Функция распределения времени исков Р013Х0П(1,Щ

Уровень начального капитала СК 0

Период моделирования 1 год

Количество циклов для метода Монте-Карло 20 000

Для перечисленных параметров, значение вероятности разорения ^(0) = 0,01635.

Пример 2. Расчет для вероятности разорения по портфелю ОСАГО по модели (**).

Тип модели С**)

Функция распределения премий (?а/нюа(2,44; 653,09)

Функция распределения времени премий Рошол(86,37)

Функция распределения исков Ьояпогт{9,1446; 1,0229)

Функция распределения времени исков

Функция распределения возвратов (?ш«6(709,05; 456,16)

Функция распределения времени возвратов Рошои(0,07)

Уровень начального капитала СК 0

Период моделирования 1 год

Количество циклов для метода Монте-Карло 20 000

Для перечисленных р(0) =0,05305.

параметров, значение вероятности разорения

Тип модели (*)

Функция распределения премий ватта^3,56; 723,12)

Функция распределения времени премий Задана таблично

Функция распределения исков витЬ(512,16; 364,60)

Функция распределения времени исков Задана таблично

Период моделирования 1 год

Количество циклов для метода Монте-Карло 20 000

Таблица 4

ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗОРЕНИЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ НАЧАЛЬНОГО КАПИТАЛА

Начальный капитал, и Вероятность разорения, <р(и)

0 0,6379

50 000 0,1044

100 ООО 0,0462

150 000 0,0282

200 000 0,0121

Практическое применение программного комплекса

Созданное программное обеспечение может быть использовано специалистами аналитического отдела или руководством страховой компании для анализа различных видов страхования. В случае, если по какому либо портфелю страховых договоров значение вероятности разорения принимает опасный характер, например, имеет значение 10% и более, то делается вывод о необходимости внесения изменений в управление страховой компанией или изменение тарифной политики, или увеличение страховых резервов, или отказ от данного вида страхования.

Описанный комплекс передан для эксплуатации в Уфимский филиал ЗАО «Страховая группа «УралСиб».

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана имитационная математическая модель процессов изменения капитала страховых компаний с непостоянной скоростью входящих и исходящих финансовых потоков, приводящих к критическим ситуациям разорения компаний.

2.На основе метода Монте-Карло построена процедура оценки вероятности разорения страховой компании.

3.Разработан вычислительный алгоритм и программный комплекс «Ruin Probability Calculator» для оценки вероятности разорения страховой компании;

4.На основе реальных статистических данных по Уфимскому филиалу ЗАО «Страховая группа «УралСиб» проведен вычислительный эксперимент, моделирующий реальную практику работы страховой компании.

5.Реализован алгоритм оценки погрешности основных показателей деятельности страховой компании.

б.Разработанный программный комплекс «Ruin Probability Calculator» внедрено для практической эксплуатации в Уфимском филиале ЗАО «Страховая группа «УралСиб».

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК

1. Спивак, С.И. Имитационная модель разорения страховой компании с учетом расторжения договоров / С.И. Спивак, С.И. Лукашкин // Управление риском. - 2009. № 2 (50). - С. 65-69.

2. Спивак, С.И. Имитационное моделирование процесса страхования в критических ситуациях / С.И. Спивак, С.И. Лукашкин // Системы управления и информационные технологии. - 2009. № 1 (35). - С. 91-95.

Публикации в других изданиях

1. Две имитационные модели разорения страховой компании / С.И. Лукашкин, С.И. Спивак // Финансовая и актуарная математика. Сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции, 30 марта-1 апреля 2009. - Нефтекамск, 2009. - С. 122-124.

2. Имитационное моделирование процесса страхования в критических ситуациях / С.И. Спивак, С.И. Лукашкин // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования. Материалы III Международной научной конференции. - Воронеж, 2009. - С. 49-51.

3. Имитационное моделирование разорения страховой компании / С.И. Лукашкин, С.И. Спивак // VIII Международная FAM'2009 конференция по финансово-актуарной математике и смежным вопросам, 24—26 апреля 2009. -Красноярск, 2009 - С. 75-76.

4. Лукашкин, С.И. Моделирование процесса разорения страховой компании методом Монте-Карло / С.И. Лукашкин, С.И. Спивак // Прикладная информатика. - 2009, № 4 (22). - С. 9-13.

ЛУКАШКИН СЕРГЕЙ ИГОРЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ КАПИТАЛА СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ В КРИТИЧЕСКИХ СИТУАЦИЯХ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Издательская лицензия № 06788 от 01.11.2001 г. ООО «Издательство «Здравоохранение Башкортостана» 450000, РБ, г. Уфа, а/я 1293; тел./факс (347) 250-13-82.

Подписано в печать 07.10.2009 г. Формат 60x84/16. Гарнитура Times New Roman. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. 1,4. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100. Заказ № 499.

Введение

Глава 1. Литературный обзор и постановка задачи.

1.1. Коллективный баланс и страховой риск.

1.2. Задача о разорении страховой компании.

Модель Крамера-Лундберга.

Поправочный коэффициент.

Асимптотическая формула Крамера-Лундберга.

Эвристическая аппроксимация де Вильдера и Бикмана-Бауэрса.

Двусторонние оценки вероятности разорения в классической модели в случае логнормального распределения размеров выплат.

1.3. Биномиальная модель.

1.4. Имитационное моделирование.

Процесс Крамера-Лундберга.

1.5. Постановка задачи.

Глава 2. Законы распределений и нестационарные процессы.

2.1. Подбор законов распределений для входящих и исходящих потоков.

Итоговая статистика.

Гистограмма.

2.2. Функции распределения и их свойства.

Равномерное распределение.

Экспоненциальное распределение.

Гамма-распределение.

Бета-распределение.

Распределение Вейбулла.

Распределение Гумбеля I рода или экстремального значения.

Нормальное распределение.

Логнормальное распределение.

Распределение Безье.

Эмпирическое распределение.

Параметры смещения и усечения распределения.

2.3. Критерии согласия.

Критерий Колмогорова.

Критерий Смирнова.

Критерии и?.

Критерий типа % Пирсона.

Оценка однородности различных наборов данных.

2.4. Генераторы случайных чисел и метод Монте-Карло.

Генерация случайных величин по заданному распределению.

Прямой метод.

Метод обратной функции.

Метод огибающей (Метод режекции).

Генерирование эмпирической функции распределения.

Глава 3. Моделирование изменения капитала страховой компании.

3.1. Имитационное моделирование неоднородных пуассоновских процессов.

Пуассоновские процессы.

Нестационарный пуассоновский процесс.

Генерирование стационарного пуассоновского процесса поступления исков (премий).

Генерирование нестационарного пуассоновского процесса поступления исков (премий).

3.2. «Простая» модель разорения страховой компании.

3.3. Уточненная модель разорения страховой компании. Сравнение двух моделей.

3.4. Точность оценки вероятности разорения при моделировании.

Глава 4. Программный комплекс Ruin Probability Calculator (RBC) для расчета изменения капитала страховой компании.

4.1. Программный комплекс для расчета вероятности разорения.

4.2. Пример расчета разорения реальной страховой компании.

Описание процесса параметров для начала моделирования.

Численные результаты.

Как используется программный комплекс в страховой компании. . Ю

Основные результаты работы.

Актуальность темы исследования. Основа успешного функционирования любой финансовой структуры — контроль баланса входящих и исходящих потоков денежных средств. Такого рода задачи решаются в актуарной математике, в том числе, с помощью определения вероятности разорения страховой компании. А в современных условиях экономической нестабильности задача о разорении страховой компании становится еще более актуальной для страховых компаний и других финансовых институтов так или иначе связанных со страхованием, например для банков и лизинговых компании. Страхование призвано обеспечить стабильность на основе коллективного баланса, когда риски равномерно распределяются между участниками страхового процесса, за счет чего плата за риск уменьшается. Задача о разорении страховой компании, безусловно, имеет большое значение и для решения задач макроэкономической стабильности.

Вывод явных аналитических выражений в большинстве случаев приво дит к серьезным математическим трудностям. Различные аппроксимации могут быть использованы для ограниченного числа моделей риска, что приводит к необходимости поиска других методов определения вероятности разорения страховой компании.

Для оценки вероятности разорения предлагается использовать метод имитационного моделирования. В литературе достаточно мало примеров комплексного построения и анализа имитационных моделей, описывающих реальные ситуации изменения капитала страховой компании. В особенности в ситуациях с переменным процессом входящих и исходящих финансовых потоков.

Цель работы. Анализ и математическое моделирование реальных процессов изменения капитала страховых компаний, приводящих к критическим ситуациям разорения компаний.

Задачи исследования:

- Построение имитационной модели разорения страховой компании для процессов с непостоянной скоростью входящих и исходящих финансовых потоков;

- Построение метода оценки вероятности разорения, разработка вычислительных алгоритмов и программного обеспечения для анализа реальных процессов страхования;

- Проведение вычислительного эксперимента, моделирующего реальную деятельность страховых компаний.

Научная новизна исследования:

- Построена имитационная модель страховой компании, в случае поступления премий-, требований пс искам и возвратам премий с произвольными функциями распределения. Модель основана на использовании метода Монте-Карло;

- Разработан вычислительный алгоритм и создан программный комплекс анализа имитационных моделей;

- Разработана методика анализа точности результатов по оцениванию вероятности разорения.

Практическая значимость работы. Разработанная математическая модель и программный комплекс позволяют оценивать реальные процессы, происходящие в страховых компаниях основываясь на реальных статистических данных. Программный комплекс имитационного моделирования «Ruin Probability Calculator» позволяет гибко настраивать полученные модели и оценивать такие важные параметры, как вероятность разорения страховой компании, время до разорения, дефицит средств в момент разорения и другие.

Разработанный комплекс внедрен в Уфимский филиал ЗАО «Страховая группа «УралСиб» и используется для анализа рисков разорения портфеля договоров по различным видам страхования, используя имеющиеся статистические данные.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы обсуждались и докладывались на Всероссийской школе — конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, 2007), Всероссийской научно-практической конференции «Финансовая и актуарная математика» (Нефтекамск, 2009), на III международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики математического моделирования» (Воронеж, 2009), на VIII международной FAM'2009 конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (Красноярск, 2009), Четвертой международной школе-семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2009).

Публикации. По результатам проведенных исследований опубликовано 6 работ, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из 120 страниц машинописного текста, включающего введение, четыре главы, заключение, приложения, список литературы из 201 наименования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана имитационная математическая модель процессов изменения капитала страховых компаний с непостоянной скоростью входящих и исходящих финансовых потоков, приводящих к критическим ситуациям разорения компаний;

2. На основе метода Монте-Карло построена процедура оценки вероятности разорения страховой компании;

3. Разработан вычислительный алгоритм и программный комплекс «Ruin Probability Calculator» для оценки вероятности разорения страховой компании;

4. На основе реальных статистических данных по Уфимскому филиалу ЗАО «Страховая группа «УралСиб» проведен вычислительный эксперимент, моделирующий реальную практику работы страховой компании;

5. Реализован алгоритм оценки погрешности основных показателей деятельности страховой компании;

6. Разработанный программный комплекс «Ruin Probability Calculator» внедрено для практической эксплуатации в Уфимском филиале ЗАО «Страховая группа «УралСиб».

1. Abikhalil, F. Finite time ruin problems for perturbed experience rating and connection with discounting risk models / F. Abikhalil // ASTIN Bull. 1986. — Vol. 16, № l.-P. 33-43.

2. Ahrens, J.H. Computer generation of poisson deviates from modified normal distributions / J.H. Ahrens, U. Dieter // ACM Transactions on mathematical software. 1982,-№2.-P. 163-179.

3. Aimer, B. Modern general risk theory / B. Aimer // ASTIN Bull. 1967. -Vol. 4, №2. -P. 136-169.

4. Andersen, E.S. On the collective theory of risk in case of contagion between the claims / E.S. Andersen // Trans. XVth International congress of actuaries. -N.Y., 1957. P. 219-229.

5. Anderson, T.W. Asymptotic theory of certain 'goodness of fit' criteria based on stochastic processes / T.W. Anderson, D.A. Darling // Ann. Math. Stat., 1952. V.23. — P.193-212.

6. Amsler, M.H. The ruin problem with a finite time horizon / M.H. Amsler // ASTIN Bull. 1984.-Vol. 14, № l.-P. 1-12.

7. Asmussen, S. Approximations for the probability of ruin within finite time / S. Asmussen // Scand. Actuarial J. 1984. - № 1. - P. 31-57.

8. Asmussen, S. Ruin probabilities via local adjustment coefficients / S. Asmussen, H.M. Neilsen // J. Appl. Prob. 1995. - Vol. 33. - P. 736-755.

9. Asmussen, S. Sensitivity analysis of insurance risk models via simulation / S. Asmussen, Y. Rubinstein // Management Science. 1999. - Vol. 45, № 8. - P. 1125-41.

10. Asmussen, S. Simulation of ruin probabilities for subexponential claims / S. Asmussen^ K. Binswanger // ASTIN Bull. 1997. - Vol. 27, № 2. - P. 297-318.

11. Barndorf-Nielsen, O.E. Saddlepoint approximations for the probability of ruin in finite time / O.E. Barndorf-Nielsen, H. Schmidli // Scand. Actuarial J. -1995.-№2.-P. 169-186.

12. Beard, R.E. On the calculation of the ruin probability for a finite time period/R.E. Beard//ASTIN Bull. 1971.-Vol. 6, №2.-P. 129-133.

13. Beard, R.E. Ruin probability during a finite time interval / R.E. Beard // ASTIN Bull. 1975. - Vol. 8, № 3. - P. 265-271.

14. Beekman, J.A. Simulation for a multirisk collective model / J.A. Beekman, C.P. Fuelling // Computational probability: proc. of the actuarial research conf. on computational probability. Academic Press, 1980.

15. Beekman, J. A riun function approximation / J. Beekman // Transactions of the Society of actuaries. 1969. - Vol. 21. - P. 275-279.

16. Benktander, G. Claims frequency and risk premium rate as a function of the size of the risk / G. Benktander // ASTIN Bull. 1973. - Vol. 7, № 2. - P. 119136.

17. Bohman, H. The ruin probability in special case / H. Bohman // ASTIN Bull.-1971.-Vol. 6, № 1. — P. 66-68.

18. Buhlmann, H. A distribution free method for general risk problem / H. Buhlmann//ASTIN Bull. 1964.-Vol. 3,№2.-P. 144-152.

19. Buhlmann, H. Premium calculation from top to down / H. Buhlmann // ASTIN Bull. 1985.-Vol. 15, №22.-P. 89-101.

20. Cheng, R.C.H. Estimating parameters in continuous univariate distributions with a shifted-origin / R.C.H. Cheng, N.A.K. Amin // J. Roy. Statist. Soc. 1983. - Vol. 45. - P. 394-403.

21. Cheng, R.C.H. Generating beta variables with nonintegral shape parameters / R.C.H. Cheng // Communications of the ACM. 1978. - Vol. 21, № 4. -P. 317-322.

22. Cheng, R.C.H. Some simple gamma variate generators / R.C.H. Cheng, G.M. Feast // Applied Statistics. 1979. - Vol. 28, № 3. - P. 290-295.

23. Chernoff, H. The use of maximum likelihood estimates in test for goodness of fit / Chernoff H., Lehmann E.L.// Ann. Math. Stat. 1954. - Vol. 25. -P. 579-586.

24. Cinlar, E. Introduction of Stochastic Processes / E. Cinlar // Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, — 1975.

25. Cohen, A.C. Estimation in the three-parameter lognormal distribution / A.C. Cohen, B. Whitten // J. Am. Statist. Assoc. 1980. - Vol. 75. - P. 399-404.

26. Cramer, H. Collective risk theory / H. Cramer // Forsak-ringsaktiebolaget skandias festskrift. Stockholm: Centraltryckeriet, 1955. — P. 1-92.

27. Cramer, H. On the mathematical theory of risk / H. Cramer // Forsak-ringsaktiebolaget skandias festskrift. Stockholm: Centraltryckeriet, 1930. - P. 784.

28. Daykin, C.D: Practical risk theory for actuaries / C.D. Daykin, T. Pentikainen, M. Personen. Chapman&Hall, 1996. - 55 p.

29. De Vylder, F. A practical solution to the problem of ultimate ruin probability / F. De Vylder // Scand. Actuarial J. 1978. - № 1. - P. 114-119.

30. De Vylder, F. Explicit finite-time and infinite-time ruin probabilities in the continuous case / F. De Vylder, M.J. Goovaerts // Insurance: mathematic. and economic. 1999.-Vol. 24.-P. 155-172.

31. Devroye, L. Non-uniform random number generation. — N.Y.: SpringerVerlag, 1986.-879 p.

32. Devroye, L. Random variate generation in one line of code / L. Devroye // Proceeding of winter simulation conference. — Colorado, 1996. — P. 265-272.

33. Dickson, C.M. Gamma processes and finite time survival probabilities / C.M. Dickson, H.R. Waiters // ASTIN Bull. 1993. - Vol. 23, № 2. - P. 259-272.

34. Dickson, C.M. Recursive calculation of survival probabilities / C.M. Dickson, H.R. Waiters // ASTIN Bill. 1991. - Vol. 21, № 2. - P. 199-221.

35. Dickson, C.M. Some stable algorithms in ruin theory and their applications / C.M. Dickson, A.D.E. Reis, H.R. Waiters // ASTIN Bull. 1995. - Vol. 25, № 2. -P. 153-175.

36. Dickson, C.M. Ruin probabilities with compounding assets / C.M. Dickson, H.R. Waiters // Insurance: mathematic and economic. — 1999. Vol. 25. — P. 49-62.

37. Dickson, C.M. Ruin problems: simulation or calculation / C.M. Dickson, H.R. Waiters // Br. Actuarial J. 1996. - № 8. - P. 727-740.

38. Dickson, C.M. On a class of renewal risk processes / C.M. Dickson // NAAJ. 1998. - Vol. 2, № 3. - P. 60-73.

39. Dickson, C.M. On numerical evaluation of finite time survival probabilities / C.M. Dickson // Br. Actuarial J. 1999. - № 23. - P. 275-584.

40. Dickson, C.M. The probability of ultimate ruin with a variable premium loading a special case / C.M. Dickson // Scand. Actuarial J. — 1991. - № 1. - P. 75-86.

41. Dickson, D. On numerical evaluation of finite time ruin probabilities / D.xL

42. Dickson // Trans. 26 International congress of actuaries. S.I., 1996. - P. 437447.

43. Dufresne, F. Three methods to calculate the probability of ruin / F. Dufresne, H.U. Gerber // ASTIN Bill. 1989. - Vol. 19, № 1. - P. 71-90.

44. Dufresne, F. Risk theory with the Gamma process / F. Dufresne, H.U. Gerber, E.S.W. Shiu // ASTIN Bill. 1991. - Vol. 21, № 2. - P. 177-192.

45. A survey of quadratic and inversive congruential pseudorandom number / J. Eichenauer-Herrmann et al. // Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo methods (Lecture notes in statistics №127). N.Y.: Springer, 1996. - P. 66-67.

46. Embrechts, P. Modeling extremal events for insurance and finance / P. Embrechts, C. Kluppelberg, T. Mikosch. Berlin: Springer, 1997. - 655 p.

47. Eshita, N. An estimation of claims distribution / N. Eshita // ASTIN Bill. -1977.-Vol. 9, № 1-2.-P. 111-121.

48. Freew, E.W. Nonparametric estimation of the probability of ruin / E.W. Freew//ASTIN Bill. 1986.-Vol. 16.-P. 81-90.

49. Geman, S. Stochastic relaxation, gibbs distributions, and the bayesian restoration of images / S. Geman, D. Geman // IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence. 1984. — № 6. — P. 721-741.

50. Gentle, J.E. Random number generation and Monte Carlo methods. — Springer-Verlag, 2003. 381 p.

51. Gerber, H.U. An extension of renewal equation and it's application in the collective theory of risk / H.U. Gerber // Skandinavisk Aktuarietidskrift. 1970. - P. 205-210.

52. Gerber, H.U. On the time value of ruin / H.U. Gerber, E.S.W. Shiu // NAAJ.- 1998.-Vol. 2, № 1.-P. 48-78.

53. Gerber, H.U. Utility functions: from risk theory to finance / H.U. Gerber,

54. G. Pafumi // NAAJ: 1998. - Vol. 2, № 3. - P. 74-100.

55. Gerber, H.U. On the probability and severity of ruin / H.U. Gerber, M. Goovaerts, R. Kaas//ASTIN Bill. 1987. - Vol. 17, № 2.-P. 151-164.

56. Gerber, H.U. Mathematical fun with the compound binomial process /

57. H.U. Gerber//ASTIN Bill.- 1988.-Vol. 18, №2.-P. 161-168.

58. Goovaerts, M. A stable recursive algorithm for evaluation of ultimate ruin probabilities / M. Goovaerts, F. De Vylder // ASTIN Bull. 1984. - Vol. 14, № 1. -P. 53-60.

59. Goovaerts, M. Survival probabilities based on Pareto claim distributions / M. Goovaerts, N. De Pril // ASTIN Bull. 1980. - Vol. 11, № 2. - P. 154-157.

60. Grandell, J. Aspects of risk theory. N.Y.: Springer-Verlag, 1991. - 1751. P

61. Grandell, J. Empirical bounds for ruin probabilities / J. Grandell // Stochastic processes and their applications. — 1979. — Vol. 8. P. 77-78.

62. Grandell, J. A note on the ruin problem for a class of stochastic processes with interchangeable increments / J. Grandell, I. Peiram // ASTIN Bull. 1972. -Vol. 7, № 1. - P. 81-89.

63. Grandell, J. On risk processes with stochastic intensity function / J. Grandell//ASTIN Bull. 1971.-Vol. 6, №2. -P. 116-128.

64. Grandell, J. Simple approximations of ruin probabilities / J. Grandell // Insurance: mathematics and economics. 2000. - Vol. 26. - P. 157-173.

65. Gullenberg, M. Cramer-Ludberg approximation for nonlinearly perturbed risk processes / M. Gullenberg, D.S. Silvestrov // Insurance: mathematics and economics. 2000. - Vol. 26. - P. 75-90.

66. Heidelberger, P. Fast simulation of rare events in queueing and reliability models / P. Heidelberger // ACM Transaction on modeling and computer simulation.- 1995.-Vol. 5, № l.-P. 43-85.

67. Hickman, J.C. Introduction to actuarial modeling / J.C. Hickman // NAAJ.- 1999. Vol. 3, № 2. - P. 116-129.

68. Hipp, C. Estimators and bootstrap confidence intervals for ruin probabilities / C. Hipp // ASTIN Bull. 1989. - Vol. 19' № l.-P. 57-70.

69. Hoagling, D.C. Undestanding robast and exploratory data analysis / D.C. Hoagling, F. Mosteller, J.W. Turkey. -N.Y.: John Wiley, 1983. 203 p.

70. Hogg, R.V. Loss distribution / R.V. Hogg, S.A. Klugman. N.Y.: John Wiley, 1984.-235 p.

71. Hy'ndman, R.J. The problem with Sturges rule for constructing histograms. -http://www.robjhyndman.com/papers/sturges.pdf.

72. Iglehard, D.I. Diffusion approximations in collective risk theory / D.I. Iglehard // J. Appl. Prob. 1969. - Vol. 6. - P. 285-292.

73. Johnk, M.D. Erzeugung von betaverteilten und gammaverteilten zufallszahlen / M.D. Johnk // Metrika. 1964. - № 8. - P. 5-15.

74. Johnson, M.E. Multivariate statistical simulation. N.Y.: John Wiley, 1987.-230 p.

75. Johnson, N.L. Continuous univariate distributions / N.L. Johnson, S. Kotz, N. Balakrishnan. — N.Y.: John Wiley, 1995. Vol. 2. - 719 p.

76. Jongh, B.H. The insurer's ruin / B.H. Jongh // ASTIN Bull. 1966. - Vol. 4,№ l.-p. 72-80.

77. Juneja, S. Simulation heavy tailed processes using delayed hazard rate twisting / S. Juneja, P. Shahabuddin, A. Chandra // Proceedings of winter simulation conference. 1999. - P. 420-427.

78. Junod, P. Cryptographic secure pseudo-random bits generation: the blum-blum-shub generator. http://crypto.junod.info/bbs.pdf.

79. Kachitvichyanukul, V. Binomial random variate generation / V. Kachitvichyanukul, B.W. Schmeiser // Communications of the ACM. 1988. - Vol. 31, №2. -P. 216-223.

80. Kachitvichyanukul, V. Computer generation of hypergeometric random variates / V. Kachitvichyanukul, B.W. Schmeiser // J. Stat. Comput. Simulat. -1985. Vol. 22, № 2. - P. 127-145.

81. Kalashnikov, V. Bounds of ruin probability in the presence of large claims and their comparison / V. Kalashnikov // NAAJ. 1999. - Vol. 3. - P. 116 - 129.

82. Klappelberg, C. Ruin probability in presence of heavy-tails and interest rates / C. Klappelberg, U. Stadtmuller // Scand. Actuar. J. 1998. - №T. - P. 49-58.

83. Knessl, C. Exact and asymptotic solutions for the time-depent problem of collective ruin 1 / C. Knessl, C.S. Peter // SIAM J. Applied Mathemat. 1994. -Vol. 54, №6.-P. 1745-1767.

84. Knessl, C. Exact and asymptotic solutions for the time-depent problem of collective ruin 2 / C. Knessl, C.S. Peter // SIAM J. Applied Mathemat. 1996. -Vol. 56, №5. p. 1471-1521.

85. Knuth, D.E. Seminumerical algorithms. S.l.: Addison-Wesley, 1981. -Vol. 2. — 704 p.

86. Estimating and simulating poisson processes with with treds or asymmetric cyclic effects / M.E. Kuhl et al. // Proceedings of winter simulation conference. —1997.

87. L'Ecuyer, P. Random number generation: handbook on simulation. -Wiley, 1998.-66 p.

88. Leeb, H. pLab-a system for testing random numbers / H. Leeb // International workshop parallel numerics. Slovakia, 1994.

89. Lundberg F.I., Approximerad Framstallning av Sannolikhetsfunktionen, II. Aterforsakring av Kollektivrisker. — Uppsala: Almqvist & Wiksell, 1903.

90. Lundberg F.I./ Forsakringsteknisk Riskutjamning. Stockholm: F. Englung boktryckeri A.B., 1926.

91. Lundberg, F.I. Approximerad framstallning av sannolikhetsfunktionen. II. Aterforsakring av kollektivrisker. Uppsala: Almqvist & Wiksell, 1903.

92. Lundberg, F.I. Forsakringsteknisk riskutjamning. — Stockholm, 1926.

93. Malinovski, Y.K. Non-poissonian claims arrival and calculations of the probability ruin / V.K. Malinovski // Insurance: mathematics and economics. —1998.-Vol. 22.-P. 123-138.

94. Malinovski, Y.K. Some aspects of rate making and collective risk models with variable safety loading / V.K. Malinovski // Transaction of the 26-th International congress of actuaries. — 1996. Vol. 4. — P. 465-481.

95. Malinovskii V.K. On automobile insurance in Russia (in Russian). — M., 1998.-P. 288-295.

96. Matsumoto, M. Mersenne twister: a 623-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number generator / M. Matsumoto, T. Nishimura // ACM Transactions on modeling and computer simulation. 1998. - Vol. 8, № 1. - P. 330.

97. Metropolis, N. The Monte Carlo method / N. Metropolis, S. Ulam // J. Am. Statist. Assoc. 1949. - Vol. 44. - P. 335-341.

98. Michaud; F. Estimating the probability of ruin for variable premiums by simulation / F. Michaud // ASTIN Bull. 1996. - Vol. 26, № 1. - P. 93-105.

99. Michna, Z. Ruin probabilities and first passage times for self-similar processes. Lund, 1998.

100. Nishimura, T. Tables of 64-bit mersenne twisters / T. Nishimura // ACM Transactions on modeling and computer simulation. — 2000. — Vol. 10, № 4. — P. 348-357.

101. Norberg, R. Ruin problems with assets and liabilities of diffusion type / R. Norberg // Stochastic processes and their applications. 1990. - Vol. 83. - P: 319330.

102. Nyrhinen, H. On the ruin probabilities in a general economic environment / H. Nyrhinen // Insurance: mathematic and economic. — 1990. — Vol. 83. — P. 319330.

103. Panjer, H. Insurance risk models / H. Panjer, G.E. Willmot, S. Haumberg II. S.l.: Society of Actuaries, 1992. - 442 p:

104. Panjer, H. On the stability of recursive formulas / H. Panjer, S. Wang // ASTIN Bull. 1993. - Vol. 23, № 2. - P. 227-258.

105. Paulsen, J. Ruin theory-with stochastic return on investment / J. Paulsen, H.K. Gjessing // Adv. Appl. Prob. 1997. - Vol. 29. - P. 965-985.

106. Paulsen, J. Risk theory in a stochastic economic environment / J. Paulsen // Stochastic processes and their applications. 1993. - Vol. 46. - P. 327-361.

107. Paulsen, J. Ruin theory with compounding assets a survey / J. Paulsen // Insurance: mathematic and economic. — 1998. — Vol. 22. — P. 3-16.

108. Pervozvansky, Jr. A.A. Equation for survival probability in a finite time , interval in case of non-zero real interest force / A.A. Pervozvansky Jr. // Insurance: mathematic and economic. 1998. - Vol. 23. - P. 287-295.

109. Peters, C.S. New method for the problem of collective ruin / C.S. Peters, M. Mangel // SIAM J. Applied Mathemat. 1990. - Vol. 50, № 5. - P. 1442-1456.

110. Philipson, C. A review of the collective theory of risk. Part 1. Comments on the development of the theory / C. Philipson // ASTIN Bull. 1968. - Vol. 5, №■ l.-P. 1-24.

111. Philipson, C. A review of the collective theory of risk. Part 2. Comments on the development of the theory / C. Philipson // ASTIN Bull. 1968. - Vol. 5, № l.-P. 25-41.

112. Picard, P. The moments of ruin in the classical risk model with discrete claim size distribution / P. Picard, C. Lefevre // Insurance: mathematic and economic. 1998. - Vol. 23. - P. 157-172.

113. Numerical recipes in C. The art of scientific computing / W.H. Press et al.. Cambridge University Press, 1992. - 735 p.

114. Stochastic processes for insurance and finance / T. Rolski et al.. — N.Y.: John Wiley, 1998.-680 p.

115. Rubinstein, R.Y. Melamed, modern simulation and modeling. -N.Y.: John« Wiley, 1997.-384 p.

116. Schlegel, S. Ruin probabilities in perturbed risk models / S. Schlegel // Insurance: mathematic and economic. 1998. - Vol. 22. - P. 93-104.

117. Schmidli, H. Cramer-Lundberg approximations for ruin probabilities of risk process perturbed by diffusion / H. Schmidli // Insurance: mathematic and economic. 1995.-Vol. 16.-P. 135-149.

118. Schmidli, H. Estimation of the Lundberg coefficient for a Markov modulated risk model / H. Schmidli // Scand. Actuarial J. 1997. - № 1. - P. 48-57.

119. Schmidli, H. Lundberg inequalities for Cox model with piecewise constant intensity / H. Schmidli // J. Appl. Prob. 1996. - Vol. 33. - P. 196-210.

120. Schmidli, H. Martingales and insurance risk / H. Schmidli // Lecture notes of the 8-th international summer school on probability and mathematical statistics. — Varna, 1996.

121. Schmidli, H. On the distribution of the surplus prior and at ruin / H. Schmidli // ASTIN Bull. 1999. - Vol. 29, № 2. - P. 227-244.

122. Schmidli, H. Perturbed risk processes: a review / H. Schmidli // Theory of Stochastic Processes. 1999. -№ 5. -P. 145-165.

123. Seal, H.L. From aggregate claims disikotheoretische Fragestellingen / H.L. Seal // Scand. Actuarial J. 1942. - Vol. 25. - P. 43-83.

124. Seal, H.L. Survival probabilities based on Pareto claim distributions / H.L. Seal//ASTIN Bull.- 1980.-Vol. 11,№ l.-P. 61-71.

125. Shannon, R.E. Introduction to the art science of simulation / R.E. Shannon // Proceedings of winter simulation conference. — 1998.

126. Shiu, E.S.W. The probability of eventual ruin in the compound binomial model / E.S.W. Shiu // ASTIN Bull. 1989. - Vol. 19, № 2. - P. 179-190.

127. Siegl, T. A process with stochastic claim frequency and linear dividend barrier / T. Siegl, R.F. Tichy // Insurance: mathematic and economic. 1999. - Vol. 24.-P. 51-65.

128. Siegl, T. Ruin theory with risk proportional' to the free reserve and securization / T. Siegl, R.F. Tichy // Insurance: mathematic and economic. 2000. -Vol. 26.-P. 59-73.

129. Siegmund, D. Corrected diffusion approximation in certain random walk problems / D. Siegmund // Adv. Appl. Probab. 1979. - Vol. 11. - P. 701-719.

130. Smith, W.B. Algorithm AS 53: wishart variate generator / W.B. Smith, R.R. Hocking // Applied Statistics. 1972. - Vol. 21, № 3. - P. 341-345.

131. Spivak, S. Simulation of risk processes with variable premium rate / S. Spivak, A. Klimin, G. Minullina // Transaction of the 27th International congress of actuaries. S.I., 2002. - P. 202-226.

132. Ruin probabilities based at claim instants for some non-poisson claim processes / D.A. Stanford, KJ. Stroinski et al. // Insurance: mathematics and economics.-2000.-Vol. 26.-P. 251-267.

133. Taylor, G.C. The negative exponential distribution and average excess claim size / G.C. Taylor // ASTIN Bull. 1979. - Vol. 10, № 3. - P. 303-304.

134. Temnov, G. Risk process with random income / G. Temnov // J. Mathem. Sci.-2004.-Vol. 123, № 1.

135. Thorin, O. Calculation of ruin probabilities when the claim distribution is lognormal / O. Thorin, N. Wikstad // ASTIN Bull. 1977. - Vol. 9, № 1-2. - P. 231-246.

136. Usabel, M.A. Application to risk theory of a Monte-Carlo multiple integration method / M.A. Usabel // Insurance: mathematic and economic. 1998. -Vol. 23.-P. 71-83.

137. Wang, G. Some distributions for classical risk process that is perturbed by diffusion / G. Wang, R. Wu // Insurance: mathematic and economic. — 2000. — Vol. 26.-P. 15-24.

138. Wang, S. Comonotonicity, correlation order and premium principles / S. Wang, J. Dhaene // Insurance: mathematic and economic. — 1998. — Vol. 22. P. 235-242.

139. Willmot, G. Exact and approximate properties of the distribution of surplus befor and after ruin / G. Willmot, X.S. Lin // Insurance: mathematic and economic. -1998.-Vol. 23.-P. 91-110.

140. Zankis, S.H. Simulation study of some simple estimators for the three-parameter weibull distribution / S.H. Zankis // J. Statist. Comput. Simul. 1979. -№9.-P. 101-116.

141. Актуарная математика: пер. с англ. / Н. Бауэре, X. Гербер, Д. Джонс и др.; под ред. В.К. Малиновского. -М.: Янус-К, 2001. 644 с.

142. Бахвалов, Н.С. Численные методы: учеб. пособие / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. М., 1987. - 600 с.

143. Бендат, Дж. Прикладной анализ случайных данных: пер. с англ. / Дж. Бендат, А. Пирсол. М.: Мир, 1989. - 540 с.

144. Болыпев JI.H., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука, 1983.-416 с.

145. Бурроу, К. Основы страховой статистики. — М.: Анкил, 1996, — 95 с.

146. Вадзинский, Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. — СПб.: Наука, 2001 295 с.

147. Виноградов, О.П. Вероятность разорения страховой компании в случае, когда интервалы между моментами выплат имеют неодинаковые показательные распределения / О.П. Виноградов // Теория вероятностей и ее применения. 1998. - Т. 43, № 2.

148. Вуколов, Э.А. Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов STATISTICA и EXCEL: учеб. пособие. М.: ФОРУМ, 2008. - 464 с.

149. Основы вычислительной математики / под ред. Б.П. Демидовича. — М.: Гос. изд-во физико-матем. литературы, 1960. 66 с.

150. Доклад о ходе реализации закона «Об обязательном страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств»: 2003 — 2006 гг. ML: ФССН, 2007. - 59 с.

151. Ермаков, С.М. Статистическое моделирование / С.М. Ермаков, Г.А. Михайлов. М.: Наука, 1982. - 296 с.

152. Золоторев, В.М. Устойчивые законы и их применения. М.: Знание, 1984.-64 с.

153. Теория и практика рискового страхования / С.С. Иванов, С.Д. Голубев, Л.А. Черная, Н.Е. Шарафутдинова. М.: РОСНО: Анкил, 2007. - 480 с.

154. Ивченко, Г.И. Задачи с решениями по математической статистике / Г.И. Ивченко, И.Ю. Медведев, A.B. Чистяков. М.: Дрофа, 2007. - 318 с.

155. Ито, К. Вероятностные процессы: пер. с япон. / под ред. Е.Б. Дынкина. М., 1960. - 34 с.

156. Калашников, В.В. Вероятность разорения / В.В. Калашников, Д. Константинидис // Фундаментальная и прикладная математика. 1992. - Т. 2, №4.-С. 1055-10.

157. Кельтон, В. Имитационное моделирование. Классика CS / В. Кельтон, А. Лоу. СПб.: Питер; Киев: BHV, 2004. - 847 с.

158. Кингман, Дж. Пуассоновские процессы. — М.: МЦНМО, 2007. 133 с.

159. Кокс, Д.Р. Анализ данных типа времени жизни / Д.Р. Кокс, Д. Оукс. — М:: Финансы и статистика, 1988. — 191 с.

160. Колесников, А.Н. Теория вероятности в финансах и страховании. — М.: Анкил, 2008. 256 с.

161. Кошкин, Г.М. Основы атуарной математики: учеб. пособие. Томск: Томский государственный университет, 2002. — 116 с.

162. Крамер, Г. Математические методы статистики: пер. с англ. / под ред. А.Н. Колмогорова. М., 1948. - 632 с.

163. Крамер, Г. Полвека с теорией вероятностей: наброски воспоминаний. Современные проблемььматематики: пер. с англ. М.: Знание, 1979. - 64 с.

164. Кудрявцев, A.A. Актуарная математика: Оценка обязательств компании страхования жизни: учеб. пособие. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 2005. - 240 с.

165. Кудрявцев, A.A. Лекции по оценке премий для краткосрочных видов страхования. Ч. 1. Совокупности однородных рисков. — СПб., 2004. — 120 с.

166. Куликов, C.B. Финансовый анализ страховых организаций. Ростов-н/Д: Феникс; Новосибирск: Сибирское соглашение, 2006. — 224 с.

167. Лемер, Ж. Автомобильное страхование. Актуарные модели: пер. с англ. М.: Янус-К, 2003. - 307 с. •

168. Лемер, Ж. Системы бонус-малус в автомобильном страховании: пер. с англ. М.: Янус-К, 2003. - 259 с.

169. Лемешко Б.Ю. Прикладная-статистика. Правила проверки согласия опытного распределениях теоретическим. Методические рекомендации. Часть II. Непараметрические критерии. / Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1999. - 85 с.

170. Лемешко Б.Ю. О правилах проверки согласия опытного распределения с теоретическим / Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. // Методы менеджмента качества. Надежность и контроль качества. — 1999. № 11. — С. 34-43.

171. Лукашкин, С.И. Две имитационные модели разорения страховой компании / С.И. Лукашкин, С.И. Спивак // Финансовая и актуарная математика: сб. матер. Всерос. науч.-практич. конф. Уфа, 2009. - С. 122-124.

172. Лукашкин, С.И. Имитационное моделирование разорения страховой компании / С.И. Лукашкин, С.И. Спивак // VIII Международная FAM 2009 конференция по финансово-актуарной' математике и смежным вопросам. — Красноярск, 2009. С. 75-76.

173. Лукашкин, С.И. Моделирование процесса разорения страховой компании методом Монте-Карло / С.И. Лукашкин, С.И. Спивак // Прикладная информатика. 2009. - Т. 4, № 22. - С. 9-13.

174. Мак, Т. Математика рискового страхования: пер. с нем. М.: Олимп-Бизнес, 2005.-432 с.

175. Малиновский, В. Некоторые вопросы платежеспособности страховых компаний / В. Малиновский // Страховое дело. 1995. - № 6. - С. 46-52.

176. Мельников, A.B. Риск-менеджмент. Стохастический анализ рисков в экономике финансов и страхования. — М.: Анкил, 2003. — 159 с.

177. Мирвалиев М., Никулин М.С. Критерии согласия типа хи-квадрат / Заводская лаборатория. 1992. Т. 58. № 3. С.52-58.

178. Мэйндоналд, Дж. Вычислительные алгоритмы в прикладной статистике / пер. с англ. Б.И. Клименко, A.B. Гмыри; под ред. Е.З. Димиденко. — М.: Финансы и статистика, 1998. 350 с.

179. Основы актуарной математики I: пер. с англ. — Кемерово, 1996. — 118с.

180. Поллард, Дж., Справочник по вычислительным методам статистики / пер. с англ. B.C. Занадворова; под. ред. Е.М. Четыркина. М.: Финансы и статистика, 1982. - 344 с.

181. Розанов, Ю.А., Случайные процессы: краткий курс. М.: Наука, 1971.-288 с.

182. Розанов, Ю.В. Теория вероятности и ее приложения / Ю.В: Розанов // О некоторых вопросах современной математики, и- кибернетики. М.: Просвещение, 1965. - С. 78-142.

183. Соболь, И.М. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1972. - 64 с.

184. Спивак, С.И. О точности результатов при^ расчете вероятности разорения страховой компании моделированием / С.И. Спивак, A.C. Климин // Вторая Всероссийская научно-теоретическая конференция. — Бирск, 2001. — С. 134-138:

185. Спивак, С.И. Оценка вероятности разорения реальной страховой компании моделированием методом Монте-Карло / С.И. Спивак, A.C. Климин // Принятие решений в условиях неопределенности. Уфа: УГАТУ, 2002. - С. 191-198.

186. Спивак, С.И. Имитационная модель разорения страховой компании с учетом расторжения договоров / С.И. Спивак, С.И. Лукашкин // Управление риском. 2009. - № 2. - С. 65-69.

187. Спивак, С.И. Имитационное моделирование процесса страхования-в критических ситуациях / С.И. Спивак, С.И. Лукашкин // Системы управления и информационные технологии. 2009. - № 1. - С. 91-95.

188. Спивак, С.И. Что такое финансовая математика? / С.И. Спивак // Соросовский образовательный журнал. — 1996. — № 8. — С. 123-127.

189. Топинский, В. А. Имитационное моделирование многомерных потоков страховых выплат. — http ://www. government.nnov. ru/ data/obj ects/29534/topinski. doc.

190. Фалин, Г.И., Математический анализ рисков в страховании. — М.: Российский Юридический Издательский дом, 1994. — 130 с.

191. Фалин, Г.И. Введение в актуарную маетематику / Г.И. Фалин, А.И. Фалин: М., 1994. - 86 с.

192. Фалин, Г.И. Теория риска для актуариев в задачах / Г.И. Фалин, А.И. Фалин. М.: Мир, 2004. - 240 с.

193. Феллер, В. Введение в теорию вероятности и ее приложение: в 2-х т. М.: Мир, 1984. - Т. 2. - 738 с.

194. Феллер, В. Введение в теорию вероятности и ее приложения: в 2-х т. -М.: Мир, 1984.-Т. 1.-528 с.

195. Функции случайных величин. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1995. - 36 с.

196. Хастингс, Н. Справочник по статистическим распределениям / Н. Хастингс, Дж. Пикок; пер. с англ. А.К. Звонкина. — М.: Статистика, 1980. 190 с.

197. Чибисов Д.М. Некоторые критерии типа хи-квадрат для непрерывных распределений / Чибисов Д.М. // Теория вероятностей и ее применение, 1971. -Т. XVI. № 1.-С. 3-20.

198. Ширяев, А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. - 576 с.

199. Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики. — М.: Фазис, 1998. — Т. 1: Факты. Модели. 512 с.

200. УРАЛСИБ I СТРАХОВАЯ ГРУППА www.uraisibins.ru1. UiV№.1. На №от1. СПРАВКАоб использовании результатов диссертационной работы аспиранта кафедры математического моделирования Башкирского государственного университета ЛУКАШКИНА С.И.

201. Математическое моделирование изменение капитала страховой компании в критическихситуациях»,представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

202. Методическая разработка и программный комплекс «Ruin Probability Calculator (RBC)» с соответствующим описанием с тестовыми примерами передан в Уфимском филиале ЗАО «Страховая группа «УралСиб»

203. Комплекс позволяет оценить вероятность разорения страховой компании на основе статистических данных о входящих и исходящих финансовых потоков В настоящее время комплекс используется для анализа рисков различных страховых портфелей1. Мустаева Р А

204. Закрытое акционерное общество «Страховая группа «УралС.иб» Уфимские фипкап

205. Верхнеторговая площадь, 3, 450077 г.Уфа, Республика Башкортостан, Тел./факс (347) 2 921 921, off>«tf>ufa.iic.ru огрн 1027739278093 инн 7703032986

206. Уфимский ' филиал ЗАО "Страясвдя г i 'УрилСмб* г Уфа

207. Заместитель директора по операционной поддержи развитию страхового бизнеса ЗАО «СГ «УралС