автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Математическое моделирование и преобразования в задачах устойчивости стационарных движений механических и управляемых систем.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ И УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

05.13.01 - Системные анализ, управление и обработка информации

(по прикладной математике и процессам управления)

На правах рукописи

005019250

НОВИКОВ Михаил Алексеевич

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 А ПР Ш

Санкт-Петербург - 2012

005019250

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН (ИДСТУ СО РАН).

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор

Утешев Алексей Юрьевич, СПбГУ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Андрианов Сергей Николаевич, СПбГУ;

доктор физико-математических наук, профессор Зайцев Валентин Федорович, РПТУ им. А.И. Герцена;

доктор физико-математических наук, профессор Щенников Владимир Николаевич, Мордовский ГУ им. Н.П. Огарева

Ведущая организация: Иркутский государственный университет путей

сообщения.

Защита состоится ё^Г^у-гс^Л 2012 г. в /і—часов на заседании диссертационного совета Д.212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург В.О., Университетская наб., 7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9. Автореферат размещен на сайте ВАК.

Автореферат разослан ¡Л^а/о То, 2012 г.

Ученый секретарь д.ф.-м.н., профессор (СПбГУ)

диссертационного Г.И.Курбатова

Совета Д.212.232.50 .

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Как отмечал академик H.H. Моисеев(1), процесс математического моделирования сложных систем (объектов) состоит из:

. комплексного системного анализа, включающего сбор информации о системе, анализ ее причинно-следственных связей, обработку входных данных;

. аналитических методов системного анализа; . оценки соответствия имитационных моделей реальным процессам. Основой аналитических методов системного анализа исследуемого процесса является составление математической модели, для чего применяются методы теории систем и принятия решений, теории оптимального управления, функционального анализа, дифференциальных уравнений и т.д. К конструктивным методам системного анализа механических систем относятся методы их аналитического интегрирования, имеющие целью как выделение стационарных множеств механических и управляемых систем, так и исследование устойчивости этих множеств. Кроме того, особый интерес представляет исследование изменения свойств исследуемых систем в зависимости от динамики параметров, входящих в эту систему. На эффективность этих методов существенно влияет выбор подходящей замены входящих в систему переменных.

Известно, что многие уравнения аналитической механики могут быть получены из вариационных принципов Гамильтона®, наименьшего действия Эй-лера-Якоби(3), наименьшего принуждения и т.д. Так теория Гамильтона-Якоби с помощью производящей функции позволяет получить каноническое преобразование^, применение которого приводит уравнения Гамильтона к виду, допускающему интегрирование. В системах Лиувилля и Штеккеля<2) с полными интегралами допускается разделение переменных. Линейные механические системы могут быть легко проинтегрированы при одновременном приведении к каноническим (в том числе - диагональным) видам матриц кинетической, потенциальной энергий, а также в зависимости от структуры других сил (дисси-

(1) Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981. - 487 с.

<2) Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы - 3. - М.: ВИНИТИ, 1985. — Т. 3. - С. 9-303.

(3) Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений // Тр. Московского мат. о-ва. — М., 1971.-С. 119-262.

пативных, гироскопических или каких-либо иных), матриц других видов.

В консервативных системах малой размерности эффективна теория Кол-могорова-Арнольда-Мозера (КАМ-теория), при использовании которой форма наименьшего (второго) порядка в разложении гамильтониана должна быть приведена линейной заменой переменных к нормальной форме.

В большинстве задач качественного анализа и устойчивости движения важную роль играет приведение к простейшему виду квадратичной части гамильтониана и линейной правой части системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Такими формами являются канонические формы Вильямсона(2), Жордана, Фробениуса.

Исследование нелинейных систем ОДУ часто требует применения нелинейной нормализации, основанной на нелинейной замене переменных: методом Пуанкаре в системах общего вида(3), производящей функцией преобразования^ в способе Биркгофа и методом Депри-Хори<4> в гамильтоновых системах. Как и в применении к задаче интегрирования систем, одновременное приведение линейным преобразованием к простейшему виду нескольких матриц квадратичных форм позволяет упростить анализ стационарных решений механических систем - особенно в плане исследования их устойчивости. Аналогичные задачи встречаются в квадратичном программировании при квадратичных ограничениях.

Эффективным методом исследования устойчивости является второй метод Ляпунова. Основным вопросом в этом методе является построение знакоопре-деленной функции Ляпунова и ее производной, и этой проблеме посвящены многочисленные работы (Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, H.H. Красовский,

A.М. Летов, А.И. Лурье, И.Г. Малкин, Г.В. Каменков, В.В. Румянцев,

B.И. Зубов, В. Д. Иртегов и др.). Распространенным видом функции Ляпунова для консервативных систем является связка Четаева из первых интегралов. При определенном наборе управлений и параметров системы квадратичная часть связки интегралов может вырождаться. По отношению к свойству устойчивости динамических систем этот случай - когда характеристическое уравнение матрицы линейного приближения правой части системы ОДУ обладает одним или несколькими нулевыми корнями - является критическим по Ляпунову. При

(1) Куницын А.Л., Марксев А.П. Устойчивость в резонансных случаях // Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. - 1979. - Т. 4. - С. 58-139.

его возникновении существенно усложняется построение функции Ляпунова даже в части проверки свойства знакоопределенности.

Значение задачи установления коэффициентных критериев знакоопределенности полинома V(xlt...,xn) нескольких переменных и произвольной степени не ограничивается только ее приложениями в теории устойчивости и теории управления. Эта задача возникает и в теории оптимизации. Ею занимался ряд исследователей, начиная с Д. Гильберта. Принципиально доказана (Зайденберг, Тарский) алгебраическая разрешимость этой задачи, и в случае невырожденности младшей формы в разложении полинома V(x) по возрастающим степеням переменных известны конструктивные алгоритмы ее решения. Вместе с тем случай вырожденности младшей формы до последнего времени не был исследован. К теореме Гшьберта о корнях полиномов примыкает также и решенная в диссертации для ряда случаев задача о нахождении точных граней множества значений полиномиальной функции.

Целью работы является нахождение преобразований, упрощающих аналитическое интегрирование систем ОДУ, и качественное исследование свойств решений этих систем с помощью метода функций Ляпунова.

Методы исследования. В работе используются методы нелинейной нормализации систем ОДУ, методы матричного анализа (в том числе в применении к задаче одновременной диагонализации вещественных симметричных матриц), а также методы исследования нелинейных алгебраических уравнений нескольких переменных и систем таких уравнений (в частности теория исключения).

Основные положения, выносимые на защиту

1. Условия одновременной диагонализации трех вещественных симметричных матриц в регулярном и сингулярном случаях.

2. Условия знакоопределенности пучков двух и трех квадратичных форм нескольких переменных.

3. Алгоритм получения необходимого и достаточного критерия знакоопределенности полинома произвольного порядка от нескольких переменных. Условия существования точных граней множества значений полинома двух переменных и алгоритм нахождения этих граней.

4. Методика исследования задач устойчивости стационарных решений консервативных систем в критических по Ляпунову случаях с использованием

полиномиальных функций Ляпунова, а также определения областей устойчивости в пространстве входящих в эти системы параметров.

Научная новизна. Выносимые на защиту результаты являются новыми и опубликованы в открытой печати. Вычислительные алгоритмы составлены и программно реализованы лично автором.

Теоретическая и практическая ценность. Разработанные в диссертации методы позволяют упростить качественный анализ механических и управляемых систем, а также усовершенствовать методы их интегрирования и оценки свойств решений.

Достоверность и эффективность предложенных методов и алгоритмов позволяет использовать их в механике, космодинамике, теории управления, теории оптимизации, физической химии и биологии.

Практическая ценность результатов диссертации состоит в том, что на этапе построения математической модели объекта они позволяют:

1) сократить время построения математической модели,

2) повысить качество выполняемых расчетов,

3) проанализировать динамику свойств (и адекватности) модели в зависимости от изменения параметров системы.

Более того, разработанные автором методы и алгоритмы ориентированы на современные вычислительные средства. Они реализованы в виде программного комплекса в среде аналитических вычислений Mathematica и могут быть применены ко многим прикладным задачам.

Результаты исследований прошли апробацию на следующих конференциях:

• "Математика, информатика и управление" (МИУ) (г. Иркутск, 2000),

• XII Международная конференция "Методы оптимизации и их приложения" (г. Иркутск, 2001),

• VIII Съезд по теоретической и прикладной механике (г. Пермь, 2001),

• VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (г. Казань, 2002),

• Конференция IF AC "Modelling and Analysis of Logic Controlled Dynamic Systems" (г. Иркутск, 2003),

• IX Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (г. Иркутск, 2007),

• III Всероссийская конференция с международным участием "Математика, ее приложения и математическое образование" (г. Улан-Удэ, 2008),

• IV Международный симпозиум "Обобщенные решения в задачах управления" (г. Улан-Удэ, 2008),

а также на семинарах лаборатории математических методов анализа свойств динамических систем Института динамики систем и теории управления СО РАН и факультета прикладной математики — процессов управления С.-Петербургского государственного университета.

Публикации. По результатам диссертационных исследований опубликована 21 статья, список которых приведен в конце реферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 194 наименования. Объем работы составляет 319 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор работ, примыкающих к теме диссертации, подчеркнута значимость методов механики и вычислительных методов и средств в системном анализе. Выделена роль способов нормализации, одновременной диа-гонализации двух и трех вещественных симметричных матриц, знакоопределенности форм и пучков квадратичных форм в современных методах качественных исследований и задачах о существовании первых интегралов.

Первая глава состоит из трех параграфов. В первом параграфе приведены необходимые сведения о линейных автономных механических системах с и степенями свободы, описываемые квадратичной функцией Лагранжа

Ь(д,д)^д'Ад + д'Вд + ±д'Сд (д,де Я"), (1)

где А — матрица кинетической энергии, С - матрица силовой функции, В — матрица неконсервативных сил, д = (д1,.--,д„) — вектор позиционных координат, д — вектор скоростей координат. В формализме Гамильтона соответствующая система ОДУ записывается в виде

г = (г={Я,р}е*2"), (2)

где И = ./ = транспонирования.

0 £ Л Ггт>л-1г>1 о л-'Л

Я,=

Е„ 0 " 2

(ВА В' - С) ВА~ ^ А~'В' А-1 )

символ г — знак

-Характеристическое уравнение системы ОДУ, описываемой функцией (1), имеет вид

f(A) = det [АЛ2-(В-В')Л-С] = а2пЛ2" +... + о0 =0. (3)

В параграфе 2 установлено соответствие количества линейных первых интегралов системы (2) с числом нулевых корней характеристического уравнения.

Лемма 1. Характеристическое уравнение (3) линейной системы (!) при существовании k циклических координат имеет не менее 2k нулевых корней.

Лемма 2. Характеристическое уравнение (3) линейной системы (2), допускающей к линейно независимых линейных однородных первых интегралов с постоянными коэффициентами

п

Vi=YM,JpJ = comt (/=1,2.....*),

м

имеет не менее 2к нулевых корней.

Лемма 3. Характеристическое уравнение (3) линейной системы (2), допускающей к линейно независимых линейных неоднородных первых интегралов с постоянными коэффициентами

п

Vi=HMvPj + = const (/ = 1,2,...,А),

1

имеет не менее к нулевых корней.

Доказана

Теорема 1. Общее количество к линейных по импульсам р (циклических, однородных, неоднородных) с постоянными коэффициентами интегралов системы (2)равно дефекту матрицы С.

В третьем параграфе рассмотрена нелинейная система с п степенями свободы

r = Dr + JdH3(r)ldr (reR2") (4)

и для нее установлен следующий результат.

Теорема 2. При приведении линейной части нелинейной гамилътоновой системы (4) к нормальной форме линейным симплектическим преобразованием все линейные по импульсам с постоянными коэффициентами интегралы, как однородные, так и неоднородные, обращаются в циклические.

Вторая глава посвящена вопросам одновременной диагонапизации трех вещественных симметричных матриц.

•• В первом параграфе содержатся сведения об одновременном приведений к диагональным двух симметричных матриц А и В линейным вещественным конгруэнтным преобразованием. К известным условиям одновременной диаго-нализации двух вещественных симметричных матриц А и В относятся:

1) существование знакоопределенной квадратичной формы У}(х) = х'Ах,

2) коммутируемости матриц А и В.

В работе найден новый случай одновременной приводимости к диагональным двух матриц, основой для которого является

3) Теорема 3<5). Если связка х'(В~сгА)х двух вещественных квадратичных (не обязательно знакоопределенных) форм у!Ах и х'Вх может быть знакоопределенной при некоторых вещественных значениях а, то матрицы А и В одновременно приводятся к диагональным линейным вещественным неособым конгруэнтным преобразованием.

В первом и третьем случаях всегда существуют диагонализирующие конгруэнтные преобразования, во втором случае - ортогональное. В первом случае может вырождаться матрица В, в остальных - обе матрицы.

Показано, что приведение к диагональным матрицам в первом и третьем случаях осуществляются главной матрицей преобразования. Кроме перечисленных случаев имеет место общеизвестное утверждение:

Теорема 4. Для одновременной приводимости к диагональным двух вещественных симметричных матриц А и В (при 0) одним и тем же вещественным линейным невырожденным конгруэнтным преобразованием необходимо и достаточно выполнения условий:

1)уравнение /(Л.) = с1е1(Я-АЛ) = 0 имеет только вещественные корни;

2) матрица (5 - ЛА) имеет только простые элементарные делители.

Часто в качественных исследованиях и интегрировании по Лиувиллю систем ОДУ возникает необходимость диагонализации трех вещественных матриц. Одновременное предварительное приведение нескольких матриц к каноническому виду значительно упрощает анализ известной задачи Лагранжа об условном экстремуме У0(х) (хе К") при ограничениях К,(х)<0, ..., Уп(х) <0, являющихся квадратичными формами.

(5) Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. - М.: Наука, 1973. — 206 с.

9

Известны условия . одновременной диагонализации трех эрмитовых мат-риц(6). В развитие результата К. Митры, в диссертации получен следующий критерий одновременной диагонализации трех вещественных симметричных матриц А, В, С:

Теорема 5. Для одновременной приводимости к диагональным трех вещественных симметричных матриц А, В и С (det А Ф 0) одним и тем же вещественным линейным неособым конгруэнтным преобразованием необходимо и достаточно выполнения условий:

1) уравнение det(5~cM) = 0 имеет только вещественные корни, и матрица (В-аА) имеет все только простые элементарные делители;

2) уравнение det(C-J3A) = 0 допускает только вещественные корни, и матрица (С - /ЗА) имеет все только простые элементарные делители;

3) ВА~'С = СА~'В.

Матрицы В и С могут быть особыми. Если вырождены все три матрицы, то для сингулярного пучка матриц (а А + у? В + / С) находится пространство для которого к определяется дефектом расширенной матрицы {А, В,С}. В подпространстве размерности (п-к) задача диагонализации сводится к случаю регулярного пучка матриц. Так, для выбора в качестве матрицы А единичной матрицы в диссертации получен следующий критерий:

Теорема 6. Для одновременной приводимости к диагональным трех вещественных симметричных матриц Е, В, С одним и тем же вещественным линейным невырожденным конгруэнтным преобразованием необходимо и достаточно выполнения условия ВС = СВ.

Приведен пример, в котором рассматривается линейная механическая система, описываемая функцией Лагранжа (1). Ставится задача о декомпозиции системы на подсистемы меньшей размерности (в предположении, что матрица

В кососимметрична, т.е. В' = -В ). Линейным неособым вещественным конгруэнтным преобразованием матрицы А, В, С приводятся к Е, В0, С„. Тогда с помощью теоремы 6 при В0 Ф 0 и условии

В2аСа=С0В20 (5)

(6) Mitra К. Simultaneous Diagonalization of Rectangular Matrices // Linear Algebra and its Applications. -1982. - Vol. 47. -P. 139-150.

имеет место декомпозиция системы на двумерные подсистемы с матрицами:

Л] = Е2 =

1 О О 1

о

о

'2І-1 О с.

О

2/)

0 = 1, 2, ...,п).

Для каждой подсистемы указаны необходимые и достаточные условия устойчивости нулевого решения в виде

0 = 1,2,...,«).

(6)

Совокупность необходимых и достаточных условий устойчивости всех таких подсистем (у = 1, 2,..., п) дает такие же условия устойчивости нулевого решения системы.

Показано, что условие ВУСХ = С,В, для декомпозиции системы на двумерные подсистемы является следствием условия (5).

Во втором параграфе рассматриваются случаи невозможности одновременной диагонализации матриц А, В и вводится понятие взаимно упрошенных матриц А и В,, вид которых существенно зависит от характера нарушения условий теоремы 6:

1) при наличии комплексных корней характеристического уравнения

/(Л)=&&(В-ЛА) =о,

2)при наличии вещественных кратных корней /(Л)-О с непростыми элементарными делителями матрицы (В - ЛА).

Взаимно упрощенные матрицы для вещественных А и В относятся к трем видам.

К первому виду относятся матрицы при комплексных корнях Л, = с + г'с/, Л2=с-1с1 {с1ф0) уравнения /(А) = 0:

1 О О -1

д =

с а й -с

(7)

В случае кратного вещественного корня Лі = а уравнения /(А) = 0 с непростыми элементарными делителями матрицы (В-ЛА) можно выделить другие два вида взаимно упрощенных матриц:

1. А,=

гдег».=±1 и = 2,3,..., п);

(1 0 . .. 0 Л Па + 1] 1 .. 1 ^

0 8г . .. 0 1 1

0 0 . .. 0 1 1 1

; Д =

0 0 . . 0 1 1 1

1° 0 . • 8.) 1 1

(В)

2. Л =

О

-Е.

где

1 =

А =

О

0

1

О

Г{аЕп+1) I

(-аЕ„+1\

(9)

О О

О О

0

1

О

о

Составлен алгоритм приведения матриц А и В к соответственно взаимно упрощенным матрицам Л, и В, линейным неособым вещественным конгруэнтным преобразованием.

В третьей главе обсуждается знакоопределенность пучков квадратичных форм. В первом параграфе доказаны следующие результаты:

Теорема 7. Достаточными условиями невозможности построения зна-коопределенной связки двух вещественных квадратичных форм является одновременная неприводимость матриц А и

В к диагональным.

Теорема 8. Необходимые и достаточные условия одновременной диаго-нализируемости двух вещественных симметричных матриц являются необходимыми условиями знакоопределенности построенной на этих матрицах связки квадратичных форм.

Для приведенных к полным квадратам двух квадратичных форм Ух(х) = апх^+...+атх1, К(^) = Ьпх^ +... + Ьтх2п, где Ь^а^Л, (у-1,2,...,и), записывается характеристическое уравнение /(Л) = ёег(В - ЛА) = 0. Корни уравнения /(Л) = 0 могут быть разделены на две группы: к первой (обозначае-

мой AW) относятся все корни Äj = b^üj!, для которых ал > 0 (в количестве ир так что 0<«,<«, уе7(+)); ко второй (обозначаемой Л*"') относятся все корни Л, =bjalt, для которых ап <0 (в количестве п2 = «-«,, е/<_)), и введены обозначения: jV,(,) = min Я'0, Nf = max при t = "+" и / = "-". Из анализа достаточных условий знакоопределенности пучка форм, в частности, следует критерий, фактически доказанный П.А. Кузьминым (хотя явно им не сформулированный):

Теорема 9(5). Для знакоопределенности связки квадратичных форм К(а,х) двух вещественных знакопеременных квадратичных диагональных форм х'Ах и х'Вх достаточно выполнения одного из условий:

А™ >(для положительно определенной К{су,х) при N^ <а <n\+^);

2- <¿ml (для отрицательно определенной К{а,х) при N^ <а<N^).

Справедливо

Замечание 1. При знакоопределенной форме У,(л) связка квадратичных форм К(ст,х) знакоопределена в случае выбора значений

Для форм двух переменных имеет место доказанный в диссертации следующий результат:

Теорема 10. Связка двух бинарных квадратичных форм х'{аА + ßB)x диагональных матриц А и В знакоопределена тогда и только тогда, когда anb22 ~aj>n

Во втором параграфе исследуется знакоопределенность пучка трех квадратичных форм Kl(a,ß,y,x) = x'(aA + ßB + yC)x. Показано, что знакоопределенность связки форм Kl{a,ß,y,x) может иметь место и в случае, когда матрицы А, В, С не приводятся одновременно к диагональным.

Теорема 11. Для невозможности составления знакоопределенной связки из трех квадратичных форм Kl {a,ß,y,x) достаточно одновременного выполнения трех условий:

1) матрицы А и В одновременно не приводятся к диагональным;

2) матрицы А и С одновременно не приводятся к диагональным;

3) ВА-1С = СА'1В. •

Для связок трех тернарных квадратичных форм получен следующий результат:

Теорема 12. Для диагональных матриц А, В, С из соответствующих им квадратичных форм трех переменных всегда можно составить знакоопре-деленную связку К(а,/3,у,х), если выполнено одно из условий: а от,, азг

Ь]3 ФО;

К К-.

2) /) = 0 и решения /,, /2, /3 системы

а11/1+а22/2 + а33/з=0

Ьи /, +Ь22 /2 + ¿>зз /3 = 0 имеют значе-

си1,+с2212+с3313=0

ния разных знаков.

Составлен алгоритм исследования знакоопределенности пучков двух и трех квадратичных форм.

В четвертой главе приведены необходимые и достаточные условия знакоопределенности полиномов нескольких переменных

= (Ю)

где хеЯ"*', целые п, 1, т> 1; У2т (х„...,хп) - положительно определенная форма низшего 2т порядка; многоточием обозначены одночлены порядков выше 2т. Знакоопределенность (10) эквивалентна отсутствию вещественных решений уравнения У(х) = 0 в окрестности начала координат. Указанные решения можно искать в параметрическом виде:

оо

\g\-L

(11)

гДе 8/ ~ компоненты мультииндекса g = (gl,g2,^■^,g,) ~ целочисленные

неотрицательные показатели; г = - многомерный параметр;

кроме того, полагается 8) =-} только для четных М при дгл+у <0 и <5\ = +1 - в

остальных случаях; а натуральные значения Ь и М подбираются в процессе построения разложения (11).

В результате подстановки (11) в получается ряд

У(х(/)) = РГ(г) = 4в(а1й-;М;£;г) + ..., (12)

где Ао^а^М^Ш} - полином наименьшего порядка О, относительно многомерного параметра I, коэффициенты которого зависят от коэффициентов полинома ^(х) и параметризации (11).

В диссертации доказана

Теорема 13. Представим отношение 0,/М в виде несократимой дроби д/р. Тогда в случае:

1) если а) число д - нечетное или б) число д — четное и полином Ад — знакопеременный при некоторых вещественных а1%, то функция — знакоперемеина;

2) если число д - четное и полином А0[а^\Мположительно определен при всех а^ е Я, то функция У(х) положительно определена;

3) если число д - четное и полином 0 при всех е Я, то для исследования знакоопределенности функции У(х) необходимо привлечение членов порядка выше Ь в разложении (11).

Следующий доказанный в работе результат позволяет определить младшие степени Г в разложениях (11).

Теорема 14. В случае т = 1 при анализе знакоопределенности функции К (л:) в разложении (11) можно полагать М = 1, 8] -1 = 1,...,/).

В пятой главе проводится исследование задачи существования и определения точных граней полипома двух переменных, представленного суммой форм /{х,у) = Рт (*, у) + ^ (х,у) + ... + Ъ (х, у). (13)

В первом параграфе получены условия, при которых существуют точные грани множества значений полинома — в виде конечных величин. В дальнейшем, для краткости, о них говорится как о точных гранях полинома. Показана возможность существования нескольких локальных точных граней в некоторых областях Z¡ ={ХД}сЛхД (г = 1,2,...). Отыскание точных граней сводится к анализу системы

/;(х,у)=о. (и)

В диссертации доказаны теоремы:

Теорема 15. В случае знакопеременности старшей формы Рт(х,у) полином /(х,у), заданный формулой (13), в бесконечно удаленных точках не достигает своих точных граней.

Теорема 16. В случае знакоопределенности старшей формы Рт(х,у) полином /(х,у), заданный формулой (13), в бесконечно удаленных точках не допускает точных граней.

В последнем случае значение границы области допустимых значений полинома совпадает со значением этого полинома в одной из стационарных точек.

Во втором параграфе находятся условия, которые требуется наложить на степени мономов и коэффициенты полинома /(х, у) для того, чтобы у него существовали локальные точные грани. Показано, что локальные точные грани могут существовать в бесконечно удаленных точках одного из видов: 1) (а, оо);

2) Ь); 3) (да, оо), где а, Ь - вещественные конечные величины.

Точная грань полинома /(х,у), как и для локальных экстремумов, находится из решения системы (14). Только для локальных точных граней решение ищется в виде одного из формальных рядов:

* = 2>/. У = (15)

где <7, 6 Л, <У = ±1, целочисленная величина М является наибольшей степенью х выражения

/(х,у) = х"0„ (,) + V, (у) + ...+ва(у), Ае&вм{у) = Рм> °> а Ь находится из многоугольника Ньютона полинома

х = Л* у = ^Ь/, (15-)

м.

а величины М, Г, дЙ определяются аналогично с помощью представления

В третьем параграфе установлен критерий существования точных граней полинома /(х,у).

Теорема 17. Для существования в бесконечно удаленной точке локальной точной грани полинома /{х,у) необходимо и достаточно выполнения для

системы (14) условия: ряд (15) обрывается членом ¿1~к\ при этом

( /

А-Т <п Т.-1г п г>С) =,

+ О, Ь-к<0, $'> = <1её,

2>/, л-

{/=1 ))

Значения функции /(л(/), >•(/)), соответствующие локальной точной грани, вычисляются предельным переходом при Г->00.

В четвертом параграфе установлен следующий алгебраический критерий существования точных граней в терминах результантов полиномов Гх{х,у), /у(х,у) относительно каждой из переменных.

Теорема 18.

1) Если для результанта Яедг (Л',/^) выполняется неравенство

сЦщ^Д/;,/;)) < мРм +(м-\){Рм-\), (16)

то точная грань полинома /(х, у) в бесконечно удаленной точке существует и для ее вычисления выбирается формальный ряд (15).

2) Если для результанта Яе-уД {[, выполняется неравенство

¿е§(Е+(м-\){9а -1), (160

то точная грань полинома /(х,у) в бесконечно удаленной точке существует и для ее вычисления выбирается формальный ряд (15')-

3) Если не выполняются неравенства (16) и (16'), то точной грани полинома /{х, у) в бесконечно удаленной точке не существует.

В шестой главе разработанные в предшествующих главах алгоритмы применяются для решения ряда прикладных задач. В приведенных задачах проводится исследование устойчивости стационарных решений систем ОДУ, которые являются автономными, нелинейными и относятся к критическим по Ляпунову случаям. При использовании второго метода Ляпунова производные от полиномиальных функций Ляпунова, вычисленные в силу таких систем, являются, как правило, полиномами выше второй степени. Выбор функций Ляпуно-

17

ва для упомянутых систем существенно усложняется исследованием знакоопределенности производных от этих функций.

Решение рассмотренных задач производилось развитием формализма второго метода Ляпунова в следующих направлениях:

1) поиск функций Ляпунова в виде связок из первых интегралов по методу Четаева,

2) в виде квадратичных функций с неопределенными коэффициентами.

Разработанные в предыдущих главах аналитические критерии знакоопределенности пучков квадратичных форм, а также знакоопределенности полиномов выше второго порядка позволяют выводить достаточные условия устойчивости, наиболее близкие к необходимым.

Помимо этого, в ряде рассмотренных задач были проиллюстрированы методы поиска замен переменных, существенно упрощающих вид и анализ исследуемых математических моделей. Следует заметить, что преобразования строились в аналитическом (символьном) виде с помощью составленного соискателем пакета программ. Последнее обстоятельство было вызвано тем, что несмотря на наличие современных пакетов аналитических вычислений особенности решаемых задач потребовали создания специализированного программного комплекса, поскольку алгоритмы второго метода Ляпунова и анализа знакоопределенности оказались весьма ресурсоемкими.

Часть исследуемых задач составлена из ранее известных механических систем дополнением нелинейных управлений с целью выявить влияние введенных параметров в условия устойчивости и для гамильтоновых систем проследить возможность сохранения гамильтоновой структуры. Другая часть задач, опираясь на знакоопределенность форм и полиномов выше второго порядка, дает возможность сопоставить достаточные условия устойчивости, получаемые вторым методом Ляпунова, с необходимыми. Ряд известных задач механических и управляемых систем, таких как твердое тело с неподвижной точкой в центральном поле сил, спутник с гироскопом на круговой орбите, приведен в периодических изданиях. В свое время они не были доведены до окончательного решения. В диссертации удалось получить существенные продвижения в их решении.

В первой задаче рассмотрена механическая консервативная управляемая система с двумя степенями свободы, описываемая функцией Гамильтона:

+ + РхЧг -ЯхРг + ^Ч3<72 - (17)

где обозначено к - 7б39/20 (величина А имеет здесь конкретное значение для исследования резонанса четвертого порядка), А и В - вещественные коэффициенты управляющих воздействий.

Целью является определение с помощью КАМ-теории области допустимых значений параметров А и В, при которых тривиальное решение системы, определяемой гамильтонианом (17), будет устойчиво.

В исследуемой системе при заданном значении к имеется резонанс четвертого порядка 1:3, квадратичная часть гамильтониана является знакопеременной. Для решения этой задачи выполнена линейная нормализация, затем нелинейная нормализация методом Пуанкаре. Ввиду несостоятельности анализа сходимости рядов нормализующего преобразования^3' устойчивость нормализованной системы принято считать "формальноі?*2'4\ Методом КАМ-теории с учетом внутреннего резонанса до четвертого порядка^4' получена область изменения параметров А и В (вещественные величины вычислены приближенно и приведены с точностью 10"*)

(0.7482 А + 0.6634 В - 0.1007)2 (0.6634 А -0.7482 Д-0.5668)2 0.51782 2.60252

в которой тривиальное решение формально устойчиво.

Во второй задаче рассмотрена нелинейная механическая консервативная система с двумя степенями свободы, описываемая функцией Гамильтона:

Н(д,р,А,В,С) = <7? -4ад2 - Ъц\ + 2{ЧіРі - діРг) + ^(/>2 + р\) +

1 3 29

+ 2д?д2 -Зад2 + - <7 А Л - ШРг + ~ЧІ+ МгРЇ +~^ЧгР\Рг ~ (18)

~ЧгРІ + +24<7,4 -12£дг + ВЧ<РіРг + СЧІРг + МхЯгРіРг-

Требуется подобрать значения коэффициентов А, В, С, обеспечивающие устойчивость тривиального решения гамильтоновой системы.

В исследуемой системе имеется резонанс 1:1, управления заданы нелиней-

но и квадратичная часть гамильтониана является знакопеременной формой. Для решения поставленной задачи применяется метод Биркгофа нормализации га-мильтоновых систем до членов четвертого порядка включительно, в результате которой записан квадратичный первый интеграл и нормализованный до членов четвертого порядка (включительно) гамильтониан. Дальнейшее исследование формальной устойчивости тривиального решения проводится прямым методом Ляпунова с использованием двух первых интегралов нормализованной системы. Критерий знакоопределенности полиномов, приведенный в четвертой главе, позволяет получить следующие достаточные условия формальной устойчивости тривиального решения:

32 16 4 12 64 4 512

64С2 - 432ЯС - 732В2 - 452В +1556С + 2529 = О, А > 142.1538.

Эти неравенства задают "область устойчивости" в пространстве управляющих параметров.

В третьей задаче рассмотрена нелинейная система с тремя нулевыми простыми корнями характеристического уравнения

х, = -X? - 2 Х,Х22 - 2.5 ф2х23 + ХІ, ■ = -Фг -2x1+ х'хз +1/2 Х63, (19)

і3 = 2 х1х2хг + (2 х,+х2) X* -$х], где 5 - вещественный параметр управления.

Ставится задача определения с помощью квадратичных функций Ляпунова наибольшей области устойчивости для параметра т.е. тех значений параметра, для которых тривиальное решение системы (19) асимптотически устойчиво.

Искомой функцией Ляпунова выбрана отрицательно определенная квадратичная форма у(х) = -(х2і+ахІ+Ьхі)/2. Неопределенные вещественные положительные коэффициенты а и Ь находятся из условия "наилучшего" выбора функции У(х), для которой устанавливаются необходимые и достаточные условия положительной определенности производной У(х) в силу системы (19). Исследование знакоопределенности этой производной с помощью теоремы 12 сводится к анализу положительной определенности формы четвертого порядка двух переменных. В свою очередь, использование необходимых и достаточных

20

условий знакоопределённости таких форм, приведенных в приложении, позволило свести задачу определения 5 к задаче поиска экстремума

В качестве решения этой задачи получена допустимая область значений параметра 5 >2.4543, в которой тривиальное решение системы (19) асимптотически устойчиво. Необходимые условия устойчивости исследовались с помощью теоремы Каменкова о неустойчивости. Получена область значений параметра 5 <2.1839 (вещественные величины значений параметра 5 областей асимптотической устойчивости и неустойчивости вычислены приближенно и приведены с точностью КГ4), в которой тривиальное решение системы (19) неустойчиво.

По аналогии с предыдущей задачей, в четвертой задаче рассмотрена система ОДУ

[х2 = 2 х*х2 + 3 х1х1 -2x1,

для которой оценивается область устойчивости для параметра Ь.

Для исследования устойчивости использована квадратичная функция У(х) = -(х,г +ах1^2, в которой коэффициент а>0 подбирается так, чтобы

область значений параметра Ъ была наибольшей. Положительная определенность для производной К(лс) в силу уравнений движения (20) проверяется с помощью теоремы о знакоопределенности формы четвертого порядка двух переменных из приложения. В результате проведенного анализа для асимптотической устойчивости тривиального решения (20) найдены допустимые значения параметра Ъ е (-24; 4.125) при величине а =1.9375 (здесь значения а и границы интервала вычислены точно). С помощью теоремы Каменкова о неустойчивости указана область неустойчивости нулевого решения системы (20) при значениях параметра 6е(-оо;-24)и(4.125; +оо). Следовательно, значения параметра 6 е (-24; 4.125) дают достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения нелинейной системы (20) и одновременно являются необходимыми условиями асимптотической устойчивости нулевого решения этой же системы.

[(1 + 2й)с + а/2 + й]'

|4

256 . . 5 =-Пип Пип шах

27 оея+ бея+

В пятой задаче исследуется устойчивость' перманентного вращения в задаче Бруна-Тиссерана<7) - движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Уравнения движения здесь имеют вид

Jp = (B-C)(qr-fiyjr3), yl = ry2 — qy3, ■ Bq = (C-A){rp-цуъух), y2=py3-ryx, Cf = (A-B)(pq - цухуг), y3 = qYi -py2 , гдe А, В, С - главные моменты инерции твердого тела (А < В <С); ух, у2, у3 -переменные Пуассона; р, q, г - проекции угловой скорости на оси, связанные с телом; ц - некоторая положительная постоянная, характеризующая поле тяготения. В качестве стационарного движения рассматривается семейство перманентных вращений

p = q=yl=y1=0, r=co = const, у3= 1. (21)

Необходимые условия устойчивости перманентных вращений вокруг наименьшей главной оси (21) получаются по известной теореме Пуанкаре для консервативных систем из требования существования чисто мнимых корней характеристического уравнения линейной части дифференциальных уравнений возмущенного движения и сводятся к неравенству

CW > ¿¡[J А (С-В) + V В (С -А)]2. (22)

Достаточные условия устойчивости (21) получены В.В. Белецким(7) в виде строгого неравенства С V > ц^А (С - В) + ^В (С - A) J с помощью второго метода Ляпунова; при этом функция Ляпунова выбирается в виде знакоопреде-ленной связки из четырех первых интегралов задачи:

К = АРг + Bq2 + Сгг + ц(Ау\ + Ву\ + Су3) = const, • Vl = Ару, + Bqy2 + Cry, = const, У3=у?+y2= 1, V2=A2p2+B2q2 +Сггг - ц(ВСу2 +CAy2+ABy2) = const

в возмущенном движении. В диссертации исследуется граница полученной области устойчивости CW = м[у!А(С-В) + J В (С-A) J.

С использованием критерия знакоопределенности полиномов из четвертой главы установлена устойчивость перманентного вращения на границе (21).

(7> Белецкий В.В. Некоторые вопросы движения твердого тела в ньютоновом поле сил // ПММ. - 1957. - Т. 21, вып. 6. - С. 749-758.

Теорема 19. Достаточные условия устойчивости перманентных вращений твердого тела вокруг наименьшей главной оси инерции в задаче Бруна-Тиссерана совпадают с необходимыми:

СV > мУАс~в) + JB(C~A)J ■

В шестой задаче проведено исследование границ асимптотической устойчивости перманентного вращения спутника с гироскопом на круговой орбите с постоянной угловой скоростью ш0. Уравнения движения спутника имеют вид(8)

Ащ + (С - В) аг ю3 + Я, + <а2Н3 - ю3Н2 = 3®* (С - В) а32 а33, Ваг + (А - С) + Н2 + со3Н, - щН3 - Ът] (А - С) а31 аъз, Ссо3 +(В- ЛЦс»2 + Н3 + ахН2 - <о2Нх = Зю„ (В -А)а31 а32, у = СО,- (б)2 cos у - щ sin у) igP, 5 = -а>0 +{co2cosy-ct)3siny)/cos ¡3, Р = со2 sin у + ео3 cos у. Система уравнений (23) имеет стационарное решение

COl=(O3=r = S = fi = Hl=H3 = 0, е>2=е>0= const, Я2 = Я = const. (24) Управление движением гироскопа задано уравнениями:

г,Я,+#,=./,©„ т2Н2+Н2-Н = J2(a2-a>0), T3H3+H3=J3a3, где г, (/ = 1,2,3)-некоторые постоянные положительные величины.

Достаточные условия устойчивости решения (24) получены(8) с использованием теоремы Барбашина-Красовского в виде

a0\A{B-A)-Jx] + H>Q, w0(B-C-J3) + H> О, С>А, АфВ. (25)

При исследовании границ устойчивости использован критерий знакоопределенности неоднородных полиномов нескольких переменных и теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости.

Анализ границы в случае нарушения первого условия (25) Я = ®0[4(>4-Д) + У1] с помощью указанного подхода позволяет получить следующие достаточные условия асимптотической устойчивости:

(8) Сазонов В.В. Гравитационная ориентация искусственных спутников с гиродинами // Космические исследования. - 1988. - Т. 26, вып. 2.-С. 315-317.

\(В-С-^)со0+-Н>0,С>А, В*А, [[4(Я-Л)-./!]й)0+Я = 0, UA-UB + Ъ(Jl-J2)^Q. Аналогичный анализ границы в случае нарушения второго условия (25)

Я = ю0(С-5 + 73)

приводит к следующим достаточным условиям асимптотической устойчивости:

\(В-С-^)то+Н = 0, ЗС-2Л + 3(У3-У2)>0.

Анализ границы в случае нарушения первого и второго условий (25) с помощью упомянутого подхода позволяет получить достаточные условия асимптотической устойчивости одним из двух возможных видов:

[^-^г/ЪВ-С, (5-С-У3>0 + Я = 0, С>А, \^-^>6В-7С+б(С-В)2/(С-А), А*В,

2) [(5"С~7з)®°+Я = 0' Л "Л >2/3 В-С, С> А, АФВ,

[10/32? - 4С + (С - В)2/(С-Л)< У3 -J2<6B-^C + 6 (С - В)2 /(С -А).

В приложение вынесены известные положения, формулировки, методы, которые были использованы в диссертации для анализа прикладных задач.

Каждая из глав сопровождается кратким вступлением, обзором литературы и поясняющими примерами.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Условия одновременной диагонализации трех вещественных симметричных матриц в регулярном и сингулярном случаях.

2. Для линейных гироскопических систем получены условия декомпозиции линейной заменой переменных на подсистемы меньших размерностей, каждая из которых зависит от одной переменной.

3. Установлено, что при приведении линейной части системы ОДУ к нормальной форме линейным неособым преобразованием все линейные с постоянными коэффициентами интегралы нелинейной гамильтоновой системы преобразуются в циклические.

4. Необходимые и достаточные условия знакоопределенности пучка двух

квадратичных форм. Достаточные условия отсутствия знакоопределенности пучка трех квадратичных форм.

6. Алгоритм получения необходимых и достаточных условий знакоопределенности полиномов произвольного порядка (алгебраических относительно коэффициентов полинома).

7. Условия существования и алгоритм нахождения точных граней полиномов двух переменных.

8. Решение с помощью разработанных алгоритмов ряда задач космодина-мики, стабилизируемости управляемых систем, устойчивости консервативных систем и оценки областей устойчивости в пространстве параметров, входящих в систему.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. НовиковМ.А. О диагонализации матриц трех квадратичных форм// Вестник Иркутского гос. техн. ун-та. - 2005. - № 4 (24). - С. 160-166.

2. Новиков М.А. О наибольших и наименьших значениях полиномов// Вестник Иркутского гос. техн. ун-та. - 2006. — № 4 (28). - С. 84-91.

3. Новиков М.А. О точных гранях полиномов// Сибирский журнал вычислительной математики. - 2007. - Т. 10, № 2. - С. 195-208.

4. Новиков М.А. Знакоопределенность и теорема Финслера // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2008. - Спецвып. - С. 126-132.

5. Новиков М.А. Определители в вычислениях точных граней полиномов // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2009. - № 1 (21). -С. 135-140.

6. Новиков М.А. Об исследовании границ устойчивости стационарных движений спутника с гироскопом на круговой орбите// Автоматика и телемеханика. -2009.-№4.-С. 163-171.

7. Новиков М.А. О приложении форм выше второго порядка в задачах устойчивости движения // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. -2009. - № 2 (22). - С. 114-119.

8. Новиков М.А. О границах устойчивости стационарного движения спутника с гироскопом // Прикладная математика и механика. - 2010. — Т. 74, вып. 2. - С. 230238.

9. Новиков М.А. О приведении матриц квадратичных форм к взаимно упрощенным// Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2010. -№2 (26).-С. 181-187.

10. Новиков М.А. О связи диагонализации и знакоопределенности пучка двух квадратичных форм// Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. -2010.-№3 (27).-С. 233-241.

11. Новиков М.А. О диагонализации и знакоопределенности пучка трех квадратичных форм// Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. -2010. - № 4 (28). - С. 100-107.

12. Новиков М.А. О диагонализации матриц трех квадратичных форм // Оптимизация, управление, интеллект. - 2000. -№ 5, ч. 1. - С. 150-156.

13. Новиков М.А. О знакоопределенности аналитических функций // Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. - Новосибирск: Наука, 1988. - С. 256261.

14. Новиков М.А. Об устойчивости перманентных вращений твердого тела вокруг неподвижной точки в задаче Бруна // Прикладная математика и механика. -1994. - Т. 58, вып. 5. - С. 261-265.

15. Новиков М.А. О стабилизации механических Гамильтоновых систем нелинейным управлением // Тр. XII Байкальской междунар. конф. - Иркутск, 2001. -Т. 6.-С. 198-202.

16. Новиков М.А. Исследование устойчивости консервативных систем с применением аналитических вычислений // Тр. Междунар. конф. "Математика, ее приложения и математическое образование". - Улан-Удэ, 2002. - Ч. 2. - С. 15-22.

17. Новиков М.А. О знакоопределенности форм двух переменных // Материалы XIV Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2008. - С. 134-141.

18. Novickov М.А. An Investigation into Stability of Conservative Mechanical Systems Using Analytic Calculations // Computer Algebra in Scientific Computing (CASC'99) / Ed. by V.G. Ganzha, E.V. Mayr, E.V. Vorozhtsov. - Berlin: SpringerVerlag, 1999. -P. 317-322.

19. Novickov M.A. Symbolic Computations in Problems of Stabilization // Algebra in Fundamental and Applied Researches and Education - 99. - Minsk: BSU, 1999. -P. 66-69.

20. Novickov M.A. Parametric Analysis for a Nonlinear System // Computer Algebra in Scientific Computing (CASC'00) / Ed. by V.G. Ganzha, E.V. Mayr, E.V. Vorozhtsov. - Munich: Springer, 2000. - P. 315-321.

21. Новиков M.A. О приведении матриц к нормальной форме Жордана / ИДСТУ СО РАН. - М„ 1998. - Деп. ВИНИТИ, № 277-В98. - С. 3-21.

Редакционно-издательский отдел Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, д. 134 E-mail: rio@icc.ru

Подписано к печати 19.01.2012 г. Формат бумаги 60x84 1/16, объем 1,7 п.л. Заказ 2. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ИДСТУ СО РАН

Введение .2

Глава I. О нормализующих и упрощающих преобразованиях.16

§1.1. О нулевых корнях характеристического уравнения .17

§1.2. Циклические координаты и первые интегралы.20

§1.3. Нелинейные системы .24

Глава II. О преобразовании матриц квадратичных форм.29

§2.1. О приведении к диагональным матриц квадратичных форм 30

§2.1.1. Приведении двух матриц к диагональной форме .30

§2.1.2. Приведение трех неособых матриц к диагональной форме .35

§2.1.3. О приведении к диагональным трех вырожденных матриц .40

§2.1.4. О декомпозиции линейных консервативных систем 44

§2.2. О приведении к простейшим матриц квадратичных форм

§2.2.1. Простейшие виды матриц двух квадратичных форм, не приводимых одновременно к диагональным .51

§2.2.1.1. Комплексные решения характеристического уравнения .52

§2.2.1.2. Вещественные корни с непростыми элементарными делителями характеристического уравнения .53

§2.2.2. Приведение матриц к взаимно упрощенным.57

Глава III. О знакоопределенности пучка квадратичных форм .66

§3.1. Пучок двух квадратичных форм .68

§3.1.1. О необходимых условиях знакоопределенности связки двух квадратичных форм .69

§3.1.2. О достаточных условиях знакоопределенности связки двух квадратичных форм . 71

§3.1.3. Связка вырожденных квадратичных форм . 79

§3.1.4. Об условной знакоопределенности двух квадратичных форм . 81

§3.2. Исследование знакоопределенности связки трех квадратичных форм . 86

§3.2.1. О необходимых условиях знакоопределенности связки трех квадратичных форм . 87

§3.2.2. О достаточных условиях знакоопределенности связки приведенных к полным квадратам трех квадратичных форм . 96

§3.2.3. Общая схема исследования знакоопределенности связки трех квадратичных форм. 104

Глава IV. О знакоопределенности функций . 107

§4.1. О знакоопределенности полиномов . 111

§4.2. Основные свойства параметризации в задаче о знакоопределенности неоднородных форм. 114

Глава V. Об экстремуме и точных гранях полиномов . 120

§5.1. Об условиях существования точных граней . 122

§5.2. О необходимых условиях точных граней . 127

§5.3. Построение параметрического решения . 132

§5.4. Алгебраическая модификация метода . 142

Глава VI. Нормализация и знакоопределенность форм в исследовании устойчивости нелинейных систем . 153

§6.1. Устойчивость автономной гамильтоновой резонансной системы . 156

§6.2. Консервативная система с резонансом 1:1 . 160

§6.3. Нелинейная система с тремя нулевыми корнями характеристического уравнения.165

§6.4. Нелинейная система с двумя нулевыми корнями характеристического уравнения.172

§6.5. Об устойчивости одной гироскопической системы .176

§6.5.1. Необходимые условия устойчивости.178

§6.5.2. Достаточные условия устойчивости.180

§6.5.3. Сравнение условий устойчивости .187

§6.6. Устойчивость перманентных вращений твердого тела в задаче Бруна.189

§6.6.1. Необходимые условия устойчивости в задаче Бруна . 189

§6.6.2. Достаточные условия устойчивости в задаче Бруна

§6.7. О границах устойчивости стационарного движения спутника с гироскопом .203

§6.7.1. Необходимые условия асимптотической устойчивости 206

§6.7.2. Достаточные условия асимптотической устойчивости 212

§6.7.3. Части границ асимптотической устойчивости .215

§6.8. Устойчивость перманентных вращений твердого тела в случае Ковалевской .222

§6.8.1. Устойчивость перманентных вращений первого вида волчка Ковалевской.223

§6.8.2. Необходимые условия устойчивости перманентных вращений второго вида .228

§6.8.3. Достаточные условия устойчивости перманентных вращений второго вида .232

§6.8.4. Об устойчивости перманентных вращений твердого тела .239

Создание сложных технических систем, проектирование больших комплексов и анализ многих направлений научной и технической деятельности требуют организации и согласования исследований разных профилей, обработки получаемой в результате вычислений информации. Успешное решение поставленных задач во многом зависит от возможности математического моделирования сформулированной проблемы, моделирования метода исследования и апробирования полученной имитационной модели на реальных процессах и объектах.

Математическое моделирование решаемых задач опирается на комплексный системный анализ [106], включающий сбор информации о системе; анализ причинно-следственных связей; обработку входных данных с использованием современных вычислительных средств; аналитические методы системного анализа; оценку соответствия имитационных моделей реальным объектам.

В диссертации из перечисленных обсуждаются аналитические методы системного анализа, как составляющие основу решения задачи. От выбора метода решения зависит полученное решение и его распространение в другие смежные области. Большей частью анализ опирается на аппарат общих математических дисциплин: теорию систем, теорию принятия решений, функциональный анализ, дифференциальные уравнения, теорию колебаний, методы оптимизации, оптимальное управление и другие направления математики. Часто методы анализа задач взаимосвязаны и в сочетании вырабатывают комплексное исследование.

Большей частью математическое моделирование аналитических методов исследования находит свое применение в задачах теоретической механики в основном благодаря историческому развитию естественных точных наук. Прежде всего это обусловлено вариационными принципами в механике, исходящими из разных условий оптимальности [131, 134, 161]. В настоящее время механика является наиболее изученным направлением науки.

Следует отметить, что общей характерной чертой на современном этапе развития математического моделирования является использование вычислительной математики. Разнообразный спектр прикладных задач позволил ей найти выражение не только как дополнение к приложениям вычислительных операций, но и занять отдельное самостоятельное направление в математике. Как правило, технические задачи трудоемки по сложности решения и по размерности системы, и тогда для вычислительной математики можно выделить ряд направлений.

1. Существуют задачи только вычислительной направленности, где ввиду сложности описания модели требуется получить хотя бы приблизительное решение или дать оценку решения (т.е. найти верхнюю или нижнюю границы решений).

2. Задачи вычислительной математики, связанные с большим количеством операций и преобразований, обеспечивающих заданную высокую точность решения. В большинстве случаев это относится к алгебраическим уравнениям [15], системам линейных алгебраических уравнений [39, 160, 184], задачам линейного программирования [60]. Как правило, известные вычислительные методы, ориентированные на итерационные процессы, недостаточно обеспечивают кратные и близкие к ним корни. Известная алгебраическая проблема собственных значений [160] создает препятствия к практической реализации [6, 63]. К этому можно добавить "плохо обусловленные" матрицы, при которых существенно сказывается погрешность элементов матрицы и вычислительного процесса.

Большинство известных методов в прикладной математике, механике, регулируемых системах, физике, теории управления связаны с собственными значениями матриц и приведением исходных матриц к нормальным формам: Жордана, Фробениуса [39, 174] или другим видам канонических матриц [24, 25, 27, 194], применяемым для гамиль-тоновых систем. Как правило, такие приведения осуществляются ортогональным, а в гамильтоновых системах — симплектическим преобразованием. Часто возникает необходимость в нелинейной нормализации [18, 24, 25, 193], где вычислительные методы практической реализации нормализации [84, 153, 154,172] требуют большего объема вычислений.

3. Иногда проблемы вычислительной погрешности частично снимаются аналитическими вычислениями, которые включают преобразования выражений (переменных), подстановки, исключения переменных, арифметические действия над выражениями, факторизацию, упрощения выражений. Аналитические вычисления необходимы прежде всего в задачах, где вычисляемые значения близки к нулю. Кроме того, они дают возможность получать точные решения многих уравнений, иногда даже высоких степеней, проследить зависимость от исходных параметров. Они незаменимы при составлении характеристических уравнений, нахождении общих множителей, составлении и проверке алгебраических условий, выражаемых определителями матриц [39, 160, 174], вычислением результантов [35] и субрезультантов [68, 166, 192] полиномов.

Установление коэффициентных критериев знакоопределенности полиномов нескольких переменных произвольной степени У(х) (ж Е Яп) возникает в задачах оптимизации, теории устойчивости, теории управления. Коэффициентные критерии алгебраических условий У(х) восходят к трудам Д. Гильберта. Позднее они продолжены работами Ш. Штурма (о числе вещественных решений полинома в заданном интервале), Э. Галуа (о решении полинома в радикалах), А. Зайденберга (и Тарского) (об алгебраической разрешимости в случае невырожденности младшей формы в разложении V(x) по возрастающим степеням переменных). К теореме Гильберта о корнях полиномов примыкает задача о нахождении наибольших и наименьших значений V(x).

Аналитические вычисления на ЭВМ выделились как отрасль компьютерной алгебры, более специализированно — системы аналитических вычислений (CAB) на стыке математики, информатики и вычислительной техники [3, 32, 33, 53]. Алгоритмической базой CAB являются в основном такие системы: REDUCE, MACSYMA, MATHEMATICA, MAPLE, MUPAD и другие. В настоящее время программные разработки CAB стремительно развиваются, предоставляя для широкого пользования новые усовершенствованные версии упомянутых вычислительных систем.

В предложенной работе применяются аналитические методы системного анализа, ориентированные на приложения к механическим и регулируемым системам, теории управления. Кроме вывода уравнений движения важное место в задачах занимает качественный анализ [87, 136, 193] исследуемых систем. В связи с этим возрастает необходимость расширения фундаментальной основы в теории устойчивости движения [49, 61, 69, 70, 87, 93, 96, 103, 180], в качественных исследованиях [2, 108, 145, 146, 147]. Теория Рауса-Ляпунова также восходит к экстремальным свойствам некоторых функций, в частности, полной энергии системы. Нахождение стационарных движений исходит из принципов экстремума связки первых интегралов системы.

Выделяя теорию устойчивости движения как самостоятельное направление, нужно постоянно развивать и дополнять ее новыми методами и алгоритмами исследования. Актуальным вопросом для этого является разработка эффективных критериев устойчивости — легко проверяемым алгебраическим условиям на коэффициенты системы. Такими в настоящее время являются детерминантные условия Гурвица [39, 83, 96,103, 135, 180], Сильвестра [39, 83, 96, 103] и другие их разновидности, например, метод инноров [51]. Перечисленными критериями решается большинство задач устойчивости движения. Следует отметить, что не в полной мере к этому вопросу привлечена знакоопределенность множеств, значения которых принимают полиномиальные функции [40, 80].

Теория устойчивости в разные времена имела разные трактовки [105], и в настоящее время наиболее распространенным является определение по Ляпунову [49, 61, 69, 70, 93, 96, 103, 180], имеющее смысл недалеко уклоняться (по норме) от первоначального состояния.

Подходя к вопросу о смене устойчивости параметрических систем [7, 63], можно считать, что достаточные условия асимптотической устойчивости не могут часто совпадать с необходимыми условиями устойчивости. Возникающие расхождения объясняются размерностью, порядком нелинейности системы и сложностью анализа. Исследование задачи будет считаться законченным при сопоставлении необходимых и достаточных условий устойчивости. Необходимые условия устойчивости автономных систем, как правило, получаются из характеристического уравнения системы [49, 93, 96, 103, 180, 184]. В неавтономных системах основу устойчивости составляют характеристические показатели Ляпунова (первый метод Ляпунова). В получении достаточных способов устойчивости можно выделить несколько установившихся направлений: 1. нахождение решений уравнений движения в полных интегралах (аналитическое интегрирование); 2. доказательство существования или отсутствия инвариантных лучей; 3. предъявление знакоопределен-ных функций Ляпунова и их производных; 4. применение КАМ-теории к исследованию устойчивости гамильтоновых систем.

Аналитическое интегрирование систем [4, 5, 8, 9, 131, 134, 161] по

Лиувиллю для задач устойчивости не всегда возможно. Кроме того, для нелинейных систем требуются дополнительные вычислительные операции при определении характеристических показателей. Хотя широкого распространения способ инвариантного луча не получил, он иногда применяется в анализе нелинейных систем [170, 171].

Самое большое распространение для получения достаточных условий устойчивости получил второй метод Ляпунова [93], основанный на знакоопределенных функциях. В их качестве часто используются первые интегралы уравнений возмущенного движения или составленные из первых интегралов связки [10, 61, 69, 70, 83, 90, 91, 96, 103, 180].

В гамильтоновых системах при невозможности применения второго метода Ляпунова применяется КАМ-теория [6, 8, 9, 100, 104]. Это связано с нелинейностью механических систем, в которых знакоперемен-на квадратичная часть, содержащая члены низшего второго порядка гамильтониана. Во многих последних исследованиях КАМ-теория применяется в задачах с резонансами [9, 84, 85, 97-101, 149-152, 170, 171, 175].

Для каждого метода Ляпунова возникает вопрос об алгебраической неразрешимости устойчивости нелинейных систем [7, 63, 182, 183].

Цель исследования:

1. Анализ и нахождение методов преобразований, упрощающих исследование систем в зависимости от сложности задач.

2. Получение условий разложения механических и управляемых систем на подсистемы, позволяющие свести систему к более простым в задачах аналитического интегрирования, качественного исследования, устойчивости стационарных движений.

3. Составление алгоритма получения более широких достаточных условий устойчивости стационарных движений механических и управляемых систем в критических по Ляпунову случаях.

4. Нахождение точных граней полиномов двух переменных для оценки области достижимости в прикладных исследованиях.

5. Применение и апробация составленных алгоритмов и методов к решению прикладных задач механики, космодинамики, оптимальной стабилизации.

В качестве рабочего аппарата используются:

1) методы нормализации систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ);

2) методы матричного анализа, в том числе диагонализация двух вещественных симметрических матриц;

3) знакоопределенность квадратичных форм и полиномов высших порядков;

4) методы исследования нелинейных алгебраических уравнений и систем алгебраических уравнений (в частности, теория исключения).

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, приложения и списка литературы, насчитывающей 194 наименования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Многие задачи интегрирования, теории устойчивости и качественного анализа могут быть успешно решены предлагаемыми в диссертации способами предварительного упрощения системы или ее элементов.

Так, в случае существования линейных с постоянными коэффициентами интегралов приведение линейной части ОДУ к нормальной форме Жордана получает наибольшее число циклических переменных. Нелинейная нормализация уравнений движения позволяет провести исследование устойчивости вторым методом Ляпунова или применением КАМ-теории.

Одновременная диагонализация трех составляющих матриц в задачах движения твердого тела позволяет систему проинтегрировать или продвинуться в устойчивости и качественном анализе. Одновременная диагонализация двух вещественных матриц квадратичных форм получает часто необходимые и достаточные условия устойчивости стационарного движения с точностью до границы. Привлечение к анализу знакоопределенности полиномов позволяет исследовать вторым методом Ляпунова границы устойчивости.

Подводя итог проделанной работе, перечислим основные положения и выводы из рассмотренных вопросов.

1. Показано, что нормализация линейной части любой нелинейной системы ОДУ приводит все имеющиеся линейные интегралы с постоянными коэффициентами к циклическим.

2. Получены условия диагонализации регулярного и сингулярного пучков матриц трех квадратичных форм.

3. Для одновременно недиагонализируемых матриц составлены виды взаимно упрощенных матриц.

4. Установлена взаимосвязь диагонализации и знакоопределенности пучков двух и трех квадратичных форм.

5. Составлены рекомендации установления знакоопределенности пучков трех квадратичных форм.

6. Получены условия существования точных граней полиномов двух переменных. Составлен способ отыскания точных граней в виде рядов и результантов.

7. Применение условий диагонализации трех вещественных матриц позволило ослабить условия интегрируемости и анализа устойчивости тривиального решения линейных гироскопических систем.

8. Применение критерия знакоопределенности неоднородных форм позволило провести исследование границ устойчивости механических систем таких, как спутник с гироскопом на круговой орбите.

9. Применение критерия знакоопределенности форм четвертого порядка позволило решить ряд задач устойчивости для систем в критических по Ляпунову случаях.

10. Применение методов знакоопределенности связки двух квадратичных форм при решении ряда задач для систем в критических по Ляпунову случаях дало возможность максимально приблизить достаточные условия устойчивости к необходимым.

11. Использование разработанных методов позволило решить некоторые прикладные задачи механики, теории управляемых систем, кос-мод инамики.

Результаты можно применять в механике, космодинамике, теории управления, теории оптимизации, физической химии, биологии. Если в описании математической модели соответствующей научной области квадратичная форма, содержащая скорости переменных, знакоопреде-лена, то изложенные в диссертации методы и алгоритмы можно применять в этой области без соответствующих доработок.

1. Аминов А.Б., Сиразетдинов Т.К. Условия знакоопределенности четных форм и устойчивости в целом нелинейных однородных систем. - М.: ПММ, 1984, т. 48, вып. 3. С. 339-347.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959, 915 с.

3. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.: Мир, 1994, 543 с.

4. Аппель П. Теоретическая механика, т. 1. М.: ГИФМЛ, 1960, 515 с.

5. Аппель П. Теоретическая механика, т. 2. М.: ГИФМЛ, 1960, 487 с.

6. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике. М.: УМН, 1963, т. 18, вып. 6. С. 92-192.

7. Арнольд В.И. О матрицах, зависящих от параметра. М.: УМН, 1971, т. 26, вып. 2. С. 101-114.

8. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. -М.: Наука, 1979, 432 с.

9. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики // Итоги науки и техники, серия: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы 3. т. 3. - М.: ВИНИТИ, 1985. С. 9-303.

10. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970, 240 с.

11. Белецкий В.В. Некоторые вопросы движения твердого тела в ньютоновом поле сил. М.: ПММ, 1957, т. 21, вып. 6. С. 749-758.

12. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965, 416 с.

13. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: МГУ, 1975, 307 с.

14. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976, 351 с.

15. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т. 2. М.: ГИФМЛ, 1960, 620 с.

16. Берже М. Геометрия, том второй. М.: Мир, 1984, 366 с.

17. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975, 768 с.

18. Биркгоф Дж. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941, 320 с.

19. Борисов А.Б., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск.: Изд-во РХД, 2001, 384 с.

20. Боташев А.И. Аналитические методы в теории ветвления. М.: УМН, 1985, т. 40, вып. 4. С. 147-148

21. Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики. М.: Мир, 1964.

22. Брумберг В.А. Небесно-механические методы проведения буквенных операций на ЭВМ. Томск: Томский гос. ун-т, 1974, 114 с.

23. Брюно А.Д. Элементы нелинейного анализа. Самарканд: Самаркандский гос. ун-т, 1973, 158 с.

24. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений. М.: Труды Московского математического общества, 1971, т. 25. С. 119-262.

25. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979, 255 с.

26. Брюно А.Д. Нормальная форма систем Гамильтона // УМН, 1988, т. 43, вып. 1. С. 23-56.

27. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Наука, 1998, 288 с.

28. Брюно А.Д., Лунев В.В. О вычислении степенных разложений модифицированных движений твердого тела // ДАН РАН, 2002, т. 386, N 1. С. 11-17.

29. Булатович P.M. Об устойчивости линейных потенциальных гироскопических систем в случаях, когда потенциальная энергия имеет максимум // ПММ, 1997, т. 61, вып. 3. С. 385-389.

30. Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы. М.: Наука, 1966, 555 с.

31. Бурлакова Л.А., Иртегов В.Д. Теорема Рауса-Ляпунова в системах с линейными интегралами // Прямой метод в теории устойчивости и его приложения. Новосибирск: Наука, 1981. С. 151-165.

32. Бухбергер Б., Коллинз Дж., Лоос P.M. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. М.: Мир, 1986, 392 с.

33. Быков В.И., Кытманов A.M., Лазман М.З. Методы исключения в компьютерной алгебре многочленов. Новосибирск: Наука, 1991, 233 с.

34. Вагнер Э.А. Об устойчивости регулярных движений твердого тела в ньютоновском гравитационном поле // Космические исследования, 1976, т. 14, вып. 1. С. 133-134.

35. Ван дер Варден. Современная алгебра. Т. 2. М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1937, 210 с.

36. Вейссенберг А.Н. Критерии знакоопределенности форм высшего порядка // ПММ, 1974, т. 38, вып. 3. С. 571-574.

37. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984, 319 с.

38. Воротников В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991, 284 с.

39. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967, 576 с.

40. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. М.-Л.: Гостехиздат, 1950, 359 с.

41. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физ-матгиз, 1960, 296 с.

42. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения твердого тела около неподвижной точки. М.: Гостехиздат, 1953, 287 с.

43. Голыдер Я.М., Куницын А.Л. Об устойчивости автономных систем при внутреннем резонансе // ПММ, 1975, т. 39, вып. 6. С. 974984.

44. Гольцер Я.М. О сильной устойчивости резонансных систем при параметрических возмущениях // ПММ, 1977, т. 41, вып. 2. С. 252-261.

45. Гольцер Я.М. Бифуркации и устойчивость нейтральных систем в окрестности резонанса третьего порядка // ПММ, 1979, т. 43, вып. 3. С. 429-436.

46. Горин Е.А. Об асимптотических свойствах многочленов и алгебраических функций от нескольких переменных // УМН, 1961, т. 16, вып. 1. С. 94-118.

47. Давыскиб А., Самсонов В.А. О возможности гироскопической стабилизации вращения системы твердых тел // ПММ, 1995, т. 59, вып. 3. С. 385-390.

48. Делоне Б.Н. Петербургская школа теории чисел. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947, 419 с.

49. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967, 472 с.

50. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979, 320 с.

51. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1979, 299 с.

52. Дубошин Г.Н. О вращательном движении искусственных небесных тел // М.: Бюллетень Института теоретической астрономии, т. 7, вып. 7. С. 511-530.

53. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. М.: Мир, 1991, 350 с.

54. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970, 528 с.

55. Журавлев В.Ф. Новый алгоритм нормализации гамильтоновых систем по Биркгофу // ПММ, 1997, т. 61, вып. 1. С. 12-17.

56. Збойчик H.A. О квадратичных интегралах линейных дифференциальных уравнений // ДУ, 1970, т. 6, N 2. С. 381-384.

57. Зигель К. Лекции по небесной механике. М.-Л.: ИЛ, 1959, 528 с.

58. Зигель К. О нормальной форме аналитических дифференциальных уравнений в окрестности положения равновесия // М.: Математика, 1961, т. 5, N 2. С. 119-128.

59. Зигель К. О существовании нормальной формы аналитических дифференциальных уравнений Гамильтона в окрестности положения равновесия // М.: Математика, 1961, т. 5, N 2. С. 129-155.

60. Зоркальцев В.И., Попов Л.Д. Современные методы оптимизации и их приложения к моделям энергетики. Новосибирск: Наука, 2003, 248 с.

61. Зубов В.И. Устойчивость интегральных многообразий // ДУ, 1977, т. 13, N 9. С. 1720-1722.

62. Илиев И. Классификация линейных интегралов голономной механической системы с двумя степенями свободы // ПММ, 1971, т. 35, вып. 3. С. 420-422.

63. Ильяшенко Ю.С. Аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости и проблемы топологической классификации особых точек аналитических систем дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1976, т. 99, вып. 2. С. 162-175.

64. Иохвидов И.С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. М.: Наука, 1974, 263 с.

65. Иртегов В.Д. Инвариантные многообразия стационарных движений и их устойчивость. Новосибирск: Наука, 1985, 141 с.

66. Иртегов В.Д., Новиков М.А. Знакоопределенность форм четвертого порядка от двух переменных // Метод Ляпунова и его приложения. — Новосибирск: Наука, 1984. С. 87-93.

67. Иртегов В.Д., Новиков М.А. Бифуркации и резонансы // Дифференциальные уравнения и численные методы. Новосибирск: Наука, 1986. С. 168-178.

68. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения. С.-Пб.: НИИ химии СПбГУ, 2002, 71 с.

69. Каменков Г.В. Устойчивость движения, колебания, аэродинамика. т. 1. М.: Наука, 1971, 255 с.

70. Каменков Г.В. Устойчивость и колебания нелинейных систем, т. 2. М.: Наука, 1972, 213 с.

71. Касселс Дж. У.С. Введение в в геометрию чисел. М.: Мир, 1965, 421 с.

72. Касселс Дж. У.С. Рациональные квадратичные формы. М.: Мир, 1982, 436 с.

73. Клейн Ф. Высшая геометрия. М.: УРСС, 2004, 400 с.

74. Кирпичников С.Н. Структура дифференциальных уравнений механики, приводимых к каноническому виду //Л.: Вестник ЛГУ, сер. мат., мех., астр., 1973, N 19. С. 92-99.

75. Клюйник И.Ф. Об одном критерии знакоопределенности форм четного порядка и его применении. Киев: Наукова Думка, 1974,1. N 19. С. 103-112.

76. Козлов В.В. Гироскопическая стабилизация и параметрический резонанс // ПММ, 2001. т. 65, вып. 5. С. 739-745.

77. Красильников П.С. Об асимптотической устойчивости при резонансе 1:3 // ПММ, 1996, т. 60, вып. 1. С. 23-29.

78. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1954, 212 с.

79. Красовский H.H. Проблема стабилизации управляемых движений // Дополнение N4 в книге: Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966, 530 с.

80. Крейн М.Г., Неймарк М.А. Метод симметрических и Эрмитовых форм в теории отделения корней алгебраических уравнений. Харьков: ГТТИ, 1936, 39 с.

81. Крементуло В.В. Стабилизации стационарных движений твердого тела. М.: Наука, 1977, 263 с.

82. Кузьмин П.А. Квадратичные интегралы линейных механических систем // ПММ, 1960, т. 24, вып. 3. С. 575-577.

83. Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. М.: Наука, 1973, 206 с.

84. Куницын A.JL, Маркеев А.П. Устойчивость в резонансных случаях // Итоги науки и техники, серия: Общая механика. Т. 4. М.: ВИНИТИ, 1979. С. 58-139.

85. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ФМГИЗ, 1963, 431 с.

86. Лагранж Ж. Аналитическая механика, т. 2.- М.: Гостехиздат, 1950, 440 с.

87. Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: МИР, 1996, 408 с.

88. Лахаданов И.М. О квадратичных интегралах линейных автономных систем // М.: ПММ, 1978, т. 42, вып. 3. С. 555-557.

89. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. -М.: Физматгиз, 1962, 483 с.

90. Летов A.M. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981, 255 с.

91. Ляпунов A.M. О постоянных винтовых вращениях. Т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1954, 446 с. .

92. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Т. 2. -М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 7-263.

93. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. Особенности границ областей устойчивости // ПММ, 1998, т. 62, вып. 6. С. 984-995.

94. Макаров И.А., Фрадков А.Л. Алгоритмы управления колебаниями в гамильтоновых системах // ДАН, 1998, т. 362, N 3. С. 312-314.

95. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966, 530 с.

96. Маркеев А.П. О вращательном движении динамически симметричного спутника на эллиптической орбите // Космические исследования, 1967, т. 5, вып. 4. С. 530-539.

97. Маркеев А.П. Устойчивость плоских колебаний и вращений спутника на круговой орбите // Космические исследования, 1975, т. 13, вып. 3. С. 322-336.

98. Маркеев А.П., Сокольский А.Г., Чеховская Т.Н. Об устойчивости конической прецессии динамически симметричного твердого тела // Письма в астрономический журнал, 1977, т. 3, N 7.1. С. 333-336.

99. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодина-мике. М.: Наука, 1978, 312 с.

100. Маркеев А.П. К задаче об устойчивости положения равновесия гамильтоновой системы при резонансе 3:1 // ПММ, 2001, т. 65, вып. 4. С. 653-660.

101. Марков A.A. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. M.-JL: Гос-техиздат, 1948, 412 с.

102. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1971, 312 с.

103. Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости. Москва-Ижевск: РХД, 2001, 448 с.

104. Моисеев Н.Д. Очерки развития теории устойчивости. M.-JL: Гостехиздат, 1949, 663 с.

105. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981, 487 с.

106. Назиев Э.Х. О механических системах с интегралами, линейными относительно импульсов // Вестник МГУ, сер. мат., мех., 1969, N 2. С. 77-85.

107. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. M.-JL: Гостехиздат, 1947, 448 с.

108. Новиков С.П. Вторая половина 20 века и ее итог: Кризис физико-математического сообщества в России и на Западе // Историко -математические исследования. М.: Янус-К, 2002, сер. 2, вып. 7 (42). С. 326-356.

109. Новиков М.А. О наибольших и наименьших значениях полиномов // Иркутск: Вестник Иркутского гос. техн. ун-та, 2006, т. 1, N 4. С. 84-91.

110. Новиков М.А. О точных гранях полиномов // Новосибирск: Сибирский журнал вычислительной математики, 2007, т. 10, N 2. С. 195-208.

111. Новиков М.А. Знакоопределенность и теорема Финслера. Иркутск: Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008, Спецвыпуск. С. 126-132.

112. Новиков М.А. Определители в вычислениях точных граней полиномов. Иркутск: Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2009, N 1 (21). С. 135-140.

113. Новиков М.А. О приложении форм выше второго порядка к задачам устойчивости движения. Иркутск: Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2009, N 2 (22). С. 114— 119.

114. Новиков М.А. О приведении матриц квадратичных форм к взаимно упрощенным. Иркутск: Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010, N 2 (26). С. 181-187.

115. Новиков М.А. О связи диагонализации и знакоопределенности пучка двух квадратичных форм. Иркутск: Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010, N 3 (27). С. 233-241.

116. Новиков М.А. О диагонализации и знакоопределенности пучка трех квадратичных форм. Иркутск: Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010, N 4 (28). С. 100-107.

117. Новиков М.А. Об исследовании границ устойчивости стационарных движений спутника с гироскопом на круговой орбите // Автоматика и телемеханика, 2009, N 4. С. 163-171.

118. Новиков М.А. О границах устойчивости стационарного движения спутника с гироскопом // ПММ, 2010, т. 74, вып. 2. С. 230-238.

119. Новиков М.А. О знакоопределенности форм двух переменных // Материалы XIV Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2008. С. 134141.

120. Новоселов B.C. Приведение дифференциальных уравнений механики к каноническому виду // Вестник ЛГУ, сер. мат., мех., астр., 1972, N 3. С. 100-105.

121. Ольшанский В.Ю. Линейный и квадратичный интегралы сложной механической системы // ПММ, 1996, т. 60, вып. 1. С. 37-46.

122. Парс Л.А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971, 635 с.

123. Пилюгина В.Б. Исследование системы с тройным нулевым характеристическим корнем // ДУ, 1980, т. 16, вып. 8. С. 1520-1522.

124. Пожарицкий Г.К. О построении функций Ляпунова из интегралов уравнений возмущенного движения // ПММ, 1958, т. 22, вып. 2. С. 145-154.

125. Полак JT.С. Вариационные принципы механики: Их развитие и применение в физике. М.: Книжный дом "Либроком", 2010, 600с.

126. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, 1981,174 с.

127. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики, т. 1. Избранные труды. М.: Наука, 1971.

128. Раппопорт Л.Б. Знакоопределенность квадратичной формы при квадратичных ограничениях и абсолютная устойчивость нелинейных систем // ДАН, 1988, т. 298, N 4. С. 822-826.

129. Раушенбах Б.И., Токарь E.H. Управление ориентацией космических аппаратов. М.: Наука, 1974.

130. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967, 664 с.

131. Румянцев В гВ. Об устойчивости вращения тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в случае С. В. Ковалевской // ПММ, 1954, т. 18, вып. 4. С. 457-458.

132. Румянцев В.В. Устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела // ПММ, 1956, т. 20, вып. 1. С. 51-66.

133. Румянцев В.В. К устойчивости перманентных вращений твердого тела около неподвижной точки // ПММ, 1957, т. 21, вып. 3. С. 339-345.

134. Румянцев В.В. Сравнение трех методов построения функций Ляпунова // ПММ, 1995, т. 59, вып. 6. С. 916-921.

135. Савченко А.Я. Устойчивость равномерных вращений гироскопа C.B. Ковалевской // Механика твердого тела. Киев: Наукова думка, 1972, вып. 4. С. 48-51.

136. Садовский А.П. О проблеме центра и фокуса // ДУ, 1968, т. 4, N 5. С. 943-945.

137. Садовский А.П. О проблеме различения центра и фокуса для систем с ненулевой линейной частью // ДУ, 1976, т. 12, N 7. С. 12371246.

138. Садовский А.П. О проблеме различения центра и фокуса для одного случая сложной особой точки // ДУ, 1986, т. 22, N 5. С. 789-794.

139. Сазонов В.В. Гравитационная ориентация искусственных спутников с гиродинами // Космические исследования. 1988. т. 26, вып. 2. С. 315-317.

140. Сокольский А.Г. Об устойчивости гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае равных частот // ПММ, 1974, т. 38, вып. 5. С. 791-799.

141. Сокольский А.Г. Об устойчивости гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансе первого порядка // ПММ, 1977, т. 41, вып. 1. С. 24-33.

142. Сокольский А.Г. К задаче об устойчивости регулярных прецессий симметричного спутника // Космические исследования, 1980, т. 18, вып. 5. С. 698-706.

143. Сокольский А.Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы в случае нулевых частот // ПММ, 1981, т. 45, вып. 3. С. 441-449.

144. Сокольский А.Г., Хованский С.А. Программы нормализации га-мильтоновых систем с с тремя степенями свободы. М.: МАИ, деп. ВИНИТИ, 1981. С. 1-40.

145. Сокольский А.Г., Хованский С.А. Вычислительный алгоритм нормализации двумерных канонических систем. М.: МАИ, деп. ВИНИТИ, 1981. С. 1-40.

146. Солеев А. Выделение ветвей аналитической кривой и многогранники Ньютона // ДАН СССР, 1983, т. 268, N 6. С. 1305-1307.

147. Сосницкий С.П. О стабилизации равновесия консервативных систем с помощью гироскопических сил // ПММ, 2000, т. 64, вып. 1. С. 59-69.

148. Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977, 255 с.

149. Сумбатов A.C. Интегралы, линейные относительно скоростей. Обобщения теоремы Якоби. М.: ВИНИТИ, 1979, т. 4. С. 3-57.

150. Титова Т.Н. О нахождении нормального вида гамильтоновых матриц // ПММ, 1981, т. 45, вып. 6. С. 1026-1031.

151. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970, 564 с.

152. Уиттекер Э. Т. Аналитическая динамика. Ижевск: Издательский дом "Удмурдский университет", 1999, 584 с.

153. Walker R.J. Àlgebraic Curves. Princeton, NJ: Univ. Press, 1950 = Уокер P. Алгебраические кривые. - M.: Изд-во иностр. лит., 1952, 236 с.

154. Утешев А.Ю., Шуляк С.Г. Критерий асимптотической устойчивости системы двух дифференциальных уравнений с однородными правыми частями // Минск: ДУ, 1987, N 6. С. 1009-1014.

155. Утешев А.Ю., Шуляк С.Г. Метод Эрмита отделения решений систем алгебраических уравнений и его применение. М.: Депон. ВИНИТИ, N 6319-В89, "Вестник ЛГУ", сер. 1, 1989. С. 1-42.

156. Утешев А.Ю., Черкасов Т.М. Локализация решения систем алгебраических уравнений и неравенств. Метод Эрмита // ДАН РАН, 1996, т. 347, N 4. С. 451-453.

157. Утешев А.Ю., Черкасов Т.М. К задаче полиномиальной оптимизаций jj ДАН РАН, 1998, т. 361, N 2. С. 168-170.

158. Утешев А.Ю. Использование однородных форм в качестве функций Ляпунова. Л.: ЛГУ, ВИНИТИ, серия: математика, механика, астрономия, 1987. С. 1-13.

159. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1964, 304 с.

160. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. 1. М.: Наука, 1966, 608 с.

161. Хазин Л.Г., Шноль Э.Э. Об устойчивости положений равновесия в критических случаях и в случаях, близких к критическим // ПММ, 1981, т. 45, вып. 4. С. 595-604.

162. Хазин JI.Г., Шноль Э.Э. Устойчивость критических положений равновесия. Пущино, 1985, 215 с.

163. Харлип А.Д. Алгоритм нормализации автономных систем. -Алма-Ата: Изв. АН Каз. ССР, серия физико-математическая, Деп. ВИНИТИ, 1980. С. 1-37.

164. Холшевников К.В. Преобразования Ли в небесной механике // Астрономия и геодезия. Томск: Изд-во Томского гос. ун-та, 1973.

165. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М: Мир, 1989, 655 с.

166. Цельман Ф.Х. Резонансы и некоторые случаи интегрируемости движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // ДАН, 1972, т. 207, N 3. С. 560-562.

167. Цельман Ф.Х. "Малые колебания" тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки и некоторые случаи существования "линейных интегралов" // ПММ, 1973, вып. 3. С. 544-546.

168. Чеботарев Н.Г. "Многоугольник Ньютона" и его роль в современном развитии математики. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1950, т. 3. С. 47-80.

169. Чернятин В.А. О знакоопределенности произвольных форм четного порядка // Минск: ДАН БССР, 1966, т. 10, N 11. С. 821-823.

170. Черноусько Ф.Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника // ПММ, 1964, т. 28, вып. 1. С. 155-157.

171. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962, 535 с.

172. Шапиро Г.М. Высшая алгебра. М.: Учпедгиз, 1937, 328 с.

173. Шноль Э.Э., Хазин Л.Г. Несуществование алгебраического критерия асимптотической устойчивости при резонансе 1:1. М.: препринт ИПМ, 1977, N 112. С. 3-23.

174. Шноль Э.Э., Хазин Л.Г. Несуществование алгебраического критерия асимптотической устойчивости при резонансе 1:3. М.: препринт ИПМ, 1977, N 45. С. 3-32.

175. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения.- М.: Наука, 1972, 718 с.

176. By P. Bhimasankaram. Simultaneous Reduction of Several Hermitian Forms. India: (Indian Statistical Institute), The Indian Journal of Statistics, 1971, Series A, Vol.33. (Dec. 1971). P. 417-422.

177. Finsler P. 1. Uber das Vorkommen definiter und semidefiniter Formen in scharen quadratischen Formen, 2. Uber eine classe algebraischer Gebilde (Freigebilde). Commentarii Vathematicii Helveticii, 1937, v. 9. P. 172-192.

178. Kumar Mitra. Simultaneous Diagonalization of Rectangular Matrices.- N.Y.: Linear Algedra and its Applications, 1982, Vol. 47. P. 139-150.

179. Klingenberg Wilhelm. Paare symmetrischen und alternierenden Formen zweiten Grades // Abhandl. Math. Sem.(Hamburg) -Hamburg: 1955, N 19. P. 78-93.

180. Novickov M.A. Simbolic Computations in Problems of Stabilization // Algebra in Fundamental and Applied Researches and Education. Minsk: BSU, 1999. P. 66-69.

181. Novickov M.A. Parametric Analysis for a Nonlinear System // Computer Algebra in Scientific Computing. CASC '00, V.G. Ganzha, E.W. Mayr and E.V. Vorozhtsov (Eds). Munich: Springer, 2000. P. 315-321.

182. Uteshev A.Ju. Localization of Roots of a Polinomial not Represented in Canonical Form // Computer Algebra in Scientific Computing. CASC '99, V.G. Ganzha, E.W. Mayr and E.V. Vorozhtsov (Eds). -Berlin: Springer-Verlag, 1999. P. 431-440.

183. Poincare H. These (1879). Paris: Oeuvres 1, 1928.

184. Williamson J. On the algebraic problem concerning the normal forms of linear dynamical systems. Amer. J. of Math., 1936, N 58. P. 141-163.