автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и оптимизация формы термоупругих тел

цу - 4 2587

На правах рукописи

Павлов Сергей Петрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ ТЕРМОУПРУГИХ ТЕЛ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ; 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Саратов 2009

Работа выполнена в ГОУ ВПО ский университет»

«Саратовский государственный техниче-

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

Крысько Вадим Анатольевич

Официал ьные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Гурьянов Владимир Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор

Коноплев Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор

Немировский Юрий Владимирович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет

Защита диссертации состоится 24 июня 2009 г. в 13:00 на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп. I, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Автореферат разослан" / 7 " 2009 г.

Ученый секретарь /7

диссертационного совета Терентьев А.А.

Р О С С И Й С К А я ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКА 2009

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Современная техника использует все более сложные механические конструкции, обеспечение прочности, надежности и высокой экономичности которых имеет первостепенное значение. Оптимальное и оперативное проектирование таких конструкций невозможно без создания математических моделей, позволяющих учитывать максимально возможное количество факторов, влияющих на их работоспособность. При этом достигаются значительное снижение веса, улучшение механических и тепловых характеристик летательных аппаратов и строительных сооружений.

Традиционно при математическом моделировании механических конструкций априори форма (конфигурация) конструкции считалась заданной и неизменной. Однако в последние годы все большее значение стали придавать поиску наилучшей конфигурации. Эти задачи требуют не только новых методов, но и новых понятий.

Данное направление получило принципиально новое развитие благодаря научным школам Н.В. Баничука, С.Б. Виндергауза, В.П. Малко-ва, Ю.В. Немировского, JI.B. Петухова, В.А. Троицкого, А.Г. Угодчикова, Н.М. Хуторянского, Г.П. Черепанова и др.

Наиболее полно задачи определения оптимальной формы конструкций среди отечественных ученых рассмотрены в работах Н.В. Баничука и его учеников, в которых, по сути, впервые получены соотношения для анализа чувствительности интегральных функционалов, каковыми являются функционалы податливости, полной потенциальной энергии и др., при вариации формы упругих тел.

Дальнейшим шагом в развитии методов оптимизации формы конструкций стало применение этих методов к тепловым и термоупругим задачам.

В отдельное направление можно выделить работы, в которых форма тела оптимизируется по чисто тепловым и температурным показателям. Задача создания желаемых распределений температуры и (или) ее градиентов d твердом теле посредством граничных тепловых потоков либо распределения внутри тела источников тепла при минимальных затратах рассматривалась Ю.В. Немировским, Ю.В. Чеботаревским, P.A. Мериком, В. Эдельманом и другими учеными.

Очевидным фактом необходимости одновременного учета температурных и механических нагрузок является задача термоустойчивости стержней. В связи с этой проблемой отметим работы Н. Албул, Н.В. Баничука, М.В. Барсука, П.А. Кунташева, В.М. Картвелишвили.

Задачи оптимизации режимов нагружения конструкции при совместном воздействии механической нагрузки и температуры рассматривали Я.И. Бурак, Ю. Гольдштейн, Э,Л, Григолюк, Б.Я. Кантор, В.М. Картве-лишвили, В. Прагер, Я.С. Подстригая, A.B. Ясинский, О.Н. Шаблий.

Долгое время считалось, что изменение формы в процессе оптимизации не влияет на распределение самого температурного поля. Для термоупругих конструкций чаще рассматривалось лишь управление источниками нагрева (правыми частями дифференциальных уравнений). Задачам оптимизации формы термоупругих тел уделялось существенно меньше внимания. Очень мало работ посвящено также вопросу существования решения в задачах оптимизации формы. Это связано с серьезными математическими трудностями из-за нелинейности условий оптимальности. Вопросы существования решения рассматривались В.Г. Литвиновым, Е. А. Рапоце-вич, D. Chenais, J.J. Blair и др.

Факты взаимодействия температурных и механических полей при оптимизации формы конструкции до сих пор являются малоизученными с теоретической точки зрения. Необходимость создания новых математических моделей для оптимального проектирования формы термоупругих тел, учитывающих одновременное изменение температурных и механических полей, подтверждается также научной программой в гранте 2006 - 2008 гг. РФФИ №06-0801357.

Предметом исследований диссертационной работы являются задачи оптимизации формы термоупругих тел, в рамках которых учитывается влияние всех термомеханических факторов на оптимальный проект, в том числе и взаимозависимость в процессе реализации проекта температурных и деформационных полей.

Цель диссертационной работы: построение математических моделей оптимизации формы внешних и внутренних границ термоупругих тел, учитывающих одновременную зависимость как температурных, так и механических полей от формы этих границ; доказательство существования оптимальных решений; разработка эффективного алгоритма и комплекса программ для оптимизации формы в задачах теплопроводности, упругости и термоупругости и проведение на их основе численных экспериментов по оптимизации формы для ряда конкретных задач.

Направление исследований. Построение функционалов общего вида, основанных на слабой формулировке задач термоупругости и методе сопряженных переменных, которые позволяют получать необходимые условия оптимальности в задачах управления участками внутренних и внешних границ термоупругих областей.

Изучение условий существования и особенностей оптимальных решений при учете температурного поля. Создание алгоритмов и комплекса программ для решения таких задач на базе метода граничных элементов.

Методы исследований. При решении поставленных задач в диссертации использовались методы термодинамики сплошных сред, математической физики, функционального анализа, теории дифференциальных уравнений и методы компьютерного моделирования.

Научная новизна:

1. Выдвинут и обоснован новый принцип анализа чувствительности (вычисление градиентов функционалов цели и ограничений), основанный на слабой формулировке задач оптимального управления системами с распределенными параметрами, отличающийся использованием вместо дифференциальных связей соответствующих им вариационных принципов термоупругости с целью понижения требований гладкости и упрощения численного решения этих задач.

2. Предложена математическая модель, учитывающая эффекты взаимодействия температурных и механических полей при оптимизации формы термоупругих тел, что позволяет получать необходимые условия оптимальности в задачах управления участками внутренних и внешних границ термоупругих областей и вычислять вариации функционалов цели и ограничений общего вида, заданных на этих областях.

3. Показано, что даже если за исходную взята модель несвязной термоупругости, то есть решается задача о температурных напряжениях, при анализе чувствительности температурные и механические поля становятся связанными через сопряженные переменные. Показано, что этот факт связан с перераспределением энтропии в системе, которая изменяется за счет трансформирования формы тела.

4. Доказано существование решения для задачи оптимального распределения слоя изоляции по границе области и задачи оптимального размещения точек разрыва граничных условий в задачах теплопроводности плоской области.

5. Для задачи теплопроводности доказано существование оптимальной внешней границы двусвязной области при новых, более низких требованиях к гладкости границы.

6. В результате использования построенной математической модели получены новые критерии оптимальности. Эти критерии отличаются от известных, таких как равнонапряженность конструкции или постоянство потока тепла на границе области, наличием дополнительных членов, определяющих взаимозависимость температурных и механических полей и совпадают с ними лишь в частных случаях отсутствия температурного на-гружения или определенного распределения поля температур.

7. Разработаны новый алгоритм и комплекс программ для решения задач оптимизации формы статических задач упругости, термоупругости и теплопроводности, основанные на методе граничных элементов! и позволяющие точнее определить граничные значения производных функций состояния, необходимых при анализе чувствительности.

8. Получены оптимальные формы границ для нового класса задач: задача оптимального размещения термоизоляции по границе плоской области; задача оптимизации формы теплообменника; задача оптимизации формы поперечного сечения стержней максимальной жесткости при различных комбинациях тепловых полей; задачи минимизации концентрации напряжений и увеличения жесткости конструкции и др.

9. Показано, что учет изменяемости тепловых полей в процессе трансформации границы области существенно сказывается на оптимальной форме термоупругого тела.

10. Сформулирован новый класс задач оптимизации - задачи оптимального размещения точек сопряжения граничных условий в задачах термоупругости.

Достоверность результатов работы. Достоверность и обоснованность научных положений и выводов обеспечивается строгим соблюдением законов сохранения механики сплошной среды и определяющих уравнений, строгим применением аппарата математического анализа, а также согласованием модельных результатов с известными теоретическими результатами других исследователей, полученными другими методами.

Научная и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в построении математической модели, учитывающей эффекты взаимодействия температурных и механических полей при оптимизации формы термоупругих тел, доказательстве существования оптимальных решений, получении соотношений чувствительности к изменению формы тел для широкого класса функционалов с учетом влияния всех факторов на оптимальный проект и новых критериев оптимальности.

Практическая значимость работы заключается в получении результатов, объясняющих наблюдаемые экспериментально явления потери жесткости на скручивание нагреваемых стержней и изменении прочностных свойств конструкций, подверженных нагреву, появлении новой возможности управления термонапряженным состоянием за счет температурных эффектов, что позволяет получать новые конструкции, форму которых не всегда можно предсказать.

Результаты использовались в совместных работах с ОАО НПП «Контакт», имеется акт внедрения результатов работы. Кроме того, результаты работы используются; при подготовке кандидатских диссертаций (подготовлены два кандидата наук); в учебном процессе при чтении спецкурса в Саратовском государственном техническом университете.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Математическая модель трансформации области и выражения для первых производных различного вида функционалов, позволяющая проводить анализ чувствительности при управлении формой внешних и внутренних границ термоупругих областей.

2. Принцип анализа чувствительности функционалов цели и ограни-

чений, основанный на слабой формулировке задачи термоупругости, позволяющий учитывать одновременное изменение в процессе оптимизации как температурных, так и деформационных полей и получать значения производных для функционалов общего вида в более широких функциональных пространствах, когда все- решения соответствующих краевых задач удовлетворяют лишь вариационным уравнениям или неравенствам.

3. Новые критерии оптимальности, полученные на основе построенной математической модели оптимизации формы термоупругих тел, которые учитывают вариативность температурного поля при изменении конфигурации конструкции.

4. Доказательство существования решения для задач оптимального распределения термоизоляции плоской области.

5. Использование для анализа чувствительности метода граничных уравнений позволяет точнее определять граничные значения производных, необходимых при анализе чувствительности.

6. Разработанный численный метод решения задач оптимизации формы тел, подверженных одновременному воздействию как механических, так и температурных нагрузок с ограничениями, наложенными одновременно на механические и температурные поля, позволяющий на основе единого алгоритма решать широкий круг задач оптимизации формы двумерных тел.

Апробация результатов работы. Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, докладывались на научных конференциях: 4 Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах (Москва, ИПМ АН СССР, 1982), II Всесоюзной конференции «Численная реализация физико-механических задач прочности» (Горький, ,1987), Int. Conf. " Optimization of Finite Element Approximations (St. Petersburg, Russia, 1995), XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Казань, 1996), «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (Воронеж, 2000), 19-й международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (С. Петербург, 2001), VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 22-28.08.2006); III Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2006); IV Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007); систематически докладывались на научных семинарах госуниверситета и; технического университета г. Саратова; применялись на договорных началах в НПО «ИСТОК» г. Фрязино, что отражено в совместных работах,

Публикации. По теме диссертации опубликованы 43 научных работы, в том числе 12 работ в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, и одна монография.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Общее количество страниц 381. Диссертация содержит 96 рисунков и 6 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлен обзор основных работ по исследованию оптимальных форм конструкций и используемым методам оптимизации. Сформулированы цели исследования и положения, выносимые на защиту, дано краткое описание работы по главам.

В первой главе рассматриваются термодинамические основы термоупругости и приводятся основные уравнения механики и термодинамики необратимых процессов для деформируемого анизотропного тела, находящегося под действием температурных полей. Даются вариационные формулировки статической задачи термоупругости и приводится строгая формулировка этих задач в соответствующих пространствах.

Оптимизация формы области подразумевает поиск наилучшей в каком-либо смысле области последовательным перебором допустимых областей из некоторого заданного класса 5Н. Это тело претерпевает трансформацию за счет малых изменений границы Г" в зависимости от параметра /, которая осуществляется непрерывным образом и не вызывает при этом каких-либо напряжений. Полученную новую границу обозначим Г', а область П,.

Положение частиц в области П, при каждом значении параметра ( определяется функциями

*,=*,(£„/)=£,+,»,(£,,/). . (1) Эти функции будем называть законом трансформирования. Декартовы координаты 4к - точки среды в ее начальном состоянии можно рассматривать как переменные, сопоставляемые этой точке. В этом состоянии им приписывается роль криволинейных координат.

По установившейся терминологии называют лагранжевыми или сопутствующими координатами, х,- эйлеровыми координатами. Пусть имеется скалярная функция /(х,с),х£Й, эйлеровых координат и параметра /. По ней можно построить функцию лагранжевых координат = Определим "скорость" V трансформирования объе-

ма П, и нормальную скорость преобразования поверхности Уп следующим образом:

> КЛ

где и, - координаты нормального вектора к поверхности Г°(£). Таким образом, V, равна производной от перемещения точек области при постоянных лагранжевых координатах.

Далее вводится понятие полной производной . Она соответствует понятию полной вариации, широко используемому в теории упругости. Для функции /(§,/) теперь имеем

где

£/М

<?/М

ф=со?и/ 31

, <2>

дх

\-const

- обозначает производную по параметру t при постоян-

х=сот(

ных эйлеровых координатах. Эта производная соответствует понятию обычной или частной вариации функции.

При трансформации поверхности на каждом гладком куске поверхности Г° введем систему криволинейных координат у" (от = 1,2), так что пара (у',.у2)е30 сВ.г (Е0- заданное открытое подмножество). Полная производная при трансформировании поверхности имеет составляющие как по нормали, так и по касательным направлениям. Величина К„ =п,V, представляет скорость движения поверхности по частицам (при постоянных лагранжевых координатах у") и не зависит от способа параметризации поверхности. Для конструирования инвариантной производной на движущейся регулярной поверхности Г^ вводится производная <?()/<5г, определяемая как производная на траектории движения нормальной к поверхно-

(3)

X, П( '

ста Г£, то есть

31

которая называется переносной производной,

Переносная производная произвольного пространственного поля /(х(5,= (), % е£20, таким образом, определяется соотношением 8/_д/

8(

+ УЖ.

х=сот1

(4)

В общем случае для любого скалярного или векторного поля Ч'[х,у",1) из (3) и (4) следует, что

ЗУ = 81 дг

34- „ дЧг. (5)

При математической постановке экстремальных задач термомеханики необходимо, в первую очередь, выбрать нужные критерии оптимизации (целевые функции) и виды ограничений. Для систем с распределенными параметрами в качестве таких критериев, как правило, принимается функционал (или множество функционалов - векторный критерий), который в интегральном смысле отражает цель оптимизации или вид ограничений.

Рассмотрены вопросы корректности выбора тех или иных наиболее часто используемых при оптимизации конструкций функционалов в задачах термоупругости. В частности, показано, что для задач термоупругости функционал податливости, который для изотермического случая имеет вид

(6)

не является в общем случае мерой жесткости (минимума деформаций) и вместо него необходимо использовать функционал

^^¡с^е^П. (7)

п

В заключение даны постановки наиболее типичных задач, сводящихся к задачам поиска наилучшей формы термоупругой области или ее подобластей.

Во второй главе на основании полученных результатов выводятся соотношения чувствительности, то есть зависимости исследуемых функционалов от изменения формы тела (проектной переменной), для различного вида функционалов.

В частности, получены выражения для производных от интегралов по области

^-Й^+Е/Л'.*. (8)

л с1, * г;

где /п(0= , и по поверхности, ее ограничивающей

п,

" * г; I ) р а,

где /г = 2 ск сумма интегралов по движущимся регулярным поверхно-* г;

стям П! 4щ - гладкие части контуров, охватывающих П, ц- единичный вектор, который направлен по нормали к 1'ы наружу от поверхности Г[ и лежащий в касательной плоскости к Г*; = = У,м,- проекции скорости преобразования V на вектор ц; Кт- средняя кривизна поверхности.

Получено значение производной для поверхностного интеграла от потока некоторого заданного векторного поля

Л =1^=1 (Ю)

" П к г;

где п- направление внешней нормали к поверхности Г'к, которая также изменяется при изменении параметра t. Эта производная для незамкнутой поверхности имеет вид

Для двумерных областей возникает необходимость вычисления производных от криволинейных интегралов

(12)

V

где I' - гладкая кривая, положение которой в области О, зависит от параметра г. Как и ранее, предполагаем, что движение пространственной кривой I' описывается некоторым вектором трансформации Эта производная может быть записана в нескольких эквивалентных видах. Наиболее удобный из них для дальнейшего применения

^ = + + (13)

где вектор X - единичный вектор, касательный к кривой; V1 = V - 7хХ вектор скорости, который является составляющей перпендикулярной кривой V.

Производная от функционала ./, = рг, Л через подвижный плоский

и

контур, где ц-единичный вектор внешней нормали к контуру V и = Ъм, > для незамкнутого контура I' определяется выражением

(14)

Для использования выражений (9), (11), (13), (14) в конкретных задачах оптимизации при наличии дополнительных связей в виде дифференциальных уравнений состояния заметим, что функция /(х,/), стоящая под знаком интеграла, зависит явно еще и от некоторой функции состояния и = (м,,...,им) = и(х^), а также от градиента этой функции (Уи), = 1 = 1,2,...,т. Предполагается, что и(х,/)еС3(п,х[о,г]).

Рассмотрим функционал от поля и(х,/), заданный на переменной области Ц, = где Vи = '¿гайи. Используем выражение (8) п,

для производной объемного интеграла при = F(\,u(x,t),'Vu(x,t)). Тогда,

дР . дР .

то ~1Г, —\ии>

<?/ ди, Офи)

если обозначить

дщ

' а?

и) окончательно получаем

Здесь

г _дР ди.

дР

ЗР дР пг „ (16)

Если истинное поле переменной состояния « соответствует экстремуму или точке стационарности функционала для фиксированной области П,, то в силу произвольности й, в области О, и Ви^Бг на границах Г^ имеем £, - 0 в ¿2,, !М,=0 на Г^. В этом случае из равенства (15) следует

^ = £ К*. (17)

* г;

Таким образом, производная становится выраженной в терминах граничных значений функции Р и нормальной составляющей вектора скорости преобразования области V. Поэтому желательно, чтобы в качестве функционалов цели были использованы функционалы, стационарные на истинном решении задачи. Если это не так, то как мы увидим далее, такие функционалы всегда могут быть построены на основе слабой формулировки соответствующих дифференциальных задач.

Ашигогичные выражения получены для производной объёмного функционала при наличии поверхности разрыва внутри фиксированной области П, =П0 в Я3, которая составлена из двух переменных подобластей и Г2,и, разделенных регулярной подвижной поверхностью т'0. Изменение подобластей происходит в результате движения поверхности Г'0.

Выражение для первой производной суммы объёмного и поверхностного функционалов

4и) = ув(и)+уг(и)= ]>(х>и>УиУп + 2 |я(х,и,Уи)Л. (18)

п, Г1

выводится в предположении, что функция Я(х,и,Уи) задана на регулярных кусках г; независимыми выражениями. Для каждой регулярной части г;

Я(х,и,Уи)е (с1)3. Из соотношений (4) следует, что

б Н вН . дН . „ П9\

Используя соотношения (15) и (9), (19), получим

«¿/(и) гг.,п ^с/я, дН. дН . 1, (2°)

ш 4 4 ди, дии! }

+ Е Я. - 2 НК.У.<Ь+Е + нуп )л.

* п Р и,

На регулярных поверхностях мы можем рассматривать Я(х,и,Уи) как функцию независимых переменных я(х, и, и „, и „). Тогда

дН , дН . дВ . (21)

-Щ,--Ця +-"ю-

3Щ,1 дикп ' д "и '

С учётом (21) преобразуем интеграл по от дН/ди^й^ • Имеем теперь

к

после применения теоремы Грина

ди,

ди,г

\iids +

к г1

+

(22)

0Нк дН'

р ди>.,

й.М.

Если поле и доставляет стационарное значение функционалу У(и)

при заданной (фиксированной) границе , то при У„ = 0 должны выпол-

к

няться следующие соотношения:

£, =0 в а,,

% +

дН ди,

дН

\

= 0 на г;, на

(23)

С учетом этого окончательно (22) принимает вид

Ш ГI Р О,

Полученные общие результаты применяются в последующих разделах к различным частным задачам механики. В частности, пусть требуется минимизировать полную энергию термоупругого тела

./(«) = \F\ds,

па?,

где у = - свободная энергия Гельмгольца, и - плотность внутренней энергии и 5 - плотность энтропии. В общем случае, когда изменением температурного поля в, возникающим из-за трансформации области, пренебречь нельзя, производная функционала полной энергии определяется выражением

Ц-ш ^-/«,-(^4)., +2^«,*>„*+ -<ГЛ(«, (24)

г; С I/

[ й ' у ^ О/

и сопряженное поле температуры в', должно удовлетворять дополнительным связям в виде сопряжённой краевой задачи:

(я^;Д+5 = 0; (25)

в' = 0 на Г'в; = 0 на Г^, где 5- энтропия. Уравнения (25) связывают значения переменной в'— сопряжённой температуры с энтропией и имеют вполне конкретную физическую интерпретацию. Если ввести потоки энтропии (энтропийные перемещения) согласно соотношениям = -¿„¿Г , то уравнение (25) принимает

вид

+ 5 = 0.

Таким образом, последние три слагаемых в (24) появляются за счет перераспределения энтропии в системе, которая изменяется за счет трансформирования формы тела.

Как уже отмечалось выше, для получения соотношений чувствительности естественным образом годятся функционалы цели, которые являются стационарными на допустимых полях функций состояния. Это, конечно, ограничивает круг рассматриваемых задач. Для исключения этого недостатка был использован новый принцип анализа чувствительности функционалов цели и ограничений, основанный на слабой формулировке задачи термоупругости.

Рассмотрим следующие функциональные пространства: пространство функций проектирования, включающих поля таких переменных, как геометрические переменные со(^,/), характеризующие трансформацию области П,; проектные нагрузки, такие как объемные силы /„ поверхностные нагрузки , объемные источники тепла д0 и поверхностные потоки тепла ¡2°; а также внутренние начальные напряжения о' и деформации е', начальные потоки тепла д', и градиенты температуры <р\. К пространству функций проектирования относятся также подвижные контуры на границе, в которых происходит сопряжение различных типов граничных условий (граничное управление).

Пространство функций откликов включает переменные упругой и тепловой задач: смещения и,, деформации ец, упругие напряжения а]п температуру в, градиенты температуры <р,, температурные потоки ц? и реакции поверхностных усилий, а также поверхностные потоки тепла.

Функциональное пространство неявно определяется пространством функций проектирования через уравнения равновесия, теплопроводности с соответствующими граничными условиями.

Функции отклика должны удовлетворять соотношениям Коши, уравнениям состояния и равновесия:

еа ач =С(Ж-е'ио-,; "Стви, (26)

где е'ы,сг!и - тензоры начальных деформаций и напряжений;

°».у+/<= 0. (27)

= <уЛ = ^ на Г„, а, = и,1 на Г„. (28)

Температурное поле 0 удовлетворяет соотношениям:

'Р,=-в, , (29)

д, =хХч>1 -Ч>\Уч\, (30)

Здесь ер', д1! - векторы начальных температурных деформаций и потоков, -полные потоки тепла, которые удовлетворяют следующей краевой задаче

дм-9о=0, (31)

« = =6" на Г,, 0 = 0° наг,. (32)

Пусть задан скалярный функционал (это может быть либо функционал цели, либо функционалы ограничений), зависящий как от механических, так и от температурных полей:

У(п,)= ¥>„??, и„ + (33)

п. г;

+ |м(х,и,+ р/(х,0,е°}& + .

г; г; г;

В этом функционале в, Я, М,И,Я- скалярные нелинейные функции. Основная трудность в вычислении У{С1,) состоит в определении производных от функций состояния ¿„Вц.а'ц . Эти производные неявно связаны со скоростью V трансформации области £2, посредством уравнений состояния (26) - (32). Для получения явной зависимости ¿(о,) от скорости V необходимо исключить зависимость от производных переменных состояния. Это осуществляется с помощью введения сопряженных переменных. Но в отличие от известного метода сопряженных переменных будем использовать слабую (вариационную) форму уравнений состояния, что дает определенные преимущества при применении численных методов решения.

Для получения выражения ¿(О,,) как через кинетические (температурные), так и силовые (тепловые) переменные использован функционал Ху-Васидзу для линейно-упругой структуры, подверженной нагреву, при наличии начальных напряжений и деформаций, который имеет вид

~ Иаи elj-l;{u>.J+uJ^ К"- ¡/п^- р^П- ~«/")<& •

I- ^ - -У п, г„ г.

Для тепловой задачи (29) - (32) был построен функционал, аналогичный функционалу Ху-Васидзу, в котором в качестве независимых переменных приняты функции й,?, и 0:

(35)

п(м,0) = | ^Лурщ + ад/ -<р',ч! -ч,{% + 0,/)-

сЮ.+

+ ^{в-в0-^. г, г.

Рассмотрим теперь упругое тело, подвергнутое действию двух независимых механических и тепловых нагрузок: реальных нагрузок /¡, ?о> 2° и фиктивных сопряженных нагрузок Р', Взаимная

энергия Ху-Васидзу I" = /а(<гДиДа*,Ё",и\0") есть разность между энергией от суммарного действия всех механических и тепловых нагрузок и суммы энергий реальных и сопряженных нагрузок, действующих отдельно

/"(о,8,иД6',8*,и\б')=7(а + о\б + ё%и + и\0+0*)--/(вАи.бО-ф'.е'.и', 0").

Такое же соотношение может быть записано для функционала На полях реальной задачи для любых значений £,у,а-*,ы',/'1\<9' взаимная энергия может быть записана в более простой форме:

1В = 1° = е„ - с,]Ыеие''и -стеиа„9' - /'и, - ]>/«,£& + , (3 6)

а1 г„ г,

= /[<?>, - Л' - ^а + - ^»а.

1, Г, г,

Далее, так как = I*, Пв = П*, то ^(о,) можно записать и в виде

то

I + "с№/4к (38)

+ +А - - («и+"у., )/з]~ сг, [*; - (»,;,+)/г]-

г'

- м+?,?>; - +в,)- +)- +

+ |{(я - ^ «;)„ - г(я - ^ щ)кт + с

+ГЩ" ++ф *+- - 'л -- №(«1 - «?1 -*;(«, - ++

г*® * /

+ + Чв'\„ - г{я+д0')кт}гл+ - - К*+

¡{N + 00% + [л + д<Г+д'[в -

и

¡.а,

Сопряженные поля, отмеченные ', должны при этом удовлетворять следующим соотношениям:

¿?с?

V)

ав

деп

ди,

ев

ди,

наг.

= 0,

. дМ „

и, =-на Г„.

д1,

Аналогичные соотношения для тепловой задачи определяются равенствами:

дв} дв

(39)

дд° ) дер,'

<7+ дИ

дв дв'

п- = д:п. =-— на Г„ИЙ' =

4 ' ' ее 4

£Д

на Гя.

Как видно из (39), сопряженная задача становится связанной.

Заметим, что сами уравнения как прямых, так и сопряженных задач, должны удовлетворяться лишь в слабой форме как решения вариационных задач для функционалов 1"(а,Е,и,9,ё',и ,0') и Т1"{(р,сьв,(р',ц',9'), полный вид которых здесь не приводится из-за громоздкости выражений.

В третьей главе полученные результаты применяются для оптимизации термоизоляции плоской области, когда отыскивается не только оптимальное распределение толщины теплоизолирующего слоя, но и граница его расположения. Пусть граница Г плоского изотропного твердого тела О состоит из четырех частей: Г,,Г2,Г31Г4(рис.1). На поверхности Г, задана температура. На поверхности Г„ - нулевой поток тепла. На поверхностях Г2 и Г3 распределяются тонкие слои термоизоляции и, следовательно, граничное условие на этих поверхностях может быть задано в виде линейной комбинации температуры и потока тепла.

Отыскивается такое распределение неизвестной толщины на" Г2, чтобы суммарные потери тепла через поверхности Г2,Г3 были минимальными. Общая площадь изолирующего материала на Г2 задана. В безразмерных переменных распределение температуры в области описывается уравнением Рис.1

о

? = 0

У20 = О В о,

с краевыми условиями

'Э0 дп

= 0,

Э0 дп

+ кв

■■о,

дв_ дп

= 0,

(40)

(41)

где V = {ау)'\ А = (яг)"1 и у-искомая, а я - заданная безразмерные толщины на границах Гг,Г3 соответственно.

Задача оптимизации теперь ставится таким образом: найти распределение у(х) - нормированной толщины изоляции на Г2 и положение точек а,Ъ, с,с!, разделяющих границы Г,,Гг,Г3,Г4, такие, чтобы функция цели

Лу)= \h6dl (42)

г2 г,

была наименьшей при условии, что выполняются соотношения (40)-(41) и ограничение

У, = \ау{х)а -1 £ О, {у(х) > 0). (43)

Теорема. Пусть множество ив задано соотношением

иа = ^ е Г;0 < /? < (х) <у(х)< £(х), почти всюду на Г2, £0> б Г(Г2)},

а б(у) - решение задачи (40), (41). Если функционал цели задан соотношением (42), то существует, по крайней мере, одно оптимальное управление ge.Un, удовлетворяющее условию (43).

Прямая и сопряженная задачи теплопроводности решались методом граничных элементов (МГЭ). Предварительно алгоритм и программа тестировались на известных результатах, полученных А.И. Уздалевым методом возмущений для двух видов двухсвязных областей с криволинейной границей. Для симметричных областей получено полное совпадение, для несимметричных - расхождение не превышает 1%.

Достоверность результатов, получаемых для задачи оптимизации тонкого слоя термоизоляции, подтверждается совпадением результатов одного из вариантов расчетов для односвязной области как по достигнутому уменьшению потерь тепла, так и по распределению толщины слоя термоизоляции с результатами Л. А. Мепс.

В качестве примеров оптимизации рассматривались задачи для дву-связных областей с различным расположением полости внутри области и различной формой этой полости. На внутренней границе задана темпера-

тура

ЯД

, 1, а на внешней границе смешанное условие I —+vt ' 1 дп

= 0. На

рис. 2 показано распределение толщины термоизоляции для двусвязной

Рис.2

области при заданном расположении отверстия, при котором было получено наибольшее, на 22,7%, снижение потерь тепла по сравнению с равномерно распределенным слоем изоляции. При других рассмотренных формах отверстия и другом его местоположении выигрыш составлял от 3,1% (квадрат в центре) до 22,1% (узкая щель вблизи внешней границы).

В предыдущей задаче слой термоизоляции считался тонким, и его можно было учесть через граничное условие. В общем случае необходимо рассматривать более сложную задачу.

Пусть имеется плоское двусвязное изотропное тело, занимающее область П,, которое окружает со всех сторон область О0. Требуется минимизировать потери тепла 2 с поверхности Г0 тела £20 через слой однородной изоляции, занимающей область О, и ограниченную с другой стороны границей + (рис. 3), которая заранее

ь е т * ? т чв

неизвестна.

На границе задана температура (условие Дирихле), на Г^ - тепловой поток (условие Неймана), а на границе г^ линейная связь потока и температуры. Тепло отводится, таким образом, через поверхность Г' = Г^ + Г^ + Цд. В безразмерных переменных распределение температуры в области Я, описывается уравнением (40) с граничными условиями

ВО

Рис. 3

7|Го =0О,0|Г,=0„

3 п

= о.

(44)

Задача оптимизации теперь состоит в отыскании такой границы Г' и (или) такого положения точек а,Ь,с, которые доставляют функции цели

' дп »0

минимум при условии, что выполняются соотношения (40), (44) и ограничение

п,

Для этой задачи приведено доказательство существования оптимальной границы на множестве 3, где 3- есть множество замкнутых контуров в области С1,, удовлетворяющих следующим условиям:

а) Г1-невырожденнаяпростая замкнутая кривая, имеющая конечную длину;

б) I" может быть задана в параметрическом виде: х, =xl(t), t e[a,b] xl(a) = xl(b),i = 1,2

в) функции x,(t)eW'{a,b), существует константа М> 0, такая, что ||r (/|(iKi(o b)f s М и х}(в) = (6), х%а) = x'Xbl 1 = 1.2;

г) существует константа А>0, такая, что VP' е 3 infJr-p|Rl >к;

геГ',реГй

д) УГ'еЗ выполняется неравенство у Jji/i -1 < 0.

п,

Там же получено выражение для производной функционала (45):

j(n,)= - ¡{&:„(в -0,)„}v„ еП + \[q,qr + QJ' ~2(g0%]V„ dl+

г; г; (46)

Гуд

где QjtO и д - реальные поля и q],в' и q' - сопряженные поля, удовлетворяющие уравнениям:

<?,', =0 в Я,,

Показано, что лишь тогда, когда заданные температуры в0\г ,в.\г, по-

UQ tig

стоянны, 1фитерий оптимальности принимает известный вид e,n|r, = —q\ri = const, то есть поток тепла на оптимизируемой границе Г^,

для оптимального слоя термоизоляции должен быть постоянным на всей этой границе. В других случаях это условие может не выполняться.

В диссертации рассмотрено большое количество задач оптимизации внешней границы по критерию (45). Здесь приводятся результаты для трех из них.

Пусть внутренняя граница имеет форму квадрата, и ее расположение задано. Выполняются следующие граничные условия: на внешней границе задано значение температуры = 4, а на внутренней £?|г =2.

В первом случае четвертая часть внешней границы зафиксирована (на рис. 4а она расположена сверху). На рис. 4а пунктирной линией изображена исходная квадратная областа,, сплошной линией - форма области после оптимизации. На рис. 46 показана зависимость значения потока тепла на внешней границе до (пунктирная линия) и после (сплошная линия) оптимизации. Выигрыш по критерию (45) для этой задачи составляет 47,8%. То есть потери тепла из внутренней области при оптимальном размещении термоизоляции уменьшились на 47,8%.

п

а ■

1 ■ У** т--

1 11 21 31 41 61 61 71

а б Рис.4

Заметим, что после оптимизации значение потока тепла на оптимизируемой границе практически выравнивается.

На рис. 5 приведена форма оптимальной области для случая, когда половина внешней границы зафиксирована. Наибольший выигрыш был достигнут, когда отверстие находится в противоположном углу от заданной границы. Для данной задачи потери тепла уменьшились на 30,6%.

Рис. 5 Рис. 6

Если оптимизации подлежит вся внешняя граница, то, например, для области, показанной на рис,6, когда малая щель расположена в непосредственной близости у одной из внешних границ, потери тепла из внутренней области уменьшились на 48,3% по сравнению с исходной формой.

Аналогичные задачи рассматривались и для других граничных условий. Выигрыш, однако, в этих задачах не превосходил 12%.

Кроме этих задач, получена оптимальная форма теплоприемника в замкнутом теплообменнике. Пусть требуется максимизировать тепловой поток д с поверхности Г0 тела О0, который передается через среду, занимающую область О.,, к прверхности Г, (рис. 7).

Граница Г, которой ограничена область, теплоизолирована. Температурное поле в внутри О, удовлетворяет однородному уравнению Лапласа. На границе Г0 задано распределение температуры, на границе Г, - условие конвективного тепло- Рис.7

обмена: 0|г =

1Г" дп

дп

= -2г,

Задача оптимизации состоит в определении формы границы Г,, обеспечивающей максимальную передачу тепла с границы г0

■/(г>-ЯгЛ» 4г,)-*тах

¿дп Г1

при условии, что площадь области внутри контура Г, неизменна и минимальное расстояние между точками границ Г0, Г, не меньше заданной величины.

Производная функционала J(ГI) получается из (46) и имеет вид ¿{г,)=-1[дгд;-мве'(м+к)}у„сп.

Здесь дт =дв/дт- касательная составляющая потока на границе Г,, которая в методе граничных элементов легко вычисляется через узловые значения температуры, К - кривизна границы. Сопряженные переменные и д' = должны при этом удовлетворять следующей краевой задаче:

=° в П,, 0*|Го =1 , <4=0, (-в, + /1б-]Г1 =0. Численное решение получено при ц = 1, ва =15, ¡2 = -1. На рис. 7 показана форма границы теплоприемника Г, до (прерывистая линия) и после (сплошная линия) оптимизации. Выигрыш от оптимизации - увеличение количества тепла, передаваемого к теплоприемнику, составил 21, 5%.

В четвертой главе рассмотрены задачи оптимизации формы стержней с начальными температурными напряжениями по критерию максимума крутильной жесткости.

Пусть поперечное сечение стержня занимает область О, е К2 из заданного семейства 3 областей, ограниченную замкнутой поверхностью Г, которая состоит из регулярных поверхностей и Г^, соединяющихся в точках у, (/ = 1,2). На этих поверхностях стержня заданы значения температуры поверхности ва на Г^, и внешнего потока тепла 2 на Г^.

Эффективная крутильная жесткость может быть записана в виде

У„ (П,) = 2 ДФЙВ + - г2^, (47)

где обозначено

Ф- функция напряжений Прандтля; О- поле температур в поперечном сечении стержня, которое определяется как решение соответствующей крае-

вой задачи; Е,0,у,ат - термомеханические характеристики материала. Предполагается, что они не зависят от температуры. Здесь р1 - есть функция границы области и также подлежит варьированию при ее изменении.

Задача оптимизации состоит в определении такой формы области П, е 3, которая максимизирует эффективную крутильную жесткость (47) стержня при заданных внешних воздействиях 0О,2. точках у^уг раздела границ Гд.Гц и ограничениях:

а) площадь поперечного сечения стержня не должна превосходить заданной величины А

У,(П,)= (48)

б) погонный угол закрутки а и удовлетворяют следующему неравенству: Ой а й <т33 2 (т„, где <1 - характерный линейный размер стержня, <т0 - некоторая заданная величина.

Пространство функций откликов включает переменные упругой и тепловой задач: функцию напряжений Ф, производные от неё gl, температуру в, градиенты температуры температурные потоки д,.

Для получения выражения применяется та же идея анализа

соотношений чувствительности с использованием слабой формулировки задач теплопроводности и задачи определения функции напряжений Ф, которая изложена в описании второй главы. В результате получено

(49)

-л \\р{хга-¿¿^-¿.к,!

Здесь сопряженные переменные 0', <р', д' должны удовлетворять следующей краевой задаче:

9; —е-, 9;=яЛ\ +/)=о, (50)

д' = = 0 на Г^, в' =0 на

В отдельных частных случаях выражение (49) может быть упрощено. Если, например, Г^ = 0 , точки у,я - неподвижны и температура границы не изменяется при трансформации области по направлению нормали, то второе и четвертое слагаемые в (49) исчезают

+^л'К«" - +АК*

г' г'

Отсюда получаем новый критерий (необходимое условие) оптимальности + Х%<р„ - Л/}{х2 + /Я|г, = сот, (51)

который совпадает с известным = const лишь в случав, когда температурное поле отсутствует или является постоянным.

Ниже приведены результаты оптимизации формы внешней границы стержня, подверженного действию температурной нагрузки, с заданной площадью поперечного сечения. Рассматривались стержни симметричного по обеим осям поперечного сечения, как односвязные, так и двусвязные.

Все вычисления проводились МГЭ, процесс оптимизации осуществлялся методом проекции градиента. Достоверность результатов была проверена сравнением оптимального решения для стержня с прямоугольным отверстием в отсутствии температурного нагружения, полученного по данному алгоритму, с аналитическими результатами Н.В. Баничука и решением с использованием метода конечных элементов К. Dems. Все три результата практически не отличаются.

Задача 1. В качестве исходной формы выбран круглый вал с круглым отверстием. Оптимизации подлежит внешняя граница.

Рассмотрены два вида температурного нагружения:

а) температура на внешней границе изменяется по закону 0О = 25cos 2у, у б [0,я/41 = °> У s [я/4;»/2]) на внутренней границе 90 = 1;

б) на внутренней границе задан поток тепла, изменяющийся по закону Q = 1 + 54 sin у, у е [о, я/2]. На внешней границе 0D = 1.

Увеличение эффективной жесткости от оптимизации в задаче а) составило 25.7%. На рис. 8, 9 приведены формы поперечных сечений стержней до и после оптимизации. Эффективная жесткость после оптимизации в задаче б) увеличилась на 42,2%.

□ 0,* О,В 1.2 1.9 2 3,-t о 0.4 О.В 1,3 1,6 2 2,1

Рис. 8 Рис. 9

Задача 2. В качестве исходной формы выбран круглый вал с квадратным отверстием. Оптимизации подлежит внешняя граница.

Рассмотрены три вида температурного нагружения:

а) температурное поле отсутствует;

б) на внешней границе температура меняется по закону 0О = 1 + 9 sin у, ye [0, я/2], на внутренней границе 0О = 1;

в) температура на внешней границе изменяется по закону е„ = 25eosу s [0,я/4\ 90 = 0, у е [я/4;ж/2], на внутренней границе 0„ = 1.

На рис. 10 показана форма оптимального поперечного сечения для случая а). Выигрыш от оптимизации в этом случае невелик и составляет

8.9%. На рис. 11, 12 приведены формы поперечного сечения вала до и после оптимизации. Выигрыши в задаче б) составляет 9,3%, в задаче в) -39,9%.

о 0,4 а.» 1,з i.e а «04 о.« и 1.« а

Рис. 10 Рис.11

На рис. 13 приводится зависимость критерия (51) от продольной координаты границы для исходной формы - кривая (1) и оптимальной - кривая (2). Кривая (3) - зависимость для критерия, используемого в чисто упругом варианте. Как видно из графика (2), критерий (51) практически выполнен, а критерий = const при температурном нагружении уже не работает.

.—^ .....1 \

. \

-..№)......... ---:

Рис. 12 Рйс- 13

Оптимальная форма для случая а) совпадает с точностью до 1% с результатами Н.В. Баничука, полученными методом малого параметра (аналитическое решение).

Из результатов следует, что для увеличения жесткости сплошного стержня, подверженного нагреву, материал с части границы, на которой задана большая температура, в результате оптимизации перераспределяется на границу с меньшей температурой. Заметим также, что выигрыш от оптимизации больше тогда, когда градиент изменения температуры выше.

Анализ полученных результатов показывает существенное влияние температурных полей, особенно с большими градиентами, как на форму оптимального поперечного сечения, так и на получаемый выигрыш от оптимизации.

Кроме этих задач, в диссертации рассмотрены еще ряд задач для профилей крыловидной формы.

В пятой главе результаты, полученные во второй главе, применяются для решения конкретных задач оптимизации формы областей для двух типичных плоских статических задач термоупругости: о плоской деформации и плоском напряженном состоянии.

Задача 1 - оптимизация жесткости консоли, находящейся в плоском

деформированном состоянии (рис. 14). г д Левый край консоли закреплен, на пра-

J вом краю приложена нагрузка Р = 1. По контуру консоли заданы либо поток тепла, либо температура. Внутри области источники тепла отсутствуют. Требуется минимизировать величину перемещения и2 в точке А посредством трансформации Рис. 14 нижней границы консоли при условии, что

площадь поперечного сечения не превосходит заданной величины.

На основе изложенного выше подхода для этой задачи получено новое необходимое условие оптимальности

¡2Gen/(l - v)~2GaTe/(l - vf )в„/р + = const, (52)

в котором последнее слагаемое обусловлено вариативностью температурного поля при изменении формы конструкции.

Рассмотрены следующие виды термомеханического нагружения:

а) чисто упругая задача - температурное поле отсутствует;

б) комбинированное термомеханическое нагружение - на границах

д&

Г, -Г4 заданы следующие граничные условия

дп

в) комбинированное термомеханическое нагружение - на границах

дд

Г,, Г, заданы те же граничные условия —

дп I

= в\г = 0, на границах Г2, Г, за-

дан поток тепла

30 дп

= 1.

На рис. 15 приведены формы консоли до оптимизации (пунктирная линия) и после (сплошная линия) оптимизации, а также полученный выигрыш в уменьшении прогиба по сравнению с исходной конструкцией для различных типов теплового нагружения.

80,7% 98,5% 98,7%

а б в

Рис. 15

Как видно, при комбинированном нагружении можно достичь большего, почти на 20%, увеличения жесткости конструкции.

Задача 2 - оптимизация формы внутренней границы прямоугольного тоннеля, на перекрытие которого могут действовать различные нагрузки, а внутренняя граница полости свободна от нагрузок. Кроме этого, на внешней и внутренней границе могут быть заданы температура и (или) поток тепла. Нижний край конструкции закреплен к грунту. Требуется минимизировать величину максимального касательного напряжения

ЛИ= [

^— + 2сг* за счет изменения формы полости при условии, что

площадь поперечного сечения конструкции не превосходит заданной величины.

На основе изложенного выше подхода для этой задачи получено следующее новое выражение для производной функции цели:

г2 У . .1 (53)

где а,т - локальная система координат, р- заданное число (р»1) и

За исходную выбрана конструкция, показанная на рис. 16. Рассмотрены следующие виды термомеханического нагружения:

а) чисто упругая задача - на границе Г, задано внешнее давление с интенсивностью р = 0,4, на границе Г2 определены условия жесткой заделки и = 0, V = 0, граница Г3 - свободна от нагрузки, температурное поле отсутствует;

б) задана только тепловая нагрузка -граница Г, и граница Г3 свободны от меха-

нической нагрузки, на границе Г,

Рис. 16

определены условия жесткой заделки

и = о, V = 0. На границе Г, задано условие конвективного теплообмена ц = -0,50 + 3, на границах Гг и Г3 - температура 0 = 2;

в) комбинированное термомеханическое нагружение - на границе Г, задано давление с интенсивностью р = 0,4, на границе Г2 определены условия жесткой заделки и = 0, V -- 0, граница Г3 свободна от нагрузки. На границах Г, и Г2 задана температура в0 = 0, на границе Г, - поток тепла

е-з,4.

Для чисто упругой задачи а) на рис. 17а показан вид границы до (пунктирная линия) и после (сплошная линия) оптимизации. Максимальное касательное напряжение в этом случае уменьшается на 74,56% по сравнению с исходной прямоугольной формой тоннеля.

Существенно отличается форма границы тоннеля, которая представлена на рис. 176, для условий нагружения б), когда отсутствует механическая нагрузка. Выигрыш в этом случае несколько меньше - 58,3%.

В случае комбинированного термомеханического нагружения в) оптимальная форма отличается и от чисто упругой задачи а), и от температурной задачи б). Она приобретает черты средней конфигурации между этими двумя оптимальными границами (рис. 17в). Максимальные касательные напряжения уменьшились в этом случае на 57% по сравнению с прямоугольной формой.

» = 0,4 q = -0,50+3 Р = 0.4 00=0

а б В

Рис. 17

Отметим, что выигрыш и оптимальная форма сильно зависят как от распределения температурного поля в теле конструкции, так и от соотношений интенсивностей тепловых и механических нагрузок.

Задача 3 - оптимизация формы внешней границы прямоугольной пластины с отверстием, находящейся в плоском напряженном состоянии

(рис. 18) и растягиваемой нагрузкой, приложенной внутри отверстия, по тому же критерию, что и в задаче 2, с ограничением на площадь, занимаемую пластиной.

Край АВ пластины закреплен, остальные границы - свободны от нагрузки. По контуру отверстия EF действует растягивающая сила в направлении оси ОХ, продольная составляющая которой изме-Рио. 18 няется по закону f(tp) = cos2 (p.

Приведем результаты оптимизации формы для двух видов термомеханического нагружения:

а) чисто упругая задача-действует только механическая нагрузка;

б) комбинированное термомеханическое нагружение - внутри отверстия задан поток тепла 0° =4, на внешнем контуре ва = 0.

Необходимое условие оптимальности в этой задаче то же, что и в задаче 2.

Для чисто упругой задачи а) на рис. 19 показан вид границы до (пунктирная линия) и после (сплошная линия) оптимизации.

Уменьшение гти по сравнению с исходной формой пластины в этом случае составляет 19,4%. Эти результаты хорошо согласуются с результатами, полученными другими авторами методом конечных элементов. Для комбинированного нагружения оптимальная форма границы отличается от предыдущей (рис.20). Полученное снижение максимальной величины касательных напряжений составляет уже 28%.

Таким образом, во всех трех задачах отмечается существенная разница оптимальных проектов, получаемых в отсутствии нагрева и при наличии температурного поля.

В заключении содержатся результаты, полученные в диссертационной работе.

Построена принципиально новая теория, основанная на методе сопряженных переменных, которая позволяет для функционалов общего вида получать необходимые условия оптимальности в задачах управления формой внутренних и внешних границ термоупругих областей, учитывающая одновременное изменение в процессе оптимизации как температурных, так и механических полей.

Эта теория основана на слабой формулировке задачи термоупругости, в которой уравнения равновесия и теплопроводности учитываются не в дифференциальной форме, а в виде вариационных уравнений, что позволяет получать значения производных для функционалов цели и ограничений в более широких функциональных пространствах, и упрощает построение численных алгоритмов.

Использование для анализа чувствительности метода граничных уравнений, в котором требуется только знание поля скоростей на границе изменяющейся области, позволяет точнее определять граничные, значения производных, необходимых при анализе чувствительности.

Показано, что при учете изменяемости температурного поля в процессе оптимизации границ тел, даже если за исходную модель взята модель несвязной термоупругости, то есть решается задача о температурных напряжениях, при анализе чувствительности механические и температурные поля неизбежно становятся связанными через сопряженную задачу. Этот факт, связан с перераспределением энтропии в системе, которая изменяется за счет трансформирования формы тела.

АО

Рис. 19

Рис. 20

Полученные на основе построенной математической модели новые критерии оптимальности отличаются от известных критериев, таких как равнонапряженность конструкции или постоянство потока тепла на границе области. Они совпадают с ними лишь в частных случаях отсутствия на-гружения или определенного типа распределения поля температур.

Предложено доказательство существования решения для задачи оптимального распределения слоя изоляции по границе области и задачи оптимального размещения точек разрыва граничных условий, которые позволяют определить класс гладкости допустимых областей при оптимизации.

Разработанные алгоритмы и комплекс программ для решения задач оптимизации формы тел, подверженных одновременному воздействию как механических, так и температурных нагрузок с ограничениями, наложенными на механические и температурные поля, показали высокую эффективность для различных классов статических задач теплопроводности, упругости и термоупругости.

Получены оптимальные проекты для ряда задач. Среди них: задача оптимального размещения термоизоляции по границе плоской области, задача оптимизации формы теплообменника, задачи минимизации концентрации напряжений и увеличения жесткости конструкции, задачи оптимизации формы поперечного сечения стержней максимальной жесткости при различных комбинациях тепловых полей.

Во всех перечисленных задачах отмечается существенная разница оптимальных проектов, получаемых с учетом и без учета влияния температурного поля. Эта разница обусловлена эффектом взаимодействия температурных и механических полей при изменении формы тела.

Основные публикации по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Павлов, С. П. Влияние начальных температурных напряжений на оптимальную форму скручиваемых стержней / С. П. Павлов, М. В. Жигалов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2007. - № 1 (22), вып. 2. - С. 14-21.

2. Павлов, С. П. Управление внешней границей изолирующего слоя нагретой полости / С. П. Павлов, М. В. Жигалов // Известия вузов. Машиностроение.- 2005. - № 7. - С. 3-12.

3. Павлов, С. П. Оптимальная термоизоляция плоской области / С. П. Павлов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2005. - № 1 (6). - С. 5-12.

4. Павлов, С. П. Оптимизация толщины термоизоляции плоской области / С. П. Павлов, М. В. Жигалов // Известия вузов. Машиностроение. - 2004. - № 9. - С. 17-24.

5. Павлов, С. П. Смешанная вариационная формулировка задачи о пластине, свободно опертой по криволинейному контуру / С. П. Павлов,

B. А. Крысько // Известия вузов. Математика. - 2004. - № 3. - С. 5763.

6. Павлов, С. П. Расчет подкрепленной пластины в трехмерной постановке / С. П. Павлов, В. Крысько, А. Б. Перегудов // Известия вузов. Строительство и архитектура. - 1987. - № 7. - С. 14-18.

7. Павлов, С. П. К вопросу существования решения в задаче о нелинейных колебаниях пологих оболочек с учетом инерции вращения/

C. П. Павлов, В. А. Крысько // Дифференциальные уравнения. - 1984. - Т. 20, № 5.- С. 830-838.

8. Павлов, С. П. Некоторые особенности задач синтеза оболочек в плане по динамическим характеристикам / С.П. Павлов, В.А. Крысько // Известия вузов. Математика. - 1983. - № 5. - С. 48-52.

9. Павлов, С. П. Оптимизация по весу композитных пластинок при ограничении на основную частоту колебаний / С.П. Павлов, В.А. Крысько // Известия вузов. Строительство и архитектура. - 1982. - № 2.'- С. 46-50.

1 О.Павлов, С. П. Колебания пластинок и сферических оболочек произвольного плана // С. П. Павлов, В. А. Крысько // Известия вузов. Строительство и архитектура. - 1982. - № 4. - С. 49-52. П.Павлов, С. П. К решению задач синтеза с учетом стационарного представления функционалов / С. П. Павлов, Э. Л. Куликов, В, Ф. Кириченко // Дифференциальные уравнения. - 1979. - Т. 15, № 4. - С. 738-739.

12.К вариационным методам решения задач электродинамики и статики / С. П. Павлов, Э. Л. Куликов, Ю. Ф. Рогожников // Радиотехника и электроника. - 1978. - Т. 23, № 7. - С. 1528-1531. 13 .Вариационный принцип для задач анализа пьезоэлектрических устройств с акустоэлектрическим взаимодействием / С. П. Павлов, А. Н. Губенков, В. Ф. Кириченко, Э. Л. Куликов П Акустический журнал. -1978. - Т. 24, вып. 2. - С. 195-202.

Другие публикации

1. Павлов, С.П. Математическая модель оптимизации формы приемника в замкнутом теплообменнике / С.П. Павлов, М.В. Жигалов // Математическое моделирование и краевые задачи: труды IV Всероссийской научной конференции с международным участием,- Самара, 2007.- С.126-128.

2. Павлов, С.П. Влияние термомеханических характеристик припоя на термоупругие напряжения трехслойных пластин / С.П. Павлов, Т.В.

Бабенкова // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. - Саратов:- СГТУ, -2007.-С.105 - 109.

3. Павлов, С. П. Оптимизация формы термоупругих тел / С.П. Павлов // Труды IX Всерос. съезда по теоретической и прикладной механике, Н. Новгород, 22-28 авг. 2006 г. - Н. Новгород, 2006. - С. 156.

4. Павлов, С. П. Оптимизация формы поперечного сечения стержня при начальных температурных напряжениях / С. П. Павлов, А. Б. Перегудов // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред : межвуз. науч. сб. / СГТУ. - Саратов, 2006. -С. 72-80.

5. Павлов, С. П. Численные результаты оптимизации формы поперечного сечения стержня при начальных температурных напряжениях / С. П. Павлов, А. Б. Перегудов // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред : межвуз. науч. сб. / СГТУ. - Саратов, 2006. - С. 88-93.

6. Павлов, С. П. Влияние температуры на форму оптимальной границы полости / С. П. Павлов // Математическое моделирование и краевые задачи : тр. П1 Всерос. науч. конф. - Самара, 2006. - С. 154-157.

7. Павлов, С. П. Оптимизация жесткости в одной термоупругой задаче / С. П. Павлов // Математическое моделирование и краевые задачи : тр. II Всерос. науч. конф. - Самара, 2005. - С. 225-228.

8. Павлов, С. П. Метод граничных элементов в задачах теплопроводности и термоупругости / С. П. Павлов // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред : межвуз. науч. сб. / СГТУ. - Саратов, 2004. - С. 113-119.

9. Павлов, С. П. Оптимальное размещение термоизоляции по границе плоской области / С, П. Павлов // Нелинейная динамика механических и биологических систем : межвуз. науч. сб. / СГТУ. - Саратов, 2004. - Вып. 2. - С. 90-97.

Ю.Павлов, С. П. Прямой метод поиска оптимальной границы упругого тела МГЭ с использованием необходимых условий оптимальности / С. П. Павлов, А. Б. Перегудов // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов : тез. докл. 19-й Междунар. конф. - СПб., 2001. -С. 107.

11 .Павлов, С. П. Оптимизация формы термоупругих тел: монография / С. П. Павлов, В. А. Крысько. -Саратов : СГТУ, 2000. - 160 с. - ISBN 5-7433-0287-1.

12.Павлов, С. П. О существовании решения в одной задаче оптимизации формы // С. П. Павлов, А. Б. Перегудов // Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках: материалы конф. / ВГУ. - Воронеж, 2000. - С. 171.

13.Павлов, С. П. Оптимизация составного стержня под совместным действием механической нагрузки и температурного поля / С. П. Павлов, А. Б. Перегудов ; Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов, 2000. -11 с. - Деп. в ВИНИТИ 05.05.00, № 1302-В2000.

14.Павлов, С. П. Анализ тепловых моделей ГИС СВЧ различных конструкций / С. П. Павлов, В. А. Крысько, Ю. И. Молдованов // Электронная техника. Сер. СВЧ техника. - 1999. - Вып. 2 (474). - С. 15-21.

15.Напряженно-деформированное состояние паяных соединений в ГИС с учетом пластических деформаций / С. П. Павлов, В. А. Крысько, А. Б. Перегудов [и др.] / Электронная техника. Сер. СВЧ техника. -1999.-Вып. 1(473).-С. 3-8.

16.Павлов, С. П. Оптимизация паяных конструкций, взаимодействующих с температурным полем / С. П. Павлов, А. Б. Перегудов, И. Ф. Сытник // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: сб. науч. тр. / СГТУ. - Саратов, 1999. - С. 150-153.

17.Павлов, С. П. МКЭ при расчете слоистых конструкций с учетом пластических деформаций / С. П. Павлов, А. Б. Перегудов // Труды XVIII Междунар. конф. по теории оболочек и пластин / СГТУ. - Саратов, 1997.-Т. 2.-С. 81-91.

18.Pavlov, S. P. Finite Element Scheme Based on the Mixed Variation Wording for Biharmonic / S. P, Pavlov, V. A. Krysko // Int. Conf. Problem Optimization of Finite Element Approximations. - St. - Petersburg, Russia, 1995. - P. 65-66.

19.Павлов, С. П. Оптимизация формы термоупругих тел, взаимодействующих с внешним тепловым потоком / С.П. Павлов, И.Ф. Сытник // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: межвуз. науч. сб. / СГТУ. - Саратов, 1995.-С. 119-124.

20.Павлов, С. П. Исследование свободных колебаний гибких оболочек с конечной сдвиговой жесткостью методом конечных элементов / С. П. Павлов, В. А. Крысько, И. Ф. И. Сытник // Прикладная механика. - 1995. - Т. 27, № 4. - С. 23-28.

21.Павлов, С. П. Анализ чувствительности в задачах оптимизации границ термоупругих тел / С.П. Павлов // Математические модели, методы решения и оптимальное проектирование гибких пластин и оболочек: сб. науч. тр. / СГУ. - Саратов, 1988. - С.133-136.

22.Павлов, С. П. Расчет прямоугольных плит переменной толщины в трехмерной постановке / С. П. Павлов, В. А. Крысько, А. Б. Перегудов ; Сарат. политехи, ин-т. Саратов, 1987. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.09.87, N 6740-В87. - РЖ Мех. (ВИНИТИ), 1988, 1В57Деп.

23.Павлов, С. Г1. Синтез и оптимизация пластин и оболочек по динамическим и прочностным характеристикам / С. П. Павлов, В. В. Бочка-

рев, В. А. Крысько // Тр. XIII Всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек. - Таллин, 1983. - Ч. 1, А - В. - С. 139-144.

24.Павлов, С. П. О применении вариационных неравенств в задачах оптимизации плана оболочек / С. П. Павлов, В. А. Крысько // Актуальные проблемы механики оболочек : тез. докл. Всесоюз. школы молодых учёных и специалистов. - Казань, 1983. - С. 81-82.

25.Павлов, С. П. Задачи управления спектром собственных частот неоднородных оболочек / С. П. Павлов, В. А. Крысько ; Ред. журнала физ,- хим. мех. материалов АН УССР. - Львов, 1983. - 11 с. - Деп. в ВИНИТИ.

26.Павлов, С. П. Задача оптимального управления собственной частотой неоднородных оболочек / С. П. Павлов, В. А. Крысько // Прикладная механика. - 1982. - Т. 18, № 4. - С. 41-47.

27.Павлов, С. П. Оптимизация формы плана пологих оболочек / С. П. Павлов, В. А. Крысько // Труды 4 Всесоюз. конф. по оптимальному управлению в механических системах / ИПМ АН СССР. - М., 1982. -С. 115-116.

28.Павлов, С. П. Некоторые задачи динамической оптимизации пластинок и оболочек / С. П. Павлов // Вопросы оптимального проектирования пластин и оболочек: межвуз. науч. сб. / СПИ. - Саратов, 1981. -С. 15-18.

29.Павлов, С. П. Некоторые вопросы оптимизации пластинок по весу / С. П. Павлов, В. В. Бочкарев, В. А. Крысько ; Сарат. политехи, ин-т. -Саратов, 1980. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 08.07, № 3259-80.

30.Павлов, С. П. К вопросу построения двухсторонних оценок функционалов в электродинамике / С. П. Павлов, Э. Л. Куликов // Техническая электроника и электродинамика: межвуз. науч. сб. / СПИ. -Саратов, 1978. - Вып. 3. - С. 119-125.

31.Павлов, С. П. Вариационный принцип для нелинейных операторных уравнений электродинамики / С. П. Павлов, В. Ф. Кириченко, Э. Л. Куликов // Техническая электроника и электродинамика: межвуз. науч. сб. / СПИ. - Саратов, 1977. - Вып. 2. - С. 103-109.

32.Стационарные представления в электродинамике и электростатике / С. П. Павлов, Э. Л. Куликов, Ю. Ф. Рогожников, А. В. Петренко // Вычислительная физика: межвуз. науч. сб. / СПЙ. - Саратов, 1977. -Вып. 1. - С. 19-37.

33.Павлов, С. П. О вариационных принципах для линейных функционалов / С.П. Павлов, В.Ф. Кириченко, Э.Л. Куликов // Вычислительная физика: межвуз. науч. сб. / СПИ. - Саратов, 1977. - Вып. 1. - С. 3-18.

Подписано в печать 04.03.09 Формат 60x84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ.л. 2,09 (2,25) Уч.-изд.л. 2,0

Тираж 100 экз. Заказ 74 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Введение.

ГЛАВА 1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1. Задачи теории термоупругости

1.1.1. Основные уравнения термоупругости.

1.1.2. Классическая постановка задачи термоупругости.

1.2. Строгая постановка задачи термопругости

1.2.1. Абстрактная задача.

1.2.2. Возмущение краевых условий.

1.2.3. Задачи второго порядка и уравнение теплопроводности.

1.2.4. Теория температурного напряжения.

1.3. Дифференциальная геометрия

1.3.1. Непрерывная трансформация области.

1.3.2. Трансформация поверхности.

1.4. Критерии оптимизации в задачах термоупругости

1.4.1. Статические и квазистатические задачи термоупругости.

1.4.2. Обобщение функционалов цели, постановка экстремальных задач.

1.5. Методы поиска оптимальной границы

1.5.1. Основные определения.

1.5.2. Непрерывный градиентный метод.

1.5.3. Задачи с ограничениями.'.

ГЛАВА 2. ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ ТЕЛ.

2.1. Чувствительность интегральных функционалов по отношению к изменению формы области

2.1.1. Первая производная объемных и поверхностных интегралов.

2.1.2. Первая производная поверхностного интеграла от потока векторного поля.

2.1.3. Первая производная криволинейного интеграла.

2.1.4. Производная от потока плоского векторного поля через подвижный плоский контур.

2.2. Дифференцирование функционалов определенных внутри и на границе области

2.2.1. Дифференцирование функционалов определенных внутри области

2.2.2. Производная объёмного функционала при наличии поверхности разрыва внутри области.

2.2.3. Первая производная суммы объёмного и поверхностного функционалов

2.3. Производные функционалов для термоупругих тел

2.3.1. Производная функционала полной энергии для внешней подвиэ/сной границы при неизменном температурном поле.

2.3.2. Чувствительность функционала полной энергии при трансформации внутренней границы.

2.3.3. Производная функционала для внешней подвижной границы с учётом изменяемости температурного поля.

2.4. Анализ чувствительности функционалов общего вида для задачи термоупругости.

2.4.1. Метод сопряженных переменных в анализе чувствительности функционалов термоупругости общего вида.

2.4.2. Сопряженная задача.

2.4.3. Задача в перемещениях и температурах.

ГЛАВА 3. ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ В ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

3.1. Оптимизация участков размещения и толщины термоизоляции плоской области.

3.1.1. Постановка прямой задачи и задачи оптимизации. 15g

3.1.2. Существование оптимального решения.

3.1.3. Чувствительность функционалов к изменению распределения толщины термоизоляции и положению точек сопрялсения граничных условий.

3.1.4. Оптимизация термоизоляции плоских одно- и двусвязных областей.

3.2. Оптимизация внешней границы плоской двусвязной области

3.2.1. Постановка прямой задачи и задачи оптимизации. ^ g^

3.2.2. Чувствительность функционалов к изменению границы Г' и положения точек а,Ь,с.

3.2.3. Существование оптимальных решений в задачах управления формой границы и точками сопряжения граничных условий.

3.2.4. Численные результаты.

3.2.5. Математическая модель оптимизации формы теплоприемника в замкнутом теплообменнике.

ГЛАВА 4. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СКРУЧИВАЕМЫХ СТЕРЖНЕЙ С ПРОДОЛЬНЫМИ ПОЛОСТЯМИ

4.1. Жесткость на кручение стержня при начальных температурных напряжениях

4.1.1. Постановка прямой задачи кручения стержня с начальными напряжениями.

4.1.2. Температурные начальные напряжения.

4.2. Оптимизация эффективной крутильной жесткости нагреваемого стержня

4.2.1. Формулировка задачи оптимизации.

4.2.2. Чувствительность функционалов жесткости кручения и ограничений к изменению формы области.

4.3. Алгоритм оптимизации

4.3.1. Метод граничных элементов для уравнения Лапласа.^^

4.3.2. Метод граничных элементов для решения прямых и сопряженных задач.

4.3.3. Вычисление функционалов чувствительности.

4.3.4. Численные результаты.

ГЛАВА 5. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ

5.1. Постановка задач оптимизации

5.1.1. Плоская деформация и плоское напряженное состояние.

5.1.2. Плоская температурная задача.

5.1.3. Обобщенное плоское напряженное состояние.

5.1.4. Оптимизация напряженного состояния тонких пластин.

5.2. .Примеры численного решения задач оптимизации формы в плоских задачах термоупругости

5.2.1. Метод граничных элементов для плоской задачи термоупругости

5.2.2. Численная реализация.

5.2.3. Тестирование программ МГЭ и оптимизации для плоской задачи термоупругости.

5.3 Численные результаты

5.3.1. Оптимизация внешней границы консоли по критерию жесткости ^

5.3.2. Оптимизация внешней границы цапфы по критерию прочности . . 3^

5.3.3. Оптимизация внутренней границы полости по критерию прочности.

Современная техника использует все более сложные механические конструкции, обеспечение прочности, надежности и высокой экономичности которых имеет первостепенное значение. Оптимальное и оперативное проектирование таких конструкций невозможно без создания математических моделей, позволяющих учитывать максимально возможное количество факторов, влияющих на их работоспособность. При этом достигается значительное снижение веса, улучшение механических и тепловых характеристик летательных I аппаратов и строительных сооружений.

В литературе можно найти много задач оптимизации формы, решаемых интуитивно с помощью различных подобранных методов, в то время как существует возможность формулировать и>решать эти задачи в рамках единой теории и таким образом глубже проникнуть в суть проблемы и помочь в выборе правильного и эффективного метода их решения. Оптимальное проектирование конструкций должно базироваться не на интуиции и экспериментах, хотя это и не исключается, а на современных математических моделях и методах расчета. Применение методов оптимизации - это новый качественный этап использования современной вычислительной техники.

Оптимальное проектирование конструкций имеет довольно давнюю историю. Традиционно при математическом моделировании механических конструкций априори форма (конфигурация) конструкции считалась заданной и неизменной. Однако в последние годы, когда стали не только определять оптимальные значения параметров конструкции заданной конфигурации, но и искать наилучшую конфигурацию [8, 11 ,15, 35, 71, 123, 126, 132-139, 184, 185], оно получило принципиально новое развитие.

Задачи оптимального проектирования формы механических конструкций требуют не только новых методов, но и новых понятий. Например, в [31, 166] на основе уравнений геометрической теории упругости, позволяющих связать напряженное состояние среды с геометрией порождаемого напряжениями ри-манова пространства, рассматривается задача оптимизации формы тела. При этом роль функций напряжений играют метрические коэффициенты риманова пространства. Предлагаемая интерпретация риманова пространства как неоднородного евклидова пространства, позволяет использовать получаемую геометрию для определения формы тела, соответствующей его напряженному состоянию. Из рассмотренных задач можно сделать вывод, что такая форма обеспечивает минимальный объем тела. Существенно, что в геометрической механике сплошной среды такая задача является прямой и для ее решения не требуется привлечения операций минимизации.

Наиболее полно задачи определения оптимальной формы конструкций среди отечественных ученых рассмотрены в работах Н.В; Баничука и его учеников [12, 15 - 17, 19, 21]. В этих работах, по сути, впервые получены соотношения для анализа чувствительности интегральных функционалов, каковыми являются функционалы податливости, полной потенциальной энергии и др., при вариации формы упругих тел.

-Пусть в упругом теле с границей Г, = Гм + Гст + ГМ(Т на Ги заданы перемещения, на Гст - внешние нагрузки, на Гм<т - упругая заделка. Требуется найти форму границы этого упругого тела так, чтобы функция цели - например, работа внешних сил, приложенных к телу была минимальной: Необходимое условие оптимальности в этой задаче выводится непосредственно с использованием техники варьирования кратных интегралов с переменной областью интегрирования. В качестве необходимого уся ловия оптимальности в результате получаем [211], что на искомой границе должно выполняться условие где V - плотность энергии упругой деформации, а Я - неизвестная константа. Отсюда следует, что оптимальная граница - равнопрочная. Позднее это утверждение было подтверждено В. Прагером [156], и было показано, что оно является и достаточным для данного класса задач.

Из всех задач поиска наилучшей формы наиболее детальное исследование получила задача отыскания формы поперечного сечения скручиваемого стержня из условия максимума жесткости на кручение. Условие оптимальности для этой задачи получено, например, в [18], [71]. С применением данного условия и метода возмущений в [12] аналитически найдены формы тонкостенных стержней, обладающих максимальной жесткостью. Показано, что оптимальные сплошные стержни из анизотропных материалов имеют эллиптическое сечение. Численное решение этой задачи приведено в [293]. Там же приводится* вариационная формулировка для задач оптимизации двухмерных упругих тел и получены необходимые условия оптимальности формы границы. Метод демонстрируется на примерах оптимизации формы поперечного сечения скручиваемого стержня и одной из задач плоской теории упругости. Подобные задачи рассмотрены также в работах [22, 100, 195, 198, 241, 270, 294]. В работе [71] рассмотрено определение форм двусвязных сечений стержней максимальной крутильной жесткости. Задача отыскания контура сводится к разысканию некоторой отображающей функции. Таким образом, это - обратная краевая задача, в которой подлежит определению форма кривой при избытке краевых условий

Задачи оптимизации формы вершины внутренних углов в условиях задачи кручения рассматриваются в работах Ю.В. Петрова [149, 322].

Оптимизации формы поперечных сечений цилиндрических стержней при других видах нагрузки посвящены работы [21,54, 101, 142, 143, 145, 194, 219,

178].

236]. В качестве оптимизируемых функционалов в [21] рассматриваются из-гибная жесткость, максимальное напряжение и площадь поперечного сечения стержня. Оптимальные границы находятся с применением минимаксных подходов для случаев односвязных сечений и двусвязных сечений, имеющих заданные выпуклые отверстия.

Анализ чувствительности к проектной конфигурации при оптимизации балочных конструкций на основе вариационного подхода развивается в [219], в которой расчетные формулы чувствительности выводится по вариационному уравнению и методу сопряженных переменных. Излагаются результаты расчета арочного моста и сеточной структуры конструкции расчетной формулы чувствительности перекрытия.

Оптимизация формы упругих стержней в задачах устойчивости посвящены работы [46, 154, 155, 196, 237, 263, 269, 299]. Наиболее полно этот вопрос исследован в работах [154, 155]. Для консольного стержня, находящегося под действием следящей силы с запаздыванием, в [155] рассмотрена задача повышения критической нагрузки путем перераспределения материала по длине стержня. Показано, что при неконсервативной нагрузке оптимизация стержня может приводить к значительному (в разы) увеличению критической нагрузки. В работе [154] рассмотрен вопрос оптимального закона распределения материала стержня по его длине из условия получения максимального значения критической силы при флаттере при условии сохранения общей массы стержня.

Задача определения формы двухмерных многосвдзных упругих тел минимального веса в условиях произвольного статического нагружения рассмотрена в работах [18, 142,158, 159, 177, 184, 205, 314, 321]. В [205] задача формулируется как задача нелинейного математического программирования. Для нее строится сопряженная краевая задача, по решению которой определяется матрица чувствительности функционала к изменению формы граничного контура.

Минимизируется вес конструкции при ограничениях на геометрические размеры, компоненты напряженно-деформированного состояния и частоты собственных колебаний. Численная процедура связана с реализацией метода возможных направлений, использующего* на каждой итерации обращение к подпрограмме конечноэлементного расчета с автоматизированным процессом разбиения области. Варьируемыми переменными служат координаты узловых граничных точек области и параметры, описывающие форму граничных отрезков. Приведены примеры проектирования вырезов и формы наружной границы области для ряда типов нагружения в плоской задаче теории упругости.

Более сложными являются задачи оптимизации формы с локальным критерием качества. Например, в задаче оптимизации формы отверстий при ограничении на концентрацию напряжений за функционал цели принимается maxF(/|,/2,/3), где /, - инварианты тензора напряжений. На основе методов гармонических функций и функций комплексных переменных исследование этой задачи приведено в [10, 11, 33/262, 320]. Этот метод позволяет сразу найти условие глобальности оптимума - отверстие должно быть равнопрочным. Методы отыскания равнопрочных отверстий, основанные на интегральных уравнениях и конформных отображениях, разработаны в [32, 3-5, 179, 180, 185]. Решения найдены для различных регулярных способов расположения отверстий. Для бесконечной пластины с одним отверстием оптимальная граница оказывается эллиптической как при растяжении, так и при изгибе.

Многосвязные области исследуются также в работах [176, 315, 317]. В [315] формулируется задача определения форм двухмерных многосвязных упругих тел, минимальной массы в условиях произвольного статического нагружения. Строится сопряженная краевая задача, решение которой позволяет определить матрицу чувствительности функционала к изменению формы граничного контура. Рассмотрены примеры проектирования формы области в плоской* задаче теории упругости.

Результаты исследований для многосвязных областей в двухмерных задачах обобщены на трехмерный случай в [37, 307, 316]. В [37] для нагруженного на бесконечности многосвязного пространства с осевой симметрией рассматривается обратная задача теории упругости об определении формы полостей, оптимизирующих его напряженное состояние по критерию Мизеса. Найдены условия оптимальности и значения компонент тензора смещений и напряжений на искомой границе. Установлено, что, как и в плоском случае, оптимальная граница является равнопрочной. Для ее фактического отыскания сформулирована краевая задача, эквивалентная задаче потенциального обтекания системы твердых тел идеальной жидкостью.

Задачи подобного рода возникают в строительной механике [42, 44, 65, 244, 322], в механике электронных приборов, в горнодобывающей отрасли [102, 267, 323], где оптимизация формы выработок является актуальной задачей с точки зрения надежности горных работ и их стоимости и во многих других задачах.

Например, еслифассматривать рост трещины в упругом теле как изменение формы тела, то можно использовать концепцию анализа чувствительности формы для расчета скорости высвобождения энергии. Для этого в качестве ценовой функции может быть выбрана общая потенциальная энергия, а в качестве определяющего уравнения - уравнение равновесия. Производная по форме от общей потенциальной энергии, накопленной в теле с трещиной, зависит от поля перемещений и от скорости изменения формы, связанной с ростом трещины. Изложенный вычислительный подход используется в [2] для оценки ошибок при расчете скорости высвобождения энергии, связанных с размерами трещины, с ее формой, со способом разбиения границы, с концентрацией напряжений, с учетом сингулярности в кончике трещины. В качестве примера рассмотрена задача о сравнении потенциальной энергии в теле без трещины и в теле с трещиной. Применению методов оптимизации к анализу формы безопасной трещины в упругих телах посвящены работы [204, 214, 263, 272, 308, 353].

Из других работ укажем, например, на [110, 113, 118, 165] и [220].

Разработке методов анализа чувствительности и эффективных численных алгоритмов решения задач оптимизации конструкций посвящены работы [19, 123, 211, 232, 233, 243, 292, 297, 300]. В этих работах рассматриваются задачи оптимизации формы при ограничении на основную частоту колебаний, смещения и напряжения в конструкции. Для получения явной зависимости вариации оптимизируемого функционала от перемещения границы области используется метод сопряженного анализа.

В обзорных работах [197, 211, 212] также рассмотрены постановки основных задач оптимизации, в том числе - оптимизация формы тела, основные типы функционалов цели и методы отыскания оптимальных проектов. Кроме того, затронуты вопросы существования оптимальных проектов.

Применение вариационных методов к решению задач оптимизации формы упругих систем, находящихся под действием статических и динамических нагрузок, рассмотрены в [12, 104, 108, 115, 132, 134, 176, 264, 266]. Показано, что на этой основе могут быть построены эффективные методы решения задач оптимизации.

В [150] вводится понятие вспомогательного поля переносной скорости и приводятся примеры его применения для обобщения понятия производной по параметру от объемного интеграла. Введение этого понятия существенно упрощает анализ чувствительности в задачах оптимизации формы [45].

Общий анализ некоторых алгоритмов оптимизации формы упругого тела, а также систем проектирования и компьютерных программ, связанных с методом граничных элементов (МГЭ), проводится в [132, 133, 137, 193, 290]. Один из интересных методов - метод фиктивных нагрузок, которые изменяют форму тела и приводят ее к оптимальной, рассматривается в [303].

Дальнейшим шагом в развитии методов оптимизации формы конструкций стало применение этих методов к тепловым и термоупругим задачам.

Задача создания желаемых распределений температуры и (или) ее градиентов в твердом теле посредством граничных тепловых потоков либо распределения внутри тела источников тепла при минимальных затратах - очень важная задача в технике [68, 69, 80, 90, 123, 126, 129, 132, 136, 145, 186, 188-190]. Область ее применения - черная металлургия, производство стекла и т.д.

В отдельное направление можно выделить работы, в которых форма тела оптимизируется по чисто тепловым без учета деформационных полей показателям.

В работе [273] решается задача оптимизации для двумерной статической задачи теплопроводности. Решение получено с использованием необходимых условий оптимальности и метода конечных элементов (МКЭ) без применения математического программирования. Однако позже, в [274, 275], одномерные нестационарные задачи оптимального управления решены с применением иной стратегии - стратегии численной минимизации критериев качества. В [276] исследована, задача с граничным управлением и граничным наблюдением с использованием метода граничных элементов (МГЭ). Отмечается, что в МГЭ значения производной по нормали на границе области определяются с тем же порядком точности, что и сама температура, что очень важно при решении задач оптимизации.

Работы [274, 275, 304] полностью посвящены оптимизации формы теп-лоотводящих поверхностей. В [304], в частности, рассмотрена задача оптимизации конструкции охлаждающего ребра, на которое наложены температурные ограничения. Эта задача была решена в [189] методом КЭ с кусочно-постоянной аппроксимацией площади поперечного сечения на каждом конечном элементе. В качестве переменных проектирования- использованы значения площадей элементов. Были найдены оптимальный радиус-и длина для ребра постоянного сечения при заданном его объеме. Метод анализа чувствительности конструкций к температурным воздействиям подробно рассмотрен также в работе [246].

Большой вклад в проблему оптимального проектирования формы в тепловых задачах внес Р.А. Мерик [273-276, 280, 286]. В работе [275] в качестве управления рассматривается мощность внутренних источников тепла. Этой же задаче посвящена работа [242]. В ней основная задача оптимизации формулируется следующим образом.

Необходимо определить такие геометрические параметры области и размещение источников тепла внутри нее, чтобы площадь области была минимальной при заданных ограничениях на распределение температуры в заданных точках.

Далее в [278, 288] эта идея развивается. Здесь уже рассматривается управление температурой внутри области и обменом^ тепла на заданной части границы посредством управляющего потока на другой части границы. В более поздней работе [277] рассматривается задача оптимизации, в которой управлением является температура внешней среды.

Обратные задачи для температурных полей в термоупругости и в теории теплопроводности ставятся в [139, 147, 53, 68, 223, 242, 257, 301]. Рассмотрены два типа обратных задач: определение температуры или потока на заданной части границы так, чтобы в заданной области тела температура была известна; определение свойств материала или источников тепла так, чтобы температура в полости была заданной.

Во- всех этих работах термомеханические напряжения не учитывались. Однако еще в 1975 году Н.М. Adelman и R. Narayanaswami [186, 189] рассмотрели задачу определения размеров слоистой конструкции минимальной массы, находящейся под комбинированным воздействием механических и темпераi турных нагрузок и сделали вывод о необходимости учета влияния температурного поля на оптимальный проект. В этой работе оптимальной считается полностью напряженная конструкция (ПНК). Однако, когда температурные нагрузки имеют тот же порядок, что и механические, то сходимость этого метода чрезвычайно плоха [190]. Это связано с относительно слабой зависимостью температурных напряжений от размеров конструкции (эти напряжения в основном связаны с условиями закрепления и неоднородностью нагрева). Приводится пример, подробное описание которого изложено в работе [189].

Первые работы по оптимизации с учетом тепловых напряжений появились позже [224, 234, 283, 284, 301] и число публикаций в данной области весьма ограничено. В связи с этой проблемой отметим также работы [54-57, 90, 126, 129, 130, 132, 139, 140, 173, 174].

Очевидным фактом необходимости одновременного учета температурных и механических нагрузок является задача термоустойчивости стержней. Вопросы термоустойчивости* составных стержней и оптимизация тонких упругих стержней при наличии тепловых нагрузок изучаются в [3, 48, 51].

Известно [79], что источником осевых напряжений могут быть такие факторы, как неоднородный нагрев, предварительные напряжения и т.п. Нагрев может даже свести к нулю крутильную жесткость. В работе [54] решается задача оптимизации эффективной крутильной жесткости неравномерно нагретых предварительно напряженных тонкостенных стержней, которая заключается в отыскании распределения толщины стенки стержня при заданных осевых температурных напряжениях и неизменяемой форме контура. При этом, однако, температурное воздействие считается заданным и не зависящим от изменения толщины. В следующей работе [3] рассматривается оптимизация устойчивости упругих стержней при тепловых нагрузках. Здесь температура также считается заданной и не зависящей от оптимизируемого распределения площади сечения стержня по его длине.

В.[301] рассматривается задача оптимизации балки, составленной из трех слоев при совместном воздействии, как механической нагрузки, так и температуры. Решается задача минимизации веса балки при ограничении на смещение заданных точек. Оптимизируемыми параметрами при этом являются границы раздела слоев. Температурное поле считается заданным и независящим от конструкции балки.

Проектированию оптимальных арок с учетом температурного воздействия посвящена работа [41]. Отмечается, что, кроме нагрузок от внешних воздействий, конструкции испытывают еще и температурные воздействия, которые могут достигать одной трети их общего уровня. Делается попытка выявить те особенности, которые появляются при проектировании оптимальных конструкций, подверженных действию сил и изменению температуры.

Очень интересны работы школы Ю.В. Немировского [69-71, 76, 90-92, 96], посвященные оптимальному проектированию термоупругих конструкций". В [69] рассматривается вопрос об оптимальном проектировании упругих конструкций^ подверженных действию как механических, так и температурных нагрузок. Для упрощения снова принимается, что температурное поле не зависит от выбираемого проекта. Решается задача о распределении модулей упругости в трехмерном теле, минимизирующих величину функционала упругой энергии, которая косвенно определяет прочность и жесткость конструкции. В работе [70] изучаются множества распределений упругих модулей, при которых в термоупругом теле реализуется одно и то же поле деформаций или напряжений. Показано, что задача о распределении упругих параметров, реализующих минимальный уровень напряжений при заданном поле деформаций, является задачей выпуклого программирования.

В работах [76, 188] также решается задача управления деформациями, но не с помощью распределения упругих модулей, а посредством внутренних стационарных источников тепла. Похожей проблеме посвящена работа [62], в которой методом граничных интегральных уравнений решена задача стационарной теплопроводности и термоупругости для полупространства с перпендикулярной к его границе эллиптической трещиной, на поверхностях которой задана температура. Исследовано влияние глубины залегания трещины, ее формы и расположения на величину коэффициента интенсивности напряжений.

Распределение стационарных источников тепла, обеспечивающих данное значение динамических объемных деформаций на фиксированной плоскости, рассмотрено в [90]. Исследуется распространение термоупругих волн в пространстве и полупространстве. Ставится задача отыскания такого расположения источников тепла, чтобы динамические объемные деформации в заданной плоскости принимали заданные значения. Показано, что эта задача является некорректной [49] и доказывается ее разрешимость.

Управление остаточными напряжениями изучается в [4, 6, 98, 123, 129, 132, 145, 153, 183]. Исследуемое тело в начальный момент находится в ненапряженном состоянии в некотором поле температур (вообще говоря, неоднородном). При остывании до температуры среды тело подвержено различным силовым и температурным воздействиям, часть из которых можно рассматривать как управления.

Отметим также работу [223], в которой исследуются свойства максимальности и минимальности полей температуры.

Серия работ [161, 279, 283, 284] посвящена оптимизации распределения материала и нагрузок (механических и тепловых) в задачах термоупругости. Например, оптимизация распределения материалов (модулей Юнга, плотностей, коэффициентов теплопроводности) и функций нагружения (поверхностных напряжений и потоков тепла) излагается в [283]. Здесь же приводится анализ чувствительности функционалов цели и ограничений. Вопросы оптимизации формы границы термоупругого тела не затрагиваются.

Такие объекты как пластины и оболочки, взаимодействующие с внешним тепловым полем и работающие при нестационарных тепловых нагрузках, впервые рассмотрены в работах В.М. Картвелишвили [56-60], в которых рассматриваются задачи оптимального проектирования и анализ чувствительности в задачах нестационарной термоупругости.

В [58], в частности, рассматривается задача отыскания оптимального распределения толщин упругой пластины, помещенной во внешнее тепловое поле и деформируемой без выпучивания в своей плоскости. В этой работе уже учитывается изменение температурного поля, вызванное изменением формы конструкции в процессе ее оптимизации.

Принципиально новые задачи оптимизации: распределение изоляции по поверхности тела; управление условиями его закрепления, то* есть задача распределения нагрузок, и управления граничными условиями ставятся в [132, 138, 139, 201,221,222, 282].

В работе [201] часть границы тела подвержена воздействию теплового потока заданной величины или ^ имеет заданную темепературу. Остальная часть теплоизолирована. Решается задача определения свойств термоизолируещего материала (в частности, его толщины) или задача распределения этого материала по границе тела. Оптимизация механического состояния тела посредством воздействия на его границе изучается в [282]. Однако управлением является только само воздействие, место его приложения задано.

Что касается оптимизации формы конструкций, то за последнее время появилось большое число работ, посвященных исследованию этой проблемы. Прежде всего, это ряд основополагающих монографий [12, 75, 132, 154, 176]. В основном они полностью посвящены задачам оптимизации формы механических конструкций, в которых не учитывается влияние температуры.

Для задач, в которых все же учитывались термоупругие напряжения, долгое время считалось, что изменение формы в процессе оптимизации не влияет на распределение самого температурного поля. Для термоупругих конструкций чаще рассматривалось лишь управление источниками нагрева (правыми частями дифференциальных уравнений). Задачам оптимизации формы термоупругих тел и взаимодействию температурных и механических полей уделялось существенно меньше внимания.

Вопросу существования оптимальной формы упругих тел посвящено очень мало работ [75, 138, 160, 165, 202, 215] ввиду сложности этой проблемы из-за нелинейности условий оптимальности. Этот вопрос существенно влияет на выбор соответствующих численных методов оптимизации и естественно требует дальнейшей разработки.

Актуальность работы. Факты взаимодействия- температурных и механических полей при оптимизации формы конструкции до сих пор являются малоизученными с теоретической точки зрения. Необходимость создания новых математических моделей для оптимального проектирования формы термо>пру-гих тел, учитывающих одновременное изменение температурных и механических полей, подтверждается также научной программой в гранде 2006 — 2008 гг. РФФИ №06-0801357.

Предметом исследований диссертационной работы являются задачи оптимизации формы термоупругих тел, в рамках которых учитывается влияние всех термомеханических факторов на оптимальный проект, в том числе и взаимозависимость в процессе реализации проекта температурных и деформационных полей.

Цель диссертационной работы: построение математических моделей оптимизации формы внешних и внутренних границ термоупругих тел, учитывающих одновременную зависимость как температурных, так и механических полей от формы этих границ; доказательство существования оптимальных решений; разработка эффективного алгоритма и комплекса программ для оптимизации формы в задачах теплопроводности, упругости и термоупругости и проведение на их основе численных экспериментов по оптимизации формы для ряда конкретных задач.

Направление исследований. Построение функционалов общего вида, основанных на слабой формулировке задач термоупругости и методе сопряженных переменных, которые позволяют получать необходимые условия оптимальности в задачах управления участками внутренних и внешних границ термоупругих областей.

Изучение условий существования и особенностей оптимальных решений при учете температурного поля. Создание алгоритмов и комплекса программ для решения таких задач на базе метода граничных элементов.

Методы исследований. При решении поставленных задач в диссертации использовались методы термодинамики сплошных сред, математической физики, функционального анализа, теории дифференциальных уравнений и методы компьютерного моделирования.

Научная новизна:

1. Выдвинут и обоснован новый принцип анализа чувствительности (вычисление градиентов функционалов цели и ограничений), основанный на слабой формулировке задач оптимального управления системами с распределенными параметрами, отличающийся использованием вместо дифференциальных связей соответствующих им вариационных принципов термоупругости с целью понижения требований гладкости и упрощения численного решения этих задач.

2. Предложена математическая модель, учитывающая эффекты взаимодействия температурных и механических полей при оптимизации формы термоупругих тел, что позволяет получать необходимые условия оптимальности в задачах управления участками внутренних и внешних границ термоупругих областей и вычислять вариации функционалов цели и ограничений общего вида, заданных на этих областях.

3. Показано, что даже если за исходную модель взята модель несвязной термоупругости, то есть решается задача о температурных напряжениях, при анализе чувствительности температурные и механические поля становятся связанными через сопряженные переменные. Показано, что этот факт связан с перераспределением энтропии в системе, которая изменяется за счет трансформирования формы тела.

4. Доказано существование решения для задачи оптимального распределения слоя изоляции по границе области и задачи оптимального размещения точек разрыва граничных условий в задачах теплопроводности плоской области.

5. Для задачи теплопроводности доказано существование оптимальной внешней границы двусвязной области при новых более низких требованиях на гладкость границы.

6. В результате использования построенной математической модели получены новые критерии оптимальности. Эти критерии отличаются от известных, таких как равно напряженность конструкции или постоянство потока тепла на границе области, наличием дополнительных членов, определяющих взаимозависимость температурных и механических полей и совпадают с ними лишь в частных случаях отсутствия температурного нагружения или определенного распределения поля температур.

7. Разработаны новый алгоритм и комплекс программ для решения задач оптимизации формы статических задач упругости, термоупругости и теплопроводности, основанный на методе граничных элементов, и позволяющий точнее определить граничные значения производных функций состояния необходимых при анализе чувствительности.

8. Получены оптимальные формы границ для нового класса задач: задача оптимального размещения термоизоляции по границе плоской области; задача оптимизации формы теплообменника; задача оптимизации формы поперечного сечения стержней максимальной жесткости при различных комбинациях тепловых полей; задачи минимизации концентрации напряжений и увеличения жесткости конструкции и др.

9. Показано, что учет изменяемости тепловых полей в процессе трансформации границы области, существенно сказывается на оптимальной форме термоупругого тела.

10. Сформулирован новый класс задач оптимизации - задачи оптимального размещения точек сопряжения граничных условий в задачах термоупругости.

Достоверность результатов работы. Достоверность и обоснованность научных положений и выводов обеспечивается строгим соблюдением законов сохранения механики сплошной среды и, определяющих уравнений, строгим применением аппарата математического анализа, а также согласованием модельных результатов > с известными теоретическими результатами других исследователей, полученными другими методами.

Научная и практическая значимость работы. Построена принципиально новая теория, основанная на методе сопряженных переменных, которая позволяет для функционалов общего вида получать необходимые условия оптимальности в задачах управления формой внутренних и внешних границ термоупругих областей, учитывающая одновременное изменение в процессе оптимизации как температурных, так и механических полей.

Эта теория основана на слабой формулировке задачи термоупругости, в которой уравнения равновесия и теплопроводности учитываются не в дифференциальной форме, а в виде вариационных уравнений, что позволяет получать значения производных для функционалов цели и ограничений в более широких функциональных пространствах, и упрощает построение численных алгоритмов.

Использование для анализа чувствительности метода граничных уравнений, в котором требуется только знание поля скоростей на границе изменяющейся области, позволяет точнее определять граничные значения производных необходимых при анализе чувствительности.

Показано, что при учете изменяемости температурного поля в процессе оптимизации границ тел, даже если за исходную модель взята модель несвязной термоупругости, то есть решается задача о температурных напряжениях, при анализе чувствительности механические и температурные поля неизбежно становятся связанными через сопряженную задачу. Этот факт связан с перераспределением энтропии, в системе, которая изменяется за счет трансформирования формы, тела.

Полученные на основе построенной математической модели новые критерии оптимальности, отличаются от известных критериев, таких как равно напряженность конструкции или постоянство потока тепла на границе области. Они совпадают с ними лишь в частных случаях отсутствия нагружения или определенного типа распределения поля температур.

Предложено доказательство существования решения для задачи оптимального распределения слоя изоляции по границе области и задачи оптимального размещения точек разрыва граничных условий, которые позволяют определить класс гладкости допустимых областей при оптимизации.

Разработанные алгоритмы и комплекс программ для решения задач оптимизации формы тел подверженных одновременному воздействию как механических, так и температурных нагрузок с ограничениями, наложенными на механические и температурные поля показали высокую эффективность для различных классов статических задач теплопроводности, упругости и термоупругости.

Получены оптимальные проекты для ряда задач. Среди них: задача оптимального размещения термоизоляции по границе плоской области, задача оптимизации формы теплообменника, задачи минимизации концентрации напряжений и увеличения жесткости конструкции, задачи оптимизации формы поперечного сечения стержней максимальной жесткости при различных комбинациях тепловых полей.

Во всех перечисленных задачах отмечается существенная разница оптимальных проектов, получаемых с учетом и без учета влияния температурного поля. Эта разница обусловлена эффектом взаимодействия температурных и механических полей при изменении формы тела.

Практическая* значимость работы заключается в получении результатов, объясняющих наблюдаемые экспериментально явления- потери жесткости на скручивание нагреваемых стержней и изменении прочностных свойств конструкций, подверженных нагреву, появлении- новой возможности управления термонапряженным состоянием за счет температурных эффектов, что позволяет получать новые конструкции, форму которых не всегда-можно предсказать.

Результаты использовались в совместных работах с ОАО НПП «Контакт», имеется Акт внедрения результатов работы. Кроме того, результаты, работы используются: при подготовке кандидатских диссертаций (подготовлено два кандидата наук); в учебном процессе при чтении спецкурса в Саратовском государственном техническом университете.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Математическая модель трансформации области и выражения для первых производных различного вида функционалов позволяет проводить анализ чувствительности при управлении формой внешних и внутренних границ термоупругих областей.

2. Принцип анализа чувствительности функционалов цели и ограничений, основанный на слабой формулировке задачи тёрмоупругости позволяет учитывать одновременное изменение в процессе оптимизации как температурных, так и деформационных полей и получать значения производных для функционалов общего вида в более широких функциональных пространствах, когда все решения соответствующих краевых задач удовлетворяют лишь вариационным уравнениям или неравенствам.

3. Новые критерии оптимальности, полученные на основе построенной математической модели оптимизации формы термоупругих тел, которые учитывают вариативность температурного поля при изменении конфигурации конструкции.

4. Доказательство существования оптимального решения для задач оптимального распределения термоизоляции плоской области.

5. Использование для анализа чувствительности метода граничных уравнений позволяет точнее определять граничные значения производных, необходимых при анализе чувствительности.

6. Разработанный численный метод решения задач оптимизации формы тел, подверженных одновременному воздействию как механических, так и температурных нагрузок с ограничениями, наложенными одновременно на,механические и температурные поля, позволяет на основе единого алгоритма решать широкий круг задач оптимизации формы двумерных тел.

Апробация результатов работы. Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, докладывались на научных конференциях: «4 Всесоюзная конференция по оптимальному управлению в механических системах» (Москва, ИПМ АН СССР, 1982г.), «II Всесоюзная конференция Численная реализация физико-механических задач прочности» (Горький, 1987г.), Int. Conf. " Optimization of Finite Element Approximations. (St. Petersburg, Russia, 1995), «XVII Международная конференции по теории оболочек и пластин» (Казань, 1996), «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (Воронеж, 2000), «19-ая международная конференция Математическое моделирование в.механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (С. Петербург.- 2001), «VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике» (Пермь 2001); «IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике» (Нижний Новгород, 2228.08.2006г); III Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи».- (Самара.- 2006); IV Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи».- (Самара.-2007); систематически докладывались на научных семинарах госуниверситета и технического университета г. Саратова; применялись на договорных началах в НПО «ИСТОК» г. Фрязино, что отражено в совместных работах [128].

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [67, 87, 103-118, 120-123, 125-147, 296] - всего 46 работ. Из них 13 публикаций в реферируемых научных журналах [105, 106, 108, 113, 114, 118, 120, 121, 134, 136, 138, 139, 145], рекомендуемых ВАК РФ при защите диссертаций на соискание учёной степени доктора наук по тематике работы, одна монография [132] и две' статьи [112, 125] в реферируемом журнале.

Личное участие автора. Личное участие автора диссертации в получении выносимых на её защиту положений заключалось в: а) постановке задач оптимизации, построении соответствующих математических моделей и формулировке принципов решения задач оптимизации; б) получении всех приведенных в диссертации теоретических результатов и доказательстве теорем существования; в) проведении большинства численных экспериментов, результаты которых положены в основу диссертации; г) анализе физического содержания представленных в диссертации аналитических и численных решений; д) формулировке окончательных выводов теоретических исследований. Алгоритмы численных методов и программы для решения задач оптимизации формы разработаны автором диссертации. Обсуждение результатов проводилось с научным консультантом д.т.н., профессором Крысько В.А. Под руководством автоpa в проведении численных экспериментов принимал участие к.ф.-м.н. Жигалов. М.В.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, одного приложения, списка литературы, включающего 325 наименований. Основное содержание диссертации изложено на 340 страницах. Общий объём диссертации 381 страница (в том числе 96 рисунков, 6 таблиц).

Заключение.

В заключении изложим основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1) Построена принципиально новая теория, основанная на методе сопряженных переменных, которая позволяет для функционалов общего вида получать необходимые условия оптимальности в задачах управления формой внутренних и внешних границ термоупругих областей, учитывающая одновременное изменение в процессе оптимизации как температурных, так и механических полей.

2) В отличии от общепринятых подходов эта теория основана на слабой формулировке задачи термоупругости, в которой уравнения равновесия и теплопроводности учитываются не в дифференциальной форме, а в виде вариационных уравнений, что позволяет получать значения производных для функционалов цели и ограничений в более широких функциональных пространствах, и упрощает построение численных алгоритмов.

3) Предложены доказательства существования решения для задачи оптимального распределения слоя изоляции по границе области и задачи оптимального размещения точек разрыва граничных условий, которые позволяют определить класс гладкости допустимых областей при оптимизации.

4) Полученные на основе построенной математической модели новые критерии оптимальности, отличаются от известных критериев, таких как равно напряженность конструкции или постоянство потока тепла на границе области. Они совпадают с ними лишь в частных случаях отсутствия нагружения или определенного типа распределения поля температур.

5) Использование для анализа чувствительности метода граничных уравнений, в котором требуется только знание поля скоростей на границе изменяющейся области, позволяет точнее определять граничные значения производных необходимых при анализе чувствительности.

6) Показано, что при учете изменяемости температурного поля в процессе оптимизации границ тел, даже если за исходную модель взята модель несвязной термоупругости, то есть решается задача о температурных напряжениях, при анализе чувствительности механические и температурные поля неизбежно становятся связанными через сопряженную задачу. Этот факт обусловлен перераспределением энтропии в системе, которая изменяется за счет трансформирования формы тела.

Заметим, что рассматриваемая термодинамическая система определяется совокупностью прямых и сопряженных краевых задач. Таким образом, перераспределение энтропии, возникающее при изменении формы области, происходит не в термодинамической системе, определяемой прямой задачей, а в^ общей термодинамической системе, определяемой двумя краевыми задачами-: прямой и сопряженной. .

7) Разработаны алгоритмы и комплекс программ для решения задач оптимизации формы тел подверженных одновременному воздействию как механических, так и температурных нагрузок с ограничениями, наложенными на механические и температурные поля, которые показали высокую эффективность для различных классов статических задач теплопроводности, упругости и термоупругости. Сравнение полученных оптимальных решений с результатами других авторов подтверждает достоверность получаемых результатов.

Отметим также, что метод анализа чувствительности с использованием сопряженных переменных дает высокую точность при вычислении градиента функции цели и, как следствие, быструю и устойчивую сходимость метода проекции градиентов для рассмотренных классов задач.

8) Получены,оптимальные проекты для ряда задач. Среди них: задача оптимального размещения термоизоляции по границе плоской области, задача оптимизации формы теплообменника, задачи минимизации концентрации напря

11 I жений и увеличения жесткости конструкции, задачи оптимизации формы поперечного сечения стержней максимальной жесткости при различных комбинациях тепловых воздействий.

Для класса задач по оптимальному размещению слоя термоизоляции из сравнения максимальных выигрышей, полученных в рассмотренных задачах, становится понятно, что чем меньше ограничений накладывается на расположение слоя термоизоляции, тем более значительного снижения потери тепла из внутренней полости можно достичь за счет оптимального его распределения вокруг полости.

Более того, оптимальное распределение термоизоляции более значимо при малом количестве теплоизолирующего1 материала (тонком его слое). Для толстых слоев термоизоляции выигрыши не велики и форма слоя предсказуема — она близка к форме круга.

Во всех перечисленных задачах с комбинированным нагружением отмечается существенная разница оптимальных проектов, получаемых с учетом и без учета влияния температурного поля. Эта разница обусловлена эффектом. взаимодействия температурных и механических полей при изменении формы тела.

В частности, анализ полученных результатов для задачи оптимизации крутильной жесткости показывает существенное влияние наличия температурных полей и начальных напряжений, особенно с большими градиентами, как на I форму оптимального поперечного сечения, так и на получаемый выигрыш от оптимизации.

В задачах минимизации напряжений п. 5.3.2 оптимальные формы границы в отсутствии и при наличии температурного поля отличаются. Более того, при комбинированном нагружении максимальные касательные напряжения удается снизить на 8,5% больше по сравнению с упругой задачей.

Тот же эффект наблюдается в задаче п. 5.3.3, где отмечено наличие существенной разницы, как формы оптимальной границы полости, так и полученных выигрышей в зависимости от вида нагружения, то есть от наличия или отсутствия температурного поля, и от соотношения интенсивностей механической и тепловой нагрузки. По-видимому, можно считать, что не существует какой либо оптимальной формы полости для всех видов нагружения и поэтому в конкретных задачах необходимо всякий раз оптимизировать форму для заданного класса нагрузок или проектировать ее конфигурацию по наихудшему варианту нагружения.

Не все затронутые в работе вопросы рассмотрены одинаково подробно и далеко не все описанные методы были реализованы. Однако представленный материал дает много отправных моментов для дальнейшей работы. В частности, у автора возникли уже в процессе написания работы, следующие вопросы, которые на данный момент не решены и могут быть источником новых исследований:

1. можно ли получить какие-либо результаты о существовании и (или) единственности для задач, изучаемых в п. 4.1, 5.3, и как связана с этими результатами гладкость границы оптимизируемой области для различных размерностей областей и типов граничных задач;

2. создание активных термомеханических конструкций, приспосабливающихся к воздействию механических нагрузок:

- повышение пределов устойчивости, т. е. повышение значений критических нагрузок за счет создания температурного поля определенной конфигурации;

- повышение прочности, т. е. компенсация напряжений за счет создания соответствующего градиента температур;

- поддержка заданных перемещений, т. е. компенсация деформаций с помощью активных источников тепла и соответствующей обратной связи.

1. Абабков, А. Г. К задаче об оптимальном подкреплении контура отверстия в растянутой пластинке / А. Г. Абабков, Г. И. Расторгуев // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. - Казань, 1985. - С. 3-5.

2. Албул, H. Оптимизация устойчивости упругих стержней при тепловых нагрузках / Н. Албул, Н. В. Баничук, М. В. Барсук // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1980. - № 3. - С. 127-133.

3. Анализ чувствительности при расчетах тепловых напряжений и проблемы ползучести / Xian Chen etc. // Nihon kikai gakkai ronbunshu. A N Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1999. - 65, 636. - P. 140-146. - Яп.; рез. англ.

4. Байдак, Д. А. Оптимальное управление континуальной упругой системой при воздействии неконсервативной нагрузки / Д. А. Байдак, Н. Н. Сорока-тый И Доклады АН УССР. Сер. А. 1980. - № 6. - С. 33-36.

5. Баничук, Н. В. Об одной вариационной задаче с неизвестной границей и определение оптимальной формы упругих тел / Н. В. Баничук // Прикладная математика и механика. 1975. - Т. 39, Вып. 6. - С. 1082-1092.

6. Баничук, Н. В. Об одной двумерной задаче оптимизации в теории кручения упругих стержней / Н. В. Баничук // Известия АН СССР. МТТ. 1976. - N 5. - С. 45-52.

7. Баничук, Н. В. Задача оптимизации формы отверстия в пластинке, работающей на изгиб / Н. В. Баничук // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1977. - № 3. - С. 81-88.

8. Баничук, Н. В. Условия оптимальности в задаче отыскания форм отверстий в упругих телах / Н. В. Баничук // Прикладная механика и математика. -1977. Т. 41, № 4. с. 920-925.

9. Баничук, Н. В. Оптимизация форм упругих тел / Н. В. Баничук. М. : Наука, 1980.-255 с.

10. Баничук, Н. В. Современные проблемы оптимизации конструкций / Н. В. Баничук // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1982. - № 2. - С. 110-124.

11. Баничук, Н. В. Оптимизация устойчивости упругих стержней при совместном сжатии и кручении / Н. В. Баничук, А. А. Барсук // Прикладные проблемы прочности и пластичности. 1982. - № 2. - С. 122-126.

12. Баничук, Н. В. Оптимизация в задачах теории упругости с неизвестными границами / Н. В. Баничук, В. Г. Бельский, В. В. Кобелев // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1984. - № 3. - С. 46-52.

13. Баничук, Н. В. Исследования оптимальной формы упругих тел / Н. В. Баничук, В. Г. Бельский, В. В. Кобелев // Прикладные проблемы прочности и пластичности. 1984. - № 29. - С. 67-70.

14. Баничук, Н. В. Задачи с неизвестными границами в теории оптимального проектирования конструкций / Н. В. Баничук, В. Г. Бельский, В. В. Кобелев; ИПМ АН СССР. М., 1985. - Препринт N 246.

15. Баничук, Н. В. Об оптимальных формах поперечных сечений призматических стержней с продольной плотностью7 Н: В. Баничук, JI. М. Куршин, Г. И. Расторгуев // Прикладная механика и техническая физика. 1985. - № 4. -С. 155-159.

16. Баничук, Н. В. Введение в оптимизацию конструкций / Н. В. Баничук. М. : Наука, 1986.-304 с.

17. Баничук, Н. В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций / Н. В. Баничук, С. Ю. Иванова, А. В. Шаранюк // Математические методы механики деформируемого твердого тела. М., 1986. - С. 17-23.

18. Баничук, Н. В. О формах стержней, оптимальных по критериям прочности и жесткости / Н. В. Баничук, Ф. Рагнедда, М. Оерра // Доклады РАН. 2001. -381, N 1. - С. 42-46.

19. Баничук, Н. В. Оптимизация формы безмоментных оболочек вращения / Н. В. Баничук // Доклады РАН. 2005. - 405, N 3. - С. 338-342.

20. Бертсекас, Д. Условная оптимизация и метод множителей Лагранжа / Д. Бертсекас. М. : Радио и связь, 1987. - 399 с.

21. Био, М. Вариационные принципы в теории теплообмена / М. Био. М. : Энергия, 1975. - 208 с.

22. Бисплингхофф, P. JI. Аэроупругость / P. JI. Бисплингхофф, X. Эшли, P. JT. Халфмен. М.: ИЛ, 1958. - 800 с.

23. Бреббиа, К. Методы- граничных элементов / К. Бреббиа, Ж. Телес, Л. Вроубел. М.: Мир, 1987. - 524 с.

24. Бублик, Б. Н. Численные решения динамических задач теории пластин и оболочек / Б. Н. Бублик. Киев : Наук, думка, 1976. - 222 с.

25. Вайнштейн, А. В. К вопросу оптимального проектирования круглых пла4»стин с учетом температурных эффектов / А. В. Вайнштейн // Известия вузов. Машиностроение. 1980. - № 8. - С. 29-32.

26. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу. М. : Мир. - 1987. - 542 с.

27. Васильев, В. В. Плоская осесимметричная задача геометрической теории упругости и оптимизация дисков / В. В. Васильев, JI. В. Федоров // Известия РАН. МТТ. 2006. - N 6. - С. 47-60.

28. Виндергауз, С. Б. Интегральное уравнение обратной задачи плоской теории упругости / С. Б. Виндергауз // Прикладная математика и механика. -1976. Т. 40, № 3. - С. 566-569.

29. Виндергауз, С. Б. Об одном случае обратной задачи двухмерной'теории упругости / С. Б. Виндергауз // Прикладная математика и механика. 1977. -Т. 41, №5. с. 902-908.

30. Виндергауз, С. Б. Обратная задача трехмерной теории упругости / С. Б. Виндергауз // Механика твердого тела. 1983. - № 2. - С. 90 - 93.

31. Виндергауз, С. Б. Оптимальные полости в упругом пространстве с осевой симметрией / С. Б. Виндергауз // Известия АН Арм.ССР. Механика. 1984. -Т. 37, №3. - С. 51-58.

32. Вулих, Б. 3. Введение в функциональный анализ / Б. 3. Вулих. М. : Наука. -1967.-371 с.

33. Гельфанд, И. М. Вариационное исчисление / И. М. Гельфанд, С. В. Фомин. -М. : Физматгиз, 1961. 228 с.

34. Гловински, Р. Численное исследование вариационных неравенств / Р. Гло-вински, Ж.-Л. Лионе, Р. Тремольер. М. : Мир, 1979. - 574 с.

35. Гольдштейн, Ю. Проектирование оптимальных арок с учетом температурного воздействия / Ю. Гольдштейн ; Петрозавод. ун-т. Петрозаводск, 1982. - 29 с. - Деп. в ВИНИТИ 8.12.82, № 5278-824.

36. Горячев, О. А. Об одном методе оптимального распределения материала в тонкой упругой оболочке / О. А. Горячев // Тр. Куйбыш. авиац. ин-та им. С. П. Королева. Куйбышев,,1971. - Вып. 48.

37. Григолюк, Э. И. Оптимизация-нагрева оболочек и пластин / Э. И. Григолюк, Я. С. Подстригач, Я. И. Бурак. Киев : Наук, думка, 1979. - 364 с.

38. Гринев, В. Б.Некоторые вопросы от стройки вибрационных систем от резонансных режимов / В. Б. Гринев, А. П. Филиппов // Строительная механика и расчет сооружений. 1972. - № 4. - С. 24-31.

39. Двунаправленный эволюционный метод для оптимизации жесткости = Bidirectional1 evolutionary method for stiffness optimization / X. Y. Yang etc. // AIAA Journal. 1999. - 37, N 11. - P. 1483-1488. - Англ.

40. Дюво, Г. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж.-Д.Лионс. М. : Наука. - 1980.-383 с.

41. Ибрагимов, В. А. О вариационных принципах оптимального проектирования упругих цилиндрических тел при кручении / В. А. Ибрагимов // Tgope-тическая.и прикладная механика. Минск, 1985. - № 12. - С. 33-40.

42. Иванов, В. К. О некорректно поставленных задачах / В. К. Иванов // Математический «сборник. 1963.- Т. 61,№ 2. - С. 61-73.50: Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. М. : Мир, 1967. - 624 с.

43. Исаев, Ф. К. Об устойчивости биметаллического упругопластического стержня при неравномерном нагреве / Ф. К. Иванов, К. А. Алиев ; Ин-т мат. и мех. АН Аз.ССР. Баку, 1985. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 23.07.85, № 532685.

44. Карн, Д. Развитые поверхности теплообмена / Д. Карн, А. Краус. М. : Энергия. - 1977. - 475 с.

45. Карташов, П. А. О некоторых свойствах оптимальных проектов при фиксированных полях напряжений или деформаций / П. А. Карташов, Ю. В. Не-мировский // Прикладная математика и механика. 1985. - Т. 49, № 3. - С. 476-484.

46. Картвелишвили, В. М. Задачи оптимизации эффективной жесткости неравномерно нагретых предварительно напряженных тонкостенных стержней / В. М. Картвелишвили, А. А. Миронов // Известия, АН СССР. Механика твердого тела. 1979. - № 5. - С. 150-161.

47. Картвелишвили, В. М. Оптимизация тонкостенных стержней с учетом нагрева / В. М. Картвелишвили // Оптимальное управление в механических системах : тез. 3-й Всесоюз. конф. Киев, 1979. - Т. Г. - С. 216-217.

48. Картвелишвили, В. М. Вопросы оптимизации авиационных конструкций с учетом аэродинамического нагрева / В. М. Картвелишвили // Динамика и прочность машин. 1984. - Вып .40. - С. 64-70

49. Картвелишвили, В. М. Оптимальное проектирование упругих пластин, взаимодействующих с внешним тепловым полем / В. М. Картвелишвили // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1984. - № 4. - С. 175-186.

50. Картвелишвили, В. М. Оптимизация пластин с учетом тепловых нагрузок / В. М. Картвелишвили // Прикладные проблемы прочности и пластичности / Горьк. ун-т. Горький, 1984. - № 28. - С. 78-85

51. Картвелишвили, В. М. Об оптимальных решениях в одной задаче Прандтля / В. М. Картвелишвили // Исследования по строительной механике и надежности конструкций. М., 1986. - С. 81-89.

52. Картвелишвили, В. М. Оптимальное проектирование и анализ чувствительности в задачах нестационарной термоупругости / В. М. Картвелишвили // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1986.-№3.-С. 140-154.

53. Картвелишвили, В. М. Оптимизация гибких упругих оболочек, работающих при нестационарных тепловых нагрузках / В. М. Картвелишвили // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1986. - № 34. - С. 83-89.

54. Кит, Г. С. Взаимодействие теплоактивной эллиптической трещины с границей полупространства / Г. С. Кит, О. П. Сушко // Теоретическая и прикладная механика. 2006. - N 42. - С. 45-51, 185. - Рус.; рез. англ.

55. Коваленко, А. Д. Избранные труды / А. Д. Коваленко. Киев : Наук, думка, 1976. - 762 с.

56. Коллатц, JI. Задачи на собственные значения / JI. Коллатц. М. : Наука, 1968.-423 с.

57. Крысько, В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек / В. А. Крысько. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 214 с.

58. Крысько, В. А. Оптимальное проектирование пластинок при воздействии температуры / В. А. Крысько, В. В. Бочкарев ; Ред. журнала Физ.-хим. мех. материалов АН УССР. Львов, 1983. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.03.83, № 1267-83.

59. Кунташев, П. А. О решении в напряжениях задачи термоупругости неоднородных тел по методу возмущений / П. А. Кунташев, Ю. В. Немировский // Прикладная математика и механика. 1985, Т. 49, № 2. - С. 344-347.

60. Кунташев, П. А. О некоторых свойствах оптимальных термоупругих .проектов при фиксированных полях напряжений или деформаций / П. А. Кунташев, Ю. В. Немировский // Прикладная математика и механика. 1985. - Т. 49, № 3. - С. 476 - 484.,

61. Кунташев, П. А. Минимизация уровня напряжений распределением упругих параметров в упругих и термоупругих телах / П. А. Кунташев, Ю. В. Немировский- // Математические, методы и. физико-механические поля. -Киев. 1987. - №-26. - С. 43-50.

62. Куршин, JI. М. Определение форм двухсвязных сечений максимальной крутильной жесткости / JI. М. Куршин, П. Н. Оноприенко // Прикладная-математика и механика. 1976. - Т. 40, № 6. - С. 1078-1084.

63. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. Ml : Наука. - 576 с.

64. Ладыженская, О. А. Краевые задачи математической физики / О. А. Ладыженская. М. : Наука, 1973. - 487 с.

65. Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. М. : Мир, 1972. - 414 с.

66. Литвинов, В. Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике / В. Г. Литвинов. М. : Наука, 1987. - 366 с.

67. Ломазов, В. А. Распределение стационарных источников тепла, обеспечивающих данное значение динамических объемных деформаций на фиксированной плоскости / В. А. Ломазов, Ю. В. Немировский // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1984. - № 66. - С. 83-91.

68. Лурье, А. И. Теория упругости / А. И. Лурье. М. : Наука, 1970. - 939 с.

69. Ляв, А. Математическая теория упругости : пер. с англ. / А. Ляв. М. ; Л.: ОНТИ, 1935.-289 с.

70. Марченко, В. М. Температурные поля и напряжения в конструкциях лета. тельных аппаратов / В. М. Марченко. М. : Машиностроение, 1965. - 299 с.

71. Мерик, Р. А. Граничные элементы в задаче статического оптимального нагрева твердых тел / Р. А. Мерик // Теплопередача. 1984. - № 4. - С. 188 -193.

72. Мерик; Р. А. Оптимизация коэффициентов теплопроводности изотропных и ортотропных тел / Р. А. Мерик // Теплопередача. 1985.- № 3. - С. 1 - 6.

73. Меркурьев, В. Н. Температурные напряжения в цилиндрической оболочке с произвольным контуром поперечного сечения / В. Н. Меркурьев. // Тр. ЦАГИ. 1971.-Вып. 1310.

74. Морозов, Н. Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости / Н. Морозов. JI. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1978.

75. Морозов, Н. Ф. Исследование разрушающей нагрузки для области, ослабленной вырезом в виде лунки / Н. Ф. Морозов // ДАН АН СССР. 1980. - Т. 253, N6.

76. Морозов, Н. Ф. Математические вопросы теории трещин / Н. Ф. Морозов. -М. : Наука, 1984.-255 с.

77. Мотовиловец, И. А. Механика связанных полей в элементах конструкций.• Т. 1. Термоупругость / И. А. Мотовиловец, В. И. Козлов. Киев : Наук, думка, 1987. - 264 с.

78. Напряженно-деформированное состояние паяных соединений в ГИС с учетом пластических деформаций / С. П. Павлов, В. А. Крысько, А. Б. Перегудов и др. / Электронная техника. Сер. СВЧ техника. 1999. - Вып. 1(473). -С. 3-8.

79. Некоторые задачи оптимального проектирования оболочек с учетом накопления поврежденностей / Н. В. Баничук и др. // Проблемы прочности и пластичности 2005. - N 67. - С. 46-59, 207. - Рус.; рез. англ.

80. Немировский, Ю. В. Об оптимальном по условиям эксплуатации проектировании ползущих балок и плит / Ю. В. Немировский, Б. С. Резников // Машиноведение / АН СССР. 1969. - № 3. - С. 75-80.

81. Немировский, Ю. В. Об одной задаче целевого управления структурами армирования термоупругих плоских композитных конструкций / Ю. В. Немировский, А. Б. Янковский // Механика композиционных материалов и конструкций. 1998. - Т. 4, № 3. - С. 9-27.v

82. Немировский, Ю. В. Оптимальное проектирование неоднородных слоистых куполов / Ю. В. Немировский, И. Т. Вохмянин // Известия вузов. Строительство. 1999.'- № 7. - С. 20-29, 157.

83. Немировский, Ю. В. Оптимальное проектирование неоднородных пластических плит / Ю. В. Немировский // Устойчивость, пластичность, ползучесть при сложном нагружении. 2000. - N 2. - С. 49-55.

84. Немировский, Ю. В. Проектирование конструкций со слоистыми стержнями переменного сечения при гармонических возмущениях / Ю. В. Немировский, А. М. Мищенко // Известия вузов. Строительство. 2001. - N 4. - С. 19-26, 152.

85. Немировский, Ю. В. Рациональное и оптимальное проектирование слоистых стержневых систем / Ю. В. Немировский, А. В. Мищенко, И. Т. Вохмянин. Новосибирск : Изд-во НГАСУ : Изд-во ИТПМ СО РАН, 2004. -486 с. : ил. - ISBN 5-7795-0215-3.

86. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новицкий. М. : Мир, 1975.- 872 с.

87. Няшин, Ю. И. Остаточные напряжения: вариационные принципы и управление / Ю. И. Няшин, П. В. Трусов // Теор. и прил. мех.: Докл. 4-го Нац. конгр.,Варна, 1981г. София, 1981.-Кн. 1. - С. 573-578.

88. Оптимизация формы слоистых конструкций при прочностных ограничениях, обусловленных межслойным разрушением / Н. В. Баничук и др. // Прикладные проблемы прочности и пластичности. 2000. - N 62. - С. 19-30, 200, 207. - Рус.; рез. англ.

89. Оптимизация формы подземных выработок с помощью эволюционной процедуры = Underground excavation shape optimization using an evolutionary procedure / G. Ren etc. // Comput. and Geotechn. 2005. - 32, N 2. - P. 122132. - Англ.

90. Павлов, С. П. Вариационный принцип для нелинейных операторных уравнений электродинамики / С. П. Павлов, В. Ф. Кириченко, Э. JI. Куликов // Техническая электроника и электродинамика / СПИ. Саратов, 1977. - Вып. 2.-С. 103-109.

91. Павлов, С. П. О вариационных принципах для линейных функционалов / С. П. Павлов, В. Ф. Кириченко, Э. JI. Куликов // Вычислительная физика / СПИ. Саратов, 1977. - Вып. 1. - С. 3-18.

92. Павлов, С. П. К вариационным методам решения задач электродинамики и статики / С. П. Павлов, Э. Л. Куликов, Ю. Ф. Рогожников // Радиотехника и электроника. 1978. - Т. 23, № 7. - С. 1528-1531.

93. Павлов, С. П. Вариационный принцип для задач анализа пьезоэлектричеtских устройств с акустоэлектроическим взаимодействием / С. П. Павлов, А. Н. Губенков, В. Ф. Кириченко, Э. Л. Куликов // Акустический журнал. -1978. Т. 24, вып. 2. - С. 195-202.

94. Павлов, С. П. К вопросу построения двухсторонних оценок функционалов в электродинамике / С. П. Павлов, Э. Л. Куликов // Техническая электроника и электродинамика / СПИ. Саратов, 1978. - Вып. 3. - С. 119-125.

95. Павлов, С. П. К решению задач синтеза с учетом стационарного представления функционалов / С. П. Павлов, Э. Л. Куликов, В. Ф. Кириченко // "Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15, № 4. - С. 738-739

96. Павлов, С. П. Некоторые вопросы оптимизации пластинок по весу / С. П. Павлов, В. В. Бочкарев, В. А. Крысько ; Сарат. политехи, ин-т. М., 1980. -12 с. - Деп. в ВИНИТИ 08. 07. 80, № 3259-80.

97. Павлов, С. П. Некоторые задачи динамической оптимизации пластинок и оболочек / С. П. Павлов // Вопросы оптимального проектирования пластин и оболочек / СПИ. Саратов, 1981. - С. 15-18.

98. Павлов, С. П. Оптимизация формы плана пологих оболочек / С. П. Павлов, В. А. Крысько // Труды 4 Всесоюз. конф. по оптимальному управлению в механических системах / ИПМ АН СССР. М., 1982. - С. 115-116.

99. Павлов С. П. Задача оптимального управления собственной частотой неоднородных оболочек / С. П. Павлов, В. А. Крысько // Прикладная механика. -1982.-Т. 18, №4. -С. 41-47.

100. Павлов, С. П. Оптимизация по весу композитных пластинок при ограничении на основную частоту колебаний / С. П. Павлов, В. А. Крысько // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1982. - № 2. - С. 46-50.

101. Павлов, С. П. Колебания пластинок и сферических оболочек произвольного плана // С. П. Павлов, В. А. Крысько // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1982. - № 4. - С. 49-52.

102. Павлов, С. П. О применении вариационных неравенств в задачах оптимизации плана оболочек / С. П. Павлов, В. А. Крысько // Актуальные проблемы механики оболочек : тез. докл. Всесоюз. школы молодых учёных и специалистов. Казань, 1983. - С. 81-82.

103. Павлов, С. П. Синтез и оптимизация пластин и оболочек по динамическимIи прочностным характеристикам / С. П. Павлов, В. В. Бочкарев, В. А. Крысько // Тр. XIII Всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек. Таллин, 1983.-Ч. 1, А - В - С. 139-144.

104. Павлов, С. П. Задачи управления спектром собственных частот неоднородных оболочек / С. П. Павлов, В. А. Крысько ; Ред. журнала физ.- хим. мех. материалов АН УССР. Львов, 1983. - 11 с. - Деп. в ВИНИТИ.

105. Павлов, С. П. Некоторые особенности задач синтеза оболочек в плане по динамическим характеристикам / С. П. Павлов, В. А. Крысько // Известия вузов. Математика. 1983. - № 5. - С. 48-52.

106. Павлов, С. П. Рациональное проектирование пластин и оболочек по динамическим характеристикам : дис. канд. физ.-мат. наук / Павлов Сергей Петрович ; СПИ. Саратов, 1983. - 163 с.

107. Павлов, С. П. К вопросу существования решения в задаче о нелинейных колебаниях пологих оболочек с учетом инерции вращения / С. П. Павлов, В. А. Крысько // Дифференциальные уравнения. 1984. - Т.,20, № 5.- С. 830838.

108. Павлов, С. П. Расчет подкрепленной пластины в трехмерной постановке / С. П. Павлов, В. А. Крысько, А. Б. Перегудов // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1987. - № 7. - С. 14-18.

109. Павлов, С. П. Расчет прямоугольных плит переменной толщины в трехмерной постановке / С. П. Павлов, В. А. Крысько, А. Б. Перегудов ; Сарат. политехи. ин-т. Саратов, 1987. 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.09.87, N 6740-В87. -РЖ Мех. (ВИНИТИ), 1988, 1В57Деп.

110. Павлов, С. П. Анализ чувствительности в задачах оптимизации границ термоупругих тел / С. П. Павлов // Математические модели, методы решения и оптимальное проектирование гибких пластин и.оболочек / СГУ. Саратов, 1988. - С.133-136.

111. Павлов, С. П. Исследование свободных колебаний гибких оболочек с конечной сдвиговой жесткостью методом конечных элементов / С. П. Павлов, В. А. Крысько, И. Ф. И. Сытник // Прикладная механика. 1995. - Т. 27, № 4. - С. 23-28.

112. Павлов, С. П. Оптимизация формы термоупругих тел, взаимодействующих с внешним тепловым потоком / С. П. Павлов, И. Ф. Сытник // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами / СГТУ. Саратов, 1995. - С. 119-124.

113. Павлов, С. П. МКЭ при расчете слоистых конструкций с учетом пластических деформаций / С. П. Павлов, А. Б. Перегудов // Труды XVIII междунар. конф. по теории оболочек и пластин / СГТУ. Саратов, 1997. - Т. 2. - С. 8191.

114. Павлов', С. П. Анализ тепловых моделей^ЕИС СВЧ различных конструкций / С. П. Павлов, В. А. Крысько, Ю. И. Молдованов // Электронная техника. Сер: СВЧ техника. 1999. - Вып. 2 (474): - С. 15-21.

115. Павлов, С. П: Оптимизация составного стержня под совместным действием механической нагрузки и температурного поля / С. П. Павлов; А. Б. Перегудов ;Сарат. гос. техн. ун-т. Саратов, 2000.-11 с.-Деп. в ВИНИТИ? 05.05.00, № 1302-В2000.

116. Павлов, С. П. О существовании решения в одной задаче оптимизации формы.// С. П. Павлов, А. Б.Перегудов //Математическое моделирование:в естественных и гуманитарных науках : материалы конфер. / ВГУ. Воронеж, 2000: -С. 171.

117. Павлов, С. П. Смешанная вариационная формулировка задачи о пластине, свободно опертой по криволинейному контуру / С. П. Павлов, В. А. Крысько // Известия вузов. Математика. 2004. - № 3. - С. 57-63.

118. Павлов, С. П. Оптимальное размещение термоизоляции по границе плоской; области / С. П. Павлов // Нелинейная динамика механических и биологических систем :межвуз: науч. сб. / СГТУ. Саратов, 2004. - Вып. 2. - С. 90-97.

119. Павлов, С. П. Оптимизация толщины термоизоляции плоской области / С. П. Павлов // Известия вузов. Машиностроение. 2004. - № 9. - С. 17-24.

120. Павлов, С. П. Метод граничных элементов в задачах теплопроводности и термоупругости / С. П. Павлов // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред : межвуз науч. сб. / СГТУ. Саратов, 2004.-С. 113-119.

121. Павлов, С. П. Оптимальная термоизоляция плоской области / С. П. Павлов // Вестник Саратовского государственного технического университета. -2005. -№ 1 (6).-С. 5-12.

122. Павлов, С. П. Управление внешней границей изолирующего слоя нагретой полости / С. П. Павлов, М. В. Жигалов // Известия вузов. Машиностроение.-2005.-№ 7. С. 3-12.

123. Павлов, С. П. Оптимизация жесткости в одной термоупругой задаче / С. П. Павлов // Математическое моделирование и краевые задачи : тр. II Всерос. науч. конф. Самара, 2005. - С. 225-228.

124. Павлов, С. П. Влияние температуры на форму оптимальной границы полости / С. П. Павлов // Математическое моделирование и краевые задачи : тр. III Всерос. науч. конф Самара, 2006. — С. 154-157.

125. Павлов, С. П. Оптимизация формы термоупругих тел / С. П. Павлов // Труды IX Всерос. съезда по теоретической и прикладной механике, Н. Новгород, 22-28 авг. 2006 г. Н. Новгород, 2006.

126. Павлов, С. П. Влияние начальных температурных напряжений на оптимальную форму скручиваемых стержней / С. П. Павлов, М. В. Жигалов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2007. -№ 1 (22), вып. 2.-С. 14-21.

127. Панагиотопулос, П. Неравенства в механике и их приложения / Н. Панагио-топулос. М. : Мир, 1989: - 492'с.

128. Петров, Ю. В. О равнопрочном закруглении вершины внутреннего угла в условиях задачи кручения / Ю. В. Петров //Вестник Лёнингр. ун та. Сер. 1 - 1987, №4.

129. Погодаев, Ф. Г. Вспомогательное поле переносной скорости и его применение для обобщения производной по параметру от объемного интеграла / Ф. Г. Погодаев ; Киев, ин-т граждан, авиации. Киев, 1987. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ, № 5922-В87.

130. Подстригач, Я. С. Термоупругость тонких оболочек /Я. С. Подстригач, Р. Н. Швец. Киев : Наук, думка, 1978.-344 с.

131. Полна, Г. Изопараметрические неравенства в математической физике / Г. Полиа, Г. Сегё. М. : Физматгиз, 1962. - 336 с.j.

132. Постнов, В! А. Оптимизация консольного призматического стержня по критической силе флаттера / В. А. Постнов, Г. А. Тумашик // Прикладные проблемы прочности и пластичности. 2001. - N 63. - С. 104-110. - Рус.; рез. англ.

133. Постнов, В. А. Оптимизация по критерию устойчивости консольного стержня, подверженного действию неконсервативной сжимающей силы / В. А. Постнов, Г. А. Тумашин // Известия РАН. МТТ. 2006. - N 2. - С. 93-103.

134. Прагер, В. Основы теории оптимального проектирования конструкций / В. Прагер. М. : Мир, 1977. - 109 с.

135. Пустовой, H. В. Оптимальное распределение толщины вокруг подкрепленных отверстий в пластинах / Н. В. Пустовой, Г. И. Расторгуев, О. Н. Шлыкова // Научный вестник Новосибирского государственного технического университета. 1999. - N 1. - С. 64-73.

136. Пустовой, Н. В. Оптимальное проектирование стержней и'подкрепленныхIпластин на основе минимизации энергии деформации / Н. В. Пустовой, Г.

137. И. Расторгуев. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2002. - 317 с. : ил. - ISBN 57782-0326-8.

138. Рапоцевич, Е. А. О разрешимости задачи оптимизации формы области / Е. А. Рапоцевич ; ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1986. - Препринт № 634. -14 с.

139. Рациональное проектирование защитного контейнера при комплексных термосиловых воздействиях / А. А. Рябов и др. // Прикладные проблемы прочности и пластичности. 2000. - N 62. - С. 100-108, 203, 210. - Рус.; рез. англ.

140. Санчес-Паленсия, Э. Неоднородные среды и теория колебаний / Э. Санчес-Паленсия. М. : Мир, 1984. - 472 с.

141. Сеа, Ж. Численный метод поиска оптимальной области / Ж. Сеа // Вычислительные методы в математике, физике, геофизике и оптимальное управление. Новосибирск, 1978. - С. 64-74.

142. Седов, JL И. Механика сплошной среды / JI. И. Седов. 3-е изд. - М. : Наука, 1976. - Т. I. - 536 с. ; Т. II. - 584 с.

143. Сесюнин, С. Г. Исследование сопряженной задачи термоупругости методами математического моделирования / С. Г. Сесюнин, В. Н. Аликин, Г. JI. Колмогоров // Вестник ПГТУ. Динамика и прочность машин. 2005. - N 5. -С. 89-97.

144. Стационарные представления в электродинамике и электростатике / С. П. Павлов, Э. JI. Куликов, Ю. Ф. Рогожников, А. В. Петренко // Вычислительная физика / СПИ. Саратов, 1977. - Вып. 1. - С. 19-37.

145. Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьяр-ле.-М. : Мир, 1980.-512 с.

146. Тимошенко, С. П., Гудьер, Дж. Теория упругости / С. П. Тимошенко,, Дж. Гудьер М. : Наука. - 1975.- 576 с.

147. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. М. : Наука, 1974. - 223 с.

148. Товстик, П. Е. Об определении наименьшей частоты свободных колебаний тонкой оболочки / П. Е. Товстик //Асимптотические методы в теории систем. Иркутск, 1975. - Вып. 8. - С. 5-22.

149. Товстик, П. Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы / П. Е. Товстик. М. : Наука. Физматлит, 1995. - 320 с. - ISBN 5-02-014522-Х.

150. Трищ, Б. М. Оптимизация температурных полей и напряжений в квадратной пластине с отверстием / Б. М. Трищ ; Львов, нац. ун-т. Львов, 2002. -14 с. - Укр. - Деп. в ГНТБ Украины 08.01.2002, N 13-Ук2002.

151. Трищ, Б. М. Оптимизация температурных полей и напряжений в треугольной пластине с отверстием / Б. М. Трищ ; Львов, нац. ун-т. Львов, 2000. -14 с. - Библиогр.: 5 назв. - Укр. - Деп. в ГНТБ Украины 04.01.2000, N 7-Ук2000.

152. Троицкий, В. А. Некоторые задачи1 оптимизации границы упругих тел / В. А. Троицкий // Тр. Ленингр. политехи, ин-та. 1982. - № 388. - С. 3-6.

153. Троицкий, В. А. Оптимизация формы упругих тел / В. А. Троицкий, Л. В. Петухов. М. : Наука, 1982. - 432 с.

154. Тумашев, Г. Г. Обратные краевые задачи и их приложения / Г. Г. Тумашев, М. Т. Нужин. Казань : Изд-во Казан, ун-та, 1965. - 336 с.

155. Уздалев, А. И. Температурные напряжения в пластинках ограниченных двух связанным контуром / А. И. Уздалев. — Саратов: Изд-во СГУ, 1975.176 с.

156. Хуторянский, Н. М. К решению некоторых пространственных и плоских задач оптимизации- формы упругих тел / Н. М. Хуторянский // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1978. - Вып. 8. - С. 66-74.

157. Чеботаревский, Ю. В. Температурное поле и напряжения в круговом цилиндре с мгновенными импульсными источниками тепла / Ю. В. Чеботаревский, В. П. Красюков // Прикладная механика. 1976. - Т. XII, № 6. - С. 28-33.

158. Черепанов, Г. П. Некоторые задачи теории упругости и пластичности с неизвестной границей / Г. П. Черепанов // Приложение теории функций в механике сплошной среды. М. : Наука, 1965. - Т. 1.

159. Черепанов, Г. П. Обратные задачи плоской теории упругости / Г. П. Черепанов // Прикладная математика и механика. 1974. - Т. 38, № 6.- С. 963979.

160. Экланд^ И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Экланд, Р. Темам. М. : Мир. - 1979; - 399 с.

161. Adelman, H. M. Resizing Procedur for. Optimum Design of Structures LJnder Combined Mechanical and Thermal Loading./ H. M. Adelman, R. Narayanaswami//NASA TM;X-72816. Yan. - 1976:

162. Adelman, H. M. Inclusion if Explicit Thermal Requirements in the Optimum design of Structures / II. M. Adelman, P. L. Sawyer // NASA TM X-74017. -March.- 1977.

163. Atanackovic, Т. M. Оптимальная форма упругой колонны на упругом основании. Optimal shape of an elastic column on elastic foundation / Т. M. Atanackovic, B. N. Novakovic //Eur. J. Mech. A. 2006. - 25, N 1. - P. 154165. -Англ.

164. Banichuk, N. V. Optimality conditions and>analytical methods of scope optimization / N. V. Banichuk// Optimizat. Parameter Struct. 1981. - Vol. 2. - P. 9731004.

165. Bentwich, M. Optimal insulation distribution over a conducting body / M. Bentwich // Mech. Appl. Math. 1983. - VoL 36, V. 1. - P. 145-155.

166. Blair, J; J. Bounds for the change in the solutions of second order elliptic PDDEs when the boundary is perturbed / J. J. Blair // SIAM J. Appl. Math. 1973. - Vol. 24, N 3. - P. 277-285.

167. Botkin, M. E. Shape optimization of plate and shell structures / M. E. Botkin // AIAA Journal. 1982. - Vol. 20, N 2. - P. 268-273.

168. Brailant, V. An approximation-concepts approach to shape optimal design / V. Brailant, C. Fleury // Meth. Appl. Mech. and Eng. 1985. - Vol. 53, N 2. - P. 119-148.

169. Brailant, V. Shape sensitivity by f.e. / V. Brailant // Journal Struct. Mech. i986. -Vol. 14, N2.-P. 209-228.

170. Brebbia, C. A. Boundary Element Techniques: Theory and Applications in Engineering / C. A. Brebbia, J. C. Telles, L. C. Wrobel. Berlin, Springer - Verlag, 1984.

171. Burczynsk, T. Toundary element method for shape design synthesis of elastic structures / T. Burczynsk, T. Adamczyk // Boundary element VII. Proc. Int. Conf., Villa Olmo. Berlin. - 1985. - Vol. 2. - P. 93-106.

172. Burczynski, T. The boundary element formulation for multiparameter structural shape optimization / T. Burczynsk, T. Adamczyk // Appl., Math.Model 1985. -Vol. 9, N3.-P. 195-200.

173. Cea, J. Problems of shape optimal design / J. Cea // Optimizat. Distrib. Parameter Struct. Vol. 2. Alphen an den Rijn; Rockville, Md. 1981. - P. 1005-1048.

174. Cea, J. Numerical methods of shape optimal design / J. Cea // Optimizat. Distrib. Parameter Struct. Vol. 2. Alphen an den Rijn; Rockville, Md. 1981. - P. 10491087.

175. Chandrasekharaiah, D. S. Теорема единственности в термоупругости при наличии зависимости от теплового потока = A uniqueness theorem in heat flux dependent thermoelasticity / D. S. Chandrasekharaiah // J. Elast. - 1987. - J8, N 3,P. 283-287.

176. Chenais, D. On the Existence of a Solution in a Domain Identification Problem / D. Chenais // J. of Math. Anal, and Appl. 1975. - Vol. 52, N. 2,- P. 189 - 219.

177. Choi, К. K. Shape design sensitivity analysis of elastic structures / К. K. Choi, E. J. Hang // J. Struct. Mech. 1983. - Vol. 11, N 2. - P. 231-269.

178. Choi К. K. A Domain Method for Shape Design Sensitivity of Build-up Structures / К. K. Choi, H. G. Seong // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1986. - Vol. 57. - P. 1-15.

179. Choi J. N. Shape Design Sensitivity Analysis of Elliptic Problems in Boundary Integral Equation Formulation / J. N. Choi, В. H. Kwok // Mech. Struct. & Mach. 1988. -N 16(2). -P. 147-165.

180. Choi, J.-H. Анализ чувствительности к проектной конфигурации и оптимизация балочных конструкций = Configuration design sensitivity analysis and optimization of beam structures / J.-H Choi // Comput. Mech. 2002. - 29, N 2. -P. 129-142. - Англ.

181. Chug, Y. W. Two-dimensional shape optimal design / Y. W. Chug, E. J. Hang // Int. J. for Number. Meth. in Engineering. 1978. - Vol. 13. - P. 311-336.

182. Curtis, J. P. Optimization of the torsion rigidity of axisymmetrie hollow shafts / J. P. Curtis, L. J. Walpole // Int. J. Solids and Struct. 1982. - Vol. 18, N 10. - P. 883-887.

183. Curtis, J. P. Optimization of Homogeneous Thermal Insulation Layers / J. P. Curtis // Int. J. Solids and Struct. 1983. - Vol. 19, N 9. - P. 813-823.

184. Day, W. A. Maximum and minimum properties of the temperature in linear ther-moelasticity / W. A. Day // Quart. Appl. Math. 1985. - Vol. 43, N 2. - P. 159166.

185. Defourny, M. Optimization Techniques and Boundary Element Method / M. De-fourny // Proc. Boundary Elements X. Vol. 1. Mathematical and Computational Aspects. Springer-Verlag, 1988.

186. Dems, K. Wiloparametrowa optymalizacji ksztaltu konstruckcji / K. Dems // Zesz. mauk. Plodz. 1980. - N 3371. - P. 5-130.

187. Dems, K. Multiparameter shape optimization of elastic bars, in torsion / K. Dems // Int. J. for Number. Meth. Eng. 1980. - Vol. 15, N 10. - P. 1517-1539.

188. Dems, K. Optimal shape design of loaded boundaries / K. Dems // Arch. menh. stosow. 1981. - Vol. 33, N 2. - P. 243-260

189. Dems, K. Zasady wariacujne mechaniki Mzmiennych obsarow i ich wykorzysta-nie w optymalizacji konstruckcji / K. Dems // Menh. teor. i stosow. 1981. - Vol. 19, N2.-P. 269-283.

190. Dems, K. Variational approach by means of adjoin systems to structural optimization and sensitivity analysis. I. Variation of material parameters within fixed domain / K. Dems, Z. Mroz // Int. J. Solids and Strukt. 1983.- Vol. 19, N 8. - P. 677-692.

191. Dems, K. Variational approach by means of adjoin systems to structural optimization and sensitivity analysis. II.Structure shape variation / K. Dems, Z. Mroz // Int. J. Solids and Strukt. 1984.- Vol. 20.- P. 527-552.

192. Dems, К. Variational approach to first- and second order sensitivity analysis of elastic structures / K. Dems, Z. Mroz // Int. J. for Number. Meth. Eng. - 1985. - N 4.-P. 637-661.

193. Dems, K. Sensitivity Analysis in Thermoelasticity Problems. Computer Aided Optimal Design: Structural and Mechanical Systems / K. Dems ; Ed. C. A. Mota Sores. Springer-Verlag , 1987.

194. Desmorat, В. Оптимизация конструкции по жесткости при одностороннем контакте с трением = Structural rigidity optimization with frictionless unilateral contact / B. Desmorat // Int. J. Solids and Struct. 2007. - 44, N 3-4. - PI 11321144. - Англ.

195. Drazumeric, Radovan. Оптимизация геометрии теряющего устойчивость стержня = Geometrijska optimizacija pri uklonu palice / Radovan Drazumeric, Frans Kosel // Strojn. vestn. 2003. - 49, N 7-8. - P. 385-397. - Парал. слов., англ.

196. Erbatur, F. Thermoelastic Optimal Design of Plates / F. Erbatur, Y. Megi // J1. Eng. Mech., Proc. ASCE. 1977. - P. 103; EM-4. - P. 649-659.

197. Evolutionary shape optimization of thermoelastic bodies exchanging heat by convection and radiation / R. A. Bialecki etc. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Issue 17, 29 April 2005. 2005. - 194. - P. 1839-1859.

198. Fichera, F. Existence theorems in elasticity. Boundary value problems of elasticity with unilateral constraints / F. Fichera. Berlin : Springer-Verlag, 1972.

199. Grysa, K. On the inverse problems of temperature fields in thermoelasticity and in the theory of heat conduction / K. Grysa // Теор. и прикл. мех. 4-й Нац. конгр. Варна, 1981: Доклады София. - 1981. Кн. 1, С. 555-560.

200. Haber, R. B. A new variational approach to structural shape design sensitivity analysis / R. B. Haber // Comput. Aided Optim.Des.: Strukt. and Mech. Syst.: Proc. NATO Adv. Study Inst. Troia Berlin, 1987. - P. 573-587.

201. Haftka, R. T. Techniques for thermal sensitivity analysis / R. T. Haftka // Int. G. Numer. Meth. Eng. - 1981. - Vol. 17, N 1. - P. 71-80.

202. Haftka, R. Т. Structural shape optimization a survey / R. T. Haftka, R. V. Gran-dhi // 26 Struct. Dyn. and Mater. Cont., Orlando, Fla, Apr. 15-17, 1985, Pt.l, Coll. Techn. Pap. - New-York. - 1985. - P. 617-628.

203. Haftka, R. T. Structural shape optimization a survey / R. T. Haftka, R. V. Gran-dhi // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. - 1986. - Vol. 57, N 1. - P. 91-106.

204. Haftka R. T. Recent Developments in Structural Sensitivity Analysis / R. T. Haftka, H. M. Adelman // Third Int. Conf. on CAD/CAM. Robotics and Factories of the Future. Southfield, Michigan, Aug. 14-17, 1988.

205. Hakin, S. Оптимальная геометрия конструкций регулируемой формы. Optimal geometries of shape controlled structures / S. Hakim, M. B. Fuchs // Mech. Struct, and Mach. 1999. - 27, N 2. - P. 143-162. - Англ.

206. Han, Stog Young. Оптимизация формы конструкции для продления усталостной долговечности / Stog Young Han, Young Seog, See Geob Song // Те hangi kyohag hvinon mun chib. A N Trans. Kor. Soc. Mech. Eng. A. 2002. - N 8. - P. 1512-1519. - Кор.; рез. англ.

207. Haug E. J. Design Sensitivity Analysis of Structural Systems / E. J. Haug, К. K. Choi, V. Komkov. New York : Academic Press. - 1986.

208. Homberg, D. О формах безопасной трещины в упругих телах. On safe crack shapes in elastic bodies / D. Homberg, A. M. Khludnev // Eur. J. Mech. A. -2002. 21, N 6. - P. 991-998. - Англ.

209. Horak, V. Inverse Variational Principles of the Non-linear Mechanics of Solids / V. Horak // Proc. 3-rd Conference on Dimensioning. Budapest, 1968. - P. 453462.

210. Horak, V. Inverse Variationsprinzipien der Mechanik fester Korper / V. Horak // Z. angew. Math, und Mech. 1968. - Bd. 48, N 8. - S. 143-146.

211. Horak, V. Inverse variational principles of continuum mechanise / V. Horak // Rozpravy Ceskoslovenske, Alcad. Ved., Rada Tv. 1969. - Vol. 79, N4.-88 pp.

212. Horak, V. Gonvolution Inverse Variational Principles in. the Linear Fracture Thermodynamics of Solids / V. Horak// Acta techn. GSAV. 1972. - Vol. 17, N 3.-P. 301-306.

213. Karafiat, A. On the Shape Optimization^of Plane Elastic Bodies / A. Karafiat // Wissenschafthehe Zeitechift Jahrgang. 1988. - N 12. - P. 131-139.

214. Kim, Yoon Young. Топологическая оптимизация поперечных сечений балки : Topology optimization of beam cross sections / Yoon Young Kim, Tae Soo Kim//Int. J. Solids and Struct. 2000. - 37, N 3. - P. 477-493. - Англ.

215. Kuschel, Norbert. Оптимальное проектирование при зависящих от времени; ограничениях по надежности — Optimal design under time-variant reliability constraints / Norbert Kuschel, Rudiger Raclcwitz // Struct. Safety. 2000. - 22, N 2.-P. 113-127.-Англ.

216. Kwak, В. H. Design Sensitivity Analysis Based on Boundary Integral Equation Method Considering General Shape Variations. Part L For Self-Abjoint Elliptic Operator Problems / В: H; Kwak, J. H. Choi // KSME Journal. 1987.-Vol. 1, N 1.- P. 70-73.

217. Liu, Yi. Топологическая оптимизация обделки тоннеля с использованием способа обратной структурной оптимизации / Yi Liu, Feng Jin II Jisuan lixue xuebao N Chin. J. Comput. Mech,. 2006. - 23, N 6. - P. 659-662. - Кит.; рез. англ.

218. Meric, R. A. Finite elements for an optimal control problem governed by a parabolic equation / R. A. Meric // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1979. - N 14. - P. 624628.

219. Meric, R.A. Finite element and conjugate gradient methods for a non-linear heat transfer control problem / R. A. Meric // Int. J1. Numer. Meth. Eng. 1979. - N 24. -P. 1851-1863.

220. Meric, R. A. Finite element analysis of optimal heating of a slab with temperature dependent thermal conductivity / R. A. Meric // Int. J. Heat Mass. Transfer. -1979.-N22.-P. 1347-1353.

221. Meric, R. A. Boundary integral equation and conjugate gradient methods for optimal boundary heating of solids / R. A. Meric // Int. G. Heat transfer. 1983. - N 26. - P. 261-267.

222. Meric, R. A. Boundary element methods for optimization of distributed systems / R. A. Meric // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. - N 20. - P. 1291-1306.

223. Meric, R. A. Boundary elements for static optimal heating of solids / R. A. Meric // Trans. ASME: G. Heat Transf. 1984. - Vol. 106, N 4. - P. 876-880.

224. Meric, R. A. Optimal boundary traction's for solids with initial strains / R. A. Meric // Trans. ASME: Appl. Mech. 1985. - Vol. 52, N 2. - P. - 363-367.

225. Meric, R. A. Coupled Optimization in Steady State Thermoelacticity / R. A. Meric // J. Therm. Stress. 1985. - N 8. - P. 333-347.

226. Meric, R. A. Augmented function and boundary element methods for sensitivity analysis in optimal loading of solids / R. A. Meric // Bounds Elements 7 Proc. 7th Int. Cont. Villa Olmo, Lake Como, Sept. 1985. Berlin. - 1985. - R. 2. - 13/41-13/47.

227. Meric, R. A. Optimal loading of solids by the boundary element method / R. A. Meric // Int. J. Eng. Sci. 1985. - Vol. 23, N 10. - P. 1101-1111.

228. Meric, R. A. Material and load optimization of thermoelastic solids. Pt. 1. Sensitivity analisis / R. A. Meric // J. Therm. Stress. 1986. - Vol. 9, N 4. - P. 359-372.

229. Meric, R. A. Material and load optimization of thermoelastic solids. Pt. 2. Numerical results / R. A. Meric // J. Therm. Stress. 1986. - Vol. 9, N 4. - P. 373388.

230. Meric R. A. Optimal thermal insulation by the boundary element method / R. A. Meric // Numerical Heat Transfer. 1986. - Vol. 9, N 2. - P. 163-182.

231. Meric, R. A. Material and load optimization by the adjoint variable method / R. A. Meric // Trans. ASME: J. Heat Transfer. 1987. - 109, N 3. - P. 782-784.

232. Meric, R. A. Boundary Elements in Shape Design Sensitivity Analysis of Thermoelastic Solids / R. A. Meric ; Ed. C. A. Mota Soares. Berlin ; Heidelberg : Springer-Verlag, 1987.

233. Meric, R. A. Shape Design Sensitivity Analysis For Non-Linear Anisotropic Heat Conducting Solids and Shape Optimization by the BEM / R. A. Meric // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1988. - Vol. 26. - P. 109120.

234. Meric, R. A. Boundary Elements for Exact and Optimal Shape Inverse Problems / R. A. Meric ; Ed.: C. A. Breddia, N. G. Zamani // Boundary Element Techniques: Applications in Engineering CMP. 1989.

235. Miyamoto, Y. On Study of Shape Optimization of 2-Dimensional Elastic Bodies by BEM. Boundary Elem. Proc. / Y. Miyamoto, S. Iwasaki // 8 th. Int. Conf. -1986.-V. l.-P. 403-412.

236. Mroz, Z. On optimal Force Action and Reaction on Structures / Z. Mroz // Struct. Contr. Proc. Int. IUTAM Symp., Ontario, 1979. Amsterdam, 1980. - P. 523-544

237. Mroz, Z. Sensitivity Analysis and Optimal Design with Account for Varying Shape and Support Conditions / Z. Mroz // Comput. Aided Optim. Des.: Proc. NATO Adv. Study Inst. Troia, June 29-July 11, 1986. Berlin, 1987. - P. 407438.

238. Na, Moon-Soo. Optimal Modification for Two Dimensional Elastic Bodies / Moon-Soo Na, N. Kikuchi, J. TaylovJ/ J. Struct. Mech. - 1983. - Vol. 11, N 1. -P. 111-135.

239. Pavlov, S. P. Finite Element Scheme Based on the Mixed Variation Wording for Biharmonic Problem / S. P. Pavlov, V. A. Krysko // Int. Conf. Optimization of Finite Element Approximations. St.-Petersburg, Russia. - 1995. - P. 65-66.

240. Petersson, Joakim. Оптимальный топологический проект для контактных задач = Optimal topology design for contact problems / Joakin Petersson // 9th Nord. Semin. Comput. Mech., Lyngby, Oct. 25-26, 1996. Lyngby, 1996. - P. 111-114. - Англ.

241. Peng, Xinqian. Оптимальное проектирование по устойчивости сжатого бруса с упругой шарнирной заделкой концов / Xinqian Peng // Huaqiao daxue xuebao. Ziran kexue ban N J. Huaqiao Univ. Natur. Sci. 2002. - 23, N 1. - C. 45-49. - Кит.; рез. англ.

242. Petrik, H. Time derivatives of integrals and fimctionals defined on varying volume and surface domains / H. Petrik, Z. Mroz // Arch. Mech. 1986. - Vol. 38. -P. 697-724.

243. Prager, W. Optimal thermoelastic design for given deflection / W. Prager // Int. J. Mech. Sci. 1970. - Vol. 12, N 8. - P. 705-709.

244. Racke, R. Единственность слабых решений в линейной термоупругости = Uniqueness of weak solutions in linear thermoelasticity / R. Racke // Bull. Pol. Acad. Sci. Tech. Sci. 1986, 34, № 11-12. - P. 613-620. - Англ.

245. Rajan, S. D. A Shape Optimization Approach Loads as Design Variables / S. D. Rajan // AHA /ASME /ASCE/AHS 28 th. Struct. Dyn. and Mater. Conf. 1987. -Vol. l.-P. 587-595.

246. Rao, G. V. Tapered finite elements in the optimality criterion approach / G. V. Rao // AIAA Journal. 1981.-Vol. 19, N2.-P. 250-251.

247. Rizzo, F. G. Advanced boundary integral equation method for three dimensioned thermoelasticity / F. G. Rizzo, D. G. Shihhy // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1977. -Vol. 11. - P. 1753-1768.

248. Saigal S. Boundary Element Implicit Differentiation Equations for Design Sensitivity of Axisymetric Structures. International / S. Saigal, J. T. Borggaard, J. H. Kane // Journal for Solids and Structures. 1989. - Vol. 5, N 5. - P. 527-538.

249. Sakamoto, Yasumoto. Подход к выявлению формы конструкции с учетом жесткости, прочности и веса / Yasumoto Sakamoto, Fusahito Yoshida // Nihon kikai gakkai ronbunshu. A N Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 2001. - 67, N 660. -P. 1305-1311. -Яп.; рез. англ.

250. Sokolnikoff, I. S. Mathematical theory of elasticity /1. S. Sokolnikov. Mc Graw -Hill, 1956.

251. Tai, K. Shape Design and Positioning of Features Using the Boundary Integral Equation Method / K. Tai, R. T. Fenner // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1996. -Vol. 39, N 12.-P. 1985-2003.

252. Taylor J. E. Distributed parameter optimal structural design: some basic problem formulations and their application. Computer Aided Optimal Design / J. E. Taylor // Struct, and Mech. Systems. 1987. - P. 3-85.

253. Treffz, E. Theorie der Stabilitat des elastischen Gleichgewichtz / E. Treffz // ZAMM. 1933. - Bd. 13, N 2. - S. 160-165.

254. Waldman, W. Оптимальные свободные формы боковых выступов на плоских пластинах при растяжении и изгибе = Optimal free-form shapes forshoulder fillets in flat plates under tension and bending / W. Waldman, M. Heller ,i

255. G. X. Chen // Int. J. Fatigue. 2001. - 23, N 6. - P. 509-523.

256. Wheeler, L. On the Role of Constant-Stress Surfaces in the Problem of Minimizing Elastic Stress Concentration / L. Wheeler // Int. J. Solids and Struct. -1976. Vol. 12, N 11. - P. 779-789.

257. Wu, Zhixue. Заимствованный из биологии метод оптимизации конструкции деталей машин / Zhixue Wu // Zhongguo jixie gongcheng N China Mech. Eng.- 2005. 16, N 10. - P. 869-873. - Кит.; рез. англ.

258. Xie, Nenggang. Пылевая многообъектная оптимизация формы арочных плотин / Nenggang Zie, Linsong Sun, Dexin Wang // Jisuan lixue xuebao N Chin. J. Comput. Mech,. 2002. - 19, N 2. - P. 192-194. - Кит.; рез. англ.3

259. Xu Jia-mo. Optimum domain problems governed by a class of PDE / Jia-mo Xu, Jun-an Lu // Lection Notes Mathematic. 1987. - Vol. 1297. - P. 165-170.

260. Yang, R. J. Numerical Consideration in Structural Component Shape Optimization. Trans. ASME / R. J. Yang, К. K. Choi, E. J. Haug // J. Mech. Transmiss. and Autom. Des. 1985. - Vol. 107, N 3. - P. 334-339.

261. Yusuke, Kageyama / Метод поверхностного отклика с использованием иерархических групп / Kageyama Yusuke, Yu Qiang // Nihon kikai gakkai ronbunshu. AN Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 2004. - 70, N 695. - P. 953-961.- Яп.; рез. англ.

262. Zolesio, J-P. The Material Derivative (or speed) Method for Shape Optimization / J-P Zolesio // Optimization of Distributed Parameter Structures (E. Haug, J. Cea, eds.). Sijthoff & Noordhoff, Alphen an den Rijn- Netherlands.- 1981. P. 421443.380