автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и исследование динамических производственных систем на основе окрестностных моделей сетей Петри

На правах рукописи

чг

Седых Ирина Александровна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ОКРЕСТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ СЕТЕЙ ПЕТРИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

- з ДЕК 2009

Елец - 2009

003486978

Работа выполнена на кафедре высшей математики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Липецкий государственный технический университет»

Зашита состоится «14» декабря 2009 года в 1300 на заседании диссертационного совета Д 212.059.03 при Елецком государственном университете им. И.А. Бунина в конференц-зале по адресу: 399770, Липецкая обл., г. Елец, ул. Коммунаров, 28.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина.

Автореферат разослан «^2» ноября 2009 г.

Научный руководитель доктор технических наук, доцент

Шмырин Анатолий Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Сумин Александр Иванович;

кандидат физико-математических наук, доцент

Никитин Борис Егорович

Ведущая организация Воронежский государственный

университет, г. Воронеж

Ученый секретарь диссертационного совета

Щербатых В.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. При разработке моделей динамических производственных систем возникает задача выбора адекватной математической модели, связанная со сложной структурой взаимосвязей между элементами системы, эволюцией объекта во времени, и частичной неопределенностью, проявляющейся в различной реакции объекта на одну и ту же ситуацию в различные моменты времени.

Общие вопросы моделирования были рассмотрены в работах A.A. Самарского, А.П. Михайлова, Б.П. Безручко, Д.А. Смирнова, А.Д. Мышкиса, Б.Я. Советова, С.А. Яковлева и других ученых. Перспективным направлением в моделировании сложных производственных систем являются окрестности ые модели, основные принципы которых изложены в работах C.JI. Блюмина, A.M. Шмырина, A.A. Томилина. Окрестностные модели допускают неоднозначность трактовки характера переменных, отличаются гибкостью описания с помощью окрестностей структуры связей между узлами системы.

Существующие виды окрестностных моделей не позволяют моделировать недетерминированные параллельные процессы, присущие значительной части производственных систем. Успешным средством решения таких задач являются сети Петри, отличающиеся возможностью моделирования параллельных и недетерминированных процессов, наглядностью представления функционирования динамических производственных систем. Значительный вклад в развитие теории сетей Петри внесли: Дж. Питерсон, В.Е. Котов, A.A. Лескин, Е.В. Бодянский, В.В. Васильев, И.А. Ломазова.

Однако следует отметить, что в теории сетей Петри не достаточно рассмотрены существенные для реальных производственных объектов, обладающих неопределенностью параметров и структурных связей, вопросы нечеткости и достижимости с частично заданными параметрами. Указанные вопросы могут быть решены в рамках окрестностных моделей.

В связи с этим, актуальной является разработка и анализ на основе сетей Петри новых классов четких и нечетких недетерминированных динамических окрестностных моделей, обобщающих традиционные и окрестностные динамические дискретные модели, допускающих нечеткий характер значений в узлах и связей между узлами организационно-технической системы, а также разработка алгоритмов идентификации и решение задач достижимости с частично заданными параметрами для этих новых классов моделей.

Тематика диссертационной работы связана с научными направлениями Липецкого государственного технического университета «Исследование и разработка методов и алгоритмов прикладной математики для идентификации технологических и сопровождающих процессов» и «Современные сложные системы управления».

Объектом исследования являются окрестностные модели сетей Петри динамических производственных систем.

Предметом исследования - проявляющиеся в них свойства, в частности недетерминированности, параллельности, неопределенности.

Целью работы является разработка и исследование новых классов окрестностных моделей, полученных на основе сетей Петри, построение окрестностных моделей сетей Петри для динамических производственных систем, разработка алгоритмов параметрической идентификации и решения задач достижимости, комплекса программ для исследования свойств данных моделей и проведения вычислительных экспериментов.

Для реализации этой цели необходимо решить следующие задачи:

- анализ существующих моделей динамических производственных систем; обоснование разработки новых классов окрестностных моделей сетей Петри; разработка методики представления различных классов сетей Петри окрестностными моделями;

- разработка четких и нечетких динамических недетерминированных окрестностных моделей сетей Петри для производственных систем, а также алгоритмов их параметрической идентификации и решения задач достижимости;

- разработка комплекса программ для проведения вычислительных экспериментов по изучению свойств сложной организационно-технической системы цементного производства и анализа получаемых данных;

- сравнение результатов эксперимента, полученных различными моделями, с реальными данными.

Методы исследования. При решении поставленных задач в работе использованы методы математического моделирования, теории сетей Петри, теории нечетких множеств, теории нечетко-окрестностных систем, численные методы, методы вычислительной алгебры, методы и средства функционального и объектно-ориентированного программирования.

Выносятся на защиту следующие основные положения:

- методика представления различных классов четких и нечетких сетей Петри четкими и нечеткими динамическими окрестностными моделями;

- новые классы четких и нечетких недетерминированных динамических окрестностных моделей сетей Петри;

- алгоритм параметрической идентификации окрестностных моделей сетей Петри;

- алгоритмы решения задачи достижимости с частично заданными параметрами и мерой недетерминированности;

- разработка структуры комплекса программ для имитационного моделирования процесса функционирования производственных систем.

Научная новизна работы:

- разработана методика представления различных классов четких и нечетких сетей Петри четкими и нечеткими динамическими окрестностными моделями, отличающаяся установлением соответствия позиций сети Петри и узлов окрестностной модели, а также заменой переходов сети Петри на слои окрестностной модели;

- получены новые классы четких и нечетких недетерминированных динамических окрестностных моделей сетей Петри, отличающиеся совместной нечеткостью по значениям и окрестностным связям между узлами;

- разработан алгоритм параметрической идентификации окрестностных моделей сетей Петри, использующий численные методы и отличающийся послойной идентификацией окрестиостной модели;

- разработаны алгоритмы решения задачи достижимости с частично заданными параметрами, отличающиеся используемым критерием качества и введенной мерой недетерминированности;

- разработана структура комплекса программ для имитационного моделирования процесса функционирования производственных систем, реализующего данные алгоритмы и позволяющего прогнозировать свойства системы при изменении ее структуры и правил функционирования.

Достоверность. Научные результаты работы получены на основе достоверных знаний в области моделирования окрестностных систем и сетей Петри. Проведенные в достаточном объеме вычислительные эксперименты, практическая реализация разработанных окрестностных моделей, алгоритмов и комплекса программ в производственных условиях, сравнительный анализ результатов с производственными данными подтверждают достоверность результатов диссертации.

Практическая значимость. Практическая значимость работы заключается в разработке на основе математического моделирования окрестностных и традиционных моделей в применении к цементному производству, эффективных алгоритмов функционирования динамических систем, а также решение вопросов экологической безопасности.

Предлагаемые математические модели и алгоритмы реализованы в виде комплекса программ на языке программирования С++ и могут использоваться при решении задач теоретического исследования и моделирования сложных динамических систем с целью дальнейшего их применения в организационно-технических системах цементного производства.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 18 печатных работ, из них 8 статей (5 статей в изданиях, рекомендованных ВАК РФ), 7 тезисов докладов в материалах Международных, Всероссийских и вузовских конференций, 3 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателем предложены: в [4, 6, 12] - четкие динамические окрестностные модели четких сетей Петри; в [4, 7] - нечеткие динамические окрестностные модели нечетких сетей Петри; в [1, 8, 9] - новые классы сетей Петри с нечеткой структурой и их представление в виде окрестностных моделей; в [2] - мера недетерминированности окрестностных моделей и алгоритм управления функционированием недетерминированной окрестностной модели на основе задания меры недетерминированности; в [3, 5, 13, 15] - алгоритмы идентификации и управления для различных видов четких и нечетких окрестностных динамических недетерминированных моделей; в [10, 14]

- традиционные, четкие и нечеткие недетерминированные динамические окрестностные модели цементного производства; в [11] - применение окрестностных моделей для решения экологических проблем в производстве цемента; в [16-18] - программы, обеспечивающие разработку четких и нечетких

по значениям и окрестностным связям динамических недетерминированных окрестностных моделей на основе сетей Петри и моделировать функционирование параллельных процессов.

Апробация работы. Материалы работы, её основные теоретические и практические результаты докладывались и обсуждались: на второй Всероссийской научной конференции с международным участием «Нечеткие системы и мягкие вычисления НСМВ-2008» (Ульяновск, 2008); на Российской конференции с международным участием «Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения» УКИ 08 (Москва, 2008); на Второй международной конференции «Управление развитием крупномасштабных систем» MLSD'2008 (Москва, 2008); на Всероссийской научно-практической конференции «Перспективы развития информационных технологий» (Новосибирск, 2008); на конференции Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2009); на 8 Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPR009 (Москва, 2009); на 3 Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2009).

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы рекомендованы к использованию на цементном заводе ЗАО «Липецкцемент», при разработке мероприятий по уменьшению вредных экологических воздействий на здоровье населения, связанных с производством цемента, а также внедрены в учебный процесс ЛГТУ при подготовке инженеров по специальности «Прикладная математика», что подтверждается соответствующими справками.

Работа награждена премией на областном конкурсе научных исследований и разработок учёных Липецкой области, тема № 08157 «Моделирование нечётких сетей Петри окрестностными системами для решения задач экологичного управления цементным производством», 2008 г.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 117 наименований и приложений на 10 страницах. Основная часть работы изложена на 137 страницах машинописного текста, содержит 29 рисунков и 11 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, формулируются цель, задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе сделан обзор общих теоретических положений математического моделирования. Дано определение производственной системы. Проведен анализ различных видов моделей, применяемых для представления производственных систем, в частности окрестностных моделей и сетей Петри. Показаны их достоинства и недостатки. Сделан обзор известных методов идентификации, рассмотрено состояние проблемы идентификации окрестностных

моделей и сетей Петри. На основании результатов выполненного анализа поставлена цель исследований и сформулированы задачи работы.

Во второй главе обобщено понятие четких окрестностных динамических моделей. Предложена схема положения четких сетей Петри в классе четких окрестностных моделей. Рассмотрено моделирование четкой обобщенной и временной сети Петри окрестностными моделями, а также приведен алгоритм параметрической идентификации окрестностных моделей сетей Петри.

Даны постановки задач достижимости с частично заданными параметрами и приведены алгоритмы их решения для различных видов четких динамических недетерминированных окрестностных моделей. Дано понятие меры недетерминированности окрестностной модели, а также приведен алгоритм решения задачи достижимости для окрестностной модели с переменной недетерминированностью и приоритетами слоев.

Рассмотрим представление сети Петри в виде окрестностной модели. Пусть задана сеть Петри С = (Л^,/и0). Поставим в соответствие позициям сети Петри Р = [р,, р2,—, р„} узлы окрестностной модели А = {а,, а2,..., а„}. Маркировки позиций сети Петри будут соответствовать состояниям узлов окрестностной модели, начальная маркировка сети - состоянию окрестностной модели в начальный момент времени: ^[о]=ш0. На каждый узел aí (г' = 1,...,«) окрестностной модели в каждый момент времени / воздействует управляющий сигнал определяющий величину изменения состояния этого узла [5-7].

Все множество связей между узлами А разобьем на т совокупностей окрестностей (слоев) 0[1],<3[2],...,0[тя]. В каждый к -ый слой (к = ],...,т) входят все узлы окрестностной модели А = {а,,аг,...,ап} и часть связей между ними, соответствующая к -му переходу сети Петри. Так х^еОД^] и х[./]еО[ £],[,], если и {(„^¡с? (г = 1] = \,...,п).

Время в окрестностной модели сети Петри равно номеру такта функционирования модели. В каждый момент времени /" = {0,1,2,...,/,...} на основании текущего состояния узлов модели Лф] формируется случайный вектор £> е Л™, состоящий из нулей и одной единицы в позиции, соответствующей выбираемому слою к, по уравнениям которого происходит пересчет состояний узлов окрестностной модели в следующий момент времени г +1.

Уравнение динамической недетерминированной линейной окрестностной модели сети Петри имеет вид:

№ [/+[г+1]]- в ■ х[1+1]=[г], ж; [/]]■ я ■ лг[/]+[^.м; [4 в ■ (1)

где IV* |/ +1 ], - матрицы коэффициентов к -го слоя по состояниям в

моменты времени ( + 1 и ( соответственно, ¡У* [/] - матрица коэффициентов к -го слоя по входам в момент времени t.

Теорема 1. Сеть Петри является недетерминированной динамической окрестностной моделью.

Приведем постановку задачи параметрической идентификации недетерминированной динамической окрестностной модели. Пусть для

окрестностной модели, заданной формулой (1), для каждого к -го слоя (к = ],...,от) полностью определен набор всех x\ant\, v[a,,i] в некоторый текущий момент времени t и +1] в следующий момент времени t + \ (Va, е Л). Таким образом, для каждой ¿-ой системы (1) заданы наборы векторов x\t\, x[t +1], V[t\. Исходные данные для идентификации системы получены в результате функционирования сети Петри. Требуется найти элементы матриц коэффициентов А:-го слоя Wk\t + \\, Wk\t\, Wvk[t]. В связи с особенностями полученной окрестностной модели, идентификация производится для каждого слоя отдельно. Приведем систему (1) для каждого к-го слоя к виду:

AkLk =0, . (2)

где Lk - матрица неизвестных коэффициентов специальной структуры к -го слоя. Число неизвестных коэффициентов в матрице Lk равно 3п1.

Для получения нетривиального решения системы (2) следует задать часть неизвестных матриц Wk [f +1], Wk [i], Wk[t], т.е. решить задачу смешанной идентификации системы. Тогда (2) примет вид:

AkLk=Bk. (3)

Критерий параметрической идентификации:

ЦлЧ'-Я'Ц^пш, (4)

для выполнения которого необходимо найти псевдорешение (3): Ьк=Ак*Вк+(Е-АыАк)у, (5)

где Ак+ - псевдообратная матрица к Ак, Е - единичная матрица, у - вектор с произвольными элементами соответствующей размерности.

Идентификация дает следующие результаты: 1). Все матрицы коэффициентов к-го слоя равны между собой: Wk[i +1] = Wk[i] = Wk[i] = Wk (k = \,...,m); 2). Матрица коэффициентов любого слоя в уравнениях модели совпадает с матрицей смежности этого слоя: Wk =Sk (к = 1,...,«); 3). Вектор V\t\ зависит от выбранного слоя: V\t\= [/?, R2 ... где Rk - к-ый столбец

матрицы R (к = 1,.,.,/я).

Тогда уравнение (1) принимает вид:

[W1 W2 ... ÄJ ... Rm]-D) = 0, (6)

или Z[/ + l]=X[f]+[Ä, R2 ... Rm]-D. , (7)

Схема алгоритма параметрической идентификации окрестностной модели сети Петри, приведена на рис. 1.

Теорема 2. Временная сеть Петри является недетерминированной динамической окрестностной моделью.

Идентификация окрестностной модели временной сети Петри С, = (N,m0,Z), аналогична идентификации окрестностной модели, приведенной выше для сетей Петри. Различия проявляются лишь в том, что каждому к-му слою (к = 1 ,...,т) приписано время его блокировки zk, и уравнение (7) разбивается на два уравнения: в начале и в конце блокировки слоя:

г[т]=Х[Т]-|Й," - л;}в, Лг,[Т]=Л'[Т]+|Й; ... (8)

Рис. 1. Схема алгоритма параметрической идентификации

Управление динамической недетерминированной окрестностной моделью осуществляется вектором О, который определяется на основании условия активности слоя динамической недетерминированной окрестностной модели. Активным считается слой, для которого выполняется условие: х[/]>

В каждый момент времени может быть активно несколько слоев. Пусть в момент времени / активны слои (7[у', ],...,О^], ./,,...,/, е {],...,т}. Тогда в векторе

.О единица может появиться случайным образом только в координатах Таким образом, вектор £) зависит от текущего состояния окрестностной модели:

/> = Д>] =£>(*['])■ (9)

Приведем постановку задачи достижимости с частично заданными параметрами для динамической недетерминированной окрестностной модели сети Петри. Пусть в начальный момент времени функционирования окрестностной модели задано начальное состояние Х[0]. Обозначим ГЛ сумму управляющих воздействий от начального момента времени до текущего, т.е.:

£? = Д0] + Д1] + ... + Дг].

Пусть X* е Л" — состояние окрестностной модели, которого она должна достигнуть в результате функционирования, вектор £>* е Ят - сумма управляющих воздействий, переводящих начальное состояние Л^О] окрестностной модели в состояние X*. Известна часть координат вектора состояний X* и вектора суммы управлений Е) . Требуется определить неизвестные компоненты вектора состояний X* и вектора суммы управлений £>*, а также последовательность управляющих воздействий в каждый момент времени функционирования модели £>[0],С[1],..., переводящих начальное состояние Х[0] в состояние X*.

При решении задачи достижимости с частично заданными параметрами для окрестностной модели может быть использован критерий:

м

л,-а:, .

тт, (10)

где / = 0,...,7'-1; х, [г +1] {}-\,...,Их) - неизвестные компоненты состояния в

момент времени 7 + 1; х' - номинальные значения компонент состояния; N1-

количество заданных компонент состояния X'; е!)г = -

номинальные значения компонент управления; Т- максимальное количество тактов функционирования модели. Номинальные значения и Т могут быть заданы экспертами.

Необходимо получить минимальное значение критерия К{Х[1 + 1],/)г) за заданное количество тактов Т функционирования динамической окрестностной модели. Алгоритм решения задачи достижимости с частично заданными параметрами для динамической недетерминированной окрестностной модели является рекуррентным. На рис. 2 приведена блок-схема основной рекуррентной части алгоритма.

При функционировании недетерминированной окрестностной модели можно ввести ограничение на количество активных слоев, которое позволит варьировать недетерминированность модели в каждый момент времени I.

Назовем мерой недетерминированности окрестностной модели функцию ^: Ф —> [0,1]: У А е Ф ¿(А) = |Л|/|П| = Цт, где С2- множество всех слоев окрестностной модели, Ф - множество всех подмножеств О, включая 0, И — мощность множества А, т - мощность множества О.

Утверждение 1. Ф является а-алгеброй.

Утверждение 2. Мера недетерминированности g обладает свойствами вероятностной меры.

Пусть А0,А„А2... - множества активных слоев недетерминированной окрестностной модели в моменты времени ? = 0,1,2,..., тогда g(A(¡),g(A¡),g(A2).. будем называть мерой недетерминированности g, окрестностной модели соответственно в моменты времени (= 0,1,2,.... Очевидно, чем больше активных слоев в каждый момент времени, тем больше мера недетерминированности

окрестностной модели. Меняя меру недетерминированности, можно регулировать

Рис. 2. Блок-схема основной рекуррентной части алгоритма решения задачи

достижимости

Постановка задачи достижимости с частично заданными параметрами, приоритетами слоев и мерой недетерминированности несколько отличается от приведенной выше. Пусть каждому слою к (к=\,...,т) окрестностной модели экспертами задан приоритет \мк 6 [0,1]. Задана мера недетерминированности модели g. С учетом приоритетов слоев и меры недетерминированности модели требуется определить неизвестные компоненты вектора состояний X' и вектора суммы управлений а также последовательность управляющих воздействий в каждый момент времени функционирования модели Д0],Д1],..., переводящих начальное состояние Л"[0] в состояние X*.

Для решения задачи достижимости для рассматриваемой окрестностной модели может быть использован критерий (10). Необходимо получить минимальное значение критерия К.(Х[1 + 1],Л>/) за заданное количество тактов Т функционирования динамической окрестностной модели с учетом приоритетов слоев и меры недетерминированности.

Постановка задачи достижимости с частично заданными параметрами для динамической недетерминированной окрестностной модели временной сети

Петри аналогична постановке задачи, описанной выше. Обозначим Ох сумму управляющих воздействий от начального момента времени до текущего: От = £>[0] +... + £>[т]. При решении задачи достижимости может быть использован критерий:

м К х. ) у-Ч

• тт, (11)

где те(0,Г]; х, [т] (г = ) - неизвестные компоненты состояния Х[т] в

момент времени т; (/ = 1,...,-координаты вектора От.

Необходимо получить минимальное значение критерия £(ЛГ[т],Ог) за заданное время Т функционирования динамической окрестностной модели.

В третьей главе обобщено определение нечетких окрестностных динамических моделей. Предложена схема положения нечетких сетей Петри в классе нечетких окрестностных моделей. Введены новые классы сетей Петри с нечеткой структурой. Рассмотрено моделирование различных классов нечетких сетей Петри окрестностными моделями. Даны постановки задач достижимости с частично заданными параметрами и приведены алгоритмы их решения для нечетких динамических недетерминированных окрестностных моделей.

Аналогично четким, окрестностными моделями представляются рассмотренные в работе нечеткие сети Петри.

Теорема 3. Нечеткая сеть Петри Сг. является нелинейной нечеткой

недетерминированной динамической окрестностной моделью с нелинейными функциями состояний:

м^.^хШмЛ-о, (12)

где Рк : X х М0 нелинейная функция состояний для к -го слоя, М0 -

множество функций принадлежности ц0.

Теорема 4. Нечеткая сеть Петри с нечеткой структурой Ст/. является

нечеткой недетерминированной динамической окрестностной моделью:

+ = (13)

где (7*: X х Мх х Мв —» Л" - нелинейная функция состояний для А:-го слоя, Мх -множество функций принадлежности .

Временная сеть Петри с нечеткой структурой Си/ представляется в виде

окрестностной модели аналогично временной сети Петри С,, однако матрицы /Г и Я+ заменяются соответственно на матрицы и :

*'Н=*Н-1*1»г - - (14)

Соответственно, окрестностная модель нечеткой временной сети Петри С1Г функционирует по следующим уравнениям:

Х'[т(ы)]=х[т(ш)]-1дг ... л;]д,х'[т(ш)]=*)]+к ... r:\-D, (15)

а окрестностная модель нечеткой временной сети Петри с нечеткой структурой г ■

Ф/ ■

Х'[т(со)] = х[т(со)]+1лц;

(16)

где т(ш) - нечеткое время.

При решении задачи достижимости с частично заданными параметрами для нечетких динамических недетерминированных окрестностных моделей нечетких сетей Петри С} и может быть использован критерий:

К(х{а\1 + 1]„0*) =

,< \2

х(ш);

>>

л,

• Ю1П,

(17)

где / = 0,...,Г-1; х, (со)[/ +1] (¡ = 1,...,МХ) - неизвестные компоненты состояния

Х(со)[? + 1] в момент времени / + 1; х(со)( - номинальные значения компонент

состояния; Их- количество заданных компонент состояния Х(<м) ; dtJ

(у = 1,-..,А^лэ) -координаты вектора £>/; — номинальные значения компонент

управления; Г- максимальное количество тактов функционирования модели. Номинальные значения и Г могут быть заданы экспертами.

Постановка и алгоритм решения задачи достижимости с частично заданными параметрами для нечеткой окрестностной модели временной сети Петри с нечеткой структурой С^ совпадают с постановкой задачи и алгоритмом

для окрестностной модели временной сети Петри С,.

Постановка задачи достижимости с частично заданными параметрами для динамических недетерминированных окрестностных моделей нечеткой временной сети Петри С(Г и нечеткой временной сети Петри с нечеткой

структурой Сф/ аналогична постановке задачи для окрестностной модели сети Петри.

Обозначим £>т(ш) сумму управляющих воздействий от начального момента времени до текущего, т.е.: £>т(со) = ДО] + ...+ Дт(со)].

При решении задачи достижимости с частично заданными параметрами может быть использован критерий:

.АГхЛтН-хП 2 К. + у

Н < 1 >1

> тш,

(18)

где т(ш)е(0,Г(со)]; Т(ш) - ограничение нечеткого времени функционирования модели. Номинальные значения и Г(оз) могут быть заданы экспертами.

Необходимо получить минимальное значение критерия за

заданное нечеткое время Г(ю) функционирования динамической окрестностной модели.

Алгоритм решения задачи достижимости для рассматриваемой нечеткой окрестностной модели аналогичен алгоритму для окрестностной модели временной сети Петри С,. Следует только учесть, что время блокировок слоев и время функционирования модели являются нечеткими.

В четвертой главе дано описание цементного производства как сложной производственной системы. Рассмотрены традиционные модели данной системы, а также четкие и нечеткие недетерминированные динамические окрестностные модели четких и нечетких сетей Петри. Произведено сравнение рассмотренных моделей по степени адекватности модельных значений годового производства цемента фактическим данным. На основе построенных моделей разработан комплекс программ для планирования мероприятий по модернизации производства.

Производство цемента является сложной производственной системой. В упрощенном варианте систему цементного производства можно рассматривать как совокупность шести крупных узлов: 1 - «вход системы», 2 - «помол сырья», 3 - «обжиг», 4 - «помол клинкера», 5 - «отгрузка цемента», 6 - «экология».

Связь между подсистемами представлена в виде схемы на рис. 3. Каждый узел на рис. 3 состоит из совокупности агрегатов и складов.

Анализ работы цементного производства показал, что по значению коэффициента корреляции (|г|>0,6) существенным фактором по влиянию на выпуск продукции является коэффициент загрузки оборудования (г =0,996). Для каждой вращающейся печи и цементной мельницы были построены регрессионные модели зависимости выпуска продукции от коэффициента загрузки оборудования х[2].

Соединив вместе регрессионные модели для всех вращающихся печей и мельниц, получаем общие регрессионные модели выработки клинкера и цемента за месяц. Заметим, что в приведенных ниже моделях второй индекс соответствует номеру агрегата на рис. 4.

Общая регрессионпая модель выработки клинкера за месяц:

/>„ = -2995,23 + 25667,79 • х[2,7] + 24278,66 • х[2,8] + ' . .

+ 63731,57-.х[2,13], где Ри — выпуск клинкера по модели.

Общая регрессионная модель выпуска цемента за месяц:

Рч = 2684,24 + 24513,43 • *[2,14] + 24873,54 • х[2,15] +

+ 24527,55 • х[2,16] + 24169,68 • х[2,17] + 26957,45 ■ х[2,18] + (20)

+ 30177,51 • х[2,19] + 27840,72 • х[2,20], где Р - выпуск цемента по модели.

Приведенные выше модели являются статическими. Они позволяют оценить выпуск продукции для каждого агрегата в отдельности, но не позволяют учесть взаимодействие агрегатов в процессе производства. Для учёта межагрегатного взаимодействия возникает необходимость в построении динамической модели всего производственного процесса в целом.

Рис. 3. Укрупненная схема цементного производства

В качестве первичного инструмента для построения модели цементного производства использованы временные сети Петри, к основным достоинствам которых относится высокая наглядность математической модели, динамическое отражение состояний моделируемой системы и возможность анализа свойств полученной модели. На рис. 4 приведена структура временной сети Петри, представляющей схему цементного производства ЗАО «Липецкцемент».

Рис. 4. Сеть Петри, представляющая схему цементного производства

После разработки модели временной сети Петри для цементного производства сети' Петри был осуществлен переход к четким и нечетким динамическим недетерминированным окрестностным моделям.

Для разработанных моделей решена задача достижимости фактических значений выпуска клинкера и цемента с использованием критерия:

р; - р

V

р1'

(21)

где п - количество измерений; Р'кл -г-ое значение выпуска клинкера по модели, т; Р* - г-ое значение фактического выпуска клинкера, т; Р^ - г-ое значение выпуска цемента, т; Р* - г -ое значение фактического выпуска цемента, т.

Адекватность разработанных моделей оценивается по значению средней

относительной ошибки:

р' -Р''

к

К - Р','

р:

■100%,

■100%.

(22)

(23)

Результаты сравнения традиционной и окрестностных моделей приведены в таблице 1.

Таблица 1

Сравнение традиционной и окрестностных моделей выпуска клинкера и __цемента _

Показатели Традиционная Окрестностные

Четкая Нечеткая по значениям Нечеткая по окрестности Нечеткая по значениям и окрестности

к(Р.„Р„)-т 3,109 0,207 0,205 0,115 0,115

А» 2,203 0,090 0,089 0,031 0,032

Л 1,910 0,172 0,171 0,104 0,104

Из таблицы 1 видно, что четкая окрестностная модель обеспечивает лучший результат по сравнению с традиционной моделью в смысле рассмотренного критерия качества (21) и средних относительных ошибок. Кроме того, введение нечеткости окрестности значительно улучшает адекватность четкой окрестностной модели. Введение нечеткости по значениям не приносит существенных результатов.

Анализ разработанных моделей реального производственного процесса показал, что вращающиеся печи являются узким местом рассматриваемого цементного производства. То есть, при увеличении производительности существующих вращающихся печей и сохранении производительности остальных агрегатов возможно значительное повышение объема выпуска продукции.

По полученным данным, при модернизации одной из вращающихся печей, возможно увеличение ее производительности до 100% от имеющейся мощности. Построим математические модели цементного производства с постепенным увеличением производительности печи и выясним предел увеличения выпуска продукции цементного производства при существующих мощностях остальных агрегатов. По полученным результатам для моделирования выбрана нечеткая по связям окрестностная модель цементного производства.

Результаты увеличения производительности вращающейся печи представлены в таблице 2. В таблице А - абсолютное отклонение объема производства от текущего, т.; б - относительное отклонение объема производства от текущего, %.

Таблица 2

Результаты увеличения производительности печи_

Произв-ть, % Клинкер Цемент

Объем, т А, т. 6,% Объем,т А, т. 5,%

100 1 116 572 - - 1 483 175 - -

110 1 177 653 61 081 5,47 1 683 933 200 758 13,54

120 1 239 328 122 756 10,99 1 771 183 288 008 19,42

130 1 300 534 183 962 16,48 1 858 455 375 280 25,3

140 1 361615 245 043 21,95 1 927 623 444 448 29,97

150 1 421 977 305 405 27,35 1 927 623 444 448 29,97

160 1 483 673 367 101 32,88 1 927 623 444 448 29,97

По таблице 2 видно, что увеличивать мощность вращающейся печи при сохранении производительности остального оборудования имеет смысл только до

40%. При дальнейшем увеличении производительности мощности цементных мельниц не хватает для переработки всего объема производимого клинкера.

Для планирования мероприятий по модернизации производства на основе построенных моделей разработан комплекс программ, позволяющий оценить годовое производство цемента при изменении состава и технических характеристик оборудования.

Данный комплекс может применяться для моделирования работы и других сложных промышленных объектов, представленных в виде совокупности узлов (подсистем) и характеризующихся наличием большого количества связей, а в образовательном процессе - для моделирования сложных объектов в рамках курсового и дипломного проектирования.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по исследованию, проведенному в работе.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана методика представления различных классов четких и нечетких сетей Петри четкими и нечеткими динамическими окрестностными моделями, отличающаяся установлением соответствия позиций сети Петри и узлов окрестностной модели, а также заменой переходов сети Петри на слои окрестностной модели.

2. Получены новые классы четких и нечетких недетерминированных динамических окрестностных моделей сетей Петри, отличающиеся совместной нечеткостью по значениям и окрестностным связям между узлами.

3. Разработан алгоритм параметрической идентификации окрестностных моделей сетей Петри, использующий численные методы и отличающийся послойной идентификацией окрестностной модели.

4. Разработаны алгоритмы решения задачи достижимости с частично заданными параметрами, отличающиеся используемым критерием качества и введенной мерой недетерминированности.

5. Разработана структура комплекса программ для имитационного моделирования процесса функционирования производственных систем, реализующего данные алгоритмы и позволяющего прогнозировать свойства производственной системы при изменении ее структуры и правил функционирования.

6. Получены традиционные, а также четкие и нечеткие недетерминированные динамические окрестностные модели сетей Петри для цементного производства ЗАО «Липецкцемент». Проведенный сравнительный анализ модельных данных с реальными доказывает адекватность полученных моделей.

7. С помощью разработанных моделей проведены вычислительные эксперименты с целью расчета объема выпуска продукции, в том числе произведен прогноз выпуска продукции при изменении текущей мощности оборудования.

Основные положения диссертационной работы изложены в публикациях

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикаций результатов

диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук:

1. Седых, И.А. Нечеткие сети Петри как окрестностные системы / C.JI. Блюмин, A.M. Шмырин, И.А. Седых // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - №3.2(33). - С. 233 - 238.

2. Седых, И.А. Сети Петри с переменной недетерминированностыо как окрестностные системы / С.Л. Блюмин, A.M. Шмырин, И.А. Седых // Системы управления и информационные технологи. - 2008. - №3.2(33). - С. 228 - 233.

3. Седых, И.А. Алгоритмы идентификации . и управления функционированием окрестностных систем, полученных на основе сетей Петри / A.M. Шмырин, И.А. Седых // Управление большими системами. - Вып. 24. - М.: ИПУ РАН, 2009. -С. 18-33.

4. Седых, И.А. Классы окрестностных систем, полученных на основе сетей Петри / А.М. Шмырин, И.А. Седых // Вестник ТГУ. Сер. Естественные и технические науки. - Тамбов, 2009. - Т. 14, вып. 4. - С. 840 - 841.

5. Седых, И.А. Смешанное управление динамическими недетерминированными окрестностными моделями сетей Петри / И.А. Седых // Системы управления и информационные технологии,- 2009.— №1.3(35).— С. 401 -404.

Другие гадания:

6. Седых, И.А. Идентификация линейных окрестностных систем, представляющих сети Петри / A.M. Шмырин, И.А. Седых // Перспективы развития информационных технологий: сб. материалов 1 Всероссийской науч.-пр. конф. - Новосибирск: ЦРНС, СИБПРИНТ, 2008. - С. 91 - 97.

7. Седых, И.А. Моделирование нечётких сетей Петри окрестностными системами / С.Л. Блюмин, A.M. Шмырин, И.А. Седых // Нечеткие системы и мягкие вычисления (НСМВ-2008): сб. науч. тр. второй Всероссийской научной конференции с международным участием - Ульяновск: УлГТУ, 2008. - С. 96 — 104.

8. Седых, И.А. Моделирование нечётких сетей Петри с нечёткой структурой окрестностными системами / С.Л. Блюмин, A.M. Шмырин, И.А. Седых // Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения (УКИ 08): сб. тр. Российской конф. с междунар. участием, - № 0202. - М.: ИПУ, 2008. - С. 207 - 214.

9. Седых, И.А. Нечёткие по состояниям и структуре сети Петри как разновидность окрестностных систем / A.M. Шмырин, И.А. Седых // Информационные технологии моделирования и управления. Вып. 5 - Воронеж: Научная книга, 2008. - С. 553 - 558.

10. Седых, И.А. Окрестностные модели в производстве цемента / A.M. Шмырин, И.А. Седых // Современные проблемы информатизации в проектировании и информационных системах: сб. тр.- Вып. 14. - Воронеж: Научная книга, 2009. - С. 442 - 443.

11. Седых, И.А. Применение окрестностных моделей для решения экологических проблем в производстве цемента / А.М. Шмырин, И.А. Седых // Современные методы теории функций и смежные проблемы: матер, конф. Воронежской зимней математической школы. - Воронеж: ВГУ, 2009,- С. 193 — 194.

12. Седых, И.А. Сети Петри как окрестностные системы со специальными ограничениями / C.JI. Блюмин, A.M. Шмырин, И.А. Седых // Идентификация систем и задачи управления: тр. 8 междунар. конф. S1CPRO-09. М.: ИПУ, 2009. -№5206.-С. 1550- 1558.

13. Седых, И.А. Смешанное управление нечёткими окрестностными системами, полученными на основе нечётких сетей Петри / A.M. Шмырин, И.А. Седых, Л.Д. Арестова // Информационные технологии моделирования и управления. - 2009. - №1. - С. 92 - 97.

14. Седых, И.А. Управление производством цемента на основе окрестностных и традиционных моделей / A.M. Шмырин, И.А. Седых // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: матер. 3 междунар. науч. конф. 4.2. - Воронеж: Научная книга, 2009.-С. 68-70.

15. Седых, И.А. Управление развитием крупномасштабных систем на основе окрестностных моделей сетей Петри / С.Л. Блюмин, A.M. Шмырин, И.А. Седых // Управление развитием крупномасштабных систем MLSD'2008: матер, второй междунар. конф. Т. 1. - М.: ИПУ, РАН, 2008. - С. 206 - 209.

16. Седых, И.А. Программа «Идентификация и управление нечеткими окрестностными моделями, построенными на основе нечетких сетей Петри» / A.M. Шмырин, И.А. Седых // Зарегистр. в ГКЦИТ №50200900008 от 23.12.2008.

17. Седых, И.А. Программа «Идентификация и управление четкими окрестностными моделями, построенными на основе сетей Петри» / A.M. Шмырин, И.А. Седых // Зарегистр. в ГКЦИТ №50200900009 от 23.12.2008.

18. Седых, И.А. Программа «Предварительное исследование модели сети Петри перед преобразованием в окрестностную» / А.М. Шмырин, И.А. Седых // Зарегистр. в ГКЦИТ №50200900011 от 23.12.2008.

Подписано в печать 10.11.2009. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Зак. №

Полиграфическое подразделение издательства Липецкого государственного технического университета 398600, Липецк, ул. Московская, 30.

Введение.

Глава 1. Математическое моделирование производственных систем.

1.1. Математическое моделирование. Классификация математических моделей.

1.2. Производственная система.

1.3. Окрестностные модели.

1.4. Сети Петри.

1.4.1. Базовый формализм классических сетей Петри. Область применения.

1.4.2. Некоторые разновидности сетей Петри.

1.5. Идентификация как метод построения моделей.

1.6. Постановка задач исследования.

Глава. 2. Четкие динамические недетерминированные окрестностные модели сетей Петри.

2.1. Сети Петри в классе четких окрестностных моделей.

2.2. Моделирование четких сетей Петри окрестностными моделями.

2.2.1. Моделирование обобщенной маркированной сети Петри окрестностной моделью.

2.2.2. Представление временной сети Петри в виде окрестностной модели.

2.3. Идентификация окрестностной модели сети Петри.

2.3.1. Постановка задачи идентификации.

2.3.2. Алгоритм параметрической идентификации.

2.3.3. Результаты идентификации.

2.3.4. Пример идентификации окрестностной модели сети Петри.

2.4. Задача достижимости для динамических недетерминированных окрестностных моделей с частично заданными параметрами.

2.4.1. Динамическая недетерминированная окрестностная модель обобщенной маркированной сети Петри.

2.4.2. Динамическая недетерминированная окрестностная модель с заданной недетерминированностью.

2.4.3. Динамическая недетерминированная окрестностная модель временной сети Петри.

Глава 3. Нечеткие динамические недетерминированные окрестностные модели нечетких сетей Петри.

3.1. Нечеткие сети Петри в классе нечетких окрестностных моделей.

3.2. Классы нечетких сетей Петри.

3.2.1. Нечеткая сеть Петри с нечеткой структурой Csf.

3.2.2. Временная сеть Петри с нечеткой структурой Ctsf.

3.2.3. Нечеткая временная сеть Петри Ctf.

3.2.4. Нечеткая временная сеть Петри с нечеткой структурой Ctfsf

3.3. Нечеткие динамические недетерминированные окрестностные модели нечетких сетей Петри.

3.4. Обобщение понятия «нечеткой структуры» для окрестностных моделей.

3.5. Задача достижимости с частично заданными параметрами для нечетких динамических недетерминированных окрестностных моделей.

3.5.1. Нечеткая окрестностная модель нечеткой сети Петри Cf.

3.5.2. Нечеткая окрестностная модель нечеткой сети Петри Csf.

3.5.3. Нечеткая окрестностная модель нечеткой временной сети Петри Ctf.

3.5.4. Нечеткие окрестностные модели временной сети Петри с нечеткой структурой Ctsf и нечеткой временной сети Петри с нечеткой структурой Ctfsf.

Глава 4. Разработка окрестностных моделей цементного производства.

4.1. Описание цементного производства как сложной производственной системы.

4.2. Модели цементного производства.

4.2.1. Традиционные модели цементного производства.

4.2.2. Построение окрестностных моделей цементного производства на основе сетей Петри.

4.3. Сравнение традиционных, четких и нечетких окрестностных моделей цементного производства.

4.4. Исследование развития цементного производства при увеличении производительности оборудования.

4.5. Экологические аспекты работы цементного производства.

4.6. Разработанный программный комплекс.

4.6.1. Предварительное исследование модели сети Петри перед преобразованием в окрестностную.

4.6.2. Идентификация и управление четкими окрестностными моделями, построенными на основе сетей Петри.

4.6.3. Идентификация и управление нечеткими окрестностными моделями, построенными на основе нечетких сетей Петри.

Актуальность работы. При разработке моделей динамических производственных систем возникает задача выбора адекватной математической модели, связанная со сложной структурой взаимосвязей между элементами системы, эволюцией объекта во времени, и частичной неопределенностью, проявляющейся в различной реакции объекта на одну и ту же ситуацию в различные моменты времени.

Общие вопросы моделирования были рассмотрены в работах А.А. Самарского, А.П. Михайлова, Б.П. Безручко, Д.А. Смирнова, А.Д. Мышкиса, Б.Я. Советова, С.А. Яковлева и других ученых. Перспективным направлением в моделировании сложных производственных систем являются окрестностные модели, основные принципы которых изложены в работах C.JL Блюмина, A.M. Шмырина, А.А. Томилина. Окрестностные модели допускают неоднозначность трактовки характера переменных, отличаются гибкостью описания с помощью окрестностей структуры связей между узлами системы.

Существующие виды окрестностных моделей не позволяют моделировать недетерминированные параллельные процессы, присущие значительной части производственных систем. Успешным средством решения таких задач являются сети Петри, отличающиеся возможностью моделирования параллельных и недетерминированных процессов, наглядностью представления функционирования динамических производственных систем. Значительный вклад в развитие теории сетей Петри внесли: Дж. Питерсон, В.Е. Котов, А.А. Лескин, Е.В. Бодянский, В.В. Васильев, И.А. Ломазова.

Однако следует отметить, что в теории сетей Петри не достаточно рассмотрены существенные для реальных производственных объектов, обладающих неопределенностью параметров и структурных связей, вопросы нечеткости и достижимости с частично заданными параметрами. Указанные вопросы могут быть решены в рамках окрестностных моделей.

В связи с этим, актуальной является разработка и анализ на основе сетей Петри новых классов четких и нечетких недетерминированных динамических окрестностных моделей, обобщающих традиционные и окрестностные динамические дискретные модели, допускающих нечеткий характер значений в узлах и связей между узлами организационно-технической системы, а также разработка алгоритмов идентификации и решение задач достижимости с частично заданными параметрами для этих новых классов моделей.

Тематика диссертационной работы связана с научными направлениями Липецкого государственного технического университета «Исследование и разработка методов и алгоритмов прикладной математики для идентификации технологических и сопровождающих процессов» и «Современные сложные системы управления».

Объектом исследования являются окрестностные модели сетей Петри динамических производственных систем.

Предметом исследования - проявляющиеся в них свойства, в частности недетерминированности, параллельности, неопределенности.

Целью работы является разработка и исследование новых классов окрестностных моделей, полученных на основе сетей Петри, построение окрестностных моделей сетей Петри для динамических производственных систем, разработка алгоритмов параметрической идентификации и решения задач достижимости, комплекса программ для исследования свойств данных моделей и проведения вычислительных экспериментов.

Для реализации этой цели необходимо решить следующие задачи: анализ существующих моделей динамических производственных систем; обоснование разработки новых классов окрестностных моделей сетей Петри; разработка методики представления различных классов сетей Петри окрестностными моделями; разработка четких и нечетких динамических недетерминированных окрестностных моделей сетей Петри для производственных систем, а также алгоритмов их параметрической идентификации и решения задач достижимости;

- разработка комплекса программ для проведения вычислительных экспериментов по изучению свойств сложной организационно-технической системы цементного производства и анализа получаемых данных;

- сравнение результатов эксперимента, полученных различными моделями, с реальными данными.

Методы исследования. При решении поставленных задач в работе использованы методы математического моделирования, теории сетей Петри, теории нечетких множеств, теории нечетко-окрестностных систем, численные методы, методы вычислительной алгебры, методы и средства функционального и объектно-ориентированного программирования.

Выносятся на защиту следующие основные положения:

- методика представления различных классов четких и нечетких сетей Петри четкими и нечеткими динамическими окрестностными моделями;

- новые классы четких и нечетких недетерминированных динамических окрестностных моделей сетей Петри;

- алгоритм параметрической идентификации окрестностных моделей сетей Петри;

- алгоритмы решения задачи достижимости с частично заданными параметрами и мерой недетерминированности;

- разработка структуры комплекса программ для имитационного моделирования процесса функционирования производственных систем.

Научная новизна работы:

- разработана методика представления различных классов четких и нечетких сетей Петри четкими и нечеткими динамическими окрестностными моделями, отличающаяся установлением соответствия позиций сети Петри и узлов окрестностной модели, а также заменой переходов сети Петри на слои окрестностной модели;

- получены новые классы четких и нечетких недетерминированных динамических окрестностных моделей сетей Петри, отличающиеся совместной нечеткостью по значениям и окрестностным связям между узлами;

- разработан алгоритм параметрической идентификации окрестностных моделей сетей Петри, использующий численные методы и отличающийся послойной идентификацией окрестностной модели;

- разработаны алгоритмы решения задачи достижимости с частично заданными параметрами, отличающиеся используемым критерием качества и введенной мерой недетерминированности;

- разработана структура комплекса программ для имитационного моделирования процесса функционирования производственных систем, реализующего данные алгоритмы и позволяющего прогнозировать свойства системы при изменении ее структуры и правил функционирования.

Достоверность. Научные результаты работы получены на основе достоверных знаний в области моделирования окрестностных систем и сетей Петри. Проведенные в достаточном объеме вычислительные эксперименты, практическая реализация разработанных окрестностных моделей, алгоритмов и комплекса программ в производственных условиях, сравнительный анализ результатов с производственными данными подтверждают достоверность результатов диссертации.

Практическая значимость. Практическая значимость работы заключается в разработке на основе математического моделирования окрестностных и традиционных моделей в применении к цементному производству, эффективных алгоритмов функционирования динамических систем, а также решение вопросов экологической безопасности.

Предлагаемые математические модели и алгоритмы реализованы в виде комплекса программ на языке программирования С*4 и могут использоваться при решении задач теоретического исследования и моделирования сложных динамических систем с целью дальнейшего их применения в организационно-технических системах цементного производства.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 18 печатных работ, из них 8 статей (5 статей в изданиях, рекомендованных ВАК РФ), 7 тезисов докладов в материалах Международных, Всероссийских и вузовских конференций, 3 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Апробация работы. Материалы работы, её основные теоретические и практические результаты докладывались и обсуждались: на второй Всероссийской научной конференции с международным участием «Нечеткие системы и мягкие вычисления НСМВ-2008» (Ульяновск, 2008); на Российской конференции с международным участием «Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения» УКИ 08 (Москва, 2008); на Второй международной конференции * «Управление развитием крупномасштабных систем» MLSD'2008 (Москва, 2008); на Всероссийской научно-практической конференции «Перспективы развития информационных технологий» (Новосибирск, 2008); на конференции Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2009); на 8 Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO-09 (Москва, 2009); на 3 Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2009).

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы рекомендованы к использованию на цементном заводе ЗАО «Липецкцемент», при разработке мероприятий по уменьшению вредных экологических воздействий на здоровье населения, связанных с производством цемента, а также внедрены в учебный процесс ЛГТУ при подготовке инженеров по специальности «Прикладная математика», что подтверждается соответствующими справками.

Работа награждена премией на областном конкурсе научных исследований и разработок учёных Липецкой области, тема № 08157

Моделирование нечётких сетей Петри окрестностными системами для решения задач экологичного управления цементным производством», 2008 г.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 117 наименований и приложений на 10 страницах. Основная часть работы изложена на 137 страницах машинописного текста, содержит 29 рисунков и 11 таблиц.

Выводы по главе

В данной главе получены следующие результаты:

1. Приведено описание цементного производства как сложной производственной системы. Оценена информативность существенных характеристик.

2. Рассмотрены традиционные, а также четкие и нечеткие недетерминированные динамические окрестностные модели цементного производства четких и нечетких сетей Петри.

3. Произведена адаптация рассмотренных моделей по фактическим данным.

4. Проведено сравнение разработанных моделей. Сравнительные результаты представлены в таблице 4.4. Из таблицы 4.4 видно, что относительное отклонение данных, полученных по традиционной модели, от фактических по выпуску клинкера и цемента соответственно составляет 2,203% и 1,910%; по четкой окрестностной и нечеткой по значениям моделям — 0,090% и 0,172%>; по нечеткой по окрестности и нечеткой по значениям и окрестности -0,031% и 0,104%.

Проведенный сравнительный анализ модельных данных с реальными доказывает адекватность полученных моделей.

Минимальные значения критерия качества (4.9) равны: для традиционной модели - 3,109, для четкой окрестностной модели — 0,207, для нечеткой по значениям окрестностной модели — 0,205, для нечеткой по окрестности — 0,115, для нечеткой по значениям и окрестности — 0,115.

Таким образом, четкая окрестностная модель обеспечивает лучший результат по сравнению с традиционной моделью в смысле рассмотренного критерия качества (4.9) и средних относительных ошибок. Кроме того, введение нечеткости окрестности значительно улучшает адекватность четкой окрестностной модели. Введение нечеткости по значениям не приносит существенных результатов.

5. Проведено исследование развития цементного производства при увеличении производительности вращающейся печи №3 по нечеткой по окрестности модели. Результаты исследования приведены в таблице 4.5, из которой видно, что увеличивать мощность вращающейся печи №3 при сохранении производительности остального оборудования имеет смысл только до 40%. При дальнейшем увеличении производительности печи №3 мощности цементных мельниц не хватает для переработки всего объема производимого клинкера.

6. Приведено описание комплекса программ, используемого для моделирования процесса функционирования цементного производства ЗАО «Липецкцемент» и позволяющего прогнозировать выпуск продукции при изменении текущей мощности оборудования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате рассмотрения проблем моделирования динамических производственных систем в работе осуществлена постановка и решение следующих задач:

1. Разработана методика представления различных классов четких и нечетких сетей Петри четкими и нечеткими динамическими окрестностными моделями, отличающаяся установлением соответствия позиций сети Петри и узлов окрестностной модели, а также заменой переходов сети Петри на слои окрестностной модели.

2. Получены новые классы четких и нечетких недетерминированных динамических окрестностных моделей сетей Петри, отличающиеся совместной нечеткостью по значениям и окрестностным связям между узлами.

3. Разработан алгоритм параметрической идентификации окрестностных моделей сетей Петри, использующий численные методы и отличающийся послойной идентификацией окрестностной модели.

4. Разработаны алгоритмы решения задачи достижимости с частично заданными параметрами, отличающиеся используемым критерием качества и введенной мерой недетерминированности.

5. Разработана структура комплекса программ для имитационного моделирования процесса функционирования производственных систем, реализующего данные алгоритмы и позволяющего прогнозировать свойства производственной системы при изменении ее структуры и правил функционирования.

6. Получены традиционные, а также четкие и нечеткие недетерминированные динамические окрестностные модели сетей Петри для цементного производства ЗАО «Липецкцемент». Проведенный сравнительный анализ модельных данных с реальными доказывает адекватность полученных моделей.

7. С помощью разработанных моделей проведены вычислительные эксперименты с целью расчета объема выпуска продукции, в том числе произведен прогноз выпуска продукции при изменении текущей мощности оборудования.

1. Алексеев, Б.В. Технология производства цемента / Б.В. Алексеев. М.: Высшая школа, 1980. - 266 с.

2. Аттетков, А.В. Методы оптимизации / А.В. Аттетков, С.В. Галкин,

3. B.C. Зарубин. М.: МГТУ им.Н.Э. Баумана, 2003. - 440 с.

4. Башкин, В.А. О языках вложенных рекурсивных сетей Петри /

5. B.А. Башкин, И.А. Ломазова // Интеллектуальное управление: новые интеллектуальные технологии в задачах управления (ICIT'99): сб. тр. междунар. конф. 6-9 декабря 1999 г.- Переславль-Залесский, 1999.1. C. 3-7.

6. Безручко, Б.П. Математическое моделирование и хаотические временные ряды / Б.П. Безручко, Д.А. Смирнов. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005. - 320 с.

7. Блюмин, C.JI. Алгоритм управления симметричными системами / C.JI. Блюмин, A.M. Шмырин, Д.А. Шмырин // Современные проблемы информатизации: тез. докл. II Республиканской электронной научн. конф. Воронеж: ВПУ, 1997. - С. 56 - 57.

8. Блюмин, C.JI. Алгоритмы смешанного управления симметричными системами / C.JI. Блюмин, A.M. Шмырин, Д.А. Шмырин // Современные сложные системы управления: Международная научно-техническая конференция. Липецк: ЛГТУ, 2002. - С. 23-26.

9. Идентификация систем и задачи управления: тр. 4 междунар. конф. SICPRO-05. М.: ИЛУ, 2005. - С. 343 - 351.

10. Блюмин, СЛ. Методика моделирования организационной структуры при помощи симметричных окрестностных моделей / СЛ. Блюмин, А.А. Томилин // Управление большими системами. Вып. 17. М.: ИЛУ РАН, 2007. - С.29 - 39.

11. Блюмин, СЛ. Моделирование полилинейных окрестностных систем / СЛ. Блюмин, A.M. Шмырин // Системы управления и информационные технологии. 2005. - №1. - С. 4 - 7.

12. Блюмин, СЛ. Нечеткие сети Петри как окрестностные системы / C.JI. Блюмин, A.M. Шмырин, И.А. Седых // Системы управления и информационные технологии. 2008. - №3.2(33). - С. 233 - 238.

13. Блюмин, СЛ. Окрестностные системы / СЛ. Блюмин, A.M. Шмырин. -Липецк: ЛЭГИ, 2005. 132 с.

14. Блюмин, СЛ. Оптимальное управление смешанными окрестностными системами / СЛ. Блюмин, A.M. Шмырин // Современные методы теории функций и смежные проблемы: тез. докл. Воронежской зимней матем. школы. Воронеж: ВГУ, 1999. - С. 42.

15. Блюмин, С.Л. Основные свойства сетей Петри как окрестностных систем / СЛ. Блюмин, A.M. Шмырин, И.А. Седых // Современныеметоды теории краевых задач (Понтрягинские чтения XIX): матер. Воронежской весенней матем. школы. - Воронеж, 2008. - С. 48 - 49.

16. Блюмин, СЛ. Представления нелинейных нечетко-окрестностных систем / C.J1. Блюмин, A.M. Шмырин, О.А. Шмырина // Проблемы управления. 2005. - №2. - С. 37 - 40.

17. Блюмин, СЛ. Псевдообращение: учеб. пособие / СЛ. Блюмин, С.П. Миловидов. Липецк: ЛГТУ, 1990. - 63 с.

18. Блюмин, СЛ. Сети Петри как окрестностные системы со специальными ограничениями / СЛ. Блюмин, A.M. Шмырин, И.А. Седых // Идентификация систем и задачи управления: тр. 8 междунар. конф. SICPRO-09. М.: ИПУ, 2009. -№5206. С. 1550 - 1558.

19. Блюмин, СЛ. Сети Петри с переменной недетерминированностью как окрестностные системы / СЛ. Блюмин, A.M. Шмырин, И.А. Седых // Системы управления и информационные технологи. 2008. -№3.2(33).-С. 228-233.

20. Блюмин, СЛ. Симметричные, смешанные и билинейные окрестностные модели / СЛ. Блюмин, О.А. Шмырина // Экономика и управление, математика: сб. науч. тр. Липецк: ЛЭГИ, 2002. - С. 44 - 48.

21. Блюмин, С Л. Смешанное управление смешанными системами: учебное пособие / СЛ. Блюмин, A.M. Шмырин, Д.А. Шмырин. Липецк: ЛГТУ, 1998.-80 с.

22. Бодянский, Е.В. Нейро-фаззи сети Петри в задачах моделирования сложных систем. / Е.В. Бодянский, Е.И. Кучеренко, А.И. Михалев. -Днепропетровск: Системные технологии, 2005. — 311 с.

23. Будинас, Б.Л. Разрешимость проблемы достижимости для сетей Петри (обзор проблемы) / Б.Л. Будинас // Автоматика и телемеханика. 1988. -№11.-С. 3-39.

24. Васильев, В.В. Сети Петри: параллельные алгоритмы и модели мультипроцессорных систем / В.В. Васильев, В.В. Кузьмук. — Киев: Наукова думка, 1990. -213 с.

25. Гамаюн, И.П. Разработка имитационных моделей на основе сетей Петри: учеб. пособие / И.П. Гамаюн. Харьков: НТУ "ХПИ", 2002. - 143 с.

26. Голованова, Л.В. Общая технология цемента / Л.В. Голованова. — М.: Стройиздат, 1984. 118 с.

27. Гроп, Д. Методы идентификации систем / Д. Гроп. М.: Мир, 1979. -302 с.

28. Дейч, A.M. Методы идентификации динамических объектов /

29. A.M. Дейч. М.: Энергия, 1979. - 240 с.

30. Ефимов, М.И. Алгоритмы анализа для нечетких временных сетей Петри / М.И. Ефимов, В.П. Желтов // Успехи современного естествознания. -2004,-№6.-С. 113-114.

31. Ефимов, М.И. Нечеткие временные сети Петри / М.И. Ефимов,

32. B.П. Желтов // Современные наукоемкие технологии. 2004. — №5 -С. 90-91.

33. Зарубин, B.C. Математическое моделирование в технике / под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. -496 с.

34. Захаров, Н.Г. Синтез цифровых автоматов: уч. пособие / Н.Г. Захаров, В.Н. Рогов. Ульяновск: УлГТУ, 2003. - 135 с.

35. Иванов, Н.Н. Алгебраический метод решения проблемы отсутствия тупиковых разметок в сетях Петри / Н.Н. Иванов // Автоматика и телемеханика. 1991. - №7. - С. 149 - 155.

36. Калман, Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб. М: Мир, 1971.

37. Карабутов, Н.Н. Идентификация систем: структурный и информационный анализ. Ч. 1 / Н.Н. Карабутов. — М.: Альтаир, 2005. -80 с.

38. Карабутов, Н.Н. Информационные аспекты идентификации окрестностных и нечетко-окрестностных систем / Н.Н. Карабутов, A.M. Шмырин // Идентификация систем и задачи управления: тр. 5 междунар. конф. SICPRO-06. М.: ИЛУ, 2006. - С. 244 - 254.

39. Карабутов, Н.Н. Окрестностные и нечетко-окрестностные модели пространственно-распределенных систем / Н.Н. Карабутов, A.M. Шмырин, О.А. Шмырина // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2005. - № 12. - С. 19-22.

40. Карабутов, Н.Н. Параметрическая идентификация сложных систем: учеб. пособие / Н.Н. Карабутов, A.M. Шмырин. Липецк: ЛЭГИ, 1992. -44 с.

41. Колмогоров, А.Н. Основные понятия теории вероятностей / А.Н. Колмогоров. -М.: ФАЗИС, 1998. 144 с.

42. Конструирование приборов: в 2-х кн. / под ред. В. Краузе. — М.: Машиностроение, 1987. 376 с.

43. Котов, В.Е. Сети Петри / В.Е. Котов. М.: Наука, 1984. - 160 с.

44. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход / Н. Кристофидес. М.: Мир, 1978. - 432 с.

45. Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH / А.В. Леоненков. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 736 с.

46. Лескин, А.А. Сети Петри в моделировании и управлении / А.А. Лескин, П.А. Мальцев, A.M. Спиридонов. Л.: Наука, 1989. - 133 с.

47. Ломазова, И.А. Вложение сети Петри: моделирование и анализ распределительных систем с объектной структурой / И.А. Ломазова. -М.: Научный мир, 2004. 208 с.

48. Ломазова, И.А. Эквивалентность ресурсов в сетях Петри / И.А. Ломазова, В.А. Башкин. М.: Научный мир, 2008. - 208 с.

49. Лоусон, Ч. Численное решение задач наименьших квадратов / Ч. Лоусон, Р. Хенсон. М.: Наука, 1986. - 232 с.

50. Льюнг, Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Л. Льюнг. М.: Наука, 1991.-432 с.

51. Малинецкий, Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику / Г.Г. Малинецкий. — М.: Эдиториал УРСС, 2001.-256 с.

52. Малышкин, В.Э. Основы параллельных вычислений /В.Э. Малышкин. -Новосибирск: Изл-во НГТУ, 1998. 60 с.

53. Месарович, М. Общая теория систем: математические основы / М. Месарович, Я. Такахара. М.: Мир, 1978. - 312 с.

54. Мышкис, А.Д. Элементы теории математических моделей / А.Д. Мышкис. М.: КомКнига, 2007. - 192 с.

55. Норенков, И.П. Информационная поддержка наукоемких изделий. CALS-технологии / И.П. Норенков, П.К. Кузьмин. М.: изд-во МГТУ им Н.Э Баумана, 2002. - 320 с.

56. Оре, О. Теория графов / О. Ope. М.: Наука, 1980. - 336 с.

57. Перельман, И.И. Оперативная идентификация объектов управления / И.И. Перельман. М.: Энергоиздат, 1982. - 272 с.

58. Питерсон, Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем / Дж. Питерсон. М.: Мир, 1984. - 264 с.

59. Розенблюм, Л.Я. Сети Петри. / Л .Я. Розенблюм // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. - №5. - С. 12 - 40.

60. Ротштейн, А.П. Интеллектуальные технологии идентификации: нечеткая логика, генетические алгоритмы, нейронные сети / А.П. Ротштейн. — Винница: УНИВЕРСУМ-Винница, 1999. 320 с.

61. Самарский, А.А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. -М.: Физматлит, 2002. -320 с.

62. Седых, И.А. Моделирование сетей Петри линейными окрестностными системами / И.А. Седых, A.M. Шмырин // Экономика и управление: проблемы, тенденции, перспективы: сб. науч. тр. — Вып. 6. Липецк, МИПиЭ, 2008. - С. 133 - 136.

63. Седых, И.А. Представление сетей Петри окрестностными системами / И.А. Седых // Наша общая окружающая среда: сб. тез. докладов IX научно-практической конф. молодых ученых, аспирантов и студентов — Липецк: ЛЭГИ, 2008. С. 34 - 35.

64. Седых, И.А. Смешанное управление динамическими недетерминированными окрестностными моделями сетей Петри / И.А. Седых // Системы управления и информационные технологии. -2009. №1.3(35). - С. 401 - 404.

65. Сейдж, Э.П. Идентификация систем управления / Э.П. Сейдж, Дж. Л. Мелса. М.: Наука, 1974. - 284 с.

66. Слепцов, А.И. Автоматизация проектирования управляющих систем гибких автоматизированных производств / А.И. Слепцов,

67. A.А. Юрасов. Киев: Техника, 1986. - 160 с.

68. Советов, Б. Я. Моделирование систем / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. М.: Высшая школа, 2001. — 343 с.

69. Теория цемента / под ред. А.А.Пащенко. К.: Буд1вельник, 1991. -168 с.

70. Технология системного моделирования / под ред. С.В. Емельянова,

71. B.В. Калашникова. М.: Машиностроение, 1988. - 432 с.

72. Томилин, А.А. Использование окрестностно-временного моделирования в задачах формирования организационных структур / А.А. Томилин // Управление большими системами. Вып. 18.- М.: ИЛУ РАН, 2007.-С. 91 - 106.

73. Томилин, А.А. Использование окрестностно-временных моделей для оптимизации организационных структур / А.А. Томилин // Системы управления и информационные технологии. 2007. - №4. — С. 14 - 18.

74. Управление гибкими производственными системами: модели и алгоритмы / под ред. С.В. Емельянова. М.: Машиностроение, 1987. — 368 с.

75. Цыпкин, Я.З. Основы информационной теории идентификации / Я.З. Цыпкин. М.: Наука, 1984. - 320 с.

76. Черноруцкий, И.Г. Методы оптимизации в теории управления / И.Г. Черноруцкий. СПб.: Питер, 2004. - 256 с.

77. Шеннон, Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука / Р. Шеннон. - М.: Мир, 1978. - 424 с.

78. Шмырин, A.M. Алгоритмы идентификации и управления функционированием окрестностных систем, полученных на основе сетей Петри / A.M. Шмырин, И.А. Седых // Управление большими системами. Вып. 24. - М.: ИПУ РАН, 2009. - С. 18 - 33.

79. Шмырин, A.M. Идентификация линейных окрестностных систем, представляющих сети Петри / A.M. Шмырин, И.А. Седых // Перспективы развития информационных технологий: сб. материалов 1 Всероссийской науч.-пр. конф. Новосибирск: ЦРНС, СИБПРИНТ, 2008.-С. 91 -97.

80. Шмырин, A.M. Классы окрестностных систем, полученных на основе сетей Петри / A.M. Шмырин, И.А. Седых // Вестник ТГУ. Сер. Естественные и технические науки. Тамбов, 2009.— Т. 14, вып. 4.— С. 840-841.

81. Шмырин, A.M. Нечёткие по состояниям и структуре сети Петри как разновидность окрестностных систем / A.M. Шмырин, И.А. Седых // Информационные технологии моделирования и управления. Вып. 5 — Воронеж: Научная книга, 2008. С. 553 - 558.

82. Шмырин, A.M. Нечетко-окрестностные нелинейные системы в координатной форме / A.M. Шмырин // Современные проблемы математики, механики, информатики: тез. докл. международ, конф. — Тула: ТулГУ, 2003. С. 346 - 347.

83. Шмырин, A.M. Нечетко-окрестностные системы / A.M. Шмырин // Проблемы непрерывного образования: проектирование, управление, функционирование: матер, междунар. научн.-методич. конф. Липецк: ЛГПУ, 2003.-С. 69-72.

84. Шмырин, A.M. Новое направление в теории систем: окрестностные полилинейные нечёткие системы / A.M. Шмырин // Системы управления и информационные технологии. 2007. - №1. - С. 30 - 34. Шмырин, A.M. Окрестностные модели в производстве цемента /

85. A.M. Шмырин, И.А. Седых // Современные проблемы информатизации в проектировании и информационных системах: сб. тр. — Вып. 14. — Воронеж: Научная книга, 2009. — С. 442 — 443.

86. Шмырин, A.M. Оптимальное смешанное управление / A.M. Шмырин,

87. B.А. Пименов, Д.А. Шмырин // Системы управления и информационные технологии: межвуз. сб. научн. тр. Воронеж: ВГТУ, 1998.- С. 185190.

88. Шмырин, A.M. Программа «Идентификация и управление нечеткими окрестностными моделями, построенными на основе нечетких сетей Петри» / A.M. Шмырин, И.А. Седых // Зарегистр. в ГКЦИТ №50200900008 от 23.12.2008.

89. Шмырин, A.M. Программа «Идентификация и управление четкими окрестностными моделями, построенными на основе сетей Петри» / A.M. Шмырин, И.А. Седых // Зарегистр. в ГКЦИТ №50200900009 от 23.12.2008.

90. ФAM'2009 конф. по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Красноярск: СФУ, Гротеск, 2009. - С. 124.

91. Шмырин, A.M. Смешанное управление нечёткими окрестностными системами, полученными на основе нечётких сетей Петри / A.M. Шмырин, И.А. Седых, Л.Д. Арестова // Информационные технологии моделирования и управления. 2009. - №1. - С. 92 - 97.

92. Шмырин, A.M. Смешанное управление окрестностными системами /

93. A.M. Шмырин // Системы управления и информационные технологии. -2007.-№1.-С. 26-30.

94. Шмырин, A.M. Смешанное управление окрестностными системами / A.M. Шмырин // Системы управления и информационные технологии. -2007.-№1.-С. 26-30.

95. Шмырин, A.M. Управление функционированием окрестностных систем, полученных на основе сетей Петри / A.M. Шмырин, И.А. Седых // Информационные технологии моделирования и управления. — Вып. 5. — Воронеж: Научная книга, 2008. С. 549 - 553.

96. Штовба, С.Д. Проектирование нечетких систем средствами MATLAB / С.Д. Штовба. М.: Горячая линия - Телеком, 2007. - 288 с.

97. Эйкхофф, П. Основы идентификации систем управления / П. Эйкхофф. -М.: Мир, 1975.-648 с.

98. Application of Petri Nets to Communication Networks: advances in Petri Nets / J. Billington, M. Diaz, G. Rozenberg (Eds.). Berlin: Springer, 1999. -303 p.

99. Applications and Theory of Petri Nets: 26th International Conference, 1CATPN 2005, Miami, FL, June 20-25, 2005, Proceedings (Lecture Notes in

100. Computer Science) / Gianfranco Ciardo, Philippe Darondeau (Eds.). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. - 475 p.

101. Applications and Theory of Petri Nets: 29th International Conference, PETRI NETS 2008, Xi'an, China, June 23-27, 2008 / Kees M. van Нее, Riidiger Valk (Eds.). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. - 429 p.

102. Blyumin, S.L. Nonlinear neighborhood models / S.L. Blyumin, A.M. Shmyrin // Нелинейное моделирование и управление: матер, междунар. семинара. Самара, 2000. - С. 17 - 18.

103. Blyumin, S.L. Nonlinear Neighborhood Systems / S.L. Blyumin, A.M. Shmyrin // Int. Conf. on Dynamical Modelling and Stability Investigation. Kiev, Ukraine, 1999.

104. Bondia, J. Analysis of linear systems with fuzzy parametric uncertainty / J. Bondia, J. Pico // Fuzzy Sets and Systems. 2003. - V. 135, № 1. - P. 81 -121.

105. Girault, G. Petri Nets for Systems Engineering: A Guide to Modeling, Verification, and Applications / G. Girault, R. Valk. Berlin: Springer, 2003.-607 p.

106. Jensen,K. Coloured Petri Nets: Basic Concepts, Analysis Methods and Practical Use. V.l / Kurt Jensen. — Berlin: Springer, 2003. — 234 p.

107. Kordic, V. Petri Net: Theory and Applications / Vedran Kordic. — Vienna: I-Tech Education and Publishing, 2008. 537 p.

108. Murata, T. Petri Nets, Marked Graphs and Circuit-System Theory / T. Murata. IEEE C&S Society Newsletter. - 1977. - V.l 1. - №3. - P. 212.

109. Peter, J. Haas Stochastic Petri nets: modelling, stability, simulation/ J. Peter. New York: Springer-Verlag, 2002. - 536 p.

110. Wang, J. Timed Petri Nets: Theory and Application / Jiacun Wang.— Norwell: Kluwer Academic Publishers, 1998. 296 p.

111. Zadeh, L.A. From Circuit Theory to System Theory / L.A. Zadeh // Proc IRE. 1962. - №50. - P. 856 - 865.