автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование характеристик слабо связанных волноводов

САЬЖТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математическое моделирование характеристик слабо связанных волноводов

05.13 18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Фролов Сергей Валентинович

1111111111111111111

III

003165536

Санкт-Петербург 2008

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Попов Игорь Юрьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Андрианов Сергей Николаевич, СПбГУ

Защита состоится 26 марта 2008 в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212 232 50 по защитам диссертаций на соискание учёной степени доктора наук при Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу. 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб , 7/9., Менделеевский Центр

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-петербургского Государственного Университета.

доктор физико-математических наук, профессор Уздин Валерий Моисеевич, СПбГУ

Ведущая организация

Санкт-Петербургский государственный университет авиационного приборостроения

Автореферат разослан "« 2.0 »" 2008г

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат наук, профессор

Г. И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность работы. Транспортные свойства волноводов, соединённых отверстиями, вызывают в последние годы повышенный интерес. Данные системы неоднократно анализировались в радиофизике, электродинамике, теории распространения акустических и электромагнитных волн. Новая волна интереса возникла в связи с задачами наноэлектроники Бурное развитие микроэлектроники привело к созданию нового класса объектов — квантовых нитей (проводов), квантовых точек и антиточек и т п. Описание электронного транспорта в подобных системах потребовало разработки новых подходов Для ряда данных объектов, называемых часто мезо-скопическими, задача сводится к изучению распространения волны в некоторых волноводных системах Транспортные свойства нано-систем непосредственно связаны со спектральными свойствами соответствующего оператора Шредингера (или, в случае баллистического режима, оператора Лапласа), на математическое моделирование которых и направлена настоящая работа Обнаруженные эффекты, в частности резонансы, могут быть использованы для проектирования новых наноэлектронных устройств Так, например, зависимость квазисобственного числа оператора Лапласа в системах слабо связанных волноводов от ширины окна связи может быть использована для управления коэффициентами прохождения электронов в квантовых переключателях посредством изменения геометрической конфигурации системы, которое в реальных физических задачах может быть осуществлено с помощью приложения внешних полей

Цель работы. Цель работы - математическое моделирование спектральных свойств системы связанных волноводов и анализ воз-

можностей их использования в разработке новых наноэлектронных устройств.

В связи с этим первой задачей работы является построение асимптотического разложения квазисобственного числа оператора Лапласа с граничным условием Дирихле для системы двух волноводов, связанных через малое отверстие в стенке вблизи нижней границы непрерывного спектра методом согласования асимптотических разложений решений краевых задач

Второй задачей является изучение перехода собственного числа в квазисобственное в системе трех параллельных связанных волноводов в случае нарушения симметрии относительно середины среднего волновода.

Третьей задачей является исследование возможности применения полученных результатов для конструирования новых наноэлектронных и оптических устройств.

Основные положения, выносимые на защиту.

Асимптотическое разложение квазисобственного числа и соответствующей ему квазисобственной функции оператора Лапласа в системе двух связанных волноводов по малому параметру, равному полуширине окна связи, найденные методом согласования асимптотических разложений решений краевых задач

Соотношение между собственным числом и квазисобственным, возникающим в системе трёх связанных волноводов в случае нарушения симметрии.

Структура квантового трехпозиционного переключателя, основанного на резонансных транспортных свойствах электрона в системе трех волноводов, соединенных через малые отверстия.

Структура электронной ловушки

Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми

Теоретическая и практическая ценность работы. Разработана процедура построения асимптотического разложения квазисобственного состояния и квазисобственного числа для системы двух связанных волноводов по малому параметру, равному полуширине окна связи Эффекты, обнаруженные при исследовании транспортных свойств наносистем могут быть использованы для конструирования наноэлектронных приборов, основанных на квантовой интерференции (трехпозиционный квантовый переключатель).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на- Международной конференции по дифференциальным уравнениям, посвященной памяти Владимира Лазуткина в Санкт-Петербурге (2002 г), юбилейной научно-техническая конференции профессорско-преподавательского состава СПбГИТМО(ТУ), посвященной 100-летию университета (2000 г.), XXX научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава СПбГИТ-МО(ТУ) (1999 г.), семинарах в СПбГУ, СПбГУАП, ИХС РАН, Мордовском государственном университете, СПбГУИТМО(ТУ), ВНИ-ИМС.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 13 статьях, в том числе, в четырёх статьях, опубликованных в журналах из списка ВАКа ([1], [2], [8], [13])

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения Общий объем — 92 страницы, включая библиографию из 98 наименований. Работа содержит 7 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность работы, дан обзор по теме исследования, описаны основные идеи и структура работы.

Глава I посвящена построению асимптотического разложения квазисобственого числа для системы двух слабосвязанных волноводов по малому параметру, равному полуширине окна связи В § 1.1 дана постановка задачи. Рассматривается краевая задача для уравнения Гельмгольца (Д + к2)иа = 0 в системе двух двумерных волноводов О* шириной с1± (с1+ >с?_), соответственно, соединённых отверстием шириной 2а

1 \Х2

+ * 1 л а

43 1 1 ОТ

Рис 1 Геометрическая конфигурация системы

(рис. 1). Требуется построить асимптотическое разложение квазисобственного числа Яа - кга поставленной краевой задачи вблизи

л-2

нижнеи границы ветви непрерывного спектра — по параметру а,

при условии, что этот параметр много меньше длины волны В § 1.2 производится построение асимптотического разложения квазисобственного числа. Рассматривается асимптотический ряд вида

___1гг

л2 "

I I V

./=2 1=0

^ V

1 й 1п—

ч

Здесь а0 — характерная единица длины Для нахождения нескольких первых коэффициентов к}1 используется метод согласования разложений квазисобственной функции, соответствующей ква-зисобственнму числу к2а , имеющих вид

1

<Ра(х)-

— ~к2 ,2 Ка

у

,=0

£>,,1п- О~(х,у,к)\у__0,

-о у

=0 [0-1)/2] X ^

у=1 1=0

/ \ ( \ 1

л: а] 1 а 1п— 9

и, 1 ао)

/ V

Чй

(2)

(3)

А /1

2

1=О

V*« ^О^фо,

ло

( V

ш

(4)

Здесь 5, — сфера радиуса Г с центром, совпадающим с серединой отверстия, V еЖ2'1ос(о+ ), Рт — некоторые полиномы от

1п—, имеющие вид:

ап

дп„

и_1[0-1)/2]

л0 /=1 1=0

г ^ 1 а

V а0У

»2 = 2,3,4,..,

где а

(т) J>

константы, D2vj+] D2VJ+2 = _ _ , 1, п —

дп2/+х ' д1удп2/*

векторы, имеющие координаты (1,0) и (0,-1) соответственно <7*—

это функции Грина для волноводов О4.

Процедура согласования рядов (2) и (3), (3) и (4) заключается в следующем. Подставляем в (2) и (4) ряд (1), заменяем коэффициенты ряда (2) их асимптотическими разложениями в нуле и переходим к переменным ^ = Полученный двойной ряд должен совпадать с двойным рядом, получающимся из ряда (3) заменой его коэффициентов на их асимптотические разложения при р = Щ —» оо, > 0.

Такое же согласование будем требовать и от рядов (4) и (3), но уже при < 0. Для выполнения этих требований достаточно в рядах (2) и (3), (3) и (4) после описанных ранее замен и после перехода от декартовой системы координат (£,, ) к полярной (р, в) приравнять

f \ а

коэффициенты при членах вида а' ln' — p±J sin j6. Для получения

значений первых четырёх коэффициентов ряда (1) достаточно согла-

совать коэффициенты в членах порядка а, а2, а3, а 1п

а

а0

Окончательно, асимптотическое разложение квазисобственного числа имеет вид

20

^40 ^41 ^

ао J

а6-

^40 ln i- k¿i

v40 41

41

ч2Л

ln-

а* + о(а8),

7 2 Я"

где

ШгЛМ1 с1

я-4 Г Ъж 1

\

/

В § 1.3. рассматривается описанная ранее задача для системы двух волноводов одинаковой ширины (с1_=с1+=с1). В этом случае используется та же схема нахождения коэффициентов ряда, однако, асимптотические разложения квазисобственных функций имеют уже другой вид. В результате получено асимптотическое разложение не квазисобственного значения, а собственного значения, близкого к границе непрерывного спектра Окончательно, найдены следующие значения коэффициентов

Глава 2 посвящена изучению перехода собственного числа в квазисобственное в системе трех волноводов В § 2.1 приводится постановка задачи. От задачи, рассмотренной в Главе 1, она отличается наличием трёх двумерных волноводов имеющих ширины г/,, й?2 , йъ, где с1ъ<йх<с11< 2й?3 , связанных малыми отверстиями (рис 2) Чтобы проследить за поведением асимптотического разложения резонанса при изменении разности поперечных размеров волноводов О', О.2, полагаем, что <5?,2 = й?32 + %а6, где ^>0, а асимптотическое

разложение квазисобственного числа ищется вблизи ^у

*

2 а

4с/

Ыъ

ДУ-С12) У (23) I\ Л2 > -"2

43

2а.

2 а.,

£2

а'

а1

л-,'2»

Л0»

Рис 2 Геометрическая конфигурация системы

В § 2.2 проводится построение асимптотического разложения квазисобственного числа, причём в этом случае приходится согласовывать уже не три разложения квазисобственной функции, а пять. В результате получаем следующие значения коэффициентов:

к2-— к - —

40 8х }

я

+ -

3»

1

+— 2

V

ж

_-(»__

\6dl4jdi-4

7Г

5

+

+

—(ят+ет)+— Т-

8 Л

Я / 25бй?з6

+

V'2

Л

41 16^ •

Глава 3 посвящена рассмотрению некоторых возможных применений теоретических результатов, полученных в работе. В § 3.1 предлагается возможная конструкция квантового переключателя.

Для системы, состоящей из трёх параллельно соединённых волноводов, может быть решена задача рассеяния для электрона, движущегося в центральном волноводе с энергией, близкой ко вторым порогам двух крайних волноводов способом, использовавшимся в Главе 2 для построения асимптотических разложений квазисобственных чисел и резонансных состояний. Зависимость коэффициентов прохождения в каждом из волноводов от волнового числа имеет резонансный характер Это свойство может быть использовано для построения наноэлектронных устройств, в которых посредством изменения размеров окон связи можно регулировать положение резонансных пиков в волноводах; таким образом, данные системы будут работать как квантовые переключатели

В § 3.2 описывается возможная конструкция электронной ловушки, в которой, на основании эффекта, рассматривавшегося в Главе 2, переход электрона из резонансного состояния в связанное или обратный переход осуществлялся бы посредством восстановления или нарушения геометрической симметрии системы трех волноводов соответственно

В § 3.3 рассматривается система связанных оптических волноводов, представляющая собой три диэлектрических слоя, в которой узкий средний слой, обладающий наибольшей диэлектрической проницаемостью, имеет узкую бесконечную щель При высокой контрастности в системе диэлектрических волноводов возникают резонансные явления, для описания которых может быть использована двумерная задача Дирихле, рассмотренная в Главе 1.

В Заключении перечислены основные результаты работы и предложены новые актуальные задачи, решение которых могло бы внести существенный вклад в математическое моделирование новых наноэлектронных устройств

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Павлов Б. С., Попов И. Ю., Першенко О. С , Фролов С. В., Гейлер В. А. Трёхпозиционный квантовый переключатель. Изв вузов Приборостроение, 2002. Т. 45, № 4, С. 44-49.

2. Попов И. Ю., Фролов С. В. Асимптотика резонанса для двумерных волноводов, связанных через отверстие. Письма в ЖТФ,

2000. Том 26, Вып 1., С. 17-20

3. Попов И. Ю., Фролов С В. Построение асимптотики квазисобственной частоты методом согласования асимптотических разложений. XXX научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава, тезисы докладов СПб, 1999. С 122.

4. Попов И. Ю., Фролов С В , Хрулев К.С. Численный анализ распространения волн в системе связанных волноводов. Науч -техн вестн СПбГУИТМО, 2004. Вып. 15,С.5-10.

5. Фролов С В. Двумерные волноводы, связанные через отверстие: асимптотика резонанса. Сборник научных трудов молодых ученых и специалистов. СПб, 2000. Вып 1,4. 2, С 76-77.

6 Фролов С В , Асимптотика резонанса для волноводов, связанных через отверстие Юбилейная научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава, посвященная 100-летию университета 29-31 марта 2000 года, тезисы докладов. Ч. 2, СПб, 2000. С. 74-75.

7. Фролов С. В. Оценка резонанса для связанных высококонтрастных диэлектрических волноводов Научно-технический вестник

2001. Вып. 3., С. 44-46.

8 Frolov S. V., Popov I. Yu. Resonances for laterally coupled quantum waveguides J Math Phys., 2000 Vol. 41, № 7, P 4391-4405.

9 Frolov S. V., Melnichuk O. P., Popov I Yu. Coupled dielectric waveguides as a photonic crystal Международный оптический конгресс "Оптика — XXI век" Фундаментальные проблемы оптики - 2002, Труды конференции, Санкт-Петербург, 14-17 октября 2002, С. 106.

1 O.Pavlov В. S., Popov I. Yu, Frolov S V. Quantum switch based on coupled waveguides Eur Phys J B, 2001 Vol. 21, P. 283-287

11.Popov I. Yu., Frolov S V. Three coupled waveguides: Breaking of symmetry and eigenvalue-resonance transition. Workshop on Differential Equations dedicated to the memory of Vladimir Lazutkm, Saint-Petersburg, August 18-20, 2002, Abstracts, P. 27.

12 Popov I Yu., Frolov S. V. Violation of symmetry in the system of three laterally coupled quantum waveguides and resonance asymptot-ics Наука, Зап научн Семин ПОМИ РАН, 2003, Т. 300, С 221227.

13 Popov I Yu, Frolov S. V. Three laterally coupled quantum waveguides: Breaking of symmetry and resonance asymptotics. IOP, J Phys A Math Gen 2003, Vol 36, P. 1655-1670

Введение.

Глава 1. Асимптотическое разложение квазисобственного числа для волноводов, связанных через отверстие.

§1.1. Постановка задачи. I '

§1|.2. Построение асимптотического разложения квазисобственного числа.

§ 1.3. Два одинаковых волновода: асимптотическое разложение собственного числа.

§1.4. Выводы.

Глава 2. Три связанных волновода: нарушение симметрии, переход собственного числа в квазисобственное.

§2.1. Постановка задачи.

§ 2.2. Построение асимптотического разложения квазисобственного числа.

§ 2.3. Выводы.

Глава 3. Некоторые возможные приложения.

§ 3.1. Возможная конструкция квантового переключателя.

§ 3.2. Электронная ловушка.

§ 3.3. Двухпозиционный квантовый переключатель и квантовый интерференционный транзистор.

§ 3.4. Резонансные эффекты в связанных оптических волноводах.

§3.5. Выводы.

В настоящее время чрезвычайную актуальность приобрела задача математического моделирования наноразмерных систем. При этом в основном используются численные методы, разрабатываются программы расчёта конкретных параметров наноструктур. Такие методы имеют как достоинства, так и очевидные недостатки, связанные с трудностью качественного анализа поведения системы и поиском параметров системы, обеспечивающих требуемые свойства. В настоящей работе предлагается математическая модель планарной полупроводниковой наноструктуры, основанная на асимптотическом анализе системы.

Быстрое развитие микроэлектроники стимулировало в последние годы значительный, прогресс в физике полупроводников. Появляется много новых идей и значительно расширяется экспериментальная работа. В то же время этот прогресс принёс интересные математические задачи. Наиболее эффектное проявление упомянутых достижений относится к разработке технологии создания микроскопических структур из полупроводникового материала (см. [88] и работы, процитированные ниже). Назовём некоторые из них: тонкие плёнки, нанесённые на изолированную поверхность одним из способов эпитаксии; их толщина может приближаться к 2 нм., что означает, что поперечное сечение такого слоя содержит лишь несколько атомов. слоистые структуры (сэндвичи) из сочетания плёнок из различных полупроводниковых материалов; типичный пример — комбинация GaAs и AlGaAs. гетероструктуры, т. е. сэндвичи со слоями изменяемой толщины "квантовые проволоки", полученные из полупроводниковых плёнок электронной бомбардировкой- [94]; этим способом можно создать на субстрате различные образцы [95], [35].

Часто при описании таких структур и других подобных малых объектов (например, металлических образцов, изготовленных с помощью ионной литографии) используется термин мезоскопическая физика. Следует подчеркнуть, что описанные системы достаточно велики, чтобы быть созданными экспериментаторами, но в то же время» так малы, что на них проявляются квантовые эффекты, подобные интерференции. Среди экспериментальных достижений в этой области можно назвать проявление эффекта Ааронова-Бома в гетероструктурах [41] и металлических пальцах [38], [96], [97]. Кроме того, значительный интерес представляет квантовая интерференция в микроструктурах, контролируемая-внешним полем: существует несколько предложений вариантов конструкций интерференционных транзисторов [42], [46]; [91].

Подытожим характеристические свойства упомянутых полупроводниковых микроструктур: a. малый размер, от десятков до сотен нм., b. высокая чистота; длина свободного пробега электрона может быть несколько мкм. или даже больше, c. кристаллическая структура, d. волновые функции обычно аннулируются на границах между различными полупроводниковыми материалами [56].

Поведение электрона в таких структурах, конечно, подчиняется, многочастичному уравнению Шредингера, описывающему его взаимодействие с атомами решётки, содержащей возможные примеси. Упомянутые1 свойства позволяют, однако, принять несколько фундаментальных упрощающих допущений. Из свойств (а) и (Ь) очевидно, что при использовании достаточно чистого материала можно достичь того, что значение свободного пробега электрона будет на. два или три порядка больше, чем; размер1 структуры; следовательно;, можно4 допустить, что движение электронам разумном приближении не возмущено, рассеянием на примесях. .Экспериментаторы обычно называют это баллистическим, режимом. Подтверждением: его является.1 наличие интерференционных эффектов.'

Свойство (с) позволяет нам сделать наиболее важное- упрощение. Хорошо известно; что частица в кристаллической решётке движется как свободная- с некоторой-эффективной массой т ;:. с математической точки' зрения-это следует из спектральных-,свойств оператора- Шредин-гера с периодическими,потенциалами [87]. Эффективная масса; конечно, различна для различных частей спектра; ношожнорассматривать}её: как постоянную, когда мы ограничиваем наше внимание физически интересной частью валентной/ зоны;, Напомним, что; её значение может значительно- отличаться от истинной массы электрона;, .например, т = 0,067/ие для GaAs.

В сочетании с (d) мы видим, что движение электрона внутри микроструктуры можно' промоделировать, (бесспиновой) частицей; живущей в соответствующей пространственной области с условием Дирихле на её границах; взаимодействие следует добавить, только если вся-структура помещена во внешнее поле.

Естественно задать вопрос об отношении к классической; теории; акустических и электромагнитных волноводов (литература; посвящёнг ная этим проблемам, достаточно обширна; назовём, например, [55], [54]; [60], [59], [61], [69]; [70]). Основные уравнения в двух случаях, т. е. уравнение; Шредингераш волновое уравнение, .конечно, различны, но поскольку касаются только стационарных задач; оба они ведут к уравнению Гельмгольца в подходящей пространственной области. Различие состоит в таком случае в физическом значении спектрального параметра и, возможно, также в граничных условиях, которые могут быть условиями Неймана для акустического и условиями ЕМ-моды для электромагнитного волноводов (в квантовом случае можно встретиться с условиями Неймана при рассмотрении баллистического движения электрона в металлических микроструктурах).

Это значит, что некоторые результаты классической теории можно легко приспособить к квантовому случаю. С другой стороны, квантовая механика и классическая теория волн используют часто различные математические методы, поэтому объединение этих подходов может оказаться чрезвычайно'полезным. Например, в [44] показано существование связанного состояния, появление которого вызвано искривлением квантового волновода, что, конечно, имеет место и для классических волноводов.

В статьях [49], [48] рассмотрен дискретный спектр оператора Лапласа для задачи Дирихле в системе двух примыкающих друг к другу параллельных полос или плоских слоев, соединённых конечным числом (N) окон в общей границе. Если окна достаточно малы, то существует только одно изолированное собственное число, появление которого обусловлено наличием отверстий. В работе найдены нижняя и верхняя асимптотические границы для промежутка между собственным числом и непрерывным спектром, как в плоском случае, так и для N = 1 в трёх измерениях. Интерес к изучению оператора Лапласа с условием Дирихле в областях, соединённых малыми отверстиями, берёт начало из двух источников. С физической стороны такие операторы используются для описания различных мезоскопических полупроводниковых t структур. Существуют несколько соответствующих работ по твёрдому телу, например, [44, 47]. С другой стороны, наличие связанных состояний в системах с открытой конфигурацией ставит ряд математических вопросов, таких как анализ слабой связи, правомочность квазиклассического приближения, резонансное рассеяние в таких структурах и т. д. Некоторые из таких свойств можно рассмотреть численно [47], хотя необходимы аналитические доказательства. Заметим также, что близко связанная задача касается оператора Лапласа с граничными условиями Неймана, а именно существования' ловушечных мод в акустических волноводах [44, 45].

В работе [48] изучена пара параллельных полос с граничными условиями Дирихле шириной dl, d2, объединённых через окно шириной 2а в общей границе. Авторы показали, что существуют положительные с{, сг, такие, что промежуток между основным состоянием и нижней границей непрерывного спектра может быть оценён, как для любых достаточно малых а. Численные результаты [47] допускают, что главные члены асимптотических разложений имеют тот же порядок, но доказательство этого утверждения и нахождение коэффициентов главных членов остались открытой проблемой. В работе [49] результат обобщённа случай конечного числа окон: здесь ак — ширина к -го окна, N — количество окон. Авторы используют для получения оценок прямые методы вариационного исчисления.

Задача о резонансах (квазисвязанных состояниях) является более сложной. До недавнего времени для них были получены только оценки. Так в [64] исследуется эффект перехода в квантовой проволоке (квантовом волноводе) с небольшой, нерегулярностью на границе. Полученные* результаты обобщаются на случай малого отверстия в границе, че

4 ^ Г \ " ^ 4

-с{а < е{а) - — <-с2а ■ \d) рез которое проволока соединяется со свободным двумерным пространством или с другой проволокой. В1 работе найдены также некоторые интересные резонансные свойства передачи и показано, что поток через отверстие даёт узкие пики коэффициента прохождения при некоторых значениях энергии, где возможны квазисвязанные состояния в одной из проволок. Эти потоки обусловлены током внутри проволоки и, таким образом, измеряемы экспериментально. Была использована теория многократного рассеяния.

Если длина свободного пробега велика по сравнению с размерами системы, то электроны могут двигаться баллистически через проволоку. Для таких баллистических проволок было обнаружено, что провоем2 димость квантуется с шагами — [98]t Вскоре после теоретического п описания квантованной проводимости было обращено внимание на то влияние, которое оказывает на проводимость возмущение баллистической волны.

Для того, чтобы вычислить проводимость, найдена матрица перехода и затем установлено соответствие с проводимостью на основании формулы Ландауэра-Брюттикера, G~t+t.

Проблеме рассеяния на примесях внутри проволоки посвящено много статей. Рассмотрены одиночные примеси [93], [68], [34], [40], а также наборы.[62], [63] (ансамбли) рассеивателей и проволоки, которые равномерно наполнены рассеивателями. Основной результат всех этих работ состоит в том, что наличие рассеивателей в проволоке уменьшает проводимость и. в некоторых случаях вызывает огромные флуктуации коэффициента прохождения электрона [63]. Другие интересные результаты состоят в том, что резонансы на единичных примесях могут вызвать острые провальь графика коэффициента прохождения [93], [34], [40]. В то время как большинство моделей квантовой проволоки предполагает анализ одномерной задачи, также исследованы [68] небольшие примеси в проволоках с более реальными потенциалами конфайнмента. Эти теоретические изыскания были подтверждены качественно экспериментами [50].

Большое количество статей посвящено влиянию поверхностных нерегулярностей на квантовый транспорт. Рассмотрено действие малых выпуклостей или отверстий на поверхностные состояния при наличии магнитных полей, равно как резонансный переход через отверстия, которые малы по сравнению с длиной волны электрона [71] и с размерами поверхностной шероховатости [33]. Другая статья [15] исследует влияние граничных сморщиваний квантовой проволоки.

Метод, который наиболее часто используется для математического описания малых поверхностных возмущений — это так называемый метод интеграла Кирхгофа. В работе [67] средствами конформного отображения получены амплитуды рассеяния для различных видов поверхностных нерегулярностей.

Статья [64] вносит вклад в проблему квантовой проволоки, соединённой либо с бесконечным пространством, либо с другой проволокой через малое отверстие. Получены выражения для коэффициента прохождения вдоль проволоки, через проволоку в свободное пространство или между двумя проволоками для случаев, когда размер отверстия меньше длины волны электрона. На графиках коэффициентов прохождения имеются острые пики (провалы), появление которых вызвано наличием квазисвязанных состояний. Для мнимых частей соответствующих квазисобственных чисел и отклонения их вещественных частей от нижних границ соответствующих ветвей непрерывного спектра получены порядки по а (при а —> 0). Заметим, что данный резонансный эффект аналогичен тому, что наблюдается в квантовых волноводах с подсоединёнными резонаторами [85], [84], где он также связан с наличием квазисобственного числа, близкого к собственному числу замкнутого резонатора (без отверстия связи с волноводом).

Влиянию малого отверстия в границе на спектральные транспортные свойства различных систем посвящено много работ. Первой задачей такого рода является задача о резонаторе Гельмгольца, поставленная Рэлеем. Задача о резонаторе с малым отверстием (резонаторе Гельмгольца) привлекла внимание теоретиков после классической работы Рэлея [86], который с помощью грубого, но физически естественного подхода нашел приближенно вещественную часть наинизшей "квазисобственной" частоты такого открытого резонатора. Более продвинутый результат (простое алгебраическое уравнение, позволяющее приближенно определить как вещественную, так и мнимую части этой частоты, к2 3 d (2 Ttdf где а - радиус сферы, d - радиус отверстия) был получен Морсом и

Фешбахом [16] в рамках подхода Рэлея. При этом использовалась еле/ дующая приближенная, но физически естественная, схема. Рассматривается задача рассеяния плоской волны сферическим резонатором с ма

S. лым круглым отверстием в случае граничного условия Неймана. Падающая волна вызывает колебания в круге отверстия, которое считается столь малым (по сравнению с длиной волны), что амплитуду колебаний можно считать одинаковой для всех точек отверстия. Эти колебания рассматриваются как вынуждающее возмущение, приводящее к появлению колебаний внутри сферы, которые, в свою очередь, вызывают (через отверстие) дополнительные колебания во внешности сферы, то есть дают вклад в отраженную волну. Анализ асимптотического разложения отраженной волны при стремлении аргумента к бесконечности позволяет найти амплитуду рассеяния. Частоты, которые упоминались и выше, есть полюса амплитуды рассеяния. Не будем здесь останавливаться.на анализе достоинств и недостатков указанного подхода.ввиду их очевидности.

Задача определения указанных частот рассматривалась во многих физических работах (см., например, [27], [16]). При этом оказалось, что вопрос обоснования* полученных формул много сложнее, чем их формальный вывод. Дело в том, что* указанные "квазисобственные" частоты (обычно называемые резонансами) суть полюса аналитического продолжения. резольвенты на нефизический лист, задача же аналитического продолжения некорректна из-за, неустойчивости получаемых продолжений? относительно малых возмущений исходных значений функции5 на; вещественной оси. В результате аналитическое продолжение приближения функции, полученного на вещественной оси, не является; вообще говоря, приближением* для ■ аналитического продолжения этой функции. Преодолеть указанную-трудность.удается при-операторном подходе к задаче о резонансах, который и применяется в настоящей, работе:

Опишем кратко основные методы, используемые при изучении резонатора с малым отверстием (узкой щелью). В [4] выводится, интегральное уравнение для поля на отверстии. Затем данное поле представляется в виде ряда по собственным функциям замкнутого резонатора. В результате интегральное уравнение заменяется, бесконечной системой линейных алгебраических уравнений, которая усекается и реша ется.

В'[5] разработано обобщение метода собственных колебаний, который так же, как и обычный метод собственных колебаний, состоит в представлении решения стационарной задачи дифракции в виде ряда по некоторой ортогональной системе функций, однако в качестве собственных функций используются решения однородной задачи, в которой собственным числом является, вообще говоря, не частота (как в обычном методе), а какой-либо электродинамический параметр - например, диэлектрическая проницаемость некоторого вспомогательного тела, занимающего тот же объем, что и тело, на котором происходит дифракция. Данный подход позволяет приближенно проанализировать ситуацию в окрестности резонансной частоты.

Совершенно другой метод, основанный на анализе квадратичных форм для операторов в составной области, предложен в [14]. Однако сколько-нибудь конструктивных формул на этом пути получить не удается.

В [11] на формульном уровне предложен квазиклассический подход к асимптотическому вычислению резонансов, основанный на рассмотрении лагранжевых подмногообразий в фазовом пространстве соответствующей динамической' системы. Но обоснования полученных на этом пути формул пока не найдено.

Для расчета резонаторов с узкой щелью (например, для бесконечного цилиндра со щелью) в [28] используется метод задачи Римана-Гильберта, который приводит к анализу бесконечной системы уравнений, требующему специальной техники [29]. В наиболее интересных задачах окончательные выводы получаются, к сожалению, лишь с помощью численного расчета.

В работах Арсеньева [2]-[3] исследуется процесс спектральной концентрации при замыкании отверстия. Показано, что она возникает на положительной полуоси энергий вблизи собственных чисел соответствующего замкнутого резонатора. Исследование аналитических свойств матрицы рассеяния и расположения резонансов в комплексной плоскости, особенно далеких от вещественной оси, в предлагаемой им технике затруднено.

В [12] доказано существование серии резонансов на мнимой оси в плоскости спектрального параметра к. Обычно эти резонансы не представляют значительного интереса для физиков, поскольку соответствующие им резонансные состояния имеют малое время жизни. Наиболее интересны резонансы, расположенные вблизи от вещественной оси. В [18] доказано существование серии резонансов, которые при замыкании ловушки стремятся к собственным числам замкнутого резонатора. Однако вопрос о локализации (или вычислении) данных резонансов оставался открытым.

В [36]; [74], [57], [72] получены оценки для резонансов резонатора Гельмгольца, в котором внутренность резонатора соединена с внешним пространством через узкий канал.

Для получения асимптотических разложений решений задач рассеяния на резонаторе Гельмгольца применялся метод согласования асимптотических разложений решений краевых задач [6]-[9]. Резонатор Гельмгольца представляет собой поверхность Те = Г0 \ Ше, где Г0 е С00 граница односвязной области Q czR3, сое — открытое односвязное подмножество на Г0 с границей дсоЕ е С™, лежащее в шаре радиуса s с центром в х0 е Г0, 0 < е «1. Рассмотрим следующую краевую задачу:

A + £2V = 0, = pj, хеГЕ,

4 ' ov ие — ikus = o(r~1}, r-»co, где Q.e=R3\Ts, x = (xl,x2,x3), r = |x|, v — внешняя-нормаль к Q, keR, f еС°°(Г0), pe — сужение на Гг. Решения задачи рассматриваются в классе функций ие е W2\loc (R3)

В [9], в частности, методом согласования асимптотических разло жений строятся асимптотические разложения по малому параметру е полюса те, квадрат которого сходится к простому собственному числу к0 Ф 0 и соответствующей ему обобщённой собственной функции х¥е. Основные идеи метода выглядят следующим образом.

Введём систему координат таким образом, чтобы область Q в окрестности начала координат совпадала с полупространством х3 > 0.

Пусть отверстие имеет форму сое =|x:x£,1 е <z> j, где со — односвязная область на плоскости х3 = 0 с бесконечно дифференцируемой границей. Введём обозначения:

00

4?™(х,к) = |у (к20 - k2)R;n(ex) (Dyp^\x, О, к), у=0 где — дифференциальные многочлены у-го порядка по переменным ух, у2, a Gm и Gex — аналитические продолжения функций Грина предельных внутренней и внешней задач соответственно. Заметим, что каждый член ряда,^п(ех)(х,А:) удовлетворяет уравнению Гельмгольца в Qm(ex) и однородному граничному условию Неймана на Г0\{0} и, к тому же, if/^x\x,k) -> R^(0)y/(x), ^(ех)(х,А:)-> 0 при к-^>к0, £—>0, поэтому, если ^(0)^0, то вне окрестности отверстия асимптотическое разложение Ч^ естественно искать с точностью до множителя в виде ^/п(ех)(х,А:), а асимптотическое разложение полюса — в виде оо

J=I

Но, т. к. в начале координат коэффициенты ряда ^/п(ех) (х, к) имеют особенности, то в окрестности отверстия функция Ч^Дх) таких асимптотических разложений иметь не может, поэтому в окрестности отверстия асимптотическое разложение Ч'Дх) будем искать в виде ряда по степеням б с коэффициентами, зависящими от переменной cf = xs~x:

Ve(x/s) = fjsJvJ(x/e). j=о

Подставляя в уравнение Гельмгольца вместо к и ие ряды те и Vs соответственно, переходя к переменной £, выписывая отдельно равенства при одинаковых степенях s и переходя к формальному пределу при s -> 0, получаем следующую рекуррентную систему краевых задач для уД) :

1 "Ьз где А, — коэффициенты ряда Хс-т2е- , а Г — внешность а) на плоскости = 0. Если же в i//n(ex)(x,rs) коэффициенты заменить на их асимптотические разложения в нуле, а затем перейти к переменной £, то получим формальные ряды

Кп(ех)№ = E^in(ex)(£) * о (£ * 0), у=0 коэффициенты которых также являются асимптотическими рядами степенного роста 0^\J j на бесконечности, удовлетворяют граничному условию dV™(ex)/з = 0 при £3 = 0, £=£() и являются при р->оо асимптотическими решениями уравнений из рассмотренной рекуррентной системы краевых задач, в которых vq заменены на руп(сх).

Задача согласования рядов ц/™{сх) (х,те) и ve(£) сводится к выбору коэффициентов i?'n(ex) и гг таким образом, чтобы существовали реше ния Vj (£) рассмотренных краевых, задач, имеющие при р ~> оо асимптотические разложения, совпадающие при >0 <0) с рядами ^ш(ех) ^ з этом случае ряды у/п(ех) (х, ) и vr(£) в пограничной области (где х — мало, а д -— велико) будут переходить друг в друга.

В задаче о волноводах, связанных через малые отверстия; квазисобственное число при, замыкании отверстия стремится; к нижней границе ветви непрерывного спектра; а не к собственному числу невозмущенной (без отверстия) задачи (как в: случае резонатора Гёльмгольца): Это «требует изменения процедуры согласования. Для . случая связанных состояний асимптотические разложения получены данным* методом в [77] для ряда систем (искривлённые волноводы, трёхмерные слои, трёхмерные; волноводы) методом- согласования асимптотических разложений-решений краевых задач [10]. Однако при этом получены только главные члены асимптотических, разложений. Построение же асимптотического разложения квазисобственного числа требует гораздо более серьезного анализа.

Корректное математическое описание задачи о резонансах (квазисвязанных состояниях) может быть дано в рамках нижеописанного подхода Лакса-Филлипса в теории рассеяния,, позволяющего дать её операторную трактовку [12], [13]. Рассмотрим оператор Лапласа pd --А в Qrf = R3 \ (oQ\ Yd) ■ с условиями Дирихле на границе dQ \ Fd и условиями^ Майкснера в точках разрыва границ. Пусть Г^ = - х0| < п 5Г2. Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения • : ' д2и ■'■''• + pdu,= 0-, u(x,0) = fx(x), w;(x,0) = /2(x) с данными Коши {щ, и2). Введём следующую энергетическую норму в пространстве данных Коши: и, и, 2 где щ принадлежит замыканию гладких функций Н^ с компактным носителем в Qd относительно нормы квадратичной формы оператора pd,au2 gL2(Q2).

Задача Коши для исходного волнового уравнения в энергетическом пространстве 3d имеет следующий вид: д dt где и{х, t) = ux(x, t), u't{x, t) = u2(x,t). Пусть i Ad —матричный оператор

О 1' щ "0 Г щ щ 'fx и2 А 0 и2 J и2 t=0 л. Ad =

A 0 с областью определения = i Ad меЗ^}. Кососамосопряжённый оператор i Ad есть генератор унитарной группы U{t) = exp{z Ad t} разрешающих операторов задачи Коши для исходного волнового уравнения в энергетическом пространстве 3d. '

Пусть рассеиватель О!" ограничен, и к — такое число, что Q'" cz {х: \х\ < /?}, a D+ и D — приходящее и уходящее подпространства пространства соответственно, то есть множества всех данных Коши, отвечающие решениям задачи (1.2), которые обращаются в нуль в областях : \х\ < р +1, t > Oj и {л;: |л:| < р +1, t > соответственно.

Заметим, что D+ и D ортогональны в . Пусть — ортогональный проектор на подпространство = 3de{D+ ©£>}. Тогда множество операторов Zd{t) = P^ Ud{t)P^d, t> О, есть сильно непрерывная полугруппа сжатий в Р^ .

Пусть i Bd —генератор полугруппы Zd{t). Оператор Bd диссипа-тивен. Его резольвента (Bd - к)1 есть проекция резольвенты (Ad — к) самосопряжённого оператора Ad на пространство , то есть

Bd - к)'1 = Р^ (Ad - к)~хР^, 1ш к > О. После преобразований получаем:

-1

Ad-kyl = kGd{k2) -/ Gd(k2)

2s~< f 1Л w , T пЛ ImAr^O.

L-i (kzGd{k')) + I kGd(k ) где Gd{k2) — интегральный оператор с ядром Gd{x,y,k) (функцией Грина дифференциального оператора pd—k2), / — тождественный оператор из в L2(Qd).

Заметим, что спектр диссипативного оператора Bd дискретен, поэтому (Bd - к)~х допускает продолжение в нижнюю полуплоскость как мероморфная функция. Следовательно, и правая часть формулы для (Bd - к)~х также имеет мероморфное продолжение в нижнюю полуплоскость ImArcO. Это означает, что (см. формулу для (Ad - к)"1) существует мероморфное продолжение резольвенты Gd(k2) на "нефизический" лист. Таким образом, вопрос о полюсах мероморфного продолжения резольвенты Gd(k2) (квазисобственных числах) эквивалентен вопросу о собственных числах диссипативного оператора Bd, которые, в свою очередь, совпадают [12] с полюсами матрицы рассеяния Sd(k).

Первая глава работы посвящена построению асимптотического разложения квазисобственного числа для системы двух слабосвязанных волноводов по малому параметру, равному полуширине окна связи. В первом параграфе дана постановка задачи. Рассматривается краевая задача для уравнения Гельмгольца (А + к2)иа = 0 в системе двух двумерных волноводов Q* шириной d± (d+>d) соответственно, соединённых отверстием шириной 2а. Требуется построить асимптотическое разложение квазисобственного числа Яа = к\ поставленной краевой задачи вблизи нижней границы ветви непрерывного спектра ^г- по параd метру а, считая этот параметр много меньшим длины волны. Во втором параграфе производится построение асимптотического разложения квазисобственного числа. Рассматривается асимптотический ряд вида ^ -к1 d2 а г оо [0-D/2]

-Z I V

7=2 1=0

V ао у

1)

Здесь а0 — характерная единица длины. Для нахождения нескольких первых коэффициентов kJt используется метод согласования разложений [10] квазисобственной функции, соответствующей квазисоб-ственнму числу ка, имеющих вид:

Ра(Х) 2

--к1 Л* а \d- У

2 со

7=0

Я, In а а, о У

G~(x,y,k)\y=0, х <z ОТ \S ао а0

2)

00 [0-1)/2] j=1 ;=0 \ f \ I

X 1 aJ In a 5

V a0;

ХЕ S

2ас ао

1/2

3)

Ра(Х) с ж i

Л 2 оо j=О у+1 V а.

G+(x,y,k) о У xeQ +\S . ,1/2 (4) u

Здесь Si — сфера радиуса t с центром, совпадающим с серединой отверстия, vJt е W^]oc{p.+ uQ~), Рт — некоторые полиномы от D , In—, aQ имеющие вид: а0 дпу

Рт т

V аъ J ж-1[0~1)/2]

2 I 4

Лт) J< j=1 i=0 \' ln-2

V ао у m = 2,3,4,. где -константы, D^ = ^ ;> я вектора, имеющие координаты (1,0) и (0,-1) соответственно. G*— это функции Грина для волноводов Q±.

Процедура согласования рядов (2) и (3), (3) и (4) заключается в следующем. Подставляем в (2) и (4) ряд (1), заменяем коэффициенты ряда (2) их асимптотическими разложениями в нуле и переходим к переменным % = х!8. Полученный двойной ряд должен совпадать с двойным рядом, получающимся из ряда (3) заменой его коэффициентов на их асимптотические разложения при р = —» оо, > 0. Такое же согласование будем требовать и от рядов (4) и (3), но уже при < 0. Для выполнения этих требований достаточно в рядах (2) и (3), (3) и (4) после описанных выше замен и после перехода от декартовой системы координат (£,,£2) к полярной {р, в) приравнять коэффициенты при

Г аЛ p±J sin jQ. Для получения значений первых чечленах вида a' In'

V^o j тырёх коэффициентов ряда (1) достаточно согласовать коэффициенты в членах порядка а, а2, я3, аъIn—.

Яп

Окончательно, асимптотическое разложение квазисобственного числа имеет вид:

2 „4 Г kz - И - И а

2£.

20

40 ^411** а а, а6оу С к»п + 2кшклЛ In--h кл f л\ где

ReA:40 = кп — п

МО к20 —

40 41

ЯП

41

In а а о У

ТС'

4 с/:

Im&40 = а8 +о(я8),

7Г~

6didUdi-d2'

Л"

16с/

- V 1

8с/3 с/ х+ё~х) ^41

Л"

8йГ

5 '

В третьем параграфе рассматривается описанная выше задача в системе двух волноводов одинаковой ширины (с/ =с/+=с/). В этом случае используется та же самая схема нахождения коэффициентов ряда, однако, асимптотические разложения квазисобственных функций имеют уже другой вид. В результате получено асимптотическое разложение не квазисобственного числа, а собственного числа, близкого к границе непрерывного спектра. Окончательно, найдены следующие значения коэффициентов: -*3 * d2' 2°~2d2' ' п

40 gX +

Зтг kAl - ■

К' Ы

5 '

4 с/Ч 16с/2/ Вторая глава посвящена изучению перехода собственного числа в квазисобственное в системе трёх волноводов. Рассмотрим спектральную задачу Дирихле для оператора Лапласа -А в трёх двухмерных полосах Q1, Q2, Q3, имеющих поперечные размеры с/,, с/2 и с/3 соответственно, соединённых отверстиями ширинами 2а. Если dx=d3, основное пространство Н может быть представлено как ортогональная сумма, Н = На®Hs, где На (Hs) — это подпространство функций, антисимметричных (симметричных) относительно средней линии полосы Q2. Эти подпространства инвариантны относительно рассматриваемого оператора, который, следовательно, можно представить в виде -А = -Дд © As. Таким образом, задача распадается на две краевые задачи, каждая для пары параллельных полос (рис. В, а) (с граничными условиями Дирихле или? Неймана на средней линии). Спектры соответствующих операторов (-Дя,-Д5) показаны на рис. В, б. Известно, что оператор -Дя имеет собственное число, близкое к порогу [48]. Спектр самого оператора есть объединение спектров слагаемых. Таким образом, для полного оператора имеем собственное число, лежащее на непрерывном спектре. Рассмотрим нарушение симметрии, а именно, пусть dx Ф d2 (d3<dl<d2< 2d3). В этом случае задачу уже нельзя свести к задаче о двух волноводах, а упомянутое собственное число становится резонансом (квазисобственным числом). Этот эффект очень важен для описания транспортных свойств системы. Вот почему интересно рассмотреть этот переход резонанс — собственное число. Мы будем, как и в случае рассмотренной системы из двух волноводов, иметь дело с асимптотическими разложениями резонанса по а. Чтобы проследить за поведением асимптотического разложения резонанса при изменении разности поперечных размеров волноводов Q1, Q3, полагаем, что df = dl + %а6, где % > 0, а асимптотическое разложение квазисобственного числа ищется вблизи ^у. d2

В первом параграфе дана постановка задачи.

Во втором параграфе проводится построение асимптотического разложения квазисобственного числа, причём в этом случае приходится согласовывать уже не три разложения квазисобственной функции, а пять. В результате получаем следующие значения коэффициентов:

40 к1-— к 0 л2 ' 20 3

71

4с/33' Зтг5 я0) + я(2) 1 +-+ —

2 Trd, 1 2 яbd]dl^d]-dl 64с/.

2)

71

Ъп 2 -тг4 Ж

8 /-2 ч1/2 /

256с/'

Я"

16с/.

5 '

Третья глава посвящена рассмотрению некоторых возможных применений теоретических результатов, полученных в работе. В параграфе 3.1 предлагается возможная конструкция квантового переключателя. Для системы, состоящей из трёх параллельно соединённых волноводов, может быть решена задача рассеяния для электрона, движущегося в центральном волноводе с энергией, близкой ко вторым порогам двух крайних волноводов способом, использовавшимся в Главе 2 для построения асимптотических разложений квазисобственных чисел и резонансных состояний. Зависимость коэффициентов прохождения в каждом из волноводов от волнового числа имеет резонансный характер. Этот факт может быть использован для построения наноэлектронных систем, в которых посредством изменения размеров окон связи можно регулировать положение резонансных пиков в волноводах; таким образом, данные системы будут работать как квантовые переключатели.

Во втором параграфе описывается возможная конструкция электронной ловушки, в которой, на основании эффекта, рассматривавшегося во второй главе, переход электрона из резонансного состояния в связанное или обратный переход осуществлялся- бы посредством восстановления или нарушения геометрической симметрии системы трёх волноводов соответственно.

В'третьем параграфе предложена возможная конструкция квантового интерференционного транзистора, основанного на системе из двух волноводов, рассмотренной в Главе 1, в которой; посредством изменения ширины окна' связи можно управлять коэффициентом похождения » электрона в волноводе и положением резонансов. Эта же система может использоваться и в качестве двухпозиционного квантового; переключателя.

В четвёртом параграфе рассматривается система связанных оптических волноводов, представляющая собой три диэлектрических слоя, в которой узкий средний слой, обладающий наибольшей диэлектрической проницаемостью, имеет узкую, бесконечную щель. При высокой контрастности в системе диэлектрических волноводов возникают резонансные явления, для описания которых может быть использована двумерная задача Дирихле, рассмотренная-в первой главе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Павлов Б. С., Попов И. Ю., Першенко О. С., Фролов G. В., Гейлер В. А. Трёхпозиционный квантовый переключатель. Изв. вузов. Приборостроение, 2002.Т. 45, № 4, С. 44-49.

2. Попов И. Ю., Фролов С. В. Асимптотика резонанса для двумерных волноводов, связанных через отверстие. Письма в ЖТФ, 2000. Том 26, Вып. 1., С. 17-20.

3. Попов И. Ю., Фролов С. В. Построение асимптотики квазисобственной частоты методом согласования асимптотических разложений. XXX научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава, тезисы докладов. СПб, 1999. С. 122.

4. Попов И. Ю., Фролов С. В., Хрулев К.С. Численный анализ распространения волн в системе связанных волноводов. Науч.-техн. вестн. СПбГУИТМО, 2004. Вып. 15, С.5-10.

5. Фролов С. В. Двумерные волноводы, связанные через отверстие: асимптотика резонанса. Сборник научных трудов молодых учёных и специалистов. СПб, 2000. Вып. 1, Ч. 2., С. 76-77.

6. Фролов С. В., Асимптотика резонанса для волноводов, связанных через отверстие. Юбилейная научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава, посвященная 100-летию университета 29-31 марта 2000 года, тезисы докладов. Ч. 2, СПб, 2000. С. 74-75.

7. Фролов С. В. Оценка резонанса для связанных высококонтрастных диэлектрических волноводов. Научно-технический вестник. 2001. Вып. 3., С. 44-46.

8. Frolov S. V., Popov I. Yu. Resonances for laterally coupled quantum waveguides. J. Math. Phys., 2000. Vol. 41, № 7, P. 4391-4405.

9. Frolov S. V., Melnichuk O. P., Popov I. Yu. Coupled dielectric waveguides as a photonic crystal. Международный оптический конгресс "Оптика — XXI век". Фундаментальные проблемы оптики — 2002, Труды конференции, Санкт-Петербург, 14-17 октября 2002, С. 106.

I O.Pavlov В. S., Popov I. Yu., Frolov S. V. Quantum switch based on coupled waveguides. Eur. Phys. J. B, 2001. Vol. 21, P. 283-287.

II .Popov I. Yu., Frolov S. V. Three coupled waveguides: Breaking of symmetry and eigenvalue-resonance transition. Workshop on Differential Equations dedicated to the memory of Vladimir Lazutkin, Saint-Petersburg, August 18-20, 2002, Abstracts, P. 27.

12.Popov I. Yu., Frolov S. V. Violation of symmetry in the system of three laterally coupled quantum waveguides and resonance asymptotics. Наука, Зап. научн. Семин. ПОМИРАН, 2003, Т. 300, С. 221-227.

13.Popov I. Yu., Frolov S. V. Three laterally coupled quantum waveguides: Breaking of symmetry and resonance asymptotics. IOP, J.Phys. A: Math.Gen. 2003, Vol. 36, P. 1655-1670.

§ 3.5. Выводы

В настоящей главе описаны возможные приложения обнаруженных резонансных и описанных эффектов в исследованных системах связанных волноводов.

Предложена возможная конструкция переключателя на три канала, основанного на МОП-структурах. Управление положением резонансных пиков в каждом из каналов может осуществляться посредством изменения размеров окон связи.

Рассмотрена возможная конструкция электронной ловушки, использующая эффект перехода "резонанс — собственное число", которым можно управлять посредством изменения или восстановления геометрической конфигурации системы квантовых волноводов, что может быть осуществлено традиционным для наноэлектроники способом — изменением прикладываемого напряжения смещения.

Предложена конструкция квантового интерференционного транзистора, который одновременно может служить двухпозиционным переключателем. Несмотря на то, что использование второго волновода вместо подсоединённого резонатора является несколько избыточным, предложенная конструкция позволяет использовать устройство и в качестве квантового интерференционного транзистора, и в качестве переключателя на два канала.

Рассматриваются системы высококонтрастных диэлектрических планарных волноводов. Показано, что в таких системах также возникают связанные и квазисвязанные состояния в окрестности порогов непрерывного спектра. При наличии бесконечного периодического набора окон связи вместо связанного состояния появляется зона ниже границы непрерывного спектра, которая показывает возможность использования описанной системы в роли фотонного кристалла.

Заключение

В настоящей работе построены асимптотические разложения квазисобственного числа и соответствующей ему квазисобственной функции оператора Лапласа для системы двух слабосвязанных волноводов. Рассмотрен переход собственного числа в квазисобственное в системе трёх слабо связанных волноводов. Предложены структуры новых нано-электронных устройств — трёхпозиционного квантового переключателя, электронной ловушки, двухпозиционного квантового переключателя и квантового интерференционного транзистора.

В качестве продолжения решённых задач может быть рассмотрена задача о периодическом наборе отверстий, об искривлённых волноводах, о волноводах с другими краевыми условиями.

Для анализа возможностей применения данных систем в качестве элементов квантового компьютера в дальнейшем может быть рассмотрена двухчастичная задача в связанных волноводах.

1. Арсеньев А.А. Об особенностях аналитического продолжения и резонансных свойствах решения задачи рассеяния для уравнения Гельмгольца. ЖВММФ, 1972. Т. 12, № 1, С. 112 -138.

2. Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы. М.: МГУ. 1974, 124 с.

3. Арсеньев А.А. О существовании резонансных полюсов и ре-зонансов при рассеянии в случае краевых условий 2 и 3 рода. ЖВММФ, 1976. Т. 16, № 3, С. 718- 724.

4. Белорусец В.Б., Фихманас Р.Ф. Расчет собственной частоты и добротности резонаторов с малым отверстием связи. Техника средств связи. Сер. Радиоизмерительная техника, 1976. Вып. 3,С. 8- 12.

5. Войтович Н.Н., Каценеленбаум Б.З., Сивов А.Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. М.: Наука, 1977,416 с.

6. Гадылылин Р. Р. О влиянии выбора места отверстия и его формы на свойства акустического резонатора Гельмгольца. ТМФ., 1992. Т. 93, № 1, С. 107-118.

7. Гадылылин Р. Р. Поверхностные потенциалы и метод согласования асимптотических разложений в задаче о резонаторе Гельмгольца. Алгебра и анализ, 1992. Т. 4, № 2, С. 88-115.

8. Гадылылин Р. Р. Расщепление полюсов резонатора Гельмгольца. Изв. РАН. Сер. матем., 1993. Т. 57. № 5, С. 44-74.

9. Гадылыпин Р. Р. Существование и асимптотики полюсов с малой мнимой частью для резонатора Гельмгольца. УМН, 1997. Т. 52, № 1,С. 3-76.

10. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, М: Наука, 1989.

11. Лазуткин В. Ф. Комплексный.биллиард. Проблемы матем. физики, Вып. II. Л.: изд-во ЛГУ, 1986. С. 138-164.

12. Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния. М.: Мир, 1971. 312 с.

13. Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния для автоморфных функций. М.: Мир, 1979. 324с.

14. Лебедев В.И. Метод композиции. М.: отд. вычисл. матем. АН СССР, 1986, 191 с.

15. Макаров Н. М., Юркевич И. В. Журн. эксп. теор. физ., 1989, Т. 96, С. 1106

16. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 2. м.: изд-во иностр. литер, I960, 986 с.

17. Павлов Б. С., Попов И. Ю., Першенко О. С., Фролов С. В., Гейлер В. А. Трёхпозиционный квантовый переключатель. Изв. вузов. Приборостроение, 2002. Т. 45, № 4, С. 44-49.

18. Петрас С.В. О расщеплении серий резонансов на нефизическом листе. Функц. анал. и его прилож., 1975. Т. 9, Вып. 2, С. 89- 90.

19. Попов И. Ю., Фролов С. В. Построение асимптотики квазисобственной частоты методом согласования асимптотических разложений. XXX научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава, тезисы докладов. СПб, 1999. С. 122.

20. Попов И. Ю., Фролов С. В. Асимптотика резонанса для двумерных волноводов, связанных через отверстие. Письма в ЖТФ, 2000. Том 26, Вып. 1., С. 17-20.

21. Попов И. Ю. Асимптотика спектра оператора Шредингера для слоёв, связанных малыми отверстиями. ТМФ, 2002, Т. 131, № 3, С. 407-408.

22. Попов И. Ю., Фролов С. В., Хрулев К.С. Численный анализ распространения волн в системе связанных волноводов. На-уч.-техн. еестн. СПбГУИТМО, 2004. Вып. 15, С.5-10.

23. Рэлей Дж. В. Теория звука. М.: Гостехиздат, 1955, 330 с.

24. Фролов С. В. Двумерные волноводы, связанные через отверстие: асимптотика резонанса. Сборник научных трудов молодых учёных и специалистов. СПб, 2000. Вып. 1, Ч. 2., С. 76-77.

25. Фролов С. В. Оценка резонанса для связанных высококонтрастных диэлектрических волноводов. Научно-технический вестник. 2001. Вып. 3, С. 44-46.

26. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964,268 С.

27. Шестопалов В. Г. Метод задачи Римана-Гилъберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. Харьков: издательство ХГУ, 1971, 400 с.

28. Шестопалов В.П. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции. Киев: Наук, думка, 1983, 251 с.

29. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973.

30. Axmann W., Kuchment P. An efficient finite element method for computing spectra of photonic and acoustic band-gap materials I. Scalar case. J Comput. Phys., 1999. Vol. 150; P. 468-481.

31. Axmann W., Kuchment P., Kunyansky L. Asymptotic Methods for Thin High-Contrast Two-Dimensional PBG Materials. J. Lightwave technology, 1999. Vol. 17, № 11, P. 1996-2007.

32. Ando Т., Tamura H. Conductance fluctuations in quantum wires with spin-orbit and, boundary-roughness scattering. Phys. Rev. B, 1992. Vol. 46, P. 2332-2338.

33. Bagwell Ph. F. Evanescent modes and scattering in quasi-one-dimensional wires. Phys. Rev. B, 1990. Vol. 41, P. 10354-10371.

34. Baranger H. U. Multiprobe electron waveguides: Filtering and bend resistances. Phys. Rev. B, 1990, № 42, P. 11479-11495.

35. Beale J.T. Scattering Frequencies of Resonators. Comra. oh Pure andAppl. Math., 1973. V. 26, № 4, P. 549- 564.

36. Beenakker C. W. J., van Houten H. Quantum transport in semiconductor nanostructurcs. Solid State Physics. Advances in Research and Applications, edited by H. Ehrenrcich and D. Turnbull (Academic, New York, 1991), Vol. 44, P. 1-228.

37. Bishop J. D., Licini J. C., Dolan G. J. Lithium quench-condensed micro structures and the Aharonov-Bohm effect. Appl. Phys. Lett., 1985. №46, P.1000-1002.

38. Bulla W., Gesztesy F., Renger W., Simon B. Weakly coupled bound states in quantum waveguides. Proc. Am. Math. Soc., 1997. Vol. 125, P. 1487-1495.

39. Chu С. S., Sorbello R. S. Effect of impurities on the quantized conductance of narrow channels. Phys. Rev. В., 1989. Vol. 40, P. 5941-5949.

40. Datta S., Melloch M. R., Bandyopadhyay S. Novel interference effect between parallel quantum wells, Phys. Rev. Lett., 1985. № 55, P. 2344-2347.

41. Datta S., Bandyopadhyay S. Aharonov-Bohm effect in semiconductor microstructures. Phys. Rev. Lett., 1985. № 58, P. 717-720.

42. Dobson D. C. An efficient method for band structure calculations in 2-D photonic crystals. J Comp Phys., 1999. Vol. 149, P. 363376.

43. Duclos P., Exner P. Curvature-induced bound states in quantum waveguides in two and three dimensions. Rev. Math. Phys., 1995. №7, P. 73-102.

44. Evans D. V., Levitin D. M., Vassiliev D. Existence theorem for trapped modes. J. Fluid Mech., 1994. № 261, P. 21-31.

45. Exner P., Seba P. A new type of quantum interference transistors, Phys. Lett. A, 1988. № 129, P 477-480.

46. Exner P., Seba P., Tater M., Vaned D. Bound states and scattering in quantum waveguides coupled laterally through a boundary window. J. Math. Phys., 1995. № 37, P. 4867-4887.

47. Exner P., Vugalter S. A. Asymptotic estimates for bound states in quantum waveguides coupled laterally through a narrow window. Ann. Inst. HPoincare: Phys Theor, 1996, No 65, P. 109-123.

48. Exner P., Vugalter S. A. Bound-state asymptotyc estimates for window-coupled Dirichlet strips and layers. J. Phys. A: Math. Gen., 1997. № 30, P. 7863-7878.

49. Faist J., Gueret P., Rothuizen H. Possible observation of impurity effects on conductance quantization. Phys. Rev. B, 1990. Vol. 42, P. 3217-3219.

50. Figotin A., Kuchment P. Band-gap structure of spectra of periodic and acoustic media. I. Scalar model. SIAM J. Appl. Math., 1996. Vol. 56, № l,p. 68-88.

51. Frolov S. V., Popov I. Yu. Resonances for laterally coupled quantum waveguides" J. Math. Phys., 2000, Vol. 41, № 7, P. 43914405.

52. Goldstein Ch. Scattering theory in waveguides. In Scattering Theory in Mathematical Physics, D. Reidel, Dordrecht, 1974, P. 3551.

53. Goldstone J., Jaffe R. L. Bound states in twisting tubes. Phys. Rev. B, 1992. Vol 45, P 14100-14101.

54. Harwitt A., Harris J. S. Observation of Stark shifts in quantum well intersubband transition, Appl. Phys. Lett., 1987. Vol 50, P. 685-687.

55. Hislop P.D., Martinez A. Scattering resonances of a Helmgoltz resonator. Indiana Univ. Math. J., 1991. Vol. 40, P. 767-788.

56. Joannopopulas J. D., Meade R. D., Winn J. N. Photonic Crystals. Molding the Flow of Light. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1995.

57. Kirilenko A. A., Rudj L. A., Shestopalov V. P. Wave scattering on a waveguide bend. Sov. J. Radiotechnics and Electronics, 1974. Vol. 19, P. 687-696.

58. Kirilenko A. A., Litvinov V. R., Rudj L. A. Truncated bend of a rectangular waveguide in the H-plane. Sov. J. Radiotechnics and Electronics, 1979. Vol. 24, P. 1032-1052.

59. Kirilenko A. A., Rudj L. A., Tkachenko V. I.Diffraction on an E-plane of a rectangular waveguide. Sov. J. Radiotechnics and Electronics, 1985. Vol. 30, P. 918-924.

60. Kumar A., Bagwell Ph. F. Resonant tunneling in a quasi-one-dimensional wire: Influence of evanescent modes. Phys. Rev. B, 1991. Vol. 43, P. 9012-9020.

61. Kumar A., Bagwell Ph. F. Evolution of the quantized ballistic conductance with increasing disorder in narrow-wire arrays. Phys. Rev. B, 1991. Vol. 44, P. 1747-1753.

62. Kunze Ch. Leaky and mutually coupled quantum wires. Phys. Ref. B, 1993. Vol. 48, № 19, P. 14338-14346.

63. Landkof N. S. Foundation of Modern Potential Theory. Springer, Berlin, 1972.

64. Lent C. S., Leng M. Bloch states of electron in a corrugated quantum channel in a magnetic field, Appl. Phys. Lett., 1991. Vol. 58, № 15, P. 1650-1652.

65. Levinson Y. В., Sukhorukov E. V. Phys. Lett. A, 1991. Vol. 1'49, P. 167.

66. Levinson Y. В., Lubin M. I., Sukhorukov E. V. Short-range impurity in a saddle-point potential: Conductance of a microjunction.

67. Phys. Rev. B, 1992. Vol. 45, P. 11936-11943.

68. MarcuritzMl Waveguide handbook, Dover, New York, 1964.

69. Marcus J. On the analytical mechanics of chemical reactions. Quantum mechanics of linear collisions. J. Chem. Phys., 1966, Vol. 45, P. 4493-4499.

70. Matulis A., Patieunas K. Resonant conductance of two-dimensional electron systems in a long-wave approximation. J. Phys. Condens. Matt., 1991. Vol. 3, № 29, P. 5543-5554.

71. Miles J. W. Scattering by a Spherical cap. J. Acoust. Soc. Am., 1971. Vol. 50, № 3, Pt. 2, P. 892- 903.

72. Pavlov B. S., Popov I. Yu., Frolov S. V. Quantum switch based on coupled waveguides. Eur. Phys. J. B, 2001, Vol 21, P. 283-287.

73. Pernandez C.A. Resonances in scattering by a resonator. Indiana Univ. Math. J., 1985. Vol. 34, P. 115- 125.

74. Popov I. Yu., Popova S. L. Zero-width slit model and resonances in mesoscopic systems. Europhys. Lett., 1993. Vol. 24, № 5, P. 373 377.

75. Popov I. Yu. On the point and continuous spectra for coupled quantum waveguides and resonators. Reports on Math. Phys., 1997. Vol. 40 (3) P. 521 -529.

76. Popov I. Yu. Asymptotics of bound states for laterally coupled waveguides. Rep. Math. Phys., 1999. Vol. 43, № 3, P. 427 437.

77. Popov I. Yu. Asymptotics of resonances and bound states for laterally coupled curved quantum waveguides. Phys. Lett A, 2000. Vol. 264, P. 148-153.

78. Popov I. Yu. Asymptotics of bound states and bands for waveguides coupled through small windows. Appl Math. Lett., 2001. Vol 14, P. 109-113.

79. Popov I. Yu. Asymptotics of bound states and bands, for laterally coupled waveguides and layers. J. Math. Phys., 20021 Vol. 43, № 1, P. 215-234.

80. Popov I: Yu., Frolov S. V. Three coupled waveguides: Breaking of symmetry and eigenvalue-resonance transition. Workshop on Differential Equations dedicated to the memory of Vladimir Lazutkin, Saint-Petersburg, August 18-20, 2002, Abstracts;?. 27.

81. Popov I. Yu., Frolov S. V. Three laterally coupled quantum/ waveguides: Breaking of symmetry and resonance asymptotics. IOP;, J.Phys.A: Math.Gem 2003, Vol.36, Pi 1655-1670;

82. Popov I: Yu., Frolov S; V. Violation of symmetry in the system of three laterally coupled quantum waveguides-and resonance asymptotics. Наука, Зап. научи. Семин. ПОМИ РАН, 2003, Т. 300, С. 221-227.

83. Porod W., Shao Z., Lent С. S. Resonance-antiresonance line shape for transmission in quantum waveguides with resonantly coupled cavities. Phys. Rev. B, 1993. Vol: 48, № 11, P. 8495-8498:

84. Price P. J; Nanostructure resonances. IEEE Transactions on Electron Devices, 1992. Vol. 39, № 3, P. 520-522.

85. Lord Rayleigh O.M. The Theory of Helmholtz Resonator. Proceeding of Royal Society. London A., 1916. No 638, P. 265-275.

86. Reed M., Simon B. Methods of Modern Mathematical Physics;,IV. Analysis of Operators. Academic Press, New York, 1978.

87. Sakaki. H. Advances in microfabrications and microstructurephysics. Foundations of Quantum Mechanics in theLight ofNew

88. Technology, Physical Society of Japan, Tokyo, 1984. P. 94-110.

89. Simon B. The bound state of weakly coupled Schrodingcr operators in one and two dimensions. Ann. Phys. (N.Y.), 1976 Vol. 97, P. 279-288;

90. Sivan U., Imry Y. Multichannel Landauer formula for thermoelectric transport with application to thermopower near the mobility edge. Phys. Rev. В., 1986, Vol. 33, № i, p. 551 — 558.

91. Sols F., Macucci F., Ravaioli U., Hess K. On the possibility of transistots action based on quantum interference phenomena. Appl. Phys. Lett, 1989, № 54, P. 350-352.

92. Takagaki Y., Ploog K. Ballistic electron transmission in coupled parallel waveguides. Phys. Rev. B, 1994. Vol. 49, P. 1782 — 1788.

93. Tekman E., Ciraci S. Theoretical study of transport through a quantum point contact. Phys. Rev. B, 1991. Vol. 43, P. 7145-7169.

94. Temkin H., Dolan G. J., Panish M. B. Low-temperature photolu-miniscence from InGaAs/InP quantum wires and boxes. Appl. Phys. Lett., 1989. № 50, P. 2081 2084.

95. Timp G. et al. Propagation around a bend in a multichannel electron waveguide. Phys. Rev. Lett., 1988. № 60, P. 2081-2084.

96. Umbach et. al. Direct observation of ensemble averaging of the Aharonov-Bohm effect in normal-metal loops. Phys. Rev. Lett., 1986. №56, P. 386-389.